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DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO/ MOMENTO ANGULAR OBJETIVOS DO CAPÍTULO Desenvolver formulações para a quantidade de movimento e para momento angular de um corpo. Aplicar princípios do impulso e quantidade de movimento e momento angular na resolução de problemas de dinâmica que envolvem força, velo- cidade e tempo. Discutir a aplicação da conservação da quanti- dade de movimento e momento angular. Analisar a mecânica da colisão excêntrica. 19.1 QUANTIDADE DE MOVIMENTO E MOMENTO ANGULAR lançamento deste satélite meteorológico exigiu a aplicação dos prin- cípios do impulso e quantidade de angular para Neste capítulo, vamos usar os princípios do impul- que se pudesse prever com suficiente exatidão seu movimento angu- so e quantidade de movimento/momento angular para lar orbital e sua orientação. resolver problemas que envolvem força, velocidade e tempo, relacionados com o movimento plano de um corpo rígido. Antes de fazê-lo, será necessário formalizar os métodos para se obterem a quantidade de movimento e o momento angular do corpo que translada, gira em torno de um eixo fixo ou tem movimento plano geral. Vamos supor que o corpo seja simétrico relativamente a um plano de referência inercial x-y.386 DINÂMICA y Quantidade de Movimento. A quantidade de movimento de um corpo rígi- do é determinada somando-se vetorialmente as quantidades de movimento para todos os pontos do corpo, isto é, L = Como = (veja a Seção 1.2), também podemos escrever (19.1) y Essa equação afirma que a quantidade de movimento de um corpo é uma Vp quantidade vetorial que tem módulo expresso em (SI) ou em P x slug pés/s, e direção e sentido definidos pela velocidade do centro de massa do corpo, VG. Diagrama de momento Momento Angular. Consideremos o corpo mostrado na Figura 19.1a, que para um ponto material tem movimento plano geral. Num determinado instante, o corpo tem velocida- (a) de angular w e um ponto P arbitrariamente escolhido nesse corpo tem velocidade Vp. A velocidade do i-ésimo ponto do corpo pode ser expressa em função de Vp e w (Figura 19.1a) como y O momento angular do i-ésimo ponto em relação ao ponto igual ao 'momento' da quantidade de movimento em relação a P (Figura 19.1a). Assim, G Usando a expressão de Vᵢ em função de Vp, obtemos em coordenadas car- y tesianas P + (b) Tomando o limite mᵢ dm e integrando sobre toda a massa m do corpo, Figura 19.1 temos Nessa equação Hₚ representa o momento angular do corpo em relação a um eixo (eixo z) que é perpendicular ao plano do movimento e passa pelo ponto P. Como = y dm e xm = x dm, as integrais para o primeiro e o segundo termo no segundo membro localizam o centro de massa G relativa- mente a P (Figura 19.1b). A última integral representa o momento de inércia calculado em relação ao eixo z, isto é, = dm. Assim, (19.2) A equação anterior pode ser simplificada se o ponto P coincide com o centro de massa do corpo,¹ pois nesse caso Logo, (19.3) A equação anterior afirma que momento angular do corpo em relação a G é igual ao produto do momento de inércia do corpo, em relação a um eixo A equação também se reduz à mesma forma simples, Hₚ = Ipw, se o ponto um ponto fixo (veja a Equação 19.9) ou a velocidade de paralela à linha PG.Cap. 19 DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: IMPULSO... 387 que passa por G, e a velocidade angular do corpo. É importante observar que HG é uma quantidade vetorial de módulo que pode ser expresso em kg m²/s (SI) ou em com direção e sentido de w (para o caso de corpo simétrico relativamente a um plano de referência inercial x-y), que é mantido sempre perpendicular ao plano do movimento. A Equação 19.2 pode ser reescrita em função dos componentes x e y da velocidade do centro de massa do corpo, e e do momento de inér- cia Como o ponto G tem coordenadas então, pelo teorema dos eixos paralelos, + + Substituindo esse resultado na Equação 19.2 e rearranjando os termos, temos (19.4) Do diagrama cinemático (Figura 19.1b), VG pode ser expressa em termos de Vp como y Efetuando a multiplicação vetorial e igualando os respectivos componen- tes i e j, temos as seguintes equações escalares x A substituição desses resultados na Equação 19.4 resulta em y P x (19.5) Diagrama de momento para o corpo Com referência à Figura 19.1c, esse resultado indica que o momento angular do corpo calculado em relação ao ponto P é equivalente ao momen- (c) to da quantidade de movimento ou seus componentes cartesianos Figura 19.1 e em relação a P, somado ao momento angular Observemos que como é um vetor livre HG pode 'agir' em qualquer ponto do corpo, desde que preserve sua direção e seu sentido. Além disso, como o momen- to angular é igual ao 'momento' angular da quantidade de movimento, a reta de ação de L deve passar pelo centro de massa G para preservar o valor cor- reto do módulo de quando os 'momentos' são calculados em relação a P (Figura 19.1c). Como resultado dessa análise, passaremos agora a consi- derar os três tipos de movimento. Translação. Quando um corpo rígido de massa m está em movimento de d translação retilínea ou curvilínea (Figura 19.2a), sua velocidade angular é w = 0 e o seu centro de massa tem uma velocidade = V. Logo, a quantidade de movimento e o momento angular em relação a G se tornam G L (19.6) Se o momento angular é calculado em relação a qualquer ponto A no Translação corpo ou fora dele (Figura 19.2a), o 'momento' da quantidade de movimento (a) L deve ser calculado em relação a esse ponto. Como d é o 'braço do momento' Figura 19.2 (veja a figura), então, de acordo com a Equação 19.5, = Rotação em torno de um Eixo Fixo. Quando o corpo rígido gira em torno de um eixo fixo passando pelo ponto (Figura 19.2b), a quantidade de movi- mento e o momento angular em relação a G são388 DINÂMICA = (19.7) G Algumas vezes torna-se conveniente calcular o momento angular do corpo rG em relação a O. Nesse caso, é