AP MATEMÁTICA - AULA 5 exponencial inclui_funcao_exponencial_nova_para_o_site_com_resolucoesaofinal (1)

Prévia do material em texto

CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 5 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL 
 Dado um número real a e um número natural n (n 0), 
definimos a potência como o produto de n fatores iguais ao número 
a. 
    n
n fatores
a a a a a 
Em que: 
a  base n  expoente na  potência 
 
Convenção: 0a 1, a R* 
 
POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO 
 
 n
n
1
a
a
 com n  N* e a  R* 
 
POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL 
 
  
m
m n mnna a a com a  R+* e m, n  N (n  0) 
 
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS 
 
  m n m na a a 
 
m
m n
n
a
a ,
a
se a 0 
    m m ma b a b 
 
 
  
m m
m
a a
,
b b
 se b 0 
      
n m
m n m na a a 
 
PROPRIEDADES DOS RADICAIS 
 
 

 

n n a, se n for ímpara
| a |, se n for par
 
   n n na b a b 
 
n
n
n
a a
b b
 
 n m n ma a 
 
NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
Notação científica, é também denominada por padrão ou 
notação em forma exponencial, é uma forma de escrever 
números que acomoda valores demasiadamente grandes 
(100000000000) ou pequenos (0,00000000001) para serem 
convenientemente escritos em forma convencional. O uso desta 
notação está baseado nas potências de 10 (os casos 
exemplificados acima, em notação científica, ficariam:  111 10 e 
 111 10 , respectivamente). Como exemplo, na química, ao se 
referir à quantidade de entidades elementares (átomos, moléculas, 
íons etc.), há a grandeza denominada quantidade de matéria (mol). 
Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: 
em x 10 
O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza. A 
mantissa, em módulo, deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10, 
e a ordem de grandeza, dada sob a forma de expoente, é o 
número que mais varia conforme o valor absoluto.7 
Observe os exemplos de números grandes e pequenos: 
 600 000 
 30 000 000 
 500 000 000 000 000 
 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 
 0,0004 
 0,00000001 
 0,0000000000000006 
 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008 
 
A representação desses números, como apresentada, traz pouco 
significado prático. Pode-se até pensar que esses valores são 
pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. 
Porém, em áreas como a física e a química, esses valores são 
frequentes. Por exemplo, a maior distância observável 
do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 
000 m, e a massa de um próton é aproximadamente: 
0,00000000000000000000000000167 kg 
Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, 
pois apresenta a vantagem de poder representar adequadamente a 
quantidade de algarismos significativos. Por exemplo, a distância 
observável do universo, do modo que está escrito, sugere a 
precisão de 27 algarismos significativos. Mas isso pode não ser 
verdade (é pouco provável 25 zeros seguidos numa aferição). 
 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Uma equação é denominada exponencial quando a incógnita 
aparece no expoente. 
  x ya a x y, com 1 a > 0 
Para resolvermos uma equação exponencial, devemos transformar 
a equação dada em igualdade de mesma base, ou seja, devemos 
obter potências de mesma base no primeiro e no segundo 
membros da equação; para isso é necessário usar as propriedades 
revistas das potenciações. 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Definição 
Considere uma função f: , definida por 
xf(x) a , com 
a > 0 e a  1. Tal função é denominada função exponencial. 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
49 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Exemplos 
1. xf(x) 3 
2. xy (0,78) 
3. f(x) = 
x
1
4
 
  
 
4. y = (5,57)x 
 
Observações 
Ao analisarmos a definição, podemos perguntar o seguinte: Por 
que a base a deve ser maior do que 0 e diferente de 1? 
Para respondermos a essa pergunta, vamos imaginar o que 
ocorreria se a fosse igual a 1 ou igual a 0. Nos dois casos, é fácil 
perceber que as funções correspondentes não seriam funções 
exponenciais. De fato, temos: 
• Se a = 1, a função xf(x) a se torna igual a f(x) = 1, ou seja, 
função constante. 
• Se a = 0, a função xf(x) a se torna igual a xf(x) 0 . Nesse 
caso, observe que a função não está definida para x = 0, pois 
nesse caso teríamos 0f(x) 0 , cujo valor é indeterminado. 
Para x  0, teríamos f(x) = 0 (função constante). De qualquer 
modo, não teríamos uma função definida para todo x real. 
Vamos analisar outro aspecto decorrente da definição: Por que a 
base a não pode ser negativa? 
Para responder a essa pergunta, vamos imaginar, por exemplo 
uma função dada por xf(x) ( 2) .  Observe que essa função não 
possui domínio D igual a . Por exemplo, para x = 
1
2
 teríamos 
 
1
2
1
f 2 2 ,
2
 
     
 cujo valor não está definido no conjunto 
dos números reais. 
Portanto, para que a função exponencial possua domínio D igual a 
, devemos ter a > 0 e a  1. 
 
