Aula_00_-_Conhecimentos_algébricos_-_FUVEST_2024

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ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUVEST 
Exasiu 
Prof. Andrew Cazé 
Aula 00 – Conhecimentos Algébricos. 
 
vestibulares.estrategia.com 
 
EXTENSIVO 
2024 
Exasi
u 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 2 
 
SUMÁRIO 
BEM-VINDO(A) AO ESTRATÉGIA VESTIBULARES! 4 
SOBRE O CURSO EXTENSIVO DE MATEMÁTICA 4 
MATEMÁTICA NA FUVEST (VESTIBULAR DA USP) 6 
1.0 CONCEITOS INICIAIS 8 
1.1. Diferença entre Expressões, Igualdades, Equações, Inequações e Funções 9 
2. EXPRESSÕES 10 
2.1. Expressões aritméticas 10 
2.2. Expressões algébricas 11 
2.2.2. Fatoração e desenvolvimento 12 
3. EQUAÇÕES 14 
3.1. Equações de primeiro grau 14 
3.2. Equações do segundo grau 15 
3.3. Sistemas de equações simultâneas do primeiro grau 17 
4. INEQUAÇÕES 19 
4.1. Inequação do primeiro grau 19 
4.2. Inequação simultânea 21 
5. NOÇÕES INTUITIVAS SOBRE FUNÇÕES 22 
6. CONJUNTOS 24 
6.1. Aplicação dos diagramas de Venn-Euler 25 
6.2. Conjuntos numéricos 26 
6.2.1. Números Naturais ℕ 26 
6.2.3. Números Racionais ℚ 27 
6.2.4. Números Irracionais 𝕀 27 
6.2.5. Números Complexos ℂ 28 
6.2.7. Números Primos 29 
7. PERGUNTAS FREQUENTES 30 
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AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 3 
8. LISTA DE QUESTÕES 32 
8.1 Questões Específicas 32 
8.2 Questões Complementares 38 
9. GABARITO 48 
9.1 Questões Específicas 48 
9.2 Questões Complementares 48 
10. LISTA COMENTADA DE QUESTÕES 49 
10.1 Questões Específicas 49 
10.2 Questões Complementares 69 
11. CONSIDERAÇÕES FINAIS 88 
12. VERSÕES DAS AULAS 88 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 4 
Bem-vindo(a) ao Estratégia Vestibulares! 
 
 
 
Fala, galera! 
Tudo certo com você? Espero que sim. 
Eu sou o Andrew Cazemiro, professor do Estratégia Vestibulares. 
Estudei matemática na Universidade Estadual do Amazonas - UEA, faculdade na qual 
conclui o curso de Direito. Leciono Matemática no Estratégia Vestibulares e quero te ajudar a 
conquistar a sua tão sonhada aprovação! 
Como?! Bom, da minha parte você terá comprometimento com a produção do melhor 
material disponível, no padrão Estratégia de qualidade, aliado à minha experiência com 
aprovações em cinco vestibulares e três concursos. Quero te ajudar a tornar a matemática a 
sua aliada, de maneira mais eficaz, através do nosso curso extensivo. 
Da sua parte preciso do mesmo comprometimento, para somarmos esforços em busca 
da sua conquista. Acredite, ir bem em matemática será grande parte da sua caminhada. 
Estarei com você ao longo dessa caminhada, que é árdua, mas vale muito à pena! 
Fechado?! Ah, e você pode me encontrar nas seguintes redes sociais (@professorcaze), 
para conteúdos extra de Matemática: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre o curso Extensivo de Matemática 
O curso Extensivo de matemática é um guia completo para o sucesso do seu objetivo. 
Completo na sua forma, com mapas mentais, dicas, “bizu” e demonstrações, e no seu 
conteúdo. 
Para alcançarmos nosso objetivo, iremos estudar Matemática em 21 aulas, organizadas 
de maneira progressiva, ou seja, a complexidade do conteúdo aumenta a cada aula pois 
incorpora sempre o que foi visto anteriormente. 
https://www.youtube.com/c/ProfessorCazé
http://www.t.me/professorcaze
http://www.instagram.com/professorcaze
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 5 
Se você não tem afinidade com esta disciplina, fica a dica: siga a ordem do cronograma! 
As aulas funcionam como pré-requisitos umas para as outras e foram pensadas dessa maneira 
durante a elaboração do material. Seu aprendizado será muito mais fácil dessa maneira. 
Cada aula traz uma teoria extensa, cobrindo todos os aspectos relevantes para o 
vestibular, e exercícios de memorização, que têm por objetivo fixar os conceitos abordados 
no texto. Após a teoria, está disponível uma lista com exercícios cobrados especificamente 
pela banca do seu vestibular, e, sempre que eu julgar necessário para sua formação, 
exercícios de outros vestibulares do país em uma lista de exercícios complementares. 
Responder a essas questões é o melhor treinamento para qualquer área que se deseje 
estudar! 
Após respondê-las, você encontrará uma seção com o gabarito e, em seguida, todas as 
questões resolvidas e comentadas. Essa explicação detalhada visa otimizar seu tempo de 
estudo caso fique com dúvidas. Se mesmo após olhar as questões resolvidas e comentadas 
você ainda encontrar dificuldade para compreender algum assunto, poderá enviar sua dúvida 
no Fórum de dúvidas presente na sua área do aluno. O fórum é um canal de comunicação 
direta entre o aluno e o seu professor. 
O Estratégia Vestibulares conta ainda com um banco de questões com mais de 240 mil 
exercícios, simulados inéditos todo final de semana e webinários temáticos relevantes para 
o seu vestibular. Acesse as nossas redes sociais e não perca nenhuma novidade. 
O conteúdo programático de cada aula está elencado abaixo. 
Cronograma de Aulas 
Aula 00 Conhecimentos algébricos 
Aula 01 Conhecimentos numéricos – Parte 1 
Aula 02 Conhecimentos numéricos – Parte 2 
Aula 03 Sequências 
Aula 04 Funções – Parte 1 
Aula 05 Funções – Parte 2 
Aula 06 Funções – Parte 3 
Aula 07 Financeira e Estatística 
Aula 08 Trigonometria 
Aula 09 Matrizes 
Aula 10 Sistemas Lineares 
Aula 11 Análise Combinatória 
Aula 12 Probabilidade 
Aula 13 Geometria Plana – Parte 1 
Aula 14 Geometria Plana – Parte 2 
Aula 15 Geometria Espacial 
Aula 16 Geometria Analítica 
Em conjunto com as aulas em vídeo, o curso em livro digital abrange todo o conteúdo 
programático, sendo material necessário e suficiente para a sua jornada rumo à aprovação! 
Assim você estimula áreas diferentes do cérebro, fator que contribui para a construção 
da memória de longo prazo. No entanto, não substitua o livro digital pela videoaula! A ideia 
é que você agregue as duas mídias. O estudo ativo é fundamental para que você crie 
independência, treine seu raciocínio lógico, tornando-o cada vez mais rápido e eficiente para 
resolução de problemas. 
O objetivo deste material é preparar você para gabaritar matemática, aumentando sua 
pontuação e, consequentemente, levando você à aprovação. Daí é só postar aquela foto na 
sua rede social preferida e correr “pro abraço”! 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 6 
Caso fique com alguma dúvida, não deixe de falar comigo. Você pode me encontrar no 
Fórum de Dúvidas disponível na sua área do aluno. Eu terei o maior prazer em ajudá-lo! 
 
No Fórum de dúvidas, alguns procedimentos podem acelerar o tempo de 
resposta: 
 
• sempre que possível, copie a questão por completo quando for tirar uma dúvida. 
Isso evita que o professor tenha que buscá-la na aula. Lembre-se que temos 
materiais personalizados por universidade, e nem sempre encontrar uma questão é 
uma tarefa rápida; 
 
• você pode anexar arquivos também sempre que julgar necessário; 
 
• nosso fórum ainda não conta com um sistema que dá sequência às mensagens 
enviadas previamente. Assim, ao fazer referência a uma pergunta feita há alguns 
dias, retome o assunto por completo. Isso economiza tempo para o professor e para 
sua resposta. 
 
Ao final do curso, com literalmente centenas de exercícios em sua experiência, você terá 
todas as condições para fazer uma excelente prova e alcançar sua almejada aprovação. 
Nosso material sempre é atualizado, então quando colocarmos mais questões e/ou 
tópicos em alguma aula, ou, ainda, lista extra de exercícios específicos da sua banca, iremos 
notificar você na área do aluno. Entretanto, não há necessidade de que você fique parado 
esperando; comece a construir o corpo teórico de que precisará o mais breve possível, 
começando por aqui! 
Vamos lá?! 
Matemática na FUVEST (Vestibular da USP) 
A USP, Universidade de São Paulo, foi criada em 1934, e, atualmente, conta com mais 
de 200 cursosde graduação, mais de 200 programas de pós-graduação e mais de 20% da 
produção científica brasileira. No ano de 2021, foi eleita a melhor universidade brasileira 
segundo o QS World University Ranking. No mundo, ocupa a 121ª posição. Em 13 áreas, ela 
ficou entre as 50 melhores do mundo: Odontologia (13ª posição); Engenharia de Petróleo (29ª); 
Engenharia de Minas (34ª); Turismo (37ª); Engenharia Civil e de Estruturas (39ª); Ciência 
Veterinária (40ª); Antropologia (44ª); Geografia (46ª); Agricultura e Silvicultura (46ª); Direito 
(46ª); Línguas Modernas (47ª); Arquitetura (48ª); Ciências Políticas e Relações Internacionais 
(50ª). 
Depois da USP, a melhor posicionada foi a Universidade Estadual de Campinas 
(Unicamp), na 219ª colocação, seguida da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), na 
369ª; da Universidade Federal de São Paulo (Unifesp), na 434ª; e da Universidade Estadual 
Paulista Júlio de Mesquita Filho (Unesp), na 492ª colocação. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 7 
 
Fonte: usp.br 
 
Seu espaço físico é composto por 42 unidades de ensino e pesquisa, distribuídos em 
dez campi: São Paulo (Cidade Universitária em Pinheiros, Escola de Artes, Ciências e 
Humanidades - EACH, Faculdade de Direito do Largo de São Francisco e Faculdade de 
Medicina), Bauru, Lorena, Piracicaba, Pirassununga, Ribeirão Preto, Santos e São Carlos. O 
campus principal em São Paulo é chamado Cidade Universitária Armando de Salles Oliveira. 
O vestibular da FUVEST (Fundação Universitária para o Vestibular) é o principal meio de 
ingresso para a USP. A prova da FUVEST é reconhecidamente bastante exigente e a mais 
concorrida do País, e são oferecidas vagas em três modalidades diferentes (vagas de ampla 
concorrência, vagas para estudantes de escola pública e vagas para autodeclarados preto, 
pardo ou indígena), além de vagas reservadas aos treineiros, estudantes que ainda não 
finalizaram o Ensino Médio. 
O exame se propõe a cobrar praticamente tudo o que é estudado no Ensino Médio, 
sendo considerado tradicional e conteudista, exigindo conhecimento técnico dos candidatos. 
Em relação à segunda fase, é avaliada a competência do aluno para a articulação de 
informações e conhecimentos em todas as disciplinas e, com mais profundidade naquelas que 
estão mais diretamente ligadas ao curso pretendido. 
A processo seletivo tem o seguinte formato: 
 
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AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 8 
 
Em relação à Matemática, as matérias cobrados nos últimos anos estão elencadas no 
gráfico abaixo. 
 
Você pode encontrar mais informações e notícias no nosso portal 
(vestibulares.estrategia.com/portal). 
1.0 Conceitos Iniciais 
 
 
 “A álgebra é generosa: frequentemente ela dá mais do que se lhe pediu.” 
(Jean Le Rond d'Alembert) 
 
A álgebra é o ramo da matemática que estuda como manipular equações, operações 
matemáticas, polinômios e estruturas que misturam sistematicamente constantes (números) e 
variáveis (letras). 
Na prática, para a sua prova, você provavelmente utilizará os conhecimentos que 
aprenderá ao longo dessa aula, para efetuar o cálculo pedido, resolvendo assim o problema 
proposta pela questão. 
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
Questões de 2010 a 2020
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 9 
Então, vamos nessa! 
 
1.1. Diferença entre Expressões, Igualdades, Equações, 
Inequações e Funções 
É extremamente necessário começarmos diferenciando os termos: expressões, 
igualdades, equações, inequações e funções. 
Expressões: são estruturas que misturam números e letras (variáveis), sem a presença 
de um sinal de igualdade ou desigualdade. Elas podem ser algébricas ou aritméticas. 
 
Para resolver o exemplo de expressão aritmética acima, podemos aplicar métodos até 
reduzir a um só termo, sendo assim 𝟒{𝟐𝟓 − [𝟓𝟎 − 𝟏𝟒 ÷ (𝟖 − 𝟔). 𝟕]} possuirá como resultado 96. 
O número 96 é o valor equivalente à expressão. Não se preocupe, iremos aprender a resolver 
isso! 
Podemos fazer o mesmo para as expressões algébricas. A diferença é que nem sempre 
será possível reduzir a expressão a um só termos, haja vista que as variáveis podem ser 
diferentes ou, se iguais, possuir expoentes diferentes. Podemos simplificar, fatorar, expandir a 
expressão 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏. 
Nesse caso, podemos fatorar, pois temos o quadrado da diferença de dois termos: 
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = (𝒙 − 𝟏)𝟐 
Igualdade: é quando adicionamos o sinal de igual (=) entre duas expressões. Ela pode 
ter valor lógico verdadeiro (V) ou falso (F), sem meio termo: 
4 . 3 = 12 → (𝑉) 
4 . 3 = 29 → (𝑭) 
Equação: é uma igualdade, na qual pelo menos uma das expressões envolvidas é 
algébrica. A equação 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟗, por ser uma sentença aberta, nos possibilita pensar qual 
valor da variável x torna a igualdade verdadeira e quais valores a tornam falsa. 
Inequações: são desigualdades entre expressões. Possuem os sinais de maior (>) ou 
menor (<). No caso da inequação 𝟐𝒙 + 𝟑 > 𝟏𝟏, termos infinitos valores para que 𝟐𝒙 + 𝟑 seja 
maior que 11. Esses valores podem ser escritos na forma de intervalo. 
Função: é quando comparamos variáveis, o que é muito útil para comparar grandezas. 
Aqui o objetivo não é calcular o valor da variável, mas sim estudar o quando o comportamento 
do valor de uma variável influencia no valor da outra. Ou seja, uma varável em função da 
outra. 
𝒚 = 2𝒙 + 3 
𝒚(𝒙) = 2𝒙 + 3 
𝒇(𝒙) = 2𝒙 + 3 
Note que nas expressões acima, os valores de y e f(x) dependem do valor que assume 
em cada uma das três funções. Então confira comigo no replay: 
 
 
Exemplo Característica 
Tipo de 
solução 
Exemplo de 
solução 
Aritméticas apenas números e sinais 𝟒. {𝟐𝟓 – [ 𝟓𝟎 – 𝟏𝟒 ÷ (𝟖 − 𝟔). 𝟕]}
Algébricas Presença de letras (variáveis) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 10 
EXPRESSÃO 3𝑥 + 3 
Pode ser 
algébrica ou 
numérica 
Pode ser 
simplificada ou 
ampliada 
- 
EQUAÇÃO 2𝑥 + 3 = 11 Admite solução 
Resposta 
pontual 
𝑥 = 4 
INEQUAÇÃO 2𝑥 + 3 > 11 Admite solução 
Intervalo de 
resposta 
𝑥 > 4 
FUNÇÃO 𝑦 = 2𝑥 + 3 
Uma grandeza 
em função da 
outra 
Comparar duas 
variáveis 
- 
 
2. Expressões 
2.1. Expressões aritméticas 
Como já deve estar claro para você, expressões podem ser manipuladas, fatoradas, 
simplificadas, expandidas. 
Para isso precisamos seguir algumas regrinhas práticas: 
Os termos que vierem separados por parênteses, colchetes e chaves devem ser 
resolvidos nessa ordem, obrigatoriamente. 
 
As operações também possuem uma ordem para serem efetuadas. Imagine a seguinte 
escada. No primeiro degrau temos potenciação e radiciação, no segundo degrau temos 
multiplicação e divisão e no terceiro temos soma e subtração. Essa é a ordem: 
 
Para os termos que estão no mesmo nível, se não houver operador (parêntesis, chaves 
ou colchetes) para ditar a ordem, deve-se resolver a operação que aparecer primeiro na ordem 
de escrita, ou seja, da esquerda para a direita. 
O símbolo de multiplicação pode ser apenas um ponto ∙ 𝑜𝑢 ×, 
O da divisão pode ser representada por ÷, /, ou por uma fração 
 Vamos exercitar a ordem de execução das operações, na seguinte expressão: 
𝟒{𝟐𝟓 − [𝟓𝟎 − 𝟏𝟒 ÷ (𝟖 − 𝟔). 𝟕]} 
Tem parênteses? Resolve a expressão interna e remove o separador: 
4{25 − [50 − 14 ÷ (8 − 6). 7]} 
Tem colchetes? Resolve a expressão interna e remove o separador: 
4{25 − [50 − 14 ÷ 2 ∙ 7]} 
( )1º [ ]2º { }3º
2² 41º × ÷2º + −3º
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 11 
Aqui resolveremos primeiro a divisão, pois ela está na ordem de preferência, em relação 
à subtração, e aparece primeiro que a multiplicação. 
4{25 − [50 − 7 ∙ 7]} 
Agora resolvemos a multiplicação e por último a subtração: 
4{25 − [50 − 49]} 
4{25 − 1} 
Tem chaves? Já sabe, não é? 
4{25 − 1} 
4 ∙ 24 
96 
2.2. Expressões algébricas 
Expressõesalgébricas podem ser passíveis de fatoração, simplificação ou ampliação a 
depender do coando da questão. Vamos ver um exemplo: 
 
1. EV (Professor Andrew Cazemiro) O valor numérico da expressão 
𝒙𝟑 − 𝒚𝟑
𝒙𝟑 + 𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝒚𝟐
 
Para 𝒙 = 𝟎, 𝟓 e 𝒚 = 𝟎, 𝟒 é igual a: 
a) 0,1 
b) 0,2 
c) 0,3 
d) 0,4 
e) 0,5 
Comentários 
Muito bem. Perceba que o exercício informa uma expressão algébrica e os valores a serem 
substituídos em 𝑥 e 𝑦. Não temos aqui que interpretar um problema, achar raízes de equações 
ou descrever funções. Basta-nos transformar a expressão de algébrica para aritmética, ou seja, 
reescrever a expressão, para chegar à resposta do exercício. Acompanhe. 
𝑥3 − 𝑦3
𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2
 
Como precisamos dos valores 𝑥 = 0,5 e 𝑦 = 0,4, façamos a substituição direta: 
0,5 3 − 0,43
0,53 + 0,52 ∙ 0,4 + 0,5 ∙ 0,42
 
0,125 − 0,064
0,125 + 0,25 ∙ 0,4 + 0,5 ∙ 0,16
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 12 
0,061
0,125 + 0,1 + 0,08
 
0,061
0,305
= 0,2 
Nesse tipo de questão, onde precisamos substituir os valores diretamente, precisamos estar 
cientes de que se trata de uma expressão cujo valor será calculado e, além disso, ter alguma 
habilidade com as operações fundamentais: soma, subtração, multiplicação e divisão. 
Nós precisamos dividir o 0,061 por 0,305, porque eles formam uma fração. O símbolo de fração 
é sinônimo de divisão aqui na matemática. Você sempre pode dividir o valor de cima da fração 
(numerador) pelo valor de baixo (denominador). 
Gabarito: B 
Expressões algébrica de segundo grau 
Na expressão algébrica a seguir, temos a representação de uma expressão do segundo 
grau, pois a variável em questão, x, possui expoente 2. 
𝒂𝒙𝟐 − 𝒃𝒙 + 𝒄 
Note que a, b e c não são variáveis, pois representam coeficientes numéricos, como por 
exemplo 𝑥2 − 2𝑥 + 1. Fatorar uma expressão algébrica do 2º grau pode ser muito útil na 
resolução de questões. 
 
