Dinâmica dos Corpos Rígidos

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DINÂMICA DOS CORPOS
AULA 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Eimi Veridiane Suzuki
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CONVERSA INICIAL
Até agora, estudamos o movimento dos corpos como se eles se comportassem como partículas;
não definimos a posição exata das forças aplicadas a eles e o formato dos corpos não era relevante
para o problema.
TEMA 1 – MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO
“O movimento plano de um corpo ocorre quando todas as partículas de um corpo rígido se
deslocam ao longo de trajetórias que são equidistantes de um plano fixo” (Hibbeler, 2011).
Existem três tipos de movimento plano. O primeiro, a translação, pode ser vista na Figura 1(a) e
na Figura 1(b). Na 1(a), podemos ver uma translação retilínea, que é quando para quaisquer dois
pontos do corpo, a trajetória desses dois pontos é sempre paralela. No segundo tipo, translação
curvilínea, a distância entre dois pontos quaisquer do corpo é sempre a mesma.
Figura 1 – Tipos de movimento plano
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Fonte: Hibbeler, 2011.
Outro tipo de movimento plano é a rotação em torno de um eixo fixo (Figura 1(c)), no qual
temos um eixo e todas as partículas do corpo giram em torno desse eixo, sendo que as partículas
sobre o eixo ficarão paradas.
Já o movimento plano geral, mostrado na Figura 1(d), é uma combinação de translação e
rotação, sendo que o eixo da rotação deve ser perpendicular ao plano de referência da translação.
Veremos a translação e a rotação neste tema e o movimento plano geral no próximo.
1.1 TRANSLAÇÃO
Considere a situação da Figura 2.
Figura 2 – Situação 1
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Fonte: Hibbeler, 2011.
Sendo que rA e rB são vetores posição, temos que:
E, como os pontos da trajetória têm sempre que se manter equidistantes:
1.2 ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Quando temos uma rotação em torno de um eixo fixo, como na Figura , os pontos do corpo, que
não estão no eixo, têm uma trajetória circular. Portanto, r é constante e o centro do círculo será em
O.
O ângulo θ é a coordenada angular, medida a partir de uma linha de referência, e tem o sentido
anti-horário como positivo e é dado em radianos.
Figura 3 – Rotação em torno de um eixo fixo
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Fonte: Hibbeler, 2011.
A velocidade angular ω, que é a taxa temporal de variação do ângulo é:
A aceleração angular α, que é a taxa temporal de variação da velocidade angular é:
Ou ainda, eliminando dt:
Se a aceleração angular for constante, podemos usar:
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E se a velocidade angular for constante:
Para o ponto P no plano sombreado da Figura , temos as relações:
Ou, ainda com o produto vetorial:
Já a aceleração do ponto P, temos sua componente normal e a componente tangencial:
A aceleração, em termos de produto vetorial, é:
1.3 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Beer et al., 2019) A aceleração angular de uma oscilação de um eixo é definida
pela relação α = –0,5ω, onde α é expresso em rad/s² e ω, em rad/s. Sabendo que em t = 0 a
velocidade angular do eixo é 30 rad/s, determine:
(a) o número de revoluções que o eixo executará antes de atingir o repouso;
(b) o tempo necessário para o eixo atingir o repouso;
(c) o tempo necessário para a velocidade angular do eixo reduzir para 2% do seu valor inicial.
Solução: Organizando os dados:
Para  
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Para  
Para  
Para  
(a) Como se trata de um eixo, temos rotação, aceleração angular em função da velocidade
angular e queremos θ, podemos usar:
Transformando em revoluções:
(b) Como temos a aceleração angular em função da velocidade angular e agora queremos t,
podemos usar:
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Nesse caso, queremos a velocidade angular igual a zero:
(c) Temos:
Substituindo na relação encontrada em (b):
Exemplo 02: (Hibbeler, 2011) Um gancho está preso a uma corda, que está enrolada em torno
do tambor. Se ele se desloca do repouso com uma aceleração de 6 m/s², determine a aceleração
angular do tambor e sua velocidade angular após o tambor ter completado 10 revoluções. Quantas
revoluções mais o tambor realizará após ele ter completado as 10 primeiras e o gancho continuar a
se deslocar por 4 segundos?
Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: Organizando os dados:
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Como temos rotação, podemos utilizar a aceleração em um ponto, e como a aceleração do
gancho é a aceleração tangencial da rotação do tambor:
Agora, temos a aceleração angular e a coordenada angular. Podemos usar:
Para a última pergunta, usamos:
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TEMA 2 – MOVIMENTO PLANO GERAL E CENTRO INSTANTÂNEO DE
VELOCIDADE NULA
Já vimos dois tipos de movimentos plano de um corpo. Agora, vamos estudar o terceiro tipo: o
movimento plano geral.
2.1 MOVIMENTO PLANO GERAL
O movimento plano geral é uma translação mais uma rotação. Podemos citar como exemplo
uma roda em movimento; ela tem o movimento de translação em relação ao chão, e de rotação em
torno do seu eixo central, como se pode ver na Figura 4.
Figura pan >4 – Movimento plano geral
Fonte: Beer et al., 2019.
Outro exemplo é uma barra que pode deslizar em ambas as suas extremidades sobre um trilho,
como a da Figura 5.
Figura 5 – Barra
Crédito: Elias Aleixo.
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Quando temos movimento plano geral para o vetor posição, temos:
Já para o deslocamento, temos:
Sendo que os dois primeiros componentes descrevem a translação dos pontos B e A,
respectivamente, e o último termo, a rotação em torno do eixo. Derivando em função do tempo,
achamos as velocidades:
Ou seja:
E, como o último termo é referente à rotação:
Derivando a equação da velocidade em função do tempo:
Como o último termo é referente à rotação, podemos dividir em uma componente normal e uma
componente tangencial:
E como:
Então:
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2.2 CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA
Se temos um corpo rígido em movimento plano geral, sempre haverá um ponto no qual a
velocidade dele será momentaneamente zero, e os outros pontos do corpo se movimentarão em
torno dele, facilitando o cálculo da velocidade nos outros pontos. Esse ponto de velocidade
momentaneamente zero é chamado de centro instantâneo de velocidade nula (CI), e nem sempre
está contido no corpo, ou seja, ele pode não ser um ponto que faz parte do corpo, sendo apenas um
ponto no qual o corpo girará ao redor momentaneamente.
Como a velocidade nesse ponto será nula, então:
Para localizar o centro instantâneo de velocidade nula, temos três possibilidades. Para a primeira,
temos o vetor velocidade, e sabemos que o vetor posição entre o centro instantâneo de velocidade
nula e o vetor velocidade para o ponto terão que ser perpendiculares, como mostra a Figura 6. Para
essa situação, temos que conhecer o vetor velocidade e a velocidade angular no ponto, visto que:
Figura 6 – Vetor posição entre o centro instantâneo de velocidade nula e vetor velocidade para o
ponto perpendiculares
Fonte: Hibbeler, 2011.
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A segunda possibilidade é que conhecemos o vetor velocidade de dois pontos e esse vetores
não são paralelos. Nesse caso, traçamos uma perpendicular do vetor velocidade nos dois pontos
estudados, e o ponto em que as linhas se cruzarem será o centro instantâneo de velocidade nula
(Figura 7).
Figura 7 – Perpendicular do vetor velocidade
Fonte: Hibbeler,2011.
Já para a terceira situação, temos dois vetores velocidade que são paralelos. Nesse caso,
acharemos o centro instantâneo de velocidade nula por semelhança de triângulos. A Figura 8 mostra
duas situações como exemplos.
Figura 8 – Dois vetores velocidade paralelos
Fonte: Hibbeler, 2011.
2.3 EXEMPLO
Exemplo 1: O carretel de fita e sua estrutura de apoio são puxados para cima com uma
velocidade vA = 750 mm/s. Sabendo que o carretel de raio 80 mm tem uma velocidade angular de 15
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rad/s no sentido horário e que no instante mostrado na figura a espessura total da fita no carretel é
de 20 mm, determine:
(a) o centro instantâneo de rotação do carretel;
(b) as velocidades dos pontos B e D.
Crédito: Elias Aleixo.
Solução: Organizando os dados:
(a) Localizando o CI:
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O CI vai ficar a 50 mm para a direita do ponto A.
(b) Para achar a distância entre o ponto B e o CI:
(c) Agora, fazemos o mesmo processo para o ponto D:
Exemplo 02: (Hibbeler, 2011) O bloco deslizante se desloca com uma velocidade vB = 1,5 m/s e
uma aceleração aB = 0,9 m/s². Determine a aceleração angular da barra AB no instante mostrado.
