LISTA 2 - Derivadas

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LISTA 2
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Professora: Narjara Ynghrid Silva Cardoso
Curso: Engenharias
DERIVADAS
Questão 1. Derive as funções abaixo:
a) f(x) = 186, 5;
b) f(x) = 7x− 2;
c) 3x3 + 2x2 − 3x+ 2;
d) f(t) = 3(t5 + 2t);
e) f(t) =
5
t3
+
2
t2
− 1
t
;
f) f(x) =
√
x− 3
x
;
g) F (X) =
x5 − 2x4 + 2x− 1√
x
;
h) f(x) = ax2 + bx+ c;
i) f(t) = 3
√
30;
j) f(x) = 3
√
x+ 5
√
x;
k) y =
x− 1√
x
;
l) y = x5exsenx;
m) y =
3x− 1
5− 2x
;
n) f(x) =
√
x− 1√
x+ 1
;
o) y =
58
x4
;
p) y = 2x+2;
q) y = 3x+1 + 2x−1;
r) f(t) = t3etln(t);
s) y = log(100x);
t) f(x) = exln(x);
u) y =
x2senx
ex
;
v) y = senx+ 10tgx;
x) f(θ) = cossecθ + eθcotgθ;
w) f(t) = 2cossec(t)− 2sec(t);
y) y =
1 + cosx
x+ secx
;
z) y = sec(α)tg(α);
Questão 2. Determine as equações das retas tangente e normal ao grá�co de f
no ponto dado:
a) f(x) = x3 + x2 e P (1, 2);
b) f(x) = xex − 1 e P (0,−1);
c) f(x) =
x− 1
x+ 2
e P (0, 1).
Questão 3. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento s = f(t) onde
t ≥ 0, onde t é medido em segundos e s em pés.
i) f(t) = t2 − 10t+ 12;
ii) f(t) =
t
t2 + 1
;
iii) s = t3 − 9t2 + 15t+ 10.
a) Encontre a velocidade no instante t.
b) Qual a velocidade após 3s?
c) Quando a partícula está em repouso?
Questão 4. Se um tanque mantém 5000 galões de água que escoa pelo fundo
em 40min, então a lei de Torricelli dá o volume de água que restou
no tanque depois de t min, como
V = 5000
(
1− t
40
)2
0 ≤ t ≤ 40.
Encontre a taxa segundo a qual está escoando no tanque após 5min,
10min, 20min e 40min? Em que instante o �uxo é mais rápido?
Mais vagaroso?
Questão 5. Escreva cada função na forma f(g(x)) e use a regra da cadeia para
obter as derivadas abaixo:
a) y = sen(20x);
b) y = tg(10x+ 5);
c) y =
√
4 + 3x;
d) y = e
√
x;
e) y = tg(senx);
f) y = (x3 + 4x)7;
g) y = 4
√
1 + 2x+ x2;
h) y = sec(πx);
h) y = ln(cosx).
Questão 6. Use a regra da cadeia para obter a derivada.
a) f(x) = ecosx;
b) f(x) = tg(senx);
c) f(t) = e−3tcos(3t);
d) y = 101−x
2
;
e) y =
e2u
eu + e−u
;
f) f(θ) = cos2(θ);
g) f(x) = sec4(x);
h) y = tg3(5x);
i) y = ln(sen(5x));
j) y =
√
x+
√
x;
k) y = ln(ln(lnx));
l) y == sen(sen(senx));
m) f(x) =
√
x+
√
x+
√
x;
n) f(t) =
e3t
sen2(5t)
;
o) y = ln
(
x− 1
x+ 2
)
;
p) f(x) = ln(
3
√
x5);
q y = ln(secx+ tgx);
r) y =
e4xsen(5x)
(5x− 1)3
.
Questão 7. Determine a equação da reta que tangencia o grá�co de y = x2 e é
paralela à reta de equação 4x− y + 2 = 0.
Questão 8. Determine y
′
em cada caso sabendo que y = f(x) está implícita
nas equações abaico.
a) y3 + x2y = x+ 4;
b) xy + y3 = x;
c) y + ln(x2 + y2) = 4;
d) tg(x− y) = y
1 + x2
;
e) 5y + cos(xy) =
x
y
;
f) x2y + xy2 = 2x− 3y;
Questão 9. Determine a equação da reta que tangencia a elipse de equação
x2 + 2y2 = 3 no ponto (1, 1).
Questão 10. Determine a derivada das funções abaixo:
a) y = x arctgx;
b) y = arcsen(x3);
c) y = 5arctg(3x− 1);
d) y = e3xarcsen(2x);
e) y = arctg(e7x);
f) y =
sen(3x)
arctg(4x)
Questão 11. Determine as derivadas que se pede em cada item;
a) y = x4 + 6x2 − 7x, d
3y
dx3
e
d5y
dx5
;
b) y = cos(θ),
d2y
dθ2
e
d3y
dθ3
;
c) y = (1− 7t)5, d
3y
dt3
e
d2y
dt2
;
b) y =
√
x2 − 1, y′′ e y′′′ ;
b) y = xe7x, y
′′
e y
′′′
;
b) f(t) = tcos(t), f
′′′
(0);
b) g(x) =
√
5− 2x, g′′(2), g′′′(0).
BONS ESTUDOS!!!