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Indaial – 2020
AritméticA e teoriA dos 
Números
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2020
Elaboração:
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
S237a
 Santos, Leonardo Garcia dos
 Aritmética e teoria dos números. / Leonardo Garcia dos 
Santos; Luiz Carlos Pitzer. – Indaial: UNIASSELVI, 2020.
 181 p.; il.
 ISBN 978-65-5663-024-3
1. Aritmética. - Brasil. 2. Teoria dos números. - Brasil. I. Pitzer, Luiz 
Carlos. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 510.7
III
ApreseNtAção
A Aritmética e a Teoria dos Números são áreas da matemática que 
procura estudar, principalmente, os números inteiros. Destes, abordam-se 
temas como a divisibilidade, os números primos, de onde surge o famoso 
Teorema Fundamental da Aritmética. Nesta abordagem, ainda, discorrem 
aplicações importantes para a matemática, por exemplo, as equações 
diofantinas e as congruências.
A teoria dos números pode ser considerada com a geometria 
euclidiana, como um dos estudos mais antigos da matemática, haja visto 
que Euclides em Os elementos dedicou alguns capítulos a este tema. Outro 
matemático historicamente importante que se dedicou bastante a este estudo 
foi Carl Friedrich Gauss (1777–1855), onde dizia que a teoria dos números é 
a rainha da matemática.
Acerca da teoria dos números ainda existem problemas importantes 
não solucionados (quem sabe você consegue!?). São eles:
• (Conjectura de Goldbach) Todo número natural n > 2 é soma de dois 
números primos.
• Será que existem infinitos números primos da forma n2 + 1?
• Será que existem infinitos números primos da forma 2n – 1? Estes números 
primos são chamados de Mersenne.
• Será que existem infinitos números primos da forma 22n+1? Estes números 
primos são chamados de Fermat.
Neste livro, mostraremos as teorias que permitem a continuidade dos 
estudos acerca da Aritmética e Teoria dos Números. Ele se divide em três 
importantes unidades.
Na Unidade 1, estudaremos os números inteiros e suas propriedades. 
Além disso, daremos foco em métodos importantes de demonstração e o 
conceito fundamental de divisibilidade. Na Unidade 2, apresentaremos as 
principais ferramentas deste estudo: O Algoritmo de Euclides (mmc e mdc) 
e os Números Primos. O primeiro, o alicerce da aritmética, o segundo, 
os principais atores do processo (você entenderá por quê!). Por fim, na 
Unidade 3, teremos foco nas aplicações, com as congruências, sistemas de 
congruências, aritmética dos restos e a criptografia.
Para finalizar, destaca-se que o estudo não será simples. Você 
deverá ler e reler trechos algumas vezes, resolver os exemplos com a leitura, 
pesquisar bastante. Essa é uma disciplina bastante técnica e exigirá dedicação 
e empenho. Realize as autoatividades com atenção e busque apoio sempre 
que precisar!
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto 
para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
Bons estudos.
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
NOTA
V
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
VI
VII
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer teu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em tuas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela terás 
contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementares, 
entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar teu crescimento.
Acesse o QR Code, que te levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para teu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nessa caminhada!
LEMBRETE
VIII
IX
UNIDADE 1 – NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE ...........................................................1
TÓPICO 1 – NÚMEROS INTEIROS ......................................................................................................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO ............................................................................................................4
3 ORDENAÇÃO DOS INTEIROS ..........................................................................................................6 
4 PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO ................................................................................................9
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................12
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................14
TÓPICO 2 – INDUÇÃO MATEMÁTICA ...........................................................................................15
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................15
2 PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA .................................................................................15
3 DEFINIÇÃO POR RECORRÊNCIA ..................................................................................................22
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................29
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................30
TÓPICO 3 – DIVISIBILIDADE ............................................................................................................33
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................33
2 DIVISIBILIDADE .................................................................................................................................332.1 PROPRIEDADES DA DIVISIBILIDADE ......................................................................................35
3 DIVISÃO EUCLIDIANA ....................................................................................................................39
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................42
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................43
TÓPICO 4 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO .....................................................................................45
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................45
2 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL .......................................................................................45
3 SISTEMA DE NUMERAÇÃO EM UMA BASE QUALQUER .....................................................46
4 EXPANSÃO DE UM NÚMERO EM BASE B ..................................................................................47
LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................................50
RESUMO DO TÓPICO 4........................................................................................................................56
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................57
UNIDADE 2 – ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS ........................................59
TÓPICO 1 – MDC E MMC .....................................................................................................................61
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................61
2 MÁXIMO DIVISOR COMUM ..........................................................................................................61
2.1 CÁLCULO DO MDC .......................................................................................................................65
2.2 FATORAÇÃO MÚLTIPLA .............................................................................................................65
2.3 ALGORITMO DE EUCLIDES ........................................................................................................68
3 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ........................................................................................................75
3.1 CÁLCULO DO MMC ......................................................................................................................77
sumário
X
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................79
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................80
TÓPICO 2 – APLICAÇÃO DE MDC ....................................................................................................81
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................81
2 EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES .......................................................................................81
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................93
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................94
TÓPICO 3 – NÚMEROS PRIMOS .......................................................................................................97
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................97
2 NÚMEROS PRIMOS ...........................................................................................................................97
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................103
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................104
TÓPICO 4 – NÚMEROS ESPECIAIS.................................................................................................105
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................105
2 PRIMOS DE FERMAT .......................................................................................................................105
3 NÚMEROS PERFEITOS ....................................................................................................................106
4 PRIMOS DE MERSENNE .................................................................................................................109
5 FATORAÇÃO DO FATORIAL EM PRIMOS ................................................................................110
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................115
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................119
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................120
UNIDADE 3 – CONGRUÊNCIA ........................................................................................................121
TÓPICO 1 – CONCRUÊNCIAS ..........................................................................................................123
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................123
2 ARITMÉTICA DOS RESTOS ...........................................................................................................123
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................133
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................134
TÓPICO 2 – APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA ............................................................................137
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................137
2 PROVA DOS NOVE ...........................................................................................................................137
3 PEQUENO TEOREMA DE FERMAT ..............................................................................................139
4 TEOREMA DE EULER .......................................................................................................................142
5 TEOREMA DE WILSON ...................................................................................................................148
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................150
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................151
TÓPICO 3 – CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES RESIDUAIS ......................................153
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................153
2 CONGRUÊNCIAS LINEARES ........................................................................................................153
3 TEOREMA CHINÊSDOS RESTOS ...............................................................................................155
4 ARITMÉTICA DAS CLASSES RESISUAIS ..................................................................................158
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................163
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................164
XI
TÓPICO 4 – NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA .........................................................................165
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................165
2 CRIPTOGRAFIA RSA .......................................................................................................................165
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................178
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................179
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................181
XII
1
UNIDADE 1
NÚMEROS INTEIROS E 
DIVISIBILIDADE
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• conhecer as propriedades e as estrutura dos números inteiros;
• reconhecer as operações de adição e de multiplicação e as propriedades 
construídas a partir delas;
• desenvolver a capacidade para demonstração de propriedades;
• aplicar o conceito de adição e multiplicação em questões relacionadas 
com a divisibilidade;
• compreender o sistema de numeração e como é possível representá-los 
em outras bases numéricas.
Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No decorrer da unidade 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – NÚMEROS INTEIROS
TÓPICO 2 – INDUÇÃO MATEMÁTICA
TÓPICO 3 – DIVISIBILIDADE
TÓPICO 4 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Preparado para ampliar teus conhecimentos? Respire e vamos em 
frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverás 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
NÚMEROS INTEIROS
1 INTRODUÇÃO
É extremamente curioso e intrigante como a matemática, ao longo dos anos, 
vem se desenvolvendo e contribuindo para o surgimento de novas tecnologias e 
descobertas. Apesar das inúmeras aplicações, existe uma matemática esperando 
ser utilizada, a qual chamamos de matemática pura. Porém, apesar de termos 
grandes avanços em vários momentos ao analisar a história da humanidade, tudo 
referente à fundamentação da matemática passou por grandes questionamentos 
no final do Século XIX.
Neste primeiro momento, daremos fundamentos axiomáticos, para a 
construção desta disciplina, que foi desenvolvido pelo matemático italiano 
Giuseppe Peano (1858-1932), no final do Século XIX. Ele foi quem contribui para 
a menor lista de axiomas, para obter os números naturais e, consequentemente, 
os inteiros.
Os números naturais possuem como ideia simples e primordial a noção 
intuitiva de contagem. Porém, houve a necessidade de criar outros números, 
entre eles, os números negativos. Estes possuem, como uma de suas aplicações, 
as atividades comerciais. Suas regras operatórias foram publicadas em 1572 pelo 
matemático Rafael Bombelli.
O conjunto dos números inteiros, { }, 2, 1, 0, 1, 2,= … − − …Z , é munido das 
operações de adição e de multiplicação. Neste conjunto, há um subconjunto muito 
importante que utilizaremos bastante, o dos números naturais, que trataremos 
sem a utilização do zero, { }1, 2, 3, .= …N
Acadêmico, você sabe o que são axiomas? São sentenças que não necessitam 
ser provados ou demonstrados, simplesmente são consideradas evidentes dentro da 
matemática.
NOTA
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
4
2 ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
Para fins de simplificação, a lista de axiomas que utilizaremos para 
construir as propriedades será bastante sucinta. Porém, como o intuito é estudar 
outras partes da teoria, selecionamos as seguintes propriedades:
A1 – A adição e multiplicação são Bem Definidas. 
Para todos , , ’, ’ ,se ’ ’, então ’ ’ e ’ ’a b a b a a e b b a b a b a b a b∈ = = + = + ⋅ = ⋅Z 
A2 – A adição e a multiplicação são Comutativas.
Para todos , , , e a b a b b a a b b a∈ + = + ⋅ = ⋅ Z 
A3 – A adição e a multiplicação são Associativas.
( ) ( ) ( ) ( )Para todos , , , , e a b c a b c a b c a b c a b c∈ + + = + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Z 
A4 – A adição e a multiplicação possuem Elementos Neutros.
Para todo , , 0 e 1a a a a a∈ + = ⋅ = Z 
Assim, 0 é o Elemento Neutro da adição e 1 é o Elemento Neutro da 
multiplicação.
A5 – Adição possui elemento simétrico.
( )Para todo , ,existe tal que 0a b a a b∈ = − + = Z 
A6 – A multiplicação é distributiva com relação à adição.
Para todos , , , ,a b c ∈ Z tem-se ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅
Esse conjunto de propriedades que estão representados pela letra A e 
mais um número serão nossas ferramentas para mostrar a validade de algumas 
propriedades do conjunto dos números inteiros e que se estenderam a toda 
estrutura algébrica de um anel. 
Caro acadêmico, você sabe o que é um anel? Um anel A é um conjunto 
munido com as operações de adição (+) e de multiplicação (·), obedecendo as seguintes 
propriedades na adição: associatividade, comutatividade, elemento neutro e simétrico; na 
multiplicação: associatividade; na adição combinado com a multiplicação: distributiva.
NOTA
TÓPICO 1 | NÚMEROS INTEIROS
5
Exemplo 1: realize a demonstração da proposição 0 0a ⋅ = para todo 
a∈Z .
Resolução: para realizar a demonstração, utilizaremos das terminologias 
adotadas nos axiomas anteriores.
Utilizando A4 (elemento neutro) ( )0 0 0a a⋅ = ⋅ +
Utilizando A6 (distributiva) ( )0 0 0 0 0a a a a⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ 
Logo, 0 0 0a a a⋅ = ⋅ + ⋅
Somando ( )0a− ⋅ a ambos os membros da igualdade A1 (adição bem 
definida):
( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0a a a a a⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ + − ⋅
Aplicando A5 (simétrico) no lado esquerdo e A3 (associatividade) no lado 
direito, obtemos:
( )( )( )0 0 0 0a a a= ⋅ + ⋅ + − ⋅
Aplicando A5 no lado direito 0 0 0a= ⋅ + .
Por fim, aplicando A2 (comutativo) e A6 no lado direito 0 0a= ⋅ .
Como queríamos demonstrar.
Perceba que nesse primeiro exemplo, apresentamos, de forma detalhada, 
a cronologia dos eventos. Isso teve um motivo bem lógico, que é familiarizar 
o leitor com esse tipo de demonstração. É importante comentar que não há a 
necessidade de ser tão meticuloso na demonstração, você pode realizá-la de 
forma mais rápida, como fizemos na última etapa da demonstração.
A adição nos fornece condições suficientes para definir uma outra 
operação, que chamaremos de subtração.
D1 – Seja dado dois números inteiros a e b, define-se o número b menos 
a, denotando essa operação por b – a, como sendo ( )b a b a− = + − e dizemos que 
b – a é o resultado da subtração de a de b.
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
6
Exemplo 2: mostre que se 0a b+ = , então b a= − e a b= − .
Resolução: primeiramente, demonstraremos que vale a igualdade b a= − .
Partindo de 0a b+ = , somaremos (–a) em ambos os membros A1 
( ) ( ) ( )0a b a a+ + − = + − .
Aplicando A3 na esquerda e A2 na direita ( )( ) ( ) 0a b a a+ + − = − + .
Aplicando A3 e A2 na esquerda, primeiramente dentro dos parênteses, 
obtemos ( )( ) ( ) 0a a b a+ − + = − + .
Aplicando A5 na esquerda e A4 na direita 0 b a+ = − .
Aplicando A2 e A4 na esquerda .b a= −
Como queríamos demonstrar.
Demonstraremos, agora, que vale a igualdade a b= − .
Partindo de 0a b+ = , somaremos (–b) em ambos os membros A1 
( ) ( ) ( )0a b b b+ + − = + − .
Aplicando A3 na esquerda e A2 na direita ( )( ) ( ) 0a b b b+ + − = − + .
Aplicando A5 na esquerda ( )0 0ab+ = − + .
Por fim, aplicando A4 em ambos os membros .a b= −
Como queríamos demonstrar.
3 ORDENAÇÃO DOS INTEIROS
Vimos, anteriormente, algumas propriedades que são válidas para os 
inteiros. Desta forma, dando continuidade, veremos mais duas importantes 
propriedades que contribuirão para a demonstração de algumas proposições. 
Para facilitar, usaremos a mesma forma de denotar tais propriedades.
A7 – Fechamento nos N : O conjunto dos N é fechada para a adição e 
multiplicação, ou seja, para todo , ,a b c∈N , tem-se que a b+ ∈N e a b⋅ ∈N.
A8 – Tricotomia: Dados ,a b∈Z , uma, e apenas uma, das seguintes possibilidades 
é verificada:
TÓPICO 1 | NÚMEROS INTEIROS
7
I. a = b
II. b a− ∈N
III. ( )b a a b− − = − ∈N
A propriedade (ii) nos diz que se a é menor que b, o qual denotaremos por 
a < b, seu resultado será um número natural. (caso tenha dúvida, teste algumas 
possibilidades). No caso da propriedade (iii), temos o caso contrário, caso b seja 
menor que a, ou seja, b < a, temos um número natural. Desta forma, podemos 
entender que a tricotomia nos fornece que, para ,a b∈Z , apenas uma, e somente 
uma, das seguintes condições será verificada:
I. a = b
II. a < b
III. b < a
Perceba que outra importante definição é ao utilizarmos a notação b > a, ou 
seja, b é maior que a, estamos representando a < b.
NOTA
Apresentaremos algumas propriedades que podem ser demonstradas 
pelos axiomas vistos até o momento, e, em alguns casos, realizaremos sua 
demonstração.
Proposição 1: a relação “menor do que” é transitiva: , , , e . .a b c a b b c a c∀ ∈ < < <Z 
Demonstração: supomos que e a b b c< < , então usando A8 temos, 
b a− ∈N e c b− ∈N . Por A1 que diz que a adição é fechada, temos que: 
( ) ( ) ,c a b a c b− = − + − ∈N logo a c< .
Proposição 2: a adição e a lei do cancelamento são compatíveis com respeito à 
relação “menor do que”: , , , .a b c a b a c b c∀ ∈ < ⋅ + < +Z 
Demonstração: ⇒ supondo que a b< , então b a− ∈N . Desta forma, 
( ) ( ) ,b c a c b a+ − + = − ∈N o que implica que .a c b c+ < +
 ⇐ supunha que a c b c+ < + , então ( ) ( )b c a c+ − + ∈N . Desta forma, ao somar 
(–a) em ambos os lados da desigualdade, obtemos a recíproca desejada.
Proposição 3: a multiplicação por elementos de N é compatível e 
passível de cancelamento com respeito à relação “menor do que”: 
 , , , .a b c a b ac bc∀ ∈ ∀ ∈ < ⋅ <Z N 
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
8
Demonstração: ⇒ supondo que a b< , então b a− ∈N . Desta forma, escolhendo 
um c∈N e sabendo por A7 que a multiplicação é fechada nos naturais, temos: 
( ) ,b c a c b a c⋅ − ⋅ = − ⋅ ∈N o que implica que .ac bc<
⇐ supunha que ac bc< , com c∈N . Por A8 tricotomia, temos três casos para 
analisar.
(I) – a b= Está é falsa, pois isso tornaria .ac bc=
(II) b a< – Pela primeira parte da demonstração, podemos notar que acarretaria 
b c a c⋅ < ⋅ , o que também é falso. 
(III) – a b< Logo, está é a única possibilidade.
Proposição 4: a multiplicação é compatível e passível de cancelamento com 
respeito à igualdade: { } , , \ 0 , , .a b c a b ac bc∀ ∈ ∀ ∈ = =Z N 
Tente demonstrar está propriedade. Além de citar que a notação { }\ 0N 
significa o conjunto dos números naturais, exceto o zero, uma dica que deixamos para 
você, acadêmico, que pode te ajudar na demonstração, é seguir a ideia da proposição 
anterior e também utilizá-la com argumentos para provar a volta.
DICAS
Essa proposição é bem objetiva quanto ao cancelamento na multiplicação, 
não sendo possível cancelar se o número for o zero. Isso já é bem natural em 
várias situações da matemática. Veja este exemplo:
Exemplo 3: resolva a equação 2 4x x= com x∈R .
Resolução: por descuido, é possível simplificar o x em ambos os lados, obtendo, 
x = 4 como solução. Você pode estar se perguntando: mas o problema não está 
resolvido? A resposta é não, pois, não foi levado em consideração que o x poderia 
ser zero, é pela definição que vimos anteriormente, isso não pode ser feito. Porém, 
veremos o porquê!
2 4x x=
Somando (–4x) em ambos os lados:
2 4 0x x− =
TÓPICO 1 | NÚMEROS INTEIROS
9
Aplicando a distributiva:
( )4 0x x − =
Logo, é intuitivo perceber que x = 0 e x = 4 são duas possibilidades para a 
resolução da equação.
Um outro exemplo mais simples seria pensar na igualdade 2 0 3 0⋅ = ⋅ , 
que é verdade. Porém, ao cancelar o zero em ambos os lados, não obtemos uma 
igualdade com 2 = 3.
Neste último momento, definiremos uma importante proposição. Nos 
falta, porém, definir, por completo, a relação de ordem. Sendo assim, diremos 
que a é menor ou igual do que b, ou que b é maior ou igual do que a, denotando 
por a b≤ ou b a≥ , se a < b, ou a = b. Desta forma, a relação de ordem é satisfeita, 
pois possui as seguintes propriedades:
(I) É reflexiva: ,a a a∀ ∈ ≤Z .
(II) É antissimétrica: , , , e .a b a b b a a b∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ =Z 
(III) É transitiva: , , , , e a b c a b b c a c∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤Z . 
Com essa definição, podemos definir a importante noção de valor absoluto 
ou módulo. Seja a∈Z , definimos:
, 0
, 0.
a se a
a
a se a
 ≥
= − <
O módulo ou valor absoluto de um número inteiro, representado por |a|, 
possui as seguintes propriedades básicas:
Proposição 5: para ,a b∈Z e r∈ N , temos:
I. ;a b a b⋅ = ⋅
II. a r≤ se, e somente se, ;r a r− ≤ ≤
III. ;a a a− ≤ ≤
IV. a desigualdade triangular: .a b a b a b− ≤ ± ≤ +
Exemplo 4: para , ,a b c∀ ∈Z , mostre que vale: a < b e b c a c≤ ⇒ < .
Demonstração: se a < b e b c≤ , então é como se tivéssemos: a < b e (b < c ou b = c). 
Desta forma, uma das duas possibilidades a < b e b < c ou a < b e b = c.
Perceba que ambas implicam em a < c (na primeira, por transitividade e, 
na segunda, apenas pela troca). Portanto, se a < b e b c a c≤ ⇒ < .
 
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
10
4 PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO
Veremos, agora, o nono e último axioma, que nos darão condições 
suficientes para deduzir todas as propriedades que estão ligadas aos números 
inteiros, e que fornecerão uma propriedade que diferenciará os inteiros dos 
demais conjuntos. Com esse nono axioma será possível, então, caracterizar o 
conjunto dos números inteiros. 
Vamos, primeiramente, recordar a definição do que seria um conjunto 
limitado inferiormente. Dizemos que um subconjunto S de Z é limitado 
inferiormente, se existir c∈Z tal que c x≤ para todo x S∈ . Dizemos que a S∈ 
é um menor elemento de S se a x≤ para todo x S∈ , denotando por min(S) = a.
Um exemplo de conjunto limitado inferiormente é o próprio conjunto dos 
naturais, que possui o 1 como menor elemento.
IMPORTANTE
A9 – Princípio da Boa Ordenação: se S é um subconjunto não vazio de � 
e limitado inferiormente, então S possui um menor elemento.
Vejamos como esse axioma pode diferenciar os inteiros dos racionais e 
dos reais. Se escolhermos um intervalo aberto qualquer (2, 4), perceba que tanto 
os racionais como os reais estão limitados inferiormente, porém, ambos não 
possuem um menor elemento. Pois, é sempre possível conseguir encontrar um 
valor cada vez mais próximo do 2. 
Veremos, agora, algumas propriedades dos inteiros, possíveis de serem 
demonstradas com este axioma, porém realizaremos a demonstração apenas de 
algumas, ficando a cargo do leitor as demais.
Proposição 6: não existe nenhum número inteiro n tal que 0 < n < 1.
Demonstração: vamos supor por absurdo que exista um valor n com esta 
propriedade. Sendo assim, o conjunto { }, 0 1 S a a= ∈ < <Z não é vazio. Logo, S 
possui um menor elemento x, com 0 < x < 1. Porém, multiplicando a desigualdade 
por x, obtemos 0 < x2 < x, ou seja, atribuindo o que já supomos 0 < x2 < x < 1. 
Portanto, 2x S∈ . Contradição!
Corolário 1: dado um número inteiro n qualquer, não existe nenhum número 
inteiro m tal que n < m < n + 1.
TÓPICO 1 | NÚMEROS INTEIROS
11
Demonstração: vamos supor por absurdo que exista um valor m com 
esta propriedade. Somando (–n) a cada termo da desigualdade, obtemos: 
( ) ( ) ( )1n n m n n n+ − < + − < + + −
0 < m – n < 1
Porém,pela proposição anterior, temos que, entre zero e um, não há 
número inteiro, logo uma contradição.
Corolário 2: sejam ,a b∈Z . Se 1a b⋅ = , então 1.a b= = ±
Corolário 3: sejam ,a b∈Z com 0b ≠ , então .a b a⋅ ≥
Demonstração: pela proposição anterior, temos que, não existe valor entre zero e 
um, logo, com 0b ≠ , então 1b ≥ . Sendo assim, .a b a b a⋅ = ⋅ ≥
Corolário 4: (Propriedade Arquimediana) sejam ,a b∈Z com 0b ≠ , então existe 
n∈Z tal que .n b a⋅ >
Esse corolário quer nos dizer algo bem importante da matemática: que 
um conjunto (como os inteiros) não possui números infinitamente grandes ou 
infinitamente pequenos, pois sempre é possível obtermos números cada vez 
maiores ou menores. Já havíamos definido conjunto limitado inferiormente, 
agora, completaremos o Princípio da Boa Ordenação com a definição de conjunto 
limitado superiormente.
Proposição 7: se T é um subconjunto de � não vazio e limitado superiormente, 
então T possui um maior elemento.
Denotaremos, caso exista, o maior elemento do conjunto T, por max(T ) e 
por convenção, que o conjunto vazio é limitado superiormente por qualquer cota 
superior.
Agora que todas as proposições já foram esclarecidas e que Princípio da 
Boa Ordenação está bem definido, podemos apresentar no próximo tópico, sua 
principal consequência: Princípio da Indução Matemática. 
Este princípio consta também nos axiomas de Peano, que falam sobre o 
sucessor de um número natural. Você pode aprofundar seus conhecimento acessando o 
link: https://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/Afonso_TN18.pdf.
DICAS
12
Neste tópico, você aprendeu que:
• A adição e multiplicação são Bem Definidas:
 para todos , , ’, ’ ,se ’ ’, então ’ ’ e ’ ’.a b a b a a e b b a b a b a b a b∈ = = + = + ⋅ = ⋅Z 
• A adição e a multiplicação são Comutativas:
 para todos , , , e a b a b b a a b b a∈ + = + ⋅ = ⋅ Z .
• A adição e a multiplicação são Associativas:
 ( ) ( ) ( ) ( )para todos , , , , e a b c a b c a b c a b c a b c∈ + + = + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Z .
• A adição e a multiplicação possuem Elementos Neutros
 para todos , , 0 e 1 .a a a a a∈ + = ⋅ = Z 
• A Adição possui elemento simétrico:
 ( )para todos , ,existe tal que 0a b a a b∈ = − + = Z 
.
• A multiplicação é distributiva com relação à adição:
 para todos , , , ,a b c ∈ Z tem-se ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅
• Existe Fechamento nos � : O conjunto dos � é fechada para a adição e 
multiplicação, ou seja, para todo , ,a b c∈N , tem-se que a b+ ∈N e a b⋅ ∈N.
• A propriedade da Tricotomia: Dados ,a b∈Z , uma, e apenas uma, das 
seguintes possibilidades é verificada:
RESUMO DO TÓPICO 1
( )
(I) ; = (I) ;
(II) ; = (II) ;
(III) . = (III) .
a b a b
b a a b
b a a b b a
= =
− ∈ <
− − = − ∈ <
N
N
• O Princípio da Boa Ordenação: Se S é um subconjunto não vazio de � e 
limitado inferiormente, então S possui um menor elemento.
• A relação de ordem é satisfeita com as seguintes propriedades:
 (i) É reflexiva: ,a a a∀ ∈ ≤Z .
 (ii) É antissimétrica: , , , e .a b a b b a a b∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ =Z 
 (iii) É transitiva: , , , , e a b c a b b c a c∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤Z 
13
• Para ,a b∈Z e r∈ N , temos:
 (i) ;a b a b⋅ = ⋅
 (ii) a r≤ se, e somente se, ;r a r− ≤ ≤
 (iii) ;a a a− ≤ ≤
 (iv) a desigualdade triangular
.a b a b a b− ≤ ± ≤ +
14
1 Para , ∈Za b , mostre que:
AUTOATIVIDADE
2 Mostre que para todo , ∈Za b , vale a propriedade:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
3 3
a) 
b) 1
c) 
d) 
e)
g
1 1 1
 
f
 
 ) 
)
a a
a a
a b a b
a b a b
a a
b b
− − =
⋅ = −
− ⋅ = − ⋅
− ⋅ − =
− ⋅ − = ⋅
−
− = −
−
=
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
a) 
b) 
c) 
d
0
) 
e) 
a a
a b a a
b a a b
a b c a c b
a b c a b c
− =
− + = − −
− − = −
− − = + −
− + = − −
15
TÓPICO 2
INDUÇÃO MATEMÁTICA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, veremos a forma de demonstrar pelo Princípio da Indução 
Matemática, “essa expressão designa o princípio que serve para o estabelecer 
a verdade de um teorema matemático em um número indefinido de casos” 
(ABBAGNANO, 2012, p. 645). 
Além de aprender a formalidade da demonstração, traremos várias 
aplicações, tanto para situações acadêmicas do estudo da matemática, quanto 
para as atividades com os estudantes das escolas.
2 PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Para entender um pouco o funcionamento do teorema antes de apresentá-
lo, vamos supor algo bem intuitivo, acredito que você já tenha se divertido com 
este tipo de brincadeira que envolve dominós. 
Imagine uma quantidade de dominós colocados em sequência, de modo 
que ao derrubar um deles, o procedimento se estenderá até o último deles. Na 
prática, o método da brincadeira com dominós possui um funcionamento bem 
simples. Garanta que todos estejam alinhados, que o primeiro funcione e que 
este influencie no próximo e assim por diante. Assim, mesmo que a fila seja 
indefinidamente extensa, podemos garantir que todos os dominós cairão.
Teorema 1: (Princípio da Indução Matemática) sejam S um subconjunto de � e 
a∈Z tais que:
(I) a S∈
(II) S é fechado em relação à operação de “somar 1” a seus elementos, ou seja, 
 , 1n n S n S∀ ∈ ⇒ + ∈ .
Então, { };x x a S∈ ≥ ⊂Z .
Parece simples o teorema, porém, apesar da simplicidade de imaginar 
que o sucessor de um número pertence a um subconjunto dos inteiros, este serve 
como base para um importante método de demonstração, que chamaremos de 
Prova por Indução Matemática.
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
16
As ciências naturais utilizam o método chamado indução empírica 
para formular leis que devem reger determinados fenômenos a partir 
de um grande número de observações particulares, selecionadas 
adequadamente. Esse tipo de procedimento, embora não seja uma 
demonstração de que um dado fato é logicamente verdadeiro, é 
frequentemente satisfatório (FONSECA, 2011, p. 30).
Apesar do comentário de Fonseca ser “satisfatório”, pode não ser relevante 
para várias situações da matemática, em que o intuito é que uma proposição seja 
válida para um certo conjunto de números.
Bertrand Russel (1872-1970), matemático inglês, batizou a indução 
empírica de forma irônica, chamando de indução galinácea, que apresentava a 
seguinte história:
Havia uma galinha nova no quintal de uma velha senhora. Diariamente, 
ao entardecer, a boa senhora levava milho às galinhas. No primeiro 
dia, a galinha, desconfiada, esperou que a senhora se retirasse para 
se alimentar. No segundo dia, a galinha, prudentemente, foi se 
alimentando enquanto a senhora se retirava. No nonagésimo dia, a 
galinha, cheia de intimidade, já não fazia caso da velha senhora. No 
centésimo dia, ao se aproximar a senhora, a galinha, por indução, 
foi ao encontro dela para reclamar o seu milho. Qual não foi a sua 
surpresa quando a senhora a pegou pelo pescoço com a intenção de 
pô-la na panela (HEFEZ, 2009, p. 10).
Admitir que algo funcione para uma certa quantidade de valores não 
significa que funcione para qualquer uma delas. Esse foi o caso da galinha da 
estória do matemático Russel. Achou que funcionaria novamente no caso 100, 
porém, a prova não foi muito bem o esperado, pelo menos para a galinha.
Veremos exemplos extremamente curiosos sobre a raciocínio indutivo 
que darão ênfase ao motivo de “demonstrar para validar”.
Exemplo 5: encontramos um polinômio ( ) 2 – 41P n n n= + , que fornece 
apenas números primos. Veja na tabela a seguir, os 40 primeiros números obtidos 
através dele:
TÓPICO 2 | INDUÇÃO MATEMÁTICA
17
n P(n) n P(n) n P(n) n P(n)
1 41 11 151 21 461 31 971
2 43 12 173 22 503 32 1033
3 47 13 197 23 547 33 1097
4 53 14 223 24 593 34 1163
5 61 15 251 25 641 35 1231
6 71 16 281 26 691 36 1301
7 83 17 313 27 743 37 1373
8 97 18 347 28 797 38 1447
9 113 19 383 29 853 39 1523
10 131 20 421 30 911 40 1601
TABELA 1 – VALORES APLICADOS EM P(n)
FONTE: Os autores
Será que conhecemos, então, um polinômio que fornece apenas números 
primos? Apesar de todos os númerosobtidos até o momento serem realmente 
primos, o polinômio não funciona para ( )41 1681 41 41P = = ⋅ . Notem como é 
importante na matemática a demonstração. Apesar de refutarmos a ideia do 
polinómio com um contraexemplo, é fundamental trabalhar com verdades. 
Caso você tenha ficado surpreso com este polinômio, vamos lhe apresentar 
outro caso:
( ) 2 79 1601T n n n= − + .
Este polinômio fornece primos do 1 até o 79, falhando em: 
( ) 280 80 79 80 1601 1681 41 41T = − ⋅ + = = ⋅ .
Sendo assim, aceite apenas afirmações que forem demonstradas para todos 
os números.
DICAS
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
18
Teorema 2: (Prova por Indução Matemática) sejam a∈Z e seja p(n) uma 
sentença aberta em n. Suponha que:
(I) p(a) é verdadeiro, e que
(II) é verdadeiro.
Então, p(n) é verdadeiro para todo n a≥ .
O teorema nos diz que, se um certo valor a goza da sentença definida nos 
números inteiros, e que, além disso, o sucessor de a também goza desta sentença, 
então todos os números deste conjunto gozam desta sentença. 
Diferente da indução empírica já comentada, a indução matemática não 
deixa pontos abertos quanto à validade de uma proposição. Mesmo que uma 
sentença seja verdade para uma finidade de valores, isso não significa que 
funcionará para todos. 
Segundo Hefez (2016, p. 15), o primeiro registro da utilização do Princípio 
da Indução Matemática foi feita por Francesco Maurolycus, em 1575, na tentativa 
de encontrar uma fórmula exata, para a soma dos n primeiros números naturais 
ímpares: ( )1 3 2 1 .nS n= + +…+ −
Acompanhe o resultado obtido, quando realizamos a soma dos seis 
primeiros casos:
( ) ( ) , 1n a p n p n∀ ≥ ⇒ +
1
2
3
4
5
6
• 1
• 1 3 4
• 1 3 5 9
• 1 3 5 7 16
• 1 3 5 7 9 25
• 1 3 5 7 9 11 36
S
S
S
S
S
S
=
= + =
= + + =
= + + + =
= + + + + =
= + + + + + =
É intuitivo perceber que a fórmula ( )1 3 2 1 ,nS n= + +…+ − é o resultado 
da soma dos n números naturais ímpares. Ela nos fornece uma conjectura, para 
um raciocínio indutivo em que 2
nS n= . Porém, já vimos anteriormente que nada 
está provado ainda. Vamos, então, utilizar do Princípio da Indução Matemática 
para realizar a demonstração. Os passos para realizar tal demonstração são 
simples: 
TÓPICO 2 | INDUÇÃO MATEMÁTICA
19
(I) Queremos provar que a propriedade ( ) 2: nP n S n= vale para todo n∈N.
 Verificaremos inicialmente que P(1) é válida. De fato: 2
1 1 1 S = = o que é 
verdade. 
(II) Agora, vamos supor que P(n) é verdadeira para certo valor de n, somamos 
ambos os membros da igualdade por (2n + 1), obtemos:
Logo ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim, pelo Princípio da Indução, a proposição 
P(n) vale para todo n∈N .
Colocaremos duas explicações da demonstração que não foram colocadas 
no exemplo, pois, “poluiriam” a escrita:
• Somar (2n + 1) em ambos os lados da igualdade está ligado ao sucessor do próximo 
termo da sequência, ou seja, qual é o próximo número depois do (2n – 1). Para 
saber quem deve ser acrescido, devemos trocar no último termo da sequência 
(2n – 1), o n por n + 1. Perceba: ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 2 2 1 2 1n n n n − ⇒ + − = + − = +  .
• Após somarmos em ambos os lados da igualdade por (2n + 1), devemos 
conseguir realizar a implicação para o sucessor da nossa conjectura, ou seja, 
que o ( )22 1n n⇒ + .
Para que você possa familiarizar com o método da indução, faremos alguns 
exemplos variados que lhe contribuirão com artifícios lógicos e manipulações 
matemática elementares importantíssimas para formular a ideia da utilização 
desta ferramenta.
Exemplo 6: mostre que para n∈N, vale:
( ) ( )1 1 1 
1 2 2 3 11
n hipótese de indução
nn n
+ + + =
⋅ ⋅ ++

Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita. Queremos provar 
que a propriedade:
( ) ( )
1 1 1: 
1 2 2 3 11
nP n
nn n
+ + + =
⋅ ⋅ ++

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 3 2 1 2 1 2 1
1 3 2 1 2 1 1 
n n n n
n n n
+ +…+ − + + = + +
+ +…+ − + + = +
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
20
Vale para todo n∈N. Verificaremos inicialmente que P(1) é válida. De 
fato: 
( )
1 1 1
1 1 21 1 1
= ⇒
++
O que é verdade. 
Supondo que P(n) é verdadeira para certo valor de n, somamos ambos os 
membros da igualdade por
( )( )
1 , obtendo:
1 2n n+ +
( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
2
1 1 1 1 1
1 2 2 3 11 1 2 1 2
2 1
 
1 2
2 1 
1 2
 
n
nn n n n n n
n n
n n
n n
n n
+ + + + = +
⋅ ⋅ ++ + + + +
+ +
=
+ +
+ +
=
+ +

( )
( )( )
1 ²
 
1 2
1 
2
n
n n
n
n
+
=
+ +
+
=
+
Logo, ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim pelo Princípio da Indução, a proposição 
P(n) vale para todo n∈N.
Exemplo 7: encontre uma fórmula para n∈N , que determina a soma da 
sequência:
2 4 8 2 .n+ + + +
Resolução: queremos encontrar uma fórmula para a seguinte soma:
( )2 4 8 2 In
nS = + + + +
(que é o sucessor da expressão mostrada como hipótese de indução)
TÓPICO 2 | INDUÇÃO MATEMÁTICA
21
Note que ela é uma progressão geométrica, então multiplicaremos ambos 
os lados por 2, obtemos:
( )12 4 8 16 2 2 IIn n
nS +⋅ = + + + + +
Subtraímos (II) de (I), temos:
1 2 4 8 16 2 2
 2 4 8 2
n n
n
n
n
S
S
+⋅ = + + + + +
− = + + + +


