SEBENTA 100 LIMITES (CÁLCULO 1) ESCR

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ESTUDANTECARNEIRO.COM
CÁLCULO
DIFERENCIAL
1
100
limites
 
 
 
estudante
carneiro
 
CÁLCULO  1
100 LIMITES RESOLVIDOS &
EXERCICIOS SOBRE CONTINUIDADE
 
estudante
carneiro
 
100 limites
estudante_carneiro
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ESTUDANTE CARNEIRO 
Quem somos?... 
O Estudante Carneiro é um projeto de carácter estudantil formado por 
jovens estudantes com o objetivo de ajudar todo e qualquer estudante 
a atingir o seu sucesso estudantil. 
 
Os objectivos específicos do projeto são: 
• Capacitar os estudantes, de modo a prepara-los para os desafios 
que lhes serão propostos; 
• Promover o espírito de união, companheirismo e irmandade; 
• Auxiliar os estudantes com as nossas sebentas, vídeo-aulas e livros. 
 
PREFÁCIO 
Esta sebenta é intitulada “100 LIMITES” por conter 100 limites resolvidos, e 
não só, como também alguns exercícios sobre continuidade. A sebenta 
consiste em mostrar as diversas formas de calcular limites, mostrando a 
resolução passo-a-passo. 
 
P á g i n a | 4 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIMITES 
 
 
É possível que todos 
já ouvimos falar de 
limites, ou seja, da 
palavra “limite” no 
nosso dia-a-dia um 
exemplo é quando 
estamos olhando 
para o mar maior 
parte das pessoas faz 
a seguinte questão: 
SERÁ QUE O MAR 
TEM LIMITE? 
 
 Quando estamos chateados com 
alguém e dissemos: “Olha que a 
Paciência tem LIMITE! 
A palavra LIMITE é 
destacada no 
quotidiano. Mais em 
Matemática o que será 
isso, denominado 
LIMITES?? 
 
P á g i n a | 5 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
O limite é o valor do qual a função se aproxima quando sua variável tende a um valor. 
Por exemplo: seja a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, na qual daremos valores a x que se aproxime a 2, a 
esquerda e a direita (menores e maiores que 2): 
Valores a direita Valores a esquerda 
x y x y 
2,4 5,8 1,6 4,2 
2,2 5,4 1,75 4,5 
2,1 5,2 1,8 4,6 
Se a função tende para 5 ( 𝑓(𝑥) → 5 ) dizemos que o limite da função é 5 quando x tenda 
a 2 (𝑥 → 5). Embora possam ocorrer casos em que o valor de f(x) não seja 5, de forma geral 
temos: 
 
 
 
 
 
Em todos os casos sobre limites a primeira coisa que devemos fazer é substituir o valor 
da tendência na função. 
No cálculo de limites serão consideradas os símbolos de mais infinito ( +∞) e menos 
infinito (−∞), que representam quantidades de módulo infinitamente grande. É conveniente 
salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim, uma tendência de uma variável, 
ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite. 
Notamos que, a medida que x se aproxima 
de 2 (de cima para baixo), y, ou seja, a 
função, se aproxima de 5 (na mesma 
ordem), chama-se aproximação intuitiva, 
nem é necessário que x assuma o valor de 
2. 
Olhando para a notação temos: 
quando 𝒙 → 𝒂, 𝒇(𝒙) → 𝒃. 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝒃 
 
Teoricamente lê-se “limite da função f(x) quando x tende para a é igual a b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seta (→) lê-se TENDE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultado do limite 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
Devemos considerar que: (a ϵ ℝ) 
 ±𝒂 ± ∞ = ±∞ +∞+∞ = +∞ −∞−∞ = −∞ 
(∞) × (∞) = +∞ 
(−∞) × (−∞) = +∞ 
Nos casos em que, por aplicação direta do teorema sobre limites, são conduzidos aos 
símbolos: 
Estes são chamados de símbolos de indeterminação. No qual quando nos depararmos 
com estes símbolos temos que seguir outro caminho para encontrar o valor do limite, isto é, 
levantar a indeterminação. 
As indeterminações podem ser levantadas por processos algébricos ou por meio de 
derivadas. 
Os processos algébricos que podem ser usados para cada caso são: 
✓ Factorização; 
✓ Racionalização; 
✓ Limites fundamentais; 
✓ Substituição de variáveis; 
✓ Fórmulas trigonométricas. 
PROPRIEDADE DOS LIMITES 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) × 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
lim
𝑥→𝑎
(
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
) =
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
 lim𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)
𝑛
= √lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑛 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑠𝑒𝑛 [𝑓(𝑥)] = sen [lim
𝑥→𝑎
 𝑓(𝑥)], também é aplicável para o logaritmo natural, e outras 
identidades trigonométricas. 
 
±∞
±∞
 ; ∞ −∞ ; ∞𝟎 ; 𝟎𝟎 ; 𝟏∞ ; ±∞ ∗ 𝟎 ;
𝟎
𝟎
 
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Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIMITES 
FUNDAMENTAIS 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒙
= 𝟏 
𝐥𝐢𝐦
𝒇(𝒙)⟶𝟎
[
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒇(𝒙))
𝒇 (𝒙)
] = 𝟏 
Trigonométricos 
Exponencial e 
Logarítmicas 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶∞
(𝟏 +
𝟏
𝒙
)
𝒙
= 𝒆 
𝐥𝐢𝐦
𝒚⟶𝟎
(𝟏 + 𝒚)
𝟏
𝒚 = 𝒆 
𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝟎
(
𝒂𝒙 − 𝟏
𝒙
) = 𝐥𝐧 (𝒂) 
Exemplo: 
lim
𝑥⟶0
(
𝑒𝑥 − 1
𝑥
) = ln(𝑒) = 1 
 
Exemplo: 
lim
𝑥⟶0
(
𝑆𝑒𝑛(3𝑥)
𝑥
) = lim
3𝑥⟶0
(3
𝑆𝑒𝑛(3𝑥)
3𝑥
) 
= 3 lim
3𝑥⟶0
(
𝑆𝑒𝑛(3𝑥)
3𝑥
) = 3 
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Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Truques e métodos de 
resolver limites 
 FACTORIZAÇÃO 
Factorização é um processo utilizado na matemática que consiste em 
representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Ao 
escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, 
frequentemente conseguimos simplificar a expressão. 
Formas de factoração nos limites 
Exemplo 1: Usando as fórmulas algébricas 
 
lim
𝑥→1
𝑥2 − 2𝑥 + 1
𝑥2 − 1
 
 É possível verificar que o numerador 
 e o denominador podem ser escritos 
 em multiplicação de polinómios assim 
 sendo para o numerador: 
 x2 -2x+1=(x-1)2 
Para o denominador: X2 – y2 =(x-1).(x+1) 
Assim sendo: 
lim
𝑥→1
𝑥2 − 2𝑥 + 1
𝑥2 − 12
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)2
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= lim
𝑥→1
𝑥 − 1
(𝑥 + 1)
=
1 − 1
1 + 1
=
0
2
= +∞ 
 
 Fórmulas algébricas 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏) × (𝑎 − 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2: Usando o método de Briot Ruffini 
lim
𝑥→1
𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2
𝑥2 − 3𝑥 + 2
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
 
 
 
 
 
lim
𝑥→1
𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2
𝑥2 − 3𝑥 + 2
 
Para o numerador: 
𝟏 𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
lim
𝑥→1
𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2
𝑥2 − 3𝑥 + 2
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 2)
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
= lim
𝑥→1
(𝑥2 − 2𝑥 + 2)
𝑥 − 2
 
=
(12 − 2(1) + 2)
1 − 2
=
1
−1
= −1 
 
 
 
 
 
 
 Briott Ruffini 
A regra de Ruffini é usada para resolver equações de terceiro grau ou 
maiores. Para resolver equações de primeiro grau usamos um método, para 
equações de segundo grau outro método é usado e para resolver equações 
de terceiro grau ou maiores, ou em outras palavras, para equações maiores 
que dois graus, o método de Ruffini é usado. Com este método também é 
possível obter a função decomposta. 
 
 
 
 
 
 
1 -3 4 -2 
1 - 2 2 0 
Esse x tendendo a 
1 é o mesmo que 
dizer x=1 e este 
valor é uma das 
raízes da equação 
 
1 1 -2 2 
𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 2 = (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐)(𝒙− 𝟏) = 𝟎 
O grau é diminuído de 3 para 2 
x 
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 RACIONALIZAÇÃO 
É um método de eliminação de raízes que resolve alguns problemas de 
limites, aplicando o conjugado ou um outro artifício matemático de 
modo a levantar-se a indeterminação do limite em questão. 
Os limites envolvendo radicais (raízes) se da usando a racionalização 
(criando raízes) e desracionalizando (removendo raízes). Usamos a 
racionalização quando a raiz se encontra no divisor (na parte de baixo da 
divisão) como vemos no exemplo: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒙 − 𝟏
√𝒙 − 𝟏
=
𝟎
𝟎
 (𝒊𝒏𝒅. ) 
= lim
𝑥→1
𝑥 − 1
√𝑥 − 1
× 
√𝑥 + 1
√𝑥 + 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(√𝑥 + 1)
(√𝑥 − 1)(√𝑥 + 1)
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(√𝑥 + 1)
(√𝑥)2 − (1)2
 
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(√𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)
= lim
𝑥→1
(√𝑥 + 1) = (√1 + 1) = 2 
Em geral, os exercícios de Limites envolvendo raiz são elaborados na forma 
de uma divisão (razão), na qual o termo que possui a raiz pode estar tanto 
no numerador quanto no denominador. 
 
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 Teorema de Sanduíche ou Teorema de Confronto 
Este teorema é pouco abordado quando se 
fala de limites mais é muito importante. 
Quando a pessoa ouve pela primeira vez fica 
impressionada e muitos chegam a pensar em 
uma sanduíche mesmo. Mais é um teorema 
que ajuda imenso em resolução de limites. 
 
Exemplo: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒙
 
 
−𝟏 ≤ 𝒔𝒆𝒏(𝒙) ≤ +𝟏 
 
Portanto, (dividir tudo por x); 
−
1
𝑥
≤
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
≤
1
𝑥
 
 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒: − lim
𝑥→∞
1
𝑥
≤ lim
𝑥→∞
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
≤ lim
𝑥→∞
1
𝑥
 
−lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 0 = lim
𝑥→∞
1
𝑥
 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 lim
𝑥→∞
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 0 
 
 . 
 
 
 
Por causa das propriedades bem conhecidas 
da função senoidal. Como estamos 
calculando o limite quando x chega ao 
infinito, é razoável supor que x > 0. 
Primeira nota é que: 
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 Regra de L'Hopital 
A regras de L'Hopital é uma regra para calcular limites indeterminados, da 
forma 0/0 ou ∞/∞, usando derivadas. 
 