2.2.2. Fatoração e desenvolvimento 
Fatorar é transformar o resultado de uma multiplicação (produto) em partes separadas 
(fatores). Lembra da expressão? “A ordem dos fatores não altera o produto”. 
Na expressão numérica 𝟒 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟐, 4 e 3 são fatores e 12 é o produto. 
Podemos também fatorar expressões algébricas, seguindo algumas regras. A principal e 
mais comum é a compreensão dos chamados produtos notáveis. 
 
Alguns produtos notáveis que você precisa memorizar para as nossas aulas: 
 
𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒂 𝒔𝒐𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒊𝒔 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔 → 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝒂 + 𝒃)𝟐 
𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏ç𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒊𝒔 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔 → 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝒂 − 𝒃)𝟐 
𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒔𝒐𝒎𝒂 𝒑𝒆𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏ç𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒊𝒔 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔 → 𝑎2 − 𝑏2 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) 
𝐂𝐮𝐛𝐨 𝐝𝐚 𝐬𝐨𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐝𝐨𝐢𝐬 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐨𝐬 → 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = (𝒂 + 𝒃)𝟑 
𝑪𝒖𝒃𝒐 𝒅𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏ç𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒊𝒔 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔 → 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 = (𝒂 − 𝒃)𝟑 
 
O curso intensivo possui uma explicação brilhante acerca dos coeficientes das expressões 
algébricas. Por ora, lembre-se, o desenvolvimento é a ida, fatoração é a volta. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 13 
 
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝒂 + 𝒃)𝟐 
Agora já podemos fatorar nossa expressão de exemplo: 
𝑥2 − 2𝑥 + 1 
Verificamos se tratar do caso de diferença de dois quadrados e explicitamos os 
coeficientes a, b e c constantes de nossa fórmula: 
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
𝑥2 − 2. 𝑥. 1 + 12 
E usamos nossa fórmula no sentido da fatoração: 
𝑥2 − 2. 𝑥. 1 + 12 = (𝑥 − 1)2 
 
 
2. EV (Professor Andrew Cazemiro) Considere 𝒌 o resultado da operação 𝟔𝟐𝟓𝟐 −
𝟔𝟐𝟑𝟐. 
Assinale a alternativa CORRETA, que representa a soma dos algarismos de 𝒌: 
a) 7 
b) 11 
c) 13 
d) 17 
e) 21 
Comentários 
Perceba que a questão traz, diretamente, a diferença entre dois quadrados. 
Oras, diferença entre dois quadrados é um dos produtos notáveis, lembra? 
𝑎2 − 𝑏2 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) 
Reescrevendo com os dados do exercício, temos: 
𝒂2 − 𝒃2 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) 
Fatoração
Desenvolvimento
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 14 
𝟔𝟐𝟓2 − 𝟔𝟐𝟑2 = (𝟔𝟐𝟓 + 𝟔𝟐𝟑)(𝟔𝟐𝟓 − 𝟔𝟐𝟑) 
6252 − 232 = 1248 ∙ 2 
5252 − 5232 = 2496 
 
Sendo assim, a soma solicitada é dada por: 
2496 → 𝑆𝑜𝑚𝑎 = 2 + 4 + 9 + 6 = 21 
Portanto, alternativa e) para essa questão. 
Gabarito: E 
3. Equações 
Nesse tópico, aprenderemos regras para encontrarmos o valor da variável que torna a 
equação verdadeira (ou um conjunto de equações). Estudaremos, a princípio equações de 
primeiro grau, de segundo grau e sistemas de equações de grau 1. 
3.1. Equações de primeiro grau 
Uma equação do primeiro grau é algo do tipo: 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
Onde a incógnita (variável) é representada pela letra 𝑥 e os coeficientes 𝑎 e 𝑏 variam de 
equação para equação. Podemos representar as incógnitas e os coeficientes por quaisquer 
letras, como já vimos, mas daremos preferência ao modelo padrão apresentado. 
Observe a seguinte equação do primeiro grau. 
2𝑥 − 6 = 8 
Para resolvermos iremos tomar como base um postulado comum de Euclides que diz 
que “caso sejam adicionadas coisas iguais a coisas iguais, os todos são iguais”. 
A ideia central aqui é manipularmos os dois lados da equação, de tal forma que 
possamos fazer qualquer coisa em um membro da equação, com a condição de fazermos a 
mesma coisa no outro membro. Olha só: 
2𝑥 − 6 = 8 
Com objetivo de deixar o x sozinho no primeiro membro, somamos 6 aos dois lados da 
equação. 
𝟐𝒙 − 𝟔 + 𝟔 = 𝟖 + 𝟔 
𝟐𝒙 = 𝟏𝟒 
Para isolar o x, descobrindo assim seu valor, podemos dividir os dois membros por 2: 
𝟐𝒙
𝟐
=
𝟏𝟒
𝟐
 
𝑥 = 7 
Assim, dizemos que a solução, ou conjunto solução, da equação 2𝑥 − 6 = 8 é 𝑺 = {𝟕}. 
Esse é o valor que torna a igualdade verdadeira. 
Toda operação aqui é feita em pares. Aplicou em um membro da equação, aplica no 
outro. Não há exceções. Podemos usar uma gama imensa de operações: adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação, radiciação, logaritmos, integrais, derivadas, para citar 
somente algumas. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 15 
 
Na prática, isolamos a variável passando os números de um lado para o outro da 
equação, de modo a inverter a operação. Se o 6 está subtraindo, passamos ele parar o outro 
lado da equação somando (a soma é o inverso da subtração): 
2𝑥 − 𝟔 = 8 
2𝑥 = 8 + 6 
Se o 2 está multiplicando o x, então passamos ele dividindo (a divisão é a operação 
inversa à multiplicação): 
𝟐𝒙 = 𝟏𝟒 
𝒙 =
𝟏𝟒
𝟐
 
3.2. Equações do segundo grau 
Já a equação do 2º grau possui a seguinte notação genérica: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Temos aqui a existência de 3 possíveis termos: 
• Termo de segundo grau → 𝒂𝒙𝟐 
• Termo de primeiro grau → 𝒃𝒙 
• Termo independente → 𝒄 
O coeficiente 𝑎 precisa ser diferente de zero (𝑎 ≠ 0), pois do contrário não existirá uma 
equação do segundo grau, enquanto 𝑏 e 𝑐 podem assumir qualquer valor, inclusive zero. 
 
Vejamos algumas técnicas simples para resolvermos equações quadráticas completas e 
incompletas: 
 
3.2.1. Equações do segundo grau da forma ax2 + c = 0 
Equação do 
segundo grau
Completa 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Incompleta
Falta termo do 1º grau 𝑎𝑥
2 + 𝑐 = 0
Falta termo 
independente
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
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AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 16 
Chamada de incompleta de B, esse tipo equação pode ser solucionado no mesmo 
método da equação do 1º grau, qual seja fazer a mesma coisa nos dois membros da 
equação ou passar o termo para o outro membro na forma da operação inversa, relembre: 
• Radiciação é a operação inversa da potenciação; 
• Divisão é a operação inversa da multiplicação; 
• Subtração é a operação inversa da soma. 
Exemplo: 
3𝑥2 + 4 = 79 (𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎, 𝑏 = 0) 
Para resolvê-la, basta aplicar os princípios que aprendemos para as equações de 
primeiro grau: 
3𝑥2 +4 = 79 
3𝑥2 + 4 − 4 = 79 − 4 
3𝑥2 = 75 
3𝑥2
3
=
75
3
 
𝑥2 = 25 
√𝑥2 = √25 
|𝑥| = 5 
𝑥 = ±5 
Professor, e esse módulo? Aprofundaremos os módulos em capítulo específico. Por 
enquanto precisamos apenas compreender que o número que elevado ao quadrado dá 25 
pode ser tanto o 5 quanto o −5, duas raízes. 
Importante: equações de primeiro grau apresentam apenas uma resposta, 
enquanto as de segundo grau podem ter até duas respostas reais distintas. 
.2.2. Equações do segundo grau da forma ax² + bx = 0 
Quando o 𝑐 = 0, dizemos que a equação do 2º grau é incompleta de C. Podemos 
resolvê-la colocando o fator comum em evidência (fatoração), ou seja multiplicando um 
parêntesis: 
2𝑥2 − 10𝑥 = 0 
2𝑥2 − 10𝑥 = 0 
𝑥(2𝑥 − 10) = 0 
Como uma multiplicação de dois fatores e o produto é zero, um dos fatores, 
obrigatoriamente, deve ser zero. Assim: 
𝒙 = 𝟎 (2𝑥 − 10) = 0 𝑆 = {0; 5} 
2𝑥 = 10 
𝒙 = 𝟓 
 
3.2.3. Equações do segundo grau completas (ax2 + bx + c = 0) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 17 
Para resolver equações completas, usamos uma fórmula bem conhecida, ganhamos 
tempo, a fórmula de Bhaskara, como ficou mais conhecida para nós. Esse dispositivo permite 
calcular o valor de 𝑥 apenas sabendo seus coeficientes 𝑎, 𝑏 e 𝑐: 
Dada a equação: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Suas raízes serão dadas por: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
{
 
 
 
 𝑥′ =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎 
𝑥′′ =
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Alguns livros didáticos trazem uma notação alternativa para a expressão dentro do 
radical, o discriminante ∆ (delta): 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
Outra opção é utilizar a regra de soma e produto (Relações de Girard) para encontrar as 
raízes. No entanto, veremos esse conteúdo com mais detalhes quando estudarmos polinômios. 
Vamos verificar. Dada a equação: 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟓 𝒄 = 𝟔 
 
∆= (−5)2 − 4.1.6 = 25 − 24 = 1 
 
𝑥 =
−(−5) ± √1
2.1
=
5 ± 1
2
= {
𝑥′ =
5 + 1
2
 → 𝑥′ = 3
𝑥′′ =
5 − 1
2
→ 𝑥′′ = 2
 
Portanto a solução será 𝑆 = {3; 2}. 
 
3.3. Sistemas de equações simultâneas do primeiro grau 
Nós trabalhamos com sistemas de equações desde o ensino fundamental. Entretanto o 
conteúdo de sistemas é muito mais amplo e necessita de uma aula específica no nosso curso, 
chamada de sistemas lineares. 
Um sistema de equações do 1º grau com duas variáveis (geralmente x e y) é um 
conjunto solução que satisfaz simultaneamente duas equações do primeiro grau, ou seja, todas 
as incógnitas estão elevadas à primeira potência. 
Por ora, vamos aprender como solucionar sistemas de equações do primeiro grau 
através de dois métodos: soma de equações e substituição de variáveis. 
 
3.3.1. Método da soma de equações (ou método da Adição) 
Resolver um sistema significa descobrir os pares (𝑥, 𝑦) que solucionam todas as 
equações dele. 
A condição mais propícia para utilizar o método da soma de equações em um sistema é 
ter pelo menos uma incógnita com coeficiente de mesmo módulo e de sinais opostos em 
duas equações distintas. Veja um exemplo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 18 
{
𝑥 + 𝑦 = 7
 
𝑥 − 𝑦 = 1
 
Perceba que, se somarmos ambas as equações, a incógnita 𝑦 será anulada, facilitando 
o cálculo da incógnita 𝑥. 
{
𝑥 + 𝑦 = 7
+
𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 = 8
 
2𝑥
2
=
8
2 
𝑥 = 4
 
Para calcularmos o valor da incógnita 𝑦, basta substituirmos o valor de 𝑥 = 4 em 
qualquer das equações do sistema. Vamos substituir na primeira equação do sistema original. 
𝑥 + 𝑦 = 7 
4 + 𝑦 = 7 
𝑦 = 7 − 4 
𝑦 = 3 
Assim, nossa resposta ao sistema será 
{
𝑥 = 4
 
𝑦 = 3
 
De modo geral, quando os coeficientes são distintos e temos muitas incógnitas, o 
método acaba não sendo viável e preferimos o escalonamento. 
O escalonamento consiste em modificar as equações, através de multiplicação ou 
divisão por um número, até chegar na condição propícia acima. 
 
3.3.1. Método da substituição de variáveis 
Essa técnica já nos é familiar e bastante útil. Consiste em isolar uma variável de uma 
equação e substituí-la em outra. Veja um exemplo. 
{
𝑥 + 𝑦 = 5
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
Podemos isolar o 𝑥 na primeira equação, subtraindo 𝑦 de ambos os membros. 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 5 − 𝑦
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
{
𝑥 = 5 − 𝑦
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
 Agora que isolamos 𝑥 na primeira equação, façamos a substituição na segunda 
equação. 
2𝑥 − 𝑦 = 4 
2(5 − 𝑦) − 𝑦 = 4 
Distribuindo o 2. 
2(5 − 𝑦) − 𝑦 = 4 
10 − 2𝑦 − 𝑦 = 4 
10 − 3𝑦 = 4 
Somando a expressão 3𝑦 − 4 a ambos os membros da equação. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 19 
10 − 3𝑦 + 3𝑦 − 4 = 4 + 3𝑦 − 4 
10 − 4 = 3𝑦 
6 = 3𝑦 
Dividindo ambos os membros por 3. 
6
3
=
3𝑦
3
 
2 = 𝑦 
Vamos devolver essa informação ao nosso sistema. 
{
𝑥 = 5 − 𝑦
 
𝑦 = 2
 
Podemos, assim, substituir o valor de 𝑦 na primeira equação. 
{
𝑥 = 5 − 2
 
𝑦 = 2
 
{
𝑥 = 3
 
𝑦 = 2
 
E, assim, chegamos à solução do nosso sistema. Podemos, também, enunciar nossa 
solução em forma de par ordenado (3,2). 
Uma nota importante é que, em sistemas muito grandes, com várias variáveis, pode ser 
muito demorada a resolução por substituição, então estudaremos outras técnicas mais 
adequadas, na aula específica de sistemas lineares. 
 
4. Inequações 
 
Vejamos a simbologia matemática usada para expressar as inequações: 
𝒂 > 𝒃 ⇒ 𝑎 é 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝑞𝑢𝑒 𝑏 
𝒂 ≥ 𝒃 ⇒ 𝑎 é 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒐𝒖 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝑎 𝑏 
𝒂 < 𝒃 ⇒ 𝑎 é 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝑞𝑢𝑒 𝑏 
𝒂 ≤ 𝒃 ⇒ 𝑎 é 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒐𝒖 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝑎 𝑏 
Perceba que inequação é igual a desigualdade, mas não é a mesma coisa que 
diferença! 
 
4.1. Inequação do primeiro grau 
Inequações do 1º grau são desigualdades onde um dos membros é uma expressão do 
primeiro grau. Para resolvê-las, basta seguir a premissa de realizar as operações em ambos os 
membros. Vejamos o seguinte exemplo: 
6𝑥 + 5 > 8 
6𝑥 + 5 − 5 > 8 − 5 
6𝑥 > 3 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 20 
6𝑥
6
>
3
6
 
𝑥 >
1
2
 
Fácil, não? Agora preste atenção no exemplo a seguir, pois ele possui uma 
particularidade: 
−5𝑥 > 12 + 𝑥 
−5𝑥 − 𝑥 > 12 + 𝑥 − 𝑥 
−6𝑥 > 12 
−6𝑥 > 12 
−6𝑥
−6
<
12
−6
 
ATENÇÃO: na prática, sempre que multiplicarmos ou dividirmos a inequação por um 
número negativo, o sinal da inequação mudará de sentido, se for > ficará <, se for ≥ ficará ≤ e 
vice-versa. Dessa forma, o resultado: 
𝑥 < −2 
Quando dividimos ou multiplicamos por um número negativo, alteramos o sinal do 
resultado de forma a inverter a desigualdade. Caso tenha curiosidade pela teoria por trás desse 
dispositivo prático de inverter o sentido da desigualdade, consulte nosso curso extensivo e 
aumente seus conhecimentos. 
Repare que numa inequação, o conjunto solução encontrado é um intervalo e não um 
valor fixo. Se 𝑥 < −2, então qualquer valor menor que −2, no sentido do infinito negativo, 
será parte da solução. 
Só sabemos que ele está à esquerda de −2, ou seja, é menor que −2. 
Graficamente, representamos os possíveis valores de x hachurando a reta dos reais na 
região da possibilidade demarcada pela inequação. Valores inclusos pelo sinal de igual na 
inequação (≥ 𝑜𝑢 ≤) são representados por uma bolinha preenchida/cheia, enquanto os 
valores excluídos pela ausência do sinal de igual (> 𝑜𝑢 <), por uma bolinha não preenchida. 
 