necessário levar em conta os vetores L e HG em relação a Observando que L (ou VG) é sempre perpendicular a temos It (19.8) Rotação em torno de um eixo fixo (b) Essa equação pode ser simplificada substituindo-se primeiro e, em seguida, fatorando-se w, de modo que H₀ = + Pelo teorema dos eixos paralelos, vemos que os termos entre parênteses nessa última expres- são representam o momento de inércia I₀ do corpo em relação a um eixo que HG é perpendicular ao plano de movimento e passa por O. Logo:² (19.9) G Para cálculos, podemos usar a Equação 19.8 ou a Equação 19.9. Movimento Plano Geral. Quando um corpo rígido está em movimento plano geral (Figura 19.2c), a quantidade de movimento linear e o momento d angular calculado em relação a G tornam-se A L (19.10) Movimento plano geral (c) Figura 19.2 Se o momento angular é calculado em relação a um ponto A no corpo ou fora dele (Figura 19.2c), é necessário levar em conta os momentos em relação a esse ponto. Nesse caso, onde d é o braço do momento, como se mostra na figura. momento angular em relação a do pêndulo que se move para baixo pode ser determina- do calculando-se a soma de com o momento de em rela- ção a 0.0 resultado é + Como wd, então +m(wd)d EXEMPLO 19.1 Num dado instante, o disco de 10 kg e a barra de 5 kg têm os movimen- tos indicados na Figura 19.3a. Determine os momentos angulares em relação a G e em relação ao ponto B para o disco, nesse instante. Determine também 2 Deve-se notar a semelhança entre essa dedução, a da Equação 17.16 e a da Equação 18.5 (T e também que o mesmo resultado pode ser obtido da Equação 19.2, se escolhemos o ponto P coincidente com e observamos que = 0.Cap. 19 DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: IMPULSO... 389 os momentos angulares em relação a G e em relação ao CI para a barra, no mesmo instante. 8 rad/s 2 m/s G 30° B (a) SOLUÇÃO Disco. Como o disco gira em torno de um eixo fixo (passando pelo ponto B), então = 2 m/s (Figura 19.3b). Logo: 8 rad/s Resposta 2 7 + (b) Resposta Pela tabela que consta no final do livro, de modo que Resposta 2 m/s IC 3,464 m A 30° Barra. A barra tem movimento plano geral. O CI está determinado na Figura G 19.3c, de modo que w = = 0,5774 rad/s e = (0,5774 rad/s)(2 = 1,155 m/s. Assim: VB 30° G Resposta 30° B Dos momentos de IG e de em relação ao CI temos (c) + + d(mvG) m²/s + Resposta Figura 19.3 19.2 PRINCÍPIOS DO IMPULSO E QUANTIDADE DE ANGULAR Como no caso do movimento de um ponto material, os princípios do impul- so e quantidade de movimento e momento angular para um corpo podem ser desenvolvidos combinando-se as equações de movimento com a cinemática. As390 DINÂMICA equações resultantes permitirão uma solução direta a problemas que envolvem força, velocidade e tempo. Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento. A equação de movi- mento para a translação de um corpo rígido pode ser escrita como = maG = m Como a massa do corpo é constante: Multiplicando ambos membros por dt e integrando de t = a obtemos (19.11) Essa equação expressa o princípio do impulso e quantidade de movimen- to. De acordo com esse princípio a soma de todos os impulsos criados pelo sistema de forças externas que agem no corpo durante o intervalo de tempo t₁ a t₂ é igual à variação da quantidade de movimento do corpo nesse intervalo de tempo (Figura 19.4). Princípio do Impulso e Momento Angulares. Se o corpo tem movimento plano geral podemos escrever = Como o momento de inércia é constante, Multiplicando ambos os membros por dt e integrando de t₂, w temos (19.12) Da mesma forma, para rotação em torno de um eixo fixo passando por O, a Equação 17.16 quando integrada, torna-se (19.13) As equações 19.12 e 19.13. expressam o princípio do impulso e momento angulares. Ambas as equações afirmam que a soma dos impulsos angulares que agem no corpo durante o intervalo de tempo t₁ a t₂ é igual à variação do momen- to angular do corpo, durante esse intervalo de tempo. Em particular, o impulso angular considerado é determinado integrando-se momentos, em relação ao ponto G ou O, de todas as forças e momentos de binário externos aplicados no corpo. Resumindo conceitos que acabamos de apresentar, podemos dizer que, se o movimento ocorre no plano x-y, usando-se os princípios do impulso e quantidade de movimento e momento angular, as seguintes três equações esca- lares descrevem o movimento plano do corpo rígido:Cap. 19 DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: IMPULSO... 391 (19.14) As primeiras duas equações representam o princípio do impulso e quan- tidade de movimento no plano x-y (Equação 19.11). A terceira equação representa o princípio do impulso e momento angulares em relação ao eixo que passa pelo centro de massa G (Equação 19.12). Os termos nas equações 19.14 podem ser representados graficamente pelos diagramas de impulso e quantidade de movimento e momento angular para o corpo (Figura 19.4). Observemos que as quantidades de movimento têm suas origens no centro de massa do corpo (figuras 19.4a e 19.4c), enquanto os momen- tos angulares são vetores livres e, portanto, da mesma maneira que um torque de binário, podem ser considerados em qualquer ponto do corpo. Quando se cons- trói o diagrama de impulso (Figura 19.4b), as forças F e o momento M, que variam com o tempo, são indicados por integrais. Contudo, se F e M são constantes de t₁ a t₂, a integração dos impulsos resulta em F(t₂ t₁) e t₁), respectivamen- te. Como exemplo dessa situação temos o caso da força peso W (Figura 19.4b). dt dt G G G + = Diagrama Diagrama de impulso Diagrama de momento de momento inicial final (a) (b) (c) Figura 19.4 As equações 19.14 também podem ser aplicadas a um sistema inteiro de corpos ligados, em vez de a cada corpo separadamente. Esse procedimento eli- mina a necessidade de incluir os impulsos de reações que ocorrem nas ligações e são, portanto, internas ao sistema. As equações resultantes podem ser escri- tas simbolicamente