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Quando apenas duas engrenagens estão 
engrenadas, a engrenagem motriz A e a 
engrenagem movida B sempre girarão em 
direções opostas. A fim de fazer com que elas 
girem na mesma direção, uma engrenagem 
intermediária C é usada. No caso mostrado, 
determine a velocidade angular da engrenagem B 
quando t = 5 s, se a engrenagem A parte do 
repouso e tem uma aceleração angular de 
𝛼𝐴 = 3𝑡 + 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠² , onde t é dado em 
segundos. 
Exemplo onde a aceleração angular é variável: 
Movimento plano geral, Velocidade absoluta e 
relativa 
 
Tema 7 
Movimento plano geral 
• Pode ser sempre considerado como a soma de uma translação e de uma 
rotação. 
 Considere, por exemplo, uma roda que rola sobre uma pista reta. Durante um 
certo intervalo de tempo, dois pontos dados, A e B, se moverão de A1 até A2 e 
de B1 até B2 respectivamente 
• Na figura o deslocamento das partículas A e B de uma placa pode ser dividido 
em duas partes: 
 Translação - as partículas movem-se até A2 e B’1, com a linha AB mantendo a 
mesma direção; 
 Rotação em torno de A - B move-se até B2, enquanto A permanece fixo. 
Movimento plano geral 
Velocidade absoluta e velocidade 
relativa 
A velocidade 𝑣 𝐴 corresponde à translação da placa junto com A, 𝑣 𝐵 é a 
velocidade absoluta de uma partícula B da placa, 𝑣 𝐵
𝐴 
é a velocidade relativa 
associada à rotação da placa em torno de A . 
Velocidade absoluta e velocidade 
relativa 
• A velocidade absoluta 𝑣 𝐵 é obtida a partir da soma vetorial: 
𝑣 𝐵 = 𝑣 𝐴 + 𝑣 𝐵
𝐴 
 
• Representando por 𝑟 𝐵
𝐴 
 o vetor de posição de B relativo a A e por 𝜔𝑘 a 
velocidade angular da placa em relação aos eixos de orientação fixa, temos: 
Velocidade absoluta e velocidade 
relativa 
𝑣 𝐵
𝐴 
= 𝜔𝑘 × 𝑟 𝐵
𝐴 
 
𝑣𝐵
𝐴 
= 𝑟𝜔 
Exemplo de aplicação 
Exemplo de aplicação 
a) Velocidade angular da engrenagem 
𝑣𝐴 = 𝜔𝑟𝐴 → 1,2 = 𝜔. 0,15 → 𝜔 = 8 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
A engrenagem se desloca para a direita, logo ela gira no sentido 
horário. 
Pela regra da mão direita: 𝜔𝐴 = −(8 𝑟𝑎𝑑/𝑠)𝑘 
Exemplo de aplicação 
b) As velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem 
𝑣 𝑅 = 𝑣 𝐵 = 𝑣 𝐴 + 𝑣 𝐵
𝐴 
= 𝑣 𝐴 + 𝜔𝑘 × 𝑟 𝐵
𝐴 
 
𝑣 𝑅 = 1,2𝑖 − 8𝑘 × 0,1𝑗 = 1,2𝑖 + 0,8𝑖 = (2 𝑚/𝑠)𝑖 
Exemplo de aplicação 
𝑣 𝐷 = 𝑣 𝐴 + 𝑣 𝐷
𝐴 
= 𝑣 𝐴 + 𝜔𝑘 × 𝑟 𝐷
𝐴 
 
𝑣 𝐷 = 1,2𝑖 − 8𝑘 × (−0,15)𝑖 = (1,2 𝑚/𝑠)𝑖 + (1,2 𝑚/𝑠)𝑗 
 É um sistema de elementos unidos e organizados para 
transmitir movimento de maneira pré-determinada. 
 A maioria dos mecanismos consiste não só de uma, mas de 
muitas partes móveis. 
Quando as diversas partes de um mecanismo estão conectadas 
por pinos, a análise do mecanismo pode ser efetuada 
considerando-se cada parte como um corpo rígido 
Movimento plano geral 
(mecanismos) 
Analisando o movimento de um mecanismo dado em uma translação junto 
com A e em uma rotação simultânea em torno de A. 
Movimento plano geral 
(mecanismos) 
𝑣 𝐵 = 𝑣 𝐴 + 𝑣 𝐵
𝐴 
 
Ou uma translação junto com B e em uma rotação simultânea em torno de B. 
Movimento plano geral 
(mecanismos) 
𝑣 𝐴 = 𝑣 𝐵 + 𝑣 𝐴
𝐵 
 
• Notamos que 𝑣 𝐴
𝐵 
 e 𝑣 𝐵
𝐴 
 têm a mesma intensidade, mas sentidos opostos. 
• O sentido da velocidade relativa depende do ponto de referência que tenha 
sido selecionado. 
Movimento plano geral 
(mecanismos) 
𝑣 𝐵 = 𝑣 𝐴 + 𝑣 𝐵
𝐴 
 
𝑣 𝐴 = 𝑣 𝐵 + 𝑣 𝐴
𝐵 
 
Pequenas rodas estão fixadas nas extremidades das barras AB e giram 
livremente ao longo da superfície mostrada na figura. Sabendo que a 
roda A se desloca para a esquerda com velocidade constante de 1,5 m/s, 
determina (a) a velocidade da extremidade B da barra, (b) a velocidade 
angular da barra. 
 
Exemplo de aplicação 
Movimento plano Translação com A Rotação em torno de A 
Exemplo de aplicação 
a) a velocidade da extremidade B da barra 
𝑣𝐵
𝑠𝑒𝑛 70°
=
𝑣𝐵/𝐴
𝑠𝑒𝑛 60°
=
1,5
𝑠𝑒𝑛 50°
 
 
𝑣𝐵 = 1,84 𝑚/𝑠 
𝑣𝐵/𝐴 = 1,696 𝑚/𝑠 
b) a velocidade angular da barra 
 
𝑣𝐵
𝐴 
= 𝐴𝐵 𝜔𝐴𝐵 
1,696 = 0,75𝜔𝐴𝐵 
𝜔𝐴𝐵 = 2,26 𝑟𝑎𝑑/𝑠