Vejamos como esse assunto pode ser cobrado em uma prova. 
3. EV (Professor Andrew Cazemiro) A menor solução inteira da inequação 𝟒𝒙 − 𝟐 >
𝟏𝟎 é 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 
Comentários 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 21 
Apliquemos os conceitos vistos para a resolução da inequação. 
4𝑥 − 2 > 10 
4𝑥 − 2 + 2 > 10 + 2 
4𝑥 > 12 
4𝑥
4
>
12
4
 
𝑥 > 3 
O 3 não faz parte do intervalo, pois o x é maior que ele. Sendo assim, bola aberta: 
 
Assim, o menor inteiro que satisfaz a solução é o 4. 
Gabarito: b 
4.2. Inequaçãosimultânea 
Inequação simultânea é quando utilizamos duas inequações para simbolizar um 
intervalo. Vamos lá: 
{
𝑥 > 2
𝑥 ≤ 10
 
Significam, em conjunto, todos os números reais entre 2 e 10, excluindo-se o 2 e 
incluindo-se o 10. Podemos representar essa situação com apenas uma inequação: 
2 < 𝑥 ≤ 10 
 
 
 
Podemos, também, resolver inequações simultâneas algebricamente, acompanhe: 
3𝑥 − 1
9
≤ 2 + 𝑥 <
𝑥 + 1
3
 
9 ∙
3𝑥 − 1
9
≤ 9 ∙ (2 + 𝑥) < 9 ∙
𝑥 + 1
3
 
3𝑥 − 1 ≤ 18 + 9𝑥 < 3(𝑥 + 1) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 22 
3𝑥 − 1 − 3𝑥 ≤ 18 + 9𝑥 − 3𝑥 < 3𝑥 + 3 − 3𝑥 
−1 < 18 + 6𝑥 < 3 
−1 − 18 ≤ 18 + 6𝑥 − 18 < 3 − 18 
−19 ≤ 6𝑥 < −15 
−19
6
≤
6𝑥
6
<
−15
6
 
−
19
6
≤ 𝑥 < −
5
2
 
 
 
O entendimento das inequações será de fundamental importância para o estudo das 
funções, então introduziremos o assunto no próximo tópico, mas aprofundaremos em aula 
própria. Aqui nessa aula intensiva, iremos focar na inequação em si. 
Ademais, não negligencie os gráficos das inequações, caro estrategista, pois existem 
casos em que o esboço do gráfico ajuda muito na resolução. Isso acontece frequentemente 
com as inequações do segundo grau, que veremos na próxima aula. 
 
5. Noções intuitivas sobre Funções 
Em nosso curso, daremos ênfase em dois tipos de representação para as funções: a 
representação algébrica e os gráficos. 
Funções significam, literalmente, que uma variável depende de outra. Como, por 
exemplo, no caso do salário, no qual a remuneração depende das vendas. Retomando o 
exemplo, temos: 
𝑆(𝑛) = 1 000 + 500. 𝑛 
Como representação algébrica em que 𝑆 representa a remuneração mensal, 𝑛 o número 
de vendas, 1 000 a parte fixa do salário e 500 o coeficiente das vendas, a comissão. 
Escrevendo o exemplo de maneira prática: 
𝑆(𝑛) = 1 000 + 500. 𝑛 
𝑆 = 1 000 + 500. 𝑛 
S → Variável dependente 
n → Variável independente 
A maneira mais comum de representar uma função é utilizar 𝑥 𝑒 𝑦, 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) como 
variáveis: 
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AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 23 
𝑦 = 500𝑥 + 1 000 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) = 500𝑥 + 1000 
Como uma variável depende da outra, podemos calcular o número de vendas (x) para 
um salário informado (y), ou o contrário, ao se informar um salário, pode-se inferir diretamente 
qual foi a venda correspondente. Basta substituirmos o valor informado na lei de formação da 
função. 
Podemos organizar os valores relacionados em uma tabela: 
Vendas (x) Salário total (y) 
0 1 000 
1 1 500 
2 2 000 
3 2 500 
4 3 000 
5 3 500 
6 4 000 
7 4 500 
Perceba que, assim, obtivemos pares ordenados, relacionando as duas grandezas 
envolvidas. Podemos representá-los através de um gráfico com base no sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais. 
Como temos duas variáveis, a dependente 𝑦 e a independente 𝑥, podemos fazer dois 
eixos e representar os salários por meio de pontos no plano cartesiano. 
Veja. 
 
Nesse gráfico, usamos a configuração padrão para os eixos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 24 
 
O exemplo acima é uma função do 1º grau. Estudaremos adiante alguns tipos especiais 
de funções, a saber: as funções de primeiro grau, de segundo grau, modulares, compostas e 
inversas. Os demais tipos, pertinentes ao escopo do vestibular, veremos durante o curso dentro 
dos temas específicos. Fique de olho! 
 
6. Conjuntos 
Um conjunto, também chamado de coleção, é uma reunião de elementos que 
apresentam determinada propriedade em comum. 
Entre um elemento e um conjunto, existe a relação de pertinência, onde o elemento 𝑥 
pode ou não pertencer ao conjunto 𝐴. As notações usadas para a relação de pertinência são: 
𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 𝑎𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 
𝑥 ∉ 𝐴 ⇒ 𝑥 𝑛ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 
Para definir um conjunto qualquer, precisamos determinar uma regra que permita julgar 
se um elemento pertence ou não à coleção. 
Podemos simbolizar os conjuntos de várias maneiras, vejamos algumas possibilidades. 
Primeiramente, temos a notação chamada de Diagrama de Venn-Euler, na qual os 
elementos que estão dentro do círculo, pertencem ao conjunto. Os de fora, não pertencem. 
Essa notação é muito útil para trabalhar com mais de um conjunto. 
 
Outra maneira interessante é fazer uso da álgebra, veja: 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ∗/𝑥 < 4}
⇒ 𝐿ê − 𝑠𝑒: 𝑥 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑜𝑠 𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑖𝑠 𝑛ã𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 4. 
Eixo
variável
nomenclatura
Horizontal
x
abcissas
Vertical
y
ordenadas
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 25 
 
6.1. Aplicação dos diagramas de Venn-Euler 
4. EV (Professor Andrew Cazemiro) Uma agência de viagens, patrocinadora de um 
programa de auditório, realizou uma pesquisa com as 120 pessoas presentes à 
gravação, na qual eles deveriam responder qual regiões do Brasil eles gostariam de 
visitar, sendo dadas apenas duas opções: Norte ou Nordeste. Após o levantamento das 
respostas dadas, constatou-se que 60 pessoas disseram que gostariam de viajar à 
região Norte, enquanto 64 querem ir à região Nordeste. Dado que 24 dos entrevistados 
não têm vontade de viajar a qualquer uma dessas regiões e sabendo que, dentre os que 
assinalaram pelo menos uma das alternativas do questionário, um será sorteado 
aleatoriamente para uma viagem com tudo pago pela agência, a probabilidade1 de que o 
sorteado tenha vontade de ir às duas regiões dadas como alternativas é, 
aproximadamente: 
a) 23% 
b) 29% 
c) 34% 
d) 37% 
e) 41% 
Comentários: 
O Diagrama de Venn abaixo representa as informações dadas no problema. Como o total de 
entrevistados corresponde a 120 pessoas, temos que: 
 
i) 60 − 𝑥 é o número de elementos do conjunto dos que gostariam de visitar somente o Norte; 
ii) 64 − 𝑥 é o número de elementos do conjunto dos que gostariam de visitar somente o 
Nordeste; 
 
1 Estudaremos Probabilidades em aula específica. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 26 
iii) 𝑥 é o número de elementos do conjunto dos que gostariam de visitar Norte E Nordeste 
(intersecção). 
Note que 24 está fora do diagrama representado. 
Dessa forma, temos: 
60 − 𝑥 + 𝑥 + 64 − 𝑥 + 24 = 120 
148 − 𝑥 = 120 
𝑥 = 28 
Portanto, são 28 pessoas que gostariam de ir a qualquer uma dessas duas regiões. 
Como tem 24 pessoas que não querem fazer qualquer uma dessas viagens, esse total não 
participará do sorteio. Portanto, o espaço amostral será reduzido de 120 para 96. 
𝑃 =
28
96
≅ 29% 
Gabarito: B 
6.2. Conjuntos numéricos 
O que faremos aqui é uma análise dos tipos de números que precisaremos para seguir 
no estudo da matemática e essa divisão é feita exatamente em cima dessas propriedades que 
definem os elementos de cada conjunto numérico. Vamos lá! 
 
6.2.1. Números Naturais ℕ 
Chamamos esse conjunto de Números naturais, em decorrência de serem os números 
desenvolvidos naturalmente pelo homem, para contar coisas. O conjunto é representado pela 
letra ℕ e engloba os números inteiros e positivos, juntamente com o zero. 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … } 
Atenção: caso queira se referir somente aos números positivos, ditos estritamente 
positivos, basta colocar um asterisco para simbolizar essa exclusão: 
ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, … } → lê-se conjunto dos números naturais, excetuando o zero. 
 
 
6.2.2. Números Inteiros ℤ 
Cada número inteiro possui um oposto, o oposto de 5 é −5, o oposto de 10 é −10 e 
assim por diante. Mas, Andrew, e o oposto de zero? O oposto de zero é ele mesmo, pois, em 
relação a sinal, ele é neutro. 
Os números inteiros é p conjunto de todos os números naturais, acrescidos de seus 
respectivos opostos, sendo representado por ℤ: 
ℤ = {…− 3,−2, −1, 0, 1, 2, 3… } 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 27 
O conjunto dos números inteiros engloba elementos desde o infinito negativo até o 
infinito positivo, por isso as reticências dosdois lados, diferentemente do conjunto dos números 
naturais. 
 
6.2.3. Números Racionais ℚ 
Os números racionais surgiram para resolvermos problemas que não envolvam tão 
somente partes inteiras, mas também partes fracionárias. 
Todos os números que possam ser representados na forma de fração (divisão), com 
resultado inteiro ou não, são chamados de números racionais. 
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 𝑎 𝑏⁄ 𝑜𝑢 𝑎 ÷ 𝑏 
Essa fração, também chamada de quociente, razão, ou divisão conta com um número 
natural no numerador (a parte de cima da fração, 𝑎) e outro número natural no denominador (a 
parte de baixo da fração, 𝑏), de tal forma que b seja diferente de zero, pois não existe divisão 
por zero. 
Simbolizamos o conjunto dos racionais por ℚ, de quociente, assim: 
ℚ = {…− 5,− 
7
3
,−
3
2
, 0,
2
5
, 6, … } 
Quando não aparecer o valor do denominador, ele será igual a 1. Sendo assim, no 
conjunto acima podemos dizer que o −5 pertence ao conjunto dos números inteiros e ao 
conjunto dos números racionais. Assim, os números racionais incluem, também, todos os 
inteiros e, por consequência, todos os naturais. 
−5
1
= −5 
As dizimas periódicas também fazem parte do conjunto dos números racionais, pois toda 
dízima deriva de uma fração, guarde isso na cachola: 
13
99
= 0, 13̅̅̅̅ 
3
4
= 0,75 
2
5
= 0,4 −
7
3
= −2, 3̅ 
 
6.2.4. Números Irracionais 𝕀 
Existem números especiais, cujos valores não se deixam exprimir por meio de frações. 
Com certeza você já deve ter visto alguns deles: √2, 𝜋,Φ, e, entre tantos outros. Essa 
classificação de números passou a ser conhecida como os números irracionais, visto que não 
são expressos por razões (quocientes). 
Em decorrência disso, possuem infinitas casas decimais, sem repetição lógica, como 
nas dízimas periódicas, impossibilitando assim escrevermos na forma de fração: 
√2 = 1,4142135623… 
𝜋 = 3,14159265359… 
Φ = 1,61803398875… 
e = 2,81828182846… 
Perceba que esse novo conjunto, o dos números irracionais, não engloba o anterior. 
Quando um número pertence aos racionais, não pode pertencer aos irracionais e vice-versa. 
O conjunto dos irracionais é simbolizado por 𝕀: 
𝕀 = {…− √2,Φ, e, 𝜋, √10… } 
Todos os números vistos aqui têm uma característica, expressam diretamente 
quantidades do mundo real, uma diagonal, um tamanho, uma circunferência etc. 
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AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 28 
Até por esse motivo, podemos definir um conjunto que seja a soma de todos esses 
conjuntos citados, o conjunto dos números reais, simbolizado por ℝ. Assim: 
ℝ = {ℚ + 𝕀} 
6.2.5. Números Complexos ℂ 
Há, também, um conjunto que não exprime exatamente uma quantidade no mundo real, 
mas que é muito útil ao resolver problemas mais complexos nas ciências. Trata-se dos 
números imaginários, cujo conjunto numérico que os contém é chamado conjunto dos 
complexos e é simbolizado pela letra ℂ. 
A base dos números imaginários é a raiz quadrada da unidade negativa, o que é 
impossível de ser calculada dentro dos números reais. Essa base imaginária é dada por 𝑖 =
√−1. 
Um número complexo é formado de duas partes, uma real e uma imaginária e é comum 
vermos representações desses números como (2; 5) 𝑜𝑢 (2 + 5𝑖). 
Temos uma aula específica para esse conteúdo! Vamos esquematizar: 
 
 
 
6.2.6. Múltiplos de um número 
Aqui exercitaremos a boa e velha tabuada. Para encontrar os múltiplos de um número, 
basta iniciarmos a contagem por ele e seguirmos contando com passos exatamente do 
tamanho do número inicial. Por exemplo, se quisermos construir os múltiplos de 3, iniciamos 
com o 3 e seguimos de 3 em 3: {3, 6, 9, 12, 15, 18… }. Confira mais exemplos: 
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 5 = {5, 10, 15, 20, 25… } 
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 17 = {17, 34, 51, 68, … } 
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 102 = {102, 204, 306, 408… } 
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑛 = {𝑛, 2𝑛, 3𝑛, 4𝑛, 5𝑛, 6𝑛… } 
 
COMPLEXOS
REAIS
RACIONAIS
INTEIROS
NATURAIS
IRRACIONAIS
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 29 
6.2.7. Números Primos 
Um conceito comum: número primo é aquele número natural que só é múltiplo dele 
próprio e do número 1. Ou seja, possui apenas dois divisores. 
Por exemplo, 5 é primo, pois é múltiplo de 5 e de 1, e de ninguém mais. O número 9 não 
é primo, pois ele é múltiplo dele próprio, do 1 e do 3, possuindo, assim, três divisores. O 
número que não é primo é chamado de composto. 
Eles são extremamente importantes para decompormos outros números em fatores 
primos, pois são os primeiros, a base. Os principais são 2, 3, 5, 7 𝑒 11 e 13. Existem infinitos 
números primos. 
Algumas observações importantes: 
O número 1 não é considerado primo, pois possui um único divisor, o próprio 1. 
O número 0 não é considerado primo, pois geraria uma indeterminação, uma vez que ele 
não pode ser dividido por ele mesmo. 
.2.8. Mínimo Múltiplo Comum - MMC 
Ao compararmos os múltiplos de números diferentes, podemos estabelecer os 
elementos que se repetem. Utilizemos como exemplo os números naturais 6, 8 e 12: 
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 6 = {6, 12, 18, 𝟐𝟒, 30, 36, 42, 𝟒𝟖, 54, 60, 66, 𝟕𝟐, 78,… } 
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 8 = {8, 16, 𝟐𝟒, 32, 40, 𝟒𝟖, 56, 64, 𝟕𝟐, 80, 88, 96… } 
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 12 = {12, 𝟐𝟒, 36, 𝟒𝟖, 60, 𝟕𝟐, 84… } 
Dentre os números que se repetem, o menor deles é o 24, esse será então o mínimo 
múltiplo comum, ou MMC: 
𝑀𝑀𝐶(6, 8, 12) = 24 
A partir do 24, percebemos que os números que se repetem também são múltiplos de 
24. Esse raciocínio é muito útil para somarmos algebricamente frações, bem como para 
problemas que envolvem repetição de eventos. 
A maneira prática para calcularmos o MMC entre dois ou mais números é colocá-los em 
ordem crescente e dividi-los pelos números primos, do menor para o maior, para irmos 
“fatorando” os números. Vejamos: 
 
6 8 12 2 
3 4 6 2 
3 2 3 2 
3 1 3 3 
1 1 1 2³. 3 = 24 
𝑀𝑀𝐶(6, 8, 12) = 23. 3 = 8.3 = 24 
 
 
 
6.2.9. Divisores de um número 
Os divisores de um natural 𝑛 são todos os números naturais pelos quais 𝑛 pode ser 
dividido, de tal forma que o resultado obtido seja exato, ou seja, com resto zero. Alguns 
exemplos: 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 6 ⇒ {1, 2, 3, 6} 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 10 ⇒ {1, 2, 5, 10} 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 30 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 11 ⇒ {1, 11} 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 200 ⇒ {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200} 
 
 
O conjunto dos divisores de um número não é infinito, como o conjunto dos 
múltiplos. 
Números primos só têm dois números em seu conjunto de divisores, eles mesmos 
e o número 1. 
 
6.2.10. Máximo Divisor Comum - MDC 
Ao compararmos divisores de números naturais diferentes, podemos encontrar 
elementos em comum. Vamos calcular, digamos, o MDC entre 20 e 30, ou seja, 𝑀𝐷𝐶(20,30). 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 20 ⇒ {1, 2, 4, 5, 10, 20} 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 30 ⇒ {1, 2, 3, 5, 6,10, 15, 30} 
Assim, podemos dizer que o maior divisor comum a 20 e 30, é 10, ou 𝑀𝐷𝐶(20,30) = 10. 
Alternativamente, podemos também trabalhar com a fatoração para encontrar o 𝑀𝐷𝐶 
entre números. Veja. 
 
 
20 2 30 2 
10 2 15 3 
5 5 5 5 
1 2².5 1 2.3.5 
Para encontrar o 𝑀𝐷𝐶(20,30), basta multiplicarmos os primos que se repetem em todas 
as fatorações, com seus menores expoentes: 
𝑀𝐷𝐶(20,30) = 2 ∙ 5 = 10 
O 𝑀𝐷𝐶 é uma ferramenta muito útil em certos tipos de problemas de divisão e 
voltaremos a esse assunto em breve. 
 
7. Perguntas Frequentes 
1. Como calcular a raiz, na equação do segundo grau, se o número encontrado não 
tiver raiz exata e a questão não trouxer aproximação? Exemplo: delta for igual a raiz de 
vinte. 
Comentários: 
Geralmente temos dois caminhos para essa situação. 
1) Olhar para as alternativas e verse a resposta contém a raiz não exata; 
2) Fatorar a raiz. Como no exemplo dado, raiz de 20 pode ser reescrita como: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS.31 
√20 = √22 ⋅ 5 = 2√5 
 
2. Existe condição de existência em equações do segundo grau? 
Comentários: 
Para a condição de existência da Equação do segundo grau, você precisa apenas ter o 
coeficiente "a" diferente de zero. 
 