como quantidade de movimento impulso do quantidade de movimento + do sistema x1 sistema x(1-2) do sistema x2 quantidade de movimento impulso do quantidade de movimento + (19.15) do sistema sistema y1 y(1-2) do sistema y2 momento angular impulso angular momento angular + = do sistema do sistema do sistema 01 02392 DINÂMICA Como indicado anteriormente, o impulso e o momento angulares do sis- tema devem ser calculados em relação ao mesmo ponto de referência fixo para todos os corpos do sistema. PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE Os princípios do impulso e quantidade de angular são usados para resolver problemas de dinâmica que envolvem velocidade, força e tempo, pois esses termos estão inter-relacionados na formulação. Diagrama de Corpo Livre Estabeleça o sistema inercial x, y, e trace o diagrama de corpo livre levando em conta todas as forças e momentos de binário que produzem impulsos no corpo. As direções e os sentidos das velocidades, VG, inicial e final do centro de massa do corpo, bem como das suas velocidades angulares, w, inicial e final, devem ser estabelecidos. Se qualquer uma dessas quantidades for des- conhecida, suponha como sentidos positivos para seus componentes os sentidos dos eixos coordenados. Calcule o momento de inércia IG ou I₀. Como procedimento alternativo, construa os diagramas do impulso e quantidade de movimento/momento angular para o corpo ou sistema de corpos. Cada um desses diagramas representa um esboço do corpo que leva em conta os dados necessários para cada um dos três termos nas equações 19.14 ou 19.15 (Figura 19.4). Esses diagramas são particularmente úteis para a visualização dos termos de 'momento' usados no princípio do impulso e momento angulares, se a aplicação é feita em relação a um ponto diferente do centro de massa G ou de um ponto fixo O. Princípios do Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular Aplique as três equações escalares do impulso e quantidade de movimento/momento angular. O momento angular de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo é o momento de somado a em relação ao eixo. Pode-se mostrar que esse resultado é igual a H₀ = onde I₀ é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo. Todas as forças no diagrama de corpo livre do corpo criarão impulso; todavia, algumas dessas forças não rea- lizarão trabalho. Forças que são funções do tempo devem ser integradas para se obterem os impulsos. Graficamente, o impul- so é igual à área sob a curva 'força versus tempo'. Utiliza-se freqüentemente o princípio do impulso e momento angulares para eliminar forças impulsivas des- conhecidas que são paralelas a ou passam por um eixo comum. Cinemática Se mais do que três equações forem necessárias para uma solução completa, será possível relacionar, pela cine- mática, a velocidade do centro de massa com a velocidade angular do corpo. Se o movimento parecer complicado, diagramas cinemáticos (velocidade) poderão ser úteis para se obterem as relações necessárias. EXEMPLO 19.2 O disco de 20 lb mostrado na Figura 19.5a é uniforme e está suportado por um pino em seu centro. Se o disco está submetido a um torque de binário de 4 lb pés e a uma força de 10 lb aplicada na corda enrolada em sua perife- ria, determine a sua velocidade angular dois segundos após a partida do repouso. Quais são os componentes da força de reação no pino? SOLUÇÃO Como velocidade angular, força e tempo estão envolvidos, aplicaremos os princípios do impulso e quantidade de angular.Cap. 19 DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: IMPULSO... 393 Diagrama de Corpo Livre. Consideremos a Figura 19.5b. O centro de massa M = 4 lb pés do disco não se move; todavia, o carregamento causa uma rotação no disco no sentido horário. O momento de inércia do disco em relação ao seu eixo fixo de rotação é Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular. (a) y x (+1) 4 lb pés 20 lb Ax 0,75 pé Ay 10 lb Resolvendo, obtemos (b) Resposta Figura 19.5 Resposta Resposta EXEMPLO 19.3 A bobina de 100 kg mostrada na Figura 19.6a tem raio de giração kG = 0,35 m. A extremidade livre de um cabo enrolado no tambor central da bobina está sujeita a uma força horizontal de intensidade variável, P = (t + 10) N, onde t é dado em segundos. Se a bobina está inicialmente em repouso, determine sua G m velocidade angular após 5 S. Suponha que a bobina role sem escorregar em 0,75 SOLUÇÃO A Diagrama de Corpo Livre. Por inspeção do diagrama de corpo livre (Figura (a) 19.6b), a força variável P causará uma força de atrito variável portanto os impulsos de P e FA devem ser determinados por integração. O sistema de for- ças impõe ao centro de massa uma velocidade VG para a direita e faz a bobina 981 N girar no sentido horário, com velocidade O momento de inércia da bobina em relação ao centro de massa é 0,4 m y 0,75 m FA Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular. A NA (b) Figura 19.6394 DINÂMICA (1) A (c) Figura 19.6 25 (2) Cinemática. Como a bobina não escorrega, o ponto A é o centro instantâ- neo de velocidade nula (Figura 19.6c). Logo, a velocidade de G pode ser expressa em função da velocidade angular como = (0,75 Subs- tituindo esse resultado na Equação 1 e eliminando o impulso desconhecido dt entre as equações 1 e 2, obtemos Resposta Observação: Uma solução mais direta poderia ser obtida aplicando-se o princípio do impulso e momento angulares em relação ao ponto A. Como exer- cício, proceda dessa forma e obtenha o mesmo resultado. EXEMPLO 19.4 bloco mostrado na Figura 19.7a tem uma massa de 6 kg e está preso a uma corda enrolada na periferia de um disco de 20 kg cujo momento de inér- 0,2 cia é 0,40 m². Se o bloco se desloca inicialmente para baixo a uma velocidade de 2 m/s, determine sua velocidade após 3 S. Despreze a massa da corda. SOLUÇÃO I B Diagrama de Corpo Livre. Os diagramas de corpo livre para o bloco e o disco estão na Figura 19.7b. Todas as forças são constantes, pois o peso do bloco provoca o movimento. O movimento do bloco para baixo (velocidade causa uma rotação do disco no sentido horário (w). (a) Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular. Podemos eliminar Ax e A, aplicando o princípio do impulso e momento angu- Figura 19.7 lares em relação ao ponto A. Logo: Disco Bloco (+1)Cap. 19 DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: IMPULSO... 