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Divisibilidade
Sumário
1.1 Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Unidade 1 Divisibilidade
Como a divisão de um número inteiro por outro nem sempre é possível,
expressa-se esta possibilidade através da relação de divisibilidade.
Quando não existir uma relação de divisibilidade entre dois números inteiros,
veremos que, ainda assim, será possível efetuar uma �divisão com resto pe-
queno�, chamada de divisão euclidiana. O fato de sempre ser possível efetuar tal
divisão é responsável por inúmeras propriedades dos inteiros que exploraremos
neste e nos próximos capítulos.
1.1 Divisibilidade
Dados dois números inteiros a e b, diremos que a divide b, escrevendo a|b,
quando existir c ∈ Z tal que b = c · a. Neste caso, diremos também que a é
um divisor ou um fator de b ou, ainda, que b é um múltiplo de a.
Observe que a notação a|b não representa nenhuma operação em Z, nem
representa uma fração. Trata-se de uma sentença que diz ser verdade que existe
c tal que b = ca. A negação dessa sentença é representada por a 6 | b, sigi�cando
que não existe nenhum número inteiro c tal que b = ca. Portanto, temos que
0 6 | a, se a 6= 0.
Exemplo 1 1|0, −1|0, 2|0, −2|0; 1|6, −1|6, 1|− 6, −1|− 6, 2|6, −2|6, 2|− 6,
−2| − 6, 3|6, −3|6, 3| − 6, −3| − 6, 6|6, −6|6, 6| − 6, −6| − 6; 3 6 | 4;
2 6 | 5.
Suponha que a|b e seja c ∈ Z tal que b = ca. O número inteiro c é chamado
de quociente de b por a e denotado por c =
b
a
.
Por exemplo,
0
1
= 0,
0
2
= 0,
6
1
= 6,
6
2
= 3,
6
−3
= −2, 6
3
= 2,
6
6
= 1.
Note ainda que, se a|b, então ±a| ± b (veri�que).
Estabeleceremos a seguir algumas propriedades da divisibilidade.
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Unidade 1Divisibilidade
Proposição 1Sejam a, b, c ∈ Z. Tem-se que
i) 1|a, a|a e a|0.
ii) se a|b e b|c, então a|c.
Demonstração(i) Isto decorre das igualdades a = a · 1, a = 1 · a e 0 = 0 · a.
(ii) a|b e b|c implica que existem f, g ∈ Z, tais que b = f · a e c = g · b.
Substituindo o valor de b da primeira equação na outra, obtemos
c = g · b = g · (f · a) = (g · f) · a,
o que nos mostra que a|c.
O item (i) da proposição acima nos diz que todo número inteiro é divisível
por 1 e por si mesmo.
Proposição 2Se a, b, c, d ∈ Z, então
a|b e c|d =⇒ a · c|b · d.
DemonstraçãoSe a|b e c|d, então ∃ f, g ∈ Z, b = f · a e d = g · c. Portanto,
b · d = (f · g)(a · c), logo, a · c|b · d.
Em particular, se a|b, então a · c|b · c, para todo c ∈ Z.
Proposição 3Sejam a, b, c ∈ Z, tais que a|(b± c). Então
a|b ⇐⇒ a|c.
DemonstraçãoSuponhamos que a|(b+ c). Logo, existe f ∈ Z tal que b+ c = f · a.
Agora, se a|b, temos que existe g ∈ Z tal que b = g · a. Juntando as duas
igualdades acima, temos
g · a+ c = f · a,
donde segue-se que c = (f − g)a, logo a|c.
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Unidade 1 Divisibilidade
A prova da implicação contrária é totalmente análoga.
Por outro lado, se a|(b − c) e a|b, pelo caso anterior, temos a| − c, o que
implica que a|c.
Proposição 4 Se a, b, c ∈ Z são tais que a|b e a|c, então a|(xb+yc), para todo x, y ∈ Z.
Demonstração a|b e a|c implicam que existem f, g ∈ Z tais que b = fa e c = ga.
Logo,
xb+ yc = x(fa) + y(ga) = (xf + yg)a,
o que prova o resultado.
Uma propriedade caracterítica dos números inteiros é a de ser vazio o con-
junto {x ∈ Z; 0 < x < 1}. Isto implica que se c ∈ Z é tal que c > 0, então
c > 1.
Da propriedade acima decorre a Propriedade Arquimediana de Z, ou seja,
se a, b ∈ Z, com b 6= 0, então existe n ∈ Z tal que nb > a.
De fato, como |b| > 0, temos que |b| > 1, logo
(|a|+ 1) |b| > |a|+ 1 > |a| > a.
O resultado segue se na desigualdade acima tomarmos n = |a|+ 1, se b > 0 e
n = −(|a|+ 1), se b < 0.
Proposição 5 Dados a, b ∈ N, temos que
a|b =⇒ a 6 b.
Demonstração De fato, se a|b, existe c ∈ Z tal que b = ca. Como a, b > 0, segue-se que
c ∈ N. Como 1 6 c, segue-se que a 6 ac = b.
Em particular, se a ∈ N e a|1, então 0 < a 6 1 e, portanto, a = 1.
Claramente, a recíproca da Proposição 5 não é válida, pois, por exemplo,
3 > 2; e, no entanto, 2 não divide 3.
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Unidade 1Divisibilidade
Note que a relação de divisibilidade em N é uma relação de ordem, pois
i) é re�exiva: ∀ a ∈ N, a|a. (Proposição 1(i)),
ii) é transitiva: se a|b e b|c, então a|c. (Proposição 1(ii)),
iii) é anti-simétrica: se a|b e b|a, então a = b. (Segue da Proposição 5).
As proposições a seguir serão de grande utilidade.
Proposição 6Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a− b divide an − bn.
DemonstraçãoVamos provar isto por indução sobre n.
É óbvio que a a�rmação é verdade para n = 1, pois a− b divide a1 − b1 =
a− b.
Suponhamos, agora, que a− b|an − bn. Escrevamos
an+1 − bn+1 = aan − ban + ban − bbn = (a− b)an + b(an − bn).
Como a− b|a− b e, por hipótese, a− b|an− bn, decorre da igualdade acima
e da Proposição 4 que a− b|an+1− bn+1. Estabelecendo o resultado para todo
n ∈ N.
Proposição 7Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a+ b divide a2n+1 + b2n+1.
DemonstraçãoVamos provar isto também por indução sobre n.
A a�rmação é, obviamente, verdade para n = 0, pois a+ b divide a1+ b1 =
a+ b.
Suponhamos, agora, que a+ b|a2n+1 + b2n+1. Escrevamos
a2(n+1)+1 + b2(n+1)+1 = a2a2n+1 − b2a2n+1 + b2a2n+1 + b2b2n+1 =
(a2 − b2)a2n+1 + b2(a2n+1 + b2n+1).
Como a+b divide a2−b2 = (a+b)(a−b) e, por hipótese, a+b|a2n+1+b2n+1,
decorre das igualdades acima e da Proposição 4 que a+ b|a2(n+1)+1+ b2(n+1)+1.
Estabelecendo, assim, o resultado para todo n ∈ N.
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Unidade 1 Divisibilidade
Proposição 8 Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a+ b divide a2n − b2n.
Demonstração Novamente usaremos indução sobre n.
A a�rmação é verdadeira para n = 1, pois claramente
a+ b divide a2 − b2 = (a+ b)(a− b).
Suponhamos, agora, que a+ b|a2n − b2n. Escrevamos
a2(n+1) − b2(n+1) = a2a2n − b2a2n + b2a2n − b2b2n =
(a2 − b2)a2n + b2(a2n − b2n).
Como a+ b|a2− b2 e, por hipótese, a+ b|a2n− b2n, decorre das igualdades
acima e da Proposição 4 que a + b|a2(n+1) + b2(n+1). Estabelecendo, desse
modo, o resultado para todo n ∈ N.
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Unidade 1Divisibilidade
1.2 Problemas
1. Sejam a, b, c ∈ Z e c 6= 0. Mostre que
ac|bc⇐⇒ a|b.
2. (ENC-98)1 A soma de todos os múltiplos positivos de 6 que se escrevem
(no sistema decimal) com dois algarismos é:
(A) 612 (B) 648 (C) 756 (D) 810 (E) 864
3. Com quanto zeros termina o número 100!?
4. (a) Mostre que o produto de i números naturais consecutivos é divisível
por i!.
(b) Mostre que 6|n(n+ 1)(2n+ 1), para todo n ∈ N.
5. Mostre, por indução matemática, que, para todo n ∈ N,
(a) 8|32n + 7
(b) 9|10n + 3.4n+2 + 5
(c) 9|n4n+1 − (n+ 1)4n + 1
(d) 169|33n+3 − 26n− 27
6. Mostre que 13|270 + 370.
7. Mostre que, para todo n,
(a) 9|10n − 1
(b) 8|32n − 1
(c) 53|74n − 24n
(d) 3|10n − 7n
(e) 13|92n − 24n
(f) 6|52n+1 + 1
(g) 19|32n+1 + 44n+2
(h) 17|102n+1+72n+1
(i) 14|34n+2 + 52n+1
8. Sejam a, b ∈ Z.
a) Se a 6= b, mostre que, para todo n ∈ N, n > 2,
an − bn
a− b
= an−1 + an−2 · b+ · · ·+ a · bn−2 + bn−1.
1Exame Nacional de Cursos, MEC/INEP.
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Unidade 1 Problemas
b) Se a+ b 6= 0, mostre que, para todo n ∈ N,
a2n+1 + b2n+1
a+ b
= a2n − a2n−1 · b+ · · · − a · b2n−1 + b2n.
c) Mostre que, para todo n ∈ N,
a2n − b2n
a+ b
= a2n−1 − a2n−2 · b+ · · ·+ a · b2n−2 − b2n−1.
9. Para quais valores de a ∈ N
a) a− 2|a3 + 4?
b) a+ 3|a3 − 3?
c) a+ 2|a4 + 2?
d) a+ 2|a4 + 2a3 + a2 + 1?
10. Mostre que, para todos a,m, n ∈ Z,
m > n > 0 =⇒ a2n + 1|a2m − 1.
11. Mostre, para todo n ∈ N, que n2|(n+ 1)n − 1.
12. Mostre, para todo a ∈ Z, que
a) 2|a2 − a b) 3|a3 − a c) 5|a5 − a d) 7|a7 − a
13. Mostre que existem in�nitos valores de n em N para os quais 8n2 + 5 é
divisível por 7 e por 11.
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Divisão Euclidiana
Sumário
2.1 Divisão Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 A Aritmética na Magna Grécia . . . . . . . . . . . . 10
Unidade 2 Divisão Euclidiana
Mesmo quando um número inteiro a não divide o número inteiro b, Euclides1,
nos seus Elementos, utiliza, sem enunciá-lo explicitamente, o fato de que é
sempre possívelefetuar a divisão de b por a, com resto2. Este resultado, cuja
demonstração damos abaixo, não só é um importante instrumento na obra de
Euclides, como também é um resultado central da teoria.
2.1 Divisão Euclidiana
Teorema 1
Divisão Euclidiana
Sejam a e b dois números inteiros com a 6= 0. Existem dois únicos números
inteiros q e r tais que
b = a · q + r, com 0 6 r < |a|.
Demonstração Considere o conjunto
S = {x = b− ay; y ∈ Z} ∩ (N ∪ {0}).
Existência: Pela Propriedade Arquimediana, existe n ∈ Z tal que n(−a) > −b,
logo b − na > 0, o que mostra que S é não vazio. O conjunto S é limitado
inferiormente por 0, logo, pelo princípio da boa ordenação, temos que S possui
um menor elemento r. Suponhamos então que r = b−aq. Sabemos que r > 0.
Vmos mostrar que r < |a|. Suponhamos por absurdo que r > |a|. Portanto,
existe s ∈ N ∪ {0} tal que r = |a| + s, logo 0 6 s < r. Mas isto contradiz o
fato de r ser o menor elemento de S, pois s = b− (q ± 1)a ∈ S, com s < r.
Unicidade: Suponha que b = aq+r = aq′+r′, onde q, q′, r, r′ ∈ Z , 0 6 r < |a|
e 0 6 r′ < |a|. Assim, temos que−|a| < −r 6 r′−r < |a|. Logo, |r′−r| < |a|.
Por outro lado, a(q − q′) = r′ − r, o que implica que
|a||q − q′| = |r′ − r| < |a|,
o que só é possível se q = q′ e consequentemente, r = r′.
1para saber mais sobre a obra de Euclides, leia a nota histórica no �nal deste capítulo.
2Devemos observar que Euclides só tratava números positivos.
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Unidade 2Divisão Euclidiana
Nas condições do teorema acima, os números q e r são chamados, respec-
tivamente, de quociente e de resto da divisão de b por a.
Da divisão euclidiana, temos que o resto da divisão de b por a é zero se, e
somente se, a divide b.
Exemplo 1O quociente e o resto da divisão de 19 por 5 são q = 3 e r = 4. O
quociente e o resto da divisão de −19 por 5 são q = −4 e r = 1.
Exemplo 2Vamos mostrar aqui que o resto da divisão de 10
n por 9 é sempre 1, qualquer
que seja o número natural n.
Isto será feito por indução. Para n = 1, temos que 101 = 9 ·1+1; portanto,
o resultado vale.
Suponha, agora, o resultado válido para um dado n ∈ N, isto é 10n = 9·q+1.
Considere a igualdade
10n+1 = 10·10n = (9+1)10n = 9·10n+10n = 9·10n+9·q+1 = 9(10n+q)+1,
provando que o resultado vale para n+ 1 e, consequentemente, vale para todo
n ∈ N.
Note que este resultado decorre também do Problema 1.1.7(a), pois lá
pedia-se para mostrar que 9|10n − 1; portanto, sendo isso verdade, temos que
10n−1 = 9q e, consequentemente, 10n = 9q+1. Uma prova mais simples pode
ser dada com a utilização da Proposição 1.1.6 da Unidade 1, já que 9 = 10− 1
e 10n − 1 = 10n − 1n.
Corolário 2Dados dois números naturais a e b com a > 0, existe um número inteiro n
tal que
na 6 b < (n+ 1)a.
DemonstraçãoPela divisão euclidiana, temos que existem q, r ∈ Z com 0 6 r < a,
univocamente determinados, tais que b = a · q+ r. Basta agora tomar n = q.
A a�rmação contida no corolário acima (para b > 0) foi feita, sem de-
monstração, por Euclides nos Elementos, que a utilizava para justi�car a sua
divisão.
3
Unidade 2 Divisão Euclidiana
Exemplo 3 Dado um número inteiro n ∈ Z qualquer, temos duas possibilidades:
i) o resto da divisão de n por 2 é 0, isto é, existe q ∈ N tal que n = 2q; ou
ii) o resto da divisão de n por 2 é 1, ou seja, existe q ∈ N tal que n = 2q+ 1.
Portanto, os números inteiros se dividem em duas classes, a dos números
da forma 2q para algum q ∈ Z, chamados de números pares, e a dos números
da forma 2q + 1, chamados de números ímpares. Os naturais são classi�cados
em pares e ímpares, pelo menos, desde Pitágoras, 500 anos antes de Cristo.
A paridade de um número inteiro é o caráter do número ser par ou ímpar.
É fácil determinar a paridade da soma e do produto de dois números a partir
da paridade dos mesmos (veja Problema 2.1.3).
Exemplo 4 Mais geralmente, �xado um número natural m > 2, pode-se sempre es-
crever um número qualquer n, de modo único, na forma n = mk + r, onde
k, r ∈ Z e 0 6 r < m.
Por exemplo, todo número inteiro n pode ser escrito em uma, e somente
uma, das seguintes formas: 3k, 3k + 1, ou 3k + 2.
Ou ainda, todo número inteiro n pode ser escrito em uma, e somente uma,
das seguintes formas: 4k, 4k + 1, 4k + 2, ou 4k + 3.
Exemplo 5 Dados a, n ∈ N, com a > 2 e ímpar, vamos determinar a paridade de
(an − 1)/2.
Como a é ímpar, temos que an − 1 é par, e, portanto (an − 1)/2 é um
número natural. Logo, é legítimo querer determinar a sua paridade.
Temos, pelo Problema 1.1.8(a), que
an − 1
2
=
a− 1
2
(an−1 + · · ·+ a+ 1).
Sendo a ímpar, temos que an−1 + · · · + a + 1 é par ou ímpar, segundo n
é par ou ímpar (veja Problema 2.1.3). Portanto, a nossa análise se reduz à
procura da paridade de (a− 1)/2.
Sendo a ímpar, ele é da forma 4k + 1 ou 4k + 3. Se a = 4k + 1, então
(a− 1)/2 é par, enquanto que, se a = 4k + 3, então (a− 1)/2 é ímpar.
4
Unidade 2Divisão Euclidiana
Resumindo, temos que (an− 1)/2 é par se, e somente se, n é par ou a é da
forma 4k + 1.
Exemplo 6Vamos achar os múltiplos de 5 que se encontram entre 1 e 253. Estes são
todos os múltiplos de 5 que cabem em 253. Pelo algoritmo da divisão temos
que
253 = 5 · 50 + 3,
ou seja, o maior múltiplo de 5 que cabe em 253 é 5 · 50, onde 50 é o quociente
da divisão de 253 por 5. Portanto, os múltiplos de 5 ente 1 e 253 são
1 · 5, 2 · 5, 3 · 5, . . . , 50 · 5,
e, consequentemente, são em número de 50.
Mais geralmente, dados a, b ∈ N com a < b, o número de múltiplos não
nulos de a menores ou iguais a b é igual ao quociente da divisão de b por a.
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Unidade 2 Problemas
2.2 Problemas
1. Ache o quociente e o resto da divisão
a) de 27 por 5. b) de 38 por 7.
2. Mostre como, usando uma calculadora que só realiza as quatro operações,
pode-se efetuar a divisão euclidiana de dois números naturais em apenas
três passos. Aplique o seu método para calcular o quociente e o resto da
divisão de 3721056 por 18735.
3. Discuta a paridade
(a) da soma de dois números.
(b) da diferença de dois números.
(c) do produto de dois números.
(d) da potência de um número.
(e) da soma de n números ímpares.
4. (a) Mostre que um número natural a é par se, e somente se, an é par,
qualquer que seja n ∈ N.
(b) Mostre que an ± am é sempre par, quaisquer que sejam n,m ∈ N.
(c) Mostre que, se a e b são ímpares, então a2+ b2 é divisível por 2 mas
não divisível por 4.
5. Quais são os números que, quando divididos por 5, deixam resto igual
(a) à metade do quociente?
(b) ao quociente?
(c) ao dobro do quociente?
(d) ao triplo do quociente?
6. Seja n um número natural. Mostre que um, e apenas um, número de
cada terna abaixo é divisível por 3.
6
Unidade 2Divisão Euclidiana
(a) n, n+ 1, n+ 2
(b) n, n+ 2, n+ 4
(c) n, n+ 10, n+ 23
(d) n, n+ 1, 2n+ 1
7. Mostre que
(a) se n é ímpar, então n2 − 1 é divisível por 8.
(b) se n não é divisível por 2, nem por 3, então n2 − 1 é divisível por
24.
(c) ∀n ∈ N, 4 6 |n2 + 2.
8. Sejam dados os números naturais a,m e n tais que 1 < a < m < n.
(a) Quantos múltiplos de a existem entre m e n?
(b) Quantos múltiplos de 7 existem entre 123 e 2551?
(c) Quantos múltiplos de 7 existem entre 343 e 2551?
9. (ENC-2000) Mostre que, se um inteiro é, ao mesmo tempo, um cubo e
um quadrado, então ele é da forma 5n, 5n+ 1, ou 5n+ 4.
10. (ENC-2000)
(a) Mostre que, se um número a não é divisível por 3, então a2 deixa
resto 1 na divisão por 3.
(b) A partir desse fato, prove que, se a e b são inteiros tais que 3 divide
a2 + b2, então a e b são divisíveis por 3.
11. (ENC-2001) Seja N um número natural; prove que a divisão de N2 por
6 nunca deixa resto 2.
12. (ENC-2002) O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto
da divisão de N por 5?
13. Mostre que, se n é ímpar, então a soma de n termos consecutivos de uma
PA é sempre divisível por n.
14. Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e
por 4.
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Unidade 2 Problemas
Problemas Suplementares
15. Mostre, para todo n ∈ N, que
(a) 6|n3 + 11n
(b) 9|4n + 15n− 1
(c) 3n+2|103n − 1
(d) 7|23n − 1
(e) 8|32n+ 7
(f) 7|32n+1 + 2n+2
(g) a2−a+1|a2n+1+
(a − 1)n+2, para
todo a ∈ N
16. Mostre que, se um inteiro é um quadrado e um cubo, então é da forma
7k ou 7k + 1.
17. (a) Mostre que um quadrado perfeito ímpar é da forma 4n+ 1.
(b) Mostre que nenhum elemento da sequência 11, 111, 1111, . . . é um
quadrado perfeito.
18. (a) Mostre que todo quadrado perfeito é da forma 5k ou 5k ± 1.
(b) Com que algarismo pode terminar um quadrado perfeito?
(c) Se três inteiros positivos veri�cam a2 = b2 + c2, então entre eles há
um múltiplo de 2 e um múltiplo de 5.
(d) A soma dos quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um
quadrado perfeito.
19. Mostre que, de n inteiros consecutivos, um, e apenas um, deles é divisível
por n.
20. Um número é dito livre de quadrados se não for divisível pelo quadrado
de nenhum número diferente de 1.
(a) Determine qual é o maior número de números naturais consecutivos
livres de quadrados.
(b) De�na números livres de cubos e resolva o problema correspondente.
21. Seja m ∈ N. Pode o número m(m + 1) ser a sétima potência de um
número natural? (generalize).
22. Dados a, b ∈ N, quantos números naturais divisíveis por b existem na
sequência a, 2a, . . . , ba?
8
Unidade 2Divisão Euclidiana
23. Sejam a, d ∈ N. Mostre que, na sequência a+0d, a+d, a+2d, a+3d, . . .
ou não existe nenhum quadrado ou existem in�nitos quadrados.
9
Unidade 2 A Aritmética na Magna Grécia
2.3 A Aritmética na Magna Grécia
Segundo os historiadores, foi Tales de Mileto (640-546 AC) quem introduziu
o estudo da Matemática na Grécia. Tales teria trazido para a Grécia os rudi-
mentos da geometria e da aritmética que aprendera com os sacerdotes egípcios,
iniciando a intensa atividade matemática que ali se desenvolveu por mais de 5
séculos.
A diferença entre a matemática dos egípcios e a dos gregos era que, para
os primeiros, tratava-se de uma arte que os auxiliava em seus trabalhos de
engenharia e de agrimensura, enquanto que, com os segundos, assumia um
caráter cientí�co, dada a atitude �losó�ca e especulativa que os gregos tinham
face à vida.
Em seguida, foram Pitágoras de Samos (580?-500? AC) e sua escola (que
durou vários séculos) que se encarregaram de ulteriormente desenvolver e di-
fundir a Matemática pela Grécia e suas colônias. A escola pitagórica atribuía
aos números um poder místico, adotando a aritmética como fundamento de
seu sistema �losó�co. Quase nada sobrou dos escritos originais dessa fase da
matemática grega, chegando até nós apenas referências e comentários feitos
por outros matemáticos posteriores.
Os gregos tinham uma forte inclinação para a �loso�a e a lógica, tendo isto
in�uenciado fortemente toda a sua cultura e, em particular, o seu modo de fazer
matemática. Um importante exemplo disso foi a grande in�uência que sobre
ela exerceu Platão (429-348 AC), que, apesar de não ser matemático, nela
via um indispensável treinamento para o �lósofo, ressaltando a metodologia
axiomático-dedutiva a ser seguida em todos os campos do conhecimento. O
domínio da geometria era uma condição necessária aos aspirantes para o ingresso
na sua academia. A preferência de Platão pelos aspectos mais teóricos e concei-
tuais o fazia estabelecer uma clara diferenciação entre a ciência dos números,
que chamava aritmética, e a arte de calcular, que chamava logística, a qual
desprezava por ser �infantil e vulgar".
Com toda esta herança cultural, surge por volta de 300 AC, em Alexandria,
um tratado que se tornaria um dos marcos mais importantes da Matemática,
Os Elementos de Euclides3. Pouco se sabe sobre os dados biográ�cos deste
3Sobre Euclides e a sua obra recomendamos a leitura de Os Elementos de Euclides, de
10
Unidade 2Divisão Euclidiana
grande matemático, tendo chegado a nós, através de sucessivas edições, este
tratado composto por treze livros, onde se encontra sistematizada a maior parte
do conhecimento matemático da época.
Aparentemente, Euclides não criou muitos resultados, mas teve o mérito
de estabelecer um padrão de apresentação e de rigor na Matemática jamais
alcançado anteriormente, tido como o exemplo a ser seguido nos milênios que
se sucederam. Dos treze livros de Os Elementos, dez versam sobre geometria
e três, sobre aritmética. Nos três livros de aritmética, Livros VII, VIII e IX,
Euclides desenvolve a teoria dos números naturais, sempre com uma visão ge-
ométrica (para ele, números representam segmentos e números ao quadrado
representam áreas). No Livro VII, são de�nidos os conceitos de divisibilidade,
de número primo, de números perfeitos, de máximo divisor comum e de mínimo
múltiplo comum, entre outros. No mesmo livro, além das de�nições acima,
todas bem postas e até hoje utilizadas, encontra-se enunciada (sem demons-
tração) a divisão com resto de um número natural por outro, chamada divisão
euclidiana (nosso Teorema 2.1.1). Com o uso iterado desta divisão, Euclides
estabelece o algoritmo mais e�ciente, até hoje conhecido, para o cálculo do
máximo divisor comum de dois inteiros (Proposições 1 e 2 nos Elementos),
chamado de Algoritmo de Euclides, que apresentaremos na Unidade 5. No
Livro VIII, são estudadas propriedades de sequências de números em progressão
geométrica. No Livro IX, Euclides mostra, de modo magistral, que a quantidade
de números primos supera qualquer número dado; em outras palavras, existem
in�nitos números primos (Proposição 20 nos Elementos; nosso Teorema 2.1 da
Unidade 12). Euclides também prova que todo número natural se escreve de
modo essencialmente único como produto de números primos, resultado hoje
chamado de Teorema Fundamental da Aritmética (Proposição 14 nos Elemen-
tos; nosso Teorema 1.1 da Unidade 12). É também provado um resultado que dá
uma condição necessária para que um número natural seja perfeito (Proposição
35 em Os Elementos; parte de nosso Teorema 1.1, Unidade 16).
Após Euclides, a aritmética estagnou por cerca de 500 anos, ressuscitando
com os trabalhos de Diofanto de Alexandria, que viveu por volta de 250 DC.
A obra que Diofanto nos legou chama-se Aritmética e foi escrita em treze
João Bosco Pitombeira, Cadernos da RPM, Volume 5, N. 1, 1994; ou ainda, Euclides, a
conquista do espaço, por Carlos Tomei, Odysseus, São Paulo, 2003.
11
Unidade 2 A Aritmética na Magna Grécia
volumes, dos quais apenas sete nos chegaram. Trata-se do primeiro tratado de
álgebra hoje conhecido, pois a abordagem de Diofanto era totalmente algébrica,
não sendo revestida de nenhuma linguagem ou interpretação geométrica, como
o faziam todos os seus predecessores. A maioria dos problemas estudados por
Diofanto em Aritmética visava encontrar soluções em números racionais, muitas
vezes contentando-se em encontrar apenas uma solução, de equações algébricas
com uma ou várias incógnitas.
Um dos problemas tratados por Diofanto era a resolução em números ra-
cionais, ou inteiros, da equação pitagórica x2 + y2 = z2, chegando a descrever
todas as suas soluções. Este problema teve o poder de inspirar o matemático
francês Pierre Fermat mais de 1300 anos depois, traçando os rumos futuros que
a Matemática iria tomar, como veremos mais adiante.
12
3
1
Sistemas de Numeração
Sumário
3.1 Representação dos Números Inteiros . . . . . . . . . 2
3.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Unidade 3 Representação dos Números Inteiros
O sistema universalmente utilizado pelas pessoas comuns para representar
os números inteiros é o sistema decimal posicional. Este sistema de numeração,
que é uma variante do sistema sexagesimal utilizado pelos babilônios 1700 anos
antes de Cristo, foi desenvolvido na China e na Índia. Existem documentos
do século VI comprovando a utilização desse sistema. Posteriormente, foi se
espalhando pelo Oriente Médio, por meio das caravanas, tendo encontrado
grande aceitação entre os povos árabes. A introdução do sistema decimal na
Europa foi tardia por causa dos preconceitos da Idade Média. Por exemplo,
num documento de 1299, os banqueiros de Florençacondenavam o seu uso.
O sistema começou a ter maior difusão na Europa a partir de 1202, quando
da publicação do livro Liber Abacci, de Fibonacci. Vários séculos se passaram
para que, �nalmente, esse sistema fosse adotado sem restrições pelos europeus.
Há outros sistemas de numeração em uso, notadamente os sistemas binário
ou em bases potências de 2, que são correntemente usados em computação.
Uma característica comum a esses sistemas de numeração é o fato de serem
todos sistemas posicionais com base constante.
Neste capítulo nos restringiremos à representação dos números naturais,
pois 0 tem seu próprio símbolo e todo número inteiro negativo é representado
por um número natural precedido pelo sinal −.
3.1 Representação dos Números Inteiros
No sistema decimal, todo número inteiro é representado por uma sequência
formada pelos algarismos
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
acrescidos do símbolo 0 (zero), que representa a ausência de algarismo. Por
serem dez os algarismos, o sistema é chamado decimal.
O sistema é também chamado posicional, pois cada algarismo, além do seu
valor intrínseco, possui um peso que lhe é atribuído em função da posição que
ele ocupa no número. Esse peso, sempre uma potência de dez, varia do seguinte
modo:
O algarismo da extrema direita tem peso 1; o seguinte, sempre da direita
para a esquerda, tem peso dez; o seguinte tem peso cem; o seguinte tem peso
2
Unidade 3Sistemas de Numeração
mil, etc.
Portanto, os números de um a nove são representados pelos algarismos de
1 a 9, correspondentes. O número dez é representado por 10, o número cem
por 100, o número mil por 1000.
Por exemplo, o número 12019, na base 10, é a representação de
1 · 104 + 2 · 103 + 0 · 102 + 1 · 10 + 9 = 1 · 104 + 2 · 103 + 1 · 10 + 9.
Cada algarismo de um número possui uma ordem contada da direita para
a esquerda. Assim, no exemplo acima, o primeiro 1 que aparece1 é de segunda
ordem, enquanto que o último é de quinta ordem. O 9 é de primeira ordem,
enquanto que o 2 é de quarta ordem.
Cada terna de ordens, também contadas da direita para a esquerda, forma
uma classe. As classes são, às vezes, separadas umas das outras por meio de
um ponto.
Damos a seguir os nomes das primeiras classes e ordens:
Classe das Unidades

unidades 1a ordem
dezenas 2a ordem
centenas 3a ordem
Classe do Milhar

unidades de milhar 4a ordem
dezenas de milhar 5a ordem
centenas de milhar 6a ordem
Classe do Milhão

unidades de milhão 7a ordem
dezenas de milhão 8a ordem
centenas de milhão 9a ordem
Os sistemas de numeração posicionais baseiam-se no seguinte resultado, que
é uma aplicação da divisão euclidiana.
Teorema 1Dados a, b ∈ N, com b > 1, existem números naturais c0, c1, . . . , cn
menores do que b, univocamente determinados, tais que a = c0 + c1b+ c2b2 +
· · ·+ cnbn.
1Não se esqueça, sempre da direita para a esquerda.
3
Unidade 3 Representação dos Números Inteiros
Demonstração Vamos demonstrar o teorema usando a segunda forma do Princípio de
Indução Matemática sobre a. Se a = 0, ou se a = 1, basta tomar n = 0 e
c0 = a.
Supondo o resultado válido para todo natural menor do que a, vamos prová-
lo para a. Pela divisão euclidiana, existem q e r únicos tais que
a = bq + r, com r < b.
Como q < a (veri�que), pela hipótese de indução, segue-se que existem
números naturais n′ e d0, d1, . . . , dn′ , com dj < b, para todo j, tais que
q = d0 + d1b+ · · ·+ dn′bn
′
.
Levando em conta as igualdades acima destacadas, temos que
a = bq + r = b(d0 + d1b+ · · ·+ dn′bn
′
) + r,
donde o resultado segue-se pondo c0 = r, n = n′ + 1 e cj = dj−1 para
j = 1, . . . , n.
A unicidade segue-se facilmente das unicidades acima estabelecidas.
A representação dada no teorema acima é chamada de expansão relativa à
base b. Quando b = 10, essa expansão é chamada expansão decimal, e quando
b = 2, ela toma o nome de expansão binária.
A demonstração do Teorema também nos fornece um algoritmo para deter-
minar a expansão de um número qualquer relativamente à base b.
Trata-se de aplicar, sucessivamente, a divisão euclidiana, como segue:
a = bq0 + r0, r0 < b,
q0 = bq1 + r1, r1 < b,
q1 = bq2 + r2, r2 < b,
e assim por diante. Como a > q0 > q1 > · · · , deveremos, em um certo ponto,
ter qn−1 < b e, portanto, de
qn−1 = bqn + rn,
4
Unidade 3Sistemas de Numeração
decorre que qn = 0, o que implica 0 = qn = qn+1 = qn+2 = · · · , e, portanto,
0 = rn+1 = rn+2 = · · · .
Temos, então, que
a = r0 + r1b+ · · ·+ rnbn.
A expansão numa dada base b nos fornece um método para representar os
números naturais. Para tanto, escolha um conjunto S de b símbolos
S = { s0, s1, . . . , sb−1 },
com s0 = 0, para representar os números de 0 a b − 1. Um número natural a
na base b se escreve da forma
xnxn−1 . . . x1x0,
com x0, . . . , xn ∈ S, e n variando, dependendo de a, representando o número
x0 + x1b+ · · ·+ xnbn.
No sistema decimal, isto é, de base b = 10, usa-se
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Se b 6 10, utilizam-se os símbolos 0, 1, . . . , b− 1. Se b > 10, costuma-se
usar os símbolos de 0 a 9, acrescentando novos símbolos para 10, . . . , b− 1.
Exemplo 1No sistema de base b = 2, temos que
S = { 0, 1},
e todo número natural é representado por uma sequência de 0 e 1. Por exemplo,
o número 10 na base 2 representa o número 2 (na base 10). Temos também
que
100 = 22, 101 = 1 + 22, 111 = 1 + 2 + 22, 1011 = 1 + 2 + 23.
O sistema na base 2 é habitualmente utilizado nos computadores.
5
Unidade 3 Representação dos Números Inteiros
Exemplo 2 Vamos representar o número 723 na base 5.
Por divisão euclidiana sucessiva,
723 = 144 · 5+3, 144 = 28 · 5+4, 28 = 5 · 5+3, 5 = 1 · 5+0, 1 = 0 · 5+1.
Portanto,
723 = 3 + 4 · 5 + 3 · 52 + 0 · 53 + 1 · 54,
e, consequentemente, 723 na base 5 se representa por 10343.
Daremos a seguir critérios de divisibilidade por 5, por 10, por 3 e por 9 para
números representados na base 10.
Proposição 2 Seja a = rn · · · r1r0 um número representado no sistema decimal. Uma
condição necessária e su�ciente para que a seja divisível por 5 (respectivamente
por 10) é que r0 seja 0 ou 5 (respectivamente 0).
Demonstração Sendo a = 10 · (rn · · · r1) + r0, temos que a é divisível por 5 se, e somente
se, r0 é divisível por 5, e, portanto, r0 = 0 ou r0 = 5. Por outro lado, a é
divisível por 10 se, e somente se, r0 é divisível por 10, o que somente ocorre
quando r0 = 0.
Proposição 3 Seja a = rn · · · r1r0 um número representado no sistema decimal. Uma
condição necessária e su�ciente para que a seja divisível por 3 ou por 9 é que
rn + · · ·+ r1 + r0 seja divisível por 3 ou por 9, respectivamente.
