Integrais Duplas

Prévia do material em texto

Página 1 de 18 
 
 
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
 
 - Introdução; revisão de integrais definidas; 
 - Integral dupla e aplicações 
 - Integral Tripla e suas aplicações. 
 
 
1. INTEGRAL DEFINIDA 
1.1 - Integral de Riemann 
A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos. A integral de Riemann (ou 
definida) de uma função ( )xf num intervalo [ ]b,a , é equivalente à soma de todos os elementos de área 
sob a curva ( )xf , ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
kc coordenada entre 1kx - e kx 
( )kcf ordenada de kc (altura do retângulo) 
1kkk xxx --=D (base do retângulo) 
 
A área do ésimok - retângulo é dada por ( ) xkk xcfA D×= Somando todas as áreas dos 
retângulos sob a curva ( )xf , tem-se uma aproximação (devido às quinas dos retângulos) da área sob a 
curva. Quanto menor for kxD , melhor é a aproximação. 
Assim: 
å
=
®D
D
n
1k
kk0||x||
x)c(flim
k
= área sob a curva ( ) Axf = . 
 
Definição: Integral definida de Riemann: Seja ( )xf uma função contínua num intervalo [ ]ba, , então se 
o limite å
=
®D
D
n
1k
kk0||x||
x)c(flim
k
 existe, a função ( )xf é integrável em [ ]b,a no sentido de Riemann, e é 
definida por òå =D
=
®D
b
a
n
1k
kk0||x||
dx)x(fx)c(flim
k
, onde a integral definida de ( )xf , no intervalo [ ]b,a , dará 
Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob 
a curva. 
 ............................. 
...................... 
Y
X
( )[ ]kk cfc ,
( )[ ]nn cfc ,
kc
nc
kA 1-
- nn xx1-- kk xx
Página 2 de 18 
 
uma nova função ( )xg calculada no intervalo [ ]b,a , o que é escrito na forma ( ) baxg , ou seja, 
)a(g)b(g)x(g ba -= , assim: )a(g)b(gdx)x(f
b
a
-=ò 
Exercício: Determinar a área delimitada pela parábola 01642 =-+ yx e o eixo X . 
 
Resposta : 
64
A
3
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Seja ( )xf uma função integrável em [ ]b,a no sentido de Riemann, então a integral 
definida de Riemann é numericamente igual à área "com sinal" sob o gráfico de ( )xf , entre ax = e 
bx = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a integral definida corresponde à soma algébrica das áreas, onde aquelas acima do eixo das 
abcissas são positivas e aquelas abaixo dos eixo das abcissas serão precedidas de sinal negativo, ou 
seja, 21
b
a
AAdx)x(f -=ò . 
 
· Exemplo: Resolver a Integral definida da função ( ) 3x
3
1xf = entre [ ]2,1- . 
 
 
 
 
 
Resposta: 
2 3
1
1 5
x dx
3 4-
=ò 
y A1 x = a 
f(x) 
A2 
x = b 
x 
(A1 e A2) é a soma algébrica de todas as áreas (positivas e negativas) 
 
1- 
( )xf
1 0 2 
Y
 
X
 
Y
 
X 1 
1 
0 
( )xfy =
Página 3 de 18 
 
 
· Definições: 
a) Se ( )xf é uma função contínua no intervalo fechado [ ]b,a , então ( )xf é Riemann - integrável em 
[ ]b,a . 
b) Se ( )xf é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo fechado [ ]b,a , então ( )xf é 
Riemann – integrável em [ ]b,a . 
c) Se ( )xf é uma função qualquer e a é um valor pertencente ao domínio D de ( )xf , define-se: 
0dx)x(f
a
a
=ò 
 
d) Se ba > e ( )xf é Riemann - integrável em [ ]b,a , então define-se: 
ò-=ò
a
b
b
a
dx)x(fdx)x(f 
 
 
 
Exercícios de Revisão: 
 
Calcule as seguintes integrais: 
 
01) x dx
a
b 2ò Resposta: 
b a3 3
3
-
 
02) 
1
1
4
x
dxò Resposta: )4ln( 
03) 
1
1 20
1
+ò x dx Resposta: ( ) 40
1
arctan p=x 
04) 
1
1 20
2
2
-
ò
x
dx Resposta: ( )
4
0
2
2
arcsen p=x 
05) [ ]sin x x dx2 2
0
2 ( ) cos ( )+ò
p
 Resposta: 
p
2
 
06) Resolver 
4
dxxxdy = no intervalo [ ]2,0 . Resposta: 
5
22
=y 
07) Determinar a área limitada pelas funções xxy 23 += e xy 3= . Resposta: ..
2
1 auA = 
8o Exercício: Determinar a área limitada pelas funções xxy 23 2 -= e xy 4= , Resposta: auA .4= 
 
 
 
 
 
 
Página 4 de 18
 
2 - INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
 
2.1 - Integrais Duplas 
 
A integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas 
variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes. 
 