395 Cinemática. Como w = então = = 10 rad/s e y = m = Substituindo e resolvendo o sistema de equações, 196,2 N obtemos VB x Resposta w A 0,2 m SOLUÇÃO II A, T Diagramas de Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular. T Podemos obter diretamente considerando o sistema formado pelo bloco, a corda e o disco. Os diagramas de impulso e quantidade de movimento/momen- to angular foram desenhados para facilitar a aplicação do princípio do impulso e momento angulares em relação ao ponto A (Figura 19.7c). 58,86 N 0,40kg N(3 0,40 kg (b) Ax(3 A + A = A m 0,2 m (3 0,2 m 6 kg(2 m/s) 58,86 N(3 s) 6 (c) Figura 19.7 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular. Observando que w₁ = 10 rad/s e = temos momento angular impulso angular momento angular + = do sistema A1 do sistema do sistema A2 + kg rad/s) + 58,86 + EXEMPLO 19.5 O teste de impacto de Charpy é utilizado nas avaliações das característi- cas de absorção de energia de um material durante um impacto. O teste é realizado usando-se o pêndulo mostrado na Figura 19.8a, que tem massa m, centro de massa em G e raio de giração kG em relação a G. Determine a dis- tância rp do ponto P ao pino A.A colisão com o corpo de prova S deve ocorrer no ponto P e deve ocorrer de tal forma que a força horizontal no pino A seja essencialmente nula. Suponha que o corpo de prova absorva toda a energia cinética que o pêndulo adquire durante a sua queda, de modo que este último pára na posição = 0°.396 DINÂMICA y A G rp F x A @ W P rp G F P (a) (b) Figura 19.8 SOLUÇÃO Diagrama de Corpo Livre. Como mostrado no diagrama de corpo livre (Figura 18.8b), as condições do problema exigem que o impulso horizontal em A seja zero. Imediatamente antes da colisão, o pêndulo tem velocidade angu- lar w₁ correspondente a um movimento no sentido horário, e o centro de massa está se movendo para a esquerda com velocidade = rw₁. Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular. Aplicaremos o princípio do impulso e momento angulares em relação ao ponto A. Eliminando o impulso dt e substituindo + temos Fatorando mw₁ e resolvendo para rp, obtemos Resposta O ponto P, definido como o ponto onde ocorre a colisão com o corpo de prova de forma que a força horizontal no pino essencialmente nula, é deno- minado centro de percussão. Localizando-se o ponto de impacto em P, a força desenvolvida no pino é, portanto, minimizada. Muitas raquetes de esporte, tacos etc. são desenvolvidos de modo que a colisão com o objeto a ser rebatido ocor- re no centro de percussão. Conseqüentemente, nenhum 'golpe' ou leve descon- forto é sentido pelo jogador. (Veja também os problemas 17.65 e 19.1.)Cap. 19 DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: IMPULSO... 397 PROBLEMAS 19.1. O corpo rígido (placa) tem massa m e gira com velo- cidade angular w em torno de um eixo que é perpendicular P ao plano do movimento e passa pelo ponto fixo O. Mostre que o momento angular do corpo, em relação ao eixo de rota- ção, é equivalente ao momento angular, em relação ao mesmo G eixo, de um ponto material de massa m e velocidade VG, loca- lizado num ponto P (denominado centro de percussão) a uma distância do centro de massa G, onde kG é o raio de giração do corpo, em relação a um eixo perpendicu- Problema 19.3 lar ao plano do movimento e passando por G. *19.4. A cápsula espacial tem massa de 1.200 kg e momen- to de inércia IG 900 kg m² em relação a um eixo que passa por G e é perpendicular à página. Se ela se desloca para a frente com velocidade 800 m/s e executa uma volta gra- ças à ação de dois jatos, que fornecem um empuxo constante P de 400 N, durante 0,3 S, determine a velocidade angular da cápsula depois de interrompida a ação dos jatos. G T=400N 15° 800 m/s G 1,5 m Problema 19.1 15° 19.2. Num dado instante, o corpo tem quantidade de movi- mento L e momento angular HG = em relação Problema 19.4 ao seu centro de massa. Mostre que o momento angular do 19.5. Resolva o Problema 17.55 usando o princípio do corpo em relação ao centro instantâneo de velocidade nula CI pode ser expresso como = onde representa impulso e momento angulares. o momento de inércia em relação ao eixo instantâneo de velo- 19.6. Resolva o Problema 17.54 usando o princípio do cidade nula. Como mostra a figura, o CI localiza-se a uma impulso e momento angulares. distância do centro de massa G. 19.7. Resolva o Problema 17.69 usando o princípio do impulso e momento angulares. *19.8. Resolva o Problema 17.80 usando o princípio do impulso e momento angulares. 19.9. Resolva o Problema 17.73 usando o princípio do impulso e momento angulares. G 19.10. Um volante tem massa de 60 kg e raio de giração kG = 150 mm em relação a um eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa. Se o motor fornece um torque no sen- tido horário de intensidade M = (5t) N m, onde t é dado em segundos, determine a velocidade angular do volante no ins- tante t = 3 S. Inicialmente o volante está girando com velocidade angular = 2 rad/s, no sentido horário.. CI 19.11. piloto de um caça F-15 foi capaz de controlar o Problema 19.2 seu vôo regulando os empuxos dos dois motores. Se o jato pesa 17.000 lb e tem raio de giração kG = 4,7 pés em relação 19.3. Mostre que, se uma placa gira em torno de um eixo ao centro de massa G, determine a velocidade de seu centro que é perpendicular ao seu plano e passa pelo seu centro de de massa em S, considerando que o empuxo em cada massa G, o momento angular é o mesmo quando calculado motor se modificou para T₁ = 5.000 lb e T₂ 800 lb, como em relação a qualquer outro ponto P dessa placa. mostra a figura. Inicialmente o caça voava em linha reta a398 DINÂMICA 1.200 pés/s. Despreze os efeitos do arrasto e da perda de com- contato. Suponha que a força normal de contato tem inten- bustível. sidade de 50 N. Qual será a velocidade angular final da roda B? A roda B tem massa de 90 kg e raio de giração em torno do seu eixo de rotação kG = 120 mm. B T₂ 1,25 pé T1 1,25 pé 4 mm D 50 mm Problema 19.11 A 40 mm 16 rad/s *19.12. A bobina tem massa de 30 kg e raio de giração = 0,25 m. bloco A tem massa de 25 kg e o bloco B, de 10 C kg. Se eles são soltos a partir do repouso, determine o tempo Problema 19.14 necessário para o bloco A atingir uma velocidade de 2 m/s. Despreze a massa das cordas. 