02_Raciocinio_Logico_e_Matematica(1)

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SESAP-RN 
 
 
1. Raciocínio Lógico - Princípio da Regressão ou Reversão. Lógica Dedutiva, Argumentativa e 
Quantitativa. Lógica matemática qualitativa, Sequências Lógicas envolvendo Números, Letras e 
Figuras. .................................................................................................................................................... 1 
2. Números e Operações – Sistemas de numeração e conjuntos numéricos: números inteiros, racionais 
e irracionais, os números reais e os números complexos. Problemas envolvendo as operações e seus 
significados............................................................................................................................................. 57 
Proporcionalidade. Porcentagem. Juros. ........................................................................................... 93 
Equações e inequações do 1º e do 2º graus. Equações polinomiais. Sistemas lineares. Expressões 
algébricas: monômios, polinômios, produtos notáveis e fatoração. ...................................................... 114 
Funções: afim, quadrática, polinomiais, exponencial, logarítmica e trigonométricas. ....................... 145 
Sequências. Progressões aritméticas e geométricas. ...................................................................... 188 
Matrizes. Determinantes. ................................................................................................................. 198 
Análise combinatória. ....................................................................................................................... 223 
3. Espaço e Forma – Figuras geométricas planas e espaciais. Ângulos, curvas, posições relativas de 
retas, paralelismo e perpendicularismo. Deslocamento de figuras num plano. Simetrias, isometrias, 
homotetias. Polígonos e sólidos geométricos: conceitos, características, propriedades. Triângulos. 
Quadriláteros, a circunferência, o círculo. Figuras semelhantes ou congruentes. Os poliedros: relação de 
Euler. Pirâmide, prismas, cone, cilindro e esfera. ................................................................................. 235 
4. Grandezas e Medidas – Medidas de comprimento, de superfície, de massa e de volume. O sistema 
métrico decimal. Sistema monetário brasileiro. Perímetro e área de figuras planas. Teorema de Pitágoras. 
Relações métricas num triângulo. Razões trigonométricas. Relações fundamentais. ........................... 320 
Geometria Analítica: distância entre dois pontos, condição de alinhamento de três pontos. Equações 
da reta. Equação da circunferência. ..................................................................................................... 360 
5. Tratamento da Informação – Estatística e Probabilidade: leitura e interpretação de tabelas e gráficos, 
média, moda e mediana, problemas de contagem e o princípio multiplicativo. Possibilidade ou chance de 
um evento. Raciocínio combinatório e o cálculo de probabilidade. Probabilidade condicional. ............. 385 
 
 
 
 
 
 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
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Candidatos ao Concurso Público, 
O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail professores@maxieduca.com.br para dúvidas 
relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom 
desempenho na prova. 
As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar 
em contato, informe: 
- Apostila (concurso e cargo); 
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- Qual a dúvida. 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O 
professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. 
Bons estudos! 
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Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante 
todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica 
foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida 
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente 
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores@maxieduca.com.br 
 
PRINCÍPIO DA REGRESSÃO OU REVERSÃO 
 
Princípio da regressão 
 
Este princípio tem como objetivo resolver determinados problemas de forma não algébrica, mas 
utilizando uma técnica baseada em raciocínio lógico, conhecida como princípio da regressão ou 
reversão. 
Esta técnica consiste em determinar um valor inicial pedido pelo problema a partir de um valor final 
dado. Utiliza-se para resolução dos problemas as operações matemáticas básicas com suas respectivas 
reversões. 
 
- Fundamento da regressão 
Utilizando as quatro operações fundamentais, podemos obter uma construção quantitativa lógica 
fundamentada no princípio da regressão, cujo objetivo é obter o valor inicial do problema proposto através 
da operação inversa. 
 
Soma ↔ a regressão é feita pela subtração. 
Subtração ↔ a regressão é feita pela soma. 
Multiplicação ↔ a regressão é feita pela divisão. 
Divisão ↔ a regressão é feita pela multiplicação. 
 
Veja os exemplos abaixo: 
 
1 – Uma pessoa gasta metade do seu capital mais R$ 10,00, ficando sem capital algum. Quanto ela 
possuía inicialmente? 
Solução: 
 
No problema acima, a pessoa gastou em dinheiro (– R$ 10,00), ou seja, houve uma perda. Pelo 
princípio da regressão, iremos supor que ele recuperará o dinheiro, para que possamos chegar à situação 
inicial (+ R$ 10,00). Posteriormente, ele gasta metade do seu capital (÷2). Para voltarmos a situação inicial 
devemos multiplicar por 2 o valor em dinheiro que ele possuía. Logo, 2 × R $10,00 = R$ 20,00. 
 
1. Raciocínio Lógico - Princípio da Regressão ou Reversão. Lógica Dedutiva, 
Argumentativa e Quantitativa. Lógica matemática qualitativa, Sequências 
Lógicas envolvendo Números, Letras e Figuras. 
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2 – Um indivíduo fez uma promessa a São Sebastião, se este dobrar o seu dinheiro, ele doará R$ 
20,00 para a igreja, no final da 3º dobra, nada mais lhe restara, quanto possuía o indivíduo inicialmente? 
(A) 14,50 
(B) 15,50 
(C) 16,50 
(D) 17,50 
(E) 18,50 
 
Solução: 
 
a) Solução Algébrica 
Valor que possuía inicialmente: x 
1º dobra: 2x – 20 
2° dobra: 2(2x – 20) – 20 
3° dobra: 2[2(2x – 20) – 20] – 20 = 0 
Resolvendo a equação encontramos x = 17,50 
 
Resposta: Inicialmente o indivíduo possui R$17,50 
 
b) Solução pelo método da regressão 
 
Pelo método da regressão, vamos abordar o problema do final para o início, ou seja, partiremos do 
passo IV até o passo I. 
IV) Se no final restou 0, significa que todo o dinheiro foi doado. 
III) No terceiro passo, ele dobrou o capital que tinha e deu 20 reais para a igreja, fazendo a regressão, 
podemos dizer se ele deu 20 reais para a igreja (representar – 20), então, ele os possuía inicialmente 20 
(representar +20). Como ele dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo a metade (20 ÷ 2) = 10. 
Conclusão: na terceira etapa ele possuía 10 reais, que dobrados originaram 20 reais. Como doou 20 
reais, ficou com nada no quarto passo. 
II) No segundo passo, ele já possuía 10 reais, mas doou 20 para a igreja (-20) e ao recuperá-lo ficou 
com 10 + 20 = 30. Como ele dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo a metade (30 ÷ 2) = 15. 
Conclusão: na segunda etapa ele possuía 15 reais, que dobrados originaram 30 reais. Como doou 20 
reais, ficou com 10 no terceiro passo. 
I) Inicialmente, ele possuirá os 15 reais mais 20 reais que serão recuperados, ou seja, 35 reais e reduzir 
o capital pela metade (35 ÷ 2) = 17,50. 
 
Resposta: Inicialmente, possuía R$ 17,50. 
Gabarito: D 
 
Outrosmétodos: 
2- Tabela verdade e equivalência lógica, negação e validade de um argumento. 
3- Regras de Inferência 
4- Diagramas de Euller-Venn 
 
Explicações do item 2,3,4. 
O candidato deve ficar atento, após o entendimento da tabela verdade, este deve saber aplicar as 
regras de inferência, diagramas de Venn, equivalência e negação, assim ele verificará que não existe 
lógica pelas frases ou suas interpretações, veja o modelo abaixo (caso 1 e 2). 
 
Caso 1: validade de um argumento 
Um argumento é válido caso satisfaça duas condições: 
I – A proposição 1, a proposição 2 e a conclusão (p1, p2, C), têm pelo menos uma linha verdadeira 
quando construída a sua tabela-verdade. 
II – (p1 p2) → C é tautológica, caso contrário, temos um sofisma. 
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Nota: argumento possui 3 premissas no mínimo e uma conclusão e silogismo 2 premissas e 
uma conclusão, assim de início chamarei o silogismo de argumento sem o rigor da definição, pois 
a preocupação é quanto a validade, e percebe que não há correlação com o português, mas sim 
com a estrutura. 
Exemplo: 
Verifique se o argumento (silogismo) abaixo é válido: 
Premissa 1 (P1): p q 
Premissa 2 (P2): ~q 
Conclusão (C): p 
 
Condição I: P1, P2 e C devem ter pelo menos uma linha da tabela-verdade toda verdadeira. 
P1: p q P2: ~q C: p 
V F V 
V V V 
V F F 
F V F 
 
Condição II: (p1 p2) → C deve ser tautológica 
 
(p q) ~q → p 
F V V 
V V V 
F V F 
F V F 
 
Resposta: O argumento é válido, pois satisfaz as duas condições. 
 
1) Verifique se os argumentos abaixo são válidos: 
P1: hoje é sábado ou domingo. 
P2: hoje não é sábado. 
C: hoje é domingo. 
 
Solução: 
Construindo a tabela, temos: 
p1: p v q p2: ~p C: q 
V F V 
V F F 
V V V 
F V F 
 
De acordo com a tabela, podemos garantir que o argumento é válido, pois existe pelo menos uma linha 
toda verdadeira (V, V, V) e a verdade das premissas (V, V) garante a verdade da conclusão (V). 
Gabarito: V, pois o argumento é válido. 
 
2) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes: 
P1: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um bom emprego. 
P2: Ela conseguiu um bom emprego. 
C: Portanto, Célia tem um bom currículo. 
Solução: 
p1: p → q p2: q C: p 
V V V 
F F V 
V V F 
V F F 
 
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Neste caso, a primeira condição é satisfeita, ou seja, temos uma linha toda verdadeira (V, V, V). No 
entanto, a verdade das premissas, além de garantir a verdade da conclusão, também garantiu a sua 
falsidade, havendo assim uma contradição (também conhecido como princípio do terceiro excluído). 
Exemplo: 
p1 p2 C 
V V V 
V V F 
 
A conclusão não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, logo o argumento não é válido. 
Gabarito: F 
 
Caso 2 
 
DIAGRAMAS DE VENN - EULLER - EXPRESSÕES CATEGÓRICAS 
 
As expressões categóricas são: 
TODO 
ALGUM 
NENHUM 
 
NOTA: Deve ficar claro que a negação destas expressões não tem nenhuma relação com a gramática, 
língua Portuguesa ou relação com o seu antônimo como todo, nenhum ou coisa do gênero, na verdade a 
negação destas expressões tem relação direta com a cisão topológica do diagrama, podendo ainda ser 
associada à mecânica dos fluidos no que se refere a volume de controle, para não entramos no contexto 
da física será feito apenas uma abordagem topológica da estrutura. 
 
Caso 1: Negação da expressão Nenhum 
Qual a negação da proposição: “Nenhum rondoniense é casado” 
i) deve ficar claro que a negação de nenhum não é todo ou pelo menos um ou qualquer associação 
que se faça com o português, a topologia da estrutura nos fornecerá várias respostas, vejamos: 
Possíveis negações: Negar a frase é na verdade verificar os possíveis deslocamentos dos círculos. 
I) pelo menos 1 rondoniense é casado 
II) algum rondoniense é casado 
III) existe rondoniense casado 
IV) Todo rondoniense é casado 
V) Todo casado é rondoniense 
Definir: 
A = Rondoniense 
B= Casado 
 
CONCLUSÃO: Topologicamente o pelo menos 1 é a condição mínima de existência; algum e existe 
estão no mesmo nível de importância e o todo é a última figura sendo assim topologicamente possível 
mas a última, em termos de importância. 
 
 
 
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Questões 
 
01. Uma senhora levava uma caixa de chocolates para dar aos seus netos. Ao primeiro ela deu a 
metade dos chocolates que levava mais meio chocolate. Ao segundo, deu a metade do que restou e mais 
meio chocolate. Por último, ao terceiro neto ela deu a metade do que ainda sobrou e mais meio chocolate, 
não sobrando nenhum com ela. Quantos chocolates havia inicialmente na caixa? 
 
02. Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou R$ 1,00 a mais 
do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja? 
 
03. Um feirante vendeu 1/3 das frutas que possuía mais duas. A seguir, vendeu 4/5 das restantes mais 
uma, ficando, assim, com três frutas. Se n é o número inicial de frutas, então: 
(A) n > 100 
(B) 90 < n < 100 
(C) 70 < n < 90 
(D) 50 < n < 70 
(E) 30 < n < 50 
 
04. (SENAI) O Sr. Altair deu muita sorte em um programa de capitalização bancário. Inicialmente, ele 
apresentava um saldo devedor X no banco, mas resolveu depositar 500 reais, o que cobriu sua dívida e 
ainda lhe sobrou uma certa quantia A. Essa quantia A, ele resolveu aplicar no programa e ganhou quatro 
vezes mais do que tinha, ficando então com uma quantia B. Uma segunda vez, o Sr. Altair resolveu aplicar 
no programa, agora a quantia B que possuía, e novamente saiu contente, ganhou três vezes o valor 
investido. Ao final, ele passou de devedor a credor de um valor de R$ 3 600,00 no banco. Qual era o 
saldo inicial X do Sr. Altair? 
(A) -R$ 350,00. 
(B) -R$ 300,00. 
(C) -R$ 200,00. 
(D) -R$ 150,00. 
(E) -R$ 100,00. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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02. Resposta: 
 
 
 
03. Resposta: 
 
 
04. Resposta: C. 
Devemos partir da última aplicação. Sabemos que a última aplicação é 3B, logo: 
3B = 3600 → B = 3600/3 → B = 1200 
A 1º aplicação resultou em B e era 4A: B = 4A → 1200 = 4A → A = 1200/4 → A = 300 
A é o saldo que sobrou do pagamento da dívida X com o 500 reais: A = 500 – X → 300 = 500 – X → 
-X = 300 – 500 → -X = -200. (-1) → X = 200. 
Como o valor de X representa uma dívida representamos com o sinal negativo: a dívida era de R$ -
200,00. 
 
ESTRUTURAS LÓGICAS 
 
A lógica pela qual conhecemos hoje foi definida por Aristóteles, constituindo-a como uma ciência 
autônoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juízo, Raciocínio, Demonstração) 
do ponto de vista da sua estrutura ou forma lógica, sem ter em conta qualquer conteúdo material. 
Falar de Lógica durante séculos, era o mesmo que falar da lógica aristotélica. Apesar dos enormes 
avanços da lógica, sobretudo a partir do século XIX, a matriz aristotélica persiste até aos nossos dias. A 
lógica de Aristóteles tinha objetivo metodológico, a qual tratava de mostrar o caminho correto para a 
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investigação, o conhecimento e a demonstração científica. O método científico que ele preconizava 
assentava nas seguintes fases: 
 
1. Observação de fenômenos particulares; 
2. Intuição dos princípios gerais (universais) a que os mesmos obedeciam; 
3. Dedução a partir deles das causas dos fenômenos particulares. 
 
Por este e outros motivos, Aristóteles é considerado o pai da Lógica Formal. 
 
A lógica matemática (ou lógica formal) estuda a lógica segundo a sua estrutura ou forma. A lógica 
matemática consiste em um sistema dedutivo de enunciados, que tem como objetivo criar um grupo de 
leis e regras para determinar a validade dos raciocínios. Assim, um raciocínio é considerado válido se é 
possível alcançar uma conclusão verdadeira a partir de premissasverdadeiras. 
Em sentido mais amplo podemos dizer que a Lógica está relacionada a maneira específica de 
raciocinar de forma acertada, isto é, a capacidade do indivíduo de resolver problemas complexos que 
envolvem questões matemáticas, as sequências de números, palavras, entre outros e de desenvolver 
essa capacidade de chegar a validade do seu raciocínio. 
O estudo das estruturas lógicas, consiste em aprendemos a associar determinada preposição ao 
conectivo correspondente. Mas é necessário aprendermos alguns conceitos importantes para o 
aprendizado. 
 
Conceito de proposição 
 
Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou 
uma ideia de sentido completo. Assim, as proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam, 
declaram fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados conceitos ou entes. 
Elas devem possuir além disso: 
- um sujeito e um predicado; 
- e por último, deve sempre ser possível atribuir um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F). 
Preenchendo esses requisitos estamos diante de uma proposição. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
A) Júpiter é o maior planeta do sistema Solar 
Analisando temos: 
- Quem é o maior planeta do sistema Solar? Júpiter, logo tem um sujeito e um predicado; 
- É uma frase declarativa (a frase informa ou declara alguma coisa) e; 
- Podemos atribuir um valor lógico V ou F, independente da questão em si. 
 
B) Salvador é a capital do Brasil. 
C) Todos os músicos são românticos. 
 
A todas as frases podemos atribuir um valor lógico (V ou F). 
 
TOME NOTA!!! 
Uma forma de identificarmos se uma frase simples é ou não considerada frase lógica, ou sentença, 
ou ainda proposição, é pela presença de: 
- sujeito simples: "Carlos é médico"; 
- sujeito composto: "Rui e Nathan são irmãos"; 
- sujeito inexistente: "Choveu" 
- verbo, que representa a ação praticada por esse sujeito, e estar sujeita à apreciação de julgamento 
de ser verdadeira (V) ou falsa (F), caso contrário, não será considerada proposição. 
 
Atenção: orações que não tem sujeito, NÃO são consideradas proposições lógicas. 
 
Princípios fundamentais da lógica 
 
A Lógica matemática adota como regra fundamental três princípios1 (ou axiomas): 
 
1 Algumas bibliografias consideram apenas dois axiomas o II e o III. 
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I – PRÍNCIPIO DA IDENTIDADE: uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição 
falsa é falsa. 
 
II – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa 
ao mesmo tempo. 
 
III – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é verdadeira OU é falsa, 
verificamos sempre um desses casos, NUNCA existindo um terceiro caso. 
 
 
Se esses princípios acimas não puderem ser aplicados, NÃO podemos classificar uma frase como 
proposição. 
 
Valores lógicos das proposições 
 
Chamamos de valor lógico de uma proposição: a verdade, se a proposição for verdadeira (V), e a 
falsidade, se a proposição for falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos 
verdade e falsidade respectivamente. 
 
Consideremos as seguintes proposições e os seus respectivos valores lógicos: 
a) A velocidade de um corpo é inversamente proporcional ao seu tempo. (V) 
b) A densidade da madeira é maior que a densidade da água. (F) 
 
A maioria das proposições são proposições contingenciais, ou seja, dependem do contexto para sua 
análise. Assim, por exemplo, se considerarmos a proposição simples: 
 
“Existe vida após a morte”, ela poderá ser verdadeira (do ponto de vista da religião espírita) ou falsa 
(do ponto de vista da religião católica); mesmo assim, em ambos os casos, seu valor lógico é único — ou 
verdadeiro ou falso. 
 
Classificação das proposições 
 
As proposições podem ser classificadas em: 
 
1) Proposições simples (ou atômicas): são formadas por uma única oração, sem conectivos, ou seja, 
elementos de ligação. Representamos por letras minusculas: p, q, r,... . 
 
Exemplos: 
O céu é azul. 
Hoje é sábado. 
 
2) Proposições compostas (ou moleculares): possuem elementos de ligação (conectivos) que ligam 
as orações, podendo ser duas, três, e assim por diante. Representamos por letras maiusculas: P, Q, R, 
... . 
 
Exemplos: 
O ceu é azul ou cinza. 
Se hoje é sábado, então vou à praia. 
 
Observação: os termos em destaque são alguns dos conectivos (termos de ligação) que utilizamos 
em lógica matemática. 
 
3) Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou 
valorar a proposição!), portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas: 
a) Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem? 
b) Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso! 
c) Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão. 
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d) Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é verdadeira” 
(expressão paradoxal) – O cavalo do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 3 + 7 
 
Exemplos 
 
1. 94:)( xxp 
 
A sentença matemática 94 x é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. 
Obviamente, apenas um deles, 5x , torna a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros 
números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como .5x 
 
2. 3:)( xxq 
 
Dessa maneira, na sentença 3x , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, 
alguns são verdadeiros, como 2x , e outros são falsos, como .7x 
 
4) Proposição (sentença) fechada: quando a proposição admitir um único valor lógico, seja ele 
verdadeiro ou falso, nesse caso, será considerada uma frase, proposição ou sentença lógica. 
 
Observe os exemplos: 
 
 
Sentenças representadas por variáveis 
a) x + 4 > 5; 
b) Se x > 1, então x + 5 < 7; 
c) x = 3 se, e somente se, x + y = 15. 
 
Observação: Os termos “atômicos” e “moleculares” referem-se à quantidade de verbos presentes na 
frase. Consideremos uma frase com apenas um verbo, então ela será dita atômica, pois se refere a 
apenas um único átomo (1 verbo = 1 átomo); consideremos, agora, uma frase com mais de um verbo, 
então ela será dita molecular, pois se refere a mais de um átomo (mais de um átomo = uma molécula). 
 
Questões 
 
01. (INPI - Tecnologista em Propriedade Industrial – CESPE) Um órgão público pretende organizar 
um programa de desenvolvimento de pessoas que contemple um conjunto de ações de educação 
continuada. Quando divulgou a oferta de um curso no âmbito desse programa, publicou, por engano, um 
anúncio com um pequeno erro nos requisitos. Em vez de “os candidatos devem ter entre 30 e 50 anos e 
possuir mais de cinco anos de experiência no serviço público” (anúncio 1), publicou “os candidatos devem 
ter entre 30 e 50 anos ou possuir mais de cinco anos de experiência no serviço público”. 
Considere que X = o conjunto de todos os servidores do órgão; A = o conjunto dos servidores do órgão 
que têm mais de 30 anos de idade; B = o conjunto dos servidores do órgão que têm menos de 50 anos 
de idade e C = o conjunto dos servidores do órgão com mais de cinco anos de experiência no serviço 
público. Sabendo que X, A, B, e C têm, respectivamente, 1.200, 800, 900 e 700 elementos, julgue os itens 
seguintes. Sejam p(x) e q(x) sentenças abertas com universo X dadas respectivamente por “o servidor x 
tem entre 30 e 50 anos de idade” e “o servidor x possui mais de cinco anos de experiência no serviço 
público”. 
Então, se C é subconjunto de A∩B, então o conjunto verdade associado à sentença aberta p(x)→q(x) 
coincide com o conjunto universo X. 
(A) Certo (B) Errado 
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02. (PM/RR - Soldado da Polícia Militar – UERR) Uma sentença aberta pode ser transformada numa 
proposição se for atribuído valor a uma variável.Dada a sentença aberta p(y): y2 > 10, assinale o valor a 
ser atribuído para tornar a proposição p(y) verdadeira: 
(A) x = 4 
(B) y = -2 
(C) y = 1 
(D) x = 0 
(E) y = 5 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Se C é subconjunto de A∩B, então todos os servidores com mais de 5 anos de experiência têm entre 
30 e 50 anos de idade. 
Logo, a sentença p(x)→q(x) é verdadeira. 
Mas, se o servidor escolhido tiver uma idade menor que 30 anos ou maior que 50, mesmo sendo p(x) 
falsa, dada a tabela verdade, a sentença p(x) →q(x) também será verdadeira. 
Logo, para todas as idades dos servidores, a sentença p(x) →q(x) será verdade. 
Sendo assim, o conjunto verdade associado à sentença aberta p(x)→q(x) coincide com o conjunto 
universo X. 
 
02. Resposta: E. 
Analisando as alternativas: 
A) x = 4, errado pois não temos a variável x. 
B) y = -2, errado, pois −22 = 4 < 10 
C) y = 1, errado, pois 12 = 1 < 10 
D) x = 0, não temos a variável x. 
E) y = 5, correto. 52 = 25 > 10 
 
Conceito de Tabela Verdade 
 
É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é representada cada 
proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. Partimos do Princípio do 
Terceiro Excluído, toda proposição simples é verdadeira ou falsa , tendo os valores lógicos V (verdade) 
ou F (falsidade). 
Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das 
proposições simples que a compõe. 
 
 
 
O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos valores 
lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE 
determinados. 
 
Número de linhas de uma Tabela Verdade 
 
Definição: 
“A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simples componentes 
contém 2n linhas.” (* Algumas bibliografias utilizam o “p” no lugar do “n”) 
Os valores lógicos “V” e “F” se alteram de dois em dois para a primeira proposição “p” e de um em um 
para a segunda proposição “q”, em suas respectivas colunas, e, além disso, VV, VF, FV e FF, em cada 
linha, são todos os arranjos binários com repetição dos dois elementos “V” e “F”, segundo ensina a Análise 
Combinatória. 
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. 11 
Construção da tabela verdade de uma proposição composta 
Vamos começar contando o número de proposições simples que a integram. Se há n proposições 
simples componentes, então temos 2n linhas. Feito isso, atribuimos a 1ª proposição simples “p1” 2
n / 2 = 
2n -1 valores V , seguidos de 2n – 1 valores F, e assim por diante. 
 
Exemplos 
 
1) Se tivermos 2 proposições temos que 2n =22 = 4 linhas e 2n – 1 = 22 - 1 = 2, temos para a 1ª proposição 
2 valores V e 2 valores F se alternam de 2 em 2 , para a 2ª proposição temos que os valores se alternam 
de 1 em 1 (ou seja metade dos valores da 1ª proposição). Observe a ilustração, a primeira parte dela 
corresponde a árvore de possibilidades e a segunda a tabela propriamente dita. 
 
 
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html) 
 
2) Neste caso temos 3 proposições simples, fazendo os cálculos temos: 2n =23 = 8 linhas e 2n – 1 = 23 
- 1 = 4, temos para a 1ª proposição 4 valores V e 4 valores F se alternam de 4 em 4 , para a 2ª proposição 
temos que os valores se alternam de 2 em 2 (metade da 1ª proposição) e para a 3ª proposição temos 
valores que se alternam de 1 em 1(metade da 2ª proposição). 
 
 
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html) 
 
Estudo dos Operadores e Operações Lógicas 
 
Quando efetuamos certas operações sobre proposições chamadas operações lógicas, efetuamos 
cálculos proposicionais, semelhantes a aritmética sobre números, de forma a determinarmos os valores 
das proposições. 
 
1) Negação ( ~ ): chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico 
é verdade (V) quando p é falsa e falsidade (F) quando p é verdadeira. Assim “não p” tem valor lógico 
oposto daquele de p. 
Pela tabela verdade temos: 
 
Simbolicamente temos: 
 ~V = F ; ~F = V 
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. 12 
V(~p) = ~V(p) 
 
Exemplos 
 
 
Na primeira parte da tabela todas as afirmações são verdadeiras, logo ao negarmos os termos passam 
a ter como valor lógico a falsidade. 
 
- Dupla negação (Teoria da Involução): vamos considerar as seguintes proposições primitivas, p:” 
Netuno é o planeta mais distante do Sol”; sendo seu valor verdadeiro ao negarmos “p”, vamos obter a 
seguinte proposição ~p: “Netuno NÃO é o planeta mais distante do Sol” e negando novamente a 
proposição “~p” teremos ~(~p): “NÃO É VERDADE que Netuno NÃO é o planeta mais distante do Sol”, 
sendo seu valor lógico verdadeiro (V). Logo a dupla negação equivale a termos de valores lógicos a sua 
proposição primitiva. 
p ≡ ~(~p) 
 
Observação: O termo “equivalente” está associado aos “valores lógicos” de duas fórmulas lógicas, 
sendo iguais pela natureza de seus valores lógicos. 
Exemplo: 
1. Saturno é um planeta do sistema solar. 
2. Sete é um número real maior que cinco. 
 
Sabendo-se da realidade dos valores lógicos das proposições “Saturno é um planeta do sistema solar” 
e “Sete é um número relativo maior que cinco”, que são ambos verdadeiros (V), conclui-se que essas 
proposições são equivalentes, em termos de valores lógicos, entre si. 
 
2) Conjunção – produto lógico (^): chama-se de conjunção de duas proposições p e q a proposição 
representada por “p e q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando as proposições, p e q, são ambas 
verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. 
Simbolicamente temos: “p ^ q” (lê-se: “p E q”). 
 
Pela tabela verdade temos: 
 
 
Exemplos 
 
(a) 
p: A neve é branca. (V) 
q: 3 < 5. (V) 
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V 
 
(b) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 6 < 5. (F) 
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ F = F 
 
(c) 
p: Pelé é jogador de futebol. (V) 
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. 13 
q: A seleção brasileira de futebol masculino é octacampeã mundial. (F) 
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ F = F 
 
(d) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 7 é número ímpar. (V) 
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ V = F 
 
- O valor lógico de uma proposição simples “p” é indicado por V(p). Assim, exprime-se que “p” é 
verdadeira (V), escrevendo: 
V(p) = V 
 
- Analogamente, exprime-se que “p” é falsa (F), escrevendo: 
V(p) = F 
 
- As proposições compostas, representadas, por exemplo, pelas letras maiúsculas “P”, “Q”, “R”, “S” e 
“T”, terão seus respectivos valores lógicos representados por: 
V(P), V(Q), V(R), V(S) e V(T). 
 
3) Disjunção inclusiva – soma lógica – disjunção simples (v): chama-se de disjunção inclusiva de 
duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando 
pelo menos uma das proposições, p e q, é verdadeira e falsidade (F) quando ambas são falsas. 
Simbolicamente: “p v q” (lê-se: “p OU q”). 
 Pela tabela verdade temos: 
 
Exemplos 
 
(a) 
p: A neve é branca. (V) 
q: 3 < 5. (V) 
V(p v q) = V(p) v V(q) = V v V = V 
 
(b) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 6 < 5. (F) 
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v F = F 
 
(c) 
p: Pelé é jogador de futebol. (V) 
q: A seleção brasileira de futebol masculino é octacampeã mundial. (F) 
V(p v q) = V(p) v V(q) = V v F = V 
 
(d) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 7 é número ímpar. (V) 
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V 
 
4) Disjunção exclusiva ( v ): chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q, cujo valor 
lógico é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são 
ambas verdadeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. 
Simbolicamente: “p v q” (lê-se; “OU p OU q”; “OU p OU q, MAS NÃO AMBOS”). 
Pela tabela verdade temos: 
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. 14 
 
 
Para entender melhor vamos analisar o exemplo. 
p: Nathan é médico ou professor. (Ambas podem ser verdadeiras, ele pode ser as duas coisasao 
mesmo tempo, uma condição não exclui a outra – disjunção inclusiva). 
Podemos escrever: 
Nathan é médico ^ Nathan é professor 
 
q: Mario é carioca ou paulista (aqui temos que se Mario é carioca implica que ele não pode ser paulista, 
as duas coisas não podem acontecer ao mesmo tempo – disjunção exclusiva). 
Reescrevendo: 
Mario é carioca v Mario é paulista. 
 
Exemplos 
 
a) Plínio pula ou Lucas corre, mas não ambos. 
b) Ou Plínio pula ou Lucas corre. 
 
5) Implicação lógica ou condicional (→): chama-se proposição condicional ou apenas condicional 
representada por “se p então q”, cujo valor lógico é falsidade (F) no caso em que p é verdade e q é falsa 
e a verdade (V) nos demais casos. 
 
Simbolicamente: “p → q” (lê-se: p é condição suficiente para q; q é condição necessária para p). 
p é o antecedente e q o consequente e “→” é chamado de símbolo de implicação. 
 
Pela tabela verdade temos: 
 
 
Exemplos 
 
(a) 
p: A neve é branca. (V) 
q: 3 < 5. (V) 
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → V = V 
 
(b) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 6 < 5. (F) 
V(p → q) = V(p) → V(q) = F → F = V 
 
(c) 
p: Pelé é jogador de futebol. (V) 
q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) 
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = F 
 
(d) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 7 é número ímpar. (V) 
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. 15 
V(p → q) = V(p) → V(q) = F → V = V 
 
6) Dupla implicação ou bicondicional (↔):chama-se proposição bicondicional ou apenas 
bicondicional representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando p e q são 
ambas verdadeiras ou falsas e a falsidade (F) nos demais casos. 
Simbolicamente: “p ↔ q” (lê-se: p é condição necessária e suficiente para q; q é condição necessária 
e suficiente para p). 
 
Pela tabela verdade temos: 
 
Exemplos 
 
(a) 
p: A neve é branca. (V) 
q: 3 < 5. (V) 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V 
 
(b) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 6 < 5. (F) 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ F = V 
 
(c) 
p: Pelé é jogador de futebol. (V) 
q: A seleção brasileira de futebol masculino é octacampeã mundial. (F) 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ F = F 
 
(d) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 7 é número ímpar. (V) 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ V = F 
 
Transformação da linguagem corrente para a simbólica 
 
Este é um dos tópicos mais vistos em diversas provas e por isso vamos aqui detalhar de forma a 
sermos capazes de resolver questões deste tipo. 
 
Sejam as seguintes proposições simples denotadas por “p”, “q” e “r” representadas por: 
p: Luciana estuda. 
q: João bebe. 
r: Carlos dança. 
 
Sejam, agora, as seguintes proposições compostas denotadas por: “P”, “Q”, “R”, “S”, “T”, “U”, “V” e “X” 
representadas por: 
P: Se Luciana estuda e João bebe, então Carlos não dança. 
Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana não estuda. 
R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. 
 
O primeiro passo é destacarmos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e as proposições. 
Depois reescrevermos de forma simbólica, vejamos: 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 16 
 
Juntando as informações temos que, P: (p ^ q) → ~r 
 
Continuando: 
 
Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana estuda. 
 
 
Simbolicamente temos: Q: ~ (q v r ^ ~p). 
 
R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. 
(p v r) ↔ ~q 
 
Observação: os termos “É falso que”, “Não é verdade que”, “É mentira que” e “É uma falácia que”, 
quando iniciam as frases negam, por completo, as frases subsequentes. 
 
- O uso de parêntesis 
A necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições se deve a evitar qualquer tipo de 
ambiguidade, assim na proposição, por exemplo, p ^ q v r, nos dá as seguintes proposições: 
 
(I) (p ^ q) v r - Conectivo principal é da disjunção. 
(II) p ^ (q v r) - Conectivo principal é da conjunção. 
 
As quais apresentam significados diferentes, pois os conectivos principais de cada proposição 
composta dá valores lógicos diferentes como conclusão. 
Agora observe a expressão: p ^ q → r v s, dá lugar, colocando parêntesis as seguintes proposições: 
a) ((p ^ q) → r) v s 
b) p ^ ((q → r) v s) 
c) (p ^ (q → r)) v s 
d) p ^ (q → (r v s)) 
e) (p ^ q) → (r v s) 
 
Aqui duas quaisquer delas não tem o mesmo significado. Porém existem muitos casos que os 
parêntesis são suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, 
ambiguidade alguma venha a aparecer. Para isso a supressão do uso de parêntesis se faz mediante a 
algumas convenções, das quais duas são particularmente importantes: 
 
1ª) A “ordem de precedência” para os conectivos é: 
(I) ~ (negação) 
(II) ^, v (conjunção ou disjunção têm a mesma precedência, operando-se o que ocorrer primeiro, da 
esquerda para direita). 
(III) → (condicional) 
(IV) ↔ (bicondicional) 
Portanto o mais “fraco” é “~” e o mais “forte” é “↔”. 
 
Logo: Os símbolos → e ↔ têm preferência sobre ^ e v. 
 
Exemplos 
 
01. p → q ↔ s ^ r, é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la 
numa condicional há que se usar parêntesis: 
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. 17 
p →( q ↔ s ^ r ) 
E para convertê-la em uma conjunção: 
(p → q ↔ s) ^ r 
 
2ª) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os 
parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda. 
 
Segundo estas duas convenções, as duas seguintes proposições se escrevem: 
 
 
- Outros símbolos para os conectivos (operadores lógicos): 
“¬” (cantoneira) para negação (~). 
“●” e “&” para conjunção (^). 
 .(→) ferradura) para a condicional) ”כ“
 
Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões 
 
 
(Fonte: http://www laifi.com.) 
 
01. Vamos construir a tabela verdade da proposição: 
P(p,q) = ~ (p ^ ~q) 
 
1ª Resolução) Vamos formar o par de colunas correspondentes as duas proposições simples p e q. 
Em seguida a coluna para ~q , depois a coluna para p ^ ~q e a útima contento toda a proposição ~ (p ^ 
~q), atribuindo todos os valores lógicos possíveis de acordo com os operadores lógicos. 
 
 
2ª Resolução) Vamos montar primeiro as colunas correspondentes a proposições simples p e q , 
depois traçar colunas para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que compõem 
a proposição composta. 
 
Depois completamos, em uma determinada ordem as colunas escrevendo em cada uma delas os 
valores lógicos. 
 
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. 18 
 
 
Observe que vamos preenchendo a tabela com os valores lógicos (V e F), depois resolvemos os 
operadores lógicos (modificadores e conectivos) e obtemos em 4 os valores lógicos da proposição que 
correspondem a todas possíveis atribuições de p e q de modo que: 
 
P(V V) = V, P(V F) = F, P(F V) = V, P(F F) = V 
 
A proposição P(p,q) associa a cada um dos elementos do conjunto U – {VV, VF, FV, FF} com um 
ÚNICO elemento do conjunto {V,F}, isto é, P(p,q) outra coisa não é que uma função de U em {V,F} 
 
P(p,q): U → {V,F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte: 
 
 
 
3ª Resolução) Resulta em suprimir a tabela verdade anterior as duas primeiras da esquerda relativas 
às proposições simples componentes p e q. Obtermos então a seguinte tabela verdade simplificada: 
 
 
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 
 
Propriedades da Conjunção: Sendo as proposições p, q e r simples, quaisquer que sejam t e w, 
proposições também simples, cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F(falsidade), temos as 
seguintes propriedades: 
 
1) Idempotente: p ^ p ⇔ p (o símbolo “⇔” representa equivalência). 
A tabela verdade de p ^ p e p, são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ p ↔ p é tautológica. 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 19 
2) Comutativa: p ^ q ⇔ q ^ p 
A tabela verdade de p ^ q e q ^ p são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ q ↔ q ^ p é tautológica. 
 
 
3)Associativa: (p ^ q) ^ r ⇔ p ^ (q ^ r) 
A tabela verdade de (p ^ q) ^ r e p ^ (q ^ r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ 
r) é tautológica. 
 
 
4) Identidade: p ^ t ⇔ p e p ^ w ⇔ w 
A tabela verdade de p ^ t e p, e p ^ w e w são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ t ↔ p e p ^ w ↔ w 
são tautológicas. 
 
 
Estas propriedades exprimem que t e w são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente 
da conjunção. 
 
Propriedades da Disjunção: Sendo as proposições p, q e r simples, quaisquer que sejam t e w, 
proposições também simples, cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F(falsidade), temos as 
seguintes propriedades: 
 
1) Idempotente: p v p ⇔ p 
A tabela verdade de p v p e p, são idênticas, ou seja, a bicondicional p v p ↔ p é tautológica. 
 
 
2) Comutativa: p v q ⇔ q v p 
A tabela verdade de p v q e q v p são idênticas, ou seja, a bicondicional p v q ↔ q v p é tautológica. 
 
 
3) Associativa: (p v q) v r ⇔ p v (q v r) 
A tabela verdade de (p v q) v r e p v (q v r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p v q) v r ↔ p v (q v 
r) é tautológica. 
 
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. 20 
 
4) Identidade: p v t ⇔ t e p v w ⇔ p 
A tabela verdade de p v t e p, e p v w e w são idênticas, ou seja, a bicondicional p v t ↔ t e p v w ↔ p 
são tautológicas. 
 
Estas propriedades exprimem que t e w são respectivamente elemento absorvente e elemento neutro 
da disjunção. 
 
Propriedades da Conjunção e Disjunção: Sejam p, q e r proposições simples quaisquer. 
1) Distributiva: 
- p ^ (q v r) ⇔ (p ^ q) v (p ^ r) 
- p v (q ^ r) ⇔ (p v q) ^ (p v r) 
 
A tabela verdade das proposições p ^ (q v r) e (p v q) ^ (p v r) são idênticas, e observamos que a 
bicondicional p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r) é tautológica. 
 
 
Analogamente temos ainda que a tabela verdade das proposições p v (q ^ r) e (p v q) ^ (p v r) são 
idênticas e sua bicondicional p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r) é tautológica. 
 
A equivalência p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r), exprime que a conjunção é distributiva em relação à 
disjunção e a equivalência p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r), exprime que a disjunção é distributiva em relação 
à conjunção. 
Exemplo: 
“Carlos estuda E Jorge trabalha OU viaja” é equivalente à seguinte proposição: 
“Carlos estuda E Jorge trabalha” OU “Carlos estuda E Jorge viaja”. 
 