Demonstração Temos que
a− (rn + · · ·+ r1 + r0) = rn10n + · · ·+ r110 + r0 − (rn + · · ·+ r1 + r0) =
rn(10
n − 1) + · · ·+ r1(10− 1).
Como o termo à direita nas igualdades acima é divisível por 9, temos, para
algum número q, que
a = (rn + · · ·+ r1 + r0) + 9q.
6
Unidade 3Sistemas de Numeração
Assim, �ca claro que a é divisível por 3 ou por 9 se, e somente se, rn +
· · ·+ r1 + r0 é divisível por 3 ou por 9.
Exemplo 3[O Nove Misterioso] . Peça para alguém escolher, em segredo, um número
natural com, pelo menos, três algarismos (no sistema decimal, é claro). Peça,
ainda, para que efetue uma permutação qualquer dos seus algarismos, obtendo
um novo número, e que subtraia o menor do maior dos dois números. Final-
mente, peça ao seu parceiro de jogo para reter um dos algarismos diferente de
zero desse novo número e divulgar os restantes. É possível adivinhar o algarismo
retido!
Vamos desvendar o mistério. Seja a = rn · · · r1r0 o número secreto e seja
a′ o número obtido pela permutação dos algarismos de a. Pela demonstração
da Proposição 3 sabemos que existem q, q′ ∈ N tais que
a = (rn + · · ·+ r1 + r0) + 9q e a′ = (rn + · · ·+ r1 + r0) + 9q′.
Logo, a diferença entre o maior e o menor desses números é divisível por 9. Por-
tanto, para adivinhar o algarismo que falta, basta descobrir, dentre os números
de 1 a 9, quanto devemos somar à soma dos algarismos divulgadospara que o
resultado seja divisível por 9.
A exclusão do zero no algarismo retido é para eliminar uma possível ambigu-
idade que ocorre quando a soma dos algarismos divulgados seja já múltiplo de
9; neste caso, o algarismo escondido tanto poderia ser o nove quanto o zero.
A representação binária tem peculiaridades interessantes, como veremos a
seguir. Inicialmente extraímos um corolário imediato do Teorema 1.
Corolário 4Todo número natural se escreve de modo único como soma de potências
distintas de 2.
Determinar a expansão binária de um número a é ainda mais fácil do que
determinar a sua expansão relativa a um número b 6= 2.
De fato, escreve-se a lista de números começando com a, seguido pelo
quociente q0 da divisão de a por 2, seguido pelo quociente q1 da divisão de q0
7
Unidade 3 Representação dos Números Inteiros
por 2, seguido pelo quociente q2 da divisão de q1 por 2, etc. (Note que a divisão
por 2 é tão fácil que pode ser feita mentalmente.)
Na divisão euclidiana sucessiva, temos que, se a é ímpar, então r0 = 1; caso
contrário, r0 = 0; temos r1 = 1 se q0 é ímpar, e r1 = 0, caso contrário. Em
geral, ri+1 = 1 se qi é ímpar, e ri+1 = 0, caso contrário. Até encontrarmos
qn−1 = 1, quando colocamos rn = 1. Segue-se, portanto, que
a = r0 + r1 · 2 + · · ·+ rn · 2n.
Exemplo 4 O método acima, para determinar expansões binárias, permite desenvolver
um algoritmo utilizado pelos antigos egípcios para calcular o produto de dois
números usando apenas multiplicações e divisões por 2, além de adições. Este
método tem a vantagem de apenas necessitar do conhecimento da tabuada do
2.
De fato, para efetuar a multiplicação de a por b, escreve-se a como soma
de potências de 2:
a = r0 + r12 + · · ·+ rn2n,
com cada ri zero ou um. Logo,
a · b = r0 · b+ r1 · 2b+ · · · rn · 2nb.
Escrevem-se duas colunas de números, uma ao lado da outra, onde, na
coluna da esquerda, colocam-se, um em cada linha, os números a, q0, q1, . . .,
qn−1 (= 1) (como descritos acima) e, na coluna da direita, também um em cada
linha, os números b, 2b, 4b, . . ., 2nb. Como a paridade do elemento da coluna
da esquerda na linha i − 1 determina se ri = 0 ou ri = 1, quando somarmos
os elementos da coluna da direita que correspondem a elementos ímpares da
coluna da esquerda, obteremos a · b.
Vejamos um exemplo. Vamos multiplicar 523 por 37.
37 523 +
18 1046
9 2092 +
4 4184
2 8368
1 16736 +
8
Unidade 3Sistemas de Numeração
Portanto,
37 · 523 = 523 + 2092 + 16736 = 19351
Exemplo 5[O Problema da Moeda Falsa]
Têm-se 2n moedas, sendo uma delas falsa, com peso menor do que as
demais. Dispõe-se de uma balança de dois pratos, mas sem nenhum peso.
Vamos mostrar, por indução sobre n, que é possível achar a moeda falsa com
n pesagens.
Para n = 1, isto é fácil de ver, pois, dadas as duas moedas, basta pôr uma
moeda em cada prato da balança e descobre-se imediatamente qual é a moeda
falsa.
Suponha, agora, que o resultado seja válido para algum valor de n e que se
tenha que achar a moeda falsa dentre 2n+1 moedas dadas. Separemos as 2n+1
moedas em 2 grupos de 2n moedas cada. Coloca-se um grupo de 2n moedas em
cada prato da balança. Assim, poderemos decobrir em que grupo de 2n moedas
encontra-se a moeda falsa. Agora, pela hipótese de indução, descobre-se a
moeda falsa com n pesagens, que, junto com a pesagem já efetuada, perfazem
o total de n+ 1 pesagens.
Vamos agora generalizar a solução do problema para um número arbitrário
de moedas.
Seja m o número total de moedas, das quais uma é falsa. Escrevamos a
expansão binária de m:
m = 2n1 + 2n2 + · · ·+ 2nr .
Vamos mostrar que n1 pesagens são su�cientes para descobrir a moeda falsa.
A demonstraçao será feita usando a segunda forma do Princípio de Indução sobre
n1.
Suponha n1 = 1, ou seja, temos, no máximo, três moedas. Pondo uma
moeda em cada prato da balança, descobre-se imediatamente a moeda falsa e,
portanto, o resultado é trivialmente veri�cado. Suponha o resultado verdadeiro
para todo n′ < n1.
Sejam agora 2n1+2n2+ · · ·+2nr moedas, das quais uma é falsa. Separemos
as moedas em 2 lotes com, respectivamente, 2n1 e 2n2 + · · ·+2nr moedas cada
9
Unidade 3 Representação dos Números Inteiros
um. Começamos analisando o primeiro lote com 2n1 moedas. Se a moeda
falsa está neste lote, com o método discutido no início, sabemos que podemos
descobrir a moeda falsa com, no máximo, n1 pesagens. Se este lote não contém
a moeda falsa, descobrimos isto com apenas uma pesagem (põe-se metade das
moedas do lote em cada prato; se a balança se equilibrar, a moeda falsa não se
encontra aí) e descartamos o lote todo. Sobram, então, 2n2+· · ·+2nr moedas a
serem analisadas. Pela hipótese de indução, bastam n2 pesagens para descobrir
a moeda falsa, que, juntamente com a pesagem já realizada, perfazem um total
de n2 + 1 pesagens que certamente é menor ou igual do que n1.
10
Unidade 3Sistemas de Numeração
3.2 Problemas
1. Mostre que, na base 10, o algarismo das unidades de um quadrado perfeito
só pode ser 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
2. Um certo número de três algarismos na base 10 aumenta de 36 se permu-
tarmos os dois algarismos da direita, e diminui de 270 se permutarmos os
dois algarismos da esquerda. O que acontece ao número se permutarmos
os dois algarismos extremos?
3. (Critério de divisibilidade por uma potência de 2) Seja dado um número
a, representado na base 10 por a = anan−1 . . . a0 . Usando o fato de que
2k|10k, mostre que 2k divide a se, e somente se, o número ak−1 . . . a1a0
é divisível por 2k. Em particular, a é divisível por 2 se, e somente se, a0
é 0, 2, 4, 6 ou 8; também, a é divisível por 4 se, e somente se, a1a0 é
divisível por 4.
4. Escolha um número abc de três algarismos no sistema decimal, de modo
que os algarismos das centenas a e o das unidades c di�ram de, pelo
menos, duas unidades. Considere os números abc e cba e subtraia o
menor do maior, obtendo o número xyz. A soma de xyz com zyx vale
1089. Justi�que este fato.
5. Seja dado o número 4783 na base 10; escreva-o nas seguintes bases: 2,
3, 4, 7, 12 e 15.
6. O número 3416 está na base 7; escreva-o nas bases 5 e 12.
7. Um número na base 10 escreve-se 37; em que base escrever-se-á 52?
8. Considere 73 na base 10; em que base ele se escreverá 243?
9. Escreva a tabuada na base 5. Use-a para calcular 132 + 413 e 23 · 342.
10. Utilize o método dos antigos egípcios para calcular 527 · 72.
11
4
1
Jogo de Nim
Sumário
4.1 Jogo de Nim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Unidade 4 Jogo de Nim
Trata-se de um antigo jogo chinês de palitos jogado por duas pessoas. Este
jogo foi objeto, em 1901, de um artigo cientí�co na prestigiosa revista Annals
of Mathematics, de autoria de C.L. Bouton, mostrando que há uma estratégia
que, se adotada pelo jogador que inicia o jogo, ele sempre ganhará.
4.1 Jogo de Nim
Há várias versões deste jogo, cada uma com uma estratégia própria.
Variante 1 Dispõe-se sobre uma mesa um certo número N de palitos.
Estipula-se que cada jogador, na sua vez, possa retirar, no mínimo, 1 palito e,
no máximo, n palitos, com n > 1. Supõe-se, ainda, que nem N nem N − 1
sejam múltiplos de n + 1. Perde o jogador que retirar o último palito. A
estratégia para que o primeiro jogador ganhe sempre é descrita a seguir.
Seja q o quociente e r o resto da Divisão Euclidiana de N por n + 1. Por
hipótese, tem-se que r > 1. Divida mentalmente os palitos em q grupos de
n + 1 palitos mais um grupo com r − 1 palitos, restando ainda um palito. O
jogador que começa retira esses r − 1 palitos. O segundo jogador, ao retirar
de 1 a n palitos, deixará o primeiro jogador na situação confortável de retirar o
que sobra no primeiro grupo de n+1 palitos. Isto se repete para cada grupo de
n+ 1 palitos, fazendo que, no �nal, sobre 1 palito na vez do segundo jogador,
provocando a sua derrota.
Faça um experimento com N = 34 e n = 3.
Variante 2 Da mesma forma que a variante anterior, dispõe-se sobreuma
mesa um certo número N de palitos e estipula-se que cada jogador, na sua vez,
possa retirar, no mínimo, 1 palito e, no máximo, um número n pré-�xado de
palitos, com n > 1. Supõe-se, ainda, que N não seja múltiplo de n+1. Ganha
o jogador que retirar o último palito. Vamos descrever a nova estratégia para
que o primeiro jogador ganhe sempre.
Seja q o quociente e r o resto da Divisão Euclidiana de N por n + 1. Por
hipótese, tem-se que 1 6 r 6 n. Divida mentalmente os palitos em q grupos
de n + 1 palitos mais um grupo com r palitos. O jogador que começa retira
0O leitor interessado poderá ler mais sobre esse jogo na Revista do Professor de
Matemática, N0. 6.
2
Unidade 4Jogo de Nim
os r palitos. O segundo jogador, ao retirar de 1 a n palitos, deixará o primeiro
jogador na situação confortável de retirar o que sobra no primeiro grupo de
n+ 1 palitos. Isto se repete para cada grupo de n+ 1 palitos, fazendo sempre
com que, depois do segundo jogador realizar a sua jogada, sobre no grupo um
número tal de palitos que possam ser retirados de uma só vez pelo primeiro
jogador, levando-o à vitória.
A seguir, discutiremos uma variante mais complexa do jogo.
Variante 3 Dispõe-se sobre uma mesa 15 palitos separados em três grupos,
de 3, 5 e 7 palitos, respectivamente (pode-se generalizar o jogo com três grupos
com número arbitrário, porém, distinto de palitos).
| | | | | | | | | | | | | | |
Cada jogador, na sua vez, deve retirar um número qualquer de palitos de
um, e de apenas um, dos grupos. Os jogadores se alternam e quem retirar o
último palito ganha o jogo.
Vamos estabelecer uma estratégia de tal modo que, quem iniciar a partida
fazendo uma boa abertura e seguindo certas regras, sempre vencerá.
Para isto, a cada jogada, escreve-se o número de palitos de cada grupo
na base 2, colocando-os um em cada linha, de modo que os algarismos das
unidades se correspondam. Por exemplo, no início da partida tem-se
Grupo 1 11
Grupo 2 101
Grupo 3 111
Somando os três números acima como se fosse na base 10, obtemos o
número 223, que chamaremos, a cada etapa, de chave do jogo. O primeiro
jogador poderá, então, com uma jogada, tornar todos os algarismos da chave
pares. Por exemplo, poderá retirar um palito do grupo 3, obtendo
Grupo 1 11
Grupo 2 101
Grupo 3 110
222
3
Unidade 4 Jogo de Nim
Agora, qualquer jogada que o segundo jogador efetue transformará a chave
222 numa chave com, pelo menos, um algarismo ímpar, o que, mediante uma jo-
gada conveniente, poderá ser recolocado na situação de ter todos os algarismos
pares.
Uma situação em que todos os algarismos da chave são pares será chamada
de posição segura, enquanto que, quando pelo menos um dos algarismos da
chave é ímpar, será uma posição insegura.
Pode-se mostrar que, de uma posição segura, qualquer que seja a jogada,
só se pode chegar a uma posição insegura. Mostra-se também que, de uma
posição insegura, pode-se, com uma jogada conveniente, sempre retornar a uma
posição segura. Como 000 é uma posição segura, ganhará o jogo quem sempre
se mantiver em posições seguras.
4
Unidade 4Jogo de Nim
4.2 Problemas
1. Demonstre que as a�rmações feitas na variante 3 do jogo de Nim são
verdadeiras.
2. Determine, em cada caso apresentado abaixo, se a posição é segura ou
insegura.
(a) | | | |
(b) | | | | | | |
(c) | | | |
(d) | |
5
5
1
Máximo Divisor Comum
Sumário
5.1 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Unidade 5 Algoritmo de Euclides
Os conceitos e resultados contidos neste capítulo encontram-se, em sua
maioria, no Livro VII dos Elementos de Euclides. É notável a sua atualidade,
apesar dos quase dois milênios e meio que nos separam de sua criação.
5.1 Algoritmo de Euclides
Dados dois números inteiros a e b, não simultaneamente nulos, diremos que
o número inteiro d ∈ Z é um divisor comum de a e b se d|a e d|b.
Por exemplo, os números ±1, ±2, ±3 e ±6 são os divisores comuns de 12
e 18.
A de�nição a seguir é essencialmente a de�nição dada por Euclides nos
Elementos e se constitui em um dos pilares da sua aritmética.
Diremos que um número natural d é um máximo divisor comum (mdc) de
a e b, não simultaneamente nulos, se possuir as seguintes propriedades:
i) d é um divisor comum de a e de b, e
ii) d é divisível por todo divisor comum de a e b.
A condição (ii) acima pode ser reenunciada como segue:
ii′) Se c é um divisor comum de a e b, então c|d.
Portanto, se d é um mdc de a e b e c é um divisor comum desses números,
então |c| divide d e, portanto, c 6 |c| 6 d. Isto nos mostra que o máximo
divisor comum de dois números é efetivamente o maior dentre todos os divisores
comuns desses números.
Em particular, isto nos mostra que, se d e d′ são dois mdc de um mesmo
par de números, então d 6 d′ e d′ 6 d, e, consequentemente, d = d′. Ou seja,
o mdc de dois números, quando existe, é único.
O mdc de a e b, quando existe (veremos mais adiante que sempre existe o
mdc de dois números inteiros não simultaneamente nulos), será denotado por
(a, b). Como o mdc de a e b não depende da ordem em que a e b são tomados,
temos que
(a, b) = (b, a).
Em alguns casos particulares, é facil veri�car a existência do mdc. Por
exemplo, se a é um número inteiro não nulo, tem-se claramente que (0, a) = |a|,
2
Unidade 5Máximo Divisor Comum
(1, a) = 1 e que (a, a) = |a|. Mais ainda, para todo b ∈ Z, temos que
a|b⇐⇒ (a, b) = |a|. (5.1)
De fato, se a|b, temos que |a| é um divisor comum de a e b, e, se c é um
divisor comum de a e b, então c divide |a|, o que mostra que |a| = (a, b).
Reciprocamente, se (a, b) = |a|, segue-se que |a| divide b, logo a|b.
A demonstração da existência do mdc de qualquer par de números inteiros,
não ambos nulos, é bem mais sutil. Poder-se-ia, como se faz usualmente no
Ensino Fundamental, de�nir o máximo divisor comum de dois números a e b
como sendo o maior elemento do conjunto de todos os divisores comuns desses
números, o que de imediato garantiria a sua existência. De qualquer modo,
seria necessário provar a propriedade (ii) da de�nição de mdc, pois é ela que
possibilita provar os resultados subsequentes, e não o fato do mdc ser o maior
dos divisores comuns.
Observe que dados a, b ∈ Z não ambos nulos, se existir o mdc (a, b) de a e
b, então
(a, b) = (−a, b) = (a,−b) = (−a,−b).
Assim, para efeito do cálculo do mdc de dois números, podemos supô-los não
negativos.
Para provar a existência do máximo divisor comum de dois inteiros não
negativos, Euclides utiliza, essencialmente, o resultado abaixo, que chamaremos
de Lema de Euclides.
Lema 1
Lema de Euclides
Sejam a, b, n ∈ Z. Se existe (a, b− na), então (a, b) existe e
(a, b) = (a, b− na).
DemonstraçãoSeja d = (a, b − na). Como d|a e d|(b − na), segue que d divide b =
b − na + na. Logo, d é um divisor comum de a e b. Suponha agora que c
seja um divisor comum de a e b. Logo, c é um divisor comum de a e b− na e,
portanto, c|d. Isso prova que d = (a, b).
3
Unidade 5 Algoritmo de Euclides
O Lema de Euclides é efetivo para calcular mdc, conforme veremos nos
exemplos a seguir, e será fundamental para estabelecermos o algoritmo de Eu-
clides, que permitirá, com muita e�ciência, calcular o mdc de dois números
naturais quaisquer.
Exemplo 1 Dados a,m ∈ N com a > 1, temos que(
am − 1
a− 1
, a− 1
)
= (a− 1,m).
A igualdade acima é trivialmente veri�cada se m = 1. Suponhamos que
m > 2. Chamando de d o primeiro membro da igualdade, temos, do Problema
8 da Unidade 1, que
d = (am−1 + am−2 + · · ·+ a+ 1, a− 1) =(
(am−1 − 1) + (am−2 − 1) + · · ·+ (a− 1) +m, a− 1
)
.
Como, pela Proposição 6 da Unidade 1, temos que
a− 1|(am−1 − 1) + (am−2 − 1) + · · ·+ (a− 1),
segue-se que (am−1 − 1) + (am−2 − 1) + · · ·+ (a− 1) = n(a− 1) para algum
n ∈ N, e, portanto, pelo Lema 1, tem-se que
d = (n(a− 1) +m, a− 1) = (a− 1, n(a− 1) +m) = (a− 1,m).
Exemplo 2 Vamos, neste exemplo, determinar os valores de a não negativos e n ∈ N
para os quais a+ 1 dividea2n + 1.
Note inicialmente que
a+ 1|a2n + 1⇐⇒ (a+ 1, a2n + 1) = a+ 1.
Como a2n+1 = (a2n−1)+2, e a+1|a2n−1 (veja Proposição 8 da Unidade
1), segue-se, pelo Lema 1, que para todo n,
(a+ 1, a2n + 1) = (a+ 1, (a2n − 1) + 2) = (a+ 1, 2).
Portanto, a + 1|a2n + 1, para algum n ∈ N, se, e somente se, a + 1 =
(a+ 1, 2), o que ocorre se, e somente se, a = 0 ou a = 1 e n qualquer.
4
Unidade 5Máximo Divisor Comum
Exemplo 3Vamos, neste exemplo, determinar os valores de a não negativos e n ∈ N
para os quais a+ 1 divide a2n+1 − 1.
Note que
(a+ 1, a2n+1 − 1) = (a+ 1, a(a2n − 1) + a− 1) = (a+ 1, a− 1).
Portanto, a+ 1|a2n+1 − 1, para algum n ∈ N, se, e somente se,
a+ 1 = (a+ 1, a2n+1 − 1) = (a+ 1, a− 1),
o que ocorre se, e somente se, a = 0 ou a = 1.
Algoritmo de Euclides
A seguir, apresentaremos a prova construtiva da existência do mdc dada
por Euclides (Os Elementos, Livro VII, Proposição 2). O método, chamado de
Algoritmo de Euclides, é um primor do ponto de vista computacional e pouco
conseguiu-se aperfeiçoá-lo em mais de dois milênios.
Dados a, b ∈ N, podemos supor a 6 b. Se a = 1 ou a = b, ou ainda a|b, já
vimos que (a, b) = a. Suponhamos, então, que 1 < a < b e que a 6 | b. Logo,
pela divisão euclidiana, podemos escrever
b = aq1 + r1, com 0 < r1 < a.
Temos duas possibilidades:
a) r1|a, e, em tal caso, por (5.1) e pelo Lema 1,
r1 = (a, r1) = (a, b− q1a) = (a, b),
e termina o algoritmo, ou
b) r1 6 | a, e, em tal caso, podemos efetuar a divisão de a por r1, obtendo
a = r1q2 + r2, com 0 < r2 < r1.
Novamente, temos duas possibilidades:
a′) r2|r1, e, em tal caso, novamente, por (5.1) e pelo Lema 1,
r2 = (r1, r2) = (r1, a− q2r1) = (r1, a) = (b− q1a, a) = (b, a) = (a, b),
5
Unidade 5 Algoritmo de Euclides
e paramos, pois termina o algoritmo, ou
b′) r2 6 | r1, e, em tal caso, podemos efetuar a divisão de r1 por r2, obtendo
r1 = r2q3 + r3, com 0 < r3 < r2.
Este procedimento não pode continuar inde�nidamente, pois teríamos uma
sequência de números naturais a > r1 > r2 > · · · que não possui menor
elemento, o que não é possível pela Propriedade da Boa Ordenação. Logo, para
algum n, temos que rn|rn−1, o que implica que (a, b) = rn.
O algoritmo acima pode ser sintetizado e realizado na prática, como mostramos
a seguir.
Inicialmente, efetuamos a divisão b = aq1 + r1 e colocamos os números
envolvidos no seguinte diagrama:
q1
b a
r1
A seguir, continuamos efetuando a divisão a = r1q2 + r2 e colocamos os
números envolvidos no diagrama
q1 q2
b a r1
r1 r2
Prosseguindo, enquanto for possível, teremos
q1 q2 q3 · · · qn−1 qn qn+1
b a r1 r2 · · · rn−2 rn−1 rn = (a, b)
r1 r2 r3 r4 · · · rn
Exemplo 5.1.4. Calculemos o mdc de 372 e 162:
2 3 2 1 2
372 162 48 18 12 6
48 18 12 6
Observe que, no exemplo acima, o Algoritmo de Euclides nos fornece:
6 = 18− 1 · 12
6
Unidade 5Máximo Divisor Comum
12 = 48− 2 · 18
18 = 162− 3 · 48
48 = 372− 2 · 162
Donde se segue que
6 = 18− 1 · 12 = 18− 1 · (48− 2 · 18) = 3 · 18− 48 =
3 · (162− 3 · 48)− 48 = 3 · 162− 10 · 48 =
3 · 162− 10 · (372− 2 · 162) = 23 · 162− 10 · 372.
Temos, então, que
(372, 162) = 6 = 23 · 162 + (−10) · 372.
Note que conseguimos, através do uso do Algoritmo de Euclides de trás para
frente, escrever 6 = (372, 162) como múltiplo de 162 mais um múltiplo de 372.
O Algoritmo de Euclides nos fornece, portanto, um meio prático de escrever
o mdc de dois números como soma de dois múltiplos dos números em questão.
Esta é uma propriedade geral do mdc que redemonstraremos com todo rigor
na próxima seção. Quando utilizarmos o Algoritmo de Euclides para expressar
(a, b) na forma ma+ nb, com m,n ∈ Z, nos referiremos a ele como Algoritmo
de Euclides Estendido.
7
Unidade 5 Problemas
5.2 Problemas
1. Para cada par de números naturais a e b dados abaixo, ache (a, b) e
determine números inteiros m e n tais que (a, b) = na+mb.
(a) 637 e 3887
(b) 648 e 1218
(c) 551 e 874
(d) 7325 e 8485
(e) 987654321 e 123456789
2. Seja n ∈ N. Mostre que
(a) (n, 2n+ 1) = 1
(b) (n+ 1, n2 + n+ 1) = 1
(c) (2n+ 1, 9n+ 4) = 1
(d) (n! + 1, (n+ 1)! + 1) = 1
3. Mostre que (a, a2 + na+ b)|b, quaisquer que sejam a, b, n ∈ N.
4. Dados a,m ∈ N, mostre que
(a)
(
a2m − 1
a+ 1
, a+ 1
)
= (a+ 1, 2m)
(b)
(
a2m+1 + 1
a+ 1
, a+ 1
)
= (a+ 1, 2m+ 1)
5. Calcule
(a)
(
240 + 1
28 + 1
, 28 + 1
)
(b)
(
250 + 1
210 + 1
, 210 + 1
)
6. Um prédio possui duas escadarias, uma delas com 780 degraus e a outra
com 700 degraus. Sabendo que os degraus das duas escadas só estão no
mesmo nível quando conduzem a um andar, descubra quantos andares
tem o prédio.
8
6
1
Propriedades do mdc
Sumário
6.1 Propriedades do Máximo Divisor Comum . . . . . . 2
6.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Unidade 6 Propriedades do Máximo Divisor Comum
Estudaremos nesta unidade as propriedades básicas do Máximo Divisor Co-
mum.
6.1 Propriedades do Máximo Divisor Comum
Sejam a, b ∈ Z. De�nimos o conjunto
I(a, b) = {xa+ yb; x, y ∈ Z}.
Note que se a e b não são simultaneamente nulos, então I(a, b) ∩ N 6= ∅.
De fato, temos que a2 + b2 = a · a+ b · b ∈ I(a, b) ∩ N.
Teorema 1 Sejam a, b ∈ Z não ambos nulos. Se d = min I(a, b) ∩ N, então
i) d é o mdc de a e b; e
ii) I(a, b) = dZ (= {ld; l ∈ Z}).
Demonstração (i) Suponha que c divida a e b, logo c divide todos os números naturais
da forma xa + yb. Portanto, c divide todos os elementos de I(a, b), e, conse-
quentemente, c|d.
Vamos agora mostrar que d divide todos os elementos de I(a, b). Seja
z ∈ I(a, b) e suponha, por absurdo, que d 6 |z. Logo, pela Divisão Euclidiana,
z = dq + r, com 0 < r < d. (6.1)
Como z = xa+ vb e d = na+mb, para alguns x, y, n,m ∈ Z, segue-se de
(6.1) que
r = (x− qn)a+ (y − qm)b ∈ I(a, b) ∩ N,
o que é um absurdo, pois d = min I(a, b) ∩ N e r < d. Em particular, d|a e
d|b.
Assim, provamos que d é o mdc de a e b.
(ii) Dado que todo elemento de I(a, b) é divisível por d, temos que I(a, b) ⊂
dZ. Por outro lado, para todo ld ∈ dZ, temos que ld = l(na + mb) =
2
Unidade 6Propriedades do mdc
(ln)a + (lm)b ∈ I(a, b) e, portanto, dZ ⊂ I(a, b). Em conclusão, temos que
I(a, b) = dZ.
O Teorema acima nos dá uma outra demonstração da existência do mdc de
dois números. Note que essa demonstração, ao contrário da prova de Euclides,
não é construtiva, no sentido de que não nos fornece um meio prático para
achar o mdc dos dois números.
Corolário 2Quaisquer que sejam a, b ∈ Z, não ambos nulos e n ∈ N, (na, nb) =
n(a, b).
DemonstraçãoNote inicialmente que
I(na, nb) = nI(a, b) (= {nz; z ∈ I(a, b)}).
Agora, o resultado segue do teorema e do fato que
minnI(a, b) = nmin I(a, b).
Corolário 3Dados a, b ∈ Z, não ambos nulos, tem-se que(
a
(a, b)
,
b
(a, b)
)
= 1.
DemonstraçãoPelo Corolário 1, temos que
(a, b)
(
a
(a, b)
,
b
(a, b)
)
=
(
(a, b)
a
(a, b)
, (a, b)
b
(a, b)
)
= (a, b),
o que prova o resultado.
Dois números inteiros a e b serão ditos primos entre si, ou coprimos, se
(a, b) = 1; ou seja, se o único divisor comum positivo de ambos é 1.
3
Unidade 6 Propriedades do Máximo Divisor Comum
Proposição 4 Dois números inteiros a e b são primos entre si se, e somente se, existem
números inteiros n e m tais que na+mb = 1.
Demonstração Suponha que a e b são primos entre si. Logo, (a, b) = 1. Como, pelo
Teorema 1, temos que existem números inteiros n e m tais que na + mb =
(a, b) (= 1), segue a primeira parte da proposição.
Reciprocamente, suponha que existam números inteiros n e m tais que
na+mb = 1. Se d = (a, b), temos que d|(na+mb), o que mostra que d|1, e,
portanto, d = 1.
A Proposição 4 estabelece uma relação crucial entre as estruturas aditiva e
multiplicativa dos números naturais, o que permitirá provar, entre vários outros
resultados, o importante teorema a seguir.
Teorema 5 Sejam a, b e c números inteiros. Se a|b · c e (a, b) = 1, então a|c.
Demonstração Se a|b · c, então existe e ∈ Z tal que bc = ae.
Se (a, b) = 1, então, pela Proposição 4, temos que existem m,n ∈ Z tais
que
na+mb = 1.
Multiplicando por c ambos os ladosda igualdade acima, temos que
c = nac+mbc.
Substituindo bc por ae nesta última igualdade, temos que
c = nac+mae = a(nc+me)
e, portanto, a|c.
Corolário 6 Dados a, b, c ∈ Z, com b e c não ambos nulos, temos que
b|a e c|a ⇐⇒ bc
(b, c)
|a.
4
Unidade 6Propriedades do mdc
DemonstraçãoDe fato, temos que a = nb = mc para alguns n,m ∈ Z. Logo,
n
b
(b, c)
= m
c
(b, c)
.
Como
(
b
(b, c)
,
c
(b, c)
)
= 1, segue-se que
b
(b, c)
|m, o que implica que
c
b
(b, c)
|cm. Como cm = a, o resultado segue.
A noção de mdc pode ser generalizada como a seguir.
Um número natural d será dito mdc de dados números inteiros a1, . . . , an,
não todos nulos, se possuir as seguintes propriedades:
i) d é um divisor comum de a1, . . . , an.
ii) Se c é um divisor comum de a1, . . . , an, então c|d.
O mdc, quando existe, é certamente único e será representado por
(a1, . . . , an).
Proposição 7Dados números inteiros a1, . . . , an, não todos nulos, existe o seu mdc e
(a1, . . . , an) = (a1, . . . , (an−1, an)).
DemonstraçãoVamos provar a proposição por indução sobre n (> 2). Para n = 2,
sabemos que o resultado é válido. Suponha que o resultado vale para n. Para
provar que o resultado é válido para n+ 1, basta mostrar que
(a1, . . . , an, an+1) = (a1, . . . , (an, an+1)),
pois isso provará também a existência.
Seja d = (a1, . . . , (an, an+1)). Logo, d|a1, . . . , d|an−1 e d|(an, an+1)). Por-
tanto, d|a1, . . . , d|an−1, d|an e d|an+1.
Por outro lado, seja c um divisor comum de a1, . . . , an, an+1; logo, c é um
divisor comum de a1, . . . , an−1 e (an, an+1); e, portanto, c|d.
Para calcular o número (a1, . . . , an), pode-se usar recursivamente o Algo-
ritmo de Euclides.
5
Unidade 6 Problemas
6.2 Problemas
1. Mostre que, se (a, b) = 1, a|c e b|c, então a · b|c.
2. (a) Mostre que, se (a, b) = 1, então (a · c, b) = (c, b).
(b) Mostre que (a · c, b) = 1 se, e somente se, (a, b) = (c, b) = 1.
3. Suponha que (a, b) = (a, d) = (c, b) = (c, d) = 1.
(a) Mostre que (a · c, b · d) = 1.
(b) Mostre que (an, bm) = 1, ∀n,m ∈ N.
(c) Mostre que, se n ∈ N, então (a+ b, bn) = (a− b, bn) = 1.
4. (a) Mostre que, se n é ímpar, então n(n2 − 1) é divisível por 24.
(b) Mostre que 24 divide n(n2 − 1)(3n+ 2) para todo n ∈ N.
5. (a) Mostre que n5 − n é divisível por 30.
(b) Mostre que n5 e n possuem o mesmo algarismo das unidades.
6. Mostre que a|bc se, e somente se, a
(a, b)
|c.
7. Sejam a e b dois números inteiros com (a, b) = 1.
(a) Mostre que (b+ a, b− a) é 1 ou 2.
(b) Mostre que (a+ b, a2 + b2) é 1 ou 2.
8. Sejam a, b ∈ Z com (a, b) = 1 e m ∈ N.
(a) Se a 6= b, mostre que
(
a− b, a
m − bm
a− b
)
= (a− b,m).
(b) Se a+b 6= 0 e m é ímpar, mostre que
(
a+ b,
am + bm
a+ b
)
= (a+b,m).
9. Mostre que, se a, b, x, y ∈ Z, com ax+ by = (a, b), então (x, y) = 1.
10. Calcule (1116, 984, 852).
6
Unidade 6Propriedades do mdc
11. Três números inteiros são ditos primos entre si se (a, b, c) = 1. Mostre
que três números inteiros, dois a dois primos entre si, são primos entre
si. Mostre que não vale a recíproca; isto é, ache três números inteiros
primos entre si e que não dois a dois primos entre si.
12. Mostre que, para todo n ∈ N, tem-se que n+ 1 divide
(
2n
n
)
.
7
7
1
Mínimo Múltiplo Comum
Sumário
7.1 Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . 2
7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Unidade 7 Mínimo Múltiplo Comum
7.1 Mínimo Múltiplo Comum
Diremos que um número inteiro é um múltiplo comum de dois números
naturais dados se ele é simultaneamente múltiplo de ambos os números.
Em qualquer caso, os números ab e 0 são sempre múltiplos comuns de a e
b.
Diremos que um número naturalm é ummínimo múltiplo comum (mmc) dos
números inteiros a e b, ambos não nulos, se possuir as seguintes propriedades:
(i) m é um múltiplo comum de a e b, e
(ii) se c é um múltiplo comum de a e b, então m|c.
Por exemplo, 12 é um múltiplo comum de 2 e 3, mas não é um mmc destes
números. O número 6 é um mmc de 2 e 3.
Se m e m′ são dois mínimos múltiplos comuns de a e b, então, do item
(ii) da de�nição acima, temos que m|m′ e m′|m. Como m e m′ são números
naturais, temos que m = m′, o que mostra que o mínimo múltiplo comum, se
existe, é único. Por outro lado, se m é o mmc de a e b e c é um múltiplo comum
de a e b, então m|c. Portanto, se c é positivo, temos que m 6 c, mostrando
que m é o menor dos múltiplos comuns positivos de a e b.
O mínimo múltiplo comum de a e b, se existe, é denotado por [a, b].
Caso exista [a, b] é fácil mostrar que
[−a, b] = [a,−b] = [−a,−b] = [a, b].
Proposição 1 Dados dois números inteiros a e b, ambos não nulos, temos que [a, b]
existe e
[a, b](a, b) = |ab|.
