PRATICA PEDAGOGICA INTERDISCIPLINAR - LOGICA MATEMATICA

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FACULDADE ÚNICA 
DE IPATINGA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eliane Alves de Jesus 
 
Possui mestrado em Matemática pela Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ-MG) 
(2016), graduação no Programa Especial de Formação Pedagógica de Docentes pela 
Universidade de Franca-SP (2017) e bacharelado em Matemática pela Universidade Federal 
de Minas Gerais (UFMG) (2008). Professora de Matemática, com 12 anos de experiência, 
atuando tanto nos ensinos médio e técnico, quanto no ensino superior. Suas últimas 
experiências profissionais foram no COLTEC-UFMG, na PUC-Minas, na UFV e no Colégio 
Educare. 
PRÁTICA PEDAGÓGICA INTERDISCIPLINAR: 
LÓGICA MATEMÁTICA 
1ª edição 
Ipatinga – MG 
2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
FACULDADE ÚNICA EDITORIAL 
 
Diretor Geral: Valdir Henrique Valério 
Diretor Executivo: William José Ferreira 
Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos 
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira 
Revisão Gramatical e Ortográfica: Naiana Leme Camoleze 
Revisão/Diagramação/Estruturação: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Carla Jordânia G. de Souza 
 Rubens Henrique L. de Oliveira 
Design: Brayan Lazarino Santos 
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Luiza Filgueiras 
 
 
 
 
 
 
 
© 2021, Faculdade Única. 
 
É proibida a reprodução total ou parcial deste livro em qualquer meio sem autorização 
escrita do editor. 
 
 
 
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920. 
 
 
 
 
 
NEaD – Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA 
Rua Salermo, 299 
Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG 
Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300 
www.faculdadeunica.com.br
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
Menu de Ícones 
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo 
aplicado ao longo do livro didático, traremos ícones ao lado dos textos. Eles são para 
chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um com uma 
função específica, mostradas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São sugestões de links para vídeos, documentos 
científico (artigos, monografias, dissertações e teses), 
sites ou links das Bibliotecas Virtuais (Minha Biblioteca e 
Biblioteca Pearson) relacionados com o conteúdo 
abordado. 
 
Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações 
importantes que você deve ter um maior grau de 
atenção! 
 
São exercícios de fixação do conteúdo abordado em 
cada unidade do livro. 
 
É para o esclarecimento do significado de 
determinados termos/palavras mostrado ao longo do 
livro. 
 
Este espaço é destinado à reflexão sobre questões 
citadas em cada unidade, para associação com suas 
ações, seja no ambiente profissional ou em seu 
cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
SUMÁRIO 
 
LÓGICA PROPOSICIONAL ........................................................................ 8 
1.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 8 
1.2 PROPOSIÇÕES ........................................................................................................ 8 
1.2.1 Sentenças Abertas e Sentenças Fechadas ............................................. 10 
1.3 AS TRÊS LEIS FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO LÓGICO ................................. 11 
1.3.1 Proposição Simples ....................................................................................... 13 
1.3.2 Proposição Composta ................................................................................. 13 
1.4 CONECTIVOS LÓGICOS ...................................................................................... 13 
1.4.1 Conjunção: 𝐩 𝐞 𝐪 ........................................................................................... 14 
1.4.2 Disjunção: 𝐩 𝐨𝐮 𝐪 .......................................................................................... 15 
1.4.3 Disjunção exclusiva: 𝐨𝐮 𝐩 𝐨𝐮 𝐪 .................................................................... 16 
1.4.4 Condicional: 𝐒𝐞 𝐩 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐪 ............................................................................ 17 
1.4.5 Bicondicional: 𝐩 𝐬𝐞 𝐞 𝐬𝐨𝐦𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐞 𝐪 ............................................................ 18 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 20 
OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES E CONSTRUÇÃO DE 
TABELAS-VERDADE .................................................................................. 24 
2.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 24 
2.2 VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES .............................................. 24 
2.2.1 Negação de uma Proposição Simples ..................................................... 24 
2.3 VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES .............................................. 25 
2.3.1 Valor Lógico da Conjunção ....................................................................... 25 
2.3.2 Valor Lógico da Disjunção .......................................................................... 26 
2.3.3 Valor Lógico da Disjunção Exclusiva ......................................................... 27 
2.3.4 Valor Lógico da Condicional ...................................................................... 29 
2.3.5 Valor Lógico da Bicondicional ................................................................... 32 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 35 
CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE DE OUTRAS PROPOSIÇÕES 
COMPOSTAS ........................................................................................... 39 
3.1 TABELAS VERDADE DE OUTRAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS ........................... 39 
3.2 TAUTOLOGIA ......................................................................................................... 42 
3.3 CONTRADIÇÃO .................................................................................................... 43 
3.4 CONTINGÊNCIA ................................................................................................... 44 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 46 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA E IMPLICAÇÃO LÓGICA ................................ 49 
4.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 49 
4.2 PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES ................................................... 49 
4.3 QUANTIFICADORES .............................................................................................. 50 
4.4 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS ....................................................... 52 
4.5 IMPLICAÇÃO LÓGICA ......................................................................................... 53 
4.5.1 Propriedades da Implicação Lógica ........................................................ 54 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 56 
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES ................................................................ 58 
5.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 58 
5.2 ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES.............................................................................. 58 
5.2.1 Propriedades da Conjunção ...................................................................... 58 
5.2.2 Propriedades da Disjunção .........................................................................59 
5.2.3 Propriedades da Conjunção e Disjunção ................................................ 59 
5.2.4 Regras de De Morgan .................................................................................. 59 
UNIDADE 
01 
UNIDADE 
02 
UNIDADE 
03 
UNIDADE 
04 
UNIDADE 
05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
5.2.5 Negação da Condicional ........................................................................... 60 
5.2.6 Negação Bicondicional ............................................................................... 60 
5.3 ARGUMENTAÇÃO LÓGICA ................................................................................. 60 
5.3.1 Argumento Válido ......................................................................................... 61 
5.3.2 Argumento Inválido ...................................................................................... 62 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 65 
TIPOS DE DEMONSTRAÇÃO .................................................................... 68 
6.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 68 
6.2 PRINCIPAIS ELEMENTOS DA ESTRUTURA MATEMÁTICA ...................................... 68 
6.3 TIPOS DE DEMONSTRAÇÃO ................................................................................. 69 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 75 
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ............................................... 79 
REFERÊNCIAS ........................................................................................... 80 
 
 
 
UNIDADE 
06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
CONFIRA NO LIVRO 
 
A unidade 1 explora os conceitos inicias necessários para o estudo 
da lógica, tais como a definição de proposição, suas classificações 
em simples e composta, bem como a apresentação dos conectivos 
lógicos. 
A unidade 2 introduz o conceito de valor lógico de uma proposição 
simples ou composta através do uso da tabela verdade. 
 
 
A unidade 3 propõe a construção de tabelas-verdade que 
combinam um número maior de proposições. Além disso, são 
abordados os conceitos de tautologia, contradição e 
contingência. 
A unidade 4 explora o conceito de equivalência de proposições 
compostas, no qual se inclui, também, a negação das mesmas. 
Além disso, a unidade apresenta o conteúdo de implicação lógica 
e suas propriedades. 
 
 
A unidade 5 trabalha, inicialmente, a álgebra das proposições e 
mostra as propriedades existentes entre elas, além de reforçar a 
negação das proposições compostas. Num segundo momento, a 
unidade traz luz a um importante conteúdo do raciocínio lógico: o 
argumento lógico. 
A unidade 6 mostra como o conteúdo visto nos capítulos anteriores 
pode ser usado na composição da estrutura da Matemática. Nele 
vamos entender o significado de axiomas, definições, conjecturas e 
teoremas e alguns tipos de demonstração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
Costumamos chamar o momento atual de Era da Informação, pois 
diariamente são produzidas e transmitidas informações sobre diversos assuntos. 
Como é possível avaliar essas informações? Como produzir argumentos que validem 
ou revoguem outros argumentos apresentados? A lógica matemática apresenta 
uma estrutura que serve de suporte para determinar se num dado contexto um 
argumento pode ser considerado válido, inválido ou se não é possível obter uma 
conclusão exata sobre ele. Apesar de ser usada principalmente na matemática, 
essa estrutura pode ser aplicada às mais diversas áreas de atuação. Por exemplo, 
um advogado precisa construir argumentos válidos a favor de seus clientes, um 
programador computacional precisa construir programas que obedeçam a uma 
estrutura que usa conceitos de lógica matemática e, em geral, as pessoas procuram 
determinar soluções que possam ser justificadas por argumentos considerados 
lógicos. 
Em resumo, a lógica matemática é importante para construir a estrutura do 
raciocínio matemático e para dar suporte ao raciocínio lógico, no seu sentido mais 
amplo possível, em outros segmentos do conhecimento. 
 
1.2 PROPOSIÇÕES 
Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, 
que exprima um sentido completo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, 
somente um dos dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. 
Somente às sentenças declarativas, ou seja, às afirmações, pode-se atribuir 
valores de verdadeiro (V) ou falso (F), o que ocorre quando a sentença é, 
respectivamente, confirmada ou negada. De fato, não se pode atribuir um valor 
verdadeiro ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, as 
exclamativas e outras, embora elas também expressem informações completas. 
 
UNIDADE 
01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Exemplo 1: 
São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: 
 O número 2 é par. 
 O número 25 não é primo. 
 Todos os homens são mortais. 
 Nenhum porco espinho sabe ler. 
 Alguns brasileiros são poliglotas. 
 Se você estudar bastante, então aprenderá tudo. 
 Sempre que chove, esfria. 
 
Não são proposições as sentenças: 
 Qual é o seu nome? 
 Preste atenção ao sinal! 
 Deus me ajude! 
 Proteja-se! 
 
A fim de simplificar a representação das proposições é comum denotá-las por 
letras que poderão substituí-las em uma citação posterior. 
 
Exemplo 2: 
Considere as proposições: 
 𝑝: O número 4 é par. 
 𝑞: Madona foi presidente dos Estados Unidos da América. 
 
Nos casos acima as letras 𝑝 e 𝑞 poderão ser usadas no lugar das sentenças que 
representam. Podemos, por exemplo, dizer que a proposição p é verdadeira e que 𝑞 
é falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
1.2.1 Sentenças Abertas e Sentenças Fechadas 
A seguir veremos que nem toda declaração pode ser classificada como 
proposição. 
Acompanhe o exemplo. 
 
Exemplo 3: 
Considere as seguintes sentenças: 
p: 2 + 3 = 5 
q: x + 3 = 5 
 
Observe que podemos afirmar que p é uma sentença verdadeira, uma vez 
que os resultados à direita e à esquerda da igualdade são, de fato, iguais. Uma 
sentença dessa natureza é denominada sentença fechada. 
Por outro lado, não podemos atribuir valor lógico à sentença q, pois a mesma 
contém uma variável e não existe nenhum contexto que nos permita conhecer o 
valor dessa variável. Se soubéssemos que x = 2 teríamos x + 3 = 2 + 3 = 5, portanto, 
x + 3 = 5 seria uma sentença verdadeira. Se soubéssemos que x = 7 teríamos x + 3 =
7 + 3 = 10, portanto, x + 3 = 5 seria uma sentença falsa. Como não sabemos o valor 
de x não podemos afirmar se a igualdade é verdadeira ou falsa. Logo q não é uma 
proposição. Uma sentença dessa natureza é denominada sentença aberta. Algumas 
sentenças abertas podem ser transformadas em sentenças fechadas se atribuirmos 
valores às variáveis, ou pelo uso de quantificadores os quais abordaremos em 
capítulos posteriores. 
Podemos conceituar da seguinte forma: 
 
 Sentença aberta: É aquela sentença que não pode ser classificada como 
verdadeira ou falsa, pois nela existe uma variável, cujo valor não está definido. 
 Sentença fechada: É aquela sentença em que todas as informações se 
apresentam de forma clara e à qual pode-se atribuir um único dos valores 
lógicos: verdadeiro ou falso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
Para atribuir valor lógico a uma proposição é importante ter em mente os três 
princípios fundamentais do pensamento lógico, conforme descreveremos a seguir. 
 