19.15. A chave de impacto consiste em uma barra delgada AB de 1 kg e comprimento de 580 mm e as extremidades cilíndricas A e B, cada uma com diâmetro de 20 mm e massa 0,3 de 1 kg. Esse conjunto pode girar em torno do cabo e do 0,18 m soquete que estão conectados ao parafuso de fixação da roda do carro. Comunica-se à barra AB uma velocidade de 4 rad/s e ela atinge a peça Csem rebater. Determine o impulso angu- lar comunicado ao parafuso. B C A B Problema 19.12 19.13. homem puxa a corda com uma força de 8 lb, na dire- 300 mm A ção mostrada na figura. Se a bobina tem peso de 250 lb e raio 300 mm de giração kG = 0,8 pé em relação ao seu eixo em A, deter- mine a velocidade angular da bobina 3 S após ter partido do Problema 19.15 repouso. Despreze o atrito e o peso da corda removida. *19.16. O ônibus espacial está viajando no 'espaço profundo', onde os efeitos gravitacionais são desprezíveis. A nave tem massa de 12 t, centro de massa G e raio de giração = 14 m em relação ao eixo x. O ônibus espacial está se deslo- cando para a frente com velocidade v = 3 km/s quando o piloto liga o motor em A, criando um empuxo T = 600(1 kN, onde t é dado em segundos. Determine a veloci- 1.25 pé 60° dade angular da nave 2 S mais tarde. A v= 3 km/s Problema 19.13 G 19.14. Transmite-se movimento de rotação de uma roda A T motriz A à roda B por meio de atrito entre elas no ponto C. 2 m Se A sempre gira a uma taxa constante de 16 rad/s e o coe- y ficiente de atrito cinético entre as rodas é 0,2, determine o tempo necessário para B atingir uma velocidade angular constante a partir do momento em que as rodas entram em Problema 19.16Cap. 19 DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: IMPULSO... 399 19.17. O tambor tem massa de 70 kg, raio de 300 mm e raio de giração = 125 mm. Se os coeficientes de atrito estáti- e cinético em A são 0,4 e 0,3, respectivamente, determine a velocidade angular do tambor 2 S após ele ter sido abandonado a partir do repouso. Considere = 30°. A A Problema 19.20 19.21. disco de 12 kg tem velocidade angular de 20 rad/s. Se o freio ABC é aplicado de tal forma que a intensidade da força P varia com o tempo como se mostra na figura, deter- Problema 19.17 mine o tempo necessário para o disco parar. coeficiente de 19.18. A polia dupla é formada por duas rodas presas uma atrito cinético em B é = 0,4. à outra de forma a girarem com a mesma velocidade angular. P A polia tem massa de 15 kg e raio de giração 110 mm. Se o bloco A tem massa de 40 kg, determine a sua velocida- de 3 S após o início da aplicação de uma força constante F = 500 mm 500 mm 2 kN à extremidade livre da corda enrolada na roda menor. bloco está inicialmente em repouso. 200 mm P (N) 400 mm 5 200 mm A (s) 75 mm 2 Problema 19.21 19.22. A polia tem peso de 8 lb e pode ser considerada F como um disco fino. As extremidades de uma corda que passa pela periferia da polia estão submetidas às forças A = 4 lb e = 5 lb. Determine a velocidade angular da polia quando t = 4 S se ela parte do repouso em t = 0. Despreze a massa da corda. Problema 19.18 19.19. A bobina tem peso de 30 lb e raio de giração = 0,45 pé. Uma corda está enrolada no tambor interno e sua 0,6 pé extremidade livre está submetida a uma força horizontal P = 5 lb. Determine a velocidade angular da bobina 4 S após sua partida do repouso. Suponha que a bobina role sem escorregar. 0,9 pé 0,3 pé A 4 lb Problema 19.19 Problema 19.22 *19.20. tambor de massa m, raio r e raio de giração 19.23. cilindro interno da bobina apóia-se num trilho rola por um plano inclinado para o qual o coeficiente de atri- horizontal. Se ele não escorrega em A, determine a velocida- to estático é Se o tambor é abandonado a partir do de do bloco de 10 lb 2 S após ele ter sido solto a partir do repouso, determine valor máximo do ângulo de inclinação repouso. A bobina tem peso de 30 lb e raio de giração kG = Θ para que o tambor role sem escorregar. 1,30 pé. Despreze a massa da polia e da corda.400 DINÂMICA 2 pés G 1 pé A A Problema 19.26 Problema 19.23 19.27. A bobina tem peso de 75 lb e raio de giração = 1,20 pé. Se o bloco B pesa 60 lb e uma força P = 25 lb é apli- *19.24. Por razões de segurança, o poste (com 20 kg) de cada à corda, determine a velocidade do bloco 5 S após o uma placa de sinalização foi desenvolvido para se partir com início do movimento. Despreze a massa da corda. resistência desprezível em B quando for submetido a um impacto de um carro. Suponha que o poste seja ligado por P um pino em A e seja considerado uma barra delgada. Deter- mine o impulso comunicado pelo pára-choque do carro se 0,75 pé 2 pés após a colisão o poste aparenta girar a um ângulo máximo 150°. A C B 0,25 m B Problema 19.27 Problema 19.24 *19.28. O aro fino tem massa de 5 kg e é posto sobre um 19.25. A placa retangular de 10 lb está em repouso sobre plano inclinado girando com velocidade angular w = 8 rad/s, uma superfície horizontal lisa. Se ela recebe os impulsos hori- no sentido indicado na figura. Seu centro tem, nessa situação, zontais mostrados na figura, determine sua velocidade angular velocidade = 3 m/s. Se o coeficiente de atrito cinético entre e a velocidade de seu centro de massa. o aro e o plano é 0,6, determine a