Demonstração
Podemos, sem perda de generalidade, supor a, b ∈ N. Ponhamos m =
ab
(a, b)
. Como
m = a
b
(a, b)
= b
a
(a, b)
,
2
Unidade 7Mínimo Múltiplo Comum
temos que a|m e b|m.
Seja c um múltiplo comum de a e b; logo, c = na = n′b. Segue daí que
n
a
(a, b)
= n′
b
(a, b)
.
Como, pelo Corolário 2 do Teorema 6.1.1,
a
(a, b)
e
b
(a, b)
são primos entre
si, segue-se, do Teorema 6.1.2, que
a
(a, b)
divide n′, e, portanto, m =
a
(a, b)
b
divide n′b que é igual a c.
Em virtude da proposição acima, o mínimo múltiplo comum de dois inteiros
pode ser encontrado por meio do Algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc,
pois basta dividir o módulo do produto dos dois números pelo seu mdc.
Corolário 2Se a e b são números inteiros primos entre si, então [a, b] = |ab|.
Exemplo 1Sejam b e m dois números naturais. Vamos mostrar que, na sequência de
números
b, 2b, 3b, . . . , mb,
existem exatamente (b,m) números divisíveis por m. De fato, os números da
sequência divisíveis por m são múltiplos de b e m; logo, múltiplos de [b,m].
Esses são:
[b,m], 2[b,m], 3[b,m], . . . , (b,m)[b,m] (= mb)
Portanto, tem-se (b,m) números divisíveis por m na sequência.
Podemos estender a noção de mmc para vários números, como faremos a
seguir.
Diremos que um número natural m é um mmc dos inteiros não nulos
a1, . . . , an, se m é um múltiplo comum de a1, . . . , an, e, se para todo múltiplo
comum m′ desses números, tem-se que m|m′. É facil ver que o mmc, se existe,
é único, sendo denotado por [a1, . . . , an].
3
Unidade 7 Mínimo Múltiplo Comum
Proposição 3 Sejam a1, . . . , an números inteiros não nulos. Então existe o número
[a1, . . . , an] e
[a1, . . . , an−1, an] = [a1, . . . , [an−1, an]] .
Demonstração Basta provar que, se existe [a1, . . . , [an−1, an]], vale a igualdade acima. A
existência do mdc segue facilmente disso, por indução.
Seja m = [a1, . . . , [an−1, an]]. Logo, a1, . . . an−2 e [an−1, an] dividem m.
Como an−1|[an−1, an] e an|[an−1, an], segue que m é um múltiplo comum de
a1, . . . , an.
Por outro lado, suponha que m′ seja um múltiplo comum de a1, . . . , an.
Logo, a1|m′, . . . , an−2|m′ e [an−1, an]|m′; daí segue que m′ é múltiplo de
m = [a1, . . . , [an−1, an]].
Exemplo 2 Temos que
[−56, 16, 24] = [56, [16, 24]] = [56, 48] = 336.
4
Unidade 7Mínimo Múltiplo Comum
7.2 Problemas
1. Calcule o mmc dos pares de números do Problema 3.1.1.
2. (a) Se m é um múltiplo comum não nulo de a e b, mostre que
m = [a, b] ⇐⇒
(m
a
,
m
b
)
= 1.
(b) Se r e s não são nulos e ra = sb > 0, mostre que
ra
(r, s)
=
sb
(r, s)
= [a, b].
3. Sejam a, b, c três números naturais não nulos. Mostre que
abc = [a, b, c](ab, ac, bc).
4. Sejam a, b ∈ Z não nulos e seja n ∈ N; mostre que
[na, nb] = n[a, b].
5. Seja n ∈ N; calcule [n2 + 1, n+ 1].
6. Sejam a, b ∈ N. Mostre que (a, b) = [a, b] ⇐⇒ a = b.
7. Sejam a, b ∈ Z ambos não nulos. Considere o conjunto
M(a, b) = aZ ∩ bZ = {x ∈ Z; ∃n,m ∈ Z tais que x = na e x = mb}.
(a) Mostre que [a, b] = min (M(a, b) ∩ N).
(b) Mostre que M(a, b) = [a, b]Z.
8. Sejam d,m ∈ N. Mostre que uma condição necessária e su�ciente para
que existam a, b ∈ Z tais que (a, b) = d e [a, b] = m é que d|m.
9. Sejam a1, . . . , an ∈ Z. Mostre que
(ai, aj) = 1, i 6= j ⇐⇒ [a1, . . . , an] = |a1 · · · an|.
10. Sejam a, b, c ∈ Z não nulos.Mostre que
(a) (a, [b, c]) = [(a, b), (a, c)];
(b) [a, (b, c)] = ([a, b], [a, c]).
5
8
1
Equações Diofantinas
Lineares
Sumário
8.1 Equações Diofantinas Lineares . . . . . . . . . . . . 2
8.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Unidade 8 Equações Diofantinas Lineares
8.1 Equações Diofantinas Lineares
A resolução de vários problemas de aritmética recai na resolução, em números
inteiros, de equações do tipo
aX + bY = c,
com a, b, c ∈ Z.
Tais equações são chamadas equações diofantinas lineares em homenagem
a Diofanto de Alexandria (aprox. 300 DC).
Nem sempre estas equações possuem solução. Por exemplo, a equação
4X + 6Y = 3
não possui nenhuma solução x0, y0 em números inteiros pois, caso contrário,
teríamos 4x0 + 6y0 par e, portanto, nunca igual a 3.
É, então, natural perguntar-se em que condições tal equação possui soluções
e, caso as tenha, como determiná-las?
As respostas para estas perguntas são relativamente fáceis e serão dadas
nas duas proposições a seguir.
Proposição 1 Sejam a, b ∈ Z \ {0} e c ∈ Z. A equação aX + bY = c admite solução em
números inteiros se, e somente se, (a, b)|c.
Demonstração Pelo Teorema 1 da Unidade 6, temos que
I(a, b) = {na+mb; n,m ∈ Z} = (a, b)Z.
É claro que a equação aX + bY = c possui solução se, e somente se,
c ∈ I(a, b), o que é equivalente a c ∈ (a, b)Z, que, por sua vez, é equivalente
a (a, b)|c.
É imediato veri�car que a equação aX + bY = c é equivalente à equação
a1X + b1Y = c1,
onde
a1 =
a
(a, b)
, b1 =
b
(a, b)
e c1 =
c
(a, b)
.
2
Unidade 8Equações Diofantinas Lineares
Note que (a1, b1) = 1 e, portanto, podemos nos retringir às equações do
tipo
aX + bY = c, com (a, b) = 1,
que sempre têm soluções.
Mostraremos a seguir como as soluções de uma equação diofantina como
acima podem ser determinadas a partir da uma solução particular qualquer
x0, y0.
Proposição 2Seja x0, y0 uma solução da equação aX + bY = c, onde (a, b) = 1. Então,
as soluções x, y em Z da equação são
x = x0 + tb, y = y0 − ta; t ∈ Z.
DemonstraçãoSeja x, y uma solução de aX + bY = c, logo,
ax0 + by0 = ax+ by = c.
Consequentemente,
a(x− x0) = b(y0 − y). (8.1)
Como (a, b) = 1, segue-se que b|(x− x0). Logo,
x− x0 = tb, t ∈ Z.
Substituindo a expressão de x− x0 acima em (8.1), segue-se que
y0 − y = ta,
o que prova que as soluções são do tipo exibido.
Por outro lado, x, y, como no enunciado, é solução, pois
ax+ by = a(x0 + tb) + b(y0 − ta) = ax0 + by0 = c.
Segue-se da proposição acima que a equação diofantina aX + bY = c, com
(a, b) = 1, admite in�nitas soluções em Z.
3
Unidade 8 Equações Diofantinas Lineares
A seguir, descreveremos um método para encontrar uma solução particular
de uma equação do tipo aX + bY = c, quando (a, b) = 1.
Se |a|, |b| e |c| são números pequenos, uma solução pode ser encontrada por
inspeção. Mais geralmente, o método descrito abaixo sempre permitirá achar
uma solução particular da equação.
Usando o algoritmo euclidiano estendido, é possível determinar n,m ∈ Z
tais que
na+mb = (a, b) = 1.
Multiplicando ambos os membros da igualdade acima por c, obtemos
c = cna+ cmb.
Logo, x0 = cn e y0 = cm é uma solução particular da equação.
Exemplo 1 Resolvamos a equação 24X + 14Y = 18.
A equação tem solução, pois (24, 14)|18. Dividindo ambos os membros da
equação por 2 = (24, 14), obtemos a equação equivalente 12X + 7Y = 9.
Vamos, em seguida, achar uma solução particular x0, y0 desta última equação.
Pelo algoritmo euclidiano, temos
12 = 7 · 1 + 5
7 = 5 · 1 + 2
5 = 2 · 2 + 1
Substituindo as equações acima umas nas outras, obtemos
1 = 12 · 3− 7 · 5,
portanto,
9 = 12 · 27 + 7 · (−45).
Logo, x0 = 27 e y0 = −45 é solução particular da equação e, consequente-
mente, as soluções são
x = 27 + t7, y = −45− t12; t ∈ Z.
4
Unidade 8Equações Diofantinas Lineares
Algumas vezes é necessário resolver em N ∪ {0} equações diofantinas da
forma aX + bY = c, onde a, b, c ∈ N. Para responder às mesmas perguntas
formuladas acima para essas equações, vamos precisar do resultado a seguir.
Proposição 3Sejam a, b ∈ N, com (a, b) = 1. Todo número natural c pode ser escrito
de modo único da seguinte forma:
c = na+mb, com 0 6 n < b e m ∈ Z.
DemonstraçãoExistência: Sabemos que existem u, v ∈ Z tais que ua+vb = (a, b) = 1.
Multiplicando ambos os lados desta última igualdade por c, temos que
auc+ bvc = c.
Pela divisão euclidiana, temos que existem q, n ∈ Z com 0 6 n < b tais
que uc = qb+ n. Substituindo esse valor de uc na igualdade acima, obtemos
c = na+mb, com 0 6 n < b e m = qa+ vc ∈ Z.
Unicidade: Suponhamos que
na+mb = n′a+m′b, com 0 6 n, n′ < b.
Podemos supor sem perda de generalidade que n > n′. Logo,
na+mb = n′a+m′b⇒ (n− n′)a = (m′ −m)b.
Portanto, b|(n − n′) já que (a, b) = 1. Mas, sendo 0 6 n − n′ < b, isto só é
possível se n = n′, daí decorrendo que m = m′.
Sejam a, b ∈ N. De�nimos o conjunto
S(a, b) = {xa+ yb; x, y ∈ N ∪ {0}}.
É claro que aX + bY = c, com (a, b) = 1, tem solução em N ∪ {0} se, e
somente se, c ∈ S(a, b). Portanto, é de fundamental importância caracterizar
os elementos do conjunto S(a, b).
5
Unidade 8 Equações Diofantinas Lineares
Proposição 4 c ∈ S(a, b) se, e somente se, existem n,m ∈ N ∪ {0}, com n < b
(univocamente determinados) tais que c = na+mb
Demonstração É claro que se c = na+mb, com n,m ∈ N∪{0} e n < b, então c ∈ S(a, b).
Por outro lado, se c ∈ S(a, b), então c = xa + yb com x, y ∈ N ∪ {0}. Pela
divisão euclidiana, x = bq+n, com n < b; logo, substituindo o valor de x desta
última igualdade na igualdade acima, obtemos que c = na +mb, onde n < b,
e m = aq + y.
De�namos o conjunto de lacunas de S(a, b) como sendo o conjunto
L(a, b) = N \ S(a, b).
Corolário 5 Temos que
L(a, b) = {na−mb ∈ N; n,m ∈ N, n < b}.
Demonstração Isto decorre imediatamente das Proposições 8.1.3 e 8.1.4.
Teorema 6 A equação aX+bY = c, onde (a, b) = 1, tem solução em números naturais
se, e somente se,
c 6∈ L(a, b) = {na−mb ∈ N; n,m ∈ N, n < b}.
Demonstração Como a equação aX + bY = c tem solução se, e somente se, c ∈ S(a, b),
o resultado segue do Corolário.
Note que o conjunto L(a, b) é �nito e o seu maior elemento é
maxL(a, b) = (b− 1)a− b.
Portanto, se
c > (b− 1)a− b+ 1 = (b− 1)(a− 1),
6
Unidade 8Equações Diofantinas Lineares
a equação aX+bY = c admite solução nos naturais. Se c = (b−1)(a−1)−1,
ela não admite solução.
Na prática, não é difícil decidir se a equação aX + bY = c admite solução.
Se (a, b) 6 |c, a equação não tem soluções inteiras, logo não tem soluções
naturais. Se (a, b)|c, a equação é equivalente a uma outra com (a, b) = 1. Com
o algoritmo euclidiano estendido, escreva
1 = (a, b) = n′a−m′b.
Logo,
c = cn′a− cm′b.
Agora, com a divisão euclidiana, escreva cn′ = qb+ n com n < b, logo,
c =
{
na+ (qa− cm′)b ∈ S(a, b), se qa > cm′
na− (cm′ − qa)b ∈ L(a, b), se cm′ > qa
A equação tem solução no primeiro caso, mas, não no segundo.
A solução n,m da equação aX + bY = c, com n < b, é uma solução
minimal, no sentido de que se x, y é uma solução, então x > n.
Com isto, podemos enunciar o resultado a seguir.
Proposição 7Suponha que a equação aX + bY = c, com (a, b) = 1, tenha solução e
seja x0 = n, y0 = m a solução minimal. As soluções x, y da equação são dadas
pelas fórmulas
x = n+ tb, e y = m− ta, t ∈ N ∪ {0}, m− ta > 0.
Note que este tipo de equação tem, no máximo, um número �nito de
soluções, correspondentes aos seguintes valores de t:
0, 1, . . . ,
[m
a
]
,
onde
[m
a
]
representa o quociente da divisão euclidiana de m por a.
7
Unidade 8 Equações Diofantinas Lineares
Exemplo 2 Vamos determinar para quais valores de c ∈ N a equação 11X + 7Y = c
tem soluções em N ∪ {0}.
O conjunto de lacunas de S(11, 7) é o conjunto
L(11, 7) = {n11−m7 ∈ N, n,m ∈ N, n < 7}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 23, 24, 26, 27, 30,
31, 34, 37, 38, 41, 45, 48, 52, 59}.
Portanto, a equação 11X+7Y = c admite solução em N∪{0} se, e somente
se, c 6∈ L(11, 7).
Exemplo 3 Resolvamos a equação 11X + 7Y = 58.
Como, de acordo com o Exemplo8.1.2, 58 6∈ L(11, 7), a equação possui
soluções. Para determiná-las, considere o algoritmo euclidiano,
11 = 7 · 1 + 4
7 = 4 · 1 + 3
4 = 3 · 1 + 1
Logo,
1 = 4− 3 = 4− (7− 4) = 2 · 4− 7 = 2(11− 7)− 7 = 2 · 11− 3 · 7.
Portanto,
58 = (58 · 2)11− (58 · 3)7 = (4 + 16 · 4)11− 174 · 7 = 4 · 11 + 2 · 7.
Segue daí que x0 = 4 e y0 = 2 é a solução minimal da equação. Logo, as
soluções são
x = 4 + t7, y = 2− t11,
que só têm sentido para t = 0, e, portanto, a equação só possui a solução
x0 = 4, y0 = 2.
Para resolver equações como as acima, não é necessário usar toda a técnica
que desenvolvemos, pois os números envolvidos são su�cientemente pequenos
para que seja viável achar as soluções por inspeção.
No exemplo acima, basta testar os valores x = 1, 2, 3, 4 e 5 para veri�car
que apenas x = 4 é possível.
8
Unidade 8Equações Diofantinas Lineares
8.2 Problemas
1. Resolva em Z as equações:
(a) 90X + 28Y = 22
(b) 50X + 56Y = 74
(c) 40X + 65Y = 135
(d) 8X + 13Y = 23
2. Para quais valores de c em N a equação 90X + 28Y = c não possui
soluções em N ∪ {0}?
3. Resolva em Z as equações:
(a) 16X + 7Y = 601
(b) 30X + 17Y = 201
(c) 47X + 29Y = 1288
(d) 8X + 13Y = 23
4. Dispondo de 100 reais, quais são as quantias que se podem gastar com-
prando selos de 5 reais e de 7 reais?
5. Determine todos os múltiplos de 11 e de 9 cuja soma é igual a
(a) 79
(b) 80
(c) 270
6. Determine o menor inteiro positivo que tem restos 11 e 35 quando divi-
dido, respectivamente, por 37 e 48.
7. Numa criação de coelhos e galinhas, contaram-se 400 pés. Quantas são
as galinhas e quantos são os coelhos, sabendo que a diferença entre esses
dois números é a menor possível?
9
Unidade 8 Problemas
8. Subindo uma escada de dois em dois degraus, sobra um degrau. Subindo
a mesma escada de três em três degraus, sobram dois degraus. Determine
quantos degraus possui a escada, sabendo que o seu número é múltiplo
de 7 e está compreendido entre 40 e 100.
9. (ENC 2002) Em certo país, as cédulas são de $4 e $7. Com elas, é
possível pagar, sem troco, qualquer quantia inteira
(a) a partir de $11, inclusive.
(b) a partir de $18, inclusive.
(c) ímpar, a partir de $7, inclusive.
(d) que seja $1 maior do que um múltiplo de $3.
(e) que seja $1 menor do que um múltiplo de $5.
10. De quantas maneiras pode-se comprar selos de 3 reais e de 5 reais de
modo que se gaste 50 reais?
10
9
1
Atividade Especial
Revisão
Unidade 9
Esta unidade será dedicada à resolução de uma lista de problemas sobre a
matéria até agora desenvolvida.
1. (a) Quantos múltiplos de 5 existem no intervalo [1, 120]? e no intervalo
[1, 174]?
(b) Quantos múltiplos de 7 existem em cada um dos intervalos [70, 342]
e [72, 342]?
2. Dados 0 < a ≤ n < m, mostre que no intervalo [1, n] existem q múltiplos
de a, onde q é o quociente da divisão de n por q. Quantos são os múltiplos
de a no intervalo [n,m]? (Na última situação, divida a análise em dois
casos: n múltiplo de a e o contrário.)
3. Mostre que dados m inteiros consecutivos um, e apenas um, deles é
múltiplo de m.
4. Mostre que o produto de quatro números inteiros consecutivos, quaisquer,
é sempre múltiplo de 24.
5. (a) Ache o menor inteiro positivo n tal que o número 4n2 + 1 seja
divisível por 65.
(b) Mostre que existem in�nitos múltiplos de 65 da forma 4n2 + 1.
(c) Mostre que se um dado número divide um número da forma 4n2+1,
ele dividirá uma in�nidade desses números.
(d) Para este último resultado, existe algo de especial nos números da
forma 4n2+1? Teste o seu resultado para números da forma an2+
bn+ c, onde a, b, c ∈ Z, com a e b não simultaneamente nulos.
(e) Mostre que existem in�nitos múltiplos de 7 da forma 8n2 + 3n+ 4.
6. (a) Sejam dados os dois números a = 10c+r e b = c−2r, com c, r ∈ Z.
Mostre que a é divisível por 7 se, e somente se b é divisível por 7.
(b) Deduza o seguinte critério de divisibilidade por 7:
O número n = ar · · · a1a0 é divisível por 7 se, e somente se, o
número ar · · · a1 − 2a0 é divisível por 7.
2
Unidade 9Atividade EspecialRevisão
(c) Utilize repetidas vezes o critério acima para veri�car se 2.368 é ou
não divisível por 7.
Um número inteiro n é dito um quadrado se existe a ∈ Z tal que n = a2.
Dizemos que n é uma potência m-ésima quando n = am.
7. (a) Mostre que o algarismo das unidades de um quadrado só pode ser
um dos seguintes: 0, 1, 4, 5, 6 e 9.
(b) Mostre que nenhum dos números 22, 222, 2222, . . ., ou 33, 333, 3333, . . .,
ou 77, 777, 7777, . . ., ou ainda 88, 888, 8888, . . . pode ser um qua-
drado.
8. (a) Mostre que todo quadrado ímpar é da forma 4n+ 1.
(b) Mostre que nenhum número na sequência 11, 111, 1111, 11111, etc.,
é um quadrado.
(c) Mostre que nenhum número na sequência 44, 444, 4444, 44444, etc.,
é um quadrado.
(d) Mostre que nenhum número na sequência 99, 999, 9999, 99999, etc.,
é um quadrado.
(e) Mostre que nenhum número na sequência 55, 555, 5555, 55555, etc.,
é um quadrado.
9. (a) Mostre que nenhum número da forma 4n+ 2 é um quadrado.
(b) Mostre que nenhum dos números 66, 666, 6666, . . . é um quadrado.
10. (a) Mostre que a soma de quatro inteiros consecutivos nunca é um
quadrado.
(b) Mostre que a soma dos quadrados de quatro inteiros consecutivos
nunca é um quadrado. Faça o mesmo para a soma dos quadrados
de três inteiros consecutivos.
11. (a) Mostre que todo quadrado é da forma 8n, 8n+ 1 ou 8n+ 4.
(b) Mostre que nenhum número na sequência 3, 11, 19, 27, etc., é um
quadrado.
3
Unidade 9
12. Mostre que numa sequência de inteiros da forma
a, a+ d, a+ 2d, a+ 3d, . . . ,
se existir algum número que é quadrado, existirão in�nitos números que
são quadrados.
13. Dados dois inteiros a e b distintos, mostre que existem in�nitos números
n para os quais mdc(a+ n, b+ n) = 1.
14. Resolva o seguinte sistema de equações:{
mdc(x, y) = 6
mmc(x, y) = 60
15. Observe que mdc(x, y) divide mmc(x, y), quaisquer que sejam x, y ∈ Z,
não nulos.
Mostre que se no seguinte sistema:{
mdc(x, y) = d
mmc(x, y) = m
d - m, ele não admite solução. Mostre que se d | m, o sistema sempre
admite solução.
16. Mostre que
(a) mdc(a2, b2) = [mdc(a, b)]2.
(b) mmc(a2, b2) = [mmc(a, b)]2.
(c) Generalize.
17. (Esse é um problema proposto no século 16) Um total de 41 pessoas entre
homens, mulheres e crianças foram a um banquete e juntos gastaram
40 patacas. Cada homem pagou 4 patacas, cada mulher 3 patacas e
cada criança um terço de pataca. Quantos homens, quantas mulheres e
quantas crianças havia no banquete?
18. (Proposto por Euler) Um grupo de homens e mulheres gastaram numa
taberna 1.000 patacas. Cada homem pagou 19 patacas e cada mulher
13. Quantos eram os homens e quantas eram as mulheres?
4
Unidade 9Atividade EspecialRevisão
19. (Proposto por Euler) Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram pagos
31 escudos por cavalo e 20 por boi e sabe-se que todos os bois custaram
7 escudos a mais do que todos os cavalos. Quantos cavalos e quantos
bois foram comprados?
20. Em um certo país, as cédulas são de $4 e $7. Quais das a�rmações a
seguir são verdadeiras? Com elas é possível pagar, sem troco, qualquer
quantia inteira
(a) a partir de $11, inclusive.
(b) a partir de $18, inclusive
(c) ímpar, a partir de $7, inclusive
(d) que seja $1 maior do que um múltiplo de $3
(e) que seja $1 menor do que um múltiplo de $3
5
10
1
Expressões Binômias
Sumário
10.1 Expressões Binômias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
10.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Unidade 10 Expressões Binômias
10.1 Expressões Binômias
Nesta unidade, mostraremos como calcular o mdc de pares de números da
forma an ± 1, onde a, n ∈ N, mediante o uso do Algoritmo de Euclides.
O resultado a seguir nos permitirá calcular o mdc de elementos de sequên-
cias de números naturais cujos elementos possuem propriedades aritméticas
especiais.
Proposição 1 Dada uma sequência (an)n tal que ∀ m > n, (am, an) = (an, ar), onde r
é o resto da divisão de m por n, então tem-se que
(am, an) = a(m,n).
DemonstraçãoSejam r1, r2, . . . , rs, rs+1 = 0 os restos parciais no Algoritmo de Euclides;
logo, rs = (m,n). Portanto, pela propriedade de (an)n,
(am, an) = (an, ar1) = · · · = (ars , ars+1) = (ars , 0) = a(m,n).
O uso da proposição acima nos permitirá provar o resultado a seguir.
Proposição 2 Se n,m, a ∈ N, com a > 2, então
(am − 1, an − 1) = ad − 1, onde d = (m,n).
Demonstração De fato, se m > n, pela divisão euclidiana podemos escrever m = nq + r,
onde r é o resto da divisão de m por n. Como
am − 1 = anq+r − 1 = ar(anq − 1) + ar − 1,
e como an − 1|anq − 1, segue, do Lema de Euclides, que
(am − 1, an − 1) = (ar(anq − 1) + ar − 1, an − 1) = (an − 1, ar − 1).
O resultado segue-se, agora, da Proposição 10.1.1, pondo an = a
n − 1.
2
Unidade 10Expressões Binômias
Para calcular (am ± 1, an ± 1) nos outros casos, necessitaremos de alguns
lemas.
Lema 3Sejam a,m, n, q, r ∈ N, com a > 2, tais que n = mq + r; então
(an + 1, am − 1) = (am − 1, ar + 1).
DemonstraçãoComo a
m − 1|amq − 1, e como
an + 1 = amq+r + 1 = ar(amq − 1) + ar + 1,
o resultado segue-se do Lema de Euclides.
Lema 4Sejam a,m, n, q, r ∈ N, com a > 2, tais que m = nq + r, então
(am − 1, an + 1) =

(an + 1, ar − 1), se q é par
(an + 1, ar + 1), se q é ímpar
DemonstraçãoSe q é par, da Proposição 1.1.8, a
n + 1|anq − 1, e como
am − 1 = anq+r − 1 = ar(anq − 1) + ar − 1,
decorre do Lema de Euclides que
(an + 1, am + 1) = (an + 1, ar − 1).
Se q é ímpar, da Proposição 1.1.7, temos que an + 1|anq + 1, e como
am − 1 = anq+r − 1 = ar(anq + 1)− ar − 1,
segue-se do Lema de Euclides que
(an + 1, am + 1) = (an + 1, ar + 1).
3
Unidade 10 Expressões Binômias
Lema 5 Sejam a ∈ N e m,n, q, r ∈ N, tais que m = nq + r, então
(am + 1, an + 1) =

(an + 1, ar + 1), se q é par
(an + 1, ar − 1), se q é ímpar
Demonstração Se q é par, a
n + 1|anq − 1, e como
am + 1 = anq+r + 1 = ar(anq − 1) + ar + 1,
segue-se do Lema de Euclides que
(an + 1, am + 1) = (an + 1, ar + 1).
Se q é ímpar, an + 1|anq + 1, e como
am + 1 = anq+r + 1 = ar(anq + 1)− ar + 1,
decorre do Lema de Euclides que
(an + 1, am + 1) = (an + 1, ar − 1).
Proposição 6 Sejam n,m ∈ N, com n|m e
m
n
par. Se a ∈ N, então,
(am + 1, an + 1) =
{
1, se a é par
2, se a é ímpar
Demonstração De fato, basta aplicar o Lema 10.1.3 na situação em que q (=
m
n
) é par e
r = 0.
Corolário. Se n 6= m, então, (22n + 1, 22m + 1) = 1.
Os resultados acima nos permitem deduzir o seguinte teorema:
4
Unidade 10Expressões Binômias
Teorema 7Se a, n,m ∈ N, com a > 2, então, (am − 1, an − 1) = a(m,n) − 1 e
(am±1, an+1) pode apenas assumir um dos seguintes valores: 1, 2 ou a(m,n)+1.
DemonstraçãoDe fato, a primeira igualdade acima segue-se da Proposição 2. Por outro
lado, segue-se dos lemas acima que (am ± 1, an + 1) só pode ser igual a um
dos seguintes números:
(a(m,n) + 1, a0 + 1), (a(m,n) + 1, a0 − 1), ou (a(m,n) − 1, a0 + 1).
Portanto, (am ± 1, an + 1) só pode assumir os valores: 1, 2 ou a(m,n) + 1.
Exemplo 8Note que 22− 1|23 +1. Vamos mostrar que, dados n,m ∈ N, com m > 2,
então, 2m − 1 6 |2n + 1.
Dado que 2n + 1 e 2m − 1 são ímpares, do Teorema 10.1.1 segue-se que
(2n + 1, 2m − 1) só pode assumir os valores 1 ou 2(n,m) + 1.
Se 2m − 1|2n + 1, teríamos que 2m − 1 = 1 ou 2m − 1 = 2(n,m) + 1. A
primeira possibilidade só ocorreria se m = 1, o que é vedado pela hipótese. Se a
segunda possibilidade ocorresse, teríamos 2m−1 = 2(n,m)−1+1, o que implicaria
que (n,m) = 1 e m = 2, também vedado por hipótese.
Os seguintes dois corolários do Teorema 10.1.1 nos permitirão determinar
os números (am ± 1, an + 1) em todos os casos
Corolário 9Tem-se que
(am + 1, an + 1) =

a(n,m) + 1, se
[m,n]
(m,n)
é ímpar
2, se
[m,n]
(m,n)
é par e a é ímpar
1, se
[m,n]
(m,n)
e a são pares
5
Unidade 10 Expressões Binômias
Demonstração Note que o resultado é trivialmente veri�cado se a = 0 ou a = 1. As-
sumiremos, portanto, a > 2.
Pelo Teorema 10.1.1 temos que (am+1, an+1) só pode assumir os valores
1, 2 e a(m,n) + 1; e, portanto, (am + 1, an + 1) = a(m,n) + 1, se, e somente
se, a(m,n) + 1 divide am + 1 e an + 1.
Escrevendom = (m,n)
m
(m,n)
e n = (m,n)
n
(m,n)
, temos, pela Proposição
1.1.7 e pelo Exemplo 5.1.2, que a(m,n)+1 divide am+1 e an+1 se, e somente
se,
m
(m,n)
e
n
(m,n)
são ímpares, o que ocorre se, e somente se, o seu produto
é ímpar; ou seja, se, e somente se, é ímpar o número
m
(m,n)
· n
(m,n)
=
[m,n]
(m,n)
.
O resultado segue, pois o restante da prova é trivial.
Corolário 10 Se a ∈ N, tem-se que
(am − 1, an + 1) =

a(n,m) + 1, se
m
(m,n)
é par e
n
(m,n)
é ímpar
2, caso contrário e a é ímpar
1, caso contrário e a é par
Demonstração Note que o resultado é trivialmente veri�cado se a = 1. Assumiremos,
portanto, a > 2.
Pelo Teorema 10.1.1 temos que (am− 1, an+1) só pode assumir os valores
1, 2 e a(m,n) + 1; e, portanto, (am − 1, an + 1) = a(m,n) + 1, se, e somente
se, a(m,n) + 1 divide am − 1 e an + 1.
Escrevendom = (m,n)
m
(m,n)
e n = (m,n)
n
(m,n)
, temos, pela Proposição
1.1.7 e pelo Exemplo 5.1.2 que a(m,n)+1 divide an+1 se, e somente se,
n
(m,n)
é ímpar. Por outro lado, pela Proposição 1.1.8 e pelo Exemplo 5.1.3, tem-se
que a(m,n) + 1 divide am − 1 se, e somente se, m
(m,n)
é par.
O resultado segue, pois o restante da prova é trivial.
6
Unidade 10Expressões Binômias
10.2 Exercícios
1. Sejam a,m, n ∈ N. Mostre que an − 1|am − 1 se, e somente se, n|m.
2. Sejam n,m ∈ N com n|m e m
n
ímpar. Se a ∈ N, mostre que
(am + 1, an + 1) = an + 1.
3. Sejam a,m, n ∈ N, com m > n. Mostre que(
a2
m − 1, a2n + 1
)
= a2
n
+ 1.
4. Calcule
(a) (5202 + 1, 574 + 1)
(b) (36497 + 1, 36210 + 1)
(c) (3144 − 1, 378 + 1)
5. Seja (Mn)n a sequência de�nida por Mn = 2
n− 1. Mostre que 3|Mn se,
e somente se, n é par.
7
11
1
Números de Fibonacci
Sumário
11.1 Números de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
11.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Unidade 11 Números de Fibonacci
11.1 Números de Fibonacci
Nesta unidade, apresentaremos algumas propriedades dos números de Fi-
bonacci, começando por calcular o mdc de um par qualquer desses números.
Antes, porém, necessitaremos de dois lemas.
Lema 1 Dois termos consecutivos da sequência de Fibonacci são primos entre si.
Demonstração Mostraremos, por indução sobre n, que (un+1, un) = 1. De fato, para
n = 1 temos que
(u2, u1) = (1, 1) = 1.
Suponhamos, agora, o resultado válido para n, isto é, (un+1, un) = 1.
Temos, então, que
(un+2, un+1) = (un+2 − un+1, un+1) = (un, un+1) = 1,
provando, assim, o resultado.
Lema 2 Se n,m ∈ N são tais que n|m, então, un|um.
Demonstração Vamos escrever m = nk e demonstrar o lema por indução sobre k.
Para k = 1, o resultado é trivialmente veri�cado. Suponha, agora, o resul-
tado válido para algum valor de k; isto é, um|umk.
Pela identidade
un+m = un−1um + unum+1, n,m ∈ N, n > 2, (11.1)
que se prova por indução, temos que
um(k+1) = umk+m = umk−1um + umkum+1.
Como um|umk−1um e, por hipótese de indução, um|umkum+1, segue-se que
um divide um(k+1), provando, assim, o resultado.
2
Unidade 11Números de Fibonacci
Teorema 3Seja (un)n a sequência de Fibonacci; então,
(um, un) = u(m,n).
DemonstraçãoSuponha que m > n; logo, pela Divisão Euclidiana, m = nq + r; e,
portanto, pela fórmula (11.1):
un+m = un−1um + unum+1, n,m ∈ N, n > 2,
temos que
um = unq+r = unq−1ur + unqur+1.
Logo, como pelo Lema 11.1.2, un|unq, segue-se, do Lema de Euclides, que
(um, un) = (unq−1ur + unqur+1, un) = (unq−1ur, un). (11.2)
Como, pelo Lema 11.1.1, (unq−1, unq) = 1, segue-se que (unq−1, un) =
1 (veja Problema 6.1.2(b)); e, consequentemente, de (11.2) e do Problema
6.1.2(a), segue-se que
(um, un) = (un, ur).
O resultado segue-se agora da Proposição 10.1.1.
Corolário 4Na sequência de Fibonacci, temos que un divide um se, e somente se, n
divide m.
Exemplo 1O resultado acima nos permite estabelecer alguns critérios de divisibilidade
para os termos da sequência de Fibonacci.
Assim, para acharmos,por exemplo, os termos um da sequência de Fibonacci
divisíveis por 3, basta notar que u4 = 3 e que
3|um ⇐⇒ u(4,m) = (u4, um) = (3, um) = 3 = u4,
e, portanto, 3|um se, e somente se, (4,m) = 4, o que equivale a dizer que 4|m.
3
Unidade 11 Problemas
11.2 Problemas
1. Mostre que, se na sequência de Fibonacci existir um termo divisível por
um número natural m, então existem in�nitos tais termos.
2. Na sequência de Fibonacci, mostre que um é par se, e somente se, m é
divisível por 3.
3. Na sequência de Fibonacci, mostre que um é divisível por 5 se, e somente
se, m é divisível por 5.
4. Na sequência de Fibonacci, mostre que um é divisível por 7 se, e somente
se, m é divisível por 8.
5. Na sequência de Fibonacci, mostre que um é divisível por 4 se, e somente
se, m é divisível por 6.
4
12
1
Teorema Fundamental da
Aritmética
Sumário
12.1 Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
12.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
12.3 A Distribuição dos Números Primos . . . . . . . . . 11
12.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Unidade 12 Números Primos
12.1 Números Primos
Iniciaremos nesta unidade o estudo dos números primos, um dos conceitos
mais importantes de toda a Matemática. Esses números desempenham papel
fundamental e a eles estão associados muitos problemas famosos cujas soluções
têm resistido aos esforços de várias gerações de matemáticos.