3. O que significa a expressão algébrica 𝒂 (𝒙 − 𝒙′)(𝒙 − 𝒙′′) ? 
Comentários: 
A forma 𝑎 (𝑥 − 𝑥′)(𝑥 − 𝑥′′) é a fatoração dos trinômios quadrados perfeitos do tipo 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 +
𝑐. Onde 𝑥′ 𝑒 𝑥′′ são as raízes de 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, onde a, b e c são os coeficientes. 
 
4. Supondo que eu precise resolver uma equação do 2° grau, e que nesse caso 
específico uma das raízes seja negativa e eu precise apenas de um positiva (cálculo de 
área, por exemplo). Se fosse uma questão discursiva de vestibular, eu deveria resolver 
𝑿′ e 𝑿′′, mesmo sabendo que uma delas não vai servir para finalizar a questão? Se eu 
desenvolvesse apenas a positiva, correria o risco de o corretor deduzir que eu não sei 
que são duas e me tirar ponto? 
Comentários: 
Caso seja uma questão discursiva, aconselho sempre a calcular as duas raízes, como nos 
casos em que devemos calcular "mais ou menos raiz de...” 
Contudo, deverá escrever que a raiz negativa deverá ser descartada, pois se trata de cálculo 
de área ou outra grandeza que só faça sentido no conjunto dos números positivos. 
Deixe claro qual das raízes é a resposta do problema, que você não terá desconto algum na 
questão. 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 32 
8. Lista de Questões 
 
 
8.1 Questões Específicas 
5. (Fuvest/2018) Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português 
e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. 
Além disso, sabe-se que: 
I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática; 
II. 16 não obtiveram nota mínima em português; 
III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês; 
IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português; 
V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês; 
VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês; 
VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês. 
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi 
a) 44. b) 46 c) 47 d) 48 e) 49 
 
6. (Fuvest/2017) Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que a e b são 
equivalentes se a soma dos divisores positivos de a coincide com a soma dos divisores 
positivos de b. 
Constituem dois inteiros positivos equivalentes: 
a) 8 e 9. b) 9 e 11. c) 10 e 12. d) 15 e 20. e) 16 e 25. 
 
7. (Fuvest/2016) A igualdade correta para quaisquer 𝒂 e 𝒃, números reais maiores do 
que zero, é 
𝒂) √𝒂𝟑 + 𝒃𝟑
𝟑
= 𝒂 + 𝒃 
𝒃) 
𝟏
𝒂√𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
= −
𝟏
𝒃
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 33 
𝒄) (√𝒂 − √𝒃)
𝟐
= 𝒂 − 𝒃 
𝒅) 
𝟏
𝒂 + 𝒃
=
𝟏
𝒂
+
𝟏
𝒃
 
𝒆) 
𝒂𝟑 − 𝒃𝟑
𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
= 𝒂 − 𝒃 
 
8. (Fuvest/2015) Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser 
pagas usando o bilhete único. A tarifa é de R$3,00 para uma viagem simples (ônibus ou 
metrô/trem) e de R$4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um 
usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de R$12,50. O menor 
valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas 
utilizações é 
a) R$0,85 b) R$1,15 c) R$1,45 d) R$2,50 e) R$2,80 
 
9. (Fuvest/2014) O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal 
na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 
dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero. 
Considere as seguintes afirmações: 
I. 𝒙 é irracional. 
𝐈𝐈. 𝒙 ≥
𝟏𝟎
𝟑
 
III. 𝒙. 𝟏𝟎𝟐.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 é um inteiro par 
Então, 
a) nenhuma das três afirmações é verdadeira 
b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras 
c) apenas a afirmação I é verdadeira 
d) apenas a afirmação II é verdadeira 
e) apenas a afirmação III é verdadeira 
 
10. (Fuvest/2008) Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de 4 e que o 
primeiro dia de 2007 foi segunda-feira, o próximo ano a começar também em uma 
segunda-feira será 
a) 2012 b) 2014 c) 2016 d) 2018 e) 2020 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 34 
11. (Fuvest/2007) Uma empresa de construção dispõe de 117 blocos de tipo X e 145 
blocos de tipo Y. Esses blocos têm as seguintes características: todos são cilindros 
retos, o bloco X tem 120 cm de altura e o bloco Y tem 150 cm de altura. 
 
A empresa foi contratada para edificar colunas, sob as seguintes condições: cada 
coluna deve ser construída sobrepondo blocos de um mesmo tipo e todas elas devem 
ter a mesma altura. Com o material disponível, o número máximo de colunas que podem 
ser construídas é de 
a) 55 b) 56 c) 57 d) 58 e) 59 
 
12. (Fuvest/2005) O menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para 
que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é 
a) 37 
b) 36 
c) 35 
d) 34 
e) 33 
 
13. (Fuvest/2003) As soluções da equação 
𝒙 − 𝒂
𝒙 + 𝒂
+
𝒙 + 𝒂
𝒙 − 𝒂
=
𝟐(𝒂𝟒 + 𝟏)
𝒂𝟐(𝒙𝟐 − 𝒂𝟐)
 
onde 𝒂 ≠ 𝟎, são: 
𝒂) −
𝒂
𝟐
 𝒆 
𝒂
𝟒
 
𝒃) −
𝒂
𝟒
 𝒆 
𝒂
𝟒
 
𝒄) −
𝟏
𝟐𝒂
 𝒆 
𝟏
𝟐𝒂
 
𝒅) −
𝟏
𝒂
 𝒆 
𝟏
𝟐𝒂
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 35 
𝒆) −
𝟏
𝒂
 𝒆 
𝟏
𝒂
 
 
14. (Fuvest/2002) Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas 
com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados 2 m e 5 
m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas 
somente lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores do lado das lajotas? 
 
15. (Fuvest/2000) Se x e y são dois números inteiros, estritamente positivos e 
consecutivos, qual dos números abaixo é necessariamente um inteiro ímpar? 
a) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 b) 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 c) 𝒙𝒚 + 𝟏 
d) 𝟐𝒙𝒚 + 𝟐 e) 𝒙 + 𝒚 + 𝟏 
 
16. (Fuvest/1999) Um nadador, disputando a prova dos 400 metros, nado livre, 
completou os primeiros 300 metros em 3 minutos e 51 segundos. Se este nadador 
mantiver a mesma velocidade média os últimos 100 metros, completará a prova em 
a) 4 minutos e 51 segundos. b) 5 minutos e 8 segundos. 
c) 5 minutos e 28 segundos. d) 5 minutos e 49 segundos. 
e) 6 minutos e 3 segundos. 
 
17. (Fuvest/1997 - Questão 62 – Prova M) Que número deve ser somado ao numerador 
e ao denominador da fração 2/3 para que ela tenha um aumento de 20%? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
18. (Fuvest/2008) A soma dos valores de 𝒎 para os quais 𝒙 = 𝟏 é raiz da equação 
𝒙𝟐 + (𝟏 + 𝟓𝒎− 𝟑𝒎𝟐)𝒙 + (𝒎𝟐 + 𝟏) = 𝟎 
é igual a 
𝒂) 𝟓 𝟐⁄ 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 36 
𝒃) 𝟑 𝟐⁄ 
𝒄) 𝟎 
𝒅) − 𝟑 𝟐⁄ 
𝒆) − 𝟓 𝟐⁄ 
 
19. EV (Professor Andrew Cazemiro) - Um pintor cobra 𝑹$ 𝟐𝟒𝟎, 𝟎𝟎 por dia de trabalho, 
que equivale a 𝟖 horas de trabalho num dia. Quando é chamado para um serviço, esse 
pintor trabalha 𝟖 horas por dia com exceção, talvez, do seu último dia nesse serviço. 
Nesse último dia, caso trabalhe até 𝟒 horas, ele cobra metade do valor de um dia de 
trabalho. Caso trabalhe mais de 𝟒 horas, cobra o valor correspondente a um dia de 
trabalho. Esse pintor gasta 𝟖 horas para pintar uma vez uma área de 𝟒𝟎 𝒎². Um cliente 
deseja pintar as paredes de sua casa, com uma área total de 𝟓𝟐𝟎 𝒎². Ele quer que essa 
área seja pintada o maior número possível de vezes para que a qualidade da pintura seja 
a melhor possível. O orçamento desse cliente para a pintura é de 𝑹$ 𝟗. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎. 
Quantas vezes, no máximo, as paredes da casa poderão ser pintadas com o orçamento 
do cliente? 
a) 𝟏 
b) 𝟐 
c) 𝟑 
d) 𝟓 
e) 𝟔 
 
20. EV (PROFESSOR ANDREW CAZEMIRO) - Seja 𝒌 o número obtido como a soma 
dos inversos multiplicativos dos números primos positivos distintos que são fatores do 
número1155 e 𝒘 o inverso multiplicativo de 𝒌, então 𝒘 cumpre a condição 
A) 𝟏, 𝟓 < 𝒘 < 𝟏, 𝟕. 
B) 𝟏, 𝟐 < 𝒘 < 𝟏, 𝟓. 
C) 𝟏, 𝟖 < 𝒘 < 𝟏, 𝟗. 
D) 𝟏, 𝟕 < 𝒘 < 𝟏, 𝟖. 
 
21. EV - PROFESSOR ANDREW CAZEMIRO - A média aritmética do salário de um 
grupo de 100 pessoas é R$ 1287,75. Se a média aritmética do salário das mulheres é R$ 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 37 
1258,00 e a dos homens é R$ 1343,00, pode-se afirmar que o número de homens desse 
grupo é: 
a) 28 
b) 32 
c) 35 
d) 38 
e) 41 
 
22. EV - PROFESSOR ANDREW CAZEMIRO - Uma destilaria vende cerca de 10000 
litros de cachaça por dia a R$ 4,80 cada litro. O proprietário percebeu que, para cada 
centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por 
exemplo, no dia em que o preço da cachaça foi R$ 4,78, foram vendidos 10200 litros. 
Considerando 𝒙 o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e 𝑽 o 
valor, em reais, arrecadado por dia com a venda da cachaça, a expressão que relaciona 
𝑽 e 𝒙 é: 
a) 𝑽 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟖𝟎𝒙 − 𝒙𝟐 
b) 𝑽 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟖𝟎𝒙 + 𝒙𝟐 
c) 𝑽 = 𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟖𝟎𝒙 − 𝒙𝟐 
d) 𝑽 = 𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟖𝟎𝒙 − 𝒙𝟐 
e) 𝑽 = 𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟖𝟎𝒙 + 𝒙𝟐 
 
23. EV - PROFESSOR ANDREW CAZEMIRO - Durante o expediente, 21 trabalhadores 
beberam, cada um, pelo menos uma xícara de café e no máximo duas xícaras. Ao todo, 
beberam juntos 38 xícaras de café. Dessa forma o número de pessoas que beberam 
apenas uma xícara foi 
a) 8. 
b) 7. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
24. EV - PROFESSOR ANDREW CAZEMIRO - Os números inteiros a e b satisfazem às 
seguintes equações: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 38 
{
𝐀
𝟐
+
𝐁
𝟑
= 𝟏𝟎
𝐀 + 𝐁 = 𝟏𝟓
 
Logo, a – b é igual a: 
a) -15 
b) 30 
c) 45 
d) 15 
 
8.2 Questões Complementares 
1. (ENEM / 2018 – 2ª Aplicação / QUESTÃO 166 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Visando atingir metas econômicas previamente estabelecidas, é comum no 
final do mês algumas lojas colocarem certos produtos em promoção. Uma determinada 
loja de departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão, sofá e 
estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria R$ 3 800,00. Se ele levasse 
o sofá mais a estante, pagaria R$ 3 400,00. A televisão mais a estante sairiam por R$ 4 
200,00. Um cliente resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na promoção, 
conseguindo ainda mais 5% de desconto pelo pagamento à vista. 
O valor total, em real, pago pelo cliente foi de 
a) 3 610,00. 
b) 5 035,00. 
c) 5 415,00. 
d) 5 795,00. 
e) 6 100,00. 
 
2. (ENEM / 2017 – 2ª Aplicação / QUESTÃO 157 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes, 
somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu armazenar 10 minutos de vídeo 
e 190 fotos. Já na segunda, foi possível realizar 15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos. 
Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as 
fotos. Agora, essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória exclusivamente 
fotos, com a mesma qualidade das anteriores. 
Disponível em: www.techlider.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 39 
O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é 
a) 200. 
b) 209. 
c) 270. 
d) 340. 
e) 475. 
 
3. (ENEM / 2017 – 2ª Aplicação / QUESTÃO 160 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Em certa loja de roupas, o lucro na venda de uma camiseta é de 25% do 
preço de custo da camiseta pago pela loja. Já o lucro na venda de uma bermuda é de 
30% do preço de custo da bermuda, e na venda de uma calça o lucro é de 20% sobre o 
preço de custo da calça. Um cliente comprou nessa loja duas camisetas, cujo preço de 
custo foi R$ 40,00 cada uma, uma bermuda que teve preço de custo de R$ 60,00 e duas 
calças, ambas com mesmo preço de custo. Sabe-se que, com essa compra, o cliente 
proporcionou um lucro de R$ 78,00 para a loja. 
Considerando essas informações, qual foi o preço de custo, em real, pago por uma 
calça? 
a) 90 
b) 100 
c) 125 
d) 195 
e) 200 
 
4. (ENEM / 2017 – 2ª Aplicação / QUESTÃO 161 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Um marceneiro recebeu a encomenda de uma passarela de 14,935 m sobre 
um pequeno lago, conforme a Figura I. A obra será executada com tábuas de 10 cm de 
largura, que já estão com o comprimento necessário para instalação, deixando-se um 
espaçamento de 15 mm entre tábuas consecutivas, de acordo com a planta do projeto na 
Figura II. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 40 
 
Desconsiderando-se eventuais perdas com cortes durante a execução do projeto, 
quantas tábuas, no mínimo, o marceneiro necessitará para a execução da encomenda? 
a) 60 
b) 100 
c) 130 
d) 150 
e) 598 
 
5. (Mackenzie/2018) Em uma pesquisa com 120 pessoas, verificou-se que 
• 65 assistem ao noticiário A 
• 45 assistem ao noticiário B 
• 42 assistem ao noticiário C 
• 20 assistem ao noticiário A e ao noticiário B 
• 25 assistem ao noticiário A e ao noticiário C 
• 15 assistem ao noticiário B e ao noticiário C 
• 8 assistem aos três noticiários 
Então, o número de pessoas que assistem somente a um noticiário é 
a) 7 b) 8 c) 14 d) 28 e) 56 
 
6. (Mackenzie/2018) O número inteiro positivo, cujo produto de seu antecessor com 
seu sucessor é igual a 8, é 
a) 5 
b) 4 
c) −3 
d) 3 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 41 
e) 2 
 
7. (UEA/2018 - Questão 56) Para a participação em uma competição com várias 
modalidades esportivas, um grupo com 40 atletas recebeu, da universidade em que 
estudam, 36 pacotes contendo 4 uniformes ou 6 uniformes em cada um. Se a média de 
uniformes recebidos por atleta foi 5, então o número de pacotes com 6 uniformes foi 
igual a 
(A) 16. 
(B) 24. 
(C) 28. 
(D) 20. 
(E) 8. 
 
8. (UEA/2018 - Questão 09) Considere duas misturas, M e M’, obtidas a partir de duas 
substâncias líquidas, x e y. Em M, para cada 7 partes de y há 3 partes de x. Em M’, para 
cada 2 partes de y há 3 partes de x. Na mistura de 1 litro de M com 1 litro de M’, a razão 
entre as quantidades de x e de y, nesta ordem, é igual a 
(A) 𝟕/𝟗 
(B) 𝟗/𝟏𝟎 
(C) 𝟖/𝟏𝟏 
(D) 𝟗/𝟏𝟏 
(E) 𝟒/𝟏𝟏 
 
9. (UEA/2015 - Questão 01) Em um determinado teste de raciocínio, com questões de 
múltipla escolha, o candidato ganha 5 pontos por questão respondida corretamente, 
perde 2 pontos por questão respondida incorretamente e não ganha nem perde pontos 
por questão não respondida. A tabela mostra o desempenho de Aldemir na resolução 
desse teste. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 42 
 
Sabendo-se que ele obteve um total de 108 pontos, é correto afirmar que o número de 
questões desse teste não respondidas por Aldemir foi igual a 
(A) 15. 
(B) 12. 
(C) 10. 
(D) 8. 
(E) 9. 
 
10. (UFU/2015 - Questão 31 – 2º dia) Os alunos do curso de Educação Física de uma 
instituição responderam a uma pesquisa que avaliou qual o seu esporte coletivo 
predileto: basquete, futebol ou vôlei. Todos responderam selecionando apenas uma 
opção. Os dados coletados foram parcialmente divulgados conforme indica o quadro a 
seguir. 
 
Sabe-se que 194 é a média aritmética entre os totais das respostas das 3 opções, e que o 
número de mulheres optantes por vôlei é 20% superior ao de mulheres optantes por 
basquete. 
Segundo essas informações, o número de maneiras de selecionar dois optantes por 
vôlei, sendo um homem e uma mulher, é igual a 
a) 14016. 
b) 222. 
c) 12312. 
d) 380. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 43 
11. (UFU/2018 - Questão 32 – 2º dia) O Índice de Massa Corpórea (IMC) é reconhecido 
pela Organização Mundial de Saúde (OMS) como a principal referência para classificação 
das diferentesfaixas da relação peso-altura de pessoas entre 16 e 60 anos. Seu cálculo é 
determinado pela fórmula 𝑰𝑴𝑪 =
𝑷
𝒉𝟐
, em que P (em kg) e h (em metros) denotam, 
respectivamente, o peso e a altura da pessoa. Pedro teve sua estatura adulta alcançada 
aos 18 anos, quando pesava 86,7 kg e seu IMC era 30. Ao longo dos anos, seu IMC 
evoluiu de acordo com o gráfico a seguir 
 
a) 101,5 
b) 86,7 
c) 104,4 
d) 121,38 
 
12. (UFU/2018 - Questão 34 – 2º dia) Marcos protegeu o acesso a um importante 
arquivo no sistema de seu computador com uma senha de dois dígitos. Com receio de 
esquecê-la, ele anotou a seguinte mensagem: 
Seja A o conjunto de todos os números divisíveis por 13, 14 e 18. Se eu considerar o 
número X como sendo o menor inteiro tal que 𝟐𝑿 ∈ 𝑨, então, a soma dos algarismos de X 
será a porta de entrada (senha) que tanto desejo lembrar. 
Baseando-se na mensagem de Marcos, a senha de acesso ao arquivo é 
a) 45 
b) 18 
c) 36 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 44 
d) 90 
 
13. (UPF/2015) Paula comprou pacotes com 5 figurinhas para seus três filhos. Saiu e 
deixou um bilhete dizendo para repartirem os pacotes entre eles igualmente. O primeiro 
chegou, pegou a terça parte e saiu. O segundo chegou e, pensando que era o primeiro, 
pegou a terça parte do que havia sobrado e saiu. O terceiro encontrou 4 pacotes de 
figurinhas e, pensando que era o último, pegou todos e saiu. Quantos pacotes de 
figurinhas a mãe deixou? 
a) 6 
b) 9 
c) 12 
d) 15 
e) 20 
 
14. FAMEMA/2019 - Em um grupo de 150 estudantes, 25% das mulheres e 50% dos 
homens falam espanhol. Sabendo que 34% dos estudantes desse grupo falam espanhol, 
o número de mulheres desse grupo que falam espanhol é 
a) 54. 
b) 51. 
c) 38. 
d) 24. 
e) 45. 
 