Se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 tem uma forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞, então: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
 Caso o limite lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 exista (sendo finito ou infinito). O mesmo vale se a é 
substituído por a+ ou a- ou se a=−∞ 𝑜𝑢 +∞ 
Exemplo: Resolvendo pela forma normal: 
lim
𝑥→2
𝑥2 − 𝑥 − 2
3𝑥2 − 5𝑥 − 2
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→2
𝑥2−𝑥−2
3𝑥2−5𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑥−2)(𝑥+1)
(3𝑥+1)(𝑥−2)
= lim
𝑥→2
(𝑥+1)
(3𝑥+1)
=
(2+1)
(3(2)+1)
=
3
7
 
Resolvendo pela regra de L’Hopital: 
lim 
𝑥→2
 
𝑥2 − 𝑥 − 2
3𝑥2 − 5𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
 
(𝑥2 − 𝑥 − 2),
(3𝑥2 − 5𝑥 − 2),
= lim 
𝑥→2
 
2 𝑥 − 1
6𝑥 − 5
=
2 (2) − 1
6(2) − 5
=
3
7
 
 
 ENTRE OUTROS MÉTODOS E TRUQUES DESCRITOS NA 
RESOLUÇÃO DOS 100 LIMITES 
 
P á g i n a | 13 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
100 LIMITES RESOLVIDOS 
 
 
Resolução: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
(𝒙𝟐 − 𝟒) = (2)2 − 4 = 4 − 4 = 0 
 
 
Resolução: 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏
𝒙𝟑
(𝒙+𝟏)𝟐
=
(−1)3
(−1+1)2
= −
1
(0)2
= −
1
0
= −∞ 
 
Resolução: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒙𝟑 − 𝟒𝒙
𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙
=
03 − 4 × 0
2 × (0)2 + (3 × 0)
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
lim
𝑥→0
𝑥3 − 4𝑥
2𝑥2 + 3𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥(𝑥2 − 4)
𝑥(2𝑥 + 3)
= lim
𝑥→0
(
𝑥2 − 4
2𝑥 + 3
) =
02 − 4
0 + 3
= −
4
3
 
 
 
 Resolução: 
lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
=
22 − 4
2 − 2
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
 
 
lim
𝑥→2
(𝑥−2)(𝑥+2)
(𝑥−2)
= lim
𝑥→2
(
𝑥+2
1
) = 2 + 2 = 4 
DICA: Quando temos uma indeterminação, é necessário que se encontre uma maneira de 
resolver o limite. 
 
LÓGICA: No numerador temos uma diferença de quadrados: 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 + 𝒃) 
Basta reescrevermos o 4 como 22 , temos: 𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝟐 = (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐) , então: 
então: 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
 (𝒙𝟐 − 𝟒) 1 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏
 
𝒙𝟑
(𝒙 + 𝟏)𝟐
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒙𝟑 − 𝟒𝒙
𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
 
𝒙𝟐 − 𝟒
𝒙 − 𝟐
 
2 
3 
4 
P á g i n a | 14 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
Resolução: 
lim
𝑥→−1
(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)
𝑥3 + 1
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏
(𝒙 + 𝟏)𝟐(𝒙 − 𝟏)
𝒙𝟑 + 𝟏
= lim
𝑥→−1
(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)
(𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)
 
 = lim
𝑥→−1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(𝑥2 − 𝑥 + 1)
=
(−1 + 1)(−1 − 1)
(−1)2 − (−1) + 1
=
0
3
= 0 
 
 
Resolução: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑
(𝒙 − 𝟏)𝟐
=
12 + (2 × 1) + 3
(1 − 1)2
=
6
0
= + ∞ 
 
 
 
Resolução: 
lim
𝑥→0
𝑥4 − 4𝑥3 + 𝑥2
𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝒙𝟐
𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙
= lim
𝑥→0
𝑥(𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥)
𝑥(𝑥2 + 𝑥 + 1)
= lim
𝑥→0
(
𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥
𝑥2 + 𝑥 + 1
) 
 =
03 − (4 × 02) + 0
02 + 0 + 1
=
0
1
= 0 
LÓGICA: No denominador temos uma soma de cubos: 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐) 
Basta reescrevermos o 1 como 13 , temos: 𝒙𝟑 + 𝟏𝟑 = (𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝒙. 𝟏 + 𝟏𝟐) 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏
 
(𝒙 + 𝟏)𝟐(𝒙 − 𝟏)
𝒙𝟑 + 𝟏
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
 
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑
(𝒙 − 𝟏)𝟐
 
5
 
6 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝒙𝟐
𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙
 7 
P á g i n a | 15 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
Resolução: lim
𝑥→−1
𝑥3+𝑥2+𝑥+1
𝑥4+𝑥2−2
=
0
0
 , (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏
𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏
𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 − 𝟐
= lim
𝑥→−1
(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)
(𝑥2 − 1)(𝑥2 + 2)
= lim
𝑥→−1
(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥2 + 2)
 
= lim
𝑥→−1
(𝑥2 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 2)
=
1 + 1
(−1 − 1)((−1)2 + 2)
=
2
−6
= −
1
3
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
3𝑥+2𝑥−1
𝑥+4𝑥−1
=
3×0+
2
0
0+
4
0
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟑𝒙 + 𝟐𝒙−𝟏
𝒙 + 𝟒𝒙−𝟏
= lim
𝑥→0
3𝑥 +
2
𝑥
𝑥 +
4
𝑥
= lim
𝑥→0
3𝑥2 + 2
𝑥
𝑥2 + 4
𝑥
= lim
𝑥→0
(3𝑥2 + 2)𝑥
(𝑥2 + 4)𝑥
 
lim
𝑥→0
(3𝑥2 + 2)𝑥
(𝑥2 + 4)𝑥
= lim
𝑥→0
(3𝑥2 + 2)
(𝑥2 + 4)
=
(3 × 02) + 2
02 + 4
=
2
4
=
1
2
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→−2
3𝑥+6
𝑥3+8
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟐
𝟑𝒙 + 𝟔
𝒙𝟑 + 𝟖
= lim
𝑥→−2
3𝑥 + 6
(𝑥2 − 2𝑥 + 4)(𝑥 + 2)
= lim
𝑥→−2
3(𝑥 + 2)
(𝑥2 − 2𝑥 + 4)(𝑥 + 2)
 
= lim
𝑥→−2
3(𝑥 + 2)
(𝑥2 − 2𝑥 + 4)(𝑥 + 2)
= lim
𝑥→−2
3
(𝑥2 − 2𝑥 + 4)
=
3
4 − (−2) + 4
 
=
3
4 + 4 + 4
=
3
12
=
1
4
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏
 
𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏
𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 − 𝟐
 8 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝟑𝒙 + 𝟐𝒙−𝟏
𝒙 + 𝟒𝒙−𝟏
 9 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟐
 
𝟑𝒙 + 𝟔
𝒙𝟑 + 𝟖
 10 
P á g i n a | 16 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
(𝑥+3)3−27
𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(𝒙 + 𝟑)𝟑 − 𝟐𝟕
𝒙
= lim
𝑥→0
𝑥3 + 9𝑥2 + 27𝑥 + 27 − 27
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥3 + 9𝑥2 + 27𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥 (𝑥2 + 9𝑥 + 27)
𝑥
= lim
𝑥→0
 (𝑥2 + 9𝑥 + 27) = 27 
 
 Resolução: lim
𝑥→4
𝑥2−16
√𝑥−2
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟒
𝒙𝟐 − 𝟏𝟔
√𝒙 − 𝟐
= lim
𝑥→4
𝑥2 − 16
√𝑥 − 2
×
√𝑥 + 2
√𝑥 + 2
 
= lim
𝑥→4
(𝑥2 − 16)(√𝑥 + 2)
(√𝑥)
2
− 22
= lim
𝑥→4
(𝑥2 − 16)(√𝑥 + 2)
𝑥 − 4
 
 
 
 
= lim
𝑥→4
(𝑥2 − 16)(√𝑥 + 2)
𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)(√𝑥 + 2)
(𝑥 − 4)
= lim
𝑥→4
(𝑥 + 4)(√𝑥 + 2) 
 
= (4 + 4)(√4 + 2) = 32 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
(𝒙 + 𝟑)𝟑 − 𝟐𝟕
𝒙
 11 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟒
 
𝒙𝟐 − 𝟏𝟔
√𝒙 − 𝟐
 12 
LÓGICA: O caminho mais comum de levantar este tipo de indeterminação onde envolve raiz 
no numerador ou no denominador é aplicar a técnica do conjugado, que consiste em multiplicar 
o numerador e o denominador pelo conjugado daquele que contém a raiz: 
 
 
 
Repare que no denominador 
temos uma diferença de 
quadrados: 
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐= (𝒂 − 𝒃)(𝒂 + 𝒃) 
Repare que no numerador podemos transformar o termo 𝑥2 − 16 , pois é uma diferença de 
quadrados: 𝑥2 − 42 = (𝑥 − 4)(𝑥 + 4). 
 
P á g i n a | 17 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→3
𝑥−3
√4−𝑥
3
−1
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
 
 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑
𝒙 − 𝟑
√𝟒 − 𝒙
𝟑
− 𝟏
= lim
𝑦→1
1 − 𝑦3
𝑦 − 1
=
0
0
 
 
 
 = lim
𝑦→1
(1−𝑦)(12+𝑦+𝑦2)
𝑦−1
 
 
= lim
𝑦→1
−(𝑦−1)(1+𝑦+𝑦2)
𝑦−1
= lim
𝑦→1
−(1 + 𝑦 + 𝑦2) = −(1 + 1 + 12) = −3 
 
 
Resolução: lim
𝑥→8
 
𝑥−8
√𝑥
3
−2
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟖
 
𝒙 − 𝟖
√𝒙
𝟑
− 𝟐
= lim
𝑦→2
𝑦3 − 8
𝑦 − 2
 
 
 = lim
𝑦→2
(𝑦−2)(𝑦2+𝑦.2+22)
(𝑦−2)
= lim
𝑦→2
 (𝑦2 + 2𝑦 + 4) = (22 + 2(2) + 4) = 12 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑
 
𝒙 − 𝟑
√𝟒 − 𝒙
𝟑
− 𝟏
 13 
LÓGICA: Existe uma outra forma de levantar este tipo de indeterminação envolvendo raiz 
no numerador e no denominador aplicando uma técnica muito útil que é a mudança de 
variável. 
A mudança de variável para este tipo de limite é: 𝒚 = √𝟒 − 𝒙
𝟑
 elevando ao cubo os dois 
membros temos 𝒚𝟑 = 𝟒 − 𝒙 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑣á𝑟𝑖𝑎𝑣𝑒𝑙 𝑥 , 𝒙 = 𝟒 − 𝒚𝟑. 
Lembrando que também devemos transformar a tendência dada quando equação x→ 3 
então x=3 substituindo em 𝒚 = √𝟒 − 𝒙
𝟑
 temos 𝒚 = √𝟒 − 𝟑
𝟑
 = 1 assim sendo 𝑦 → 1. 
 
Substituindo obtém-se um novo limite similar ao primeiro 
Repare que no numerador temos uma diferença de cubos: ( 𝑎3 − 𝑏3) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
Basta reescrevemos o 1 como 13 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 : ( 13 − 𝑦3) = (1 − 𝑦)(12 + 𝑦. 1 + 𝑦2) 
 
Fatorizando o sinal do primeiro termo (𝟏 − 𝒚) 
e reorganizando os termos temos: −(𝒚 − 𝟏) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟖
 
𝒙 − 𝟖
√𝒙
𝟑
− 𝟐
 14 
Lógica: Aplicar a técnica de mudança de variável 
Aplicando a técnica de mudança de variável temos: 
𝑦 = √𝑥
3
 elevando ao cubo os dois membros 𝑦3 = 𝑥 
𝑥 → 8 temos que 𝑦 → 2 
Substituindo temos: 
 
Repare que no numerador temos uma 
diferença de cubos: 
 ( 𝑎3 − 𝑏3) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
Basta reescrevemos o 8 como 23 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 
𝑦3−8 = ( 𝑦3 − 23) = (𝑦 − 2)(𝑦2 + 𝑦. 2 + 22) 
 
 
P á g i n a | 18 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→0
√5+𝑥
3
− √5
3
𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
√𝟓 + 𝒙
𝟑
− √𝟓
𝟑
𝒙
= lim
y→ √5
3
y − √5
3
y3 − 5
= lim
y→ √5
3
y − √5
3
(y − √5
3
)(y2 + y√5
3
+ √52
3
)
 