2) Absorção: 
- p ^ (p v q) ⇔ p 
- p v (p ^ q) ⇔ p 
 
A tabela verdade das proposições p ^ (p v q) e p, ou seja, a bicondicional p ^ (p v q) ↔ p é tautológica. 
 
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. 21 
 
Analogamente temos ainda que a tabela verdade das proposições p v (p ^ q) e p são idênticas, ou seja 
a bicondicional p v (p ^ q) ↔ p é tautológica. 
 
 
 
Referências 
CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 
ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. 
 
Questões 
 
01. (DOCAS/PB – Assistente Administrativo – IBFC) Se o valor lógico de uma proposição “P” é 
verdade e o valor lógico de uma proposição “Q” é falso, então o valor lógico do bicondicional entre as 
duas proposições é: 
(A) Falso 
(B) Verdade 
(C) Inconclusivo 
(D) Falso ou verdade 
 
02. (DOCAS/PB – Assistente Administrativo – IBFC) Dentre as alternativas, a única correta é: 
(A) O valor lógico da conjunção entre duas proposições é verdade se os valores lógicos das duas 
proposições forem falsos. 
(B) O valor lógico do bicondicional entre duas proposições é verdade se os valores lógicos das duas 
proposições forem falsos. 
(C) O valor lógico da disjunção entre duas proposições é verdade se os valores lógicos das duas 
proposições forem falsos. 
(D) O valor lógico do condicional entre duas proposições é falso se os valores lógicos das duas 
proposições forem falsos. 
 
03. (EBSERH – Técnico em Citopatologia – INSTITUTO AOCP) Considerando a proposição 
composta ( p ∨ r ) , é correto afirmar que 
(A) a proposição composta é falsa se apenas p for falsa. 
(B) a proposição composta é falsa se apenas r for falsa. 
(C) para que a proposição composta seja verdadeira é necessário que ambas, p e r sejam verdadeiras. 
(D) para que a proposição composta seja verdadeira é necessário que ambas, p e r sejam falsas. 
(E) para que a proposição composta seja falsa é necessário que ambas, p e r sejam falsas. 
 
04. (MEC – Conhecimentos básicos para os Postos 9,10,11 e 16 – CESPE) 
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. 22 
 
 
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam 
proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso. 
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo. 
 
A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P v (Q↔R) quando representada na 
posição horizontal é igual a 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
05. (BRDE-Analista de Sistemas, Desenvolvimento de Sistemas – FUNDATEC) Qual operação 
lógica descreve a tabela verdade da função Z abaixo cujo operandos são A e B? Considere que V significa 
Verdadeiro, e F, Falso. 
 
 
 
(A) Ou. 
(B) E. 
(C) Ou exclusivo. 
(D) Implicação (se...então). 
(E) Bicondicional (se e somente se). 
 
06. (TCE/SP – Auxiliar da Fiscalização Financeira II – FCC) Considere a afirmação condicional: Se 
Alberto é médico ou Alberto é dentista, então Rosa é engenheira. 
Seja R a afirmação: 'Alberto é médico'; 
Seja S a afirmação: 'Alberto é dentista' e 
Seja T a afirmação: 'Rosa é engenheira'. 
 
A afirmação condicional será considerada necessariamente falsa quando 
(A) R for verdadeira, S for falsa e T for verdadeira. 
(B) R for falsa, S for verdadeira e T for verdadeira. 
(C) R for falsa, S for falsa e T for falsa. 
(D) R for falsa, S for falsa e T for verdadeira. 
(E) R for verdadeira, S for falsa e T for falsa. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Pela tabela verdade da bicondicional 
 
 
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. 23 
02. Resposta: B. 
Pela tabela verdade: 
 
Tabela-verdade conjunção 
 
 
Tabela-verdade disjunção 
 
 
Tabela da condicional 
 
Tabela da bicondicional 
 
03. Resposta: E. 
Como já foi visto, a disjunção só é falsa quando as duas proposições são falsas. 
 
04. Resposta: Certo. 
P v (Q↔R), montando a tabela verdade temos: 
 
 
05. Resposta: D. 
Observe novamente a tabela abaixo, considere A = p, B = q e Z = condicional. 
 
 
06. Resposta: E. 
RvS→T 
Para a condicional ser falsa, devemos ter: 
V→F 
 
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. 24 
Portanto a afirmação (T: Rosa é engenheira) tem que ser falsa. 
E para RvS ser verdadeira, as duas só não podem ser falsas. 
Lembrando pela tabela verdade de cada uma: 
 
Condicional 
 
 
 
Disjunção 
 
 
 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 
 
A argumentação é a forma como utilizamos o raciocínio para convencer alguém de alguma coisa. A 
argumentação faz uso de vários tipos de raciocínio que são baseados em normas sólidas e argumentos 
aceitáveis. 
A lógica de argumentação é também conhecida como dedução formal e é a principal ferramenta 
para o raciocínio válido de um argumento. Ela avalia conclusões que a argumentação pode tomar e 
avalia quais dessas conclusões são válidas e quais são inválidas (falaciosas). O estudo das formas 
válidas de inferências de uma linguagem proposicional também faz parte da Teoria da argumentação. 
 
Conceitos 
 
Premissas (proposições): são afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas. Com base nelas que 
os argumentos são compostos, ou melhor, elas possibilitam que o argumento seja aceito. 
 
Inferência: é o processo a partir de uma ou mais premissas se chegar a novas proposições. Quando 
a inferência é dada como válida, significa que a nova proposição foi aceita, podendo ela ser utilizada em 
outrasinferências. 
 
Conclusão: é a proposição que contém o resultado final da inferência e que esta alicerçada nas 
premissas. Para separa as premissas das conclusões utilizam-se expressões como “logo, ...”, “portanto, 
...”, “por isso, ...”, entre outras. 
 
Sofisma: é um raciocínio falso com aspecto de verdadeiro. 
 
Falácia: é um argumento inválido, sem fundamento ou tecnicamente falho na capacidade de provar 
aquilo que enuncia. 
 
Silogismo: é um raciocínio composto de três proposições, dispostas de tal maneira que a conclusão 
é verdadeira e deriva logicamente das duas primeiras premissas, ou seja, a conclusão é a terceira 
premissa. 
 
Argumento: é um conjunto finito de premissas – proposições –, sendo uma delas a consequência das 
demais. O argumento pode ser dedutivo (aquele que confere validade lógica à conclusão com base nas 
premissas que o antecedem) ou indutivo (aquele quando as premissas de um argumento se baseiam na 
conclusão, mas não implicam nela) 
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. 25 
O argumento é uma fórmula constituída de premissas e conclusões (dois elementos fundamentais da 
argumentação). 
 
Alguns exemplos de argumentos: 
 
1) 
Todo homem é mortal 
Premissas 
João é homem 
Logo, João é mortal Conclusão 
 
 
2) 
Todo brasileiro é mortal 
Premissas 
Todo paulista é brasileiro 
Logo, todo paulista é mortal Conclusão 
 
3) 
Se eu passar no concurso, então irei viajar 
Premissas 
Passei no concurso 
Logo, irei viajar Conclusão 
 
Todas as PREMISSAS tem uma CONCLUSÃO. Os exemplos acima são considerados silogismos. 
 
Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q, indica-se por: 
 
P1, P2, ..., Pn |----- Q 
 
Argumentos Válidos 
 
Um argumento é VÁLIDO (ou bem construído ou legítimo) quando a conclusão é VERDADEIRA (V), 
sempre que as premissas forem todas verdadeiras (V). Dizemos, também, que um argumento é válido 
quando a conclusão é uma consequência obrigatória das verdades de suas premissas.Ou seja: 
 
A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. 
 
Um argumento válido é denominado tautologia quando assumir, somente, valorações verdadeiras, 
independentemente dos valores assumidos por suas estruturas lógicas. 
 
Argumentos Inválidos 
 
Um argumento é dito INVÁLIDO (ou falácia, ou ilegítimo ou mal construído), quando as verdades das 
premissas são insuficientes para sustentar a verdade da conclusão. 
Caso a conclusão seja falsa, decorrente das insuficiências geradas pelas verdades de suas premissas, 
tem-se como conclusão uma contradição (F). 
Um argurmento não válido diz-se um SOFISMA. 
Os argumentos falaciosos podem ter validade emocional, íntima, psicológica, mas não validade lógica. 
É importante conhecer os tipos de falácia para evitar armadilhas lógicas na própria argumentação e para 
analisar a argumentação alheia. 
 
- A verdade e a falsidade são propriedades das proposições. 
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. 26 
- Já a validade e a invalidade são propriedades inerentes aos argumentos. 
- Uma proposição pode ser considerada verdadeira ou falsa, mas nunca válida e inválida. 
- Não é possível ter uma conclusão falsa se as premissas são verdadeiras. 
- A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e 
conclusões. 
 
Critérios de Validade de um argumento 
 
Pelo teorema temos: 
 
Um argumento P1, P2, ..., Pn |---- Q é VÁLIDO se e somente se a condicional: 
(P1 ^ P2 ^ ...^ Pn) → Q é tautológica. 
 
Métodos para testar a validade dos argumentos 
 
Estes métodos nos permitem, por dedução (ou inferência), atribuirmos valores lógicos as premissas 
de um argumento para determinarmos uma conclusão verdadeira. 
Também podemos utilizar diagramas lógicos caso sejam estruturas categóricas (frases formadas pelas 
palavras ou quantificadores: todo, algum e nenhum). 
 
Os métodos constistem em: 
 
1) Atribuição de valores lógicos: o método consiste na dedução dos valores lógicos das premissas 
de um argumento, a partir de um “ponto de referência inicial” que, geralmente, será representado pelo 
valor lógico de uma premissa formada por uma proposição simples. Lembramos que, para que um 
argumento seja válido, partiremos do pressuposto que todas as premissas que compõem esse 
argumento são, na totalidade, verdadeiras. 
Para dedução dos valores lógicos, utilizaremos como auxílio a tabela-verdade dos conectivos. 
 
 
 
Exemplo 
 
Sejam as seguintes premissas: 
P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. 
P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. 
P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. 
P4: Ora, a rainha fica na masmorra. 
 
Se todos os argumentos (P1,P2,P3 e P4) forem válidos, então todas premissas que compõem o 
argumento são necessariamente verdadeiras (V). E portanto pela premissa simples P4: “a rainha fica 
na masmorra”; por ser uma proposição simples e verdadeira, servirá de “referencial inicial” para a 
dedução dos valores lógicos das demais proposições que, também, compõem esse argumento. Teremos 
com isso então: 
 
Já sabemos que a premissa simples “a rainha fica na masmorra” é verdadeira, portanto, tal valor lógico 
confirmará como verdade a 1a parte da condicional da premissa P3 (1º passo). 
 
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. 27 
 
Lembramos que, se a 1ª parte de uma condicional for verdadeira, implicará que a 2ª parte também 
deverá ser verdadeira (2º passo), já que a verdade implica outra verdade (vide a tabela-verdade da 
condicional). Assim teremos como valor lógico da premissa uma verdade (V). 
 
 
Confirmando-se a proposição simples “o bárbaro usa a espada” como verdadeira (3º passo), logo, a 
1ª parte da disjunção simples da premissa P1, “o bárbaro não usa a espada”, será falsa (4º passo). 
 
 
Como a premissa P1 é formada por uma disjunção simples, lembramos que ela será verdadeira, se 
pelo menos uma de suas partes for verdadeira. Sabendo-se que sua 1ª parte é falsa, logo, a 2ª parte 
deverá ser, necessariamente, verdadeira (5º passo). 
 
 
Ao confirmarmos como verdadeira a proposição simples “o príncipe não foge a cavalo”, então, 
devemos confirmar como falsa a 2a parte da condicional “o príncipe foge a cavalo” da premissa P2 (6o 
passo). 
 
 
E, por último, ao confirmar a 2a parte de uma condicional como falsa, devemos confirmar, também, sua 
1a parte como falsa (7o passo). 
 
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. 28 
 
Através da analise das premissas e atribuindo os seus valores lógicos chegamos as seguintes 
conclusões: 
- A rainha fica na masmorra; 
- O bárbaro usa a espada; 
- O rei não fica nervoso; 
- o príncipe não foge a cavalo. 
 
Observe que onde as proposições são falsas (F) utilizamos o não para ter o seu correspondente como 
válido, expressando uma conclusão verdadeira. 
 
Caso o argumento não possua uma proposição simples “ponto de referência inicial”, devem-se iniciar 
as deduções pela conjunção, e, caso não exista tal conjunção, pela disjunção exclusiva ou pela 
bicondicional, caso existam. 
 
2) Método da Tabela – Verdade: para resolvermos temos que levar em considerações dois casos. 
 
1º caso: quando o argumento é representado por uma fómula argumentativa. 
 
Exemplo 
 
A → B ~A = ~B 
 
Para resolver vamos montar uma tabela dispondo todas as proposições, as premissas e as conclusões 
afim de chegarmos a validade do argumento. 
 
(Fonte: http://www.marilia.unesp.br) 
 
O caso onde as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa esta sinalizada na tabela acima 
pelo asterisco.Observe também, na linha 4, que as premissas são verdadeiras e a conclusão é verdadeira. 
Chegamos através dessa análise que o argumento não é valido. 
 
2o caso: quando o argumento é representado por uma sequência lógica de premissas, sendo a última 
sua conclusão, e é questionada a sua validade. 
 
Exemplo: 
“Se leio, entãoentendo. Se entendo, então não compreendo. Logo, compreendo.” 
 
P1: Se leio, então entendo. 
P2: Se entendo, então não compreendo. 
C: Compreendo. 
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. 29 
Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa 
desse argumento: 
P1 ∧ P2 → C 
 
Representando inicialmente as proposições primitivas “leio”, “entendo” e “compreendo”, 
respectivamente, por “p”, “q” e “r”, teremos a seguinte fórmula argumentativa: 
P1: p → q 
P2: q → ~r 
C: r 
 
[(p → q) ∧ (q → ~r)] → r ou 
 
𝑝 → 𝑞
𝑞 → ~𝑟
𝑟
 
 
Montando a tabela verdade temos (vamos montar o passo a passo): 
 
 
 
 
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. 30 
 
Sendo a solução (observado na 5a resolução) uma contingência (possui valores verdadeiros e falsos), 
logo, esse argumento não é válido. Podemos chamar esse argumento de sofisma embora tenha 
premissas e conclusões verdadeiras. 
 
Implicações tautológicas: a utilização da tabela verdade em alguns casos torna-se muito trabalhoso, 
principlamente quando o número de proposições simples que compõe o argumento é muito grande, então 
vamos aqui ver outros métodos que vão ajudar a provar a validade dos argumentos. 
 
3.1 - Método da adição (AD) 
p
p ∨ q
 ou p → (p ∨ q) 
 
3.2 - Método da adição (SIMP) 
 
1º caso: 
p ∧ q
p
 ou (p ∧ q) → p 
 
2º caso: 
p ∧ q
p
 ou (p ∧ q) → q 
 
3.3 - Método da conjunção (CONJ) 
 
1º caso: 
 
p
q
p ∧ q
 ou (p ∧ q) → (p ∧ q) 
 
2º caso: 
 
p
q
q ∧ p
 ou (p ∧ q) → (q ∧ p) 
 
3.4 - Método da absorção (ABS) 
 
p → q
p → (p ∧ q)
 ou (p → q) → [p → p ∧ q)] 
 
3.5 – Modus Ponens (MP) 
 
p→q
p
q
 ou [(p → q) ∧ p] → q 
 
3.6 – Modus Tollens (MT) 
 
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. 31 
p→q
~q
~p
 ou [(p → q) ∧ ~q] → p 
 
3.7 – Dilema construtivo (DC) 
 
p → q
r → s
p ∨ r
q ∨ s
 ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r) ] → (q ∨ s) 
 
3.8 – Dilema destrutivo (DD) 
 
p → q
r → s
~q ∨ ~s
~p ∨ ~r
 ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s) ] → (~p ∨ ~r) 
 
3.9 – Silogismo disjuntivo (SD) 
 
1º caso: 
 
p ∨ q
~p
q
 ou [(p ∨ q) ∧ ~p] → q 
 
2º caso: 
 
p ∨ q
~q
p
 ou [(p ∨ q) ∧ ~q] → p 
 
3.10 – Silogismo hipotético (SH) 
 
p → q
q → r
p → r
 ou [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) 
 
3.11 – Exportação e importação. 
 
1º caso: Exportação 
 
(p ∧ q) → r
p → (q → r)
 ou [(p ∧ q) → r] → [p → (q → r)] 
 
2º caso: Importação 
 
p → (q → r)
(p ∧ q) → r
 ou [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r] 
 
Produto lógico de condicionais: este produto consiste na dedução de uma condicional conclusiva 
– que será a conclusão do argumento –, decorrente ou resultante de várias outras premissas formadas 
por, apenas, condicionais. 
 
Ao efetuar o produto lógico, eliminam-se as proposições simples iguais que se localizam em partes 
opostas das condicionais que formam a premissa do argumento, resultando em uma condicional 
denominada condicional conclusiva. Vejamos o exemplo: 
 
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. 32 
 
 
Nós podemos aplicar a soma lógica em alguns casos, como por exemplo: 
 
1º caso - quando a condicional conclusiva é formada pelas proposições simples que aparecem apenas 
uma vez no conjunto das premissas do argumento. 
 
Exemplo 
 
Dado o argumento: Se chove, então faz frio. Se neva, então chove. Se faz frio, então há nuvens no 
céu. Se há nuvens no céu, então o dia está claro. 
Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: 
P1: Se chove, então faz frio. 
P2: Se neva, então chove. 
P3: Se faz frio, então há nuvens no céu. 
P4: Se há nuvens no céu, então o dia está claro. 
 
Vamos denotar as proposições simples: 
p: chover 
q: fazer frio 
r: nevar 
s: existir nuvens no céu 
t: o dia esta claro 
Montando o produto lógico teremos: 
 
𝑥 {
𝑝 → 𝑞
𝑟 → 𝑝
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑝 → 𝑞
𝑟 → 𝑝
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑞
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑞
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑟 → 𝑡 
 
Conclusão: “Se neva, então o dia esta claro”. 
 
Observe que: As proposições simples “nevar” e “o dia está claro” só apareceram uma vez no conjunto 
de premissas do argumento anterior. 
 
2º caso - quando a condicional conclusiva é formada por, apenas, uma proposição simples que 
aparece em ambas as partes da condicional conclusiva, sendo uma a negação da outra. As demais 
proposições simples são eliminadas pelo processo natural do produto lógico. 
Neste caso, na condicional conclusiva, a 1ª parte deverá necessariamente ser FALSA, e a 2ª parte, 
necessariamente VERDADEIRA. 
 
Tome Nota: 
Nos dois casos anteriores, pode-se utilizar o recurso de equivalência da contrapositiva 
(contraposição) de uma condicional, para que ocorram os devidos reajustes entre as proposições 
simples de uma determinada condicional que resulte no produto lógico desejado. 
(p → q) ⇔ ~q → ~p 
 
Exemplo 
 
Seja o argumento: Se Ana trabalha, então Beto não estuda. Se Carlos não viaja, então Beto não 
estuda. Se Carlos viaja, Ana trabalha. 
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. 33 
Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: 
P1: Se Ana trabalha, então Beto não estuda. 
P2: Se Carlos não viaja, então Beto não estuda. 
P3: Se Carlos viaja, Ana trabalha. 
Denotando as proposições simples teremos: 
p: Ana trabalha 
q: Beto estuda 
r: Carlos viaja 
Montando o produto lógico teremos: 
 
{
𝑝 → ~𝑞
~𝑟 → ~𝑞
𝑟 → 𝑝
(𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) ⇒ 𝑥 {
𝑝 → ~𝑞
𝑞 → 𝑟
𝑟 → 𝑝
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → ~𝑞
𝑞 → 𝑟 ⇒ 𝑞⏟
𝐹
→ ~𝑞⏟
𝑉
 
 
Conclusão: “Beto não estuda”. 
 
Referências 
ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. 
CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Tanguá/RJ- Fiscal de Tributos – MS CONCURSOS/2017) Qual das seguintes sentenças 
é classificada como uma proposição simples? 
(A) Será que vou ser aprovado no concurso? 
(B) Ele é goleiro do Bangu. 
(C) João fez 18 anos e não tirou carta de motorista. 
(D) Bashar al-Assad é presidente dos Estados Unidos. 
 
02. (IF/PA- Auxiliar de Assuntos Educacionais – IF/PA/2016) Qual sentença a seguir é considerada 
uma proposição? 
(A) O copo de plástico. 
(B) Feliz Natal! 
(C) Pegue suas coisas. 
(D) Onde está o livro? 
(E) Francisco não tomou o remédio. 
 
03. (Cespe/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir: 
• “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” 
• A expressão x + y é positiva. 
• O valor de √4 + 3 = 7. 
• Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. 
• O que é isto? 
Há exatamente: 
(A) uma proposição; 
(B) duas proposições; 
(C) três proposições; 
(D) quatro proposições; 
(E) todas são proposições. 
 
04. (DPU – Agente Administrativo – CESPE/2016) Considere que as seguintes proposições sejam 
verdadeiras. 
• Quando chove, Maria não vai ao cinema. 
• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema. 
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio. 
• Quando Fernando está estudando, não chove. 
• Durante a noite, faz frio. 
Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue o item subsecutivo. 
Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. 
( ) Certo ( ) Errado 
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. 34 
05. (STJ – Conhecimentos Gerais para o cargo 17 – CESPE) Mariana é uma estudante que tem 
grande apreço pela matemática, apesar de achar essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo 
suficiente para estudar, Mariana é aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na faculdade. Neste 
semestre, Mariana está cursando a disciplina chamada Introdução à Matemática Aplicada. No entanto, 
ela não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nessa disciplina. 
A partir das informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue o item a seguir, acerca dasestruturas lógicas. 
Considerando-se as seguintes proposições: 
p: “Se Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1, então ela aprende o conteúdo de Química Geral"; 
q: “Se Mariana aprende o conteúdo de Química Geral, então ela é aprovada em Química Geral"; 
c: “Mariana foi aprovada em Química Geral", é correto afirmar que o argumento formado pelas 
premissas p e q e pela conclusão c é um argumento válido. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
06. (Petrobras – Técnico (a) de Exploração de Petróleo Júnior – Informática – CESGRANRIO) Se 
Esmeralda é uma fada, então Bongrado é um elfo. Se Bongrado é um elfo, então Monarca é um centauro. 
Se Monarca é um centauro, então Tristeza é uma bruxa. 
Ora, sabe-se que Tristeza não é uma bruxa, logo 
(A) Esmeralda é uma fada, e Bongrado não é um elfo. 
(B) Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro. 
(C) Bongrado é um elfo, e Monarca é um centauro. 
(D) Bongrado é um elfo, e Esmeralda é uma fada 
(E) Monarca é um centauro, e Bongrado não é um elfo. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Analisando as alternativas temos: 
(A) Frases interrogativas não são consideradas proposições. 
(B) O sujeito aqui é indeterminado, logo não podemos definir quem é ele. 
(C) Trata-se de uma proposição composta 
(D) É uma frase declarativa onde podemos identificar o sujeito da frase e atribuir a mesma um valor 
lógico. 
 
02. Resposta: E. 
Analisando as alternativas temos: 
(A) Não é uma oração composta de sujeito e predicado. 
(B) É uma frase imperativa/exclamativa, logo não é proposição. 
(C) É uma frase que expressa ordem, logo não é proposição. 
(D) É uma frase interrogativa. 
(E) Composta de sujeito e predicado, é uma frase declarativa e podemos atribuir a ela valores lógicos. 
 
03. Resposta: B. 
Analisemos cada alternativa: 
(A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”, não podemos atribuir valores lógicos a ela, logo não 
é uma sentença lógica. 
(B) A expressão x + y é positiva, não temos como atribuir valores lógicos, logo não é sentença lógica. 
(C) O valor de √4 + 3 = 7; é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos, independente 
do resultado que tenhamos 
(D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, também podemos atribuir valores lógicos (não 
estamos considerando a quantidade certa de gols, apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a 
sentença). 
(E) O que é isto? - como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase 
interrogativa. 
 
04. Resposta: Errado. 
A questão trata-se de lógica de argumentação, dadas as premissas chegamos a uma conclusão. 
Enumerando as premissas: 
A = Chove 
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. 35 
B = Maria vai ao cinema 
C = Cláudio fica em casa 
D = Faz frio 
E = Fernando está estudando 
F = É noite 
A argumentação parte que a conclusão deve ser (V) 
 
Lembramos a tabela verdade da condicional: 
 
 
A condicional só será F quando a 1ª for verdadeira e a 2ª falsa, utilizando isso temos: 
O que se quer saber é: Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. // B → ~E 
Iniciando temos: 
4º - Quando chove (F), Maria não vai ao cinema. (F) // A → ~B = V – para que o argumento seja válido 
temos que Quando chove tem que ser F. 
3º - Quando Cláudio fica em casa (V), Maria vai ao cinema (V). // C → B = V - para que o argumento 
seja válido temos que Maria vai ao cinema tem que ser V. 
2º - Quando Cláudio sai de casa(F), não faz frio (F). // ~C → ~D = V - para que o argumento seja válido 
temos que Quando Cláudio sai de casa tem que ser F. 
5º - Quando Fernando está estudando (V ou F), não chove (V). // E → ~A = V. – neste caso Quando 
Fernando está estudando pode ser V ou F. 
1º- Durante a noite(V), faz frio (V). // F → D = V 
Logo nada podemos afirmar sobre a afirmação: Se Maria foi ao cinema (V), então Fernando estava 
estudando (V ou F); pois temos dois valores lógicos para chegarmos à conclusão (V ou F). 
 
05. Resposta: Errado. 
Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa 
desse argumento: 
P1 ∧ P2 → C 
Organizando e resolvendo, temos: 
A: Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1 
B: Mariana aprende o conteúdo de Química Geral 
C: Mariana é aprovada em Química Geral 
Argumento: [(A → B) ∧ (B → C)] ⇒ C 
Vamos ver se há a possibilidade de a conclusão ser falsa e as premissas serem verdadeiras, para 
sabermos se o argumento é válido: 
Testando C para falso: 
(A → B) ∧ (B →C) 
(A →B) ∧ (B → F) 
Para obtermos um resultado V da 2º premissa, logo B têm que ser F: 
(A → B) ∧ (B → F) 
(A → F) ∧ (F → F) 
(F → F) ∧ (V) 
Para que a primeira premissa seja verdadeira, é preciso que o “A” seja falso: 
(A → F) ∧ (V) 
(F → F) ∧ (V) 
(V) ∧ (V) 
 (V) 
Então, é possível que o conjunto de premissas seja verdadeiro e a conclusão seja falsa ao mesmo 
tempo, o que nos leva a concluir que esse argumento não é válido. 
 
06. Resposta: B. 
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. 36 
Vamos analisar cada frase partindo da afirmativa Tristeza não é bruxa, considerando ela como (V), 
precisamos ter como conclusão o valor lógico (V), então: 
(4) Se Esmeralda é uma fada(F), então Bongrado é um elfo (F) → V 
(3) Se Bongrado é um elfo (F), então Monarca é um centauro (F) → V 
(2) Se Monarca é um centauro(F), então Tristeza é uma bruxa(F) → V 
(1) Tristeza não é uma bruxa (V) 
 
Logo: 
Temos que: 
Esmeralda não é fada(V) 
Bongrado não é elfo (V) 
Monarca não é um centauro (V) 
Como a conclusão parte da conjunção, o mesmo só será verdadeiro quando todas as afirmativas forem 
verdadeiras, logo, a única que contém esse valor lógico é: 
Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro. 
 
LÓGICA SEQUENCIAL 
 
Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este 
considerado instrumento puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Logo, 
resumidamente o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos 
processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas. 
 
Sequências Lógicas 
 
As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas 
de se estabelecer uma sequência, o importante é que existem pelo menos três elementos que caracterize 
a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua 
lógica. 
 
Sequência de Números 
 
Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número. 
 
 
 
Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número. 
 
 
 
Incremento em Progressão: O valor somado é que está em progressão. 
 
 
 
Série de Fibonacci: Cada termo é igual à soma dos dois anteriores. 
 
1 1 2 3 5 8 13 
 
Números Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais. 
 
2 3 5 7 11 13 17 
 
Quadrados Perfeitos: Números naturais cujas raízes são naturais. 
 
1 4 9 16 25 36 49 
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. 37 
Sequência de Letras 
 
As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, devemos 
escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para 
entender a lógica proposta. 
 
A C F J O U 
 
Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão. 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U 
 
B1 2F H4 8L N16 32R T64 
 
Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 
1, 3, 1, 3 e 1 posições. 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 
 
Sequência de Pessoas 
 
Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão 
em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º,...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, 
ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º,...). Sendo assim, a sequência se repete 
a cada seis termos,tornando possível determinar quem estará em qualquer posição. 
 
 
 
Sequência de Figuras 
 
Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente 
sofrer rotações, como nos exemplos a seguir. 
 
 
 
 
 
Sequência de Fibonacci 
 
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, 
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim 
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo 
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento 
de modelos explicativos de fenômenos naturais. 
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida 
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um 
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo 
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a 
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam 
a sequência de Fibonacci. 
 
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. 38 
 
 
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, 
encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da 
sequência de Fibonacci. 
 
 
 
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do 
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma 
sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada 
retângulo áureo ou retângulo de ouro. 
 
 
 
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 
𝑦
𝑎
=
𝑎
𝑏
 (1). 
 
Como: b = y – a (2). 
Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. 
Resolvendo a equação: 
 
𝑦 =
𝑎(1±√5
2
 em que (
1−√5
2
< 0) não convém. 
 
Logo: 
𝑦
𝑎
=
(1+√5
2
= 1,61803398875 
 
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por: 
 
𝜃 =
1 + √5
2
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 39 
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo 
como o caso da fachada do Partenon. 
 
As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Veja os exemplos: 
 
Exemplo 1 
 
 
 
A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4. 
6 x 4 = 24 
24 x 4 = 96 
96 x 4 = 384 
384 x 4 = 1536 
 
Exemplo 2 
 
 
 
A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade. 
13 – 10 = 3 
17 – 13 = 4 
22 – 17 = 5 
28 – 22 = 6 
35 – 28 = 7 
 
Exemplo 3 
 
 
 
Multiplicar os números sempre por 3. 
1 x 3 = 3 
3 x 3 = 9 
9 x 3 = 27 
27 x 3 = 81 
81 x 3 = 243 
243 x 3 = 729 
729 x 3 = 2187 
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. 40 
Exemplo 4 
 
 
 
A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades. 
24 – 22 = 2 
28 – 24 = 4 
34 – 28 = 6 
42 – 34 = 8 
52 – 42 = 10 
64 – 52 = 12 
78 – 64 = 14 
 
Questões 
 
01. Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte: 
 
 
 
A carta que está oculta é: 
 
 
02. Considere que a sequência de figuras foi construída segundo um certo critério. 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 41 
Se tal critério for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 
15 deverá ser: 
(A) 69 
(B) 67 
(C) 65 
(D) 63 
(E) 61 
 
03. O próximo número dessa sequência lógica é: 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ... 
(A) 800 
(B) 790 
(C) 780 
(D) 770 
 
04. Na sequência lógica de números representados nos hexágonos, da figura abaixo, observa-se a 
ausência de um deles que pode ser: 
 
(A) 76 
(B) 10 
(C) 20 
(D) 78 
 
05. Uma criança brincando com uma caixa de palitos de fósforo constrói uma sequência de quadrados 
conforme indicado abaixo: 
 
Quantos palitos ele utilizou para construir a 7ª figura? 
(A) 20 palitos 
(B) 25 palitos 
(C) 28 palitos 
(D) 22 palitos 
 
06. Ana fez diversas planificações de um cubo e escreveu em cada um, números de 1 a 6. Ao montar 
o cubo, ela deseja que a soma dos números marcados nas faces opostas seja 7. A única alternativa cuja 
figura representa a planificação desse cubo tal como deseja Ana é: 
 
07. As figuras da sequência dada são formadas por partes iguais de um círculo. 
 
 
Continuando essa sequência, obtém-se exatamente 16 círculos completos na: 
(A) 36ª figura 
(B) 48ª figura 
(C) 72ª figura 
(D) 80ª figura 
(E) 96ª figura 
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. 42 
08. Analise a sequência a seguir: 
 
 
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar 
que a figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é: 
 
09. Observe a sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Qual é o próximo número? 
(A) 20 
(B) 21 
(C) 100 
(D) 200 
 
10. Observe a sequência: 3,13, 30, ... Qual é o próximo número? 
(A) 4 
(B) 20 
(C) 31 
(D) 21 
 
11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério. 
 
LACRAÇÃO  cal 
AMOSTRA  soma 
LAVRAR  ? 
 
Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é: 
(A) alar 
(B) rala 
(C) ralar 
(D) larva 
(E) arval 
 
12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão. 
 
 
 
Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é: 
 
13. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de 
formação. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 43 
 
 
Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a: 
(A) 40 
(B) 42 
(C) 44 
(D) 46 
(E) 48 
 
14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado 
critério. 
 
 
Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a letra que substitui 
corretamente o ponto de interrogação é: 
(A) P 
(B) O 
(C) N 
(D) M 
(E) L 
 
15. Considere que a sequência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e 
positivos, sem que os algarismos sejam separados. 
 
1234567891011121314151617181920... 
 
O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa sequência é: 
(A) 9 
(B) 8 
(C) 6 
(D) 3 
(E) 1 
 
16. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão. 
 
 
 
Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é: 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 44 
 
17. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros 
triângulos obedecem a um mesmo critério. 
 
 
 
Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto 
de interrogação é: 
(A) 32 
(B) 36 
(C) 38 
(D) 42 
(E) 46 
 
18. Considere a seguinte sequência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O número que 
preenche adequadamente a quarta posição dessa sequência é: 
(A) 36, 
(B) 40, 
(C) 42, 
(D) 44, 
(E) 48 
 
19. Observando a sequência (1, 
1
2
 , 
1
6
 , 
1
12
 , 
1
20
 , ...) o próximo número será: 
(A) 
1
24
 
 
(B) 
1
30
 
 
(C) 
1
36
 
 
(D) 
1
40
 
 
20. Considere a sequência abaixo: 
 
BBB BXB XXB 
XBX XBX XBX 
BBB BXBBXX 
 
O padrão que completa a sequência é: 
 
(A) (B) (C) 
XXX XXB XXX 
XXX XBX XXX 
XXX BXX XXB 
 
(D) (E) 
XXX XXX 
XBX XBX 
XXX BXX 
 
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. 45 
21. Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos 
precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série 
é: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
22. Nosso código secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. Do seguinte 
modo: cada letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Então, o “A” vira “E”, o 
“B” vira “F”, o “C” vira “G” e assim por diante. O código é “circular”, de modo que o “U” vira “A” e assim 
por diante. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o código e li: 
(A) FAZ AS DUAS; 
(B) DIA DO LOBO; 
(C) RIO ME QUER; 
(D) VIM DA LOJA; 
(E) VOU DE AZUL. 
 
23. A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para...” é melhor completada por: 
(A) 326187; 
(B) 876132; 
(C) 286731; 
(D) 827361; 
(E) 218763. 
 
24. A sentença “Salta está para Atlas assim como 25435 está para...” é melhor completada pelo 
seguinte número: 
(A) 53452; 
(B) 23455; 
(C) 34552; 
(D) 43525; 
(E) 53542. 
 
25. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números 
de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um 
número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns 
números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse 
número tem em comum com o número procurado. 
 
Número 
dado 
Quantidade de 
números de 2 
algarismos em comum 
48.765 1 
86.547 0 
87.465 2 
48.675 1 
 
O número procurado é: 
(A) 87456 
(B) 68745 
(C) 56874 
(D) 58746 
(E) 46875 
 
26. Considere que os símbolos  e  que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações 
que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra 
na coluna da extrema direita. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 46 
36  4  5 = 14 
48  6  9 = 17 
54  9  7 = ? 
 
Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído 
pelo número: 
(A) 16 
(B) 15 
(C) 14 
(D) 13 
(E) 12 
 
27. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto 
de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – .... Considerando que no alfabeto 
usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá 
anteceder o número 12 é: 
(A) J 
(B) L 
(C) M 
(D) N 
(E) O 
 
28. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da 
tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal 
sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal. 
 
 
 
 
 
 
Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente 
aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos números que 
correspondem às letras que compõem o nome do animal é: 
(A) 37 
(B) 39 
(C) 45 
(D) 49 
(E) 51 
 
Nas questões 29 e 30, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A 
mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, 
ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética 
adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y. 
 
29. CASA: LATA: LOBO: ? 
(A) SOCO 
(B) TOCO 
(C) TOMO 
(D) VOLO 
(E) VOTO 
 
30. ABCA: DEFD: HIJH: ? 
(A) IJLI 
(B) JLMJ 
(C) LMNL 
(D) FGHF 
(E) EFGE 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 47 
31. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação (0, 1, 3, 4, 12, 
13, ...). Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número: 
(A) Menor que 200. 
(B) Compreendido entre 200 e 400. 
(C) Compreendido entre 500 e 700. 
(D) Compreendido entre 700 e 1.000. 
(E) Maior que 1.000. 
 
Para responder às questões de números 32 e 33, você deve observar que, em cada um dos dois 
primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo 
determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser 
colocada no lugar do ponto de interrogação. 
 
32. Ardoroso  rodo 
 Dinamizar  mina 
 Maratona  ? 
(A) mana 
(B) toma 
(C) tona 
(D) tora 
(E) rato 
 
33. Arborizado  azar 
Asteróide  dias 
Articular  ? 
(A) luar 
(B) arar 
(C) lira 
(D) luta 
(E) rara 
 
34. Preste atenção nesta sequência lógica e identifique quais os números que estão faltando: 1, 1, 2, 
__, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __... 
 
35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade e quer sair de 
lá. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto dorme, escorrega 1 
metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar à saída do poço? 
 
36. Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas? 
 
37. Quantos quadrados existem na figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
38. Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados. 
 
 
 
39. Qual será o próximo símbolo da sequência abaixo? 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 48 
 
 
40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais. 
 
 
 
41. Observe as multiplicações a seguir: 
12.345.679 × 18 = 222.222.222 
12.345.679 × 27 = 333.333.333 
... ... 
12.345.679 × 54 = 666.666.666 
 
Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto? 
 
42. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faça com que fique de 
frente para a estrada asfaltada. 
 
 
 
43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados. 
 
 
 
44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relação lógica. Qual é a carta 
que está faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1? 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 49 
45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito. 
 
 
 
46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequência 
abaixo? 
 
 
 
47. Mova três palitos nesta figura para obter cinco triângulos. 
 
 
 
48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas. 
 
 
 
49. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados. 
 
 
 
50. Mude a posição de quatro palitos e obtenha cinco triângulos. 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
A diferença entre os números estampados nas cartas 1 e 2, em cada linha, tem como resultado o valor 
da 3ª carta e, além disso, o naipe não se repete. Assim, a 3ª carta, dentro das opções dadas só pode ser 
a da opção (A). 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 50 
02. Resposta: D. 
Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria, tem-se: 
Na figura 1: 01 ponto de cada lado  02 pontos no total. 
Na figura 2: 02 pontos de cada lado  04 pontos no total. 
Na figura 3: 03 pontos de cada lado  06 pontos no total. 
Na figura 4: 04 pontos de cada lado  08 pontos no total. 
Na figura n: n pontos de cada lado  2.n pontos no total. 
 
Em particular: 
Na figura 15: 15 pontos de cada lado  30 pontos no total. 
 
Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se: 
Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo  04 pontos no total. 
Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo  06 pontos no total. 
Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo  08 pontosno total. 
Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo  10 pontos no total. 
Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo  2.(n+1) pontos no total. 
 
Em particular: 
Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo  32 pontos no total. Incluindo o ponto central, que ainda não 
foi considerado, temos para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos. 
 
03. Resposta: B. 
Nessa sequência, observamos que a diferença: entre 1000 e 990 é 10, entre 990 e 970 é 20, entre o 
970 e 940 é 30, entre 940 e 900 é 40, entre 900 e 850 é 50, portanto entre 850 e o próximo número é 60, 
dessa forma concluímos que o próximo número é 790, pois: 850 – 790 = 60. 
 
04. Resposta: D. 
Nessa sequência lógica, observamos que a diferença: entre 24 e 22 é 2, entre 28 e 24 é 4, entre 34 e 
28 é 6, entre 42 e 34 é 8, entre 52 e 42 é 10, entre 64 e 52 é 12, portanto entre o próximo número e 64 é 
14, dessa forma concluímos que o próximo número é 78, pois: 76 – 64 = 14. 
 
