A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos

Question

A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade. O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo. Em outros momentos, é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes. Desta forma, sendo a função g(x) = 3x4 - 2x-2 + 4x, assinale a alternativa que apresenta a derivada segunda desta função. A) g''(x) = 12x3 - 4x-3 + 4 B) g''(x) = 36x2 + 12x-4 C) g''(x) = 36x2 - 12x-4 D) g''(x) = 12x3 + 4x-3 + 4

Ed · Answer

Para encontrar a derivada segunda da função $ g(x) = 3x^4 - 2x^{-2} + 4x $, vamos primeiro calcular a derivada primeira $ g'(x) $ e, em seguida, a derivada segunda $ g''(x) $.

1. **Derivada primeira $ g'(x) $**:
   - A derivada de $ 3x^4 $ é $ 12x^3 $.
   - A derivada de $ -2x^{-2} $ é $ 4x^{-3} $ (usando a regra da potência).
   - A derivada de $ 4x $ é $ 4 $.

Portanto, a derivada primeira é:
$$ g'(x) = 12x^3 + 4x^{-3} + 4 $$

2. **Derivada segunda $ g''(x) $**:
   - A derivada de $ 12x^3 $ é $ 36x^2 $.
   - A derivada de $ 4x^{-3} $ é $ -12x^{-4} $.
   - A derivada de $ 4 $ é $ 0 $.

Assim, a derivada segunda é:
$$ g''(x) = 36x^2 - 12x^{-4} $$

Agora, vamos analisar as alternativas:

A) $ g''(x) = 12x^3 - 4x^{-3} + 4 $ - Incorreta.
B) $ g''(x) = 36x^2 + 12x^{-4} $ - Incorreta.
C) $ g''(x) = 36x^2 - 12x^{-4} $ - Correta.
D) $ g''(x) = 12x^3 + 4x^{-3} + 4 $ - Incorreta.

Portanto, a alternativa correta é: **C) g''(x) = 36x^2 - 12x^{-4}**.

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