= lim
y→ √5
3
1
y2 + y√5
3
+ √52
3 =
1
(√5
3
)
2
+ √5
3
× √5
3
+ √52
3
 
=
1
√52
3
+ √52
3
+ √52
3 =
1
3√52
3 
 
 
Resolução: lim
𝑥→1
(
1
1−𝑥
−
3
1−𝑥3
) = ∞ −∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
(
𝟏
𝟏 − 𝒙
−
𝟑
𝟏 − 𝒙𝟑
) = lim
𝑥→1
(1 − 𝑥3) − 3(1 − 𝑥)
(1 − 𝑥)(1 − 𝑥3)
=
0
0
(𝑖𝑛𝑑. ) 
= lim
𝑥→1
1 − 𝑥3 − 3 + 3𝑥
(1 − 𝑥)(1 − 𝑥3)
= lim
𝑥→1
−𝑥3 − 2 + 3𝑥
(1 − 𝑥)(1 − 𝑥3)
= lim
𝑥→1
(2 − 𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 1)
−(𝑥 − 1)(1 − 𝑥3)
 
= lim
𝑥→1
𝑥2 + 𝑥 − 2
1 − 𝑥3
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
(−𝑥2 − 𝑥 − 1)(𝑥 − 1)
=
1 + 2
−1 + 1 − 1
= −3 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
√𝟓 + 𝒙
𝟑
− √𝟓
𝟑
𝒙
 15 
LÓGICA: Aplicando a técnica de mudança de variável temos: 
𝑦 = √5 + 𝑥
3
 elevando ao cubo os dois membros 𝑦3 = 5 + 𝑥 e 𝑥 = 𝑦3 − 5 
𝑥 → 0 temos que 𝑦 → √5
3 
Substituindo temos: 𝐥𝐢𝐦
𝒚→ √𝟓
𝟑
(
𝒚− √𝟓
𝟑
𝒚𝟑−𝟓
) 
Podemos reescrever o denominador com sendo uma diferença de cubos: 
(𝐲𝟑 − (√𝟓
𝟑
)
𝟑
) = (𝐲 − √𝟓
𝟑
) (𝐲𝟐 + 𝐲√𝟓
𝟑
+ √𝟓𝟐
𝟑
) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
(
𝟏
𝟏 − 𝒙
−
𝟑
𝟏 − 𝒙𝟑
) 16 
P á g i n a | 19 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 Resolução: lim
𝑥→1
(
1
𝑥2−1
−
2
𝑥4−1
) = ∞ −∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
(
𝟏
𝒙𝟐 − 𝟏
−
𝟐
𝒙𝟒 − 𝟏
) = lim
𝑥→1
(𝑥4 − 1) − 2(𝑥2 − 1)
(𝑥2 − 1)(𝑥4 − 1)
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
= lim
𝑥→1
𝑥4 − 1 − 2𝑥2 + 2
(𝑥2 − 1)(𝑥4 − 1)
= lim
𝑥→1
𝑥4 − 2𝑥2 + 1
(𝑥2 − 1)(𝑥4 − 1)
= lim
𝑥→1
(𝑥2 − 1)(𝑥2 − 1)
(𝑥2 − 1)(𝑥4 − 1)
 
 = lim
𝑥→1
(𝑥2−1)(𝑥2−1)
(𝑥2−1)(𝑥4−1)
= lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥4−1
= lim
𝑥→1
𝑥2−1
(𝑥2−1)(𝑥2+1)
= lim
𝑥→1
(
1
𝑥2+1
) =
1
2
 
 
 Resolução: lim
𝑥→∞
𝑥2−1
2𝑥2+1
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
lim
𝑥→∞
𝑥2 − 1
2𝑥2 + 1
= lim
𝑥→∞
 [
𝑥2 (1 −
1
𝑥2
)
2 𝑥2 (1 +
1
2𝑥2
)
] 
= lim
𝑥→∞
(1 −
1
𝑥2
)
(1 +
1
2𝑥2
)
=
1 −
1
∞2
2 (1 +
1
2(∞2)
)
=
1 − 0
2 (1 + 0)
=
𝟏
𝟐
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
4𝑥3+𝑥2−4
3𝑥3+𝑥+11
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
 (
𝟏
𝒙𝟐 − 𝟏
−
𝟐
𝒙𝟒 − 𝟏
) 17 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
 
𝒙𝟐 − 𝟏
𝟐𝒙𝟐 + 𝟏
 18 
Existem várias formas de levantar este tipo de caso específico sendo uma delas fatorizando o 
termo de maior grau do numerador e o termo de maior grau no denominador: 
 Devemos ter em conta que qualquer 
número a dividir por infinito é igual a 
zero. 
 
𝒂
∞
= 𝟎 ⟺ 𝑎 ∈ ℝ 
 
0 
0 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟒𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒
𝟑𝒙𝟑 + 𝒙 + 𝟏𝟏
 19 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟒𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒
𝟑𝒙𝟑 + 𝒙 + 𝟏𝟏
= lim
𝑥→∞
4𝑥3 (1 +
1
4𝑥2
−
4
4𝑥3
)
3𝑥3 (1 +
1
3𝑥2
+
11
3𝑥3
)
 = 
(4 +
1
4(∞2)
−
1
∞3
)
(3 +
1
4(∞2)
+
11
∞3
)
=
4
3
 
P á g i n a | 20 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
3𝑥2+2𝑥−1
𝑥3−𝑥+2
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→∞
3𝑥2 + 2𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥 + 2
= lim
𝑥→∞
3𝑥2 + 2𝑥 − 1
𝑥3
𝑥3 − 𝑥 + 2
𝑥3
= lim
𝑥→∞
3
𝑥
+
2
𝑥2
−
1
𝑥3
1 −
1
𝑥2
+
2
𝑥3
 
 =
(
3
∞
+
2
∞2
−
1
∞3
)
(1 −
1
∞2
+
2
∞3
)
=
0
1
= 0 
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)
𝑥2+6𝑥−9
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→∞
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
𝑥2 + 6𝑥 − 9
= lim
𝑥→∞
𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥
𝑥2 + 6𝑥 − 9
= lim
𝑥→∞
𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥
𝑥3
𝑥2 + 6𝑥 − 9
𝑥3
 
 = lim
𝑥→∞
1 −
3
𝑥
+
2
𝑥2
1
𝑥
+
6
𝑥2
−
9
𝑥3
=
1 −
3
∞
+
2
∞2
1
∞
+
6
∞2
−
9
∞3
=
1
0
= +∞ 
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
√𝑥2+9
𝑥+3
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→∞
√𝑥2 + 9
𝑥 + 3
= lim
𝑥→∞
√𝑥2 + 9
𝑥
𝑥 + 3
𝑥
= lim
𝑥→∞
√𝑥
2
𝑥2
+
9
𝑥2
1 +
3
𝑥
 = lim
𝑥→∞
√1 +
9
𝑥2
1 +
3
𝑥
=
√1 +
9
∞2
1 +
3
∞
= 1 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
 
𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏
𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝟐
 20 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐)
𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟗
 21 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
 
√𝒙𝟐 + 𝟗
𝒙 + 𝟑
 22 
P á g i n a | 21 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(
𝑥2−𝑥−1
2𝑥2−𝑥+1
)
3
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏
𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏
)
𝟑
= lim
𝑥→∞
[
𝑥2 (1 −
1
𝑥
−
1
𝑥2
)
𝑥2 (2 −
1
𝑥
+
1
𝑥2
)
]
3
= (
1 −
1
∞
−
1
∞2
2 −
1
∞
+
1
∞2
)
3
=
1
(2)3
=
1
8
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
√
𝑥2−𝑥+5
8𝑥2+3𝑥−2
3
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
√
𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓
𝟖𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐
𝟑
= √ lim
𝑥→∞
𝑥2 − 𝑥 + 5
8𝑥2 + 3𝑥 − 2
3
= √ lim
𝑥→∞
 
𝑥2
𝑥2
−
𝑥
𝑥2
+
5
𝑥2
8𝑥2
𝑥2
+
3𝑥
𝑥2
−
2
𝑥2
3
 
= √ lim
𝑥→∞
1 −
1
𝑥
+
5
𝑥2
8 +
3
𝑥
−
2
𝑥2
3
= √
1 −
1
∞
+
5
∞2
8 +
3
∞
−
2
∞2
3
= √
1 −
1
∞
+
5
∞2
8 +
3
∞
−
2
∞2
3
= √
1
8
3
=
√1
3
√8
3 =
1
2
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
√𝑥(√𝑥 − 3 − √𝑥) = ∞−∞ , (𝑖𝑛𝑑. ) 
= lim
𝑥→∞
√𝑥(√𝑥 − 3 − √𝑥) ×
√𝑥−3+√𝑥
√𝑥−3+√𝑥
= lim
𝑥→∞
√𝑥((√𝑥−3)
2
−(√𝑥)
2
)
√𝑥−3+√𝑥
=
lim
𝑥→∞
√𝑥(𝑥−3−𝑥)
√𝑥−3+√𝑥
= lim
𝑥→∞
−3√𝑥
(√1−
3
𝑥
+1)√𝑥
= lim
𝑥→∞
−3
√1−
3
𝑥
+1
= −
3
√1−
3
∞
+1
= −
3
2
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏
𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏
)
𝟑
 23 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
√
𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓
𝟖𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐
𝟑
 24 
Neste exercício é importante recordar a propriedade do limite de uma raiz em que podemos 
trocar de ordem o limite com a raiz, isto é: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
√𝒇(𝒙)
𝒏
= √𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
 𝒇(𝒙)𝒏 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
√𝒙(√𝒙 − 𝟑 − √𝒙) 25 
P á g i n a | 22 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
𝑥(√𝑥2 + 1 − 𝑥) = ∞ −∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙 (√𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙) = lim
𝑥→∞
𝑥 (√𝑥2 + 1 −𝑥) ×
√𝑥2 + 1 + 𝑥
√𝑥2 + 1 + 𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥((√𝑥2+1)
2
−𝑥2)
√𝑥2 +1+ 𝑥
 
= lim
𝑥→∞
𝑥(𝑥2 + 1 − 𝑥2)
√𝑥2 + 1 + 𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥
√𝑥2 (1 +
1
𝑥2
) + 𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥 (√1 +
1
𝑥2
+ 1)
 
= lim
𝑥→∞
1
√1 +
1
𝑥2
+ 1
=
1
√1 +
1
∞
+ 1
=
1
√1 + 0 + 1
=
1
2
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
√𝑥+2−√2
𝑥
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
√𝒙 + 𝟐 − √𝟐
𝒙
= lim
𝑥→∞
√𝑥 + 2 − √2
𝑥
×
√𝑥 + 2 + √2
√𝑥 + 2 + √2
= lim
𝑥→∞
(√𝑥 + 2)
2
− (√2)
2
𝑥(√𝑥 + 2 + √2)
 
= lim
𝑥→∞
𝑥 + 2 − 2
𝑥(√𝑥 + 2 + √2)
= lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥(√𝑥 + 2 + √2)
= lim
𝑥→∞
1
√𝑥 + 2 + √2
=
1
∞
= 0 
 
 
Resultado: lim
𝑥→∞
√𝑥+5−√5
√𝑥−5
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
√𝒙+𝟓−√𝟓
√𝒙−𝟓
= lim
𝑥→∞
√𝑥+5−√5
√𝑥
√𝑥−5
√𝑥
= lim
𝑥→∞
√
𝑥+5
𝑥
 −√
5
𝑥
1−
5
√𝑥
= lim
𝑥→∞
√1+
5
𝑥
 −√
5
𝑥
1−
5
√𝑥
 
=
√1+
5
∞
 −√
5
∞
1−
5
√∞
=
√1+0+0
1−0
= 1 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙 (√𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙) 26 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
√𝒙 + 𝟐 − √𝟐
𝒙
 27 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
√𝒙 + 𝟓 − √𝟓
√𝒙 − 𝟓
 28 
P á g i n a | 23 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
√𝑥2+9−√𝑥2−9
6𝑥
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
√𝒙𝟐 + 𝟗 − √𝒙𝟐 − 𝟗
𝟔𝒙
= lim
𝑥→∞
√𝑥2 + 9 − √𝑥2 − 9
6𝑥
×
√𝑥2 + 9 + √𝑥2 − 9
√𝑥2 + 9 + √𝑥2 − 9
 
= lim
𝑥→∞
(√𝑥2 + 9)
2
− (√𝑥2 − 9)
2
6𝑥(√𝑥2 + 9 + √𝑥2 − 9)
= lim
𝑥→∞
𝑥2 + 9 − (𝑥2 − 9)
6𝑥(√𝑥2 + 9 + √𝑥2 − 9)
 
= lim
𝑥→∞
𝑥2 + 9 − 𝑥2 + 9
6𝑥(√𝑥2 + 9 + √𝑥2 − 9)
=
18
6∞(√∞2 + 9 + √∞2 − 9)
=
18
∞
= 0 
 
 Resolução: lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(4×0)
0
=
𝑠𝑒𝑛0
0
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒙)
𝒙
= lim
4𝑥→0
4
4
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
𝑥
= lim
4𝑥→0
4
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
4𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝟒𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒙)
𝟒𝒙
× lim
𝑥→0
4 = 4 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
√𝒙𝟐 + 𝟗 − √𝒙𝟐 − 𝟗
𝟔𝒙
 29 
 
Umas das formas de resolver este tipo de limite é aplicando o limite fundamental: 
lim
𝑥→0
sen 𝑥
𝑥
= 1 
é necessário que o argumento do seno seja igual ao seu denominador. Exemplo: 
 
lim
𝑥→0
sen( )
.
= 1 
Onde f(x) é a maçã. 
 