( )12 2 2 2 1n n
n nS S+= − + ⇒ = −
Note que vários valores se 
cancelam: 
4 e 4, 8 e 8, ..., 2n e 2n,
sobrando apenas dois 
elementos.
Desta forma, montamos nossa fórmula, ( )2 4 8 2 2 2 1 .n n+ + + + = − 
Tente realizar a demonstração!
Exemplo 8: encontre uma fórmula para n∈N , que determina a soma da 
sequência:
( ) ( )1 4 7 3 5 3 2 .n n+ + + + − + −
Resolução: queremos encontrar uma fórmula para a seguinte soma:
( ) ( ) ( )1 4 7 3 5 3 2 InS n n= + + + + − + −
Note que ela é uma progressão aritmética, então vamos reordenar a soma, 
obtendo:
( ) ( ) ( )3 2 3 5 7 4 1 IInS n n= − + − + + + +
Somando (I) de (II), temos:
( ) ( )
( ) ( )
 1 4 3 5 3 2
3 2 3 5 4 1
n
n
S n n
S n n
= + + + − + −
= − + − + + +


1 2 4 8 16 2 2
 2 4 8 2
n n
n
n
n
S
S
+⋅ = + + + + +
− = + + + +


( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 3 1 3 1 3 1nS n n n n= − + − +…+ − + −
n vezes
+
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
22
( )
( )
 2 3 1
3 1
 
2
n
n
S n n
n n
S
⇒ = −
−
⇒ =
Portanto, a fórmula procurada é ( ) ( ) ( )3 1
1 4 7 3 5 3 2
2
n n
n n
−
+ + + + − + − = . 
Novamente, tente realizar está demonstração!
Já vimos uma quantidade significativa da aplicação do Princípio da 
Indução Matemática, porém, existe uma variação chamada Princípio da Indução 
Completa que abrange outros casos muito importantes.
Teorema 3: (Prova por Indução Completa) seja p(n) uma sentença aberta tal que
(i) p(a) é verdadeiro, e que
(ii) ( ) , n p a∀ e p(a + 1) e ••• e ( )p n ⇒ p(n + 1) é verdadeiro
Então, p(n) é verdadeiro para todo n a≥ .
A diferença entre o Princípio de Indução Matemática com este, é que 
enquanto no primeiro tínhamos um número natural n qualquer e tentamos provar 
que P(n + 1) é verdadeira baseado apenas, na hipótese de que P(n) é verdadeira. 
Na indução completa, prova-se que P(n + 1) é verdadeira fundamentado no fato de 
que as proposições P(1), P(2), P(3), ..., P(n) são todas verdadeiras, ou seja, em vez 
de admitir que apenas P(n) é verdadeira, pode-se admitir que P(1), P(2), ..., P(n) 
são verdadeiros, desta forma, temos mais base e consistência na demonstração.
3 DEFINIÇÃO POR RECORRÊNCIA
Para dar continuidade ao desenvolvimento das aplicações do método da 
indução, veremos o conceito de recorrência, que trará mais rigor no tratamento 
de algumas situações matemáticas.
Muitas sequências, como as aritméticas e geométricas, podem ser definidas 
recursivamente, ou seja, mediado de uma regra que possibilita calcular qualquer 
termo, em função do antecessor imediato.
TÓPICO2 | INDUÇÃO MATEMÁTICA
23
Exemplo 9: seja a sequência ( )1 5 9 4 3n+ + +…+ − com n∈N. Essa é 
uma sequência bem conhecida, uma progressão aritmética de razão 4. Logo, uma 
forma de definir o próximo termo da sequência an+1, por recorrência, resumir-se-ia 
na expressão:
1 4.n na a+ = +
Ou, ainda, a soma de todos Sn os termos, seria definida por
1 1.n n nS S a+ += +
Perceba que neste exemplo elementar conseguimos notar a aplicação 
do conceito de recorrência por duas vezes, uma definindo o próximo termo da 
sequência e, no outro caso, a soma até determinado ponto. É importante ressaltar 
que podemos denotar somas como a dos exemplos anteriores, pela notação de 
somatório:
1
.
n
n i
i
S a
=
=∑
IMPORTANTE
FIGURA – EXPLICAÇÃO DA NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO
FONTE: Os autores
Existem algumas propriedades que apenas apresentaremos sobre o 
somatório. Sejam ai e bi duas sequências de elementos de um conjunto A munida 
de duas operações sujeitas às leis da aritmética e seja .c A∈ Vale as seguintes 
propriedades:
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
24
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1
1 1
1 1 1
1
1
I
 
II
III
IV
 
 
 
 
n n n
i i i i
i i i
n n
i i
i i
n
i i n
i
n
i
a b a b
c a c a
a a a a
c nc
= = =
= =
+ +
=
=
+ = +
⋅ = ⋅
− = −
=
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
Exemplo 10: encontre uma expressão fechada para a soma
( )1 2 2 3 3 4 1 .n n⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ +
Resolução: perceba que podemos escrever este somatório por:
( )
1
1 .
n
i
i i
=
⋅ +∑
Utilizando da distributiva e da propriedade (i), temos:
( ) ( )2 2
1 1 1 1
1
n n n n
i i i i
i i i i i i
= = = =
⋅ + = + = +∑ ∑ ∑ ∑
Usando os resultados do exercício 1 itens a) e b), que são:
( ) ( )( )2 2 21 1 2 1
1 2 e 1 2
2 6
n n n n n
n n
+ + +
+ +…+ = + +…+ =
TÓPICO 2 | INDUÇÃO MATEMÁTICA
25
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
1 1
1 2 1 1
6 2
1 2 1 3 1
 
6
1 2 1 3
 
6
1 2 4
 
6
1 2
 .
3
n n
i i
n n n n n
i i
n n n n n
n n n
n n n
n n n
= =
+ + +
+ = +
+ + + +
=
+ + +
=
+ +
=
+ +
=
∑ ∑
Podemos escrever então,
Por recorrência, é possível definir o fatorial de um número inteiro, com 
0n ≥ , denotado por n!, como sendo 0! = 1! = 1 e ( ) ( )1 ! ! 1 ,n n n+ = ⋅ + se 1n ≥ .
Outra importante aplicação da recorrência está na definição da operação 
de potenciação. Seja a um elemento de um conjunto A munido de duas operações 
sujeitas às leis básicas da aritmética. As potências an com n inteiro, 0n ≥ , são 
definidas por recorrência, como:
a1 = a e a0 = 1, se 0,a ≠ então 1n na a a+ = ⋅ .
Com está definição, podemos apresentar e provar as propriedades da 
potenciação.
Proposição 8: sejam ,a b A∈ e , m n∈N . Então:
( )
( ) .
(I) .
(II) .
(III) 
m n m n
nm m n
n n n
a a a
a a
a b a b
+
⋅
⋅ =
=
⋅ = ⋅
Demonstração: demonstraremos os itens (i) e (ii) apenas.
Item (i): Fixando a e m arbitrariamente, realizaremos a prova por indução 
sobre n. Verificamos inicialmente que para n = 1 a propriedade é verdadeira, 
1 1.m m ma a a a a +⋅ = ⋅ =
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
26
Supondo que m n m na a a +⋅ = , temos que:
( ) ( )1 1 1 1m n m n m n m n m na a a a a a a a a a a+ + + +⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
Logo, por indução, a propriedade é válida.
Note que as duas partes da demonstração obedecem a definição de 
potenciação e utiliza como artifício a associatividade da multiplicação.
NOTA
Item (ii): fixando a e m arbitrariamente realizaremos a prova por indução 
sobre n. Verificamos inicialmente que para n = 1 a propriedade é verdadeira, 
( )1 1.m m ma a a ⋅= =
Supondo que ( )nm m na a ⋅= , temos que:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 .
n n m nm m m m n m m n ma a a a a a a a
+ ⋅ +⋅ ⋅ += ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Logo, por indução, a propriedade é válida.
Neste caso, utilizamos para a demonstração, definição de potenciação, 
propriedade (i) e da distributiva da multiplicação.
INTERESSANTE
Com essas definições, podemos realizar mais alguns exemplos de 
aplicação da prova por indução.
Exemplo 11: mostre que para cada n∈N , é válida a propriedade 
( )2 4 8 2 2 2 1 .n n+ + + + = −
TÓPICO 2 | INDUÇÃO MATEMÁTICA
27
Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita para provar então 
que a propriedade:
( ) ( ): 2 4 8 2 2 2 1n nP n + + + + = −
Vale para todo n∈N. Verificaremos inicialmente que P(1) é válida. De 
fato: ( )12 2 2 1 2 2= − ⇒ = , o que é verdade. 
Supondo que P(n) é verdadeira para certo valor de n, somamos ambos os 
membros da igualdade por 2n+1, obtendo: 
( )1 12 4 8 2 2 2 2 1 2n n n n+ ++ + + + + = − +
( )
1 1
1
2 2 2
2 2 1
n n
n
+ +
+
= − +
= −
Logo ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim, pelo Princípio da Indução, P(n) vale para 
todo n∈N .
Exemplo 12: seja a∈Z , mostre que para cada n∈N, existe um m∈Z
, tal que: 
2 1( 1) 1.na ma+− = −
Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita. Queremos provar 
que a propriedade
( ) 2 1: ( 1) 1nP n a ma+− = −
Vale para todo n∈N e para todo m∈Z . Verificaremos inicialmente que 
P(1) é válida. De fato: 
( )2 1 3 3 2 2( 1) ( 1) 3 3 1 3 3 1a a a a a a a a+− = − = − + − = − + −
Substituindo a2 – 3a + 3 por m, temos: am –1.
O que mostra que é válida para 1. Supondo que P(n) é verdadeira para 
certo valor de n, multiplicando ambos os membros da igualdade por (a – 1)2, 
obtendo:
( ) ( )
( )( )
( )
2 22 1
2 3 2
3 2 2
2
( 1) 1 ( 1) 1
 ( 1) 1 2 1
 2 2 1
 2 2 1
n
n
a a ma a
a ma a a
a m a m a am a
a a m am a m
+
+
− − = − −
− = − − +
= − − + + −
= − − + + −
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
28
Substituindo 2 2 2a m am a m− − + + por t = at – 1
Logo ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim pelo Princípio da Indução, P(n) vale para 
todo n∈N .
Exemplo 13: mostre que para cada n > 4 com n∈N , vale n! > 2n.
Demonstração: usaremos o Princípio da Indução Finita. Queremos provar 
que a propriedade P(n): n! > 2n vale para todo n∈N com 4n ≥ . 
Verificaremos inicialmente que P(4) é válida. De fato: 44! 2 24 16,> ⇒ > o 
que é verdade. 
Supondo que P(n) é verdadeira para certo valor de n, multiplicamos 
ambos os membros da igualdade por (n + 1), obtendo: n! (n + 1) > 2n(n + 1) 
Como mencionado n deve ser maior ou igual a 4, portanto: 4n ≥ 
Somando 1 a ambos os lados 1 5n+ ≥ com 5 é menor que 2, podemos 
escrever 1 5 2,n+ ≥ > ou seja, n + 1 > 2 multiplicando ambos os lados por 2n: 
Substituindo II e I, temos
Logo, ( ) ( )1P n P n⇒ + . Assim pelo Princípio da Indução, a propriedade 
P(n) vale para todo n∈N .
Neste ponto de nosso estudo, vimos uma forma de demonstração muito 
importante. Ela será bastante útil para entender e mostrar vários resultados 
posteriores em nosso material. Você poderá ler mais sobre aplicações especiais 
acerca da indução matemática, na Leitura Complementar desta unidade.
( ) 12 1 2 (II)n nn ++ >
( ) ( )1 ! 2 1 (I)nn n+ >
( ) ( )
( )
1
1
1 ! 2 1 2
1 ! 2
n n
n
n n
n
+
+
+ > + >
+ >
29
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• A Prova por Indução Matemática: sejam a∈Z e seja p(n) uma sentença aberta 
em n. Suponha que:
(i) p(a) é verdadeiro, e que
(ii) n a∀ ≥ , ( ) ( )1p n p n⇒ + é verdadeiro.
Então, p(n) é verdadeiro para todo n a≥ .
• A Prova por Indução Completa: seja p(n) uma sentença aberta tal que
(i) p(a) é verdadeiro, e que
(ii) ( ) , n p a∀ e p(a + 1) e ... e ( ) ( )1p n p n⇒ + é verdadeiro
Então, p(n) é verdadeiro para todo n a≥ .
• As Propriedades do somatório são:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
 
 
 I 
II 
 III
IV 
n n n n
i i i i i i n
i i i i
n n n
i i
i i i
a b a b a a a a
c a c a c nc
+ +
= = = =
= = =
+ = + − = −
⋅ = ⋅ =
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
• A definição do fatorial de um número inteiro, com 0n ≥ , denotado por n!, como 
sendo:
( )( )0! 1! 1 e 1 ! ! 1 , se 1.n n n n= = + = ⋅ + ≥
• A definição da operação de potenciação. Seja a um elemento de um conjunto A 
munido de duas operações sujeitas às leis básicas da aritmética. As potências an 
com n inteiro, 0n ≥ , são definidas por recorrência, como: a1 = a e a0 = 1, se 0,a ≠ 
então 1n na a a+ = ⋅ .
• Sejam , e , a b A m n∈ ∈N . Então,
( )
( )
(I) 
(II) 
(III) 
m n m n
nm m n
n n n
a a a
a a
a b a b
+
⋅
⋅ =
=
⋅ = ⋅
30
AUTOATIVIDADE
1 Mostre as seguintes fórmulas por indução:
2 Ache uma fórmula para cada uma das seguintes somas:
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
2 2 2
2
3 3 3
2
22 2
22 2
1
a) 1 2
2
1 2 1
b) 1 2
6
1
c) 1 2
2
4 1
d) 1 3 2 1
3
2 1 2 1
e) 2 4 2
3
1 1 1f) 
1 2 2 3 11
31 1 1g) 
1 2 3 2 3 4 1 2 4 1 2
1 1 1h) 
1 3 3 5 2
n n
n
n n n
n
n n
n
n n
n
n n n
n
n
nn n
n n
n n n n n
+
+ +…+ =
+ +
+ +…+ =
 +
+ +…+ =  
  
−
+ +…+ − =
+ +
+ +…+ =
+ +…+ =
⋅ ⋅ +⋅ +
+
+ +…+ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + +
+ +…+
⋅ ⋅ ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 11 2 1
1 1 1i) 
1 4 4 7 3 13 2 3 1
1 1 1j) 
1 5 5 9 4 14 3 4 1
n
nn n
n
nn n
n
nn n
=
+− ⋅ +
+ +…+ =
⋅ ⋅ +− ⋅ +
+ +…+ =
⋅ ⋅ +− ⋅ +
( )
( )
( )
a) 1 3 2 1
b) 1 4 3 2
c) 2 6 4 2
d) 3 9 3
1 1 1 1e) 
3 9 27 3
n
n
n
n
n
+ +…+ −
+ +…+ −
+ +…+ −
+ +…+
+ + …+
31
( )
( )
( )
a) 1 3 2 1
b) 1 4 3 2
c) 2 6 4 2
d) 3 9 3
1 1 1 1e) 
3 9 27 3
n
n
n
n
n
+ +…+ −
+ +…+ −
+ +…+ −
+ +…+
+ + …+
3 Calcule fórmulas fechadas para as seguintes somas:
5 Mostre por indução as seguintes observações.
4 Seja a∈Z . Mostre que
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
a) 1 1 2 1 2 3 ··· 1 2 ··· .
b) 1·2·3 2·3·4 3·4·5 ··· 1 2 .
c) 1·3 3·5 5·7 ··· 2 1 2 1 .
d) 1 1 2 1 2 3 ··· 1 2 3 ··· .
n
n n n
n n
n
+ + + + + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + − +
+ + + + + + + + + + +
( )
( )2
.
)
b
a para cada , existe tal que 1 1.
 para cada , existe tal que ) 1 1
n
n
n m a ma
n m a ma
∈ ∈ + = +
∈ ∈ − = +
N Z
N Z
2
2 , para todo .
! , para todo com 4.
! 3 , para todo com 7.
! , para todo com 2.
a) 
b) 
c) 
d) 
n
n
n
n n
n n n n
n n n
n n n n
> ∈
> ∈ ≥
> ∈ ≥
< ∈ ≥
N
N
N
N
32
33
TÓPICO 3
DIVISIBILIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, apresentaremos o conceito de divisibilidade, retomaremos 
e aprofundaremos os conceitos acerca dos números inteiros. Além disso, 
utilizaremos uma linguagem um pouco mais formal do que normalmente 
utilizamos para apresentar o conceito de divisibilidade. 
Reforçando, divisibilidade não é nenhuma novidade e podemos tratá-la 
como uma continuação do conceito de múltiplos e divisores, porém com uma 
abordagem diferente. Veja a divisão de um número inteiro a por um número 
inteiro não nulo b.
Note que se r = 0, resulta que a q b= × e seguem as seguintes relações:
• a divisão de a por b tem resto 0;
• a divisão de a por b é exata;
• a é divisível por b;
• a é um múltiplo de b;
• b é um divisor de a;
Ou seja, lembrando que são 5 afirmações verdadeiras desde que r = 0, para 
designar o mesmo fato.
2 DIVISIBILIDADE
Neste subtópico, dando sequência a ideia explorada na introdução, 
teremos que desenvolver uma sexta afirmação, pois será interessante colocar 
o zero em algumas oportunidades. Desse modo, poderemos falar também de 
“pares” de números inteiros a e b, tais que exista um número inteiro t, de modo 
que .a t b= ×
34
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
Esta sexta forma de tratar a divisão é a nomenclatura clássica da aritmética e 
teoria dos números.
ATENCAO
Definição 1: dados a e b, números inteiros. Afirmaremos que b divide a, se 
existir .t∈Z de modo que .a t b= × De mesmo modo, diremos que b não divide a, 
quando não puder ser escrita a forma .a t b= × , com .t∈Z 
Notações:
• b | a indica que b divide a;
• b aŒ indica que b não divide a.
Essa relação aqui definida é a de divisibilidade de números inteiros.
Não pode ser confundida a relação de divisibilidade b | a com a de fração b | a.
IMPORTANTE
Exemplos:
1) 5|15, pois 15 3 5 e 3 .= × ∈Z
2) Mas 15 5Œ , pois não existe t inteiro tal que 5 15t= × . Note ainda:
• Para o caso de t = 0, teremos 15 0 5t× = ≠ ;
• Para o caso de t = 1, teremos 15 15 5t× = ≠ ;
• Caso t > 1, teremos 15 15 5, e assim 15 5t t× > > × ≠ ;
3) 1 | k, para todo k∈Z , uma vez que 1 ,k k= × para todo k;
4) Este aqui é um tanto polêmico e por este motivo iremos reforçar esta análise 
mais tarde em nosso material:
 
0 | 0, pois, por exemplo, 0 7 0= × e ainda 7 .∈Z
Proposição 8: 0 | a, se e somente se, a = 0.
TÓPICO 3 | DIVISIBILIDADE
35
Mostraremos este caso para destituir a polêmica criada pelo exemplo 4 
anterior. Como pode ser notado, estamos lidando com um caso de “se e somete 
se”, e assim sendo temos que mostrar:
0 0 0 0 a a e a a⇒ = = ⇒
(I) Mostraremos incialmente o primeiro caso. Seja a um número inteiro tal que 
0 | a. Deste modo, utilizando a definição de divisibilidade, existe k∈Z , tal 
que 0a k= × . Mas, sabe-se que 0 0k× = , logo, a = 0.
(II) Suponhamos agora que a é um número inteiro qualquer, é fácil notar que 
a | a, sendo que 1a a= × , para todo a inteiro e ainda 1 .∈Z Particularmente, 
se a = 0, chegamos a mesma conclusão. Logo, 0 | a.
Por (i) e (ii), concluímos que 0 | 0.a a⇔ =
Observações importantes:
1. Denotaremos por m • n, ou mn o produto do número m pelo número n.
2. Se b | a, e 0b ≠ , então o número inteiro t, em que a = tb é único. Se considerarmos 
que existe um k (outro inteiro) onde a = kb, teríamos que kb = tb, sendo que 
supondo 0b ≠ , podemos cancelar b e obter k = t.
3. Já justificamos que 0 | 0. Porém, é interessante perceber que 
0 1 0, 0 5 0, 0 12 0, 0 147 0,= × = × = × = × ou seja, o número t não é único. Assim, 
dizemos que o quociente de 0 por 0 é indeterminado. Por isso, é verdade que 
0 | 0, porém, 0
0
 não está definido.
4. Pelo fato da não unicidade citada na observação anterior, é comum não utilizar 
zero como divisor. Assim, daqui em diante iremos supor os divisores diferentes 
de zero, apesar de não ser dito de modo explícito.
5. Poderemos utilizar as seguintes expressões, mesmo se b = 0:
• b é um divisor de a.
• a é múltiplo de b.
6. Se b = 0 não poderemos utilizar:
• a divisão de a por b tem resto 0;
• a divisão de a por b é exata;
• a é divisível por b.
2.1 PROPRIEDADES DA DIVISIBILIDADE
Neste momento, apresentaremos as propriedades iniciais da divisibilidade 
de números inteiros. Essas propriedades são fundamentais, pois serão utilizadas 
na demonstração de outros resultados e ainda para resolver problemas propostos.
36
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
Propriedade 1: se a | b e b | a, então a = ± b.
Para se compreender o que esta propriedade trata, devemos imaginar que 
para cada número inteiro diferente de zero a, o único número b (inteiro) que é 
concomitantemente múltiplo e divisor de a, é o próprio a ou seu oposto.
Demonstração: se a | b e b | a, então, por definição, existem números inteiros t e k tais 
que b = ta e a = kb. Dessa forma, a = k(ta) = (kt)a. Mas 0a ≠ ; logo, de a = (kt)a, segue 
que kt = 1. No entanto, t e k são números inteiros; portanto, kt = 1 só é possível 
se k = t = 1 ou k = t = -1 e, assim, b = ta (ou a = kb) segue que a = b ou a = -b.
Propriedade 2: se a | b e b | m, então a | m.
Essa propriedade é conhecida como a propriedade de transitividade da 
divisibilidade. Ou seja, informalmente: divisor do divisor é divisor!
Demonstração: se a | b e b | m, então, por definição, existem números inteiros t e 
k de modo que b = ta e m = kb. Assim, temos que: m = k(ta) = (kt)a (i) mas como t 
e k são números inteiros, então x = kt também será um número inteiro, já que 
o produto de dois números inteiros é um número inteiro. Dessa forma, por (i), 
temos que m = xa, com x∈Z . Portanto, por definição, a | m.
Propriedade 3: se a | m e a | n, então a | m + n.
Essa propriedade nos informa que se a é divisor de dois números m e n, 
teremosque a também será divisor da soma m + n.
Demonstração: se a | m e a | n, então, por definição, existem números inteiros t e 
k de modo que m = ta e n = ka. Assim, temos que: m + n = ta + ka = (t + k)a (i), mas 
como t e k são números inteiros, então z = t + k também será um número inteiro, 
já que a soma de dois números inteiros é um número inteiro. Dessa forma, por (i), 
temos que m + n = za, com z∈Z . Portanto, por definição, a | m + n.
Propriedade 4: se a | m, então a | mn.
Essa propriedade nos mostra que se a divide m, a também divide qualquer 
múltiplo de m.
Demonstração: se a | m, então, por definição, existe um número inteiro k tal 
que m = ka. Então, para qualquer número inteiro n, temos que mn = (ka)n = (kn)a. Dessa 
forma, se fizermos kn = t, então teremos que mn = ta, com t∈Z , e isso é suficiente para 
garantir que a | mn.
Propriedade 5: se a | m e a | n, então a | xm + yn, para quaisquer números 
inteiros x e y.
TÓPICO 3 | DIVISIBILIDADE
37
Informalmente, podemos definir essa propriedade sendo que se a é 
divisor de m e n, então a também será divisor da soma dos produtos xm e yn, com 
 xe y∈Z .
Demonstração: utilizaremos as propriedades 3 e 4. Desta forma, suponhamos 
que a seja um divisor de m e de n. Portanto, se x e y são números inteiros, então, 
pela propriedade 4, temos que a | xm e a | yn. Como temos que, a | xm e a | yn, 
utilizamos a propriedade 3 para concluir que a é divisor da soma entre xm e yn. 
Assim, podemos afirmar que a | xm + yn, para ,x y∈Z .
Além de demonstrar essas propriedades importantes e, obviamente, já 
munidos delas, resolveremos alguns problemas que tratam de divisibilidade.
Exemplo 14: 1008 é divisível por 21?
Resolução: sim, uma vez que ( )41008 3 7 2 3= ⋅ ⋅ ⋅ . E, ainda, realizando 
42 3 k⋅ = , temos que 1008 3 7 21k k= ⋅ ⋅ = , com k∈Z .
Exemplo 15: o número 42 5⋅ é divisível por 3?
Resolução: não, basta notar que a decomposição deste número não 
contém o número 3.
Exemplo 16: encontre o menor número natural n tal que n! é divisível por 
990.
Resolução: como 990 2 3² 5 11= ⋅ ⋅ ⋅ , para que n! seja divisível por 990, é 
necessário que em sua decomposição haja todos esses fatores. 11 é primo, logo, 
ele mesmo tem que estar contido no produto. Observe que 11! é divisível por 2, 
por 32 e por 5. Assim, n = 11 é o menor valor possível, pois o fatorial de qualquer 
outro número menor que este não terá o fator 11 em sua decomposição.
Tentaremos notar que a divisibilidade em Z é uma relação de ordem, 
uma vez que:
(I) É reflexiva: para todo a, temos que a | a.
(II) É transitiva: se a |b e b | c, temos que a | c.
(III) É antissimétrica: se a | b, e b | a, então a = b. 
Tente voltar no texto e determinar quais as propriedades que justificam tais 
afirmações.
ATENCAO
38
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
A partir disso, mostraremos alguns resultados relevantes:
Proposição 9: sejam , e a b n∈ ∈Z N , então a – b | an – bn.
Demonstração: usaremos indução em n.
É elementar que a propriedade é válida para n = 1. Pois, a – b | a1 – b1 = a – b. 
Supondo agora a propriedade válida para n, ou seja, a – b | an – bn, escreveremos 
percebendo que podemos somar e subtrair um valor de uma expressão, sem alterar 
o seu valor:
( ) ( )1 1 .n n n n n n na b aa bb a b a b a b+ +− = − + − = − + −n nba ba
Como a – b | a – b, e por hipótese a – b | an – bn, decorre da propriedade 5, 
que a – b | an+1 – bn+1. Verificando o resultado para todo n.
Proposição 10: sejam , e a b n∈ ∈Z N , então a + b | a2n+1 – b2n+1.
Demonstração: utilizaremos novamente indução em n.
 
Note que a propriedade é válida para n = 0. Utilizaremos zero para fins de 
simplificação dos raciocínios, veja que a + b | a1 + b1. Supondo válida a propriedade 
para n, ou seja, a + b | a2n+1 – b2n+1, escreveremos:
( ) ( )
( ) ( )
2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 1 2 1 2 1
² ² ²
² .
n n n n n n
n n n
a b a a b a b a b b
a b a b a b
+ + + + + + + +
+ + +
− = − + +
= − + +
Como a + b | a2 – b2 = (a – b)(a + b), e, por hipótese, a + b | a2n+1 – b2n+1, decorre 
das propriedades anterior que a + b | a2(n+1)+1 – b2(n+1)+1, verificando o resultado para 
todo n.
Proposição 11: sejam , e a b n∈ ∈Z N , então a + b | a2n – b2n.
Demonstração: novamente, utilizaremos indução em n.
Notamos que a afirmação é válida para n = 1, pois é elementar notar que 
a + b | a2 – b2 = (a – b)(a + b). Supondo agora válida a propriedade para n, temos 
que a + b | a2n – b2n. Então, escreveremos:
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2² ² ² ² .n n n n n n n n na b a a b a b a b b a b a b a b+ +− = − + − = − + −
Como a + b | a2 + b2, e, por hipótese, a + b | a2n – b2n, decorre das propriedades 
anteriores que a + b | a2(n+1) – b2(n+1), verificando o resultado para todo n.
TÓPICO 3 | DIVISIBILIDADE
39
Exemplo 17: para quais valores de ,a∈N temos que 4 3 22 | 2 1a a a a+ + + + .
Resolução: teremos como hipótese que 4 3 22 | 2 1a a a a+ + + + , logo, 
podemos reescrever utilizando as proposições anteriores, sendo:
( )4 4 3 3 3 3 2 22 | 2 2 2 2 1 16 8 8 4a a a a a+ − + + + + + − + + + − − +
Sabemos, então que:
Logo, basta verificar os valores para os quais: a + 2 | 5. 
Como 5 é divisível por 1 e 5, teremos que:
( )2 1 1 , a a nãoconsideraremos poisaé natural+ = ⇒ = − (não consideraremos, pois a é natural)
ou
2 5 3.a a+ = ⇒ =
Exemplo 18: mostre que 53 | 74n – 24n
Resolução: temos que, ( )24 2 2 47 49 53 4 53 4 53 2
nn n n nk k k= = − = − = +
Logo: 74n – 24n = 53k
Portanto, 53 | 74n – 24n.
3 DIVISÃO EUCLIDIANA
Neste ponto de nosso material, introduziremos um conceito baseado nos 
estudos de Euclides, nos seus Elementos, em que é tratado que mesmo que quando 
um número inteiro a não divide outro inteiro b, é citado que sempre é possível 
efetuar a divisão, porém, neste caso, com um resto (lembrando que Euclides só 
tratava de números positivos).
Teorema 4 (Divisão Euclidiana): sejam a e b, dois números inteiros quaisquer, com 
0a ≠ . Existem dois números (únicos) q e r, tais que: , 0b a q r com r a= ⋅ + < ≤ .
Demonstração: vamos considerar o seguinte conjunto (incluindo o zero):
{ } { }( ); 0 .S x b ay y= = − ∈ ∩ ∪Z N
4 4 2 2
3 3 2 1 2 1
2 2 2 2
 pois 
 pois .
, pois .
• 2 | 2 , | .
• 2 | 2 , | 
• 2| 2 | 
n n
n n
n n
a a a b a b
a a a b a b
a a a b a b
+ +
+ − + −
+ + + −
+ − + −
40
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
Demonstraremos dois fatos, a existência dos valores q e r e fato de serem 
únicos.
Existência: utilizando a Propriedade Arquimediana, dizemos que existe n∈Z
, tal que n (–a) > b, e, assim, temos que b – na > 0. Esse resultado mostra que 
S não é vazio. Percebendo que S é limitado inferiormente por zero, podemos 
utilizar o princípio da boa ordenação e aferir que S possui um menor elemento r. 
A partir disso, vamos supor que r = b – aq. Sabendo que 0r ≥ , devemos mostrar 
agora que .r a< Supomos, então, por absurdo que r a≥ . Desta forma existe 
{ }0s∈ ∪N , em que r a s= + , e assim, 0 .s r≤ < Contudo, isso contradiz o 
fato que r é o menor elemento de S.
Unicidade: suponhamos que 'b aq r aq r= + ′= + , onde , , , 'q q r r′ são 
inteiros. Ainda temos que perceber que: 0 0r a e r a≤ < ≤ ′ < . Assim, vem: 
.a r r r a′− < − ≤ − < O que resulta que: . r r a′ − < Por outro lado, 
( )' , a q q r r− = −′ o que gera: ' . a q q r r a− −′= < O que só é possível, quando 
 e 'q q r r′= = .
Esse resultado nos mostra os números q e r, que são respectivamente 
nomeados de quociente e resto da divisão de b por a.
Nesta divisão (euclidiana) o resto só será zero, caso a | b.
ATENCAO
Exemplo 19: como exemplo do resultado visto, podemos afirmar que para 
a divisão de 19 por 5, temos q = 3 e r = 4. Pois, sabemos que b a q r= ⋅ + , assim 
19 5 3 4= ⋅ + . Já se tivéssemos –19 por 5, seriam q = – 4 e r = 1. Pois, ( )19 5 4 1− = ⋅ − + .
Exemplo 20: mostrar que o resultado da divisão de 10n por 9 é sempre 1, 
para todo n.
Resolução: para garantir a veracidade do resultado, utilizaremos indução 
em n. Defato, para n = 1, é elementar, pois, 110 9 1 1= ⋅ + . Agora, supondo válido o 
resultado para n, ou seja, 10 9 1n q= ⋅ + , iremos escrever:
( ) ( )110 10 10 9 1 10 9 10 10 9 10 9 1 9 10 1n n n n n n nq q+ = ⋅ = + ⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + +
TÓPICO 3 | DIVISIBILIDADE
41
O que mostra o resultado válido para todo n natural.
Proposição 12: dados dois naturais a e b, com a > 0, existe um inteiro n, tal que: 
( )1na b n a≤ < + .
Demonstração: esta proposição procura mostrar que um sempre existe um número 
b entre dois múltiplos de um número natural a. Estes múltiplos são representados 
por na e (n + 1)a, ou seja, a multiplicação de a por n e por seu sucessor. Utilizando o 
conceito visto de divisão euclidiana, temos ,q r∈Z , com 0 r a≤ < , determinados 
univocamente, em que b a q r= ⋅ + . Basta usar agora, n = q.
Prezado acadêmico, os próximos dois exemplos serão citados sem sua devida 
demonstração, porém, fica como sugestão você procurar mostrar ou criar situações em 
sua mente que permitam comprovar sua veracidade.
DICAS
Exemplo 21: dado um número inteiro n, temos duas possibilidades:
(I) A divisão de n por 2, tem resto 0, ou seja, existe ,q∈Z onde n = 2q, ou ainda,
(II) A divisão de n por 2, tem resto 1, ou seja, existe ,q∈Z onde n = 2q + 1.
A partir disso, classificamos os números inteiros em dois tipos, os números 
pares e os números ímpares. 
Exemplo 22: Todo número inteiro pode ser escrito na forma n = mk + r, 
com 0 r m≤ < . Ilustrando:
• Todo número n, pode ser escrito como 3k, ou 3k+1 ou 3k+2
• Todo número n, pode ser escrito como 4k, ou 4k+1, ou 4k+2 ou 4k+3, e assim por 
diante.
Exemplo 23: determinaremos a quantidade de múltiplos de 5, entre 1 e 253.
Resolução: sabemos que pela divisão euclidiana, podemos escrever: 
253 5 50 3= ⋅ + . Deste modo, o maior deles é 5 50⋅ , e, assim sendo, podemos 
escrever os múltiplos de 5 entre 5 e 253: 1 5, 2 5, 3 5,..., 5 50⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Que obviamente 
resultam em 50 valores.
Os estudos que seguem abordarão vários conceitos, e todos eles estão 
fortemente ligados com o conceito de divisibilidade. Desta forma, é importante 
que você esteja bastante apropriado deste embasamento teórico para a sequência 
de seus estudos.
42
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• Dados a e b, números inteiros. Afirmaremos que b divide a, se existir t∈Z de 
modo que . a t b= × De mesmo modo, diremos que b não divide a, quando não 
puder ser escrita a forma . a t b= × , com t∈Z .
• b | a indica que b divide a;
• b aŒ indica que b não divide a.
• Se a | b e b | a, então a = b.
• Se a | b e b | m, então a | m.
• Se a | m e a | n, então a | m + n.
• Se a | m, então a | mn.
• Se a | m e a | n, então a | xm + yn, para quaisquer números inteiros x e y.
• Sejam , e a b n∈ ∈Z N , então a – b | an – bn.
• Sejam , e a b n∈ ∈Z N , então a + b | a2n+1 – b2n+1.
• Sejam , e a b n∈ ∈Z N , então a + b | a2n – b2n.
• Sejam a e b, dois números inteiros quaisquer, com 0a ≠ . Existem dois números 
(únicos) q e r, tais que:
, com 0b a q r r a= ⋅ + < ≤
• Dados dois naturais a e b, com a > 0, existe um inteiro n, tal que:
( )1na b n a≤ < +
• Dado um número inteiro n, temos duas possibilidades:
(I) A divisão de n por 2, tem resto 0, ou seja, existe ,q∈Z onde n = 2q, ou ainda,
(II) A divisão de n por 2, tem resto 1, ou seja, existe ,q∈Z onde n = 2q + 1.
• Todo número inteiro pode ser escrito na forma n = mk + r, com 0 r m≤ < . 
43
1 Mostre que dados a, b e c inteiros, com 0c ≠ , temos: .ac bc a b⇔
2 Determinar a soma de todos os múltiplos de 6 que podem ser escritos com 
2 dígitos.
3 Com quantos zeros termina 1000!
4 Mostre utilizando indução:
a) 8 | 32n + 7
b) 169 | 33n+3 – 26n – 27
5 Mostre que 70 7013 | 2 3 .+
6 Mostre que para todo n:
a) 9 | 10n – 1
b) 8 | 32n – 1
7 Para quais valores de a, temos que a + 2 | a4 + 2.
8 Determine o quociente e o resto da:
a) Divisão de 36 por 7.
b) Divisão de 147 por 32.
9 Verifique a paridade:
a) Da soma de dois números inteiros. 
b) Da diferença de dois números inteiros.
c) Do produto de dois números inteiros.
d) Da soma de n ímpares.
10 Mostre que a é par, se e somente se, an é par.
11 Seja a terna de números n, n + 1 e n + 2, mostre que apenas um deles é 
divisível por 3.
AUTOATIVIDADE
44
12 (ENC, 2002) O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto da 
divisão de N por 5?
 