05. Resposta: D. 
Observe a tabela: 
Figuras 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 
N° de Palitos 4 7 10 13 16 19 22 
 
Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das três primeiras figuras. Feito isto, 
basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior 
acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fácil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade 
de palitos da 7ª figura. 
 
06. Resposta: A. 
Na figura apresentada na letra “B”, não é possível obter a planificação de um lado, pois o 4 estaria do 
lado oposto ao 6, somando 10 unidades. Na figura apresentada na letra “C”, da mesma forma, o 5 estaria 
em face oposta ao 3, somando 8, não formando um lado. Na figura da letra “D”, o 2 estaria em face oposta 
ao 4, não determinando um lado. Já na figura apresentada na letra “E”, o 1 não estaria em face oposta 
ao número 6, impossibilitando, portanto, a obtenção de um lado. Logo, podemos concluir que a 
planificação apresentada na letra “A” é a única para representar um lado. 
 
07. Resposta: B. 
Como na 3ª figura completou-se um círculo, para completar 16 círculos é suficiente multiplicar 3 por 
16: 3. 16 = 48. Portanto, na 48ª figura existirão 16 círculos. 
 
08. Resposta: B. 
A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5 
elementos. A figura de número 277 ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número 
5n + 2, com n ∈ N. Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 51 
09. Resposta: D. 
A regularidade que obedece a sequência acima não se dá por padrões numéricos e sim pela letra que 
inicia cada número. “Dois, Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o próximo só 
pode iniciar também com “D”: Duzentos. 
 
10. Resposta: C. 
Esta sequência é regida pela inicial de cada número. Três, Treze, Trinta,... O próximo só pode ser o 
número Trinta e um, pois ele inicia com a letra “T”. 
 
11. Resposta: E. 
Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO, mas na ordem 
invertida. Da mesma forma, na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 
primeiras letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem 
invertida, obtém-se ARVAL. 
 
12. Resposta: C. 
Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por quadrado, triângulo e círculo. Na 3ª linha já 
há cabeças com círculo e com triângulo. Portanto, a cabeça da figura que está faltando é um quadrado. 
As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as 
mãos levantadas (é o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou 
abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que 
está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabeça 
quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda. 
 
13. Resposta: A. 
Existem duas leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte inferior. Na 
parte superior, tem-se que: do 1º termo para o 2º termo, ocorreu uma multiplicação por 2; já do 2º termo 
para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades. Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X = 
10. Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3; já do 2º termo 
para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades. Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y = 30. 
Logo, X + Y = 10 + 30 = 40. 
 
14. Resposta: A. 
A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita do triângulo, pela letra “A”; aumenta a direita 
para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª 
linha até a 2ª linha. Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra 
que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”. 
 
15. Resposta: B. 
A sequência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Mas essa lista contém 
todos os algarismos dos números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os 
números 10, 11 e 12. Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos. Do número 10 até o 
número 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do número 100 até o número 124 existem: 3 x 25 = 75 
algarismos. E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores, 
tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276ª posição 
é o número 8, que aparece no número 128. 
 
16. Resposta: D. 
Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a 2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo 
e a 3ª figura possui 1 “orelha” no lado direito. Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de 
cima e na parte de baixo, internamente em relação às figuras. Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra, 
mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em 
baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura também não 
terá orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª. 
 
17. Resposta: B. 
No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual 
à diferença entre o número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 40 : 5 = 21 - 
13 = 8. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 52 
A mesma regra acontece no 2º triângulo: 42 ÷ 7 = 23 - 17 = 6. 
Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo: 
? ÷ 3 = 19 – 7 
? ÷ 3 = 12 
? = 12 x 3 = 36. 
 
18. Resposta: E. 
Verifique os intervalos entre os números que foram fornecidos. Dado os números 3, 12, 27, __, 75, 
108, obteve-se os seguintes 9, 15, __, __, 33 intervalos. Observe que 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 3x11. Logo 3x7 
= 21 e 3x 9 = 27. Então: 21 + 27 = 48. 
 
19. Resposta: B. 
Observe que o numerador é fixo, mas o denominador é formado pela sequência: 
 
Primeiro Segundo Terceiro Quarto Quinto Sexto 
1 1 x 2 = 2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 12 4 x 5 = 20 5 x 6 = 30 
 
20. Resposta: D. 
O que de início devemos observar nesta questão é a quantidade de B e de X em cada figura. Vejamos: 
 
BBB BXB XXB 
XBX XBX XBX 
BBB BXB BXX 
7B e 2X 5B e 4X 3B e 6X 
 
Vê-se, que os “B” estão diminuindo de 2 em 2 e que os “X” estão aumentando de 2 em 2; notem 
também que os “B” estão sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os “X” da mesma 
forma, só que não estão sendo retirados, estão, sim, sendo colocados. Logo a 4ª figura é: 
 
XXX 
XBX 
XXX 
1B e 8X 
 
21. Resposta: D. 
Montando a série deFibonacci temos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... A resposta da questão é a 
alternativa “D”, pois como a questão nos diz, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois 
termos precedentes. 2 + 3 = 5 
 
22. Resposta: E. 
A questão nos informa que ao se escrever alguma mensagem, cada letra será substituída pela letra 
que ocupa a quarta posição, além disso, nos informa que o código é “circular”, de modo que a letra “U” 
vira “A”. Para decifrarmos, temos que perceber a posição do emissor e do receptor. O emissor ao escrever 
a mensagem conta quatro letras à frente para representar a letra que realmente deseja, enquanto que o 
receptor, deve fazer o contrário, contar quatro letras atrás para decifrar cada letra do código. No caso, 
nos foi dada a frase para ser decifrada, vê-se, pois, que, na questão, ocupamos a posição de receptores. 
Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de 
modo que: 
VxzaB: B na verdade é V; 
OpqrS: S na verdade é O; 
UvxzA: A na verdade é U; 
DefgH: H na verdade é D; 
EfghI: I na verdade é E; 
AbcdE: E na verdade é A; 
ZabcD: D na verdade é Z; 
UvxaA: A na verdade é U; 
LmnoP: P na verdade é L; 
 
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. 53 
23. Resposta: B. 
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra e, em seguida, nos traz uma 
sequência numérica. É perguntado qual sequência numérica tem a mesma ralação com a sequência 
numérica fornecida, de maneira que, a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. 
Observando as duas palavras dadas, podemos perceber facilmente que têm cada uma 6 letras e que as 
letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Tal ordem, nada mais é, do que a primeira 
palavra de trás para frente, de maneira que SOCIAL vira LAICOS. Fazendo o mesmo com a sequência 
numérica fornecida, temos: 231678 viram 876132, sendo esta a resposta. 
 
24. Resposta: A. 
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra, e em seguida, nos traz uma 
sequência numérica. Foi perguntado qual a sequência numérica que tem relação com a já dada de 
maneira que a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas 
palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete 
na outra em uma ordem diferente. Essa ordem diferente nada mais é, do que a primeira palavra de trás 
para frente, de maneira que SALTA vira ATLAS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida 
temos: 25435 vira 53452, sendo esta a resposta. 
 
25. Resposta: E. 
Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não acontecem no número procurado. Do número 
48.675, as opções 48, 86 e 67 não estão em nenhum dos números apresentados nas alternativas. 
Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75. Como o único número apresentado nas 
alternativas que possui a sequência 75 é 46.875, tem-se, então, o número procurado. 
 
26. Resposta: D. 
O primeiro símbolo representa a divisão e o 2º símbolo representa a soma. Portanto, na 1ª linha, tem-
se: 36  4 + 5 = 9 + 5 = 14. Na 2ª linha, tem-se: 48  6 + 9 = 8 + 9 = 17. Com isso, na 3ª linha, ter-se-á: 
54  9 + 7 = 6 + 7 = 13. Logo, podemos concluir então que o ponto de interrogação deverá ser substituído 
pelo número 13. 
 
27. Resposta: A. 
As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. Já a 
sequência que acompanha os números pares inicia-se pela letra “E”, e continua de acordo com a 
sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E, 4ª letra: F, 6ª letra: G, 8ª letra: H, 10ª letra: I e 12ª letra: J. 
 
28. Resposta: D. 
Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO, na seguinte 
ordem: PERU, MARÁ, TATU e URSO, obtém-se na tabela: 
 
P E R U 
M A R A 
T A T U 
U R S O 
 
O nome do animal é PATO. Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P = 15, A = 1, T = 19 e 0 = 14. 
Somando esses valores, obtém-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49. 
 
29. Resposta: B. 
Na 1ª e na 2ª sequências, as vogais são as mesmas: letra “A”. Portanto, as vogais da 4ª sequência de 
letras deverão ser as mesmas da 3ª sequência de letras: “O”. A 3ª letra da 2ª sequência é a próxima letra 
do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência de letras. Portanto, na 4ª sequência de letras, a 3ª letra é 
a próxima letra depois de “B”, ou seja, a letra “C”. Em relação à primeira letra, tem-se uma diferença de 7 
letras entre a 1ª letra da 1ª sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. Portanto, entre a 1ª letra da 3ª 
sequência e a 1ª letra da 4ª sequência, deve ocorrer o mesmo fato. Com isso, a 1ª letra da 4ª sequência 
é a letra “T”. Logo, a 4ª sequência de letras é: T, O, C, O, ou seja, TOCO. 
 
 
 
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. 54 
30. Resposta: C. 
Na 1ª sequência de letras, ocorrem as 3 primeiras letras do alfabeto e, em seguida, volta-se para a 1ª 
letra da sequência. Na 2ª sequência, continua-se da 3ª letra da sequência anterior, formando-se DEF, 
voltando-se novamente, para a 1ª letra desta sequência: D. Com isto, na 3ª sequência, têm-se as letras 
HIJ, voltando-se para a 1ª letra desta sequência: H. Com isto, a 4ª sequência iniciará pela letra L, 
continuando por M e N, voltando para a letra L. Logo, a 4ª sequência da letra é: LMNL. 
 
31. Resposta: E. 
Do 1º termo para o 2º termo, ocorreu um acréscimo de 1 unidade. Do 2º termo para o 3º termo, ocorreu 
a multiplicação do termo anterior por 3. E assim por diante, até que para o 7º termo temos 13 . 3 = 39. 8º 
termo = 39 + 1 = 40. 9º termo = 40 . 3 = 120. 10º termo = 120 + 1 = 121. 11º termo = 121 . 3 = 363. 12º 
termo = 363 + 1 = 364. 13º termo = 364 . 3 = 1.092. Portanto, podemos concluir que o 13º termo da 
sequência é um número maior que 1.000. 
 
32. Resposta: D. 
Da palavra “ardoroso”, retiram-se as sílabas “do” e “ro” e inverteu-se a ordem, definindo-se a palavra 
“rodo”. Da mesma forma, da palavra “dinamizar”, retiram-se as sílabas “na” e “mi”, definindo-se a palavra 
“mina”. Com isso, podemos concluir que da palavra “maratona”. Deve-se retirar as sílabas “ra” e “to”, 
criando-se a palavra “tora”. 
 
33. Resposta: A. 
Na primeira sequência, a palavra “azar” é obtida pelas letras “a” e “z” em sequência, mas em ordem 
invertida. Já as letras “a” e “r” são as 2 primeiras letras da palavra “arborizado”. A palavra “dias” foi obtida 
da mesma forma: As letras “d” e “i” são obtidas em sequência, mas em ordem invertida. As letras “a” e 
“s” são as 2 primeiras letras da palavra “asteroides”. Com isso, para a palavras “articular”, considerando 
as letras “i” e “u”, que estão na ordem invertida, e as 2 primeiras letras, obtém-se a palavra “luar”. 
 
34. O nome da sequência é Sequência de Fibonacci. O número que vem é sempre a soma dos dois 
números imediatamente atrás dele. A sequência correta é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... 
 
35. 
Dia Subida Descida 
1º 2m 1m 
2º 3m 2m 
3º 4m 3m 
4º 5m 4m 
5º 6m 5m 
6º 7m 6m 
7º 8m 7m 
8º 9m 8m 
9º 10m ---- 
 
Portanto, depois de 9 dias ela chegará na saída do poço. 
 
36. 09 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99. 
Portanto, são necessários 20 algarismos. 
 
37. 
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. 55 
 
Portanto, há 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados. 
 
38. 
 
 
39. Os símbolos são como números em frente ao espelho. Assim, o próximo símbolo será 88. 
 
40. 
 
 
41. 
12.345.679 × (2×9) = 222.222.222 
12.345.679 × (3×9) = 333.333.333 
... ... 
12.345.679 × (6×9) = 666.666.666 
Portanto, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por (9x9) = 81 
 
42. 
 
 
 
 
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. 56 
43. 
 
 
44. Sendo A = 1, J = 11, Q = 12 e K = 13, a soma de cada par de cartas é igual a 14 e o naipe de paus 
sempre forma par com o naipe de espadas. Portanto, a carta que está faltandoé o 6 de espadas. 
 
45. 
 
 
 
46. Observe que: 
 
 
Portanto, a próxima pedra terá que ter o valor: 15.120 x 8 = 120.960 
 
47. 
 
 
48. 
 
 
 
49. 
 
 
50. 
 
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. 57 
 
 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
 
O sistema de numeração que normalmente utilizamos é o sistema de numeração decimal. 
 Os símbolos matemáticos utilizados para representar um número no sistema decimal são chamados de 
algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ou algarismos indo-arábico (utilizados pelos hindus e árabes) que 
são utilizados para contagem. 
 
- Leitura dos números decimais 
 
Números com parte inteira e decimal 
 
Cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as seguintes 
denominações: 
 
 
Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras: 
Décimos ...........................................: quando houver uma casa decimal; 
Centésimos.......................................: quando houver duas casas decimais; 
Milésimos.........................................: quando houver três casas decimais; 
Décimos de milésimos ........................: quando houver quatro casas decimais; 
Centésimos de milésimos ...................: quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente. 
 
- Números com parte inteira: 
 
 
Podemos ler os seguintes algarismos acima com maior facilidade: 
2.756 → Dois mil setecentos e cinquenta e seis. 
57.721.057 → Cinquenta e sete milhões, setecentos e vinte e um mil e cinquenta e sete. 
376.103.035 → Trezentos e setenta e seis milhões, cento e três mil e trinta e cinco. 
 
Questões 
 
01. (TRT-6ª REG - Auxiliar Judiciário - FCC) Se X é o menor número natural que tem cinco algarismos 
e Y é o maior número natural que tem quatro algarismos distintos, a diferença de X-Y é 
(A) divisível por 4. 
(B) múltiplo de 6. 
(C) maior que 150. 
(D) quadrado perfeito. 
(E) primo. 
 
2. Números e Operações – Sistemas de numeração e conjuntos numéricos: 
números inteiros, racionais e irracionais, os números reais e os números 
complexos. Problemas envolvendo as operações e seus significados. 
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. 58 
02. (TRT-6ª REG - Auxiliar Judiciário - FCC) O número 0,0202 pode ser lido como: 
(A) duzentos e dois milésimos. 
(B) duzentos e dois décimos de milésimos. 
(C) duzentos e dois centésimos de milésimos. 
(D) duzentos e dois centésimos. 
(E) duzentos e dois décimos 
 
03. (TRT-6ª REG - Auxiliar Judiciário - FCC) Ao preencher corretamente um cheque no valor de R$ 
2010,50, deve se escrever por extenso: 
(A) dois mil e cem reais e cinquenta centavos. 
(B) dois mil e dez reais e cinquenta centavos. 
(C) dois mil e dez reais e cinco centavos. 
(D) duzentos reais e dez reais e cinquenta centavos. 
(E) duzentos e um reais e cinco centavos. 
 
04. (BANCO DO BRASIL - ESCRITURÁRIO – FCC) O esquema abaixo apresenta a subtração de 
dois números inteiros e maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram substituídos por letras. 
 
Se a diferença indicada é a correta, os valores de A, B, C e D são tais que: 
(A) A < B < C < D. 
(B) B < A < D < C. 
(C) B < D < A < C. 
(D) D < A < C < B. 
(E) D < A < B < C. 
 
05. (Pref. Itaquitinga/PE –Assistente Administrativo – IDHTEC/2016) – O nosso sistema de 
numeração decimal é assim chamado, pois: 
(A) É formado por números com vírgula. 
(B) Não permite fugas para outros sistemas. 
(C) Possui apenas 9 algarismos para a formação dos números. 
(D) Possui 10 algarismos para a formação dos números e cada posição tem um significado. 
(E) Possui todas as frações possíveis. 
 
06. (SME/SP – Professor de Ensino Fundamental II e Médio – Matemática – FGV/2016) Um 
professor, preocupado com a leitura de gráficos e tabelas em uma turma de 6º ano preparou uma atividade 
de leitura de tabelas para seus alunos. Aproveitou para fornecer conhecimentos sobre as somas 
envolvidas nos lucros de uma lanchonete. A atividade tinha o seguinte enunciado: 
Nos dias atuais, existem grandes redes de lanchonetes, algumas multinacionais, isto é, espalhadas 
em vários países do mundo. Essas redes são dirigidas a partir de seus países de origem, para onde é 
enviada uma parte do lucro de cada produto consumido. As cifras envolvidas são de valor muito alto, 
como mostra a tabela com dados de 2015. 
 
 
A partir das informações apresentadas, assinale a afirmativa correta. 
(A) São usados oito zeros para escrever o número que representa o total mundial do faturamento da 
empresa McPizza, em dólares, no ano de 2015. 
(B) A diferença, em dólares, entre o faturamento mundial da rede McPizza e o da empresa que faturou 
menos, em 2015, é de 13 bilhões de dólares. 
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. 59 
(C) A diferença entre o faturamento mundial da rede San Duiches e seu faturamento no Brasil, em 
2015, é de 5 675 000 000 ou 5 675 milhões ou 5, 675 bilhões. 
(D) Estando a cotação do dólar em 3,78 reais, o faturamento mundial da empresa Ram Burger, em 
2015, foi de 32,4 bilhões de reais. 
(E) Considerando a cotação do dólar do item acima, cada loja no Brasil da rede Mac Pizza faturou, em 
média, 550 mil reais em 2015. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
 Como X é o menor número natural de 5 algarismos temos que: 
 X = 1 0 0 0 0 
E Y é o maior natural de 4 algarismos distintos: 
Y = 9 8 7 6 
Logo a diferença X-Y: 
10000 - 9876 = 124, que é divisível por 4 
 
02. Resposta: B. 
Como temos 4 casas decimais, lemos então com décimos de milésimos, 
Logo: duzentos e dois décimos de milésimos. 
 
03. Resposta: B. 
Dois mil e dez reais e cinquenta centavos. 
 
04. Resposta: C. 
Temos que: 
A 1 5 B – 2 C D 8 = 4 2 1 8 
A 1 5 B = 4 2 1 8 + 2 C D 3 
 
+ somando as unidades 8 + 3 = 11 → B = 1; 1 + 1 + D = 5 → D = 5 – 1 – 1 → D = 3 → 2 + C = 11 
→ C = 11 – 2 → C = 9 → 1 + 4 + 2 = A → A = 7 
1 < 3 < 7 < 9 
B < D < A < C 
 
05. Resposta: D. 
Possui 10 algarismos para a formação dos números e cada posição tem um significado é verdadeiro 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Unidade, dezena, centena, etc. 
 
06. Resposta: C. 
C – 5,7 x 109 – 25 x 106 = 5.675.000.000 ou 5 675 milhões ou 5,675 bilhões - Correta 
 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANA 
 
É o sistema mais usado depois do decimal, utiliza-se para:- designação de séculos e datas; 
- indicação de capítulos e volumes de livros; 
- nos nomes de papas e imperadores. 
- mostradores de alguns relógios, etc. 
 
Utilizam-se sete letras maiúsculas(símbolos) para designa-los: 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 60 
 
 
Regras para escrita dos números romanos: 
1 – Se a direita se escreve um símbolo de igual ou maior valor somamos ao valor dessa: 
Exemplos: 
VI = (5 + 1) = 6 
XXI = (10 + 10 + 1) = 21 
LXVII = (50 + 10 + 5 + 1 + 1) = 67 
 
2 – Se a esquerda se escreve um símbolo “I”, “X” ou “C” subtraímos: 
Exemplos: 
IV = (5 - 1) = 4 
IX = (10 - 1) = 9 
XL = (50 - 10) = 40 
XC = (100 - 10) = 90 
CD = (500 - 100) = 400 
CM = (1000 - 100) = 900 
 
3 – Não se pode repetir o mesmo símbolo por mais de três vezes seguidas: 
Exemplos: 
XIII = 13 
XIV = 14 
XXXIII = 33 
XXXIV = 34 
 
4 - A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar, pois as letras “X”,” C” e “M” representam um valor 
duplicado. 
Exemplos: 
XX = 20(10 + 10) 
CC = 200(100 + 100) 
MM = 2.000 (1000 + 1000) 
 
5 - Se entre dois símbolos quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a 
ela. 
Exemplos: 
XIX = 19(X = 10 + IX = 9;19) 
LIV = 54(L = 50 + IV = 4;54) 
CXXIX = 129 (C = 100 + XX = 20 + IX = 9; 129) 
 
6 - O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima 
dos mesmos. 
Exemplos: 
 
Tabela dos números Maiores que 2100 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 61 
 
 
Questões 
 
01. (MARINHA DO BRASIL – APRENDIZ – MARINHEIRO – EAM) Qual é a representação do número 
745 em algarismos romanos? 
(A) CDXLV 
(B) DCCXLV 
(C) DCCXV(D) CDXV 
(E) DCCCXXV 
 
02. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV/2016) O valor do número romano MCM no 
sistema de numeração decimal, é: 
(A) 1.800 
(B) 1.100 
(C) 1.400 
(D) 1.900 
 
03. (SAAE de Aimorés/MG – Ajudante – MÁXIMA/2016) Os números romanos XXII, XV, XXV, 
correspondem aos números decimais, respectivamente: 
(A) 12, 5, 13; 
(B) 22, 15, 25; 
(C) 12, 4, 15; 
(D) 12, 6, 15. 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Sabemos que precisamos decompor o número para formá-lo: 
500 – D 
200 – CC 
45 – XLV 
Juntando tudo temos 745 = DCCXLV. 
 
02. Resposta: D. 
MCM → M(1000) + CM (1000 – 100 = 900) → 1900. 
 
03. Resposta: B. 
XXII = 12 
XV = 15 
XXV = 25 
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. 62 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 
1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela 
letra Z (Zahlen = número em alemão). 
 
 
 
 
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: 
 
- O conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; 
Z* = Z – {0} 
 
- O conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N 
 
- O conjunto dos números inteiros positivos: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} 
 
- O conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
- O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
 
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, 
na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. 
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. 
 
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma 
zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. 
Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de 
zero é o próprio zero. 
 
 
Adição de Números Inteiros 
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. 63 
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de 
ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. 
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) 
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) 
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) 
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) 
 
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo 
nunca pode ser dispensado. 
 
Subtração de Números Inteiros 
A subtração é empregada quando: 
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. 
 
A subtração é a operação inversa da adição. 
Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 
4 + 5 = 9 
4 – 5 = -1 
 
Considere as seguintes situações: 
 
1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a 
variação da temperatura? 
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 
 
2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura 
baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? 
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 
 
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos: 
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 
 
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto 
do segundo. 
 
Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal 
negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. 
 
Multiplicação de Números Inteiros 
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são 
repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma 
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e 
está repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. 
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem 
nenhum sinal entre as letras. 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 64 
Divisão de Números Inteiros 
 
- Divisão exata de números inteiros. 
 Veja o cálculo: 
(– 20): (+ 5) = q  (+ 5) . q = (– 20)  q = (– 4) 
Logo: (– 20): (+ 5) = - 4 
 
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro 
por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. 
Exemplo: (+7): (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado 
não é um número inteiro. 
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência 
do elemento neutro. 
- Não existe divisão por zero. 
- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer 
número inteiro por zero é igual a zero. 
Exemplo: 0: (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 
 
Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão: 
→ Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. 
→ Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. 
 
Potenciação de Números Inteiros 
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é 
denominado a base e o número n é o expoente.an = a x a x a x a x ... x a, a é multiplicado por a n vezes 
 
 
Exemplos: 
33 = (3) x (3) x (3) = 27 
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 
(-7)² = (-7) x (-7) = 49 
(+9)² = (+9) x (+9) = 81 
 
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 
 
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64 
 
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. 
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 
 
- Propriedades da Potenciação: 
 
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 
. (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 65 
2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (-
13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 
 
3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 
 
4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 
 
5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. 
Exemplo: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 
 
Radiciação de Números Inteiros 
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto 
que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). 
A raiz quadrada (de ordem 2) de um númerointeiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. 
 
Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números 
inteiros. 
 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas 
aparecimento de: 
9 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 9 = +3 
 
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte 
em um número negativo. 
 
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos 
números não negativos. 
 
Exemplos: 
(a) 
3 8 = 2, pois 2³ = 8. 
(b) 
3 8 = –2, pois (–2)³ = -8. 
(c) 
3 27 = 3, pois 3³ = 27. 
(d) 
3 27 = –3, pois (–3)³ = -27. 
 
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: 
(1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. 
(2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros 
Para todo a, b e c ∈ 𝑍 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
6) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 
10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso 
 z –1 = 1/z em Z, tal que, z x z–1 = z x (1/z) = 1 
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. 66 
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções 
 
Questões 
 
01. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE EDUCACIONAL – VUNESP) Para zelar pelos jovens internados 
e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades 
educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” 
e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse 
suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude 
negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos 
atribuídos foi 
(A) 50. 
(B) 45. 
(C) 42. 
(D) 36. 
(E) 32. 
 
02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a 
maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o 
troco recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
 
03. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) Multiplicando-se o maior número 
inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será 
(A) - 72 
(B) - 63 
(C) - 56 
(D) - 49 
(E) – 42 
 
04. (SEPLAG - POLÍCIA MILITAR/MG - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO - FCC) Em um jogo de 
tabuleiro, Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados: 
 
 
Ao término dessas quatro partidas, 
(A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. 
(B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. 
(C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. 
(D) Carla e Mateus empataram. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 67 
05. (PREFEITURA DE PALMAS/TO – TÉCNICO ADMINISTRATIVO EDUCACIONAL – COPESE - 
UFT) Num determinado estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. Durante 
uma ronda dos agentes de trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era 
de 124 (desconsiderando os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento 
naquele momento, é CORRETO afirmar que estavam estacionados: 
(A) 19 carros 
(B) 25 carros 
(C) 38 carros 
(D) 50 carros 
 
06. (CASA DA MOEDA) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e 
Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a 
quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em 
cada cidade. 
 
O número de passageiros que chegou a Belém foi: 
(A) 362 
(B) 280 
(C) 240 
(D) 190 
(E) 135 
 
07. (Pref.de Niterói) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que durantes 
o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia e noite, 
em ºC será de: 
(A) 10 
(B) 35 
(C) 45 
(D) 50 
(E) 55 
 
08. (Pref.de Niterói) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa 
R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses que ele 
levará para adquirir a televisão será: 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 15 
 
09. (Pref.de Niterói) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura. 
Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura 
de 3cm, o número de livros na pilha é: 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 22 
 
10. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Um menino estava parado no 
oitavo degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 
25 degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente. 
A quantos degraus do topo da escada ele parou? 
(A) 8 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 68 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 15 
(E) 19 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
50-20=30 atitudes negativas 
20.4=80 
30.(-1)=-30 
80-30=50 
 
02. Resposta: D. 
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento 
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do 
orçamento. 
Troco:2200 – 2174 = 26 reais 
 
03. Resposta: D. 
Maior inteiro menor que 8 é o 7 
Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. 
Portanto: 7(- 7) = - 49 
 
04. Resposta: C. 
Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos 
Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos 
Diferença: 575 – 450 = 125 pontos 
 
05. Resposta: B. 
Moto: 2 rodas 
Carro: 4 
12.2=24 
124-24=100 
100/4=25 carros 
 
06. Resposta: D. 
240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190 
 
07. Resposta: E. 
45 – (- 10) = 55 
 
08. Resposta: D. 
420 : 35 = 12 meses 
 
09. Resposta: D. 
São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm 
Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos: 
52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 
36 : 3 = 12 livros de 3 cm 
O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 
 
10. Resposta: E. 
 8 + 13 = 21 
21– 15 = 6 
25 – 6 = 19 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 69 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
n
m
, onde m e n são números inteiros, sendo 
que n deve ser diferente de zero. Frequentemente utilizamos m/n para significar a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números 
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum 
encontrarmos na literatura a notação: 
Q = {
n
m
: m e n em Z, n diferentede zero} 
 
 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos; 
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
q
p
, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, 
basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 
 
2º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-
se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 
 
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma 
característica especial: existe um período. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 70 
 
 
 Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ... 
 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos 
escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 
1º Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o 
denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do 
número decimal dado: 
 
 
2º Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento 
através de alguns exemplos: 
Exemplos: 
 
1) Seja a dízima 0, 333.... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3)  então vamos colocar um 9 no 
denominador e repetir no numerador o período. 
 
 
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
. 
2) Seja a dízima 5, 1717.... 
O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a 
parte inteira, logo ele vem na frente: 
 
5
17
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
512
99
 
 
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 
99
512
. 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração basta utilizarmos o 
dígito 9 no denominador para cada quantos dígitos tiver o período da dízima. 
 
3) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do ante período com o período. Neste caso temos um dízima periódica é 
composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Neste caso temos um ante 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 71 
período (2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o ante período(234-2), obtemos 232, o 
numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 
99(dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o ante período, neste caso 
0(um zero). 
 
 
1
232
990
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
1222
990
 
 
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611
, a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa 
zero. 
 
 
Exemplos: 
1) Módulo de – 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
 = 
2
3
 
 
2) Módulo de + 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
 = 
2
3
 
 
Números Opostos: Dizemos que –
2
3
 e 
2
3
 são números racionais opostos ou simétricos e cada um 
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 
2
3
 e 
2
3
 ao ponto zero da reta são iguais. 
 
Inverso de um Número Racional 
 
(
𝒂
𝒃
)
−𝒏
, 𝒂 ≠ 𝟎 = (
𝒃
𝒂
)
𝒏
, 𝒃 ≠ 𝟎 
 
Representação geométrica dos Números Racionais 
 
 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. 
 
Soma (Adição) de Números Racionais 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 72 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a 
adição entre os números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de: 
 
 
Subtração de Números Racionais 
 A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o 
oposto de q, isto é: p – q = p + (–q) 
 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o 
produto de dois números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que o produto de frações, através de: 
 
O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × c/d, a/b.c/d . Para 
realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em 
toda a Matemática: 
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o 
produto de dois números com sinais diferentes é negativo. 
 
 
 
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais 
1) Fechamento: O conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a 
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional. 
2) Associativa da adição: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 
3) Comutativa da adição: Para todos a, b em Q: a + b = b + a 
4) Elemento neutro da adição: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, 
isto é: q + 0 = q 
5) Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0 
6) Associativa da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c 
7) Comutativa da multiplicação: Para todos a, b em Q: a × b = b × a 
8) Elemento neutro da multiplicação: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o 
próprio q, isto é: q × 1 = q 
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = 
b
a
 em Q, q diferente de zero, existe : 
 
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) 
 
Divisão (Quociente) de Números Racionais 
 A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo 
inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
 
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. 73 
Potenciação de Números Racionais 
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a 
base e o número n é o expoente. 
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) 
 
Exemplos: 
 
Propriedades da Potenciação: 
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 
 
2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
 
 
3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra 
potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior. 
 
4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 
 
5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 
 
6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 
7) Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base 
a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
 
8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, 
conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
 
Radiciação de Números Racionais 
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz 
do número. 
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. 74 
Exemplos: 
1) 
9
1
 Representa o produto 
3
1
.
3
1
ou
2
3
1






.Logo,
3
1
é a raiz quadrada de 
9
1
. 
Indica-se 
9
1
= 
3
1
 
 
2) 0,216 Representa o produto0,6. 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 
3 216,0 = 0,6. 
 
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. 
Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. 
O número 
9
100
 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
3
10
 como 
3
10
 , quando elevados ao 
quadrado, dão 
9
100
. 
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um 
quadrado perfeito. 
O número 
3
2
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado 
dê 
3
2
. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 1 – Conjuntos e Funções 
http://mat.ufrgs.br 
 
Questões 
 
01. (PREF. JUNDIAÍ/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Na escola onde 
estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como 
favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm 
ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4 
(B) 3/10 
(C) 2/9 
(D) 4/5 
(E) 3/2 
 
02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em 
cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais 
ela recebeu de troco? 
(A) R$ 40,00 
(B) R$ 42,00 
(C) R$ 44,00 
(D) R$ 46,00 
(E) R$ 48,00 
 
03. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP) De um total de 180 
candidatos, 2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3 estuda espanhol e o restante estuda alemão. O 
número de candidatos que estuda alemão é: 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
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. 75 
04. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP) Em um estado do 
Sudeste, um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617,16 e uma 
gratificação de R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou 
faltar um dia e foi descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou 
(A) R$ 810,81. 
(B) R$ 821,31. 
(C) R$ 838,51. 
(D) R$ 841,91. 
(E) R$ 870,31. 
 
05. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo 
 
Obtém-se 
1,3333…+
3
2
1,5+
4
3
 : 
(A) ½ 
(B) 1 
(C) 3/2 
(D) 2 
(E) 3 
 
06. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões 
marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os 
jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é 
sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar 
os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência 
(𝐴) − 4; −1; √16; √25;
14
3
 
(𝐵) − 1; −4; √16; 
14
3
; √25 
(𝐶) − 1; −4; 
14
3
; √16; ; √25 
(𝐷) − 4; −1; √16;
14
3
; √25 
(𝐸 ) − 4; −1; 
14
3
; √16; √25 
 
07. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC) Somando-se certo número positivo x 
ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como 
resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 52/25. 
(B) 13/6. 
(C) 7/3. 
(D) 5/2. 
(E) 47/23. 
 
08. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: 
 − 1 real: ¼ das moedas 
− 50 centavos: 1/3 das moedas 
− 25 centavos: 2/5 das moedas 
− 10 centavos: as restantes 
 Mariana totalizou a quantia contida no cofre em 
(A) R$ 62,20. 
(B) R$ 52,20. 
(C) R$ 50,20. 
(D) R$ 56,20. 
(E) R$ 66,20. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 76 
09. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 
pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as 
mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. 
Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? 
(A) 145 
(B) 185 
(C) 220 
(D) 260 
(E) 120 
 
10. (PREF. JUNDIAÍ/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Quando 
perguntado sobre qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: 
“O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. 
Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: 
(A) 40 anos. 
(B) 35 anos. 
(C) 45 anos. 
(D) 30 anos. 
(E) 42 anos. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Somando português e matemática: 
1
4
+
9
20
=
5 + 9
20
=
14
20
=
7
10
 
O que resta gosta de ciências: 
1 −
7
10
=
3
10
 
 
02. Resposta: B. 
 8,3 ∙ 7 = 58,1 
Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais 
Troco: 100 – 58 = 42 reais 
 
03. Resposta: C. 
 
2
5
+
2
9
+
1
3
 
Mmc(3,5,9)=45 
 
 
18+10+15
45
=
43
45
 
O restante estuda alemão: 2/45 
 180 ∙
2
45
= 8 
 
04. Resposta: D. 
 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31 
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68 
 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91 
Salário foi R$ 841,91. 
 
05. Resposta: B. 
1,3333...= 12/9 = 4/3 
1,5 = 15/10 = 3/2 
 
4
3 +
3
2
3
2 +
4
3
=
17
6
17
6
= 1 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 77 
06. Resposta: D. 
 √16 = 4 
 √25 = 5 
 
14
3
= 4,67 
A ordem crescente é: −4; −1; √16;
14
3
; √25 
 
07. Resposta B. 
2 + 𝑥
3 − 𝑥
= 5 
15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 
6𝑥 = 13 
𝑥 =
13
6
 
 
08. Resposta: A. 
1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙
1
4
= 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
1
3
∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
2
5
∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20 
 
Mariana totalizou R$ 62,20. 
 
09. Resposta: A. 
 800 ∙
3
4
= 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 
 
 600 ∙
1
5
= 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 
Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 
 800 ∙
1
4
= 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres 
 
 200 ∙
1
8
= 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 
 
Total de pessoas detidas: 120+25=145 
 
10. Resposta: C. 
 
9
5
∙
75
3
=
675
15
= 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS - I 
 
Os números racionais, são aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a/b onde a e b são 
dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos 
da impossibilidade matemática da divisão por zero. 
Em algum momento em nossas vidas vimos também, que todo número racional pode ser escrito na 
forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica. 
 
Vejam os exemplos de números racionais a seguir: 
3 / 4 = 0,75 = 0, 750000... 
- 2 / 3 = - 0, 666666... 
1 / 3 = 0, 333333... 
2 / 1 = 2 = 2, 0000... 
4 / 3 = 1, 333333... 
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. 78 
- 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000... 
0 = 0, 000... 
 
Existe, entretanto, outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração a/b, 
conhecidos como números irracionais. 
 
Exemplo: 
O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica: x = 
0,10100100010000100000... 
 
Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números 
reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são: 
e = 2,718281828459045..., 
Pi (𝜋) = 3,141592653589793238462643... 
 
Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros 
de gravidade, previsão populacional, etc. 
 
Classificação dos Números Irracionais 
Existem dois tipos de números irracionais: 
 
- Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo 
número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, 
multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por 
exemplo: 
 . 
A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser expressos através de 
radicais,conforme o teorema de Abel-Ruffini. 
 
- Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias 
constantes matemáticas são transcendentes, como pi ( ) e o número de Euler ( ). Pode-se dizer que 
existem mais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos infinitos 
pode ser feita na teoria dos conjuntos). 
A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feito usando-se números 
complexos. 
 
Identificação de números irracionais 
Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que: 
- Todas as dízimas periódicas são números racionais. 
- Todos os números inteiros são racionais. 
- Todas as frações ordinárias são números racionais. 
- Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. 
- Todas as raízes inexatas são números irracionais. 
- A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. 
- A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional. 
 
Exemplos: 
1) √3 - √3 = 0 e 0 é um número racional. 
- O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional. 
 
2) √8 : √2 = √4 = 2 e 2 é um número racional. 
- O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional. 
 
3) √5 . √5 = √25 = 5 e 5 é um número racional. 
- A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num 
conjunto denominado conjunto R dos números reais. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 79 
- A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui 
elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio ( ∅ ). 
Simbolicamente, teremos: 
 
Q ∪ I = R 
Q ∩ I = ∅ 
 
Questões 
 
01. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC) Considere as seguintes afirmações: 
I. Para todo número inteiro x, tem-se 
4𝑥−1 + 4𝑥 + 4𝑥+1
4𝑥−2 + 4𝑥−1
= 16,8 
 
II. (8
1
3 + 0,4444… ) :
11
135
= 30 
 
III. Efetuando-se (√6 + 2√5
4
) 𝑥(√6 − 2√5
4
) obtém-se um número maior que 5. 
 
Relativamente a essas afirmações, é certo que 
(A) I,II, e III são verdadeiras. 
(B) Apenas I e II são verdadeiras. 
(C) Apenas II e III são verdadeiras. 
(D) Apenas uma é verdadeira. 
(E) I,II e III são falsas. 
 
02. (DPE/RS – ANALISTA ADMINISTRAÇÃO – FCC) A soma S é dada por: 
𝑆 = √2 + √8 + 2√2 + 2√8 + 3√2 + 3√8 + 4√2 + 4√8 + 5√2 + 5√8 
Dessa forma, S é igual a 
(𝐴) √90 
(𝐵) √405 
(𝐶) √900 
(𝐷) √4050 
(𝐸) √9000 
 
03. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC) O resultado do produto: (2√2 + 1) ∙
(√2 − 1) é: 
(𝐴) √2 − 1 
(B) 2 
(𝐶) 2√2 
(𝐷) 3 − √2 
 
04. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN) Sejam os números 
irracionais: x = √3, y = √6, z = √12 e w = √24. Qual das expressões apresenta como resultado um número 
natural? 
(A) yw – xz. 
(B) xw + yz. 
(C) xy(w – z). 
(D) xz(y + w). 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 80 
05. (DETRAN/RJ- Assistente Técnico de identificação Civil - MAKIYAMA) Assinale a seguir o 
conjunto a que pertence o número √2: 
(A) Números inteiros. 
(B) Números racionais. 
(C) Números inteiros e naturais. 
(D) Números racionais e irracionais. 
(E) Números irracionais. 
 