 
 
 
 
1 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒙)
𝒙
 30 
P á g i n a | 24 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→0
𝑥2−sen𝑥
𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
𝑥2 − sen 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥2
𝑥
− lim
𝑥→0
sen 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
(𝑥) − 1 = 0 − 1 = −1 
 
 
 
 
Resolução: lim
x→0
sen(5x)
2x
=
0
0
 , (ind. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
𝐬𝐞𝐧(𝟓𝐱)
𝟐𝐱
= lim
x→0
(
5
5
×
sen(5x)
2x
) = lim
5x→0
(
5
2
) × lim
5x→0
(
sen(5x)
5x
) =
5
2
 
 
 
Resolução: lim
x→0
sen(3x)
sen(5x)
=
0
0
 (ind. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙)
=
lim
𝑥→0
 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
lim
𝑥→0
 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
=
lim
3𝑥→0
(3𝑥 
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
3𝑥 )
lim
5𝑥→0
(5𝑥
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
5𝑥
)
= lim
𝑥→0
3𝑥
5𝑥
=
3
5
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥3
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙𝟑
= lim
𝑥→0
(
senx
x
×
1
x2
) = lim
𝑥→0
(
senx
x
) × lim
𝑥→0
1
𝑥2
 = 1 ×
1
0
= + ∞ 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒙𝟐 − 𝐬𝐞𝐧𝒙
𝒙
 31 
1 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙)
𝟐𝒙
 32 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙)
 33 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙𝟑
 34 
P á g i n a | 25 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→0
𝑡𝑔𝑥
3𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
(
𝑡𝑔𝑥
3𝑥
) = lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
×
1
3𝑥
) = lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
×
1
3 𝑐𝑜𝑠𝑥
) = [1 ×
1
3cos (0)
] =
1
3
 
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥3
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒕𝒈𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙𝟑
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
× 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥3
= lim
𝑥→0
sen2 𝑥
𝑥3 cos 𝑥
= lim
𝑥→0
(
sen2 𝑥
𝑥2
 × 
1
𝑥 cos 𝑥
) 
= lim
𝑥→0
[(
sen 𝑥
𝑥
)
2
×
1
𝑥 cos 𝑥
] =
1
0 × cos 0
=
1
0 × 1
=
1
0
= +∞ 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
sen(2𝑥) cos(2𝑥)
sen𝑥 cos 𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐬𝐞𝐧(𝟐𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)
𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙
= lim
𝑥→0
2 sen(2𝑥) cos(2𝑥)
2 sen𝑥 cos𝑥
 
 
= lim
𝑥→0
2 sen(2𝑥) cos(2𝑥)
sen(2𝑥)
= 2 lim
𝑥→0
 cos(2𝑥) = 2 cos (2 × 0) = 2 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒕𝒈𝒙
𝟑𝒙
 35 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒕𝒈𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙𝟑
 36 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐬𝐞𝐧(𝟐𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)
𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙
 37 
Usando o arco duplo de seno: 
2 sen(x) cos(x) =sen(2x) 
P á g i n a | 26 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→0
𝑥2 cos 𝑥
1−cos𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
 
lim
x→0
x2 cos x
1 − cos x
×
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐱
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐱
= lim
x→0
(x2 cos x)(1 + cos x)
1 − cos2x
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
(𝐱𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝐱)(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐱)
𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱 
= lim
x→0
x2 cos x(1 + cos x)
sen2x 
 
= lim
x→0
(
x2
sen2x 
) × lim
x→0
[cos x (1 + cos x)] = lim
x→0
(
1
sen x
x
)
2
× lim
x→0
[cos x (1 + cos x)] 
= 12 × [cos(0) (1 + cos (0))] = 1 × (1 + 1) = 2 × 1 = 2 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
tan(5𝑥)
tan(6𝑥)
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐭𝐠(𝟓𝒙)
𝐭𝐠(𝟔𝒙)
= lim
𝑥→0
sen(5𝑥)
cos(5𝑥)
sen(6𝑥)
cos(6𝑥)
= lim
𝑥→0
5𝑥
5𝑥
×
sen(5𝑥)
cos(5𝑥)
×
6𝑥
6𝑥
×
cos(6𝑥)
sen(6𝑥)
 
 = lim
5𝑥→0
(
sen(5𝑥)
5𝑥
) × lim
6𝑥→0
(
1
sen (6𝑥)
6𝑥
) × lim
𝑥→0
(
5𝑥 cos(6𝑥)
6𝑥 cos(5𝑥)
) =
5cos 0
6 cos 0
=
5
6
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬𝒙
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙
 38 
LÓGICA: Uma técnica útil para levantarmos esta indeterminação é aplicando o conjugado do 
termo encontrado no denominador. 
O termo do denominador podemos reescrever como 𝑠𝑒𝑛2𝑥 , para isso, basta isolarmos 
o 𝑠𝑒𝑛2𝑥 na fórmula fundamental da trigonometria 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
⇒ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝐭𝐚𝐧(𝟓𝒙)
𝐭𝐚𝐧(𝟔𝒙)
 39 
P á g i n a | 27 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)+𝑠𝑒𝑛(7𝑥)
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝟕𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
4𝑥
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
4𝑥
+ 7𝑥
𝑠𝑒𝑛(7𝑥)
7𝑥
3𝑥
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
3𝑥
= 
=
(𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
4𝑥 × 𝑙𝑖𝑚
 4𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
4𝑥
)
(𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
3𝑥 × 𝑙𝑖𝑚
3𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
3𝑥
)
+
(𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
7𝑥 × 𝑙𝑖𝑚
7𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(7𝑥)
7𝑥
)
(𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
3𝑥 × 𝑙𝑖𝑚
3𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
3𝑥
)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
4𝑥 + 7𝑥
3𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
11𝑥
3𝑥
=
11
3
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥−2𝑠𝑒𝑛 3𝑥+𝑠𝑒𝑛 5𝑥
𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
−
2𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝑥
+
𝑠𝑒𝑛 5𝑥
𝑥
) = 
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
− lim
3𝑥→0
2𝑠𝑒𝑛 3𝑥
3𝑥
× 3 + lim
5𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 5𝑥
5𝑥
× 5 = 1 − (2 × 3) + 5 = 0 
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
𝑥 sen (
𝜋
𝑥
) = 0 × ∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
𝑥 sen (
𝜋
𝑥
) = lim
𝑥→0
[𝑥 ×
𝜋
𝑥
 
sen (
𝜋
𝑥)
𝜋
𝑥
] = 𝜋 lim
𝑥→0
[ 
sen (
𝜋
𝑥)
𝜋
𝑥
] = 𝜋 × 1 = 𝜋 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐬𝐞𝐧(𝟒𝒙) + 𝐬𝐞𝐧(𝟕𝒙)
𝐬𝐞𝐧(𝟑𝒙)
 
 
40 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙
𝒙
 
 
41 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒙 𝐬𝐞𝐧 (
𝝅
𝒙
) 42 
P á g i n a | 28 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→0
cos 𝑥−cos3 𝑥
3𝑥2
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
cos 𝑥 − cos3 𝑥
3𝑥2
= lim
𝑥→0
cos 𝑥 (1 − cos2 𝑥)
3𝑥2
= lim
𝑥→0
cos 𝑥 (sen2 𝑥)
3𝑥2
 
= lim
𝑥→0
(
cos 𝑥
3
×
sen2 𝑥
𝑥2
) = lim
𝑥→0
(
cos 𝑥
3
× (
sen 𝑥
𝑥
)
2
) =
cos(0)
3
× 12 =
1
3
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
√1−cos(𝑥2)
1−cos𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
√𝟏−𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟐)
𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝒙
= lim
𝑥→0
√1−cos(𝑥2)
1−cos𝑥
×
√1+cos(𝑥2)
√1+cos( 𝑥2)
= lim
𝑥→0
√(1−cos𝑥2)(1+cos𝑥2)
√1+cos𝑥2(1−cos𝑥)
 
= lim
𝑥→0
√1 − cos2(𝑥2)
√1 + cos 𝑥2 (1 − cos 𝑥)
= lim
𝑥→0
√sen2( 𝑥2)
√1 + cos 𝑥2 (1 − cos 𝑥)
×
1 + cos 𝑥
1 + cos 𝑥
 
= lim
𝑥→0
sen 𝑥2 (1 + cos 𝑥)
√1 + cos 𝑥2 (1 − cos2 𝑥)
= lim
𝑥→0
sen 𝑥2 (1 + cos 𝑥)
√1 + cos 𝑥2 (1 − cos2 𝑥)
 
= lim
𝑥→0
sen 𝑥2 (1 + cos 𝑥)
(√1 + cos 𝑥2) sen2 𝑥
= lim
𝑥→0
[
sen 𝑥2
𝑥2
×
𝑥2
sen2 𝑥
×
1 + cos 𝑥
√1 + cos 𝑥2
] 
= lim
𝑥→0
[
sen 𝑥2
𝑥2
× (
sen 𝑥
𝑥
)
−2×
1 + cos 𝑥
√1 + cos 𝑥2
] = 1 × 1−2 ×
1 + cos 0
√1 + cos 02
=
1 + 1
√1 + 1
=
2
√2
 
(racionalizando) =
2
√2
×
√2
√2
=
2√2
2
= √2 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝐜𝐨𝐬𝒙 − 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙
𝟑𝒙𝟐
 43 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
√𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟐)
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙
 44 
P á g i n a | 29 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→0
√cos 𝑥−1
sin2 𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
√cos 𝑥 − 1
sen2 𝑥
= lim
𝑥→0
√cos 𝑥 − 1
sen2 𝑥
×
√cos 𝑥 + 1
√cos 𝑥 + 1
= lim
𝑥→0
(√cos 𝑥)
2
− (1)2
sen2 𝑥 (√cos 𝑥 + 1)
 
= lim
𝑥→0
cos 𝑥 − 1
(1 − cos2 𝑥)(√cos 𝑥 + 1)
= lim
𝑥→0
−(1 − cos 𝑥)
(1 − cos 𝑥)(1 + cos 𝑥)(√cos 𝑥 + 1)
= lim
𝑥→0
−1
(1 + cos𝑥)(√cos 𝑥 + 1)
=
−1
(1 + cos 0)(√cos 0 + 1)
=
−1
(2 × 2)
= −
1
4
 