1.3 AS TRÊS LEIS FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO LÓGICO 
• Princípio da Identidade: Se um enunciado qualquer é verdadeiro, então ele é 
verdadeiro. Se um enunciado é falso então ele é falso. 
• Princípio da Não Contradição: Nenhum enunciado poderser verdadeiro e 
também falso. 
• Princípio do Terceiro Excluído: Um enunciado ou é verdadeiro ou é falso. 
 
Os conceitos acima parecem simples ou até estranhos, mas são úteis para a 
identificação de paradoxos, como veremos nos exemplos a seguir: 
 
 
 
Veremos nos exercícios resolvidos a seguir como esse conteúdo costuma ser 
cobrado pelas bancas de concurso: 
 
Exercício resolvido 1. (CESP- TRE/ES 2011-Modificada) 
Classifique como CERTA ou ERRADA a seguinte afirmação: 
Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição 
pode ser atribuído um, e somente um, valor lógico. 
Resposta: CERTA. 
Solução: 
• Interrogações, exclamações, comandos e pedidos não são proposições. 
• Sentenças abertas não são proposições. 
• Uma sentença fechada é uma proposição, pois pode ser classificada como verdadeira 
ou falsa. 
O que é paradoxo? Descubra em: https://bit.ly/3xUs7WL. Acesso em: 23 jan. 2021 
https://bit.ly/3xUs7WL
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Uma proposição pode sempre receber um valor lógico e esse valor é único: ou 
verdadeiro ou falso. 
Exercício resolvido 2. (CESP – Banco do Brasil 2007- Modificada) 
Considere as seguintes frases: 
I. “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” 
II. A expressão x + y é positiva. 
III. O valor de √4 + 3 é igual a 7. 
IV. Pelé marcou 10 gols para a seleção brasileira. 
V. O que é isto? 
 
Podemos classificar como proposições as frases presentes em: 
a) I e II 
b) II, III e IV 
c) III e IV 
d) III, IV e V 
e) III 
Resposta: c 
Solução: 
Vamos analisar cada uma das alternativas. 
I. Não podemos atribuir um valor lógico a essa sentença. Se tentarmos classificar 
a frase como verdadeira, a frase dentro as aspas precisaria ser uma mentira, ou 
seja, a mesma afirmação seria falsa. Se tentarmos classificá-la como falsa, seria 
preciso negar o que está escrito na própria frase, o que garantiria que a frase é 
verdadeira. Em ambos os casos a frase seria, simultaneamente, verdadeira e 
falsa. Mas o princípio da não contradição não permite que uma proposição 
seja, simultaneamente, verdadeira e falsa. Portanto, essa não é uma 
proposição. 
II. Essa frase é uma sentença aberta, pois não conhecemos os valores de x e de y. 
Logo, não é uma proposição. 
III. Observe que conhecemos o valor de cada termo dessa sequência, logo, 
podemos lhe atribuir um valor lógico. No caso, ela é falsa. Portanto, é uma 
proposição. 
IV. É uma proposição pois, certamente, pode receber um valor lógico: verdadeiro 
ou falso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
V. Essa é uma pergunta. Portanto, não é uma proposição. 
 
1.3.1 Proposição Simples 
Uma proposição simples é aquela que não contém qualquer outra proposição 
como sua componente. Ou seja, não é possível encontrar como parte de uma 
proposição simples alguma outra proposição diferente dela. Também não se pode 
subdividi-la em partes menores tal que alguma delas seja uma nova proposição. 
 
Exemplo 4: Considere as proposições 
• p: Camila é professora de Pedro. 
• q: Camila é professora de Pedro e de Ana. 
 
A proposição p é uma proposição simples. Já a proposição q não é uma 
proposição simples, pois dela é possível retirar duas proposições que são: “Camila é 
professora de Pedro” e “Camila é professora de Ana.”. Dizemos que q é uma 
proposição composta. 
 
1.3.2 Proposição Composta 
Uma proposição composta é aquela que contém outra proposição como 
parte componente. Ou seja, uma proposição é composta quando se pode subdividi-
la em outras proposições simples. 
 
Exemplo 5: A proposição “Todo brasileiro gosta de axé ou dança muito bem.” é 
composta, pois dela pode se extrair as sentenças: “Todo brasileiro gosta de axé” e 
“todo brasileiro dança muito bem.” 
 
1.4 CONECTIVOS LÓGICOS 
Para construir uma proposição composta é necessário utilizar um ou mais 
conectivos lógicos, dependendo do número de proposições usadas na composição. 
Nos exemplos anteriores os conectivos utilizados foram as expressões “e” e “ou”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
Veremos a seguir quais são os conectivos lógicos utilizados para construir proposições 
compostas. 
 
1.4.1 Conjunção: 𝐩 𝐞 𝐪 
Uma conjunção é uma proposição composta formada por duas proposições 
quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “e”. 
A conjunção 𝐩 𝐞 𝐪 pode ser representada simbolicamente como: 
p ∧ q 
 
Exemplo 6: Considere as proposições simples: 
 
• p: Elisabeth é mãe de Charlotte. 
• q: Elisabeth é mãe de Douglas. 
 
A conjunção p e q pode ser escrita como: 
 
• p ∧ q: Elisabeth é mãe de Charlotte e de Douglas. 
 
Considere que a proposição p e a proposição q sejam representadas, 
respectivamente, pelos conjuntos P e Q, através de um diagrama, a conjunção “p ∧
q” corresponderá à interseção do conjunto P com o conjunto Q, ou seja, P ∩ Q. 
 
Figura 1: 𝐏 ∩ 𝐐 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
1.4.2 Disjunção: 𝐩 𝐨𝐮 𝐪 
Uma disjunção é uma proposição composta formada por duas proposições 
quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “ou”. 
A disjunção 𝐩 𝐨𝐮 𝐪 pode ser representada, simbolicamente, como: 
 
p ∨ q 
 
Exemplo 7: Dadas as proposições simples: 
 
• p: Érika fala mandarim. 
• q: Érika viajou para a Espanha. 
 
A disjunção “𝐩 ou 𝐪” pode ser escrita como: 
 
• p ∨ q: Érika fala mandarim ou viajou para a Espanha. 
 
Considere que a proposição p e a proposição q sejam representadas, 
respectivamente, pelos conjuntos P e Q através de um diagrama, a disjunção “p ∨ q” 
corresponderá à união do conjunto P com o conjunto Q, ou seja, P ∪ Q. 
 
Figura 2: 𝐏 ∪ 𝐐 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
1.4.3 Disjunção exclusiva: 𝐨𝐮 𝐩 𝐨𝐮 𝐪 
Uma disjunção exclusiva é uma proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “𝐎𝐮 . . . 𝐨𝐮”. 
A disjunção exclusiva 𝐨𝐮 𝐩 𝐨𝐮 𝐪 pode ser representada, simbolicamente, como: 
p v q 
 
Exemplo 8: Considere as proposições: 
 
• p: Vou para a França. 
• q: Vou para Portugal. 
 
A disjunção exclusiva “ ou p ou q ” pode ser escrita como: 
 
• p v q: Ou vou para a França ou vou para Portugal. 
 
Considere que a proposição p e a proposição q sejam representadas, 
respectivamente, pelos conjuntos P e Q através de um diagrama, a disjunção 
exclusiva p v q corresponderá à parte que pertence somente a p ou somente a q, ou 
seja, não pertence à interseção. 
 
Figura 3: 𝐨𝐮 𝐏 𝐨𝐮 𝐐 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 
1.4.4 Condicional: 𝐒𝐞 𝐩 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐪 
Uma condicional é uma proposição composta formada por duas proposições 
quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “𝐒𝐞. . . 𝐞𝐧𝐭ã𝐨” ou por uma de suas 
expressões equivalentes. 
A proposição condicional “𝐒𝐞 𝐩 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐪” pode ser representada 
simbolicamente como: 
p → q 
 
Exemplo 9: Dadas as proposições simples: 
 
• p: José é alagoano. 
• q: José é brasileiro. 
 
A condicional “Se p então q” pode ser escrita como: 
 
• p → q: Se José é alagoano, então José é brasileiro. 
 
Na proposição condicional “Se 𝐩, então 𝐪” a proposição p, que é precedida 
pela palavra “se”, é denominada condição ou antecedente, enquanto a proposição 
q precedida pela palavra “então” é denominada conclusão ou consequente. 
As seguintes expressões são equivalentes à proposição “Se 𝐩, então 𝐪”: 
Se 𝐩, 𝐪. 
𝐪, se 𝐩. 
Todo 𝐩 é 𝐪. 
𝐩 implica 𝐪. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
𝐩 somente se 𝐪. 
𝐩 é suficiente para 𝐪. 
𝐪 é necessário para 𝐩. 
 
Considere que a proposição p e a proposição q sejam representadas, 
respectivamente, pelos conjuntos P e Q através de um diagrama, a proposição 
condicional “Se 𝐩, então 𝐪” corresponderá à inclusão do conjunto P no conjunto Q, 
ou seja, P ⊂ Q. 
 
Figura 4: 𝐏 ⊂ 𝐐 
 
Fonte: Elaboradopela Autora (2021) 
 
1.4.5 Bicondicional: 𝐩 𝐬𝐞 𝐞 𝐬𝐨𝐦𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐞 𝐪 
Uma bicondicional é uma proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “𝐬𝐞 𝐞 𝐬𝐨𝐦𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐞” ou por 
uma de suas expressões equivalentes. 
A proposição bicondicional “𝐩 𝐬𝐞 𝐞 𝐬𝐨𝐦𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐞 𝐪” pode ser representada 
simbolicamente como: 
 
p ↔ q 
 
Exemplo 10: Dadas as proposições simples: 
• p: Maurício é meu tio. 
• q: Maurício é irmão de um de meus pais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
A proposição bicondicional “p se e somente se q” pode ser escrita como: 
 
p ↔ q: Maurício é meu tio se e somente se Maurício é irmão de um de meus pais. 
 
Observe que o nome e o símbolo da proposição bicondicional “𝐩 se e somente 
se 𝐪” sugerem que esta proposição é equivalente à proposição composta “se 𝐩 
então 𝐪 e se 𝐪 então 𝐩”. 
As seguintes expressões são equivalentes à proposição “𝐩 se e somente se 𝐪”: 
𝐩 se e só se 𝐪. 
Todo 𝐩 é 𝐪 e todo 𝐪 é 𝐩. 
Todo 𝐩 é 𝐪 e reciprocamente. 
Se 𝐩 então 𝐪 e reciprocamente. 
𝐩 somente se 𝐪 e 𝐪 somente se 𝐩. 
 𝐩 é suficiente para 𝐪 e 𝐪 é suficiente para 𝐩. 
𝐪 é necessário para 𝐩 e 𝐩 é necessário para 𝐪. 
𝐩 é suficiente e necessário para 𝐪. 
Considere que a proposição p e a proposição q sejam representadas, 
respectivamente, pelos conjuntos P e Q através de um diagrama. A proposição 
bicondicional “𝐩 𝐬𝐞 𝐞 𝐬𝐨𝐦𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐞 𝐪”corresponderá à igualdade dos conjuntos P e Q, 
ou seja, P = Q. 
 
Figura 5: 𝐏 = 𝐐 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Das sentenças a seguir, a única que pode ser classificada como proposição é: 
 
a) Camila, você vai à escola hoje? 
b) Não se preocupe, ele chegará em breve. 
c) 𝑥 + 1 = 7 
d) Os gatos voam. 
e) Já chega! 
 
2. (CESP – SEPLAG/DF 2009 – Adaptada) Considere as seguintes sentenças. 
 
