ROTEIRO 3333

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ROTEIRO DE PRÁTICA 3 
Tema 
Cálculo da Equação da Reta Tangente ao Gráfico de 
Uma Função 
Semana nº 05 
Local onde 
acontecerá 
a prática 
Laboratório de Informática Disciplina (s) 
Cálculo Aplicado – 
Uma Variável 
Pontuação 
Data da última 
atualização 
24/01/2020 
 
NOME AMANDA BARBOSA MATTOS CHECHI 
RA 
1716060 
NOME ANTONIO DAVID DOS SANTOS MACEDO 
RA 
1177026 
NOME EVERTONFERREIRA ALVES 
RA 
1550470 
NOME KELVIN HENRIQUE ZAMBONI SILVA 
RA 
3272249 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
8. A atividade prática será realizada no Laboratório de Informática, no dia indicado pelo professor. 
9. É importante o conhecimento prévio de derivadas de funções elementares e regras de derivação. 
10. Serão disponibilizados 5 applets do Geogebra para a equipe manusear a fim de entender o conceito de 
derivadas. 
11. A atividade deve ser realizada, preferencialmente, em duplas. 
12. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos, pois as respostas serão escritas nesse roteiro e ao final da 
aula será entregue ao professor. 
 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 por equipe 
Computador 1 por equipe 
Applets 5 
GEOGEBRA 1 por equipe 
Calculadora científica 1 por equipe 
III. Introdução 
 
 
 
Geometricamente, a derivada da função " , aplicada a um ponto Q, é igual ao coeficiente angular da reta tangente à 
curva neste ponto. Isso significa que a derivada da função aplicada ao ponto é igual à tangente do ângulo formado 
por essa reta e o eixo das abscissas. Dessa forma, é possível geometricamente compreender o conceito da função 
derivadas através da sua definição por limite, que é representa uma taxa de variação instantânea. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
▪ Reconhecer a derivada como medida de taxa de variação, o que pode ser identificada a partir dos coeficientes de uma reta 
tangente 
 
▪ Aplicar a tabela de derivadas e regras de derivação para derivar operações que envolve as funções elementares 
Capstone). 
▪ Encontrar a equação da reta tangente a uma curva num dado ponto. 
 
 
 
 
 
 V. Procedimentos 
 
 
 
Parte A: ENTENDENDO O CONCEITO DE DERIVADAS ATAVÉS DA RETA TANGENTE À CURVA NUM DADO PONTO. 
 
1. Reconhecimento da reta tangente: Aqui você deve acessar os applets 1, 2 e 3, em arquivo htlm 
disponibilizados para a prática, através dos links indicados no quadro abaixo. 
 
 
 
 
Applet 1: (reta tangente) 
 
Link: 
https://www.geogebra.org/m/qsu3sb57 
 
Acesso em: 22 jan. 2020 
 
 
 
Applet 2: (reta tangente local) 
 
Link: 
https://www.geogebra.org/m/cgwm9 
6c6 
Acesso em: 22 jan. 2020 
 
 
Applet 3: (reta tangente e derivada) 
 
Link: 
https://www.geogebra.org/m/btm 
ewm9s 
Acesso em: 22 jan. 2020 
 
 
 
✓ O applet 1 mostra a reta tangente ao longo da curva ". Experimente mover o ponto R e observar a inclinação 
da reta tangente e sua equação. 
 
 
✓ Verifique, através do applet 2, que ao mover o ponto sobre o eixo , a reta corta a curva em dois pontos: S e ). 
No entanto, podemos considerar que localmente a reta é tangente à curva no ponto S. Ou seja, uma reta 
pode tangenciar uma curva em um determinado ponto, mesmo sendo secante à essa curva. 
 
✓ O applet 3 mostra que o coeficiente angular da reta no ponto R é igual ao valor da derivada da função " 
aplicada ao ponto R. Ao mover o ponto, verifique que os valores permanecem iguais ao longo do movimento. 
 
 
 
2. Definição da derivada: 
 
 
 
 
Tomando-se o ponto Q N,TN e o ponto arbitrário U N,TN , o coeficiente angular da reta secante é dado pela taxa 
 ∆WX D HX D 
média de variação: ∆D DHDY Y . Você verificou através dos applets, que o coeficiente angular da reta 
secante tende ao coeficiente angular da reta tangente quando o ponto Q se aproxima do ponto P. Portanto, podemos 
afirmar 
que o coeficiente angular da reta tangente é a taxa de variação instantânea dada por: lim ∆W ∆D limDHDYX D HX D
DHDY Y , se 
Z→[ 
 este limite existir. Nesse caso definimos a derivada da função " aplicada ao ponto Q N," N como: 
 "′ N limDHDYX D HX D DHDY Y , se esse limite existir. 
 