Gráfico 
Iremos, agora, estudar o comportamento dos gráficos das funções 
exponenciais. Em cada exemplo a seguir, vamos atribuir alguns 
valores à variável x, calcular a imagem correspondente e utilizar os 
pontos obtidos para construir o gráfico da função. 
Exemplos 
1. Construir o gráfico da função xy 3 . 
x xy 3 
–2 
1
9
 
–1 
1
3
 
0 1 
1 3 
2 9 
 
Acerca do gráfico da função xy 3 , podemos observar o 
seguinte: 
I. Trata-se de uma função crescente, de domínio D = . 
II. É uma função injetora, pois cada valor da imagem corresponde 
a um único valor do domínio. 
III. A curva está toda acima do eixo das abscissas. De fato, a 
função xy 3 possui apenas valores positivos. Portanto, a 
sua imagem Im é dada por Im = * . O eixo das abscissas é 
chamado assíntota1 do gráfico. É comum dizermos que a curva 
se aproxima assintoticamente do eixo das abscissas. 
IV. A curva intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). 
2. Construir o gráfico da função f(x) = 
x
1
2
 
  
. 
x f(x) = 
x
1
2
 
  
 
–3 8 
–2 4 
–1 2 
0 1 
1 
1
2
 
2 
1
4
 
3 
1
8
 
 
 
 
 
 
 
 50 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
Acerca do gráfico da função f(x) = 
x
1
2
 
  
, podemos observar o 
seguinte: 
I. Trata-se de uma função decrescente, de domínio D = . 
II. É uma função injetora, pois cada valor da imagem corresponde 
a um único valor do domínio. 
III. A curva está toda acima do eixo das abscissas. De fato, a 
função f(x) = 
x
1
2
 
  
 possui apenas valores positivos. Portanto, 
a sua imagem Im é dada por Im = * . A curva se aproxima 
assintoticamente do eixo das abscissas. 
IV. A curva intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). 
 
Esboço do gráfico da função xf(x) a 
Conforme visto nos gráficos dos exemplos anteriores, a base a da 
função determina se o gráfico é crescente ou decrescente. 
Podemos generalizar da seguinte maneira: 
 
Gráfico de xf(x) a 
Se a > 1, então f(x) é crescente 
 
 
Se 0 < a < 1, então f(x) é decrescente 
 
 
O número e 
Trata-se de um número irracional, cujo valor é 2,71828... . Esse 
número é conhecido como número neperiano, uma referência ao 
matemático escocês John Napier (1550-1617), autor de primeira 
publicação sobre a Teoria dos Logaritmos. Essa constante também 
é conhecida como número de Euler, uma referência ao matemático 
suíço Lenhonard Euler, que demonstrou a sua irracionalidade no 
século XVIII. No cálculo diferencial e integral, o número e é 
expresso na forma de um limite dado por: 
 
1
x
x 0
e lim 1 x

  
Essa expressão pode ser lida como “o valor de e é igual ao limite 
de  
1
x1 x quando x tende a zero”. Em outras palavras, ao 
substituirmos na expressão valores de x cada vez mais próximos 
de zero, o valor de  
1
x1 x seaproxima de 2,71828... . A tabela a 
seguir ilustra esse fato. 
x  
1
x1 x 
1 2 
0,1 2,59374 
0,01 2,70481 
0,001 2,71692 
0,0001 2,71815 
0,00001 2,71827 
0,000001 2,71828 
 
O número e é extremamente importante no estudo de diversos 
fenômenos naturais, tais como o crescimento populacional, o 
decaimento radioativo, o crescimento de bactérias, juros, entre 
outros. Observe que, como e > 1, a função xf(x) e é crescente, 
e o seu gráfico possui o seguinte esboço: 
Gráfico da função xf(x) e 
 
 
Outras funções envolvendo exponenciais 
As funções da forma xf(x) a são as funções exponenciais mais 
simples que existem. Entretanto, muitas vezes nos deparamos com 
funções exponenciais mais complexas, da forma xf(x) k.a , com 
k  * ou mesmo funções da forma .xf(x) k.a ,   com k  
* ,   * e   . Um exemplo é dado pela função: 
.x
0l(x) l .0,5
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
51 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Sendo I(x) a intensidade luminosa de um feixe de luz que incide 
perpendicularmente à superfície da água, em função da 
profundidade x em metros. Além disso, I0 é a intensidade luminosa 
na superfície da água e  é uma constante positiva, que depende 
do nível de turbidez da água. 
Iremos, agora, estudar o comportamento dos gráficos de algumas 
dessas funções mais complexas. 
 
Exemplos 
1. Construir o gráfico da função xf(x) 3.2 . 
Resolução: 
Atribuindo alguns valores para x e calculando os valores 
correspondentes de f(x), obtemos a tabela e o gráfico a seguir: 
 
x xf(x) 3.2 
–2 
3
4
 
–1 
3
2
 
0 3 
1 6 
2 12 
 
 
Observe que a intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas 
ocorre no ponto (0, 3), e que o eixo das abscissas é a assíntota da 
curva. 
2. Construir o gráfico da função xf(x) 3 1.  
Resolução: 
Atribuindo alguns valores para x e calculando os valores 
correspondentes de f(x), obtemos a tabela e o gráfico a seguir: 
 
x xf(x) 3 1  
–2 
10
9
 
–1 
4
3
 
0 2 
1 4 
2 10 
 
 
 
Observe que a intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas 
ocorre no ponto (0, 2), e que a reta y = 1 é a assíntota da curva. 
Além disso, o gráfico da função xf(x) 3 1  pode ser obtido a 
partir do gráfico da função f(x) = 3x, com uma translação de 1 
unidade para cima. 
 