06. (UFES – Técnico em Contabilidade – UFES) Sejam x e y números reais. É CORRETO afirmar: 
(A) Se x e y são números racionais e não inteiros, então y. x é um número racional e não inteiro. 
(B) Se x é um número irracional e y é um número racional, então y+ x é um número irracional. 
(C) Se x e y são números racionais e não inteiros, então y + x é um número racional e não inteiro. 
(D) Se x é um número irracional e y é um número racional, então y. x é um número irracional. 
(E) Se x e y são números irracionais, então y. x é um número irracional. 
 
Respostas 
01. Resposta: B. 
 
I 
4𝑥(4−1+1+4)
4𝑥(4−2+4−1)
 
 
 
1
4
+5
1
16
+
1
4
=
1+20
4
1+4
16
=
21
4
5
16
=
21
4
∙
16
5
=
21∙4
5
= 16,8 
 
II 
 8
1
3 = √8
3
= 2 
10x = 4,4444... 
- x = 0,4444..... 
9x = 4 
x = 4/9 
 
 (2 +
4
9
) :
11
135
=
18+4
9
∙
135
11
=
22
9
∙
135
11
=
2∙135
9
= 30 
 
III 
 √62 − 20
4
= √16
4
= 2 
Portanto, apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
 
02. Resposta: D. 
𝑆 = 15√2 + 15√8 
√8 = 2√2 
𝑆 = 15√2 + 30√2 = 45√2 
𝑆 = √452 . 2 
𝑆 = √4050 
 
03. Resposta: D. 
(2√2 + 1) ∙ (√2 − 1) = 2(√2)
2
− 2√2 + √2 − 1 
= 4 − √2 − 1 = 3 − √2 
 
04. Resposta: A. 
Vamos testar as alternativas: 
A) √6 . √24 − √3 . √12 = √6 . 24 − √3 . 12 = √144 − √36 = 12 − 6 = 6 
 
05. Resposta: E. 
Como √2, não tem raiz exata, logo é um número Irracional 
 
 
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. 81 
06. Resposta: B. 
Esta questão pede as propriedades dos números irracionais: 
-A soma de um número racional r com um número irracional i é um número irracional r'. 
-O produto de um número racional r, não nulo, por um número irracional i é um número irracional r'. 
-Vejam que a D só estaria correta se cita-se "não nulo". 
-Na letra E não é aplicável a propriedade do fechamento para os irracionais. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R 
 
O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba 
não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. 
Assim temos: 
 
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não irracional, e vice-versa). 
 
 
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo: 
 
 
 
O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: 
- Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} 
- Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} 
- Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} 
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} 
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} 
 
Representação Geométrica dos números reais 
 
 
 
Propriedades 
É válido todas as propriedades anteriormente vistos nos outros conjuntos, assim como os conceitos 
de módulo, números opostos e números inversos (quando possível). 
 
Ordenação dos números Reais 
A representação dos números Reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números 
Reais positivos são maiores que zero e os negativos, menores. Expressamos a relação de ordem da 
seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b, 
 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 
 
Exemplo: -15 ≤5 ↔ 5 – (-15) ≥ 0 
 5 + 15 ≥ 0 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 82 
Intervalos reais 
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são 
determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. 
 
Em termos gerais temos: 
- A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
> ;< ; ] ; [ 
- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
≥ ; ≤ ; [ ; ] 
 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
[a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b) 
 
Observações 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
[a,b[ = [a,b); ]a,b] = (a,b]; e ]a,b[ = (a,b) 
 
a) Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores 
em sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou 
reais em débito ou em haver etc... Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado 
direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. 
b) Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem 
o sinal. 
c) Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. 
 
Operações com Números Relativos 
 
1) Adição e Subtração de números relativos 
a) Se os numerais possuem o mesmosinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. 
b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do 
maior numeral. 
Exemplos: 
3 + 5 = 8 
4 - 8 = - 4 
- 6 - 4 = - 10 
- 2 + 7 = 5 
 
2) Multiplicação e Divisão de Números Relativos 
a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. 
b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. 
Exemplos: 
- 3 x 8 = - 24 
- 20 (-4) = + 5 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 83 
- 6 x (-7) = + 42 
28 2 = 14 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
 
Questões 
 
01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN) Mário 
começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele 
conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na 
partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da 
quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere m um número 
real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: 
I- (20 – m) é um número menor que 20. 
II- (20 m) é um número maior que 20. 
III- (20 m) é um número menor que 20. 
É correto afirmar que: 
A) I, II e III são verdadeiras. 
B) apenas I e II são verdadeiras. 
C) I, II e III são falsas. 
D) apenas II e III são falsas. 
 
03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Na figura abaixo, o ponto 
que melhor representa a diferença 
3
4
−
1
2
 na reta dos números reais é: 
 
 
(A) P. 
(B) Q. 
(C) R. 
(D) S. 
 
04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-
las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. 
Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a 
alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um 
máximo de 100 lâmpadas. 
(A) 36. 
(B) 57. 
(C) 78. 
(D) 92. 
 
05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola, 
Zeca percorre uma distância igual a 
3
4
 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente. 
Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 
7
5
 de um quilômetro, 
então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 84 
(A) 
2
3
 
 
(B) 
3
4
 
 
(C) 
1
2
 
 
(D) 
4
5
 
 
(E) 
3
5
 
 
06. (TJ/SP - AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO - AUXILIAR EM SAÚDE BUCAL – VUNESP) Para 
numerar as páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por 
exemplo, para numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 
mL de tinta. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em 
mL, será 
(A) 1,111. 
(B) 2,003. 
(C) 2,893. 
(D) 1,003. 
(E) 2,561. 
 
07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
 
08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o 
resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. 
Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: 
(A) 145. 
(B) 133. 
(C) 127. 
(D) 118. 
 
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados. 
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o 
número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 
15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os 
números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
(E) 63. 
 
10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi 
repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, 
que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 85 
foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional 
ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu 
(A) R$ 74.000,00. 
(B) R$ 93.000,00. 
(C) R$ 98.000,00. 
(D) R$ 102.000,00. 
(E) R$ 106.000,00. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 
* 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 
2.x = 3791 + 15 
x = 3806 / 2 
x = 1903 
 
* 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 
2.x = 1903 + 15 
x = 1918 / 2 
x = 959 
 
* 2ª partida: 959 = 2.x – 15 
2.x = 959 + 15 
x = 974 / 2 
x = 487 
* 1ª partida: 487 = 2.x – 15 
2.x = 487 + 15 
x = 502 / 2 
x = 251 
Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 
 
02. Resposta: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 
 
03. Resposta: A. 
3
4
−
1
2
= 
3 − 2
4
= 
1
4
= 0,25 
 
04. Resposta: D. 
Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. 
Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva 
nas três equações abaixo: 
De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total 
De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total 
De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total 
Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 
7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 
7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 
 
05. Resposta: E. 
Ida + volta = 7/5 . 1 
3
4
 . 𝑥 + 𝑥 =
7
5
 
 
5.3𝑥+ 20𝑥=7.4
20
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 86 
15𝑥 + 20𝑥 = 28 
35𝑥 = 28 
 
𝑥 =
28
35
 (: 7/7) 
 
𝑥 =
4
5
 (volta) 
 
Ida: 
3
4
 .
4
5
= 
3
5
 
 
06. Resposta: C. 
1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml 
De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 
99 – 10 + 1 = 90. 
OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 
90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml 
De 100 a 999 
999 – 100 + 1 = 900 números 
9000,003 = 2,7 ml 
1000 = 0,004ml 
Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 
 
07. Resposta: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
08. Resposta: B. 
Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: 
D = d.Q + R 
Sabemos que o R = 5 
O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 
E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 
Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 
 
09. Resposta: B. 
* número 40: é par. 
40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 
* número 35: é ímpar. 
Seu maior divisor é 35. 
35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* número66: é par. 
66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 
* número 27: é ímpar. 
Seu maior divisor é 27. 
27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* Por fim, vamos somar os resultados: 
37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 87 
10. Resposta: B. 
Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: 
* Breno: 
𝟏
𝟐
 .
𝟏
𝟑
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
𝟏
𝟔
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
x = 62000 . 6 
x = R$ 372000,00 
* Carlos: 
 
𝟏
𝟒
 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS – C 
 
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos 
deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no 
universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). 
No século XVIII, o matemático suíço Leonhard Euler passou a representar √−1 por i, convenção que 
utilizamos até os dias atuais. 
Assim: √−1 = i, que passamos a chamar de unidade imaginária. 
A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente 
conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números 
complexos, que representamos por C. 
 
Números Complexos 
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, 
ou seja: 
z = (x, y) 
onde x ∈ a R e y ∈ a R. 
 
Então, por definição, se z = (x, y) = (x,0) + (y, 0)(0,1) onde i = (0,1), podemos escrever que: 
z = (x, y) = x + yi 
 
Exemplos 
(5, 3) = 5 + 3i 
(2, 1) = 2 + i 
(-1, 3) = - 1 + 3i 
 
Dessa forma, todo o números complexo z = (x, y) pode ser escrito na forma z = x + yi, conhecido como 
forma algébrica, onde temos: 
x = Re(z), parte real de z 
y = Im(z), parte imaginária de z 
Igualdade entre números complexos: Dois números complexos são iguais se, e somente se, 
apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, 
temos que: 
z1 = z2 <==> a = c e b = d 
 
Adição de números complexos: Para somarmos dois números complexos basta somarmos, 
separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos 
que: 
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i 
 
Subtração de números complexos: Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, 
separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos 
que: 
z1 – z2 = (a - c) + (b - d)i 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 88 
Multiplicação de números complexos: Para multiplicarmos dois números complexos basta 
efetuarmos a multiplicação de dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1 = a + 
bi e z2 = c + di, temos que: 
z1.z2 = a.c + a.di + b.ci + b.di2 
Como i2 = -1, temos: 
z1.z2= ac + adi + bci - bd 
Agrupando os membros: 
z1.z2= ac – bd + adi + bci → (ac – bd) + (ad + bc)i 
 
Nota: As propriedades da adição, subtração e multiplicação válidas para os Reais são válidas para os 
números complexos. 
 
Conjugado de um número complexo: Dado z = a + bi, define-se como conjugado de z (representa-
se por 𝑧̅) ==> 𝑧̅ = a - bi 
Exemplo: 
z = 3 - 5i ==> 𝑧̅ = 3 + 5i 
z = 7i ==> 𝑧̅ = - 7i 
z = 3 ==> 𝑧̅ = 3 
 
Propriedade: 
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real. 
𝑧. 𝑧̅ ∈ 𝑅 
 
Divisão de números complexos: Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o 
numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos 
que: 
 
 
Potências de i 
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então: 
i0 = 1 
i1 = i 
i2 = -1 
i3 = i2.i = -1.i = -i 
i4 = i2.i2=-1.-1= 1 
i5 = i4. 1=1.i= i 
i6 = i5. i =i.i=i2= -1 
i7 = i6. i =(-1).i= -i ...... 
 
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-
se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão 
de n por 4. 
Exemplo: i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63= i3 = -i 
 
Módulo de um número complexo: Dado z = a+bi, chama-se módulo de z, indicado por |z| ou 𝜌 , a 
distância entre a origem (O) do plano de Gauss e o afixo de z (P). 
| z |= 𝜌 =√ 𝑎2 + 𝑏2 
 
Interpretação geométrica: Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números 
complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte 
maneira 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 89 
 
 
Em particular temos que: 
 
 
 
Forma polar dos números complexos: Da interpretação geométrica, temos que: 
 
 
Que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo. 
 
Exemplo: 
 
A multiplicação de dois números complexos na forma polar: 
A = |A| [cos(a) + i sen(a)] 
B = |B| [cos(b) + i sen(b)] 
 
É dada pela Fórmula de De Moivre: 
AB = |A||B| [cos(a + b) + i sen(a + b)] 
Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar 
os seus módulos e somar os seus argumentos. 
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso 
A = cos(a) + i sen(a) 
B = cos(b) + i sen(b) 
 
Multiplicando A e B, obtemos 
AB = cos(a + b) + i sen(a + b) 
 
Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para 
todo número complexo z e também para todo número real z: 
eiz = cos(z) + i sen(z) 
 
Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra 
forma para representar números complexos unitários A e B, como: 
A = eia = cos(a) + i sen(a) 
B = eib = cos(b) + i sen(b) 
 
Onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim, e i(a+b) = cos(a + b) + isen(a + b) 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 90 
Por outro lado ei(a+b) = eia . eib = [cos(a) + isen(a)] [cos(b) + isen(b)] 
 
E desse modo ei(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)] 
 
Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, 
logo 
cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) 
sen(a + b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a) 
 
Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma 
cos(a + (-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b) 
sen(a + (-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a) 
 
Para obter 
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) 
sen(a - b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b) 
 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – CABO – CETRO) Assinale a alternativa que apresenta o módulo do número complexo 
abaixo. 
 
𝑧 =
(1 + 2𝑖)2
𝑖
 
(A) 36. 
(B) 25. 
(C) 5. 
(D) 6. 
 
02. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC) Considere a igualdade x + (4 + y). i = (6 − x) + 2yi, em 
que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z = x + yi, é um 
número 
(A) maior que 10. 
(B) quadrado perfeito. 
(C) irracional. 
(D) racional não inteiro. 
(E) primo. 
 
 Operações na forma polar 
 
 Sejam z1=𝜌1(cos 𝜃1+ i sen𝜃1) e z2=𝜌1(cos𝜃2+i sen𝜃2). Então, temos que: 
 
a) Multiplicação 
 
b) Divisão 
 
c) Potenciação 
 
d) Radiciação 
 
 
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 91 
03. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) Assinale a alternativa correspondente à forma 
trigonométrica do número complexo z=1+i: 
(A) 𝒛 = √2(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
 
(B) 𝑧 = 2(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
 
(C) 𝑧 =
√2
2
(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
 
(D) 𝑧 =
1
2
(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
 
(E) 𝑧 =
√2
2
(cos
𝜋
3
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
) 
 
04. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) O valor do módulo do número complexo (i62+i123) é: 
(A) Um número natural. 
(B) Um número irracional maior que 5. 
(C) Um número racional menor que 2. 
(D) Um número irracional maior que 3. 
(E) Um número irracional menor que 2. 
 
05. (Professor/Pref Itaboraí) O inverso do número complexo 
1+√5𝑖
2
 é: 
(𝐴) 
1 + √5𝑖
2(𝐵) 
1 − √5𝑖
2
 
 
(C) 1 − √5𝑖 
 
(𝐷) 
1 + √5𝑖
3
 
 
(𝐸) 
1 − √5𝑖
3
 
 
06. (UFPA) A divisão 
1+2𝑖
1−𝑖
 dá como resultado 
(A) 
−1
2
−
3
2
𝑖 
 
(B) 
1
2
+
3
2
𝑖 
 
(C) 
−1
2
+
3
2
𝑖 
 
(D) 
1
2
−
3
2
𝑖 
 
07. (PUC-SP) Se f(z) = z2 - z + 1, então f (1- i) é igual a: 
(A) i 
(B) – i + 1 
(C) - i 
(D) i -1 
(E) i + 1 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 92 
08. (UCMG) O complexo z, tal que 5z + z- = 12 +16i, é igual a: 
(A) - 2 + 2i 
(B) 2 - 3i 
(C) 1 + 2i 
(D) 2 + 4i 
(E) 3 + i 
09. (Viçosa – MG) A parte real de 
2+3𝑖
2−3𝑖
 é: 
 
(A) -2/13 
(B) -5/13 
(C) -1/13 
(D) -4/13 
 
10. (Mack – SP) O conjugado de 
2−𝑖
𝑖
 , vale: 
(A) 1 - 2i 
(B) 1 + 2i 
(C) 1 + 3i 
(D) -1 + 2i 
(E) 2 - i 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
𝑧 =
1 + 4𝑖 − 4
𝑖
=
−3 + 4𝑖
𝑖
∙
𝑖
𝑖
= 3𝑖 + 4 
 
|𝑧| = √32 + 4² = 5 
 
02. Resposta: E. 
x=6-x 
 x=3 
 4+y=2y 
y=4 
 |𝑧| = √32 + 4² = 5 
 
03. Resposta: A. 
 
𝜌 = √12 + 1² = √2 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
1
√2
=
√2
2
= 𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝜃 =
𝜋
4
 
𝑧 = √2(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
 
04. Resposta: E. 
62/4=15 e resto 2 então i62=i2= -1 
123/4=30 e resto 3 então i123=i3=-i, como 𝑖 = √−1 
𝑖62 + 𝑖123 = −1− √−1 
 
05. Resposta: E. 
O inverso de z é 1/z : 
2
1 + √5𝑖
=
2
1 + √5𝑖
.
1 − √5𝑖
1 − √5𝑖
=
2 − 2√5𝑖
12 − (√5𝑖)2
=
2− 2√5𝑖
1 − 5𝑖2
=
2 − 2√5𝑖
6
=
1 − √5𝑖
3
 
 
06. Resposta: C. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 93 
Temos q a = 1; b = 2; c = 1; d = - 1 
Através da fórmula já vista vamos efetuar a divisão: 
(
𝑎𝑐 + 𝑑𝑏
𝑐2 + 𝑑2
) + (
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐2 + 𝑑2
) 𝑖 → (
1.1 + (−1). 2
12 + (−1)2
) + (
2.1 − (1. (−1))
12 + (−1)2
) 𝑖 → 
 
1 − 2
2
+
2 + 1
2
𝑖 →
−1
2
+
3
2
𝑖 
 
07. Resposta: C. 
f(z) = z2 – z + 1  (1 - i)2 – (1 - i) + 1  1 - 2i + i2 – 1 + i +1  i2 – i + 1; como i2 = - 1, então: - 1 – i + 
1 = - i 
 
08. Resposta: D. 
A fórmula do número complexo é z = a + bi 
Logo temos: 
5.(a + bi) + (a - bi) = 12 + 16i  5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i  6a + 4bi = 12 + 16i, para um número 
complexo ser igual ao outro, vamos igualar a parte real com a imaginária: 
6a = 12  a = 2; 4bi = 16i  b = 4 
Montando o complexo: z = a + bi  z = 2 + 4i 
 
09. Resposta: B. 
(
𝑎𝑐 + 𝑑𝑏
𝑐2 + 𝑑2
) + (
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐2 + 𝑑2
) 𝑖 
 
Como queremos a parte real, vamos utilizar a primeira parte da fórmula: 
(
2.2 + 3. (−3)
22 + (−3)2
) =
4 − 9
4 + 9
=
−5
13
 
 
10. Resposta: D. 
Vamos multiplicar o denominador e numerador pelo conjugado do denominador – i. Lembre-se que i2 
= - 1 
 
2 − 𝑖
𝑖
.
−𝑖
−𝑖
→
−2𝑖 + 𝑖2
−𝑖2
→
−2𝑖 − 1
−(−1)
→ −2𝑖 − 1 
Temos que o conjugado de um número complexo é: a + bi  a - bi, logo 
-1 – 2i  -1 + 2i 
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS 
 
Grandeza é tudo aquilo que pode ser contado e medido. Do dicionário, tudo o que pode aumentar ou 
diminuir (medida de grandeza.). 
As grandezas proporcionais são aquelas que relacionadas a outras, sofrem variações. Elas podem ser 
diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
Exemplos: 
1 - Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta dois tanques e meio de óleo diesel. Se a 
distância entre a cidade A e a cidade B é de 500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de 
óleo diesel, quantos litros de óleo diesel cabem no tanque da picape? 
A) 60 
B) 50 
C) 40 
D) 70 
E) 80 
 
Proporcionalidade. Porcentagem. Juros. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 94 
Observe que há uma relação entre as grandezas distância (km) e óleo diesel (litros). Equacionando 
temos: 
100 km ------- 25 litros 
500 km ------- x litros 
 
Resolvendo: 
100
500
=
25
𝑥
 → 100. 𝑥 
= 500.25 
 
100x = 12500 → x = 12500/100 → x = 125 
 Este valor representa a quantidade em litros gasta para ir da cidade A à B. Como sabemos que ele 
gasta 2,5 tanques para completar esse percurso, vamos encontrar o valor que cabe em 1 tanque: 
2,5 tanques ------ 125 litros 
1 tanque ------- x litros 
2,5x = 1.125 → x = 125/2,5 → x = 50 litros. 
Logo 1 tanque dessa picape cabe 50 litros, a resposta correta está na alternativa B. 
 
2 – A tabela a seguir mostra a velocidade de um trem ao percorrer determinado percurso: 
 
Velocidade (km/h) 40 80 120 ... 
Tempo (horas) 6 3 2 ... 
 
Se sua velocidade aumentar para 240 km/h, em quantas horas ele fará o percurso? 
 
Podemos pegar qualquer velocidade para acharmos o novo tempo: 
40 km ------ 6 horas 
240 km ----- x horas 
 
 
 
40
240
=
𝑥
6
→ 240𝑥 = 40.6 → 240𝑥 = 240 → 𝑥 = 1 ∴ 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑚 𝑓𝑎𝑟á 𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 𝑒𝑚 1 ℎ𝑜𝑟𝑎. 
 
Observe que invertemos os valores de uma das duas proporções (km ou tempo), neste exemplo 
optamos por inverter a grandeza tempo. 
 
- Grandezas diretamente proporcionais (GDP) 
 
São aquelas em que, uma delas variando, a outra varia na mesma razão da outra. Isto é, duas 
grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; 
triplicando uma delas, a outra também triplica, divididas à terça parte a outra também é dividida à terça 
parte... E assim por diante. 
Matematicamente podemos escrever da seguinte forma: 
 
𝒂𝟏
𝒃𝟏
=
𝒂𝟐
𝒃𝟐
=
𝒂𝟑
𝒃𝟑
= ⋯ = 𝒌 
 
Onde a grandeza A = {a1, a2, a3...}, a grandeza B= {b1, b2, b3...} e os valores entre suas razões 
são iguais a k (constante de proporcionalidade). 
 
Exemplos: 
1 - Uma faculdade irá inaugurar um novo espaço para sua biblioteca, composto por três salões. Estima-
se que, nesse espaço, poderão ser armazenados até 120.000 livros, sendo 60.000 no salão maior, 15.000 
no menor e os demais no intermediário. Como a faculdade conta atualmente com apenas 44.000 livros, 
Observe que: 
Se aumentarmos a velocidade, diminuímos de forma 
proporcional o tempo. Logo as grandezas são inversamente 
proporcionais. 
 
 
Observe que: 
Se aumentarmos a Km aumentaremos 
também a quantidade de litros gastos. Logo 
as grandezas são diretamente proporcionais. 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 95 
a bibliotecária decidiu colocar, em cada salão, uma quantidade de livros diretamente proporcional à 
respectiva capacidade máxima de armazenamento. Considerando a estimativa feita, a quantidade de 
livros que a bibliotecária colocará no salão intermediário é igual a 
A) 17.000. 
B) 17.500. 
C) 16.500. 
D) 18.500. 
E) 18.000. 
 
Como é diretamente proporcional, podemos analisar da seguinte forma: 
No salão maior, percebe-se que é a metade dos livros, no salão menor é 1/8 dos livros. 
Então, como tem 44.000 livros, o salão maior ficará com 22.000 e o salão menor com 5.500 livros. 
22000+5500=27500 
Salão intermediário:44.000-27.500=16.500 livros. 
Resposta C 
 
2 - Um mosaico foi construído com triângulos, quadrados e hexágonos. A quantidade de polígonos de 
cada tipo é proporcional ao número de lados do próprio polígono. Sabe-se que a quantidade total de 
polígonos do mosaico é 351. A quantidade de triângulos e quadrados somada supera a quantidade de 
hexágonos em 
A) 108. 
B) 27. 
C) 35. 
D) 162. 
E) 81. 
 
𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠: 3𝑥 
𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜: 4𝑥 
ℎ𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜: 6𝑥 
 
3𝑥 + 4𝑥 + 6𝑥 = 351 
13𝑥 = 351 
𝑥 = 27 
3𝑥 + 4𝑥 = 3.27 + 4.27 = 81 + 108 = 189 
6𝑥 = 6.27 = 162 → 189-162= 27 
Resposta B 
 
 
 
- Grandezas inversamente proporcionais (GIP) 
 
São aquelas quando, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. Isto é, duas 
grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz pela metade; 
triplicando uma delas, a outra se reduz para à terça parte... E assim por diante. 
Matematicamente podemos escrever da seguinte forma: 
 
𝒂𝟏.𝒃𝟏 = 𝒂𝟐.𝒃𝟐 = 𝒂𝟑.𝒃𝟑 = ⋯ = 𝒌 
 
Uma grandeza A = {a1, a2, a3...} Será inversamente a outra B= {b1, b2, b3...}, se e somente se, os 
produtos entre os valores de A e B são iguais. 
 
Exemplos: 
*Se uma grandeza aumenta e a outra também , elas são diretamente 
proporcionais. 
*Se uma grandeza diminui e a outratambém , elas também são 
diretamente proporcionais. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 96 
1 - Carlos dividirá R$ 8.400,00 de forma inversamente proporcional à idade de seus dois filhos: Marcos, 
de12 anos, e Fábio, de 9 anos. O valor que caberá a Fábio será de: 
A) R$ 3.600,00 
B) R$ 4.800,00 
C) R$ 7.000,00 
D) R$ 5.600,00 
 
Marcos: a 
Fábio: b 
a + b = 8400 
𝑎
1
12
+
𝑏
1
9
=
𝑎 + 𝑏
1
12
+
1
9
 
 
𝑏
1
9
=
8400
3
36
+
4
36
 
 
7
36
𝑏 =
8400
9
→ 𝑏 =
8400
9
7
36
→ 𝑏 =
8400
9
.
36
7
→ 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 
1200
1
.
4
1
= 4800 
 
Resposta B 
 
2 - Três técnicos judiciários arquivaram um total de 382 processos, em quantidades inversamente 
proporcionais as suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é correto afirmar que o 
número de processos arquivados pelo mais velho foi: 
A) 112 
B) 126 
C) 144 
D) 152 
E) 164 
 
 
 
Somamos os inversos dos números, ou seja: 
1
28
 + 
1
32
 + 
1
36
. Dividindo-se os denominadores por 4, ficamos 
com: 
1
7
 + 
1
8
 + 
1
9
 = 
72+63+53
504
 = 
191
504
. 
Eliminando-se os denominadores, temos 191 que corresponde a uma soma. Dividindo-se a soma pela 
soma: 
382 / 191 = 2.56 = 112 
 
 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
http://www.brasilescola.com 
http://www.dicio.com.br 
*Se uma grandeza aumenta e a outra diminui , elas são inversamente 
proporcionais. 
*Se uma grandeza diminui e a outra aumenta , elas também são 
inversamente proporcionais. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 97 
Questões 
 
01. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Na tabela abaixo, a sequência de 
números da coluna A é inversamente proporcional à sequência de números da coluna B. 
 
A letra X representa o número 
(A) 90. 
(B) 80. 
(C) 96. 
(D) 84. 
(E) 72. 
 
02. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Um pintor gastou duas horas para pintar um quadrado 
com 1,5 m de lado. Quanto tempo ele gastaria, se o mesmo quadrado tivesse 3 m de lado? 
(A) 4 h 
(B) 5 h 
(C) 6 h 
(D) 8 h 
(E) 10 h 
 
03. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP) A tabela, com dados relativos à cidade de São 
Paulo, compara o número de veículos da frota, o número de radares e o valor total, em reais, arrecadado 
com multas de trânsito, relativos aos anos de 2004 e 2013: 
 
Se o número de radares e o valor da arrecadação tivessem crescido de forma diretamente proporcional 
ao crescimento da frota de veículos no período considerado, então em 2013 a quantidade de radares e o 
valor aproximado da arrecadação, em milhões de reais (desconsiderando-se correções monetárias), 
seriam, respectivamente, 
(A) 336 e 424. 
(B) 336 e 426. 
(C) 334 e 428. 
(D) 334 e 430. 
(E) 330 e 432. 
 
04. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP) Um centro de imprensa foi 
decorado com bandeiras de países participantes da Copa do Mundo de 2014. Sabe-se que as medidas 
de comprimento e largura da bandeira brasileira são diretamente proporcionais a 10 e 7, enquanto que 
as respectivas medidas, na bandeira alemã, são diretamente proporcionais a 5 e 3. Se todas as bandeiras 
foram confeccionadas com 1,5 m de comprimento, então a diferença, em centímetros, entre as medidas 
da largura das bandeiras brasileira e alemã, nessa ordem, é igual a 
(A) 9. 
(B) 10. 
(C) 12. 
(D) 14. 
(E) 15. 
 
05. (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP) Foram construídos dois reservatórios de água. 
A razão entre os volumes internos do primeiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes é 
14m³. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é 
igual a 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 98 
(A) 8000. 
(B) 6000. 
(C) 4000. 
(D) 6500. 
(E) 9000. 
 
06. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP) Moradores de certo município 
foram ouvidos sobre um projeto para implantar faixas exclusivas para ônibus em uma avenida de tráfego 
intenso. A tabela, na qual alguns números foram substituídos por letras, mostra os resultados obtidos 
nesse levantamento. 
 
 
 
Se a razão entre o número de mulheres e o número de homens, ambos contrários à implantação da 
faixa exclusiva para ônibus é de 3/10, então o número total de pessoas ouvidas nesse levantamento, 
indicado por T na tabela, é 
(A) 1 140. 
(B) 1 200. 
(C) 1 280. 
(D) 1 300. 
(E) 1 320. 
 
07. (PRODEST/ES – Assistente de Tecnologia da Informação – VUNESP) O gráfico apresenta 
informações sobre a relação entre o número de mulheres e o número de homens atendidos em uma 
instituição, nos anos de 2012 e 2013. 
 
 
Mantendo-se a mesma relação de atendimentos observada em 2012 e 2013, essa instituição pretende 
atender, em 2014, 110 homens. Dessa forma, o número total de pessoas que essa instituição pretende 
atender em 2014 e o número médio anual de atendimentos a mulheres que se pretende atingir, 
considerando-se os anos de 2012, 2013 e 2014, são, respectivamente, 
(A) 160 e 113,3. 
(B) 160 e 170. 
(C) 180 e 120. 
(D) 275 e 115. 
(E) 275 e 172,2. 
 
08. (Câmara Municipal de Sorocaba/SP – Telefonista – VUNESP) O copeiro prepara suco de açaí 
com banana na seguinte proporção: para cada 500 g de açaí, ele gasta 2 litros de leite e 10 bananas. Na 
sua casa, mantendo a mesma proporção, com apenas 25 g de açaí, ele deve colocar leite e banana nas 
seguintes quantidades, respectivamente, 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 99 
(A) 80 ml e 1 
(B) 100 ml e 1 / 2 
(C) 120 ml e 1 / 2 
(D) 150 ml e 1 / 4 
(E) 200 ml e 1 
 
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma engrenagem circular P, de 20 dentes, 
está acoplada a uma engrenagem circular Q, de 18 dentes, formando um sistema de transmissão de 
movimento. Se a engrenagem P gira 1 / 5 de volta em sentido anti-horário, então a engrenagem Q irá 
girar 
(A) 2 / 9 de volta em sentido horário. 
(B) 9 / 50 de volta em sentido horário. 
(C) 6 / 25 de volta em sentido horário. 
(D) 1 / 4 de volta em sentido anti-horário. 
(E) 6 / 25 de volta em sentido anti-horário. 
 
10. (SEGPLAN-GO - Auxiliar de Autópsia - FUNIVERSA) A geladeira, para conservação de 
cadáveres, do necrotério de determinada cidade possui 12 gavetas de mesma medida. Para a limpeza 
de 7 dessas gavetas, o auxiliar de autópsia gasta 3,5 kg de sabão. Então, para a limpeza das 12 gavetas, 
ele gastará 
(A) 5 kg de sabão. 
(B) 6 kg de sabão. 
(C) 7 kg de sabão. 
(D) 8 kg de sabão. 
(E) 9 kg de sabão. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
 
16
1
60
=
12
1
𝑋
 
 16 ∙ 60 = 12 ∙ 𝑋 
x=80 
 
02. Resposta: D. 
Como a medida do lado dobrou (1,5 . 2 = 3), o tempo também vai dobrar (2 . 2 = 4), mas, como se trata 
de área, o valor vai dobrar de novo (2 . 4 = 8h). 
 
03. Resposta: A. 
Chamando os radares de 2013 de ( x ), temos que: 
5,8
7,5
= 
260
𝑥
 
 
5,8 . x = 7,5 . 260 
x = 1950 / 5,8 
x = 336,2 (aproximado) 
Por fim, vamos calcular a arrecadação em 2013: 
 
5,8
7,5
= 
328
𝑥
 
 
5,8 . x = 7,5 . 328 
x = 2460 / 5,8 
x = 424,1 (aproximado) 
 
04. Resposta: E. 
1,5 m = 150 cm 
* Bandeira Brasileira: 
𝑪
𝑳
= 
𝟏𝟎
𝟕
, ou seja, 10.L = 7.C 
10.L = 7 . 150 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 100 
L = 1050 / 10 
L = 105 cm 
* Bandeira Alemã: 
𝑪′
𝑳′
= 
𝟓
𝟑
, ou seja, 5.L’ = 3.C’ 
5.L’ = 3 . 150 
L’ = 450 / 5 
L’ = 90 cm 
Então a diferença é: 105 – 90 = 15 cm 
 
05. Resposta: B. 
Primeiro:2k 
Segundo:5k 
2k+5k=14 
7k=14 
K=2 
Primeiro=2.2=4 
Segundo=5.2=10 
Diferença=10-4=6m³ 
1m³------1000L 
6--------x 
X=6000 l 
 
06. Resposta: B. 
𝒑
𝟔𝟎𝟎
= 
𝟑
𝟏𝟎
 
 
10.p = 3 . 600 
 
p = 1800 / 10 
p = 180 mulheres 
* Total de Mulheres: q = 300 + 180 = 480 
* Total Geral: T = 480 + 720 = 1200 pessoas 
 
07. Resposta: D. 
Primeiramente, vamos calcular a razão entre mulheres e homens (observe que os dados do gráficose 
mantém na mesma proporção, logo são diretamente proporcionais): 
𝒎
𝒉
= 
𝟔𝟎
𝟒𝟎
 
 
* Número total em 2014: (h = 110) 
𝒎
𝟏𝟏𝟎
= 
𝟔𝟎
𝟒𝟎
 
 
40.m = 60 . 110 
m = 6600 / 40 
m = 165 mulheres (em 2014) 
Assim, 110 + 165 = 275 pessoas (em 2014). 
* Número médio anual de mulheres: 
 
𝑴 = 
𝟔𝟎+𝟏𝟐𝟎+𝟏𝟔𝟓
𝟑
= 
𝟑𝟒𝟓
𝟑
= 𝟏𝟏𝟓 𝒎𝒖𝒍𝒉𝒆𝒓𝒆𝒔 
 
08. Resposta: B. 
Sabendo que se mantém a proporção, temos grandezas diretamente proporcionais. Vamos utilizar a 
Regra de Três Simples Direta duas vezes: 
* Açaí e leite: 
açaí leite 
 500 --------- 2000 
 25 ------------ x 
 
 
𝟓𝟎𝟎
𝟐𝟓
=
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝒙
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 101 
𝟓𝟎𝟎.𝒙 = 𝟐𝟓 . 𝟐𝟎𝟎𝟎 
𝒙 = 
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟎𝟎
 
 
 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 𝒎𝑳 𝒅𝒆 𝒍𝒆𝒊𝒕𝒆 
 
* Açaí e banana: 
açaí banana 
 500 --------- 10 
 25 ---------- y 
 
 
𝟓𝟎𝟎
𝟐𝟓
=
𝟏𝟎
𝒚
 
 
𝟓𝟎𝟎.𝒚 = 𝟐𝟓 . 𝟏𝟎 
𝒙 = 
𝟐𝟓𝟎
𝟓𝟎𝟎
 
 
 𝒙 =
𝟏
𝟐
 𝒃𝒂𝒏𝒂𝒏𝒂 
 
09. Resposta: A. 
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais (pois quanto mais dentes, menos voltas 
serão dadas). Vamos utilizar a Regra de Três Simples para resolução: 
Dentes Volta 
 20 ----------- 1 / 5 
 18 ----------- x 
 Invertendo uma das Grandezas, teremos: 
18 . x = 1/5 . 20 
x = 4 / 18 (: 2/2) 
x = 2 / 9 
Será no sentido horário porque a outra engrenagem está no sentido anti-horário. 
 
10. Resposta: B. 
Observa-se que se aumentarmos o número de gavetas iremos gastar mais sabão, logo as grandezas 
são diretamente proporcionais. 
Gavetas Sabão(kg) 
 12 x 
 7 3,5 
12
7
=
𝑥
3,5
→ 7𝑥 = 12.3,5 → 7𝑥 = 42 → 𝑥 =
42
7
→ 𝑥 = 6 𝑘𝑔 
 
Logo, será gasto 6kg de sabão para limpeza de 12 gavetas. 
L 
PORCENTAGEM 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um "todo" 
se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
1) A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 102 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
,= 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
,= 12,5% 
 
Com isso podemos concluir, Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. 
 
2) Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes 
na classe? 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
- Lucro e Prejuízo 
 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
 
Exemplos: 
1) Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 103 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
 
2) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre 
o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
- Aumento e Desconto Percentuais 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
 1 - Aumentar um valor V de 20% , equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
2 - Aumentar um valor V de 200% , equivale a multiplicá-lo por 3 , pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo 
é aumentada de: 
A)35% 
B)30% 
C)3,5% 
D)3,8% 
E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Resposta E 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
1) Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 104 
2) Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era 
o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
 
 - Aumentos e Descontos Sucessivos 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
 Vejamos alguns exemplos: 
1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1 , como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
3) Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um 
desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática VolumeÚnico 
http://www.porcentagem.org 
http://www.infoescola.com 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 105 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) Marcos comprou um produto e pagou R$ 108,00, já inclusos 20% de juros. Se tivesse 
comprado o produto, com 25% de desconto, então, Marcos pagaria o valor de: 
(A) R$ 67,50 
(B) R$ 90,00 
(C) R$ 75,00 
(D) R$ 72,50 
 
02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP) O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcionários, sendo que 
15% deles são estagiários. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários, sendo 20% 
estagiários. Em relação ao total de funcionários desses dois departamentos, a fração de estagiários é 
igual a 
(A) 1/5. 
(B) 1/6. 
(C) 2/5. 
(D) 2/9. 
(E) 3/5. 
 
03. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) Quando calculamos 15% de 1.130, obtemos, como resultado 
(A) 150 
(B) 159,50; 
(C) 165,60; 
(D) 169,50. 
 
04. (ALMG – Analista de Sistemas – Administração de Rede – FUMARC) O Relatório Setorial do 
Banco do Brasil publicado em 02/07/2013 informou: 
[...] Após queda de 2,0% no mês anterior, segundo o Cepea/Esalq, as cotações do açúcar fecharam o 
último mês com alta de 1,2%, atingindo R$ 45,03 / saca de 50 kg no dia 28. De acordo com especialistas, 
o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade, além da firmeza nas negociações por parte 
dos vendedores. Durante o mês de junho, o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar, com a 
cotação do hidratado chegando a R$ 1,1631/litro (sem impostos), registrando alta de 6,5%. A demanda 
aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam 
cenário mais positivo para o combustível. 
Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 - publicado em 02/07/2013. 
 
Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil, é CORRETO afirmar que 
o valor, em reais, da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a 
(A) 42,72 
(B) 43,86 
(C) 44,48 
(D) 54,03 
 
05. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
 
06. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Um vendedor recebe comissões mensais da 
seguinte maneira: 5% nos primeiros 10.000 reais vendidos no mês, 6% nos próximos 10.000,00 vendidos, 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 106 
e 7% no valor das vendas que excederem 20.000 reais. Se o total de vendas em certo mês foi de R$ 
36.000,00, quanto será a comissão do vendedor? 
(A) R$ 2.120,00 
(B) R$ 2.140,00 
(C) R$ 2.160,00 
(D) R$ 2.180,00 
(E) R$ 2.220,00 
 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
08. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
09. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
10. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) Marcos gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A 
porcentagem que lhe sobrou do valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Como o produto já está acrescido de 20% juros sobre o seu preço original, temos que: 
100% + 20% = 120% 
Precisamos encontrar o preço original (100%) da mercadoria para podermos aplicarmos o desconto. 
Utilizaremos uma regra de 3 simples para encontrarmos: 
R$ % 
108 ---- 120 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 107 
 X ----- 100 
120x = 108.100 → 120x = 10800 → x = 10800/120 → x = 90,00 
O produto sem o juros, preço original, vale R$ 90,00 e representa 100%. Logo se receber um desconto 
de 25%, significa ele pagará 75% (100 – 25 = 75%) → 90. 0,75 = 67,50 
Então Marcos pagou R$ 67,50. 
 