Aqui você deve acessar os applets 4 e 5, em arquivo htlm disponibilizados para a prática. 
 
 
 
 
Applet 4: reta secante 
Link: https://www.geogebra.org/m/bh4u4xnb 
Acesso em: 22 jan. de 2020 
 
 
 
Applet 5: Limite e derivada 
Link: https://www.geogebra.org/m/kx2nqfjz 
Acesso em: 22 jan. de 2020 
 
 
✓ Verifique através do applet 4, que ao mover o ponto Q ao longo da curva no sentido do ponto P o ângulo (da 
reta secante com a reta horizontal) diminui, consequentemente, a taxa média de variação também diminui. 
 
✓ O applet 5, mostra que ao mover o ponto Q no sentido do ponto P, o coeficiente angular da reta secante 
tende ao coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P. Ou seja, o ângulo beta tende ao ângulo 
alpha. 
 
 
Parte B: EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE A UMA CURVA 
 
 
 
É possível encontrar a equação da reta tangente à curva num ponto Q, calculando-se o coeficiente angular através 
da derivada da função no ponto e, por fim, aplicar a fórmula 
 
 
 
Atividade 1: Neste contexto, encontre a equação da reta tangente de curva a seguir no ponto indicado. Usando o 
Geogebra, plote o gráfico da função e a reta obtida, de modo a verificar se sua resposta está correta. 
 
𝑓(𝑥) =
2𝑥 + 1
3𝑥 − 4
 = 
2(−1) + 1
3(−1) − 4
 = 
−2 + 1
−3 − 4
 = 
−1 
−7
 = 
1
7
 
 
X0 = -1 
Y0 = 
1
7
 
 
 
M = 𝑓´(𝑥) 
 
𝑓´(𝑥) = 
2𝑥 + 1
3𝑥 − 4
 
 
𝑓´(𝑥) = 
𝑓´. 𝑔 − 𝑔´. 𝑓
𝑔2
 = 
2. (3𝑥 − 4) − 3. (2𝑥 + 1)
(3𝑥 − 4)2
 = 
6𝑥 − 8 − 6𝑥 − 3
(3𝑥 − 4)2
 = 
−11
(3𝑥 − 4)2
 
 
𝑓´(−1) = 
−11
(3𝑥 − 4)2
 = 
−11
(3(−1) − 4)2
 = 
−11
(−8)2
 = 
−11
49
 
 
𝑀 = 
−11
49
 
 
 
(𝑌 − 𝑌0) = 𝑀 (𝑋 − 𝑋0) 
 
(𝑌 −
1
7
) =
−11
49
 (𝑋 − (−1)) 
 
(𝑌 −
1
7
) =
−11
49
 𝑋 
 
𝑌 =
−11
49
 𝑋 −
4
49
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = (𝑋2 − 2𝑋 + 1). 3𝑋 
𝑓(−2) = ((−2)2 − 2(−2) + 1). 3(−2) 
𝑓(−2) = (4 + 4 + 1). ( 
1
3
 )2 
𝑓(−2) = (9).
1
9
 
𝑓(−2) = 1 
X0 = -2 
Y 0 = 1 
 
 
𝑓(𝑥) = (𝑋2 − 2𝑋 + 1). 3𝑋 
𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 2). 3𝑋 + (𝑋2 − 2𝑋 + 1). 3𝑋ln (3) 
 
𝑓(−2) = (2(−2) − 2). 3(−2) + ((−2)2 − 2(−2) + 1). 3(−2)ln (3) 
𝑓(−2) = (−4 − 2). (
1
3
)2 + (4 + 4 + 1). (
1
3
)2ln (3) 
 
 
𝑓(−2) = −6.
1
9
+ 9.
1
9
ln (3) 
𝑓(−2) =
−6
9
+ ln (3) 
𝑓(−2) =
−2
3
+ ln (3) 
 
𝑀 =
−2
3
+ ln (3) 
 
(𝑌 − 𝑌0) = 𝑀 (𝑋 − 𝑋0) 
 
(𝑌 − 1) =
−2
3
+ ln(3) (𝑋 − (−2)) 
 
𝑌 = 
−2
3
+ ln(3) . (𝑋 + 2) + 1