 
Resolução: lim
𝑥→−1
𝑥3+1
sen(𝑥+1)
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
= lim
𝑥→−1
(𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)
sen(𝑥 + 1)
= lim
𝑥→−1
(𝑥2 − 𝑥 + 1)
sen(𝑥 + 1)
𝑥 + 1
= 
lim
𝑥→−1
 (𝑥2 − 𝑥 + 1)
lim
𝑥+1→0
[
sen(𝑥 + 1)
𝑥 + 1 ]
 
 = (−1)2 − (−1) + 1 = 3 
 
Resolução: lim
𝑥→1
tg(𝑥−1)
√𝑥−1
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→1
tg(𝑥−1)
√𝑥−1
= lim
𝑥→1
tg(𝑥−1)
√𝑥−1
×
√𝑥+1
√𝑥+1
= lim
𝑥→1
tg(𝑥−1)(√𝑥+1)
(√𝑥)
2
−1
= lim
𝑥→1
sen(𝑥−1)
cos(𝑥−1)
(√𝑥+1)
𝑥−1
=
lim
𝑥→1
sen(𝑥−1)(√𝑥+1)
(𝑥−1) cos(𝑥−1)
= lim
𝑥−1→0
(
sen(𝑥−1)
𝑥−1
) × lim
𝑥→1
[
√𝑥+1
cos(𝑥−1)
] = 1 ×
√1+1
cos(1−1)
=
2
1
= 2 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
√𝐜𝐨𝐬𝒙 − 𝟏
𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙
 45 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏
 
𝒙𝟑 + 𝟏
𝐬𝐞𝐧(𝒙 + 𝟏)
 46 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝐭𝐠(𝒙 − 𝟏)
√𝒙 − 𝟏
 47 
1 
1 
P á g i n a | 30 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
√
1−cos𝑥
𝑥2
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
√
1−cos𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→0
√
1−cos𝑥
𝑥2
×
1+cos𝑥
1+cos𝑥
= lim
𝑥→0
√
1−cos2 𝑥
𝑥2(1+cos𝑥)
= √lim
𝑥→0
sen2 𝑥
𝑥2(1+cos𝑥)
 
= √lim
𝑥→0
[
sen2 𝑥
𝑥2
×
1
1+cos𝑥
] = √lim
𝑥→0
[(
sen𝑥
𝑥
)
2
×
1
1+cos𝑥
] = √1 ×
1
1+cos0
= √
1
2
=
1
√2
=
√𝟐
𝟐
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
√1−tg𝑥−√1+tg𝑥
sen2𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
√𝟏 − 𝐭𝐠𝒙 − √𝟏 + 𝐭𝐠 𝒙
𝐬𝐞𝐧𝟐𝒙
= lim
𝑥→0
√1 − tg 𝑥 − √1 + tg 𝑥
sen 2𝑥
×
√1 − tg 𝑥 + √1 + tg 𝑥
√1 − tg 𝑥 + √1 + tg 𝑥
 
= lim
𝑥→0
(√1 − tg 𝑥)
2
− (√1 + tg 𝑥)
2
sen 2𝑥 (√1 − tg 𝑥 + √1 + tg 𝑥)
= lim
𝑥→0
1 − tg 𝑥 − (1 + tg 𝑥)
sen 2𝑥 (√1 − tg 𝑥 + √1 + tg 𝑥)
 
= lim
𝑥→0
 
1 − tg 𝑥 − 1 − tg 𝑥
2𝑥
2𝑥 × sen 2𝑥 (√1 − tg 𝑥 + √1 + tg 𝑥)
= lim
𝑥→0
[
1
2𝑥
×
−2 tg 𝑥
sen 2𝑥
2𝑥 (√1 − tg 𝑥 + √1 + tg 𝑥)
] 
= lim
𝑥→0
−
1
𝑥
×
sen𝑥
cos𝑥
sen2𝑥
2𝑥
(√1−tg𝑥+√1+tg𝑥)
= lim
𝑥→0
−
sen𝑥
𝑥
×
1
cos𝑥
sen2𝑥
2𝑥
(√1−tg𝑥+√1+tg𝑥)
=
−
1
cos0(√1−tg0+√1+tg0)
= −
1
1(1+1)
= −
1
2
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
√
𝟏− 𝐜𝐨𝐬𝒙
𝒙𝟐
 
48 
lim
𝑥→0
√1 − tg𝑥 − √1 + tg 𝑥
sen2𝑥
 49 
P á g i n a | 31 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
3𝑥
= (1 +
1
∞
)
3×∞
= 1∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(𝟏 +
𝟏
𝒙
)
𝟑𝒙
= lim
𝑥→∞
[(1 +
1
𝑥
)
𝑥
]
3
= 𝑒3 
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(
𝑥
𝑥+1
)
𝑥
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝒙
𝒙 + 𝟏
)
𝒙
= lim
𝑥→∞
[(
𝑥 + 1
𝑥
)
−1
]
𝑥
= lim
𝑥→∞
[(1 +
1
𝑥
)
𝑥
]
−1
= 𝑒−1 =
1
𝑒
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(1 +
1
5𝑥
)
2𝑥+6
= 1∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(𝟏 +
𝟏
𝟓𝒙
)
𝟐𝒙+𝟔
= lim
𝑥→∞
(1 +
1
5𝑥
)
2𝑥
× lim
𝑥→∞
(1 +
1
5𝑥
)
6
 
= lim
𝑥→∞
(1 +
1
5𝑥
)
2𝑥 × 
5
5
× lim
𝑥→∞
(1 +
1
5𝑥
)
6
= lim
𝑥→∞
[(1 +
1
5𝑥
)
5𝑥
]
2
5
× lim
𝑥→∞
(1 +
1
5𝑥
)
6
 
= 𝑒
2
5 × 16 = 𝑒
2
5 = √𝑒2
5
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(𝟏 +
𝟏
𝒙
)
𝟑𝒙
 50 
Para resolver este tipo de limite é necessário manipular o exercício de modo a ter o 
aparecimento do limite fundamental: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(𝟏 +
𝟏
𝒙
)
𝒙
= 𝒆 
 
lim
𝑥→∞
(
𝑥
𝑥 + 1
)
𝑥
 51 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(𝟏 +
𝟏
𝟓𝒙
)
𝟐𝒙+𝟔
 52 
P á g i n a | 32 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥2
)
3𝑥−4
= 1∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(𝟏 +
𝟏
𝒙𝟐
)
𝟑𝒙−𝟒
= lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥2
)
3𝑥
(1 +
1
𝑥2
)
4 = lim𝑥→∞
(1 +
1
𝑥2
)
3𝑥 ×
𝑥
𝑥
(1 +
1
𝑥2
)
4 = lim𝑥→∞
[(1 +
1
𝑥2
)
𝑥2
]
3
𝑥
(1 +
1
𝑥2
)
4 
=
𝑒
3
∞
(1 +
1
∞2
)
4 =
𝑒0
(1 + 0)4
= 1 
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(1 +
7
3𝑥
)
𝑥−1
= 1∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→∞
(1 +
7
3𝑥
)
𝑥−1
= lim
𝑥→∞
(1 +
7
3𝑥)
𝑥
(1 +
7
3𝑥)
1 = lim𝑥→∞
(1 +
1
3𝑥
7
)
𝑥 ×
3
3
×
7
7
(1 +
7
3𝑥)
 
= lim
𝑥→∞
[
 
 
 
 
(1 +
1
3𝑥
7
)
3𝑥
7
]
 
 
 
 
7
3
(1 +
7
3𝑥)
=
𝑒
7
3
(1 +
7
3 ×∞)
=
𝑒
7
3
(1 +
7
∞)
=
𝑒
7
3
(1 + 0)
= 𝑒
7
3 = √𝑒7
3
 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(𝟏 +
𝟏
𝒙𝟐
)
𝟑𝒙−𝟒
 53 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(𝟏 +
𝟕
𝟑𝒙
)
𝒙−𝟏
 54 
P á g i n a | 33 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(
𝑥+6
𝑥+5
)
𝑥
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então resolvendo: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝒙 + 𝟔
𝒙 + 𝟓
)
𝒙
= lim
𝑥→∞
(1 +
𝑥 + 6
𝑥 + 5
− 𝟏)
𝑥
= lim
𝑥→∞
(1 +
𝑥 + 6
𝑥 + 5
−
1(𝑥 + 5)
𝑥 + 5
)
𝑥
 
lim
𝑥→∞
(1 +
𝑥 + 6 − 𝑥 − 5
𝑥 + 5
)
𝑥
= lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥 + 5
)
𝑥
= [ lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥 + 5
)
𝑥
]
𝑥+5
𝑥+5
 
[ lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥+5
)
𝑥+5
]
𝑥
𝑥+5
 = 𝑒
lim
𝑥→∞
𝑥
 𝑥+5 = 𝑒 
 
lim
𝑥→∞
(
𝑥 + 6
𝑥 + 5
)
𝑥
 55 
OUTRA LÓGICA: Podemos adicionar e retirar 1 na base função exponencial: 
lim
𝑥→∞
(𝑓(𝑥))𝑥 = lim
𝑥→∞
(𝟏 + 𝑓(𝑥) − 𝟏)𝑥 , depois se houver uma função fracionária achar o 
denominador comum entre esta função e o -1 . Supondo que 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−1
 então: 
lim
𝑥→∞
(𝑓(𝑥))𝑥 = lim
𝑥→∞
(
𝑥
𝑥 − 1
)
𝑥
= lim
𝑥→∞
(𝟏 + 
𝑥
𝑥 − 1
− 𝟏)
𝑥
= lim
𝑥→∞
(𝟏 + 
𝑥 − 𝟏(𝒙 − 𝟏)
𝑥 − 1
)
𝑥
 
 
= lim
𝑥→∞
(𝟏 + 
𝑥 − 𝑥 + 1
𝑥 − 1
)
𝑥
= lim
𝑥→∞
(𝟏 + 
𝟏
𝑥 − 1
)
𝑥
 
Agora devemos transformar o limite de modo a obter um fundamental na forma: 
lim
𝑥⟶∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 então: 
 lim
𝑥→∞
(𝟏 + 
𝟏
𝑥−1
)
𝑥
= [ lim
𝑥→∞
(𝟏 + 
𝟏
𝑥−1
)
𝑥
]
𝑥−1
𝑥−1
= [ lim
𝑥→∞
(𝟏 + 
𝟏
𝑥−1
)
𝑥−1
]
𝑥
𝑥−1
 
 
Agora devemos aplicar limite no expoente também: 
𝑒
lim
𝑥→∞
 
𝑥
𝑥−1 = 𝑒
lim
𝑥→∞
 
𝑥
𝑥(1−
1
𝑥) = 𝑒
lim
𝑥→∞
 
1
(1−
1
𝑥) = 𝑒
1
(1−
1
∞) = 𝑒 
 
e 
P á g i n a | 34 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(
7𝑥+10
1+7𝑥
)
𝑥
3
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→∞
(
7𝑥 + 10
1 + 7𝑥
)
𝑥
3
= lim
𝑥→∞
(
7𝑥 + 10
7𝑥
1 + 7𝑥
7𝑥
)
𝑥
3
= lim
𝑥→∞
(
1 +
10
7𝑥
1 +
1
7𝑥
)
𝑥
3
= lim
𝑥→∞
(1 +
1
7𝑥
10
)
𝑥
3
×
10
10
×
7
7
(1 +
1
7𝑥
)
𝑥
3
×
7
7
 
= lim
𝑥→∞
[
 
 
 
(1 +
1
7𝑥
10
)
7𝑥
10
]
 
 
 
10
21
[(1 +
1
7𝑥
)
7𝑥
]
1
21
=
𝑒
10
21
𝑒
1
21
= 𝑒
10−1
21 = 𝑒
9
21 = 𝑒
3
7 = √𝑒7
3
 