FONTE: Exame Nacional de Cursos – INEP (2002)
13 Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e 
por 4.
14 (ENC, 2000) Mostre que, se um número a não é divisível por 3, então a2 
deixa resto 1 na divisão por 3.
FONTE: Exame Nacional de Cursos – INEP (2000)
45
TÓPICO 4
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
O sistema de numeração que estamos habituados a utilizar é o sistema 
posicional de base 10. Porém, existem outros sistemas de numeração que são 
bastante usuais e que tem sua base de análise fortemente ligadas à Aritmética.
Por exemplo, o sistema sexagesimal que, de acordo com Roque (2012, p. 
50), datam registros em fontes históricas por volta de 1700 a.C. na civilização 
dos babilônicos. Era usado, frequentemente, por matemáticos e astrônomos. Eles 
faziam uma combinação de base 60 e de base 10, pois os sinais até 59 mudam 
de 10 em 10. Por exemplo, para representarmos o valor decimal de 1h4min23s, 
temos que calcular ( )1 3600 4 60 23 6023 . s⋅ + ⋅ + = Portanto, o sistema que usamos 
para representar as horas é um sistema sexagesimal.
Neste tópico, dedicaremos algumas linhas para discutir a base formal 
desse sistema de numeração e ampliar nosso horizonte para outras formas de 
representações numéricas.
2 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
O sistema que utilizamos é o sistema de base 10, ele está organizado 
através de agrupamentos de 10 em 10, conforme podemos visualizar:
FIGURA 1 – CLASSES E ORDENS DE BASE 10
FONTE: Os autores
46
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
Por exemplo, no nosso sistema decimal, no número 325, o 3 representa 100; 
o 2 representa 20 e o 5 representa 5 mesmo. Assim, 2 1 0325 3 10 2 10 5 10= ⋅ + ⋅ + ⋅ . 
Mais genericamente, podemos escrever um número n, em base 10, como sendo: 𝑛 
= 𝑎0 + 𝑎110 + 𝑎2102 + ⋯ + 𝑎𝑟 10𝑟, em que 𝑟 ≥ 0 e 𝑎𝑖 ∈ 0, 1, … , 9 ; para 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑟 
e o representamos por 𝑎𝑟𝑎𝑟−1 … 𝑎1𝑎0 com 𝑎𝑖 sendo um dígito de 𝑛.
Exemplo 24: 11547 = 7 + 4 × 10 + 5 × 102 + 1 × 103 + 1 × 104
 
Este sistema de numeração supracitado já está no nosso íntimo 
emprocessos matemáticos que já vivenciamos, agora, generalizaremos os sistemas 
de numeração para uma base qualquer.
3 SISTEMA DE NUMERAÇÃO EM UMA BASE QUALQUER
Ao utilizar uma base qualquer (chamaremos 𝑏), devemos supor um 
conjunto de 𝑏 símbolos 0, 1, 2, … , 𝑏 − 1 que representará quaisquer números. 
utilizaremos o Teorema a seguir para garantir a existência destes números nesta 
base 𝑏.
Teorema 5: seja 𝑏 um número natural e 𝑀 = 0, 1, 2, … , 𝑏 − 1 com 𝑏 > 1. Todo 
número natural 𝑛 pode ser representado, de modo único, da seguinte maneira: 
𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟, em que 𝑟 ≥ 0, 𝑎𝑖 ∈ 𝑀, com 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑟 e 𝑎𝑟 ≠ 0.
Demonstração: mostraremos a existência da representação por indução em 𝑛. 
Se 𝑛 < 𝑏, neste caso, basta tomar 𝑛 = 𝑎0 e a representação está definida. Suponha 
agora, 𝑛 ≥ 𝑏 e que para todo 𝑞 𝜖 ℕ entre 1 ≤ 𝑞 < 𝑛 a representação esteja definida. 
Pelo algoritmo de Euclides temos 𝑛 = 𝑏𝑞 + 𝑎0, com 𝑎0 ∈ 𝑀. Observe que de 𝑞 < 𝑛, 
pois, caso contrário teríamos: 𝑛 = 𝑏𝑞 + 𝑎0 ≥ 𝑏𝑞 > 𝑞 ≥ 𝑛 absurdo.
Pela hipótese de indução podemos escrever 𝑞 na base 𝑏, ou seja, 
𝑞 = 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟−1 com 𝑎0 ∈ 𝑀 e 𝑎0 ≠ 0. 
Logo, 𝑛 = 𝑏 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟−1 = 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟, o 
que conclui a existência da representação. 
Devemos garantir a unicidade da escrita e também faremos por meio do 
segundo princípio de indução. 
É fácil ver que para 𝑛 ≤ 𝑏 a unicidade é óbvia. Suponhamos que 𝑛 > 𝑏,e 
que a unicidade é válida para todo 𝑞, com 1 ≤ 𝑞 < 𝑛. Suponhamos também que 𝑛 
tenha duas representações em 𝑏:
𝑛 = 𝑏𝑎1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟−1 + 𝑎0 = 𝑏 𝑐1 + 𝑐2𝑏2 + ⋯ + 𝑐𝑟−1𝑏𝑟−1 + 𝑐0
TÓPICO 4 | SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
47
Sendo 𝑏 > 𝑎0 e 𝑏 > 𝑐0, pela unicidade do Algoritmo de Euclides, temos que: 
𝑎0 = 𝑐0 e 𝑎1 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑏𝑟−1 = 𝑐1 + 𝑐2𝑏2 + ⋯ + 𝑐𝑟−1𝑏𝑟−1 = 𝑞.
Como 𝑞 < 𝑛, pela hipótese de indução obtemos 𝑟 = 𝑠 e 𝑎1 = 𝑐1 = ⋯ = 𝑎𝑟 = 𝑐𝑟. 
Logo, a representação é única. Dessa forma, podemos perceber que 
independente da base a ser utilizada a representação numérica sempre será 
possível.
4 EXPANSÃO DE UM NÚMERO EM BASE B
O Teorema a seguir também nos permite, através do auxílio do conceito 
de divisão euclidiana, determinar um dispositivo (algoritmo) para encontrar 
a expansão de qualquer número inteiro relativamente a base b. Aplicando 
sucessivamente a divisão euclidiana temos:
0 0 0
0 1 1 1
1 2 2 2
, com 
, com 
, com 
a b q r r b
q b q r r b
q b q r r b
= ⋅ + <
= ⋅ + <
= ⋅ + <
E, assim por diante, seguindo com 0 1 2 1na q q q q b−> > > >…> < , portanto: 
1n n nq b q r− = ⋅ + .
Decorre disso, se tivermos qn = 0, implica que 1 20 n n nq q q+ += = = =…, e, 
assim sendo, 1 20 n nr r+ += = =…, logo: 2
0 1 2
n
na r r a r a r a= + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ .
Essa expansão nos permite representar números naturais, através de um 
conjunto S, com b símbolos, em que em particular para nosso sistema (b = 10) temos: 
{ }0,1,2,3,4,5,6,7,8,9S = . Se tivermos 10,b ≤ utilizaremos os símbolos 0,1, , 1b… − .
Exemplo 25: no sistema de base 2, temos { }0,1 .S = Ou 
seja, todo número é escrito por uma sequência de 0 e 1. Veja: 
2 2 2 3100 2 , 101 1 2 , 111 1 2 2 , 1011 1 2 2= = + = + + = + + .
Exemplo 26: representar o número 723 na base 5.
48
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
Resolução: utilizando a expansão (divisão euclidiana sucessiva), temos:
723 144 5 3
144 28 5 4
28 5 5 3
5 5 1 0
1 0 5 1
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅ +
Tomando os restos das divisões, escrevemos: 
1 2 3 4723 3 4 5 3 5 0 5 1 5= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ . Assim, o número 723 se representa como 
10343 na base 5.
Uma das principais atividades quando trabalhamos com as séries finais 
do Ensino Fundamental é trabalhar com problemas que envolvem critérios de 
divisibilidade. Por exemplo, quando um número é divisível por 5? Ou por 3? As 
próximas proposições teorizam tais fatos.
Proposição 13: seja 1 0na r r r= … um número em base 10. A condição suficiente e 
necessária para que ele seja divisível por 10, é que r0 seja 0 ou 5.
Demonstração: sendo ( )1 010 na r r r= ⋅ … + é fácil notar que a só é divisível 5, se e 
somente se r0 = 0 ou 5. Por outro lado, se a é divisível por 10, ocorre se e somente 
se r0 é divisível por 10, que ocorre apenas quando r0 = 0.
Proposição 14: seja 1 0na r r r= … um número em base 10. A condição suficiente 
e necessária para que ele seja divisível por 3 ou 9, é que 1 0nr r r+…+ + seja 
divisível, respectivamente por 3 ou 9.
Demonstração: podemos escrever:
( ) ( )
( ) ( )
1 0 1 0 1 0
1
10 10
10 1 10 1
n
n n n
n
n
a r r r r r r r r r
r r
− +…+ + = +…+ ⋅ + − +…+ +
= − +…+ −
O termo da direita é divisível por 9, logo, para algum q, temos: 
( )1 0 9na r r r q= +…+ + + . O que demonstra que a é divisível por 3 ou 9.
TÓPICO 4 | SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
49
Jogo do Nim
Realize uma pesquisa sobre o Jogo do Nim, ele utiliza conceitos que estão relacionados 
com sistema de numeração, principalmente o de base 2.
INTERESSANTE
Essa curiosidade colocada é uma forma de se trabalhar com sistemas de 
numeração de modo lúdico com os alunos. Em particular é interessante visualizar 
como há uma forte relação entre este jogo e o sistema de numeração de base 2.
50
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
LEITURA COMPLEMENTAR
INDUÇÃO MATEMÁTICA
Abramo Hefez 
INDUÇÃO E MUNDO MATERIAL
A Torre de Hanói – Você provavelmente já conhece esse jogo, pois trata-
se de um jogo bastante popular que pode ser facilmente fabricado ou ainda 
encontrado em lojas de brinquedos de madeira. 
O jogo é formado por n discos de diâmetros distintos com um furo no 
seu centro e uma base onde estão fincadas três hastes. Numa das hastes, estão 
enfiados os discos, de modo que nenhum disco esteja sobre um outro de diâmetro 
menor (veja figura a seguir).
O jogo consiste em transferir a pilha de discos para uma outra haste, 
deslocando um disco de cada vez, de modo que, a cada passo, a regra acima seja 
observada. As perguntas naturais que surgem são as seguintes: 
1. O jogo tem solução para cada n∈N ? 
2. Em caso afirmativo, qual é o número mínimo jn de movimentos para 
resolver o problema com n discos? 
Usando Indução Matemática, vamos ver que a resposta à primeira 
pergunta é afirmativa, qualquer que seja o valor de n. Em seguida, deduziremos 
uma fórmula que nos fornecerá o número jn. Considere a sentença aberta 
P(n) O jogo com n discos tem solução.
Obviamente, P(1) é verdade. Suponha que P(n) seja verdadeiro, para 
algum n; ou seja, que o jogo com n discos tem solução. Vamos provar que o jogo 
com n + 1 discos tem solução. Para ver isso, resolva inicialmente o problema para 
os n discos superiores da pilha, transferindo-os para uma das hastes livre (isso é 
possível, pois estamos admitindo que o problema com n discos possua solução):
TÓPICO 4 | SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
51
Em seguida, transfira o disco que restou na pilha original (o maior dos 
discos) para a haste vazia:
Feito isto, resolva novamente o problema para os n discos que estão 
juntos, transferindo-os para a haste que contém o maior dos discos: Isso mostra 
que o problema com n + 1 discos também possui solução, e, portanto, por Indução 
Matemática, que P(n) é verdadeira
para todo .n∈N.
Para determinar uma fórmula para jn, veja que, para resolver o problema 
para n + 1 discos com o menor número de passos, temos, necessariamente, que 
passar duas vezes pela solução mínima do problema com n discos. Temos, então, 
que 1 2 1. n nj j+ = ⋅ + Obtemos, assim, uma progressão aritmético-geométrica (jn) 
cujo termo geral é dado por jn = 2n – 1.
Esse jogo foi idealizado e publicado pelo matemático francês Edouard 
Lucas, em 1882, que, para dar mais sabor a sua criação, inventou a seguinte lenda: 
Na origem do tempo, num templo oriental, Deus colocou 64 discos 
perfurados de ouro puro ao redor de uma de três colunas de diamante e ordenou 
a um grupo de sacerdotes que movessem os discos de uma coluna para outra, 
respeitando as regras acima explicadas. Quando todos os 64 discos fossem 
transferidos para uma outra coluna, o mundo acabaria. 
Você não deve se preocupar com a iminência do fim do mundo, pois, 
se, a cada segundo, um sacerdote movesse um disco, o tempo mínimo para que 
ocorresse a fatalidade seria de 264 – 1 segundos e isto daria, aproximadamente, 
um bilhão de séculos!
52
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
O ENIGMA DO CAVALO DE ALEXANDRE
Num mosaico romano, Bucéfalo, o cavalo de Alexandre, o Grande, é 
representado como um fogoso corcel cor de bronze. Nesse exemplo, vamos 
“provar” que isso é uma falácia (uma grande mentira). 
Inicialmente, “provaremos” que todos os cavalos têm mesma cor. De 
fato, considere a sentença aberta: P(n): Num conjunto com n cavalos, todos têm a 
mesma cor.
Note que P(1) é obviamente verdadeira. Agora, suponha o resultado 
válido para conjuntos contendo n cavalos. Considere um conjunto 
{ }1 2 1, , ..., , , n nC C C C C += com n + 1 cavalos. 
Decompomos o conjunto C numa união de dois conjuntos: 
{ } { }1 2 1, , , , ,n nC C C C C C C +…′ ′∪ = …′= ∪ cada um dos quais contém n cavalos. 
Pela hipótese indutiva, segue-se que os cavalos em C' têm mesma cor, 
ocorrendo o mesmo para os cavalos em C''. Como 2 ,C C C′∈ ′′∩ segue-se que os 
cavalos de C' têm a mesma cor dos cavalos de C'', permitindo assim concluir que 
todos os cavalos em C têm a mesma cor. Assim, a nossa “demonstração” por 
indução está terminada, provandoque P(n) é verdadeira para todo n∈N . 
Agora, todo mundo sabe (você sabia?) que Marengo, o famoso cavalo de 
Napoleão, era branco. Logo, Bucéfalo deveria ser branco. 
Onde está o erro nessa prova? Para achá-lo, sugerimos que você tente 
provar que, se P(1) é verdadeira, então P(2) é verdadeira. Esse problema foi 
inventado pelo matemático húngaro George Pólya (1887-1985).
DESCOBRINDO A MOEDA FALSA
Têm-se 2n moedas de ouro, sendo uma delas falsa, com peso menor do que 
as demais. Dispõe-se de uma balança de dois pratos, sem nenhum peso. Vamos 
mostrar, por indução sobre n, que é possível achar a moeda falsa com n pesagens. 
Para n = 1, isso é fácil de ver, pois, dadas as duas moedas, basta pôr uma 
moeda em cada prato da balança e descobre-se imediatamente qual é a moeda 
falsa. 
Suponha, agora, que o resultado seja válido para algum valor de n e que 
se tenha que achar a moeda falsa dentre 2n+1 moedas dadas. Separemos as 2n+1 
moedas em 2 grupos de 2n moedas cada. Coloca-se um grupo de 2n moedas em 
cada prato da balança. Assim, poderemos descobrir em que grupo de 2n moedas 
encontra-se a moeda falsa. Agora, pela hipótese de indução, descobre-se a moeda 
falsa com n pesagens, que, junto com a pesagem já efetuada, perfazem o total de 
n + 1 pesagens.
TÓPICO 4 | SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
53
A PIZZA DE STEINER
O grande geômetra alemão Jacob Steiner (1796-1863) propôs e resolveu, 
em 1826, o seguinte problema: 
Qual é o maior número de partes em que se pode dividir o plano com n 
cortes retos?
Pensando o plano como se fosse uma grande pizza, temos uma explicação 
para o nome do problema. Denotando o número máximo de pedaços com n cortes 
por pn, vamos provar por indução a fórmula:
( )1
1.
2n
n n
p
+
= +
Para n = 1, ou seja, com apenas um corte, é claro que só podemos obter 
dois pedaços. Portanto, a fórmula está correta, pois
( )
1
1 1 1
1 2.
2
p
+
= + =
Admitamos agora que, para algum valor de n, a fórmula para pn esteja 
correta. Vamos mostrar que a fórmula para pn+! também está correta. Suponhamos 
que, com n cortes, obtivemos o número máximo 
( )1
1
2
n n+
+
de pedaços e queremos fazer mais um corte, de modo a obter o maior 
número possível de pedaços. Vamos conseguir isso se o (n + 1)-ésimo corte 
encontrar cada um dos n cortes anteriores em pontos que não são de interseção 
de dois cortes (faça um desenho para se convencer disso). 
Por outro lado, se o (n + 1)-ésimo corte encontra todos os n cortes anteriores, 
ele produz n + 1 novos pedaços: o corte começa em um determinado pedaço e, ao 
encontrar o primeiro corte, ele separa em dois o pedaço em que está, entrando em 
outro pedaço. Ao encontrar o segundo corte, ele separa em dois o pedaço em que 
está entrando em outro pedaço, e assim sucessivamente, até encontrar o n-ésimo 
corte separando o último pedaço em que entrar em dois. Assim, são obtidos n + 1 
pedaços a mais dos que já existiam; logo,
( ) ( )( )
1
1 1 2
1 1 1 1,
2 2n n
n n n n
p p n n+
+ + +
= + + = + + + = +
mostrando que a fórmula está correta para (n + 1) cortes.
54
UNIDADE 1 | NÚMEROS INTEIROS E DIVISIBILIDADE
OS COELHOS DE FIBONACCI
Trata-se do seguinte problema proposto e resolvido pelo matemático 
italiano Leonardo de Pisa em seu livro Liber Abacci, de 1202: Quot paria coniculorum 
in uno anno ex uno pario germinentur.
Como não se ensina mais latim nas escolas, aí vai uma explicação: um 
casal de coelhos recém-nascidos foi posto num lugar cercado. Determinar quantos 
casais de coelhos ter-se-ão após um ano, supondo que, a cada mês, um casal de 
coelhos produz outro casal e que um casal começa a procriar dois meses após o 
seu nascimento. Leonardo apresenta a seguinte solução:
Portanto, o número de casais de coelhos num determinado mês é igual ao 
número total de casais do mês anterior acrescido do número de casais nascidos no 
mês em curso, que é igual ao número total de casais do mês anterior ao anterior. 
Se denotarmos o número de coelhos existentes no n-ésimo mês por un, 
temos, então, que 1 2 1 2, 1.n n nu u u u u− −= + = =
Essas relações definem, por recorrência, uma sequência de números 
naturais, chamada de sequência de Fibonacci, cujos elementos, chamados de 
números de Fibonacci, possuem propriedades aritméticas notáveis, que ainda 
hoje são objeto de investigação. Uma recorrência do tipo ( )1 2 2.1 , n n nx x x− −= + só 
permite determinar o elemento xn se conhecermos os elementos anteriores xn–1 e 
xn–2, que, para serem calculados, necessitam do conhecimento dos dois elementos 
anteriores, e assim por diante. Fica, portanto, univocamente definida a sequência 
quando são dados x1 e x2. A sequência de Fibonacci corresponde à recorrência 
(2.1), onde x1 = x2 = 1. 
Quando é dada uma recorrência, um problema importante é determinar 
uma fórmula fechada para o termo geral da sequência, isto é, uma fórmula que 
não recorre aos termos anteriores. No caso da sequência de Fibonacci, existe uma 
tal fórmula, chamada fórmula de Binet, que apresentamos a seguir
TÓPICO 4 | SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
55
Proposição: para todo n∈N , tem-se que
1 5 1 5
2 2
. 
5
n n
nu
   + −
−      
   =
É notável que seja necessário recorrer a fórmulas envolvendo números 
irracionais para representar os elementos da sequência de Fibonacci, que são 
números naturais. Mais notável, ainda, é que o número 1 5
2
+ seja a proporção 
áurea φ que aparece nas artes, e que 1 5
2
− seja o simétrico de seu inverso – φ–1. 
Intrigante essa inesperada relação entre criar coelhos e a divina proporção, não?
Leonardo de Pisa (1170-1250), filho de Bonacci, e por isso apelidado 
Fibonacci, teve um papel fundamental no desenvolvimento da Matemática no 
Ocidente. Em 1202, publicou o livro Liber Abacci, que continha grande parte do 
conhecimento sobre números e álgebra da época. Esta obra foi responsável pela 
introdução na Europa do sistema de numeração indo-arábico e pelo posterior 
desenvolvimento da álgebra e da aritmética no mundo ocidental.
[...]
FONTE: HEFEZ, A. Indução matemática. 2009. Disponível em: http://www.obmep.org.br/docs/
apostila4.pdf. Acesso em: 18 mar. 2020.
56
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, você aprendeu que:
• Podemos escrever um número n, em base 10, como sendo: 
 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎110 + 𝑎2102 + ⋯ + 𝑎𝑟 10𝑟.
• Seja 𝑏 um número natural e 𝑀 = 0, 1, 2, … , 𝑏 − 1 com 𝑏 > 1. Todo número 
natural 𝑛 pode ser representado, de modo único, da seguinte maneira: 
 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑏𝑟 em que 𝑟 ≥ 0, 𝑎𝑖 ∈ 𝑀, com 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑟 e 𝑎𝑟 ≠ 0.
• Seja a = rn ... r1 r0 um número em base 10. A condição suficiente e necessária para 
que ele seja divisível por 10, é que r0 seja 0 ou 5.
• Seja a = rn ... r1 r0 um número em base 10. A condição suficiente e necessária 
para que ele seja divisível por 3 ou 9, é que rn + ... + r1 + r0 seja divisível, 
respectivamente por 3 ou 9.
Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem 
pensando em facilitar tua compreensão. Acesse o QR Code, que te levará ao 
AVA, e veja as novidades que preparamos para teu estudo.
CHAMADA
57
AUTOATIVIDADE
1 Dado o número 464 na base 10. Escreva-0 na base 2, 4 e 5.
2 O número 3416 está escrito em base 7. Como ele é escrito na base 2 e 5?
3 Considere 73 na base 10; em que base ele se escreverá 243?
4 Mostre que um número na base 10 que é um quadrado perfeito, os algarismos 
das unidades só pode ser 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
5 (ENC, 2016) Escolha um número abc de três algarismos no sistema decimal, 
de modo que os algarismos das centenas a e o das unidades c difram de, 
pelo menos, duas unidades. Considere os números abc e cba e subtraia o 
menor do maior, obtendo o número xyz. A soma de xyz com zyx vale 1089. 
Justifque esse fato.
FONTE: Exame Nacional de Cursos – INEP (2016)
58
59
UNIDADE 2
ALGORÍTMO DE EUCLIDES E 
NÚMEROS PRIMOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• conhecer as definições e propriedades de mdc e mmc;
• reconhecera aplicação de mdc e mmc na resolução de problemas;
• desenvolver a partir do conhecimento de mdc, a resolução de problemas 
envolvendo equações diofantinas;
• identificar os números primos, suas propriedades, fatoração e principais 
resultados;
• compreender o teorema fundamental da aritmética;
• aplicar os conceitos de números primos para os números especiais (Nú-
meros de Mersene, Números de Fermat e Números perfeitos).
Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No decorrer da unidade 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – MDC E MMC
TÓPICO 2 – APLICAÇÃO DE MDC
TÓPICO 3 – NÚMEROS PRIMOS
TÓPICO 4 – NÚMEROS ESPECIAIS
Preparado para ampliar teus conhecimentos? Respire e vamos em 
frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverás 
melhor as informações.
CHAMADA
60
61
TÓPICO 1
MDC E MMC
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, veremos dois importantes conceitos da aritmética: o Máximo 
Divisor Comum (mdc) e Mínimo Múltiplo Comum (mmc). No primeiro deles, o 
mdc, veremos sua definição e desenvolveremos o Algoritmo de Euclides, que 
trará contribuições significativas e, posteriormente, no próximo tópico, aplicações 
importantíssimas na matemática, como nos números de Mersene, Fermat e na 
resolução de Equações Diofantinas.
Sem muita ênfase, o mmc será abordado mais superficialmente, porém, 
assim como mdc, mostraremos sua aplicação em situações problema, definição 
e formas de determiná-lo. Sua aplicação se mostrará importante quando 
abordarmos os números primos e sua estrutura.
2 MÁXIMO DIVISOR COMUM
Caro acadêmico e, provavelmente, futuro professor, o processo de 
ensino de matemática não é uma missão simples, logo, por esse motivo, 
desenvolveremos uma estratégia simples de ensino. Traremos inicialmente 
problemas contextualizados que abordem de forma natural o conceito de Máximo 
Divisor Comum e definiremos e mostraremos estratégias de como calculá-lo.
Exemplo 1: é comum as pessoas se solidarizarem em momentos festivos 
como o Natal. Um grupo de pessoas juntaram uma certa quantia em dinheiro, 
com a finalidade de confeccionar pacotes de presente, contendo chocolates e 
balas. Com o valor arrecadado, conseguiram comprar um total de 210 balas e 378 
chocolates sortidos. Qual o número máximo de pacotes que poderão confeccionar, 
sabendo que todos devem ter a mesma quantidade de chocolates e balas?
Resolução: perceba que podemos apresentar algumas formas de resolver 
o problema.
(i) Poderíamos montar 6 pacotes, e, com isso, ter:
• 210/6 = 35 balas por pacote;
• 378/6 = 63 chocolates por pacote.
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
62
(ii) Outra possibilidade é montar 14 pacotes, com:
• 210/14 = 15 balas por pacote;
• 378/14 = 27 chocolates por pacote.
(iii) Outro caso seria montar 21 pacotes, contendo:
• 210/21 = 10 balas por pacote;
• 378/21 = 18 chocolates por pacote.
A procura por tentativa ou chute pode ser algo complicado e ineficaz. 
Apesar disso, é possível encontrar a resposta por esse método. Já encontramos três 
possibilidades, sendo as duas primeiras já refutadas. Será que há uma resposta 
melhor?
Pense sobre o que está acontecendo! Só podemos resolver o problema 
com números inteiros, ou seja, a divisão deve ser exata. Se admitirmos apenas 
divisores naturais, estes devem ser comuns entre os números. Pois bem, vejamos 
os divisores de cada um destes números:
• D(378) = {1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 27, 42, 54, 63, 126, 189, 378};
• D(210) = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210}.
Note que os divisores comuns aos números são: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. 
Os números 6, 14 e 21 nós já sabíamos, porém não tínhamos feito o caso do 
maior divisor 42. Este sendo o Máximo Divisor Comum apresentará a resposta 
procurada:
• 210/42 = 5 balas por pacote;
• 378/42 = 9 chocolates por pacote.
Portanto, cada um dos 42 pacotes terá um total de 14 itens, sendo, 5 balas 
e 9 chocolates.
Exemplo 2: para a realização de uma gincana na escola, há a disposição 
um total de 105 meninos e 165 meninas. A direção quer formar equipes, cuja 
quantidade de meninos e de meninas seja igual em cada um. Quantas equipes no 
máximo são possíveis formar e quantos meninos e meninas haverá em cada uma 
delas?
 
Resolução: novamente podemos tentar resolver este problema por 
tentativa.
(i) Uma possibilidade é dividir a quantidade de meninos e meninas por 3, e com 
isso, obter:
• 105/3 = 35 meninos;
• 165/3 = 55 meninas.
(ii) Outra possibilidade é montar 5 equipes, sendo:
• 105/5 = 21 meninos;
• 165/5 = 33 meninas.
TÓPICO 1 | MDC E MMC
63
(iii) Um outro caso seria montar 15 equipes, sendo:
• 105/15 = 7 meninos;
• 165/15 = 11 meninas.
Para ter certeza das respostas e garantir que já encontramos a resposta 
correta; como fizemos no exercício anterior; destacaremos os divisores de cada 
um destes números:
• D(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105};
• D(165) = {1, 3, 5, 11, 15, 33, 55, 165}.
Neste caso, os divisores comuns aos números são: 1, 3, 5, 15. Note então, 
que o 15 realmente é o Máximo Divisor Comum entre os dois números. Logo, 
haverá um total de 18 integrantes por equipe, sendo 7 meninos e 11 meninas.
Exemplo 3: uma empresa fabricante de bolinhas de gude recebeu de três 
lojas, um pedido descrito como na tabela a seguir.
Empresa Quantidade de bolinhas de gude
A 1380
B 1620
C 1860
TABELA 1 – PRODUÇÃO DE BOLINHAS DE GUDE EM CADA EMPRESA
FONTE: Os autores
Para montar um único formato de embalagem, a empresa precisa 
estabelecer a quantidade de bolinhas de gude que colocará igualmente em cada 
embalagem. Qual o maior número de bolinhas de gude possível por pacote, 
otimizando assim a quantidade de embalagens e quantos pacotes cada empresa 
receberá.
Resolução: desta vez, vamos direto aos divisores.
• D(1380) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 23, 30, 46, 60, 69, 92, 115, 138, 230, 276, 
345, 460, 690, 1380}
• D(1620) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 81, 90, 108, 135, 
162, 180, 270, 324, 405, 540, 810, 1620}
• D(1860) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 31, 60, 62, 93, 124, 155, 186, 310, 372, 
465, 620, 930, 1860}
Compreenda que a intersecção entre os divisores destes números são: 1, 
2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e o 60. Com isso, podemos estabelecer que o Máximo 
Divisor Comum desses números é o 60 e este representa a quantidade de bolinhas 
de gude por embalagem. Usando esse fator para determinar a quantidade de 
pacotes para cada empresa, obtemos:
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
64
• Empresa A = 1380/60 = 23 pacotes.
• Empresa B = 1620/60 = 27 pacotes.
• Empresa C = 1860/60 = 31 pacotes.
Portanto, a empresa deverá confeccionar 81 embalagens.
Neste momento, convido você, acadêmico, a realizar um momento de 
reflexão, com base em algumas perguntas:
• Como será que façamos para determinar todos os divisores de um certo 
número?
• Este método de encontrar todos os divisores é eficiente para resolver esses 
problemas?
• Será que existe algum outro método ou algoritmo para determinar o Máximo 
Divisor Comum? 
Esperamos que você consiga a resposta para cada uma destas perguntas, 
no decorrer dos ensinamentos deste material. Agora que você conseguiu 
observar, em poucos exemplos, a aplicação natural do Máximo Divisor 
Comum, definiremos alguns conceitos, formalizaremos e mostraremos algumas 
propriedade e consequências.
Definição 1: dados dois números naturais a e b, não simultaneamente nulos, 
diremos que o número natural d∈N é um divisor comum de a e b se d | a e d | b.
Exemplo 4: os números 1, 3 e 5, são divisores comuns dos números 30 e 
75.
A definição que apresentaremos de Máximo Divisor Comum é 
exatamente a definição proposta por Euclides, no livro Os Elementos. 
Definição 2: diremos que d é um máximo divisor comum (mdc) de a e b, se 
possuir as seguintes propriedades:
i) d é um divisor comum de a e de b;
ii) d é divisível por todo divisor comum de a e b. 
A condição(ii) anterior pode ser reescrita como se segue:
iii) Se c é um divisor comum de a e b, então c | d.
Desta forma, é intuitivo perceber que, se d é o mdc(a,b) e c é um divisor 
comum desses números, então é porque c d≤ . Esse argumento mostra que 
o máximo divisor comum de dois números é de fato, o maior dentre todos os 
divisores comuns desses números. Assim, denotamos que d = mdc(a,b).
TÓPICO 1 | MDC E MMC
65
Além da colocação anterior, podemos demonstrar, que o mdc de dois 
números, quando existe, é único. Suponha que d e d' são dois mdc de um par de 
números. Desta forma, pela colocação ii’) anterior, d | d' e d' | d, e ainda mais, 
como d deve ser inteiro não negativo, temos que d = d'. Logo, d, quando existir é 
único.
Segundo Hefez, (2016, p. 75), “como todo número inteiro divide 0, o mdc 
de a e b, em que a=b=0, é 0, pois esse é um divisor comum de a e b e é o único 
número divisível por todos os divisores de 0. Reciprocamente, se o mdc de a e b 
é 0, então 0 divide a e divide b, mas o único número divisível por 0 é o próprio 0, 
logo a=b=0”. 
Acompanhe algumas consequências e casos particulares que não 
realizaremos a demonstração. Para todo ,a b∈Z , temos que:
• mdc(a,b) = mdc(b,a); (a ordem não interfere, isto é, vale a comutatividade);
• mdc(0,a) = |a|;
• mdc(1,a) = 1;
• mdc(a,ka) = |a| para todo k∈Z ;
• ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,mdc a b mdc a b mdc a b mdc a b= − = − = − − (não importa o sinal).
2.1 CÁLCULO DO MDC
Para determinar o mdc de dois ou mais números, há alguns métodos que 
podem ser utilizados, porém cada método possui sua particularidade, importância 
e aplicação na solução de problemas. 
2.2 FATORAÇÃO MÚLTIPLA
Para a aplicação do método da Fatoração Múltipla, temos que definir com 
antecipação o que são Números Relativamente Primos.
Definição 3: dois números ,a b∈Z chamam-se relativamente primos (ou 
primos entre si) se mdc(a,b) = 1.
Exemplo 5: mdc(10, 21) = 1, isto é, 10 e 21 são primos entre si, apensar de 
não serem primos individualmente.
Sabemos que o conceito de números primos não foi abortado ainda, 
entretanto, gostaríamos de mostrar este método, que, de modo geral, é aprendido 
nos estudos da escola básica. O método consiste em dividir de forma simultânea 
os dois números, por números primos. Coloca-se os dois números um ao lado do 
outro, no lado direito é feito uma barra vertical, o qual será colocado, os números 
primos que os dividem. Veremos um exemplo!
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
66
Exemplo 6: calcule o mdc(120,100).
Resolução: primeiramente, colocaremos os números um ao lado do outro 
com a barra vertical à direita.
120, 100
Agora, basta encontrar os números primos, que simultaneamente dividem 
os números, colocando o seu resultado, na parte de baixo. Quando não for mais 
possível dividir por algum número primo, estará concluída a tabela.
120, 100 2
60, 50 2
30, 25 5
6, 5
Note que 6 e 5 são primos entre si, desta forma o processo é interrompido. 
Para determinar o mdc(120,100), basta multiplicar os primos que são divisores 
simultâneos dos números:
( )120,100 2 2 5 20.mdc = ⋅ ⋅ =
Exemplo 7: calcule o mdc(2700,3000).
Resolução: usando do método descrito anteriormente, dividiremos os 
números 2700 e 3000, por todos os divisores simultâneos primos. 
2700, 3000 2
1350, 1500 2
675, 750 3
225, 250 5
45, 50 5
9, 10
Logo, como 9 e 10 são primos entre si, o método terminou, então 
( ) 2 2 2700, 3000 2 3 5 300.mdc = ⋅ ⋅ = Veremos as duas observações importantes 
sobre este método:
 