Observação 
De forma geral, para esboçarmos o gráfico de uma função da 
forma xf(x) a k,  com 0 < a  1 e k  , podemos primeiro 
esboçar o gráfico da função xf(x) a . Em seguida, devemos 
“deslocar” esse gráfico k unidades para cima ou para baixo, 
dependendo do sinal da constante k. A assíntota do gráfico é dada 
pela função y = k. 
3. Construir o gráfico da função 1 xf(x) 2 . 
Resolução: 
Nesse caso, ao invés de simplesmente atribuirmos valores para x, 
vamos, primeiro, manipular a expressão matemática da função. 
Observe que 1 x 1 xf(x) 2 2 .2 ,   que pode ser escrita como 
f(x) = 2.
x
1
2
 
  
. Assim, temos: 
x f(x) = 
x
1
2
 
  
 
–2 8 
–1 4 
0 2 
1 1 
2 
1
2
 
3 
1
4
 
 
 
 
 
 
 52 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
Observe que a intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas 
ocorre no ponto (0, 2), e que o eixo das abscissas é a assíntota da 
curva. 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
53 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
QUESTÃO 01 
O expoente do número 3 na decomposição por fatores primos positivos do número natural 
63 6110 10 é igual a: 
a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2. 
 
QUESTÃO 02 
A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano-luz, é de aproximadamente 38  54  125 
quilômetros. A notação científica desse número é: 
a) 9,5  1010 . 
b) 0,95  1210 . 
c) 9,5  1210 . 
d) 95  1210 . 
e) 9,5  1410 . 
 
QUESTÃO 03 
Em pesquisa realizada, constatou-se que a população(P) de determinada bactéria cresce segundo a 
função P(t) =  t25 2 , onde t representa o tempo em horas. Quanto tempo será necessário para atingir 
uma população de 400 bactérias? 
a) 1h b) 2h c) 3h d) 4h e) 5h 
 
QUESTÃO 04 
Seja a equação exponencial abaixo: 
    2x 2 x 24 24 4 8 0 
Para resolver essa a equação exponencial, Aline tomou o cuidado de inicialmente multiplicar ambos os 
membros da equação por 16. Tendo resolvido corretamente, Aline encontrou dois números reais cujo 
produto vale: 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0 
 
QUESTÃO 05 
A soma das raízes reais da equação    x x4 6 2 8 0 é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
QUESTÃO 06 
Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual a 
a) 2. 
b) 2 3 . 
c) 3. 
d) 3 2. 
e) 4. 
 
 
 
 
QUESTÃO 07 
Considere que o valor y de certa grandeza pode ser expresso, em função do tempo t (em horas), pela 
lei 
  3ty k 2 , em que k é uma constante real. Para obter-se a meia vida de y, ou seja, para que y se 
reduza a metade, é necessário que o tempo t sofra um acréscimo de quantos minutos? 
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 54 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 QUESTÃO 08 
Com base em uma pesquisa, obteve-se o gráfico abaixo, que indica o crescimento de uma cultura de 
bactérias ao longo de 12 meses pela lei de formação representada pela função  N(t) k p
t
, onde k e 
p são constantes reais. 
 
 
 
Nas condições dadas, o número de bactérias, após 4 meses, é: 
a) 1800; b) 2400; c) 3000; d) 3200; e) 3600. 
 
QUESTÃO 09 (UFLA-MG) 
A figura é um esboço do gráfico da função xy = 2 . A ordenada do ponto P de abscissa 
a b
2

 é 
 
a) cd 
b) c + d 
c) cd 
d)  
2
cd 
 
 
 
QUESTÃO 10 (ACAFE-SC-2012) 
Um dos perigos da alimentação humana são os microrganismos, que podem causar diversas doenças 
e até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos, 
armazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a prevenir a contaminação pelos mesmos. 
Sabendo que certo microrganismo se prolifera rapidamente, dobrando sua população a cada 20 
minutos, pode-se concluir que o tempo que a população de 100 microrganismos passará a ser 
composta de 3 200 indivíduos é 
a) 1h e 35min. 
b) 1h e 40min. 
c) 1h e 50min. 
d) 1h e 55min. 
 