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(
2𝑥+5
2𝑥
)
3𝑥−7
= 1∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→∞
(𝟏 +
𝟓
𝟐𝐱
)
𝟑𝐱−𝟕
= lim
𝑥→∞
(1+
5
2𝑥
)
3𝑥
(1+
5
2𝑥
)
7 = lim
𝑥→∞
(1+
5
2𝑥
)
3𝑥 × 
5
5
 × 
2
2
(1+
5
2𝑥
)
7 = lim
𝑥→∞
(1+
1
2𝑥
5
)
2𝑥
5
×
15
2
(1+
5
2𝑥
)
7 
 =
lim
𝑥→∞
[
 
 
 
 
(1 +
1
2𝑥
5
)
2𝑥
5
]
 
 
 
 
15
2
lim
𝑥→∞
 (1 +
5
2𝑥)
7 =
𝑒
15
2
(1 +
5
2(∞)
)
7 =
𝑒
15
2
1 + 0
= √𝑒15 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝟕𝒙 + 𝟏𝟎
𝟏 + 𝟕𝒙
)
𝒙
𝟑
 
56 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝟐𝒙 + 𝟓
𝟐𝒙
)
𝟑𝒙−𝟕
 57 
P á g i n a | 35 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(
3𝑥−2
3𝑥+1
)
2𝑥
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 𝐋𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝟑𝒙−𝟐
𝟑𝒙+𝟏
)
𝟐𝒙
= lim
𝑥→∞
(1 +
3𝑥−2
3𝑥+1
− 1)
2𝑥
= lim
𝑥→∞
(1 +
3𝑥−2−(3𝑥+1)
3𝑥+1
)
2𝑥
 
lim
𝑥→∞
(1 +
3𝑥 − 2 − 3𝑥 − 1
3𝑥 + 1
)
2𝑥
= lim
𝑥→∞
(1 +
−3
3𝑥 + 1
)
2𝑥
= lim
𝑥→∞
(1 +
1
(
3𝑥 + 1
−3 )
)
2𝑥
 
= [ lim
𝑥→∞
(1 +
1
(
3𝑥 + 1
−3 )
)
2𝑥
]
3𝑥+1
(−3)
×
(−3)
3𝑥+1
=
[
 
 
 
 
lim
𝑥→∞
(1 +
1
(
3𝑥 + 1
−3 )
)
3𝑥+1
(−3)
]
 
 
 
 
(−3)2𝑥
3𝑥+1
= 𝑒 lim𝑥→∞
−6𝑥
3𝑥+1 
= 𝑒
lim
𝑥→∞
−6𝑥
3𝑥(1+ 1
3𝑥
)
= 𝑒
−6
3(1+ 1
3(∞)
)
= 𝑒
− 6
3(1+0) = 𝑒−2 =
1
𝑒2
 
 
 
 
Resolução:lim
𝑥→0
(1 + 2𝑥)
1
𝑥 = 1∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
 lim
𝑥→0
(1 + 2𝑥)
1
𝑥 = lim
𝑥→0
(1 +
1
1
2𝑥
)
1
𝑥
×
2
2
= lim
𝑥→0
[(1 +
1
𝟏
𝟐𝒙
)
𝟏
𝟐𝒙
]
2
= 𝑒2 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝟑𝒙 − 𝟐
𝟑𝒙 + 𝟏
)
𝟐𝒙
 58 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(𝟏 + 𝟐𝒙)
𝟏
𝒙
 59 
P á g i n a | 36 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(
6+4𝑥
2+4𝑥
)
3−2𝑥
=
∞
∞
(𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝟔 + 𝟒𝒙
𝟐 + 𝟒𝒙
)
𝟑−𝟐𝒙
= 
= lim
𝑥→∞
(1 +
6 + 4𝑥
2 + 4𝑥
− 1)
3−2𝑥
= lim
𝑥→∞
(1 +
6 + 4𝑥 − (2 + 4𝑥)
2 + 4𝑥
)
3−2𝑥
 
= lim
𝑥→∞
(1 +
6 + 4𝑥 − 2 − 4𝑥
2 + 4𝑥
)
3−2𝑥
= lim
𝑥→∞
(1 +
4
2 + 4𝑥
)
3−2𝑥
 
= lim
𝑥→∞
(1 +
4
2(1 + 2𝑥)
)
3−2𝑥
 = lim
𝑥→∞
(1 +
2
(1 + 2𝑥)
)
3−2𝑥
 
=
[
 
 
 
 
lim
𝑥→∞
(1 +
1
(1 + 2𝑥)
2
)
𝟏+𝟐𝒙
𝟐
]
 
 
 
 
×
𝟐(3−2𝑥)
𝟏+𝟐𝒙
= 𝑒 lim𝑥→∞
𝟐(3−2𝑥)
𝟏+𝟐𝒙 = 𝑒−𝟐 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(𝑥 + 1)[ln(𝑥 + 1) − ln 𝑥] = ∞ −∞(𝑖𝑛𝑑. ) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(𝒙 + 𝟏)(𝐥𝐧(𝒙 + 𝟏) − 𝐥𝐧𝒙) = 
= lim
𝑥→∞
(𝑥 + 1) [ln (
𝑥 + 1
𝑥
)] = lim
𝑥→∞
(𝑥 + 1) [ln (1 +
1
𝑥
)] = lim
𝑥→∞
[ln ((1 +
1
𝑥
)
𝑥+1
)] 
= ln lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥+1
= ln [ lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
∗ (1 +
1
𝑥
)
1
] = ln 𝑒 = 1 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(𝒙 + 𝟏)[𝐥𝐧(𝒙 + 𝟏) − 𝐥𝐧𝒙] 61 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝟔 + 𝟒𝒙
𝟐 + 𝟒𝒙
)
𝟑−𝟐𝒙
 60 
 𝐥𝐧(𝒂) − 𝒍𝒏(𝒃) = 𝒍𝒏 (
𝒂
𝒃
) 
𝐥𝐢𝐦
𝑥→∞
𝐥 𝐧(𝒇(𝒙)) = 𝒍𝒏 [𝐥𝐢𝐦
𝑥→∞
(𝒇(𝒙))] 
 
LÓGICA: neste tipo de limites há regras especificas: 
P á g i n a | 37 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(
2𝑥−5
2𝑥−2
)
4𝑥2
=
∞
∞
(𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→∞
(
2𝑥 − 5
2𝑥 − 2
)
4𝑥2
= lim
𝑥→∞
(
2𝑥
2𝑥
×
2𝑥 − 5
2𝑥 − 2
)
4𝑥2
= lim
𝑥→∞
(
2𝑥 − 5
2𝑥
2𝑥 − 2
2𝑥
)
4𝑥2
= lim
𝑥→∞
(1 +
(−5)
2𝑥
)
4𝑥2
(1 +
1
−𝑥
)
4𝑥2
 
= lim
𝑥→∞
[1 +
1
(−
2𝑥
5
)
]
4𝑥2 × 
5
5
(1 +
1
−𝑥)
4𝑥2
=
lim
𝑥→∞
[
 
 
 
 
(1 +
1
(−
2𝑥
5 )
)
−
2𝑥
5
]
 
 
 
 
−2𝑥 × 5
lim
𝑥→∞
[(1 +
1
−𝑥)
−𝑥
]
−4𝑥 = lim𝑥→∞
𝑒−10𝑥
𝑒−4𝑥
 
= lim
𝑥→∞
𝑒−10𝑥−(−4𝑥) = lim
𝑥→∞
𝑒−10𝑥+4𝑥 = lim
𝑥→∞
𝑒−6𝑥 =
1
𝑒∞
=
1
∞
= 0 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
𝑥[ln 𝑥 − ln(𝑥 + 2)] = ∞ −∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→∞
𝑥(ln 𝑥 − ln(𝑥 + 2)) = lim
𝑥→∞
[−𝑥(ln(𝑥 + 2) − ln 𝑥)] 
= lim
𝑥→∞
[−𝑥 ln (
𝑥 + 2
𝑥
)] = − lim
𝑥→∞
ln ((
𝑥 + 2
𝑥
)
𝑥
) 
= −ln
[
 
 
 
 
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
2
)
𝑥 × 
2
2
]
 
 
 
 
= −ln lim
𝑥→∞
[
 
 
 
(1 +
1
𝑥
2
)
𝑥
2
]
 
 
 
2
= − ln 𝑒2 = −2 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝟐𝒙 − 𝟓
𝟐𝒙 − 𝟐
)
𝟒𝒙𝟐
 62 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙[𝐥𝐧 𝒙 − 𝐥𝐧(𝒙 + 𝟐)] 63 
USAR AS MESMAS 
REGRAS USADAS NO 
EXERCÍCIO 61 E: 
 
a ln(b) = ln (b)a 
 
 
 
P á g i n a | 38 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
(√𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥 − √𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥) = ∞ −∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
√𝒄𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 − √𝒄𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 
= lim
𝑥→−∞
(√𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥 − √𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥) × (√𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥 + √𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥)
√𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥 + √𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥
 ⟺ (𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐) ≠ 0 
= lim
𝑥→−∞
(√𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥)
2
− (√𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥)
2
√𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥 + √𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥
= lim
𝑥→−∞
𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥 − (𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥)
√𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥 + √𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥
 
= lim
𝑥→−∞
𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥 − 𝑐𝑥2 − 𝑏𝑥
√𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥 + √𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥
= lim
𝑥→−∞
𝑎𝑥 − 𝑏𝑥
√𝑥2 (𝑐 +
𝑎
𝑥)
+ √𝑥2 (𝑐 +
𝑏
𝑥)
 
= lim
𝑥→−∞
𝑥(𝑎 − 𝑏)
𝑥√𝑐 +
𝑎
𝑥
+ 𝑥√𝑐 +
𝑏
𝑥
= lim
𝑥→−∞
𝑥(𝑎 − 𝑏)
𝑥 (√𝑐 +
𝑎
𝑥
+ √𝑐 +
𝑏
𝑥)
 
= lim
𝑥→−∞
𝑎 − 𝑏
√𝑐 +
𝑎
𝑥
+ √𝑐 +
𝑏
𝑥
=
𝑎 − 𝑏
√𝑐 +
𝑎
−∞
+ √𝑐 +
𝑏
−∞
=
𝑎 − 𝑏
2√𝑐
 , 𝑐 > 0 
 
Resolução: lim
𝑥→0
 
3𝑥−1
6𝑥−1
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝟑𝒙 − 𝟏
𝟔𝒙 − 𝟏
= lim
𝑥→∞
 
3𝑥 − 1
𝑥
6𝑥 − 1
𝑥
=
lim
𝑥→∞
(
3𝑥 − 1
𝑥 )
lim
𝑥→∞
(
6𝑥 − 1
𝑥 )
=
ln 3
ln 6
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
√𝒄𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 − √𝒄𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 64 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝟑𝒙 − 𝟏
𝟔𝒙 − 𝟏
 65 
LÓGICA: neste 
exercício é usado o 
limite 
fundamental:
lim
𝑥→0
𝑎𝑥−1
𝑥
= ln 𝑎, 
P á g i n a | 39 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→2
5𝑥−25
𝑥−2
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→2
5𝑥 − 25
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
5𝑥−2+2 − 25
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(5𝑥−2 ∙ 52) − 52
𝑥 − 2
 
= lim
𝑥→2
52(5𝑥−2 − 1)
𝑥 − 2
= 52 lim
𝑥−2→0
(5𝑥−2 − 1)
𝑥 − 2
= 52 ln 5 = 25 ln 5 
 
Resolução: lim
𝑥→−3
4
𝑥+3
5 −1
𝑥+3
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
Multiplicando e dividindo no termo do denominador por 5 temos: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟑
𝟒
𝒙+𝟑
𝟓 − 𝟏
𝒙 + 𝟑
= lim
𝑥→−3
[
4
𝑥+3
5 − 1
𝑥 + 3
5
× 5
] = 
1
5
 lim
𝑥+3→0
(
4
𝑥+3
5 − 1
𝑥 + 3
5
) =
ln4
5
=
2 ln (2)
5
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→2
4𝑥−2−1
𝑥2−4
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝟒𝒙−𝟐 − 𝟏
𝒙𝟐 − 𝟒
= lim
𝑥→2
[
4𝑥−2 − 1
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
] = lim
𝑥→2
(
(4𝑥−2 − 1)
𝑥 − 2
 ×
1
𝑥 + 2
) 
= lim
𝑥−2→0
(
(4𝑥−2 − 1)
𝑥 − 2
 ) × lim
𝑥→2
(
1
𝑥 + 2
) = ln(4) + 
1
2 + 2
=
2 ln (2)
4
=
 ln (2)
2
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝟓𝒙 − 𝟐𝟓
𝒙 − 𝟐
 66 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟑
𝟒
𝒙+𝟑
𝟓 − 𝟏
𝒙 + 𝟑
 
67 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝟒𝒙−𝟐 − 𝟏
𝒙𝟐 − 𝟒
 68 
P á g i n a | 40 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
𝑒
1+𝑥
1−𝑥
2
=
𝑒
∞
∞
2
= 
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
Aplicando somente o limite para o expoente da base Euler (porque é aonde encontramos 
a indeterminação que deve ser levantada. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒆
𝟏+𝒙
𝟏−𝒙
𝟐
=
𝑒 
lim
𝑥→∞
(
𝟏
𝒙
+
𝒙
𝒙
1
𝑥−
𝑥
𝑥
)
2
= lim
𝑥→∞
𝑒
lim
𝑥→∞
 (
1
𝑥
+1
1
𝑥−1
)
2
=
𝑒
(
1
∞+1
1
∞−1
)
2
=
𝑒(
0+1
0−1)
2
=
𝑒−1
2
=
1
2𝑒
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
= lim
𝑥→∞
𝑒𝑥−
1
𝑒𝑥
2
=
𝑒∞−
1
𝑒∞
2
=
∞−0
2
= +∞ 
 
 
 
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙
𝒙
= lim
𝑥→0
𝑒𝑥 − 1 − 𝑒−𝑥 + 1
𝑥
= lim
𝑥→0
(
𝑒𝑥 − 1
𝑥
) + lim
𝑥→0
(
1 − 𝑒−𝑥
𝑥
) 
= lim
𝑥→0
(
𝑒𝑥 − 1
𝑥
) + lim
𝑥→0
(
(𝑒−𝑥 − 1)
− 𝑥
) = ln 𝑒 + ln 𝑒 = 1 + 1 = 2 
𝐥𝐢𝐦 
𝒙→∞
𝒆
𝟏+𝒙
𝟏−𝒙
𝟐
 
69 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙
𝟐
 70 
É de salientar que: 𝑒∞ = + ∞ , devido as propriedades dos limites para as exponenciais: 
P.1 SE a >0 lim 
𝑥→− ∞
𝑎𝑥 = 0 𝑒 lim 
𝑥→∞
𝑎𝑥 = + ∞ 
P.2 SE 0< a <1 lim 
𝑥→+∞
𝑎𝑥 = 0 𝑒 lim 
𝑥→−∞
𝑎𝑥 = + ∞ 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙
𝒙
 71 
P á g i n a | 41 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
𝑒𝑥
2
−1
𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
𝑒𝑥
2
− 1
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑒𝑥
2
− 1
𝑥
×
𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
(
𝑒𝑥
2
− 1
𝑥2
) × 𝑥 = ln 𝑒 × 0 = 0 
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→3
𝑥2−9
𝑒𝑥−3−1
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑
𝒙𝟐 − 𝟗
𝒆𝒙−𝟑 − 𝟏
= lim
𝑥→3
𝑥 − 3
𝑒𝑥−3 − 1
× (𝑥 + 3) = lim
𝑥−3→0
(
𝑒𝑥−3 − 1
𝑥 − 3
)
−1
× lim
𝑥→3
(𝑥 + 3) 
= (ln 𝑒)−1 × 6 =
1
1
× 6 = 6 
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→1
(
9𝑥−9
3𝑥−3
) =
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
(
𝟗𝒙 − 𝟗
𝟑𝒙 − 𝟑
) = lim
𝑥→1
32𝑥 − 32
3𝑥 − 3
= lim
𝑥→1
(3𝑥)2 − 32
3𝑥 − 3
= lim
𝑥→1
(3𝑥 − 3)(3𝑥 + 3)
3𝑥 − 3
 
= lim
𝑥→1
(3𝑥 + 3) = 3 + 3 = 6 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒆𝒙
𝟐
− 𝟏
𝒙
 72 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑
 
𝒙𝟐 − 𝟗
𝒆𝒙−𝟑 − 𝟏
 73 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
 
𝟗𝒙 − 𝟗
𝟑𝒙 − 𝟑
 74 
P á g i n a | 42 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
ln(1+𝑥)
𝑥
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝐥𝐧(𝟏 + 𝒙)
𝒙
= lim
𝑥→∞
1
𝑥
× ln(1 + 𝑥) = lim
𝑥→∞
ln ((1 + 𝑥)
1
𝑥) = ln lim
𝑥→∞
(1 + 𝑥)
1
𝑥 
= ln lim
𝑥→∞
(1 +
1
1
𝑥
)
1
𝑥
= ln 𝑒 = 1 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
ln(1+3𝑥)
𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐥𝐧(𝟏 + 𝟑𝒙)
𝒙
= lim
𝑥→∞
1
𝑥
× ln(1 + 3𝑥) = lim
𝑥→∞
ln ((1 + 3𝑥)
1
𝑥) 
= ln lim
𝑥→∞
(1 + 3𝑥)
1
𝑥
 × 
3
3 = ln lim
𝑥→∞
[
 
 
 
 
(1 +
1
1
3𝑥
)
1
3𝑥
]
 
 
 
 
3
= ln 𝑒3 = 3 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝐥𝐧(𝟏 + 𝒙)
𝒙
 75 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐥𝐧(𝟏 + 𝟑𝒙)
𝒙
 76 
P á g i n a | 43 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
ln (
3𝑥+1
3𝑥−5
)
2−𝑥
=
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→∞
ln (
3𝑥 + 1
3𝑥 − 5
)
2−𝑥
= ln [ lim
𝑥→∞(1 +
3𝑥 + 1
3𝑥 − 5
− 1)
2−𝑥
] 
= ln [ lim
𝑥→∞
(1 +
3𝑥 + 1 − (3𝑥 − 5)
3𝑥 − 5
)
2−𝑥
] = ln [ lim
𝑥→∞
(1 +
3𝑥 + 1 − 3𝑥 + 5
3𝑥 − 5
)
2−𝑥
] 
= ln [ lim
𝑥→∞
(1 +
3𝑥 + 1 − 3𝑥 + 5
3𝑥 − 5
)
2−𝑥
] = ln [ lim
𝑥→∞
(1 +
6
3𝑥 − 5
)
2−𝑥
] 
=ln [ lim
𝑥→∞
(1 +
6
3𝑥−5
)
2−𝑥
] = ln [ lim
𝑥→∞
(1 +
1
3𝑥−5
6
)
2−𝑥
] 
= ln [ lim
𝑥→∞
(1 +
1
3𝑥 − 5
6
)
2−𝑥
]
3𝑥−5
6
×
6
3𝑥−5
= ln
[
 
 
 
 
lim
𝑥→∞
(1 +
1
3𝑥 − 5
6
)
3𝑥−5
6
]
 
 
 
 
6(2−𝑥)
3𝑥−5
 
= ln[𝑒]
lim
𝑥→∞
6(2−𝑥)
3𝑥−5 = ln[𝑒]−
6
3 = −2 
 
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
 
1−3𝑥
sen3𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝟏 − 𝟑𝒙
𝐬𝐞𝐧𝟑𝒙
= lim
𝑥→0
1 − 3𝑥
𝑥
sen3𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
−(
3𝑥 − 1
𝑥 )
3 ×
sen 3𝑥
3𝑥
=
−lim
𝑥→0
(
3𝑥 − 1
𝑥 )
3 lim
3𝑥→0
(
sen 3𝑥
3𝑥 )
= −
ln3
3
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝐥𝐧 (
𝟑𝒙 + 𝟏
𝟑𝒙 − 𝟓
)
𝟐−𝒙
 77 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝟏 − 𝟑𝒙
𝐬𝐞𝐧𝟑𝒙
 78 
P á g i n a | 44 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
ln (
𝑥+1
𝑥−1
) =
∞
∞
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→∞
ln (
𝑥 + 1
𝑥 − 1
) = ln [ lim
𝑥→∞
(
𝑥 + 1
𝑥 − 1
)] = ln lim
𝑥→∞
[
(
𝑥 + 1
𝑥 )
(
𝑥 − 1
𝑥 )
] = ln lim
𝑥→∞
[
(1 +
1
𝑥)
(1 −
1
𝑥)
] 
= ln(
1 +
1
∞
1 −
1
∞
) = ln 1 = 0 
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
[𝑥 log2(𝑥 + 4) − 𝑥 log2 𝑥] = ∞ −∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
[𝒙 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟒) − 𝒙 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙] = lim
𝑥→∞
𝑥[log2(𝑥 + 4) − log2 𝑥] 
= lim
𝑥→∞
𝑥 [log2 (
𝑥 + 4
𝑥
)] = lim
𝑥→∞
log2 (
𝑥 + 4
𝑥
)
𝑥
= log2 [ lim
𝑥→∞
(
𝑥 + 4
𝑥
)
𝑥
] 
= log2 [ lim
𝑥→∞
(1 +
4
𝑥
)
𝑥
] = log2
[
 
 
 
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
4
)
𝑥
4
 × 4
]
 
 
 
= log2
[
 
 
 
 
lim
𝑥→∞
(
 (1 +
1
𝑥
4
)
𝑥
4
)
 
4
]
 
 
 
 
 
= log2 𝑒
4 = 4 log2 𝑒 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝐥𝐧 (
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟏
) 79 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
[𝒙 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟒) − 𝒙 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙] 80 
P á g i n a | 45 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→
𝜋
4
sen𝑥−cos𝑥
cos 2𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) = 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒙 
lim
𝑥→
𝜋
4
sen 𝑥 − cos 𝑥
cos2𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
4
 
sen 𝑥 − cos𝑥
𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒙
= lim
𝑥→
𝜋
4
sen 𝑥 − cos 𝑥
(cos 𝑥 − sen 𝑥)(cos 𝑥 + sen 𝑥)
 
= lim
𝑥→
𝜋
4
 
−(cos 𝑥 − sen𝑥)
(cos 𝑥 − sen 𝑥)(cos 𝑥 + sen 𝑥)
= − lim
𝑥→
𝜋
4
 
1
(cos 𝑥 + sen 𝑥)
 
= −
1
cos (
𝜋
4) + sen (
𝜋
4)
= −
1
√2
2
+
√2
2
= −
1
√2
= −
√2
2
 
 
 
Resolução: lim 
𝑥→0
 
sen𝑥
𝑒𝑥−1
=
0
0
(𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
sen 𝑥
𝑒𝑥 − 1
= lim
𝑥→0
𝑥
𝑥
×
sen 𝑥
𝑒𝑥 − 1
= lim
𝑥→0
sen 𝑥
𝑥
𝑒𝑥 − 1
𝑥
=
lim
𝑥→0
(
sen 𝑥
𝑥 )
lim
𝑥→0
(
𝑒𝑥 − 1
𝑥 )
=
1
ln 𝑒
= 1 
 