TÓPICO 1 | MDC E MMC
67
1. Não é necessário seguir a ordem crescente dos números primos para realizar as 
divisões sucessivas.
2. Não é necessário dividir por um número primo, é possível chegar na mesma 
resposta, dividindo por algum número composto.
A primeira observação ajuda a realizar a divisão quando surge uma 
situação, como exemplo, em que sabemos que é divisível por 5, porém não temos 
a certeza se é possível dividir por 3. Logo, ficamos livres para aplicar na ordem 
que desejarmos.
Na segunda observação podemos notar que não há a obrigatoriedade de 
conhecer todos os números primos, apenas realizar as divisões, até quando for 
possível.
Queremos deixar um pequeno lembrete a você, acadêmico. Conhecer a 
fatoração de números é algo muito importante, logo, não deixe estas observações, 
ofuscar o brilhantismo que a decomposição de um número em fatores primos, 
contribui para a matemática e principalmente para o ramo da Aritmética.
Voltando às observações. Se aplicando essas duas ideias, o processo para 
o método, torna-se, então, mais rápido e fácil. Acompanhe o último exemplo, 
sendo resolvido de forma mais acelerada.
Exemplo 8: calcule o mdc(2700,3000).
Resolução: usando do método descrito anteriormente, dividiremos os 
números 2700 e 3000 por todos os divisores simultâneos primos. 
2700, 3000 100
27, 30 3
9, 10
Logo, como 9 e 10 são primos entre si, o método terminou, então 
( ) 2700, 3000 100 3 300.mdc = ⋅ =
O método por fatoração simultânea pode tornar-se algo muito trabalhoso 
de ser executado. Imagine ter que calcular o mdc(31178,43665) ou então 
mdc(33201,75429). Por esse motivo, veremos, a seguir, outro método que realiza o 
cálculo do mdc de forma mais eficiente.
Esperamos que você tenha recordado deste processo e que tenhamos 
contribuído com alguma novidade.
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
68
2.3 ALGORITMO DE EUCLIDES
Um método muito antigo, proposto por Euclides, facilita bastante o nosso 
trabalho de descobrir o mdc entre dois números. O Algoritmo proposto por ele traz 
uma singularidade muito grande por não ser necessário fazer qualquer fatoração.
Para um melhor entendimento deste fabuloso método, vamos, aos 
poucos, construir os argumentos necessários para a sua aplicação. Inicialmente, 
acompanharemos a seguinte propriedade.
Propriedade 1: se a e b são números naturais com a < b, então 
mdc(a,b) = mdc(a,b – a).
Para compreendermos como essa propriedade pode ser útil, nada melhor 
do que resolvendo um exemplo.
Exemplo 9: calcule o mdc(35,91).
Resolução: utilizando da propriedade vista anteriormente, podemos 
estabelecer que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
35, 91 35, 91 35 35, 56
35, 56 35, 56 35 35, 21
21, 35 21, 35 21 21, 14
14, 21 14, 21 14 14, 7 7
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
= − = =
= − = =
= − = =
= − = =
Note que, na parte final, poderíamos aplicar mais uma ou duas vezes a 
propriedade, obtendo:
( ) ( ) ( )7, 14 7, 14 7 7, 7 7mdc mdc mdc= − = =
Perceba que a única ferramenta que necessitamos foi a divisão e o resto 
desta divisão. Esperamos que você tenha percebido a grande diferença que 
estamos proporcionando. Acompanhe mais um exemplo. 
Exemplo 10: calcule o mdc(1659,2163).
Resolução: utilizando da propriedade, obtemos:
TÓPICO 1 | MDC E MMC
69
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1659, 2163 1659, 2163 1659 1659, 504
504, 1659 504, 1659 504 504, 1155
504, 1155 504, 1155 504 504, 651
504, 651 504, 651 504 504, 147
147, 504 147, 504 147
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
mdc mdc m
= − = =
= − = =
= − = =
= − = =
= − = ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
147, 357
147, 357 147, 357 147 147, 210
147, 210 147, 210 147 147, 63
63, 147 63, 147 63 63, 84
63, 84 63, 84 63 63, 21 21.
dc
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
=
= − = =
= − = =
= − = =
= − = =
Perceba que o mdc(63,21) = 21, pois 21 | 63, então poderíamos parar. 
Novamente, ilustraremos a continuação:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
21, 63 21, 63 21 21, 42
21, 42 21, 42 21 21, 21 21
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
= − = =
= − = =
Apesar da simplicidade da resolução e, novamente, sem a necessidade de 
fatorar em números primos, tivemos bastante trabalho algébrico para realizar. O 
lema a seguir proporcionará um melhoramento neste processo, nos ajudando na 
agilidade dos cálculos do mdc entre dois números.
Lema: (Lema de Euclides) sejam , , a b n∈N com a < na < b. Se existemdc(a,b – na), 
então mdc(a,b) existe e mdc(a,b) = mdc(a,b – na).
Demonstração: seja d = mdc(a,b – na). Como d | a e d | (b – na), segue que d divide 
b = b – na + na. Logo, d é um divisor comum de a e b. Suponha que c seja um 
divisor comum de a e b; logo, c é um divisor comum de a e b – na e, portanto, 
c | d. Isso prova que d = mdc(a,b).
Perceba como podemos acelerar o processo do mdc. Ao invés de aplicarmos 
por duas, três vezes o mesmo valor a ser diminuído, podemos, rapidamente, 
aplicar um múltiplo deste número. Para mostrar este fato, vamos propor a 
resolução do mesmo exemplo anterior, porém agora, utilizando o lema, para 
compararmos a agilidade do processo.
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
70
Exemplo 11: calcule o mdc(1659,2163).
Resolução: utilizando da propriedade, obtemos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1659, 2163 1659, 2163 1 1659 1659, 504
504, 1659 504, 1659 3 504 504, 147
147, 504 147, 504 3 147 147, 63
63, 147 63, 147 2 63 63, 21 21
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
= − ⋅ = =
= − ⋅ = =
= − ⋅ = =
= − ⋅ = =
Note a eficiência que obtivemos! Na primeira resolução, necessitamos de 
9 linhas de pensamento para finalizar a resolução, enquanto que, no segundo 
caso, apenas 4. Isso se deve ao fato que, na segunda linha, já obtivemos uma 
diminuição de 2 procedimentos (pois multiplicamos a diminuição por 3), na 
terceira linha mais 2 e na última linha 1 processo antecipado.
O Lema de Euclides é eficiente para calcular mdc, conforme vimos no 
exemplo anterior, e terá papel fundamental para estabelecermos o algoritmo 
de Euclides, que propiciará, com eficácia e organização, calcular o mdc de dois 
números naturais quaisquer. Veremos a seguir um teorema fundamental do 
algoritmo de Euclides.
Teorema: seja a < b e r o resto da divisão do inteiro a pelo inteiro (positivo) b. 
Então mdc(a,b) = mdc(b,r). 
Demonstração: pela divisão euclidiana, existe um inteiro q tal que a = qb + r. 
Sejam m = mdc(a,b) e n = mdc(b,c). Como m é divisor tanto de a como de b, existem 
inteiros a1 e b1 tais que 1 1 e a m a b m b= ⋅ = ⋅ . 
Assim, ( )1 1 1 1–r a qb m a qm b m a qb= − = ⋅ − ⋅ = ⋅ , logo m é divisor comum 
entre b e r, o que implica que m n≤ . Analogamente, como n é divisor tanto de 
b como de r, também é divisor de a = qb + r, logo é divisor comum entre a e b e, 
portanto, n m≤ . Isso prova que m = n, como queríamos. 
Podemos calcular o mdc entre dois inteiros aplicando recursivamente 
o teorema anterior, obtendo o chamado método das divisões sucessivas ou 
Algoritmo de Euclides. 
“A seguir, apresentaremos a prova construtiva da existência do mdc 
dada por Euclides (Os Elementos, Livro VII, Proposição 2). O método, chamado de 
Algoritmo de Euclides, é um primor do ponto de vista computacional e pouco 
conseguiu-se aperfeiçoá-lo em mais de dois milénios” (HEFEZ, 2016, p. 77).
TÓPICO 1 | MDC E MMC
71
Dados ,a b∈N , podemos supor a b≤ . Se a = 1 ou a = b, ou ainda a | 
b, já vimos que mdc(a,b) = a. Suponhamos, então que 1 < a < b e que a bŒ . Logo, 
pela divisão euclidiana, podemos escrever: b = aq1 + r1, com r1 < a. Temos duas 
possibilidades:
a) r1 | a, e, em tal caso, por pelo Lema de Euclides, 
 ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , r mdc a r mdc a b q a mdc a b= = − = e termina o algoritmo, ou
b) 1r aŒ , e, em tal caso, podemos efetuar a divisão de a por r1, obtendo a = r1q2 + r2, 
com r2 < r1.
Novamente, temos duas possibilidades:
a') r2 | r1, e, em tal caso, novamente, pela definição de mdc e pelo Lema de Euclides, 
b') ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 1, , , , . , r mdc r r mdc r a q r mdc r a mdc b q a a mdc b a mdc a b= = − = = − = = e 
paramos, pois, termina o algoritmo, ou 2 1r rΠ, e, em tal caso, podemos efetuar 
a divisão de r1 por r2, obtendo r1 = r2 q3 + r3, com r3 < r2.
Esse procedimento não pode continuar indefinidamente, pois teríamos 
uma sequência de números naturais a > r1 > r2 > ... que não possui menor elemento, 
o que não é possível pela Propriedade da Boa Ordem. Logo, para algum n, temos 
que rn | rn –1, o que implica que mdc(a,b) = rn.
Há uma forma de organizar o procedimento do algoritmo, que além de 
fornecer a resposta, apresenta a cronologia dos eventos de forma harmoniosa. 
Primeiramente, realizamos a divisão b = aq1 + r1 colocamos os números envolvidos 
no seguinte diagrama:
q1
b a
r1
Efetuando novamente a divisão de 1 2 2a r q r= + , o diagrama fica assim 
preenchido:
q1 q2
b a r1
r1 r2
Continuando, até que o resto seja zero, teremos:
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
72
q1 q2 q3 ... qn – 1 qn qn + 1
b a r1 r2 ... rn – 2 rn – 1 rn = mdc(a, b)
r1 r2 r3 ... rn – 1 rn 0
Exemplo 12: determine o mdc(3887, 637).
Resolução: utilizando o algoritmo de Euclides, teremos, inicialmente:
6
3887 637
65
6 9
3887 637 65
65 52
pois, 3887 = 637 • 6 +65. Aplicando novamente, agora para os números 637 e 65, 
teremos
visto que 637 = 65 • 9 +52. Repetindo o processo até que o resto seja zero, o 
diagrama fica assim preenchido
6 9 1 4
3887 637 65 52 13
65 52 13 0
isso mostra que mdc(3887, 637) = 13.
O algoritmo de Euclides nos fornece que é possível escrever os restos 
como: 
13 65 1 52
52 637 9 65
65 3887 6 637
= − ⋅
= − ⋅
= − ⋅
Então, substituindo cada informação, uma em seguida da outra, obtemos 
a seguinte relação: 
TÓPICO 1 | MDC E MMC
73
( )
( )
13 65 1 52
13 65 1 637 9 65 65 1 637 9 65
13 10 65 1 637
13 10 3887 6 637 1 637 10 3887 60 637 1 637
13 10 3887 61 637
= − ⋅
= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅
= ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅
Temos então que mdc(3887, 637) = 10 • 3887 – 61 • 637 = 13.
Perceba que encontramos, através da utilização do Algoritmo de Euclides, 
um modo de escrever o mdc entre dois números, como uma diferença entre 
múltiplos destes próprios números. Esta é uma propriedade geral do mdc que 
apresentaremos agora.
Teorema: (Teorema de Bézout) dados os inteiros a e b, existem inteiros x e 
y tais que mdc(a, b) = ax + by = m.
Demonstração: seja m o menor elemento positivo do conjunto l de todos 
os inteiros da forma ax + by, com x e y inteiros. Dividindo a por m encontramos 
a = qm + r, com q e r inteiros e 0 ≤ r < m. Por ser um elemento de l, m é a soma de 
um múltiplo de a com um múltiplo de b, logo r = a – qm também será uma soma 
deste tipo e, portanto, elemento de l. Como r < m e m é o menor elemento positivo 
de l, concluímos que r = 0, isto é, m é divisor de a. Analogamente, provamos que 
m é divisor de b. Agora, se d é um divisor comum qualquer de a e b, d é divisor de 
qualquer elemento de l, logo, d é divisor de m, o que implica que d m≤ . Assim, 
m = mdc(a, b).
Exemplo 13: encontre pelo menos uma forma de escrever o mdc(52, 48), 
como combinação linear de outros dois números inteiros.
Resolução: usando do Algoritmo de Euclides
2 2 1 3
52 22 8 6 2
8 6 2 0
Ou seja, o mdc(52, 48) = 2. Portanto, é possível escrever os restos como: 
2 8 1 6
6 22 2 8
8 52 2 22
= − ⋅
= − ⋅
= − ⋅
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
74
Substituindo cada informação, uma em seguida da outra, obtemos a 
seguinte relação:
( )
( )
2 8 1 6
2 8 1 22 2 8 8 1 22 2 8
2 3 8 1 22
2 3 52 2 22 1 22 3 52 6 22 1 22
2 3 52 7 22
= − ⋅
= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅
= ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅
Logo, a combinação linear procurada, é para mdc(52, 48) = 3 • 52 – 7 • 22 = 2.
 
Acompanhe para finalizarmos está parte sobre mdc, alguns corolários e 
teoremas, que serão fundamentais para demonstração de algumas autoatividades.
Corolário 1: quaisquer que sejam , , a b n∈N , ( ) ( ), , .mdc na nb n mdc a b= ⋅
( ) ( ): dados , , tem-se que , 1.
, ,
a ba b mdc
mdc a b mdc a b
 
∈ =  
 
Corolário N 
Demonstração: pelo Corolário anterior, temos que
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
, , 
, ,
, , , 
, ,
, , o que prova o resultado.
a bmdc a b mdc
mdc a b mdc a b
a bmdc mdc a b mdc a b
mdc a b mdc a b
mdc a b
 
⋅ =  
 
 
⋅ ⋅ =  
 
Teorema: sejam a, b e c números naturais. Se a | b • c e mdc(a,b) = 1, então 
a | c.
Corolário 2: dados , , a b c∈N , temos que ( ) e | .
,
bcb a c a a
mdc b c
⇔
Acompanhe, agora, o conceito e, posteriormente, o método para 
determinar o Mínimo Múltiplo Comum.
TÓPICO 1 | MDC E MMC
75
3 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Assim como fizemos no mdc, realizaremos, neste novo assunto, a 
abordagem de dois exemplos, em que este conceito aparece naturalmente. O 
intuído de realizar desta forma a abordagem inicial deste tema, está ligado a 
instigar os alunos ou a quem está estudando, a motivação para o seu aprendizado. 
Acompanhe os exemplos.
Exemplo 14: em uma pequena pista de atletismo de 150 metros, duas 
pessoas, estão realizando seus exercícios diários, partindo simultaneamente 
de um mesmo ponto. Uma dessas pessoas consegue realizar cada volta em 25 
segundos. A outra, correndo mais devagar, leva 30 segundos para completar a 
volta. Depois de quantos segundos as duas pessoas voltarão a se encontrar no 
mesmo ponto de partida?
Resolução: note que o atleta mais veloz passará cada volta em múltiplos 
de 25, ou seja, após terminar a primeira volta terá passado 25 segundo, ao término 
da segunda volta 50 segundos e assim por diante. Podemos então estabelecer que 
os múltiplos de 25, determinaram a passagem do atleta mais veloz pelo ponto 
inicial.
( )25 0, 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300, 325,M = …
De mesmo modo, o outro atleta, apresentará múltiplos de 30.
( )30 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330,M = …
Comparando os múltiplos do 25 e 30 (que representam o tempo de cada 
atleta cronometrado na posição inicial), podemos notar que há momentos que 
ambos passam pela linha de partida simultaneamente. Os encontrados nos 
exemplos anteriores são: 150 e 300. Como queremos o menor múltiplo comum, ou 
seja, neste caso, o primeiro instante em que acontece o encontro entre os atletas, 
então, isso ocorrerá após 150 segundos. Esse valor nos mostra que o atleta mais 
rápido consegue dar 6 voltas, enquanto atleta mais lento apenas 5 voltas.
Outro fato importante e curioso é que, a partir do resultado obtido, 
podemos prever que os próximos encontros acontecerão a cada 150 segundos, 
caso se mantenha sempre o ritmo.
Exemplo 15: em uma empresa, cada máquina possui um relógio que pisca 
com um sinal sonoro em intervalos diferentes. Em um dos casos, o relógio A pisca 
em intervalos de 15 minutos, na máquina B, o relógio pisca a cada 25 minutos, 
em uma terceira máquina, o relógio C pisca a cada 40 minutos. Qual é, em horas, 
o menor intervalo de tempo transcorrido entre os sinais simultâneas das três 
máquinas?
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
76
Resolução: supondo que, quando as máquinas piscarem simultaneamente, 
adotaremos com marco zero, podendo, então, organizar as informações da 
seguinte maneira:
• Como um dos relógios bate de 15 em 15 minutos, logo, baterá nos múltiplos de 15
( )15 0, 15, 30, 45, 60,M = …
• De mesmo modo, os outros dois relógios, possuem os múltiplos
( )25 0, 25, 50, 75, 100,M = …
( )40 0, 40, 80, 120, 160,M = …
Como queremos encontrar o momento em que as três máquinas, piscarão 
juntas, devemos encontrar o menor múltiplo comum entre os três números. Até o 
momento, não há este múltiplo comum, porém, com muito trabalho, determinado 
mais alguns múltiplos, podemos encontrar o resultado:
• M(15) = 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210, 225, 240, 255, 
270, 285, 300, 315, 330, 345, 360, 375, 390, 405, 420, 435, 450, 465, 480, 495, 510, 
525, 540, 555, 570, 585, 600, ...
• M(25) = 0, 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300, 325, 350, 375, 400, 
425, 450, 475, 500, 525, 550, 575, 600, ...
• M(40) = 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440, 480, 520, 560, 600, ...
Analisando então o resultado, podemos determinar que o menor múltiplo 
comum ou mínimo múltiplo comum aos números é o 600. Perceba como esse 
exemplo apresenta, apesar da simplicidade, um trabalho árduo em escrever todos 
estes múltiplos. Por esse motivo, definiremos e desenvolveremos métodos para 
determinar o mínimo múltiplo comum entre números.
Definição 3: diremos que um número é um múltiplo comum de dois 
números naturais dados se ele é simultaneamente múltiplo desses números. Em 
qualquer caso, o número ab é sempre um múltiplo comum de a e b.
Definição 4: diremos que um número m é um mínimo múltiplo comum 
(mmc) de a e b se e somente se, possuir as seguintes propriedades:
(i) m é um múltiplo comum de a e b;
(ii) se c é um múltiplo comum de a e b, então m | c.
Se c é um múltiplo comum de a e b, então, do item (ii) da definição anterior, 
temos que m | c, e, portanto, m c≤ , o que nos diz que o mínimo múltiplo comum, 
se existe, é único e é o menor dos múltiplos comuns de a e b.
TÓPICO 1 | MDC E MMC
77
3.1 CÁLCULO DO MMC
Uma proposta para determinar o mmc entre dois ou mais números é pela 
fatoração simultânea. Lembre-se, já realizamos algo semelhante no mdc, e, ainda, 
um fator que impactou na sua aplicação é o conhecimento dos números primos 
para realizá-lo. Veremos o procedimento em um exemplo.
Exemplo 16: determine mmc(12, 30).
Resolução: como queremos encontrar os múltiplos de 12 e de 30, o 
mmc(12, 30), deve conter todos os fatores primos que aparecem nas fatorações 
destes números. Portanto, para calcularmos o mmc(12, 30), a fatoração deve 
acontecer simultaneamente, para não repetirmos nenhum número e evitarmos 
obter um múltiplo maior. O processo será parecido com o mdc, porém, sempre 
que for possível, devemos dividir os dois números e finalizar quando ambos 
chegarem a 1.
12, 30 2 Ambos são divisíveis por 2;
 6, 15 2 O 6 é divisível pelo 2 e o 15 não, logo, apenas copiar o 15;
3, 15 3 Ambos são divisíveis pelo 3;
1, 5 5 Por fim, dividir o 5 por ele mesmo.
1, 1
Para então determinar o mmc, basta multiplicarmos todos os números 
primos encontrados no lado direito da barra, mmc(12, 30) = 22 • 3 • 5 = 60.
Esse procedimento, como já comentado, possui seus problemas, pois 
necessita do conhecimento dos números primos. Assim como foi mencionado no 
mdc, o mmc não necessita também, ser realizado em ordem decrescente ou utilizar 
dos números primos. 
Veremos, a seguir, outra forma de determinar o mmc, usando o mdc e o 
Algoritmo de Euclides.
Proposição 1: dados dois números naturais a e b não nulos, temos que 
mmc(a, b) existe e
( ) ( ), , .mmc a b mdc a b ab⋅ =
Essa proposição pode ser entendida que, para determinar o mmc de dois 
inteiros, podemos dividir o produto dos dois números pelo seu mdc.
( ) ( ), 
, 
abmmc a b
mdc a b
=
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
78
Exemplo 17: encontre o mmc(60, 48).
Resolução: utilizando o algoritmo de Euclides, teremos
1 4
60 48 12
12 0
Portanto, mmc(60, 48) = 12. Usando da proposição anterior,
( )
( )
60 48, 
12 
, 240
mmc a b
mmc a b
⋅
=
=
Com esse exemplo, finalizamos este tópico e deixamos uma pergunta 
sobre este último procedimento, para você refletir: esse método é vantajoso?
Acreditamos que você descobrirá nas autoatividades a resposta para essa 
pergunta. No próximo tópico, apresentaremos aplicações do Máximo Divisor 
Comum.
79
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que:
• Se d é um máximo divisor comum (mdc) de a e b, se possuir as seguintes 
propriedades:
d é um divisor comum de a e de b, e
d é divisível por todo divisor comum de a e b.
A condição (ii) acima pode ser reescrita como se segue:
Se c é um divisor comum de a e b, então c|d.
• Consequências e Propriedades do mdc para todo a, b Є Z, são:
mdc(a,b)=mdc(b,a); (a ordem não interfere)
mdc(0,a)=|a|;
mdc(1,a)=1;
mdc(a,ka)=|a| para todo k Є Z;
mdc(a,b)=mdc(–a,b)=mdc(a,–b)=mdc(–a,–b); (não importa o sinal).
• Se a, b, n Є N com a < na < b, então existe mdc(a,b – na), então mdc(a,b) existe e 
mdc(a,b) = mdc(a,b – na).
• Se a < b e r o resto da divisão do inteiro a pelo inteiro (positivo) b. Então 
mdc(a,b) = mdc(b,r). 
• Dados os inteiros a e b, existem inteiros x e y tais que mdc(a,b)= ax+by.
• Um número é um múltiplo comum de dois números naturais, dados se ele é 
simultaneamente múltiplo de ambos os números
• Um número m é um mínimo múltiplo comum (mmc) de a e b se possuir as 
seguintes propriedades:
i) m é um múltiplo comum de a e b, e
ii) se c é um múltiplo comum de a e b, então m|c.
• Dados dois números naturais a e b, temos que mmc(a,b) existe e 
mmc(a,b)∙mdc(a,b) = ab. 
, , a b n∈N
, , a b n∈N
, , a b n∈N
80
AUTOATIVIDADE
1 Um empreiteiro deseja construir um prédio em um terreno retangular de 
dimensões 216 m por 414 m. Para isso deverá cercá-lo por estacas. Se ele 
colocar uma estaca em cada canto do terreno e utilizar sempre a mesma 
distância entre duas estacas consecutivas, qual será a quantidade mínima 
de estacas a serem utilizadas?
2 Um prédio possui duas escadarias, uma delas com 900 degraus e a outra 
com 660 degraus. Sabendo que os degraus das duas escadas só estão no 
mesmo nível quando conduzem a um andar, descubra quantos andares 
tem o prédio.
3 Em um cesto haviam ovos. Eram mais de 50 e menos de 60. Contando 
de 3 em 3, sobravam 2. Contando de 5 em 5, sobravam 4 ovos. Qual é a 
quantidade de ovos no cesto?
4 Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos que é 
divisível, ao mesmo tempo, por 4, 8 e 12.
5 Determine a quantidade mínima de placas quadradas que são necessárias 
para cobrir uma superfície retangular de 12,8 m de comprimento por 9,6 m 
de largura?
6 Determine o mdc dos números a seguir pelo Lema de Euclides.
a) 340 e 622.
b) 1230 e 560.
7 Tente calcular o mdc(1203, 3099) usando uma fatoração simultânea e depois 
calcule este mdc usando a propriedade mdc(a, b) = mdc(a, b – a).
8 Para cada par de números naturais a e b dados a seguir, ache mdc(a, b) e determine 
os números naturais m e n tais que mdc(a, b) = na – mb ou mdc(a, b) = mb – na.
a) 637 e 3887.
b) 648 e 1218.
c) 552 e 874.
9 Determine dois números a e b tais que mdc(a, b) = 150 e a + b = 80.
10 (OBMEP) O produto de dois números de dois algarismos cada um é 1728. 
Se o máximo divisor comum deles é 12, quais são estes números?
FONTE: Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – IMPA (2010)
81
TÓPICO 2
APLICAÇÃO DE MDC
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, trataremos, inicialmente, conceitos básicos para o 
entendimento das Equações Diofantinas Lineares de Segunda Ordem. Após 
realizarmos este estudo, partiremos para a parte prática, na resolução de 
problemas envolvendo este conceito.
É importante mencionar que apresentaremos algumas propriedades de 
máximo divisor comum, que ainda não tratamos, pois, para definir e demonstrar 
as particularidades desta ferramenta necessitamos do algoritmo desenvolvido 
por Euclides.
2 EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES
A teoria das Equações Diofantinas surge com o propósito de resolver 
equações polinomiais, cujo resultado pertence ao conjunto dos números inteiros. 
Acompanhe alguns exemplos:
• 2x – 3y = 5, que possui como uma solução os inteiros (1, -1);
• x2 – y2 = z2, que possui infinitas solução e que as soluções, são conhecidas como 
ternos pitagóricos, exemplo (5, 4, 3);
• xn – yn = zn, que não possui soluções não nulas para n > 2, e é conhecida como o 
Último Teorema de Fermat.
Apesar dos exemplos citados, em nossos estudos, abordaremos apenas o 
caso de Equações Diofantinas Lineares de grau 2:
ax + by = c, em que , , .a b c∈Z
Segundo Hefez (2016, p. 100), “tais equações são chamadas Equações 
Diofantinas Lineares em homenagem a Diofanto de Alexandria (aprox. 300 
d.C.)”. Como muitos problemas de aritmética, incidem em soluções inteiras e 
não negativas este assunto, contempla o conceito necessário para resolução de 
problemas que desenvolveremos logo a seguir. 
Iremos dizer que, para todo par de inteiros x0 e y0 que satisfaz a 
equação ax0 + by0 = c, está será solução inteira ou apenas uma solução da 
equação ax + by = c.
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
82
Exemplo 18: determine solução inteira para e equação linear 3x + 6y = 18.
Resolução: como até o momento, não fornecemos informações suficientes 
para a resolução, indicaremos apenas que é possível por inspeção ou tentativa, 
encontrar algumas soluções para a equação apresentada. Veja algumas dessas 
possibilidades:
• (4, 1), pois 3 • 4 + 6 • 1 = 18.
• (–6, 6), pois 3 • (–6) + 6 • 6 = 18.
• (10, –2), pois 3 • 10 + 6 • (–2) = 18.
Além dessas soluções, poderíamos encontrar para esse caso muitas outras. 
Podemos presumir, ainda, que há pequenas dúvidas sobre a solução que também 
não respondemos ainda:
i) Será que sempre existirá solução para Equações Diofantinas Lineares de grau 
2?
ii) Quando for possível existir solução, será que há entre elas alguma com 
números naturais?
No exemplo resolvido, conseguimos notar que as duas perguntas 
mencionadas, foram respondidas com sim! Porém, acompanhe estes dois 
próximos exemplos.
Exemplo 19: determine uma solução inteira para e equação linear 2x + 4y = 7.
Resolução: perceba que, neste caso, é impossível ter solução, pois como 
poderia dois números pares; 2 e o 4; produzirem na multiplicação, um número 
ímpar como o 7.
Exemplo 20: resolva a equação 5x + 4y = 3 nos naturais.
Resolução: neste caso, a impossibilidade de ter solução natural, se deve 
ao fato que para qualquer 5 • x0 + 4 • y0 > 3. Caso x0 = y0 = 1, menor natural, a solução 
já seria 9, portanto, qualquer valor maior que estes, produzirá um número maior 
ainda.
Feitas essas observações, partiremos a procura da resposta à primeira 
pergunta, “quando uma equação diofantina linear terá solução?”. Para, de fato, 
responder esta pergunta, devemos obter alguns resultados, com isso, alguns 
teoremas e corolários.
Teorema: sejam ,a b∈Z , não ambos nulos, se ( ),d min I a b= ∩N , então
i) d é o mdc de a e b; e
ii) ( ) { }( ), ; .I a b d ld l= = ∈�Z 
Demonstração: (i) Suponha que c divida a e b, logo c divide todos os números 
naturais da forma xa + yb. Portanto, c divide todos os elementos de I(a, b), e, 
consequentemente, c | d.
TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE MDC
83
Agora, mostraremos que d divide todos os elementos de I(a, b). Seja 
( ) , z I a b∈ e suponha, por absurdo, que d zŒ . Logo, pela divisão euclidiana, 
z = dq + r, com 0 < r < d.
Como a = xa + yb e d = ma + nd, para alguns , , ,x y n m∈Z , segue-se da 
expressão anterior que ( ) ( ) ( ), ,r x qm a u qn b I a b= − + − ∈ ∩N o que é um 
absurdo, pois ( )min ,d I a b= ∩N e r < d. Em particular, d | a e d | b. Assim 
provamos, que d é o mdc(a, b).
(i) Dado que todo elemento de I(a, b) é divisível por d, 
temos que ( ), I a b d⊂ Z . Por outro lado, para todo ld d∈ Z , temos que 
( ) ( ) ( ) ( )ln ,ld l ma nd lm a b I a b= + = + ∈ e, portanto, ( ), d I a b⊂Z . Em 
conclusão, temos que ( ), I a b d= Z .
“O Teorema anterior nos dá uma outra demonstração da existência do 
mdc de dois números. Note que essa demonstração, ao contrário da prova de 
Euclides, não é construtiva, no sentido de que não nos fornece nenhum meio 
prático para achar o mdc dos dois números” (HEFEZ, 2016 p. 81).
Corolário 3: quaisquer que sejam ,a b∈Z , não ambos nulos, e ( )210 1 11n mod≡ , tem-se que:
( ) ( ), , .mdc na nb n mdc a b= ⋅
Demonstração: note inicialmente que ( ) ( ) ( ){ }( ), , ; , .I na nb nI a b nz z I a b= = ∈ 
Agora, o resultado segue-se do teorema e do fato de que 
( )( ) ( )( )min , min , .nI a b n I a b∩ = ⋅ ∩N N
Exemplo 21: determine o mdc(24, 30).
Resolução: mostraremos por meio deste exemplo a aplicação do corolário 
anterior. Perceba inicialmente que mdc(24, 30) = 6. Agora, “brincaremos” com os 
números 24 e 30. 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
I) 24, 30 2 12, 2 15 2 12, 15 2 3 6
II) 24, 30 3 8, 3 10 3 8, 10 3 2 6
III) 24, 30 6 4, 6 5 6 4, 5 6 1 6
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
mdc mdc mdc
= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Note como o corolário anterior foi aplicado e realmente funcionou para os 
exemplos apresentados.
Corolário 4: dados ,a b∈Z , não ambos nulos, tem-se que:
( ) ( ), 1
, ,a bmdc
mdc a b mdc a b
 
=  
 
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
84
Demonstração: pelo corolário anterior, temos que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ,
, ,
, , , , ,
, ,
a bmdc a b mdc
mdc a b mdc a b
a bmdc mdc a b mdc a b mdc a b
mdc a b mdc a b
 
⋅   
 
 
= ⋅ ⋅ =  
 
o que prova o resultado.
Exemplo 22: determine o mdc(60, 44).
Resolução: escolhemos este exemplo, a fim de elucidar o corolário 
anterior, mostrando que se dividirmos os valores 60 e 44 pelo seu mdc, eles se 
tornam primos entre si. Note que isso realmente acontece, pois como:
( )
( )
60, 44 4, então
60 44, 15, 11 1
4 4
mdc
mdc mdc
=
 
= = 
 
mostrando que são primos entre si.
Enfim, após apresentar um teorema e dois corolários, podemos responder 
à pergunta: Quando uma equação diofantina linear terá solução? Acompanhe a 
proposição a seguir.
Proposição 2: sejam , ,a b c∈Z . A equação aX + bY = c admite solução em números 
inteiros se, e somente se, mdc(a, b) | c.
Demonstração: pelo Teorema visto nesta etapa, temos que 
( ) { } ( ), ; , ,I a b ma nb m n a b= + ∈ =Z Z .
É claro que a equação aX + bY = c possui solução se, e somente se, ( ),c I a b∈ , 
o que é equivalente a ( ),c a b∈ Z , que, por sua vez, é equivalente a (a, b) | c.
É imediato verificar que a equação aX + bY = c, com 0 ou 0a b≠ ≠ e (a, b) | c, 
é equivalente à equação: 
1 1 1 ,a X b Y c+ =
Em que: 
( ) ( ) ( )1 1 1, , e . 
, , ,
a b ca b c
mdc a b mdc a b mdc a b
= = =
TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE MDC
85
Note que, pelo último Corolário deste tópico, mdc(a1, b1) = 1 e, portanto, 
podemos nos restringir às equações do tipo a1X + b1Y = c1, com mdc(a, b) = 1, que 
sempre têm soluções.
A conclusão sobre essa proposição é bem simples! Para que uma equação 
diofantina linear de segunda ordem tenha solução, há a necessidade que o mdc 
entre os coeficientes divida o termo independente na equação.
Sabendo dessa informação, apresentaremos agora, outra proposição que 
nos mostra como determinar as soluções de uma equação diofantina, a partir de 
uma solução particular x0 , y0 e mostrará, como deve ser dada a sua solução geral.
Proposição 3: seja x0, y0 uma solução da equação aX + bY = c, em que mdc(a, b) = 1. Então, 
as soluções x, y em � da equação são 0, ; .ox x tb y y ta t= + = − ∈Z
Demonstração: seja x, y uma solução de aX + bY = c, logo, 0 .oax by ax by c+ = + = 
Consequentemente, ( ) ( )0 .oa x x b y y− = − Como mdc(a, b) = 1, segue-se que 
( )0|b x x− . Logo, 0 , .x x tb t− = ∈Z
Substituindo a expressão de x – x0 acima em ( ) ( )0 .oa x x b y y− = − , segue 
que ,oy y ta− = o que prova que as soluções são do tipo exibido. Por outro lado, x, 
y, como no enunciado, é solução pois, ( ) ( )0 0 0 0 .ax by a x tb b y ta ax by c+ = + + − = + =
A proposição anterior, mostra que há infinitas soluções nos inteiros. 
Poderíamos trocar t por –t para obter as colocações com sinais contrários. Usando o 
algoritmo euclidiano, é possível determinar ,m n∈Z tais que ma + nb = mdc(a, b) = 1, 
o que já sabíamos pelo Teorema de Bézout.
Multiplicando ambos os membros da igualdade anterior por c, obtemos 
cma + cnb = c. Logo, x0 = cm e y0 = cn é uma solução particular da equação.
Exemplo 23: resolva a equação 22x + 8y = 24.
Resolução: o mdc(22, 8) = 2, ou seja mdc(22, 8) | 24, portanto, a equação 
tem solução. Dividindo ambos os termos da equação pelo mdc(22, 8) = 2, obtemos 
a equação equivalente 11x + 4y = 12.
Pelo algoritmo de Euclides, encontraremos a solução particular desta 
última equação. Temos que,
11 4 2 3
4 3 1 1
= ⋅ +
= ⋅ +
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
86
Isolando da primeira equação anterior o resto da divisão, obtemos: 
11 4 2 3
11 4 2 3.
= ⋅ +
− ⋅ =
Substituindo na segunda equação, a igual encontrada anteriormente,
( )
4 3 1 1
4 11 4 2 1 1
4 11 1 4 2 1
11 1 4 2 4 1
11 1 4 3 1.
= ⋅ +
= − ⋅ ⋅ +
= ⋅ − ⋅ +
− ⋅ + ⋅ + =
− ⋅ + ⋅ =
Para igualar ao nosso problema, em que o lado direito corresponde ao 12, 
vamos multiplicando por 12 todos os termos, obtendo:
11 12 4 36 12.− ⋅ + ⋅ =
Logo, conseguimos encontrar uma solução particular, em que x0 = –12 
e y0 = 36. Portando, usando da proposição anterior, as soluções são dadas por
0
12 4
36 11 , .
ox x tb
x t
e
y y ta
y t t
= +
= − +
= −
= − ∈Z
0
12 4
36 11 , .
ox x tb
x t
e
y y ta
y t t
= +
= − +
= −
= − ∈Z
0
12 4
36 11 , .
ox x tb
x t
e
y y ta
y t t
= +
= − +
= −
= − ∈ZNote que a solução final apresentada, 12 4 , 36 11 , ,x t y t t= − + = − ∈Z 
proporciona de forma parametrizada, infinitas soluções para a equação do 
problema, bastando para isso, substituir um inteiro t nas equações. Veja algumas 
possíveis soluções: 
• Para t = 1, x = –8 e y = 25, o que verdade, pois substituindo na equação
( )
22 8 24, obtemos
22 8 8 25 24
x y+ =
⋅ − + ⋅ =
TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE MDC
87
• Para t = 2, x = –4 e y = 14, o que também é verdade, pois substituindo na equação
( )
22 8 24, obtemos
22 4 8 14 24
x y+ =
⋅ − + ⋅ =
Exemplo 24: resolva a equação 8x – 3y = 7, para ,x y∈N .
Resolução: é comum em alguns problemas de aritmética termos que 
resolver um problema nos naturais. O procedimento é o mesmo, bastando apenas, 
no final, refletir e verificar as possíveis soluções.
Note que mdc(8,3) | 7, logo, a equação possui solução nos inteiros. 
Pelo algoritmo de Euclides, podemos escrever o mdc(8,3), com a finalidade de 
encontrar a solução particular da equação. Temos que,
8 3 2 2
3 2 1 1
= ⋅ +
= ⋅ +
Isolando da primeira equação anterior o resto da divisão, obtemos
8 3 2 2
8 3 2 2
= ⋅ +
− ⋅ =
Substituindo na segunda equação, a igual encontrada anteriormente,
( )
3 2 1 1
3 8 3 2 1 1
3 8 1 3 2 1
8 1 3 2 3 1
8 1 3 3 1
= ⋅ +
= − ⋅ ⋅ +
= ⋅ − ⋅ +
− ⋅ + ⋅ + =
− ⋅ + ⋅ =
Multiplicando por 7, para igual ao nosso problema
8 7 3 21 7− ⋅ + ⋅ =
Portanto, encontramos uma solução particular para a nossa situação, em 
que x0 = –7 e y0 = –21. Portando, as soluções são dadas por:
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
88
0
7 3
e
21 8 , .
ox x tb
x t
y y ta
y t t
= +
= − −
= −
= − − ∈Z
0
7 3
e
21 8 , .
ox x tb
x t
y y ta
y t t
= +
= − −
= −
= − − ∈Z
Como queremos soluções naturais, temos duas inequações:
• Como x = –7 –3t, então
7 3 0
3 7 
7 , como é inteiro
3
3
t
t
t t
t
− − >
− >
< −
≤ −
• Por outro lado, y = –21 –8t, implica em 
21 8 0
8 21
21 , como é inteiro
8
3
t
t
t t
t
− − >
− >
< −
≤ −
Então, as soluções naturais, podem ser encontradas, substituindo 3t ≤ − , 
como t∈Z . Veja algumas possibilidades:
Para t = –3, x = 2 e y = 3.
Para t = –4, x = 5 e y = 11.
Para t = –10, x = 23 e y = 59.
Verifique na equação 8x – 3y = 7 se realmente funcionou as soluções 
apresentadas.
DICAS
0
12 4
36 11 , .
ox x tb
x t
e
y y ta
y t t
= +
= − +
= −
= − ∈Z
TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE MDC
89
Apesar de ser possível verificar a possibilidade de solução natural, por 
meio da análise de sistemas de inequações, apresentaremos um teorema que dá 
fundamento para realizar essa análise, sem a necessidade de explorar o uso de 
inequações.
Teorema: a equação aX + bY = c, onde mdc(a, b) = 1, tem solução em { }0∪N se, e 
somente se, ( ) { }, ; , .c L a b na mb n b m∉ = − ∈ < ∈N N
O teorema nos informa que, caso c não pertença ao conjunto L(a, b), a 
equação diofantinas terá solução natural. O conjunto L(a, b) é denominado 
conjunto de Lacunas de um outro conjunto, S(a, b) que não trataremos aqui. O 
intuito será apenas de expor a ideia. Os elementos são então determinados, pela 
combinação linear ; , .na mb n b m− ∈ < ∈N N 
Note também que o conjunto L(a, b) é finito e seu maior elemento é 
maxL(a, b) = (b – 1) a – b. Portanto, se ( ) ( )( )1 1 1 1 ,c b a b b a≥ − − + = − − a equação 
aX + bY = c admite solução nos naturais. Se c = (b – 1)(a – 1) – 1, ela não admite 
solução.
Exemplo 25: determine para quais valores de c∈N a equação 8X + 5Y = 
c temsoluções em { }0∪N .
Resumo: trocamos as informações iniciais do problema, temos que nosso 
conjunto de Lacunas, será gerado por ( ) { }8, 5 8 5 ; , , 5L n m m n n= ⋅ − ⋅ ∈ ∈ <N N .
É intuitivo perceber que n pode ser um número do conjunto {1,2,3,4}. 
Vamos, então, realizar os cálculos na combinação linear n8 – m5 que deve pertencer 
ao conjunto dos naturais.
• Para n = 4, teremos a seguinte equação: 4 8 5 32 5.m m⋅ − ⋅ = − ⋅
Como m∈N e será múltiplo de 5, basta subtrair do 32, múltiplos do 5 até 
o resultado não ser negativo e anotar os valores encontrados. Veja quais seriam:
 32 5 27,
32 10 22,
 32 15 17,
32 20 12,
32 25 7,
32 30 2,
− =
− =
− =
− =
− =
− =
ou seja, {2, 7, 12, 17, 22, 27}.
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
90
• Agora, para n = 3 teremos a seguinte equação: 3 8 5 24 5.m m⋅ − ⋅ = − ⋅ 
Realizando a mesma ideia, porém, agora mais rapidamente, teremos de 
subtrair do 24, múltiplos de 5, ou seja {19, 14, 9, 4}.
• Para n = 2 teremos a seguinte equação: 2 8 5 16 5.m m⋅ − ⋅ = − ⋅
Teremos de subtrair do 16, múltiplos de 5, ou seja {11, 6, 1}.
• Por fim, para n = 1, teremos a seguinte equação: 1 8 5 8 5.m m⋅ − ⋅ = − ⋅
Teremos de subtrair do 8, múltiplos de 5, ou seja, apenas {3}.
Juntando todos os valores encontrados, podemos estabelecer o conjunto 
de lacunas
( ) { }8, 5 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 22, 27 .L =
Desta forma, a equação do nosso problema não terá solução natural para 
qualquer (8,5)c L∈ .
Exemplo 26: determine para quais valores de c∈N a equação 7X + 4Y = 
c não tem soluções em { }0∪N . Posteriormente, encontre uma solução para a 
equação 7X + 4Y = 39.
Resumo: o conjunto de Lacunas será dado por 
( ) { }7, 2 7 4 ; , , 4L n m m n n= − ∈ ∈ <N N , desta forma, n poderá ser trocado pelo 
conjunto {1, 2, 3}.
• Para n = 3, teremos a seguinte equação: 3 7 4 21 4.m m⋅ − ⋅ = − ⋅ Logo, as 
possibilidades são {17, 13, 9, 5, 1}.
• Para n = 2, teremos a seguinte equação: 2 7 4 14 4.m m⋅ − ⋅ = − ⋅ Teremos as 
possibilidades {10, 6, 2}.
• Para n = 1, teremos a seguinte equação: 1 7 4 7 4.m m⋅ − ⋅ = − ⋅ Apenas a 
possibilidade {3}.
Juntando todos os valores encontrados o conjunto de lacunas:
( ) { }7, 4 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 13, 17 .L =
Encontrado o conjunto de Lacunas que representa as impossibilidades no 
c para termos solução natural, podemos perceber que 39 é uma opção, já que 
não está compreendida neste conjunto. Vamos, então, encontrar a solução natural 
para este problema. Usando do algoritmo de Euclides:
TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE MDC
91
7 4 1 3
4 3 1 1
= ⋅ +
= ⋅ +
7 4 1 3
7 4 1 3
= ⋅ +
− ⋅ =
Isolando da primeira equação anterior o resto da divisão, obtemos
Substituindo na segunda equação, a igual encontrada anteriormente,
( )
4 3 1 1
4 7 4 1 1 1
4 7 1 4 1 1
7 1 4 1 4 1
7 1 4 2 1
= ⋅ +
= − ⋅ ⋅ +
= ⋅ − ⋅ +
− ⋅ + ⋅ + =
− ⋅ + ⋅ =
Multiplicando por 39, para igualar ao nosso problema:
7 39 4 78 39− ⋅ + ⋅ =
Portanto, encontramos uma solução particular para a nossa situação, em 
que x0 = –39 e y0 = 78. Portando, as soluções são dadas por: 
ox x tb
x t
y y ta
y t t
0
39 4
e
78 7 , .
= +
= − +
= −
= − ∈Z
ox x tb
x t
y y ta
y t t
0
39 4
e
78 7 , .
= +
= − +
= −
= − ∈Z
Como queremos soluções naturais, a primeira equação nos fornece a ideia 
que t = 10 para obter o menor x positivo, com x = 1. Com consequência disso, o 
78 7 10 8y = − ⋅ = . Logo, uma solução natural é o par (1, 8). Porém, é possível ter 
outra solução natural, com t = 11. Calculando os valores para x e y, obtemos o 
outro par (5, 1).
0
12 4
36 11 , .
ox x tb
x t
e
y y ta
y t t
= +
= − +
= −
= − ∈Z
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
92
Exemplo 27: em um pedágio, cada carro paga R$ 7,00 e cada motocicleta 
paga R$ 4,00. Sabendo que foi arrecadado em um certo período de tempo 
R$ 142,00, calcule o maior número de carros e o maior número de motos possíveis 
que tenham passado neste pedágio.
Resolução: nosso problema, nos fornece a seguinte equação 7X + 4Y = 142, 
em que X representa os carros e Y as motos. Pelo algoritmo de Euclides, encontramos 
a igualdade com relação a mdc(7, 4), como ( )1 7 1 4 2= ⋅ − + ⋅ o qual, multiplicando 
por 142, ( )142 7 142 4 284= ⋅ − + ⋅ obtemos uma solução particular x0 = –142 e y0 = 284.
Concluímos que as soluções gerais do problema são x = –142 + 4t e 
284 7 , .y t t= − ∈Z
Resolvendo as desigualdades
142 4 0
4 142
142
4
36
t
t
t
t
− + >
>
>
≥
284 7 0
7 284
284
7
40
t
t
t
t
− >
− > −
<
≤
encontramos que t pode variar de 36 40t≤ ≤ , proporcionado as seguintes 
soluções:
 