02. Resposta: B. 
* Dep. Contabilidade: 
15
100
. 20 =
30
10
= 3 → 3 (estagiários) 
 
* Dep. R.H.: 
20
100
. 10 =
200
100
= 2 → 2 (estagiários) 
 
∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
=
5
30
=
1
6
 
 
03. Resposta: D. 
15% de 1130 = 1130.0,15 ou 1130.15/100 → 169,50 
 
04. Resposta: C. 
1,2% de 45,03 = 
1,2
100
 . 45,03 = 0,54 
Como no mês anterior houve queda, vamos fazer uma subtração. 
45,03 – 0,54 = 44,49 
 
05. Resposta: B. 
 Cartão de crédito: 10/100. (750 + 380) = 1/10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 8/100. (750 + 380) = 8/100 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
06. Resposta: E. 
5% de 10000 = 5 / 100. 10000 = 500 
6% de 10000 = 6 / 100. 10000 = 600 
7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100. 16000 = 1120 
Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220,00 
 
07. Resposta: E. 
 Preço de revenda: 1500 + 40 / 100. 1500 = 1500 + 600 = 2100 
 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100. 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
08. Resposta: A. 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
09. Resposta: A. 
2,40 . 12 = 28,80 
Segunda embalagem: 28,80. 0,75 = 21,60 
As duas embalagens: 28,80 + 21,60 = 50,40 
Revenda: 3,5. 24 = 84,00 
Lucro: R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 
O lucro de Alexandre foi de R$ 33,60 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 108 
10. Resposta: B. 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 
85% - 17% = 68%. 
 
JUROS SIMPLES2 
 
Em regime de juros simples (ou capitalização simples), o juro é determinado tomando como base 
de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da 
operação. As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, entre 
outros. 
No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
 
 
- Os juros são representados pela letra J. 
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C (capital) 
ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. 
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.* 
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo.É representado 
pela letra i e utilizada para calcular juros. 
 
*Varia de acordo com a literatura estudada. 
 
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. 
 
Exemplo 
 
1) Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, 
à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? 
 
Resposta 
 
- Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 
- Tempo de aplicação (t): 5 meses 
- Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) 
 
Fazendo o cálculo, mês a mês: 
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 
- No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 
 
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros. 
 
 
2 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 109 
 
Fazendo o cálculo, período a período: 
- No final do 1º período, os juros serão: i.C 
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C 
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C 
-------------------------------------------------------------------------- 
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C 
 
Portanto, temos: 
J = C . i . t 
 
 
1) O capital cresce linearmente com o tempo; 
2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i 
3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 
5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros, ou seja: 
Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos 
calcular o 4º valor. 
 
M = C + J → M = C.(1+i.t) 
 
 
Exemplo 
 
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de 
juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) 
 
C = R$ 25.000,00 
t = 3 anos 
j = R$ 45.000,00 
i = ? (ao ano) 
 j = 
100
.. tiC
 
45 000 = 
100
3..25000 i
 
45 000 = 750 . i 
i = 
750
000.45
 
i = 60 
Resposta: 60% ao ano. 
 
Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for 
em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. 
 
 
 
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. 110 
Questões 
 
01. (IESES) Uma aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 
12 meses. Dentro do regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? 
(A) 1,5% ao mês. 
(B) 4% ao trimestre. 
(C) 20% ao ano. 
(D) 2,5% ao bimestre. 
(E) 12% ao semestre. 
 
02. (EXATUS-PR) Mirtes aplicou um capital de R$ 670,00 à taxa de juros simples, por um período de 
16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A taxa de juros praticada nessa 
transação foi de: 
(A) 9% a.a. 
(B) 10,8% a.a. 
(C) 12,5% a.a. 
(D) 15% a.a. 
 
03. (UMA Concursos) Qual o valor do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% 
ao mês, em regime de juros simples resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? 
(A) R$ 45.600,00 
(B) R$ 36.600,00 
(C) R$ 55.600,00 
(D) R$ 60.600,00 
 
04. (TRF- 3ª REGIÃO – Analista Judiciário – FCC/2016) Em um contrato é estabelecido que uma 
pessoa deverá pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. 
Esta pessoa decide então aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, 
durante 3 meses, sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, 
ela resgatará todo o montante correspondente, pagará o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicará o 
restante sob o regime de capitalização simples, também durante 3 meses, em outro banco. Se o valor do 
montante desta última aplicação no final do período é exatamente igual ao segundo valor de R$ 
10.665,50, então a taxa anual fornecida por este outro banco é, em %, de 
(A) 10,8%. 
(B) 9,6%. 
(C) 11,2%. 
(D) 12,0%. 
(E) 11,7%. 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
C = 1.000.000,00 
M = 1.240.000,00 
t = 12 meses 
i = ? 
M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i = 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 
1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m 
Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a 
taxa mensal: 
Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. 
Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. 
Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. 
Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 
 
02. Resposta: B. 
Pelo enunciado temos: 
C = 670 
i = ? 
n = 16 meses 
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. 111 
M = 766,48 
Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 
1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. 
Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 
10,8% a.a. 
 
03. Resposta: C. 
C = ? 
n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses 
i = 1,3% a.m = 0,013 
M = 68610,40 
Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 
68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 
 
04. Resposta: C. 
j= 15.000*0,10*0,25 (0,25 é 3 meses/12) 
j=15.000*0,025 
j=375,00 
Montante 15.000+375,00= 15.375,00 
Foi retirado 5.000,00, então fica o saldo para nova aplicação de 10.375,00 o valor a pagar da segunda 
parcela (10.665,50) é o mesmo valor do saldo da aplicação dos 10.375,00 em 03 meses. 
10.665,50-10.375,00= 290,50, esse foi o juros, então é só aplicar a fórmula dos juros simples. 
j=c.i.t 
290,5=10.375,00*i*0,025 
290,5=2.593,75*i 
i= 290,5/2.593,75 
i= 0,112 
i=0,112*100=11,2% 
 
JUROS COMPOSTOS3 
 
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas 
modalidades, a saber: 
 
Juros simples (capitalização simples) – a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. 
Juros compostos (capitalização composta) – a taxa de juros incide sobre o capital de cada 
período. Também conhecido como "juros sobre juros". 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as 
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos 
na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
 
Exemplo 
 
Considere o capital inicial (C) $1500,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i 
= 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1500 x 1,1 = 1650 = 1500(1 + 0,1) 
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1650 x 1,1 = 1815 = 1500(1 + 0,1)2 
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1815 x 1,1 = 1996,5 = 1500(1 + 0,1)3 
..................................................................................................... 
Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente: M = 1500(1 + 0,1)t 
De uma forma genérica, teremos para um capital C, aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante 
o período (t): 
M = C (1 + i)t 
 
 
3 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
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. 112 
Onde: 
M = montante, 
C = capital, 
i = taxa de juros e 
t = número de períodos que o capitalC (capital inicial) foi aplicado. 
(1+i)t ou (1+i)n = fator de acumulação de capital 
 
Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t), tem de 
ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! 
Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês 
durante 3x12=36 meses. 
 
Graficamente temos, que o crescimento do principal(capital) segundo juros simples é LINEAR, 
CONSTANTE enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, GEOMÉTRICO 
e, portanto tem um crescimento muito mais "rápido". 
 
 
 
 
- O montante após 1º tempo é igual tanto para o regime de juros simples como para juros 
compostos; 
- Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros simples; 
- Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros compostos. 
 
 
Juros Compostos e Logaritmos 
 
Para resolução de algumas questões que envolvam juros compostos, precisamos ter conhecimento de 
conceitos de logaritmos, principalmente aquelas as quais precisamos achar o tempo/prazo. É muito 
comum ver em provas o valor dado do logaritmo para que possamos achar a resolução da questão. 
 
Exemplo 
 
Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de 
quanto tempo este capital estará duplicado? 
 
Resposta 
 
Sabemos que M = C (1 + i)t. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos M = 2C. 
Substituindo, vem: 2C = C(1+0,02)t [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%] 
Simplificando, fica: 
2 = 1,02t , que é uma equação exponencial simples. 
Teremos então: t = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35 
 
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas 
calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular ou concurso, o examinador teria de 
informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que 
não é comum no Brasil. 
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. 113 
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é 
mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. 
Resposta: 2 anos e 11 meses. 
 
- Em juros simples quando a taxa de juros(i) estiver em unidade diferente do tempo(t), pode-se 
colocar na mesma unidade de (i) ou (t). 
 
- Em juros compostos é preferível colocar o (t) na mesma unidade da taxa (i). 
 
 
Questões 
 
01. (EXÉRCITO BRASILEIRO) Determine o tempo necessário para que um capital aplicado a 20 % a. 
m. no regime de juros compostos dobre de valor. Considerando que log 2 = 0,3 e log 1,2 = 0,08. 
(A) 3,75 meses. 
(B) 3,5 meses. 
(C) 2,7 meses. 
(D) 3 meses. 
(E) 4 meses. 
 
02. (FCC) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu 
objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava 
R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos 
anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? 
Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) 
(A) 15 
(B) 12 
(C) 10 
(D) 9 
(E) 6 
 
03. (CESGRANRIO) Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao 
mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) 
= 6,91; ln(1.159,27) = 7,06; ln(1,03) = 0,03). 
 
 
04. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE-GO/2017) Fábio aplicou R$ 1.000,00 em uma aplicação 
que rende juros compostos de 2% ao mês. Ao final de 3 meses qual será o montante da aplicação de 
Fábio, desprezando-se as casas decimais? 
(A) R$ 1.060 
(B) R$ 1.061 
(C) R$ 1.071 
(D) R$ 1.029 
(E) R$ 1.063 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
M=C(1+i)t 
2C=C(1+0,2)t 
2=1,2t 
Log2=log1,2t 
Log2=t.log1,2 → 0,3=0,08t → T=3,75 meses 
 
02. Resposta: B. 
M = C. (1 + i)t 
C = 45.000 
i = 0,2 
-------------------- 
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. 114 
C = 135.000 
i= 0,08 
45.000 (1+ i)t = 135.000 (1 + i)t 
45.000 (1 + 0,2)t = 135.000 (1 + 0,08)t 
45.000 (1,2)t = 135.000 (1,08)t 
135.000/45.000 = (1,2/1,08)t 
3 = (10/9)t 
log3 = t.log (10/9) → 0,48 = (log10 - log9).t → 0,48 = (1 - 2log3).t 
0,48 = (1 - 2.0,48).t → 0,48 = (1 - 0,96).t → 0,48 = 0,04.t 
t = 0,48/0,04 → t = 12 
 
03. Resposta: 05. 
M = C (1 + i) t 
1159,27 = 1000 ( 1 + 0,03)t 
1159,27 = 1000.1,03t 
ln 1159,27 = ln (1000 . 1,03t) 
7,06 = ln1000 + ln 1,03t 
7,06 = 6,91 + t . ln 1,03 → 0,15 = t . 0,03 → t = 5 
 
04. Resposta: B. 
Juros Compostos 
M = 1000 .(1,02)^3 
M = 1000 . 1,061208 
M = 1061,20 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
ou variável (x, y, z,...). 
Observe a figura: 
 
 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
 
Exemplos 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Equações e inequações do 1º e do 2º graus. Equações polinomiais. Sistemas 
lineares. Expressões algébricas: monômios, polinômios, produtos notáveis e 
fatoração. 
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. 115 
Onde a e b (a≠0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples: 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax + b – b = 0 – b → ax = -b → x = -b / a 
 
Termos da equação do 1º grau 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1 
2º membro composto pelo termo x e +7 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 
 
Outros exemplos: 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
 
Registro: 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e 
isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. No registro, as operações 
feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais. 
 
Registro: 
 
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. 116 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os 
demais termos do outro lado. 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Questões01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por 
jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
02. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ) Certa quantia em dinheiro foi dividida 
igualmente entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do 
restante de cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a 
quantia dividida inicialmente? 
(A) R$900,00 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
(D) R$5.400,00 
 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 117 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação 
e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, 
exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de 
Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
05. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Um funcionário de uma 
empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. 
Na 2a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
06. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Bia tem 10 anos a mais 
que Luana, que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE AMERICANAS/SP – ANALISTA ADMINISTRATIVO – SHDIAS) Em uma praça, Graziela 
estava conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da 
seguinte forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigo tem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
 
08. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Dois amigos foram a uma 
pizzaria. O mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 
da quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi 
comido, a fração da pizza que restou foi 
(𝐴)
3
5
 
 
(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
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. 118 
09. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 
3 exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o 
preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço 
unitário do livro K. 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos é 65 
anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, que por 
sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais velho será, 
em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 35. 
 
Respostas 
 
 01. Resposta: E. 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 
 
02. Resposta: D. 
Quantidade a ser recebida por cada um: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
𝑥
6
= 300 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Resposta: E. 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 119 
04. Resposta: A. 
 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
05. Resposta: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como consta na fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
06. Resposta: A. 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
 
07. Resposta: B. 
Idade de Rodrigo: x 
 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
 
 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 120 
08. Resposta: C. 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Resposta: E. 
Preço livro J: x 
Preço do livro K: x+15 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Resposta: C. 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 121 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Inequação é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade. 
Uma inequação do 1º grau pode ser expressa por: 
 
ax + b > 0; ax + b ≥ 0; ax + b < 0; ax + b ≤ 0, onde a ∈ R* e b ∈ R. 
 
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. A 
expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. 
 
Propriedades 
- Aditiva: Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo 
número aos seus dois membros. 
 
 
 
- Multiplicativa:Aqui teremos duas situações que devemos ficar atentos: 
1º) Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros 
por um mesmo número positivo. 
 
 
 
2º) Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um 
mesmo número negativo. 
 
 
O que é falso, pois -15 < -6. 
 
Resolução prática de inequações do 1º grau: resolver uma inequação é determinar o seu conjunto 
verdade a partir de um conjunto universo dado. A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo 
de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra 
inequação equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade. 
 
Exemplo: 
Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q. 
1º passo: vamos aplicar a propriedade distributiva 
4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5 → 4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5 
 
2º passo: agrupamos os termos semelhantes da desigualdade e reduzimos os mesmos. 
4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8 → -2x ≤ 15 
 
3º passo: multiplicamos por -1, e invertemos o sentido da desigualdade. 
-2x ≤ 15 → -2x ≥ 15 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 122 
4º passo: passamos o -2 para o outro lado da desigualdade dividindo 
𝑥 ≥ −
15
2
 
 
Logo: 
U = {x ϵ Q | x ≥ -15/2} 
 
Vejamos mais um exemplo: 
 
Resolver a inequação – 5x + 10 ≥ 0 em U = R 
-5x + 10 ≥ 0 → -5x ≥ -10, como o sinal do algarismo que acompanha x é negativo, multiplicamos por ( 
-1) ambos os lados da desigualdade → 5x ≤ 10 (ao multiplicarmos por -1 invertemos o sinal da 
desigualdade) → x ≤ 2. 
S = {x є R | x ≤ 2} 
 
Um outro modo de resolver o mesmo exemplo é através do estudo do sinal da função: 
y = -5x + 10, fazemos y = 0 (como se fossemos achar o zero da função) 
-5x + 10 = 0 → -5x = -10 → 5x = 10 → x = 2. 
Temos uma função do 1º grau decrescente, pois a < 0 (a = -5 < 0). 
 
 
 
Como queremos os valores maiores e iguais, pegamos os valores onde no gráfico temos o sinal de ( 
+ ), ou seja os valores que na reta são menores e iguais a 2; x ≤ 2. 
 
- Inequações do 1º grau com duas variáveis 
 
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. 
As inequações podem ser escritas das seguintes formas: 
ax + b > 0; 
ax + b < 0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0. 
Onde a, b são números reais com a ≠ 0. 
 
- Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis Método 
prático: 
 
1) Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 
2) Traçamos a reta no plano cartesiano. 
3) Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo 
satisfaz ou não a desigualdade inicial. 
 
3.1) Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence 
o ponto auxiliar. 
 
3.2) Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele 
ao qual pertence o ponto auxiliar. 
 
 
Exemplo: 
Vamos representar graficamente a inequação 2x + y ≤ 4. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 123 
 
 
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4. 
Verificamos: 
2.0 + 0 ≤ 4 → 0 ≤ 4, a afirmativa é positiva, pois o ponto auxiliar satisfaz a inequação. A solução da 
inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). 
 
Referência 
www.somatematica.com.br 
 
Questões 
 
01. (OBM) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação 3 < √x < 7? 
(A) 13; 
(B) 26; 
(C) 38; 
(D) 39; 
(E) 40. 
 
02. (ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) A pontuação numa prova de 25 questões é a seguinte: + 4 por 
questão respondida corretamente e –1 por questão respondida de forma errada. Para que um aluno 
receba nota correspondente a um número positivo, deverá acertar no mínimo: 
(A) 3 questões 
(B) 4 questões 
(C) 5 questões 
(D) 6 questões 
(E) 7 questões 
 
03. (Tec. enfermagem/PM) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 4x + 2 (x-1) > x – 12 é: 
(A) -2. 
(B) -3. 
(C) -1. 
(D) 4. 
(E) 5. 
 
04. (AUX. TRT 6ª/FCC) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou o número 525. A seguir, 
foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número negativo. Quantas vezes ela 
apertou a tecla correspondente ao 6? 
(A) 88. 
(B) 87. 
(C) 54. 
(D) 53. 
(E) 42. 
 
05. (CFSD/PM) Baseado na figura abaixo, o menor valor inteiro par que o número x pode assumir para 
que o perímetro dessa figura seja maior que 80 unidades de comprimento é: 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 124 
 
(A) 06. 
(B) 08. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
06. (MACK) – Em N, o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é: 
(A) maior que 8. 
(B) 6. 
(C) 2. 
(D) 1. 
(E) 0. 
 
07. (SEE/AC – Professor de Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias – FUNCAB) 
Determine os valores de que satisfazem a seguinte inequação: 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 
 
(A) x > 2 
(B) x ≤ - 5 
(C) x > - 5 
(D) x < 2 
(E) x ≤ 2 
 
08. (UEAP – Técnico em Planejamento, Orçamento e Finanças – Ciências Contábeis – CS-
UFG) O dono de um restaurante dispõe de, no máximo, R$ 100,00 para uma compra de batata e 
feijão. Indicando por X e Y os valores gastos, respectivamente, na compra de batata e de feijão, a 
inequação que representa esta situação é: 
(A) X + Y > 100 
(B) X + Y ≤ 100 
(C) 
𝑋
𝑌
> 100 
(D) 
𝑋
𝑌
≤ 100 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Como só estamos trabalhando com valores positivos, podemos elevar ao quadrado todo mundo e ter 
9 < x < 49, sendo então que x será 10, 11, 12, 13, 14, ..., 48. 
Ou seja, poderá ser 39 valores diferentes. 
 
02. Resposta: D. 
Se a cada x questões certas ele ganha 4x pontos então quando erra (25 – x) questões ele perde (25 – 
x)(-1) pontos, a soma desses valores será positiva quando: 
4X + (25 -1 )(-1) > 0 → 4X – 25 + x > 0 → 5x > 25 → x > 5 
O aluno deverá acertar no mínimo 6 questões. 
 
03. Resposta: C. 
4x + 2 – 2 > x -12 
4x + 2x – x > -12 +2 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 125 
5x > -10 
x > -2 
Se enumerarmos nosso conjunto verdade teremos: V= {-1,0,1, 2,...}, logo nosso menor número inteiro 
é -1. 
 
04. Resposta: A. 
Vamos chamar de x o número de vezes que ele apertou a calculadora 
525 – 6x < 0 (pois o resultado é negativo) 
-6x < -525. (-1) → 6x > 525 → x > 87,5; logo a resposta seria 88(maior do que 87,5). 
 
05. Resposta: B. 
Perímetro soma de todos os lados de uma figura: 
6x – 8 + 2. (x+5) + 3x + 8 > 80 
6x – 8 + 2x + 10 + 3x + 8 > 80 
11x + 10 > 80 
11x > 80 -10 
x > 70/11 
x > 6,36 
Como tem que ser o menor número inteiro e par, logo teremos 8. 
 
06 . Resposta: E. 
2x ≤ 3+3 
2x ≤ 6 
x ≤ 3 
Como ele pede o produto das soluções, teremos: 3.2.1.0,...= 0; pois todo número multiplicado por zero 
será ele mesmo. 
 
07. Resposta: B. 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 →
3𝑥
2
−
𝑥
2
≤ −3 − 2 →
2𝑥
2
≤ −5 → 𝑥 ≤ −5 
 
08. Resposta: B. 
Batata = X 
Feijão = Y 
O dono não pode gastar mais do que R$ 100,00(ele pode gastar todo o valor e menos do que o valor), 
logo: 
X + Y ≤ 100 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação: 
 
Equação completa e incompleta: 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 126 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0= 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
-3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = -3, b = 2, c = -15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estãoescritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo 
Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
Exemplo 
Pelo princípio multiplicativo. 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita. 
Primeiramente devemos saber duas importante propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
 
1º Caso) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0, aplicando a 1º propriedade dos reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
1º) Se x ϵ R, y ϵ R e x.y=0, então x= 0 ou y=0 
 
2º) Se x ϵ R, y ϵ R e x2=y, então x= √y ou x=-√y 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 127 
2º Caso) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita. 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 128 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P=0 
Exemplos 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 e P = 2.7 = 14 → Com esses valores montamos a equação: x2 -9x +14 =0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 -7x +12 =0 
Observe que S=7 e P=12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3+4 = 7 e P = 4.3=12, logo o conjunto solução é: S={3,4} 
 
Referências 
www.somatematica.com.br 
 
Questões 
 
01. (PREF. JUNDIAÍ/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja 
uma equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
 (A) 1. 
 (B) 2. 
 (C) 3. 
 (D) 0. 
 (E) 9. 
 
02. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas 
raízes são 1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 
2º grau dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 129 
04. (CGU – ADMINISTRATIVA – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (PREF. PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA) Temos que a raiz do 
polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN) Considere a seguinte 
equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que 
a + b = 5, então o discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
09. (Prefeitura de São Paulo - SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são 
as raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
(C) 1. 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
10. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² 
- 3kx + 1 = 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 130 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
02. Resposta: D. 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B. 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
04. Resposta: A. 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 131 
05. Resposta: B. 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
34
2
= 17 
 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B. 
Lembrandoque a fórmula pode ser escrita como :x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C. 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B. 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 132 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D. 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
10. Resposta: C. 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
 
S = P 
 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chamamos de inequação do 2º toda desigualdade pode ser representada da seguinte forma: 
 
ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0 
 
A sua resolução depende do estudo do sinal da função y = ax2 + bx + c, para que possamos determinar 
os valores reais de x para que tenhamos, respectivamente: 
y > 0, y < 0, y ≥ 0 ou y ≤ 0. 
 
E para o estudo do sinal, temos os gráficos abaixo: 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 133 
Para melhor entendimento vejamos alguns exemplos: 
 
1) Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0. 
Δ = b2 – 4.a.c → Δ = 102 – 4.3.7 = 100 – 84 = 16 
𝑥 =
−10 ± √16
2.3
→ 𝑥 =
−10 ± 4
6
→ {
𝑥′ =
−10 + 4
6
=
−6
6
= −1
𝑥′′ =
−10 − 6
6
= −
14
6
= −
7
3
 
 
Agora vamos montar graficamente o valor para que assim achemos os valores que satisfaçam a 
mesma. 
 
 
Como queremos valores menores que zero, vamos utilizar o intervalo onde os mesmos satisfaçam a 
inequação, logo a solução para equação é: 
S = {x ϵ R | -7/3 < x < -1} 
 
2) Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0. 
𝑥 =
−(−4) ± √16
2
→ 𝑥 =
4 ± 4
2
{
𝑥′ =
4 + 4
2
= 4
𝑥′′ =
4 − 4
2
= 0
 
Graficamente temos: 
 
 
 
Observe que ao montarmos no gráfico conseguimos visualizar o intervalo que corresponde a solução 
que procuramos. Logo: 
S = {x ϵ R | x ≤ 0 ou x ≥ 4} 
 
Questões 
 
01. (VUNESP) O conjunto solução da inequação 9x2 – 6x + 1 ≤ 0, no universo do números reais é: 
(A) ∅ 
(B) R 
(C) {
1
3
} 
(D) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥
1
3
} 
(E) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠
1
3
} 
 
02. (PUC-MG) O produto dos elementos do conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁|(𝑥 − 2). (7 − 𝑥) > 0} é: 
(A) 60 
(B) 90 
(C) 120 
(D) 180 
(E) 360 
 
03. Em R, o domínio mais amplo possível da função, dada por 𝑓(𝑥) =
1
√9−𝑥2
, é o intervalo: 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 134 
(A) [0; 9] 
(B) ]0; 3[ 
(C) ]- 3; 3[ 
(D) ]- 9; 9[ 
(E) ]- 9; 0[ 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Resolvendo por Bháskara: 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (−6)2 − 4.9.1 
∆= 36 − 36 = 0 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
𝑥 =
−(−6)±√0
2.9
 
𝑥 =
6±0
18
=
6
18
=
1
3
 (delta igual a zero, duas raízes iguais) 
 
Fazendo o gráfico, a > 0 parábola voltada para cima: 
 
 
 
S = {
1
3
} 
 
02. Resposta: E. 
(x – 2).(7 – x) > 0 (aplicando a distributiva) 
7x – x2 – 14 + 2x > 0 
- x2 + 9x – 14 > 0 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 92 − 4. (−1). (−14) 
∆= 81 − 56 = 25 
𝑥 =
−9±√25
2.(−1)
 
𝑥 =
−9±5
−2
  𝑥1 =
−9+5
−2
=
−4
−2
= 2 ou 𝑥2 =
−9−5
−2
=
−14
−2
= 7 
 
Fazendo o gráfico, a < 0 parábola voltada para baixo: 
 
 
a solução é 2 < x < 7, neste intervalo os números naturais são: 3, 4, 5 e 6. 
3.4.5.6 = 360 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 135 
03. Resposta: C. 
Para que exista a raiz quadrada da função temos que ter 9 – x2 ≥ 0. Porém como o denominador da 
fração tem que ser diferente de zero temos que 9 – x2 > 0. 
- x2 + 9 >0 
As soluções desta equação do 2° grau são 3 e – 3. 
Fazendo o gráfico, a < 0, parábola voltada para baixo: 
 
 
 
A solução é – 3 < x < 3 ou ]- 3; 3[ 
 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
Expressões Algébricas: São aquelas que contêm números e letras. 
Ex.: 2ax² + bx 
 
Variáveis: São as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de 
princípio não possuem um valor definido. 
 
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por 
números e efetuamos suas operações. 
 
Ex: Sendo x = 1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: 
x² + y → 1² + 2 = 3; Portando o valor numérico da expressão é 3. 
 
Monômio: Os números e letras estão ligados apenas por produtos. 
Ex: 4x 
 
Polinômio: É a soma ou subtração de monômios. 
Ex: 4x + 2y 
 
Termos semelhantes: São aqueles que possuem partes literais iguais (variáveis) 
Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z  são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal. 
 
Adição e Subtração de expressões algébricas 
 
Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos 
semelhantes. 
Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 
 2 x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z 
 
Convém lembrar-se dos jogos de sinais. 
Na expressão (x³ + 2 y² + 1) – (y ² - 2) = x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = x³ + y² +3 
 
Multiplicação e Divisão de expressões algébricas 
 
Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade distributiva. 
Exemplos: 
1) a (x + y) = ax + ay 
2) (a + b).(x + y) = ax + ay + bx + by 
3) x (x² + y) = x³ + xy 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 136 
 Obs.: Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes 
 
Exemplos: 
1) 4x² ÷ 2x = 2x 
2) (6x³ - 8x) ÷ 2x = 3x² - 4 
3) = 
Resolução: 
 
 
Para iniciarmos as operações devemos saber o que são termos semelhantes. 
Dizemos que um termo é semelhante do outro quando suas partes literais são idênticas. 
 
Veja: 
5x2 e 42x são dois termos, as suas partes literais são x2 e x, as letras são iguais, mas o expoente não, 
então esses termos não são semelhantes. 
7ab2 e 20ab2 são dois termos, suas partes literais são ab2 e ab2, observamos que elas são idênticas, 
então podemos dizer que são semelhantes. 
 
Adição e subtração de monômios 
 
Só podemos efetuar a adição e subtração de monômios entre termos semelhantes. E quando os 
termos envolvidos na operação de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos apenas a 
operação indicada. 
 
Veja: 
Dado os termos 5xy2, 20xy2, como os dois termos são semelhantes eu posso efetuar a adição e a 
subtração deles. 
5xy2 + 20xy2 devemos somar apenas os coeficientes e conservar a parte literal. 
 25 xy2 
 
5xy2 - 20xy2 devemos subtrair apenas os coeficientes e conservar a parte literal. 
 - 15 xy² 
 
Veja alguns exemplos: 
- x2 - 2x2 + x2 como os coeficientes são frações devemos tirar o mmc de 6 e 9. 
 
3x2 - 4 x2 + 18 x2 
 18 
17x2 
18 
 
- 4x2 + 12y3 – 7y3 – 5x2 devemos primeiro unir os termos semelhantes: 12y3 – 7y3 + 4x2 – 5x2 agora 
efetuamos a soma e a subtração. 
5y3 – x2 como os dois termos restantes não são semelhantes, devemos deixar apenas indicado à 
operação dos monômios. 
 
Reduza os termos semelhantes na expressão 4x2 – 5x -3x + 2x2. Depois calcule o seu valor numérico 
daexpressão. 4x2 – 5x - 3x + 2x2 reduzindo os termos semelhantes. 4x2 + 2x2 – 5x - 3x 
6x2 - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor numérico dessa expressão. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 137 
Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos ter o valor de sua incógnita, que no 
caso do exercício é a letra x. 
Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o -2 termos: 
 
6x2 - 8x = 
= 6 . (-2)2 – 8 . (-2) = 
= 6 . 4 + 16 = 
= 24 + 16 = 
= 40 
 
Multiplicação de monômios 
 
Para multiplicarmos monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta multiplicarmos 
coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando multiplicamos as partes 
literais devemos usar a propriedade da potência que diz: am . an = am + n (bases iguais na multiplicação 
repetimos a base e somamos os expoentes). 
(3a2b).(- 5ab3) na multiplicação dos dois monômios, devemos multiplicar os coeficientes 3 . (-5) e na 
parte literal multiplicamos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am . an = am + 
n. 
3 . ( - 5) . a2 . a . b . b3 = 
= - 15 a2 +1 b1 + 3 = 
= - 15 a3b4 
 
Divisão de monômios 
 
Para dividirmos os monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta dividirmos 
coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando dividirmos as partes literais 
devemos usar a propriedade da potência que diz: am ÷ an = am - n (bases iguais na divisão repetimos a 
base e diminuímos os expoentes), sendo que a ≠ 0. 
(-20x2y3) ÷ (- 4xy3) na divisão dos dois monômios, devemos dividir os coeficientes -20 e -4 e na parte 
literal dividirmos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am ÷ an = am – n. 
- 20 ÷ (– 4) . x2 ÷ x . y3 ÷ y3 = 
= 5 x2 – 1 y3 – 3 = 
= 5x1y0 = 
= 5x 
 
Potenciação de monômios 
 
Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar uma propriedade da potenciação: 
 
I - (a . b)m = am . bm 
II - (am)n = am . n 
 
Veja alguns exemplos: 
(-5x2b6)2 aplicando a propriedade 
 
I - (-5)2 . (x2)2 . (b6)2 aplicando a propriedade 
II - 25 . x4 . b12 25x4b12 
 
Radiciação de monômios 
 
Na radicação de monômios retiramos a raiz do coeficiente numérico e também de cada um de seus 
fatores, em resumo isso equivale a dividirmos cada expoente dos fatores pelo índice da raiz. 
 
Exemplo 
 
A raiz de √9x4y6z² 
√9𝑥4𝑦6𝑧2 → √9.√𝑥4 . √𝑦6. √𝑧2 → 3. 𝑥4:2. 𝑦6:2. 𝑧2:2 → 3𝑥2𝑦3𝑧 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 138 
Questões 
 
01. (Prefeitura de Terra de Areia/RS – Agente Administrativo – OBJETIVA/2016) Assinalar a 
alternativa que apresenta o resultado do polinômio abaixo: 
2x(5x + 7y) + 9x(2y) 
(A) 10x + 14xy + 18yx 
(B) 6x² + 21xy 
(C) 10x² + 32xy 
(D) 10x² + 9y 
(E) 22x + 9y 
 
02. (Prefeitura de Cipotânea/MG – Auxiliar Administrativo – REIS&REIS/2016) Subtraia os 
polinômios abaixo: 
(-12ab + 6a) – (-13ab + 5a) = 
(A) 2ab + a 
(B) a + b 
(C) ab + a 
(D) ab + 2a 
(E) -14ab 
 
03. (Prefeitura de Trindade/GO – Auxiliar Administrativo – FUNRIO/2016) Um aluno dividiu o 
polinômio (x2 − 5x + 6) pelo binômio (x − 3) e obteve, corretamente, resto igual zero e quociente (ax 
+ b). O valor de (a − b) é igual a: 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
2x(5x + 7y) + 9x(2y) 
10x² + 14xy + 18xy 
10x² + 32xy 
 
02. Resposta: C. 
(-12ab + 6a) – (-13ab + 5a) 
= -12ab + 6a +13ab - 5a 
= ab + a 
 
03. Resposta: D. 
 
 x²-5x+6 |x-3 
 -x²+3x x - 2 
 -2x+6 
 +2x -6 
 0 
O Polinômio "x² -5x +6" é dividido por "x-3" gerando o resultado de "x-2", o termo que acompanha 
o "x" será o "a" e o que está sozinho será o "b", então: 
Se o quociente é (ax+b), temos que o quociente da nossa questão é x-2, como a questão pede (a-b), 
que será a=1 e b= -2 --> (1 - (-2)) = 1+2 = 3 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas 
regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um 
conjunto de identidades de grande aplicação. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 139 
Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os 
produtos notáveis. 
 
- Quadrado da Soma de Dois Termos: sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao 
quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. 
 
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
- Quadrado da Diferença de Dois Termos: sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao 
quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. 
 
(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
 
- Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos: sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, 
é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. 
 
(a + b).(a – b) = a2 – ab + ab - b2 
(a + b).(a – b) = a2 – b2 
 
- Cubo da Soma de Dois Termos: sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao cubo do 
primeiro, mais três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado 
do segundo, mais o cubo do segundo. 
 
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2) 
(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
 
- Cubo da Diferença de Dois Termos: sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao cubo 
do primeiro, menos três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo 
quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo. 
 
(a - b)3 = (a - b) (a2 - 2ab + b2) 
(a - b)3 = a3 + 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
 
- Quadrado da soma de três termos: sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao 
quadrado do primeiro, mais o quadrado do segundo, mais o quadrado do terceiro, mais duas vezes o 
primeiro pelo segundo, mais duas vezes o primeiro pelo terceiro, mais duas vezes o segundo pelo terceiro. 
 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 
 
Questões 
 
01. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria III – Motorista – ZAMBINI/2016) A forma fatorada da expressão 
8y³ + 125 é: 
(A) (2y – 5) . (2y² + 25 – 10y) 
(B) (2y + 5) . (2y² + 25 – 10y) 
(C) (2y + 5) . (4y² – 25 + 10y) 
(D) (2y + 5) . (4y² + 25 – 10y) 
 
02. Desenvolva: 
a) ((
2𝑥
3
)+4y³)² 
b) (2x+3y)3 
 
03. Resolva os seguintes termos: 
a) (x4 + (1/x2))3 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 140 
b) ((2x/3) + (4y/5)) . ((2x/3) - (4y/5) 
 
04. Efetue as multiplicações: 
a) (x-2) (x-3) 
b) (x+5) (x-4) 
 
05. Simplifique as expressões: 
a) (x + y)2 – x2 – y2 
b) (x + 2) (x - 7) + (x – 5) (x + 3) 
 
06. Resolva tal expressão: 
a) (a – 3)² 
b) (x – 3y)² 
c) (2a – 5)² 
 
07. Desenvolva: 
a) (x + 2) (x – 2) 
b) (2x – 5y) (2x + 5y) 
 
08. Resolva a expressão: (x/2 + y/3) (x/2 – y/3). 
 
09. Calcule os seguintes termos: 
a) (3 + 4)² 
b) (5 + 4)² 
 
10. Utilize a regra do produto notável para resolver os seguintes cálculos: 
a) (x + 2)² 
b) (4x + 4)² 
c) (a + 4b)² 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Temos a soma de dois cubos. Que é dada por: 
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 
Observe que: 
8 = 2³ 
125 = 5³ 
Logo a = 2y e b = 5 
Aplicando a fórmula temos: 
(2y)³ + (5)³ = (2y + 5). ((2y)² - 2y.5 + 5²) → (2y + 5).(4y² - 10y + 25) 
Reordenando conforme as alternativas temos: 
(2y + 5).(4y² + 25 - 10y) 
 
02. a → ((
2x
3
) + 4y3)2 = 
(
2x
3
)2 + 2 .( 
2x
3
).4y3 + (4y3)2 = 
(
4
9
)x2 + (
16
3
)xy3 + 16y6 
 
b → (2x+3y)3 = 
(2x)3 + 3 .(2x)2. 3y + 3 . 2x .(3y)2 + (3y)3 = 
8x 3+ 36x2y + 54xy2 + 27y3 
 
03. a → (x4 + (1/x2))3 = 
(x4)3 + 3 . (x4)2 . (1/x2) + 3 . x4 . (1/x2)2 + (1/x2)3 = 
x12 + 3x6 + 3 + (1/x6) 
 
b → (2x/3) + (4y/5)) . ((2x/3) - (4y/5)) = 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCOEDSON
 
. 141 
(2x/3)2 - (4y/5)2 = 
(4/9)x2 - (16/25)y2 
 
04. a → (x-2) (x-3) = 
x2 + ((-2) + (-3)) x + (-2) . (-3) = 
x2 – 5x + 6 
 
b → (x+5) (x-4) = 
x2 + (5 + (-4)) x + 5 . (-4) = 
x2 + x – 20 
 
05. a → (x + y)2 – x2 – y2 = 
x2 + 2xy + y2 – x2 – y2 = 
2xy 
 
b → (x + 2) (x – 7) + (x – 5) (x + 3) = 
x2 + (2 + (-7)) x + 2 . (-7) + x2 + (-5 + 3) x + 3 . (-5) = 
x2 – 5x – 14 + x2 – 2x – 15 = 
2x2 – 7x – 29 
 
06. a → a² - 2 . a . 3 + 3² 
a² - 6a + 9 
 
b → (x)² - 2 . x . 3y + (3y)² 
x² - 6xy + 9y² 
 
c → (2a) ² + 2 . 2a.(-5) - 5² 
4a ² - 20a – 25 
 
07. a → (x + 2) (x – 2) 
x² - 2² = 
x² – 4 
 
b → (2x – 5y) (2x + 5y) 
(2x) ² - (5y) ² = 
4x² - 25y² 
 
08. Resposta: x²/4 - y²/9. 
(x/2 + y/3) (x/2 – y/3) 
(x/2)² - (y/3)² 
x²/4 - y²/9 
 
09. Resposta: Nesse caso, podemos resolver de duas maneiras: 
a → (3 + 4)² = 7² = 49 
(3 + 4)² = 3² + 2 . 3 . 4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49 
 
b → Podemos também resolver de duas maneiras: 
(5 + 4)² = 9² = 81 
(5 + 4)² = 5² + 2 . 5 . 4 + 4² = 25 + 40 + 16 = 81 
 
10. a → x² + 2 . x . 2 + 2² 
 x² + 4x + 4 
 
b → (4x)² + 2 . 4x . 4 + 4² 
16x² + 32x + 16 
 
c → (a)² + 2 . a . 4b + 4b² 
a² + 8b + 16b² 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 142 
FATORAÇÃO 
 
Fatorar é transformar em produto. 
O que nos permite a simplificação de expressões algébricas na resolução de vários problemas 
cotidianos. 
 
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma 
expressão é obter outra expressão que: 
 
- Seja equivalente à expressão dada; 
- Esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto 
notável. 
 