I. Apresente ao diretor da escola, em tempo hábil, todos os documentos que 
ainda não foram assinados. 
II. Carlos, como secretário escolar, coordena e executa as tarefas decorrentes 
dos encargos da Secretaria. 
III. Organize e mantenha em dia as cópias de leis, regulamentos, diretrizes, 
portarias e todos os outros documentos. 
 
É correto afirmar que, entre as sentenças apresentadas, 
 
a) Apenas a (i) é uma proposição. 
b) Apenas a (ii) é uma proposição. 
c) Apenas a (iii) é uma proposição. 
d) Apenas a (i) e (ii) são proposições. 
e) Nenhuma é proposição 
 
3. Sobre a proposição “Se ele a ama então virá” podemos afirmar que: 
 
a) ele a amar é condição necessária para ele vir. 
Acesse o livro “Introdução à Lógica Matemática” (2011) de Carlos Alberto Ferreira Bispo e 
Luiz Batista Castanheira disponível em: https://bit.ly/3tkZApD. Acesso em: 23 jan. 2021. 
https://bit.ly/3tkZApD
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
b) ele vir é condição suficiente para ele a amar. 
c) ele a amar é condição necessária e suficiente para ele vir. 
d) ele a amar é condição suficiente para ele vir. 
e) ele vir é condição necessária e suficiente para ele a amar. 
 
4. Considere a representação das proposições A, B e C por diagramas de conjuntos 
 
Podemos afirmar que a área hachurada na figura representa qual proposição 
composta? 
 
a) CBA  
b) CBA  
c) CBA  
d) CBA  
e) CBA  
 
5. Considere a proposição: “Se chove então faz frio. ” Podemos afirmar que 
 
a) chover é condição necessária para fazer frio. 
b) fazer frio é condição suficiente para chover. 
c) chover é condição necessária e suficiente para fazer frio. 
d) chover é condição suficiente para fazer frio. 
e) fazer frio é condição necessária e suficiente para chover. 
 
6. Considere as proposições: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
p: Meu irmão vai à festa. 
q: Minha mãe vai à festa. 
r: Vou assistir TV até tarde. 
 
Uma representação correta para a proposição composta “Se meu irmão e minha 
mãe forem à festa, então vou assistir TV até tarde” é 
 
a) rqp  )( 
b) rqp  )( 
c) rqp  )( 
d) rqp  )( 
e) rqp  
 
7. Considere as proposições: 
 
𝑝: 32 = 9 
𝑞: √9 = 3 
 
Uma representação correta para a proposição composta “ 32 = 9 se e somente se 
√9 = 3 ” é: 
 
a) qp  
b) p → q 
c) p ← q 
d) qp  
e) p ↔ q 
 
8. Marque a segunda coluna de acordo com a primeira. 
 
(1) Princípio da Não Contradição ( ) Um enunciado ou é verdadeiro ou é falso. 
(2) Princípio do Terceiro Excluído ( ) É a proposição que pode ser extraída 
como parte dela uma outra proposição. 
(3) Proposição Simples ( ) Nenhum enunciado poder ser verdadeiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
e também falso. 
(4) Proposição Composta ( ) É a proposição que não contém qualquer 
outra proposição como sua componente. 
 
a) 1, 2, 3 e 4. 
b) 2, 4, 1 e 3. 
c) 1, 4, 2 e 3. 
d) 2, 3, 1 e 4. 
e) 4, 3, 2 e 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE 
PROPOSIÇÕES E CONSTRUÇÃO DE 
TABELAS-VERDADE 
 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
De maneira semelhante às operações lógicas entre números, também é 
possível realizar operações lógicas sobre proposições. Para as operações entre 
números temos os sinais +, −, ×, ÷, dentre outros. Para as operações entre 
proposições lógicas, geralmente, usamos os conectivos lógicos, vistos no capítulo 01 
e a negação que veremos adiante. Dessa forma, o valor lógico de uma proposição 
composta dependerá do valor das proposições simples que a compõem. 
Além disso, para realizar tais operações faz-se uso de um recurso denominado 
tabela-verdade, conforme veremos a seguir. 
 
2.2 VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES 
Conforme o Princípio do Terceiro Excluído, considerando-se uma proposição 
qualquer, p, esta é verdadeira ou é falsa. Em outras palavras, ela tem um dos valores 
lógicos, V ou F, e esse valor é único. 
Podemos simbolizar isso em uma tabela que será denominada Tabela-
Verdade. 
 
Figura 6: Tabela-verdade 1 
p 
V 
F 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
2.2.1 Negação de uma Proposição Simples 
Exemplo 11: Considere a seguinte proposição: 
p: O leite está quente. 
A negação dessa proposição é simbolizada por ~p e pode ser escrita como. 
UNIDADE 
02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
~p: O leite não está quente. 
 
 
 
Os valores lógicos possíveis para uma proposição e sua negação estão 
representados na seguinte tabela-verdade: 
 
Figura 7: Tabela-verdade 2 
𝐩 ~𝐩 
V F 
F V 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Podemos concluir que, se uma proposição é verdadeira, então sua negação 
será falsa. Por outro lado, se a proposição for falsa, sua negação será verdadeira. 
Vale salientar que a negação da negação de uma proposição é a própria 
proposição. Representamos esse fato como: ~(~p) = p. 
 
2.3 VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES 
2.3.1 Valor Lógico da Conjunção 
Considere a proposição p e a proposição q. Diremos que a conjunção “p e q” 
é verdadeira somente quando ambas as proposições que a compõem forem 
verdadeiras, ou seja, quando p é verdadeira e q também é verdadeira. 
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da 
conjunção “ p e q” para cada um dos valores que p e que q pode assumir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
Figura 8: Tabela-verdade 3 
𝐩 𝐪 𝐩  𝐪 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Exercício resolvido: 
Considere que Zaqueu fez a seguinte afirmação à sua esposa: 
“Nas nossas próximas férias iremos à Europa e à Dubai” 
 
Analise as seguintes possibilidades. 
 
Nas próximas férias, Zaqueu e sua esposa: 
I) Foram à Europa e não foram à Dubai. 
II) Não foram à Europa e foram à Dubai. 
III) Não foram à Europa e não foram à Dubai. 
IV) Foram à Europa e foram à Dubai. 
A proposição proferida por Bartolomeu foi verdadeiraem qual (quais) das situações: 
 
a) III 
b) I, II, III 
c) IV 
d) II, IV 
e) I, II, IV 
 
Solução: 
Devemos nos lembrar que uma conjunção só é verdadeira quando ambas as 
proposições que a compõem também forem. Isso só ocorre na situação descrita em 
IV: Foram à Europa e foram à Dubai. 
Resposta: c 
2.3.2 Valor Lógico da Disjunção 
Considere a proposição p e a proposição q. Diremos que a disjunção “p ou q ”, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
é falsa somente quando ambas as proposições que a compõem forem falsas, ou seja, 
quando p é falsa e q também é falsa. 
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da 
disjunção “p ou q” para cada um dos valores que p e que q pode assumir: 
 
Figura 9: Tabela-verdade 4 
𝐩 𝐪 𝐩 ∨ 𝐪 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Exercício resolvido: 
Considere a proposição: 
Dois mais dois é igual a quatro ou na próxima Copa o Brasil será campeão. 
Sobre a disjunção acima podemos afirmar: 
a) Ela é inconclusiva, pois não sabemos, antecipadamente, o resultado da próxima 
Copa. 
b) Ela é falsa, pois não sabemos, antecipadamente, o resultado da próxima Copa. 
c) Ela é verdadeira pois, independente do resultado da próxima Copa, dois mais dois 
é igual a quatro. 
d) Ela é verdadeira, pois o Brasil tem grande chance de ganhar a próxima Copa. 
 
Solução: 
Devemos nos lembrar que uma disjunção será verdadeira sempre que, pelo 
menos uma das proposições que a compõem for verdadeira. Como a proposição 
“dois mais dois é igual a quatro” é verdadeira, então a disjunção “Dois mais dois é 
igual a quatro ou na próxima Copa o Brasil será campeão” também é verdadeira. 
Resposta: c) 
 
2.3.3 Valor Lógico da Disjunção Exclusiva 
Considere a proposição p e a proposição q. A proposição exclusiva “ou p ou q” 
será verdadeira se apenas uma das proposições componentes for verdadeira. Se 
ambas forem verdadeiras ou se ambas forem falsas a disjunção exclusiva será falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
A tabela-verdade da disjunção exclusiva tem a seguinte forma: 
 
Figura 10: Tabela-verdade 5 
𝐩 𝐪 𝐩 v 𝐪 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Exercício resolvido: 
Observe as proposições: 
p: João compra um bolo. 
q: João compra uma empada de frango. 
A disjunção exclusiva, ou p ou q pode ser escrita como: 
João ou compra um bolo ou compra uma empada de frango. 
 
Agora considere as seguintes situações possíveis: 
I. João compra um bolo e não compra uma empada. 
II. João não compra um bolo e compra uma empada. 
III. João não compra um bolo e não compra uma empada. 
IV. João compra um bolo e compra uma empada. 
 
A proposição ou p ou q é verdadeira se forem verdadeiras as proposições presentes 
em: 
 
a) I, II 
b) III, IV 
c) I, II, III 
d) I, III, IV 
Solução: 
Lembramos que uma disjunção exclusiva é verdadeira se apenas uma das 
proposições que a compõem for verdadeira. Logo, podemos afirmar que a disjunção 
exclusiva é verdadeira se for verdade, ou o que se expressa na proposição I, ou o que 
se expressa na proposição II. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
Resposta: a) I, II 
 
2.3.4 Valor Lógico da Condicional 
Considere a proposição p e a proposição q. Uma condicional “Se p então q” é 
falsa somente quando a condição p é verdadeira e a conclusão q é falsa, sendo 
verdadeira em todos os outros casos. 
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da 
proposição condicional “Se p então q” para cada um dos valores que p e q podem 
assumir. 
 
Figura 11: Tabela-verdade 6 
𝐩 𝐪 𝐩 → 𝐪 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Alguns dos resultados da tabela anterior podem parecer absurdos à primeira 
vista. A fim de esclarecer o significado de cada um dos resultados possíveis numa 
sentença condicional, considere o seguinte exemplo: 
 
Exemplo 12: 
Considere que o gerente de uma empresa tenha prometido a seu funcionário que, 
se ele fizer o curso de qualificação, então, receberá um aumento. 
Observe que essa é uma proposição condicional envolvendo as seguintes 
proposições simples: 
p: O funcionário faz o curso de qualificação. 
q: O funcionário recebe o aumento. 
Agora vamos pensar um pouco: Qual é a situação em que podemos concluir 
que a promessa feita pelo gerente foi falsa? Em outras palavras, em que situação 
podemos afirmar que não houve cumprimento da promessa? 
Suponha que o funcionário faz o curso de qualificação e recebe o aumento. 
Essa situação corresponde à primeira linha da tabela em que p é verdadeira e q 
também. Claramente, a promessa foi cumprida, ou seja, a condicional, p → q, é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
verdadeira. 
Agora imagine que o funcionário faz o curso de qualificação e não recebe o 
aumento. Essa situação corresponde à segunda linha da tabela em que p é 
verdadeira e q é falsa. Nessa situação a condicional, p → q, foi falsa, ou seja, a 
promessa foi falsa. O funcionário cumpriu a condição, mas não recebeu o que lhe 
era devido. 
Suponha agora que o funcionário não faz o curso de qualificação e recebe o 
aumento. Essa situação corresponde à terceira linha da tabela em que p é falsa e q 
é verdadeira. Observe que aqui a promessa não foi quebrada. Em nenhum momento 
foi dito que a única forma de receber o aumento era fazer o curso de qualificação. 
Inclusive o aumento pode ser devido a outra motivação qualquer. Nesse caso, a 
condicional, p → q é verdadeira. 
Por fim, suponha que o funcionário não faz o curso de qualificação e não 
recebe o aumento. Aqui também a promessa foi mantida. Uma vez que o funcionário 
não fez o curso de qualificação, não existe o compromisso de se dar aumento ao 
funcionário. Aqui a condicional, p → q também é verdadeira. 
Reiteramos, através do exemplo, que a condicional p → q só é falsa se p for 
verdadeira e q falsa. 
 
 
 
Outra observação importante a se fazer sobre uma proposição condicional é 
que não precisa haver nenhuma relação entre p e q para que se construa uma 
proposição condicional “se p então q” e que se avalie seus possíveis valores lógicos. 
Por exemplo, a proposição “se 2 é par então 7 é primo” é verdadeira e 
corresponde à primeira linha da tabela-verdade das proposições condicionais. 
 
Figura 12: Tabela-verdade 7 
𝐩 𝐪 𝐩 → 𝐪 
V V V 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Uma proposição condicional da forma “se p então q” só é falsa se p é verdadeira e q é 
falsa. Nos demais casos ela será verdadeira
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
Pode parecer ainda mais estranho, mas a proposição “se os peixes voam 
então os homens são imortais” também é verdadeira. Ela corresponde à última linha 
da tabela-verdade das proposições condicionais. 
 
Figura 13: Tabela-verdade 8 
𝐩 𝐪 𝐩 → 𝐪 
F F V 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Exercício resolvido: 
Considere as proposições: 
 
• p: O número 8 é par. 
• q: O número 8 é divisível por 5. 
• r: Os números pares terminam em 1, 3 ou 5. 
 
Considerando a tabela-verdade da proposição condicional podemos afirmar que, 
das proposições abaixo a única falsa é: 
 
a) p → q 
b) q → p 
c) q → r 
d) r → p 
e) r → q 
 
Solução: 
Lembramos que para conhecer o valor lógico de uma proposição 
condicional basta conhecer os valores lógicos das proposições que a compõem e a 
tabela-verdade da condicional. 
Observe que a proposição p é verdadeira mas, q é falsa (a divisão de 8 por 5 
deixa resto) e r também é falsa (os números pares terminam em algarismos pares). 
Pela tabela-verdade vemos que a condicional só é falsa quando a 
antecedente for verdadeira e a consequente for falsa e isso só acontece no item a). 
Resposta: a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
2.3.5 Valor Lógico da Bicondicional 
Considere a proposição p e a proposição q. Uma bicondicional 
“p se,e somente se, q” é verdadeira quando a condição p e a conclusão q forem ou 
ambas verdadeiras ou ambas falsas. Se os valores de p e q forem opostos então a 
bicondicional será falsa. 
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da 
proposição bicondicional “p se, e somente se, q” para cada um dos valores que p e que 
q podem assumir. 
 
Figura 14: Tabela-verdade 9 
𝐩 𝐪 𝐩 ↔ 𝐪 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 
 
Exercício resolvido: 
Considere as seguintes proposições: 
 
I. Hoje é 7 de setembro se, e somente se, hoje é o Dia da Independência do Brasil. 
II. Fevereiro tem 30 dias se, e somente se, 4 é um número par. 
III. Os gatos voam se, e somente se, as nuvens são vermelhas. 
 
De acordo com a tabela-verdade da bicondicional, podemos afirmar que são 
verdadeiras as proposições presentes em: 
 
a) I e II 
b) I e III 
c) I, II e III 
A proposição p ↔ q equivale à conjunção (𝐩 → 𝐪 e 𝐪 → 𝐩). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
d) II, III 
e) Nenhuma 
 
Solução: 
Para saber o valor lógico de uma proposição bicondicional precisamos 
conhecer o valor das proposições que a compõem. Se forem ambas verdadeiras, 
ou ambas falsas, a proposição bicondicional será verdadeira, conforme vemos na 
tabela. 
 
Figura 15: Tabela-verdade 10 
𝐩 𝐪 𝐩 ↔ 𝐪 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Vamos observar cada caso: 
 
I. Hoje é 7 de setembro se, e somente se, hoje é o Dia da Independência do Brasil. 
Se for verdade que hoje é 7 de setembro, será verdade que hoje é Dia da 
Independência do Brasil, o que corresponde à primeira linha da tabela, cujo 
resultado é verdadeiro. Se for falso que hoje é 7 de setembro, então será falso que 
hoje é Dia da Independência do Brasil, que corresponde à última linha da tabela, 
cujo resultado também é verdadeiro. Dessa forma, a proposição em “I” é sempre 
verdadeira. 
 
II. Fevereiro tem 30 dias se, e somente se, 4 é um número par. 
 
“Fevereiro tem 30 dias” é uma proposição falsa, enquanto que “4 é um 
número par” é verdadeira. Pela terceira linha da tabela, a proposição presente em 
“II” é falsa. 
 
III. Os gatos voam se, e somente se, as nuvens são vermelhas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
“Os gatos voam” é uma proposição falsa e “as nuvens são vermelhas” 
também é falsa. Pela última linha da tabela, a proposição presente em “III” é 
verdadeira. 
 
Resposta: b) 
 
 
 
• Veja o artigo escrito pelo Professor Silvio Seno Chibeni da UNICAMP sobre proposições 
condicionais. Disponível em: https://bit.ly/33lwR9r. Acesso em: 23 jan. 2021. 
• Acesse também o livro “Introdução à Lógica Matemática” (2011) de Carlos Alberto 
Ferreira Bispo e Luiz Batista Castanheira. Disponível em: https://bit.ly/3tkZApD. Acesso 
em: 23 jan. 2021. 
• Outra boa sugestão é a obra “Lógica Matématica” (2020) de Guilherme Augusto 
Pianezzer. Disponível em: https://bit.ly/3tcR248. Acesso em: 23 jan. 2021. 
https://bit.ly/33lwR9r
https://bit.ly/3tkZApD
https://bit.ly/3tcR248
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
1. (FCC – BACEN – 2005) Sejam as proposições: 
 
p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central 
q: fazer frente ao fluxo positivo 
Se p implica em q, então: 
 
a) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição 
necessária para fazer frente ao fluxo positivo. 
b) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora 
de dólares por parte do Banco Central. 
c) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição 
suficiente para fazer frente ao fluxo positivo. 
d) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação 
compradora de dólares por parte do Banco Central. 
e) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição 
suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. 
 
2. (FCC – TRT/1ª – 2013) Um vereador afirmou que, no último ano, compareceu a 
todas as sessões da Câmara Municipal e não empregou parentes em seu 
gabinete. Para que essa afirmação seja falsa, é necessário que, no último ano, 
esse vereador 
 
a) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado 
todos os seus parentes em seu gabinete. 
b) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal e tenha 
empregado todos os seus parentes em seu gabinete. 
c) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal ou tenha 
empregado um parente em seu gabinete. 
d) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal e tenha empregado um 
parente em seu gabinete. 
e) tenha faltado em mais da metade das sessões da Câmara Municipal ou tenha 
empregado pelo menos um parente em seu gabinete. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
3. Considere a proposição: 
Alice irá ao País das Maravilhas quando imaginar ou perder o medo. 
Assumindo que essa proposição é verdadeira podemos afirmar que: 
Se Alice perder o medo, então 
 
a) Alice não irá ao País das Maravilhas, pois não vai imaginar. 
b) Alice irá ao País das Maravilhas. 
c) Alice vai necessariamente imaginar. 
d) Alice não irá, também, imaginar. 
e) Alice não vai imaginar. 
 
4. (FCC – TRT/11a – 2012) Uma senhora afirmou que todos os novelos de lã guardados 
numa gaveta são coloridos e nenhum deles foi usado. Mais tarde, ela percebeu 
que havia se enganado em relação à sua afirmação, o que permite concluir que 
 
a) existem novelos de lã brancos na gaveta e eles já foram usados. 
b) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles foi usado. 
c) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou todos eles foram 
usados. 
d) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e já foram usados. 
e) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e algum deles já foi usado. 
 
5. (FCC – SEFAZ/SP – 2010- Modificada) Considere as seguintes proposições: 
p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente. 
q: O trabalho enobrece. 
A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental 
para crescer profissionalmente” é, com certeza, FALSA quando: 
 
a) p é falsa e q é falsa. 
b) p é verdadeira e q é verdadeira. 
c) p é falsa e q é verdadeira. 
d) p é verdadeira e q é falsa. 
e) p é falsa ou q é falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
6. (FCC – SEFAZ/SP – 2009) Uma empresa mantém a seguinte regra em relação a 
seus funcionários: 
Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo ano, 
realizar pelo menos um exame médico e tomar a vacina contra a gripe. 
Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir que, 
necessariamente, se um funcionário dessa empresa: 
 
a) anualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe, então ele 
tem mais de 45 anos de idade. 
b) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos anualmente ou não 
toma a vacina contra a gripe. 
c) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele não tem 50 
ou mais anos de idade. 
d) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame médico por 
ano, além de tomar a vacina contra a gripe. 
e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos dois anos, 
então ele tem pelo menos 47 anos de idade. 
 
7. Se chover, Paulo compra um guarda-chuva. Podemos dizer que essa preposição 
será falsa se: 
 
a) não chover e Paulo não comprar o guarda-chuva. 
b) chover e Paulo não comprar o guarda-chuva. 
c) não chover e Paulo comprar o guarda-chuva. 
d) chover e Paulo comprar o guarda-chuva. 
e) Nenhuma das alternativas acima. 
 
8. Dadas duas proposições p e q, qual (ou quais) conectivo(s) associado(s) a ele terá 
(ou terão) uma tabela-verdade com apenas um valor lógico falso: 
 
a) Disjunção e Conjunção. 
b) Conjunção e Disjunção exclusiva. 
c) Conjunção e Condicional. 
d) Condicionale Disjunção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
e) Conjunção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
CONSTRUÇÃO DE TABELAS-
VERDADE DE OUTRAS 
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
 
 
3.1 TABELAS-VERDADE DE OUTRAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
Já vimos que se considerarmos algumas proposições simples, que 
denotaremos por p, q, r, s, … , podemos construir composições compostas usando 
operações elementares entre as proposições simples como a negação, denotada 
por ~, ou os conectivos lógicos  , v , v , → , ↔. Nesse capítulo vamos construir 
proposições compostas fazendo combinações entre as proposições simples usando 
mais de um conectivo lógico como, por exemplo: 
 
(~p ∨ q) → q 
(~p ∨ ~q) → (q ∧ r) 
 
Além disso, vamos determinar o valor dessas proposições compostas a partir 
do valor lógico das proposições componentes. 
Para tanto, vamos começar definindo como preencher essa tabela. 
A primeira tarefa importante é definir o tamanho da tabela. Para isso é 
necessário contar o número n de proposições simples que constitui a proposição 
composta, cuja tabela será construída, e fazer 2 elevado a esse número n para definir 
o número de linhas da tabela. 
Vamos discutir um exemplo para ilustrar melhor a primeira tarefa da 
construção da tabela: 
 
Exercício resolvido 1: 
Considere as proposições 𝑝, 𝑞 e 𝑟. Vamos determinar a configuração inicial da 
tabela-verdade da proposição 𝑝 ∨ ~𝑞 → 𝑞 ∧ 𝑟. 
 
Como essa proposição é constituída por três proposições simples, 𝑝, 𝑞 e 𝑟, conforme 
dito, anteriormente, serão necessárias 23 linhas, ou seja, precisaremos de 8 linhas. 
Inicialmente, construa uma tabela com 8 linhas e 3 colunas, uma coluna para 
UNIDADE 
03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
cada proposição simples. Veja a figura abaixo: 
 
Figura 16: Tabela-verdade 11 
𝐩 𝐪 𝐫 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Agora preencha estas três colunas iniciais, referentes às proposições simples 
começando pela 1ª coluna à esquerda. Divida a quantidade de linhas por 2, ou 
seja, faça 8/2 = 4 e, em seguida, preencha, na 1ª coluna, 4 linhas com V e 4 linhas 
com F. Preencha a 2ª coluna da seguinte forma: tome o 4, determinado no cálculo 
anterior, e o divida por 2, ou seja, faça 4/2 = 2. Então, preencha, na 2ª coluna, 2 
linhas com V e 2 linhas com F, 2 linhas seguintes com V e 2 com F. Por fim, na 3ª 
coluna tome o 2, encontrado no cálculo anterior, e divida por 2, ou seja, faça 2/2 = 
1 e, assim, a 3ª coluna será preenchida com 1 linha com V seguida de uma linha 
com F e, assim, sucessivamente, até o final das linhas. Seguindo os passos descritos, 
a tabela ficará da seguinte forma: 
 
Figura 17: Tabela-verdade 12 
𝐩 𝐪 𝐫 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
A determinação do valor lógico da proposição p ∨ ~q → q ∧ r será feita no 
Exercício resolvido 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
Agora vamos construir a tabela-verdade de uma proposição composta por 
apenas duas proposições simples. 
 
Exercício resolvido 2: 
Considerando as proposições 𝑝 e 𝑞 construa a tabela-verdade da proposição 
~(𝑝 ~𝑞). Primeiramente, vamos construir duas colunas correspondentes a todos os 
valores lógicos possíveis para as proposições 𝑝 e 𝑞, respectivamente. 
 
Figura 18: Tabela-verdade 13 
𝐩 𝐪 
V V 
V F 
F V 
F F 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Na próxima etapa vamos preencher os valores lógicos de ~𝑞. 
 
Figura 19: Tabela-verdade 14 
𝒑 𝒒 ~𝑞 
V V F 
V F V 
F V F 
F F V 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Vamos preencher a seguir os valores lógicos de p~q. Observe que isso será 
feito porque os parêntesis definem essa prioridade nas operações. 
 
Figura 20: Tabela-verdade 15 
𝐩 𝐪 ~𝐪 𝐩~𝐪 
V V F F 
V F V V 
F V F F 
F F V F 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Por fim, preencheremos ao valores lógicos da proposição ~(p~q). 
Figura 21: Tabela-verdade 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
𝐩 𝐪 ~𝐪 𝐩~𝐪 ~(𝐩~𝐪) 
V V F F V 
V F V V F 
F V F F V 
F F V F V 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 
 
Exercício resolvido 3: 
Considerando as proposições p, q e r construa a tabela-verdade da proposição 
 
p ∨ ~q → q ∧ r 
 
Já iniciamos a construção da tabela no Exercício resolvido 1. Sugerimos que 
o leitor completa a construção da tabela passo a passo, preenchendo cada coluna 
da esquerda para a direita. Colocamos abaixo o resultado final dessa construção. 
(p ∨ ~q) → (q ∧ r). 
 
Figura 22: Tabela-verdade 17 
𝐩 𝐪 𝐫 ~𝐪 𝐩 ∨ ~𝐪 𝐪 ∧ 𝐫 (𝐩 ∨ ~𝐪) → (𝐪 ∧ 𝐫) 
V V V F V V V 
V V F F V F F 
V F V V V F F 
V F F V V F F 
F V V F F V V 
F V F F F F V 
F F V V V F F 
F F F V V F F 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
3.2 TAUTOLOGIA 
Dizemos que uma proposição composta, formada por duas ou mais 
proposições 𝑝, 𝑞, 𝑟, ..., é uma tautologia se ela for sempre verdadeira, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
independentemente dos valores lógicos das proposições componentes 𝑝, 𝑞, 𝑟, ... 
 
Exercício resolvido 4: 
A proposição “Se (𝒑 𝒆 𝒒) então (𝒑 𝒐𝒖 𝒒)” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos de 𝑝 e de 𝑞. Podemos confirmar essa 
afirmação construindo a tabela-verdade dessa proposição: 
 
Figura 23: Tabela-verdade 18 
𝐩 𝐪 (𝐩 ∧ 𝐪) (𝐩 ∨ 𝐪) (𝐩 ∧ 𝐪) → (𝐩 ∨ 𝐪) 
V V V V V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F F V 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
3.3 CONTRADIÇÃO 
Dizemos que uma proposição composta, formada por duas ou mais 
proposições 𝑝, 𝑞, 𝑟, ..., é uma contradição se ela for sempre falsa, 
independentemente dos valores lógicos das proposições componentes 𝑝, 𝑞, 𝑟, ... 
 
Exercício resolvido 5: 
A proposição “(não (𝒑 𝒐𝒖 𝒒)) e (𝒑 𝒆 𝒒)” é uma contradição, pois é sempre falsa, 
independentemente dos valores lógicos de 𝑝 e de 𝑞, como se pode observar na 
tabela-verdade abaixo: 
 
Figura 24: Tabela-verdade 19 
𝐩 𝐪 (𝐩 ∨ 𝐪) ~(𝐩 ∨ 𝐪) (𝐩 ∧ 𝐪) ~(𝐩 ∨ 𝐪) ∧ (𝐩 ∧ 𝐪) 
V V V F V F 
V F V F F F 
F V V F F F 
F F F V F F 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
3.4 CONTINGÊNCIA 
Dizemos que uma proposição composta, formada por duas ou mais 
proposições p, q, r, ..., é uma contingência se ela não for, nem uma tautologia, nem 
uma contradição. Em outras palavras, uma proposição, cuja última coluna da 
tabela-verdade tenha no mínimo um valor verdadeiro e um valor falso, é uma 
contingência. 
 
Exercício resolvido 6: 
A proposição (𝐩 ∨ 𝐪) → (𝐩 ∧ 𝐪) é uma contingência. Isso é facilmente 
observado porque a última coluna da tabela-verdade apresenta tanto valores 
verdadeiros, quanto valores falsos. 
 
Figura 25: Tabela-verdade 20 
𝐩 𝐪 (𝐩 ∨ 𝐪) (𝐩 ∧ 𝐪) (𝐩 ∨ 𝐪) → (𝐩 ∧ 𝐪) 
V V V V V 
V F V F F 
F V V F F 
F F F F V 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 
 
 
Como uma tautologia é sempre verdadeira e uma contradição sempre falsa, tem-se que: 
 A negação de uma tautologia é sempre uma contradição. 
Enquanto que: 
 A negação de uma contradição é sempre uma tautologia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
 
 
 Leia mais sobre Tautologia, Contradição e Contingência no livro Lógica Matemática, 
do IFCE do Ceará. Disponível em: https://bit.ly/38ywagH. Acesso em: 23 jan. 2021. 
 Acesse também o cap. 1 “Cálculo Proposicional” do livro “Introdução à Lógica 
Matemática” (2011) de Carlos Alberto Ferreira Bispo e Luiz Batista Castanheira. 
Disponível em: https://bit.ly/2Rqr7J7. Acesso em: 23 jan. 2021. 
 Como sugerido na unidade anterior, outra boa sugestão é a obra “Lógica Matématica” 
(2020) de Guilherme Augusto Pianezzer. Disponível em: https://bit.ly/3tcR248. Acesso 
em: 23 jan. 2021. 
https://bit.ly/38ywagH
https://bit.ly/2Rqr7J7
https://bit.ly/3tcR248
 
 
 
 
 
 
 
 
 
461. Construindo a tabela verdade da expressão (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p) temos como 
resultado final a seguinte sequência: 
 
a) F-V-F-V. 
b) F-V-V-F. 
c) V-V-V-F. 
d) F- F-F- F. 
e) V-V-V-V. 
 
2. Construindo a tabela verdade da expressão (p ∧ ~q) → (q ∧ ~r) temos como 
resultado final a seguinte sequência: 
 
a) V-V-F-V-V-V-V-V. 
b) V-F-F-V-V-V-V-F. 
c) V-V-F-F-F-V-V-F. 
d) F-V-F-V-V-F-V-V. 
e) F-V-F-V-V-V-V-F. 
 
3. (FT_98) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, 
independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de 
tautologia é: 
 
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. 
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo. 
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. 
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo. 
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. 
 
4. A proposição (p ∧ q) → ( p ∨ q) se caracteriza como: 
a) um silogismo. 
b) uma tautologia. 
c) uma equivalência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
d) uma contingência. 
e) uma contradição. 
 
5. A proposição (p ↔ ~q) ∧ ( p ∧ q) se caracteriza como: 
a) um silogismo. 
b) uma tautologia. 
c) uma equivalência. 
d) uma contingência. 
e) uma contradição. 
 
6. A proposição "p ↔ ( p ∧ q)” se caracteriza como: 
a) um silogismo. 
b) uma tautologia. 
c) uma equivalência. 
d) uma contingência. 
e) uma contradição. 
 
7. Considere as afirmações: 
I. Se o diretor é forte, então o secretário é fraco ou o diretor é forte. 
II. João é alto ou Paulo é gordo e João não é alto e Paulo não é gordo. 
III. Carlos não é tímido e, se Pedro é expansivo, então Carlos é tímido. 
 
Na ordem em que estão expressas as afirmações são, respectivamente, 
 
a) tautologia, contradição e contingência. 
b) contingência, contradição e tautologia. 
c) contradição, tautologia e contingência. 
d) contingência, tautologia e contradição. 
e) tautologia, contingência e contradição. 
 
8. Assinale a alternativa que apresenta um exemplo de tautologia: 
 
a) A prova está fácil. 
b) A prova está difícil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
c) João estudou para a prova e Maria ficou feliz. 
d) João é alto ou João não é alto. 
e) Se Pedro estudou, então passou no concurso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA E 
IMPLICAÇÃO LÓGICA 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
E possível que duas proposições estejam escritas de modos distintos, mas 
tenham exatamente o mesmo significado. É de extrema importância saber identificar 
essas proposições pois, às vezes, é mais fácil trabalhar com outra versão da mesma 
proposição que seja mais simples ou de mais fácil entendimento. Essa identificação 
também é essencial para a identificação das tautologias. 
 
4.2 PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES 
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente 
equivalentes se elas forem compostas pelas mesmas proposições simples e se os 
resultados de suas tabelas-verdades forem exatamente os mesmos. Em outras 
palavras, ao substituir uma dada proposição por qualquer outra equivalente a ela, 
estamos dizendo a mesma proposição de outra forma. A equivalência lógica entre 
duas proposições, p e q pode ser representada simbolicamente como: 
 
p ⟺ q 
 
Exemplo 13: As proposições p → q e ~p ∨ q são equivalentes, ou seja, p → q ⟺ ~p ∨
 q. Vamos verificar a equivalência construindo a tabela-verdade: 
 
Figura 26: Tabela-verdade 21 
p q ~p p
→ q 
~p ∨ q 
 
V V F V V 
V F F F F 
F V V V V 
F F V V V 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Assim como as operações algébricas possuem algumas propriedades, as 
operações entre proposições possuem propriedades semelhantes que geram 
UNIDADE 
04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
proposições equivalentes 
 
 Leis associativas: 
 
(p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r) 
(p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r) 
 
 Leis distributivas: 
 
p ∧ (q ∨ r) ⟺ ( p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 
p ∨ ( q ∧ r) ⟺ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) 
 
 Lei da dupla negação: 
 
∼∼ p ⟺ p 
 
 Equivalências da Condicional: 
 
p → q ⇔ ∼ p ∨ q 
p → q ⇔ ~ q → ~ p 
p ∨ ( q ∧ r) ⟺ ( p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) 
 
4.3 QUANTIFICADORES 
Os quantificadores são elementos usados para estabelecer uma relação entre 
sujeito e predicado de uma proposição. Os quantificadores podem ser universais ou 
particulares, cada um deles podendo ser classificado como afirmativo ou negativo. 
Veja o quadro seguinte: 
 
Figura 27: Tabela-verdade 22 
 Afirmativa Negativa 
Universal Todo p é q. Nenhum p é q. 
Particular Algum p é q. Algum p não é q. 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
Podemos utilizar a linguagem de conjunto para ilustrar a relação 
estabelecida pelos quantificadores: 
Todo 𝐏 é 𝐐. 
Significa que todo elemento de P também é elemento de Q. Logo, o conjunto 
P deve estar contido em Q. 
 
