Teorema da Divisão

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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Teorema da Divisão
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 06/11/2016 - Atualizado em 21/04/2018
Teorema: Se a e b são dois inteiros, com b > 0, então existem (e são únicos) os
inteiros q e r tal que:  = bq + r com 0 ≤ r < b.
Esse teorema é chamado também de teorema da divisão euclidiana. Outro
teorema que jamais se pode esquecer.
Exemplo 1: É possível encontrar dois
inteiros múltiplos de 5 tais que o resto da
divisão euclidiana de um pelo outro seja
13? Justifique a resposta.
Solução:
Pelo teorema da divisão euclidiana
temos que:
n = qd + r
Sendo n um número qualquer, d um
divisor menor que n, q o quociente da di-
visão de n por d e r o resto da divisão.
Suponha então que tanto n como d
sejam múltiplos de 5 e que o resto seja
igual a 13, então:
5k = 5k′d + 13
para algum k, k′ ∈ Z. E sendo assim:
5k = 5k′d + 13
⇒ 5k − 5k′d = 13
⇒ 5(k − k′d) = 13 ()
Como a multiplicação e subtração são
operações fechadas em Z então k−k′d é
um valor inteiro de modo que (i) implica
no fato de 5 ser divisor de 13 o que é um
absurdo.
Logo, não pode existir dois múltiplos
de 5 tais que o resto da divisão euclidi-
ana de um pelo outro seja 13.
Exemplo 2: Se o resto na divisão eu-
clidiana de um inteiro m por 8 é 5, qual
é o resto da divisão m por 4?
Solução:
m = 8q + 5
⇒m = 4 · 2q + (4 + 1)
⇒m = 4(2q + 1) + 1
Logo o resto é 1.
Exemplo 3: Na divisão euclidiana de
802 por q, o quociente é 14. Determine
os valores possíveis de q e do resto.
Solução:
Pelo algoritmo de divisão euclidiana
802 = 14q + r com 0 ≤ r < q.
Note que uma solução particular da
equação diofantina resultante é (q, r) =
(57,4). Assim as soluções gerais dela
serão: q = 57 + t e r = 4 − 14t. Mas,
como 0 ≤ r < q, temos
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0 ≤ 4 − 14t < 57 + t
Isto é, −3 < t ≤ 0, logo, t =
{−3,−2,−1,0}.
Assim, valores possíveis de q e do
resto são:
(q, r) = (54,46), (55,32), (56,18), (57,4)
Exemplo 4: Prove que um dos in-
teiros , +1, +2 (com  > 0) é divisível
por 3.
Solução:
Se  = 1 ou 2 ou 3 então, respectiva-
mente, teríamos +2, +1 ou  divisível
por 3. O que provaria o enunciado.
Se  for maior que 3, então o resto da
divisão de  por 3 somente pode ser 0, 1
ou 2, portanto  = 3q ou  = 3q + 1 ou
 = 3q + 2.
É Se  = 3q, está comprovada a
hipótese.
É Se  = 3q + 1, então  + 2 =
3q+2+1 = 3q+3 = 3(q+1)⇒
 + 2 é divisível por 3.
É Se  = 3q + 2, então  + 1 =
3q+2+1 = 3q+3 = 3(q+1)⇒
 + 1 é divisível por 3.
Portanto, uma das três formas será di-
visível por 3.
Exemplo 5: Se m é um inteiro ímpar,
mostre que o resto da divisão de m2 por
4 é 1.
Solução:
m ·m = (2q + 1) · (2q + 1)
m2 = 4q2 + 4q + 1
m2 = 4(q2 + q) + 1
Chamando q2 + q = k então:
m2 = 4k + 1
Assim, o resto é 1.
Exemplo 6: Na divisão de 326 pelo
inteiro b > 0, segundo o algoritmo de Eu-
clides, o quociente é 14 e o resto é r.
Ache os possíveis valores de b e r.
Solução:
326 = b14 + r como 326 dividido por
14 é 23 com resto 4 então b = 23 e r = 4
Exemplo 7: Na divisão euclidiana de
 por b o quociente é 6 e o resto, o menor
possível. Ache  e b nos seguintes casos:
a)  − b = 525
b)  + b = 234
Solução de A:
Pelo teorema de divisão euclidiana e
pelo enunciado  = 6b + r. Sendo r o
menor valor possível de resto podemos
supor r = 0 de modo que  = 6b. Sendo
assim:
 − b = 6b − b
⇒ 525 = 5b
⇒ b = 105.
Substituindo b em − b = 525 chega-
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se a  = 630.
Resp : { = 630;b = 525}
Solução de B:
Idem para b.
Exemplo 8: Qual o maior número
natural de quatro algarismos divisível
por 19? E qual o menor?
Solução:
O maior número de quatro algarismo
é 9999 e dividindo-o por 19 chegamos a
seguinte igualdade.
9999
19
= 526(19) + 5
Finalmente, subtraindo o resto do
lado esquerdo da igualdade chegamos a
solução.
9999
19
− 5 = 526(19) = 9994
Ou seja, o maior número de quatro
dígitos divisível por 19 é 9994.
Para determinar o menor número de
quatro algarismo o processo é semel-
hante. Tomamos o valor de 1000, que
é o menor numero de quatro algarismo,
e o dividimos por 19.
1000
19
= 52(19) + 12
⇒
1000
19
− 12 = 52(19) = 988
Como 988 não possui 4 algarismo en-
tão somamos 19 a ele o que nos da 1007.
Resp = {m = 9994; mn = 1007}
Exemplo 9: Seja m um inteiro cujo
resto da divisão por 6 é 5. Mostre que o
resto da divisão de m por 3 é 2.
Solução:
m = 6q + 5
m = 3(2q) + 3 + 2
m = 3(2q + 1) + 2
Fazendo 2q + 1 = q◦ temos que m =
3q◦ + 2 o que evidência a afirmação.
Exemplo 10: Se a é um inteiro não
divisível por 2 e nem por 3, prove que
24|(2 + 23).
Solução:
Aplicando o algoritmo de Euclides, na
divisão de a por 6 então;  = 6q + r
com r tendo um dos possíveis valores
r = {1; 2; 3; 4; 5}.
Como 2 e 3 não divide a então r =
{1; 5} se r = 1 temos:
2 + 23 = (6q + 1)2 + 23
= 36q2 + 12q + 1 + 23
= 36q2 + 12q+ 24 = 12q(3q+ 1) + 24
Como 24|24 basta provar que
24|12q(3q + 1), para isso consideremos
q sendo par ou impar. Se q é par então
12q é múltiplo de 24 se q é impar 3q+ 1
é par completando a demonstração.
Raciocínio análogo se desenvolve
para r = 5.
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