distância percorrida pelo aro antes de ele parar de escorregar. y 5 lb S w 8 rad/s 0,5 pé G 0,5 pé 3 m/s 0,5 m pé 5 3 4 20 lb S x 2 pés 30° Problema 19.28 Problema 19.25 19.29. Se a bola de peso W e raio r é atirada com velocida- 19.26. A bola de massa m e raio r rola por um plano incli- de V₀ sobre uma superfície áspera, determine a velocidade de nado para o qual o coeficiente de atrito estático é Se a contra-rotação, que deve ser comunicada à bola para que bola é solta a partir do repouso, determine o ângulo incli- ela pare de girar no mesmo instante em que sua velocidade nação máximo do plano para que a bola role sem escorregar de avanço se torna zero. Não é necessário saber 0 valor do em A. coeficiente de atrito em A.402 DINÂMICA 19.3 CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO E DO MOMENTO ANGULAR Conservação da Quantidade de Movimento. Se a soma de todos os impul- que agem em um sistema de corpos rígidos ligados é zero, a quantidade de movimento do sistema é constante ou se conserva. as pri- meiras duas das equações 19.15 se reduzem à forma quantidade de movimento quantidade de movimento do sistema (19.16) do sistema Essa equação expressa a conservação da quantidade de movimento. Sem introduzir erros apreciáveis nos cálculos, é possível aplicar a Equação 19.16 em uma dada direção para a qual os impulsos são pequenos ou não- impulsivos. Especificamente, forças não impulsivas ocorrem quando pequenas forças agem durante breves intervalos de tempo. Entre os exemplos típicos estão a força de uma mola ligeiramente deformada, o contato inicial com um solo macio e em alguns casos o peso do corpo. Conservação do Momento Angular. O momento angular de um sistema de corpos rígidos ligados conserva-se em relação ao centro de massa G do siste- ma ou em relação a um ponto fixo O, quando a soma de todos os impulsos angulares criados pelas forças externas que agem no sistema é zero ou apre- ciavelmente pequena (não impulsiva), em relação a esses pontos. A terceira das equações 19.15 torna-se, então, momento angular momento angular do sistema do sistema (19.17) A equação anterior expressa a conservação do momento angular. No caso de um único corpo rígido, a Equação 19.17 aplicada ao ponto G se torna Para ilustrar uma aplicação da equação anterior, conside- remos um nadador que executa uma cambalhota após saltar de um trampolim. Encolhendo seus braços e pernas junto ao peito, ele diminui o momento de inércia de seu corpo e assim aumenta a sua velocidade angular deve ser constante). Se ele estica seus membros imediatamente antes de penetrar na água, o momento de inércia de seu corpo aumenta e sua velocidade angular decresce. Como o peso de seu corpo cria um impulso durante o intervalo de tempo em que ocorre o movimento, esse exemplo também ilustra como o momento angular de um corpo pode se conservar enquanto a quantidade de movimento não se conserva. Esses casos ocorrem toda vez que as forças exter- nas que criam impulso têm suas retas de ação passando pelo centro de massa do corpo ou pelo eixo de rotação fixo. Se a velocidade ou a velocidade angular de um corpo for conhecida, a con- servação da quantidade de movimento ou do momento angular poderá ser usada para determinar a respectiva velocidade final do corpo. Além disso, ao se apli- carem essas equações a um sistema de corpos rígidos, os impulsos internos que agem no sistema, que em geral são desconhecidos, são eliminados da análise, pois eles aparecem em pares de impulsos opostos e colineares. Se for necessá- rio determinar uma força interna impulsiva que age apenas em um corpo de um sistema de corpos ligados, o corpo deverá ser isolado (diagrama de corpo livre) e o princípio do impulso e quantidade de movimento/momento angular deve- rá ser aplicado ao corpo. Após o cálculo do impulso dt, podemos determi- nar a força impulsiva média se conhecemos o intervalo de tempo de ação da força impulsiva: =Cap. 19 DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: IMPULSO... 403 PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE A conservação da quantidade de movimento ou do momento angular pode ser aplicada usando-se o seguinte pro- cedimento. Diagrama de Corpo Livre Estabeleça um sistema de referência inercial x, y e construa o diagrama de corpo livre para o corpo ou siste- ma de corpos durante o intervalo de tempo em que ocorre a colisão. A partir desse diagrama classifique cada uma das forças aplicadas em 'impulsivas' e 'não impulsivas'. Por inspeção do diagrama de corpo livre, a conservação da quantidade de movimento se aplica numa dada dire- ção quando não agem forças externas impulsivas nessa direção; a conservação do momento angular, por outro lado, se aplica em relação a um ponto fixo ou em relação ao centro de massa G do corpo ou sistema de corpos, quando todas as forças externas impulsivas criam impulso angular nulo em relação a ou G. Como alternativa, construa diagramas de impulso e quantidade de movimento/momento angular para o corpo ou sistema de corpos. Esses diagramas são particularmente úteis para se visualizarem os termos de 'momento' usados na equação da conservação do momento angular, quando se decidiu que momentos angulares devem ser calculados em relação a um ponto diferente do centro de massa G do corpo. Conservação da Quantidade de Movimento/Momento Angular Aplique a conservação da quantidade de movimento ou do momento angular nas direções apropriadas. Cinemática Se o movimento parece ser complicado, diagramas cinemáticos (velocidade) podem ser úteis na obtenção das equações cinemáticas necessárias. EXEMPLO 19.6 A roda de 10 kg mostrada na Figura 19.9a tem momento de inércia IG = 0,156 kg m². Suponha que a roda não escorregue nem retorne e determine a velocidade mínima que ela deve ter para rolar sobre o obstáculo em A. A G + 0,2 m 0,03 m (a) A /F dt SOLUÇÃO Diagramas de Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular. Como não ocorre escorregamento