• Para t = 36, X = 2 carros e Y = 32 motos.
• Para t = 37, X = 6 carros e Y = 25 motos.
• Para t = 38, X = 10 carros e Y = 18 motos.
• Para t = 39, X = 14 carros e Y = 11 motos.
• Para t = 40, X = 18 carros e Y = 4 motos.
Sendo assim, concluímos que passou no máximo 18 carros ou no máximo 
32 motos pelo pedágio.
Com este exemplo, finalizamos esta parte de aplicação de máximo divisor 
comum e ressaltamos a possibilidade de aprofundamento, com estudos nos 
Números de Fibonacci e em Expressões Binomiais.
No próximo tópico, estenderemos o conceito das propriedades dos 
números inteiros, para o caso particular de números primos. Em que perceberemos 
que várias aplicações de mmc e mdc serão utilizadas. 
93
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• As Equações Diofantinas Lineares, podem ou não ter solução.
• Se ,a b∈Z , não ambos nulos, Se ( )min ,d I a b= ∩N , então
i) d é o mdc de a e b; e
ii) ( ),I a b d= Z
• Quaisquer ,a b∈Z , não ambos nulos, e n∈N , tem-se que
( ) ( ), , .mdc na nb n mdc a b= ⋅
 
• Dados ,a b∈Z , não ambos nulos, tem-se que
( ) ( ), 1
, ,
a bmdc
mdc a b mdc a b
 
=  
 
• Para , ,a b c∈Z , a equação aX + bY = c admite solução em números inteiros se, 
e somente se, mdc(a, b) | c.
• Se x0, y0 é uma solução da equação aX + bY = c, onde mdc(a, b) = 1. Então, as 
soluções x, y em Z da equação são 0, ; .ox x tb y y ta t= + = − ∈Z
• Uma equação aX + bY = c, onde mdc(a, b) = 1, tem solução em { }0∪N se, e 
somente se, ( ) { }, ; , .c L a b na mb n b m∉ = − ∈ < ∈N N
• O conjunto L(a, b) é finito e seu maior elemento é ( ) ( )max , 1 .L a b b a b= − −
• Se ( ) ( )( )1 1 1 1 ,c b a b b a≥ − − + = − − a equação aX + bY = c admite solução nos 
naturais. Se ( )( )1 1 1c b a= − − − , ela não admite solução.
94
AUTOATIVIDADE
1 Determinar a solução geral das seguintes equações diofantinas lineares: 
a) 56x + 72y = 40.
b) 24x + 138y = 18.
c) 221x + 91y = 117.
d) 48x + 7y = 5.
2 Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações 
diofantinas lineares:
a) 5x – 11y = 29.
b) 12x + 21y = 771.
c) 58x – 87y = 290.
d) 8x + 3y = 64.
3 Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro 
seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11.
4 Um grupo de pessoas gastou 690 dólares num hotel. Sabendo-se que apenas 
alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas e que cada homem 
gastou 18 dólares e cada mulher gastou 15 dólares, pede-se determinar as 
possibilidades de quantas mulheres e quantos homens poderiam estar no 
hotel.
5 Sabendo que um time de basquete é composto de 5 jogadores e um time de 
vôlei é formado por 6 jogadores. Quantas quadras de basquete e quantas de 
vôlei são necessárias para que 80 alunos joguem simultaneamente qualquer 
um dos esportes? E se forem 77 alunos?
 
6 Para participar de um evento comemorativo em um clube, não sócios 
pagavam R$ 12,00 e sócios R$ 8,00. Sabendo-se que foram arrecadados R$ 
908,00 na portaria, quantos sócios estiveram no evento?
7 O laboratório Sangue Bom dispõe de 2 máquinas para examinar amostras 
de sangue. Uma delas examina 15 amostras de cada vez, enquanto a outra 
examina 25. Quantas vezes essas máquinas devem ser acionadas para 
examinar exatamente 2 mil amostras?
8 Numa criação de coelhos e galinhas, contaram-se 400 pés. Quantas são as 
galinhase quantos são os coelhos, sabendo que a diferença entre esses dois 
números é a menor possível?
95
9 (ENC, 2002) Em certo país, as cédulas são apenas de $4 e $7. Qual das opções, 
apresenta a possibilidade de pagar, sem troco, qualquer quantia inteira com 
as cédulas à disposição:
FONTE: Exame Nacional de Cursos - INEP (2002)
a) ( ) a partir de $11, inclusive.
b) ( ) a partir de $18, inclusive.
c) ( ) ímpar, a partir de $7, inclusive.
d) ( ) que seja $1 maior do que um múltiplo de $3.
e) ( ) que seja $1 menor do que um múltiplo de $5.
96
97
TÓPICO 3
NÚMEROS PRIMOS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Os números primos é um dos estudos mais intrigantes e maravilhosos 
da matemática. Desde a época dos filósofos gregos, há mais de 2.000 anos, este 
já é um assunto que era um dos mais misteriosos. Esse fato gerou um grande 
desenvolvimento na área da Teoria dos Números, que ressalta o estudo dos 
números inteiros, principal objetivo deste material.
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), matemático alemão, acreditava que 
a teoria dos números é ramo mais importante da matemática. Dessa forma, 
os números primos, que são protagonistas nesta área de estudo terão enfoque 
independente no tópico que segue. Além disso, traremos alguns resultados 
importantes, tais como o Teorema Fundamental da Aritmética, para os demais 
tópicos a serem estudados nesta disciplina.
2 NÚMEROS PRIMOS
Conforme citado na introdução deste tópico, os números primos são um 
dos conceitos mais importantes para a matemática. Iniciaremos, desta forma, 
definindo de modo informal o que é um número primo, apenas para lembrança, 
uma vez que você, acadêmico, já aprendeu esse conceito em sua vida escolar.
Definição 5 (número primo): todo número natural, maior que 1, que só 
tem como divisores positivos, o próprio 1 e ele mesmo é dito número primo. 
Deste modo, conhecendo essa definição e definindo p e q, como dois números 
primos, e um número a, inteiro qualquer, podemos estender a definição para os 
seguintes lemas:
Lema: se p|q, então p = q;
De fato, como q é primo e p|q, temos que p = 1 ou p = q. Por outro lado, se 
p é primo, sabemos que p > 1, o que resulta que p = q.
Lema: se p aΠ, temos que mdc(p, a) = 1.
Verificamos que se mdc(p, a) = d, sabemos que d|p e d|a. Desta forma, d = p 
ou d = 1. Mas, d p≠ , pois p aŒ , logo d = 1.
98
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
A partir disso, definimos também os números maiores que 1, que não 
são primos, de números compostos. Desta forma, se um número inteiro n > 1 é 
dito composto, existirá um divisor natural k1, onde 1 11 k e k n≠ ≠ . Assim sendo, 
existirá também um outro número natural k2, em que: n > k1 k2 , sendo que, 
k n k n1 21 e 1 .< < < <
Verifique que, por exemplo, os números 2 (único par e primo), 3, 5, 11, 
13, são primos, e 4, 8, 9, 16, 25 são compostos. Note que os números compostos 
podem ser sempre gerados pela multiplicação de números primos. Como 4 = 2 
x 2 ou 18 = 2 x 3 x 3. Isso, daqui a algumas linhas, será chamado de Teorema 
Fundamental da Aritmética, porém, antes de enunciá-lo, devemos explorar um 
resultado importante e seu respectivo corolário.
Proposição 4: sejam, , ,a b p∈Z , com p primo. Se p|ab, então p|a ou p|b.
Demonstração: para este caso, devemos mostrar que se p|ab e p aŒ , temos que 
mdc(p, a) = 1, mas usando o resultado de que se |p a b⋅ e mdc(p, a) = 1, então p|b, o 
resultado está provado.
Corolário 5: se p, p1, ... , pn são números primos e, se 1| np p p⋅…⋅ , então temos p = pi 
para algum i, com 1 i n< ≤ . Agora, vamos ao importante Teorema:
Teorema (teorema fundamental da aritmética): todo número que é maior que 1 
é primo ou composto, ou seja, escreve-se de maneira única como um produto de 
fatores primos.
Demonstração: utilizaremos o Segundo Princípio da Indução. Note que se n = 2 
o resultado é facilmente verificado. Suporemos agora válida a propriedade para 
todo natural menor que n, para na sequência provar a propriedade para n.
Se n é primo, o resultado está provado. Vamos supor que n é composto. 
Desta forma existem k1 e k2, tais que n > k1 k2 , com: k n k n1 21 e 1 .< < < <
 Utilizando a hipótese de indução, sabemos que existem, p1, ... , pr 
e q1, ... , qs, em que 1 1 rk p p= ⋅…⋅ e 
2 1 sk q q= ⋅…⋅ . Assim sendo, temos que: 
1 1 ,r sn p p q q= ⋅…⋅ ⋅ ⋅…⋅ o que nos prova a existência.
 
Vamos agora provar que a escrita é feita de modo único. Vamos supor que 
tenhamos: 1 1r sn p p q q= ⋅…⋅ = ⋅…⋅ , em que os pi e qj são primos. Como 1 1| sp q q⋅…⋅ , 
temos que, pelo Corolário X, que p1 = qj, para algum j = 1, ... , n, que podemos supor 
ser q1. Assim sendo: 2 2r sp p q q⋅…⋅ = ⋅…⋅ .
Finalizando, como 2 rp p n⋅…⋅ < , pela hipótese de indução, temos que r = s 
e os pi e qj são iguais de 2 em 2.
TÓPICO 3 | NÚMEROS PRIMOS
99
Pesquise no Livro 9, Proposição 20, dos Elementos de Euclides. Lá o resultado 
está explicito em sua totalidade.
DICAS
Dando sequência, vamos a alguns exemplos do resultado, mostrando 
alguns casos de como um número composto pode ser escrito como o produto de 
números primos.
• A fatoração de 72 é: 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 2³ ∙ 3²
• A fatoração de −20 é: −20 = −2 ∙ 2 ∙ 5 = −2² ∙ 5
• A fatoração de 36 é: 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 2² ∙ 3²
• Qual o menor natural que possui 5 fatores primos distintos? Segue que 
2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 = 2310.
Exercício: mostre que se n > 0 é um número composto, então existe p < n, 
onde p|n, com p primo.
INTERESSANTE
Dica: note que 7 é primo. Pois se fosse composto, seria divisível por 2, 3 ou 
5. Nos exemplos dados, que podem existir fatores primos repetidos, desta forma 
podemos enunciar mais um teorema:
Teorema: dado um número inteiro n, com 0,1, 1n ≠ − , existem primos 
positivos p1 < ... < pr e a1, ... , ar, determinados univocamente, em que:
1
1
r
rn p pαα= ± ⋅…⋅
Exemplos: 
( )
3
3
3 3 2
4
8 2
24 2 3
5400 2 3 5
240 1 2 3 5
a) 
b) 
c) 
d) 
=
= ⋅
= ⋅ ⋅
− = − ⋅ ⋅ ⋅
100
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
1) Podemos utilizar o recurso de incluir o fator p0 (=1), como a decomposição 
2 ∙ 52,pode ser escrita como 2 ∙ 30 ∙ 52.
2) Note (e procure provar!) que se tivermos um natural n > 1, escrito da forma: α α= ± ⋅…⋅1
1
r
rn p p 
teremos que n é um quadrado perfeito, apenas se cada expoente a
i
 é par.
NOTA
Uma aplicação importante dos números primos e compostos (e sua 
decomposição) é a determinação da quantidade de divisores positivos de um 
número natural n.
Definição 6: nomeando d(n) a quantidade de divisores positivos de n, em que: 
αα= ± ⋅…⋅1
1
r
rn p p , sendo ⋅…⋅1 rp p primos e α α⋅…⋅1 r naturais, temos que: 
( ) ( ) ( )α α α= + ⋅ + ⋅…⋅ +1 21 1 ( 1) rd n .
Exemplo 28: determine a quantidade de divisores positivos do número 360.
Resolução: sabemos que a decomposição do número 360 é: 
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅3 2 1360 2 2 2 3 3 5 2 3 5 . 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( )= + ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ =360 3 1 2 1 1 1 4 3 2 24d . Portanto, 360 tem 24 divisores 
positivos.
Exemplo 29: determine a quantidade de divisores positivos do número 1000.
Resolução: sabemos que a decomposição do número 1000 é: 
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅3 31000 2 2 2 5 5 5 2 5 . Logo, ( ) ( ) ( )= + ⋅ + = ⋅ =1000 3 1 3 1 4 4 16d . Portanto, 
1000 tem 16 divisores positivos.
Fatorar um número em primos nos apresenta toda a estrutura de 
multiplicação deste número, tornando muito simples determinar o mmc e o mdc 
de um conjunto qualquer de números.
Teorema: ,sejam α β βα= ± … = …1
1 1, , , , e n n n
n na p p b p p . Escolhendo:
{ } { }i i i i i imáx i nmin , e , , 1, ,γ α β δ α β= = = …
tem-se que:
( ) ( )n n
n nmdc a b p p mdc a b p p1 1
1 1, e , γ δγ δ= ⋅…⋅ = ⋅…⋅
Exemplo 30: determinar o mmc e o mdc entre os números 12 e 18.
TÓPICO 3 | NÚMEROS PRIMOS
101
21
2 112 2 3
18 2 3
= ⋅
= ⋅
Resolução: a decomposição dos números citados fica da seguinte forma:
Temos que p1 = 2 e p2 = 3. Além disso, escolheremos:
{ } { }
{ } { }
mín mín
máx máx
1 2
1 2
2,1 1 e 1,2 1
2,1 2e 1,2 2
γ γ
δ δ
= = = =
= = = =
Assim, temos que:
( )
( )
= ⋅ =
= ⋅ =
1 1
2 2
12,18 2 3 6
12, 18 2 3 36
mdc
mmc
Exemplo 31: determinar o mmc e o mdc entre os números 16 e 24.
Resolução: a decomposição dos números citados fica da seguinte forma:
= ⋅
= ⋅
4 0
3 1
16 2 3
24 2 3
Note que foi usado o artifício 30 para igualar os fatores primos de ambos 
valores.
NOTA
Temos que p1 = 2 e p2 = 3. Além disso, escolheremos:
{ } { }
{ } { }
mín mín
máx máx
1 2
1 2
4,3 3 e 0,1 0
4,3 4 e 0,1 1
γ γ
δ δ
= = = =
= = = =
Assim, temos que:
( )
( )
= ⋅ =
= ⋅ =
3 0
4 1
16, 24 2 3 8
16, 24 2 3 48
mdc
mmc
102
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
Para fixar ainda mais e complicar um pouquinho também:
Exemplo 32: determinar o mmc e o mdc entre os números 136 e 180.
Resolução: a decomposição dos números citados fica da seguinte forma:
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
3 0 0 1
2 2 1 0
136 2 3 5 17
180 2 3 5 17
Temos que p1 = 2 e p2 = 3, p3 = 5 e p4 = 17. Além disso, escolheremos:
{ } { } { } { }
{ } { } { } { }
γ γ γ γ
δ δ δ δ
= = = = = = = =
= = = = = = = =
1 2 3 4
1 2 3 4
2,3 2, 0,2 0, 0,1 0 0,1 0
2,3 3, 0,2 2, 0,1 1 0,1 1
mín mín mín e mín
máx máx máx e máx
Assim, temos que:
( )
( )
= ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ =
2 0 0 0
3 2 1 1
136, 180 2 3 5 17 4
136, 180 2 3 5 17 6120
mdc
mmc
Exemplo 33: dados dois números naturais a e b, determine para quais 
pares de números temos que [a,b] = (a,b)2.
Resolução: escrevendo: α β βα= ± … = …1
1 1 e ., , , , n n n
n na p p b p p
Verificamos que a igualdade mmc(a,b) = (mdc(a,b))2 nos diz que: 
{ } { }α β α β= ⋅ = …, 2 , , 1, ,i i i imáx mín i n , isso nos diz que, α β β α= ⋅ = ⋅2 2i i i iou . 
Por exemplo, se a = 20 e b = 50, ou ainda, fatorando, = ⋅ = ⋅22 5 e 2 5²a b , sabemos 
que ( ) ( )= ⋅ = = ⋅ =2 2, 2 5 100 e , 2 5 10mmc a b mdc a b , o que comprova o exemplo. 
Desta forma, em geral, a equação ( ) ( )( )=, ,
r
mmc a b mdc a b , tem soluções para: 
α β β α= ⋅ = ⋅2 2r r r rou .
1. Procure determinar mais casos em que o exemplo acima é válido.
2. Prove que o conjunto dos números primos é infinito usando o Teorema Fundamental 
da Aritmética.
IMPORTANTE
Após conhecermos mais detalhadamente os números primos, definiremos 
e mostraremos alguns exemplos de números primos especiais, tais como os 
primos de Mersenne e Fermat.
103
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• Todo número natural, maior que 1, que só tem como divisores positivos, o 
próprio 1 e ele mesmo, é dito número primo.
• Se p e q são números primos, e a, inteiro qualquer:
I) Se p|q, então p = q;
II) Se p aΠ, temos que (p,a) = 1.
• Sejam, ∈, ,a b p Z , com p primo. Se p|ab, então p|a ou p|b.
• Se p, p1, ... , pn são números primos e, se ⋅…⋅1| np p p , então temos p = pi para 
algum i, com < ≤1 i n .
• Todo número que é maior que 1, é primo ou composto, ou seja, se escreve de 
maneira única como um produto de fatores primos.
• Dado um número inteiro n, com ≠ −0,1, 1n , existem primos p1 < ... < pr e a1 , ... , ar , 
determinados univocamente, onde: αα= ± ⋅…⋅1
1 .r
rn p p
• Nomeando d(n) a quantidade de divisores positivos de n, em que: 
αα= ± ⋅…⋅1
1 .r
rn p p sendo ⋅…⋅1 rp p primos e α α⋅…⋅1 r naturais, temos que: 
( ) ( ) ( )α α α= + ⋅ + ⋅…⋅ +1 21 1 ( 1) rd n .
• Sejam α β βα= ± … = …1
1 1, , , , e n n n
n na p p b p p . 
 Escolhendo: { } { }γ α β δ α β= = = …min , , , 1, , , i i i i i ie máx i n tem-se que: 
( ) n n
n na b p p a b p p1 1
1 1, e , .γ δγ δ= ⋅…⋅   = ⋅…⋅ 
• Em geral, a equação ( ) ( )( )=, ,
r
mmc a b mdc a b , tem soluções para: 
r r r r2 ou 2α β β α= ⋅ = ⋅ .
104
1 Quais dos números a seguir são primos? 
a) ( ) 239.
b) ( ) 241. 
c) ( ) 247. 
d) ( ) 253. 
e) ( ) 1789. 
2 (ENC, 98) Uma das afirmativas a seguir, sobre números naturais, é FALSA. Qual? 
FONTE: Exame Nacional de Cursos - INEP (1998)
a) ( ) Dado um número primo, existe sempre um número primo maior do que ele. 
b) ( ) Se dois números não primos são primos entre si, um deles é ímpar. 
c) ( ) Um número primo é sempre ímpar. 
d) ( ) O produto de três números naturais consecutivos é múltiplo de 6. 
e) ( ) A soma de três números naturais consecutivos é múltiplo de três.
3 Realize a fatoração em números primos (agrupando os fatores) para os 
seguintes números:
a) 12. 
b) 36. 
c) 180. 
d) 234. 
e) 1000. 
f) 12000. 
4 Determine a quantidade de divisores positivos para os números do exercício 3.
 
5 Determine os possíveis valores de m e n inteiros, para os quais ⋅9 10m n 
tenham:
a) 27 divisores positivos.
b) 243 divisores positivos. 
6 Usando a caracterização de mdc e mmc de dois números naturais a e b através 
da fatoração em primos desses números, prove que mdc(a, b).mmc(a, b) = ab.
7 Calcule o mmc e o mdc dos valores a seguir, utilizando a sistemática de γ δ e .i i
a) 12 e 25. 
b) 16 e 36. 
c) 120 e 250. 
d) 48 e 75. 
AUTOATIVIDADE
105
TÓPICO 4
NÚMEROS ESPECIAIS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, definiremos e exemplificaremos alguns números primos 
especiais. Daremos um foco um pouco menos rigoroso e nos preocuparemos mais 
com exemplificar casos de aplicação dos mesmos.
Incialmente, mostraremos os primos conhecidos como Primos de Fermat, 
em homenagem a Pierre de Fermat (1601-1665), um dos primeiros matemáticos a 
estudar a Teoria dos Números teoricamente.
O segundo tema estudado diz respeito aos números primos de 
Mersenne, sendo que é dado este nome em homenagem a Marin Mersenne, 
que é contemporâneo de Fermat e que é muito famoso no estudo da Teoria dos 
Números.
Na sequência, conheceremos um pouco dos números perfeitos, por 
exemplo, 6 e 28, que possuem a propriedade de serem iguais à metade da 
soma dos seus divisores positivos (verifique!). Números estes que já fascinaram 
matemáticos desde os tempos antigos. 
Por fim, neste tópico de números especiais, daremos alguns exemplos de 
como determinar a fatoração de um número n! em primos. Vamos lá?
2 PRIMOS DE FERMAT
Antes de definir o que é um número primo de Fermat, precisaremos de 
um resultado, que será enunciado e provado a seguir.
Proposição 5: dados a e n, dois números naturais maiores que 1. Se an + 1 é primo, 
então temos que a é par e n = 2m, com ∈m N . 
Demonstração: afirmaremos que an + 1 é primo, em que a > 1 e n > 1. Desta forma, 
a forçosamente é par, pois se não o fosse, teríamos que an + 1 seria par e maior que 
2, o que não é possível. 
Por outro lado, se n tivesse outro divisor primo diferente de 2, teríamos 
que n = n´p, com ∈́n N . Portanto, an´ + 1 dividiria (an´)p + 1 = an + 1 , o que contradiz 
o fato de que o último número ser primo. Logo, n é da forma 2m.
106
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
Definição 7 (números de Fermat): os números de Fermat são da forma: 
Fn = 22n + 1.
Exemplos:
= + =
= + =
= + =
= + =
1
2
3
4
2
1
2
2
2
3
2
4
• F 2 1 5
• F 2 1 17
• F 2 1 257
• F 2 1 65537
São os 4 primeiros números de Fermat, e, de fato, são primos. Fermat 
acreditava, sem comprovações, que os números deste formato eram primos. Porém, 
anos mais tarde, Euler mostrou que: = + = = ⋅
52
5F 2 1 4.294.967.297 641 6700417 , 
que é composto, negando os pensamentos de Fermat. Deste modo, apenas os números 
de Fermat, que são primos, são ditos PRIMOS DE FERMAT.
3 NÚMEROS PERFEITOS
Para iniciar as análises acerca dos números perfeitos, necessitamos falar 
de outros tipos de números em uma definição única: os números “deficientes” e 
“abundantes”. Para isso, temos que ter bem claro o conceito dos divisores naturais 
de um número qualquer.
Definição 8: para todo ∈n N , temos:
( )σ =∑
|t n
n t
a soma dos divisores naturais de n.
Exemplos:
( )
( )
( )
( )p p p
• 1 1
• 6 1 2 3 6 12
• 12 1 2 3 4 6 12 28
• 1, se é primo
σ
σ
σ
σ
=
= + + + =
= + + + + + =
= +
TÓPICO 4 | NÚMEROS ESPECIAIS
107
Proposição 6: para algum primo p, seja n = pa. Então:
( )σ
+ −
=
−
1 1
1
a
a pp
p
Demonstração:temos { }…21, , , , ap p p divisores de n, logo, usando a 
definição de soma de uma progressão geométrica de razão p:
( )σ
+
=
−
= = =
−∑ ∑
1
| 0
1
1
aa
a k
t n k
pp t p
p
Observe que:
( )σ = + +…≥ + > ≥1 1 , para todo 2n n n n n
Agora, analisaremos os números naturais, sob o aspecto da comparação 
de ( )σ n com n:
Definição 9: chamaremos um número n de:
a) Deficiente, se ( )σ < 2n n
b) Abundante, se ( )σ > 2n n
c) Perfeito, se ( )σ = 2n n
Exemplos: 
• ( )σ= ⇒ = + + + =15 15 1 3 5 15 24, n mas ( )σ = < ⋅15 24 2 15 . Portanto, 15 é um 
número deficiente.
• ( )σ= ⇒ = + + + + + =12 12 1 2 3 4 6 12 28, n mas ( )σ = > ⋅12 28 2 12 . Portanto, 
12 é um número abundante.
• ( )σ= ⇒ = + + + =6 6 1 2 3 6 12, n mas ( )σ = = ⋅6 12 2 6 . Portanto, 6 é um 
número perfeito.
Mostraremos, agora, resultados importantes para os estudos que serão 
vistos na sequência. Provaremos uma classificação de números perfeitos pares, 
mencionando os teoremas de Euclides e Euler para o assunto em questão:
Teorema:
a) (Euclides): se ≥ 2k é tal que = −2 1kp é primo, então ( )−= −12 2 1k kn é um 
número par perfeito.
108
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
b) (Euler): todo número par perfeito é obtido utilizando o procedimento visto 
em (a).
Demonstração: 
a) Seja ≥ 2k é tal que = −2 1kp é primo. Como sabemos que ( )− − =12 ,2 1 1k kmdc , 
calcularemos:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
σ σ σ σ− − −
−
= − = ⋅ − = + +…+ + = − +
= − ⋅ = ⋅ − =
1 1 1
1
2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2 1 2 .
k k k k k k
k k k k
n p p
n
b) Seja n um númeto perfeito, par. Podemos então escrever n = 2k–1m, sendo 
k m2 e ímpar≥ . Como por hipótese, n é perfeito, temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )σ σ σ σ σ− −= = = = ⋅ = − ⋅1 12 2 2 2 (2 1) k k k km n n m m m
 
A partir disso, segue que −2 1|2k k m . Como o ( )− =2 1, 2 1,k kmdc 
podemos concluir que −2 1|k m . Desta forma, existe um número 
natural M, tal que ( )− =2 1k M m , com ≠M m , pois ≥ 2k . Assim, 
( ) ( ) ( )σ− = = − ⋅2 2 1 2 2 1k k k kM m m , ou seja: ( )σ= ≥ + =2 2 .k kM m m M M
Portanto, temos que ( )σ = +m M m , concluindo assim que M e m 
são os únicos divisores de m. Em particular M = 1 e m = 2k – 1 é primo. Logo: 
( )k k kn 12 2 1 , com 2 1 primo.−= − −
Vejamos, agora, uma tabela com alguns exemplos de números perfeitos, 
criados a partir do teorema demonstrado anteriormente:
TABELA 2 – NÚMEROS PERFEITOS PARES (TERCEIRA COLUNA)
FONTE: O autor
TÓPICO 4 | NÚMEROS ESPECIAIS
109
Não se sabe se existem números perfeitos ímpares. Você pode ler mais 
em Números Perfeitos, disponível em: https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.
php?id=27560.
INTERESSANTE
4 PRIMOS DE MERSENNE
Dando continuidade ao estudo dos números perfeitos, reforçaremos que 
os números da forma 2k – 1 têm muita importância. Os números desta forma são 
chamados de números de Mersenne.
Definição 10: os números da sequência ( )
≥
−
2
2 1k
k
 são chamados 
de números de Mersenne. Notamos: = − = …2 1, com 2,3,4, k
kM k
Desta forma podemos escrever os primeiros números de Mersenne. 
( ) ( )≥
= … − …
2
3,7,15,31,63,127,255,511,1023, ,2 1, k
k k
M .
O que particularmente nos interessa é quando o número Mk é primo. 
Verificaremos uma condição necessária (não suficiente) para que isso ocorra:
Proposição 7: se Mk é primo, então k = p é primo.
Podemos verificar que esta é uma condição apenas necessária, verificando 
o número de Mersenne M11. = = ⋅11 2047 23 89M , não é primo, mesmo que k = 11 
seja.
Sejam 2 a ek≥ ∈N . Se ak – 1 for primo, então a = 2 e k é primo. A demonstração 
do enunciado desta observação é um tanto complexo e nos preocuparemos apenas com 
o resultado, porém, procure exemplos que atestamos.
NOTA
A observação anterior diz que se estamos procurando números Mk primos, 
apenas os números em que k = p primos nos interessam.
110
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
Definição 11: um número Mp, com p primo, chama-se primo de Mersenne, 
se Mp for primo.
Exemplo 34: os primeiros primos de Mersenne, utilizando p = 2,3,5, ... são:
= = = = = = = …2 3 5 7 13 17 193, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, M M M M M M M
 
 Contudo, temos que, …11 23 2923 , 47 , 233| ,M M M . Logo, 
…11 23 29, , ,M M M não são primos de Mersenne.
Em maio de 2004, foi encontrado o maior número primo de Mersenne 
(até o momento). Ele é o 41º na sequência dos primos de Mersenne (p = 24036583). 
M
p
 = 224036583 – 1
Ele possui entre 7 e 8 milhões de dígitos, pois 
= ⋅ = ⋅ ≈ ⋅24036583 6
10log 2 24036583 log 2 24036583 0,30 7,235 10 . O número perfeito 
correspondente, tem cerca de 14 milhões de dígitos: ( )24036582 240365832 2 1P = ⋅ − .
Acesse o link: www.mersenne.org para conhecer o projeto feito para encontrar novos 
números de Mersenne.
DICAS
5 FATORAÇÃO DO FATORIAL EM PRIMOS
Neste ponto de nosso estudo, verificaremos como determinar a fatoração 
de um número n!. Isso é interessante para a resolução de diversos problemas 
matemáticos que envolvem os números inteiros e primos.
Antes de dar início aos estudos, apresentaremos a notação    como sendo 
para representar a parte inteira de uma divisão. Por exemplo:
 
= 
 
4 1
3
Proposição 8: dados ≥ > >0, 0 0a b e c . Temos que:
 
   
=   ⋅  
  
a
ab
c b c
TÓPICO 4 | NÚMEROS ESPECIAIS
111
Demonstração: sejam
 
  
= =   
   
  
1 2 
a
a bq e q
b c
logo, = + ≤ −1 1 1, 1a bq r comr b e
 
= = + 
 
1 2 2 2, a q cq r comr
b
portanto, ( )= + = + + = + +1 1 2 2 1 2 2 1a bq r b cq r r bcq br r . 
Desta forma, como: ( )+ ≤ − + − = −2 1 1 1 1br r b c b bc , segue que q2 é o 
quociente da divisão de a por bc:
 
=  
 
2
aq
bc
Dados um número primo p e um número natural m, definimos por Ep (m) 
o expoente da maior potência de p que divide m, em outras palavras, é o expoente 
da potência de p que aparece na fatoração de m em fatores primos.
Particularmente, Ep (n!) representará a potência de p que aparece na 
fatoração de n! em fatores primos.
Teorema: (Legendre) sejam m um número natural e p um número primo. Então:
( )      
= + + +…     
     
!
² ²p
n n nE n
p p p
Demonstração: inicialmente, verificaremos que temos uma soma finita. Pois 
temos um número natural r, onde pi > n, para todo i > r.
 Portanto,  
= ≥ 
 
0 se i
n i r
p
.
Demonstraremos o resultado por indução sobre n . A fórmula vale 
trivialmente para n = 0. Suponha que o resultado vale para qualquer natural m 
com m < n Sabemos que os múltiplos de p entre 1 e n são:
112
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
p, 2p, ...,
Portanto, pela hipótese de indução, temos que:
Para calcular Ep (n!) faz-se uso do seguinte algoritmo:
 