Figura 28: 𝐏 ⊂ 𝐐 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Nenhum 𝐏 é 𝐐. 
Significa que os conjuntos P e Q não têm elementos em comum. Logo, os 
conjuntos P e Q devem ser disjuntos. 
 
Figura 29: 𝐏 ∩ 𝐐 = ∅ 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Algum 𝐏 é 𝐐. 
Significa que os conjuntos P e Q têm pelo menos um elemento em comum. 
Logo, a interseção entre os conjuntos P e Q é não vazia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
Figura 30: 𝐏 ∩ 𝐐 ≠ ∅ 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Algum 𝐏 não é 𝐐. 
Significa que existe pelo menos um elemento em P que não pertence a Q. 
Logo, a parte hachurada da figura abaixo é não vazia. 
 
Figura 31: 𝐏 − 𝐐 ≠ ∅ 
 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
4.4 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
Considerando-se uma proposição, muitas vezes se faz necessário encontrar a 
proposição equivalente à negação da proposição dada. Para negar uma 
proposição simples basta apresentar o sentido contrário desta. Já para negar 
proposições compostas as vezes é útil usar algumas estratégias. 
A negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da 
proposição dada, ou seja, se uma proposição 𝐩 for verdadeira, a sua negação 𝐧ã𝐨 𝐩 
deve ser falsa e se 𝐩 for falsa, 𝐧ã𝐨 𝐩 deve ser verdadeira. 
Dizemos que a negação de uma proposição é a contraditória da proposição 
dada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
O quadro abaixo abaixo mostra as equivalências mais comuns para as 
negações de algumas proposições compostas: 
 
Quadro 1: Equivalências mais comuns 
Proposição Negação direta Equivalente da negação 
𝐩 e 𝐪 
𝐩 ou 𝐪 
Se 𝐩 então 𝐪 
𝐩 se e somente se 𝐪 
Todo 𝐩 é 𝐪 
Algum 𝐩 é 𝐪 
Não (𝐩 e 𝐪) 
Não (𝐩 ou 𝐪) 
Não (se 𝐩 então 𝐪) 
Não (𝐩 se e somente se 𝐪) 
Não (todo 𝐩 é 𝐪) 
Não (algum 𝐩 é 𝐪) 
Não 𝐩 ou não 𝐪 
Não 𝐩 e não 𝐪 
𝐩 e não 𝐪 
[(𝐩 e não 𝐪) ou (𝐪 e não 𝐩)] 
Algum 𝐩 não é 𝐪 
Nenhum 𝐩 é 𝐪 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
 
 
4.5 IMPLICAÇÃO LÓGICA 
Considere uma proposição r e uma proposição s. Dizemos que r implica 
logicamente s quando s é verdadeira todas as vezes que r é verdadeira. Em outras 
palavras, r implica s se a verdade de r garante a verdade de s. 
A implicação lógica “𝐫 𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚 𝐬” pode ser representada simbolicamente 
como: 
 
r ⇒ s 
 
Exemplo 14: 
Considere as proposições: 
r: O número n é divisível por 6. 
s: O número n é divisível por 3. 
 
Podemos afirmar que r implica s, pois como o 6 é múltiplo de 3, todo múltiplo 
de 6 também é múltiplo de 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
Para analisar melhor a definição de implicação lógica vamos considerar 
proposições compostas e suas tabelas verdades. 
 
Exemplo 15: 
Dadas duas proposições compostas r = p ∧ q e s = p ∨ q vamos observar na tabela- 
verdade que nunca ocorre de a proposição r ser verdadeira e a proposição s falsa. 
Por isso podemos afirmar que r implica s, ou seja, r ⇒ s. 
 
Figura 32: Tabela-verdade 
𝐩 𝐪 (𝐩 ∧ 𝐪) (𝐩∨ 𝐪) 
V V V V 
V F F V 
F V F V 
F F F F 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Concluímos que para quaisquer proposições p e q temos (𝐩 ∧ 𝐪) ⇒ (𝐩 ∨ 𝐪). 
Dito de outra forma, uma proposição r implica logicamente uma proposição 
s se numa mesma linha da tabela-verdade não aparece V na coluna de r seguido 
de F na coluna de s. 
 
4.5.1 Propriedades da Implicação Lógica 
Lembramos que a relação de igualdade entre números é reflexiva, isso é, 
dado um número real a, temos que a = a e também é transitiva, ou seja, dados os 
números a, b e c, se a = b e b = c então a = c. De maneira semelhante, a implicação 
lógica entre as proposições possui as seguintes propriedades transitiva e reflexiva, ou 
seja: 
 
r ⇒ r (reflexiva) 
Se r ⇒ s e s ⇒ t então r ⇒ t (transitiva) 
 
Da mesma forma que verificamos a implicação (𝐩 ∧ 𝐪) ⇒ (𝐩 ∨ 𝐪) pelo uso da 
tabela-verdade, vamos demonstrar a propriedade 5, listada abaixo, analisando 
também sua tabela-verdade. A verificação das demais propriedades ficarão a 
cargo do leitor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
 
Exemplo 16: 
Propriedade: (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ ~p 
 
Figura 33: Tabela-verdade 
𝐩 𝐪 (𝐩 ∨ 𝐪) ~𝐪 (𝐩 ∨ 𝐪) ∧ ~𝐪 
V V V F F 
V F V V V 
F V V F F 
F F F V F 
Fonte: Elaborado pela Autora (2021) 
 
Observe que numa mesma linha não aparece V na coluna de (p ∨ q) ∧ ~q 
seguido de F na coluna de p. 
 
Demais propriedades: 
1. p ⇒ p ∨ q e também q ⇒ p ∨ q 
2. p ∧ q ⇒ p e também p ∧ q ⇒ q 
3. (p ∧ q) ⇒ p ↔ q 
4. p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p 
5. (p ∨ q) ∧ ~p ⇒ q e também (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p 
6. (p → q) ∧ p ⇒ q 
 
 
 
 
Veja mais em: 
 “Introdução à Lógica Matemática” (2011) de Carlos Alberto Ferreira Bispo e Luiz Batista 
Castanheira. Disponível em: https://bit.ly/2Rqr7J7. Acesso em: 23 jan. 2021. 
 “Lógica Matématica” (2020) de Guilherme Augusto Pianezzer. Disponível em: 
https://bit.ly/3tcR248. Acesso em: 23 jan. 2021. 
https://bit.ly/2Rqr7J7
https://bit.ly/3tcR248
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. A negação da afirmação: “Pedro vai comprar um livro e vai jogar bola” é: 
 
a) Pedro não vai comprar um livro e não vai jogar bola. 
b) Pedro vai comprar um livro e vai jogar bola. 
c) Ou Pedro compra um livro ou vai jogar bola. 
d) Pedro não joga bola ou não vai comprar um livro. 
e) Ou Pedro vai comprar um livro ou vai jogar bola. 
 
2. Uma preposição equivalente a: “Se estudar então vou passar na prova” é: 
a) Se não estudar eu não passo na prova. 
b) Se eu passei na prova então eu estudei. 
c) Não estudei ou passei na prova. 
d) Passei na prova ou não estudei. 
e) Vou passar na prova se e somente se estudar. 
 
3. Dizer que “Gustavo é jogador ou Pedro não é padeiro” é logicamente equivalente 
a: 
 
a) Gustavo é jogador se e somente se Bernardo não é padeiro. 
b) Se Gustavo é jogador, então Pedro não é padeiro. 
c) Se Gustavo não é Jogador, então Pedro é padeiro. 
d) Se Pedro é pedreiro, então Gustavo é jogador. 
e) Gustavo não é jogador e Bernardo é pedreiro. 
 
4. A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-
chuva” é: 
 
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. 
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. 
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. 
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
5. Para que a proposição “todos os matemáticos são loucos” seja falsa, é necessário 
que: 
 
a) todos os não matemáticos sejam loucos. 
b) nenhum dos matemáticos sejam loucos. 
c) todos os matemáticos sejam loucos. 
d) pelo menos um matemático não seja louco. 
e) pelo menos um matemático seja louco. 
 
6. A negação de ~P ∨ Q é dada por: 
 
a) ~P ∨ ~Q 
b) ~P ∧ Q 
c) P ∧ ~Q 
d) ~P ∧ ~Q 
e) P ⟺ Q 
 
7. (ESAF) Uma sentença logicamente equivalente a “Se Ana é bela, então Carina é 
feia” é: 
 
a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia. 
b) Ana é bela ou Carina não é feia. 
c) Se Carina é feia, Ana é bela. 
d) Ana é bela ou Carina é feia. 
e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela. 
 
8. (ESAF) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo, 
 
a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. 
b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. 
c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. 
d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. 
e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 
 
 
 
5.1 INTRODUÇÃO 
As propriedades inerentes das proposições compostas que vimos nos capítulos 
anteriores, bem como outras propriedades que veremos nesse capítulo formam o 
que chamamos de álgebra das proposições. Esse conjunto de regras é útil para 
definir a equivalência entre proposições compostas, conforme veremos a seguir. 
 
5.2 ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 
5.2.1 Propriedades da Conjunção 
Considere as proposições p, q, r, quaisquer, e as proposições t, que é sempre 
verdadeira, e c, que é sempre falsa. São válidas as seguintes propriedades para a 
conjunção. 
 
 Idempotente: p ∧ p ⇔ p Essa propriedade é válida porque as tabelas de p ∧ p e 
de p são idênticas. Ou seja, p ∧ p ↔ p é uma tautologia. 
 Comutativa: p ∧ q ⇔ q ∧ p Observe que as tabelas verdades de p ∧ q e q ∧ p 
também são idênticas. 
 Associativa: (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) Novamente, as tabelas verdades de (p ∧
 q) ∧ r e p ∧ (q ∧ r) são idênticas. 
 Identidade: p ∧ t ⇔ p e p ∧ c ⇔ c Lembramos que a conjunção só é verdadeira 
quando ambas as proposições componentes são verdadeiras. Como sabemos, 
previamente, que t é sempre verdade, o valor lógico de p ∧ t será verdadeiro se 
p for verdadeiro e falso se p for falso, ou seja, dependerá unicamente do valor do 
p. Por outro lado como c é sempre falso o valor de p ∧ c é sempre falso 
independentemente do valor de p, ou seja, só depende do valor de c. 
 
 
UNIDADE 
05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
5.2.2 Propriedades da Disjunção 
Considere as proposições p, q, r, quaisquer, e as proposições t que é sempre 
verdadeira e c que é sempre falsa. São válidas as seguintes propriedades da 
disjunção. 
 
 Idempotente: p ∨ p ⇔ p 
 Comutativa: p ∨ q ⇔ q ∨ p 
 Associativa: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) 
 Identidade: p ∨ t ⇔ t e p ∨ c ⇔ p 
 
5.2.3 Propriedades da Conjunção e Disjunção 
Distributiva: 
 
 p ∧ ( q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Observamos que a conjunção é distributiva em 
relação à disjunção. 
 p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Semelhantemente à disjunção é distributiva em 
relação à conjunção. 
 
Absorção: 
 
 p ∧ (p ∨ q) ⇔ p 
 p ∨ (p ∧ q) ⇔ p 
 
5.2.4 Regras de De Morgan 
As seguintes propriedades versam sobre a negação da conjunção e da 
disjunção. 
 ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q 
 ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
 
 
5.2.5 Negação da Condicional 
 ~(p → q) ⇔ p ∧ ~q. Para verificar a proposição acima basta lembrar a 
equivalência p → q ⇔ ~p ∨ q e negá-la, ~(p → q) ⇔ ~(~p ∨ q) obtendo 
p ∧ ~q . 
 