ou retorno, a roda essencialmente gira em torno de A durante o contato. Essa condição é mostrada na Figura 19.9b, que indica, respectivamente, a quantidade de movimento/momento angular da roda imediatamente antes do impacto, os impulsos dados durante o impacto e a quan- A tidade de movimento/momento angular da roda imediatamente após impacto. (b) Somente dois impulsos (forças) agem sobre a roda. Por comparação, a força em A é muito maior do que o peso, e como o tempo de impacto é muito peque- Figura 19.9 no, o peso pode ser considerado não impulsivo. A força impulsiva F em A tem intensidade e direção Θ desconhecidas. Para eliminar essa força, observemos que o momento angular em relação a A é essencialmente conservado, pois ≈ 0.404 DINÂMICA Conservação do Momento Angular. Com referência à Figura 19.9b, + (0,2 Cinemática. Como não ocorre escorregamento, em geral w = vG/r = m = 5vG. Substituindo esse resultado na equação anterior e simplifican- do, temos (1) Conservação da Energia.³ Para que haja rolamento sobre o obstáculo, a roda deve passar pela posição 3 mostrada na Figura 19.9c. Logo, se [ou deve ter um valor mínimo, é necessário que a energia cinética da roda na posição 2 seja igual à energia potencial na posição 3. Tomando a linha de referência pelo centro de massa G, como mostra a figura, e aplicando a equa- ção da conservação de energia, temos {V₃} + + {0} {0} + Substituindo w₂ = 5(vG)₂ e a Equação 1 na equação anterior e resol- vendo, obtemos Resposta 98,1 N 3 w₂ 0,03 m (VG)2 Referência G 2 (c) Figura 19.9 EXEMPLO 19.7 A barra delgada de 5 kg mostrada na Figura 19.10a está presa por um pino em O e está inicialmente em repouso. Se uma bala de 4gé disparada contra a 400 m/s barra com velocidade de 400 m/s, como mostrado na figura, determine a velo- B m cidade angular da barra imediatamente após a bala ficar encravada nela. 30° m (a) 3 Esse princípio não se aplica durante o impacto, pois se perde energia durante a colisão; toda- Figura 19.10 via, imediatamente após o impacto (posição 2), ele pode ser utilizado.Cap. 19 DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: IMPULSO... 405 SOLUÇÃO Diagramas de Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular. O impulso que a bala exerce na barra pode ser eliminado da análise, e a velo- cidade angular da barra imediatamente após a colisão pode ser determinada considerando-se a bala e a barra um único corpo. Para esclarecer os princí- pios envolvidos, mostramos na Figura 19.10b os diagramas de impulso e quantidade de movimento/momento angular. Os diagramas são mostrados imediatamente antes e imediatamente depois da colisão. Durante a colisão, a bala e a barra trocam impulsos internos opostos (mesmo módulo, mesma dire- ção e sentidos opostos) em A. Como mostrado no diagrama do impulso, os impulsos que são externos ao sistema devem-se às reações em O e aos pesos da bala e da barra. Como o tempo de impacto, é muito curto, a barra sofre um ligeiro deslocamento, e, portanto, os 'momentos' dos impulsos dos pesos em relação a O são praticamente nulos. Logo, o momento angular se conserva em relação a esse ponto. At 0,5 m 0,75 m 49,05 At 0,75 m IG + G G 30° A 0,0392 At (b) Conservação do Momento Angular. Da Figura 19.10b, temos = cos = + + = ou (1) Cinemática. Como a barra está ligada por um pino em temos da Figura w₂ 19.10c 0,5 m 0,75 m G Substituindo esses resultados na Equação 1 e resolvendo obtemos Resposta (c) Figura 19.10Cap. 19 DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: IMPULSO... 409 Resolvendo -6,52 pés/s 6,52 pés/s Resposta A 1,5 pé 30 pés/s G B (c) Figura 19.12 PROBLEMAS 19.34. As rodas A e B têm massas e e raios de gira- taforma, com uma velocidade horizontal de 5 pés/s, medida ção e em relação aos seus eixos verticais centrais, relativamente à plataforma. Determine a velocidade angular respectivamente. Se elas podem girar livremente no mesmo da plataforma se o bloco é atirado (a) tangencialmente à pla- sentido com velocidades angulares WA e WB em torno do taforma, ao longo do eixo +t e (b) ao longo da linha radial mesmo eixo vertical, determine sua velocidade angular comum ou eixo +n. Despreze o tamanho do homem. depois de terem sido postas em contato e o escorregamento entre elas ter finalizado. 19.35. Uma plataforma circular horizontal tem peso de 300 lb e raio de giração = 8 pés em relação ao eixo passan- do pelo seu centro O.A plataforma pode girar livremente em torno do eixo e está inicialmente em repouso. Um homem com peso de 150 lb começa a correr ao longo da borda numa trajetória circular de 10 pés de raio. Se ele tem velocidade de 4 pés/s e mantém essa velocidade relativamente à platafor- 10 pés ma, determine a velocidade angular dessa plataforma. Despreze os atritos. n t Problema 19.36 19.37. Cada uma das duas barras delgadas e o disco têm a mesma massa m. comprimento de cada barra é igual ao diâ- metro d do disco. Se o conjunto está girando com uma velo- cidade angular quando as barras estão dirigidas para fora, 10 pés determine a velocidade angular do conjunto, se por meios internos as barras são levantadas e postas na posição vertical. Problema 19.35 *19.36. Uma plataforma circular horizontal tem peso de 300 lb e raio de giração = 8 pés em relação ao eixo passan- do pelo seu centro O.A plataforma pode girar livremente em d d d torno do eixo e está inicialmente em repouso. Um homem com peso de 150 lb atira um bloco de 15 lb para fora da pla- Problema 19.37410 DINÂMICA 19.38. homem senta-se num banco giratório mantendo em suas mãos dois pesos de 5 lb e os braços estendidos. Se ele está girando a 3 rad/s nessa posição, determine sua velocidade angu- lar quando os pesos são trazidos para próximo do eixo de rotação, a uma distância de 0,3 pé. Suponha que o homem pesa C 160 lb e tem raio de giração = 0,66 pé relativamente ao eixo z. Despreze a massa dos braços e as dimensões dos pesos. A 0,2 m 0,75 m 0,2 m x 3 rad/s Problema 19.40 2,5 pés 