Definição: Considere uma função z=f(x,y) contínua e definida numa região fechada e limitada D no
plano xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica do domínio ""D , da imagem ""I e da 
superfície ""S de uma função ),( yxfz = 
Z
 
Y
 
X
 
S
D
I
Z 
Y 
X 
Representação gráfica de uma função ),( yxfz = 
 ),( yxfz =
0x 
0y 
0z 
),,( 000 zyx 
D 
Página 5 de 18 
 
 
A definição de integral dupla ( )dxdyy,xfòò comporta uma interpretação geométrica análoga à definição 
de integral definida simples, associando-a ao problema de cálculo de volume (ou cubatura) da mesma 
forma que a integral definida é associada ao cálculo de área. Assim, definição formal da integral dupla 
envolve a soma de muitas áreas elementares, isto é, diferenciais de área dA , ou seja, dxdy , com a 
finalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim, pode usar-se a integral para 
resolver problemas concernentes a volumes e a áreas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao tentar resolver-se “o problema do volume” , sabe-se que se trata área da base vezes a 
altura é tal que para cada área elementar iii dydxdA = o valor de "z" i fica univocamente definido. 
Assim, a integral será o volume obtido pela soma de uma infinidade de volumes VD das colunas 
infinitesimais inscritas em forma de paralelepípedos, com mostram as Figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z 
Y 
X 
Representação gráfica de uma função ),( yxfs = 
dxdydA = 
Z 
Y 
X 
Decomposição em paralelepípedos de uma função ),( yxfs = 
dxdydA =
Representação gráfica de uma função ),( yxfs = 
( ) ( ) ( ){ }2 0 1 0 1, /D x y x x x y y y= ÎÂ £ £ £ £U 
1xx =
1yy =
Z 
X
Y
0yy =
1zz =
0zz =
( )yxfs ,=
0xx = 
D 
Página 6 de 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se ( ) 0y,xf < os volumes VD são negativos e obtém-se V- como integral. Assim, uma definição 
precisa de Integral Dupla pode ser colocada na forma: 
 
 Supondo que o domínio D de uma função pode ser colocada no interior de um retângulo 
definido pela base bxa ££ e pela altura dyc ££ no plano XY , e a base bxa ££ for dividido em n 
intervalos, isto é, 
n
ab -
, a altura dyc ££ também for dividido em m intervalos, isto é, 
m
cd -
. Então, 
esta decomposição do retângulo bxa ££ , dyc ££ em mn ´ sub-retângulos é denominado de 
partição regular, e cada sub-retângulo é uma célula desta partição, onde cada uma possui uma área 
ijji Ayx D=D×D , donde, åå
= =
D=
n
1i
m
1j
ijAD . Note-se que quanto maiores forem n e m menor será cada. 
Assim, para cada ponto toma-se o valor médio das coordenadas, isto é, ( )*j*iji y,x2
y
,
2
x
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
 e obter-se-á 
uma área infinitesimal AD e ( ) Ay,xfV ji D×=D . O volume total aproximado será dado pela soma de 
todos os VD , isto é, ( ) A.y,xfV ji D» åå . 
 
 Desta forma a soma de Riemann corresponde à partição estendida, quando ¥®n e 
0Am ®DÞ¥® é o volume V total dado pela soma, 
 
( ) ( )ååòò
= =
¥®
D==
n
1i
m
1j
jij,i
D
ji Ay,xfimdAy,xfV l , denominada integral dupla de ( )j,xf sobre o domínio 
D , onde ( ) ( )ò òòò =
d
c
b
a jiji
D
ji dydxy,xfdAy,xf. 
 
 
 
 
 
 
Página 7 de 18 
 
 
 
 
 
Vejamos a sequência de figuras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 8 de 18 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
1)Notamos que o significado geométrico da Integral Dupla equivale ao volume do sólido. 
2)A integral Dupla tem propriedades análogas as propriedades de integrais simples. 
 