5.2.6 Negação Bicondicional 
 ~(p ↔ q) ⇔ (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) 
 Para verificar a proposição acima precisamos lembrar a equivalência p ↔ q ⇔
 (p → q) ∧ (q → p). Logo, negando ambos os termos da bicondicional temos 
~(p ↔ q) ⇔ ~ (p → q) ∨ ~(q → p) pela negação da condicional temos ~(p ↔
 q) ⇔ (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q). 
 
5.3 ARGUMENTAÇÃO LÓGICA 
Considere dadas as proposições p, q, r, ... quaisquer, que chamaremos de 
premissas e uma proposição c, que chamaremos de conclusão. Denomina-se 
argumento a relação que associa o valor lógico das premissas com o valor lógico da 
conclusão. 
Os termos premissa e conclusão podem ser substituídos, respectivamente, 
pelos termos hipótese e tese.Chamamos de silogismos os argumentos que tenham somente duas premissas. 
 
Exemplo 17: 
São exemplos de silogismos os seguintes argumentos: 
 
Premissas: p1: Todos os poetas são apaixonados. 
 p2: Todos apaixonados gostam de livros. 
Conclusão: c: Todos os poetas gostam de livros. 
https://bit.ly/3eiJmcg
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 
 
 
Premissas: p1: Todos os baianos são bons dançarinos. 
 p2: Todos bons dançarinos são saudáveis. 
Conclusão: c: Todos os baianos são saudáveis. 
 
5.3.1 Argumento Válido 
Um argumento será denominado válido quando a veracidade da conclusão 
for uma consequência imediata da veracidade das premissas. O termo válido 
também pode ser substituído por legítimo ou bem construído. 
 
 
 
Exemplo 18: 
Observe o argumento: 
“Todas as borboletas fazem chocolate. 
Todos os artistas gostam de ler. 
Ninguém que faz chocolate gosta de ler. 
Portanto, nenhuma borboleta é artista”. 
 O argumento acima está bem construído embora a validade das 
premissas seja discutível. 
É possível verificar de forma mais fácil a validade do argumento pela 
observação do diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
 
 
Podemos perceber que nenhum elemento do conjunto B (borboletas) pode 
pertencer ao conjunto A (artistas). 
 
5.3.2 Argumento Inválido 
Um argumento será denominado inválido quando a veracidade das premissas 
não garantir a veracidade da conclusão. O termo inválido também pode ser 
substituído por ilegítimo, mal construído ou falacioso. 
 
Exemplo 19: 
 “Todas as pessoas felizes gostam de cantar. 
Maria não gosta de cantar. 
Portanto, Maria não é feliz.” 
 
O argumento acima é inválido, pois a veracidade das premissas não garante 
a veracidade da conclusão. 
É possível verificar de forma mais fácil que o argumento é mal construído pela 
observação do seguinte diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
 
 
Uma vez que Maria não gosta de cantar, ela está no conjunto representado 
por C̅. Contudo, não é possível afirmar se ela está na parte do conjunto pintada de 
azul, ou seja, sendo uma pessoa feliz, ou se está na parte pintada de cinza sendo, 
portanto, uma pessoa infeliz. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. Nenhum estudioso é triste. Algum o aluno é estudioso. Assim podemos concluir 
que: 
a) Algum aluno não é estudioso. 
b) O conjunto dos alunos contém o conjunto dos estudiosos. 
c) O conjunto dos estudiosos contém o conjunto dos alunos. 
d) Nenhum aluno é triste. 
e) Pelo menos um aluno não é triste. 
Resposta: e) 
Solução: 
Considere que E represente o conjunto dos estudiosos, T o conjunto dos tristes e A 
o dos alunos. 
A proposição “Nenhum estudioso é triste.” garante que não há interseção entre o 
conjunto dos estudiosos e o dos tristes. Isso pode ser representado pelo diagrama: 
 
Por outro lado, a proposição “Algum o aluno é estudioso” garante que existe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
 
pelo menos um elemento na interseção do conjunto dos alunos com o conjunto dos 
estudiosos, representada pela região pintada de cinza. Desta forma, o elemento que 
está na parte cinza está fora do conjunto T garantindo que pelo menos um aluno não 
é triste. 
 
Importante lembrar que não podemos afirmar se existem ou não elementos 
nas outras partes dos conjuntos. 
 
2. Se eu vou ao cinema então Bruna vai ao teatro. Se Bruna vai ao teatro então 
Cláudia é flautista. Sabe-se que Cláudia não é flautista. Nestas condições, pode-
se concluir que: 
a) Eu vou ao cinema. 
b) Bruna vai ao teatro. 
c) Bruna não é flautista. 
d) Cláudia é flautista. 
e) Eu não vou ao teatro. 
Resposta: e) 
Solução: 
Vamos denotar as proposições da seguinte forma: 
p: Eu vou ao cinema. 
q: Bruna vai ao teatro. 
r: Cláudia é flautista. 
Nessa questão observamos uma cadeia de proposições condicionais: p implica 
q que implica r. Por outro lado, conforme visto no capítulo 4, a proposição p → q 
é equivalente a ~ q → ~ p e semelhantemente, q → r é equivalente a ~ r → ~ q. 
Como sabemos que é verdade a afirmativa ~ r podemos construir a cadeia ~ r →
 ~ q → ~p, ou seja, “Eu não vou ao teatro.”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. (ESAF/AFC/96) Se Beto briga com Glória, então, Glória vai ao cinema. 
Se Glória vai ao cinema, então, Carla fica em casa. 
Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. 
Ora, Raul não briga com Carla, logo: 
 
a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. 
b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. 
c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. 
d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. 
e) Carla fica em casa e Beto não briga com Gloria. 
 
2. Qual das propriedades abaixo diz respeito a seguinte equivalência: 
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p 
a) Distributiva. 
b) Associativa. 
c) Absorção. 
d) Identidade. 
e) Idempotente. 
 
3. (ESAF/AFC/96) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a 
mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então, João é mais moço do 
que Pedro. 
Se João é mais moço que Pedro, então, Carlos é mais velho do que Maria. Ora, 
Carlos não é mais velho do que Maria, então: 
 
a) Carlos é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia têm a mesma idade. 
b) Carlos e João são mais moços do que Pedro. 
c) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que Pedro. 
d) Carlos não é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia não têm a mesma idade. 
e) Carlos é mais velho do que Pedro e Maria e Julia não tem a mesma idade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
4. A propriedade comutativa é válida em todas as proposições exceto: 
 
a) Pedro compra uma moto ou um carro. 
b) Maria compra uma bolsa e um quadro. 
c) Se Pedro compra uma moto então ele compra um carro. 
d) Maria compra um carro se e somente se tiver dinheiro. 
e) Ou João ganha dinheiro ou ele está desempregado. 
 
 
5. (FCC) Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são 
momorrengos. Logo: 
 
a) todos os momorrengos são torminodoros. 
b) alguns torminodoros são momorrengos. 
c) todos os torminodoros são macerontes. 
d) alguns momorrengos são pássaros. 
e) todos os momorrengos são macerontes. 
 
6. (TJ/PE Tec Jud 2007 FCC) Se Guilherme disse a verdade, Gabriela e Lucas 
mentiram. Se Lucas mentiu, Bruna falou a verdade. Se Bruna falou a verdade, Maria 
está dormindo. Ora, Maria não está dormindo. Logo: 
a) Guilherme e Gabriela disseram a verdade. 
b) Lucas e Bruna mentiram. 
c) Lucas mentiu ou Bruna disse a verdade. 
d) Lucas e Gabriela mentiram. 
e) Guilherme e Bruna mentiram. 
 
7. (TJ-PE Anal Jud 2007 FCC) Se Rasputin não tivesse existido, Lenin também não 
existiria. Lenin existiu. Logo, 
a) Lenin e Rasputin não existiram. 
b) Lenin não existiu. 
c) Rasputin existiu. 
d) Rasputin não existiu. 
e) Lenin existiu. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
8. (TCE MG 2007 FCC) Considere como verdadeiras as seguintes premissas: 
 Se Alfeu não arquivar os processos, então Benito fará a expedição de 
documentos. 
 Se Alfeu arquivar os processos, então Carminha não atenderá o público. 
 Carminha atenderá o público. 
 Logo, é correto concluir que: 
 
a) Alfeu arquivará os processos. 
b) Alfeu arquivará os processos ou Carminha não atenderá o público. 
c) Benito fará a expedição de documentos. 
d) Alfeu arquivará os processos e Carminha atenderá o público. 
e) Alfeu não arquivará os processos e Benito não fará a expedição de documentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
TIPOS DE DEMONSTRAÇÃO 
 
 
 
6.1 INTRODUÇÃO 
Até aqui compreendemos o que são as proposições e como relacionar 
proposições por meio de operações lógicas e relações de equivalência. Vamos 
agora entender como todo esse conhecimento discutido é usado para estruturar a 
matemática e todos os seus conceitos e resultados. Os conceitos matemáticos estão 
estruturados na forma de definições, que são uma descriçãodo significado de um 
termo, e também por proposições, argumentos, equivalências lógicas e implicações 
que por vezes precisam ser verificados através de um processo chamado 
demonstração, conforme veremos a seguir. 
 
6.2 PRINCIPAIS ELEMENTOS DA ESTRUTURA MATEMÁTICA 
 Definições: é a descrição do significado de um termo. 
 
Exemplo 20: 
Define-se como triângulo retângulo aquele triângulo que possui um ângulo de 90º. 
 
 Axioma: é uma proposição assumida como verdadeira. É o ponto de partida 
do raciocínio. 
 
Exemplo 21: Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos. 
Esse axioma é o primeiro postulado de Euclides, que é um dos cinco axiomas usados 
como base para desenvolvimento da geometria Euclidiana. 
 
 Teorema: é toda proposição que será sempre verdadeira e cuja validade pode 
ser verificada tomando-se como base definições, axiomas e outras proposições 
já verificadas. O processo de validação de uma proposição é chamado de 
demonstração. Após demonstrada, a proposição passa a ser denominada 
Teorema. 
 
UNIDADE 
06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
Exemplo 22: 
Teorema: Se um triângulo é isósceles então os ângulos de sua base são congruentes. 
Observe que foram usadas duas definições: 
Congruentes: têm a mesma medida 
Triângulo isósceles: possui dois lados congruentes. 
 
 Conjectura: é uma proposição que se supõe verdadeira e que, se for 
comprovada por meio de demonstração, pode ser considerada como 
teorema. 
 
 Demonstração ou prova: é o método que vai verificar se uma conjectura é 
verdadeira ou falsa. Se verdadeira, ela pode ser considerada como teorema. 
 
 
 
Uma das formas de se chegar a um teorema a partir das definições e axiomas 
está ilustrada abaixo. 
 
 
 
Mas é importante lembrar que um teorema pode surgir a partir de outros 
teoremas. 
 
 
6.3 TIPOS DE DEMONSTRAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
 
Existem vários tipos de demonstrações, ou seja, várias formas de se demonstrar 
que uma afirmação matemática é, de fato, um teorema. Podemos citar a 
demonstração direta, demonstração por indução, demonstração por 
contraposição, demonstração por absurdo, dentre outras. 
É importante observar que os teoremas, geralmente, são apresentados na 
forma condicional: Se 𝒑 então 𝒒 , onde 𝑝 e 𝑞 são duas proposições. 
 
Exemplo 23: 
As proposições a seguir são teoremas, pois já foram demonstradas em algum 
momento da história da matemática. 
1. Se um número é ímpar então seu quadrado também é ímpar. 
2. Se um triângulo é retângulo, o quadrado de sua hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados de seus catetos. 
 
Veja a seguir alguns dos tipos de demonstração: 
 
 Demonstração direta: assume-se que a antecedente é verdadeira e conclui-se 
que a consequente também é. Em outras palavras, a conclusão é uma 
consequência imediata da condição. 
 
Exemplo 24: 
Teorema: se um número é par então seu quadrado também é par. 
Demonstração: 
Uma vez que definimos os números pares como os números que são múltiplos 
de 2, podemos afirmar que se um número é par então ele pode ser escrito na forma 
2n em que n é um número inteiro. 
Dessa forma, se elevarmos esse número ao quadrado e usarmos a propriedade 
distributiva da potenciação teremos: 
 
(2n)2 = 4. n2 
 
 
Podemos reescrever o resultado como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
4. n2 = 2. (2n2) 
 
Observe que o resultado é um múltiplo de 2, logo, é um número par, como 
esperávamos demonstrar. 
Como chegamos à conclusão esperada dizemos que o teorema está 
demonstrado. 
 
 Demonstração por contraposição: No capítulo 4 vimos que a proposição p → q 
é equivalente à proposição ~ q → ~ p. A proposição ~ q → ~ p é denominada 
contrapositiva de p → q. 
 
A demonstração por contraposição consiste em provar que p → q é 
verdadeira demonstrando que sua contrapositiva ~ q → ~ p o é. 
 
Exemplo 25: 
Teorema: Se o resultado 𝑚 + 𝑛 é par então ou 𝑚 e 𝑛 são ambos pares ou são ambos 
ímpares. 
Demonstração: 
A contrapositiva da proposição acima é: Se m é ímpar e n é par, ou se m é par 
e n é ímpar, então m + n é ímpar. 
Vamos começar pelo caso em que m é ímpar e n é par. 
Podemos escrever m e n nas formas m = 2k + 1 e n = 2l em que k e l 
representam números inteiros. 
Dessa forma temos: 
 
m + n = (2k + 1) + 2l 
 
com algumas manipulações algébricas obtemos: 
 
m + n = 2k + 2l + 1 
m + n = 2(k + l) + 1 
 
que é ímpar, pois é um múltiplo de 2 acrescido de 1. 
Analogamente, se supomos m par e n é ímpar teremos m = 2k e n = 2l + 1 em 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
 
que k e l representam números inteiros. Somando m e n obtemos: 
 
m + n = 2k + (2l + 1) = 2(k + l) + 1 
 
que é ímpar, pois é um múltiplo de 2 acrescido de 1. 
 
Concluímos que a contrapositiva é verdadeira e, portanto, o teorema está 
demonstrado. 
 
 
 
 Demonstração por indução: Considere um conjunto que tenha um primeiro 
elemento e que todo elemento desse conjunto tenha um sucessor. 
 
A demonstração por indução consiste em demonstrar que se uma dada 
afirmação vale para um elemento do conjunto então ela vale para o sucessor desse 
elemento. Desta forma, verificando que a afirmação vale para o primeiro elemento 
do conjunto, pode-se afirmar que vale para todos os sucessores e, portanto, que vale 
para todo o conjunto. 
Se todo elemento tiver um sucessor e um antecessor, será necessário provar 
que a afirmação vale para o sucessor e o antecessor de qualquer elemento e que 
vale para um elemento do conjunto. 
 
 
 
 
Exemplo 26: 
Teorema: A soma 𝑆 dos 𝑛 primeiros números naturais pode ser dada pela expressão: 
https://bit.ly/2RvzkeM
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
 
S =
n(n + 1)
2
 
 
Consideramos aqui que o primeiro número natural é o 1. 
Demonstração: 
 
Se n = 1 teremos S =
1(1+1)
2
⇒ S =
1.2
2
⇒ S = 1 . Vemos que a propriedade é 
válida para o primeiro elemento do conjunto. 
Suponha que a propriedade seja válida para 𝑛 = 𝑘 sendo 𝑘 um natural 
qualquer, ou seja, que: 
 
1 + 2 + ⋯ + k =
k(k + 1)
2
 
 
A afirmação acima será denominada hipótese 
Vamos provar que a propriedade é válida para o sucessor de k, ou seja, n =
k + 1 
A soma dos k + 1 primeiros números pode ser escrita como: 
 
1 + 2 + ⋯ + k + (k + 1) 
 
Usando a hipótese teremos: 
 
1 + 2 + ⋯ + k + (k + 1) =
k(k + 1)
2
+ k + 1 
 
Fazendo as devidas manipulações algébricas teremos: 
 
1 + 2 + ⋯ + k + (k + 1) =
k(k + 1) + 2k + 2
2
 
1 + 2 + ⋯ + k + (k + 1) =
k(k + 1) + 2(k + 1)
2
 
1 + 2 + ⋯ + k + (k + 1) =
(k + 1). (k + 2)
2
 
1 + 2 + ⋯ + k + (k + 1) =
(k + 1). ((k + 1) + 1)
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
 
Observe que se você colocar n no lugar de (k + 1)a última expressão assume 
a forma 
n(n+1)
2
 mostrando, portanto, que a propriedade é válida para n = k + 1, como 
esperávamos demonstrar. 
 
 Demonstração por absurdo: Na demonstração por absurdo, para provar que 
𝑝 → 𝑞 é verdadeira, vamos supor que essa proposição seja falsa, ou seja, que 
sua negação seja verdadeira. Dessa forma, chegaremos numa conclusão 
contraditória, ou seja, absurda. 
 
Exemplo 27: 
Considere o teorema abaixo que já foi demonstrado na história da matemática. 
Vamos fazer sua demonstração por absurdo. 
Teorema: Todo número primo maior do que 2 é ímpar. 
Demonstração: 
Um número natural será definido como um número primo se ele possuir 
exatamente dois divisores que são o 1 e o próprio número. 
Vamos supor, por absurdo, que a negação do teorema é que seja verdadeira, 
ou seja, que exista pelo menos um número primo maior que 2 que seja par. Se 
chamarmos esse suposto primo de P, como ele é par, poderá ser escrito da forma P =
2n em que n é um número natural. Observe que nesse caso, P terá como divisores os 
números naturais 2, 2k, e 1. Mas isso é um absurdo, pois um número primo tem 
exatamente 2 divisores naturais distintos. Dessa forma, concluímosque a proposição 
inicial é que é verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Das opções abaixo, qual delas é uma definição? 
 
a) Se é um paralelogramo então suas diagonais se cortam no ponto médio. 
b) A razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente é denominado tangente. 
c) Se 𝑚 e 𝑛 são números pares então a soma dos dois é um número par. 
d) Todo triângulo equilátero é Isósceles 
e) Se 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 então suas raízes serão 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
2. Os axiomas são: 
 
a) Teoremas com demonstrações. 
b) Definições dos conceitos primitivos. 
c) Demonstrações dos conceitos primitivos. 
d) Proposições aceitas como verdadeiras, sem a necessidade de uma 
demonstração. 
e) Proposições que não são verdadeiras. 
 
3. Nesse tipo de demonstração, possível apenas para um subconjunto dos inteiros, 
testamos a validade para os primeiros casos, depois, consideramos verdadeiros os 
𝐾 primeiros casos e vamos verificar a validade do caso 𝐾 + 1. Tal demonstração é 
denominada 
 
a) Demonstração direta. 
b) Demonstração por absurdo. 
c) Demonstração por contra positiva. 
d) Demonstração por indução. 
e) Demonstração por indireta. 
 
4. Veja a seguinte demonstração do seguinte Teorema: 
“Se n é ímpar então 𝑛2 também é ímpar” 
Podemos escrever 𝑛 na forma 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ 𝑍, uma vez que por hipótese ele 
é ímpar. Vamos proceder o quadrado de 𝑛 e julgar sua paridade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 
 
n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 
 
Vamos chamar (2k2 + 2k) de m então: 
 
n2 = 2(2k2 + 2k) + 1 = 2m + 1 
 
Note que 2m + 1 realmente é um número ímpar, como queríamos demonstrar. Tal 
demonstração é uma: 
 
a) Demonstração direta. 
b) Demonstração por absurdo. 
c) Demonstração por contra positiva. 
d) Demonstração por indução. 
e) Demonstração por indireta. 
 
5. Esse tipo de demonstração usa uma equivalência lógica para validar um teorema, 
tal equivalência pode ser escrita como: 
 
p → q ↔ ~q → ~p 
Tal demonstração é uma: 
 
a) Demonstração direta. 
b) Demonstração por absurdo. 
c) Demonstração por contra positiva. 
d) Demonstração por indução. 
e) Demonstração por indireta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
6. Veja a seguinte demonstração: 
 
 
Podemos dizer que se trata de: 
 
a) Uma demonstração direta das soluções de uma equação do segundo grau. 
b) Uma demonstração direta do teorema de Pitágoras. 
c) Uma demonstração por indução do teorema de Pitágoras. 
d) Uma demonstração por indução das soluções de uma equação do segundo grau. 
e) Uma demonstração por absurdo das soluções de uma equação do segundo grau. 
 
7. Em algumas demonstrações, se algum dos passos dados for incorreto, a 
demonstração chega a resultados absurdos. Veja: 
 
a = b (1) 
a2 = ba (2) 
a2 − b2 = ba − b2 (3) 
(a − b)(a + b) = b(a − b) (4) 
a + b = b (5) 
a + a = a (6) 
2a = a (7) 
2 = 1 (8) 
 
Em qual dos momentos numerados acima foi efetuada alguma operação 
incorreta ou indevida que fez a sequência finalizar em um absurdo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
 
a) 5. 
b) 4. 
c) 7. 
d) 3. 
e) 2. 
 
8. Após a demonstração de uma conjectura, ela será considerada como: 
 
a) um axioma. 
b) uma definição. 
c) um postulado. 
d) outra conjectura. 
e) um teorema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
 
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO 
 
UNIDADE 01 
 
 
 
UNIDADE 02 
 
QUESTÃO 1 D QUESTÃO 1 C 
QUESTÃO 2 C QUESTÃO 2 C 
QUESTÃO 3 D QUESTÃO 3 B 
QUESTÃO 4 B QUESTÃO 4 B 
QUESTÃO 5 D QUESTÃO 5 D 
QUESTÃO 6 B QUESTÃO 6 C 
QUESTÃO 7 E QUESTÃO 7 B 
QUESTÃO 8 B QUESTÃO 8 D 
 
 
UNIDADE 03 
 
 
 
 
UNIDADE 04 
 
QUESTÃO 1 B QUESTÃO 1 D 
QUESTÃO 2 A QUESTÃO 2 C 
QUESTÃO 3 A QUESTÃO 3 D 
QUESTÃO 4 B QUESTÃO 4 E 
QUESTÃO 5 E QUESTÃO 5 D 
QUESTÃO 6 D QUESTÃO 6 C 
QUESTÃO 7 A QUESTÃO 7 E 
QUESTÃO 8 D QUESTÃO 8 E 
 
 
UNIDADE 05 
 
 
 
UNIDADE 06 
 
QUESTÃO 1 A QUESTÃO 1 B 
QUESTÃO 2 C QUESTÃO 2 D 
QUESTÃO 3 D QUESTÃO 3 D 
QUESTÃO 4 C QUESTÃO 4 A 
QUESTÃO 5 B QUESTÃO 5 C 
QUESTÃO 6 E QUESTÃO 6 A 
QUESTÃO 7 C QUESTÃO 7 A 
QUESTÃO 8 C QUESTÃO 8 E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
 
REFERÊNCIAS 
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002. 
BARBOSA, M. A. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: 
Intersaberes, 2017. 
BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B. Introdução a Lógica Matemática. São Paulo: 
Cengage Learning, 2011. 
CUNHA, F. G. M. Lógica e conjuntos. Fortaleza: UAB/IFCE, 2008. 
PIANEZZER, G. A. Lógica Matemática. Curitiba: Contentus, 2020. 
RODRIGUES, J. Álgebra das Proposições. Universidade Federal do Espírito Santo 
Centro de Ciências Agrárias – Departamentos de Computação, Vitória, 2013.