Há diversas técnicas de fatoração, supondo a, b, x e y expressões não fatoráveis. 
 
Fator Comum 
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal ou misto; em seguida colocamos em 
evidência esse fator comum, simplificamos a expressão deixando em parênteses a soma algébrica. 
Observe os exemplos abaixo: 
 
ax + ay = a (x + y) 
12x2y + 4 xy3 = 4xy (3x + y2) 
 
Agrupamento 
Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos entre os quais haja 
um fator comum, em seguida, colocar o fator comum em evidência. Observe: 
 
ax + ay + bx + by = 
= a (x + y) +b (x + y) = 
= (a + b) (x + y) = 
 
Diferença de Dois Quadrados 
Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de dois quadrados sempre que dispusermos da 
diferença entre dois monômios cujas partes literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de 
tais expressões é obtida com os seguintes passos: 
 
- Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio; 
- Dividimos por dois os expoentes das literais; 
- Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios assim obtidos. 
 
Por exemplo, a expressão a2 – b2 seria fatorada da seguinte forma: 
√𝑎2 – √𝑏2 → (a + b).(a – b) 
 
Trinômio Quadrado Perfeito ou Quadrado Perfeito 
Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio quadrado perfeito sempre que resultar 
do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios. 
Por exemplo, o trinômio x4 + 4x2 + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x2 + 2)2. 
São, portanto, trinômios quadrados perfeitos todas as expressões da forma a2 ± 2ab + b2, fatoráveis 
nas formas seguintes: 
 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
 
Trinômio Quadrado da Forma ax2 + bx + c 
Supondo sejam x1 e x2 as raízes reais do trinômio, ax2 + bx + c (a ≠ 0), dizemos que: 
ax2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2) 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 143 
Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau podem ser calculadas através da 
fórmula de Bháskara: ( 𝑥 = 
−𝑏 ± √∆
2𝑎
, onde ∆ = b2 – 4ac) 
 
Soma e Diferença de Cubos 
Se efetuarmos o produto do binômio a + b pelo trinômio a² – ab + b², obtemos o seguinte 
desenvolvimento: 
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 
Analogamente, se calcularmos o produto de a – b por a2 + ab + b2, obtemos a3 – b3. 
O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis que nos permitem concluir que, para 
fatorarmos uma soma ou diferença de cubos, basta-nos inverter o processo anteriormente demonstrado. 
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) 
 
Cubo Perfeito 
Dado pela fatoração abaixo: 
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3 
(a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3 
 
Não podemos confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma de cubos a3 + b3. 
Não podemos confundir o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença entre cubos a3 - b3. 
 
Questões 
 
01. (ENEM) Calculando 934.2872 – 934.2862 temos como resultado: 
(A) 1 868 573 
(B) 1 975 441 
(C) 2 
(D) 1 
(E) 10242 
 
02. (PUC) Sendo x3 + 1 = (x + 1) (x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são, respectivamente: 
(A) -1 e -1 
(B) 0 e 0 
(C) 1 e 1 
(D) 1 e -1 
(E) -1 e 1 
 
03. (F.Ibero-Americana) – O valor de A real, para que se tenha 
𝐴. √3 = (2 + √3)3 − (2 − √3)3 é: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 30 
(D) √30 
(E) √20 
 
04. (FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos 
pode ser: 
(A) 4 
(B) 5 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 144 
05. (FEI) A fração 
𝑎3−𝑏3
𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2
 , quando a= 93 e b= 92, é igual a: 
(A) 0 
(B) 185 
(C) 932 - 922 
(D) 1 
(E) 185/2 
 
 06. Dado que x = a + x-1, a expressão x2 + x-2 é igual a: 
(A) a2 + 2 
(B) 2a + 1 
(C) a2 + 1 
(D) 2a -1 
(E) a2 
 
07. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Dos números que aparecem nas 
alternativas, o que mais se aproxima do valor da expressão (0,6192 – 0,5992)x0,75 é: 
(A) 0,0018. 
(B) 0,015. 
(C) 0,018. 
(D) 0,15. 
(E) 0,18 
 
08. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) Simplificando a expressão, 
(a² b + ab²). 
1
𝑎3
 − 
1
𝑏3
1
𝑎2
− 
1
𝑏2
 
Obtemos: 
(A) a + b. 
(B) a² + b². 
(C) ab. 
(D) a² + ab + b². 
(E) b – a. 
 
09. (TRT - 24ª REGIÃO (MS) - Técnico Judiciário - Área Administrativa – FCC) Indagado sobre o 
número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de 
Matemática, respondeu: 
O número de processos que arquivei é igual a 12,252 - 10,252. 
Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que: 
 (A) X < 20. 
 (B) 20 < X < 30. 
 (C) 30 < X < 38. 
 (D) 38 < X < 42. 
 (E) X > 42. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Temos 934 2872 = (934 286 +1)2 = 934 2862 + 2. 934 286 + 12 
Montando a expressão: 934 2862 + 2. 934 286 + 12 - 934 2862 → 
1 868 573 + 1 = 1 868 573 
 
02. Resposta: E. 
Como a forma fatorada de x3 + 1 = (x + 1).(x2 – x + 1), pelo enunciando temos: 
(x + 1) (x2 + ax + b) = (x + 1).(x2 – x + 1); simplificando teremos 
x2 + ax + b = x2 – x + 1, comparando cada termo temos: 
x2 = x2; ax = -x, logo a = - 1; b = 1 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 145 
03. Resposta: C. 
Vamos aplicar a fatoração: 
A. √3 = 23 + 3.22.√3 + 3.2. (√3 )2 + (√3) 3 –(23 - 3.22.√3 + 3.2. (√3 )2 -(√3) 3 
A. √3 = 8 + 12 √3 +18 + 3 √3 - 8 + 12 √3 -18 +3 √3 
A. √3 = 24√3 + 6√3 → A. √3 = 30 √3 → A= 30 
 
04. Resposta: C. 
Cubo da soma (a + b)3 e soma dos cubos a3 + b3, a diferença é: 
a3 + 3a2b +3ab2 + b3 – (a3 + b3) → a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - a3 - b3→ 3a2b + 3ab2→ 3ab(a + b); 
Como temos dois números inteiros e fazendo a e b como 1: 
3.11.(1 + 1) → 3.2 = 6 
 
05. Resposta: D. 
Utilizando a soma e a diferença de cubos temos que: 
a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2) → 
(𝑎−𝑏).(𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2)
𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2
 → a - b, como a = 93 e b = 92; a – b = 93 – 92 = 1 
 
06. Resposta: A. 
x = a + x-1 → a = x - x-1, elevando ambos os membros ao quadrado temos: 
a2 = (x - x-1)2 → a2 = x2 - 2.x.x-1 + x-2 → x2 + x-2 = a2 + 2 
 
07. Resposta: C. 
Da fatoração temos a regra a2 – b2 = (a + b).(a – b) (diferença de dois quadrados), então se a = 0,619 
e b = 0,599, temos:(0,6192 – 0,5992)x0,75 → (0,619 + 0,599).(0,619 – 0,599)x0,75 → 1,218 x 0,02 x 0,75 → 0,01827 
 
08. Resposta: D. 
 
 
 
09. Resposta: E. 
Nesta questão utilizaremos a diferença de dois quadrados: 
 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏). 
x = 12,252 – 10,252 
x = (12,25 + 10,25)(12,25 – 10,25) 
x = 22,5.2 
x = 45 
 
 
 
RELAÇÃO 
 
Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas 
Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 
1 - Horizontal denominado eixo das abscissas e 
Funções: afim, quadrática, polinomiais, exponencial, logarítmica e 
trigonométricas. 
 
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. 146 
2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. 
 
Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um determinado espaço. Além do mais, o 
plano cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguintes propriedades em relação 
ao par ordenado (x, y) ou (a, b). 
 
 
 
Par Ordenado 
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo 
conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente 
distinguir a ordem destes elementos. 
Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto formado por dois elementos, onde o 
primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. 
 
Exemplos: 
1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 
2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3. 
 
Gráfico cartesiano do par ordenado 
Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. 
 
 
 
Temos que: 
- P é o ponto de coordenadas a e b; 
- o número a é chamado de abscissa de P; 
- o número b é chamado ordenada de P; 
- a origem do sistema é o ponto O (0,0). 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 147 
Vejamos a representação dos pontos abaixo: 
 
 
A (4,3) 
B (1,2) 
C (-2,4) 
D (-3,-4) 
E (3,-3) 
F (-4,0) 
G (0,-2) 
 
 
Produto Cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis 
pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença 
ao 2º conjunto (B). 
 
𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} 
 
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A 
x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. 
 
Exemplo 
Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A 
cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. 
 
a) Listagem dos elementos 
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares 
ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: 
 
A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} 
 
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): 
B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. 
 
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade 
comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem 
conjuntos iguais. 
 
Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados 
obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) x n(B). 
No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 
 
b) Diagrama de flechas 
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um 
dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento 
do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). 
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim 
representado no diagrama de flechas: 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 148 
 
 
c) Plano cartesiano 
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num 
eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os 
elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas 
(horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no 
plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). 
 
 
 
Noção de Relação 
Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: 
A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} 
 
Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a 
seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: 
R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} 
Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. 
 
Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: 
R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: 
 
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B 
 
Noção de Função 
Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A 
e y ϵ B. 
Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação 
associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. 
Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. 
 
Analisemos através dos diagramas de Venn. 
 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 149 
 
 
 
 
Analisemos agora através dos gráficos: 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 150 
 
 
Elementos da função 
Como já vimos nos conceitos acima, temos que dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de 
função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, 
conhecida também como função de A em B. 
Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. 
 
Pelo diagrama de Venn: 
 
 
Representado no gráfico: 
Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, 
é traçarmos retas paralelas ao eixo do y e se verificarmos se no eixo do x 
existem elementos com mais de uma correspondência, aí podemos dizer se é 
ou não uma função, conforme os exemplos acima. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 151 
 
 
- Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. 
Logo, D(f) = A. 
- Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD 
ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. 
- A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). 
(Lê-se: y é igual a f de x). 
- Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A dos elementos x de A, 
dá-se o nome de conjunto imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ 
B. 
 
A notação para representar função é dada por: 
 
 
Exemplo: 
Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = 
x+3. 
Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem 
deste conjunto. 
F(-2) = -2 + 3 = 1 
F(-1) = -1 + 3 = 2 
F(0) = 0 + 3 = 3 
F(1) = 1 + 3 = 4 
F(2) = 2 + 3 = 5 
 
 
Domínio de uma função real de variável real 
Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa 
cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo 
subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. 
O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para 
os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. 
 
Exemplos: 
1)y = x2 + 3x 
Vamos substituir x por qualquer número real obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 152 
2) 𝑦 =
1
𝑥
 
Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 
 
3) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙−𝟐
 
 
Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0  x ≠ 2. 
D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} 
 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Recebe ou é conhecida por um desses nomes, sendo por definição: Toda função f: R → R, definida 
por: 
 
Com a ϵ R* e b ϵ R. 
 
O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o 
contradomínio, Im = R. 
Quando b = 0, chamamos de função linear. 
 
Gráfico de uma função 
Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. 
Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. 
 
x y (x,y) 
0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) 
-2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) 
-1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) 
 
Vamos construir o gráfico no plano cartesiano 
 
 
 
 
Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: 
 
Observe que a reta de 
uma função afim é sempre 
uma reta. 
E como a > 0 ela é função 
crescente, que veremos 
mais à frente 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 153 
 
 
Tipos de Função 
 
Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma 
imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. 
 
Observe os gráficos abaixo da função constante 
 
 
 
A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou 
sobre o eixo (igual ao eixo abscissas). 
 
Função Identidade 
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos 
que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta 
os quadrantes pares. 
A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: 
 
 
E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. 
 
Observe que a < 0, logo 
é uma função 
decrescente. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 154 
 
 
Função Injetora: Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também 
distintas no contradomínio. 
 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja 
interceptar o gráfico da função, uma única vez. 
 
 
Função Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos 
um elemento do domínio. 
 
Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao 
eixo x, notaremos que o mesmo cortará a reta 
formada pela função em um único ponto (o 
que representa uma imagem distinta), logo 
concluímos que se trata de uma função injetora. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 155 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal 
que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
Função Bijetora: uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 
Exemplo: 
Observe que todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente 
em x. Logo é sobrejetora. 
Im(f) = B 
Observe que nem todos os 
elementos do contradomínio tem um 
correspondente em x. Logo não é 
sobrejetora. 
Im(f) ≠ B 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 156 
A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. 
 
 
 
Função Ímpar e Função Par 
Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) =
𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor 
compreensão observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є 
D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
Função crescente e decrescente 
A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), 
se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma 
reta. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 157 
 
 
 
 
 
 
Zero ou Raiz da Função 
Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para 
que y ou f(x) seja igual à zero. 
 
 
 
Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos 
uma equação do 1º grau, ax + b = 0. 
 
Exemplo: 
Determinar o zero da função: 
f(x) = x + 3 
Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3 
 
Graficamente temos: 
 
Observe que medida que os 
valores de x aumentam, os 
valores de y ou f(x) também 
aumentam. 
Observe que medida que os 
valores de x aumentam, os 
valores de y ou f(x) diminuem. 
Através do gráfico da função notamos que: 
-Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo 
x (horizontal) é agudo (< 90º) e 
- Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 158 
 
 
No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo 
x. 
Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, 
que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. 
Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de 
acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 
 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 =
−𝒃
𝒂
 
Podemos expressar a fórmula acima graficamente: 
 
 
 
 
Estudo do sinal da função 
Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: 
- A função se anule (y = 0); 
- A função seja positiva (y > 0); 
- A função seja negativa (y < 0). 
 
Vejamos abaixo o estudo do sinal: 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 159 
 
Exemplo: 
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 
1) Qual o valor de x que anula a função? 
y = 0 
2x – 4 = 0 
2x = 4 
x =
2
4
 
x = 2 
A função se anula para x = 2. 
 
2) Quais valores de x tornam positiva a função? 
y > 0 
2x – 4 > 0 
2x > 4 
x >
2
4
 
x > 2 
A função é positiva para todo x real maior que 2. 
 
3) Quais valores de x tornam negativa a função? 
y < 0 
2x – 4 < 0 
2x < 4 
x <
2
4
 
x < 2 
A função é negativa para todo x real menor que 2. 
 
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 160 
- Para x = 2 temos y = 0; 
- Para x > 2 temos y > 0; 
- Para x < 2 temos y < 0. 
 
 
 
 
Referências 
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
 
Questões 
 
01. (MPE/SP – Geógrafo – VUNESP/2016) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre 
a venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. 
 
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e 
que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, 
então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: 
(A) 8 900. 
(B) 8 950. 
(C) 9 000. 
(D) 9 050. 
(E) 9 150. 
 
02. (PREF. JUNDIAÍ/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se 
R$ 3,00 por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada 
à tarifa final. Seja t onúmero de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale 
a seguir a equação que descreve, em reais, o valor de T: 
(A) T = 3t 
(B) T = 3t + 2,50 
(C) T = 3t + 2,50t 
(D) T = 3t + 7,50 
(E) T = 7,50t + 3 
 
03. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então 
(A) x = 5. 
(B) x = 6. 
(C) x = -6. 
(D) x = -5. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 161 
04. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta o consumo 
médio de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. 
 
 
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. 
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática 
de natação? 
(A) 50,0 
(B) 52,5 
(C) 55,0 
(D) 57,5 
(E) 60,0 
 
05. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚNIOR – CESGRANRIO) 
 
de domínio real, então, m − p é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 64 
(E) 7 
 
06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 1º grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz 
de f(x) é 
(A) 2. 
(B) 9. 
(C) 12. 
(D) 15. 
 
07. (BRDE-RS) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto é C(x) = 
𝑥
2
 + 10000, e o 
faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 
2
3
 𝑥. Para que a firma não tenha 
prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: 
(A) R$ 10.000,00 
(B) R$ 13.000,00 
(C) R$ 15.000,00 
(D) R$ 18.000,00 
(E) R$ 20.000,00 
 
08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir pertencem a uma função do 1º grau decrescente? 
(A) Q(3, 3) e R(5, 5). 
(B) N(0, –2) e P(2, 0). 
(C) S(–1, 1) e T(1, –1). 
(D) L(–2, –3) e M(2, 3). 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 162 
09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax + b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa 
pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é 
(A) –4. 
(B) –2. 
(C) 1. 
(D) 2. 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) O planeta 
Terra já foi um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas 
seu núcleo ainda está incandescente. 
Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 
metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. 
Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina 
num ponto a 1200 metros da superfície? 
(A) 15º C 
(B) 38º C 
(C) 53º C 
(D) 30º C 
(E) 61º C 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade 
(ΔQ) vendida: 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 𝑅 =
7000 − (−1000)
80 − 0
→ 𝑅 =
8000
80
→ 𝑅 = 100 
 
Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo 
menos 90.500,00 
Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: 
ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 
Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, 
vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 
 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 100 =
91500
∆𝑄
→ 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 =
91500
100
→ ∆𝑄 = 915 
 
Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que 
se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 
 
02. Resposta: B. 
Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de 
tempo, e acrescentado 2,50 fixo 
T = 3t + 2,50 
 
03. Resposta: D. 
35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 
 
04. Resposta: E. 
A proporção de oxigênio/tempo: 
 
10,5
2
=
21,0
4
=
𝑥
10
 
 
4x = 210 
x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 163 
52,5litros----70kg 
x-------------80kg 
x = 60 litros 
 
05. Resposta: C. 
Aplicando segundo as condições mencionadas: 
x = 1 
f(1) = 2.1 - p 
f(1) = m - 1 
x = 6 
f(6) = 6m - 1 
 𝑓(6) =
7.6+4
2
=
42+4
2
= 23; igualando as duas equações: 
23 = 6m - 1 
m = 4 
Como queremos m – p , temos: 
2 - p = m - 1; igualando as duas novamente. 
2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 
 
06. Resposta: D. 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y, temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: 
( T ) 5 = a.2 + b, ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) 
( V ) 0 = a.3 + b, ou seja, 3.a + b = 0, que fica b = – 3.a ( II ) 
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 
2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 
Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. 
Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: 
y = a.x + b 
0 = – 5.3 + b 
b = 15 
Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . 
Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: 
x = – 5.y + 15 
5.y = – x +15 
y = – x / 5 + 15/5 
y = – x / 5 + 3 (função inversa) 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 
 
07. Resposta: E. 
C(x) = 
𝑥
2
 + 10000 
F(x) = 
2
3
 𝑥 
f(x) = c(x) 
 
2
3
 𝑥 > 
𝑥
2
 + 10000 
 
2
3
 𝑥 −
𝑥
2
 > 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 = 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 = 10000 x = 
10000
1
6
  x = 60000 
 
Substituindo no faturamento temos: 
F(x) = 
2
3
 60000 = 40.000 
 
Se tivermos um lucro de 60.000 – 40.000 de faturamento, logo o nosso faturamento mínimo é de 
20.000. 
Portanto o resultado final é de R$ 20.000,00. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 164 
08. Resposta: C. 
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma 
posição “mais alta” do que o 2º ponto. 
Vamos analisar as alternativas: 
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, 
e, assim, a função é crescente. 
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está 
em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. 
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais 
baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. 
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais 
alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 
 
09. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: 
( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 
( V ) 3 = a.( – 1) + b 
a = 4 – 3 = 1 
Portanto, a função fica: y = x + 4 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = x + 4, ou seja, x = – 4 
 
10. Resposta: C. 
Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: 
A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes 
Assim: 15. 2 = 30º C 
Assim: 23º C + 30º C = 53º C 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chama-se função do 2º grau, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do 
2º grau, toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma: 
 
 
Com a, b e c reais e a ≠ 0. 
 
Onde: 
a é o coeficiente de x2 
b é o coeficiente de x 
c é o termo independente 
 
Exemplos: 
y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6 
y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16 
f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0 
f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3, b =3 e c = 0 
 
Representação gráfica da Função 
O gráfico da função é constituído de uma curva aberta chamada de parábola. 
Vejamos a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal, ela é uma 
parábola cuja concavidade está voltada para baixo. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 165 
 
 
Exemplo: 
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valor real, 
obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função: 
 
 
 
 
 
 
Concavidade da Parábola 
No caso das funções definida por um polinômio do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade 
voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinada pelo valor do a 
(positivo ou maior que zero / negativo ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função 
definida por um polinômio do 2º grau. 
 
 
 
Vértice da parábola 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto 
denominamos vértice. Dado por V (xv , yv). 
1) Como o valor de a > 0 a concavidade está 
voltada para cima; 
2) -1 e 0 são as raízes de f(x); 
3) c é o valor onde a curva corta o eixo y neste 
caso, no 0 (zero) 
4) O valor do mínimo pode ser observado nas 
extremidades (vértice) de cada parábola: -1/2 e -
1/4 
 
 
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. 166 
 
 
- Eixo de simetria 
É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola 
é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos 
entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto). 
Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que: 
f (-3) = f (1) = 0 
f (-2) = f (0) = -3 
 
Conjunto Domínio e Imagem 
Toda função com Domínio nos Reais (R) que possui a > 0, sua concavidade está voltada para cima, e 
o seu conjunto imagem é dado por: 
 
Logo se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por: 
 
 
 
Coordenadas do vértice da parábola 
Como visto anteriormente a função apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta 
o gráfico num ponto chamado de vértice. 
As coordenadas do vértice são dadas por: 
 
 
 
Onde: 
x1 e x2 são as raízes da função. 
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. 167 
 
 
Valor máximo e valor mínimo da função definida por um polinômio do 2º grau 
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado 
ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; 
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto 
de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. 
 
 
 
Exemplo: 
Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico desta função, determinando também 
o valor máximo ou mínimo da mesma. 
 
 
Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O 
valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = -4. Logo o valor de mínimo é -4 e a imagem da função é dada 
por: Im = { y ϵ R | y ≥ -4}. 
 
Raízes ou zeros da função definida por um polinômio do 2º grau 
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, 
ou seja são valores que deixam a função nula. Com isso aplicamos o método de resolução da equação 
do 2º grau. 
ax2 + bx + c = 0 
 
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 168 
a
b
x
.2

 , onde, = b2 – 4.a.c 
 
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos 
um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. 
 
Forma fatorada das raízes: f (x) = a (x – x1) (x – x2). 
Esta fórmula é muito útil quando temos as raízes e precisamos montar a sentença matemática que 
expresse a função. 
 
Estudo da variação do sinal da função 
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função 
positiva, negativa ou nula. 
Abaixo podemos resumir todos os valores assumidos pela função dado a e Δ (delta). 
 
 
Observe que: 
 
 
 
Exemplos 
1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentença 
matemática que a define. 
 
 
Resolução: 
Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= -4 e x2 = 0), podemos nos da forma fatorada temos: 
f (x) = a.[ x – (-4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x . 
O vértice da parábola é (-2,4), temos: 
4 = a.(-2 + 4).(-2) → a = -1 
Quando Δ > 0, o gráfico corta e tangencia 
o eixo x em dois pontos distintos, e temos 
duas raízes reais distintas. 
Quando Δ = 0, o gráfico corta e tangencia 
o eixo x em um ponto e temos duas raízes 
iguais. 
Quando Δ < 0, o gráfico não corta e não 
tangencia o eixo x em nenhum ponto e não 
temos raízes reais. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 169 
Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x → (-x – 4x).x → -x2 – 4x 
 
2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5, passe pelo 
ponto (2;3). 
Resolução: 
Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos: 
3 = -(2)2 + (k + 4).2 – 5 → 3 = -4 + 2k + 8 – 5 → 2k + 8 – 9 = 3 → 2 k – 1 = 3 → 2k = 3 + 1 → 2k = 4 
→ k = 2. 
 
Referências 
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
 
Questões 
 
01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Duas cidades A e B estão separadas por uma 
distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em 
quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em 
horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) =
100−𝑡2
𝑡+1
. Sendo assim, a velocidade média desenvolvida pelo ciclista em 
todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a 
(A) 10 Km/h 
(B) 20 Km/h 
(C) 90 Km/h 
(D) 100 Km/h 
 
02. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCITO BRASILEIRO) Uma indústria produz 
mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)=3x²-12x e 
o custo mensal da produção é dado por C(x)=5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença 
entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa 
indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a 
(A) 4 lotes. 
(B) 5 lotes. 
(C) 6 lotes. 
(D) 7 lotes. 
(E) 8 lotes. 
 
03. (IPEM – TÉCNICO EM METROLOGIA E QUALIDADE – VUNESP) A figura ilustra um arco 
decorativo de parábola AB sobre a porta da entrada de um salão: 
 
 
 
Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro em O, de modo que o eixo vertical (y) 
passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco 
sobre a porta (A e B). 
Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode-
se afirmar que a distância 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em metros, é igual a 
(A) 2,1. 
(B) 1,8. 
(C) 1,6. 
(D) 1,9. 
(E) 1,4. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 170 
04. (POLICIA MILITAR/MG – SOLDADO – POLÍCIA MILITAR) A interseção entre os gráficos das 
funções y = - 2x + 3 e y = x² + 5x – 6 se localiza: 
(A) no 1º e 2º quadrantes 
(B) no 1º quadrante 
(C) no 1º e 3º quadrantes 
(D) no 2º e 4º quadrantes 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0: 
𝑑(0) =
100−02
0+1
= 100𝑘𝑚 
 
Agora, vamos substituir na função: 
0 =
100−𝑡2
𝑡+1
 
 
100 – t² = 0 
– t² = – 100 . (– 1) 
t² = 100 
𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ 
 
02. Resposta: D. 
L(x)=3x²-12x-5x²+40x+40 
L(x)=-2x²+28x+40 
 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = −
𝑏
2𝑎
= −
28
−4
= 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠03. Resposta: B. 
C=0,81, pois é exatamente a distância de V 
F(x)=-x²+0,81 
0=-x²+0,81 
X²=0,81 
X=0,9 
A distância AB é 0,9+0,9=1,8 
 
04. Resposta: A. 
-2x+3=x²+5x-6 
X²+7x-9=0 
=49+36=85 
𝑥 =
−7 ± √85
2
 
𝑥1 =
−7 + 9,21
2
= 1,105 
𝑥2 =
−7 − 9,21
2
= −8,105 
Para x=1,105 
Y=-2.1,105+3=0,79 
Para x=-8,105 
Y=19,21 
Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante. 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Definição 
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é: 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 171 
 
Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por: 
 
Gráficos da Função Exponencial 
 
 Propriedades da Função Exponencial 
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então: 
- ax ay= ax + y 
- ax / ay= ax - y 
- (ax) y= ax.y 
- (a b)x = ax bx 
- (a / b)x = ax / bx 
- a-x = 1 / ax 
 
Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...) 
- y = ex se, e somente se, x = ln(y) 
- ln(ex) =x 
- ex+y= ex.ey 
- ex-y = ex/ey 
- ex.k = (ex)k 
 
A Constante de Euler 
Existe uma importantíssima constante matemática definida por 
e = exp(1) 
O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos 
que: 
Ln(e) = 1 
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um 
dos primeiros a estudar as propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: 
e = 2,718281828459045235360287471352662497757 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com 
expoente x, isto é: 
ex = exp(x) 
 
Construção do Gráfico de uma Função Exponencial 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função 𝑦 = 2𝑥 
Vamos atribuir valores a x, para que possamos traçar os pontos no gráfico. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 172 
X Y 
-3 1
8
 
-2 1
4
 
-1 1
2
 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
 
 
 
Questões 
 
01. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) As funções 
exponenciais são muito usadas para modelar o crescimento ou o decaimento populacional de uma 
determinada região em um determinado período de tempo. A função 𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 modela o 
comportamento de uma determinada cidade quanto ao seu crescimento populacional em um determinado 
período de tempo, em que P é a população em milhares de habitantes e t é o número de anos desde 
1980. 
Qual a taxa média de crescimento populacional anual dessa cidade? 
(A) 1,023% 
(B) 1,23% 
(C) 2,3% 
(D) 0,023% 
(E) 0,23% 
 
02. (Polícia Civil/SP – Desenhista Técnico-Pericial – VUNESP) Uma população P cresce em função 
do tempo t (em anos), segundo a sentença 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝟓𝟎,𝟏 .𝒕. Hoje, no instante t = 0, a população é de 2 
000 indivíduos. A população será de 50 000 indivíduos daqui a 
(A) 20 anos. 
(B) 25 anos. 
(C) 50 anos. 
(D) 15 anos. 
(E) 10 anos. 
 
03. (IF/BA – Pedagogo – IF/BA/2016) Em um período longo de seca, o valor médio de água 
presente em um reservatório pode ser estimado de acordo com a função: Q(t) = 4000 . 2 -0,5 . t, onde t 
é medido em meses e Q(t) em metros cúbicos. Para um valor de Q(t) = 500, pode-se dizer que o valor 
de t é: 
(A) 6 meses 
(B) 8 meses 
(C) 5 meses 
(D) 10 meses 
(E) 4 meses 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 173 
04. (CBTU- Assistente Operacional – FUMARC/2016) Uma substância se decompõe segundo a lei 
Q(t) = K.2 – 0,5 t, sendo K uma constante, t é o tempo medido em minutos e Q(t) é a quantidade de 
substância medida em gramas no instante t. O gráfico a seguir representa os dados desse processo 
de decomposição. Baseando-se na lei e no gráfico de decomposição dessa substância, 
é CORRETO afirmar que o valor da constante K e o valor de a (indicado no gráfico) 
são, respectivamente, iguais a: 
 
 
(A) 2048 e 4 
(B) 1024 e 4 
(C) 2048 e 2 
(D) 1024 e 2 
(E) 1024 e 8 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 
Primeiramente, vamos calcular a população inicial, fazendo t = 0: 
𝑃(0) = 234 . (1,023)0 = 234 . 1 = 234 mil 
Agora, vamos calcular a população após 1 ano, fazendo t = 1: 
𝑃(1) = 234 . (1,023)1 = 234 . 1,023 = 239,382 
Por fim, vamos utilizar a Regra de Três Simples: 
População % 
 234 --------------- 100 
 239,382 ------------ x 
234.x = 239,382 . 100 
x = 23938,2 / 234 
x = 102,3% 
102,3% = 100% (população já existente) + 2,3% (crescimento) 
 
02. Resposta: A. 
50000 = 2000 . 50,1 .𝑡 
50,1 .𝑡 = 
50000
2000
 
50,1 .𝑡 = 52 
Vamos simplificar as bases (5), sobrando somente os expoentes. Assim: 
0,1 . t = 2 
t = 2 / 0,1 
t = 20 anos 
 
03. Resposta: A. 
500 = 4000 * 2-0.5t 
500/4000 = 2 -0.5t 
simplificando, 
1/8 = 2 -0.5t 
deixando o expoente positivo, invertemos a base: 
1/8 = 1/2 0.5t 
(½)3 = (½)0,5t 
0,5t=3 
t = 3/0,5 = 6. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 174 
04. Resposta: A. 
 
Calcular o valor de K, ou seja, o valor inicial 
 
Q(t) = K . 2-0,5t. Perceba que o K ocupa a posição referente à quantidade inicial, t=0. Q(t) = 2048 
Assim, temos para o ponto (0, 2048), temos tempo zero e quantidade final 2048. 
 
Calcular o valor de a, o seja, o tempo quando a quantidade final for 512. 
 
Quantidade final = quantidade inicial x (crescimento)período 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
 
512/2048 = (2)-0,5t 
¼ = (2)-0,5t 
(1/2)2 = (1/2)0,5t 
0,5t = 2 
t = 2/0,5 = 4 
 
Assim temos 2048 e 4. 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Toda equação que contém a incógnita na base ou no logaritmando de um logaritmo é denominada 
equação logarítmica. Abaixo temos alguns exemplos de equações logarítmicas: 
log2 𝑥 = 3 
log𝑥 100 = 2 
7log5 625𝑥 = 42 
3log2𝑥 64 = 9 
log−6−𝑥 2𝑥 = 1 
 
Perceba que nestas equações a incógnita encontra-se ou no logaritmando, ou na base de um 
logaritmo. Para solucionarmos equações logarítmicas recorremos a muitas das propriedades dos 
logaritmos. 
 
Solucionando Equações Logarítmicas 
Vamos solucionar cada uma das equações acima, começando pela primeira: 
log2 𝑥 = 3 
 
Segundo a definição de logaritmo nós sabemos que: 
log2 𝑥 = 3 ⟺ 2
3 = 𝑥 
 
Logo x é igual a 8: 23 = x ⇒ x = 2.2.2 ⇒ x = 8 
 
De acordo com a definição de logaritmo o logaritmando deve ser um número real positivo e já que 8 
é um número real positivo, podemos aceitá-lo como solução da equação. A esta restrição damos o nome 
de condição de existência. 
 
log𝑥 100 = 2 
 
Pela definição de logaritmo a base deve ser um número real e positivo além de ser diferente de 1. 
Então a nossa condição de existência da equação acima é que: x ϵ R*+ - {1} 
 
Em relação a esta segunda equação nós podemos escrever a seguinte sentença: 
log𝑥 100 = 2 ⟺ 𝑥
2 = 100 
 
Que nos leva aos seguintes valores de x: 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 175 
𝑥2 = 100 ⟹ 𝑥 = ±√100 ⟹ {
𝑥 = −10
𝑥 = 10
 
 
Note que x = -10 não pode ser solução desta equação, pois este valor de x não satisfaz a condição de 
existência, já que -10 é um número negativo. 
Já no caso de x = 10 temos uma solução da equação, pois 10 é um valor que atribuído a x satisfaz a 
condição de existência, visto que 10 é positivo e diferente de 1. 
 
7log5 625𝑥 = 42 
 
Neste caso temos a seguinte condição de existência: 
625𝑥 > 0 ⟹ 𝑥 >
0
625
⟹ 𝑥 > 0 
Voltando à equação temos: 
7log5 625𝑥 = 42 ⟹ log5 625𝑥 =
42
7
⟹ log5 625𝑥 = 6 
 
Aplicando a mesma propriedade que aplicamos nos casos anteriores e desenvolvendo os cálculos 
temos: Como 25 satisfaz a condição de existência, então S = {25} é o conjunto solução da equação. Se 
quisermos recorrer a outras propriedades dos logaritmos também podemos resolver este exercício assim: 
⇒ log5 𝑥 = 2 ⟺ 5
2 = 𝑥 ⟺ 𝑥 = 25 
 
Lembre-se que: 
 log𝑏(𝑀.𝑁) = log𝑏 𝑀+ log𝑏 𝑁 e que log5 625 = 4, pois 5
4 = 625. 
3 log2𝑥 64 = 9Neste caso a condição de existência em função da base do logaritmo é um pouco mais complexa: 
2𝑥 > 0 ⟹ 𝑥 >
1
2
⟹ 𝑥 > 0 
 
E, além disto, temos também a seguinte condição: 2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2 
 
Portanto a condição de existência é: x ϵ R*+ - {1/2} 
 
Agora podemos proceder de forma semelhante ao exemplo anterior: Como x = 2 satisfaz a condição 
de existência da equação logarítmica, então 2 é solução da equação. Assim como no exercício anterior, 
este também pode ser solucionado recorrendo-se à outra propriedade dos logaritmos: 
log−6−𝑥 2𝑥 = 1 
 
Neste caso vamos fazer um pouco diferente. Primeiro vamos solucionar a equação e depois vamos 
verificar quais são as condições de existência: Então x = -2 é um valor candidato à solução da equação. 
Vamos analisar as condições de existência da base -6 - x: 
Veja que embora x ≠ -7, x não é menor que -6, portanto x = -2 não satisfaz a condição de existência e 
não pode ser solução da equação. Embora não seja necessário, vamos analisar a condição de existência 
do logaritmando 2x: 2x > 0 ⇒ x > 0 
 
Como x = -2, então x também não satisfaz esta condição de existência, mas não é isto que eu quero 
que você veja. O que eu quero que você perceba, é que enquanto uma condição diz que x < -6, a outra 
diz que x > 0. Qual é o número real que além de ser menor que -6 é também maior que 0? 
Como não existe um número real negativo, que sendo menor que -6, também seja positivo para que 
seja maior que zero, então sem solucionarmos a equação nós podemos perceber que a mesma não 
possui solução, já que nunca conseguiremos satisfazer as duas condições simultaneamente. O conjunto 
solução da equação é portanto S = { }, já que não existe nenhuma solução real que satisfaça as condições 
de existência da equação. 
 
Função Logarítmica 
A função logaritmo natural mais simples é a função y=f0(x)=lnx. Cada ponto do gráfico é da forma (x, 
lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 176 
 
 
O domínio da função ln é R*+=]0,∞[ e a imagem é o conjunto R=]-∞,+∞[. 
O eixo vertical é uma assíntota ao gráfico da função. De fato, o gráfico se aproxima cada vez mais da reta 
x=0 
O que queremos aqui é descobrir como é o gráfico de uma função logarítmica natural geral, quando 
comparado ao gráfico de y=ln x, a partir das transformações sofridas por esta função. Consideremos uma 
função logarítmica cuja expressão é dada por y=f1(x)=ln x+k, onde k é uma constante real. A pergunta 
natural a ser feita é: qual a ação da constante k no gráfico dessa nova função quando comparado ao 
gráfico da função inicial y=f0(x)=ln x ? 
Ainda podemos pensar numa função logarítmica que seja dada pela expressão y=f2(x)=a.ln x onde a 
é uma constante real, a 0. Observe que se a=0, a função obtida não será logarítmica, pois será a 
constante real nula. Uma questão que ainda se coloca é a consideração de funções logarítmicas do tipo 
y=f3(x)=ln(x+m), onde m é um número real não nulo. Se g(x)=3.ln(x-2) + 2/3, desenhe seu gráfico, fazendo 
os gráficos intermediários, todos num mesmo par de eixos. 
y=a.ln(x+m)+k 
 
Conclusão: Podemos, portanto, considerar funções logarítmicas do tipo y = f4(x) = a In (x + m) + k, 
onde o coeficiente a não é zero, examinando as transformações do gráfico da função mais simples y = f 0 
(x) = In x, quando fazemos, em primeiro lugar, y=ln(x+m); em seguida, y=a.ln(x+m) e, finalmente, 
y=a.ln(x+m)+k. 
 
Analisemos o que aconteceu: 
- em primeiro lugar, y=ln(x+m) sofreu uma translação horizontal de -m unidades, pois x=-m exerce o 
papel que x=0 exercia em y=ln x; 
- a seguir, no gráfico de y=a.ln(x+m) ocorreu mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada 
é igual àquela do ponto de mesma abscissa em y=ln(x+m) multiplicada pelo coeficiente a; 
- por fim, o gráfico de y=a.ln(x+m)+k sofreu uma translação vertical de k unidades, pois, para cada 
abscissa, as ordenadas dos pontos do gráfico de y=a.ln(x+m)+k ficaram acrescidas de k, quando 
comparadas às ordenadas dos pontos do gráfico de y=a.ln(x+m). 
 
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois 
as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das 
funções esboçados no mesmo referencial cartesiano. 
 
Função logarítmica de base a é toda função f:R*+ → R, definida por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 com a ϵ R*+ e a ≠ 
1. 
Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando, por isto a 
denominamos função logarítmica. Observe que a base a é um valor real constante, não é uma variável, 
mas sim um número real. 
A função logarítmica de R*+ → R é inversa da função exponencial de R*+ → R e vice-versa, pois: 
log𝑏 𝑎 = 𝑥 ⟺ 𝑏
𝑥 = 𝑎 
 
Representação da Função Logarítmica no Plano Cartesiano 
Podemos representar graficamente uma função logarítmica da mesma forma que fizemos com a 
função exponencial, ou seja, escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os 
respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos a curva do 
gráfico. Vamos representar graficamente a função 𝑓(𝑥) = log 𝑥 e como estamos trabalhando com um 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 177 
logaritmo de base 10, para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências 
de 10: 
0,001, 0,01, 0,1, 1, 10 e 2. 
 
Temos então seguinte a tabela: 
 
x y = log x 
0,001 y = log 0,001 = -3 
0,01 y = log 0,01 = -2 
0,1 y = log 0,1 = -1 
1 y = log 1 = 0 
10 y = log 10 = 1 
 
 
 
Ao lado temos o gráfico desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos 
da tabela e os interligamos através da curva da função: Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão 
quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar. Note também que neste tipo de 
função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y. Por exemplo, 
se passarmos de x = 100 para x = 1000000, a variação de y será apenas de 2 para 6. Isto porque: 
 
{
𝑓(100) = log 100 = 2
𝑓(1000000) = log 1000000 = 6
 
 
 
Função Crescente e Decrescente 
Assim como no caso das funções exponenciais, as funções logarítmicas também podem ser 
classificadas como função crescente ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser 
maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função logarítmica f:R*+ → R, definida 
por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 , temos que a > 0 e a ≠ 1. 
 