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Solução: Organizando os dados:
Como a barra tem ambos os movimentos, rotação e translação, temos um movimento plano
geral. Podemos aplicar a equação da aceleração para os pontos A e B, e para isso precisamos da
velocidade angular da barra e a aceleração no ponto A.
Para a velocidade angular, vamos encontrar o centro instantâneo de velocidade nula da barra
naquele instante:
Então:
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Para achar a aceleração no ponto A, precisaremos da velocidade no ponto:
Como o ponto A está se movendo por um caminho circular, a componente normal da aceleração
será:
E como:
Então:
O sentido da aceleração normal no ponto A será para o centro do círculo de raio 0,45m. Já a
componente tangencial vai tangenciar o círculo naquele ponto, ou seja, terá a direção para baixo.
Agora, aplicando a equação da aceleração para os pontos A e B:
Separando os componentes i:
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A aceleração angular da barra AB no instante mostrado será 3,7 rad/s², no sentido horário.
TEMA 3 – MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: FORÇA E
ACELERAÇÃO
Antes de verificar como funciona a aplicação da segunda lei de Newton para o movimento plano
de um corpo rígido, precisamos rever alguns conceitos:
3.1 CENTRO DE MASSA E MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA
O centro de massa é a posição da média das massas de um corpo. Imagine um corpo qualquer,
composto de várias partículas. Cada partícula tem um peso, que é orientado para o centro da Terra.
Generalizando, os vetores pesos dessas partículas são paralelos, e a resultante da soma de todos
esses vetores estará localizada no centro de massa (G). O centro de massa varia de acordo com o
formato e a densidade do corpo.
Ou em função do volume:
Já o momento de inércia de massa (I) é o quanto o corpo resiste à aceleração angular. O
momento de inércia sempre será em relação a um eixo, por exemplo, Iy é quanto o corpo resiste à
aceleração angular em torno do eixo y. O momento de inércia é dado pela equação:
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Se o momento de inércia for em relação ao eixo que passa por G, em um elemento plano,
chamamos de IG, e se ele é conhecido, pode-se determinar qualquer outro momento de inércia que
tenha o eixo paralelo ao eixo de IG. Se o objeto é composto, usa-se:
em que d é a distância perpendicular entre os dois eixos.
Várias figuras têm fórmulas tabeladas para achar o valor de I.
Outra maneira de se achar o momento de inércia é por meio do raio de giração (k), que é uma
propriedade geométrica da peça.
3.2 TRANSLAÇÃO: EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
Na translação retilínea, a aceleração angular é nula, e a aceleração será igual para todas as
partículas que formam o corpo. Os diagramas de corpo livre e cinético para a translação retilínea são
mostrados na Figura 9.
Figura 9 – Diagramas de corpo livre e cinético
Fonte: Hibbeler, 2011.
Para esse caso, as equações são:
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Já no caso de a trajetória ser curva — ou seja, as trajetórias dos pontos serem curvas e paralelas
—, os diagramas de corpo livre e cinético para a translação serão como mostrados na Figura 10.
Figura 10 – Diagramas de corpo livre e cinético para a translação
Fonte: Hibbeler, 2011.
Já as equações de trajetória curva são:
3.3 ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO: EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
Seja o corpo mostrado na Figura 11, o qual está rotacionando ao redor do ponto O. Podemos
ver os diagramas de corpo livre e cinético na Figura 12.
Figura 11 – Corpo rotacionado ao redor do ponto O
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Fonte: Hibbeler, 2011.
Figura 12 – Diagramas de corpo livre e cinético
Fonte: Hibbeler, 2011.
As equações para a rotação em torno de um eixo fixo são:
Onde  leva em consideração  e  em relação ao ponto O.
3.4 MOVIMENTO PLANO GERAL: EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
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Sendo o corpo rígido mostrado na Figura 13, que vai estar em movimento plano geral, ou seja:
temos aplicadas forças e momentos que geram os movimentos de tranlação e rotação. A Figura 14
mostra os diagramas de corpo livre e cinético para esse corpo.
Figura 13 – Corpo rígido
Fonte: Hibbeler, 2011.
Figura 14 – Diagramas de corpo livre e cinético
Fonte: Hibbeler, 2011.
Para o movimento plano geral, temos as seguintes equações:
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Onde , momento cinético ao redor do ponto P, representa a soma dos momentos  e
.
3.5 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Hibbeler, 2011) A pá única PB do ventilador tem massa de 2 kg e um momento de
inércia IG = 0,18 kg . m² em relação a um eixo passando pelo seu centro de massa G. Se a pá é
submetida a uma aceleração angular de 5 rad/s² e tem uma velocidade angular ω = 6 rad/s quando
está na posição vertical mostrada, determine a força normal N, a força de cisalhamento V e o
momento de flexão M interno que o cubo exerce sobre a pá no ponto P.
Solução: Organizando os dados:
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O próximo passo é desenhar os diagramas de corpo livre e cinético.
Aplicando as equações de movimento para rotação em torno de um eixo fixo:
Exemplo 02: Um tambor de 60 mm de raio está preso a um disco de 120 mm de raio. O disco e
o tambor têm massa total de 6 kg e um raio de giração combinado de 90 mm. Uma corda é presa
como mostra a figura e puxada com uma força P de intensidade 20 N. Sabendo que o disco rola sem
deslizar, determine:
(a) a aceleração angular do disco e a aceleração G;
(b) o valor mínimo do coeficiente de atrito estático compatível com esse movimento.
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Crédito: Elias Aleixo.
Solução: Organizando os dados:
Agora, vamos desenhar o diagrama de corpo livre e o digrama cinético.
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Crédito: Elias Aleixo.
(a) Estamos lidando com movimento plano geral, então, para achar a aceleração angular da
rotação:
O momento de inércia será:
Aplicando as equações de movimento plano geral:
E como:
(b) Para achar o coeficiente de atrito estático, vamos aplicar as outras equações de movimento
plano geral, e como não há movimento em y:
E com a equação do atrito estático, temos:
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TEMA 4 – MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO:TRABALHO
E ENERGIA
Agora, vamos aplicar métodos de trabalho e energia em problemas de movimento plano de um
corpo rígido.
4.1 TRABALHO
O trabalho realizado por uma força é:
Relembrando que, quando o angulo  (ângulo entre a força e o deslocamento) e a força forem
constantes, podemos usar:
As forças que realizam trabalhos são as forças externas, mas nem toda força externa realiza
trabalho. As reações de apoio, por exemplo, são forças externa que não realizam trabalho.
Já o trabalho realizado por um momento é dado por:
E se o momento M for constante:
4.2 ENERGIA CINÉTICA
Vamos ver como a energia cinética se comporta em todos os tipos de movimento plano.
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Na translação, podemos escrever a equação da energia cinética como:
Na rotação, podemos ter a velocidade ( ) e a velocidade angular (ω), então podemos dizer que a
energia cinética é:
Como :
No movimento plano geral, também temos a velocidade ( ) e a velocidade angular (ω), então a
equação da energia cinética também fica:
Sendo o momento de inércia em relação ao centro instantâneo de velocidade nula.
4.3 PRINCÍPIO DO TRABALHO E ENERGIA
Já vimos que o princípio do trabalho e energia diz que a variação da energia cinética da partícula
é o trabalho da força F.
Sendo que as energias cinéticas inicial e final incluem as parcelas de translação e rotação do
corpo.
4.4 CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
O método de conservação de energia para a resolução de um problema é útil quando temos
somente forças conservativas. E a equação para esse método é:
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4.5 POTÊNCIA
Potência se relaciona à quantidade de tempo para a realização de um trabalho, e é dada pela
equação:
Mas, se tivermos um corpo rígido que tem uma velocidade angular (ω) e um momento M,
paralelo ao eixo de rotação, temos:
4.6 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Beer et al., 2019) Um rotor de motor elétrico tem uma velocidade angular de 3.600
rpm quando a carga e a energia elétrica são desligadas. O rotor de 50 kg, que tem um raio de
giração centroidal de 230mm, chega então ao estado de repouso. Sabendo que o atrito cinético do
rotor produz um binário de intensidade de 3,4 N.m, determine o número de revoluções que o rotor
executa antes de chegar ao repouso.
Solução: Organizando os dados:
Calculando o momento de inércia:
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Para usarmos o princípio de trabalho e energia, temos que achar a energia cinética antes e
depois.
Agora, vamos achar o trabalho:
Princípio de trabalho e energia:
Exemplo 02: (Hibbeler, 2011) Um homem com massa 75 kg está agachado na extremidade do
trampolim, como mostra a figura. Nessa posição, o raio de giração em relação a seu centro de
gravidade é kG = 0,36 m. Enquanto mantém sua posição em θ = 0°, ele gira em torno da ponta dos
pés em A até perder o contato com a plataforma, quando θ = 90°. Se ele permanecer rígido,
determine de forma aproximada quantas revoluções ele completará antes de atingir a água, após
uma queda de 9 m.
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Solução: Organizando os dados:
Usando o método de conservação de energia para 1-2 em A:
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Como:
Como de 2-3 é queda livre, pode-se usar:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos t’. Durante a queda, nenhuma força causa
uma aceleração angular.
TEMA 5 – MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO: IMPULSO E
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Agora, vamos estudar como aplicar os princípios de impulso e quantidade de movimento para
resolver problemas de movimento plano de um corpo rígido.
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5.1 QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR E ANGULAR
Para descobrir a quantidade de movimento linear de um corpo rígido, temos:
Já para descobrir a quantidade de movimento angular de um corpo rígido, temos:
Se estivermos falando especificamente de translação, a velocidade angular é zero e, portanto, a
quantidade de movimento angular de um corpo rígido será nula.
Já para a rotação, além das duas últimas equações citadas anteriormente, e como ,
podemos escrever, para um ponto O que é diferente de G, que:
Para o movimento plano geral, temos as duas primeiras equações deste tema e uma equação em
relação ao centro instantâneo de velocidade nula.
5.2 PRINCÍPIO DE IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Como foi visto na Aula 5, a equação do princípio de impulso e quantidade de movimento linear
pode ser escrita como:
Mas, aqui estaremos analisando a velocidade do centro de massa do corpo.
Para o princípio de impulso e quantidade de movimento angular, quando os movimentos que
ocorrem no eixo x-y:
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5.3 CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
A quantidade de movimento linear do sistema é constante quando não há forças externas
agindo no corpo. A equação da conservação da quantidade de movimento linear é:
Já a equação da conservação da quantidade de movimento angular é:
5.4 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Hibbeler, 2011) A raquete de tênis tem um centro de gravidade em G e um raio de
giração em relação a G kG = 0,1875 m. Determine a posição P em que a bola tem que ser rebatida de
maneira que nenhuma “picada” seja sentida pela mão segurando a raquete, ou seja, a força
horizontal exercida pela raquete na mão seja zero.
Solução: Organizando os dados:
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Primeiramente, vamos calcular o momento de inércia:
Vamos presumir que a raquete esteja inicialmente em repouso e que gire, com uma velocidade
angular (ω), até o momento do impacto. Imediatamente após o impacto há um impulso de .
Agora, em relação ao ponto P:
Agora, temos um sistema:
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Exemplo 02: (Hibbeler, 2011) O corpo de um satélite C tem massa de 200 kg e um raio de
giração em relação ao eixo z de kz = 0,2 m. Se o satélite gira em torno do eixo z com uma velocidade
angular de 5 rev/s quando os painéis solares A e B estão em uma posição de θ = 0°, determine a
velocidade angular do satélite quando os painéis são girados para uma posição de θ = 90°.
Considere cada painel solar como uma placa fina com uma massa de 30 kg. Despreze a massa das
barras.
Solução: Organizando os dados:
Primeiramente, vamos calcular o momento de inércia para os dois momentos. Como se trata de
um objeto composto, usamos:
Do apêndice do livro do qual a questão foi retirada, temos:
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Fonte: Hibbeler, 2011.
Então:
Então, como não há forças externas agindo no satélite, podemos usar conservação da
quantidade de movimento:
FINALIZANDO
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Nesta aula, aprendemos o que é movimento plano de um corpo rígido e seus três tipos:
translação, rotação em torno de um eixo e movimento plano geral. No movimento plano de um
corpo rígido. não trabalhamos mais como se um corpo fosse uma partícula e, sim, um corpo com
dimensões, então revimos os conceitos que estudamos nas aulas anteriores para o movimento plano.
Estudamos exemplos dos assuntos apresentados, mas, para melhor fixar o conteúdo, faça mais
exercícios que abordem os assuntos desta aula.
REFERÊNCIAS
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 11. ed. Porto Alegre: AMGH,
2019.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 5. ed. rev. São
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.
HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do
Brasil, 2011.