15. ALBERT EINSTEN/2018 - Um grupo de 180 turistas estão hospedados em um 
mesmo hotel no estado de São Paulo. As regiões Norte, Sul e Sudeste são as regiões do 
Brasil que já foram visitadas por pelo menos um desses turistas. Desses turistas, 89 já 
estiveram na Região Sul e 78 já estiveram na Região Norte. Sabendo que 33 desses 
turistas só conhecem a Região Sudeste, o número desses turistas que já estiveram nas 
Regiões Norte e Sul é: 
A) 10. 
B) 13. 
C) 17. 
D) 20. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 45 
 
16. ALBERT EINSTEN/2018 - Para arrecadar recursos para a festa de formatura, os 
formandos de uma escola decidiram vender convites para um espetáculo. Cada 
formando recebeu para vender um número de convites que é igual ao número total de 
formandos mais 3. Se todos os formandos conseguirem vender todos os convites a 5 
reais, o dinheiro arrecadado será menor do que R$ 26.270,00. Nessas condições, o maior 
número de formandos que essa escola pode ter é múltiplo de 
A) 12. 
B) 13. 
C) 14. 
D) 15. 
 
17. FACISB/2019 - Duas cabras e três vacas levam 6 dias para comer 2000 m² de 
pasto. Seis dessas mesmas cabras e cinco dessas vacas levam 10 dias para comer 8000 
m² de pasto. O número de dias que oito dessas cabras e oito dessas vacas levariam para 
comer 17000 m² de pasto é igual a: 
a) 15 
b) 16 
c) 14 
d) 17 
e) 18 
 
18. FACISB/2019 - Admita que no critério de correção dos 80 testes de múltipla 
escolha deste vestibular sejam atribuídos 5 pontos por acerto e retirados 2 pontos por 
erro, resposta rasurada ou resposta em branco. Com base nesses critérios, um 
candidato que tenha somado 211 pontos nessa prova acertou, do total de questões: 
a) 65% 
b) 63,75% 
c) 62,5% 
d) 66,25% 
e) 67,5% 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 46 
19. FACISB/2020 - Dos 90 estudantes que ingressaram em um curso de medicina, 42 
são homens e 48 são mulheres. Quando questionados se finalizaram o ensino médio em 
escola particular, 28 homens e 34 mulheres responderam que sim, e os demais 
ingressantes responderam que terminaram o ensino médio em escola pública. Daqueles 
que terminaram o ensino médio em escola pública, apenas 4 homens e 6 mulheres 
disseram ter feito algum curso pré-vestibular. 
De acordo com os dados, a porcentagem desses 90 ingressantes que terminaram o 
ensino médio em escola pública e não fizeram curso pré-vestibular é igual a: 
a) 20% 
b) 18% 
c) 25% 
d) 30% 
e) 24% 
 
20. FAMECA/2021 - Rio inaugura hoje a maior roda-gigante da América Latina 
Será inaugurada hoje (06.12.2019) a roda-gigante Rio Star, a maior da América Latina, 
com 88 metros de altura. A volta completa vai durar 18 minutos. O público se acomodará 
em 54 cabines com capacidade para até 8 passageiros. 
Quem estiver no Rio de Janeiro poderá adquirir o ingresso a um preço promocional de 
R$ 49,00 que vale para os bilhetes comprados pela internet até o dia 19 de dezembro. 
Após essa data, os ingressos passarão a custar R$ 59,00. 
Fonte: https://agenciabrasil.ebc.com.br. Adaptado 
O número mínimo necessário de cabines totalmente ocupadas para que o faturamento 
obtido em uma volta da roda gigante Rio Star com ingressos vendidos ao preço cheio 
ultrapasse o faturamento obtido em uma volta da roda gigante com lotação máxima com 
ingressos vendidos ao preço promocional é: 
a) 44 
b) 45 
c) 43 
d) 46 
e) 47 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 47 
21. FAMECA/2021 - Uma fábrica de tacos de madeira produz peças em dois tamanhos, 
retangulares e de mesma largura. Um dos tipos de taco tem 360 mm de comprimento, o 
outro, 378 mm. A fim de que se possa instalar, em uma sala, filas intercaladas de tacos, 
todos de um mesmo tipo em cada fila, sem que sejam necessários cortes, o 
comprimento mínimo da sala deve ser de: 
a) 15,12 m 
b) 5,04 m 
c) 10,08 m 
d) 11,34 m 
e) 7,56 m 
 
22. (UNAERP/2018) Qual é o produto das raízes reais da equação apresentada? 
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟑 ∙ (𝟐𝒙 + 𝟑) 
a) −𝟖 
b) −𝟐√𝟐 
c) −𝟐 
d) √𝟖
𝟒
 
e) 𝟏𝟔 
 
23. (UNAERP/2018) O valor da expressão: 
𝒂(−
𝟏
𝟐
) ∙ 𝒃(
𝟐
𝟑
) ∙ 𝒄𝟎
𝒅𝟐 ∙ 𝒇−𝟑
 
Quando 𝒂 = 𝟗, 𝒃 = −𝟔𝟒, 𝒄 = 𝟏, 𝒅 = −𝟐 e 𝒇 =
𝟏
𝟐
 é: 
a) −
𝟐
𝟑
 
b) −
𝟏
𝟔
 
c) 
𝟏
𝟔
 
d) 
𝟐
𝟑
 
e) 
𝟑
𝟐
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 48 
9. Gabarito 
9.1 Questões Específicas 
1 E 11 C 
2 E 12 B 
3 E 13 B 
4 B 14 A 
5 E 15 B 
6 D 16 B 
7 E 17 C 
8 A 18 C 
9 E 19 C 
10 - 20 E 
 
9.2 Questões Complementares 
1 D 11 C 21 E 
2 C 12 B 22 C 
3 B 13 B 23 C 
4 C 14 D 
5 E 15 D 
6 D 16 C 
7 C 17 A 
8 D 18 D 
9 C 19 A 
10 C 20 B 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 49 
10. Lista Comentada de Questões 
10.1 Questões Específicas 
1. (Fuvest/2018) Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português 
e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. 
Além disso, sabe-se que: 
I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática; 
II. 16 não obtiveram nota mínima em português; 
III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês; 
IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português; 
V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês; 
VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês; 
VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês. 
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi 
a) 44. b) 46 c) 47 d) 48 e) 49 
Comentários 
Para resolvermos a questão, vamos começar pela interseção de todos os conjuntos 
envolvidos, ou seja, os 2 que não obtiveram nota mínima em nenhuma matéria ficarão no 
centro dos conjuntos: 
 
Depois passamos para a análise das interseções dos conjuntos, dois a dois. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 50 
7 não obtiveram nota mínima em inglês e em português, como já existem 2, restam 5 para 
serem colocados aqui. 
 
3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês, como já existem 2, resta 1 para ser 
colocado aqui. 
 
5 nãoobtiveram nota mínima em matemática e em português, como já existem 2, restam 3 
para serem colocados aqui. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 51 
 
Por último, vamos identificar quanto falta para completar cada conjunto separadamente. 
No conjunto da matemática existem 14, logo faltam 8. 
No conjunto do português existem 16, logo faltam 6. 
No conjunto do português existem 12, logo faltam 4. 
 
O diagrama fica assim: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 52 
 
Logo, a podemos somar todos os elementos: 
𝑁 = 8 + 3 + 6 + 1 + 2 + 5 + 4 + 20 = 49 
Gabarito: e) 
2. (Fuvest/2017) Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que a e b são 
equivalentes se a soma dos divisores positivos de a coincide com a soma dos divisores 
positivos de b. 
Constituem dois inteiros positivos equivalentes: 
a) 8 e 9. b) 9 e 11. c) 10 e 12. d) 15 e 20. e) 16 e 25. 
Comentários 
Muito bem. Antes de analisarmos as alternativas, faz-se necessário entender o que o 
enunciado diz. 
A título de esclarecimento, peguemos dois números, digamos 6 e 10. Para saber se eles são 
equivalentes, façamos o proposto pelo enunciado, somemos seus divisores. 
Acompanhe: 
Número Divisores Soma 
6 1, 2, 3 𝑒 6 1 + 2 + 3 + 6 = 12 
10 1, 2, 5 𝑒 10 1 + 2 + 5 + 10 = 18 
Portanto, pelos dados do enunciado, os números 6 e 10 não são equivalentes. 
Para uma análise mais ampla, façamos o mesmo com todos os números citados nas 
alternativas: 
Número Divisores Soma 
8 1, 2, 4 𝑒 8 1 + 2 + 4 + 8 = 15 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 53 
9 1, 3 𝑒 9 1 + 3 + 9 = 13 
10 1, 2, 5 𝑒 10 1 + 2 + 5 + 10 = 18 
11 1 𝑒 11 1 + 11 = 12 
12 1, 2, 3, 4, 6 𝑒 12 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 
15 1, 3, 5 𝑒 15 1 + 3 + 5 + 15 = 24 
16 1, 2, 4, 8 𝑒 16 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 
20 1, 2, 4, 5, 10 𝑒 20 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42 
25 1, 5 𝑒 25 1 + 5 + 25 = 31 
Perceba que apenas os números 16 e 25 apresentam somas iguais, indicando a alternativa e) 
como nosso gabarito! 
Dica: Você não precisaria saber o que são os números equivalentes. É muito comum um 
exercício trazer uma definição “nova” para você e, dando informações suficientes, solicitando 
alguma atividade que exija adaptação de seus conhecimentos. Não se desespere com termos 
diferentes e conceitos novos, a prova dará informações suficientes nessas situações. 
Gabarito: e) 
3. (Fuvest/2016) A igualdade correta para quaisquer 𝒂 e 𝒃, números reais maiores do 
que zero, é 
𝒂) √𝒂𝟑 + 𝒃𝟑
𝟑
= 𝒂 + 𝒃 
𝒃) 
𝟏
𝒂√𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
= −
𝟏
𝒃
 
𝒄) (√𝒂 − √𝒃)
𝟐
= 𝒂 − 𝒃 
𝒅) 
𝟏
𝒂 + 𝒃
=
𝟏
𝒂
+
𝟏
𝒃
 
𝒆) 
𝒂𝟑 − 𝒃𝟑
𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
= 𝒂 − 𝒃 
Comentários 
Mais uma questão que, para resolvê-la, precisamos analisar alternativa a alternativa. 
𝑎) √𝑎3 + 𝑏3
3
= 𝑎 + 𝑏 
Organizando: 
√𝑎3 + 𝑏3
3
= 𝑎 + 𝑏 
(√𝑎3 + 𝑏3
3
)
3
= (𝑎 + 𝑏)3 
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)3 
Se você se lembra dos produtos notáveis apresentados no início da aula, já deve ter percebido 
que a igualdade não é válida (alternativa falsa), pois o desenvolvimento do cubo da soma não 
é a soma dos cubos, veja: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 54 
𝑎3 + 𝑏3 ≠ (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3. 𝑎2𝑏 + 3. 𝑎𝑏2 + 𝑏3 
𝑏) 
1
𝑎√𝑎2 + 𝑏2
= −
1
𝑏
 
Organizando: 
1
𝑎√𝑎2 + 𝑏2
= −
1
𝑏
 
−
𝑏
𝑎
= √𝑎2 + 𝑏2 
Dois números positivos elevados ao quadrado, possuem resultado positivo. Alternativa falsa, 
pois mostra o resultado −
𝑏
𝑎
. 
𝑐) (√𝑎 − √𝑏)
2
= 𝑎 − 𝑏 
Desenvolvendo o primeiro membro: 
(√𝑎 − √𝑏)
2
= √𝑎
2
− 2√𝑎. √𝑏 + √𝑏
2
= 𝑎 − 2√𝑎. √𝑏 + 𝑏 
Como a expressão a que chegamos não é equivalente ao segundo termo da equação 
apresentada, classificamos, também, essa alternativa como falsa. 
𝑑) 
1
𝑎 + 𝑏
=
1
𝑎
+
1
𝑏
 
Desenvolvendo o segundo membro: 
1
𝑎
+
1
𝑏
 
Para soma de frações, MMC: 
1
𝑎
+
1
𝑏
=
𝑏 + 𝑎
𝑎𝑏
 
Alternativa falsa. 
𝑒) 
𝑎3 − 𝑏3
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2
= 𝑎 − 𝑏 
Desenvolvendo o primeiro termo: 
𝑎3 − 𝑏3
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2
 
Como vimos nos produtos notáveis apresentados no início, podemos fatorar a expressão 𝑎3 −
𝑏3. 
𝑎3 − 𝑏3
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2
=
(𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏3)
(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏3)
= (𝑎 − 𝑏) 
Exatamente o que nossa alternativa afirmou. 
Gabarito: e) 
4. (Fuvest/2015) Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser 
pagas usando o bilhete único. A tarifa é de R$3,00 para uma viagem simples (ônibus ou 
metrô/trem) e de R$4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um 
usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de R$12,50. O menor 
valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas 
utilizações é 
a) R$0,85 b) R$1,15 c) R$1,45 d) R$2,50 e) R$2,80 
Comentários 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 55 
Para essa análise, podemos trabalhar com a proposta de exaustão, pois são poucas 
possibilidades. 
Imaginemos, inicialmente, que a pessoa utilize apenas bilhetes para viagens simples, ou seja, 
de R$3,00 cada. Assim, para que o valor seja superior aos R$12,50 já presentes no bilhete 
único, teríamos o mínimo de 5 viagens: 
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 → 𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑎𝑟 𝑅$2,50 
Caso a pessoa utilize apenas uma viagem de integração, teríamos: 
3 + 3 + 3 + 4,65 = 13,65 → 𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑎𝑟 𝑅$1,15 
Caso a pessoa utilize duas viagens de integração: 
3 + 3 + 4,65 + 4,65 = 15,30 → 𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑎𝑟 𝑅$2,80 
Caso a pessoa utilize três viagens de integração: 
4,65 + 4,65 + 4,65 = 13,95 → 𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑎𝑟 𝑅$1,45 
Caso a pessoa utilize mais viagens do que as citadas, o valor ultrapassaria sempre mais do 
que os depósitos excedentes calculados. 
Dentre as opções, o menor valor a ser depositado deve ser de R$1,15, ou seja, alternativa b). 
Gabarito: b) 
5. (Fuvest/2014) O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal 
na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 
dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero. 
Considere as seguintes afirmações: 
I. 𝒙 é irracional. 
𝐈𝐈. 𝒙 ≥
𝟏𝟎
𝟑
 
III. 𝒙. 𝟏𝟎𝟐.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 é um inteiro par 
Então, 
a) nenhuma das três afirmações é verdadeira 
b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras 
c) apenas a afirmação I é verdadeira 
d) apenas a afirmação II é verdadeira 
e) apenas a afirmação III é verdadeira 
Comentários 
Muito bem. Antes de julgar as afirmações, vamos explicitar nosso número x: 
𝑥 = 3,3333…33 2222…22 0000… 
Obviamente, respeitados os números de casas decimais fornecidos de 999.999 casas decimais 
com o algarismo 3, de 1.000.001 casas decimais com o algarismo 2 e de todas as seguintes 
com o algarismo 0. 
Assim, vejamos as afirmações. 
I. x é irracional. 
Como 𝑥 tem um número finito de casas decimais diferentes de zero, nesse caso 999.999 +
1.000.001 = 2.000.000, 𝑥 é racional, tornando a afirmativa falsa. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 56 
𝐈𝐈. 𝒙 ≥
𝟏𝟎
𝟑
 
𝑥 ≥
10
3
 
3,3333…33 2222…22 0000… ≥
10
3
 
3,3333…33 2222…22 0000… ≥ 3,3333…33 3333…33 3333… 
O que é falso. 
III. 𝒙. 𝟏𝟎𝟐.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 é um inteiro par 
Quando multiplicamos um número por uma potência positiva de dez, acabamos por transpor a 
vírgula para a direita um número de casas decimais igual à potência de dez multiplicada. 
Sendo assim, nesse caso, ao multiplicarmos um número por 102.000.000, levamos a vírgula para 
a direita dois milhões de casas. 
Se o nosso número 𝑥 tem exatamente dois milhões de casas diferentes de zero após a vírgula, 
ao multiplicarmos esse número por 102.000.000, ele se tornará um inteiro, pois todas as casas 
restantes após a vírgula serão iguais a zero. 
Desse modo, afirmativa verdadeira. 
Gabarito: e) 
6. (Fuvest/2008) Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de 4 e que o 
primeiro dia de 2007 foi segunda-feira, o próximo ano a começar tambémem uma 
segunda-feira será 
a) 2012 b) 2014 c) 2016 d) 2018 e) 2020 
Comentários 
O ano não bissexto tem 365 dias, que correspondem a 52 semanas mais 1 dia. 
O ano bissexto tem 366 dias, que correspondem a 52 semanas mais 2 dias. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 57 
 
Dessa forma, percebemos que o próximo ano a ter seu primeiro dia em uma segunda-feira, 
após 2007, será 2018. 
Gabarito: d) 
7. (Fuvest/2007) Uma empresa de construção dispõe de 117 blocos de tipo X e 145 
blocos de tipo Y. Esses blocos têm as seguintes características: todos são cilindros 
retos, o bloco X tem 120 cm de altura e o bloco Y tem 150 cm de altura. 
 