2,5 pés 19.41. A barra ACB de 2 kg suporta em suas extremidades dois discos de 4 kg. Se a ambos os discos se transmite uma velo- cidade angular no sentido horário = = 5 rad/s, enquanto a barra é mantida estacionária e, então, solta, deter- mine a velocidade angular da barra após os discos terem parado de girar relativamente à roda, devido à resistência de atrito nos pinos A e B. O movimento se dá no plano hori- zontal. Despreze o atrito no pino C. 0,75m 0,75m C DA 0,15 m 0,15 m Problema 19.38 Problema 19.41 19.39. Um homem tem um momento de inércia I₂ em rela- 19.42. A barra de 5 lb suporta o disco de 3 lb em sua extre- ção ao eixo z.O homem está inicialmente em pé e em repouso midade. Se ao disco se comunica uma velocidade angular numa plataforma que pode girar livremente. Se ele segura = 8 rad/s enquanto a barra é mantida estacionária e, uma roda que está girando com velocidade w e tem momen- então, solta, determine a velocidade angular da barra após o to de inércia I em relação ao seu eixo de rotação, determine disco parar de girar relativamente à barra, devido ao atrito sua velocidade angular se (a) ele segura a roda na posição no eixo A.O movimento se dá no plano horizontal. Despreze vertical, como mostrado na figura, (b) gira a roda para fora, o atrito no eixo fixo B. com Θ = 90° e (c) gira a roda para baixo, com = 180°. 3 pés A pé B Problema 19.42 19.43. Um disco fino de massa m tem velocidade angular w, enquanto gira sobre uma superfície lisa. Determine sua velo- cidade angular imediatamente após o gancho na sua borda atingir o pino P e o disco começar a girar em torno de P sem retroceder. Problema 19.39 *19.40. O satélite artificial tem uma massa de 125 kg e um momento de inércia I₂ = 0,940 kg m², excluindo-se os qua- tro painéis solares A, B, C e D. Cada painel solar tem uma w₁ massa de 20 kg e pode ser considerado como uma placa fina. Se o satélite está girando inicialmente em torno do eixo Z a Problema 19.43 uma taxa constante = 0,5 rad/s quando = 90°, determi- ne a taxa de rotação se todos os painéis são levantados e *19.44. O pêndulo consiste numa barra delgada AB de 5 lb alcançam a posição vertical, = 0°, no mesmo instante. e um bloco de madeira de 10 lb. Um projétil de 0,2 lb é dis-RESPOSTAS 561 17.50. 18.11. 17.51. 18.13. 17.53. 18.14. 17.54. w 18.15. 17.55. 18.17. w 17.57. P 18.18. 17.58. 18.19. 17.59. 18.21. 17.61. 18.22. = 17.62. 18.23. 17.63. 18.25. 17.66. 18.26. w 17.67. α = 18.27. 17.69. 18.29. rev independentemente da orientação 17.70. 18.30. 17.71. 29,0 pés/s² 18.31. 17.73. 2mg 17.74. 8mgR 18.33. 18.34. 17.75. 18.35. a = 18.37. 17.77. M = 0,3gml 18.38. 17.78. 18.39. 17.79. 18.41. = 17.81. 18.42. 17.82. 18.43. = 17.83. 18.45. V M sen 18.46. = 17.85. 18.47. 17.86. 18.49. 17.89. Não escorrega 18.50. = 17.90. aB 18.51. 17.91. 18.53. 17.93. T kN 18.54. = 17.94. T = 1,684 rad/s, 18.55. 18.57. w 17.95. 18.58. 17.97. 18.59. 17.98. 17.99. Capítulo 19 17.101. 19.5. 17.102. 19.6. 17.103. 19.7. 19.9. 19.10. 17.105. 19.11. 2,25 rad/s, pés/s 17.106. 19.13. 19.14. 17.107. 17.109. 19.15. 19.17. 17.110. 19.18. = 17.111. = 19.19. 17.113. 19.21. 19.22. Capítulo 18 19.23. 18.2. 19.25. 119 rad/s, = 64,5 pés/s, 18.3. 19.26. 18.5. 19.27. 18.6. = 18.7. 19.29. 18.9. = √₂ 18.10. = 3,89 rad/s 19.30. y 3562 DINÂMICA 19.31. dt = 15,2 kN = {4,33i + 2,17j 2,50k} pés/s 20.27. VB = 4,71pés/s, 19.33. v₀ = m sen = {1,17i + 1,27j 0,779k} rad/s 20.29. w = {1,50i + 2,60j + 2,00k} rad/s, + 19.34. = 7,79k} pés/s = + 20.30. ac = 117k} pés/s², 19.35. w = 0,175 rad/s = {10,4i + 30,0j + 3k} rad/s² 19.37. w' = 11 3 20.31. = + 5,00j + m/s, ac = 5,45j + 32,3k} m/s² 19.38. 20.33. VA = {5,20i - 5,20j 3,00k} pés/s, 19.39. a) WM = 0, b) WM = c) WM = aA = {25i - 26,8j + 8,78k} pés/s² 20.34. = 6,25j} m/s, 19.41. w = 0,0708 rad/s = 26,25j 4k} m/s² 19.42. 20.35. w = 0,0708 rad/s VB = + 18,8j + 10,0k} pés/s, aB = {-19,1i + 24,0j 8,66k} pés/s² 19.43. 20.37. Vp = + 20j} m/s, 19.45. w₁ = 7,37 rad/s ap = 14,8j} m/s² 20.38. VB = {-10,2i 30j + 52,0k} m/s, 19.46. h = 5 7 aB = {-31,0i 161j 90k} m/s² 19.47. = 17,9° 20.39. VB = {-10,2i 28j + 52,0k} m/s, 19.49. w = 3,23 rad/s, = 32,8° aB = {-33,0i 159j 90k} m/s² 19.50. = 22,4° 20.41. Vp = {-25,5i 13,4j + 20,5k} pés/s, 19.51. = 3,36 pés/s ap = {161i 249j 39,6k} pés/s² 19.53. w₂ = 7,73 rad/s 20.42. Vp = {-25,5i 13,4j + 20,5k} pés/s, ap = {161i 243j pés/s² 19.54. w₁ = 1,02 20.43. Vp = {-0,849i + 0,849j + 0,566k} m/s, ap = {-5,09i 7,35j + 6,79k} m/s² 19.55. = 20.45. = {2,80j 5,60k} m/s, ac = {-56i + 2,1j} m/s² Capítulo 20 20.46. = {2,80j 5,60k} m/s 20.1. VA = {-5,20i 12j + 20,8k} pés/s, ac = {-56i + 2,1j 1,40k} m/s² aA = {-24,1i 13,3j 7,20k} pés/s² 20.47. VA = {-8,66i + 2,26j + 2,26k} m/s, 20.2. VA = {-5,20i - 12j + 20,8k} pés/s, = 47,8j + 4,53k} = {-3,33i 21,3j + 6,66k} pés/s² 20.3. w = {5,66j + 6,26k} rad/s, Capítulo 21 = {-3,39i} rad/s² 21.2. 20.5. = {-0,800i + 0,400j + 0,800k} m/s, 21.3. ac = {-10,3i 3,84j + 0,320k} m/s² 21.5. 20.6. w = 41,2 rad/s, = 4,00 m/s, 21.6. a = 400 rad/s², ap = 100 m/s² 20.7. VA = {-7,79i 2,25j + 3,90k} pés/s, 21.7. = {8,30i 35,2j + 7,02k} pés/s² 20.9. VB = {-7,06i 7,52k} pés/s, 21.9. aB = {77,3i 28,3j 0,657k} pés/s² 20.10. = + + + 21.10. 20.11. wp = {-40j} rad/s, = {-6400i} rad/s² 21.11. = 4,50 m², = 4,38 kg m², 20.13. = {4,35i + 12,7j} rad/s, = 0,125 kg α = {-26,1k} rad/s² 21.13. y = 0,5 pés, = -0,667 pés, 20.14. VA = {-1,80i} pés/s, = 0,0272 slug = {-0,720j 0,831k} pés/s² = 0,0155 slug pé², 20.15. VA = {-8,66i + 8.00j 13,9k} pés/s, = 0,0427 slug pé² = {-24,8i + 8,29j 30,9k} pés/s² 21.14. = 0,0595 kg m² 20.17. WA = 47,8 rad/s, = 7,78 rad/s 21.15. = 0,0292 slug 20.18. = {-2,00i} rad/s 21.17. = 1,13 slug pé² 20.19. = {-2,00i} rad/s, 21.18. I₂ = 0,429 kg m² = {34,5i} rad/s² 21.19. = 16,3 slug 20.21. aB = {-96,5i} pés/s² 20.22. = 1,875 m/s 21.23. = 15,1 rad/s 20.23. aB = -6,57 m/s² 21.25. 20.25. = {0,769i 2,31j + 0,513k} rad/s, 21.26. T VB = m/s 20.26. VA = {-2,50k} pés/s, 21.27. h = 2,24 pol =