QUESTÃO 11 (UNIRIO-RJ) 
Assinale o conjunto solução da inequação 
 
  

1 1
.
2 4
x 3
 
a)  , 5 
b)  4,  
c)  5,  
d)  x | x 5   
e)  x | x 5   
 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
55 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
QUESTÃO 12 (Unimontes-MG) 
A imagem e o esboço do gráfico da função y =  x3 2 são, respectivamente. 
a)  y | y 3 e  
 
b)  y | y 2 e   
 
 
c)  y | y 2 e  
 
 
 
d)  y | y 3 e   
 
 
 
QUESTÃO 13 (FUVEST-SP-2012) 
Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação 
m(t) =   C a k t , em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da 
substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância 
foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância 
em 20 anos? 
a) 10% b) 5% c) 4% d) 3% e) 2% 
 
QUESTÃO 14 (UFSCar-SP) 
Determine o par ordenado (x, y), solução do sistema abaixo: 
 

 


4 32
3 3
x y
y x
 
a) 
3
5,
2
 
  
 b) 
3
5,
2
 
  
 c) 
2
3,
3
 
  
 d) 
3
1,
2
 
  
 e) 
1
1,
2
 
  
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 56 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICADO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 QUESTÃO 15 (Mackenzie-SP) 
Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo 
f(x) = xa . O valor de g(g(–1)) + f(g(3)) é 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 
3
2
 
e) 
5
2
 
 
QUESTÃO 16 (FUVEST-SP) 
Seja f(x) = 2x 12 . Se a e b são tais que f(a) = 4f(b), pode-se afirmar que 
a) a + b = 2 b) a + b = 1 c) a – b = 3 d) a – b = 2 e) a – b = 1 
 
QUESTÃO 17 (UFC-CE) 
Meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que sua massa se reduza à 
metade. Tomemos, hoje, 16 gramas de uma substância radioativa cuja meia vida é de 5 anos. Se 
daqui a n anos sua massa for 1112 gramas, o valor de n é igual a 
a) 525 b) 550 c) 565 d) 575 e) 595 
 
QUESTÃO 18 (UFMG) 
Observe a figura. 
 
Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) =  xk a , sendo k e a constantes positivas. O valor de 
f(2) é 
a) 
3
8
 b) 
1
2
 c) 
3
4
 d) 1 
 
QUESTÃO 19 (UFV-MG) 
Seja a função real f(x) = xa , a > 1. O conjunto dos valores de x para os quais     2f x 3 f 6 é 
a)  x | 3 x 3    
b)  x | x 3  
c)  x | x 3  
d)  x | x 3 ou x 3    
e)  x | x 3 ou x 3    
 
QUESTÃO 20 (Unip-SP) 
O número de raízes reais da equação 
 
    
21 x 4 é
2
x
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
57 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Questão 21 (Fatec-SP) 
Na figura a seguir, os pontos A e B são as interseções dos gráficos das funções f e g. 
 
 
 
Se  
x
g(x) 2 , então f(10) é igual a: 
a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 9 
 
Questão 22 (Unifor-CE-2011) 
Certa substância radioativa de massa M0 (no instante t = 0) se desintegra (perde massa) ao longo do 
tempo. Em cada instante t  0 em segundos, a massa M(t) da substância restante é dada por 
2t
0M(t) M 3 .
 O tempo transcorrido, em segundos, para que a massa desintegrada da substância 
seja dois terços da massa inicial M0 é: 
a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 4 
 
 
Questão 23 (FGV – SP) 
Seja a função f, de em , defina por f(x) = 3x5 . Se f(a) = 8, então 
 
  
a
f
3
 é 
a) 
1
2
 
b) 
1
4
 
c) 
1
8
 
d) 4 
e) 2 
 
Questão 24 (UFOP-MG) 
Sejam f :  e g :  , funções satisfazendo: 
f(x – 2) = 3x e 
g(n)
g(0) 1
g(n 1) 2


 
 
Então, f(3) – g(3) é igual a 
a) 11 
b) 16 
c) 93 
d) 109 
e) 125 
 
 
 
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 58 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
QUESTÃO 01 
O conjunto solução da equação   
2264x 16x 2x 2 é o 
conjunto: 
a) S = {2}. 
b) S = {4}. 
c) S = {–2, 2}. 
d) S = {2, 4}. 
 
QUESTÃO 02 
Se    
2
4 16 2 ,
2x x o valor de xx é: 
a) 27 b) 4 c) 
1
4
 d) 1 e) 
1
27
 
 
QUESTÃO 03 
A equação 
2 1
2
1024
x 14 tem duas soluções reais. A soma 
das duas soluções é: 
a) – 5 b) 0 c) 2 d) 14 e) 1024 
 
QUESTÃO 04 
Seja a equação exponencial     x x3 9 10 3 3 0 . O produto 
das raízes dessa equação é igual a: 
a) –2. b) –1. c) 0. d) 1. 
 