A empresa foi contratada para edificar colunas, sob as seguintes condições: cada 
coluna deve ser construída sobrepondo blocos de um mesmo tipo e todas elas devem 
ter a mesma altura. Com o material disponível, o número máximo de colunas que podem 
ser construídas é de 
a) 55 b) 56 c) 57 d) 58 e) 59 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 58 
Comentários 
É uma questão que envolve MMC, nesse caso entre 120 e 150 que são as alturas dos dois 
tipos de bloco. Fatorando 120 e 150 simultaneamente, chegamos a 𝑀𝑀𝐶(120; 150) = 600, que 
representa a altura. 
De posse do valor da altura, precisamos saber quantos blocos vão em cada coluna e quantas 
colunas de cada tipo conseguimos fazer. 
Colunas com blocos X: 
600 ÷ 120 = 5 𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 
117 ÷ 5 = 23,4 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠 
Colunas com blocos Y: 
600 ÷ 150 = 4 𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 
145 ÷ 4 = 36,25 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠 
Assim, utilizando apenas a parte inteira dos resultados, conseguimos 23 colunas com os blocos 
do tipo X e 36 colunas com os blocos do tipo Y, totalizando 59 colunas completas. 
Gabarito: e) 
8. (Fuvest/2005) O menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para 
que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é 
a) 37 
b) 36 
c) 35 
d) 34 
e) 33 
Comentários 
Chamando o número solicitado de 𝑥 e o quadrado de um número inteiro positivo de 𝑦2 com 
𝑦 ∈ ℕ (total falta de criatividade, eu sei... pode-se usar quaisquer letras para incógnitas no lugar 
dos tradicionais 𝑥 e 𝑦, ok?), temos: 
987 + 𝑥 = 𝑦2 
Análise comigo quais são os números quadrados de inteiros positivos: 
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … , 900, 961, 1024, 1089, 1156… 
Como queremos um número que somado a 987 dê um quadrado perfeito, o quadrado deve, 
obrigatoriamente, ser superior a 987, assim nossas opções são resumidas a: 
1024, 1089, 1156… 
Mas o exercício pediu o menor 𝑥 possível, então nossa escolha deve ser o menor quadrado 
perfeito maior que 987, ou seja, 1024. 
Perceba que 𝑦2 = 1024, pois 𝑦2 está simbolizando nosso quadrado de um número inteiro 
positivo, ok? 
Agora podemos, finalmente, escrever a equação referente ao problema: 
987 + 𝑥 = 1024 
Subtraindo 987 de ambos os termos da equação, temos: 
𝑥 = 1024 − 987 
𝑥 = 37 
Gabarito: a) 
9. (Fuvest/2003) As soluções da equação 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 59 
𝒙 − 𝒂
𝒙 + 𝒂
+
𝒙 + 𝒂
𝒙 − 𝒂
=
𝟐(𝒂𝟒 + 𝟏)
𝒂𝟐(𝒙𝟐 − 𝒂𝟐)
 
onde 𝒂 ≠ 𝟎, são: 
𝒂) −
𝒂
𝟐
 𝒆 
𝒂
𝟒
 
𝒃) −
𝒂
𝟒
 𝒆 
𝒂
𝟒
 
𝒄) −
𝟏
𝟐𝒂
 𝒆 
𝟏
𝟐𝒂
 
𝒅) −
𝟏
𝒂
 𝒆 
𝟏
𝟐𝒂
 
𝒆) −
𝟏
𝒂
 𝒆 
𝟏
𝒂
 
Comentários 
Vamos resolver a equação em termos de 𝑥 e consideraremos o termo 𝑎 como constante. 
Dessa forma, temos: 
𝑥 − 𝑎
𝑥 + 𝑎
+
𝑥 + 𝑎
𝑥 − 𝑎
=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
 
Como temos uma soma de frações, a primeira coisa é fazer o MMC entre os denominadores. 
Podemos fazer o MMC entre todos os termos da equação ou apenas dos termos do primeiro 
membro. 
Optaremos aqui pela segunda opção. 
𝑥 − 𝑎
𝑥 + 𝑎
+
𝑥 + 𝑎
𝑥 − 𝑎
=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑥 + 𝑎)2
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)
=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
 
Vamos desenvolver e simplificar o numerador da primeira fração. 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑥 + 𝑎)2
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)
=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
 
𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)
=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
 
𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)
=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
 
𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)
=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
 
2𝑥2 + 2𝑎2
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)
=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
 
Colocando 2 em evidência no numerador e desenvolvendo o produto do denominador (lembre-
se dos produtos notáveis!), ambos do primeiro termo da equação, e simplificando: 
2(𝑥2 + 𝑎2)
(𝑥2 − 𝑎2)
=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
 
2(𝑥2 + 𝑎2)
(𝒙𝟐 − 𝒂𝟐)
=
𝟐(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝒙𝟐 − 𝒂𝟐)
 
Continuemos simplificando... 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 60 
(𝑥2 + 𝑎2)
1
=
(𝑎4 + 1)
𝑎2
 
𝑥2 + 𝑎2 =
𝑎4 + 1
𝑎2
 
𝑥2 =
𝑎4 + 1
𝑎2
− 𝑎2 
Mais uma fração, portanto, mais um MMC. 
𝑥2 =
𝑎4 + 1
𝑎2
− 𝑎2 
𝑥2 =
𝒂𝟒 + 1 − 𝒂𝟒
𝑎2
 
𝑥2 =
1
𝑎2
 
√𝑥2 = √
1
𝑎2
 
𝑥 = ±√
1
𝑎2
 
𝑥 = ±
1
𝑎
 
Criando um pouco de suspense: analisaremos com mais detalhes na próxima aula o que 
acontece com √𝑥2. 
Uma forma mais explícita de escrevermos nosso resultado é: 
𝑥 = −
1
𝑎
 𝑜𝑢 𝑥 = +
1
𝑎
 
 
Sempre que eu tenho uma variável ao quadrado, no caso 𝑥², eu posso tirar a raiz quadrada dos 
dois membros a fim de eliminar esse quadrado e evidenciar o valor de x. Na prática, é aquela 
velha história de passar o quadrado em forma de raiz quadrado. 
Pois bem, aqui cabe uma análise do que acontece com um número elevado ao quadrado e, na 
sequência, retirada a raiz quadrada do resultado: o resultado sempre será positivo. Em outras 
palavras, sempre será o módulo, mas o valor original de 𝑥 pode ser tanto negativo, quanto 
positivo. 
Dessa forma, sempre teremos: 
𝑥 = −
1
𝑎
 𝑜𝑢 𝑥 = +
1
𝑎
 
Gabarito: e) 
10. (Fuvest/2002) Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas 
com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados 2 m e 5 
m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas 
somente lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores do lado das lajotas? 
Comentários 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 61 
Como a questão quer o maior tamanho possível, podemos calcular o 𝑀𝐷𝐶(200,500) (o 
exercício informou em metros, mas pediu que fossem calculados os lados da lajota quadrada 
em centímetros). Comecemos com a análise dos divisores comuns entre 200 e 500: 
Número Divisores 
200 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200 
500 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500 
Dessa forma, qualquer número que seja divisor de ambos os números (5 m = 500 cm e 2 m = 
200 cm) simultaneamente, representa uma possibilidade. Assim, todos os possíveis valores 
inteiros para os lados das lajotas, em centímetros, são: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100. 
Gabarito: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. 
11. (Fuvest/2000) Se x e y são dois números inteiros, estritamente positivos e 
consecutivos, qual dos números abaixo é necessariamente um inteiro ímpar? 
a) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 b) 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 c) 𝒙𝒚 + 𝟏 
d) 𝟐𝒙𝒚 + 𝟐 e) 𝒙 + 𝒚 + 𝟏 
Comentários 
Vamos analisar alternativa por alternativa: 
a) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 
Dessa soma, a parcela 2𝑥 é, com certeza, par, independente de 𝑥, pois o dobro de algo é 
sempre par. Já não temos tanta certeza sobre a parcela 3𝑦, que pode ser tanto par (caso 𝑦 
seja par) quanto ímpar (caso 𝑦 seja ímpar). 
b) 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 
Exatamente o mesmo caso da alternativa a. Falso. 
c) 𝒙𝒚 + 𝟏 
O produto 𝑥𝑦 é, com certeza, par, pois temos a multiplicação de um número par e outro ímpar, 
independente de qual é qual (são dois números consecutivos, lembra? Com certeza um par e 
outro ímpar). Sendo assim, o produto 𝑥𝑦 par somado a 1 resulta em um número ímpar e esse é 
nosso gabarito! 
d) 𝟐𝒙𝒚 + 𝟐 
O produto 𝑥𝑦 é, como já vimos na alternativa anterior, par. O dobro desse produto, 2𝑥𝑦,continua a ser par e, a soma de um número par a 2, resulta, novamente, em um número par. 
Falso. 
e) 𝒙 + 𝒚 + 𝟏 
Se somarmos 1 ao número ímpar, seja 𝑥 ou 𝑦, teremos um número par que, somado ao outro 
par, soma par novamente, não atendendo à solicitação do enunciado de resultar em um 
número ímpar. 
Gabarito: c) 
12. (Fuvest/1999) Um nadador, disputando a prova dos 400 metros, nado livre, 
completou os primeiros 300 metros em 3 minutos e 51 segundos. Se este nadador 
mantiver a mesma velocidade média os últimos 100 metros, completará a prova em 
a) 4 minutos e 51 segundos. b) 5 minutos e 8 segundos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 62 
c) 5 minutos e 28 segundos. d) 5 minutos e 49 segundos. 
e) 6 minutos e 3 segundos. 
Comentários 
Pelo enunciado, o nadador deverá chegar à marca dos 400 metros, mas ainda está na marca 
dos 300 metros com um tempo de 3 minutos e 51 segundos. 
Muito bem. 
Se ele já nadou 300 metros, faltam 100 metros. 
Se ele nadou 300 metros em 3 minutos e 51 segundos, deve nadar 100 metros em um terço 
desse tempo, ou seja, 1 minuto e 17 segundos, já que a suposição do exercício é a de que 
ele mantenha a velocidade média. 
Façamos essa soma com cuidado: 
 Minutos Segundos 
+ 
3 51 
1 17 
 4 68 
Os 68 segundos indicados na soma são, na verdade, 1 minuto e 8 segundos; esse minuto extra 
é somado à resposta já obtida de 4 minutos, totalizando 5 minutos e 8 segundos. 
Gabarito: b) 
13. (Fuvest/1997 - Questão 62 – Prova M) Que número deve ser somado ao numerador 
e ao denominador da fração 2/3 para que ela tenha um aumento de 20%? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
Comentários 
Chamando o número desconhecido de x, podemos transcrever o enunciado da seguinte forma: 
2 + 𝑥
3 + 𝑥
= 120% ⋅
2
3
 
Note que um acréscimo de 20% em algo equivale a multiplicar esse algo por 120%. 
Resolvendo a equação do 1º grau: 
2 + 𝑥
3 + 𝑥
= 120% ⋅
2
3
 
2 + 𝑥
3 + 𝑥
=
120
100
⋅
2
3
 
2 + 𝑥
3 + 𝑥
=
6
5
⋅
2
3
 
2 + 𝑥
3 + 𝑥
=
4
5
 
10 + 5𝑥 = 12 + 4𝑥 
𝑥 = 2 
Gabarito: b) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 63 
14. (Fuvest/2008) A soma dos valores de 𝒎 para os quais 𝒙 = 𝟏 é raiz da equação 
𝒙𝟐 + (𝟏 + 𝟓𝒎− 𝟑𝒎𝟐)𝒙 + (𝒎𝟐 + 𝟏) = 𝟎 
é igual a 
𝒂) 𝟓 𝟐⁄ 
𝒃) 𝟑 𝟐⁄ 
𝒄) 𝟎 
𝒅) − 𝟑 𝟐⁄ 
𝒆) − 𝟓 𝟐⁄ 
Comentários 
Sendo a equação dada do 2º grau, temos os coeficientes: 𝑎 = 1; 𝑏 = (1 + 5𝑚 − 3𝑚2) e 𝑐 =
(𝑚2 + 1). 
Substituindo 𝑥 = 1, temos que: 
𝑥2 + (1 + 5𝑚 − 3𝑚2)𝑥 + (𝑚2 + 1) = 0 
12 + (1 + 5𝑚 − 3𝑚2) ∙ 1 + (𝑚2 + 1) = 0 
1 + 1 + 5𝑚 − 3𝑚2 +𝑚2 + 1 = 0 
Organizando os temos semelhantes (mesma parte literal): 
−2𝑚2 + 5𝑚 + 3 = 0 
O resultado é outra equação do 2º grau, podemos resolver o valor de m, pela fórmula: 
∆= (5)2 − 4. (−2). 3 = 25 + 24 = 49 
𝑥 =
−5 ± √49
2. (−2)
=
−5 ± 7
−4
= {
𝑥′ =
−5 + 7
−4
=
2
−4
 → 𝑥′ = −
1
2
𝑥′′ =
−5 − 7
−4
=
−12
−4
→ 𝑥′′ = 3
 
Lembrando que estamos calculando a soma dos valores de 𝑚, então: 
𝑆 = −
1
2
+ 3 =
5
2
 
Gabarito: a) 
15. EV (Professor Andrew Cazemiro) Um pintor cobra 𝑹$ 𝟐𝟒𝟎, 𝟎𝟎 por dia de trabalho, 
que equivale a 𝟖 horas de trabalho num dia. Quando é chamado para um serviço, esse 
pintor trabalha 𝟖 horas por dia com exceção, talvez, do seu último dia nesse serviço. 
Nesse último dia, caso trabalhe até 𝟒 horas, ele cobra metade do valor de um dia de 
trabalho. Caso trabalhe mais de 𝟒 horas, cobra o valor correspondente a um dia de 
trabalho. Esse pintor gasta 𝟖 horas para pintar uma vez uma área de 𝟒𝟎 𝒎². Um cliente 
deseja pintar as paredes de sua casa, com uma área total de 𝟓𝟐𝟎 𝒎². Ele quer que essa 
área seja pintada o maior número possível de vezes para que a qualidade da pintura seja 
a melhor possível. O orçamento desse cliente para a pintura é de 𝑹$ 𝟗. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎. 
Quantas vezes, no máximo, as paredes da casa poderão ser pintadas com o orçamento 
do cliente? 
a) 𝟏 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 64 
b) 𝟐 
c) 𝟑 
d) 𝟓 
e) 𝟔 
Comentários 
Temos 𝑅$ 9.200,00 disponíveis e cada dia inteiro de serviço custa 240 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠, então: 
 
Ou seja, o cliente pode pagar 38 dias inteiros de trabalho. 
Vale ressaltar que o cliente ou paga 𝑅$ 240,00 por um dia de trabalho ou 𝑅$ 120,00 por meio 
dia de trabalho de até quatro horas, logo o resto (80 reais) não cobre mais algum período de 
trabalho. 
Como serão 38 dias inteiros de trabalho, o pintor conseguirá pintar 
 
Dessa forma, o orçamento é suficiente para pintar duas vezes a casa toda, pois 
 
Gabarito: b). 
16. EV (PROFESSOR ANDREW CAZEMIRO) Seja 𝒌 o número obtido como a soma dos 
inversos multiplicativos dos números primos positivos distintos que são fatores do 
número 1155 e 𝒘 o inverso multiplicativo de 𝒌, então 𝒘 cumpre a condição 
A) 𝟏, 𝟓 < 𝒘 < 𝟏, 𝟕. 
B) 𝟏, 𝟐 < 𝒘 < 𝟏, 𝟓. 
C) 𝟏, 𝟖 < 𝒘 < 𝟏, 𝟗. 
D) 𝟏, 𝟕 < 𝒘 < 𝟏, 𝟖. 
Comentários: 
Fatorando o 𝟏𝟏𝟓𝟓 encontramos os seguintes fatores primos: 3, 5, 7 e 11. 
Sabemos que o inverso multiplicativo de 𝑥 é igual a 
1
𝑥
. 
Dessa forma, considerando 𝑘 “a soma dos inversos multiplicativos dos números primos 
positivos que são fatores do número 1155”, temos: 
𝑘 =
1
3
+
1
5
+
1
11
+
1
7
=
385 + 231 + 105 + 165
1155
=
886
1155
 
Então 𝑤 será dado por: 
𝑤 =
1155
886
≅ 1,3036… 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 65 
Logo, 1,2 < 𝑤 < 1,5. 
Gabarito: b) 
17. EV - PROFESSOR ANDREW CAZEMIRO - A média aritmética do salário de um 
grupo de 100 pessoas é R$ 1287,75. Se a média aritmética do salário das mulheres é R$ 
1258,00 e a dos homens é R$ 1343,00, pode-se afirmar que o número de homens desse 
grupo é: 
a) 28 
b) 32 
c) 35 
d) 38 
e) 41 
Comentários: 
Considere: 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠: 𝑚 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠: ℎ 
Dessa forma, podemos traduzir as informações do enunciado da seguinte forma: 
𝑚 + ℎ = 100 
Ou 
𝑚 = 100 − ℎ 
(𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑖) 
Sabendo que a 𝑀é𝑑𝑖𝑎 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 1287,75, sendo a fórmula da média aritmética entre 𝒏 termos 
dada por: 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
𝑥1 + 𝑥2…+ 𝑥𝑛
𝑛
 
Então a média entre os salários de homens (1343ℎ) e mulheres (1258𝑚) será dada por: 
1258𝑚 + 1343ℎ
𝟏𝟎𝟎
= 1287,75 
1258𝑚 + 1343ℎ = 128775 
1258. (100 − ℎ) = 128775 
125800 − 1258ℎ + 1343ℎ = 128775 
85ℎ = 2975 
ℎ = 35 
Logo, o número de homens desse grupo é igual a 35. 
Gabarito: c) 
18. EV - PROFESSOR ANDREW CAZEMIRO - Uma destilaria vende cerca de 10000 
litros de cachaça por dia a R$ 4,80 cada litro. O proprietário percebeu que, para cada 
centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por 
exemplo, no dia em que o preço da cachaça foi R$ 4,78, foram vendidos 10200 litros. 
Considerando 𝒙 o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e 𝑽 o 
valor, em reais, arrecadado por dia com a venda da cachaça, a expressão que relaciona 
𝑽 e 𝒙 é: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 66 
a) 𝑽 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟖𝟎𝒙 − 𝒙𝟐 
b) 𝑽 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟖𝟎𝒙 + 𝒙𝟐 
c) 𝑽 = 𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟖𝟎𝒙 − 𝒙𝟐 
d) 𝑽 = 𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟖𝟎𝒙 − 𝒙𝟐 
e) 𝑽 = 𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟖𝟎𝒙 + 𝒙𝟐 
Comentários: 
Transformando os dados do enunciado em expressões algébricas, temos: 
“Uma destilaria vende cerca de 10000 litros de cachaça por dia a R$ 4,80 cada litro. O 
proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram 
vendidos 100 litros a mais por dia.” 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑠𝑒𝑟á 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (4,80 −
𝑥
100
) , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠. 
“Por exemplo, no dia em que o preço da cachaça foi R$ 4,78, foram vendidos 10200 litros.” 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑐ℎ𝑎ç𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑟á 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (10000 + 100𝑥). 
O valor arrecadado por dia é igual ao produto do preço (4,80 −
𝑥
100
) pela quantidadede 
cachaça vendida, em litros (10000 + 100𝑥). 
𝑉 = (4,80 −
𝑥
100
) . (10000 + 100𝑥) 
Desenvolvendo: 
𝑉 = 48000 + 480𝑥 − 100𝑥 − 𝑥2 
𝑉 = 48000 − 380𝑥 − 𝑥2 
Gabarito: c) 
19. EV - PROFESSOR ANDREW CAZEMIRO - Durante o expediente, 21 trabalhadores 
beberam, cada um, pelo menos uma xícara de café e no máximo duas xícaras. Ao todo, 
beberam juntos 38 xícaras de café. Dessa forma o número de pessoas que beberam 
apenas uma xícara foi 
a) 8. 
b) 7. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
Comentários: 
Traduzindo algebricamente o enunciado temos: 
“21 trabalhadores beberam, cada um, pelo menos uma xícara de café e no máximo duas 
xícaras.” 
𝑥 + 𝑦 = 21, onde x é o número de trabalhadores que bebem 1 xícara e y, 2 xícaras. 
“Ao todo, beberam juntos 38 xícaras de café.” 
𝑥 + 2𝑦 = 38 
Dessa forma, temos o seguinte sistema de equações simultâneas do 1º grau: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 67 
{
𝑥 + 𝑦 = 21
𝑥 + 2𝑦 = 38
 