 
 
 n p
p
    
= −          
( !) !p p
n nE n E
p p
−
= +
= +
= +
1 1
1 2 2
1
 
 
.....
 s s s
n pq r
q pq r
q pq r
Como q1 > q2 > ..., seguem-se que, para alguns s, tem-se que. Portanto, 
seguem-se que.
( )= + + +1 2! ... sE n q q q
Exemplo 35: determinaremos a decomposição de 10! Em fatores primos.
Para resolvermos o problema, devemos achar Ep (10!) para todo primo 
≤ 10p . Então: 
( )
( )
( )
( )
= + + = + +
= + = +
= =
= =
2
3
5
7
10 10 1010! 5 2 1
2 2² 2³
10 1010! 3 1
3 3²
1010! 2
5
1010! 1
7
E
E
E
E
Segue que = ⋅ ⋅ ⋅8 4 2 10! 2 3 5 7 .
Teorema: sejam p, n inteiros positivos, com p primo. Suponha que:
−
−= + +…+ +1
1 1 0
r r
r rn n p n p n p n
TÓPICO 4 | NÚMEROS ESPECIAIS
113
Então:
− + +
=
−
0 1( )
( !)
1
r
p
n n n n
E n
p
Demonstração: sabendo que ≤ ≤0 n p , temos:
− −
−
−
−
 
= + +…+ + 
 
 
= +…+ 
 
 
= 
−
 
1 2
1
2
12
2 1
2
r r
r r
r
r r
rr
n n p n p n p n
p
n n p n n
p
n n
p
p
Portanto,
−
−
−
− −
      
= − − − =      
       
− −
+ + + =
− −
+ + + + − + + + +
=
−
− + + +
−


 

2 3
2
1 1
1
1 1 0 1 1 0
0 1
( !)
1 1
1 1
( )
1
( )
1
p r
r r
r r
r rr r p r r
r
n n n nE n
p p p p
p pn n n
p p
n p n p n n n n n n
p
n n n n
p
Exemplo 36: determinar a potência de 3 na decomposição de 53! em 
fatores primos. 
Resolução: primeiramente escrevemos 53 na base 3, isto é: 53 = (1222)3
Aplicando o Teorema demonstrado anteriormente:
( ) ( )− + + +
= =
−3
53 1 2 2 2
53! 23
3 1
E
114
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
Na sequência, verificaremos mais sobre os matemáticos que ao longo 
da história tiveram trabalhos relevantes acerca dos números primos. A leitura 
complementar que segue abordará brevemente a história e a contribuição de cada 
matemático.
Usando agora o Teorema de Legendre para comprovação:
( )      
= − − = + + =     
     
3 2 3
53 53 5353! 17 5 1 23
3 3 3
E
TÓPICO 4 | NÚMEROS ESPECIAIS
115
LEITURA COMPLEMENTAR
[...] 
NÚMEROS PRIMOS E SEUS ADMIRADORES
Karla Valéria Caldas Mota
1 Pitágoras
Pitágoras (582 a.C.-497 a.C.) matemático e lósofo grego; nasceu na ilha 
de Samos na Grécia. Desde muito jovem impressionava seus professores com 
suas habilidades. Aos 16 anos, foi enviado para Mileto, para estudar com Tales, o 
maior sábio da época.
Os primeiros passos do desenvolvimento da teoria dos números e o 
lançamento do futuro misticismo numérico, foram dados por Pitágoras e seus 
seguidores movidos pela loso a da fraternidade.
Fundou em Crótona, ao sul da Itália, uma escola losó ca. Os seus discípulos 
denominavam-se de pitagóricos. Pitágoras desenvolveu grandes estudos na área 
da matemática, astronomia, música, medicina e científica. Entre suas descobertas 
sobre a matemática, está a classi cação dos números em primos ou compostos, 
pares ou ímpares.
No estudo de sons musicais, descobriu uma relação entre a altura da nota 
emitida e o comprimento da corda. As relações que produziam sons harmoniosos, 
obedeciam a uma proporção dos números inteiros. Assim, Pitágoras concluiu 
que havia uma música que representava as relações numéricas da natureza e que 
constituía sua harmonia interior.
2 Euclides
Euclides (305 a.C.-275 a.C. ) foi um dos mais famosos geômetras da 
antiguidade, sendo conhecido como o pai da Geometria. Escreveu uma obra, 
intitulada Os Elementos. Esta obra é composta de 13 volumes. O seis primeiros 
versam sobre Geometria Plana, os Volumes 7 a 9 tratam de Teoria dos Números; 
o livro X estuda a classificação dos incomensuráveis irracionais (não podem ser 
medidos); por fim os 3 últimos volumes abordam Geometria no Espaço. Estudou 
em Atenas com os sucessores de Platão, foi professor de Matemática na Escola 
Real de Alexandria no Egito.
Sobre números primos Euclides provou um importante resultado 
que caracteriza uma das principais propriedades dos números primos. Uma 
consequência muito importante deste resultado é o Teorema Fundamental da 
116
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
Aritmética que afirma que todo número inteiro pode ser decomposto como um 
produto de fatores primos, ou seja, os números primos é o bloco fundamental da 
teoria dos números.
3 Eratóstenes de Cirene
Eratóstenes (276 a.C.-196 a.C.) foi criado em Cirene, cidade grega ao norte 
da África. Estudou em Alexandria, no Egito, e depois em Atenas, retornando a 
Alexandria em 255 a.C., onde se estabeleceu.
Escreveu sobre matemática, astronomia, geografia, história e fez críticas 
literárias. Conhecido como Beta foi escolhido para a administração da biblioteca 
de Alexandria, cargo que aceitou em 240 a.C.
Umas das contribuições para os estudos da matemática foi o 
desenvolvimento de um procedimento chamado de Crivo de Eratóstenes, em que 
desenvolveu um método para determinar, não com uma fórmula, mas com uma 
tabela os números inteiros primos, numerados de 0 a um determinado valor.
Porém, a dificuldade é que quanto maior for o número, mais difícil de 
aplicar o Crivo de Eratóstenes, pois o esforço aliado ao tempo gasto começará a 
aumentar e dificultará o seu desenvolvimento. 
4 Fermat
O matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665) é famoso pela 
amplitude e excelência dos trabalhos feitos na parte de teoria dos números. Fermat 
nasceu na França e foi conhecido como o Príncipe da Matemática. Filho de um rico 
mercador que lhe proporcionou educação privilegiada, tendo a advocacia como 
pro ssão, dedicava-se a matemática apenas em suas horas de lazer, considerando 
apenas como o seu passatempo.
Os seus trabalhos apresentam caráter amador e na grande maioria não 
foram publicados enquanto ainda estava vivo. Uma parte do que se sabe de suas 
descobertas provém de anotações feitas em uma edição das obras de Diofanto. 
Amador mas foi considerado por Pascal como o maior matemático de sua época.
5 Mersenne
Marin Mersenne (1588-1648) foi um padre e estudioso com interesses 
matemáticos. Mersenne lamentava o fato de não existir naquela época uma 
organização formal onde os estudiosos pudessem se encontrar regularmente 
para trocar e discutir ideias e descobertas, disponibilizando assim seu próprio 
quarto no convento de Minims, onde ocorreram os primeiros encontros regulares 
de matemáticos que decorreram continuamente até sua morte em 1648.
TÓPICO 4 | NÚMEROS ESPECIAIS
117
Mantinha contato com nomes importantes no domínio do conhecimento 
através de uma elaborada rede de correspondência que transmitiam divulgações 
dos avanços científicos. Deste modo, estimulou o desenvolvimento científico. 
Depois da sua morte, foram encontradas cartas de 78 correspondentes espalhados 
pela Europa, entre os quais Fermat em França, Huygens na Holanda, Pell e 
Hobbes na Inglaterra e Galileu e Torricelli na Itália.
Na matemática sua maior contribuição foi na teoria dos números. 
Mersenne tentou definir uma fórmula que descrevesse todos os números primos. 
Estudou música, onde desenvolveu a teoria da ressonância natural e também 
combinações e permutações com o objetivo de contabilizar sequências de notas 
musicais.
6 Euler
Leonhard Euler (1707-1783) foi o matemático mais prolífico na história. 
Os estudos de Euler na teoria dos números foram embasados nas obras de Pierre 
de Fermat. Euler desenvolveu algumas das ideias de Fermat, e refutou algumas 
das suas conjecturas. 
Foram inúmeros teoremas, demonstrações na parte de teoria dos números, 
contribuindo de forma bastante significativa. Suas ideias foram a base para os 
estudos de Carl Friederich Gauss. Euler introduziu e provocou a expansão da 
função zeta de Riemann, uma generalização, que mais tarde recebeu o nome de 
Bernhard Riemann.
7 Gauss
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é considerado um dos maiores 
matemáticos de todos os tempos. Contribuiu praticamente para todos os ramos 
da matemática e para a teoria dos números, área esta que lhe chamava bastante 
atenção.
Conta-se que um professor de Matemática mandou aos alunos de sua 
turma que somassem de 1 a 100, como forma de castigo. Tarefa que Gauss cumpriu 
quase que de imediato com a utilização de um raciocínio que fascinou o professor. 
Sua tese de doutorado foi a primeira demonstração do teorema fundamental da 
álgebra.
8 Dirichlet
Dirichlet (1805-1859), nasceu na Alemanha onde seu pai era chefe dos 
correios. Foi o responsável pela de noção formal de função.
De 1828 até o ano de seu falecimento, Dirichlet trabalhou na Faculdade 
Militar de Berlim, no Colégio Militar e na Universidade de Gottingen, onde 
substituiu Gauss. Estudou os números primos em progressões aritméticas.
118
UNIDADE 2 | ALGORÍTMO DE EUCLIDES E NÚMEROS PRIMOS
9 Riemann
Bernhard Riemann (1826-1866) foi um dos matemáticos que também 
estudou a busca pelos números primos, mesmo não sendo da área de seu interesse, 
a teoria dos números.
Riemann teve a ideia de unir uma função, que teve o nome de função 
Zeta, para todos os números complexos, de modo que tivessem a parte real maior 
que 1.
A hipótese de Riemann é uma armação matemática de que é possível 
decompor os números primos em música. Dizer que existe música nos primos é 
uma forma poética de descrever esse teorema matemático.[...]
FONTE: MOTA, K. V. C. O mistério e a beleza dos números primos. Disponível em: https://
repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/8142/5/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Karla%20
Val%C3%A9ria%20Caldas%20Mota%20-%202017.pdf. Acesso em: 25 jan. 2020.
119
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, você aprendeu que:
• Os números de Fermat são da forma: Fn = 22n +1,
• Para todo ∈n N , temos:
( )σ =∑
|t n
n t
• A soma dos divisores naturais de n.
• Para algum primo p, seja n = pa. Então:
( )σ
+ −
=
−
1 1
1
a
a pp
p
• Chamaremos um número n de:
a) Deficiente, se ( )σ < 2n n
b) Abundante, se ( )σ > 2n n
c) Perfeito, se ( )σ = 2n n
• Os números da sequência ( )
≥
−
2
2 1k
k
 são chamados de números de Mersenne. 
= − = …2 1, 2,3,4, k
kM com k
• Um número Mp, com p primo, chama-se primo de Mersenne, se Mp for primo.
• Sejam m um número natural e p um número primo. Então:
( )      
= + + +…     
     
!
² ²p
n n nE n
p p p
• Sejam p,n inteiros positivos, com p primo. Suponha que:
−
−= + +…+ +
− + + +
=
−

1
1 1 0
0 1
 Então:
( )
( !)
1
r r
r r
r
p
n n p n p n p n
n n n n
E n
p
Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem 
pensando em facilitar tua compreensão. Acesse o QR Code, que te levará ao 
AVA, e veja as novidades que preparamos para teu estudo.
CHAMADA
120
1 Mostre que todo divisor de um número de Fermat Fn é da forma 4m + 1.
2 Classifique em números abundantes, deficientes e perfeitos:
a) 14.
b) 28.
c) 15.
d) 6.
e) 30.
3 Decomponha os seguintes números em fatores primos:
a) 8!
b) 12!
c) 24! 
d) 30!
4 Determine a potência de 5 na decomposição de 75! em fatores primos.
 
5 Ache as maiores potências de 2 e de 5 que dividem 10000. 
 
6 (ENC, 2002) Qual é o menor valor do número natural n que torna n! divisível 
por 1000!.
FONTE: Exame Nacional de Cursos - INEP (2002)
AUTOATIVIDADE
121
UNIDADE 3
CONGRUÊNCIA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• conhecer as propriedades e as estrutura de congruências;
• reconhecer como a congruência pode ser aplicada na resolução de proble-
mas;
• desenvolver a capacidade para demonstração de propriedades e proble-
mas com divisibilidade;
• aplicar métodos de resolução em problemas com sistemas de congruência;
• compreender o sistema de criptografia ao longo da história.
Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No decorrer da unidade 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – CONCRUÊNCIAS
TÓPICO 2 – APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA
TÓPICO 3 – CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES RESIDUAIS
TÓPICO 4 – NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA
Preparado para ampliar teus conhecimentos? Respire e vamos em 
frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverás 
melhor as informações.
CHAMADA
122
123
TÓPICO 1
CONCRUÊNCIAS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, apresentaremos uma das noções mais importantes na 
aritmética, introduzida pelo matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss 
(1777-1855). Trata-se da construção de uma aritmética desenvolvida a partir 
dos restos da divisão euclidiana, publicada no ano 1801, por Gauss, no seu livro 
Disquisitiones Arithmeticae.
Você pode ver o trabalho de Gauss em uma versão digital: Disquisitiones 
Arithmeticae. Disponível em: http://epsaleph.tripod.com/sitebuildercontent/sitebuilderfiles/
disquisitionesarithmeticae.pdf.
DICAS
Primeiramente, definiremos a Aritmética dos Restos e apresentaremos 
vários resultados importantes que serviram como ferramentas para desenvolver 
o estudo de várias situações.
2 ARITMÉTICA DOS RESTOS
Vamos iniciar nossos estudos refletindo sobre a introdução dada deste 
tópico, enfatizando a seguinte pergunta: como pode ser possível tirar algo de 
proveitoso dos restos de divisões entre números inteiros?
A resposta para essa pergunta será logo respondida e acreditamos que 
você ficará maravilhado por este novo conceito proposto e desenvolvido por 
Gauss.
Uma das aplicações da aritmética modular é no relógio de ponteiro, em 
que temos o dia sendo dividido em dois períodos de 12 horas. Se agora são 7h, 
então, passando-se 8h serão 3h. O comum seria pela adição usual que 8 + 7 = 15, 
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
124
mas não, no relógio de ponteiros temos uma “volta” a cada 12 horas. Como cada 
ciclo é a cada 12h, dizemos que estamos diante de uma aritmética de módulo 12. 
Veremos como isso funciona após a seguinte definição.
Definição 1: seja m um número natural diferente de zero. Diremos que dois 
números inteiros a e b são congruentes módulo m se os restos de sua divisão 
euclidiana por m são iguais. Quando os inteiros a e b são congruentes módulo 
m, denota-se: a ≡ b (mod m).
Antes de apresentarmos alguns exemplos, perceba que essa definição é 
bem intuitiva. Bastam ter dois números a e b que deixam o mesmo resto, quando 
divididos por um certo número m.
Exemplo 1: 
15 ≡ 7 (mod 2), pois os restos da divisão de 15 e de 7 por 2 são iguais a 1.
10 ≡ 24 (mod 7), pois os restos da divisão de 10 e de 24 por 7 são iguais a 3.
17 ≡ –1 (mod 6), pois os restos da divisão de 17 e de –1 por 6 são iguais a 5.
–6 ≡ 14 (mod 5), pois os restos da divisão de –6 e de 14 por 5 são iguais a 4.
No caso dos números negativos, para termos um resto positivo, devemos 
acrescentar o divisor até que obter um número positivo. Pelo último exemplo houve a 
necessidade de acrescentar duas vezes o 5.
IMPORTANTE
Quando a congruência não for atendida, diremos que a e b não são 
congruentes ou que são incongruentes, módulo m. A notação feita para este caso 
é ( ) a b modm≡ .
É natural pensarmos que a congruência, Módulo 1, é totalmente 
desinteressante, pois todos deixam zero como resto. Logo, é fundamental 
comentar que estudaremos apenas os casos em que m > 1. Apresentaremos 
algumas propriedades que decorrem imediatamente da definição.
Proposição 1: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b e c inteiros quaisquer. 
Valem as propriedades:
i) a ≡ a (mod m) (Reflexiva);
ii) Se a ≡ b (mod m), então b ≡ a (mod m) (Simétrica);
iii) Se a ≡ b (mod m) e se b ≡ c (mod m), então a ≡ c (mod m) (Transitiva).
TÓPICO 1 | CONCRUÊNCIAS
125
Exemplo 2:
• Para o item i), é imediato ver que 4 ≡ 4 (mod 3), pois ambos deixam o mesmo 
resto 1.
• No item ii), é evidente perceber que se 5 ≡ 8 (mod 3), ou seja, 5 e 8 deixam o 
mesmo resto na divisão por 3, logo, 8 ≡ 5 (mod 3), também valerá, pois, apenas 
estamos trocando a ordem da observação.
• O item iii) é mais curioso. Suponha 5 ≡ 8 (mod 3) e 8 ≡ 14 (mod 3), logo, é natural 
perceber que se 5 e 8 deixam o mesmo resto na divisão por 3, qualquer número 
que deixar o mesmo resto, como 14, pode tornar a congruência transitiva em 
5 ≡ 14 (mod 3).
Apesar de termos definido que, para a congruência existir entre dois 
números, ambos devem produzir o mesmo resto pela divisão euclidiana, há uma 
outra forma muito convencional para realizar está comparação.
Proposição 2: suponha que ∈ , ,a b m Z , com m > 1. Tem-se que a ≡ b (mod m) se, e 
somente se, − ⇔ − = ⇔ = +|m b a a b km a km b .
Demonstração: sejam a = mq + r, com r < m e b = mq' + r', com r' < m, as divisões de 
a e b por m, respectivamente. Logo,
( ) ( )
− = + − +
− = − + −
′ ′
′ ′
 
 .
b a mq r mq r
b a m q q r r
Como, a ≡ b (mod m) implica em os restos serem iguais, r' = r. Isso torna a 
igualdade anterior equivalente a b – a = m(q'– q), o que mostra que m|b – a. A volta 
da demonstração fica a cargo do leitor.
Exemplo 3: verifique se vale a congruência 23 ≡ 95 (mod 8).
Resolução: perceba que a congruência é válida se 8|95 – 23, ou seja, se 
8|72, o que é verdade. Portanto, a congruência é válida.
Um fato que podemos perceber é que todo número natural será congruente 
módulo m, ao seu resto quando dividido m. Sendo assim, todo número é 
congruente módulo m, a um dos números 0, 1, ..., m – 1. Além disso, ao escolher 
dois desses números distintos, a congruência não existirá.
Paraachar o resto da divisão de um número a por m, basta achar o 
número natural r dentre os números 0, 1, ..., m – 1 que seja congruente 
a a módulo m. Chamaremos de sistema completo de resíduos módulo 
m a todo conjunto de números naturais cujos restos pela divisão por m 
são os números 0, 1, ..., m – 1, sem repetições e numa ordem qualquer. 
Portanto, um sistema completo de resíduos módulo m possui m 
elementos. É claro que, se a1, ... am são m números naturais, dois a dois 
não congruentes módulo m, então eles formam um sistema completo 
de resíduos módulo m. De fato, os restos da divisão dos ai por m são 
dois a dois distintos, o que implica que são os números 0, 1, ..., m – 1 em 
alguma ordem (HEFEZ, 2016, p. 111).
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
126
Veremos, agora, algumas propriedades separadamente que mostraram 
como essa ferramenta é poderosa por ter uma afinidade de equivalência 
compatível com as operações elementares de adição e multiplicação nos inteiros.
Propriedade 1: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b dois inteiros 
quaisquer. Se a ≡ b (mod m) e se n|m, com n > 0, então a ≡ b (mod n).
Demonstração: como ( ) a b modm a b km≡ ⇒ − = e ⇒ =|n m m nq em que k e p > 0 
são inteiros, portanto, ( ) ( ) .a b km a b kq n a b modn− = ⇒ − = ⋅ ⇒ ≡
Exemplo 4: note que ( )≡21 69 12mod , pois ambos deixam 9 como resto. 
Porém, como 2, 3, 4 e o 6 dividem o 12, podemos escrever as seguintes congruências 
pela propriedade anterior:
• ≡21 69 (mod 2), o que é verdade, e deixam resto 1;
• ≡21 69 (mod 3), o que é verdade, e deixam resto 0;
• ≡21 69 (mod 4), o que é verdade, e deixam resto 1;
• ≡21 69 (mod 6), o que é verdade, e deixam resto 3.
Propriedade 2: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c, d inteiros 
quaisquer. Se ( ) a b modm≡ e se ( ) c d modm≡ , então ( ) a c b d modm+ ≡ + . 
Demonstração: se ( ) a b mod m≡ e ( ) c d modm≡ , então existem inteiros h e k tais 
que a – b = hm e c – d = km. Portanto: (a + c) – (b + d) = (a – b) + (c – d) = (h + k)m 
mostrando que ( ) a c b d modm+ ≡ + .
Exemplo 5: sejam as congruências ( )17 22 5mod≡ e ( )9 11 5mod≡ − . Então, 
pela propriedade anterior, vale a relação entre as congruências, da seguinte forma:
( ) ( )
( )
17 9 22 11 5
26 11 5 .
mod
mod
+ ≡ + −
≡
O que é verdade, pois ambos deixam 1 como resto, ou, ainda, porque, 
conforme provado anteriormente, 5|11 – 26.
Propriedade 3: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c, d inteiros 
quaisquer. Se ( ) a b modm≡ e se ( ) c d modm≡ , então ( ) ac bd modm≡ . 
Demonstração: se ( ) a b modm≡ e ( ) c d modm≡ , então existem inteiros h e k tais 
que a – b = hm e c – d = km, ou ainda, a = b + hm e c = d + km.
Portanto: ( )( )
( )
− = + + −
= + + + −
= + +
2 
 
ac bd b hm d km bd
bd bkm dhm hkm bd
bk dh hkm m
TÓPICO 1 | CONCRUÊNCIAS
127
mostrando que ( ) ac bd modm≡ .
Exemplo 6: sejam as congruências ( )3 15 4mod≡ e ( )6 2 4mod≡ . Então 
pela propriedade anterior, vale a relação entre as congruências, da seguinte forma 
( )3 6 15 2 4mod⋅ ≡ ⋅ .
( )18 30 4 .mod≡ O que é verdade, pois, ambos deixam 2 como resto, ou, 
ainda, porque, 4|30 – 18.
Dessas duas propriedades, podemos tirar duas importantes decorrências. 
A primeira mostrará que o cancelamento em relação à adição é válido em qualquer 
situação, enquanto, para o cancelamento na multiplicação, exige especificações 
para cada situação.
Propriedade 4: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c, d inteiros 
quaisquer. ( ) ( )Se a c b c modm a b modm+ ≡ + ⇔ ≡ .
Demonstração: se ( ) a b mod m≡ , segue-se imediatamente da proposição 
anterior que ( ) a c b c modm+ ≡ + , pois ( ) c c modm≡ . Reciprocamente, se 
( ) a c b c modm+ ≡ + , então m|b (b + c) – (a + c), o que implica que m|b – a e, 
consequentemente, ( ) a b mod m≡ .
Exemplo 7: para ( )10 26 4mod≡ , podemos realizar as seguintes operações:
Acrescentar 5
( )
( )
10 5 26 5 4
15 31 4
mod
mod
+ ≡ +
≡
O que válido, pois, ambos deixam 3 como resto.
Diminuir 9
( ) ( ) ( )
( )
10 9 26 9 4
1 17 4
mod
mod
+ − ≡ + −
≡
O que válido, pois, ambos deixam 1 como resto.
Propriedade 5: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c inteiros 
quaisquer. Se
( ) ( ) .
,
mac bc modm a b mod
mdc c m
 
≡ ⇔ ≡   
 
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
128
Demonstração: como
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 e são primos entre si, temos que
, ,
 
, ,
| .
, ,
m c
mdc c m mdc c m
m cac bc modm m b a c b a
mdc c m mdc c m
m mb a a b mod
mdc c m mdc c m
≡ ⇔ − ⇔ −
 
⇔ − ⇔ ≡   
 
Exemplo 8: usando da propriedade anterior podemos escrever a congruência 
( )16 22 6mod≡ como ( )8 2 11 2 6 .mod⋅ ≡ ⋅ Note que o mdc(2,6) = 2, logo, podemos 
cancelar o 2 nas multiplicações e dividir o valor do módulo também, obtendo 
( )8 11 3 .mod≡
Uma conclusão imediata sobre essa propriedade, de fácil percepção, é que 
se o mdc(c, m) = 1, o cancelamento pode ser realizado, sem que haja modificação 
no valor do módulo. Ainda sobre multiplicação ou divisão nas congruências, 
apresentaremos mais dois casos. 
Propriedade 6: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c inteiros 
quaisquer. ( ) ( )Se e se 0 , então a b modm c ac bc modmc≡ > ≡ ;
Demonstração: se ( ) a b modm a b km≡ ⇒ − = multiplicando esta igualdade por 
um c > 0 e inteiro, logo ( ) ( ) a b km ac bc k mc ac bc mod mc− = ⇒ − = ⋅ ⇒ ≡ .
Exemplo 9: usando da propriedade anterior, a congruência ( )5 11 3mod≡ 
pode ser multiplicada por 2 e apresentar a seguinte configuração: 
( )
( )
5 2 11 2 3 2
10 22 6 .
mod
mod
⋅ ≡ ⋅ ⋅
≡
Propriedade 7: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a , b inteiros quaisquer. 
Demonstração: como ( ) a b modm a b km≡ ⇒ − = dividindo esta igualdade por 
um d > 1 e inteiro, logo:
( ) a b m a b ma b km k mod
d d d d d d
 
− = ⇒ − = ⋅ ⇒ ≡  
 
( ) Se e se , , são todos divisíveis pelo inteiro 1, então . a b ma b modm a b m d mod
d d d
 
≡ > ≡  
 
( ) Se e se , , são todos divisíveis pelo inteiro 1, então . a b ma b modm a b m d mod
d d d
 
≡ > ≡  
 
TÓPICO 1 | CONCRUÊNCIAS
129
Exemplo 10: é intuitivo perceber que a congruência ( )30 54 12mod≡ possui 
divisores comuns aos três valores, 2, 3 e o 6. Dessa forma, usando da propriedade 
anterior, podemos efetuar as divisões e encontrar os seguintes resultados:
• Para o 2:
( )
30 54 12 
2 2 2
15 27 6
mod
mod
 
≡  
 
≡
O que válido, pois, ambos deixam 3 como resto.
• Para o 3:
( )
30 54 12 
3 3 3
10 18 4
mod
mod
 
≡  
 
≡
O que válido, pois, ambos deixam 2 como resto.
• Para o 6:
Propriedade 8: seja m um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b inteiros quaisquer. 
Se ( ) a b modm≡ então ( )≡ n na b modm para todo ∈n N .
Demonstração: usando o Teorema da indução Matemática, a proposição é verdadeira 
para n = 1, e suposta verdadeira para o inteiro positivo k temos: ( ) k ka b modm≡ e 
( ) a b modm≡ . Portanto, pela proposição XX,
( )
30 54 12 
6 6 6
5 9 2
mod
mod
 
≡  
 
≡
( )
( )1 1
 
 
k k
k k
a a b b modm
a b modm+ +
⋅ ≡ ⋅
≡
isto é, a proposição é verdadeira para o inteiro positivo k + 1. Logo, a proposição 
é verdadeira para todo inteiro positivo n.
Exemplo 11: mostre que para todo ∈n N , ( )210 1 11n mod≡ .
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
130
Resolução: sabemos que ( )210 100 1 11mod= ≡ pois = ⋅ +100 9 11 1 . 
Portanto, usando da proposição anterior, podemos elevar os dois lados a ∈n N 
( ) ( )210 1 11 .
n n mod≡
Aplicando a propriedade da potência (que multiplica as potências), 
e sabendo que 1 elevado a qualquer número resulta nele mesmo temos 
( )210 1 11n mod≡ o que demonstra a congruência solicitada.
Exemplo 12: ache o resto da divisão de 521 por 127.
Resolução: temos que: como 53 = 125, então ( )35 2 127 .mod≡ − 
Usando da proposição anterior, podemoselevar os dois lados a 7, obtendo 
( ) ( ) ( )≡ −
7 735 2 127 .mod
Como ( ) ( )7
2 126 1 127mod− = − ≡ − , logo, aplicando a propriedade da 
potência no lado esquerdo e realizando a troca verificada, temos
( )
( )
21
21
 5 1 127
5 126 127
mod
mod
≡ −
≡
Portanto, é 126 o resto desta divisão.
Exemplo 13: mostre que 198n – 1 é divisível por 17.
Resolução: inicialmente, perceba que ( )19 2 17 .mod≡ Elevando os dois 
lados a quarta potência, obtemos
( )
( )
( )
4 4
4 4
4
19 2 17
19 2 17
19 1 17
mod
mod
mod
≡
≡
≡ −
Elevando agora, os dois lados ao quadrado, obtemos o resultado desejado
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 24
8
8
19 1 17
19 1 17
 19 1 17
mod
mod
mod
≡ −
≡
≡
Mostrando que 198n – 1 é divisível por 17.
Propriedade 9: sejam ∈,a b Z . Se m1, ..., mr são inteiros maiores que 1, temos que 
( ) ( )( )≡ ∀ = … ⇔ ≡ …1 , 1, , , , .i ra b mod m i r a b mod mmc m m
TÓPICO 1 | CONCRUÊNCIAS
131
Demonstração: se ( ) ia b modm≡ ; = …1, , i r , então −|im b a , para todo i. Sendo 
b – a um múltiplo de cada mi, segue-se que ( )… −1 , , |rmmc m m b a , o que prova que 
( )( )1 , , ra b mod mmc m m≡ … . A recíproca, decorre da primeira propriedade vista 
em congruência.
Exemplo 14: encontre o menor múltiplo de 5, que deixa resto 1 quando 
dividido por 2, 3 e 4.
Resolução: o problema pode ser descrito pelas congruências
( )
( )
( )
5 1 2 ,
5 1 3
5 1 4 .
X mod
X mod
X mod
≡
≡
≡
Usando da propriedade anterior, e como mmc(2,3,4) = 12, o problema 
torna-se 5X = 1 (mod 12). Entretanto, resolver está congruência é equivalente a 
resolver uma Equação Diofantina, dada por
− =
− =
5 1 12
5 12 1.
X Y
X Y
Pelo algoritmo de Euclides
2 2 2
12 5 2 1
2 1 0
Logo, podemos escrever os restos como 
Substituindo uma na outra, obtemos 
= − ⋅
= − ⋅
1 5 2 2
2 12 2 5
( )= − ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅
1 5 2 12 2 5
1 5 5 2 12
Portanto, uma solução particular é x0 = 5 e y0 = –2. Logo, a solução geral do 
problema é dada por x = 5 + 12t e y = –2 –5t, ∈ .t Z
 
Como queremos o menor múltiplo de 5, e este podemos encontrar em X, é 
intuitivo perceber que t = 0, proporcionando x = 5, pois, qualquer outro, tornaria 
um número maior. Portanto, o menor valor positivo no X que é uma solução da 
Equação Diofantina 5X – 12Y = 1, e da congruência ( )5 1 12X mod≡ , é o x = 5, o nos 
mostra que ⋅ =5 5 25 é o número procurado.
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
132
Perceba que multiplicamos o resultado por 5, pois, tínhamos apenas 
encontrado o valor X, e não o múltiplo de 5 que se soluciona o problema.A
NOTA
Seria possível continuar com muitos outros exemplos, e, em cada 
situação, alguma estratégia para sua solução. Porém, agora, cabe a você realizar 
as autoatividades e colocar em prática todo o conceito aprendido.
No próximo tópico, estudaremos muitas outras aplicações desta ferramenta 
importantíssima para a matemática, a congruência, entre elas, destacamos o 
Pequeno Teorema de Fermat e o teste de divisibilidade.
133
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que:
• Se m é um número natural diferente de zero, diremos que dois números inteiros 
a e b são congruentes módulo m, se os restos de sua divisão euclidiana por 
m são iguais. Quando os inteiros a e b são congruentes módulo m, escreve-se 
( ) .a b modm≡
• Se supormos ∈, ,a b m Z , com m > 1. Tem-se que ( ) .a b modm≡ se, e somente se, 
− ⇔ − = ⇔ = +|m b a a b km a km b .
• Se m é um inteiro positivo fixo (m > 1) e sejam a, b, c, d inteiros quaisquer, então:
(i) Se ( ) .a b modm≡ e se n|m, com n > 0, então ( ) a b modn≡ .
(ii) Se ( ) .a b modm≡ e se ( ) c d modm≡ , então ( ) a c b d modm+ ≡ + . 
(iii) Se ( ) .a b modm≡ e se ( ) c d modm≡ , então ( ) ac bd modm≡ .
(iv) ( ) ( )Se a c b c modm a b modm+ ≡ + ⇔ ≡ ;
(v) ( ) ( )Se .
,
mac bc modm a b mod
mdc c m
 
≡ ⇔ ≡   
 
(vi) ( ) ( )Se e se 0 , então a b modm c ac bc modmc≡ > ≡ ;
(vii) ( )Se e se , , são todos divisíveis pelo inteiro a b modm a b m≡
 1, então .a b md mod
d d d
 