QUESTÃO 05 
(UFSM) Um piscicultor construiu uma represa para criar Traíras. 
Inicialmente, colocou 1 000 Traíras na represa e, por um descuido, 
soltou 8 Lambaris. Suponha que o aumento das populações de 
Lambaris e Traíras ocorra, respectivamente, segundo as leis 
    t0L t L 10 e    
t
0T t T 2 , onde 0L é a população inicial de 
Lambaris, 0T a população inicial de Traíras e t, o número de anos 
que se conta, a partir do ano inicial. Depois de quantos anos o 
número de Lambaris será igual ao número de Traíras? 
a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 e) 3 
 
QUESTÃO 06 
A interseção dos gráficos das funções    xh x 2 1 e 
   x 1s x 2 é o ponto que tem a soma de suas coordenadas igual 
a: 
a) 2 e pertence à reta y x 2  
b) 1 e pertence à reta y x 1  
c) 2 e pertence à reta y x 2  
d) 1 e pertence à reta y x 1  
 
 
 
 
 
QUESTÃO 07 
A figura abaixo mostra o gráfico da função f(x) = 2x . A área da 
região sombreada, formada por retângulos, é igual a: 
a) 3,0 
b) 3,5 
c) 4,0 
d) 4,5 
e) 5,0 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 08 
O número y de pessoas contaminadas pela nova gripe 1 1H N , em 
função do número de meses x, pode ser expresso por 
 oy y 2
x , em que oy é o número de casos reportados em 
setembro de 2009, isto é, 200.000 infectados. O tempo necessário, 
em meses, para que 819.200.000 pessoas sejam afetadas pela 
nova doença é 
a) 12. b) 13. c) 14. d) 15. 
 
QUESTÃO 09 
Suponha que o modelo exponencial   0,03 xy 363 e , em que 
x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e 
assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de 
habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 
60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 
2010 e 2050. Desse modo, considerando 0,3e 1,35 , estima-se 
que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: 
a) 490 e 510 milhões. 
b) 550 e 620 milhões. 
c) 780 e 800 milhões. 
d) 810 e 860 milhões. 
e) 870 e 910 milhões. 
 
QUESTÃO 10 
Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de 
bactérias, somente em seu trato digestivo. Esse número de 
bactérias pode ser escrito como: 
a) 910 . b) 1010 . c) 1110 . d) 1210 . e) 1310 . 
 
QUESTÃO 11 (EsPCEx-SP-2012) 
Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos 
agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre a população de 
insetos em uma lavoura pode ser descrita pela expressão 
 oN(t) N
2k t
, sendo N0 a população no início do tratamento, N(t) a 
população após t dias de tratamento e k uma constante que 
descreve a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, 
após dez dias de aplicação, a população havia sido reduzida à 
quarta parte da população inicial. Com estes dados, podemos afirmar 
que o valor da constante de eficácia desse produto é igual a 
a) 5–1 b) –5–1 c) 10 d) 10–1 e) –10–1 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
59 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
QUESTÃO 12 (UFC-CE) 
O número real que é raiz da equação 
 
     x 2 x 1 x 1 x5 5 5 5 780 é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
QUESTÃO 13 (PUC Minas) 
Os pontos A(1, 6) e B(2, 18) pertencem ao gráfico da função 
 xy na . Então, o valor de an é: 
a) 6 b) 9 c) 12 d) 16 
 
QUESTÃO 14 (UNIRIO-RJ) 
Em uma população de bactérias, há 
P(t) =  3t10 4a bactérias no instante t medido em horas (ou fração 
da hora). Sabendo-se que inicialmente existem a10 bactérias, 
quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da 
população inicial? 
a) 20 b) 12 c) 30 d) 15 e) 10 
 
QUESTÃO 15 (UFRN) 
No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da 
função y = x2 , os números a, b, c, e suas imagens. 
 
Observando-se a figura, pode-se concluir que, em função de a, os 
valores de b e c são, respectivamente, 
a) 
a
e 4a
2
 
b) a 1e a 2  
c) 
a
2a e
4
 
d) a 1 e a 2  
 
QUESTÃO 16 (EsPCEx-SP-2012) 
O conjunto solução do sistema 
  


 

x y
3 2
3 27 9
2
y xy 0
3
 
É formado por dois pontos, cuja localização no plano cartesiano é: 
a) ambos no primeiro quadrante. 
b) um no quarto quadrante e o outro no eixo x. 
c) um no segundo quadrante e o outro no terceiro quadrante. 
d) um no terceiro quadrante e o outro no eixo x. 
e) um no segundo quadrante e o outro no eixo x. 
 
QUESTÃO 17 (Cesgranrio) 
Se o quociente de 64x 1 por x 14 é 2x256 , então x é: 
a) 
2
3
 b) 
1
3
 c) 0 d) 
1
4
 e) 
3
8
 
 
QUESTÃO 18 (PUC RS) 
Se  x 2 x 33 3 2 , então 15 – 2x vale: 
a) 16 b) 15 c) 14 d 11 e)6 
 
QUESTÃO 19 (UDESC-2012) 
Se x é a solução da equação   4x 1 x3 9 6 , então xx é igual a: 
a) 
2
2
 b) 
1
4
 c) 
1
2
 d) 1 e) 27 
 
QUESTÃO 20 
(ENEM) A madeira foi um dos primeiros materiais usados pelo 
homem, na construção de sua habitação e de seus primeiros meios 
de transporte. Com a alta utilização desse material, intensificaram-
se o desmatamento e a significativa diminuição das florestas no 
mundo. A fim de soluciona esse problema, tende-se à produção de 
madeira a partir de florestas plantadas ou regeneradas. Para 
calcular o rendimento V de uma dessas florestas, podemos usar a 
fórmula: 