Um número natural maior do que 1 que só possui como divisores positivos
1 e ele próprio é chamado de número primo.
Dados dois números primos p e q e um número inteiro a qualquer, decorrem
da de�nição acima os seguintes fatos:
I) Se p|q, então p = q.
De fato, como p|q e sendo q primo, temos que p = 1 ou p = q. Sendo p
primo, tem-se que p > 1, o que acarreta p = q.
II) Se p - a, então (p, a) = 1.
De fato, se (p, a) = d, temos que d|p e d|a. Portanto, d = p ou d = 1.
Mas d 6= p, pois p - a e, consequentemente, d = 1.
Um número maior do que 1 e que não é primo será chamado composto.
Portanto, se um número inteiro n > 1 é composto, existirá um divisor natural
n1 de n tal que n1 6= 1 e n1 6= n. Portanto, existirá um número natural n2 tal
que
n = n1n2, com 1 < n1 < n e, 1 < n2 < n
Por exemplo, 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são números primos, enquanto que 4, 6, 8,
9, 10 e 12 são compostos.
Do ponto de vista da estrutura multiplicativa dos naturais, os números
primos são os mais simples e ao mesmo tempo são su�cientes para gerar todos
os números naturais, logo todos os números inteiros, conforme veremos mais
adiante no Teorema Fundamental da Aritmética.
A seguir, estabelecemos um resultado fundamental de Euclides (Os Elemen-
tos, Proposição 30, Livro VII).
Proposição 1 Sejam a, b, p ∈ Z, com p primo. Se p|ab, então p|a ou p|b.
2
Unidade 12Teorema Fundamental da Aritmética
DemonstraçãoBasta provar que, se p|ab e p - a, então p|b. Mas, se p - a, temos que
(p, a) = 1, e o resultado segue-se do Teorema 6.1.2.
Na realidade, a propriedade dos números primos descrita na proposição
acima, os caracteriza totalmente, como se pode veri�car através do Problema 10.
Corolário 2Se p, p1, . . . , pn são números primos e, se p|p1 · · · pn, então p = pi para
algum i = 1, . . . , n.
DemonstraçãoUse a Proposição 1, indução sobre n, e o fato de que, se p|pi, então p = pi.
Teorema 3
Teorema Fundamental
da Aritmética
Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou se escreve de modo
único (a menos da ordem dos fatores) como um produto de números primos.
DemonstraçãoUsaremos a segunda forma do Princípio de Indução. Se n = 2, o resultado
é obviamente veri�cado.
Suponhamos o resultado válido para todo número natural menor do que n e
vamos provar que vale para n. Se o número n é primo, nada temos a demonstrar.
Suponhamos, então, que n seja composto. Logo, existem números naturais n1
e n2 tais que n = n1n2, com 1 < n1 < n e 1 < n2 < n. Pela hipótese
de indução, temos que existem números primos p1, . . . , pr e q1, . . . , qs tais que
n1 = p1 · · · pr e n2 = q1 · · · qs. Portanto, n = p1 · · · prq1 · · · qs.
Vamos, agora, provar a unicidade da escrita. Suponha que tenhamos n =
p1 · · · pr = q1 · · · qs, onde os pi e os qj são números primos. Como p1|q1 · · · qs,
pelo corolário acima, temos que p1 = qj para algum j, que, após reordenamento
de q1, . . . , qs, podemos supor que seja q1. Portanto,
p2 · · · pr = q2 · · · qs.
Como p2 · · · pr < n, a hipótese de indução acarreta que r = s e os pi e qj são
iguais aos pares.
3
Unidade 12 Números Primos
Este resultado, porém, não explicitamente enunciado em sua totalidade,
está essencialmente contido nos Elementos de Euclides, pois ele é consequência
quase que imediata de proposições que lá se encontram.
Agrupando, no Teorema 3, os fatores primos repetidos, se necessário, e
ordenando os primos em ordem crescente, temos o seguinte enunciado:
Teorema 4 Dado um número inteiro n 6= 0, 1,−1, existem primos p1 < · · · < pr e
α1, . . . , αr ∈ N, univocamente determinados, tais que
n = ±pα11 · · · pαrr .
Quando estivermos lidando com a decomposição em fatores primos de dois,
ou mais, números naturais, usaremos o recurso de acrescentar fatores da forma
p0 (= 1), onde p é um número primo qualquer. Assim, dados n,m ∈ N com
n > 1 e m > 1 quaisquer, podemos escrever
n = pα11 · · · pαrr e m = p
β1
1 · · · pβrr ,
usando o mesmo conjunto de primos p1, . . . , pr, desde que permitamos que os
expoentes α1, . . . , αr, β1, . . . , βs variem em N ∪ {0} e não apenas em N.
Por exemplo, os números 23 · 32 · 7 · 11 e 2 · 52 · 13 podem ser escritos,
respectivamente, 23 · 32 · 50 · 7 · 11 · 130 e 2 · 30 · 52 · 70 · 110 · 13.
Observe que um número natural n > 1, escrito na forma n = pα11 · · · pαrr ,
como no teorema acima, é um quadrado perfeito se, e somente se, cada ex-
poente αi é par.
Proposição 5 Seja n = pα11 · · · pαrr um número natural escrito na forma acima. Se n′ é
um divisor positivo de n, então
n′ = pβ11 · · · pβrr ,
onde 0 ≤ βi ≤ αi, para i = 1, . . . , r.
Demonstração Seja n
′ um divisor positivo de n e seja pβ a potência de um primo p
que �gura na decomposição de n′ em fatores primos. Como pβ|n, segue que
4
Unidade 12Teorema Fundamental da Aritmética
pβ divide algum pαii por ser primo com os demais p
αj
j , e, consequentemente,
p = pi e β ≤ αi.
Denotando por d(n) o número de divisores positivos do número natural n,
segue, por uma contagem fácil, que se n = pα11 · · · pαrr , onde p1, . . . , pr são
números primos e α1, . . . , αr ∈ N, então
d(n) = (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αr + 1).
Exemplo 6A fórmula acima nos mostra que um número natural n = pα11 · · · pαrr possui
uma quantidade ímpar de divisores positivos se, e somente se, cada αi é par,
ou seja, se, e somente se, n é um quadrado perfeito.
Relacionado com esta propriedade, apresentamos a seguir uma brincadeira
que costuma fazer sucesso em sala de aula.
No vestiário de uma escola com n alunos, numerados de 1 a n, há n armários
en�leirados em um corredor, também numerados de 1 a n. Um dia, os alunos
resolvem fazer a seguinte brincadeira:
O primeiro aluno abre todos os armários. Em seguida, o aluno número 2
fecha todos os armários de número par. O aluno número 3 inverte as posições
das portas dos armários de número múltiplo de 3. O aluno número 4 inverte as
posições das portas dos armários de número múltiplo de 4, e assim sucessiva-
mente. Pergunta-se, qual será a situação de cada um dos armários após todos
os alunos terem completado a brincadeira?
Para responder à pergunta, analisemos a situação do armário de número m.
Com a passagem do primeiro aluno, a porta será aberta. Em seguida, a porta
só será mexida pelo aluno cujo número for o divisor seguinte d2 (> d1 = 1) de
m e novamente só será mexida pelo aluno cujo número for o divisor seguinte
d3 (> d2) de m, e assim sucessivamente. Portanto, a situação da porta do
m-ésimo armário será: aberto, fechado, aberto, fechado, . . . , alternando-se a
medida que forem passando em ordem crescente os divisoresde m.
Quando o n-ésimo aluno terminar a sua tarefa, teremos passado por todos
os divisores de m, pois se d é um divisor de m, então d ≤ m ≤ n. Portanto, a
porta do m-ésimo armário estará aberta ou fechada dependendo se o número de
5
Unidade 12 Números Primos
divisores de m é ímpar ou par. Consequentemente, a porta do m-ésimo armário
estará aberta se, e somente se, m for um quadrado perfeito.
A fatoração de números naturais em primos revela toda a estrutura mul-
tiplicativa desses números, permitindo, entre muitas outras coisas, determinar
facilmente o mdc e o mmc de um conjunto qualquer de números.
Teorema 7 Sejam a = ±pα11 · · · pαnn e b = ±p
β1
1 · · · pβnn . Pondo
γi = min{αi, βi}, δi = max{αi, βi}, i = 1, . . . , n,
tem-se que
(a, b) = pγ11 · · · pγnn e [a, b] = p
δ1
1 · · · pδnn .
Demonstração É claro, pela Proposição 5, que p
γ1
1 · · · pγrr é um divisor comum de a e b.
Seja c um divisor comum de a e b; logo, c = ±pε11 · · · pεrr , onde εi ≤ min{αi, βi}
e, portanto, c|pγ11 · · · pγnn . Do mesmo modo, prova-se a asserção sobre o mmc.
Exemplo 8 Dados a, b ∈ N, vamos determinar para quais pares de números naturais a
e b temos que [a, b] = (a, b)2.
É fácil veri�car que, se a = b2 ou b = a2, vale a igualdade acima. Vamos
provar que a equação [a, b] = (a, b)2 tem muitas outras soluções além dessas.
Sejam a = pα11 · · · pαnn e b = p
β1
1 · · · pβnn . A igualdade
[a, b] = (a, b)2
nos diz que
max{αi, βi} = 2min{αi, βi}, i = 1, . . . , n.
Isto equivale a dizer que
∀ i = 1, . . . , n, αi = 2βi ou βi = 2αi.
Por exemplo, se a = 225 e b = 2 · 52, então [a, b] = 2252 e (a, b) = 2 · 5, o
que mostra que a e b formam uma solução da equação [a, b] = (a, b)2.
6
Unidade 12Teorema Fundamental da Aritmética
Em geral, a equação [a, b] = (a, b)r tem por soluções positivas pares de
números a = pα11 · · · pαnn e b = p
β1
1 · · · pβnn tais que, para todo i = 1, . . . , n,
tem-se que αi = rβi ou βi = rαi.
Exemplo 9Dados dois números naturais d e m, vamos resolver em X, Y , nos naturais,
o sistema de equações:
(X, Y ) = d, [X, Y ] = m.
É claro que uma condição necessária para que o sistema tenha solução é
que d|m. Esta condição é também su�ciente, pois (m, d) = d e [m, d] = m.
Portanto, limitaremos a nossa análise para o caso em que d|m.
Escrevamos as decomposições de d e m em fatores primos:
d = pγ11 · · · pγrr , m = p
δ1
1 · · · pδrr ,
onde γi ≤ δi. Então, pelo Teorema 7, temos que X = a e Y = b é uma
solução do sistema se, e somente se,
a = pα11 · · · pαrr b = p
β1
1 · · · pβrr ,
onde
γi = min{αi, βi} e δi = max{αi, βi}, i = 1, . . . , r.
Portanto, temos para a uma ou duas escolhas para αi, segundo se γi = δi,
ou se γi 6= δi. Consequentemente, temos 2s escolhas para a, onde
s = {i; γi 6= δi}.
Como, para cada escolha de a, o número b é univocamente determinado,
temos que o problema admite 2s soluções. Se ainda quisermos identi�car uma
solução a, b com b, a, devemos dividir o número 2s por 2, obtendo 2s−1 soluções.
Exemplo 10Seja n > 4 um número natural composto; vamos provar que n|(n− 2)!
7
Unidade 12 Números Primos
Provaremos inicialmente que n|(n− 1)!.
De fato, suponha que n = n1n2 com n1 < n e n2 < n. Se n1 6= n2,
podemos supor que n1 < n2, e portanto,
(n− 1)! = 1 · · ·n1 · · ·n2 · · · (n− 1),
o que mostra que n|(n− 1)!, neste caso.
Suponhamos que n1 = n2 > 2. Logo,
(n− 1)! = 1 · · ·n1 · · · 2n1 · · · (n− 1),
o que implica também que n(= n1n1) divide (n− 1)!.
Agora, note que (n, n−1) = 1 e que n|(n−2)!(n−1); portanto, n|(n−2)!.
A propriedade acima pode ser generalizada como segue:
Sejam n > 4 composto e p o menor número primo que divide n; então,
n|(n− p)!
De fato, temos que (n−1, n) = 1, . . . (n−2, n) = 1, . . . (n−(p−1), n) = 1.
Logo, segue que ((n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1), n) = 1, o que, em vista do
fato de n|(n− 1)!, acarreta o resultado.
8
Unidade 12Teorema Fundamental da Aritmética
12.2 Problemas
1. Ache os possíveis valores de n,m ∈ N ∪ {0} de modo que o número
9m10n tenha:
(a) 27 divisores positivos
(b) 243 divisores positivos.
2. Qual é a forma geral dos números naturais que admitem:
(a) um só divisor positivo além de 1 e dele próprio?
(b) um número primo de divisores positivos?
3. Sejam a, b ∈ N, com (a, b) = 1. Mostre que, se ab é um quadrado, então
a e b são quadrados.
4. (ENC-2002) Qual é o menor valor do número natural n que torna n!
divisível por 1000?
5. Com quantos zeros termina o número 1000!? Qual é a potência de 3 que
aparece na decomposição de 1000! em fatores primos? latex enumerate
package
6. Mostre que existem in�nitos valores de n ∈ N para os quais 8n2 + 5 é
divisível por 77.
7. Mostre que a soma de todos os números naturais menores ou iguais a n
divide o seu produto se, e somente se, n+ 1 é composto.
8. Usando a caracterização de mdc e mmc de dois números naturais a e b
através da fatoração em primos desses números, prove que (a, b)[a, b] =
ab.
9. Mostre que, se a, b ∈ N ∪ {0} e n ∈ N, então (an, bn) = (a, b)n e que
[an, bn] = [a, b]n.
10. Seja p > 1 um número natural com a seguinte propriedade: Se p divide o
produto de dois inteiros quaisquer, então p divide um dos fatores. Mostre
que p é necessariamente primo.
9
Unidade 12 Problemas
11. Mostre que, se n e m são dois números naturais não nulos tais que
(n,m) = 1, então d(n ·m) = d(n)d(m).
12. Mostre que, se n é composto, então o n-ésimo número de Fibonacci un
é composto.
10
Unidade 12Teorema Fundamental da Aritmética
12.3 A Distribuição dos Números Primos
Quantos serão os números primos? Essa pergunta foi respondida por Eu-
clides no Livro IX dos Elementos. Utilizaremos a mesma prova dada por Eu-
clides, onde pela primeira vez se registra o uso de uma demonstração por re-
dução ao absurdo em matemática. Essa prova é considerada uma das pérolas
da matemática.
Teorema 11Existem in�nitos números primos.
DemonstraçãoSuponha que exista apenas um número �nito de números primos p1, . . . , pr.
Considere o número natural
n = p1p2 · · · pr + 1.
Pelo Teorema 3, o número n possui um fator primo p que, portanto, deve
ser um dos p1, . . . , pr e, consequentemente, divide o produto p1p2 · · · pr. Mas
isto implica que p divide 1, o que é absurdo.
Agora que sabemos que existem in�nitos números primos, nos perguntamos,
inicialmente, como podemos obter uma lista contendo os números primos até
uma dada ordem. A seguir, apresentaremos um dos mais antigos métodos para
elaborar tabelas de números primos, devido ao matemático grego Eratóstenes,
que viveu por volta de 230 anos antes de Cristo. O método, chamado de Crivo
de Eratóstenes, permite determinar todos os números primos até a ordem que
se desejar, mas não é muito e�ciente para ordens muito elevadas.
Por exemplo, vamos elaborar a tabela de todos os números primos inferiores
a 120.
Escrevem-se todos os números naturais de 2 a 120. Riscam-se, de modo
sistemático, todos os números compostos da tabela, seguindo o roteiro abaixo.
Risque todos os múltiplos de 2 acima de 2, já que nenhum deles é primo.
O segundo número não riscado é 3, que é primo. Risque todos os múltiplos
de 3 maiores do que 3 pois esses não são primos.
O terceiro número não riscado que aparece é 5, que é primo. Risque todos
os múltiplos de 5 maiores do que 5 pois esses não são primos.
11
Unidade 12 A Distribuição dos Números Primos
O quarto número não riscado que ora aparece é 7, que é primo. Risque
todos os múltiplos de 7 maiores do que 7 pois esses não são primos.
Será necessário prosseguir com este procedimento até chegar a 120? A
resposta é não e se baseia no seguinte resultado devido ao próprio Eratóstenes.
Lema 12 Se um número natural n > 1 não é divisível por nenhum número primo p
tal que p2 ≤ n, então ele é primo.
Demonstração Suponhamos, por absurdo, que n não seja divisível por nenhum número
primo p tal que p2 ≤ n e que não seja primo. Seja q o menor número primo que
divide n; então, n = qn1, com q ≤ n1. Segue daí que q2 ≤ qn1 = n. Logo, n
é divisível por um número primo q tal que q2≤ n, absurdo.
Portanto, na nossa tabela de números de 2 a 120, devemos ir até alcançar-
mos o primo 7, pois o próximo primo é 11, cujo quadrado supera 120.
2 3 6 4 5 6 6 7 6 8 6 9 610 11 612
13 614 615 616 17 618 19 620 621 622 23 624
625 626 627 628 29 630 31 632 633 634 635 636
37 638 639 640 41 642 43 644 645 646 47 648
649 650 651 652 53 654 655 656 657 658 59 660
61 662 663 664 665 666 67 668 669 670 71 672
73 674 675 676 677 678 79 680 681 682 83 684
685 686 687 688 89 690 691 692 693 694 695 696
97 698 699 6100 101 6102 103 6104 6105 6106 107 6108
109 6110 6111 6112 113 6114 6115 6116 6117 6118 6119 6120
Note que o Lema 12.2.1 também nos fornece um teste de primalidade, pois,
para veri�car se um dado número n é primo, basta veri�car que não é divisível
por nenhum primo p que não supere
√
n.
Tanto o crivo de Eratóstenes para gerar números primos, quanto o teste
de primalidade acima descrito, são extremamente lentos e trabalhosos. Muitos
progressos têm sido feitos nessa direção1.
1Veja, por exemplo, o livro: Primalidade em Tempo Polinomial de S. C. Coutinho, Coleção
Iniciação Cientí�ca, Sociedade Brasileira de Matemática
12
Unidade 12Teorema Fundamental da Aritmética
Uma questão importante que se coloca é de como os números primos se dis-
tribuem dentro dos números naturais. Em particular, qual pode ser a distância
entre dois primos consecutivos? Qual é a sua frequência?
Olhando para a tabela acima, nota-se que há vários pares de números primos
que diferem de duas unidades. Esses são: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (41,43),
(59, 61), (71, 73), (101,103), (107, 109).
Pares de números primos com esta propriedade são chamados de primos
gêmeos. Até o presente momento, ainda não se sabe se existem in�nitos pares
de números primos gêmeos.
Por outro lado, em contraste com esses pares de primos consecutivos muito
próximos, existem primos consecutivos arbitrariamente afastados.
De fato, dado n, a sequência
(n+ 1)! + 2, (n+ 1)! + 3, . . . , (n+ 1)! + n+ 1
de números naturais é formada por n números consecutivos compostos.
Portanto, a resposta à primeira pergunta é que não há nenhum padrão que
descreva o quanto dois primos consecutivos estão longe um do outro.
Quanto à segunda pergunta, é necessário formalizar o conceito de frequên-
cia de primos, que é a mesma coisa que probabilidade. Denotemos, por π(x), a
quantidade de números primos menores ou iguais a x. Portanto, a probabilidade
de que um elemento do conjunto {1, . . . , x} seja primo é dada por
π(x)
x
.
Como este quociente é uma função bastante complexa, o que se gostaria de
fazer é achar uma função de comportamento bem conhecido que se aproxima
do quociente acima para n su�cientemente grande.
Legendre e Gauss, analisando tabelas, chegaram à conclusão de que este
quociente tem a ver com
1
lnx
. Por volta de 1900, J. Hadamard e Ch. de la
Vallée-Poussin, independentemente, provaram o profundo resultado chamado
de Teorema dos Números Primos e cujo enunciado simplesmente é
lim
x→∞
π(x)
x
(
1
lnx
)−1
= 1.
13
Unidade 12 A Distribuição dos Números Primos
Em 1949, A. Selberg simpli�cou substancialmente a prova do Teorema dos
Números Primos, merecendo por esse seu trabalho a Medalha Fields2.
A distribuição dos números primos é algo ainda bastante misterioso e a
ela estão associados muitos problemas em aberto. Por exemplo, o já citado
problema de saber se existem in�nitos números primos gêmeos. Listamos abaixo
alguns problemas em aberto acerca da distribuição dos números primos:
1. Sempre existe um número primo entre n2 e (n+1)2 para qualquer n ∈ N?
2. Para n = 0, 1, . . . , 40, tem-se que n2− n+41 é primo. Existem in�nitos
números primos dessa forma?
3. A sequência de Fibonacci contém in�nitos números primos?
Uma outra curiosidade matemática, ainda em aberto, é a famosa conjectura
que Goldbach formulou a Euler em 1742 e que a�rma que todo número natu-
ral par maior do que 3 pode ser escrito como soma de dois números primos.
O matemático russo Ivan Vinogradov, em 1937, demonstrou o difícil teorema
que garante que todo número natural ímpar, su�cientemente grande, pode ser
escrito como soma de, no máximo, três números primos.
Esse tipo de problema, que relaciona as estruturas aditiva e multiplicativa
de N, em geral é muito difícil.
Finalmente, não podemos deixar de mencionar o mais importante proble-
ma em aberto em Teoria dos Números: a Hipótese de Riemann. Trata-se de
uma conjectura formulada por Riemann e que está muito além do material aqui
exposto. Esta conjectura, ao contrário do Último Teorema de Fermat3, tem
uma multitude de consequências, cuja con�rmação apenas depende da prova
do resultado. Se provado o teorema, muitos dos mistérios dos números primos
serão revelados, o que deixará o seu realizador num destacado lugar entre os
imortais da matemática.
2Até recentemente, a Medalha Fields era a maior distinção dada a um indivíduo por sua
contribuição à Matemática. Em 2003, foi outorgado, pela primeira vez, o Prêmio Abel para
a Matemática, correspondente ao prêmio Nobel para as outras áreas, e que foi conferido ao
matemático francês Jean Pierre Serre, que também foi vencedor da Medalha Fields em 1954.
Serre realizou importantes trabalhos em Teoria dos Números.
3Veja a nota histórica no �nal da próxima unidade.
14
Unidade 12Teorema Fundamental da Aritmética
12.4 Problemas
1. Quais dos números abaixo são primos?
(a) 239
(b) 241
(c) 247
(d) 253
(e) 1789
2. (ENC-98) Uma das a�rmativas abaixo sobre números naturais é FALSA.
Qual é ela?
(A) Dado um número primo, existe sempre um número primo maior do
que ele.
(B) Se dois números não primos são primos entre si, um deles é ímpar.
(C) Um número primo é sempre ímpar.
(D) O produto de três números naturais consecutivos é múltiplo de 6.
(E) A soma de três números naturais consecutivos é múltiplo de três.
15
13
1
Pequeno Teorema de
Fermat
Sumário
13.1 Pequeno Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . 2
13.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
13.3 O Renascimento da Aritmética . . . . . . . . . . . . 6
Unidade 13 Pequeno Teorema de Fermat
13.1 Pequeno Teorema de Fermat
Desde, pelo menos, 500 anos antes de Cristo, os chineses sabiam que, se
p é um número primo, então p|2p − 2. Coube a Pierre de Fermat, no século
XVII, generalizar este resultado, enunciando um pequeno mas notável teorema
que se constitui no resultado central desta seção.
Para demonstrar o Teorema de Fermat, necessitaremos do lema a seguir.
Lema 1 Seja p um número primo. Os números
(
p
i
)
, onde 0 < i < p, são todos
divisíveis por p.
Demonstração O resultado vale trivialmente para i = 1. Portanto, podemos supor que
1 < i < p. Neste caso, i!|p(p− 1) · · · (p− i+ 1). Como (i!, p) = 1, decorre
que i!|(p− 1) · · · (p− i+ 1), e o resultado se segue, pois(
p
i
)
= p
(p− 1) · · · (p− i+ 1)
i!
.
Teorema 2
Pequeno Teorema de
Fermat
Dado um número primo p, tem-se que p divide o número ap−a, para todo
a ∈ Z.
Demonstração Obviamente basta mostrar o resultado para a ≥ 0. Vamos provar o re-
sultado por indução sobre a. O resultado vale claramente para a = 0, pois
p|0.
Supondo o resultado válido para a, iremos prová-lo para a+1. Pela fórmula
do binômio de Newton,
(a+ 1)p − (a+ 1) = ap − a+
(
p
1
)
ap−1 + · · ·+
(
p
p− 1
)
a.
Como, pelo Lema 1 e pela hipótese de indução, o segundo membro da
igualdade acima é divisível por p, o resultado se segue.
2
Unidade 13Pequeno Teorema de Fermat
Exemplo 3Dado um número qualquer n ∈ N, tem-se que n9 e n, quando escritos na
base 10, têm o mesmo algarismo da unidade.
A a�rmação acima é equivalente a 10|n9 − n. Como n9 e n têm a mesma
paridade, segue-se que n9 − n é par; i.e, 2|n9 − n.
Por outro lado,
n9 − n = n(n4 − 1)(n4 + 1) = (n5 − n)(n4 + 1).
Logo, pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos que 5|n5 − n e, portanto,
5|n9 − n. Tem-se, então, que 10|n9 − n.
Corolário 4Corolário. Se p é um número primo e se a é um número inteiro não
divisível por p, entãop divide ap−1 − 1.
DemonstraçãoComo, pelo Pequeno Teorema de Fermat, p|a(a
p−1−1) e como (a, p) = 1,
segue-se, imediatamente, que p divide ap−1 − 1.
O corolário acima é também chamado de Pequeno Teorema de Fermat.
Note que o Pequeno Teorema de Fermat nos fornece um teste de não pri-
malidade. De fato, dado m ∈ N, com m > 1, se existir algum a ∈ N, com
(a,m) = 1, tal que m 6 |am−1 − 1, então m não é primo.
Os chineses achavam também que se m era composto, então m - 2m − 2,
uma recíproca do Teorema de Fermat, no caso a = 2. Muitos matemáticos
acreditavam neste resultado, até que, em 1819, Sarrus mostrou que o número
341(= 31× 11) divide 2341 − 2.
Poder-se-ia perguntar se vale a recíproca mais restritiva do Pequeno Teorema
de Fermat:
Dado um inteiro m > 1, a condição m|am−1 − 1 para todo a ∈ N tal que
(a,m) = 1, acarreta, necessariamente, que m é primo?
Veremos, no próximo exemplo, que isto também é falso.
3
Unidade 13 Pequeno Teorema de Fermat
Exemplo 5 Seja a ∈ N tal que (a, 3) = (a, 11) = (a, 17) = 1. Note que essa condição
é equivalente a (a, 561) = 1, pois 3 · 11 · 17 = 561.
Por outro lado,
(a280, 3) = (a56, 11) = (a35, 17) = 1,
e, portanto, pelo Pequeno Teorema de Fermat, 3 divide (a280)2− 1 = a560− 1,
11 divide (a56)10 − 1 = a560 − 1 e 17 divide (a35)16 − 1 = a560 − 1.
Segue-se daí que 561 divide a560− 1, para todo a tal que (a, 561) = 1, sem
que 561 seja primo.
Exemplo 6 O Pequeno Teorema de Fermat nos diz que
47
∣∣246 − 1 .
Logo, temos que
47
∣∣(223 − 1) (223 + 1) ,
e como
(223 − 1, 223 + 1) = (223 − 1, 2) = 1,
segue-se que 47 divide um, e apenas um, dos números 223 − 1 ou 223 + 1.
Como decidir qual dessas duas opções, acima, é veri�cada?
Em geral, o Pequeno Teorema de Fermat nos diz que se p > 2 é um número
primo e a um número natural tal que p 6 |a, então tem-se que
p
∣∣∣(a p−12 − 1)(a p−12 + 1) .
Como p é primo, tem-se que p
∣∣∣(a p−12 − 1) ou p ∣∣∣(a p−12 + 1) .
Decidir qual das duas condições de divisibilidade, acima, ocorre, é, em geral,
um problema difícil.
4
Unidade 13Pequeno Teorema de Fermat
13.2 Problemas
1. Mostre que 42|a7 − a para todo número inteiro a.
2. Ache o resto da divisão de 12p−1 por p quando p é primo.
3. Mostre que, para todo n ∈ N, é natural o número
3
5
n5 +
2
3
n3 +
11
15
n.
4. Mostre que, para todo n ∈ N, 15|3n5 + 5n3 + 7n.
5. Seja n ∈ N. Mostre que
(a) Se 5 6 |n, 5 6 |n− 1, 5 6 |n+ 1, então 5|n2 + 1.
(b) Se 7 6 |n, 7 6 |n− 1, 7 6 |n3 + 1, então 7|n2 + n+ 1.
6. Sejam a, k ∈ N. Mostre que 7|a6k − 1, se (a, 7) = 1.
7. Mostre que a13− a é divisível por 2, 3, 5, 7, 13 e 273, para todo a ∈ N.
8. Mostre que a12 − b12 é divisível por 13, se a e b são primos com 13.
Mostre também que é divisível por 91, se a e b são primos com 91.
5
Unidade 13 O Renascimento da Aritmética
13.3 O Renascimento da Aritmética
A Renascença, movimento ocorrido entre os séculos XIII e XV na Europa,
cujas características principais foram a luta contra os preconceitos da época
e a redescoberta e a leitura dos clássicos gregos, teve por consequência uma
revolução nas artes, na ciência e nos costumes.
Este movimento atingiu a Matemática um pouco mais tardiamente. Em
1575, Regiomanto traduziu para o latim o tratado Aritmética, de Diofanto.
Em 1621, Bachet de Méziriac publicou uma edição francesa que se tornaria
protagonista de uma das mais ricas histórias de toda a Matemática.
Por esta época, ocorre o renascimento da aritmética, na acepção de Platão,
essencialmente por obra do jurista francês Pierre de Fermat (1601-1665). Na
época, era comum os matemáticos não divulgarem as demonstrações dos re-
sultados que descobriam, lançando-os como desa�o para outros. Os resultados
de Fermat foram divulgados por meio de sua correspondência, principalmente
com o padre Marin Mersenne, que desempenhava o papel de divulgador da
Matemática. Numa de suas cartas de 1640, Fermat enunciou o seu Pequeno
Teorema, dizendo que não escreveria a demonstração por ser longa demais.
Fermat descobriu vários teoremas em Teoria dos Números, mas a sua con-
tribuição mais marcante foi a anotação que deixou na margem do Problema
8, Livro 2, de sua cópia de Bachet da Aritmética de Diofanto, onde se encon-
travam descritas as in�nitas soluções da equação pitagórica X2 + Y 2 = Z2.
Fermat escreveu: �Por outro lado, é impossível separar um cubo em dois cubos,
ou uma biquadrada em duas biquadradas, ou, em geral, uma potência qual-
quer, exceto um quadrado em duas potências semelhantes. Eu descobri uma
demonstração verdadeiramente maravilhosa disto, que todavia esta margem não
é su�cientemente grande para cabê-la."
Esta a�rmação de Fermat, apesar de não demonstrada por ele, acabou
sendo chamada de Último Teorema de Fermat. Passaram-se mais de 350 anos
e muita matemática foi desenvolvida para que, em 1995, o matemático inglês
Andrew Wiles desse uma prova, encerrando este glorioso capítulo da história da
Matemática.
Um outro problema cuja solução desde há muito era procurada pelos ma-
temáticos é a determinação de fórmulas geradoras de números primos. Fermat
6
Unidade 13Pequeno Teorema de Fermat
morreu com a convicção de que a expressão 22
n
+ 1 representava sempre um
número primo, admitindo, no entanto, não ser capaz de prová-lo rigorosamente.
Esta fórmula produz números primos para n = 0, 1, 2, 3 e 4, mas a crença de
Fermat revelou-se posteriormente falsa com a apresentação de uma fatoração
de 22
5
+1 por Leonhard Euler. Este foi o mais importante matemático do século
18 e que provou todos os resultados de Fermat, exceto, obviamente, o Último
Teorema, do qual mostrou que X3 + Y 3 = Z3 e X4 + Y 4 = Z4 (este também
provado por Fermat) não admitem soluções em inteiros positivos.
7
14
1
Atividade Especial
Revisão
Sumário
14.1 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Unidade 14 Problems
14.1 Problems
Esta unidade será dedicada à resolução de uma lista de problemas sobre a
matéria até agora desenvolvida.
1. Se p e q são números primos p ≥ q ≥ 5, então 24 | p2 − q2.
2. Todo primo da forma 3n+ 1 é também da forma 6m+ 1.
3. Mostre que o único número primo da forma n3 − 1 é 7.
4. O único número primo n tal que 3n+ 1 é um quadrado é 5.
5. Seja k ∈ N, k > 2. Mostre que
(a) Se k divide a1− 1, a2− 1, . . . , ar− 1, então k divide a1a2 · · · ar− 1.
(b) Se n > 0, então existe um primo p tal que k - (p−1) e p | (nk−1).
(c) Existem in�nitos primos p tais que k - (p− 1).
6. Mostre que existe uma correspondência biunívoca entre pares de primos
gêmeos e números n tais que n2 − 1 possui quatro divisores.
7. Mostre que o produto dos divisores de um inteiro positivo n é ns/2, onde
s é o número de divisores de n.
8. Prove que, se r é o número de fatores primos distintos de n ∈ N∗, o
número de modos em que n pode ser fatorado como produto de dois
números relativamente primos é 2r−1.
9. Seja n > 2. Mostre que entre n e n! existe pelo menos um número primo.
10. Mostre que se p, p+ 2 e p+ 4 são primos, então p = 3.
11. (a) Sejam m,n ∈ N de paridade distinta. Mostre que 3|am − an.
(b) Seja p > 3 um número primo. Mostre que ap − a e apb − bpa são
divisíveis por 6p, para todos a,∈ N, com a > b.
12. Sejam a, b ∈ N, com (a, b) = 1, e n ∈ N tal que n+2 = p é um número
primo. Mostre que o mdc de a+ b e a2 − nab+ b2 deve ser 1 ou p.
2
Unidade 14Atividade EspecialRevisão
13. Seja p um número primo ímpar. Mostre que pode-se escrever p = y2−x2,
com x, y ∈ N, de modo único.
14. Sejam a, b, n,m ∈ N∗ e suponha que an + bm seja um número primo.
Mostre que (n,m) = 1, ou (n,m) = 2r, para algum r ∈ N.
3
15
1
Primos de Fermat e de
Mersenne
Unidade 15
Nesta unidade, introduziremos alguns tipos de números primos especiais
famosos.
O primeiro resultado relaciona-se com os números conhecidos como números
de Fermat em homenagem a Pierre de Fermat (1601-1665), jurista francês que
apesar de ter se dedicado à matemática como amador foi um grande matemático
de seu tempo. Após Euclides e Eratóstenes, Fermat pode ser consideradoo
primeiro matemático a contribuir para o desenvolvimento da Teoria dos Números
do ponto de vista teórico. Muitos dos resultados e problemas deixados por
Fermat motivaram o extraordinário avanço da Matemática.
O segundo resultado diz respeito aos chamados números de Mersenne, assim
denominados em homenagem ao padre Marin Mersenne, contemporâneo de
Fermat, e que desempenhou papel importante na difusão da ciência, e em
particular da matemática, de seu tempo através de sua extensa correspondência
com os maiores cientistas da época.
Em seguida, enunciamos um famoso e profundo teorema sobre números
primos em progressões aritméticas, devido ao grande matemático do século XIX,
J. P. G. Lejeune Dirichlet, mas que, por ora, só provaremos em duas situações
muito simples, voltando a abordar outros casos particulares mais adiante.
Proposição 1 Sejam a e n números naturais maiores do que 1. Se an + 1 é primo, então
a é par e n = 2m, com m ∈ N.
Demonstração Suponhamos que a
n + 1 seja primo, onde a > 1 e n > 1. Logo, a tem
que ser par, pois, caso contrário, an + 1 seria par e maior do que dois, o que
contraria o fato de ser primo.
