Ex Pórtico2 MF

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Análise Estrutural II
Profa. Ma. Rafaela Amaral
Solução exemplo pórtico 
hiperestático: Método das 
Forças
Ma. Rafaela de Oliveira Amaral
Universidade Anhembi Morumbi
Obter os diagramas solicitantes e as reações de
apoio para a estrutura da figura abaixo, devido
ao carregamento indicado. Considerar EI
constante.
• Sabemos que esse pórtico é hiperestático;
• Para resolver pelo Método das Forças, é
necessário calcular o grau de
hiperestaticidade do pórtico:
𝑔𝑒 = 𝑟 − 𝑒 − 𝑛𝑟 onde 𝑛𝑟 = 𝑏 − 1
𝑔𝑒 = 5 − 3 − (2 − 1) = 1
• Próximo passo é definir o sistema principal (SP), ou seja, liberar o número de
vínculos necessários para que esse pórtico seja isostático. Neste caso, precisamos
liberar 1 vínculo, pois o grau é 1. Várias soluções são possíveis, dentre elas:
Pórtico hiperestático:
Vou escolher o SP:
Observe que:
𝑔𝑒 = 𝑟 − 𝑒 − 𝑛𝑟
𝑔𝑒 = 4 − 3 − (2 − 1) = 0
O sistema principal será dividido em 2 carregamentos (se o grau é 1, então
teremos 1+1 de carregamento):
Para que o pórtico do SP seja igual ao pórtico hiperestático, preciso
afirmar que o deslocamento horizontal em B é zero, para isso
temos que resolver a equação:
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0
Para calcular as deformações (EI𝛿 = 𝑀׬ ഥ𝑀𝑑𝑠) precisamos dos diagramas de
momento fletor para cada carregamento:
Com o auxilio da tabela é possível calcular as deformações (EI𝛿 = 𝑀׬ ഥ𝑀𝑑𝑠):
𝐸𝐼𝛿10 = =
𝐿
3
𝑀1𝑀3=
4
3
4 × 2 = −10,667
𝐸𝐼𝛿11= + +
= 
𝐿
3
𝑀1𝑀3 + 
𝐿
3
𝑀1𝑀3 + 
𝐿
3
𝑀1𝑀3= 
3
3
3 × 3 +
4
3
2 × 2 +
2
3
2 × 2 = 17
Então o sistema de compatibilidade fica:
−10,667 + 𝑋117 = 0
Logo: 𝑋1 = 0,63
Como no SP liberamos o deslocamento
horizontal no ponto B: 𝑋1 é a reação B𝑥. O
sinal positivo para 𝑋1 significa que B𝑥 está
no mesmo sentido adotado para 𝑋1 .
Então:
𝐵𝑥=0,63 KN para a direita.
Agora, voltando ao nosso pórtico hiperestático, nós já conhecemos
a reação 𝐵𝑥, falta calcular as demais reações de apoio (𝐴𝑦, 𝐴𝑥, 𝑀𝐴 e
𝐵𝑦).
Observa que, agora temos 4 incógnitas para 3 equações de
equilíbrio e uma equação momento interno na rótula igual a zero,
portanto podemos calcular essas três reações usando:
σ𝑀 = 0; σ𝐹𝑦 = 0 e σ𝐹𝑥 = 0 e 𝑀𝐶 = 0,
ou através da relação para esforços finais: 𝐸 = 𝐸0 + 𝑋1𝐸1.
Através da relação para Esforços Finais:
𝐸 = 𝐸0 + 0,63𝐸1
Então: 
↑ 𝐴𝑦= −1 + 0,63 × 0,5 = −0,685 KN ↓
→ 𝐴𝑥= 0 + 0,63 × −1 = −0,63 KN ←
↺ 𝑀𝐴 = 0 + 0,63 × 3 = 1,89 KNm ↺
↑ 𝐵𝑦 = 5 + 0,63 × −0,5 = 4,685 KN ↑