 
48,1
tV 6,7 e em que V nos dá o valor em metros 
cúbicos de madeira por are, 
em função da idade da floresta, t. Considerando 
0,481e = 0,62, a quantidade de m3 de madeira que renderá uma 
floresta de 80 hectares com 100 anos de idade está entre 
a) 10 000 e 20 000 
b) 20 000 e 30 000 
c) 30 000 e 40 000 
d) 40 000 e 50 000 
e) 50 000 e 60 000 
 
Questão 21 
Os biólogos observaram que, em condições ideais, o número de 
bactérias Q(t) em uma cultura cresce exponencialmente com o 
tempo t, de acordo com a lei  

oQ(t) Q e ,
k t
 sendo k > 0 uma 
constante que depende da natureza das bactérias; o número 
irracional e vale aproximadamente 2,718 e 0Q é a quantidade 
inicial de bactérias. 
Se uma cultura tem inicialmente 6.000 bactérias e, 20 minutos 
depois, aumentou para 12.000, quantas bactérias estarão 
presentes depois de 1 hora? 
a)  41,8 10 
b)  42,4 10 
c)  43,0 10 
d)  43,6 10 
e)  44,8 10 
 
 
 
 
 60 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 22 
Sejam f, g : funções definidas por  sen(x)f(x) 3 e 
  xg(x) sen 3 . Se m e n são os valores máximos atingidos por f 
e g respectivamente, então o produto m n é igual a 
a) 6. 
b) 3. 
c) 1. 
d) 0. 
 
Questão 23 
A função f, definida por  xf(x) 4 2, intercepta o eixo das 
abscissas em 
a) –2. 
b) –1. 
c) 
1
.
2
 
d) 0. 
e) 
1
.
2
 
 
Questão 24 
Em um dia num campus universitário, quando há A alunos 
presentes, 20% desses alunos souberam de uma notícia sobre um 
escândalo político local. Após t horas f(t) alunos já sabiam do 
escândalo, onde 
 
A
f(t) ,
1 B e
 k e B são constantes 
positivas. Se 50% dos alunos sabiam do escândalo após 1 hora, 
quanto tempo levou para que 80% dos alunos soubessem desse 
escândalo? 
a) 2 horas 
b) 3 horas 
c) 4 horas 
d) 5 horas 
e) 6 horas 
Questão 25 
A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno 
químico modelado pela fórmula  
q 10 2 ,k t onde q representa a 
quantidade de substância radioativa (em gramas) existente no 
instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a 
quantidade existente q vale 5. Então, o valor da constante k é 
a) 35 5 
b) 33 10 
c) 5 33 
d) 10 33 
e) 100 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 5 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
RESOLUÇÕES DOS PROBLEMAS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01: 
Resolução: Temos que igualar as bases para podermos igualar os expoentes: 
   
2 2
2 2 2 2x x 2x 2x x 2x 2 3 2 3x 2x 4x 4 2 2 2
2 2 2
64 16 4 4 4 4 3x 2x 4x 4 x 4x 4 0
 x 2 x 2 2 0 (x 2) 0 x 2.
 
               
          
 
* Na segunda passagem foi usada a propriedade da potência de uma potência, na terceira, foi usado o fato de que 
se as bases são iguais, os expoentes também são e na penúltima foi usado um dos produtos notáveis, a saber 
 
22 2a 2ab b a b    . 
 
Nota: Essa equação do 2º grau também poderia ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. 
Portanto, S {2}. 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 02: 
Resolução: Pelo enunciado, temos: 
 
2 2 2 22xx 2 x 2x 4 x 2 4 x 4x x 4 2 2
2 2 2
(4 ) 16 2 4 2 2 2 2 2 2 x 4 4x x 4x 4 0
 x 2 x 2 2 0 (x 2) 0 x 2.
                
          
 
* Na primeira passagem foi usada a propriedade da potência de uma potência, na segunda produto de mesma 
base, na terceira o fato de que se as bases são iguais, os expoentes também são e na penúltima foi usado um dos 
produtos notáveis a saber  
22 2a 2ab b a b    . 
 
Nota: Essa equação do 2º grau também poderia ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. 
Assim, temos que x 2x 2 4.  
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 03: 
Resolução: Reduzindo à mesma base e igualando os expoentes, obtemos: 
2 2 2x 14 x 14 x 14 10 2 2 2
10
1 1
2 2 2 2 x 14 10 x 14 10 0 x 4 0.
1024 2
                   
Portanto, das relações entre coeficientes e raízes, segue que a soma das soluções da equação é 
0
0.
1
  
 
Nota: Poderíamos também encontrar as raízes: 2 2x 4 0 x 4 x 4 x 2          , ou seja, uma raiz é 
+2 e a outra é – 2, cuja soma é ZERO. 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 04: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
 
 
 
 
 62 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
   
 
 
x 2
x x 2 x x x
2
x x x x x
x x x x 1
3 9 10 3 3 0 3 3 10 3 3 0 3 3 10 3 3 0,
10 4 3 3 100 36 64.
10 64 10 8 10 8 18
3 3 3 3 3 3 x 1 ou 
2 3 6 6 6
10 8 2 1
3 3 3 3 3 x 1.
6 6 3

                
         
    
          


         
Δ Δ Δ
 
 
Assim x 1 ou x 1   . 
Logo, o produto das raízes será dado por 1 (-1) = -1 . 
 
* Na primeira linha encontramos uma equação do 2º grau na variável x3 , resolvemos pela fórmula de Bhaskara 
(podemos fazer uma mudança de variável, por exemplo, x3 k , para não confundirmos no uso da fórmula) e no 
final: se as bases são iguais, os expoentes também são. 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 05: 
Resolução: Do enunciado, temos 0L 8 e 0T 1000 , logo: 
   
tt
t t t t 3
t
10 1000 10
L t T t 8 10 1000 2 125 5 125 5 5 
8 22
 t 3.
 
             
 
 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 06: 
Resoluções: Igualando as funções, temos: 
 
x x 1 x x x x x x 0
0
2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
 x 0 e y h 0 2 1 1 1 2 x 0 e y 2.
              
          
 
Portanto a intersecção das funções é o ponto (0,2). 
 
Então a soma de suas coordenadas é 2 e este ponto pertence à reta y x 2.  Para verificar basta substituir os 
valores de x e de y. 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 07: 
Resolução: Da figura, temos: 
 
 
Passo 1: Substituindo x = – 1 em y, encontramos 1
1
y 2 y 
2
   ; 
Passo 2: Substituindo x = 0 em y, encontramos 
0y 2 y 1   ; 
Passo 3: Substituindo x = 1 em y, encontramos 
1y 2 y 2   . 
Assim, para encontrarmos as áreas dos retângulos, basta efetuar o produto de seus comprimentos: 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
63 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
1 2 3
1
A A A A A 1. 1.1 1.2 A 0,5 1 2 A 3,5
2
             . 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 08: 
Resolução: Dos dados da questão, temos: 
x
0y y 2  
Como 0y 200 000 , podemos escrever: 
xy 200 000 2  
Queremos encontrar x, para y = 819 200 000, então, substituindo na equação: 
x x x x x 128 192819 200 000 200 000 2 8 192 2 2 2 2 4 096 2 2 x 12
2
             . 
* Na equação tivemos uma simplificação no início e no final a fatoração de 4096. 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 09:Resolução: Vamos pensar um pouco: 
x = 0, corresponde ao ano 2000. 
x = 1, corresponde ao ano 2001. 
x = 2, corresponde ao ano 2002 e assim sucessivamente 
........ 
x = 30, corresponde ao ano 2030. 
Para estimarmos a população do ano 2030, substituiremos x = 30 na equação dada: 
     
3 30,03 300,03x 0,9 0,3y 363 e y 363 e y 363 e y 363 e y 363 1,35
y 363 1,35 1,35 1,35 y 893.

             
     
 
* No 4º passo procuramos escrever em função de 0,3e , pois foi dado o valor no enunciado. Fizemos o uso da 
propriedade da potência de uma potência. 
Assim 893 está entre 870 e 910. 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 10: 
Resolução: Nessa questão faremos apenas correspondências de unidades, com propriedade do produto de 
potências no final. 
Como 1 bilhão corresponde a 910 unidades, 100 bilhões equivalem a 2 9 1110 10 10  bactérias. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 11: 
Resolução: No início temos 0N , no final temos  
0NN t 
4
 . Assim, vamos substituir os valores na expressão: 
  kt k 10 10k 10k 2 10k00 0 2
1
N 1 1 2
N t N 2 N 2 2 2 2 2 2 10k k 
4 4 102
1
 k k 5 .
5
 


               
     
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
 
 
 
 
 64 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 12: 
Resolução: Da equação, temos: 
x x
x 2 x 1 x 1 x 2 x x x x x
1
x x x x
x x x
x 2
5 5
5 5 5 5 780 5 5 5 5 5 780 25 5 6 5 780
55
125 5 5 30 5 156 5 3900
 780 780 156 5 3900 5 5 25 
5 5 156
 5 5 x 2.
                  
    
          
   
 
 
Resposta: Alternativa B 
Questão 13: 
Resolução: No ponto A temos Ax 1 e Ay 6 e no ponto B, temos Bx 2 e By 18 , assim substituindo na 
curva: 
Substituindo o ponto A: 
x 1y n a 6 n a a n 6        . 
Substituindo o ponto B: x 2
18
y n a 18 n a 18 n a a 6a 18 a a 3
6
               . 
Assim, substituindo o valor de a encontrado, temos: 
6
a n 6 3n 6 n n 2
3
        . 
Logo n 2 na 3 a 9   . 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 14: 
Resolução: No início temos 
a
0P 10 , no instante t, temos    
3t
0P t P 4 e no final, temos   final 0P t 2P . 
Assim, vamos substituir os valores na expressão: 
   
3t
3t 3t 2 6t
0 0 0
1
P t P 4 2P P 4 2 2 2 2 1 6t t horas 
6
1
 t 60 minutos t 10 minutos.
6
            
    
 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 15: 
Resolução: A partir do gráfico, temos: 
Para   
ax a y 2 ; para 
     a 1 ax b y 2 2 y 2 ; para       
a a
a 2
2
2 2
x c y y y 2
4 2
. 
Por outro lado, da equação da curva, temos: 
Para   
bx b y 2 e para   
cx c y 2 . 
Logo igualando aos resultados acima: 
   b 1 a2 2 b 1 a e    c a 22 2 c a 2 . 
 