Resolvendo pelo método da substituição, podemos isolar a variável 𝑦 na primeira equação: 
𝑥 + 𝑦 = 21 
𝑦 = 21 − 𝑥 
Substituindo 𝑦 na segunda equação, temos: 
𝑥 + 2𝑦 = 38 
𝑥 + 2(21 − 𝑥) = 38 
𝑥 + 42 − 2𝑥 = 38 
𝑥 − 2𝑥 = 38 − 42 
−𝑥 = −4 
𝑥 = 4 
Gabarito: c) 
20. EV - PROFESSOR ANDREW CAZEMIRO - Os números inteiros a e b satisfazem às 
seguintes equações: 
{
𝐀
𝟐
+
𝐁
𝟑
= 𝟏𝟎
𝐀 + 𝐁 = 𝟏𝟓
 
Logo, a – b é igual a: 
a) -15 
b) 30 
c) 45 
d) 15 
Comentários: 
Para solucionar um par de equações usando a substituição, primeiro solucione uma das 
equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra 
equação. 
{
1
2
𝐴 +
1
3
𝐵 = 10, 𝐴 + 𝐵 = 15} 
 
Escolha uma das equações e resolva-a para 𝐴 isolando 𝐴 no lado esquerdo do sinal de igual. 
1
2
𝐴 +
1
3
𝐵 = 10 
1
2
𝐴 = −
1
3
𝐵 + 10 
𝐴 = 2(−
1
3
𝐵 + 10) 
𝐴 = −
2
3
𝐵 + 20 
 Substitua −
2𝐵
3
+ 20 por 𝐴 na outra equação, 𝐴 + 𝐵 = 15. 
−
2
3
𝐵 + 20 + 𝐵 = 15 
1
3
𝐵 + 20 = 15 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 68 
1
3
𝐵 = −5 
𝐵 = −15 
 Substitua −15 por 𝐵 na equação 𝐴 = −
2
3
𝐵 + 20. 
Como a equação resultante contém apenas uma variável, é possível solucionar para 𝐴 
diretamente. 
𝐴 = −
2
3
(−15) + 20 
𝐴 = 10 + 20 
𝐴 = 30 
 O sistema agora está resolvido. 
{𝐴 = 30, 𝐵 = −15} 
Portanto, 
𝐴 − 𝐵 = 30 – (−15) = 45 
GABARITO: e) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 69 
10.2 Questões Complementares 
1. (ENEM / 2018 – 2ª Aplicação / QUESTÃO 166 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Visando atingir metas econômicas previamente estabelecidas, é comum no 
final do mês algumas lojas colocarem certos produtos em promoção. Uma determinada 
loja de departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão, sofá e 
estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria R$ 3 800,00. Se ele levasse 
o sofá mais a estante, pagaria R$ 3 400,00. A televisão mais a estante sairiam por R$ 4 
200,00. Um cliente resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na promoção, 
conseguindo ainda mais 5% de desconto pelo pagamento à vista. 
O valor total, em real, pago pelo cliente foi de 
a) 3 610,00. 
b) 5 035,00. 
c) 5 415,00. 
d) 5 795,00. 
e) 6 100,00. 
Comentários 
Chamando 𝑡 para televisão, 𝑠 para sofá e 𝑒 para estante, temos o seguinte sistema de 
equações: 
{
𝑡 + 𝑠 = 3800
𝑠 + 𝑒 = 3400
𝑡 + 𝑒 = 4200
 
A primeira equação do sistema pode ser representada por 𝑠 = 3800 − 𝑡. Substituindo-a na 
segunda equação, temos: 
𝑠 + 𝑒 = 3400 
3800 − 𝑡 + 𝑒 = 3400 
−𝑡 + 𝑒 = −400 
Essa equação, ao ser somada com a terceira equação do sistema, resulta em: 
−𝑡 + 𝑒 + 𝑡 + 𝑒 = 4200 − 400 
2𝑒 = 3800 
𝑒 = 1900 
Temos que 𝑡 + 𝑒 = 4200. Portanto: 
𝑡 + 1900 = 4200 
𝑡 = 2300 
 
𝑠 = 3800 − 𝑡 
𝑠 = 3800 − 2300 
𝑠 = 1500 
Na compra de 2 TVs e um sofá, o cliente gastou: 
2300 + 2300 + 1500 = 6100 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Havendo um desconto de 5% na compra à vista, significa que o cliente pagou 95% do valor 
total: 
6100 . 0,95 = 5795 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 70 
Gabarito: D. 
2. (ENEM / 2017 – 2ª Aplicação / QUESTÃO 157 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes, 
somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu armazenar 10 minutos de vídeo 
e 190 fotos. Já na segunda, foi possível realizar 15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos. 
Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as 
fotos. Agora, essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória exclusivamente 
fotos, com a mesma qualidade das anteriores. 
Disponível em: www.techlider.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012. 
O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é 
a) 200. 
b) 209. 
c) 270. 
d) 340. 
e) 475. 
Comentários 
A capacidade do cartão de memória é igual a 10 vídeos e 190 fotos ou 15 vídeos e 150 fotos. 
𝐶 = 10𝑥 + 190𝑦 
𝐶 = 15𝑥 + 150𝑦 
Igualando as duas equações, temos que: 
15𝑥 + 150𝑦 = 10𝑥 + 190𝑦 
5𝑥 = 40𝑦 
𝑥 = 8𝑦 
Substituindo essa relação em uma das duas equações acima, temos: 
𝐶 = 10.8𝑦 + 190𝑦 
𝐶 = 80𝑦 + 190𝑦 
𝐶 = 270𝑦 
Logo, são necessárias 270 fotos para encher o cartão de memória. 
Gabarito: C. 
3. (ENEM / 2017 – 2ª Aplicação / QUESTÃO 160 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Em certa loja de roupas, o lucro na venda de uma camiseta é de 25% do 
preço de custo da camiseta pago pela loja. Já o lucro na venda de uma bermuda é de 
30% do preço de custo da bermuda, e na venda de uma calça o lucro é de 20% sobre o 
preço de custo da calça. Um cliente comprou nessa loja duas camisetas, cujo preço de 
custo foi R$ 40,00 cada uma, uma bermuda que teve preço de custo de R$ 60,00 e duas 
calças, ambas com mesmo preço de custo. Sabe-se que, com essa compra, o cliente 
proporcionou um lucro de R$ 78,00 para a loja. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 71 
Considerando essas informações, qual foi o preço de custo, em real, pago por uma 
calça? 
a) 90 
b) 100 
c) 125 
d) 195 
e) 200 
Comentários 
O lucro total é dado pela soma dos lucros individuais de cada peça comprada. Sabe-se que 
esse lucro foi igual a 78 reais. Portanto: 
Lucro da Camiseta: 2.0,25.40 = 0,5.40 = 20 reais 
Lucro da Bermuda: 0,3.60 = 18 reais 
Lucro da Calça: 2.0,2. 𝑐 = 0,4𝑐 
Lucro Total: 78 reais 
20 + 18 + 0,4𝑐 = 78 
38 + 0,4𝑐 = 78 
0,4𝑐 = 40 
𝑐 = 100 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Gabarito: B. 
4. (ENEM / 2017 – 2ª Aplicação / QUESTÃO 161 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Um marceneiro recebeu a encomenda de uma passarela de 14,935 m sobre 
um pequeno lago, conforme a Figura I. A obra será executada com tábuas de 10 cm de 
largura, que já estão com o comprimento necessário para instalação, deixando-se um 
espaçamento de 15 mm entre tábuas consecutivas, de acordo com a planta do projeto na 
Figura II. 
 
Desconsiderando-se eventuais perdas com cortes durante a execução do projeto, 
quantas tábuas, no mínimo, o marceneiro necessitará para a execução da encomenda? 
a) 60 
b) 100 
c) 130 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 72 
d) 150 
e) 598 
Comentários 
Seja 𝑥 o número de tábuas necessárias para esse projeto. O número de espaços de 15 mm, ou 
1,5 cm, entre duas tábuas consecutivas será dado por (𝑥 − 1). 
Sabendo que cada tábua tem 10 cm de largura e o comprimento total da passarela será 14,935 
m, ou 1493,5 cm: 
10𝑥 + 1,5(𝑥 − 1) = 1493,5 
10𝑥 + 1,5𝑥 − 1,5 = 1493,5 
11,5𝑥 = 1495 
𝑥 = 130 
Gabarito: C. 
5. (Mackenzie/2018) Em uma pesquisa com 120 pessoas, verificou-se que 
• 65 assistem ao noticiário A 
• 45 assistem ao noticiário B 
• 42 assistem ao noticiário C 
• 20 assistem ao noticiário A e ao noticiário B 
• 25 assistem ao noticiário A e ao noticiário C 
• 15 assistem ao noticiário B e ao noticiário C 
• 8 assistem aos três noticiários 
Então, o númerode pessoas que assistem somente a um noticiário é 
a) 7 b) 8 c) 14 d) 28 e) 56 
Comentários 
Seguindo as orientações dadas em aula, o diagrama de Venn-Euler para o problema proposto 
é: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 73 
 
Agora estamos aptos a responder o que for necessário acerca desses dados. 
O enunciado solicitou o número de pessoas que assistem somente a um noticiário. 
Consultando o diagrama, vemos que as pessoas que assistem somente ao noticiário A somam 
28 pessoas; as que assistem somente ao noticiário B, 18 e as que assistem somente ao 
noticiário C, 10. 
Dessa forma, o número 𝑛 de pessoas solicitado é dado por: 
𝑛 = 28 + 18 + 10 = 56 
 
 
Anotando os dados temos que A são os telespectadores do noticiário A, B são os 
telespectadores do noticiário B e C são os telespectadores do noticiário C. 
Dessa forma: 
𝐴 𝑒 𝐵 𝑒 𝐶 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 = 8 
𝐴 𝑒 𝐵 = 20 = 8 + 12 (𝐴 𝑒 𝐵 𝑒 𝑛ã𝑜 𝐶) 
𝐵 𝑒 𝐶 = 15 = 8 + 7 (𝐵 𝑒 𝐶 𝑒 𝑛ã𝑜 𝐴) 
𝐴 𝑒 𝐶 = 25 = 8 + 17 (𝐴 𝑒 𝐶 𝑒 𝑛ã𝑜 𝐵) 
Somente A 
𝐴 = 65 − 8 (𝑎𝑠𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑜𝑠 𝑡𝑟ê𝑠) − 12 (𝑎𝑠𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐴 𝑒 𝐵) − 17 (𝑎𝑠𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐴 𝑒 𝐶) = 28 
Mesmo raciocínio para os demais 
𝑆𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐵 = 45 − 8 − 12 − 7 = 18 
𝑆𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐶 = 42 − 8 − 17 − 7 = 10 
Somente um noticiário: 
28 + 18 + 10 = 56 
Gabarito: e) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 74 
6. (Mackenzie/2018) O número inteiro positivo, cujo produto de seu antecessor com 
seu sucessor é igual a 8, é 
a) 5 
b) 4 
c) −3 
d) 3 
e) 2 
Comentários 
Para chegar à solução, precisamos, antes, escrever a equação que representa o problema. 
Podemos representar o antecessor de um número por 𝒙 − 𝟏 e o sucessor por 𝒙 + 𝟏. O 
problema afirma que o produto do antecessor pelo sucessor é 8, então: 
(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏) = 𝟖 
O que é a equação correspondente ao problema. 
Vamos, então, à sua resolução. 
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 8 
Ao invés de distribuir o produto, podemos pensar nos produtos notáveis, especificamente no 
produto da soma pela diferença, assim: 
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 8 
𝑥2 − 12 = 8 
𝑥2 = 8 + 1 
𝑥2 = 9 
𝑥 = ±√9 
𝑥 = ±3 
Como o enunciado pede apenas a solução inteira e positiva, nossa resposta é 3. 
Gabarito: d) 
7. (UEA/2018 - Questão 56) Para a participação em uma competição com várias 
modalidades esportivas, um grupo com 40 atletas recebeu, da universidade em que 
estudam, 36 pacotes contendo 4 uniformes ou 6 uniformes em cada um. Se a média de 
uniformes recebidos por atleta foi 5, então o número de pacotes com 6 uniformes foi 
igual a 
(A) 16. 
(B) 24. 
(C) 28. 
(D) 20. 
(E) 8. 
Comentários 
Transformando os dados do enunciado em equações algébricas, sendo 𝑥 o número de pacotes 
com 4 uniformes e 𝑦 o número de pacotes com 6 uniformes, temos que: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 75 
“um grupo com 40 atletas recebeu, da universidade em que estudam, 36 pacotes contendo 4 
uniformes ou 6 uniformes em cada um.” 
“Se a média de uniformes recebidos por atleta foi 5” 
𝒙 ⋅ 𝟒 + 𝒚 ⋅ 𝟔 = 𝟓 ⋅ 𝟒𝟎 (𝒊) 
𝒙 + 𝒚 = 𝟑𝟔 
𝒐𝒖 
𝒙 = 𝟑𝟔 − 𝒚 (𝒊𝒊) 
Substituindo (𝑖𝑖) em (𝑖): 
(𝟑𝟔 − 𝒚) ⋅ 𝟒 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟎𝟎 
𝟏𝟒𝟒 − 𝟒𝒚 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟎𝟎 
𝟐𝒚 = 𝟓𝟔 
𝒚 = 𝟐𝟖 
Gabarito: c) 
8. (UEA/2018 - Questão 09) Considere duas misturas, M e M’, obtidas a partir de duas 
substâncias líquidas, x e y. Em M, para cada 7 partes de y há 3 partes de x. Em M’, para 
cada 2 partes de y há 3 partes de x. Na mistura de 1 litro de M com 1 litro de M’, a razão 
entre as quantidades de x e de y, nesta ordem, é igual a 
(A) 𝟕/𝟗 
(B) 𝟗/𝟏𝟎 
(C) 𝟖/𝟏𝟏 
(D) 𝟗/𝟏𝟏 
(E) 𝟒/𝟏𝟏 
Comentários 
Considerando que, em 𝑀, para cada 7 partes de y há 3 partes de x, podemos perceber que a 
mistura M possui 10 partes, ou seja 
𝑥 =
3
10
𝑀 
Considerando que, em 𝑀’, para cada 2 partes de y há 3 partes de x, podemos perceber que a 
mistura 𝑀’ possui 10 partes. Ou seja 
𝑥 =
3
5
𝑀′ 
Usando o mesmo raciocínio para a substância y presente em 𝑀 e 𝑀’, teremos: 
𝑦 =
7
10
𝑀 
𝑦 =
2
5
𝑀′ 
Assim, considerando 1 litro para a substância 𝑀 e 1 litro para a substância 𝑀’, o total de x será 
dado por: 
𝑥′ =
3
10
⋅ 1 +
3
5
⋅ 1 =
45
50
=
9
10
 
Aplicando o mesmo raciocínio para a substância y, teremos: 
𝑦′ =
7
10
⋅ 1 +
2
5
⋅ 1 =
55
50
=
11
10
 
Logo, a razão entre as quantidades de x e de y, nesta ordem, é igual a 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 76 
𝑥′
𝑦′
=
9
10
11
10
=
9
11
 
Gabarito: d) 
9. (UEA/2015 - Questão 01) Em um determinado teste de raciocínio, com questões de 
múltipla escolha, o candidato ganha 5 pontos por questão respondida corretamente, 
perde 2 pontos por questão respondida incorretamente e não ganha nem perde pontos 
por questão não respondida. A tabela mostra o desempenho de Aldemir na resolução 
desse teste. 
 
Sabendo-se que ele obteve um total de 108 pontos, é correto afirmar que o número de 
questões desse teste não respondidas por Aldemir foi igual a 
(A) 15. 
(B) 12. 
(C) 10. 
(D) 8. 
(E) 9. 
Comentários 
Utilizando os dados da tabela e utilizando x para número total de questões, teremos: 
− 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡õ𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠 =
3
5
⋅ 𝑥 ∙ 5 
− 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡õ𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠 =
3
20
⋅ 𝑥 ∙ 2 
Assim: 
(
3
5
⋅ 𝑥) ⋅ 5 − (
3
20
⋅ 𝑥) ⋅ 2 = 108 
3𝑥 −
3𝑥
10
= 108 
30𝑥 − 3𝑥
10
= 108 
27𝑥 = 1080 
𝑥 = 40 
Com o total de pontos, podemos calcular o número de acertos e o número de erros, 
respectivamente: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 77 
3
5
⋅ 40 = 24 
3
2
⋅ 40 = 6 
Ao retirarmos acertos e erros do total de questões, teremos a quantidade de questões que 
ficaram sem resposta: 
40 − 24 − 6 = 10 
Gabarito: c) 
10. (UFU/2015 - Questão 31 – 2º dia) Os alunos do curso de Educação Física de uma 
instituição responderam a uma pesquisa que avaliou qual o seu esporte coletivo 
predileto: basquete, futebol ou vôlei. Todos responderam selecionando apenas uma 
opção. Os dados coletados foram parcialmente divulgados conforme indica o quadro a 
seguir. 
 