Exemplos: 
01) Se ( ){ }22,11/, 2 ££-££-ÂÎ= yxyxD calcular o volume correspondente à função 
( ) 21 xxf -= por integral dupla. 
 
Solução: Se 21 xz -= , então 122 =+ zx e 0³z , logo a integral dupla òò -
D
dAx 21 representará o 
volume do sólido S que está abaixo do cilindro circular 122 =+ zx e acima do retângulo definido por D
. O volume de S é a área de um semicírculo com raio uma vez o comprimento do cilindro, ou seja, 
 
Resposta: 2 . .V uvp= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02 Calcular as integrais ò ò=
2
1
3
0
2
1 ydydxxI e ò ò=
3
0
2
1
2
2 ydxdyxI 
Resposta a) 1
21
I
2
=
 
b) 2
21
I
2
= . 
Obs.: Assim, se ( )yxf , for contínua no domínio ( ){ }dycbxayxD ££££ÂÎ= ,/, 2 , então 
 
( ) ( ) ( )ò òò òòò ==
d
c
b
a
b
a
d
c
D
dydxyxfdxdyyxfdAyxf ,,, . Chamadas Integrais Iteradas. 
 
Esse resultado (Teorema de Fubini) é válido ao supor-se que a função ( )yxf , seja limitado em D , 
podendo ser descontínua num número finito de curvas lisas, e se a integral iterada existir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03)Se ( ){ 1,20/, 2 £££ÂÎ= xyxD
teorema de Fubini para esta integral dupla.
 
 ( )= - = - = -ò ò ò ò
2 2 2 22 2
0 1 1 0
Resposta: I x 3y dydx x 3y dxdy 12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OUTROS EXEMPLOS: 
 
04) O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z 
= 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do 
ponto amostra como o canto superior de cada quadrado R
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta 13,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
2 
1 
1 0 x 
y 
(1,1) 
(2,2) 
(2,1) 
(1,2) 
R11 
R22 
R21 
R12 
}2££ y calcular a integral dupla (òò=
D
xI
teorema de Fubini para esta integral dupla. 
( )= - = - = -ò ò ò ò
2 2 2 22 2
0 1 1 0
Resposta: I x 3y dydx x 3y dxdy 12 
04) O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z 
pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do 
canto superior de cada quadrado Rij. 
Página 9 de 18
)- dAyx 23 e mostre 
04) O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z 
pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do 
 
 
05) Calcule o valor da integral òò
R
2 ydAx
O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da fun
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x
planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ydA , onde R = [0,3] x [1,2] Resposta 13,5.
O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x
06) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 
planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. Resposta 48 
Página 10 de 18
Resposta 13,5. 
ção f(x,y) = x2y da figura 
 + 2y2 + z = 16, os 
Página 11 de 18
 
07) Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z= 1- y e inferiormente pelo retângulo 
definido0 x 1£ £ e 0 y 1£ £ Resposta : ½ u.v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES GENÉRICAS 
 
Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para integrais 
duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos, mas também sobre um 
região D de forma mais geral, como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma região limitada, o 
que significa que D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma nova função F com 
domínio R por 
( )
î
í
ì
=
DemestánãomasRemestá)y,x(se,0
Demestáy,xse),y,x(f
)y,x(F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a integral dupla de F sobre R existe, então definimos a integral dupla de f sobre D por 
òòòò =
RD
dA)y,x(FdA)y,x(f 
 
 
R 
DDD DDD 
x x 
y y 
0 0 
Página 12 de 18 
 
Cálculo da Derivada Dupla sobre Regiões Planas Genéricas 
 
Tipo 01 - Regiões planas inscritas em faixas verticais: 
 
Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o gráfico de duas funções 
contínuas de x, ou seja: 
D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) } 
onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: 
ò òòò =
b
a
)x(g
)x(gD
dxdy)y,x(fdA)y,x(f
2
1
 
sempre que f for contínua em D. 
 
Tipo 02- Regiões planas inscritas em faixas horizontais: 
 
Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções 
contínuas de y, ou seja: 
D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } 
onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: ò òòò =
d
c
)x(h
)x(hD
dydx)y,x(fdA)y,x(f
2
1
 
sempre que f for contínua em D. 
 