> ≡  
 
(viii) Se ( ) .a b mod m≡ então ( ) n na b modm≡ para todo ∈n N .
• Se tivermos ∈,a b Z , e também, m1, ..., mr inteiros maiores que 1, temos que 
( ) ( )( )1 , 1, , , , .i ra b modm i r a b mod mmc m m≡ ∀ = … ⇔ ≡ …
134
1 Classifique (V) para verdadeiro e (F) para falso as congruências a seguir.
AUTOATIVIDADE
( )
( )
( )
( )
( )
( )
a) ( ) 91 0 7
b) ( ) 3 5 7 5 10
c) ( ) 437 68 3
d) ( ) 326 123 7
e) ( ) 42 1 7
f) ( ) 76 2 6
mod
mod
mod
mod
mod
mod
≡
+ + ≡
≡
≡
≡
≡ −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
g) ( ) 45 13 4
h) ( ) 17 1 3
i) ( ) 21 6 5
j) ( ) 2 2 4
k) ( ) 12 45 11
l) ( ) 23 101 4
mod
mod
mod
mod
mod
mod
− ≡ −
≡ −
≡
≡ −
− ≡
− ≡
2 Sabendo-se que ( )726 675 mod m≡ , ache todos os possíveis valores do 
módulo m. 
3 Ache todos os inteiros x tais que:
a) ( )0 15 e 3 6 15x x mod< < ≡ .
b) ( )1 100 e 7 17x x mod< < ≡ .
4 Sabendo-se que ( )1 mod 4k ≡ , mostrar que ( )6 5 3 mod 4k+ ≡ .
5 Ache o resto da divisão:
a) de 710 por 51.
b) de 2100 por 11.
c) de 14256 por 17.
d) de 1212 por 5.
e) de 4165 por 7.
6 Mostre que para todo ∈�n , mostre que:
a) 1016n – 1 é divisível por 70.
b) 31000 + 3 é divisível por 28.
(Dica item a: mostre é divisível por 7 e por 10)
7 Mostre que para todo ∈�n , mostre que ( )2 110 1 mod 11n+ ≡ − .
135
8 (ENC, 2000) Se ( )2 1 mod 5x ≡ , então,
FONTE: Exame Nacional de Cursos – INEP (2000)
a) ( ) ( )1 5 .x mod≡
d) ( ) ( )2 5 .x mod≡
c) ( ) ( )4 5 .x mod≡
d) ( ) ( )1 5 .x mod≡ ou ( )4 5 .x mod≡
e) ( ) ( )2 5 .x mod≡ ou ( )4 5 .x mod≡
9 Encontre o menor múltiplo positivo de 7 que deixa resto 1 quando dividido 
por 2, 3, 4, 5 e 6.
10 Encontre o menor múltiplo positivo de 6 que deixa resto 1 quando dividido 
por 2, 3, 4 e 5.
11 Ache o menor número natural que deixa restos 5, 4, 3 e 2 quando dividido, 
respectivamente, por 6, 5, 4 e 3.
136
137
TÓPICO 2
APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, veremos extraordinárias aplicações de congruências, 
associadas, de forma geral, a importantes teoremas, como: O Pequeno Teorema de 
Fermat, Teorema de Euler e o Teorema de Wilson. Todos eles nos darão uma grande 
contribuição, ajudando-nos a solucionar problemas com congruência e primalidade.
Inicialmente, você aprenderá sobre uma ferramenta muito curiosa 
para verificar erros cometidos em operações básicas. Essa ferramenta pode ser 
utilizada em todos os anos escolares, seja pela curiosidade, pela objetividade ou 
mesmo por instigar os alunos a outros conhecimentos matemáticos. Acompanhe 
seu desenvolvimento e demonstração!
2 PROVA DOS NOVE
A “prova dos nove” ou “noves fora” é um método para identificar erros 
em cálculos manuais, envolvendo qualquer uma das quatro operações básicas: 
adição, multiplicação, subtração e divisão de números inteiros.
Você deve lembrar que já estudamos como verificar se um número é 
divisível por 9. Para isso bastava somar os seus algarismos, desprezando-se, ao 
efetuar a soma, cada parcela igual a nove. No final, se o resto for 0 então o número 
é divisível por 9. Por outro lado, se o resultado da soma não for múltiplo de 9 
haverá um resto compreendido entre os números 1 a 8.
A regra dos noves fora ou prova dos nove leva em consideração para sua 
análise, os restos da divisão por nove, de todos os números envolvidos, seja os 
que estão operando e também o resultado final. Antes de demonstrar, veremos o 
procedimento em exemplos simples!
Exemplo 15: verifique se a soma de 341 e 605 resulta em 946.
Resolução: um pequeno desafio inicial é encontrar então o resto da divisão 
por 9 dos números envolvidos. Então
⇒ + + =
⇒ + + = ⇒ + =
⇒ + + ⇒ ⇒ + = ⇒ + =
341 3 4 1 8 (ou seja, o resto é 8)
605 6 0 5 11 1 1 2 (ou seja, o resto é 6)
946 9 4 6 19 1 9 10 1 0 1.
138
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
É intuitivo verificar que o 11 já deixaria resto 2, e que 19 deixariaresto 1 na 
divisão por 9, porém, realizamos o procedimento até o final, para mostrar a você, que pode 
ser realizado desta forma.
NOTA
Como somamos os números 341 e 605 devemos somar seus restos, ou seja, 
+ = ⇒ + =8 2 10 1 0 1. Note que é o mesmo resto da solução proposta, o que mostra 
que os cálculos passarão pelo teste dos noves fora. 
Encontrar o mesmo valor ao término de teste não significa que o cálculo 
foi feito correto, porém dá mais credibilidade para a solução encontrada. Agora, 
se o resultado não passar pelo teste, isso conclui que houve algum equívoco na 
operação. Vejamos mais um exemplo!
Exemplo 16: verifique se a multiplicação de 592 e 462 resulta em 273504.
Resolução: o resto da divisão por 9 dos números envolvidos são
⇒ + =
⇒ + + = ⇒ + =
⇒ + +
592 5 2 7 (noves fora sobrando o resto é 7)
462 4 6 2 12 1 2 3 (ou seja, o resto é 3) 
273504 3 (noves fora para 2 7 e 5 4, sobrando o resto é 3) 
Como multiplicamos os números 592 e 462, devemos também multiplicar 
seus restos, ou seja, + = ⇒ + =7 3 21 2 1 3 , passando pelo teste dos noves fora. 
Entenderemos como isso é possível e por que funciona. Note, no primeiro 
exemplo, que poderíamos reescrever a situação como sendo:
( )
( )
341 8 9
605 6 6 ,
mod
mod
≡
≡
e aplicando uma propriedade de congruência, podemos escrever:
( )
( )
( )
341 605 8 6 9
946 15 9
946 6 9 .
mod
mod
mod
+ ≡ +
≡
≡
TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA
139
Note que os restos se somam e que basta analisar a divisão por 9 dessa 
soma. O mesmo acontece com a multiplicação, mudando apenas a propriedade 
usada.
É importante relembrar que a regra dos noves fora não indica que resolução 
está correta, pois, um conjunto de erros pode não ser detectado. Por outro lado, 
caso a regra não seja satisfeita, a resolução estará incorreta. Esse método não serve 
apenas para adição e multiplicação, mais para as quatro operações básicas.
3 PEQUENO TEOREMA DE FERMAT
Apesar de este tema ser normalmente apresentado nos números primos, 
deixamos para este momento do seu estudo com o conceito de congruência. 
Segundo Hefez (2016, p. 92), “desde, pelo menos, 500 anos antes de Cristo, os 
chineses sabiam que se p é um número primo então p|2p – 2. Coube a Pierre de 
Fermat, no Século XVII, generalizar este resultado, enunciando um pequeno, mas 
notável teorema”. 
Teorema (Pequeno Teorema de Fermat): dado um número primo p, tem-se que 
p divide o número ap – a, para todo ∈a N . Com a notação de congruências, o 
Pequeno Teorema de Fermat se enuncia como se segue:
Teorema (Pequeno Teorema de Fermat): dado um número primo p, então ap 
a(mod p). Além disso, se p aŒ , então ( )1 1 .pa mod p− ≡
Demonstração: consideremos os (p –1) primeiros positivos de s, isto é, os inteiros 
a, 2a, 3a, ..., (p –1)a. Obviamente, nenhum desses (p –1) inteiros é divisível por 
p e, além disso, dois quaisquer deles são incongruentes módulo p, pois, se 
( ) , 1 1ra sa mod p r s p≡ ≤ < ≤ − fosse, então o fator comum a poderia ser 
cancelado, visto que o mdc(a,p) = 1, e teríamos ( ) ,r s mod p≡ isto é, p| (a – x) o que 
é impossível, porque 0 < s – r < p.
Assim, dois quaisquer dos (p –1) inteiros a, 2a, 3a, ..., (p –1)a divididos 
por p deixam restos distintos, e, por conseguinte, cada um desses p –1 inteiros é 
congruente módulo p a um único dos inteiros 1, 2, 3, ..., p –1, naturalmente numa 
certa ordem, multiplicando ordenadamente essas p –1 congruências, teremos: 
( ) ( ) ( )2 3 1 1 2 3 1 a a a p a p mod p⋅ ⋅ ⋅…⋅ − ≡ ⋅ ⋅ ⋅…⋅ − , ou seja, 
( ) ( ) ( )1 1 ! 1 ! .pa p p mod p− − ≡ −
Como o mdc(p,(p – 1)!) = 1, porque p é primo e p não divide (p – 1)!, podemos 
cancelar o fator (p – 1)!, o que dá a congruência de Fermat: ( )1 1 .pa mod p− ≡
140
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
Exemplo 17: seja o primo p = 7 e o inteiro a = 4 tais que 7 não divide 4, 
temos os p – 1 = 6 e tomemos os 6 primeiros múltiplos positivos de 4: 
4, 8, 12, 16, 20 e 24.
Nenhum desses 6 inteiros é divisível por 7, todos são incongruentes 
módulo 7, e cada um deles é congruente módulo 7 a um único dos inteiros 1, 2, 3, 
4, 5, ou 6 observe:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 4 7 16 2 7
8 1 7 20 6 7
12 5 7 24 3 7 .
mod mod
mod mod
mod mod
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
Ao multiplicar ordenadamente essas 6 congruências, já que são todas 
(mod 7), temos:
( )4 8 12 16 20 24 4 1 5 2 6 3 7mod⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , ou seja,
Como o mdc(7,6!) = 1 podemos cancelar o fator comum 6!, que resulta em:
( )
( )
6
6
4 6! 6! 7
4 1 7
mod
mod
⋅ ≡
≡
Exatamente a ideia do Pequeno Teorema de Fermat (PTF).
 
Acompanharemos dois exemplos mais práticos da aplicação do PTF.
Exemplo 18: determine o resto da divisão de 2102 por 11.
TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA
141
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
10
1010 10
100
100 2 2
102
2 1 11
2 1 11
2 1 11
2 2 1 2 11
2 4 11
 
mod
mod
mod
mod
mod
≡
≡
≡
⋅ ≡ ⋅
≡
Resolução: pelo PTF, podemos escrever que
Portanto, o resto da divisão de 2102 por 11 é 4.
Exemplo 19: para todo ∈n N , mostre que 1016n – 1 é divisível por 70.
Resolução: perceba que o problema pode ser reescrito como 
( )6101 1 70 .n mod≡
Note que:
( )
( )
( ) ( )
( )
6 6
6
6
101 1 10
101 1 10
101 1 10
101 1 10 .
 
n n
n
mod
mod
mod
mod
≡
≡
≡
≡
Pelo PTF, podemos escrever que:
( )
( ) ( )
( )
6
6
6
101 1 7
101 1 7
101 1 7 .
n n
n
mod
mod
mod
≡
≡
≡
Usando da propriedade XXX e sabendo que mmc(7,10) = 70 obtemos 
( )6101 1 70n mod≡ o que equivale a dizer que 1016n – 1 é divisível pelo 70.
Como visto, são interessantes as aplicações desta ferramenta, 
principalmente por conseguirmos encontrar o resto 1, que nos fornece grandes 
contribuições quando queremos aplicar potenciações. A seguir, mais um 
importante teorema, O Teorema de Euler.
142
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
4 TEOREMA DE EULER
Antes de anunciarmos o Teorema de Euler, necessitamos de alguns 
conhecimentos prévios. 
Definição 1: um sistema reduzido de resíduos módulo m é um conjunto 
de números inteiros r1, ... , rs tais que
 
a) ( , ) 1, para todo 1, ... ;
b) (mod ), se ;
c) Par tal que ( , ) 1, existe um a tal qu e cada (mod ).
i
i j
in
mdc r m i s
r r m i j
n mdc m i n r m∈ =
= =
≡ ≠
≡Z
Esclareceremos, por meio de um exemplo, como é possível obter um 
sistema reduzido de resíduos a partir de um sistema completo e como as definições 
de cada item são relevantes.
Um sistema completo de resíduos é um conjunto que apresenta por meio 
de números, todos os possíveis restos da divisão por um certo número. Exemplo para o 
4: A={0, 1, 2, 3} ou A’={4, 9, 14, 7}. Perceba que ambos possuem todas as possibilidades de 
restos.
NOTA
Exemplo 20: determine um sistema reduzido de resíduos módulo 10.
Resolução: primeiramente, escreveremos um sistema completo de 
resíduos para o módulo 10, que pode ser:
{ }
{ }
=
=
 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 ,ou, também,
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 , 18, 19 .
A
B
Lembre-se de que, o único fato importante para obter o sistema completo, 
é ter todos os possíveis restos na divisão por 10, o que notado em qualquer um 
dos dois conjuntos.
O primeiro item da definição nos informa que o máximo divisor comum 
entre o m = 10 e seus restos, devem ser um, ou seja, primos entre si. Já no segundo 
item, podemos claramente notar que os restos desses primos devem ser diferentes. 
TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA
143
Portanto, se escolhermos o conjunto A, teremos os seguintes valores que são 
primos com o 10, A' = {1,3,7,9} ou escolhendo o conjunto B, os seguintes números 
B' = {11,13,17,19}.
Note como o conjunto B' é equivalente ao módulo 10 ao A', e que a 
quantidade de elementos de cada conjunto é a mesma.
O terceiro item da definição nos informa que para um n inteiro que é 
primo com m existe dentro do conjunto reduzido de resíduos, o resto da divisão 
de n por m. Completando então esse exemplo, se escolhermos um n = 27 que é 
primo com om = 10, teremos que ( )27 7 10mod≡ mostrando que o resto 7, está 
presente ao conjunto reduzido de resíduos.
Definição 2: designaremos por ( )ϕ m o número de elementos de um 
sistema reduzido de resíduos módulo m > 1, que corresponde à quantidade de 
números naturais entre 0 e m – 1 que são primos com m. Pondo ( )ϕ =1 1 , isso 
define uma importante função ϕ →: ,N N chamada “função fi de Euler”.
Pela definição, temos que ( )ϕ ≤ −1m m , para todo ≥ 2n . Além disso, se 
≥ 2m , então ( )ϕ = −1m m se, e somente se, m é um número primo. 
Mais adiante, mostraremos como calcular ( )ϕ m , em geral. A função 
( )ϕ m é de grande utilidade em Teoria dos Números.
Teorema (Euler): sejam ∈, m a Z com m > 1 e mdc(a,m) = 1. Então, ( ) ( )ϕ ≡ 1 .ma mod m
Proposição 1: sejam ∈′, m m N tais que mdc(m,m') = 1. Então ( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ⋅ ′ ′= .m m m m
Lema: se p é um número primo e r, um número natural, então se tem que
( )ϕ −  
= − = ⋅ − 
 
1 11 .r r r rp p p p
p
Demonstração: de 1 até pr, temos pr números naturais. Temos que excluir 
desses os números que não são primos com pr, ou seja, todos os múltiplos de p, 
que são precisamente p, 2p, ..., pn–1p, cujo número é pn–1. Portanto, ( )ϕ −= − 1r r rp p p , 
provando o resultado.
Exemplo 21: encontre a quantidade de elementos do conjunto reduzido 
de resíduos para 81.
144
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
Resolução: encontrar a quantidade de elementos no conjunto reduzido de 
resíduos é exatamente encontrar o valor para ( )ϕ 81 . Portanto, pelo lema anterior 
e sabendo que 81 = 34, segue
( )
( )
( )
ϕ
ϕ
ϕ
−= −
= −
=
4 4 4 1
4
4
3 3 3
3 81 27
3 54
Teorema: seja m > 1 e seja αα= 1
1
n
nm p p a decomposição de m em fatores 
primos. Então:
( ) ααϕ
  
= − −  
   
 1
1
1
1 11 1 .n
n
n
m p p
p p
ou pode ser reescrita como:
( ) ( ) ( )ααϕ −−= − − 1 11
1 1 1 1 .n
n nm p p p p
Exemplo 22: encontre o ( )ϕ 24 .
Resolução: usando do último teorema e sabendo que = ⋅324 2 3 , temos:
( ) ( ) ( )
( )
( )
ϕ
ϕ
ϕ
− −= ⋅ ⋅ − ⋅ −
= ⋅ ⋅ ⋅
=
3 1 1 1
2 0
24 2 3 2 1 3 1
24 2 3 1 2
24 8.
Exemplo 23: encontre o ( )ϕ 60 .
Resolução: seguindo a mesma ideia da resolução anterior, temos que o 
número 60 pode ser escrito em produtos de números primos, como = ⋅ ⋅260 2 3 5 , 
então:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
ϕ
ϕ
ϕ
− − −= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
2 1 1 1 1 1
0 0
60 2 3 5 2 1 3 1 5 1
60 2 3 5 1 2 4
60 16.
TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA
145
Exemplo 24: determine os valores de m com ∈m N , tais que ( )ϕ = 12m .
Resolução: pelo Teorema de Euler ( ) ( )αα −−= − − 1 11
1 112 1 1 ,n
n np p p p ou 
seja, cada termo das multiplicações, devem dividir o 12.
Na primeira parte αα −− 1 11
1
n
np p podemos encontrar potências sendo 
zeradas, resultando no valor 1, portanto, não daremos relevância para esta 
parte. Porém, na segunda parte, ( ) ( )− −1 1 1 ,np p cada número primo é apenas 
subtraído de uma unidade. Assim, devemos procurar pelos números primos, que 
quando subtraídos por 1, resultam em um divisor do 12. Estes números são o 2, 3, 
5, 7 e 13, portanto, α αα α α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅3 51 2 42 3 5 7 13m . Analisaremos cada caso.
( )
( )
( )
( )
α
α
α
α
−
−
−
−
=
= ⇒ ⋅ − =
= ⇒ ⋅ − =
= ⇒ ⋅ − =
= ⇒ ⋅ − =




1 1
1
2 1
1
3 1
1
4 1
1
• Para 2
 1 2 2 1 1
 2 2 2 1 2
 3 2 2 1 4
 14 2 2 1 8, não serve, pois, 8 12.
p
Œ
( )
( )
( )
α
α
α
−
−
−
=
= ⇒ ⋅ − =
= ⇒ ⋅ − =
= ⇒ ⋅ − =



1 1
2
2 1
2
3 1
2
• Para 3
 1 3 3 1 2
 2 3 3 1 6
 3 3 3 1 18, não serve, pois, 18 12.
p
Œ
( )
( )
α
α
−
−
=
= ⇒ ⋅ − =
= ⇒ ⋅ − =


1 1
3
2 1
3
• Para 5
 1 5 5 1 4
 2 5 5 1 20, não serve, pois, 20 12.
p
Œ
( )
( )
α
α
−
−
=
= ⇒ ⋅ − =
= ⇒ ⋅ − =


1 1
4
2 1
4
• Para 7
 1 7 7 1 6
 2 7 7 1 42, não serve, pois, 42 12.
p
Œ
( )
( )
α
α
−
−
=
= ⇒ ⋅ − =
= ⇒ ⋅ − =


1 1
5
2 1
5
• Para 13
 1 13 13 1 12
 2 13 13 1 156, não serve, pois, 156 12.
p
Œ
146
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
Organizando as possibilidades das potências para os αi, temos:
Então, o 12 = φ(m) pode ser escrito como sendo:
{ } { } { } { } { }α α α α α= = = = =1 2 3 4 51,2,3 , 1,2 , 1 , 1 e 1 .
Os resultados que estão a seguir são os possíveis valores para o produto de 
cada primo, obtido pelas possibilidades das potências dos αi. Quais as possíveis 
combinações, de modo que o produto seja 12?
• Podemos obter pelo produto de ⋅ ⋅ =1 2 6 12 . Essa combinação é verificada 
nas multiplicações dos primos 2, 3 e 7, em que α1 = 1, α2 = 1 e α4 = 1. Então, 
= ⋅ ⋅ =1 1 12 3 7 42m .
• Podemos também ter a opção de ⋅ =1 12 12 . Essa outra combinação é observada 
nas multiplicações dos primos 2 e 13, em que α1 = 1 e α5 = 1. Então, m = 2¹ . 13¹ 
= 26.
• Outra possibilidade é o produto de ⋅ =2 6 12 . Porém, neste caso, há três 
possibilidades:
ᵒ Podemos multiplicar os primos 2 e 3, usando para este caso, α1 = 2 e α2 = 2. 
Então, = ⋅ =2 22 3 36m .
ᵒ Podemos multiplicar os primos 2 e 7, usando para este caso, α1 = 2 e α4 = 1. 
Então, = ⋅ =2 12 7 28m .
ᵒ Podemos multiplicar os primos 3 e 7, usando para este caso, α2 = 1 e α5 = 1. 
Então, = ⋅ =1 13 7 21m .
• Por fim, é possível obter o 12, utilizando apenas o primo 13, em que α5 = 1, e 
com isso, = =113 13.m
Por fim, são 6 as possibilidades de φ(m) = 12, em que m pode assumir os 
valores 13, 21, 26, 28, 36 e 42. 
Agora que você já sabe como encontrar o valor para o φ(m), podemos 
utilizar isso combinado com o Teorema de Euler, para resolver alguns problemas. 
Talvez você possa estar se perguntando: como essa combinação pode ser eficiente 
para resolver congruências? 
Na verdade, é muito forte o resultado obtido no Teorema de Euler. Pense 
um pouco! Podemos escrever uma congruência como sendo uma potência em 
que o resto da divisão é 1. E o que há de interessante nisso? A resposta é simples, 
podemos trabalhar com potências em ambos os lados, e, com isso, manter o resto 
da divisão em 1. Acompanhe este exemplo, em que procuramos aplicar esta ideia.
TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA
147
Exercício: encontre o resto da divisão de 22020 por 21.
Resolução: como o mdc(2,21) = 1 podemos usando o teorema de Euler 
para escrever ( ) ( )212 1 21 .modϕ ≡
Vamos, então, determinar o φ(21), obtendo ( ) ( ) ( )ϕ − −= ⋅ ⋅ − ⋅ −1 1 1 121 3 7 3 1 7 1
 ( )ϕ =21 12.
Com isso, podemos escrever a congruência como sendo ( )122 1 21 .mod≡
Perceba também que = ⋅ +2020 12 168 4 , então, podemos proceder com a 
congruência anterior da seguinte forma:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
16812 168
2016
2016 4 4
2020 4
2020
2 1 21
2 1 21
2 2 1 2 21
2 2 21
2 16 21 .
 
 
mod
mod
mod
mod
mod
≡
≡
⋅ ≡ ⋅
≡
≡
Portanto, resto da divisão de 22020 por 21 é 16.
É possível resolver congruências lineares pelo Teorema de Euler. A 
congruência linear ( ) a x b modm⋅ ≡ no caso em que o mdc(a,m) = 1, admite uma 
única solução módulo m, que se pode facilmente obter usando o Teorema de 
Euler. 
Exemplo 25: resolva a congruência ( )2 5 7x mod⋅ ≡ .
Resolução: note inicialmente que mdc(2,7) = 1, então ( ) ( )7 15 2 7 . x modϕ −≡ ⋅ 
Como φ(7) = 7 – 1 = 6, então:
( )
( )
( )
( )
6 15 2 7
5 32 7
160 7
6 
 
 7 .
x mod
x mod
x mod
x mod
−≡ ⋅
≡ ⋅
≡
≡
Então, o x procurado é 6.
148
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
Exemplo 26: determinar o inverso de 6 módulo 11, ou seja, queremos 
resolver a congruência linear ( )6 1 11x mod≡ . 
Resolução: queremos encontrar o menor valor inteiro positivo que 
satisfaça a congruência
( ) ( )11 11 6 11 .x modϕ −≡ ⋅
Como ( )ϕ = − =11 11 1 10 , então:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
10 1
9
2 2 2 2
6 11
6 11
6 6 6 6 6 11
36 36 36 36 6 11
3 3 3 3 6 11
81 6 11
4 6 11
2 11 .
 
 
x mod
x mod
x mod
x mod
x mod
x mod
x mod
x mod
−≡
≡
≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
≡ ⋅
≡ ⋅
≡
Então, temos que x = 2 é a menor solução positiva para o problema.
5 TEOREMA DE WILSONHá um detalhe muito curioso sobre este teorema, acompanhe o fato 
histórico.
Este teorema foi descoberto primeiramente por John Wilson (1741–
1793), estudante do matemático inglês Edward Waring. Em 1770, 
Waring anunciou o teorema, embora nenhum deles tenha conseguindo 
prová-lo. Lagrange deu a primeira prova em 1773. Há uma evidência 
que Leibniz estava ciente do resultado um século antes, mas nunca o 
publicou (FONSECA, 2011, p. 147).
Após apreciarmos um pouco sobre a história do Teorema de Wilson, ou 
melhor, de Lagrange, vamos conhecê-lo.
Teorema de Wilson: se p é um número primo, então ( ) ( )1 ! 1 .p mod p− ≡ −
Demonstração: o teorema é verdadeiro para p = 2 e para p = 3, pois
TÓPICO 2 | APLICAÇÃO DE CONGRUÊNCIA
149
de modo que vamos supor ≥ 5p . Considere a congruência ( )1 a x mod p⋅ ≡ , em 
que a é um dos (p – 1) primeiros inteiros positivos 1, 2, 3, ..., p – 1 de modo 
que o mdc(a,p) = 1. Nessas condições, existe um único inteiro positivo a', com 
≤ ≤ −1 ’ 1a p , tal que ( )’ 1 .a a mod p⋅ ≡
Como p é primo, tem-se que a = a' se, e somente se, a = 1, ou a = p – 
1, visto que ( )2 1 a mod p≡ implica em ( )( ) ( )1 1 0 a a mod p− + ≡ e, portanto, 
( )1 0 ,a mod p− ≡ ou ( )1 0 a mod p+ ≡ , isto é, a = 1 ou a = p – 1.
Exemplo 27: mostre que a divisão de 17! por 19 deixa resto 1?.
Resolução: pelo Teorema de Wilson, sabemos que ( )18! 1 19 .mod≡ − Usando 
a definição de fatorial, obtemos ( )18 17! 1 19 .mod⋅ ≡ − Note que ( )1 18 19 ,mod− ≡ 
então, trocando no resultado anterior ( )18 17! 18 19 .mod⋅ ≡ Como o mdc(18,19) = 1, 
podemos dividir ambos os lados por 18, obtendo ( )17! 1 19 .mod≡ Portanto, o resto 
da divisão de 17! por 19 é 1.
Proposição 2: seja ≥ 2p um inteiro. Se ( ) ( )1 ! 1 p mod p− ≡ − , então p é 
primo.
Exemplo 28: mostre que o número 5 é primo.
Resolução: pela proposição anterior, se ( ) ( )5 1 ! 1 5 ,mod− ≡ − ou ainda 
( )4! 1 5 ,mod≡ − então p é primo.
Como = ⋅ ⋅ ⋅ =4! 4 3 2 1 24 , e é simples notar que ( )4! 4 5 ,mod≡ ou seja 
( )4! 1 5 ,mod≡ − mostrando que é verdade que 5 é primo.
Apesar da simplicidade do exemplo, podemos admitir que este não é um 
método muito eficiente para verificar um número é primo. Caso duvide, calcule para 131!.
IMPORTANTE
Apesar de não demostrarmos, o Teorema de Wilson é válido sua recíproca, 
ou seja, se acontecer a congruência, então o p será primo. No próximo tópico, você 
aprofundará melhor a resolução de sistemas de congruência e também um pouco 
sobre um assunto aqui já mencionado, classes de resíduos.
150
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Dado um número primo p, então ( ) . pa a mod p≡ Além disso, se p aŒ , então 
( )1 1 .pa mod p− ≡
• Caso tenhamos ∈, m a Z com m > 1e mdc(a,m) = 1. Então, ( ) ( )1 .ma modmϕ ≡
• Caso tenhamos m > 1 e seja αα= 1
1
n
nm p p a decomposição de m em fatores 
primos. Então ( ) ( ) ( )ααϕ −−= − − 1 11
1 1 1 1 .n
n nm p p p p
• Se p é um número primo, então ( ) ( )1 ! 1 .p mod p− ≡ −
151
AUTOATIVIDADE
1 Verificar utilizando o PTF que:
2 Encontre o algarismo das unidades do inteiro 3400 com auxílio do PTF.
3 Demonstrar que 13|(270 + 370) através do PTF.
4 Encontre o resto da divisão de 21137 por 17.
5 Verificar o Teorema de Wilson para p = 5 e para p = 7. 
6 Mostrar que 11, 13, 17 e 19 são primos usando o Teorema de Wilson. 
7 Mostrar que 8 é composto usando o Teorema de Wilson. 
8 Achar o resto da divisão de 21! por 23. 
9 Mostrar que ( )18! 1 0 437 mod + ≡ . 
10 Sendo p um primo ímpar, demonstrar que ( ) ( )p mod p2 3 ! –1 ⋅ − ≡ .
11 Calcular φ(420), φ(120), φ(1000), φ(50) e φ(200).
12 Verifique que φ(n) = φ(n + 1), para n = 5186.
13 Resolva em naturais as seguintes equações:
a) φ(n) = 12.
b) φ(n) = 18.
c) φ(n) = 20.
d) φ(n) = 30.
e) φ(n) = 4!.
14 Resolva as seguintes congruências lineares:
( )
( )
( )
50
933
38
a) 18 2 7 .
b) 19 8 31 .
c) 5 4 11 .
mod
mod
mod
≡
≡
≡
152
( )
( )
( )
( )
( )
x mod
x mod
x mod
x mod
x mod
a) 5 7 12 .
b) 2 3 9 .
c) 7 1 10 .
d) 2 1 17 .
e) 5 2 24 .
≡
≡
≡
≡
≡
153
TÓPICO 3
CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES 
RESIDUAIS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Este tópico se dedica, inicialmente, ao estudo de uma aplicação importante 
das congruências. A resolução de congruências e sistemas de congruências 
lineares. Introduziremos o conceito de congruência linear e estenderemos a 
análise aos sistemas, principalmente utilizando o famoso Teorema Chinês dos 
Restos.
Deste teorema, relata-se que possui este nome, pois os generais chineses, 
na antiguidade, contavam os seus soldados após uma batalha, a fim de contar e 
monitorar o número de perdas do combate, alinhando-os em diversas colunas 
com um certo tamanho, contando no fim a tropa restante. Verificaremos, ao longo 
do texto, como isso é importante.
Na sequência, abordaremos a aritmética de classes residuais, que são 
importantes para realizar as operações de adição e multiplicação de elementos 
que possuem restos de uma divisão por m sempre iguais, para um determinado 
resto r.
 
2 CONGRUÊNCIAS LINEARES
Neste ponto de nossas análises, iremos, inicialmente, dedicar para a 
resolução de equações do tipo: ( )aX b mod m ≡ , em que ∈ >, , , 1.a b m commZ 
A esse tipo de equação damos o nome de congruência linear, que consiste em 
determinar, caso existam, quais os números inteiros X, em que aX ≡ b mob (m). Deste 
modo, nossa primeira análise deve ser a decisão de quando este tipo de congruência 
possui solução:
Proposição 3: dados ∈ >, , , 1.a b m commZ , a congruência: ( )aX b mod m ≡ admite 
solução, se e somente se, mdc(a,m)|b.
Demonstração: vamos supor que a congruência linear ( )aX b mod m ≡ , tenha uma 
solução, x. Desta forma, temos que m|ax – b, o que equivale dizer que existe um 
y, onde ax – b = my. E, desta forma a equação aX – mY = b tem solução. Implicando 
ainda que mdc(a,m)|b.
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
154
De modo recíproco, vamos supor que mdc(a,m)|b. A partir disso, 
sabemos que a equação aX – mY = b possui solução (x,y). A partir disso, temos 
que ax – b = my, e, em consequência, x será solução da congruência, pois 
( )ax b mod m ≡ .
Devemos notar que se xo é uma solução da congruência ( )aX b mod m ≡ , 
então teremos que todo x, em que ( )ox x mod m ≡ também será solução da mesma, 
pois: ( )ox x mod m ≡ .
Isso quer dizer que toda solução particular determinará uma infinidade 
de soluções para a congruência. Essas soluções serão identificadas (módulo m), já 
que são congruentes entre si, e portanto, se determinam mutuamente. Portanto, 
estaremos interessados em determinar uma coleção completa de soluções duas a 
duas incongruentes módulo m, ás quais serão chamadas de sistema completo de 
soluções incongruentes da congruência.
Teorema: Sejam, a, b, m ∈ N*, com m > 1 e mdc(a,m)|c. Se x₀ é a solução da 
congruência aX ≡ b mod(m), então
onde d = mdc(a,m) formando um sistema completo de soluções 
incongruentes da congruência.
Obs.: note que sabendo a solução minimal (ou qualquer outra), as demais 
soluções incongruentes formam uma progressão aritmética de razão m/d, dentro 
do intervalo de 1 até m.
Exemplo 29: resolva a congruência linear ( )X mod8 4 12≡ , encontrando 
as soluções que são incongruentes entre si e determine a solução geral para cada 
situação.
Resolução: como mdc(8,12)=4 e esse divide o m = 12, a congruência possui 
solução e apresenta 4 soluções incongruentes módulo 12. Podemos simplificar 
todo a congruência por 4, obtendo 2X ≡ 1 mod(3) ⇒ 3|2X – 1 ⇒ 2X – 1 = 3m. Isolando 
X, temos:
Logo, por tentativa e erro, encontramos para m=2, a menor solução 
positiva com x_0=2 (apesar de que poderia ser qualquer solução). Logo, usando 
o fato de todas estarem em progressão aritmética de razão 12/4 = 3, X={2,5,8,11}, 
ou seja
X ≡ 2 mod(12)⟹X =2+12t
X ≡ 5 mod(12)⟹X =5+12t
X ≡ 8 mod(12)⟹X =8+12t
X ≡ 11 mod(12)⟹X =11+12t
TÓPICO 3 | CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES 
155
com t∈Z.
Obs.: note que 14, 17, 20, ...também são soluções para a congruência, porém 
já estão presentes nas soluções gerais definidas por cada solução incongruente 
módulo 12.
Resolução: como mdc(8,12) = 4|4, temos que a congruência possui 4 
soluções. Sabendo que ( )X mod X X m8 4 12 12| 8 4 8 4 12 .≡ ⇒ − ⇒ − = Isolando 
X, temos:
logo, X = {2,5,8,11}.
Corolário 1: se mdc(a,m) = 1, temos que a congruência ( )aX b mod m ≡ , 
possui uma única solução módulo m.
Exemplo 30: resolver a congruência ( )X mod13 4 42≡ .
Resolução: como mdc(13,42) = 1, temos que a congruência possui apenas 1 
solução. Sabendo que ( )X mod X X m13 4 42 42| 13 4 13 4 42 .≡ ⇒ − ⇒ − = Isolando 
X, temos:
42 4
13
mX +
=
logo, a solução única é para m = 3, e, consequentemente, X = 10.
 
Uma outra forma de analisar o mesmo problema é o fato de que 42 = 
4 x 3 x 4 e mmc(2,3,7) = 42. Notamos que xo será solução para a congruência 
anterior, se e somente se xo for uma solução simultânea das congruências:
( ) ( ) ( )X mod mod mod13 4 2 , 3 , 7≡ .
É fácil notar que xo = 10 é solução para as congruências anteriormente 
citadas. Deste modo, todas as soluções para este caso são dadas por: 
10 42 .t t+ ∈Z
3 TEOREMA CHINÊS DOS RESTOS
Na introdução deste tópico, falamos brevemente sobre as origens históricas 
do teorema chinês dos restos. Explicaremos um pouco melhor.
Digamos que o general chinês tivesse 2000 soldados em um front de guerra. 
Após a batalha, o general, para contabilizar as perdas, ordenou que os soldados 
12 4
8
mX +
=
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
156
realizassem a formação de 7 em 7 soldados, sobrando 5 soldados. Em seguida, 
ordenou que as filas fossem de 9 em 9 soldados, sobrando 4, e, por fim, filas de 10 
em 10, sobrando 5 soldados. Deste modo, qual a quantidade de soldados (ainda 
vivos), que satisfazem estas condições?
Na questão formulada, temos o seguinte sistema de congruências lineares 
para resolver:
( )
( )
( )
N mod
N mod
N mod
5 7
4 9
5 10
≡
=
=
Significa, de modo mais simplificado: que número que dividido por 7, 
deixa resto 5, quando dividido por 9, deixa resto 4, e dividido por 10, deixa resto 
5? São esses tipos de problemas que o Teorema Chinês dos restos irá nos auxiliar.
Teorema (chinês dos restos): dado o sistema de congruências:
( )
( )
( )
X c modm
X c modm
X c modm
1 1
2 2
3 3
 
 
 
≡
=
=
Em que mdc(mi, mj) = 1, para todo i jm m≠ , possuirá uma única 
solução módulo 
1 2 rM m m m= ⋅ ⋅ ⋅ . Essa solução pode ser obtida com: 
1 1 1 ,r r rx M y c M y c= + + onde, 
( )i i i i
i
MM y M Y modm i r
m
 e é a solução de 1 , 1, , .= ≡ = …
Demonstração: inicialmente, temos que mostrar que x é uma solução 
simultânea do sistema de congruências em questão. De fato, como mi| Mj, se i j≠ , 
e ( )i i iM y modm1 ≡ , que segue:
( )1 1 1 r r r i i i i iM y c M y c M y c c modm+ + ≡ ≡
.
Por outro lado, se x' também for solução para o sistema, então: 
( )´ para todo .ix x modm i≡
Como ( )i jmdc m m i j, 1, para = ≠ , segue que ( )1 1, , r rmmc m m m m M… = ⋅ ⋅ = , 
e, consequentemente, temos que ( )x x mod M ′≡ .
TÓPICO 3 | CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES 
157
Exemplo 31: determinaremos a solução para o problema dos soldados 
chineses, citado anteriormente.
Resolução: para o caso, teremos:
1 2 3
630 630 6307 9 10 630, 90, 70, 63
7 9 10
M M M M= × × = = = = = = =
Desta forma, montamos as seguintes congruências:
( ) ( ) ( )Y mod Y mod Y mod90 1 7 , 70 1 9 , 63 1 10≡ ≡ ≡
que por tentativa, encontramos possíveis valores, sendo y_1=6,y_2=4,y_3=7. Dessa 
forma, uma solução módulo 630 é dada por: 
x= M₁ y₁ c₁+M₂ y₂ c₂+M₃ y₃ c₃
x= 90 ⋅ 6 ⋅ 5+70 ⋅ 4 ⋅ 4+63 ⋅ 7 ⋅ 5= 6025
e solução geral
x ≡ 6025 (mod 630)
x ≡ 355 (mod 630)
ou seja
x= 355+630t," com" t ∈ Z
Como o general chinês tinha inicialmente 2000 soldados, temos que encontrar as 
soluções que satisfaça essa condição. Note que para 
t= 0 ⟹ x= 355
t= 1 ⟹ x= 985
t= 2 ⟹ x= 1615
Obtendo com isso, as três soluções possíveis.
que possuem, respectivamente, y1 = 13, y2 = 13, y3 = 17. Dessa forma, uma solução 
módulo 630 é dada por:
1 1 1 2 2 2 3 3 3 90 13 5 70 13 4 63 17 5 14845x M y c M y c M y c= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = . E, assim, 
concluímos que o general chinês ainda dispunha de 14845 soldados. 
Exemplo 32: determinar as soluções do sistema de congruências: 
( )
( )
( )
X mod
X mod
X mod
2 3
3 5
2 7
≡
=
=
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
158
que possuem, respectivamente, y1 = 2, y2 = 6, y3 = 8. Desta forma, uma solução módulo 
105 é dada por: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 35 2 2 21 6 3 15 8 2 758x M y c M y c M y c= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
Exemplo 33: determinar qual o número x que deixa resto 1, 2, 5 e 5, 
respectivamente, quando divididos por 2, 3, 6 e 12.
Resolução: nosso problema se resume a:
( )
( )
( )
( )
x mod
x mod
x mod
x mod
1 2
2 3
5 6
5 12
 ≡

≡

≡
 ≡
As duas últimas equações são equivalentes, pois temos que:
( )( )
( ) ( )
x mod mdc
x mod x mod
 5 6,12
 5 6 5 12
≡
⇒ ≡ = ≡
Resolução: para o caso, teremos:
1 2 3
105 105 1053 5 7 70, 35, 21, 15
3 5 7
M M M M= × × = = = = = = =
Desta forma, montamos as seguintes congruências:
( ) ( ) ( )Y mod Y mod Y mod35 1 3 , 21 1 5 , 15 1 7≡ ≡ ≡
105
que por tentativa, encontramos possíveis valores, sendo y_1=2,y_2=1,y_3=1.Desta 
forma, uma solução módulo 105 é dada por: 
x= M₁ y₁ c₁+M₂ y₂ c₂+M₃ y₃ c₃
x= 35 ⋅ 2 ⋅ 2+21 ⋅ 1 ⋅ 3+15 ⋅ 1 ⋅ 2= 233
e solução geral
x ≡ 233 (mod 105)
x ≡23 (mod 105)
ou seja
x= 23+105t," com" t ∈ Z
TÓPICO 3 | CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES 
159
Portanto, temos que resolver apenas:
Resolvendo:
( )
( )
( )
x mod
x mod
x mod
1 2
2 3
5 12
 ≡

≡
 ≡
( )
( )
x mod
x mod
1 2
2 3
 ≡

≡
Como o mdc(2,3) = 1 pelo Teorema Chinês de Restos admite solução 
módulo 2 3 6M = ⋅ = .
( )
( )
MM
m
x mod x
MM
m
x mod x
1
1
1 1
2
2
2 2
6 3
2
3 1 2 1
6 2
3
2 1 3 2
= = =
⇒ ≡ ⇒ =
= = =
⇒ ≡ ⇒ =
As soluções são:
Resta então:
( )
x c x M c x M tM
x t
x t
x t
x t
x mod
1 1 1 2 2 2
1 1 3 2 2 2 6
11 6
6 5 6
5 6 '
5 6
= + +
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
= +
= + +
= +
⇒ ≡
( )
( )
x mod
x mod
5 6
5 12
 ≡