Se n tivesse um divisor primo p diferente de 2, teríamos n = n′p com n′ ∈ N.
Portanto, pela Proposição 7 da Unidade 1, an
′
+ 1 dividiria (an
′
)p + 1 = an + 1,
contradizendo o fato desse último número ser primo. Isto implica que n é da
forma 2m.
Os números de Fermat são os números da forma
Fn = 2
2n + 1.
Em 1640, Fermat escreveu em uma de suas cartas a Mersenne que achava
que esses números eram todos primos. De fato, F1 = 5, F2 = 17, F3 =
2
Unidade 15Primos de Fermat e de Mersenne
257, F4 = 65537 são primos, mas não se sabe se havia outro motivo para que
Fermat achasse que todos os números dessa forma fossem primos.
Em 1732, Leonhard Euler mostrou que
F5 = 2
25 + 1 = 4.294.967.297 = 641 · 6700417,
portanto, composto, desmentindo assim a a�rmação de Fermat.
Os números de Fermat primos são chamados de primos de Fermat.
Até hoje, não se sabe se existem outros primos de Fermat além dos quatro
primeiros. Conjecturou-se (Hardy e Wright) que os primos de Fermat são em
número �nito.
Um resultado que já provamos acerca desses números, Corolário da Propo-
sição 6 da Unidade 10, é o seguinte:
(Fn, Fm) = 1, se n 6= m.
Note que esse resultado nos fornece uma outra prova de que existem in�nitos
números primos, pois cada número de Fermat tem pelo menos um divisor primo
e esses divisores primos são todos distintos.
O resultado que se segue relaciona-se com outros números primos também
famosos.
Proposição 2Sejam a e n números naturais maiores do que 1. Se an− 1 é primo, então
a = 2 e n é primo.
DemonstraçãoSuponhamos que a
n − 1 seja primo, com a > 1 e n > 1.
Suponhamos, por absurdo, que a > 2. Logo, a − 1 > 1 e a − 1 | an − 1
(Proposição 6 da Unidade 1), e, portanto, an − 1 não é primo, contradição.
Consequentemente, a = 2.
Por outro lado, suponha, por absurdo, que n não é primo. Temos que
n = rs com r > 1 e s > 1. Como 2r−1 divide (2r)s−1 = 2n−1 (novamente,
pela Proposição 6 da Unidade 1), segue que 2n − 1 não é primo, contradição.
Logo, n é primo.
Os números de Mersenne são os números da forma
3
Unidade 15
Mp = 2
p − 1,
onde p é um número primo.
No intervalo 2 ≤ p ≤ 5000 os números de Mersenne que são primos,
chamados de primos de Mersenne, correspondem aos seguintes valores de p:
2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1 279, 2 203, 2 281, 3 217,
4 253 e 4 423. Até o presente momento, o maior primo de Mersenne conhecido
é M43 112 609, descoberto em agosto de 2008 e que possui no sistema decimal
12 978 189 dígitos.
Enunciaremos a seguir, sem demonstração, um resultado profundo devido
ao matemático alemão do século dezenove Johann P. G. Lejeune Dirichlet:
Teorema 3
Dirichlet
Em uma PA de números naturais, com primeiro termo e razão primos entre
si, existem in�nitos números primos.
A demonstração deste resultado é bem difícil e pertence à teoria analítica dos
números. Nos limitaremos a demonstrar alguns casos particulares de teorema.
O primeiro caso particular é o seguinte:
Proposição 4 Na progressão aritmética 3, 7, 11, 15, . . . , 4n + 3, . . . existem in�nitos
números primos.
Demonstração Trata-se de mostrar que os números primos da forma 4n+ 3 são em quan-
tidade in�nita.
Inicialmente, note que todo primo ímpar é da forma 4n+ 1 ou 4n+ 3.
Em seguida, observemos que o conjunto Λ = {4n + 1; n ∈ N} é fechado
multiplicativamente. De fato,
(4n+ 1)(4n′ + 1) = 4(4nn′ + n+ n′) + 1.
Suponhamos agora, por absurdo, que haja apenas um número �nito de nú-
meros primos p1 < · · · < pk da forma 4n + 3. Considere o número a = 4(p1 ·
p2 · · · pk) + 3, este não é divisível por nenhum dos números primos 3, p1, . . . , pk
e, portanto, sua decomposição em fatores primo só pode conter primos da forma
4
Unidade 15Primos de Fermat e de Mersenne
4n + 1. Consequentemente, a é da forma 4n + 1, o que é uma contradição,
pois é da forma 4n+ 3.
Mostrar que existem in�nitos primos da forma 4n+1 é um pouco mais sutil
e será provado a seguir.
Antes, porém, provaremos um lema que será necessário para a prova do
resultado.
Lema 5Seja x ∈ N, com x ≥ 2. Todo divisor ímpar de x2 + 1 é da forma 4n+ 1.
DemonstraçãoInicialmente, provaremos que todo divisor primo p 6= 2 de x
2 + 1 é da
forma 4n+ 1. O resultado, em geral, seguirá disso, pois provamos no decorrer
da demonstração da Proposição 3 que conjunto Λ = {4n+1; n ∈ N} é fechado
multiplicativamente.
Suponhamos, então, que p | x2 + 1, com p primo maior do que 2. Temos
que (p− 1)/2 ∈ N e, para algum λ ∈ N, que x2 + 1 = λp. Consequentemente,
x2 = λp− 1.
Elevando à potência (p− 1)/2 ambos os lados da igualdade acima, temos,
para alguns µ, µ′ ∈ N, que (pela fórmula do binômio de Newton)
xp−1 = (x2)
p−1
2 = (λp− 1)
p−1
2 =

µp+ 1, se p−1
2
é par
µ′p− 1, se p−1
2
é ímpar
Se
xp−1 = µ′p− 1,
subtraindo 1 de ambos os lado, teríamos que
xp−1 − 1 = µ′p− 2. (15.1)
Como p | x2 +1, segue que p - x (justi�que!). Logo, pelo Pequeno Teorema
de Fermat, temos que p | xp−1 − 1 e, consequentemente, por (15.1) p | 2, o
que é uma contradição.
5
Unidade 15
Portanto, a única alternativa possível é que
p− 1
2
seja par, o que implica
que p é da forma 4n+ 1.
Proposição 6 Na progressão aritmética 1, 5, 9, 13, 17, . . . , 4n + 1, . . . existem in�nitos
números primos.
Demonstração Suponha, por absurdo, que haja um número �nito p1, . . . , pk de primos da
forma 4n+ 1. Considere o número
a = 4p21 · · · p2k + 1.
Como pi - a, para todo i = 1, . . . , k, segue que todo divisor primo de a é
da forma 4n+ 3, o que é um absurdo, em vista do Lema 1.
6
Unidade 15Primos de Fermat e de Mersenne
Problemas
1. Mostre que todo divisor de um número de Fermat Fn é da forma 4m+ 1.
2. Se p e q são dois números primos distintos, mostre que
(Mp,Mq) = 1.
3. Sejam dados n,m ∈ N,
(a) Mostre que, se m < n, então Fm | Fn − 2.
(b) Dê uma outra prova para: (Fn, Fm) = 1, se n 6= m.
4. Mostre que existem in�nitos números primos da forma 6n+ 5.
5. Mostre que existem in�nitos números primos da forma 3n+ 2.
6. Seja pn o n-ésimo número primo. Mostre que pn ≤ 22
n−2
+ 1.
7. Considere a sequência de Fibonacci (un). Mostre que, se n é ímpar, então
os divisores ímpares de un são da forma 4k + 1.
7
16
1
Números Perfeitos
Unidade 16
Os números como 6 e 28, com a propriedade de serem iguais à metade da
soma de seus divisores, tiveram o poder de fascinar os gregos antigos, que os
chamaram de números perfeitos.
Até a Idade Média, conheciam-se apenas os seguintes números perfeitos: 6,
28, 496, 8 128 e 33 550 336.
Atualmente, conhecem-se mais alguns números perfeitos. Um fato curioso
é que todos os números perfeitos conhecidos são pares. Não se sabe nada sobre
a existência ou não de números perfeitos ímpares.
Seja n um número natural. Denotemos por S(n) a soma de todos os seus
divisores. Note que S(1) = 1.
O próximo resultado nos fornecerá uma fórmula para S(n), quando n ≥ 2,
em funçãoda decomposição de n em fatores primos.
Proposição 1 Seja n = pα11 · · · pαrr , onde p1, . . . , pr são números primos e α1, . . . , αr ∈ N.
Então,
S(n) =
pα1+11 − 1
p1 − 1
· · · p
αr+1
r − 1
pr − 1
.
Demonstração Considere a igualdade
(1 + p1 + · · ·+ pα11 ) · · · (1 + pr + · · ·+ pαrr ) =
∑
pβ11 · · · pβrr ,
onde o somatório do lado direito da igualdade é tomado sobre todas as r-uplas
(β1, . . . , βr) ao variar de cada βi no intervalo 0 ≤ βi ≤ αi, para i = 0, . . . , r.
Como tal somatório, pela Proposição 5 da Unidade 12, representa a soma de
todos os divisores de n, a fórmula para S(n) resulta aplicando a fórmula da
soma de uma progressão geométrica a cada soma do lado esquerdo da igualdade
acima.
Segue-se imediatamente do resultado acima, o seguinte corolário.
2
Unidade 16Números Perfeitos
Corolário 2A função S(n) é multiplicativa; isto é, se (n,m) = 1, então S(n ·m) =
S(n)S(m).
Exemplo 1
S(3) =
22 − 1
2− 1
= 4.
S(6) = S(2 · 3) = 2
2 − 1
2− 1
32 − 1
3− 1
= 12.
S(18) = S(2 · 32) = 2
2 − 1
2− 1
33 − 1
3− 1
= 39.
S(28) = S(22 · 7) = 2
3 − 1
2− 1
72 − 1
7− 1
= 56.
S(45) = S(32 · 5) = 3
3 − 1
3− 1
52 − 1
5− 1
= 78.
Note que S(18) = 39 6= 48 = S(3)S(6); e, portanto, a conclusão do
corolário acima não vale se (n,m) 6= 1.
Portanto, de�nindo formalmente: um número n é chamado de número per-
feito se o número é igual à soma dos seus divisores distintos dele mesmo, ou
seja, se S(n) = 2n.
O teorema que enunciaremos abaixo, parte devida a Euclides e parte devida a
Euler, caracterizará os números perfeitos pares, relacionando-os com os números
de Mersenne de�nidos na unidade anterior. Antes, porém, daremos um pequeno
lema.
Lema 3Seja n ∈ N. Tem-se que S(n) = n + 1 se, e somente se, n é um número
primo.
DemonstraçãoSe S(n) = n+ 1, segue-se que n > 1 e que os únicos divisores de n são 1
e n; logo, n é primo.
Reciprocamente, se n é primo, da Proposição 1, segue-se que
S(n) =
n2 − 1
n− 1
= n+ 1.
3
Unidade 16
Teorema 4
Euclides-Euler
Um número natural n é um número perfeito par se, e somente se,
n = 2p−1(2p − 1), onde 2p − 1 é um primo de Mersenne.
Demonstração Suponha que n = 2
p−1(2p − 1), onde 2p − 1 é um primo de Mersenne.
Logo, p > 1, e, consequentemente, n é par.
Como 2p − 1 é ímpar, temos que (2p−1, 2p − 1) = 1. Logo, da Proposição
1, do seu corolário e do Lema 1, segue-se que
S(n) = S(2p−1(2p − 1)) = S(2p−1)S(2p − 1) = 2
p − 1
2− 1
2p = 2n.
Portanto, n é perfeito.
Reciprocamente, suponha que n é perfeito e par. Seja 2p−1 a maior potência
de 2 que divide n. Logo, p > 1 e n = 2p−1b com b ímpar. Temos, então, que
(2p−1, b) = 1 e, pela Proposição 1 e o seu corolário, segue-se que S(n) =
(2p − 1)S(b). Como S(n) = 2n, segue-se que
(2p − 1)S(b) = 2pb. (16.1)
Daí segue-se que (2p − 1)|b pois (2p, 2p − 1) = 1. Logo, existe c ∈ N com
c < b tal que
b = c(2p − 1). (16.2)
Substituindo (16.2) em (16.1), segue-se que
(2p − 1)S(b) = 2p(2p − 1)c;
portanto,
S(b) = 2pc. (16.3)
De (16.2) temos que c e b são dois divisores distintos de b tais que c+b = 2pc.
Nesta situação, c = 1. De fato, suponha, por absurdo, que c 6= 1. Temos,
então, que S(b) ≥ 1 + c+ b > c+ b = 2pc. Disto e de (16.3) segue-se que
2pc = c+ b < S(b) = 2pc,
4
Unidade 16Números Perfeitos
contradição.
Portanto, de (16.2) e (16.3) segue-se que S(b) = b + 1. Logo, pelo Lema
1, b é primo. Temos, assim, que n = 2p−1(2p − 1) com 2p − 1 primo.
A primeira parte da demonstração do teorema acima, sem dúvida a mais
fácil, já se encontra nos Elementos de Euclides (Proposição 36, livro IX). A
recíproca data do século 18 e é devida a Euler. O fato do número 2p − 1,
no enunciado do teorema, ser um número primo de Mersenne, implica que
p é primo. Note, ainda, que o teorema reduz a existência ou não de um
número in�nito de números perfeitos pares ao problema análogo para primos de
Mersenne.
5
Unidade 16
Problemas
1. Mostre que a soma dos inversos dos divisores de um número perfeito par
é sempre igual a 2.
2. Seja an = 2
2n(22n+1 − 1). Mostre por indução sobre n que
a2n+1 = 256a2n−1 + 60(16
n),
a2n+2 = 256a2n + 240(16
n).
6
17
1
Fatoração do Fatorial em
Primos
Unidade 17
Nesta Unidade, iremos mostrar como achar a fatoração em números primos
de n!, onde n é um número natural arbitrário.
Se a e b são números naturais, vamos designar pelo símbolo
[
b
a
]
o quociente
da divisão de b por a, na divisão euclidiana.
Note, para uso futuro, que, se a > b > 0, então
[
b
a
]
= 0.
Temos a seguinte propriedade relacionada com os quocientes da divisão
euclidiana:
Proposição 1 Sejam a, b, c ∈ N. Temos que
[a
b
]
c
 = [ a
bc
]
.
Demonstração Sejam
q1 =
[a
b
]
e q2 =

[a
b
]
c
 .
Logo,
a = bq1 + r1, com r1 ≤ b− 1
e [a
b
]
= q1 = cq2 + r2, com r2 ≤ c− 1.
Portanto,
a = bq1 + r1 = b(cq2 + r2) + r1 = bcq2 + br2 + r1.
Como
br2 + r1 ≤ b(c− 1) + b− 1 = bc− 1,
segue-se que q2 é o quociente da divisão de a por bc, ou seja,
q2 =
[ a
bc
]
.
2
Unidade 17Fatoração do Fatorial em Primos
O que acabamos de provar enuncia-se com palavras como: O quociente da
divisão por c do quociente da divisão de a por b é igual ao quociente da divisão
de a por b vezes c.
Dados um número primo p e um número natural m, vamos denotar por
Ep(m) o expoente da maior potência de p que divide m, ou seja, o expoente
da potência de p que aparece na fatoração de m em fatores primos.
Em particular, Ep(n!) representará a potência de p que aparece na fatoração
de n! em fatores primos.
Teorema 2
Legendre
Sejam n um número natural e p um número primo. Então,
Ep(n!) =
[
n
p
]
+
[
n
p2
]
+
[
n
p3
]
+ · · ·
DemonstraçãoNote, inicialmente, que a soma acima é �nita, pois sabemos que existe um
número natural r tal que pi > n para todo i ≥ r; portanto,
[
n
pi
]
= 0, se i ≥ r.
Vamos demonstrar o resultado por indução sobre n. A fórmula vale trivial-
mente para n = 1. Suponha que o resultado vale para qualquer natural m com
m < n. Sabemos que os múltiplos de p entre 1 e n são
p, 2p, . . . ,
[
n
p
]
p.
Portanto,
Ep(n!) =
[
n
p
]
+ Ep
([
n
p
]
!
)
.
Pela hipótese de indução, temos que
Ep
([
n
p
]
!
)
=

[
n
p
]
p
+

[
n
p
]
p2
+ · · ·
O resultado, agora, decorre da Proposição 1.
3
Unidade 17
Na prática, é fácil calcular Ep(n!). Isto se faz com o uso do seguinte
algoritmo:
n = pq1 + r1
q1 = pq2 + r2
. . .
qs−1 = pqs + rs
. . .
Como q1 > q2 > · · · , segue-se que, para algum s, tem-se que qs < p.
Portanto, segue-se que
Ep(n!) = q1 + q2 + · · ·+ qs.
Vamos determinar a decomposição de 10! em fatores primos e descobrir com
quantos zeros termina a representação decimal desse número.
Para resolvermos o problema, deveremos achar Ep(10!) para todo primo
p ≤ 10.
Sendo
E2(10!) = 5 + 2 + 1 = 8, E3(10!) = 3 + 1 = 4, E5(10!) = 2, E7(10!) = 1,
segue-se que
10! = 2834527.
Consequentemente, como há dois fatores iguais a 5 e oito fatores iguais a
2 na decomposição de 10! em fatores primos, vê-se, imediatamente, que 10!
termina com dois zeros.
Para extrairmos um corolário do teorema acima, necessitaremos do seguinte
lema.
Lema 3 Sejam a1, . . . , am, b números naturais. Tem-se que[
a1 + · · ·+ am
b
]
≥
[a1
b
]
+ · · ·+
[am
b
]
.
Demonstração Sejam qi e ri respectivamente o quociente e o resto da divisão de ai por b
para i = 1, . . . ,m. Somando, membro a membro, as igualdades ai = bqi + ri,
segue-se que
a1 + · · ·+ am = (q1 + · · ·+ qm)b+ r1 + · · ·+ rm.
4
Unidade 17Fatoração do Fatorial em Primos
Segue-se daí que o quociente da divisão de a1 + · · ·+ am por b é maior ou
igual do que q1 + · · · + qm, pois r1 + · · · + rm poderia superar b− 1. Isto é o
que se queria provar.
Corolário 4Se a1, . . . , am são números naturais, então é natural o número
(a1 + · · ·+ am)!
a1! · · · am!
.
DemonstraçãoDe fato, pelo Lema 1, para todo número primo p e todo número natural
i, temos que [
a1 + · · ·+ am
pi
]
≥
[
a1
pi
]
+ · · ·+
[
am
pi
]
.
Somando, membro a membro, as desigualdades acima, obtemos que
Ep ((a1 + ·· ·+ an)!) ≥ Ep(a1!) + · · ·+ Ep(am!),
o que prova o resultado.
O próximo resultado relacionará Ep(n!) com a representação p-ádica de n
(i.e., a representação relativa à base p de n).
Teorema 5Sejam p, n ∈ N com p primo. Se
n = nrp
r + nr−1p
r−1 + · · ·+ n1p+ n0
é a representação p-ádica de n, então
Ep(n!) =
n− (n0 + n1 + · · ·+ nr)
p− 1
.
5
Unidade 17
Demonstração Sendo 0 ≤ ni < p, temos que[
n
p
]
= nrp
r−1 + nr−1p
r−2 + · · · + n2p + n1
[
n
p2
]
= nrp
r−2 + nr−1p
r−3 + · · · + n2
. . .[
n
pr
]
= nr
Portanto,
Ep(n!) =
[
n
p
]
+
[
n
p2
]
+ · · ·+
[
n
pr
]
=
nr
pr − 1
p− 1
+ nr−1
pr−2 − 1
p− 1
+ · · ·+ n1 =
nrp
r + nr−1p
r−1 + · · ·+ n1p+ n0 − (nr + nr−1 + · · ·+ n1 + n0)
p− 1
=
n− (n0 + n1 + · · ·+ nr)
p− 1
.
6
Unidade 17Fatoração do Fatorial em Primos
Problemas
1. Ache a decomposição em fatores primos de 100! e determine com quantos
zeros termina a representação decimal desse número.
2. (a) Ache as maiores potências de 2 e de 5 que dividem 10000!.
(b) Determine com quanto zeros termina a representação decimal de
10000!.
(c) Ache a maior potência de 104 que divide 10000!.
3. Ache o menor valor de n, de modo que a maior potência de 5 que divide
n! seja 584. Quais são os outros números que gozam dessa propriedade?
4. Mostre que não há nenhum número natural n tal que 37 seja a maior
potência de 3 que divida n!.
5. Dados a1, . . . , am, b ∈ N, mostre que[a1
b
]
+ · · ·+
[am
b
]
≤
[
a1 + · · ·+ am
b
]
≤
[a1
b
]
+ · · ·+
[am
b
]
+m.
6. Mostre que, se m,n ∈ N são tais que (m,n) = 1, então
(m+ n− 1)!
m!n!
∈ N.
7. Sejam m,n, b ∈ N. Mostre que
(a)
[
2m
b
]
+
[
2n
b
]
≥
[m
b
]
+
[n
b
]
+
[
m+ n
b
]
.
(b)
(2m)!(2n)!
m!n!(m+ n)!
é um número natural.
8. Sejam n,m ∈ N; mostre que (n ·m)! é divisível por [(n!)m, (m!)n].
9. Mostre que (n!)(n−1)! divide (n!)!.
10. Sejam n, a1, . . . ar ∈ N e d = (a1, . . . , ar). Mostre que é natural o
número
d(n− 1)!
a1! · · · ar!
.
7
Unidade 17
Euler, um Gigante da Matemática
Leonhard Euler (1707-1783) foi, sem dúvida, um dos maiores e mais férteis
matemáticos de todos os tempos.
Euler nasceu na Suíça, perto da cidade de Basiléia, �lho de um modesto
pastor protestante que nutria a esperança de que seu �lho seguisse a mesma
carreira.
Euler possuía uma grande facilidade para o aprendizado de línguas e uma
prodigiosa memória, aliada a uma extraordinária habilidade para efetuar men-
talmente contas complexas, habilidade esta que lhe seria muito útil no �nal de
sua vida. Aos 14 anos, ingressou na Universidade da Basiléia, onde foi aluno de
Johann Bernoulli, com quem teve a sua verdadeira iniciação à matemática. Aos
20 anos de idade, Euler recebeu menção honrosa da Academia de Ciências de
Paris por um trabalho sobre a trajetória do mastro de um barco em movimento,
ganhando reconhecimento internacional.
Em 1727, começa a sua carreira pro�ssional, assumindo uma posição como
físico na nova Academia de São Petersburgo, na Rússia. Foi nessa época que
conheceu Christian Goldbach, que chamou a sua atenção para os problemas
tratados por Fermat, fato esse responsável pela grande obra de Euler em Arit-
mética. Em 1733, Euler assumiu a cátedra de matemática na Academia de São
Petersburgo.
Um de seus primeiros grandes sucessos em matemática foi calcular, em 1735,
o valor exato da soma in�nita
1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+
1
25
+ · · ·
Cálculos numéricos indicavam que o valor aproximado desta soma era 8/5,
�cando em aberto, por cerca de um século, o problema de determinar o valor
exato da soma. Euler surpreendeu os matemáticos provando que a soma da
série é π2/6.
Euler produziu freneticamente resultados matemáticos ao longo de sua longa
vida cientí�ca, que só cessou com a sua morte. Em 1738, Euler perde a visão
de seu olho direito, �cando totalmente cego em 1771, não diminuindo por isto
a sua produtividade cientí�ca. Durante muito tempo, cerca de metade de cada
volume dos anais da Academia de São Petersburgo era dedicada a seus trabalhos
e, durante 48 anos após a sua morte, ainda neles eram publicados artigos seus.
8
Unidade 17Fatoração do Fatorial em Primos
Euler escreveu sobre os mais variados assuntos, tais como, teoria das funções,
cálculo diferencial e integral, números complexos, acústica, música, teoria dos
números, teoria das partições e mecânica, entre muitos outros, ocupando, in-
discutivelmente, um lugar entre os maiores matemáticos de todos os tempos.
9
18
1
Congruências
Unidade 18
Nesta unidade, apresentaremos uma das noções mais fecundas da aritmé-
tica, introduzida por Gauss no seu livro Disquisitiones Arithmeticae, de 1801.
Trata-se da realização de uma aritmética com os restos da divisão euclidiana
por um número �xado.
Seja m um número natural diferente de zero. Diremos que dois números
inteiros a e b são congruentes módulo m se os restos de sua divisão euclidia-
na por m são iguais. Quando os inteiros a e b são congruentes módulo m,
escreve-se
a ≡ b mod m.
Por exemplo, 21 ≡ 13 mod 2, já que os restos da divisão de 21 e de 13 por
2 são iguais a 1.
Quando a relação a ≡ b mod m for falsa, diremos que a e b não são con-
gruentes, ou que são incongruentes, módulo m. Escreveremos, neste caso,
a 6≡ b mod m.
Como o resto da divisão de um número inteiro qualquer por 1 é sempre nulo,
temos que a ≡ b mod 1, quaisquer que sejam a, b ∈ Z. Isto torna desinteres-
sante a aritmética dos restos módulo 1. Portanto, doravante, consideraremos
sempre m > 1.
Decorre, imediatamente, da de�nição que a congruência, módulo um inteiro
�xado m, é uma relação de equivalência. Vamos enunciar isto explicitamente
abaixo.
Proposição 1 Seja m ∈ N. Para todos a, b, c ∈ Z, tem-se que
(i) a ≡ a mod m,
(ii) se a ≡ b mod m, então b ≡ a mod m,
(iii) se a ≡ b mod m e b ≡ c mod m, então a ≡ c mod m.
Para veri�car se dois números são congruentes módulo m, não é necessário
efetuar a divisão euclidiana de ambos por m para depois comparar os seus
restos. É su�ciente aplicar o seguinte resultado:
2
Unidade 18Congruências
Proposição 2Suponha que a, b,m ∈ Z, com m > 1. Tem-se que a ≡ b mod m se, e
somente se, m | b− a.
DemonstraçãoSejam a = mq + r, com r < m e b = mq
′ + r′, com r′ < m, as divisões
euclidianas de a e b por m, respectivamente. Logo,
b− a = m(q′ − q) + (r′ − r).
Portanto, a ≡ b mod m se, e somente se, r = r′, o que, em vista da
igualdade acima, é equivalente a dizer que m|b− a, já que |r − r′| < m.
Note que todo número inteiro é congruente módulo m ao seu resto pela
divisão euclidiana porm e, portanto, é congruente módulom a um dos números
0, 1, . . . ,m− 1. Além disso, dois desses números distintos não são congruentes
módulo m.
Portanto, para achar o resto da divisão de um número a por m, basta achar
o número natural r dentre os números 0, . . . ,m − 1 que seja congruente a a
módulo m.
Chamaremos de sistema completo de resíduos módulom a todo conjunto de
números inteiros cujos restos pela divisão por m são os números 0, 1, . . . ,m−1,
sem repetições e numa ordem qualquer.
Portanto, um sistema completo de resíduos módulo m possui m elementos.
É claro que, se a1, . . . , am são m números inteiros, dois a dois não congru-
entes módulo m, então eles formam um sistema completo de resíduos módulo
m. De fato, os restos da divisão dos ai por m são dois a dois distintos, o que
implica que são os números 0, 1, . . . ,m− 1 em alguma ordem.
O que torna útil e poderosa a noção de congruência é o fato de ser uma
relação de equivalência compatível com as operações de adição e multiplicação
nos inteiros, conforme veremos na proposição a seguir.
Proposição 3Sejam a, b, c, d,m ∈ Z, com m > 1.
(i) Se a ≡ b mod m e c ≡ d mod m, então a+ c ≡ b+ d mod m.
(ii) Se a ≡ b mod m e c ≡ d mod m, então ac ≡ bd mod m.
3
Unidade 18
Demonstração Suponhamos que a ≡ b mod m e c ≡ d mod m. Logo, temos que
m | b− a e m | d− c.
(i) Basta observar que m | (b−a)+(d− c) e, portanto, m | (b+d)− (a+ c),
o que prova essa parte do resultado.
(ii) Basta notarque bd− ac = d(b− a)+ a(d− c) e concluir que m | bd− ac.
Corolário 4 Para todos n ∈ N, a, b ∈ Z, se a ≡ b mod m, então tem-se que an ≡
bn mod m.
Demonstração A demonstração faz-se por indução sobre n e não apresenta nenhuma
di�culdade.
Com a notação de congruências, o Pequeno Teorema de Fermat se enuncia
como se segue:
Se p é número primo e a ∈ Z, então
ap ≡ a mod p.
Além disso, se p 6 |a, então
ap−1 ≡ 1 mod p.
Exemplo 5 Sejam p um número primo e a, b ∈ Z. Vamos mostrar que
(a+ b)p ≡ ap + bp mod p.
O resultado decorre da formulação acima do Pequeno Teorema de Fermat,
pois
(a+ b)p ≡ a+ b ≡ ap + bp mod p.
Exemplo 6 Se a, b ∈ Z e p é primo, então (a− b)p ≡ ap − bp mod p.
4
Unidade 18Congruências
Pelo Exemplo 5, temos que
ap = (a− b+ b)p ≡ (a− b)p + bp mod p,
o que implica o resultado.
Exemplo 7Sejam a, b ∈ Z e p um número primo. Vamos mostrar que
ap ≡ bp mod p =⇒ ap ≡ bp mod p2.
De fato, sabemos, pelo Exemplo 6, que
ap − bp ≡ (a− b)p mod p.
Como, por hipótese, temos que p divide ap − bp, segue-se, da congruência
acima, que p|(a − b)p, logo p|a − b; ou seja, a ≡ b mod p. Isto implica que
ai ≡ bi mod p para todo i ∈ N. Decorre daí que
ap−1 + bap−2 + · · ·+ bp−2a+ bp−1 ≡ pbp−1 ≡ 0 mod p.
Logo, o resultado decorre, pois
ap − bp = (a− b)(ap−1 + bap−2 + · · ·+ bp−2a+ bp−1),
e ambos os fatores no lado direito são divisíveis por p.
Proposição 8Sejam a, b, c,m ∈ Z, com m > 1. Tem-se que
a+ c ≡ b+ c mod m ⇐⇒ a ≡ b mod m.
DemonstraçãoSe a ≡ b mod m, segue-se imediatamente da Proposição 3.i que a+ c ≡
b+ c mod m, pois c ≡ c mod m.
Reciprocamente, se a+ c ≡ b+ c mod m, então m|b+ c− (a+ c), o que
implica que m|b− a e, consequentemente, a ≡ b mod m.
A proposição acima nos diz que, para as congruências, vale o cancelamento
com relação à adição. Entretanto, não vale, em geral, o cancelamento para a
multiplicação, como pode-se veri�car no exemplo a seguir.
5
Unidade 18
Exemplo 9 Como 6 ·9−6 ·5 = 24 e 8|24, temos que 6 ·9 ≡ 6 ·5 mod 8, e, no entanto,
9 6≡ 5 mod 8.
Iremos, a seguir, dar um resultado relacionado com o cancelamento multi-
plicativo.
Proposição 10 Sejam a, b, c,m ∈ Z, com c 6= 0 e m > 1. Temos que
ac ≡ bc mod m ⇐⇒ a ≡ b mod m
(c,m)
.
Demonstração
Como
m
(c,m)
e
c
(c,m)
são coprimos, temos que
ac ≡ bc mod m ⇐⇒ m|(b− a)c⇐⇒ m
(c,m)
|(b− a) c
(c,m)
⇐⇒ m
(c,m)
|b− a⇐⇒ a ≡ b mod m
(c,m)
.
Corolário 11 Sejam a, b, c,m ∈ Z, com m > 1 e (c,m) = 1. Temos que
ac ≡ bc mod m ⇐⇒ a ≡ b mod m.
Proposição 12 Sejam a, k,m ∈ Z, com m > 1 e (k,m) = 1. Se a1, . . . , am é um sistema
completo de resíduos módulo m, então
a+ ka1, . . . , a+ kam
também é um sistema completo de resíduos módulo m.
6
Unidade 18Congruências
DemonstraçãoComo, do corolário acima, para i, j = 0, . . .m− 1, temos que
a+ kai ≡ a+ kaj mod m ⇐⇒ kai ≡ kaj mod m
⇐⇒ ai ≡ aj mod m ⇐⇒ i = j.
Isto mostra que a+ka1, . . . , a+kam são, dois a dois, não congruentes módulo
m e, portanto, formam um sistema completo de resíduos módulo m.
Daremos, a seguir, propriedades adicionais das congruências relacionadas
com a multiplicação.
Proposição 13Sejam a, b ∈ Z. Se m,n,m1, . . . ,mr são inteiros maiores do que 1, temos
que
(i) se a ≡ b mod m e n|m, então a ≡ b mod n;
(ii) a ≡ b mod mi, ∀ i = 1, . . . , r ⇐⇒ a ≡ b mod [m1, . . . ,mr];
(iii) se a ≡ b mod m, então (a,m) = (b,m).
Demonstração
(i) Se a ≡ b mod m, então m|b−a. Como n|m, segue-se que n|b−a. Logo,
a ≡ b mod n.
(ii) Se a ≡ b mod mi, i = 1, . . . , r, então mi|b−a, para todo i. Sendo b−a
um múltiplo de cada mi, segue-se que [m1, . . . ,mr]|b − a, o que prova
que a ≡ b mod [m1, . . . ,mr].
A recíproca decorre do ítem (i).
(iii) Se a ≡ b mod m, então m|b − a e, portanto, b = a + tm com t ∈ Z.
Logo, pelo Lema de Euclides, Unidade 5, temos que
(a,m) = (a+ tm,m) = (b,m).
7
Unidade 18
Exemplo 14 Vamos achar o menor múltiplo positivo 7u de 7 que deixa resto 1 quando
dividido por 2, 3, 4, 5 e 6.
Portanto, queremos achar a menor solução positiva u do seguinte sistema
de congruências:
7X ≡ 1 mod 2, mod3, mod4, mod5 e mod 6.
Pela Proposição 7(ii), temos que toda solução simultânea das congruências
acima é solução da congruência
7X ≡ 1 mod [2, 3, 4, 5, 6],
e reciprocamente.
Portanto, devemos achar a solução positiva mínima u da congruência 7X ≡
1 mod 60.
Por outro lado, resolver a congruência 7X ≡ 1 mod 60 é equivalente a
resolver a equação diofantina 7X − 60Y = 1.
Pelo Algoritmo de Euclides, temos que
60 = 7 · 8 + 4
7 = 4 · 1 + 3
4 = 3 · 1 + 1
Portanto,
1 = 4−3 ·1 = 4− (7−4) = 2 ·4−7 = 2(60−7 ·8)−7 = 7 · (−17)−60 · (−2).
Decorre daí que x0 = −17 e y0 = −2 é uma solução particular da equação
diofantina 7X − 60Y = 1. Logo, a solução geral é dada por x = −17 + t60 e
y = −2− t7, com t ∈ Z.
Portanto, o menor valor positivo de u de modo que exista v para os quais u, v
é uma solução da equação diofantina 7X − 60Y = 1 é u = −17 + 1 · 60 = 43.
Segue-se, então, que o número procurado é 7 · 43 = 301.
Exemplo 15 Vamos achar o resto da divisão de 23728 por 13.
8
Unidade 18Congruências
Certamente, calcular a potência 23728, para depois dividir o resultado por
13, não é o melhor caminho. Faremos isto de modo mais econômico.
Inicialmente, note que 237 ≡ 3 mod 13, pois 3 é o resto da divisão de 237
por 13. Pelo Pequeno Teorema de Fermat, segue-se que 23712 ≡ 1 mod 13.
Logo, pelo Corolário da Proposição 3, temos que
(23712)2 = 23724 ≡ 1 mod 13. (18.1)
Analogamente, temos que
2374 ≡ 34 ≡ 81 ≡ 3 mod 13. (18.2)
Usando 18.1, 18.2 e a Proposição 3.ii, temos que 23728 ≡ 3 mod 13.
Portanto, o resto da divisão de 23728 por 13 é 3.
Exemplo 16Vamos mostrar que 45|133n + 173n, para todo número natural ímpar n.