Resposta: Alternativa D 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
65 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Questão 16: 
Resolução: Da equação, temos: 
   
 
 
 
y
x 3 x 3y 2 x 3y 2
3 2
3 2 2 2
3 3 9 3 3 3 3 3 x 3y 2 eq1
3y 2xy
0 3y 2xy 0 y 3y 2x 0 y 0 y 0 x 3y 2 x 3 0 2 
3
 x 2 ou 3y 2x 0 eq2
x 3y 2 eq1
3y 2x 0 
         

                 
   
 
   
   
 
 
 
 eq2
Fazendo eq2 eq1 :
3y 2x x 3y 0 2 3y 2x x 3y 2 x 2.
Substituindo em eq2 :
4
3y 2x 0 3y 2 2 0 3y 4 0 3y 4 y .
3




             
            
 
Assim temos os pares  2, 0 que fica no eixo x e 
 
 
 
4
2,
3
 que fica no segundo quadrante. 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 17: 
Resolução: Usando o algoritmo da divisão, temos: 
     
x 1 x 1 2x
x 1 x 1 2x 6 2 8 6x 6 2x 2 16x 6x 6 2x 2 16x
6x 6 18x 2
64 4 256 2 2 2 2 2 2 2 2 
4 1
 2 2 6x 6 18x 2 2 6 18x 6x 12x 4 x x .
12 3
 
      
 
         

                 
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 18: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
 
   
   
 
2
x
2 2 2
x 2 x 3 x x x x x
x x
22
x x x x 2
x x
3 93
3 3 2 3 8 8 3 9 8 3 3 8 3 9 0 
3 3
 b 4ac 8 4.1. 9 64 36 100.
8 100 8 10 8 10
3 3 3 3 9 3 x 2 ou
2.1 2 2
8 10
3 3 1 não ser
2


               
               
    
         

     ve .
 
Logo      2 215 x 15 2 15 4 11. 
 
Resposta: Alternativa D 
 
 
 
 
 
 66 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 19: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
   
   
 
 
2x
2 2x x 2 2
4x 1 x x x x x x
2 2
x
x x x x 2 2x
x
3 9 3.9
3 9 6 9 6 6 9 3 9 18 3 3 9 18 0 
3 3
 b 4ac 3 4.1. 18 9 72 81.
3 81 3 9 3 9 1
9 9 9 9 3 3 3 3 3 2x 1 x ou
2.1 2 2 2
9
                
              
     
              
  x
3 9
 9 6 não serve .
2
 
  
 
Logo 
 
    
 
1
2x 1 1 1 2x 
2 2 22
. 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 20: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
 
            
48,1 48,1
0,481 3t 100V 6,7 e V 6,7 e V 6,7 e V 6,7 0,62 V 4,145 m por are 
Sabemos que 80 hectares equivalem a 8000 ares. Logo, a renda total é de   total totalV 4,145.8000 V 33232 . 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 21: 
Resolução: 
Tem-se que 
k 20 20k12000 6000 e e 2.    
 
Logo, para t 1h 60  minutos, vem 
k 60 20k 3 4Q(60) 6000 e 6000 (e ) 6000 8 4,8 10 .        
Resposta: E 
 
Questão 22: 
Resolução: 
A função seno varia de 1 até 1, portanto tem valor máximo igual a 1. Assim: 
sen(x) 1
máxf(x) 3 f (x) 3 3 m 3      
x
máxg(x) sen(3 ) g (x) 1 n 1     
 
Logo, o produto de m n é igual a 3. 
Resposta: B 
 
Questão 23: 
Resolução: 
Fazendo f(x) = 0, temos: 
x x 2x 14 2 0 4 2 2 2
1
2x 1 x
2
       
    
 
Portanto, a função f intercepta o eixo x no ponto de abscissa 
1
x .
2
  
Resposta: Alternativa C 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
67 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Questão 24: 
Resolução: 
Queremos calcular t de modo que  f(t) 0,8 A. 
Sabendo que  f(0) 0,2 A, temos 
Ak 0
A
0,2 A 1 B 5 B 4.
1 Be 
      

 
Além disso, como  f(1) 0,5 A, vem 
Ak Ak 1
Ak 1
A
0,5 A 1 4e 2 e 4 .
1 4e
  
 
      

 
Portanto, segue que 
Ak t
t t
t 2
4 A
f(t) 0,8 A A
5 1 4 (e )
4 16 4 5 16 4 1
1
4 4 t 2.
16

 
 
    
 
     
   
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 25: 
Resolução: 
Para t 3,3 h sabe-se que q 5 Logo, 
1k 3,35 10 2 2 2
10
3,3k 1 k .
33
3,3k    
    
 Resposta: Alternativa D