Sabe-se que 194 é a média aritmética entre os totais das respostas das 3 opções, e que o 
número de mulheres optantes por vôlei é 20% superior ao de mulheres optantes por 
basquete. 
Segundo essas informações, o número de maneiras de selecionar dois optantes por 
vôlei, sendo um homem e uma mulher, é igual a 
a) 14016. 
b) 222. 
c) 12312. 
d) 380. 
Comentários 
Seja 𝑥 o número de mulheres que jogam basquete. Nesse caso, o número de mulheres que 
jogam vôlei é dado por 1,2𝑥. 
Como o total de mulheres que responderam a essa pesquisa é 268, temos que: 
70 + 𝑥 + 1,2𝑥 = 268 
2,2𝑥 = 198 
𝑥 = 90 
Logo, 90 mulheres preferem basquete e 108 mulheres preferem vôlei. 
Pela tabela, temos: 130 + 70 = 200 preferem futebol, 70 + 90 = 160 preferem basquete e 𝑦 +
108 preferem vôlei. Como a média aritmética entre esses totais é igual a 194, temos que: 
200 + 160 + 𝑦 + 108
3
= 194 
468 + 𝑦 = 582 ⟶ 𝑦 = 114 homens preferem vôlei 
Serão selecionados dois estudantes, um homem e uma mulher, que preferem vôlei. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 78 
114 . 108 = 12 312 modos diferentes de seleção 
Gabarito: c) 
11. (UFU/2018 - Questão 32 – 2º dia) O Índice de Massa Corpórea (IMC) é reconhecido 
pela Organização Mundial de Saúde (OMS) como a principal referência para classificação 
das diferentes faixas da relação peso-altura de pessoas entre 16 e 60 anos. Seu cálculo é 
determinado pela fórmula 𝑰𝑴𝑪 =
𝑷
𝒉𝟐
, em que P (em kg) e h (em metros) denotam, 
respectivamente, o peso e a altura da pessoa. Pedro teve sua estatura adulta alcançada 
aos 18 anos, quando pesava 86,7 kg e seu IMC era 30. Ao longo dos anos, seu IMC 
evoluiu de acordo com o gráfico a seguira) 101,5 
b) 86,7 
c) 104,4 
d) 121,38 
Comentários 
Ao completar 18 anos, o IMC de Pedro era igual a 30. Seu peso era de 86,7 kg. 
𝐼𝑀𝐶 =
𝑃
ℎ2
 
30 =
86,7
ℎ2
 
ℎ2 =
86,7
30
 
ℎ2 = 2,89 
 
Ao completar 30 anos, o IMC de Pedro é igual a 36. 
𝐼𝑀𝐶 =
𝑃
ℎ2
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 79 
36 =
𝑃
2,89
 
𝑃 = 104,04 𝑘𝑔 
 
A banca considerou o gabarito como alternativa c) 14,4. 
Gabarito: c) 
12. (UFU/2018 - Questão 34 – 2º dia) Marcos protegeu o acesso a um importante 
arquivo no sistema de seu computador com uma senha de dois dígitos. Com receio de 
esquecê-la, ele anotou a seguinte mensagem: 
Seja A o conjunto de todos os números divisíveis por 13, 14 e 18. Se eu considerar o 
número X como sendo o menor inteiro tal que 𝟐𝑿 ∈ 𝑨, então, a soma dos algarismos de X 
será a porta de entrada (senha) que tanto desejo lembrar. 
Baseando-se na mensagem de Marcos, a senha de acesso ao arquivo é 
a) 45 
b) 18 
c) 36 
d) 90 
Comentários 
Pela descrição da senha, temos que 2𝑋 é o MMC entre 13, 14 e 18. Com isso: 
2𝑋 = 1638 
𝑋 = 819 
A soma dos algarismos que compõem o número X é a senha. Portanto: 
8 + 1 + 9 = 18 
Gabarito: b) 
13. (UPF/2015) Paula comprou pacotes com 5 figurinhas para seus três filhos. Saiu e 
deixou um bilhete dizendo para repartirem os pacotes entre eles igualmente. O primeiro 
chegou, pegou a terça parte e saiu. O segundo chegou e, pensando que era o primeiro, 
pegou a terça parte do que havia sobrado e saiu. O terceiro encontrou 4 pacotes de 
figurinhas e, pensando que era o último, pegou todos e saiu. Quantos pacotes de 
figurinhas a mãe deixou? 
a) 6 
b) 9 
c) 12 
d) 15 
e) 20 
Comentários: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 80 
Considerando 𝑥 a quantidade de pacotes, temos que: 
1º filho: terça parte; 
1
3
⋅ 𝑥 
2º filho: terça parte do que sobrou (dois terços de 𝒙); 
1
3
⋅
2
3
⋅ 𝑥 
3º filho: 4 pacotes. 
Dessa forma, temos: 
𝑥 =
1
3
⋅ 𝑥 +
1
3
⋅
2
3
⋅ 𝑥 + 4 
𝑥 =
𝑥
3
+
2𝑥
9
+ 4 
Multiplicando tudo por 9: 
9𝑥 = 3𝑥 + 2𝑥 + 36 
9𝑥 = 5𝑥 + 36 
9𝑥 − 5𝑥 = 36 
4𝑥 = 36 
𝑥 =
36
4
 
𝑥 = 9 
Assim, o número de pacotes é igual a 9. 
Gabarito: b) 
14. FAMEMA/2019 - Em um grupo de 150 estudantes, 25% das mulheres e 50% dos 
homens falam espanhol. Sabendo que 34% dos estudantes desse grupo falam espanhol, 
o número de mulheres desse grupo que falam espanhol é 
a) 54. 
b) 51. 
c) 38. 
d) 24. 
e) 45. 
Comentários: 
Sendo H o número de homens e M o número de mulheres, temos: 
𝐻 +𝑀 = 150 
𝐻 = 150 −𝑀 (𝑖) 
Sabe-se que 25% das mulheres e 50% dos homens falam espanhol. Isso equivale a 34% dos 
estudantes desse grupo falando espanhol. Logo: 
34%150 = 25%𝑀 + 50%𝐻 
51 = 0,25𝑀 + 0,5𝐻 (𝑖𝑖) 
Substituindo (i) em (ii): 
51 = 0,25𝑀 + 0,5(150 −𝑀) 
51 = 0,25𝑀 + 75 − 0,5𝑀 
−24 = −0,25𝑀 
𝑀 = 96 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 81 
 Portanto 
25% de 96 = 24 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑛ℎ𝑜𝑙. 
Gabarito D 
15. ALBERT EINSTEN/2018 - Um grupo de 180 turistas estão hospedados em um 
mesmo hotel no estado de São Paulo. As regiões Norte, Sul e Sudeste são as regiões do 
Brasil que já foram visitadas por pelo menos um desses turistas. Desses turistas, 89 já 
estiveram na Região Sul e 78 já estiveram na Região Norte. Sabendo que 33 desses 
turistas só conhecem a Região Sudeste, o número desses turistas que já estiveram nas 
Regiões Norte e Sul é: 
A) 10. 
B) 13. 
C) 17. 
D) 20. 
Comentários: 
O valor que procuramos é a intersecção de Norte e Sul, portanto 𝑎+𝑏. 
 
 
O total de pessoas que visitaram a região Sul é: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑠 = 89 
O total de pessoas que visitaram a região Norte é: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑑 + 𝑛 = 78 
O total de pessoas que estavam no hotel: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑛 + 𝑠 + 33 = 180 
𝒄 + 𝒅 + 𝒏 + 𝒔 = 𝟏𝟒𝟕 − 𝒂 − 𝒃 
Somando as duas primeiras equações: 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 82 
2𝑎 + 2𝑏 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒔 + 𝒏 = 167 
2𝑎 + 2𝑏 + 𝟏𝟒𝟕 − 𝒂 − 𝒃 = 167 
𝑎 + 𝑏 = 20 
Gabarito d) 
16. ALBERT EINSTEN/2018 - Para arrecadar recursos para a festa de formatura, os 
formandos de uma escola decidiram vender convites para um espetáculo. Cada 
formando recebeu para vender um número de convites que é igual ao número total de 
formandos mais 3. Se todos os formandos conseguirem vender todos os convites a 5 
reais, o dinheiro arrecadado será menor do que R$ 26.270,00. Nessas condições, o maior 
número de formandos que essa escola pode ter é múltiplo de 
A) 12. 
B) 13. 
C) 14. 
D) 15. 
Comentários: 
Calculando: 
nº de formandos = x 
total de convites = x . (x + 3) 
 
5𝑥 (𝑥 + 3) < 26270 
𝑥² + 3𝑥 − 5254 < 0 
𝛥 = 9 − 4 . 1 . (−5254) = 21025 → √𝛥 = 145 
 
Como 70 é múltiplo de 14, a alternativa correta é a [C]. 
Gabarito c) 
17. FACISB/2019 - Duas cabras e três vacas levam 6 dias para comer 2000 m² de 
pasto. Seis dessas mesmas cabras e cinco dessas vacas levam 10 dias para comer 8000 
m² de pasto. O número de dias que oito dessas cabras e oito dessas vacas levariam para 
comer 17000 m² de pasto é igual a: 
a) 15 
b) 16 
c) 14 
d) 17 
e) 18 
Comentários: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 83 
Tomando por 𝑐 a quantidade de pasto consumido por uma cabra e 𝑣 a quantidade de pasto 
consumido por uma vaca, ambas em um dia, temos que: 
6 ∙ (2𝑐 + 3𝑣) = 2000 
12𝑐 + 18𝑣 = 2000 ∶ 2 
6𝑐 + 9𝑣 = 1000 
6𝑐 = 1000 − 9𝑣 
Pela segunda relação, temos: 
10 ∙ (6𝑐 + 5𝑣) = 8000 
6𝑐 + 5𝑣 = 800 
1000 − 9𝑣 + 5𝑣 = 800 
−4𝑣 = −200 
𝑣 = 50 𝑚3 
Portanto, uma vaca consome 50 m³ de pasto por dia. 
6𝑐 = 1000 − 9𝑣 
6𝑐 = 1000 − 450 
6𝑐 = 550 
𝑐 =
550
6
=
275
3
 𝑚3 
Logo, uma cabra consome 
275
3
 m³ de pasto por dia. 
Devemos calcular o número 𝑛 de dias que 8 cabras e 8 vacas levam para consumir 17000 m³ 
de pasto. 
𝑛 ∙ (8𝑐 + 8𝑣) = 17000 
𝑛 ∙ (8 ∙
275
3
+ 8 ∙ 50) = 17000 
𝑛 ∙ (
2200
3
+ 400) = 17000 
𝑛 ∙
3400
3
= 17000 
𝑛
3
= 5 
𝑛 = 15 𝑑𝑖𝑎𝑠 
Gabarito: A 
18. FACISB/2019 - Admita que no critério de correção dos 80 testes de múltipla 
escolha deste vestibular sejam atribuídos 5 pontos por acerto e retirados 2 pontos por 
erro, resposta rasurada ou resposta em branco. Com base nesses critérios, um 
candidato que tenha somado 211 pontos nessa prova acertou, do total de questões: 
a) 65% 
b) 63,75% 
c) 62,5% 
d) 66,25% 
e) 67,5% 
Comentários: 
Sendo 𝑥 o número de questões corretas e 𝑦 o número de questões erradas, temos que: 
𝑥 + 𝑦 = 80 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 84 
𝑦 = 80 − 𝑥 
Também temos: 
5𝑥 − 2𝑦 = 211 
5𝑥 − 2 ∙ (80 − 𝑥) = 211 
5𝑥 − 160 + 2𝑥 = 211 
7𝑥 = 371 
𝑥 = 53 
O candidato acertou 53 questões, que equivalem a 
53
80
= 0,6625 = 66,25% do total. 
Gabarito: D 
19. FACISB/2020 - Dos 90 estudantes que ingressaram em um curso de medicina, 42 
são homens e 48 são mulheres. Quando questionados se finalizaram o ensino médio em 
escola particular, 28 homens e 34 mulheres responderam que sim, e os demais 
ingressantes responderam que terminaram o ensino médio em escola pública. Daqueles 
que terminaram o ensino médio em escola pública, apenas 4 homens e 6 mulheres 
disseram ter feito algum curso pré-vestibular. 
De acordo com os dados, a porcentagem desses 90 ingressantes que terminaram o 
ensino médio em escola pública e não fizeram curso pré-vestibular é igual a: 
a) 20% 
b) 18% 
c) 25% 
d) 30% 
e) 24% 
Comentários: 
Pelos dados apresentados, temos que 14 homens e 14 mulheres terminaram o ensino médio 
na escola pública. Desse total, 4 homens e 6 mulheres fizeram curso pré-vestibular. Logo, 10 
homens e 8 mulheres NÃO fizeram curso pré-vestibular. 
Do total de 90 alunos, esses 18 estudantes representam 
18
90
= 0,2 = 20%. 
Gabarito: A 
20. FAMECA/2021 Rio inaugura hoje a maior roda-gigante da América Latina 
Será inauguradahoje (06.12.2019) a roda-gigante Rio Star, a maior da América Latina, 
com 88 metros de altura. A volta completa vai durar 18 minutos. O público se acomodará 
em 54 cabines com capacidade para até 8 passageiros. 
Quem estiver no Rio de Janeiro poderá adquirir o ingresso a um preço promocional de 
R$ 49,00 que vale para os bilhetes comprados pela internet até o dia 19 de dezembro. 
Após essa data, os ingressos passarão a custar R$ 59,00. 
Fonte: https://agenciabrasil.ebc.com.br. Adaptado 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 85 
O número mínimo necessário de cabines totalmente ocupadas para que o faturamento 
obtido em uma volta da roda gigante Rio Star com ingressos vendidos ao preço cheio 
ultrapasse o faturamento obtido em uma volta da roda gigante com lotação máxima com 
ingressos vendidos ao preço promocional é: 
a) 44 
b) 45 
c) 43 
d) 46 
e) 47 
Comentários: 
Inicialmente, serão 54 cabines, cada uma com 8 passageiros, e o ingresso custa R$ 49,00. 
Após o dia 19/12, os ingressos passaram a custa R$ 59,00, e o número de cabines lotadas 
com 8 pessoas em cada uma deve render um faturamento maior que o anterior. Portanto: 
8 ∙ 59 ∙ 𝑛 > 8 ∙ 49 ∙ 54 
59 ∙ 𝑛 > 49 ∙ 54 
59𝑛 > 2646 
𝑛 > 44,8 
Ou seja, devem ser lotadas, no mínimo, 45 cabines para que o faturamento seja maior. 
Gabarito: B 
21. FAMECA/2021 - Uma fábrica de tacos de madeira produz peças em dois tamanhos, 
retangulares e de mesma largura. Um dos tipos de taco tem 360 mm de comprimento, o 
outro, 378 mm. A fim de que se possa instalar, em uma sala, filas intercaladas de tacos, 
todos de um mesmo tipo em cada fila, sem que sejam necessários cortes, o 
comprimento mínimo da sala deve ser de: 
a) 15,12 m 
b) 5,04 m 
c) 10,08 m 
d) 11,34 m 
e) 7,56 m 
Comentários: 
Como o comprimento dessa sala deve pode conter tacos inteiros de 360 mm e 378 mm, essa 
medida deverá ser um múltiplo de ambos. 
𝑚𝑚𝑐(360,378) = 7560 
Portanto, o comprimento da sala deverá ser 7560 mm, ou 7,56 metros. 
Gabarito: E 
22. (UNAERP/2018) Qual é o produto das raízes reais da equação apresentada? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 86 
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟑 ∙ (𝟐𝒙 + 𝟑) 
a) −𝟖 
b) −𝟐√𝟐 
c) −𝟐 
d) √𝟖
𝟒
 
e) 𝟏𝟔 
Comentários: 
(𝑥2 + 1)2 + 6𝑥 = 3 ∙ (2𝑥 + 3) 
𝑥4 + 2𝑥2 + 1 + 6𝑥 = 6𝑥 + 9 
𝑥4 + 2𝑥2 − 8 = 0 
Substituindo 𝑥2 = 𝑦, temos que: 
𝑦2 + 2𝑦 − 8 = 0 
∆= 22 − 4 ∙ 1 ∙ (−8) = 4 + 32 = 36 
𝑦 =
−2 ± 6
2
 𝑦′ =
4
2
= 2 𝑦" =
−8
2
= −4 
As raízes reais são dadas através de 𝑦′ = 2, já que o outro valor para 𝑦 irá gerar raízes 
complexas. 
𝑥2 = 2 
𝑥′ = √2 𝑒 𝑥" = −√2 
O produto dessas duas raízes reais é igual a √2 ∙ (−√2) = −2. 
Gabarito: C 
23. (UNAERP/2018) O valor da expressão: 
𝒂(−
𝟏
𝟐
) ∙ 𝒃(
𝟐
𝟑
) ∙ 𝒄𝟎
𝒅𝟐 ∙ 𝒇−𝟑
 
Quando 𝒂 = 𝟗, 𝒃 = −𝟔𝟒, 𝒄 = 𝟏, 𝒅 = −𝟐 e 𝒇 =
𝟏
𝟐
 é: 
a) −
𝟐
𝟑
 
b) −
𝟏
𝟔
 
c) 
𝟏
𝟔
 
d) 
𝟐
𝟑
 
e) 
𝟑
𝟐
 
Comentários: 
Desenvolvendo: 
𝑎(−
1
2
) ∙ 𝑏(
2
3
) ∙ 𝑐0
𝑑2 ∙ 𝑓−3
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 87 
9(−
1
2
) ∙ (−64)(
2
3
) ∙ 10
(−2)2 ∙ (
1
2)
−3 =
√1
9 ∙
√(−64)2
3
∙ 1
4 ∙ 23
=
1
3 ∙ √4096
3
4 ∙ 8
=
1
3 ∙ 16
32
=
1
3
∙
1
2
=
1
6
 
Gabarito: C 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 00 – CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS. 88 
11. Considerações Finais 
Isso é tudo, pessoal! 
Na aula de hoje estudamos assuntos que serão recorrentes por todo o curso. Mesmo sendo a 
nossa aula inicial, esses assuntos são muito importantes e devem receber a sua devida 
atenção. 
Agora é revisar e ir para a próxima aula, pois há muito mais pela frente. 
Novamente, se surgirem dúvidas (e é natural que elas surjam), utilize o fórum de dúvidas no 
site do Estratégia. Suas dúvidas são levadas muito a sério por nós. 
Nos vemos na próxima aula. 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12. Versões das Aulas 
 
Caro aluno! Para garantir que o curso esteja atualizado, sempre que alguma 
mudança no conteúdo for necessária, uma nova versão da aula será disponibilizada. 
31/12/2021: Versão original 
 
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