DDD 
x 
y 
0 
DDD 
x 
y 
0 
DDD 
x 
y 
0 b b b a a a 
y = g1(x) y = g1(x) y = g1(x) 
y = g2(x) y = g2(x) y = g2(x) 
DDD 
x 
y 
0 
DDD 
x 
y 
0 
DDD 
x 
y 
0 
d d d 
c 
c c 
x = h1(y) 
x = h1(y) 
x = h1(y) 
x = h2(y) 
x = h2(y) x = h2(y) 
Página 13 de 18
 
08) Calcule òò +
D
dA)y2x( onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. 
 Resposta: 32/15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy 
limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. 
Solução: D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto: D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2 < y < 2x } 
 
Assim, o volume é: 216/35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
–1 1 
y = 2x2 
y = 1 + x2 
y = 2x 
y = x2 
 
 
10) Calcule òò
D
xydA , onde D é a região limitada pela reta y = x 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira:
[y2 = 2x + 6] Ç [y = x – 1] Þ 
2
yx
2 -
=
 Þ y = –2 ( x = 
 
 
Resposta: 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2
A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira: 
6-
 e x = y + 1 Þ 1y
2
6y2
+=
-
 Þ y2 – 2y – 8 = 0
2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 ) 
y2 = 2x + 6 
y = x – 1 
Página 14 de 18
2 = 2x + 6. 
8 = 0 
Página 15 de 18 
 
11) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. 
 
Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e 
outro da região plana D sobre a qual o sólido está. 
 Igualando as equações dos planos,duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do 
tetraedro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o 
plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2. 
Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que T está 
sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0. 
O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como: 
D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }. 
Portanto o volume de T é: 1/3 u.v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1, ½, 0) 
(0, 1, 0) 
(0, 0, 2) 
x + 2y + z = 2 
x = 2y 
x 
y 
z 
x 
y 
1 
1 
½ 
x + 2y = 2 
x = 2y 
D 
T 
Página 16 de 18 
 
PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS: 
1) òòòòòò +=+
DDD
dA)y,x(gdA)y,x(fdA)]y,x(g)y,x(f[ 
2) òòòò =
DD
dA)y,x(fcdA)y,x(cf , onde c é uma constante 
3) òòòòòò +=
21 DDD
dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f , 
 
 
12) Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem òò
D
xdAcosy2 , onde D é a região do 
plano xy limitada pelos gráficos de 
6
x p= , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y2. 
Solução: No gráfico abaixo, aparecem as curvas que formam a fronteira de D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A região que tem como fronteira todas as curvas citadas é a parte sombreada do plano. Portanto essa é a 
região D. Assim, podemos descrevê-la de duas formas: 
1) Inscrita na faixa vertical p/6 £ x £ 4 e, nesse caso dividi-la em 
 D1 = { (x,y) | p/6 £ x £ 1, 1 £ y £ 3 } e D2 = { (x,y) | 1 £ x £ 4, 
3
x10yx -££ } 
ò òò ò
òòòòòò
-
p
+=
+=
4
1
3
x10
x
1
6
3
1
DDD
dxxdycosy2dxxdycosy2
xdAcosy2xdAcosy2xdAcosy2
21 
 
2) Inscrita na faixa horizontal 1 £ y £ 3 e, nesse caso, dividi-la em 
 D1 = { (x,y) | 1 £ y £ 2, p/6 £ x £ y2 } e D2 = { (x,y) | 2 £ y £ 3, p/6 £ x £ 10 – 3y } 
 
ò òò ò
òòòòòò
-
pp
+=
+=
3
2
y310
6
2
1
y
6
DDD
dyxdxcosy2dyxdxcosy2
xdAcosy2xdAcosy2xdAcosy2
2
21 
se D = D1 È D2, onde D1 e D2 não se 
sobrepõem exceto, possivelmente, nas 
fronteiras. 
3 
p/6 
y =3 
y =1 
x =p/6 3y + x = 10 
x = y2 
D 
Página 17 de 18 
 
 
13) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide 16zy2x 22 =++ e os planos 2=x e 
2=y , e os três planos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
Z
Y 
16
2 
Página 18 de 18 
 
 
14) Calcular a integral dupla ( )òò -+
D
dAyx4 , sabendo que o domínio é 
( ){ }1,20/, 2 +££££ÂÎ= xyxxyxD . Resposta : 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Calcular a integral dupla òò -
D
dAx 24 , sabendo que o domínio é um círculo de raio igual a dois, isto é, 
2=r mas 42 22222222 =+Þ+=Þ+= yxyxyxr , donde 222 44 xyxy -±=Þ-= 
Solução: Então domínio será ( ){ }222 x4yx4,2x2/y,xD -+££--££-ÂÎ= 
 
Donde a integral de volume òò -=
D
dAxV 24 será: 
Resposta: 64/3