≡
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
160
O que sabemos pelo começo da resolução que são equivalentes. Logo, a 
solução do sistema está em: x = 5 + 6t'
4 ARITMÉTICA DAS CLASSES RESISUAIS
Quando falamos das congruências módulo m > 1, conseguimos definir 
outros tipos de análises que elevam a própria Teoria dos Números, com diversas 
aplicações, até mesmo fora do âmbito da matemática. Esse novo tipo de aritmética 
é bastante utilizado em diversos cálculos na computação e outras tecnologias. 
Particionaremos o conjunto dos números inteiros � , em subconjuntos, 
que são formados por números que deixam o mesmo resto na divisão por um 
certo número m > 1. Resultando em:
( ){ }
( ){ }
( ) ( ){ }
x x modm
x x modm
m x x m modm
0 : 0 
1 : 1 
1 : 1 
  = ∈ ≡ 
  = ∈ ≡ 
 −  = ∈ ≡ − 

Z
Z
Z
Vamos parar em m – 1, pois teremos que [m] = [0], [m – 1] = [1], ...
Definição 3: o conjunto ( ){ }a x x a mod m:   = ∈ ≡  Z é chamado de classe 
residual de módulo m do elemento a, em � . O conjunto de todas as classes 
residuais de módulo m será representado por mZ . 
{ }0 , 1 , , 1m m=     …  −      Z
Exemplo 34: Para m = 2, temos: ( ){ } { }
( ){ } { }
x x mod x x é par
x x mod x x é ímpar
0 : 0 2 ; 
1 : 1 2 ; 
  = ∈ ≡ = ∈ 
  = ∈ ≡ = ∈ 
Z Z
Z Z
Temos também que: 0 , se e somente se, a é par
1 , se e somente se, a é ímpar
a
a
  =     
  =     
Exemplo 35: para n = 3, temos: { }
{ }
{ }
0 3 ;
1 3 1;
2 3 2;
t t
t t
t t
  = ∈ 
  = + ∈ 
  = + ∈ 
Z
Z
Z
TÓPICO 3 | CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES 
161
Isso quer dizer que:
0 , se a é múltiplo de 3
1 , se a deixa resto 1 na divisão por 3
2 , se a deixa resto 2 na divisão por 3
a
   
∈   
  
Proposição 4: para cada a∈Z existe ume somente um r natural, com 0 r m≤ <
, em que [a] = [r].
Demonstração: se a∈Z , recordando da divisão euclidiana, sabemos que existem 
dois números q e r, com r < m, tais que a m q r= ⋅ + . E, dessa forma, r é o único 
número natural em que r < m e ( )a r modm ≡ . Consequentemente, o único onde 
[a] = [r].
Corolário 2: existem exatamente m classes residuais de módulo m distintas.
Demonstração: é elementar perceber que existem {a1, ..., am} é um sistema completo 
de resíduos módulo m, se e somente se, { }1 ., , m ma a  …   =    Z
 
Isso será bastante útil, pois podemos escrever a congruência ( )a b modm ≡ , 
como sendo [a] = [b]. Definiremos, agora, em mZ as seguintes operações:
Adição: [a] + [b] = [a + b]
Multiplicação: a b a b  ⋅   =  ⋅       
Verificaremos as propriedades das operações definidas, ficando a cargo 
do leitor suas demonstrações. 
Propriedades da adição
( ) ( )1
2
3
4
A ) Associatividade: 
A ) Comutatividade: 
A ) Elemento neutro: 0 
A ) Elemento Simétrico: 0 
a b c a b c
a b b a
a a
a a
  +   +   =   +   +             
  +   =   +         
  +   =       
  + −  =       
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
162
Propriedades da multiplicação
( ) ( )
( )
1
2
3
4
M ) Associatividade: 
M ) Comutatividade: 
M ) Elemento neutro: 1 
M ) Distributividade: 
a b c a b c
a b b a
a a
a b c a b a c
  ⋅   ⋅   =   ⋅   ⋅             
  ⋅   =   ⋅         
  ⋅   =       
  ⋅   +   =   ⋅   +   ⋅               
Conhecidas essas propriedades, dizemos que um conjunto que é munido 
das operações de adição e multiplicação (e suas respectivas propriedades), será 
chamado de anel. Desse modo, mZ é um anel, chamado de anel das classes 
residuais de módulo m.
Como consequência disso, um elemento a ∈  Z , é dito invertível, quando 
existir mb ∈  Z , onde: 1a b  ⋅   =    , diremos, assim, que [a] e [b] são inversos.
Exemplo 36: tabelas de adição e multiplicação em { }2 0 , 1=       Z
+ [0] [1]
[0] [0] [1]
[1] [1] [0]
. [0] [1]
[0] [0] [0]
[1] [0] [1]
Exemplo 37: tabelas de adição e multiplicação em { }3 0 , 1 , 2=           Z
+ [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3]
[1] [1] [2] [3] [0]
[2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]
. [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3]
[2] [0] [2] [0] [2]
[3] [0] [3] [2] [1]
Exemplo 38: tabelas de adição e multiplicação em { }4 0 , 1 , 2 , 3=               Z
+ [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3]
[1] [1] [2] [3] [0]
[2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]
. [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3]
[2] [0] [2] [0] [2]
[3] [0] [3] [2] [1]
TÓPICO 3 | CONGRUÊNCIAS LINEARES E CLASSES 
163
Note que Z4 possui dois elementos não nulos, em que seu respectivo 
produto é nulo: [ ] [ ]≠2 0 , contudo, [ ] [ ] [ ]⋅ =2 0 0 .
NOTA
Exemplo 39: tabelas de adição e multiplicação em 
{ }5 0 , 1 , 2 , 3 , 4=                   Z
+ [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [1] [2] [3] [4]
[1] [1] [2] [3] [4] [0]
[2] [2] [3] [4] [0] [1]
[3] [3] [4] [0] [1] [2]
[4] [4] [0] [1] [2] [3]
. [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4]
[2] [0] [2] [4] [1] [3]
[3] [0] [3] [1] [4] [2]
[4] [0] [4] [3] [2] [1]
Notamos, finalmente, que em 2 3 5, ,Z Z Z todo elemento diferente de [0] é 
invertível. Contudo, isso não ocorre em todos os casos, conforme vimos em 4Z
. Podemos afirmar que 2 3 5, ,Z Z Z são ditos corpos. Pois todo corpo é o conjunto 
que possui todos os seus elementos invertíveis. 
Deste modo, finalizamos esse tópico dando o desfecho dos conteúdos 
acerca da aritmética e teoria dos números. Na sequência, verificaremos uma das 
suas principais aplicações.
Os elementos mZ são corpos, sempre que m é primo. Tente comprovar tal fato!
DICAS
164
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• Dados, , , , 1a b m comm∈ >Z , a congruência: ( ) aX bmod m≡ admite solução, 
se, e somente se, mdc(a,m)|b.
• Dado o sistema de congruências: ( )
( )
( )
X c modm
X c modm
X c modm
1 1
2 2
3 3
 
 
 
≡
=
=
onde mdc(mi,mj) = 1, para todo i jm m≠ , possuirá uma única solução módulo 
1 2 rM m m m= ⋅ ⋅ ⋅ . Esta solução pode ser obtida com: 1 1 1 , r r rx M y c M y c= + +
onde, 
( )i i i i
i
MM y M Y modm i r
m
 e é a solução de 1 , 1, , .= ≡ = …
• O conjunto, ( ){ }: a x x a mod m  = ∈ ≡  Z é chamado de classe residual de 
módulo m do elemento a, em � . O conjunto de todas as classes residuais de 
módulo m será representado por mZ .
{ }0 , 1 , , 1m m=     …  −      Z
• Um elemento a ∈  Z , é dito invertível, quando existir mb ∈  Z , onde: 
1a b  ⋅   =    .
165
AUTOATIVIDADE
1 Pode o dobro de um número natural deixar resto igual a 9 quando dividido 
por 26? E quando dividido por 25?
2 Resolva as seguintes congruências lineares:
a) ( )3 5 7X mod≡ .
b) ( )6 21 18X mod≡ .
3 Ache todos os números inteiros que deixam restos 2, 3 e 4 quando divididos 
por 3, 4 e 5, respectivamente. 
4 Ache o menor número natural que deixa restos 1, 3 e 5 quando dividido por 
5, 7 e 9, respectivamente.
5 Resolva os seguintes sistemas de congruências:
a) 
( )
( )
( )
x mod
x mod
x mod
2 11
4 12
5 13
 ≡

≡
 ≡
b) 
( )
( )
( )
x mod
x mod
x mod
3 1 7
5 2 11
4 3 13
 ≡

≡
 ≡
6 Construa a tabela de adição e multiplicação de 6 .Z
7 Determine os elementos invertíveis de 6 .Z .
8 (ENADE–2008) no anel 12Z :
FONTE: Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes – INEP (2008)
a) ( ) Não há divisores de 0.
b) ( ) Todo elemento não nulo é invertível.
c) ( ) O subconjunto dos elementos invertíveis forma um subanel de 
12Z .
d) ( ) A multiplicação não é comutativa.
e) ( ) Há exatamente 4 elementos invetíveis.
166
TÓPICO 4
NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Este tópico é dedicado para apresentar uma das principais aplicações 
da aritmética das congruências, a criptografia. Basicamente, todos os sistemas 
cibernéticos de acessos e de segurança de dados, recorrem a algum dispositivo de 
criptografia para que estes dados não possam ser acessados (ou decifrados) por 
qualquer pessoa sem a devida permissão (chave de acesso).
Em especial, dedicaremos-nos a compreender a criptografia RSA, que 
possui esse nome pois foi criada por três matemáticos computacionais, Ron Rivest, 
Adi Shamir e Leonard Adleman. Note que RSA é justamente as iniciais de cada 
sobrenome. 
Não está descartado que você, acadêmico, procure outros tipos de 
criptografias existentes, tais como a criptografia de César, o código Morse e a 
máquina Enigma, e se aproprie de mais conhecimentos. Trataremos da RSA por 
utilizar conceitos aritméticos em sua essência.
Como o ojbetivo é ser bastante prático neste último tópico do material, 
definiremos o método de criptografia e mostrar como ele é utilizado em um 
exemplo prático, para que você possa mais tarde testar em outros tipos de 
mensagens.
2 CRIPTOGRAFIA RSA
Definiremos, de modo breve, os processos para a resolução do sistema RSA 
e deixaremos para o final algumas justificativas: o passo a passo para o método 
segue a seguir:
1. Tomam-se, a escolher, dois primos p e q, distintos.
2. Calcula-se um valor ( )( ) 1 1 .NN p q e p qϕ= ⋅ = − −
3. Escolhe-se um valor e, que fará parte da chave pública, que deverá seguir a 
regra em que ( ), 1Nmdc e ϕ = , com 1 .Ne ϕ< <
4. Resolve-se a congruência ( )Ne d mod 1 ϕ⋅ ≡ em que se encontra d, que será a 
chave privada.
5. Utilizando uma tabela (pré-formulada), e de domínio público, é feita a transição 
de todos os caracteres da mensagem em números, em que se obtém uma 
TÓPICO 4 | NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA
167
mensagem numérica. Esses números devem ser colocados em blocos b, em que 
1 b N≤ < . Esse processo garante a unicidade do resultado.
6. Tendo a Chave Pública (e,N) o próximo passo é criptografar os blocos b com 
a congruência: ( ) ( )eb C b mod N ≡ , onde C(b) é a mensagem criptografada.
7. Para descriptografar, basta ter a posse da Chave Privada (d, N) realizando o 
processo de acordo com a congruência: ( ) ( )( ) ( )C b d D C b mod N ,⋅ ≡ em que 
D(C(b)) é a mensagem descriptografada, ( )( )1 .D C b N≤ <
8. Por fim, cada bloco D(C(b)) tem que ser colocado em sequência, e utilizando 
a mesma tabela citada no item 5 os números conseguem ser transformados 
novamente em caracteres.
Exemplo 40: criptografar e descriptografar a palavra “CHAVE”.
Resolução: neste exemplo, serão usados números primos menores, 
que facilitem o cálculo com o uso de uma calculadora comum. Dado 
os primos p e q da forma 6n + 5, sendo p = 11 e q =17, pode-se obter 
( ) ( )11 17 187 11 1 17 1 160.NN eϕ= × = = − × − = Dada a tabela a seguir:
A
21
B
22
C
23
D
24
E
25
F
26
G
27
H
28
I
29
J
31
K
32
L
33
M
34
N
35
O
36
P
37
Q
38
R
39
S
41
T
42
U
43
V
44
W
45
X
46
Y
47
Z
48
0
49
1
51
2
52
3
53
4
54
5
55
6
56
7
57
8
58
9
59
TABELA 1 – TABELA PARA CONVERSÃO
FONTE: Os autores
O valor de e deve ser escolhido de modo que ( ), 1Ne ϕ = , deste modo, será 
escolhido o número 3 e d deverá seguir a congruência ( )Ned mod 1 ϕ≡ , assim: 
( )d mod3 1 160 .≡
Assim, 160 3 1 1 3 160k d d k= − ⇔ = − , resolvendo pelo método do 
algoritmo de Euclides: 160 3 53 1 1 160 3 53.= × + ⇔ = − × Como o valor de d não 
pode ser negativo e as soluções desta equação são: 53 160d t=− + e 1 3k t=− −
5353 160 0
160
t t− + > ⇔ >
Substituindo t = 1 tem-se o menor valor possível para d que é 107. Deste 
modo já se tem a chave para Ciptografar (e, N) = (3, 187) e para Descriptografar 
(d, N) = (107, 187).
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
168
A mensagem é “CHAVE”, primeiro é preciso transformar as letras em 
números de acordo com a tabela, assim, tem-se: C = 23, H = 28, A = 21, V = 44 e 
E = 25.
Ficando: 23 – 28 – 21 – 44 – 25.
 
A mensagem deve ser separada em blocos b de modo que cada bloco 
tenha números menores que 187. Como os primos escolhidos são pequenos, os 
blocos também devem ser assim:
2328214425 = 2 – 32 – 82 – 14 – 42 – 5
Para codificar a mensagem usaremos a chave (3, 187) e a congruência 
( ) ( )eb C b mod N :≡
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
C b mod N C b
C b mod N mod N C b
C b mod N mod N C b
C b mod N mod N C b
C b mod N
3
1 1
3 3
2 2
3 3
3 3
3 3
4 4
3 3
5
2 8
32 32 32768 43
82 82 551368 92
14 14 2744 126
42 42 74088
≡ ⇔ =
≡ ⇔ ≡ ⇔ =
≡ ⇔ ≡ ⇔ =
≡ ⇔ ≡ ⇔ =
≡ ⇔ ≡ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
mod N C b
C b mod N mod N C b
5
3 3
6 6
 36
5 5 125 125
⇔ =
≡ ⇔ ≡ ⇔ =
O bloco codificado será: 8 – 43 – 92 – 126 – 36 – 125. Para decodificar é 
preciso da chave (107, 187) e da congruência: ( ) ( )( )( )C b d D C b mod N .≡
Como 107 é um número primo e usá-lo como expoente faz com que 
não seja possível usar uma calculadora, porém, podemos utilizar algumas 
propriedades de congruênicas. Para decodificar o primeiro bloco: 8 deve-se usar: 
( )( ) ( )D C b mod1078 187≡ . Assim como 107 = 3 x 7 x 5 + 2 temos: ( )mod38 512 138 187 .≡ ≡ 
Seguindo: ( ) ( )mod
53 5 8 138 187≡ . Como:
( )
5 2 2
15 5 2 2
138 138 138 138 19044 19044 138,
8 138 138 138 138 187mod
= × × = × ×
≡ ≡ × ×
Ainda,
( )
( )
mod
mod
15
15
8 19044 19044 138 187
 8 157 157 138 187 ,
≡ × ×
⇔ ≡ × ×
TÓPICO 4 | NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA
169
Continuando:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
mod
mod
mod
mod
mod
mod
15
715 7 3 3
105
105
19044 157 187
3401562 32 187
 8 32 187 .
 8 32 ^ 32 32 32 187
 8 32768 32768 32 43 43 32 187
 8 59168 75 187 .
≡
≡
⇔ ≡
⇔ ≡ ≡ × ×
⇔ ≡ × × ≡ × ×
⇔ ≡ ≡
Finalmente conclui-se que: ( )mod105 2 2 8 8 76 8 4864 2 187 .⇔ × ≡ × ≡ ≡
 ( )mod107 8 2 187 .⇔ ≡
Contudo, com esse método, é gasto muito tempo e devem-se fazer muitos 
cálculos, um modo mais fácil é usar o Teorema Chinês do Resto. Assim, sabe-se que 
N = 187 = 11 x 17, pelo Teorema de Fermat tem-se que: ( )p pp a a mod p1 1| 1 1 .− −− ⇔ ≡ 
Desta forma:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
10
16
1010 10
100 7 7
107
616 6
96 5 5
105
8 1 11
8 1 17 .
8 1 11
8 8 1 8 2 11
8 2 11
8 1 17
8 8 1 8 17
8 9 17
≡
≡
≡
× ≡ × ≡
≡
≡
× ≡ ×
≡
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
170
E, ainda, 
O que gera:
Resultando em:
( )
( )
( )
mod
mod
mod
101 5 5
106
107
8 8 9 8 9 9 13 17
8 8 13 8 2 17
8 2 17
× ≡ × ≡ × ≡
× ≡ × ≡
≡
Substituindo 8107 por x tem-se um sistema de congruências:
( )
( )
x mod
x mod
 2 11
 2 17 .
≡
≡
Pelo Teorema Chinês do Resto: M = 11 x 17 = 187
1
2
187 17
11
187 11
17
M
M
= =
= =
( )
( )
y mod y
y mod y
1 1
2 2
 17 1 11 2
11 1 17 14
≡ ⇔ =
≡ ⇔ =
 17 2 2 11 14 2 187
 376 187.
X t
X t
= × × + × × + ⋅
= + ⋅
O menor valor de X no conjunto dos naturais para a equação é com t = –2, 
desta forma X = 2. Obtem-se, assim, o primeiro bloco decodificado. Para obter o 
segundo bloco decodificado o processo é o mesmo.
Repetindo o processo em todos os blocos será obtida a mensagem 
decodificada: 2 – 32 – 82 – 14 – 42 – 5. Como é conhecida a Tabela 1, basta 
reagrupar a mensagem e trocar os números pelas letras voltando à mensagem 
“CHAVE”.
Antes de dar sequência a mais um exemplo, vamos procurar compreender 
“por que o método funciona?” Vamos lá?
Devemos notar que, para o processo funcionar, a mensagem b deve ser 
igual a D(C(b)), conforme o processo a seguir:
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
e
d
N
b C b modN
C b D C b mod N
e d mod
1) 
2) 
3) 1 ϕ
≡
≡
⋅ ≡
TÓPICO 4 | NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA
171
Em que ( ) ( ), 1 1 .NN p q p qϕ= ⋅ = − ⋅ −
Como temos que ( )( ) b N e D C b N< < , para conseguirmos confirmar 
o método RSA basta verificar que ( )( ) ( )D C b b mod N ≡ é válido. Usando 
algumas propriedades de congruências e as equações 1 e 2, anteriores: 
( ) ( )( ) ( )deb D C b mod N ≡ . Verificando a equação 3, notamos que existe um k, 
inteiro, em que: ( )( ) ( )e d D C b mod N ⋅ ≡ , e, ainda, ( )( ) ( )Nkb D C b mod N1 ϕ + ≡ , se 
p|b, segue que: ( ) ( ) ( )e d e db mod p b mod p b b mod p0 0 ⋅ ⋅≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ o que prova 
que: 
( )( ) ( )D C b b mod p .≡
Agora supondo que p e q não dividam b, usamos o Pequeno 
Teorema de Fermat, para: ( )pb mod p1 1 − ≡ e ( )qb modq1 1 − ≡ , implicando em 
( )p q qb mod p1 1 1( 1 )− − −≡ e ( )q p pb modq1 1 1( 1 )− − −≡ , ou seja, ( )Nb mod pq1 ϕ ≡ . Logo, 
( ) ( )N
k
b b b mod N ϕ ⋅ ≡ o que implica, usando transitividade: ( )( ) ( ) .b D C b mod N≡
 
Esse último resultado comprova que a mensagem b é equivamente a 
mensagem codificada D(C(b)).
Vamos para mais um exemplo, este com a utilização de números maiores 
como sendo os primos p e q, para que consiga simular melhor casos reais (em que 
a escolha é de números primos de alto valor).
Para o próximo exemplo, sugere-se resolver as congruências com um software 
matemático. Isso se deve ao fato de que os cálculos ficam demasiadamente grandes. Um 
software on-line muito bom é o WolframAlpha. Você pode acessar em: https://www.
wolframalpha.com/.
DICAS
Exemplo 41: criptografar e descriptografar a frase “NÚMER0S D0M1N4M 
0 MUND0”. Note que está sendo usado o número 0, no lugar da letra “O”. 
Lembrando que a escolha dos números primos é livre, porém, neste exemplo, a 
ideia é utilizar números maiores, então, dados os primos p e q da forma 6n + 5, 
sendo p = 857 e q = 2207, pode-se obter:
( ) ( )NN 857 2207 1891399 e 857 1 2207 1 1888336.ϕ= × = = − × − =
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
172
Considererando a tabela usada no exemplo anterior:
 
Ovalor de e deve ser escolhido de modo que ( ), 1Ne ϕ = . Vejamos algumas 
opções:
3,5,7,11,13,15,17,19,25,29,31,35,55...
O valor escolhido será e = 3. Para obter d é preciso utilizar a congruência:
( )Ne d mod 1 .ϕ⋅ ≡
 
Substituindo, temos: ( )d mod3 1 1888336 ,× ≡ ou seja, 
3 1 1888336 3 1888336 1d k d k− = ⇔ − = . 
Temos então, uma equação diofantina, uma vez que ( )mdc 3, 1888336 1 | 1.= 
Assim resolvendo a equação diofantina: 
 1888336 3 629445 1= × + 
 1888336 3 629445 1.⇔ − × =
Logo, as soluções para d e k nos inteiros é dada por: d = –629445 + 1888336t e 
k = 1 – 3t. Porém, a ideia é ter números da forma: –629445 + 1888336t > 0. Encontrando 
que t > 0,33. Substituindo t por 1 obtem-se: d = 1258891. Desta forma, a chave pública 
será: ( ) ( ), 3, 1891399e N ⇒ e a chave privada, ( ) ( ), 1258891, 1891399 .d N ⇒
Em possa da chave pública codificaremos a messagem solicitada: 
NÚMER0S D0M1N4M 0 MUND0. De acordo com a tabela do exemplo anterior, 
temos a seguinte mensagem: 3543342539494124493451355434493443352449 .
Dividiremos a mensagem em blocos de três dígitos (escolha livre), exceto 
o último, pois a quantidade de números não é múltipla de três:
 
O próximo passo é realizar a conversão, usando a congruência correta, de 
cada um destes blocos: 
Bloco 354:
( )mod3354 859687 1891399≡
Logo, temos que o primeiro bloco será: 859687. Continuando:
354 334 253 949 412 449 345 135 543 449 344 335 244 9.− − − − − − − − − − − − −
Bloco 334:
( )mod3334 1323123 1891399≡
Bloco 253:
( )mod3253 1063085 1891399≡
TÓPICO 4 | NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA
173
Bloco 949:
( )mod3949 1649400 1891399≡
Bloco 412:
( )mod3412 1844164 1891399≡
Bloco 449:
( )mod3449 1623096 1891399≡
Bloco 345:
( )mod3345 1344246 1891399≡
Bloco 135:
( )mod3135 568976 1891399≡
Bloco 543:
( )mod3543 1225491 1891399≡
Bloco 449:
( )mod3449 1623096 1891399≡
Bloco 344:
( )mod3344 988205 1891399≡
Bloco 335:
( )mod3335 1658794 1891399≡
Bloco 244:
( )mod3 244 1286991 1891399≡
Bloco 9:
( )mod39 729 1891399≡
Mensagem criptografada: 859687 1323123 1063085 1649400 1844164 1623096− − − − −
Vamos, agora, descriptografar a mensagem. Para tal, utilizaremos a chave 
privada (1258891, 1891399): O primeiro bloco: ( )mod1258891 859687 354 1891399 .≡
E, assim por diante, com a ajuda do software, fazendo todo o processo inverso 
retornamos para a mensagem original:
 3543342539494124493451355434493443352449⇒
 35 43 34 25 39 49 41 24 49 34 51 35 54 34 49 34 
 43 35 24 – 49
⇒ − − − − − − − − − − − − − − −
− − −
 1344246 568976 1225491 1623096 988205 1658794 1286991 729.− − − − − − − −
354 334 253 949 412 449 345 135 543 449 344 335 244 – 9− − − − − − − − − − − −
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
174
 0 0 1 4 0 0NÚMER S D M N M MUND⇒
Pudemos perceber, neste tópico, uma aplicação muito importante da 
aritmética dos restos. Quem nunca acessou sites ou computadores e se preocupou 
com a segurança de seus dados? Então, a aritmética dos restos e os números 
primos nos trouxeram grande auxílio para essas e outras diversas questões. Para 
saber mais acerca dos números primos, faça a leitura complementar onde trata-se 
dos primos especiais.
TÓPICO 4 | NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA
175
LEITURA COMPLEMENTAR
PRIMOS ESPECIAIS
Ary Camargo Rizel 
PRIMOS GÊMEOS 
 Dizemos que 𝑝 e 𝑞 são primos gêmeos se 𝑝 e 𝑞 são primos e |𝑝 − 𝑞| = 2 
(RIBENBOIM, 2012). 
Conjectura-se que existem infinitos pares de primos gêmeos. Os menores 
números primos são: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19). Alguns primos gêmeos muito 
grandes são também conhecidos, como 65.516.468.355 ∙ 2333333 ± 1, que tem 100.355 
dígitos cada um. 
Os números primos gêmeos foram caracterizados por Clement, em 1949, 
da seguinte maneira: 
Proposição: seja 𝑛 ≥ 2. Os inteiros 𝑛 e 𝑛 + 2 são ambos primos, se e somente se: 
4[(𝑛 − 1)! + 1] + 𝑛 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 + 2)
Demonstração: se a congruência for satisfeita, então 𝑛 ≠ 2,4 e (𝑛 − 1)! + 1 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 
𝑛 e, pelo Teorema de Wilson, 𝑛 é primo. Por outro lado, 
4(𝑛 − 1)! + 2 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 + 2).
Que multiplicada por 𝑛(𝑛 + 1), dá: 
[4(𝑛 + 1)! + 1] + 2𝑛2 + 2𝑛 − 4 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 + 2). 
E então:
4[(𝑛 + 1)! + 1] + (𝑛 + 2)(2𝑛 − 2) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 + 2).
Logo:
(𝑛 + 1)! + 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 + 2)
De acordo com o Teorema de Wilson, 𝑛 + 2 é também primo. 
Reciprocamente, se 𝑛 e 𝑛 + 2 são primos, então 𝑛 ≠ 2 e: 
(𝑛 − 1)! + 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛),
 (𝑛 + 1)! + 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛 + 2).
UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
176
Ora, 𝑛(𝑛 + 1) = (𝑛 + 2)(𝑛 − 1) + 2 e daí 2(𝑛 − 1)! + 1 = 𝑘(𝑛 + 2) onde 𝑘 é inteiro. 
De (𝑛 − 1)! ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑𝑛), resulta que 2𝑘 + 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) e, fazendo uma substituição, 
4(𝑛 − 1)! + 2 ≡ −(𝑛 + 2) (𝑚𝑜𝑑 𝑛(𝑛 + 2)).
E então: 4[(𝑛 − 1)! + 1] + 𝑛 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑛(𝑛 + 2)).
Entretanto, essa caracterização não tem qualquer interesse prático para 
determinar primos gêmeos. O problema principal é decidir se existe uma 
infinidade de pares de primos gêmeos. 
Para todo 𝑥 > 1, seja 𝜋2(𝑥) o número de primos 𝑝, tais que 𝑝 + 2 seja também 
primo e 𝑝 + 2 ≤ 𝑥. Brun anunciou, em 1919, que existe um inteiro 𝑥0, efetivamente 
calculável, tal que se 𝑥 ≥ 𝑥0, então: 
2 2
100( )
(log ) .
xx
x
π <
A demonstração foi publicada em 1920. Em outro artigo de 1919, Brun 
demonstrou o célebre resultado: 
1 1
2p p
 
+ + 
∑
Onde a soma é estendida a todos os primos 𝑝 tais que 𝑝 + 2 também seja 
primo, é convergente, o que significa que, mesmo que existam infinitos pares de 
primos gêmeos, eles acabam por se afastar uns dos outros. A soma: 
1 1 1 1 1 1 1 1
3 5 3 7 11 13 2
B
p p
      
= + + + + + + + + +       +       
 
É chamada constante de Brun. Apoiando-se em considerações heurísticas 
sobre a distribuição dos primos gêmeos, essa constante foi calculada por Shanks 
e Wrench (1974), por Brent (1976) e mais recentemente por Nicely (2001) e por 
Sebah (2002), com o valor: 
𝐵 = 1,90216051823 ⋯
Brun também demonstrou que para todo 𝑚 ≥ 1, existem 𝑚 primos 
sucessivos que não primos gêmeos. A estimativa dada para 𝜋2(𝑥) foi melhorada 
com a determinação da constante e do respectivo limite de erro. Isso foi executado, 
entre outros, por Bombieri e Davenport em 1966, através da aplicação do método 
do crivo. Eis o resultado: 
2 2 22
( 2)( ) 2
( 1) (log )p
p p xx C
p x
π
>
−
≤ ∏
−
TÓPICO 4 | NOÇÕES DE CRIPTOGRAFIA RSA
177
Hardy e Littlewood (1923) conjecturaram que a constante 𝐶 seria igual a 1. 
Os melhores resultados obtidos até agora para a constante 𝐶 foram: 
𝐶 = 3,5, por Bombieri, Friedlander e Iwaniec (1986)
𝐶 = 3,13, por S. Lou (não publicado)
O produto infinito: 
2 22
( 2)
( 1)p
p pC
p>
−
= ∏
−
é chamado a constante dos primos gêmeos e seu valor 0,66016 ⋯ foi calculado por 
Wrench em 1961. 
 
PRIMOS DE SOPHIE GERMAIN 
 Sophie Germain provou o chamado primeiro caso do último Teorema 
de Fermat para os primos 𝑝 para os quais 2𝑝 + 1 é primo. Por isso, os primos que 
apresentam esta forma são chamados de primos de Sophie Germain. No dia 28 
de junho de 1993, o matemático britânico Andrew Wiles fez a demonstração do 
teorema de Fermat, também conhecido como o último Teorema de Fermat. 
Sophie Germain demonstrou o seguinte teorema: se 𝑝 e 2𝑝 + 1 são primos 
com 𝑝 > 2, então não existem inteiros 𝑥, 𝑦, 𝑧 com 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 e 𝑝 ∤ 𝑥𝑦𝑧 tais que 
𝑥𝑝 + 𝑦𝑝 + 𝑧𝑝 = 0. Em outras palavras: o primeiro caso do último Teorema de Fermat 
é verdadeiro para todo expoente primo de Sophie Germain. 
Demonstração: observe, inicialmente, que 2𝑝 + 1 | 𝑥𝑦𝑧: caso contrário, pelo pequeno 
Teorema de Fermat, 𝑥2𝑝 ≡1 (mod 2p+1), o que equivale a (𝑥𝑝 − 1)(𝑥𝑝 + 1) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2𝑝 + 1). 
Assim, temos que 𝑥𝑝 ≡ ±1 (𝑚𝑜𝑑 2𝑝 + 1) e analogamente 𝑦𝑝 ≡ ±1 (𝑚𝑜𝑑 2𝑝 + 1) e 
𝑧𝑝 ≡ ±1 (𝑚𝑜𝑑 2𝑝 + 1). Mas 𝑥𝑝 + 𝑦𝑝 + 𝑧𝑝 ≡ ±1 ± 1 ±1 ≢ 0 (𝑚𝑜𝑑 2𝑝 + 1), um absurdo. 
Por outro lado temos (−𝑥)𝑝 = (𝑦 + 𝑧)(𝑦𝑝−1 − 𝑦𝑝−2𝑧 + ⋯ − 𝑦𝑧𝑝−2 + 𝑧𝑝−1). Vamos 
mostrar que os dois fatores da direita são primos entre si. Se 𝑞 é um primo que divide 
ambos os termos, então 𝑦 ≡ −𝑧 (𝑚𝑜𝑑 𝑞) e, portanto, 0 ≡ 𝑦𝑝−1 − 𝑦𝑝−2𝑧 + ⋯ + 𝑧𝑝−1 ≡ 𝑝𝑦𝑝−1 (𝑚𝑜𝑑 𝑞); 
temos 𝑞 ≠ 𝑝 pois 𝑞 | 𝑥, assim 𝑞 | 𝑝𝑦𝑝−1 ⟹ 𝑞 |𝑦, mas então 𝑧 ≡ −𝑦 ≡ 0 (mod q) e q 
dividiria simultaneamente x,y,z, contrariando a hipótese mdc(x,y,z) = 1. Assim, pela 
fatoração única em primos existem inteiros a, d tais que: 
1 2 2 1 e p p p p p pa y z d y y z yz z− − − −= + = − + − +
e analogamente: 
1 2 2 1
1 2 2 1
 e 
 e 
p p p p p p
p p p p p p
b x z e x x z xz z
c x y f x x y xy y
− − − −
− − − −
= + = − + − +
= + = − + − +


UNIDADE 3 | CONGRUÊNCIA
178
para b,c,e,f inteiros. 
Como 2p + 1|xyz, podemos supor sem perda de generalidade que 2p + 1|x. 
Assim, de 2x = bp + cp – ap, temos que 2p + 1| bp + cp – ap e o mesmo argumento no 
início da demonstração mostra que 2p + 1|abc também. 
Se 2p + 1|b = x + z ou 2p + 1|c = x + y, como 2p + 1|x e xp + yp + zp = 0 teríamos 
que 2p + 1|mdc(x,y,z) = 1 um absurdo. 
Por outro lado, temos p pf y mod p1 ( 2 1)−≡ + e se 2p + 1|a, então 2 1|p d+ e 
p py z mod p d py mod p1( 2 1) ( 2 1)−≡ − + ⇒ ≡ + . Assim, 2p + 1|f, pois caso contrário 
teríamos: p p pp pf py d mod p1 1 ( 2 1)−± ≡ ≡ ≡ ≡ ± + um absurdo. 
Neste caso, 2p + 1|z também, o que é impossível já que mdc(x,y,z) = 1, 
completando a prova. 
Conjectura-se a existência de uma infinidade de primos de Sophie 
Germain, porém sua demonstração pode ser tão difícil quanto à da existência de 
uma infinidade de primos gêmeos. 
O teorema de Sophie Germain foi estendido por Legendre e Dénes (1951) 
e mais recentemente, por Fee e Grandville (1991). A estimativa do número de 
primos de Sophie Germain inferiores a um número x > 1 é dada por : 
2
 ( )
(log ) .SG
C xx
x
π <
Acredita-se que 𝜋𝑆𝐺(𝑥) seja assintótico a 
2
 
(log )
C x
x
 para algum 𝑐 > 0, mas 
como dito, não se sabe demonstrar sequer a existência de infinito primos de 
Sophie Germain. 
FONTE: RIZEL, A. C. Números primos. 2014. Monografia (Especialização Latu Senso para 
professores com ênfase em cálculo) – Departamento de Matemática do Instituto de Ciências 
Exatas (ICEX), Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte: UFMG.
179
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, você aprendeu que:
• Para criptografar uma mensagem, você deve seguir os seguintes passos:
1. Tomam-se, a escolher, dois primos p e q, distintos.
2. Calcula-se um valor ( )( ) 1 1 .NN p q e p qϕ= ⋅ = − −
3. Escolhe-se um valor e, que fará parte da chave pública, que deverá seguir a 
regra em que ( ), 1Nmdc e ϕ = , com 1 .Ne ϕ< <
4. Resolve-se a congruência ( )Ne d mod 1 ϕ⋅ ≡ onde encontra-se d, que será a chave 
privada.
5. Utilizando uma tabela (pré-formulada), e de domínio público é feita a 
transição de todos os caracteres da mensagem em números, onde se obtém 
uma mensagem numérica. Estes números devem ser colocados em blocos b, 
onde 1 b N≤ < . Este processo, garante a unicidade do resultado.
6. Tendo a Chave Pública (e,N) o próximo passo é criptografar os blocos b com a 
congruência: ( ) ( )be C b mod N ≡ , onde C(b) é a mensagem criptografada.
7. Para descriptografar, basta ter a posse da Chave Privada (d,N) realizando o 
processo de acordo com a congruência: ( ) ( )( ) ( )C b d D C b mod N ,⋅ ≡ onde 
D(C(b)) é a mensagem descriptografada, ( )( )1 .D C b N≤ <
8. Por fim, cada bloco D(C(b)) tem que ser colocado em sequência, e utilizando 
a mesma tabela citada no item 5 os números conseguem ser transformados 
novamente em caracteres.
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CHAMADA
180
AUTOATIVIDADE
1 Utilizando pares de primos distintos (a escolher) e a tabela utilizado nos 
exemplos deste tópico, criptografe e descriptografe as seguintes mensagens:
a) Primos.
b) Divisor.
c) Números.
d) Aritmética.
181
REFERÊNCIAS
ABBAGNANO, N. Dicionário de filosofia. São Paulo: Martins Fontes, 2003.
FONSECA, R. V. Teoria dos números. Belém: UEPA, 2011.
HEFEZ, A. Aritmética. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2016.
HEFEZ, A. Iniciação à aritmética. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de 
Matemática, 2009.
HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de 
Matemática, 2006.
MAIER, R. R. Teoria dos números. Brasília: Universidade de Brasília, 2005.
ROQUE, T. História da matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.