De fato,
133 = 132 · 13 ≡ 34 · 13 = 442 ≡ 37 ≡ −8 mod 45,
logo,
133 ≡ −8 mod 45.
Portanto, como n é ímpar, pelo Corolário da Proposição 3, temos que
133n ≡ −8n mod 45. (18.3)
Por outro lado, como
173 = 172 · 17 ≡ 19 · 17 = 323 ≡ 8 mod 45,
segue-se que
173n ≡ 8n mod 45. (18.4)
Agora, o resultado segue imediatamente de 18.3, 18.4 e da Proposição 3.i.
9
Unidade 18
Exemplo 17 Vamos determinar o algarismo das unidades do número 77
7
.
De fato, vamos determinar, mais geralmente, o algarismo das unidades de
todo número da forma 77
α
, onde α é um número natural ímpar.
Note, inicialmente, que 7 ≡ −3 mod 10 e, portanto, pelo Corolário da
Proposição 3, temos que
77
α ≡ −37α mod 10.
Por outro lado, de 32 ≡ −1 mod 10, do fato de (7α − 1)/2 é ímpar (veja
Exemplo 5 da Unidade 2) e do Corolário da Proposição 3, temos que
(32)
7α−1
2 ≡ −1 mod 10.
Logo,
37
α
+ 3 = 3[(32)
7α−1
2 + 1] ≡ 0 mod 10,
e, portanto,
77
α ≡ 77α + 37α + 3 ≡ 3 mod 10.
Consequentemente, o algarismo das unidades de 77
α
é 3.
10
Unidade 18Congruências
Problemas
1. Sejam a, p ∈ N, com p primo. Mostre que, se a2 ≡ 1 mod p, então
a ≡ 1 mod p ou a ≡ p− 1 mod p.
2. Ache o resto da divisão
(a) de 710 por 51
(b) de 2100 por 11
(c) de 521 por 127
(d) de 14256 por 17
(e) de (116 + 1717)21 por 8
(f) de 1316 − 225515 por 3
(g) de 1! + 2! + · · ·+ (1010)! por 40
3. (ENC 98) O resto da divisão de 1212 por 5 é:
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
4. Para todo n ∈ N, mostre que
(a) 1016n − 1 é divisível por 70;
(b) 198n − 1 é divisível por 17.
5. Determine o resto da divisão por 7 do número
(a) 1010 + 1010
2
+ 1010
3
+ · · ·+ 1010100
(b) 17 + 27 + · · ·+ 1007
(c) 16 + 26 + · · ·+ 1006
(d) 22225555 + 55552222
6. Determine o resto da divisão por 4 do número
(a) 1 + 2 + 22 + · · ·+ 219
(b) 15 + 25 + · · ·+ 1005
11
Unidade 18
7. Determine o algarismo das unidades do número 99
9
.
8. Ache os algarismos das centenas e das unidades do número 7999999.
9. Mostre, para todo n ∈ N, que
(a) 102n ≡ 1 mod 11
(b) 102n+1 ≡ −1 mod 11
10. (ENC 2000) Se x2 ≡ 1 mod 5, então,
(A) x ≡ 1 mod 5
(B) x ≡ 2 mod 5
(C) x ≡ 4 mod 5
(D) x ≡ 1 mod 5 ou x ≡ 4 mod 5
(E) x ≡ 2 mod 5 ou x ≡ 4 mod 5
11. Suponha que m = pα11 · · · pαrr . Mostre que
a ≡ b mod m ⇐⇒ a ≡ b mod pαii , i = 1, . . . , r.
12. Ache o menor número natural que deixa restos 5, 4, 3 e 2 quandodividido,
respectivamente, por 6, 5, 4 e 3.
13. (a) Mostre que todo quadrado perfeito é congruente, módulo 8, a um
dos números 0, 1 ou 4.
(b) Mostre que não há nenhum quadrado perfeito na sequência:
2, 22, 222, 2222, 22222, . . .
(c) Mostre que não há nenhum quadrado perfeito na PA: 3, 11, 19, . . . .
14. Mostre que a soma dos quadrados de quatro números naturais consecu-
tivos nunca pode ser um quadrado.
15. Mostre que nenhum número natural da forma 4n + 3 pode ser escrito
como a soma de dois quadrados.
16. Se k > 2, mostre, para a ímpar, que a2
k−2 ≡ 1 mod 2k.
12
19
1
Aplicações de
Congruências
Unidade 19
A seguir, daremos algumas aplicações da noção de congruência.
Exemplo 1 Vamos mostrar que o número de Mersenne M83 = 2
83 − 1 não é primo,
apesar de 83 ser primo.
De fato, temos que
28 = 256 ≡ 89 mod 167
216 ≡ 892 = 7921 ≡ 72 mod 167
232 ≡ 722 = 5184 ≡ 7 mod 167
264 ≡ 72 = 49 mod 167
Daí, segue-se que
283 = 26421623 ≡ 49 · 72 · 8 ≡ 1 mod 167,
o que implica que 283 − 1 é divisível por 167.
Exemplo 2 Vamos provar neste exemplo o resultado de Euler que a�rma que o quinto
número de Fermat F5 = 2
25 + 1 não é primo.
Note que, da igualdade 641 = 5 · 27 + 1, temos que 5 · 27 ≡ −1 mod 641.
Portanto, pelo Corolário da Proposição 3 da Unidade 18, segue-se que
54228 = (5 · 27)4 ≡ (−1)4 = 1 mod 641.
Disto, e da igualdade 641 = 54 + 24, temos que 54 · 228 + 232 ≡ 0 mod 641,
logo 1 + 22
5 ≡ 0 mod 641, o que mostra que 641|F5.
Exemplo 3 Critérios de divisibilidade por 2, 5 e 10.
Na Unidade 3, discutimos critérios de divisibilidade por 2, 5, e 10. Revisa-
remos aqui estes critérios usando a noção de congruência.
Notando que 10 ≡ 0 mod 2, 10 ≡ 0 mod 5 e 10 ≡ 0 mod 10, temos que
ni10
i ≡ 0 mod 2, mod 5, mod 10; i ≥ 1;
portanto, dado um número n = nrnr−1 . . . n0, na base 10, temos que
n ≡ n0 mod 2, mod 5, mod 10,
2
Unidade 19Aplicações de Congruências
o que nos diz que n é divisível por 2, 5 ou 10 se, e somente se, n0 é divisível
por 2, 5 ou 10. Daí decorrem os critérios que apresentamos na Proposição 1 e
no Problema 3 da Unidade 3.
Exemplo 4Critérios de divisibilidade por 3 e 9.
Vamos revisar estes critérios já apresentados na Unidade 3.
Como 10 ≡ 1 mod 3, mod 9, segue-se que ni10i ≡ ni mod 3, mod 9.
Isto mostra que, se n é representado na base 10 como nrnr−1 . . . n0, então
n ≡ nr + nr−1 + · · ·+ n0 mod 3, mod 9,
o que prova que n é divisível por 3 ou 9 se, e somente se, nr + nr−1 + · · ·+ n0
é divisível, respectivamente, por 3 ou por 9.
Isto justi�ca a famosa regra dos �noves fora", que se enuncia como se segue:
Para veri�car se um dado número é divisível por 3 ou por 9, somam-se os
seus algarismos, desprezando-se, ao efetuar a soma, cada parcela igual a nove.
Se o resultado �nal for 0, então o número é divisível por 9. Se o resultado for
um dos algarismos 0, 3 ou 6, então o número é divisível por 3.
Exemplo 5Critério de divisibilidade por 11
Como 10 ≡ −1 mod 11, pelo Corolário da Proposição 3 da Unidade 18,
temos que 102n ≡ 1 mod 11 e 102n+1 ≡ −1 mod 11.
Seja n = nr · · ·n5n4n3n2n1n0 um número escrito na base 10. Temos,
então, que
n0 ≡ n0 mod11
n110 ≡ −n1 mod11
n210
2 ≡ n2 mod11
n310
3 ≡ −n3 mod11
. . .
Somando, membro a membro, as congruências acima, temos que
n ≡ n0 − n1 + n2 − n3 + · · · mod 11
Portanto, n é divisível por 11 se, e somente se, é divisível por 11 o número
n0 − n1 + n2 − n3 + · · · .
3
Unidade 19
Exemplo 6 Prova dos nove.
A prova dos nove é um teste que se realiza nas quatro operações para detec-
tar erros de contas. Como exemplo, suponhamos que efetuamos a multiplicação
a · b, obtendo o resultado c, cuja exatidão queremos veri�car.
Suponha que na base 10 tenhamos
a = anan−1 . . . a1a0, b = bmbm−1 . . . b1b0, c = crcr−1 . . . c1c0.
Após ter posto os noves fora em a0 + a1 + · · · an, obtém-se o algarismo a′.
Fazendo o mesmo para b e c, obtemos os algarismos b′ e c′. Efetua-se a
multiplicação a′ · b′ e põem-se os noves fora, obtendo c′′. Se c′ 6= c′′, então,
certamente, foi cometido um erro na operação. A justi�cativa é a seguinte:
c′ ≡ c ≡ a · b ≡ a′ · b′ ≡ c′′ mod 9,
com c < 9 e c′ < 9.
Caso c′ = c′′, nada podemos a�rmar quanto à exatidão da operação efetu-
ada, mas podemos garantir que a nossa conta tornou-se mais con�ável por ter
passado por um teste.
Exemplo 7 Todo número da forma an = 2
2n(22n+1 − 1), onde n ∈ N, na sua repre-
sentação decimal, ou termina em 28 ou termina em a6, onde a é um algarismo
ímpar. Em particular, todo número perfeito par termina de um desses modos.
De fato, recorde que, pelo Problema 2 da Unidade 16, temos que
a2k+2 = 256a2k + 240 · 16k e a2k+1 = 256a2k−1 + 60 · 16k.
Faremos agora a análise dos últimos dois algarismos de 16n ao variar de n
em N.
Temos que
16 ≡ 16 mod100
162 ≡ 56 mod100
163 ≡ 96 mod100
164 ≡ 36 mod100
165 ≡ 76 mod100
166 ≡ 16 mod100,
4
Unidade 19Aplicações de Congruências
e, daí para a frente, esses números se repetem periodicamente.
Portanto, para todo n ∈ N, os dois últimos algarismos de 16n são da forma
b6, onde b é ímpar.
Observe agora que a2 = 496, logo, termina em a6, onde a é ímpar. Vamos
provar, por indução sobre n, que o mesmo ocorre para todos os números da
forma a2n. Suponha que a2n termina em a6, onde a é um algarismo ímpar;
logo,
a2(n+1) = 256a2n + 240 · 16n ≡ 56 · a6 + 40 · 16n ≡
(50 + 6)(10a+ 6) + 40(10b+ 6) ≡ 10(6a+ 3 + 4) + 6 ≡
10c+ 6 mod 100,
onde c é um algarismo. O resultado, portanto, segue-se neste caso, pois o
número 6a+ 3 + 4 é ímpar.
Observe agora que a1 = 28; logo, termina em 28. Vamos provar por indução
sobre n que o mesmo ocorre para todos os números da forma a2n+1. Suponha
que a2n−1 termina em 28. Logo,
a2n+1 = 256a2n−1 + 60 · 16n ≡ 56 · 28 + 60 · 16n ≡
56 · 28 + 60(10b+ 6) ≡ 68 + 60 ≡ 28 mod 100,
Exemplo 8Vamos mostrar que, dado um número natural m ∈ N, existe um número
de Fibonacci un tal que m|un.
De fato, sejam r1, r2, . . ., respectivamente, os restos da divisão por m de
u1, u2, . . .. Como, para todo i, tem-se que 0 6 ri < m, segue-se que existem,
no máximo, m2 pares ri, ri+1 distintos. Portanto, dentre os pares r1, r2; r2, r3;
. . . ; rm2+1, rm2+2 existe pelo menos um par que se repete. Seja k o menor
índice para o qual rk, rk+1 se repete. Vamos mostrar que k = 1.
Suponha, por absurdo, que k > 1. Seja rl, rl+1 um par que repete rk, rk+1.
Como
rk−1 ≡ uk−1 = uk+1 − uk ≡ rk+1 − rk = rl+1 − rl ≡
ul+1 − ul = ul−1 ≡ rl−1 mod m,
segue-se que o par rk−1, rk é igual ao par rl−1, rl, o que contradiz a minimalidade
de k.
5
Unidade 19
Seja agora rs, rs+1, com s > 2, um par que repete o par r1, r2, que é o par
1, 1. Temos então que
us−1 = us+1 − us ≡ rs+1 − rs = 1− 1 = 0 mod m.
Isto nos diz que m | us−1, provando que existe pelo menos um número de
Fibonacci divisível por m.
Decorre daí e do Problema 1 da Unidade 11 que existem in�nitos números
de Fibonacci divisíveis por m. Deduz-se, ainda, que, dado um número primo
p qualquer, existe um número de Fibonacci divisível por p; ou seja, nas de-
composições dos números de Fibonacci em fatores primos aparecem todos os
números primos.
No próximo exemplo mostraremos como determinar todos os números de
Fibonacci divisíveis por um dado número natural m.
Exemplo 9 Seja m um número natutal, de�namos
Dm = {n ∈ N; m | un }.
Do exemplo anterior, sabemos que Dm 6= ∅. Seja n0 o menor elemento de Dm.
Vamos mostrar que
Dm = n0N = {n0x; x ∈ N }.
De fato, sabemos que n0N ⊂ Dm, já que, pelo Corolário do Teorema 1 da
Unidade 11, todo elemento n0x de n0N é tal que un0 | un0x, logo m | n0x; ou
seja, n0x ∈ Dm.
Reciprocamente, seja n ∈ Dm. Escrevamos
n = n0x+ r, com 0 6 r < n0.
Pelo Teorema 1 da Unidade 11, temos que
(un, un0) = (un0 , ur).
Daí, como m | un e m | un0 , segue-se que m | ur, o que contradiria a mini-
malidade de n0, a menos que r = 0. Portanto, conclui-se que também vale
Dm ⊂ n0N.
6
Unidade 19Aplicações de Congruências
Assim, provamos que Dm = n0N.
Portanto, para achar os números de Fibonacci divisíveis por um número
natural n, bastaachar o primeiro deles un0 e tomar todos os un para os quais
n ∈ n0N. Por uma análise grosseira do Exemplo 8, pode-se ver facilmente que
o número n0 se encontra no conjunto {1, 2, . . . ,m2}.
O exemplo acima esclarece vários resultados que encontramos pelo caminho,
como, por exemplo, os Problemas 1 a 5 e o Exemplo 1 da Unidade 11.
7
Unidade 19
Problemas
1. (a) Usando o fato de que 100 é divisível por 4, 25 e 100, ache critérios
de divisibilidade por 4, 25 e 100.
(b) Considerando que 1000 é divisível por 8, 125 e 1000, ache critérios
de divisibilidade por 8, 125 e 1000.
2. Mostre que um número natural na base 10 é divisível por 6 se, e somente
se, a soma do algarismo da unidade com o quádruplo de cada um dos
outros algarismos é divisível por 6.
3. Usando o fato de que
103 ≡ −1 mod 7, mod11, mod13,
prove o seguinte critério de divisibilidade por 7, 11 e 13:
Um número natural n = nr . . . n2n1n0, escrito na base 10, é divisível por
7, 11 ou 13, se, e somente se,
n2n1n0−n5n4n3+n8n7n6−n11n10n9+· · · ≡ 0 mod 7, mod 11, mod 13.
4. Analisando os 12 primeiros termos da sequência de Fibonacci, determine
os números de Fibonacci que são divisíveis por 8, por 11, por 13 ou por
16.
8
20
1
Os Teoremas de Euler e
Wilson
Sumário
20.1 Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
20.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
20.3 Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
20.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
20.5 Problemas Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . 17
Unidade 20 Teorema de Euler
Neste capítulo, estudaremos dois importantes teoremas em Teoria dos Números:
o Teorema de Euler, uma generalização do Pequeno Teorema de Fermat, e um
teorema de Lagrange, conhecido pelo nome de Teorema de Wilson.
20.1 Teorema de Euler
Será muito útil, no que se segue, decidir se a congruência aX ≡ 1 mod m
possui alguma solução em X. A este propósito, temos o seguinte resultado:
Proposição 1 Sejam a,m ∈ Z, com m > 1. A congruência aX ≡ 1 mod m possui
solução se, e somente se, (a,m) = 1. Além disso, se x0 ∈ Z é uma solução,
então x é uma solução da congruência se, e somente se, x ≡ x0 mod m.
Demonstração A congruência acima tem uma solução x0 se, e somente se, m|ax0 − 1, o
que equivale a dizer que a equação diofantina aX − mY = 1 possui solução
em números inteiros. Em virtude da Proposição 1 da Unidade 8, isto ocorre se,
e somente se, (a,m) = 1.
Por outro lado, observe que, se x0 e x são soluções da congruência aX ≡
1 mod m, então ax ≡ ax0 mod m, o que implica, em virtude do Corolário da
Proposição 5 da Unidade 18, que x ≡ x0 mod m.
Observe, ainda, que se x0 é solução da congruência aX ≡ 1 mod m, e
x ≡ x0 mod m, então x é também solução da mesma congruência, pois
ax ≡ ax0 ≡ 1 mod m.
Uma solução da congruência aX ≡ 1 mod m determina e é determinada
por qualquer outra solução. Se considerarmos que duas soluções congruentes
módulo m são, essencialmente, a mesma, temos a unicidade da solução da
congruência aX ≡ 1 mod m.
Um sistema reduzido de resíduos módulo m é um conjunto de números
inteiros r1, . . . , rs tais que
a) (ri,m) = 1, para todo i = 1, . . . , s;
2
Unidade 20Os Teoremas de Euler e Wilson
b) ri 6≡ rj mod m, se i 6= j;
c) Para cada n ∈ Z tal que (n,m) = 1, existe i tal que n ≡ ri mod m.
Pode-se obter um sistema reduzido de resíduos r1, . . . , rs, módulo m, a
partir de um sistema completo qualquer de resíduos a1, . . . , am, módulo m,
eliminando os elementos ai que não são primos com m.
De fato, as propriedades (i) e (ii) da de�nição são claramente veri�cadas
para r1, . . . , rs. Por outro lado, dado um número inteiro n, existe j tal que
n ≡ aj mod m. Se (n,m) = 1, então, pela Proposição 7(iii) da Unidade 18,
(aj,m) = 1 e, portanto, para algum j, temos que aj = ri e, consequentemente,
n ≡ ri mod m.
Vamos agora veri�car que dois sistemas reduzidos de resíduos módulo m
têm o mesmo número de elementos.
Sejam r1, . . . rs r
′
1, . . . , r
′
t dois sistemas reduzidos de resíduos módulo m.
Vamos estabelecer uma bijeção entre esses dois conjuntos. Dado r′i, temos que
(r′i,m) = 1. Como r1, . . . , rs formam um sistema reduzido de resíduos módulo
m, então existe um único j tal que r′i ≡ rj mod m. Isso de�ne uma função
f entre os dois sistemas. Reciprocamente, do mesmo modo, está bem de�nida
uma função g de {r′1, . . . , r′t} em {r1, . . . rs}. Suponha que g(r′i) = rk, então
r′i ≡ rk mod m. Como também r′i ≡ rj mod m, segue que rj ≡ rk mod m
e, consequentemente, rj ≡ rk mod m, mostrando que g é a função inversa de
f .
Designaremos por ϕ(m) o número de elementos de um sistema reduzido de
resíduos módulo m > 1, que corresponde à quantidade de números naturais
entre 0 e m − 1 que são primos com m. Pondo ϕ(1) = 1, isto de�ne uma
importante função
ϕ : N −→ N,
chamada função � de Euler.
Pela de�nição, temos que
ϕ(m) ≤ m− 1, para todo n > 2.
Além disso, se m > 2, então ϕ(m) = m − 1 se, e somente se, m é um
número primo.
3
Unidade 20 Teorema de Euler
De fato, m é primo se, e somente se, 1, 2, . . . ,m − 1 formam um sistema
reduzido de resíduos módulo m, o que equivale a dizer que ϕ(m) = m− 1.
Mais adiante, mostraremos como calcular ϕ(m), em geral.
A função ϕ é de grande utilidade em Teoria dos Números. Uma das primeiras
aplicações pode ser apreciada no seguinte exemplo.
Exemplo 2 Se n = kd, com k, d ∈ N, então a quantidade de números naturais m tais
que 1 ≤ m ≤ n e (n,m) = d é ϕ(k).
De fato, temos que
1 ≤ m ≤ n e (m, kd) = d ⇐⇒ m = λd, com 1 ≤ λ ≤ k e (λ, k) = 1.
Portanto, a quantidade de números naturais m, como acima, é igual à
quantidade dos λ ∈ N tais que 1 ≤ λ ≤ k e (λ, k) = 1; ou seja, ϕ(k).
Exemplo 3 Seja n ∈ N. Tem se que∑
d|n
ϕ(d) = n, d ∈ N.
Este resultado encontra-se no art. 39 do livro Disquisitiones Arithmeticae
de Gauss.
De fato, seja I = {1, 2, . . . , n} e seja d ∈ N tal que d|n. De�na
Id = {m ∈ I; (m,n) = d}.
Note que, se d 6= d′, então
Id ∩ Id′ = ∅, e
⋃
d|n
Id = I.
Portanto,
n = #I =
∑
d|n
#Id.
Por outro lado, os elementos de Id são os múltiplos de d da forma md, com
(m,
n
d
) = 1 e m ≤ n
d
. Portanto,
#Id = ϕ
(n
d
)
.
4
Unidade 20Os Teoremas de Euler e Wilson
Note que, quando d percorre todos os divisores de n, os números
n
d
também
percorrem todos os divisores de n, logo,
n =
∑
d|n
#Id =
∑
d|n
ϕ
(n
d
)
=
∑
d|n
ϕ(d).
Por exemplo, temos que
ϕ(1) + ϕ(2) + ϕ(3) + ϕ(4) + ϕ(6) + ϕ(9) + ϕ(12) + ϕ(18) + ϕ(36) = 36.
Proposição 4Seja r1, . . . , rϕ(m) um sistema reduzido de resíduos módulo m e seja a ∈ Z
tal que (a,m) = 1. Então, ar1, . . . , arϕ(m) é um sistema reduzido de resíduos
módulo m.
DemonstraçãoSeja a1, . . . , am um sistema completo de resíduos módulo m do qual foi
retirado o sistema reduzido de resíduos r1, . . . , rϕ(m). Do fato de que (ai,m) =
1 se, e somente se, (aai,m) = 1, o resultado segue.
Teorema 5
Euler
Sejam m, a ∈ Z com m > 1 e (a,m) = 1. Então,
aϕ(m) ≡ 1 mod m.
DemonstraçãoSeja r1, . . . , rϕ(m) um sistema reduzido de resíduos módulo m. Logo, pela
Proposição 2, ar1, . . . , arϕ(m) formam um sistema reduzido de resíduos módulo
m. Portanto,
aϕ(m)r1 · r2 · · · rϕ(m) = ar1 · ar2 · · · arϕ(m) ≡ r1 · r2 · · · rϕ(m) mod m.
Como (r1 · r2 · · · rϕ(m),m) = 1, segue-se, pelo Corolário da Proposição 5 da
Unidade 18, que
aϕ(m) ≡ 1 mod m.
5
Unidade 20 Teorema de Euler
Corolário 6
Pequeno Teorema de
Fermat
Sejam a ∈ Z e p um número primo tais que (a, p) = 1. Tem-se que
ap−1 ≡ 1 mod p.
Demonstração Basta notar que, sendo p primo, ϕ(p) = p− 1.
O cálculo de ϕ(m), em geral, seguirá do seguinte resultado.
Proposição 7 Sejam m,m′ ∈ N tais que (m,m′) = 1. Então
ϕ(m ·m′) = ϕ(m)ϕ(m′).
Demonstração O resultado é trivial se m = 1 ou m
′ = 1. Portanto, vamos supor que
m > 1 e m′ > 1. Considere a seguinte tabela formada pelos números naturais
de 1 a m ·m′:
1 2 . . . k . . . m′
m′ + 1 m′ + 2 . . . m′ + k . . . 2m′
...
...
...
...
(m− 1)m′ + 1 (m− 1)m′ + 2 . . . (m− 1)m′ + k . . . m ·m′
Como se tem que(t,m ·m′) = 1 se, e somente se, (t,m′) = (t,m) = 1,
para calcular ϕ(m · m′), devemos determinar os inteiros na tabela acima que
são simultaneamente primos com m e m′.
Se o primeiro elemento de uma coluna não for primo com m′, então todos
os elementos da coluna não são primos com m′. Portanto, os elementos primos
comm′ estão necessariamente nas colunas restantes que são em número ϕ(m′),
cujos elementos são primos com m′, como é fácil veri�car. Vejamos agora quais
são os elementos primos com m em cada uma dessas colunas.
Como (m,m′) = 1, a sequência
k, m′ + k, . . . , (m− 1)m′ + k
forma um sistema completo de resíduos módulo m (veja Proposição 6 da
Unidade 18) e, portanto, ϕ(m) desses elementos são primos com m. Logo,
o número de elementos simultaneamente primos com m′ e m é ϕ(m) ·ϕ(m′).
6
Unidade 20Os Teoremas de Euler e Wilson
Lema 8Se p é um número primo e r, um número natural, então tem-se que
ϕ(pr) = pr − pr−1 = pr
(
1− 1
p
)
.
DemonstraçãoDe 1 até p
r, temos pr números naturais. Temos que excluir desses os
números que não são primos com pr, ou seja, todos os múltiplos de p, que
são precisamente p, 2p, . . . , pn−1p, cujo número é pn−1. Portanto, ϕ(pr) =
pr − pr−1, provando o resultado.
Finalmente, podemos obter a expressão de ϕ(m) para qualquer m ∈ N.
Teorema 9Sejam > 1 e sejam = pα11 · · · pαnn a decomposição dem em fatores primos.
Então,
ϕ(m) = pα11 · · · pαnn
(
1− 1
p1
)
· · ·
(
1− 1
pn
)
.
DemonstraçãoO resultado decorre do Lema 1 e da Proposição 3.
A fórmula do Teorema acima pode ser reescrita como se segue:
ϕ(pα11 · · · pαnn ) = p
α1−1
1 · · · pαn−1n (p1 − 1) · · · (pn − 1) .
Para calcular o resto da divisão de uma potência an por um número natural
m > 1, é conveniente achar um expoente h de modo que a potência ah ≡
1 mod m, pois, se n = hq + r é a divisão euclidiana de n por h, teremos
an ≡ ahqar ≡ ar mod m. Portanto, é clara a utilidade do Teorema de Euler
para a resolução desse tipo de questão, como se pode ver no próximo exemplo.
Exemplo 10Vamos achar o resto da divisão de 3100 por 34.
Note que
ϕ(34) = ϕ(2 · 17) = 20170(2− 1)(17− 1) = 16.
7
Unidade 20 Teorema de Euler
Pelo Teorema de Euler, temos que 316 ≡ 1 mod 34, logo,
3100 = 316·6+4 ≡ 34 ≡ 13 mod 34.
Portanto, 13 é o resto da divisão de 3100 por 34.
Em geral, nem sempre é possível achar um número h tal que ah ≡ 1 mod m.
Vejamos quando isto ocorre.
Proposição 11 Sejam dados a,m ∈ Z, com m > 2. Existe h ∈ N tal que ah ≡ 1 mod m
se, e somente se, (a,m) = 1.
Demonstração Se (a,m) = 1, temos, pelo Teorema de Euler, que a
ϕ(m) ≡ 1 mod m,
mostrando a existência do expoente desejado. Por outro lado, se (a,m) 6= 1,
então a equação aX−mY = 1 não possui solução e, portanto, aX ≡ 1 mod m
não possui solução. Consequentemente, não pode existir h ∈ N tal que ah ≡
1 mod m.
Suponha que a,m ∈ Z, com m > 1 e (a,m) = 1. Pelo Teorema de Euler,
sabemos que
{i ∈ N; ai ≡ 1 mod m} 6= ∅.
Portanto, vamos de�nir a ordem de a com respeito a m como sendo o número
natural
ordm(a) = min{i ∈ N; ai ≡ 1 mod m}.
Note que se (a,m) 6= 1, pela Proposição 4, não faria sentido falar em ordem
de a com respeito a m.
Lema 12 Sejam a,m ∈ Z, com m > 1 e (a,m) = 1. Temos que an ≡ 1 mod m
se, e somente se, ordm(a)|n.
Demonstração Suponha que ordm(a)|n. Logo, n = r · ordm(a) e, portanto,
an = ar·ordm(a) =
(
aordm(a)
)r ≡ 1r = 1 mod m.
8
Unidade 20Os Teoremas de Euler e Wilson
Reciprocamente, suponha que an ≡ 1 mod m. Queremos provar que
ordm(a)|n. Pela divisão euclidiana, podemos escrever n = ordm(a)q + r, onde
0 6 r < ordm(a). Suponha, por absurdo, que r 6= 0. Então,
1 ≡ an ≡ aordm(a)q+r ≡
(
aordm(a)
)q
ar ≡ ar,
o que é um absurdo, pois 0 < r < ordm(a) e ordm(a) é o menor expoente
natural i tal que ai ≡ 1 mod m.
Corolário 13Sejam a,m ∈ Z, com m > 1 e (a,m) = 1. Temos que ordm(a)|ϕ(m).
O próximo resultado nos dará informações sobre os divisores dos números
de Fermat.
Proposição 14Todo divisor natural de Fn é da forma 2
n+1k + 1.
DemonstraçãoInicialmente, note que o produto de números da forma 2
n+1k+1 é também
um número dessa forma. Portanto, basta provar a proposição para os divisores
primos de Fn.
Seja p um divisor primo de Fn = 2
2n + 1. Logo, p é ímpar e
22
n ≡ −1 mod p.
Assim, ordp(2) - 2n, pois, caso contrário, teríamos −1 ≡ 1 mod p, o que
implicaria 2 ≡ 0 mod p, o é falso pois p é ímpar.
Elevando ao quadrado ambos os membros da congruência acima, temos
22
n+1 ≡ 1 mod p.
Do lema 2, segue-se que ordp(2)|2n+1, e como ordp(2) - 2n, segue-se que
ordp(2) = 2
n+1.
Por outro lado, pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos que 2p−1 ≡ 1 mod
p e, consequentemente, pelo Lema 2, temos que ordp(2)|p − 1. Daí segue-se
que 2n+1|p− 1 e, portanto, p = 2n+1k + 1.
9
Unidade 20 Teorema de Euler
Exemplo 15 Neste exemplo, vamos dar uma prova mais conceitual, do que a dada
no Exemplo 2 da Unidade 19, do fato de que o quinto número de Fermat
F5 = 2
25 + 1 não é primo.
Pela Proposição 5, temos que os possíveis divisores primos de F5 são os
números primos da forma 26k + 1.
Fazendo k variar de 1 a 10, obtemos os números: 65, 129, 193, 257, 321,
385, 449, 513, 577, 641, dos quais apenas 193, 257, 449, 577 e 641 são primos.
Vamos testar esses valores. Para p = 193, temos que
28 = 256 ≡ 63 mod 193,
logo,
232 ≡ 634 ≡ 1092 ≡ 108 mod 193,
e, consequentemente,
232 + 1 ≡ 109 6≡ 0 mod 193.
Deixaremos para o leitor, como exercício, veri�car que 232+1 6≡ 0 mod 257,
232 + 1 6≡ 0 mod 449 e 232 + 1 6≡ 0 mod 577.
Vamos, agora, mostrar que 641 divide F5.
De fato,
216 = (256)2 = 65536 ≡ 154 mod 641.
Logo,
232 ≡ 1542 ≡ 23716 ≡ 640 mod 641.
Daí, temos que
232 + 1 ≡ 641 ≡ 0 mod 641,
o que implica que 641|F5.
Corolário 16 Na progressão aritmética de primeiro termo 1 e razão 2r, para r ∈ N, �xo,
existem in�nitos números primos.
10
Unidade 20Os Teoremas de Euler e Wilson
DemonstraçãoSeja Fn o n-ésimo número de Fermat. Como todo número natural maior do
que 1 possui pelo menos um divisor primo, segue-se que cada número de Fermat
tem, pelo menos, um divisor primo e, como (Fn, Fm) = 1, se n 6= m, esses
divisores são dois a dois distintos. O resultado segue-se agora da Proposição 5.
Para �nalizar este Capítulo, mostraremos como o Teorema de Euler conduz
a um teste de primalidade devido a E. Lucas, publicado em 1878, que é uma
recíproca parcial do Pequeno Teorema de Fermat.
Teorema 17
Lucas
Sejam a e m dois números naturais tais que (a,m) = 1. Suponha que
am−1 ≡ 1 mod m,
e que
ak 6≡ 1 mod m, ∀k, k < m− 1;
então, m é primo.
DemonstraçãoA hipótese nos diz que ordm(a) = m − 1. Como ordm(a) | ϕ(m), temos
que (m− 1) | ϕ(m), logo m− 1 6 ϕ(m). Como ϕ(m) 6 m− 1, segue-se que
ϕ(m) = m− 1, o que implica que m é primo.
11
Unidade 20 Problemas
20.2 Problemas
1. Ache o resto da divisão de
(a) 560 por 26 (b) 3100 por 10.
2. Mostre que, se m > 2, então ϕ(m) é par.
3. (a) Mostre que ∑
(i,m) = 1
i < m
i =
1
2
m ϕ(m).
(b) Mostre que, se m1, . . . ,mϕ(m) é um sistema reduzido de resíduos
módulo m, então m divide m1 + · · ·+mϕ(m).
4. Resolva em m ∈ N as equações
(a) ϕ(m) = 12
(b) ϕ(m) = 8
(c) ϕ(m) = 16
(d) ϕ(m) = 24
5. Supondo que (a,m) = (a− 1,m) = 1, mostre que
1 + a+ a2 + · · ·+ aϕ(m)−1 ≡ 0 mod m.
6. Mostre que, se ϕ(m) = 2r, para algum r ∈ N, então m é um produto de
uma potência de 2 e de primos de Fermat distintos1.
7. Supondo que (m,n) = 1, mostre que
mϕ(n) + nϕ(m) ≡ 1 mod nm.
8. Sejam a,m ∈ Z, com m > 1, tais que (a,m) = 1. Mostre que, se
n1 ≡ n2 mod ϕ(m), então an1 ≡ an2 mod m.
9. Mostre que 2730|n13 − n, para todo n ∈ Z.
1Essa equação aparece na resolução dada por Gauss do problema clássico da constru-
tibilidade com régua e compasso dos polígonos regulares inscritos numa circunferência.
12
Unidade 20Os Teoremas de Euler e Wilson
10. Sejam a ∈ Z e n, r ∈ N, com (r, n) = 1. Mostre que no conjunto
{a, a+ r, . . . , a+ (n− 1)r },
há exatamente ϕ(n) números primos com n.
13
Unidade 20 Teorema de Wilson
20.3 Teorema de Wilson
Nesta seção, vamos provar um teorema atribuído a Wilson(1741-1793),mas
que, na realidade, foi provado, pela primeira vez, por J.L. Lagrange (1736-
1813).
Teorema 18
Wilson
Se p é um número primo, então
(p− 1)! ≡ −1 mod p.
Demonstração Suponhamos p primo. Pela Proposição 1, a congruência iX ≡ 1 mod p
possui uma única solução, módulo p, para cada i ∈ {1, . . . , p−1}; ou seja, dado
i ∈ {1, . . . , p − 1} existe um único j ∈ {1, . . . , p − 1} tal que ij ≡ 1 mod p.
Por outro lado, se i ∈ {1, . . . , p− 1} é tal que i2 ≡ 1 mod p, então p|i2− 1, o
que equivale a p|i− 1 ou p|i+ 1, o que só pode ocorrer se i = 1 ou i = p− 1.
Logo,
2 · · · (p− 2) ≡ 1 mod p,
e, portanto,
1 · 2 · · · (p− 2)(p− 1) ≡ p− 1 ≡ −1 mod p,
Vale a recíproca do Teorema de Wilson, como veremos a seguir.