- Função Logarítmica Crescente 
 
 
 
Se a > 1 temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x. No 
gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. 
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. 178 
Graficamente vemos que a curva da função é crescente. Também podemos observar através do gráfico, 
que para dois valor de x (x1 e x2), que log𝑎 𝑥2 > log𝑎 𝑥1⟺ 𝑥2 > 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais 
positivos, com a > 1. 
 
- Função Logarítmica Decrescente 
 
 
 
Se 0 < a < 1 temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. Neste outro 
gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva 
da função é decrescente. No gráfico também observamos que para dois valores de x (x1 e x2), que 
log𝑎 𝑥2 < log𝑎 𝑥1⟺ 𝑥2 > 𝑥1 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com 0 < a < 1. É importante 
frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre 
cruza o eixo das abscissas no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o log𝑎 𝑥2 =
log𝑎 𝑥1⟺ 𝑥2 = 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a ≠ 1. 
 
 
Questões 
 
01. (PETROBRAS-GEOFISICO JUNIOR – CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo na base 
10 de x, então o valor de n tal que log n =3 - log 2 é: 
(A) 2000 
(B) 1000 
(C) 500 
(D) 100 
(E) 10 
 
02. (MF – Assistente Técnico Administrativo – ESAF) Sabendo-se que log x representa o logaritmo 
de x na base 10, calcule o valor da expressão log 20 + log 5. 
(A) 5 
(B) 4 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 3 
 
03. (SEE/AC – Professor de Matemática e Física – FUNCAB) Assinale a alternativa correta, 
considerando a função a seguir. 
 
(A) O domínio da função é o conjunto dos números reais. 
(B) O gráfico da função passa pelo ponto (0, 0). 
(C) O gráfico da função tem como assíntota vertical a reta x = 2. 
(D) Seu gráfico toca o eixo Y. 
(E) Seu gráfico toca o eixo X em dois pontos distintos. 
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. 179 
04. (PETROBRAS-ANALISTA DE COMERCIALIZAÇÃO E LOGÍSTICA JÚNIOR - TRANSPORTE 
MARÍTIMO-CESGRANRIO) Ao resolver um exercício, um aluno encontrou as expressões 8p = 3 e 3q = 
5. Quando perguntou ao professor se suas expressões estavam certas, o professor respondeu que sim e 
disse ainda que a resposta à pergunta era dada por 
 
 
Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, qual é a resposta correta, segundo o professor? 
(A) log 8 
(B)log 5 
(C)log 3 
(D)log 2 
(E)log 0,125 
 
05. (TRT - 13ª REGIÃO (PB) -ANALISTA JUDICIÁRIO - ESTATÍSTICA-FCC) Com base em um 
levantamento histórico e utilizando o método dos mínimos quadrados, uma empresa obteve a 
equação para estimar a probabilidade (p) de ser realizada a venda de determinado 
equipamento em função do tempo (t), em minutos, em que as propriedades do equipamento são 
divulgadas na mídia. Considerando que ln (0,60) = - 0,51, tem-se que se as propriedades do equipamento 
forem divulgadas por um tempo de 15 minutos na mídia, então a probabilidade do equipamento ser 
vendido é, em %, de 
 
Observação: ln é o logaritmo neperiano tal que ln(e) = 1. 
(A)62,50 
(B)80,25. 
(C) 72,00. 
(D)75,00. 
(E)64,25. 
 
06. (PETROBRAS-CONHECIMENTOS BÁSICOS - TODOS OS CARGOS DE NÍVEL MÉDIO-
CESGRANRIO) Quanto maior for a profundidade de um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, 
pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo a intensidade em função da profundidade do mesmo. 
Considere que, em determinado lago, a intensidade y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função 
y = i0 . ( 0,6 )x/88, onde i0 representa a intensidade da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse 
lago, a intensidade da luz corresponde a i0/3 
A profundidade desse lago, em cm, está entre. 
 
Dados 
log 2 = 0,30 
log 3 = 0,48 
 
(A)150 e 160 
(B)160 e 170 
(C) 170 e 180 
(D)180 e 190 
(E)190 e 200 
 
07. (DNIT-ANALISTA EM INFRAESTRUTURA DE TRANSPORTES-ESAF) Suponha que um técnico 
efetuou seis medições de uma variável V1, cujos dados são mostrados na tabela abaixo. Ao perceber 
que os valores cresciam de forma exponencial, o técnico aplicou uma transformação matemática 
(logaritmo na base 10) para ajustar os valores originais em um intervalo de valores menor. A referida 
transformação logarítmica vai gerar novos valores cujo intervalo varia de: 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 180 
 
 
(A) 0 a 1. 
(B)0 a 5. 
(C)0 a 10. 
(D)0 a 100. 
(E)1 a 6. 
 
08. (PETROBRAS-TÉCNICO DE EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO JÚNIOR-CESGRANRIO) Se y = 
log81 (1⁄27) e x ∈ IR+ são tais que xy = 8 , então x é igual a 
(A) 1⁄16 
(B)1⁄2 
(C)log38 
(D) 2 
(E)16 
 
09. (PETROBRAS-GEOFÍSICO JUNIOR-GEOLOGIA-CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo 
na base 10 de x, então o valor de n tal que log n = 3 - log 2 é 
(A) 2000 
(B)1000 
(C)500 
(D)100 
(E)10 
 
10. (PETROBRAS-TODOS OS CARGOS-CESGRANRIO) Em calculadoras científicas, a 
tecla log serve para calcular logaritmos de base 10. Por exemplo, se digitamos 100 e, em seguida, 
apertamos a tecla log, o resultado obtido é 2. A tabela a seguir apresenta alguns resultados, com 
aproximação de três casas decimais, obtidos por Pedro ao utilizar a tecla log de sua calculadora científica. 
 
Utilizando-se os valores anotados por Pedro na tabela acima, a solução da equação log6+x=log28 é 
(A)0,563 
(B)0,669 
(C)0,966 
(D)1,623 
(E)2,402 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 * 1 
onde 1 = log 10 então: 
log (n * 2) = 3 * log 10 
log(n*2) = log 10 ^3 
2n = 10^3 
2n = 1000 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 181 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
02. Resposta: D. 
E = log20 + log5 
E = log(2 x 10) + log5 
E = log2 + log10 + log5 
E = log10 + log (2 x 5) 
E = log10 + log10 
E = 2 log10 
E = 2 
 
03. Resposta: C. 
(x)=log2(x-2) 
Verificamos a condição de existência, daí x-2>0 
x>2 
Logo a reta x=2 é uma assíntota vertical. 
 
04. Resposta: B. 
8p=3 
23p=3 
 log23p=log3 
3p=(log3/log2) 
 p=(log3/log2).1/3 
 
3q=5 
q.log3=log5 
q=log5/log3 
3.p.q= 3. (log3/log2).1/3.log5/log3 = log5/log2 
 3.p.q/(1+3.p.q) 
 log5/log2/(1+log5/log2) 
 (log5/log2)/( log2/log2+ log5/log2) 
(log5/log2)/(log2+log5)/log2) 
 (log5/log2)/( log10)/log2) 
 (log5/ log10)= 
 log5 
 
05. Resposta: A 
 Como sabemos que ln (0,60) = -0,51 
então ln (1 / 0,60) = 0,51 
Substituindo t = 15 minutos em 0,06 + 0,03*t, teremos 0,06 + 0,03*15 = 0,51 
logo 1 / 0,60 = p / (1 - p) 
1 - p = 0,60. p 
p = 0,625 
 
06. Resposta: E 
onde y = i0 . 0,6 (x/88) 
então : 
 i0/ 3 = i0.0,6 (x/88) 
 (i / 3) . (1/ i) = 0,6 (x/88) 
 1/3 = 0,6 (x/88) 
 log 1/3 = log 0,6 (x/88) 
 log 1 - log 3 = x/88 * log 6/10 
0 - 0,48 = x/88 *. log 6/10 
 88 . (- 0,48) = X . [ log 6 - log 10 ] 
 6 = 3 . 2 ===> log 3 + log 2 
 como log10 na base 10 = 1. 
 
 - 42,24 = X . [ log 3 + log 2 - (1)] 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 182 
 - 42,24 = X . [ 0,48 + 0,30 - 1 ] 
X = - 42,24 / - 0,22 
 X = (42,24 / 0,22) = 192 
X = 192 cm 
 
07. Resposta: B 
 A transformação logarítmica vai gerar novos valores, através dos seguintes cálculos: 
 
medida 1 = log 1 = 0 
medida 2 = log 10 = 1 
medida 3 = log 100 = 2 
medida 4 = log 1000 = 3 
medida 5 = log 10000 = 4 
medida 6 = log 100000 = 5 
logo os valores (1,10,100,1000,10000,100000) transformados em logaritmos reduziu o intervalo de 
valores para (0,1,2,3,4,5), ou seja, 0-5. 
 
08. Resposta: A. 
 
y = log (81) (1/27) 
 
y = -3log(81)(3) 
 
y = -3. 1/4 
y = -3/4 
 
x(-3/4) = 8 
Elevando os dois termos à quarta potência: 
 
x-3 = 84 
 
1/x3 = 84 
Agora raiz cubica dos dois termos: 
1/x = 8 4/3 
 
 Como 3√8=2 
1/x = 24 
1/x = 16 
x = 1/16 
09. Resposta: C. 
De acordo com o enunciado: 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 . 1 
onde 1 = log 10 
então: 
log (n .2) = 3 . log 10 
log(n.2) = log 10 3 
2n = 103 
2n = 1000 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
10 Resposta: B. 
Log 6 = Log (2. 3) 
 
De acordo com uma das propriedades: 
Log (A*B) = Log A + Log B 
 
Então, Log (2*3) = Log 2 + Log 3. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 183 
Fatorando o número 28 temos que 
28=2x2x7 
Temos que: 
Log 28 = Log (2x2x7) 
ou seja, 
Log 28 = Log 2+Log 2+ Log 7 
Portanto: 
Log 2+ Log 3 + X = Log 2 + Log 2 +Log 7 
Cortando o Log 2 dos dois lados temos: 
Log 3 + X = Log 2 + Log 7 
Dados os valores da tabela, e substituindo-os, temos que: 
0,477 + X = 0,301+0,845 
X = 0,669 
 
FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo 
do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: 
x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais 
um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da 
figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π 
e que possuem a mesma imagem. Observe: 
 
9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta 
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta 
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta 
 
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, 
onde k Є Z. E deuma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ. 
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, 
função cosseno e função tangente. 
 
Características da função seno 
É uma função f: R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da 
função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. 
Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função f(x) = senx 
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. 184 
 
 
 
Características da função cosseno 
É uma função f: R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx. O sinal 
da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º 
quadrantes. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função f(x) = cosx 
 
 
Características da função tangente 
É uma função f: R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx. 
Sinais da função tangente: 
- Valores positivos nos quadrantes ímpares. 
- Valores negativos nos quadrantes pares. 
- Crescente em cada valor. 
 
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. 185 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função tangente 
 
 
 
Função trigonométrica inversa 
As funções trigonométricas não são invertíveis em todo o seu domínio. Mas, para cada uma delas, 
podemos restringir o domínio de forma conveniente e definir uma função inversa. 
 
- A função inversa do seno, denotada por arcsen, é definida como: 
 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arsec 
 
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. 186 
 
 
- A função inversa do cosseno, denotada por arccos, é definida como: 
 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arccos 
 
 
 
- A função inversa da tangente, denotada por arctan, é definida como: 
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. 187 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arctan 
 
 
Referências 
 http://www.brasilescola.com 
 http://www.uff.br/webmat 
 
Questões 
 
01. Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x? 
 
02. Calcule y = tg(arcsen 2/3) 
 
03. Resolver a equação 2*sen(3x) + 1 = 0 
 
04. Ache o o conjunto solução da equação sen (5x) + sen (2x) = 0 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 188 
Respostas 
 
01. Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem: 
Para x: -1 < 4x < 1 Þ -1/4 < x < 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].Para y: Da definição vista acima, 
deveremos ter -p /2 < y < p /2. 
Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2]. 
Analogamente definiríamos as funções arco coseno e arco tangente. 
 
02. Seja w = arcsen 2/3. 
Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem: sen2w + cos2w = 1 (Relação 
Fundamental da Trigonometria). Substituindo o valor de senw vem: 
(2/3)2 + cos2w = 1 de onde conclui-se: cos2w = 1 – 4/9 = 5/9. 
Logo: 
cosw = ± Ö 5 / 3. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de –90º a +90º, intervalo 
no qual o coseno é positivo. Logo: cosw = +Ö 5 /3. 
Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = [(2/3) / (Ö 5/3)] = 2/Ö 5 
Racionalizando o denominador, vem finalmente y = (2Ö 5)/ 5 que é o valor de y procurado. 
 
03. Seja 2*sen(3x) + 1 = 0 
A solução é 3x = 7π/6 rad, pois sen 7π/6 = - 1/2. Assim, temos: sen 3x = sen 7π/6 
Então: 3x = 7π/6 + 2kπ ou 3x = - π/6 + 2kπ, k E R. 
 x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3 
Concluímos que o conjunto solução é: 
S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3, k E Z} 
 
04. Observe que é possível transformar o 1º membro em um produto; além disso, o 2º membro é zero. 
Assim sendo, lembrando que sen p + sen q = 2*sen p + q / 2* cos p - q / 2, temos: 
2*sen 5x + 2x /2*cos 5x - 2x /2 = 0  sen 7x / 2*cos3x /2 = 0  sen 7x/ 2 = 0 ou cos 3x /2 = 0 
Para sen 7x/ 2 = sen 0, temos: 7x/ 2 = kπ, k E Z. Portanto: 7x = 2kπ  x = 2kπ / 7, k E Z 
Para cos 3x/ 2 = cos π/2, temos: 3x / 2 = π/ 2 + kπ, k E Z. 
Então: 3x = π + 2kπ  x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z. 
O conjunto solução é: S = {x E R/ x = π/3 + 2kπ/ 3 ou x = 2kπ/ 7, k E Z} 
Obs: esse mesmo problema poderia ser resolvido assim: 
sen (5x) + sen (2x) = 0  sen (5x) = - sen (2x) 
como: - sen (2x) = sen (- 2x) desse modo temos: 
5x = - 2x + 2kπ ou 5x = π - (-2x) + 2kπ, k E Z, daí obtemos: 
x = 2kπ/ 7 ou x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z 
 
 
 
SEQUÊNCIAS 
 
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de 
cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de 
aniversário dos alunos de uma determinada escola. 
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 
1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado 
termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos 
atenção ao estudo das sequências numéricas. 
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não 
apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final. 
 
Exemplos: 
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma 
sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc. 
Sequências. Progressões aritméticas e geométricas. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 189 
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência 
infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc. 
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos 
que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 
= 9. 
 
1. Igualdade 
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. 
Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões 
diferentes. 
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos 
termos, na mesma ordem. 
 
Exemplo 
 A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 
5; y = 8; z = 15; e t = 17. 
 
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem 
os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 
 
2. Fórmula Termo Geral 
Podemos apresentar uma sequência através de um determinado valor atribuído a cada termo an em 
função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta fórmula que determina o valor do 
termo an é chamada fórmula do termo geral da sucessão. 
 
Exemplos: 
- Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = n2 – 2n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1 
- se n = 2 ⇒ a2 = 22 – 2. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3 
- se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8 
- se n = 5 ⇒ a5 = 52 – 5. 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15 
 
- Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = 3n + 2, com n ∈ N*. 
 
- se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5 
- se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11 
- se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14 
- se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17 
 
- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: 
 
an = 45 – 4n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3 
- se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47 
 
3. Lei de Recorrências 
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma 
fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente.Essa forma de 
apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 190 
Exemplos: 
- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: 
a1 = 3 e an+1 = 2an – 4, em que n ∈ N*. 
 
Teremos: o primeiro termo já foi dado. 
- a1 = 3 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a1 – 4 ⇒ a2 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = 2.a2 – 4 ⇒ a3 = 2.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = - 4 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.a4 – 4 ⇒ a5 = 2.(-4) – 4 ⇒ a5 = - 8 – 4 = - 12 
 
- Determinar o termo a5 de uma sequência em que: 
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n ∈ N*. 
 
- a1 = 12 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4 
 
Observação 1 
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto 
que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os 
termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. 
 
Observação 2 
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas 
nem pela lei das recorrências, nem pela fórmula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como 
esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma 
fórmula geral para seus termos. 
 
Observação 3 
Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no 
enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um 
número natural. 
A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética. 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) 
 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo 
anterior somado com uma constante que é chamada de razão (r). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an, .... 
 
Cálculo da razão: a razão de uma P.A. é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1 
 
Exemplos: 
- (5, 9, 13, 17, 21, 25, ......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4 
- (2, 9, 16, 23, 30, …) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7 
- (23, 21, 19, 17, 15, …) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2. 
 
Classificação: uma P.A. é classificada de acordo com a razão. 
 
1- Se r > 0 ⇒ a P.A. é crescente. 
2- Se r < 0 ⇒ a P.A. é decrescente. 
3- Se r = 0 ⇒ a P.A. é constante. 
 
Fórmula do Termo Geral 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 191 
Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1 + r 
3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 
4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 
5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r 
6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
n° termo é: 
 
 
 
Fórmula da soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Propriedades: 
1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
 
Exemplo 1: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ......) 
 
 
Exemplo 2: (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, ......) 
 
 
Como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém, 
só existe termos médios se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos 
anterior com o posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 =
a3
a1
. 
Exemplo: 
 
 
P.G. – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo 
anterior multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an,... 
𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏). 𝐫 
𝐒𝐧 =
(𝐚𝟏 + 𝐚𝐧). 𝐧
𝟐
 
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. 192 
Cálculo da razão: a razão de uma P.G. é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
𝑎3
𝑎2
=
𝑎4
𝑎3
= ⋯……… = 
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
 
 
Exemplos: 
- (3, 6, 12, 24, 48, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2 
- (-36, -18, -9, 
−9
2
, 
−9
4
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 36 e razão q = 
1
2
 
- (15, 5, 
5
3
, 
5
9
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 
1
3
 
- (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 2 e razão q = 3 
- (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = - 3 
- (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1 
- (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0 
- (0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada 
 
Classificação: uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão. 
 
1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando 
a1 < 0 e 0 < q < 1. 
2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou 
quando a1 < 0 e q > 1. 
3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. 
4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é 
também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionária. 
5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. 
 
Fórmula do termo geral 
 
Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1.q 
3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2 
4° termo: a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 
5° termo: a5 = a4.q = a1.q3.q = a1.q4 
 . . . . . 
 . . . . . 
 . . . . . 
 
n° termo é: 
 
 
 
Soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma) 
Vamos ver um exemplo: 
Seja a P.G. (2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, …) de a1 = 2 e q = 
1
2
 se colocarmos na forma decimal, temos 
(2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; ….) se efetuarmos a somas destes termos: 
2 + 1 = 3 
3 + 0,5 = 3,5 
3,5 + 0,25 = 3,75 
an = a1.q
n – 1 
𝐒𝐧 =
𝐚𝟏. (𝐪
𝐧 − 𝟏)
𝐪 − 𝟏
 
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. 193 
3,75 + 0,125 = 3,875 
3,875 + 0,0625 = 3,9375 
3,9375 + 0,03125 = 3,96875 
. 
. 
. 
Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo 
limite. Então temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
Utilizando no exemplo acima: 𝑆 =
2
1−
1
2
=
2
1
2
= 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a 
4. 
 
Produto da soma de n termos 
 
 
 
Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo: 
1- O produto de n números positivos é sempre positivo. 
2- No produto de n números negativos: 
 a) se n é par: o produto é positivo. 
 b) se n é ímpar: o produto é negativo. 
 
Propriedades 
1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto 
destes extremos. 
 
Exemplos 1: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ...) 
 
 
Exemplo 2: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …) 
 
 
- como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos. 
Porém, só existe termo médio se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média geométrica do 
termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 = √a3. a1. 
 
 
𝐒 =
𝐚𝟏
𝟏 − 𝐪
 → −𝟏 < 𝐪 < 𝟏 
|𝐏𝐧| = √(𝐚𝟏.𝐚𝐧)
𝐧 
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. 194 
Exemplo: 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48, 51, ...) 
(A) 339 
(B) 337 
(C) 333 
(D) 331 
 
02. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma sequência inicia-se com o 
número 0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. 
Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é 
(A) –6,7. 
(B) 0,23. 
(C) –3,1. 
(D) –0,03. 
(E) –0,23. 
 
03. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em 
que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a: 
(A) 58 
(B) 59 
(C) 60 
(D) 61 
(E) 62 
 
04. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é: 
(A) 3,1 
(B) 3,9 
(C) 3,99 
(D) 3, 999 
(E) 4 
 
05. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Observe a 
sequência: 
 
1; 2; 4; 8;... 
 
Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? 
(A) 192 
(B) 184 
(C) 160 
(D) 128 
(E) 64 
 
06. (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN) 
O primeiro e o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100. 
A soma do segundo e quarto termos dessa sequência é igual a 
(A) 210. 
(B) 250. 
(C) 360. 
(D) 480. 
(E) 520. 
 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 195 
7. (TRF 3ª – Analista Judiciário - Informática – FCC) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se 
fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64 
grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser 
colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 264. 
(B) 2126. 
(C) 266. 
(D) 2128. 
(E) 2256. 
 
08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP) Planejando uma operação de policiamento 
ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado 
na figura. 
 
 
 
Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1 
+ r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a 
(A) 36. 
(B) 38. 
(C) 39. 
(D) 40. 
(E) 42. 
 
09. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Observe a sequência numérica a seguir: 
11; 15; 19; 23;... 
Qual é o sétimo termo desta sequência? 
(A) 27. 
(B) 31. 
(C) 35. 
(D) 37. 
(E) 39 
 
10. (METRÔ/SP – USINADOR FERRAMENTEIRO – FCC) O setor de almoxarifado do Metrô necessita 
numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo 
de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um 
algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo 
completo de numeração das peças é igual a 
(A) 20. 
(B) 10. 
(C) 19. 
(D) 18. 
(E) 9. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 196 
11. (MPE/AM – AGENTE DE APOIO- ADMINISTRATIVO – FCC) Considere a sequência numérica 
formada pelos números inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são 
dados a seguir. (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...) 
O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 6 
(E) 8 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
r = 48 – 45 = 3 
𝑎1 = 45 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 
 
02. Resposta: D. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 − (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎4 = 0,3 − 3.0,07 = 0,09 
𝑎7 = 0,3 − 6.0,07 = −0,12 
𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 − 0,12 = −0,03 
 
03. Resposta: B. 
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - 
(10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - 
(8; 9; 10; 11; …). 
Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: 
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1 
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está 
intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: 
- Se n (índice da sucessão) é ímpar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; 
- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2. 
Daqui e de (1) obtemos que: 
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar 
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par 
Logo: 
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e 
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 
E, portanto: 
a30 + a55 = 22 + 37 = 59. 
 
04. Resposta: E. 
Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de 
razão q = 0,09/0,9 = 0,1. Assim: 
S = 3 + S1 
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: 
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4 
 
05. Resposta: C. 
Esta sequência é do tipo 𝑎𝑛 = 2
𝑛−1 . 
Assim: 
𝑎6 = 2
6−1 = 25 = 32 
𝑎8 = 2
8−1 = 27 = 128 
A soma fica: 32 + 128 = 160. 
 
 
 
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. 197 
06. Resposta: E. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 
100 = 4 ∙ 𝑞2 
𝑞2 = 25 
𝑞 = 5 
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 4 ∙ 5 = 20 
𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 5 = 500 
𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 
 
07. Resposta: B. 
Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4 
A64 = ? 
a1 = 1 
q = 4 
n = 64 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
 
 𝑎𝑛 = 1 ∙ 4
63 = (22)63 = 2126 
 
08. Resposta: D. 
Se estão em Progressão Geométrica, então: 
𝑟1
𝑟
= 
𝑟2
𝑟1
 , ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2. 
Assim: 𝑟1
2 = 144 
𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 
Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim: 
𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 
𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12 
𝑟 + 𝑟2 = 40 
 
09. Resposta: C. 
Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
 𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4 
Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35 
 
10. Resposta: A. 
 99 = 9 + (𝑛 − 1)10 
 10𝑛 − 10 + 9 = 99 
 𝑛 = 10 
Vamos tirar o 99 pra ser contato a parte: 10-1=9 
 99 = 90 + (𝑛 − 1) 
 𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 
São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2 
19+1=20 
 
11. Resposta: D. 
r = 4 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
 𝑎234 = 4+ 233 ∙ 4 = 936 
Portanto, o último algarismo é 6. 
 
 
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. 198 
 
 
MATRIZES 
 
Em jornais, revistas e na internet vemos frequentemente informações numéricas organizadas em 
tabelas, colunas e linhas. Exemplos: 
 
 
 
 Em matemática essas tabelas são exemplos de matrizes. O crescente uso dos computadores tem 
feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, 
Matemática, Física, dentre outras. 
 
Definição 
Seja m e n números naturais não nulos. Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela de m.n números reais 
dispostos em m linhas e n colunas. Exemplo: 
 
 
Um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo: aij, no qual o índice i refere-se à 
linha, o índice j refere-se à coluna em que se encontram tais elementos. As linhas são enumeradas de 
cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita. 
 
 
 
Matrizes. Determinantes. 
 
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. 199 
Exemplo 
 
 
Representamos uma matriz colocando seus elementos (números) entre parêntese ou colchetes ou 
também (menos utilizado) duas barras verticais à esquerda e direita. 
 
Exemplos 
𝐴 = (5 −1
1
2
) é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 1 𝑥 3 
 
𝐵 = [
7 −2
3 4
] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 2 
 
𝐶 = ‖
√5 1/3 1
7 2 −5
−4 1/5 2
‖ é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 3 𝑥 3 
 
𝐷 = [
−1 5 8
−1 2 −3
] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 3 
 
Exemplo 
Escrever a matriz A = (aij)2 x 3, em que aij = i – j 
A matriz é do tipo 2 x 3 (duas linhas e três colunas), podemos representa-la por: 
 
Matrizes Especiais 
Algumas matrizes recebem nomes especiais. Vejamos:- Matriz Linha: é uma matriz formada por uma única linha. 
 
Exemplo 
𝐴 = [1 7 −5] ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 1𝑥3 
 
- Matriz coluna: é uma matriz formada por uma única coluna. 
 
Exemplo 
𝐵 = [
1
−5
7
] ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 3𝑥1 
 
- Matriz nula: é matriz que possui todos os elementos iguais a zero. 
 
 
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. 200 
Exemplo 
𝐶 = (
0 0
0 0
0 0
) ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 3𝑥2 
 
- Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Podemos, 
neste caso, chamar de matriz quadrada de ordem n. 
 
Exemplo 
𝐷 = (
3 2
−4 1
) ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2𝑥2 𝑜𝑢 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 2. 
 
 
A diagonal principal de D é formada pelos elementos cujo índice é igual ao índice da coluna (a11 e a22). 
A outra diagonal recebe o nome de diagonal secundária de D. 
 
 
 
 
- Matriz identidade: é a matriz quadrada em que cada elemento da diagonal principal é igual a 1, e os 
demais têm o valor 0. Representamos a matriz identidade pela seguinte notação: In. 
 
Exemplos 
 
 
Também podemos definir uma matriz identidade da seguinte forma: 
 
𝐼𝑛 = [𝑎𝑖𝑗]𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 
 
- Matriz transposta: é a matriz onde as linhas são ordenadamente iguais a colunas desta mesma 
matriz e vice e versa. Ou seja: 
Dada uma matriz A de ordem m x n, chama-se matriz transposta de A, indicada por At, a matriz cuja a 
ordem é n x m, sendo as suas linhas ordenadamente iguais às colunas da matriz A. 
 
 
 
 
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. 201 
Exemplo 
 
𝐴 = [
2 −1
7 10
] , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝑡 = [
2 7
− 10
] 
 
Observe que: 
- a 1ª linha da matriz A é igual à 1ª coluna da matriz At. 
- a 2ª linha da matriz A é igual a 2ª coluna da matriz At. 
 
Generalizando, temos: 
 
 
 - Matriz oposta: é a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os seus elementos. 
Representamos por -A tal que A + (-A) = O, em que O é a matriz nula do tipo m x n. 
 
Exemplo 
 
 
 
- Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujo At = A; ou ainda aij = aji 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
- Matriz antissimétrica: é uma matriz quadrada cujo At = - A; ou ainda aij = - aij. 
 
Exemplo 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 202 
 
 
Classificação de acordo com os elementos da matriz 
 
- Real: se todos os seus elementos são reais. 
 
Exemplo 
𝐴 = [
1 −5
3 2
] 
 
- Imaginária: se pelo menos um dos seus elementos é complexo. 
 
Exemplo 
𝐵 = [
1 −5
3 𝑖
] 
 
- Triangular superior: é uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são 
nulos. 
 
Exemplo 
 
- Triangular inferior: é uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são 
nulos. 
 
Exemplo 
 
 
 
 
Igualdade de matrizes 
Dizemos que duas matrizes A e B, de mesma ordem, são iguais (A = B) se, e somente se, os seus 
elementos de mesma posição forem iguais, ou seja: 
A = [aij] m x n e B = [bij] p x q 
 
Sendo A = B, temos: 
m = p e n = q 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 203 
 
 
Operações com matrizes 
 
- Adição: a soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é matriz também de mesma ordem, obtida 
com a adição dos elementos de mesma posição das matrizes A e B. 
 
 
Exemplo 
 
 
Propriedades: considerando as matrizes de mesma ordem, algumas propriedades são válidas: 
Comutativa: A + B = B + A 
Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
Elemento simétrico: A + (-A) = 0 
Elemento neutro: A + 0 = A 
 
- Subtração: a diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é a matriz obtida pela adição 
da matriz A com a oposta da matriz B, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 204 
Exemplo 
 
 
- Multiplicação de um número real por uma matriz: o produto de um número real k por uma matriz 
A, é dado pela multiplicação de cada elemento da matriz A por esse número real k. 
 
 
Exemplo 
 
 
- Multiplicação de matrizes: para multiplicarmos duas matrizes A e B só é possível mediante a uma 
condição e uma técnica mais elaborada. Vejamos: 
 
Condição: o número de COLUNAS da A (primeira) têm que ser igual ao número de LINHAS de B 
(segunda). 
 
 
 
Logo a ordem da matriz resultante é a LINHA de A e a COLUNA DE B. 
 
Técnica: Multiplicamos o 1º elemento da LINHA 1 de A pelo 1º elemento da primeira COLUNA de B, 
depois o 2º elemento da LINHA 1 de A pelo 2º elemento da primeira COLUNA de B e somamos esse 
produto. Fazemos isso sucessivamente, até termos efetuado a multiplicação de todos os termos. 
Exemplo 
 
 
A matriz C é o resultado da multiplicação de A por B. 
 
Propriedades da multiplicação: admite-se as seguintes propriedades 
Associativa: (A.B). C = A.(B.C) 
Distributiva: (A + B). C = A. C + B. C e C. (A + B) = C. A + C. B 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 205 
Observação: a propriedade comutativa NÃO é válida na multiplicação de matrizes, pois geralmente 
A.B ≠ B.A 
 
 
Matriz Inversa 
Dizemos que uma matriz é inversa A–1 (toda matriz quadrada de ordem n), se e somente se, A.A-1 = In 
e A-1.A = In ou seja: 
𝑨. 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏. 𝑨 = 𝑰𝒏 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝐴 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑎𝑑𝑎. 
𝐴−1 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴. 
𝐼𝑛 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝐴.
 
 
Exemplos 
1) A matriz 𝐵 = [
8 −2
3 −1
] é inversa da matriz 𝐴 = [
1
2
−1
3
2
−4
] , pois: 
 
2) Vamos verificar se a matriz 𝐴 = (
2 5
1 3
) 𝑒 𝐵 = (
1 2
1 1
) , são inversas entre si: 
 
Portanto elas, não são inversas entre si. 
 
3) Dada a matriz 𝐴 = [
2 1
3 2
], determine a inversa, A-¹. 
Vamos então montar a matriz 𝐴−1 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐴. 𝐴−1 = 𝐼𝑛 
 
[
2 1
3 2
] . [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = [
1 0
0 1
] → [
2𝑎 + 𝑐 2𝑏 + 𝑑
3𝑎 + 2𝑐 3𝑏 + 2𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
 
Fazendo as igualdades temos: 
{
2𝑎 + 𝑐 = 1
3𝑎 + 2𝑐 = 0
 {
2𝑏 + 𝑑 = 0
3𝑏 + 2𝑑 = 1
 
 
Resolvendo os sistemas temos: a = 2; b = -1; c = -3 e d = 2 
Então a matriz inversa da matriz A é: 
𝐴−1 = [
2 −1
−3 2
] 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Rio de Janeiro/RJ – Prof. Ensino Fund. – Matemática- Pref. de Rio de Janeiro-
RJ/2016) Considere as matrizes A e B, a seguir. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 206 
 
O elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna da matriz produto BA vale: 
(A) 9 
(B) 0 
(C) – 9 
(D) – 11 
 
02. (BRDE – Analista de Sistemas-Suporte – FUNDATEC) Considere as seguintes matrizes: 
𝐴 = [
2 3
4 6
] , 𝐵 = [
2 3
4 5
6 6
] 𝑒 𝐶 = [
2 1 0
4 6 7
], a solução de C x B + A é: 
(A) Não tem solução, pois as matrizes são de ordem diferentes. 
 
(B) [
10 14
78 90
] 
 
(C) [
2 3
4 5
] 
 
(D) [
6 6
20 36
] 
 
(E) [
8 11
74 84
] 
 
 
03. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) A matriz abaixo registra as ocorrências policiais em uma 
das regiões da cidade durante uma semana. 
 
 
Sendo M=(aij)3x7 com cada elemento aij representando o número de ocorrência no turno i do dia j da 
semana. 
O número total de ocorrências no 2º turno do 2º dia, somando como 3º turno do 6º dia e com o 1º turno 
do 7º dia será: 
(A) 61 
(B) 59 
(C) 58 
(D) 60 
(E) 62 
 
04. (CPTM – ANALISTA DE COMUNICAÇÃO JÚNIOR – MAKIYAMA) Para que a soma de uma 
matriz 𝐴 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] e sua respectiva matriz transposta At em uma matriz identidade, são condições a serem 
cumpridas: 
(A) a=0 e d=0 
(B) c=1 e b=1 
(C) a=1/c e b=1/d 
(D) a²-b²=1 e c²-d²=1 
(E) b=-c e a=d=1/2 
 
05. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) Assinale a alternativa que apresente o resultado da 
multiplicação das matrizes A e B abaixo: 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCOEDSON
 
. 207 
𝐴 = (
2 1
3 −1
) ∙ 𝐵 = (
0 4 −2
1 −3 5
) 
 
(A) (
−1 −5 1
1 15 11
) 
 
(B) (
1 5 1
−1 15 − 11
) 
 
(C) (
1 5 − 1
1 −15 11
) 
 
(D) (
1 5 1
1 15 11
) 
 
(E) (
−1 5 − 1
1 15 − 11
) 
 
06. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes: 
 
(
6 𝑦
7 2
) + (
1 −3
8 5
) = (
7 7
15 7
) 
 
Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira. 
(A) 4. 
(B) 6. 
(C) 8. 
(D) 10. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Como as matrizes são quadradas de mesma ordem, podemos então multiplica-las: 
𝐵. 𝐴 = [
5 −2 0
−1 2 4
−3 −2 1
] . [
1 2 −2
−1 3 0
2 1 3
] → 
 
[
5.1 + (−2). (−1) + 0.2 5.2 + (−2). 3 + 0.1 5. (−2) + (−2). 0 + 0.3
−1.1 + 2. (−1) + 4.2 −1.2 + 2.3 + 4.1 −1. (−2) + 2.0 + 4.3
−3.1 + (−2). (−1) + 1.2 −3.2 + (−2). 3 + 1.1 −3. (−2) + (−2). 0 + 1.3
] = [
7 4 −10
5 8 14
1 −11 9
] 
 
Logo o elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna é o -11. 
 
02. Resposta: B. 
Vamos ver se é possível multiplicar as matrizes. 
C(2x3) e B(3x2), como o número de colunas de C é igual ao número de colunas de B, logo é possível 
multiplicar, o resultado será uma matriz 2x2(linha de C e coluna de B): 
𝐶 𝑥𝐵 = [
2 1 0
4 6 7
] . [
2 3
4 5
6 6
] → [
2.2 + 1.4 + 0.6 2.3 + 1.5 + 0.6
4.2 + 6.4 + 7.6 4.3 + 6.5 + 7.6
] = [
8 11
74 84
] 
 
Agora vamos somar a matriz A(2x2) a matriz resultante da multiplicação que também tem a mesma 
ordem: 
[
8 11
74 84
] + 𝐴 = [
8 11
74 84
] + [
2 3
4 6
] → [
8 + 2 11 + 3
74 + 4 84 + 6
] = [
10 14
78 90
] 
 
03. Resposta: E. 
Turno i –linha da matriz 
Turno j- coluna da matriz 
2º turno do 2º dia – a22=18 
3º turno do 6º dia-a36=25 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 208 
1º turno do 7º dia-a17=19 
Somando:18+25+19=62 
 
04. Resposta: E. 
𝐴 + 𝐴𝑡 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] + [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] = [
2𝑎 𝑏 + 𝑐
𝑏 + 𝑐 2𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
2a =1 → a =1/2 → b + c = 0 → b = -c 
2d=1 
D=1/2 
 
05. Resposta: B. 
 
𝐴 ∙ 𝐵 = (
2 ∙ 0 + 1 ∙ 1 2 ∙ 4 + 1 ∙ (−3 ) 2 ∙ (−2) + 1 ∙ 5
3 ∙ 0 + (−1) ∙ 1 3 ∙ 4 + (−1) ∙ (−3) 3 ∙ (−2) + (−1) ∙ 5
) 
 
 𝐴 ∙ 𝐵 = (
1 5 1
−1 15 − 11
 ) 
 
06. Resposta: D. 
(
6 + 1 = 7 𝑦 − 3 = 7
7 + 8 = 15 2 + 5 = 7
) 
y=10 
 
DETERMINANTES 
 
Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como 
Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema 
linear”. 
Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos 
determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras 
verticais, como no exemplo abaixo: 
 
 
Definições 
 
Determinante de uma Matriz de Ordem 1 
Seja a matriz quadrada de ordem 1: A = [a11] 
Chamamos determinante dessa matriz o número: 
det A = [ a11] = a11 
 
Exemplos 
- A = [-2] → det A = - 2 
- B = [5] → det B = 5 
- C=[0] → det C=0 
 
Determinante de uma Matriz de ordem 2 
Seja a matriz quadrada de ordem 2: 
 
Chamamos de determinante dessa matriz o número: 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 209 
Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o 
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Esquematicamente: 
 
 
Exemplos 
 Determinante de uma Matriz de Ordem 3 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 3: 
 Chamamos determinante dessa matriz o número: 
 
detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a32 a21 a13 - a31 a22 a13 + 
-a12 a21 a33 - a32 a23 a11 
 
Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada 
Regra de Sarrus: 
 
- Repetimos a 1º e a 2º colunas às direita da matriz. 
 
a11 a12 a13 a11 a12 
a21 a22 a23 a21 a22 
a31 a32 a33 a31 a32 
 
- Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos 
produtos, temos: 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 210 
 
detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 
- a11 a23 a32 - a12 a21 a33 
 
Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1º e 2º linhas, ao invés de 
repetirmos a 1º e 2º colunas. 
 
Determinantes – Propriedades - I 
 
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a simplificar o cálculo dos determinantes: 
 
Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At. 
 
Exemplo 
 
 
Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si a 
posição de duas filas paralelas, então: 
detB = - detA 
 
Exemplo 
 
 
B foi obtida trocando-se a 1º pela 2º linha de A. 
detA = ad - bc 
debt = bc - ad = - (ad - bc) = - detA 
 
Assim, 
detB = - detA 
 
Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas “iguais” tem 
determinante igual a zero. 
 
Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna 
“iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detA 
 
Assim: detA = 0 
 
Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos 
uma de suas filas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA 
 
Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante, podemos “colocar em evidência” 
um “fator comum” de uma fila (linha ou coluna). 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 211 
Exemplo 
 
 
 
- Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos os elementos 
de A por k, então: 
 
det(k.A) = kn.detA 
 
Exemplo 
 
 
Assim: 
det(k.A) = k3.detA 
 
Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos 
correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C são 
iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então. 
 
 detC = detA + detB 
 
Exemplos: 
 
 
 Propriedades dos Determinantes 
 
- Propriedades 5 (Teorema de Jacobi) 
 
O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila qualquer com outra f ila paralela 
multiplicada por um número. 
 
Exemplo: 
 
Considere o determinante detA=
ihg
fed
cba
 
Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos: 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 212 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Vamos calcular o determinante D abaixo. 
 
D = 8 + 0 + 0 – 60 – 0 – 0 = -52 
 
Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com a 3ª coluna e calcular: 
 
 
D1 = 48 + 0 + 0 – 100 – 0 – 0 = -52 
 
Observe que D1=D, de acordo com a propriedade. 
 
- Consequência 
 
Quando uma fila de um determinante é igual à soma de múltiplos de filas paralelas (combinação 
linear de filas paralelas), o determinante é igual a zero. 
 
Exemplo: 
 
Seja D= 
0514
1223
821

 
 
Observe que cada elemento de 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª 
coluna multiplicada por 3. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 213 
8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 
12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6 
5 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3 
Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0 
Use a regra de Sarrus e verifique. 
 
- Propriedade 6 (Teorema de Binet) 
 
Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então: 
det(A.B) = detA . detB 
 
Exemplo: 
 
A= 





30
21
detA=3 
B= 





12
34
detB=-2 
A.B= 





36
58
det(A.B)=-6 
 
Logo, det(AB)=detA. detB 
 
Consequências: Sendo A uma matriz quadrada e nN*, temos: 
det(Na) = (detA)n 
 
Sendo A uma matriz inversível, temos: 
detA-1=
Adet
1
 
 
Justificativa: Seja A matriz inversível. 
A-1.A=I 
det(A-1.A) = det I 
detA-1.detA = det I 
detA-1=
Adet
1
 
 
Uma vez que det I=1, onde i é a matrizidentidade. 
 
 Determinantes – Teorema de Laplace 
 
- Menor complementar e Cofator 
 
Dada uma matriz quadrada A=(aij)nxn (n 2), chamamos menor complementar do elemento aij e 
indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que se obtém suprimindo a linha i e 
a coluna j da matriz A. 
 
Exemplo: 
 
Sendo A=










212
014
321
, temos: 
M11=
21
01
=2 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 214 
M12=
22
04
=8 
M13=
12
14
=2 
 
Chamamos cofator do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.Mij, em que Mij é o menor 
complementar de aij. 
 
Exemplo: 
 
Sendo A












031
312
413
, temos: 
A11=(-1)1+1.M11=(-1)2. 
03
31
=-9 
A12=(-1)1+2.M12=(-1)3. 
01
32

=-3 
A33=(-1)3+3.M33=(-1)6. 
12
13 
=5 
 
Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n2, chamamos matriz cofator de A a matriz cujos elementos são os 
cofatores dos elementos de A; indicamos a matriz cofator por cof A. A transposta da matriz cofator de A 
é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos por adj. A. 
 
Exemplo: 
 
Sendo A=











124
101
231
, temos: 
 
A11=(-1)1+1.
 
12
10 
=2 
 
A12=(-1)1+2.
 
14
11 
=-5 
A13=(-1)1+3.
 
24
01
=2 
 
A21=(-1)2+1.
 
12
23
=1 
 
A22=(-1)2+2.
 
14
21
=-7 
 
A23=(-1)2+3.
 
24
31
=10 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 215 
A31=(-1)3+1.
 
10
23

=-3 
 
A32=(-1)3+2.
 
11
21

=3 
A33=(-1)3+3.
 
01
31
=-3 
 
Assim: 
cof A=













333
1071
252
e adj A=













3102
375
312
 
 
 Determinante de uma Matriz de Ordem n 
 
-Definição 
Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. 
 
Então: 
 
- Para n = 1 
A=[a11] det A=a11 
 
- Para n  2: 
 
A= 














n
j
jj
nnnn
n
n
AaA
aaa
aaa
aaa
1
11
21
22221
11211
.det
...
.......................
...
....
 
 
ou seja: 
detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n 
 
 
Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n 2 é a soma dos produtos dos 
elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplos: 
Sendo A= 





2221
1211
aa
aa
, temos: 
detA = a11.A11 + a12.A12, onde: 
A11 = (-1)1+1.|a22| = a22 
A12 = (-1)1+2.|a21| = a21 
 
Assim: 
detA = a11.a22 + a12.(-a21) 
 
detA = a11.a22 - a21.a12 
 
Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente. 

1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 216 
- Sendo A=












 2039
34523
2321
0003
, temos: 
 
detA = 3.A11 +   
zero
AAA 141312 .0.0.0 
 
 
A11 = (-1)1+1. 










203
341
232
=-11 
Assim: 
 
detA = 3.(-11) 
 
Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado. 
 
- Teorema de Laplace 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n 2, seu determinante é a soma dos produtos dos 
elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplo: 
Sendo A=












 0223
0014
0123
2105
 
 
Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que 
calcular apenas um cofator. 
 
Assim: 
detA = 2.A14 + 0.A24 + 0.A34 + 0.A44 
 
A14=(-1)1+4










 223
014
123
=+21 
detA = 2 . 21 = 42 
 
Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, recaímos em 
determinantes de matrizes de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n-2, 
e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3, que calculamos com 
a regra de Sarrus, por exemplo. 
- O cálculo de um determinante fica mais simples, quando escolhemos uma fila com a maior quantidade 
de zeros. 
- A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante 
pelo teorema de Laplace. 
 
 
 
 
 

det A=-
33 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 217 
Exemplo: 
Calcule det A sendo A=














3643
2132
1210
1321
 
 
A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de 
Laplace, calcularemos ainda três cofatores. 
Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero” em A31=-2 e A41=3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando 
com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos: 
 
A=














0320
4770
1210
1321
 
 
Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna: 
 
detA=1.(-1)1+1. 












032
477
121
=












032
477
121
 
 
Aplicamos a regra de Sarrus, 
 
 
det A = (0 – 16 – 21) - ( - 14 + 12 + 0) 
detA = 0 – 16 – 21 + 14 – 12 – 0 = -49 + 14 
detA = -35 
 
- Uma aplicação do Teorema de Laplace 
 
Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; 
podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da 1ª coluna, se ela for triangular 
superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular 
inferior. 
Assim: 
 
1ª. A é triangular superior 
 
A=
















nn
n
n
n
a
aa
aaa
aaaa
...000
...............
...00
...0
....
333
22322
1131211
 
 
 
detA=a11.a22.a33. … 
.ann 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 218 
2ª. A é triangular inferior 
 
A=
















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
...
...............
...
...0
....
321
3333231
22221
1131211
 
 
 
 
In=
















1000
0100
0010
0001





 
 
 
 
- Determinante de Vandermonde e Regra de Chió 
Uma determinante de ordem n 2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das 
potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números 
quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e assim sucessivamente. 
 
Exemplos: 
- Determinante de Vandermonde de ordem 3 
 
222
111
cba
cba
 
 
- Determinante de Vandermonde de ordem 4 
 
3333
2222
1111
dcba
dcba
dcba
 
 
Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos. 
 
- Propriedade 
 
Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo-
se de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes, independente da ordem do 
determinante. 
 
Exemplo: 
 
Calcule o determinante: 
 

detA=a11.a22.a33. … 
.ann 
detIn=1 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 219 
detA=
4971
1641
421
 
 
Sabemos que detA = detAt, então: 
 
detAt=
49161
742
111
 
 
Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então: 
detA = (4 – 2).(7 – 2).(7 – 4)=2 . 5 . 3 = 30 
 
Questões 
 
01. (COBRA Tecnologia S-A (BB) - Analista Administrativo - ESPP) O valor de b para que o 
determinante da matriz [
𝑥
𝑏
2
2 𝑦
] seja igual a 8, em que x e y são as coordenadas da solução do sistema 
{
𝑥 + 2𝑦 = 7
2𝑥 + 𝑦 = 8
, é igual a: 
 
(A) 2. 
(B) –2. 
(C) 4. 
(D) –1. 
 
02. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) É correto afirmar que o determinante |
1 𝑥
−2 4
|é igual a zero 
para x igual a 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) -2. 
(D) -1. 
 
03. (CGU – ADMINISTRATIVA – ESAF) Calcule o determinante da matriz: 
(
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
) 
 
(A) 1 
(B) 0 
(C) cos 2x 
(D) sen 2x 
(E) sen x/2 
 
04. (PREF. ARARAQUARA/SP – AGENTE DA ADMINISTRAÇÃO DOS SERVIÇOS DE 
SANEAMENTO – CETRO) Dada a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥3, onde 𝑎𝑖𝑗 = {
2, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
−1, 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗
, assinale a alternativa que 
apresenta o valor do determinante de A é 
(A) -9.(B) -8. 
(C) 0. 
(D) 4. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 220 
05. (COBRA TECNOLOGIA – TÉCNICO DE OPERAÇÕES – DOCUMENTOS/QUALIDADE - ESPP) 
O valor de b para que o determinante da matriz [
𝑥
𝑏
2
2 𝑦
] seja igual a 8, em que x e y são as coordenadas 
da solução do sistema {
𝑥 + 2𝑦 = 7
2𝑥 + 𝑦 = 8
 é igual a: 
(A) 2. 
(B) -2. 
(C) 4. 
(C) -1. 
 
06. (SEAP /PR – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – PUC/PR) As planilhas eletrônicas facilitaram 
vários procedimentos em muitas áreas, sejam acadêmicas ou profissionais. Na matemática, para obter o 
determinante de uma matriz quadrada, com um simples comando, uma planilha fornece rapidamente esse 
valor. Em uma planilha eletrônica, temos os valores armazenados em suas células: 
 
 
Para obter o determinante de uma matriz utiliza-se o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:D4)” e essa 
planilha fornece o valor do determinante: 
 
Se em uma outra planilha forem armazenados os valores representados a seguir, 
 
 
ao acionar o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:C3)” o valor do determinante é: 
(A) 1512 
(B) 7 
(C) 4104 
(D) 2376 
(E) 8424 
 
07. (TRANSPETRO – ENGENHEIRO JÚNIOR – AUTOMAÇÃO – CESGRANRIO) Um sistema 
dinâmico, utilizado para controle de uma rede automatizada, forneceu dados processados ao longo do 
tempo e que permitiram a construção do quadro abaixo. 
 
1 3 2 0 
3 1 0 2 
2 3 0 1 
0 2 1 3 
 
A partir dos dados assinalados, mantendo-se a mesma disposição, construiu-se uma matriz M. O valor 
do determinante associado à matriz M é 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 221 
(A) 42 
(B) 44 
(C) 46 
(D) 48 
(E) 50 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
 
{
𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2)
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
{
−2𝑥 − 4𝑦 = −14
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
- 3y = - 6 
y = 2 
x = 7 - 2y 
x = 7 – 4 = 3 
 
|3
𝑏
2
2 2
| = 8 
6 – b = 8 
B = - 2 
 
02. Resposta: C. 
D = 4 - (-2x) 
0 = 4 + 2x 
x = - 2 
 
03. Resposta: C. 
det = cos²x - sen²x 
det = cos(2x) 
 
04. Resposta: A. 
 𝐴 = (
−1 −1
2 −1
 
−1
−1
 
2 2 −1
) 
 
 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = |
−1 −1
2 −1
 
−1
−1
2 2 −1
| 
 
detA = - 1 – 4 + 2 - (2 + 2 + 2) = - 9 
 
05. Resposta: B. 
 {
𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2)
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
 {
−2𝑥 − 4𝑦 = −14
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
Somando as equações: 
- 3y = - 6 
y = 2 
x = 7 – 4 = 3 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 222 
 𝐷𝑒𝑡 = |
3
𝑏
2
2 2
| 
 
6 – b = 8 
b = - 2 
 
06. Resposta: A. 
 
A.B=I 
 
(
1 0 1
2 1 0
0 1 1 
) ∙ (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖 
) = (
1 0 0
0 1 0
 0 0 1 
) 
 
(
𝑎 + 𝑔 𝑏 + ℎ 𝑐 + 𝑖
2𝑎 + 2𝑑 2𝑏 + 𝑒 2𝑐 + 𝑓
𝑑 + 𝑔 𝑒 + ℎ 𝑓 + 𝑖 
) = (
1 0 0
0 1 0
 0 0 1 
) 
 
Como queremos saber o elemento da segunda linha e terceira coluna(f): 
 
{
𝑐 + 𝑖 = 0
2𝑐 + 𝑓 = 0
𝑓 + 𝑖 = 1
 
 
Da primeira equação temos: 
c=-i 
substituindo na terceira: 
f-c=1 
 
{
2𝑐 + 𝑓 = 0(𝑥 − 1)
𝑓 − 𝑐 = 1
 
 
{
−2𝑐 − 𝑓 = 0
𝑓 − 𝑐 = 1
 
 
Somando as equações: 
-3c=1 
C=-1/3 
f=2/3 
 
07. Resposta: D. 
 𝑀 = (
1 3 2
3 1 0
2 3 0
 
0
2
1
0 2 1 3
) 
 
 
 
Como é uma matriz 4x4 vamos achar o determinante através do teorema de Laplace. Para isso 
precisamos, calcular os cofatores. Dica: pela fileira que possua mais zero. O cofator é dado pela fórmula: 
𝐶𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 ∙ 𝐷. Para o determinante é usado os números que sobraram tirando a linha e a coluna. 
 𝐶13 = (−1)
4 ∙ |
3 1 2
2 3 1
0 2 3 
| 
 
 𝐶13 = 27 + 8 − 6 − 6 = 23 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 223 
A13=2.23=46 
 
 𝐶43 = (−1)
7 |
1 3 0
3 1 2
 2 3 1 
| 
 
 𝐶43 = −(1 + 12 − 6 − 9) = 2 
A43=1.2=2 
D = 46 + 2 = 48 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
A Análise Combinatória é a parte da Matemática que desenvolve meios para trabalharmos com 
problemas de contagem. Ela também é o suporte da Teoria das Probabilidades, e de vital importância 
para as ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia, a Estatística entre outras. 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM-PFC (PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO) 
 
O princípio multiplicativo ou fundamental da contagem constitui a ferramenta básica para resolver 
problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos, através da possibilidades 
dadas. É uma das técnicas mais utilizadas para contagem, mas também dependendo da questão pode 
se tornar trabalhosa. 
 
Exemplos 
 
1) Imagine que, na cantina de sua escola, existem cinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã, 
morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se 
o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos 
acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir o suco? 
 
 
2) Para ir da sua casa (cidade A) até a casa do seu de um amigo Pedro (que mora na cidade C) João 
precisa pegar duas conduções: A1 ou A2 ou A3 que saem da sua cidade até a B e B1 ou B2 que o leva 
até o destino final C. Vamos montar o diagrama da árvore para avaliarmos todas as possibilidades: 
 
 
Análise combinatória. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 224 
De forma resumida, e rápida podemos também montar através do princípio multiplicativo o número de 
possibilidades: 
 
3) De sua casa ao trabalho, Silvia pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade, ela 
pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. 
De quantos modos distintos Silvia pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho e de lá para a faculdade? 
Vejamos, o trajeto é a junção de duas etapas: 
 
1º) Casa → Trabalho: ao qual temos 3 possibilidades 
2º) Trabalho → Faculdade: 4 possibilidades. 
Multiplicando todas as possibilidades (pelo PFC), teremos: 3 x 4 = 12. 
No total Silvia tem 12 maneiras de fazer o trajeto casa – trabalho – faculdade. 
 
 
 
FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL 
 
É comum aparecerem produtos de fatores naturais sucessivos em problemas de análise combinatória, 
tais como: 3. 2 . 1 ou 5. 4 . 3 . 2 . 1, por isso surgiu a necessidade de simplificarmos este tipo de notação, 
facilitando os cálculos combinatórios. Assim, produtos em que os fatores chegam sucessivamente até a 
unidade são chamados fatoriais. 
Matematicamente: 
Dado um número natural n, sendo n є N e n ≥ 2, temos: 
 
 
 
Onde: 
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n (lê-se: “n fatorial”) 
Por convenção temos que: 
 
 
 
Exemplos 
 
1) De quantas maneiras podemos organizar 8 alunos em uma fila. 
Observe que vamos utilizar a mesma quantidade de alunos na fila nas mais variadas posições: 
 
 
Temos que 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 
 
Se um evento que chamaremos de E1 puder ocorrer 
de a maneiras e um outro evento que chamaremos de E2 puder 
ocorrer de b maneiras e E1 for independente de E2, assim a 
quantidade de maneiras distintas de os dois eventos ocorrerem 
simultaneamente será dado por axb, isto é, a quantidade de 
maneiras de a ocorrer multiplicado pela quantidade de maneiras 
de b ocorrer. 
 
n! = n. (n – 1 ). (n – 2). ... . 1 
0! = 1 
1! = 1 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 225 
2) Dado 
9!
5!
 , qual o valor dessa fração? 
 
Observe que o denominador é menor que o numerador, então para que possamos resolver vamos 
levar o numerador até o valor do denominador e simplificarmos: 
9!
5!
=
9.8.7.6.5!
5!
= 3024 
 
TIPOS DE AGRUPAMENTO 
 
Os agrupamentos que não possuem elementos repetidos, são chamamos de agrupamentos 
simples. Dentre eles, temos aqueles onde a ordem é importante e os que a ordem não é importante. 
Vamos ver detalhadamente cada um deles. 
 
- Arranjo simples: agrupamentos simples de n elementos distintos tomados(agrupados) p a p. Aqui a 
ordem dos seus elementos é o que diferencia. 
 
Exemplos 
 
1) Dados o conjunto S formado pelos números S= {1,2,3,4,5,6} quantos números de 3 algarismos 
podemos formar comeste conjunto? 
 
Observe que 123 é diferente de 321 e assim sucessivamente, logo é um Arranjo. 
 
Se fossemos montar todos os números levaríamos muito tempo, para facilitar os cálculos vamos utilizar 
a fórmula do arranjo. 
Pela definição temos: A n,p (Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p). 
Então: 
 
 
 
Utilizando a fórmula: 
Onde n = 6 e p = 3 
An,p =
n!
(n − p)!
→ A6,3 =
6!
(6 − 3)!
=
6!
3!
=
6.5.4.3!
3!
= 120 
 
Então podemos formar com o conjunto S, 120 números com 3 algarismos. 
 
2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um 
coordenador pedagógico. Quantas as possibilidades de escolha? 
n = 18 (professores) 
p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico) 
 
An,p =
n!
(n − p)!
→ A18,3 =
18!
(18 − 3)!
=
18!
15!
=
18.17.16.15!
15!
= 4896 grupos 
 
𝑨𝒏, 𝒑 =
𝒏!
(𝒏 − 𝒑)!
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 226 
- Permutação simples: sequência ordenada de n elementos distintos (arranjo), ao qual utilizamos 
todos os elementos disponíveis, diferenciando entre eles apenas a ordem. A permutação simples é um 
caso particular do arranjo simples. 
É muito comum vermos a utilização de permutações em anagramas (alterações da sequência das 
letras de uma palavra). 
 
 
Exemplos 
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO? 
 
 
Utilizando a fórmula da permutação temos: 
n = 4 (letras) 
P4! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1! = 24 . 1! (como sabemos 1! = 1) → 24 . 1 = 24 anagramas 
 
2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L? 
 
 
 
P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L. 
 
- Combinação simples: agrupamento de n elementos distintos, tomados p a p, sendo p ≤ n. O que 
diferencia a combinação do arranjo é que a ordem dos elementos não é importante. 
Vemos muito o conceito de combinação quando queremos montar uma comitiva, ou quando temos 
também de quantas maneiras podemos cumprimentar um grupo ou comitiva, entre outros. 
 
Exemplos 
 
1) Uma escola tem 7 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um 
congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis? 
 
Observe que sendo 7 professores, se invertermos um deles de posição não alteramos o grupo 
formado, os grupos formados são equivalentes. Para o exemplo acima temos ainda as seguintes 
possibilidades que podemos considerar sendo como grupo equivalentes. 
Pn! = n! 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 227 
P1, P2, P4, P3 – P2, P1, P3, P4 – P3, P1, P2, P4 – P2, P4, P3, P4 – P4, P3, P1, P2 ... 
 
Com isso percebemos que a ordem não é importante! 
 
Vamos então utilizar a fórmula para agilizar nossos cálculos: 
 
 
 
Aqui dividimos novamente por p, para desconsiderar todas as sequências repetidas (P1, P2, P3, P4 = 
P4, P2, P1, P3= P3, P2, P4, P1=...). 
Aplicando a fórmula: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C7,4 =
7!
(7 − 4)! 4!
=
7!
3! 4!
=
7.6.5.4!
3! 4!
=
210
3.2.1
=
210
6
= 35 grupos de professores 
 
2) Considerando dez pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com 
extremidades em dois desses pontos? 
 
 
 
AGRUPAMENTOS COM REPETIÇÃO 
 
Existem casos em que os elementos de um conjunto repetem-se para formar novos subconjuntos. 
Nestes casos, devemos usar fórmulas de agrupamentos com repetição. Assim, teremos: 
A) arranjo com repetição; 
B) permutação com repetição; 
C) combinação com repetição. 
 
Vejamos: 
a) Arranjo com repetição: ou arranjo completo, é um grupo de p elementos de um dado conjunto, 
com n elementos distintos, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo porém ter 
elementos repetidos. 
Indicamos por AR n,p 
 
No arranjo com repetição, temos todos os elementos do conjunto à disposição a cada escolha, por 
isso, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 
 
 
 
Exemplo 
 
Quantas chapas de automóvel compostas de 2 letras nas duas primeiras posições, seguidas por 4 
algarismos nas demais posições (sendo 26 letras do nosso alfabeto e sendo os algarismos do sistema 
decimal) podem ser formadas? 
 
𝑪𝒏, 𝒑 =
𝑨𝒏, 𝒑
𝒑!
→ 𝑪𝒏, 𝒑 =
𝒏!
(𝒏 − 𝒑)!𝒑!
 
Uma corda fica determinada quando escolhemos dois 
pontos entre os dez. 
Escolher (A,D) é o mesmo que escolher (D,A), então 
sabemos que se trata de uma combinação. 
Aqui temos então a combinação de 10 elementos tomados 
2 a 2. 
C10,2 =
n!
(n − p)! p!
=
10!
(10 − 2)! 2!
=
10!
8! 2!
=
10.9.8!
8! 2!
=
90
2
= 
45 cordas 
𝑨𝑹 𝒏,𝒑 = 𝒏𝒑 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 228 
O número de pares de letras que poderá ser utilizado é: 
 
Pois podemos repetir eles. Aplicando a fórmula de Arranjo com repetição temos: 
 
𝑨𝑹 𝒏,𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟐𝟔,𝟐 = 𝟐𝟔𝟐 = 𝟔𝟕𝟔 
 
Para a quantidade de números temos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – 10 algarismos): 
 
 
𝑨𝑹 𝒏,𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎,𝟒 = 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎 
 
Assim o número de chapas que podemos ter é dado pela multiplicação dos valores achados: 
676 . 10 000 = 6 760 000 possibilidades de placas. 
 
Observação: Caso não pudesse ser utilizada a placa com a sequência de zeros, ou seja, com 4 zeros 
teríamos: 
 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎,𝟒 = 𝟔𝟕𝟔.𝟏𝟎𝟒 − 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎𝟒. (𝟔𝟕𝟔 − 𝟏) 
 
b) Permutação com repetição: a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos 
os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, como o próprio nome indica, as repetições são 
permitidas e podemos estabelecer uma fórmula que relacione o número de elementos, n, e as vezes em 
que o mesmo elemento aparece. 
 
 
 
Com α + β + γ + ... ≤ n 
 
Exemplo 
 
Quantos são os anagramas da palavra ARARA? 
n = 5 
α = 3 (temos 3 vezes a letra A) 
β = 2 (temos 2 vezes a letra R) 
 
Equacionando temos: 
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) =
𝒏!
𝜶! 𝜷! 𝜸!
… → 𝒑𝟓(𝟑,𝟐) =
𝟓!
𝟑!𝟐!
=
𝟓. 𝟒. 𝟑!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓.𝟒
𝟐.𝟏
=
𝟐𝟎
𝟐
= 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔 
 
B.1) Permutação circular: a permutação circular com repetição pode ser generalizada através da 
seguinte forma: 
 
 
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) =
𝒏!
𝜶!𝜷! 𝜸!
… 
𝑷𝒄𝒏 = (𝒏 − 𝟏)! 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 229 
Vejamos o exemplo como chegar na fórmula, para aplicação. 
 
- De quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la? 
Fazendo um esquema, observamos que são posições iguais: 
 
 
 
O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de permutações 
circulares será dado por: 
𝑃𝑐5 =
5!
5
=
5.4!
5
= 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
C) Combinação com repetição: dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação 
com repetição, classe p (ou combinação completa p a p) dos n elementos desse conjunto, a todo grupo 
formado por p elementos, distintos ou não, em qualquer ordem. 
 
 
 
Exemplo 
 
Em uma combinação com repetição classe 2 do conjunto {a, b, c}, quantas combinações obtemos? 
Ilustrando temos: 
 
Utilizando a fórmula da combinação com repetição, verificamos o mesmo resultado sem necessidade 
de enumerar todas as possibilidades: 
n = 3 e p = 2 
𝑪𝑹𝒏, 𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏,𝒑 → 𝑪𝑹 𝟑 + 𝟐 − 𝟏,𝟐 → 𝑪𝑹𝟒, 𝟐 =
𝟒!
𝟐! (𝟒 − 𝟐)!
=
𝟒!
𝟐!𝟐!
=
𝟒. 𝟑. 𝟐!
𝟐! 𝟐!
=
𝟏𝟐
𝟐
= 𝟔 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
BOSQUILHA, Alessandra - Minimanual compacto de matemática: teoria e prática: ensino médio / Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia 
Cristina Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo: Rideel, 2003. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV/2016) Em um restaurante os clientes têm 
a sua disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o 
cliente quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, então o número 
de opções diferentes com que ele poderiafazer o seu pedido, é: 
(A) 19 
(B) 480 
(C) 420 
(D) 90 
 
02. (Pref. Rio de Janeiro/RJ – Agente de Administração – Pref. do Rio de Janeiro/2016) Seja N a 
quantidade máxima de números inteiros de quatro algarismos distintos, maiores do que 4000, que podem 
ser escritos utilizando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
𝑪𝑹𝒏,𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 230 
O valor de N é: 
(A) 120 
(B) 240 
(C) 360 
(D) 480 
 
03. (CRQ 2ª Região/MG – Auxiliar Administrativo – FUNDEP) Com 12 fiscais, deve-se fazer um 
grupo de trabalho com 3 deles. Como esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer um 
deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo é: 
(A) 4 
(B) 660 
(C) 1 320 
(D) 3 960 
 
04. (BNDES – Técnico Administrativo – CESGRANRIO) Uma empresa de propaganda pretende 
criar panfletos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, 
vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco. 
De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por 
uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais? 
(A) 13 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 17 
(E) 18 
 
05. (TCE/BA – Analista de Controle Externo – FGV) Um heptaminó é um jogo formado por diversas 
peças com as seguintes características: 
• Cada peça contém dois números do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7}. 
• Todas as peças são diferentes. 
• Escolhidos dois números (iguais ou diferentes) do conjunto acima, existe uma, e apenas uma, peça 
formada por esses números. 
A figura a seguir mostra exemplos de peças do heptaminó. 
 
 
O número de peças do heptaminó é 
(A) 36. 
(B) 40. 
(C) 45. 
(D) 49. 
(E) 56. 
 
06. (SANEAR – Fiscal - FUNCAB) Os números dos segredos de um determinado modelo de cadeado 
são compostos por quatro algarismos do conjunto C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. 
O número máximo de segredos distintos, desse modelo de cadeado, que começam com um algarismo 
ímpar e terminam com um algarismo par, é: 
(A) 1.120 
(B) 1.750 
(C) 2.255 
(D) 2.475 
(E) 2.500 
 
07. (PM/SP – Cabo – CETRO) Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia 
deveriam ter 3 algarismos seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de 
placas diferentes será igual a 
(A) 175.760.000. 
(B) 183.617.280. 
(C) 331.776.000. 
(D) 358.800.000. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 231 
08. (TJ/RS – Técnico Judiciário - FAURGS) O Tribunal de Justiça está utilizando um código de leitura 
de barras composto por 5 barras para identificar os pertences de uma determinada seção de trabalho. As 
barras podem ser pretas ou brancas. Se não pode haver código com todas as barras da mesma cor, o 
número de códigos diferentes que se pode obter é de 
(A) 10. 
(B) 30. 
(C) 50. 
(D) 150. 
(E) 250. 
 
09. (SEED/SP – Agente de Organização Escolar – VUNESP) Um restaurante possui pratos principais 
e individuais. Cinco dos pratos são com peixe, 4 com carne vermelha, 3 com frango, e 4 apenas com 
vegetais. Alberto, Bianca e Carolina pretendem fazer um pedido com três pratos principais individuais, 
um para cada. Alberto não come carne vermelha nem frango, Bianca só come vegetais, e Carolina só 
não come vegetais. O total de pedidos diferentes que podem ser feitos atendendo as restrições 
alimentares dos três é igual a 
(A) 384. 
(B) 392. 
(C) 396. 
(D) 416. 
(E)432. 
 
10. (PREF. JUNDIAÍ/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Dentre os nove competidores de um campeonato 
municipal de esportes radicais, somente os quatro primeiros colocados participaram do campeonato 
estadual. Sendo assim, quantas combinações são possíveis de serem formadas com quatro desses nove 
competidores? 
(A) 126 
(B)120 
(C) 224 
(D) 212 
(E) 156 
 
11. (PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – Orientador Social – IDECAN) Renato é mais velho que 
Jorge de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre 
suas idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28. 
 
12. (PREF. NEPOMUCENO/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) Numa 
sala há 3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interruptores independentes. De quantas maneiras 
é possível ventilar e iluminar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3 lâmpadas 
acesas? 
(A) 12. 
(B) 18. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 36. 
 
13. (CREA/PR – Agente Administrativo– FUNDATEC) A fim de vistoriar a obra de um estádio de 
futebol para a copa de 2014, um órgão público organizou uma comissão composta por 4 pessoas, sendo 
um engenheiro e 3 técnicos. 
Sabendo-se que em seu quadro de funcionários o órgão dispõe de 3 engenheiros e de 9 técnicos, 
pode-se afirmar que a referida comissão poderá ser formada de _____ maneiras diferentes. 
Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna do trecho acima. 
(A) 252 
(B) 250 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 232 
(C) 243 
(D) 127 
(E) 81 
 
14. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – Música – EXÉRCITO BRASILEIRO) Colocando-se 
em ordem alfabética os anagramas da palavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF. 
(A) 103 
(B) 104 
(C) 105 
(D) 106 
(E) 107 
 
15. (CODEMIG – Analista de Administração – Gestão de Concursos) Oito amigos encontraram-se 
em uma festa. Se cada um dos amigos trocar um aperto de mão com cada um dos outros, quantos apertos 
de mão serão trocados? 
(A) 22. 
(B) 25. 
(C) 27. 
(D) 28. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo vamos enumerar todas as 
possibilidades de fazermos o pedido: 
6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras. 
 
02. Resposta: C. 
Pelo enunciado precisa ser um número maior que 4000, logo para o primeiro algarismo só podemos 
usar os números 4,5 e 6 (3 possibilidades). Como se trata de números distintos para o segundo algarismo 
poderemos usar os números (0,1,2,3 e também 4,5 e 6 dependo da primeira casa) logo teremos 7 – 1 = 
6 possibilidades. Para o terceiro algarismos teremos 5 possibilidades e para o último, o quarto algarismo, 
teremos 4 possibilidades, montando temos: 
 
 
Basta multiplicarmos todas as possibilidades: 3 x 6 x 5 x 4 = 360. 
Logo N é 360. 
 
03. Resposta: B. 
Esta questão trata-se de Combinação, pela fórmula temos: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
 
 
Onde n = 12 e p = 3 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C12,3 =
12!
(12 − 3)! 3!
=
12!
9! 3!
=
12.11.10.9!
9! 3!
=
1320
3.2.1
=
1320
6
= 220 
 
Como cada um deles pode ser o coordenado, e no grupo tem 3 pessoas, logo temos 220 x 3 = 660. 
 
04. Resposta: C. 
_ _ 
6.3=18 
Tirando as possibilidades de papel e texto iguais: 
P P e V V=2 possibilidades 
18-2=16 possiblidades 
 
05. Resposta: A. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 233 
Teremos 8 peças com números iguais. 
 
Depois, cada número com um diferente 
7+6+5+4+3+2+1 
8+7+6+5+4+3+2+1=36 
 
06. Resposta: E. 
O primeiro algarismo tem 5 possibilidades: 1,3,5,7,9 
Os dois do meio tem 10 possibilidades, pois pode repetir os números 
E o último tem 5: 0,2,4,6,8 
_ _ _ _ 
5.10.10.5=2500 
 
07. Resposta: C. 
Algarismos possíveis: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=10 algarismos 
 _ _ _ _ _ _ _ 
101010  242424 24=331.776.000 
 
08. Resposta: B. 
_ _ _ _ _ 
22222=32 possibilidades se pudesse ser qualquer uma das cores 
Mas, temos que tirar código todo preto e todo branco. 
32-2=30 
 
09. Resposta: E. 
Para Alberto:5+4=9 
Para Bianca:4 
Para Carolina: 12 
_ _ _ 
9.4.12=432 
 
10. Resposta: A. 
1001. 
C_9,4 = 9! / 5!4! = (9∙8∙7∙6∙5!) / (5!∙24) = 126 
 
11. Resposta: C. 
Anagramas de RENATO 
_ _ _ _ _ _ 
6.5.4.3.2.1=720 
Anagramas de JORGE 
_ _ _ _ _ 
5.4.3.2.1=120 
 
Razão dos anagramas: 
720
120
= 6 
Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos 
 
12. Resposta: C. 
1ª possibilidade:2 ventiladores e3 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 234 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,3 = 3 ∙ 4 = 12 
 
2ª possibilidade:2 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,4 = 3 ∙ 1 = 3 
 
3ª possibilidade:3 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,3 = 1 ∙ 4 = 4 
 
4ª possibilidade:3 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,4 = 1 ∙ 1 = 1 
Somando as possibilidades: 12 + 3 + 4 + 1 = 20 
 
13. Resposta: A. 
Engenheiros 
𝐶3,1 =
3!
2! 1!
= 3 
 
Técnicos 
𝐶9,3 =
9!
3! 6!
=
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
6 ∙ 6!
= 84 
 
3 . 84 = 252 maneiras 
 
14. Resposta: D. 
F _ _ _ _ P4 = 4! 
I _ _ _ _ P4 = 4! 
L _ _ _ _p4 = 4! 
U_ _ _ _P4 = 4! 
ZF_ _ _P3 = 3! 
ZIF_ _P2 = 2! 
ZILFU-1 
ZILUF 
4 . 4! + 3! + 2! + 1 = 105 
Portanto, ZILUF está na 106 posição. 
 
15. Resposta: D. 
A primeira pessoa apertará a mão de 7 
A Segunda, de 6, e assim por diante. 
Portanto, haverá: 7+6+5+4+3+2+1=28 
 
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. 235 
 
 
ÂNGULOS 
 
Ângulo: É uma região limitada por duas semirretas de mesma origem. 
 
Elementos de um ângulo: 
- LADOS: são as duas semirretas 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 
-VÉRTICE: é o ponto de intersecção das duas semirretas, no exemplo o ponto O. 
 
 
 
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Central: 
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; 
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por 
vértices consecutivos do polígono. 
 
 
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são 
tangentes a ela. 
 
3. Espaço e Forma – Figuras geométricas planas e espaciais. Ângulos, curvas, 
posições relativas de retas, paralelismo e perpendicularismo. Deslocamento de 
figuras num plano. Simetrias, isometrias, homotetias. Polígonos e sólidos 
geométricos: conceitos, características, propriedades. Triângulos. 
Quadriláteros, a circunferência, o círculo. Figuras semelhantes ou congruentes. 
Os poliedros: relação de Euler. Pirâmide, prismas, cone, cilindro e esfera. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 236 
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência. 
 
 
 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Raso: 
 - É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semirretas opostas. 
 
 
 
Ângulo Reto: 
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
 
 
 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90
0
. 
 
 
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 360
0
. 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 237 
 
 
 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois 
ângulos é 180º. 
 
 
Então, se x e y são dois ângulos, temos: 
 
- se x + y = 90° → x e y são Complementares. 
- se x + y = 180° → e y são Suplementares. 
- se x + y = 360° → x e y são Replementares. 
 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. 
 
 
 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as 
respectivas semirretas opostas aos lados do outro. 
 
 
 
Ângulos consecutivos: são ângulos que tem um lado em comum. 
 
Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não tem ponto interno em comum. 
 
- Os ângulos AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, BÔC e AÔC são pares de ângulos consecutivos. 
- Os ângulos AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
Unidades de medida de ângulos: 
Grado: (gr.): dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 
1/400 da circunferência denominamos de grado. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 238 
 Grau: (º): dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 
da circunferência denominamos de grau. 
- o grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo. E temos que 1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos) 
e 1’ = 60” (1 minuto equivale a 60 segundos). 
 
Questões 
 
01. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
02. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? 
 
 
03. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: 
 
a) 
 
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. 239 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
04. Quantos segundos tem um ângulo que mede 6° 15’? 
 
05. A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse 
ângulo? 
 
06. O complemento de um ângulo é igual a um quarto do seu suplemento. Qual é o complemento 
desse ângulo? 
 
07. Dois ângulos que medem x e x + 20° são adjacentes e complementares. Qual a medida desses 
dois ângulos? 
 
08. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 
 
 
09. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n. 
 
 
 
 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 240 
10. Determine o valor de a na figura seguinte: 
 
 
 
Respostas 
 
01. Respostas: 
a) 55˚ 
b) 74˚ 
c) 33˚ 
 
02. Resposta: 130. 
Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b". 
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. 
 
 
 
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b. 
Logo, î = 80° + 50° = 130°. 
 
03. Respostas: 
a) 160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x 
60° = 4x 
x = 60°/4 
x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° 
 
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 
6x + 2x = 180° -15° - 5° 
8x = 160° 
x = 160°/8 
x = 20° 
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° 
 
c) Sabemos que a figura tem 90°. 
 
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 
4x + 50° = 90° 
4x = 40° 
x = 40°/4 
x = 10° 
 
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo. 
Então, 138° + x = 180° 
x = 180° - 138° 
x = 42° 
Logo, o ângulo x mede 42°. 
1402074 E-book gerado especialmente para FRANCISCO EDSON
 
. 241 
04. Resposta: 22.500 
Sabemos que 1° = 60’ e 1’ = 60”, temos: 
6°.60 = 360’ (multiplicamos os graus por 60 para converter em minutos). 
360’ + 15’ = 375’ (somamos os minutos) 
375’.60 = 22.500” (multiplicamos os minutos por 60 para converter em segundos). 
Portanto 6° 15’ equivale a 22.500”. 
 
05. Resposta: 60˚. 
- sendo x o ângulo, o seu suplemento é 180° - x, então pelo enunciado temos a seguinte equação: 
x =
180°−x
2
 (multiplicando em “cruz”) 
 
2x = 180° - x 
2x + x = 180° 
3x = 180° 
x = 180° : 3 = 60° 
 
06. Resposta: 30˚. 
- sendo x o ângulo, o seu complemento será 90° – x e o seu suplemento é 180° – x. Então, temos: 
90° - x = 
180°−x
4
 (o 4 passa multiplicando o primeiro membro da equação) 
4.(90° - x) = 180° - x (aplicando a distributiva) 
360° - 4x = 180° - x 
360° - 180° = - x + 4x 
180° = 3x 
x = 180° : 3 = 60º 
- o ângulo x mede 60º, o seu complemento é 90° - 60° = 30° 
 
07. Resposta: 35° e 55°”. 
- do enunciado temos a seguintes figura: 
 
 
Então: 
x + x + 20° = 90° 
2x = 90° - 20° 
2x = 70° 
x = 70° : 2 = 35° 
 
- os ângulos são: 35° e 35° + 20° = 55° 
 
08. Resposta: 135˚. 
Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 
Então vale lembrar que: 
x + y = 180 então y = 180 – x. 
 
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z 
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. 
Calcule y. 
x = y / 6 + z / 2 
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z 
Então: 
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração: