mat 1 - aula 14

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Apostila de Matemática 1 - Extensivo
Aula 14 – Função Inversa e Função Logarítmica:
1. Função Inversa:
1.1) Conceito:
Para criarmos uma função inversa a partir de uma original, devemos levar em consideração que tal função original deve ser bijetora. Em outras palavras, na função original o contra-domínio deve ser igual ao conjunto imagem e cada imagem deve estar relacionada a exatamente um domínio. Observe o cenário abaixo, que ilustra uma função f: AB.
Para criarmos a função inversa à função f, ou seja, f-1, devemos inverter a ideia de domínio e contra-domínio. Assim, se antes observávamos que f(1)=3, agora temos que f-1(3)=1, por exemplo. Diante disso, temos a seguinte situação:
1.2) Como encontrar a expressão algébrica da função inversa?
Para encontrarmos a expressão algébrica da função inversa, devemos usar uma regra prática baseada na inversão entre o domínio e o contra-domínio da função dada. Ao fazermos essa troca, os valores de x passam a ser valores de y e vice-versa. Por esse motivo, a regra prática consiste em substituir x por y e substituir y por x. 
Ex.: Considere a função f: ]-∞, ∞[ - {-2} ]-∞, ∞[ - {2}, tal que f(x)=. Encontre a expressão da sua função inversa.
Pela regra prática, devemos inverter x e y de posições. Assim, teremos:
x = xy + 2x = 2y – 1 2x + 1 = 2y – xy y.(2-x) = 2x + 1 y = 
A função inversa à função f(x) é dada pela expressão: f-1(x) = .
1.3) Como os gráficos se relacionam?
Para entendermos como os gráficos de uma função e sua inversão se relacionam, utilizaremos as expressões das funções utilizadas no exemplo anterior. Lembrando que as expressões são:
f(x)= e f-1(x) = 
Da primeira função temos, por exemplo, que: f(-1)=-3 e f(3)=1. Assim, teremos na segunda função que f-1(-3)=-1 e f-1(1)=3. Como temos duas funções polinomiais do primeiro grau, chegamos às seguintes retas:
Repare que há uma simetria das duas funções em relação à reta y=x, reta conhecida também como a bissetriz dos quadrantes ímpares (β13). Dessa forma, uma situação-problema que acontece com frequência é quando se pede o gráfico da função inversa a uma função dada.
2. Função Logarítmica:
Apresentamos a função logarítmica após a exibição da função inversa. Mas por qual motivo? Eis um experimento: vamos encontrar a função inversa a uma função exponencial. Dessa maneira, considere a função exponencial a seguir: f(x)=bx, com b>0 e b≠1. Vale frisar que ao elevarmos uma potência positiva a qualquer expoente, encontramos um resultado positivo, ou seja, f(x) será sempre maior do que zero. Vamos aplicar a regra prática para encontrarmos a sua inversa, invertendo x e y de posições. Observe:
x = by log b x = log b by log b x = y.log b b log b x = y f-1(x) = log b x
Com isso, provamos que a função logarítmica é a função inversa á exponencial. Além disso, é importante lembrar que o domínio da função logarítmica acaba vindo desse raciocínio. É por esse motivo que devemos respeitar três condições:
1) b>0		2) b≠1		3) x > 0
Vamos representar graficamente duas funções logarítmicas. No primeiro exemplo, temos uma função cuja base é maior do que 1. Veja:
Ex1.: y = log 2 x
	x
	1/4
	1/2
	1
	2
	4
	y
	-2
	-1
	0
	1
	2
Note que se a base for um número maior do que 1, a função é crescente!
Vamos fazer um exemplo agora de uma função logarítmica com base entre 0 e 1.
Ex2.: y = log ½ x
	x
	1/4
	1/2
	1
	2
	4
	y
	2
	1
	0
	-1
	-2
Note que se a base for um número entre 0 e 1, a função é decrescente!
Resumidamente:
Se b>1 função crescente.
Se 0<b<1 função decrescente.
3. Equações Logarítmicas:
Para resolver uma equação logarítmica, o aluno deve sempre se lembrar de respeitar as 3 condições de existência. Veja os exemplos:
Ex1.: log 5 x² = log 5 (-2x + 3)
Condições de existência:
1) x² > 0 x ≠ 0
2) -2x + 3 > 0 x < 3/2
Igualando os logaritmandos, teríamos a seguinte equação:
x² = -2x + 3
x² + 2x – 3 = 0
Essa equação tem como raízes os seguintes valores: x1= - 3 e x2=1. Ambas respeitam a condição de existência, ou seja, S={-3,1}.
Ex2.: log x 16 = 2
Condições de existência:
1) x > 0 
2) x ≠ 1
Aplicando a definição de logaritmo (log b A = x A = bx), teremos:
16 = x² 
x = ± 4
Porém, como x deve ser positivo, a raiz -4 não pode ser considerada. Por esse motivo, temos que S = {4}.
4. Inequações Logarítmicas:
Na hora de resolver uma inequação logarítmica devemos ter o mesmo cuidado que tivemos com as inequações exponenciais. Devemos lembrar que numa função com base superior a 1, temos o comportamento crescente, da mesma forma que numa função onde a base for representada por um valor entre 0 e 1, temos um comportamento decrescente. Sendo assim, temos a mesma máxima das inequações logarítmicas:
Se b > 1 manter o sinal de desigualdade.
Se o < b < 1 inverter o sinal de desigualdade.
Além disso, é necessário respeitar as condições de existência do logaritmo, assim como já fazíamos com as equações logarítmicas.
Ex1.: log (x + 3) > log 2 + 2x 
Condições de existência: 
1) x + 3 > 0 x > – 3
2) 2 + 2x > 0 2x > –2 x > – 1
Entre as duas condições, prevalece a segunda, visto que todo número maior do que –1 acaba sendo maior que –3.
Resolvendo a inequação, como temos uma base maior do que 1 comum aos dois logaritmos, pensamos apenas nos dois logaritmandos, MANTENDO o sinal de desigualdade.
x + 3 > 2 + 2x –x > –1 x < 1
Assim, levando em consideração a condição de existência, temos que: S = ] –1, 1[.
Ex2.: log 0,5 (9-x) < log 0,5 (19)
Condições de existência:
9 – x > 0 – x > – 9 x < 9
Resolvendo a inequação, como temos uma base entre 0 e 1 comum aos dois logaritmos, pensamos apenas nos logaritmandos, INVERTENDO o sinal de desigualdade.
9 – x > 19 – x > 10 x < – 10. 
Perceba que a condição de existência é respeitada e, por isso, temos que S = ] -∞, -10 [.
Exercícios:
01) (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação:
na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e Io é a intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log2 = 0,3, equivale a: 
a) 0,64 		b) 1,8 		c) 2,0 		d) 3,2
02) (PUC-RJ) Se log1/2 x = -3, então + x² vale:
a) 3/4		b) 6		c) 28		d) 50		e) 66 
03) (IBMEC) A figura mostra os gráficos das funções:
g(x)=loga (x + b) e f (x) = m1-x , onde:
x > - b, 0 < a ≠ 1, 0 < m ≠ 1.
 O ponto A tem ordenada (y) igual a 1/2. Então, o valor de log4m (ab) é igual a:
a) -1/2		b) 1/2		c) 2/3		d) 3/2		e) 2
04) (UNESP) Considere a função f, definida por f(x)=lognx. Se f(n)=m e f(n+2)=m+1, os valores respectivos de n e m são: 
a) 2 e 1		b) 2 e 2		c) 3 e 1		d) 3 e 2		e) 4 e 1
05) (FUVEST) O número real x que satisfaz a equação log2 (12 – 2x) = 2x é: 
a) log2 5 	b) log2 	c) 2 		d) log2 	e) log2 3
06) (UFSM) Seja f: IR ë IR uma função definida por f(x)=mx+p. Se f passa pelos pontos A(0,4) e B(3,0), então f-1 passa pelo ponto:
a) (8, -2) 	b) (8, 3) 	c) (8, -3) 	d) (8, 2) 	e) (8, 1)
07) (UFMG) Observe a figura. 
Nessa figura está representado o gráfico da função f(x) = log2 [1/(ax + b)]. Então, f (1) é igual a:
a) -3 		b) -2 		c) -1 		d) -1/2 		e) -1/3
08) (UFMG) Os valores de x que satisfazem a equação logx (ax + b) = 2 são 2 e 3. Nessas condições, os respectivos valores de a e b são:
a) 4 e - 4 	b) 1 e - 3 	c) - 3 e 1 	d) 5 e - 6 	e) - 5 e 6
09) (UEL) Os números reais que satisfazem à equação log2(x² -7x) = 3 pertencem ao intervalo:
a) ]0, + ∞ [ 	b) [0, 7] 	c) ]7, 8] 	d) [-1, 8] 	e) [-1, 0]
10) (FUVEST) O conjunto das raízes da equação log10 (x²) = (log10 x)² é:
a) {1} 		b) {1, 100} 	c) {10, 100} 	d) {1, 10} 	e) {x Є R | x > 0}
11) (FEI) A função f(x) = log(50 - 5x – x²) é definida para: 
a) x > 10 	b) -10 < x < 5 	c) -5 < x < 10 	d) x < -5 	e) 5 < x < 10
12) (CESGRANRIO) Se log10(2x - 5) = 0, então x vale: 
a) 5		b) 4		c) 3		d) 7/3		e) 5/2
13) (UFMG) O conjunto de todos os valores reais de x que satisfazem a equação 
2 log10 x =1 + log10 (x+11/10) é: 
a) { -1, 11} 	b) { 5,6 } 	c) { 10 } 	d) { 11 }
14) (UFMG) Observe a figura. 
Nessa figura, está representado o gráfico de f(x)=lognx. O valor de f(128) é: 
a) 5/2 		b) 3 		c) 7/2 		d) 7
15) (UFMG) A intensidade de um terremoto na escala Richter é definida por I=(2/3) log10 (E/E³), em que E é a energia liberada pelo terremoto, em quilowatt-hora (kwh), e E³ = 10-3 kwh. A cada aumento de uma unidade no valor de I, o valor de E fica multiplicado por:
a) 		b) 10 		c) 		d) 20/3
16) (UNIRIO) Um professor propôs aos seus alunos o exercício: "Dada a função f: IR+* IR determine a imagem de x=1024.
f(x) = log2 64x³
Qual não foi sua surpresa quando, em menos de um minuto, um aluno respondeu corretamente que a imagem era: 
a) 30 		b) 32 		c) 33 		d) 35 		e) 36
17) (PUC-CAMPINAS) O mais amplo domínio real da função dada por f(x)=logx-2(8-2x) é o intervalo:
a) ]2, 3[ 	b) ]3, +∞[ 	c) ]2, +∞ [ 	d) ]- ∞, 3[ 	e) ]- ∞, 2[
18) (UNIRIO) Seja a função definida por f(x)=log2[(x+1)/2x]. O valor de x para o qual f(x)=1 é tal que: 
a) 0 < x < 1/100 	b) 1/100 < x < 1/10 	c) 1/10 < x < 1/5 
d) 1/5 < x < 3/10 	e) x > 3/10
19) (UFV) Seja f a função real dada por f(x)=log(x²- 2x+1). Então f(-5)-f(5) é igual a: 
a) 2 log(3/2) 	b) 2 log11 	c) 4 log(3/2) 	d) 2 log (2/3) 	e) log 20
20) (PUC-SP) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) 
a) 1998 	b) 1999 	c) 2000 		d) 2001 	e) 2002
21) (FATEC) A soma dos valores reais de x que satisfazem a equação 3log² 8 x = log2 x é: 
a) 0 		b) 1 		c) 3 		d) 7 		e) 9
22) (MACKENZIE) O pH do sangue humano é calculado por 1 pH = log (1/x) sendo X a molaridade dos íons H3O+. Se essa molaridade for dada por 4,0 × 10-8 e, adotando-se log 2 = 0,30, o valor desse pH será: 
a) 7,20 		b) 4,60 		c) 6,80 		d) 4,80 		e) 7,40
23) (UFU) Se x e y são números reais positivos, tais que logx 3 = 4 e logy 5 = 6, então, (xy)12 é igual a:
a) 625		b) 640		c) 648		d) 675
24) (UFAM) O valor de x que satisfaz a equação log3 (x – 2) + log3 (x – 4) =1 é igual a: 
a) 2 		b) 1 		c) 5 		d) 4 		e) 0
25) (UNIRIO) A função inversa da função bijetora f:IR-{- 4}IR-{2} definida por f(x)=(2x-3)/(x+4) é: 
a) f-1(x) = ( x + 4 )/( 2x +3 ) 	b) f-1(x) = ( x - 4 )/( 2x - 3 ) 	c) f-1(x) = ( 4x + 3 )/( 2 - x ) 
d) f-1(x) = ( 4x + 3 )/( x - 2 ) 	e) f-1(x) = ( 4x + 3 )/( x + 2)
26) (UERJ) Considere a equação:
, com x > 0.
Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para a solução dessa equação:
O conjunto-solução encontrado pelo aluno está incompleto. Resolva a equação e determine corretamente o seu conjunto-solução.
27) (UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T³ obedece à seguinte relação: 
T = T0 + k.e-ct
Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100°C, colocada numa sala de temperatura 20°C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40°C. 
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala. 
b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.
28) (UNESP) Os biólogos dizem que há uma alometria entre duas variáveis, x e y, quando é possível determinar duas constantes, c e n, de maneira que y=c.xn. Nos casos de alometria, pode ser conveniente determinar c e n por meio de dados experimentais. Consideremos uma experiência hipotética na qual se obtiveram os dados da tabela a seguir.
	x
	Y
	2
	16
	20
	40
Supondo que haja uma relação de alometria entre x e y e considerando log 2=0,301, determine o valor de n.
29) (UNICAMP) Resolva o sistema:
30) (UFSC) Se os números reais positivos a e b são tais que:
Calcule o valor de a + b.
31) (UNICAMP) Dada a função f(x) = log10 [(2x + 4)/3x], encontre: 
a) O valor de x para o qual f(x) = 1. 
b) Os valores de x Є |R para os quais f(x) é um número real menor que 1.
32) (UFRRJ) Determine o conjunto das soluções reais da equação a seguir: 
log2 3 . log3 4 . log4 5 . log5 x = log2 (- 2x - 1)
33) (UNICAMP) A função L(x) = aebx fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada. 
a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes. 
b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.
34) (UNIFESP) Pesquisa feita por biólogos de uma reserva florestal mostrou que a população de uma certa espécie de animal está diminuindo a cada ano. A partir do ano em que se iniciou a pesquisa, o número de exemplares desses animais é dado aproximadamente pela função f(t) = 750.2-0,05t,com t em anos, t 0. 
a) Determine, com base na função, em quantos anos a população de animais estará reduzida à metade da população inicial. 
b) Considerando log 2 3 = 1,6 e log 2 5 = 2,3, e supondo que nada seja feito para conter o decrescimento da população, determine em quantos anos, de acordo com a função, haverá apenas 40 exemplares dessa espécie de animal na reserva florestal.
35) (UNESP) Sejam x e y números reais positivos. Se log (xy) = 14 e log (x²/y) = 10, em que os logaritmos são considerados numa mesma base, calcule, ainda nessa base: 
a) log x e log y 
b) logy
36) (UFRRJ) O pH de uma solução é definido por pH = 10 log (1/[H+]), sendo [H+] a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Calcule o pH de uma solução que tem [H+] = 10-8 íons-grama por litro.
37) (UEM) Determine o conjunto-solução da seguinte equação:
(log2 x)² + log2 (1/x) = 6
38) (UERJ) Ao digitar corretamente a expressão log10(−2) em uma calculadora, o retorno obtido no visor corresponde a uma mensagem de erro, uma vez que esse logaritmo não é um número real. Determine todos os valores reais de x para que o valor da expressão log0,1(log10(log0,1(x))) seja um número real.
39) (UFRJ) Considere x e y números reais positivos tais que:
log3 (log4 x) = log4 (log3 y) = 0
Determine o valor de x + y.
40) (UNIRIO) Considerando-se a função f:IRIR, xy=2x+1.
a) determine a lei que define a função f-1; 
b) calcule a área da região compreendida entre os gráficos de f e f-1, o eixo dos y e a reta de equação x=1.
Gabarito:
01) C	02) E	03) C	04) A	05) E	06) C	07) B	08) D	09) D	10) B
11) B	12) C	13) D	14) C	15) C	16) E	17) A	18) E	19) A	20) E
21) E	22) E	23) D	24) C	25) C
26) S={1, 8}
27) a) 22,5 oC			b) aproximadamente 15 minutos
28) n=0,398
29) V = {(32, 1/4)}
30) 80
31) a) 1/7			b) x < -2ou x > 1/7
32) S = { }
33) a) a = 120 e b= -ln 2		b) 3m
34) a) 20 anos			b) 84 anos
35) a) log x = 8 e log y = 6	b) 10
36) 8
37) 8
38) 0 < x < 0,1
39) 7
40) a) f-1(x) = (x - 1)/2 		b) 9/4