Proposição 19 Seja p > 2 um inteiro. Se (p− 1)! ≡ −1 mod p, então p é primo.
Demonstração O resultado vale trivialmente para p = 2, p = 3 ou p = 4. Suponhamos
que p > 4 e não é primo. Pelo Exemplo 4 da Unidade 12, temos que p|(p− 1)!
e, portanto, p não divide (p−1)!+1, o que mostra que (p−1)! 6≡ −1 mod p.
Note que a proposição acima nos dá um critério de primalidade. Para ve-
ri�car se um número n > 4 é primo, basta calcular (n − 1)! + 1 e veri�car se
este número é divisível por n.
14
Unidade 20Os Teoremas de Euler e Wilson
Infelizmente, este método não é nada e�ciente. Imagine que, para veri�car
que 83 é primo, se deva calcular (83 − 1)! + 1 e veri�car se este número é
divisível por 83.
Exemplo 20Se p é um número primo ímpar, então p|2p−1 + (p− 1)!.
De fato, sendo p um número primo ímpar, pelo Pequeno Teorema de Fermat,
temos que p|2p−1− 1. Por outro lado, pelo Teorema de Wilson, p|(p− 1)! + 1.
Logo, p|[2p−1 − 1] + [(p− 1)! + 1].
Exemplo 21Seja p = 2q + 1 um número primo, onde q é ímpar. Vamos mostrar que
q! ≡ ±1 mod p.
De fato, considere as congruências:
q ≡ −(q + 1) modp
(q − 1) ≡ −(q + 2) modp
...
1 ≡ −2q modp.
Pelo fato de q ser ímpar, segue-se que
q(q − 1) · · · 1 ≡ −(q + 1)(q + 2) · · · 2q mod p.
Multiplicando ambos os membros da congruência acima por q! e somando
1, temos que
(q!)2 ≡ −(2q)! mod p.
Portanto, pelo Teorema de Wilson, temos que
(q!)2 ≡ −(p− 1)! ≡ 1 mod p,
o que prova o resultado, levando em conta o Problema 1 da Unidade 18.
15
Unidade 20 Problemas
20.4 Problemas
11. Mostre que o número primo p é o menor inteiro maior do que 1 que
divide o número (p− 1)! + 1.
12. Mostre que, se p > 2 é um número primo, então
(a) p|(p− 2)!− 1
(b) p|(p− 3)!− (p− 1)/2
13. Seja p > 3 um número primo.
(a) Mostre que p! e (p− 1)!− 1 são primos entre si.
(b) Prove que, se n ∈ N e n ≡ (p−1)!−1 mod p!, então os p−2 inteiros
que precedem n e os p inteiros que sucedem n são compostos.
14. Seja p um número primo e a ∈ N. Mostre que
(a) ap + (p− 1)!a ≡ 0 mod p
(b) (p− 1)!ap + a ≡ 0 mod p
15. Seja p um número primo tal que p ≡ 1 mod 4. Mostre que[(
p− 1
2
)
!
]2
≡ −1 mod p.
16. Seja p um número primo tal que p ≡ 3 mod 4. Mostre que[(
p− 1
2
)
!
]2
≡ 1 mod p.
17. Seja p um número primo ímpar e seja N = 1 · 3 · 5 · · · (p − 2). Mostre
que N ≡ 1 mod p ou N ≡ −1 mod p.
18. Seja p um número primo ímpar. Mostre que
(a) 1232 · · · (p− 2)2 ≡ 2242 · · · (p− 1)2 mod p
(b) Se p ≡ 1 mod 4, então 2242 · · · (p− 1)2 ≡ −1 mod p.
(c) Se p ≡ 3 mod 4, então 2242 · · · (p− 1)2 ≡ 1 mod p.
16
Unidade 20Os Teoremas de Euler e Wilson
20.5 Problemas Suplementares
S-1. Se n ∈ N, então ϕ(n)|n se, e somente se, n é da forma 1, 2a, 2a3b, onde
a, b ∈ N.
S-2. Sejam m,n ∈ N e d = (m,n). Mostre que
ϕ(mn) =
dϕ(m)ϕ(n)
ϕ(d)
.
S-3. Mostre que ϕ(m2) = mϕ(m) para todo m ∈ N.
S-4. Mostre que, se d|n, então ϕ(d)|ϕ(n).
S-5. Mostre que, se r1, . . . , rs e r
′
1, . . . r
′
t são sistemas reduzidos de resíduos
respectivamente módulo m e módulo m′, então os números rim
′ + r′jm,
onde 1 ≤ i ≤ s e 1 ≤ j ≤ t, formam um sistema reduzido de resíduos
módulo mm′.
S-6. Utilize o problema anterior para dar uma outra prova da Proposição 3.
17
21
1
Congruências Lineares
Sumário
21.1 Resolução de Congruências Lineares . . . . . . . . . 2
21.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
21.3 Teorema Chinês dos Restos . . . . . . . . . . . . . . 7
21.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Unidade 21 Resolução de Congruências Lineares
Nesta unidade, mostraremos como resolver congruências e sistemas de con-
gruências lineares.
21.1 Resolução de Congruências Lineares
Esta seção será devotada à resolução de congruências do seguinte tipo:
aX ≡ b mod m, onde a, b,m ∈ Z, m > 1,
ou seja, ao problema de determinar, se existirem, os números inteiros x tais que
ax ≡ b mod m.
Vamos, inicialmente, dar um critério para decidir se tais congruências ad-
mitem solução.
Proposição 1 Dados a, b,m ∈ Z, com m > 1, a congruência
aX ≡ b mod m
possui solução se, e somente se, (a,m) | b.
Demonstração Suponhamos que a congruência aX ≡ b mod m tenha uma solução x;
logo, temos que m|ax−b, o que equivale à existência de y tal que ax−b = my.
Portanto, a equação aX −mY = b admite solução. Isto, em vista do que foi
visto na Unidade 8, implica que (a,m) | b.
Reciprocamente, suponha que (a,m) | b. Logo, em virtude da Proposição
1, da Unidade 8, a equação aX −mY = b admite uma solução x, y. Portanto,
ax = b + my e, consequentemente, x é solução da congruência pois, ax ≡
b mod m.
Note que, se x0 é solução da congruência aX ≡ b mod m, então todo x
tal que x ≡ x0 mod m é também solução da congruência pois,
ax ≡ ax0 ≡ b mod m.
Portanto, toda solução particular determina, automaticamente, uma in-
�nidade de soluções da congruência. Essas soluções serão identi�cadas (módulo
2
Unidade 21Congruências Lineares
m), já que são congruentes entre si, e, consequentemente, se determinam mu-
tuamente.
Estaremos, portanto, interessados em determinar uma coleção completa de
soluções duas a duas incongruentes módulo m, as quais serão chamadas de
sistema completo de soluções incongruentes da congruência.
Teorema 2Sejam a, b,m ∈ Z, com m > 1 e (a,m) | b. Se x0 é uma solução da
congruência aX ≡ b mod m, então
x0, x0 +
m
d
, x0 + 2
m
d
, . . . , x0 + (d− 1)
m
d
,
onde d = (a,m) formam um sistema completo de soluções incongruentes da
congruência.
DemonstraçãoPela Proposição 1, sabemos que a congruência admite solução.
Vamos mostrar que os números x0+ i
m
d
, com i ∈ N, são soluções. De fato,
a
(
x0 + i
m
d
)
= ax0 + i
a
d
m ≡ ax0 ≡ b mod m.
Além disso, esses números são dois a dois incongruentes módulo m. De
fato, se, para i, j < d,
x0 + i
m
d
≡ x0 + j
m
d
mod m,
então
i
m
d
≡ jm
d
mod m.
Pela Proposição 5, Unidade 18, e pelo fato de
m(
m
d
,m
) = d,
segue-se que i ≡ j mod d, implicando que i = j.
Finalmente, mostraremos que toda solução x da congruência aX ≡ b mod
m é congruente, módulo m, a x0 + i
m
d
para algum i < d. De fato, seja x uma
solução qualquer da congruência; logo,
ax ≡ ax0 mod m,
3
Unidade 21 Resolução de Congruências Lineares
e, portanto, pela Proposição 5, Unidade 18,
x ≡ x0 mod
m
d
.
Logo, x−x0 = km/d. Pela divisão euclidiana, existe i < d tal que k = qd+i
e, portanto,
x = x0 + qm+ i
m
d
≡ x0 + i
m
d
mod m.
Exemplo 3 Resolvamos a congruência 8X ≡ 4 mod 12.
Como d = (8, 12) = 4 divide 4, temos que a congruência tem d = 4 soluções
módulo 12.
Por tentativa e erro, obtemos a solução x0 = 2. Portanto, as soluções
módulo 12 são
2, 2 + 3, 2 + 6, 2 + 9.
Corolário 4 Se (a,m) = 1, então a congruência aX ≡ b mod m possui uma única
solução módulo m.
Corolário 5 Sejam m > 1 e R′ um conjunto reduzido de resíduos módulo m. Se a ∈ Z,
então, para todo r ∈ R′, a congruência rX ≡ a mod m possui uma única
solução em R′.
A congruência aX ≡ 1 mod m, com (a,m) = 1, admite uma única solução
módulom. Esta solução será chamada de inverso multiplicativo de a módulom.
Observação 1. Note que, se uma congruência
aX ≡ b mod m
possui solução, então d = (a,m) divide b. Pondo
a′ =
a
d
, b′ =
b
d
, n =
m
d
,
4
Unidade 21Congruências Lineares
temos que a congruência acima é equivalente a
a′X ≡ b′ mod n,
que, por suavez, é equivalente à congruência
X ≡ b′′ mod n,
onde b′′ = b′a′′, sendo a′′ o inverso multiplicativo de a′ módulo m.
Exemplo 6Resolvamos a congruência 13X ≡ 4 mod 42.
Como (13, 42) = 1, temos que a congruência tem apenas uma solução
módulo 42. Além disso, como 42 = 2 × 3 × 7, e [2, 3, 7] = 42, temos, pela
Proposição 7(ii), Unidade 18, que x0 é solução da congruência acima se, e
somente se, x0 é solução simultânea das congruências:
13X ≡ 4 mod 2, mod3, mod7.
É fácil veri�car que x0 = 10 é solução simultânea das congruências acima.
Portanto, todas as soluções são dadas por 10 + 42t, onde t ∈ Z.
5
Unidade 21 Problemas
21.2 Problemas
1. Pode o dobro de um número natural deixar resto igual a 9 quando dividido
por 26? E quando dividido por 25?
2. Resolva, quando possível, as congruências:
(a) 3X ≡ 5 mod 7
(b) 6X ≡ 21 mod 18
(c) 12X ≡ 36 mod 28
(d) 12X + 36 ≡ 0 mod 28
3. Seja p um número primo e seja a um número inteiro tal que p - a.
Mostre que a única solução módulo p da congruência aX ≡ b mod p é
x = ap−2b.
6
Unidade 21Congruências Lineares
21.3 Teorema Chinês dos Restos
No primeiro século da nossa era, o matemático chinês Sun-Tsu propôs o
seguinte problema:
Qual é o número que deixa restos 2, 3 e 2 quando dividido, respectivamente,
por 3, 5 e 7?
A resposta dada por Sun-Tsu para este problema foi 23.
Traduzido em linguagem matemática, o problema de Sun-Tsu equivale a
procurar as soluções do seguinte sistema de congruências:
X ≡ 2 mod3
X ≡ 3 mod5
X ≡ 2 mod7.
Mais geralmente, estudaremos sistemas de congruências da forma:
a1X ≡ b1 modm1
a2X ≡ b2 modm2
· · ·
arX ≡ br modmr
Para que tal sistema possua solução, é necessário que (ai,mi)|bi, para todo
i = 1, . . . , r. Neste caso, pela Observação 1, o sistema acima é equivalente a
um da forma
X ≡ c1 modn1
X ≡ c2 modn2
· · ·
X ≡ cr modnr
(21.1)
Teorema 7
Teorema Chinês dos
Restos
O sistema 21.1, onde (ni, nj) = 1, para todo par ni, nj com i 6= j, possui
uma única solução módulo N = n1n2 · · ·nr. Tal solução pode ser obtida como
se segue:
x = N1y1c1 + · · ·+Nryrcr,
onde Ni = N/ni e yi é solução de NiY ≡ 1 mod ni, i = 1, . . . , r.
7
Unidade 21 Teorema Chinês dos Restos
Demonstração Vamos, inicialmente, provar que x é uma solução simultânea do sistema 21.1.
De fato, como ni|Nj, se i 6= j, e Niyi ≡ 1 mod ni, segue-se que
x = N1y1c1 + · · ·+Nryrcr ≡ Niyici ≡ ci mod ni.
Por outro lado, se x′ é outra solução do sistema 21.1, então
x ≡ x′ mod ni, ∀ i, i = 1, . . . , r.
Como (ni, nj) = 1, para i 6= j, segue-se que [n1, . . . , nr] = n1 · · ·nr =
N e, consequentemente, pela Proposição 7(ii), Unidade 18, temos que x ≡
x′ mod N .
Exemplo 8 Vamos determinar a solução do problema de Sun-Tsu.
Neste caso, temos que N = 3×5×7 = 105, N1 = 35, N2 = 21 e N3 = 15.
Por outro lado, y1 = 2, y2 = 21 e y3 = 1 são soluções, respectivamente, das
congruências 35Y ≡ 1 mod 3, 21Y ≡ 1 mod 5 e 15Y ≡ 1 mod 7. Portanto,
uma solução módulo N = 105 é dada por
x = N1y1c1 +N2y2c2 +N3y3c3 = 233.
Como 233 ≡ 23 mod 105, segue-se que 23 é uma solução, única módulo
105, do Problema de Sun-Tsu e qualquer outra solução é da forma 23 + 105t,
com t ∈ Z.
Exemplo 9 Seja M um número natural e sejam r7, r11 e r13 os seus restos pela divisão
por 7, 11 e 13, respectivamente. Tem-se então que
M ≡ 715r7 + 364r11 + 924r13 mod 1001.
De fato, temos N = 7× 11× 13 = 1001, N1 = 143, N2 = 91 e N3 = 77.
Por outro lado, y1 = 5, y2 = 4 e y3 = 12 são soluções de 143Y ≡ 1 mod 7,
91Y ≡ 1 mod 11 e 77Y ≡ 1 mod 13, respectivamente. Logo, o sistema
X ≡ r7 mod 7
X ≡ r11 mod 11
X ≡ r13 mod 13
8
Unidade 21Congruências Lineares
tem por solução 715r7 + 364r11 + 924r13 mod 1001.
O exemplo acima presta-se à seguinte brincadeira em sala de aula:
O professor pede a um aluno que escolha um número natural menor do que
1001 e que diga os restos r7, r11 e r13 desse número quando dividido por 7, 11
e 13, respectivamente. Sem nenhuma outra informação, o professor é capaz de
adivinhar o número escolhido pelo aluno.
De fato, o número que o aluno escolheu é o resto da divisão de 715r7 +
364r11 + 924r13 por 1001.
9
Unidade 21 Problemas
21.4 Problemas
4. Ache todos os números inteiros que deixam restos 2, 3 e 4 quando divi-
didos por 3, 4 e 5, respectivamente.
5. Ache o menor número natural que deixa restos 1, 3 e 5 quando dividido
por 5, 7 e 9, respectivamente.
6. Resolva o sistema:
X ≡ 2 mod 11, X ≡ 4 mod 12, X ≡ 5 mod 13 .
7. Resolva o sistema:
3X ≡ 1 mod 7, 5X ≡ 2 mod 11, 4X ≡ 3 mod 13 .
8. Levando em consideração que 2275 = 25× 13× 7, resolva a congruência
3X ≡ 11 mod 2275 .
9. Resolva o sistema:
X ≡ 2 mod 3, X ≡ 3 mod 4, X ≡ 4 mod 5, X ≡ 5 mod 6 .
10. Resolva o sistema:
X ≡ 2 mod 3, X ≡ 3 mod 4, X ≡ 4 mod 5, X ≡ 2 mod 6 .
11. Sejam F1, . . . , Fn os n primeiros números de Fermat. Mostre que existe
um número natural N tal que Fi divide N + i− 1 para i = 1, . . . , n.
12. Sejam a, b, n,m ∈ Z, com n,m > 1. Mostre que o sistema{
X ≡ a modn
X ≡ b modm
possui solução se, e somente se, a ≡ b mod (n,m). Além disso, se
(m,n) = 1, então a solução é única módulo mn.
10
22
1
Aritmética das Classes
Residuais
Unidade 22
As congruências módulo um número natural m > 1 permitem de�nir no-
vas aritméticas que transcendem a própria teoria dos números, encontrando
inúmeras e profundas aplicações em várias outras partes da matemática. Atual-
mente, essas aritméticas são a base de quase todos os procedimentos de cálculo
dos computadores e possuem muitas aplicações tecnológicas.
Seja dado um inteiro m > 1. Vamos repartir o conjunto Z dos números
inteiros em subconjuntos, onde cada um deles é formado por todos os números
inteiros que possuem o mesmo resto quando divididos por m. Isto nos dá a
seguinte partição de Z:
[0] = {x ∈ Z; x ≡ 0 mod m},
[1] = {x ∈ Z x ≡ 1 mod m},
...
[m− 1] = {x ∈ Z; x ≡ m− 1 mod m}.
Paramos em [m− 1], pois tem-se que [m] = [0], [m+ 1] = [1], . . . .
O conjunto
[a] = {x ∈ Z ; x ≡ a mod m}.
é chamado de classe residual módulo m do elemento a de Z. O conjunto de
todas as classes residuais módulo m será representado por Zm. Portanto,
Zm = { [0], [1], . . . , [m− 1] }.
Exemplo 1 Seja m = 2. Então,
[0] = {x ∈ Z ; x ≡ 0 mod 2} = {x ∈ Z ; x é par}, e
[1] = {x ∈ Z ; x ≡ 1 mod 2} = {x ∈ Z ; x é ímpar}.
Temos também que [a] = [0] se, e somente se, a é par e [a] = [1] se, e
somente se, a é ímpar.
Exemplo 2 Seja n = 3. Então
[0] = {3t ; t ∈ Z}
[1] = {3t+ 1 ; t ∈ Z}
[2] = {3t+ 2 ; t ∈ Z}
2
Unidade 22Aritmética das Classes Residuais
Tem-se que
a ∈

[0] , se a é múltiplo de 3
[1] , se a tem resto 1 quando dividido por 3
[2] , se a tem resto 2 quando dividido por 3
Proposição 3As classes residuais possuem as seguintes propriedades:
(i) [a] = [b] se e somente se a ≡ b mod m ;
(ii) Se [a] ∩ [b] 6= ∅, então [a] = [b] ;
(iii)
⋃
a∈N
[a] = Z.
DemonstraçãoDeixamos a demonstração deste importante fato a cargo do leitor, para a
qual utilizará a Proposição 1 da Unidade 18.
Dado x ∈ Zm, um número inteiro a tal que x = [a] será denominado
de representante de x. Observe que x é determinado por a, mas há in�nitos
números inteiros b tais que x = [b] (qualquer inteiro b ∈ [a] é tal que [b] = [a].
Exemplo 4Se m = 2, então qualquer inteiro par é representante da classe residual [0]
e qualquer inteiro ímpar é representantes da classe residual [1].
Exemplo 5Se m = 3, então qualquer múltiplo de 3 é representante da classe residual
[0]. Temos que 1, 4, 7, 10, etc, são representantes da classe residual [1],
enquanto 2, 5, etc, são representantes da classe residual [2].
Proposição 6Para cada a ∈ Z existe um, e somente um r ∈ N, com 0 6 r < m, tal que
[a] = [r].
3
Unidade 22
Demonstração Seja a ∈ Z. Pela divisão euclidiana, existem dois únicos naturais q e r,
com r < m, tais que a = m · q + r. Portanto, é único o natural r tal que
r < m e a ≡ r mod m. Consequentemente, é único o inteiro r tal que r < m
e [a] = [r].
Corolário 7 Existem exatamente m classes residuais módulo m distintas, a saber,
[0], [1], . . . , [m−1].
É fácil veri�car que {a1, . . . , am} é um sistema completo de resíduos módulo
m se, e somente se,
{[a1], . . . , [am]} = Zm.
Uma vantagem das classes residuais é que transformam a congruência a ≡ b
mod m na igualdade [a] = [b].
Em Zm de�nimos as seguintes operações:
Adição: [a] + [b] = [a+ b]
Multiplicação: [a] · [b] = [a · b]
Note que, tendo sido de�nidas estas operações usando os representantes a
e b para as classes residuais [a] e [b], respectivamente, temos que veri�car que
ao mudarmos os representantes das classes [a] e [b], não mudam os valores de
[a+ b] e de [a · b].
Para veri�car que isto acontece, basta notar que se a ≡ a′ mod m e b ≡ b′
mod m, então [a+ b] = [a′ + b′] e [a · b] = [a′ · b′], o que se segue diretamente
da Proposição 3 da Unidade 18.
As operações que acabamos de de�nir, acima, gozam das seguintes pro-
priedades:
Propriedades da Adição
Para todos [a], [b], [c] ∈ Zm , temos
A1) Associatividade: ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c]);
A2) Comutatividade: [a] + [b] = [b] + [a];
4
Unidade 22Aritmética das Classes Residuais
A3) Existência de zero: [a] + [0] = [a] para todo [a] ∈ Zm ;
A4) Existência de simétrico: [a] + [−a] = [0].
Propriedades da Multiplicação
Para todos [a], [b], [c] ∈ Zm , temos
M1) Associatividade: ([a] · [b]) · [c] = [a] · ([b] · [c]);
M1) Comutatividade: [a] · [b] = [b] · [a];
M1) Existência de unidade: [a] · [1] = [a].
AM Distributividade: [a] · ([b] + [c]) = [a] · [b] + [a] · [c].
Todas estas propriedades são fáceis de veri�car. Por exemplo, prova-se AM
como se segue:
[a] · ([b] + [c]) = [a] · [b+ c] = [a · (b+ c)]
= [a · b+ a · c] = [a · b] + [a · c] = [a] · [b] + [a] · [c]
Um conjunto munido de uma operação de �adição� e de uma operação de
�multiplicação�, com as propriedades acima, será chamado de anel. Portanto,
Zm, com as operações acima, é um anel, chamado anel das classes residuais
módulo m.
Um elemento [a] ∈ Zm será dito invertível, quando existir [b] ∈ Zm tal que
[a][b] = 1. Neste caso, diremos que [b] é o inverso de [a].
Exemplo 8As tabelas da adição e da multiplicação em Z2 = {[0], [1]} são
+ [0] [1]
[0] [0] [1]
[1] [1] [0]
· [0] [1]
[0] [0] [0]
[1] [0] [1]
5
Unidade 22
Exemplo 9 As tabelas da adição e da multiplicação em Z3 = {[0], [1], [2]} são
+ [0] [1] [2]
[0] [0] [1] [2]
[1] [1] [2] [0]
[2] [2] [0] [1]
· [0] [1] [2]
[0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2]
[2] [0] [2] [1]
Exemplo 10 Em Z4 = {[0], [1], [2], [3]} temos
+ [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3]
[1] [1] [2] [3] [0]
[2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]
· [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3]
[2] [0] [2] [0] [2]
[3] [0] [3] [2] [1]
É interessante notar que em Z4 existem dois elementos não nulos cujo pro-
duto é nulo: [2] 6= [0] e, no entanto, [2] · [2] = [0].
Exemplo 11 Em Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} temos
+ [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [1] [2] [3] [4]
[1] [1] [2] [3] [4] [0]
[2] [2] [3] [4] [0] [1]
[3] [3] [4] [0] [1] [2]
[4] [4] [0] [1] [2] [3]
· [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4]
[2] [0] [2] [4] [1] [3]
[3] [0] [3] [1] [4] [2]
[4] [0] [4] [3] [2] [1]
Note que em Z2 , Z3 e Z5, todo elemento distinto de [0] é invertível. Mas
isto não ocorre em todos os Zm. Por exemplo, em Z4 temos que [2] não é
invertível.
Um anel onde todo elemento não nulo possui um inverso multiplicativo é
chamado de corpo. Portanto, Z2 , Z3 e Z5, com as operações acima de�nidas,
são corpos; mas Z4 não é um corpo.
6
Unidade 22Aritmética das Classes Residuais
As classe residuais permitem resolver as congruências de seguinte modo:
Resolver uma congruência aX ≡ b mod m se reduz a resolver em Zm a seguinte
equaçao:
[a]Z = [b].
Exemplo 12Resolver a congruência 4X ≡ 3 mod 5 equivale a resolver em Z5 a equação
[4]Z = [3]. (22.1)
Ollhando a tabela da multiplicação de Z5, vemos que [4] · [4] = 1. Logo, 4
é invertível em Z5 com inverso [4]. Portanto, multiplicando ambos os membros
da equação (22.1) por [4] obtemos
[1]Z = [4][4]Z = [4][3] = [2].
Portanto, Z = [2], o que nos diz que as soluções de (22.1) são x = 2 + t4,
onde t ∈ Z.
Vemos portanto a importância de saber se um determinado elemento de Zm
é invertível. Esses elementos serão caracterizados na seguir.
Proposição 13[a] ∈ Zm é invertível se, e somente se, (a,m) = 1.
DemonstraçãoSe [a] é invertível, então existe [b] ∈ Zm tal que [1] = [a] · [b] = [a · b].
Logo, a · b ≡ 1 mod m, isto é, existe um inteiro t tal que a · b + t ·m = 1 e,
consequentemente, (a,m) = 1.
Reciprocamente, se (a,m) = 1, existem inteiros b e t tais que a·b+m·t = 1
e, consequentemente, [1] = [a ·b+m ·t] = [a ·b]+[m ·t] = [a] · [b]+[0] = [a] · [b].
Portanto, [a] é invertível.
7
Unidade 22
Corolário 14 Zm é um corpo se, e somente se, m é primo.
Demonstração Suponha por absurdo que Zm é um corpo e m não é primo, então m =
m1 ·m2 com 1 < m1 < m e 1 < m2 < m. Logo, [0] = [m] = [m1] · [m2] com
[m1] 6= 0 e [m2] 6= 0, contradição.
Reciprocamente, suponham primo. Como (i,m) = 1 para i = 1, . . . ,m−1,
segue-se da Proposição 3 que [1], [2], . . . , [m − 1] são invertíveis. Logo, Zm é
um corpo.
A Proposição 13 nos diz que o número de elementos invertíveis de Zm é
precisamente ϕ(m), onde ϕ é a função de Euler.
Note que um conjunto {a1, . . . , aΦ(m)} ⊂ Z é um sistema reduzido de
resíduos módulo m se [a1], . . . , [aΦ(m)] são os elementos invertíveis de Zm , ou
seja Z∗m = {[a1], . . . , [aΦ(m)]}.
É fácil veri�car que o conjunto Z∗m é multiplicativamente fechado e que o
inverso de todo elemento de Z∗m é um elemento de Z∗m .
No caso em que p é primo, temos, pelo corolário acima, que
Z∗p = Zp \ {[0]} = {[1], . . . , [p− 1]}.
Os elementos [1] e [−1] são os únicos elementos de Z∗p que são auto-inversos,
isto é, são as únicas soluções da equação x2 = [1]. De fato, de 0 = x2 − [1] =
(x− [1])(x + [1]), e do fato de Zp ser um corpo, segue-se que x− [1] = 0 ou
x+ [1] = 0 e, consequentemente, x = [1] ou x = [−1].
Daremos a seguir uma outra prova do Teorema de Wilson.
Outra prova do Teorema de Wilson
No produto [1] · [2] · · · [p− 2] · [p− 1], para cada fator diferente de [1] e de
[−1] = [p − 1], existe um fator distinto do mesmo que é o seu inverso, logo
[1]·[2] · · · [p−2]·[p−1] = [1]·[p−1] = [−1]. Daí segue-se que [(p−1)!] = [−1],
donde (p− 1)! ≡ −1 mod p.
8
Unidade 22Aritmética das Classes Residuais
Problemas
1. Seja {a1, . . . , am} um sistema completo de resíduos módulo m.
(a) Mostre que se a é um inteiro, então {a1 + a, . . . , am + a} é um
sistema completo de resíduos módulo m.
(b) Se (a,m) = 1, então {a · a1, . . . , a · am} é um sistema completo de
resíduos módulo m. Mostre que vale a recíproca.
(c) Se p é primo e a um inteiro que não é múltiplo de p, mostre que
ap−1 ≡ 1 mod p (Pequeno Teorema de Fermat).
Sugestão: Considere os dois sistemas completos de resíduos mod p:
{0, 1, . . . , p− 1} e {0, a · 1, . . . , a(p− 1)}
e note que
1 · · · (p− 1) ≡ ap−1 · 1 · · · (p− 1) mod p.
(d) Mostre que se (r,m) = 1, então {a, a+ r, . . . , a+ (m− 1)r} é um
sistema completo de resíduos módulo m.
2. Construa as tabelas da adição e da multiplicação para Z6 e Z7 .
3. Ache os elementos invertíveis de Z6, Z7, Z8 e Z9 .
4. Ache os inversos de
(a) [5] em Z6
(b) [3], [4] e [5] em Z7
(c) [3], [5], e [7] em Z8
(d) [5], [4] e [8] em Z9
(e) [1951] em Z2431
(f) [3], [5] e [7] em Z8
5. (a) Seja {a1, . . . , aΦ(m)} um sistema reduzido de resíduos módulo m.
Mostre que se (a,m) = 1, então {a ·a1, . . . , a ·aΦ(m)} é um sistema
reduzido de resíduos módulo m.
(b) Mostre o Teorema de Euler:
Se (a,m) = 1, então aΦ(m) ≡ 1 mod m.
9
23
1
Introdução à Criptografia I
Autor: Severino Collier Coutinho
Sumário
23.1 Criptogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
23.2 Criptogra�a RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
23.3 Criptogra�a RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
23.4 Pré-codi�cação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
23.5 Codi�cando e decodi�cando uma mensagem . . . . 11
Unidade 23 Criptografia
Estas duasúltimas unidades tratam de uma aplicação da matemática à
criptogra�a. Embora algumas pessoas ainda associem mensagens codi�cadas
a 007 ou outros agentes igualmente secretos, há mais de uma década que
esta não é a aplicação mais importante da criptogra�a. Isto porque, hoje em
dia, uma grande variedade de transações que envolvem dinheiro são feitas de
maneira eletrônica, desde compras por cartão de crédito via internet a saques
em caixas eletrônicos. A informação referente a estas transações segue por linha
telefônica ou redes de alta-velocidade e, em ambos os casos, está facilmente
sujeita a escutas.
Se a história acabasse aí, eu seria o primeiro a desejar que os bancos re-
gridissem à era do papel! Felizmente, estas informações não trafegam em aberto
pela rede telefônica, elas são codi�cadas, de modo que só o banco, empresa de
cartão de crédito ou loja que você está utilizando consegue ler a informação.
Assim, mesmo que alguém intercepte a informação com a intenção de esvaziar
sua conta, ele não conseguirá interpretar suas informações, que continuarão
seguras.
Os processos pelos quais informações enviadas eletronicamente são codi�-
cadas depende, de maneira crucial, do uso da matemática. O mais curioso é
que até os anos 1960, a teoria dos números, que é a parte da matemática mais
utilizada nas aplicações à criptogra�a, era considerada quase que destituída de
utilidade prática.
O que os matemáticos entendem como teoria dos números é o estudo das
propriedades dos números inteiros, e não de quaisquer tipos de números. Por
exemplo, questões referentes à fatoração de inteiros, ao cálculo do máximo
divisor comum e ao estudo dos números primos, fazem parte desta teoria. Na
verdade, juntamente com a geometria, essa é uma das áreas mais antigas da
matemática.
23.1 Criptogra�a
Em grego, cryptos signi�ca secreto, oculto. A criptogra�a estuda os méto-
dos para codi�car uma mensagem de modo que só seu destinatário legítimo
consiga interpretá-la. É a arte dos `códigos secretos'.
2
Unidade 23Introdução à Criptografia I
O código de César
Um dos códigos secretos mais simples consiste em substituir uma letra do
alfabeto pela seguinte. Por exemplo, a mensagem AMO A OBMEP seria codi-
�cada como
BNPBPCNFQ.
Um código semelhante a este foi usado, por exemplo, pelo ditador romano Júlio
César para comunicar-se com as legiões romanas em combate pela Europa. Este
parece ser o primeiro exemplo de um código secreto de que se tem notícia.
Vejamos como codi�car uma mensagem simples Códigos como o de César
padecem de um grande problema: são muito fáceis de `quebrar'. Quebrar um
código signi�ca ser capaz de ler a mensagem, mesmo não sendo seu destinatário
legítimo. Na verdade, qualquer código que envolva substituir cada letra siste-
maticamente por outro símbolo qualquer sofre do mesmo problema. Isto ocorre
porque a frequência média com que cada letra aparece em um texto de uma
dada língua é mais ou menos constante. Por exemplo, a frequência média de
cada letra na língua portuguesa é dada na tabela 23.1.
Letra % Letra % Letra % Letra %
A 14,64 G 1,30 N 5,05 T 4,34
B 1,04 H 1,28 O 10,73 U 4,64
C 3,88 I 6,18 P 2,52 V 1,70
D 4,10 J 0,40 Q 1,20 X 0,21
E 12,57 L 2,78 R 6,53 Z 0,47
F 1,02 M 4,75 S 7,81
Tabela 23.1: Frequência das letras no português
Assim, apenas contando a frequência de cada símbolo no texto, podemos
descobrir a que letra correspondem os símbolos mais frequentes. Isto geralmente
é su�ciente para quebrar o código e ler toda a mensagem. Observe, entretanto,
que este método para quebrar o código só funciona bem se a mensagem for
longa. É fácil escrever uma mensagem curta cuja contagem de frequência
seja totalmente diferente da contagem de frequência média do português. Por
exemplo, em �Zuza zoou da Zezé� a letra mais frequente é o Z que aparece 5
3
Unidade 23 Criptografia
vezes em um texto de 14 letras. Como 5/14 = 0, 35... a porcentagem do Z no
texto acima é de cerca de 35%; muito acima dos usuais 0, 47%. Já o A aparece
uma só vez, o que dá uma porcentagem de cerca de 7%; portanto, abaixo dos
14% usuais.
SUMZFI GCSGC SVZFC LZLSJ EZQSL HIFUI JDZQS LTSRF
SGCSJ UOZSZ OJTZL ZOEEO LHMSE ESDSL IECLU ILHCD
ZTIFE SZMOJ QCZSU IJPSU OTZZL ZOIFH ZFDST IHFIU SEEIH
ITSES FZCDI LZDOA ZTIIG CSDIF JZOJB OZBSO EDITI EIEUI
TOQIE GCSSJ BIMBS LECVE DODCO UZITS MSDFZ EUILI
IGCSS EDZLIE CDOMO AZJTI HZFZU ITORO UZFSE DZLSJ
EZQSL JZBSF TZTSZ MQCJE TIEHF OLSOF IEUIL HCDZT
IFSER IFZLU FOZTIE HFSUO EZLSJ DSHZF ZZNCT ZFZGC
SVFZFI EUITO QIEES UFSDI ECEZTI EHSMIE ZMSLZSE
TCFZJDS ZESQC JTZQC SFFZL CJTOZM SJDFS SEDSE SEDZB
ZIUIM IEEICL UILHC DZTIF UIEJD FCOTI JZOJQ MZDSF
FZHIF CLZSG COHSM OTSFZ TZHIF ZMZJD CFOJQ CLTIE
RCJTZ TIFSE TZUILH CDZUZI UOSJDO ROUZ
Exercício 1. Será que você notou que o parágrafo acima foi codi�cado?
Use o método de contagem de frequência para quebrar o código e poder decodi-
�car e ler o parágrafo. Para não simpli�car as coisas, foram eliminados espaços,
acentos e pontuação.
Códigos em bloco
Por sorte, existe uma maneira simples de tornar inviável a aplicação de uma
contagem de frequência. Para isso, subdividimos a mensagem em blocos de
várias letras e embaralhamos estes blocos. Por isso este processo de criptografar
uma mensagem é conhecido como código de bloco. Por exemplo, considere a
mensagem AMO A OBMEP. Para codi�cá-la seguiremos os seguintes passos:
• eliminamos os espaços e completamos a mensagem com um A no �nal,
caso tenha uma quantidade ímpar de letras;
• subdividimos a mensagem em blocos de duas letras;
4
Unidade 23Introdução à Criptografia I
• re�etimos cada bloco;
• permutamos os blocos trocando o primeiro com o último, o terceiro com
a antepenúltimo, e assim por diante, mas deixando os outros como estão.
Aplicando isto,passo-a-passo, à mensagem acima, obtemos primeiro
AMOAOBMEPA
depois
AM-OA-OB-ME-PA
em seguida
MA-AO-BO-EM-AP
e, �nalmente,
AP-AO-BO-EM-MA
que nos dá como mensagem codi�cada
APAOBOEMMA
Exercício 2. Discuta as seguintes questões com seus colegas:
(a) Por que a contagem de frequência não funciona quando usamos códigos
em bloco?
(b) Por que escolhemos acrescentar exatamente a letra A quando a mensagem
tem quantidade ímpar de letras, em vez de usar, por exemplo, X ou Y?
Apesar de códigos como este serem melhores que o código de César, eles
apresentam uma grande desvantagem quando se trata de aplicações comerciais
da criptogra�a. Por exemplo, digamos que resolvo fazer uma compra via web
usando o meu computador, em uma loja em que nunca comprei antes. Para isso
entro na página da loja, escolho os produtos que desejo e, quando estou pronto
para comprar, escolho �ir para o caixa�. O pagamento será feito usando o meu
cartão de crédito. Para isso, preciso informar a loja sobre os dados do meu
cartão: geralmente o número e a data de vencimento. Mas isto signi�ca que
5
Unidade 23 Criptografia
qualquer outra pessoa que tenha estes dados pode fazer compras em meu nome.
Para evitar este problema, as informações sobre o meu cartão são codi�cadas
pelo meu computador antes de serem enviadas.
Note, contudo, que meu computador não pode usar um código qualquer
para codi�car estas informações, porque a loja precisa lê-las e, para isso, tem
que saber como decodi�car a mensagem. Na prática o que ocorre é que o meu
computador comunica-se com o da loja, que lhe informa como deve ser feito
o processo de codi�cação. Isto é, meu computador codi�ca as informações do
cartão de crédito usando um processo de codi�cação que é enviado pela loja.
Infelizmente os códigos de blocos não se prestam a este tipo de aplicação
porque o computador da loja usa a linha telefônica (ou de banda larga) à
qual meu computador esta interligado para enviar o processo de codi�cação a
ser utilizado. Como é fácil pôr uma escuta na linha, uma outra pessoa pode
facilmente descobrir como meu computador vai codi�car as informações sigilosas
que serão enviadas à loja. Usando a mesma escuta é fácil interceptar tambémas
mensagens que contêm os dados do cartão. Mas isto basta porque, se sabemos
como foi feito o embaralhamento dos blocos, podemos facilmente desfazê-lo e
ler os dados do cartão!
A única maneira de contornar este problema é ter acesso ao que é conhecido
como um canal seguro: uma maneira secreta de fazer a informação sobre o
processo de codi�cação chegar até o computador do usuário da loja. Talvez a
loja pudesse mandar, pelo correio registrado, um cartão especial com os dados
a serem usados para a codi�cação. O problema é que isto tornaria a transação
lenta, já que seria necessário esperar dias pela chegada do cartão�nesse meio
tempo eu talvez preferisse escolher uma loja real, mesmo que fosse longe da
minha casa. E ainda há outro problema, mais sério. Se o meu computador for
invadido por um `hacker', o processo de codi�cação será descoberto e qualquer
mensagem enviada com ele poderá ser lida.
Códigos de chave pública
As di�culdades que relacionamos acima parecem condenar de maneira ir-
remediável a possibilidade de fazer transações pela web. A�nal, seja qual for
o código utilizado, se sabemos como fazer a codi�cação, basta desfazê-la e
decodi�camos a mensagem. Ou não?
6
Unidade 23Introdução à Criptografia I
De fato, isto é basicamente verdade; mas há um porém. Acontece que pode-
mos imaginar um processo que seja fácil de fazer mas muito difícil de desfazer e,
ao utilizá-lo para criptografar uma mensagem, estaríamos garantindo que quem
a interceptasse, mesmo sabendo como foi codi�cada, teria um trabalho enorme
em decodi�cá-la. Abusando um pouco da fantasia, podemos imaginar que o
trabalho de desfazer o processo levasse tanto tempo que ninguém conseguisse
pô-lo em prática. É claro que quão difícil será desfazer o procedimento depende
dos recursos disponíveis a quem interceptou a mensagem.
Vejamos um exemplo. Você já viu uma dessas armadilhas usadas para pescar
lagostas? Elas consistem de uma gaiola com uma porta fechada atrás e uma
entrada para a lagosta na frente. O segredo está na entrada, que tem a forma
de um funil: larga na parte externa e cada vez menor à medida que a lagosta
vai entrando na gaiola. A lagosta �ca presa na gaiola porque, para poder sair,
teria que encontrar e passar pela parte estreita do funil, que é um problema
complicado demais para uma lagosta, cujo cérebro tem o tamanho aproximado
de uma ervilha. Não preciso dizer que uma armadilha desse tipo não funcionaria
para pegar um macaco, nem mesmo um passarinho.
Muito interessante, mas que problema matemático satisfaz esta condição
de ser �fácil de fazer e difícil de desfazer�, para que possamos utilizá-lo em
criptogra�a? Isto é o que veremos na próxima seção. Por enquanto, vamos
só observar que tais códigos são conhecidos como de chave pública, já que o
processo (ou chave) de codi�cação pode ser conhecido de qualquer um sem
comprometer a segurança do código.
23.2 Criptogra�a RSA
O mais conhecido dos métodos de criptogra�a de chave pública é o RSA.
Este código foi inventado em 1977 por R. L. Rivest, A. Shamir e L. Adleman,
que na época trabalhavam no Massachussets Institute of Technology (M.I.T.),
uma das melhores universidades americanas. As letras RSA correspondem às
iniciais dos inventores do código. Há vários outros códigos de chave pública,
mas o RSA continua sendo o mais usado em aplicações comerciais.
7
Unidade 23 Criptografia RSA
O método RSA
A descrição completa do funcionamento do RSA é justamente o tema desta
apostila. Para entender como funciona precisaremos estudar várias idéias e
técnicas novas de matemática. Nesta seção explicaremos apenas o su�ciente
sobre o RSA para que você entenda como é possível um problema ser �fácil de
fazer e difícil de desfazer�. Isto também nos ajudará a identi�car os proble-
mas matemáticos que precisaremos abordar para poder discutir os detalhes do
funcionamento do RSA.
Digamos que você vai criar uma implementação do RSA para uma deter-
minada loja, que vai usá-lo na codi�cação de dados de clientes usados em
compras pela internet. Para começar, você precisa escolher dois números pri-
mos distintos e multiplicá-los, obtendo um número inteiro n. A loja manterá
secreta a informação sobre quais são os primos escolhidos, porque é isto que
é necessário para decodi�car as mensagens enviadas usando a versão do RSA
que você está construindo. Já n vai ser enviado para o computador de qualquer
pessoa que compre nessa loja pela web, porque é dele que o computador do
usuário necessita para codi�car os dados sobre o do cartão de crédito e enviá-los
ao computador da loja. Portanto, no caso do RSA, o problema �fácil de fazer e
difícil de desfazer� é simplesmente multiplicar dois primos.
Já consigo imaginar você pensando:
Só isso? Mas para desfazer o problema basta fatorar o número e
achar os primos!
É verdade, mas há um detalhe que esqueci de contar: esses números primos
serão muito, muito grandes. Na prática uma chave segura de RSA é gerada a
partir de números primos de cerca de 100 algarismos cada, de forma que n, que
é o produto destes primos, terá cerca de 200 algarismos. Acontece que, como
veremos na próxima unidade, podem ser necessários zilhões de anos para fatorar
um número deste tamanho e achar seus fatores primos�mesmo se usarmos os
mais poderosos computadores existentes atualmente.
Resumindo:
• para implementar o RSA escolhemos dois primos distintos muito grandes
p e q e calculamos o produto n = p · q;
8
Unidade 23Introdução à Criptografia I
• para codi�car uma mensagem usamos n;
• para decodi�car uma mensagem usamos p e q;
• n pode ser tornado público;
• p e q precisam ser mantidos em segredo;
• quebrar o RSA consiste em fatorar n, que leva muito tempo se n for
grande.
23.3 Criptogra�a RSA
É chegada a hora de reunir tudo o que �zemos anteriormente, na descrição
do método RSA. A descrição do RSA propriamente dita consiste em explicitar
as receitas usadas para codi�cação e decodi�cação de mensagens. Isto é fácil
de fazer, uma vez que depende apenas do cálculo dos resíduos de potências,
assunto de que já tratamos com detalhes anteriormente. Lembre-se, contudo,
que decodi�car signi�ca passar da mensagem codi�cada à mensagem original.
Por isso, nossa missão neste capítulo não se resume a descrever as receitas de
codi�cação e decodi�cação; precisamos também veri�car que se aplicadas nesta
ordem voltamos a obter à mensagem original. A�nal, se isto não fosse verdade,
de que serviria este método de criptogra�a?
23.4 Pré-codi�cação
Como dissemos acima, o que fazemos para codi�car uma mensagem no RSA
é calcular sua potência módulo n relativamente a um expoente especialmente
escolhido. Entretanto, para que isto seja viável, a mensagem deve ser um
número inteiro. Mas não é isto o que ocorre em geral: a maior parte das
mensagens é um texto. Por isso, a primeira coisa a fazer, se desejamos usar
o método RSA, é inventar uma maneira de converter a mensagem em uma
sequência de números.
Suporemos, para simpli�car, que a mensagem original é um texto onde
não há números, apenas palavras, e no qual todas as letras são maiúsculas.
9
Unidade 23 Pré-codificação
Portanto, em última análise a mensagem é constituída pelas letras que formam
as palavras e pelos espaços entre palavras. Chamaremos esta primeira etapa de
pré-codi�cação, para distingui-la do processo de codi�cação propriamente dito.
Na pré-codi�cação convertemos as letras em números usando a seguinte
tabela de conversão:
A B C D E F G H I J K L M
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
N O P Q R S T U V W X Y Z
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
O espaço entre duas palavras será substituído pelo número 99, quando for feita
a conversão. Por exemplo, a frase AMO A OBMEP é convertida no número
1022249910992411221425
Observe que precisamos fazer cada letra corresponder a um número de, pelo
menos, dois algarismos para evitar ambiguidades. Se �zéssemos A corresponder
ao número 1, B ao 2, e assim por diante. não teríamos comosaber se 12
representa AB ou L, já que esta última é a décima segunda letra do alfabeto.
Antes de continuar precisamos determinar os parâmetros do sistema RSA
que vamos usar. Estes parâmetros são dois primos distintos, que vamos denotar
por p e q, e cujo resto na divisão por 6 tem que ser 5. A razão para esta estranha
condição será explicada na primeira seção �Por que funciona?� da Unidade 24.
Em seguida, ponha n = pq. A última fase do processo de pré-codi�cação
consiste em quebrar em blocos o longo número produzido anteriormente. Estes
blocos devem ser números menores que n. Por exemplo, se escolhermos p = 17
e q = 23, então n = 391. Neste caso, a mensagem, cuja conversão numérica
foi feita acima, pode ser quebrada nos seguintes blocos:
102− 224− 99− 109− 92− 41− 122− 142− 5
A maneira de escolher os blocos não é única e os blocos não precisam sequer
ter o mesmo tamanho. Contudo, certos cuidados devem ser tomados. Por
exemplo, não é permitido escolher um bloco que comece por 0 porque isto
10
Unidade 23Introdução à Criptografia I
traria problemas na hora de decodi�car, já que, por exemplo, não temos como
distinguir o bloco 071 do bloco 71.
Observe que os blocos em que quebramos a mensagem não correspondem
a nenhuma unidade linguística, seja ela palavra, letra ou qualquer outra. Isto
é muito bom, porque torna a decodi�cação por contagem de frequência essen-
cialmente impossível.
23.5 Codi�cando e decodi�cando uma men-
sagem
Encerramos assim a pré-codi�cação, e podemos passar à etapa de codi�-
cação propriamente dita. Para codi�car a mensagem precisamos apenas de n,
que é o produto dos primos. Diremos que n é a chave de codi�cação. do
sistema RSA que estamos usando. Esta chave pode ser tornada pública; isto é,
podemos enviá-la a qualquer um que queira nos mandar uma mensagem, sem
preocupação de mantê-la secreta. Por isso a chave de codi�cação também é
conhecida como chave pública do sistema.
Supondo que já submetemos a mensagem à pré-codi�cação, temos uma
sequência de números que, como na seção anterior, chamaremos de blocos.
Codi�caremos cada bloco separadamente. A mensagem codi�cada será a se-
quência dos blocos codi�cados. Isto é muito importante porque depois de
codi�cados os blocos não podem mais ser reunidos de modo a formar um longo
número. Se isto for feito, será impossível decodi�car a mensagem, como �cará
claro na seção �Por que funciona?� da Unidade 24, na qual discutiremos o
funcionamento do RSA.
Exercício 3. Usando os números primos 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53 e
59, construa uma chave pública para você utilizar na codi�cação de mensagens
RSA para seus colegas.
Codi�cação
Digamos, então, que a chave de codi�cação é n. Como faremos para codi-
�car um bloco b? Lembre-se que b é um inteiro positivo menor que n. Vamos
11
Unidade 23 Codificando e decodificando uma mensagem
denotar o bloco codi�cado por C(b). A receita para calcular C(b) é a seguinte:
C(b) = resto da divisão de b3 por n.
Observe que, em termos de aritmética modular, C(b) é o resíduo de b3 módulo
n. Na verdade, como b > 0, o número C(b) é mesmo o resto da divisão de b3
por n.
Vejamos o que aconteceria no exemplo que estamos considerando. Temos
n = 391. Assim, o bloco 102 da mensagem anterior deve ser codi�cado como
o resto da divisão de 1023 por 391. Fazendo as contas, obtemos C(102) = 34.
É claro que, para simpli�car nosso trabalho, executamos a conta calculando o
resíduo de 1023 módulo 391:
1023 ≡ 1022 · 102 ≡ 238 · 102 ≡ 24276 ≡ 34 (mod 391).
Codi�cando toda a mensagem passo-a-passo, temos o seguinte:
2243 ≡ 2242 · 224 ≡ 128 · 224 ≡ 129 (mod 391)
993 ≡ 992 · 99 ≡ 26 · 99 ≡ 228 (mod 391)
1093 ≡ 1092 · 109 ≡ 151 · 109 ≡ 37 (mod 391)
923 ≡ 922 · 92 ≡ 253 · 92 ≡ 207 (mod 391)
413 ≡ 412 · 41 ≡ 117 · 41 ≡ 105 (mod 391)
1223 ≡ 1222 · 122 ≡ 26 · 122 ≡ 44 (mod 391)
1423 ≡ 1422 · 142 ≡ 223 · 142 ≡ 386 (mod 391)
53 ≡ 52 · 5 ≡ 25 · 5 ≡ 125 (mod 391)
Reunindo todos os blocos, descobrimos que a mensagem codi�cada é
34− 129− 228− 37− 207− 105− 44− 386− 125
Exercício 4. Use a chave pública que você construiu no exercício 3 para
codi�car seu nome. Escreva a chave e a mensagem em um papel. Os papéis
deverão ser reunidos, embaralhados e sorteados entre os alunos para o próximo
exercício.
12
Unidade 23Introdução à Criptografia I
Decodi�cação
Vejamos como fazer para decodi�car um bloco da mensagem codi�cada.
Em outras palavras, queremos saber qual é a receita que nos permite, de posse
de um bloco codi�cado e da chave pública, reconstruir o bloco original, antes
da codi�cação.
A informação que precisamos para poder decodi�car consiste de dois números:
n e o inverso d > 0 de 3 módulo (p− 1)(q − 1). Pela de�nição de inverso isto
signi�ca que devemos ter
3d ≡ 1 (mod (p− 1)(q − 1)).
A explicação de onde saiu este número misterioso você encontrará na próxima
seção. Chamaremos o par (n, d) de chave de decodi�cação. Esta chave tem
que ser mantida secreta. Quem a descobrir vai poder decodi�car qualquer
mensagem endereçada a você.
De posse do par (n, d), como devemos proceder para decodi�car uma men-
sagem? Se a for um bloco codi�cado, denotaremos por D(a) o resultado do
processo de decodi�cação do bloco a. A receita para calcular D(a) é a seguinte:
D(a) = resto da divisão de ad por n.
Em termos de aritmética modular, D(a) é o resíduo de ad módulo n. Como no
caso da codi�cação, o bloco a é positivo e este resíduo coincide com o resto da
divisão de bd por n.
Note que, ao chamarmos o processo acima de decodi�cação, estamos assu-
mindo um compromisso importante, que é o de mostrar que ao decodi�car um
bloco codi�cado, obtemos o bloco original. Dizendo de outra maneira, se b é
um bloco da mensagem original, só será legítimo chamar o processo acima de
decodi�cação se
D(C(b)) = b.
Não é de forma alguma óbvio que isto é verdade: a demonstração de que esta
igualdade realmente é válida é dada em detalhes na seção �Por que funciona?�
da Unidade 24.
Alguns comentários são necessários antes de fazermos um exemplo. Em
primeiro lugar, é muito fácil calcular d. Como estamos supondo que p e q
13
Unidade 23 Codificando e decodificando uma mensagem
deixam resto 5 na divisão por 6, temos que
p ≡ 5 (mod 6) e q ≡ 5 (mod 6).
Assim,
(p− 1)(q − 1) ≡ 4 · 4 ≡ 16 ≡ 4 ≡ −2 (mod 6);
donde
(p− 1)(q − 1) = 6 · k − 2,
para algum inteiro positivo k. Contudo, o inverso de 3 módulo 6 · k− 2 é igual
a 4 · k − 1. Logo, podemos tomar
d = 4 · k − 1.
No exemplo que vimos considerando p = 17 e q = 23, de forma que
(p− 1)(q − 1) = 16 · 22 = 352 = 6 · 58 + 4
que é igual a
(p− 1)(q − 1) = 6 · 59− 2.
Portanto, neste caso, k = 59 e
d = 4 · 59− 1 = 235.
Aplicando a receita dada anteriormente ao primeiro bloco da mensagem codi�-
cada, temos que D(34) é igual ao resto da divisão de 34235 por n = 391.
Efetuar esta conta sem um computador seria totalmente impossível, se não
tivéssemos o algoritmo chinês do resto e o teorema de Fermat.
Calculemos 34235 módulo 17 e módulo 23, que são os primos em que n se
fatora. Para começo de conversa,
34 ≡ 0 (mod 17)
34 ≡ 11 (mod 23)
Assim,
34235 ≡ 0235 ≡ 0 (mod 17).
Aplicando o teorema de Fermat à outra congruência,
11235 ≡ (1122)101115 ≡ 1115 (mod 23).
14
Unidade 23Introdução à Criptografia I
Mas
1115 ≡ 1217 · 11 ≡ 67 · 11 (mod 23).
Por outro lado,
67 · 11 ≡ (23 · 3)2 · 2 · 34 · 33 ≡ 2 · 12 · 33 ≡ 33 ≡ 10 (mod 23).
Portanto,
34235 ≡ 0 (mod 17)
34235 ≡ 10 (mod 23).
Isto corresponde ao sistema
x ≡ 0 (mod 17)
x ≡ 10 (mod 23),
que podemos resolver utilizando o algoritmo chinês do resto. Da segunda con-
gruência, obtemos
x = 10 + 23y
que, ao ser substituído na primeira congruência, nos dá
10 + 23y ≡ 0 (mod 17).
Assim,
6y ≡ 7 (mod 17).
Mas, 6 tem inverso 3 módulo 17, de forma que
y ≡ 3 · 7 ≡ 4 (mod 17).
Portanto,
x = 10 + 23y = 10 + 23 · 4 = 102;
como seria de esperar, a�nal estamos decodi�cando 34, que corresponde à
codi�cação do bloco 102.
15
Unidade 23 Codificando e decodificando uma mensagem
Exercício 5. Decodi�queos demais blocos da mensagem
34− 129− 228− 37− 105− 44− 386− 125
usando o procedimento acima.
Exercício 6. Fatore a chave pública que você recebeu quando fez o
exercício 4, calcule d e decodi�que a mensagem para saber de quem ela veio.
16
24
1
Introdução à Criptografia II
Autor: Severino Collier Coutinho
Sumário
24.1 Segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
24.2 Por que funciona? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Unidade 24 Segurança
24.1 Segurança
Antes de prosseguir para a explicação de porque o RSA funciona, é con-
veniente discutir com um pouco mais de detalhes em que se fundamenta a
segurança do RSA. Neste contexto, o termo chave é quebrar o código. Dig-
amos que alguém, que vamos chamar de A, põe uma escuta (também conhecida
como um �grampo�) na linha que uma empresa usa para transmitir mensagens
codi�cadas a um banco. Se o código utilizado for o RSA, então A vai ter acesso
não apenas às mensagens codi�cadas que a empresa envia ao banco (obtidas
pelo grampo), mas também à chave de codi�cação n usada pela empresa que,
a�nal de contas, é pública.
Lembre-se que a chave n é igual ao produto de dois números primos p e
q que foram escolhidos pela empresa no momento em que sua implementação
do RSA foi feita. Em princípio, A não deveria ter nenhuma di�culdade em
decodi�car a mensagem. De posse de n, precisaria apenas fatorá-lo, descobrir
p e q e usá-los para calcular d. Uma vez obtido d, a receita de decodi�cação
explicada na unidade anterior pode ser aplicada para reconstituir a mensagem
original.
Embora tudo isto pareça muito simples em princípio, na prática é totalmente
inviável. A razão está em um problema de natureza tecnológica: não existem
computadores rápidos o su�ciente, nem algoritmos bons o su�ciente, que nos
permitam fatorar um número inteiro muito grande que não tenha fatores rel-
ativamente pequenos. Pode-se mostrar que o tempo necessário para fatorar
um número de uns cem algarismos pelo método usual de tentativa é imenso, e
excede, em muito, a idade estimada do universo. Entretanto, a a�rmação que
acabamos de fazer é muito mais forte:
não existe nenhum algoritmo conhecido capaz de fatorar inteiros
grandes de modo realmente e�ciente.
Na verdade, não se sabe nem mesmo se é possível que um tal algoritmo exista!
Mas, o que signi�ca a palavra grande neste contexto? Mais precisamente,
quão grande deve ser a chave n usada no RSA para que, mesmo tendo inter-
ceptado a mensagem codi�cada pela empresa e conhecendo n, o agente A não
seja capaz de achar p e q e, assim, decodi�car a mensagem? A resposta é
que, atualmente, as implementações comerciais do RSA usam chaves públicas
2
Unidade 24Introdução à Criptografia II
com cerca de 200 algarismos, mas algumas destas implementações chegam a
permitir chaves públicas com até 2467 algarismos.
Durante algum tempo, o RSA Laboratory, que pertence à empresa que
detém os direitos do sistema de codi�cação RSA, lançou desa�os, que consistiam
de uma possível chave pública de RSA que deveria ser fatorada. A última destas
chaves a ser fatorada tem 193 algarismos e corresponde ao produto dos primos
16347336458092538484431338838650908598417836700330
92312181110852389333100104508151212118167511579
e
1900871281664822113126851573935413975471896789968
515493666638539088027103802104498957191261465571.
A fatoração foi �nalizada em novembro de 2005 por F. Bahr, M. Boehm, J.
Franke e T. Kleinjung no Escritório Federal de Segurança de Informação da
Alemanha. Os cálculos utilizaram 80 computadores de 2.2 GHz cada um e,
mesmo assim, foram necessários 5 meses para completar as contas! A maior
das chaves proposta como desa�o tem 617 algarismos e, evidentemente, está
longe de ser fatorada. Mais detalhes podem ser encontrados no verbete RSA
numbers da versão em inglês da Wikipedia.
Na prática, isto signi�ca que se a empresa está usando uma implementação
do RSA com chave pública de uns 200 algarismos, então A não tem a menor
chance de ler a mensagem. Outro detalhe prático importante que segue desta
argumentação é que a empresa precisa calcular o valor de d a partir dos valores
de p e q: se n for calculado e p e q forem esquecidos, já não temos mais
como determinar o valor de n, porque ninguém mais será capaz de fatorar n.
Portanto, primeiro escolhem-se p e q, que são usados para calcular d; depois
multiplicam-se p e q para determinar n. Uma vez de posse do par (n, d) os
valores de p e q podem até ser apagados por medida de segurança.
Uma observação �nal. Quando usamos congruências para efetuar a codi�-
cação do bloco 102 na unidade anterior, dissemos que estávamos usando con-
gruências para �facilitar as contas�. Isto não é estritamente verdade, porque em
uma aplicação comercial do RSA teríamos que calcular potências de números
3
Unidade 24 Segurança
muito grandes, com módulos maiores ainda, e isto não é viável se não utilizarmos
aritmética modular. Em outras palavras, não é mera questão de facilitar nada,
os cálculos seriam impossíveis sem aritmética modular. Para convencê-lo disto,
aqui vai um exemplo. Comecei escolhendo dois primos
p = 100000000000000000000000000000000000000000000000151
e
q = 100000000000000000000000000000000000000162735465691
Calculei então o quociente
(p− 1)(q − 1) + 2
6
= 166666666666666666666666666666666
66666693789244306666666666666666666666666666666666666
70735053308917
que me dá o valor de k; donde
d = 4k − 1 = 6666666666666666666666666666666666666677515697722
666666666666666666666666666666666666682940213235667
Com isto podemos codi�car a mensagem AMO A OBMEP que, neste caso,
pode ser tomada como um único bloco
m = 1022249910992411221425
já que este é um número menor do que n = pq. O resíduo de
10222499109924112214253 módulo n
é
106824592360317689994495293731276889004322696993731601
3731140625,
que corresponde à codi�cação C(m) da mensagem m. Se já é difícil imaginar
o cálculo do cubo de m módulo n, o que dizer da decodi�cação de C(m), que
consiste em elevar este número de 63 algarismos a d, que é um número de
4
Unidade 24Introdução à Criptografia II
99 algarismos. Na verdade, um computador não consegue escrever todos os
algarismos de C(m)d: há tantos deles que não cabem na memória de nenhum
computador. No entanto, usando congruência módulo n o meu computador
consegue calcular o resíduo de C(m)d módulo n em menos de um centésimo
de segundo!
Custa-me crer que, tendo lido este último exemplo, você não esteja pergun-
tando:
como ele fez para obter este números primos enormes?
Esta é uma ótima pergunta, que �ca melhor ainda se você lembrar que
1. para saber se um número é primo precisamos garantir que não tem fatores
próprios e que
2. não existem meios rápidos para fatorar números tão grandes.
A conclusão aparentemente inevitável de (1) e (2) é que deveria ser impossível
determinar com certeza se números muito grandes são primos. Curiosamente,
a conclusão é falsa, muito embora tanto (1) quanto (2) sejam verdadeiros. O
fato, bastante surpreendente, é que é possível determinar que números muito
grandes são primos ou compostos sem que haja necesidade de fatorá-los.
24.2 Por que funciona?
Para que o procedimento exposto acima seja realmente útil, é preciso que,
ao decodi�car uma mensagem, obtenhamos a mensagem original. Vimos nos
exercícios 5 e 6 da unidade anterior que, ao menos nestes exemplos, a decod-
i�cação reproduziu a mensagem original. Falta, apenas, convencer-nos de que
isto sempre ocorre.
Explicando o funcionamento do RSA
Digamos que temos um sistema RSA de parâmetros p e q, com n = pq.
Então, para a codi�cação usamos a chave pública n, e para a decodi�cação o
par (n, d), onde
(p− 1) · (q − 1) = 6 · k − 2 e d = 4 · k − 1.
5
Unidade 24 Por que funciona?
Usando a notação das seções anteriores, precisamos veri�car que, se b é um
bloco da mensagem a ser codi�cada, isto é um inteiro que satisfaz 1 ≤ b ≤
n− 1, então DC(b) = b. Em outras palavras, queremos mostrar que aplicando
o processode decodi�ção a um bloco codi�cado, obtemos de volta o bloco
correspondente da mensagem original.
Na verdade, precisamos provar apenas que
DC(b) ≡ b (mod n).
Isto é su�ciente porque tanto DC(b) quanto b estão no intervalo que vai de 1
a n− 1, logo só podem ser congruentes módulo n se forem iguais.
Isto explica porque precisamos escolher b menor que n e porque temos que
manter os blocos separados, mesmo depois da codi�cação. Se não tomássemos
estes cuidados, continuaríamos obtendo blocos congruentes depois da decodi-
�cação, mas eles não seriam necessariamente iguais. Em outras palavras, não
teríamos de volta a mensagem original o que, convenhamos, não seria muito
satisfatório.
Vamos ao argumento. Recapitulando, o que queremos mostrar é a con-
gruência
DC(b) ≡ b (mod n).
Mas, pela de�nição de D e de C temos que
C(b) ≡ b3 (mod n);
e que
C(a) ≡ ad (mod n).
Combinando estas duas congruências, obtemos
DC(b) ≡ D(b3) ≡ b3d (mod n). (24.1)
Queremos, portanto, mostrar que b3d ≡ b (mod n). Mas, por de�nição,
3d ≡ 1 (mod (p− 1)(q − 1)),
donde
3d = 1 + k(p− 1)(q − 1). (24.2)
6
Unidade 24Introdução à Criptografia II
Lembrando que n = pq, onde p e q são primos distintos, calcularemos os
resíduos de b3d módulo p e módulo q e usaremos o teorema chinês do resto para
construir, a partir deles, o resíduo módulo n. Como os cálculos dos resíduos
são análogos para ambos os primos, basta mostrar como executar um deles.
Digamos que queremos achar o resíduo de b3d módulo p. Levando em conta a
expressão para 3d obtida em (2), temos que
b3d ≡ b · (bp−1)k(q−1) (mod p).
Em seguida queremos usar o teorema de Fermat, mas para isto precisamos saber
que p não divide b. Se isto for verdade, então
bp−1 ≡ 1 (mod p)
por Fermat, e obtemos
b3d ≡ b · (1)k(q−1) ≡ b (mod p)
mostrando o que queríamos. Por outro lado, se p dividir b, então tanto b quanto
b3d são congruentes a zero módulo n. Logo, também neste caso, b3d ≡ b
(mod p). Resumindo, não importa qual seja o inteiro b, sempre temos que
b3d ≡ b (mod p).
Fazendo um argumento análogo para o primo q, obtemos o par de congruên-
cias
b3d ≡ b (mod p) (24.3)
b3d ≡ b (mod q).
Observe que b é uma solução de
x ≡ b (mod p)
x ≡ b (mod q);
de modo que, pelo teorema chinês do resto, este sistema tem solução geral igual
a
b+ p · q · t,
7
Unidade 24 Por que funciona?
onde t ∈ Z. Logo b3d que, por (24.3) também é solução do mesmo sistema,
tem que satisfazer
b3d = b+ p · q · k,
para algum inteiro k. Mas isto é equivalente a
b3d ≡ b (mod pq);
que é a congruência que desejávamos provar.
Exercício 1. Discuta em grupo os seguintes problemas relativos à segu-
rança do RSA:
(a) se as chaves públicas de duas pessoas diferentes têm um primo em comum,
então é fácil quebrar o RSA destas duas pessoas;
(b) se usamos o RSA, mas codi�camos a mensagem partindo-a em blocos que
consistem de uma única letra, então é fácil decodi�car a mensagem, embora
o código não seja quebrado.
Um problema semelhante, porém mais difícil, é proposto no seguinte desa�o.
Desa�o 1. Sabemos que se n é a chave pública de uma implementação
do RSA, então n = pq, onde p e q são primos positivos distintos. Imagine que
alguém lhe emprestou um computador (que você não tem a menor idéia de como
funciona) que, ao receber a chave pública n calcula o númerom = (p−1)(q−1).
Mostre que é possível determinar p e q a partir de n e m.
Comentário
Se você leu o argumento usado para provar que o RSA funciona corretamente
em detalhes e com bastante senso crítico, pode estar perguntando:
onde usamos o fato dos primos terem que deixar resíduo 5 módulo
6?
A resposta é que isto só é necessário para garantir que 3 é inversível módulo
(p − 1)(q − 1). Como a demonstração toda depende disto, a hipótese parece
realmente essencial. Mas não é. O fato é que o RSA pode ser implementado
8
Unidade 24Introdução à Criptografia II
usando quaisquer dois expoentes inteiros positivos, e para codi�cação e d para
decodi�cação, desde que
ed ≡ 1 (mod (p− 1)(q − 1)).
A demonstração de que o sistema se comporta da maneira desejada para tais
expoentes é essencialmente a mesma que foi dada acima.
Então, por que estamos nos limitando ao caso em que o expoente de cod-
i�cação e é igual a 3? A resposta é que, com isto, é fácil determinar d. Para
que pudéssemos permitir expoentes mais gerais, precisaríamos de um outro al-
goritmo que nos permitisse determinar o inverso de um dado número módulo
(p − 1)(q − 1), quando este inverso existe. Este algoritmo existe e é bem co-
nhecido, trata-se de uma extensão do algoritmo euclidiano que é utilizado para
calcular o máximo divisor comum de dois números. Mais detalhes sobre este
algoritmo podem ser encontrados no capítulo 1 da referência:
Coutinho, S. C. Números inteiros e criptogra�a RSA. Série Computação e
Matemática N. 2, IMPA e SBM, segunda edição (revisada e ampliada), 2000.
9
	MA14 - 2012 - Unidades
	MA14_U01
	Divisibilidade
	Divisibilidade
	Problemas
	MA14_U02
	Divisão Euclidiana
	Divisão Euclidiana
	Problemas
	A Aritmética na Magna Grécia
	MA14_U03
	Sistemas de Numeração
	Representação dos Números Inteiros
	Problemas
	MA14_U05
	Máximo Divisor Comum
	Algoritmo de Euclides
	Problemas
	MA14_U06
	Propriedades do mdc
	Propriedades do Máximo Divisor Comum
	Problemas
	MA14_U07
	Mínimo Múltiplo Comum
	Mínimo Múltiplo Comum
	Problemas
	MA14_U08
	Equações Diofantinas Lineares
	Equações Diofantinas Lineares
	Problemas
	MA14_U09
	Atividade Especial Revisão
	MA14_U10
	Expressões Binômias
	Expressões Binômias
	Exercícios
	MA14_U11
	Números de Fibonacci
	Números de Fibonacci
	Problemas
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	Teorema Fundamental da Aritmética
	Números Primos
	Problemas
	A Distribuição dos Números Primos
	Problemas
	MA14_U13
	Pequeno Teorema de Fermat
	Pequeno Teorema de Fermat
	Problemas
	O Renascimento da Aritmética
	MA14_U14
	Atividade Especial Revisão
	Problems
	MA14_U15
	Primos de Fermat e de Mersenne
	MA14_U16
	Números Perfeitos
	MA14_U17
	Fatoração do Fatorial em Primos
	MA14_U18
	Congruências
	MA14_U19
	Aplicações de Congruências
	MA14_U20
	Os Teoremas de Euler e Wilson
	Teorema de Euler
	Problemas
	Teorema de Wilson
	Problemas
	Problemas Suplementares
	MA14_U21
	Congruências Lineares
	Resolução de Congruências Lineares
	Problemas
	Teorema Chinês dos Restos
	Problemas
	MA14_U22
	Aritmética das Classes Residuais
	MA14_U23
	Introdução à Criptografia I
	Criptografia
	Criptografia RSA
	Criptografia RSA
	Pré-codificação
	Codificando e decodificando uma mensagem
	MA14_U24
	Introdução à Criptografia II
	Segurança
	Por que funciona?
	MA14_U04
	Jogo de Nim
	Jogo de Nim
	Problemas