 
 Resolução: lim
𝑥→0
𝑥 ln 𝑥 = 0 × ∞ (𝑖𝑛𝑑. ) podemos usar L’ Hospital transformando 
esta indeterminação em uma do tipo 0/0 ou ∞/∞, usando a propriedade do logaritmo. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒙 𝐥𝐧𝒙 = lim
𝑥→0
ln 𝑥
1
𝑥
=
0
0
(𝑖𝑛𝑑. ) → lim
𝑥→0
(ln 𝑥)′
(
1
𝑥)
′ 
= lim
𝑥→0
1
𝑥
−
1
𝑥2
= lim
𝑥→0
−
𝑥2
𝑥
= lim
𝑥→0
(−𝑥) = 0 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝝅
𝟒
𝐬𝐞𝐧 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙
 81 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝐬𝐞𝐧𝒙
𝒆𝒙 − 𝟏
 82 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 𝒙 𝐥𝐧 𝒙 83 
Regras de derivação: 
(𝐥𝐧𝒖)′ =
(𝒖)′
𝒖
 
(
𝒖
𝒗
)
′
=
𝒖′ ∗ 𝒗 − 𝒗′ ∗ 𝒖
𝒗𝟐
 
 
P á g i n a | 46 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→0
arctg3𝑥
arctg 2𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ), para resolver podemos usar um método que é 
aplicável para todos os limites com indeterminação 0/0 ou ∞/∞, chamado L’Hospital, que 
consiste em derivar o denominador e o numerador: 
lim
𝑥→0
(arctg3𝑥)′
(arctg2𝑥)′
= , segundo a regra: (𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝒖)′ =
𝒖′
𝟏+𝒖𝟐
 
lim
𝑥→0
(3𝑥)′
1 + (3𝑥)2
(2𝑥)′
1 + (2𝑥)2
= lim
𝑥→0
[
(
3
1 + 9𝑥2
)
(
2
1 + 4𝑥2
)
] =
3
1 + (9 × 0)
2
1 + (4 × 0)
=
3
2
 
 
Resolução: lim
𝑥→∞
𝑥
1
𝑥 = ∞0(𝑖𝑛𝑑. ) podemos usar L’ Hospital transformando esta 
indeterminação em uma do tipo 0/0 ou ∞/∞. Usando uma propriedade do logaritmo natural: 
𝑒ln 𝑎 = 𝑎 : 
lim
𝑥→∞
𝑥
1
𝑥 = 𝑒
ln lim
𝑥→∞
𝑥
1
𝑥
= 𝑒
lim
𝑥→∞
ln 𝑥
1
𝑥
 
lim
𝑥→∞
ln 𝑥
1
𝑥 = lim
𝑥→∞
1
𝑥
× ln 𝑥 =
∞
∞
(𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→∞
(ln 𝑥)′
(𝑥)′
= lim
𝑥→∞
(
1
𝑥)
1
= lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 0 , 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒
𝐥𝐧 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙
𝟏
𝒙
= 𝑒0 = 1 
 
Resolução: lim
𝑥→0
ln(1+4𝑥)
3𝑥−1
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
(ln(1 + 4𝑥))′
(3𝑥 − 1)′
= lim
𝑥→0
(1 + 4𝑥)′
1 + 4𝑥
3𝑥 ln 3
= lim
𝑥→0
4
1 + 4𝑥
3𝑥 ln 3
= lim
𝑥→0
4
(1 + 4𝑥)3𝑥 ln 3
=
4
30 ln 3 (1 + 0)
=
𝟒
𝐥𝐧𝟑
 
Onde u representa 
uma variável ou 
uma função, então: 
Calculamos o limite no expoente usando 
L’Hospital, primeiro transformando o 
tipo de indeterminação. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝟑𝒙
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝟐𝒙
 84 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙
𝟏
𝒙
 85 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐥𝐧(𝟏 + 𝟒𝒙)
𝟑𝒙 − 𝟏
 86 
P á g i n a | 47 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→
𝜋
4
(tg 𝑥)tg 2𝑥 = 1∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝝅
𝟒
(𝐭𝐠 𝒙)𝐭𝐠 𝟐𝒙 = 𝑒
ln lim
𝑥→
𝜋
4
(tg 𝑥)tg2𝑥
= 𝑒
lim
𝑥→
𝜋
4
ln(tg 𝑥)tg 2𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
4
ln(tg 𝑥)tg 2𝑥 
= lim
𝑥→
𝜋
4
tg(2𝑥) ln(tg 𝑥) = lim
𝑥→
𝜋
4
ln(tg 𝑥)
1
tg(2𝑥)
=
0
0
(𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→
𝜋
4
(ln(tg 𝑥))′
(
1
tg(2𝑥)
)
′ = lim
𝑥→
𝜋
4
sec2 𝑥
tg 𝑥
−
2 sec2 2𝑥
tg2 2𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
4
(
1
cos2 𝑥 ×
sen 𝑥
cos 𝑥
)
−(
2
cos2 2𝑥 ×
sen2 2𝑥
cos2 2𝑥
)
= lim
𝑥→
𝜋
4
1
cos 𝑥 × sen 𝑥
−
2
sen2 2𝑥
 
= − lim
𝑥→
𝜋
4
sen2 2𝑥
2 cos 𝑥 × sen 𝑥
= −
sen2 (2
𝜋
4)
2 cos (
𝜋
4) × sen (
𝜋
4)
= −
sen2 (
𝜋
2)
2 cos (
𝜋
4) × sen (
𝜋
4)
 
= −
(1)2
2 cos (
𝜋
4) × sen (
𝜋
4)
= −
1
2 ×
√2
2
×
√2
2
= −
1
(√2)
2
2
= −1 
Voltando em: 𝑒
ln lim
𝑥→
𝜋
4
(tg𝑥)tg2𝑥
 e sabendo que ln [lim
𝑥→
𝜋
4
(tg 𝑥)tg2𝑥] = −1, então: 
A= 𝑒
ln lim
𝑥→
𝜋
4
(tg 𝑥)tg2𝑥
= 𝑒−1 =
1
𝑒
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝝅
𝟒
(𝐭𝐠 𝒙)𝐭𝐠 𝟐𝒙 87 
P á g i n a | 48 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→0
(cos 𝑥)
1
𝑥 = 1∞ (𝑖𝑛𝑑. ) 
 𝐋𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(𝐜𝐨𝐬𝒙)
𝟏
𝒙 = 𝑒
ln lim
𝑥→0
(cos𝑥)
1
𝑥
= 𝑒
lim
𝑥→0
ln(cos𝑥)
1
𝑥
 
Então calculando primeiro o limite: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐥𝐧(𝐜𝐨𝐬𝒙)
𝟏
𝒙 = lim
𝑥→0
1
𝑥
× ln(cos 𝑥) =
0
0
(𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
(ln(cos𝑥))′
(𝑥)′
= lim
𝑥→0
−sen𝑥
cos𝑥
1
= −lim
𝑥→0
sen𝑥
cos𝑥
= −
sen0
cos0
= 0 
Voltando em: 𝑒
ln lim
𝑥→0
(cos 𝑥)
1
𝑥
e sabendo que ln [lim
𝑥→0
(cos 𝑥)
1
𝑥] = 0, então: 
B= 𝑒
ln lim
𝑥→0
(cos 𝑥)
1
𝑥
= 𝑒0 = 1 
 
 
Resolução: lim
𝑥→4
ln(𝑥+5)−ln9
4−𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
 
lim
𝑥→4
ln(𝑥 + 5) − ln 9
4 − 𝑥
= lim
𝑥→4
ln (
𝑥 + 5
9 )
4 − 𝑥
 
 
lim
𝑦→0
𝑦
4 − (9𝑒𝑦 − 5)
= lim 
𝑦→0
 
𝑦
4 − 9𝑒𝑦 + 5)
= lim
𝑦→0
 
𝑦
−9𝑒𝑦 + 9
 = lim
𝑦→0
𝑦
(−9)(𝑒𝑦 − 1)
 
= −
1
9
lim
𝑦→0
𝑦
(𝑒𝑦 − 1)
= −
1
9
lim
𝑦→0
(
𝑒𝑦 − 1
𝑦
)
−1
= −
1
9
× ln 𝑒 = −
1
9
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(𝐜𝐨𝐬 𝒙)
𝟏
𝒙
 88 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟒
𝐥𝐧(𝒙 + 𝟓) − 𝐥𝐧𝟗
𝟒 − 𝒙
 89 
Usando mudança de variável 
temos: ln (
𝑥+5
9
) = 𝑦 isolando x 
temos: 
𝑥+5
9
= 𝑒𝑦 ↔ 
𝒙 + 𝟓 = 𝟗𝒆𝒚 ↔ 𝒙 = 𝟗𝒆𝒚 − 𝟓 
𝑥 → 4 temos que 𝑦 → 0 
 
P á g i n a | 49 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 Resolução: lim
𝑥→0
arcsen𝑥
𝑥
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
Mudando de variável: arcsen 𝑥 = 𝑦, se 𝑥 → 0 então 𝑦 → 0, sen 𝑦 = 𝑥 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧𝒙
𝒙
= lim
𝑥→0
 
𝑦
sen𝑦
= lim
𝑥→0
1
(
sen𝑦
𝑦 )
= 1 
 
Resolução: lim
𝑥→0
sen(2𝑥)
√𝑥+3−√3
=
0
0
 (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐬𝐞𝐧(𝟐𝒙)
√𝒙 + 𝟑 − √𝟑
= lim
𝑥→0
sen(2𝑥)
√𝑥 + 3 − √3
×
√𝑥 + 3 + √3
√𝑥 + 3 + √3
= lim
𝑥→0
sen(2𝑥) (√𝑥 + 3 + √3)
(√𝑥 + 3)
2
− (√3)
2 
= lim
𝑥→0
sen(2𝑥) (√𝑥 + 3 + √3)
𝑥 + 3 − 3
= lim
𝑥→0
sen(2𝑥) (√𝑥 + 3 + √3)
𝑥
 
= lim
𝑥→0
2
sen(2𝑥)
2𝑥
(√𝑥 + 3 + √3) = lim
𝑥→0
2(√𝑥 + 3 + √3) = 2(√0 + 3 + √3) = 4√3 
 
 
 
 Resolução: lim
𝑥→0
𝑥3+𝜋𝑥
sen(3𝑥)
=
0
0
(𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
𝑥3 + 𝜋𝑥
sen(3𝑥)
= lim
𝑥→0
𝑥(𝑥2+ 𝜋)
sen(3𝑥)
= lim
𝑥→0
 
𝑥2 + 𝜋
(3 ×
sen(3𝑥)
3𝑥 )
=
(0)2 + 𝜋
3( lim
3𝑥→0
sen(3𝑥)
3𝑥 )
=
𝜋
3
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙
𝒙
 90 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐬𝐞𝐧(𝟐𝒙)
√𝒙 + 𝟑 − √𝟑
 91 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒙𝟑 + 𝝅𝒙
𝐬𝐞𝐧(𝟑𝒙)
 92 
P á g i n a | 50 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→0
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2𝑥−sen𝑥
=
0
0
, (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
(𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)′
(2𝑥 − sen𝑥)′
= lim
𝑥→0
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2 − cos 𝑥
=
𝑒0 + 𝑒0
2 − cos 0
=
1 + 1
2 − 1
= 2 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
 
ln 𝑥
ln(sen𝑥)
=
∞
∞
(𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
(ln 𝑥)′
(ln (sen 𝑥))′
= lim
𝑥→0
 
1
𝑥
(
cos 𝑥
sen 𝑥)
= lim
𝑥→0
1
cos 𝑥
× lim
𝑥→0
sen 𝑥
𝑥
=
1
cos(0)
× 1 = 1 
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
ln(1+4𝑥)
3𝑥−1
=
0
0
(𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
(ln(1 + 4𝑥))′
(3𝑥 − 1)′
= lim
𝑥→0
(
4
1 + 4𝑥)
3𝑥 ln 3
=
4
1 + 4 × 0
30 ln 3
=
4
ln 3
 
 
 
Resolução: lim
𝑥→1
(
1− √𝑥
𝑛
1− √𝑥
𝑚 ) =
0
0
(𝑖𝑛𝑑. ), 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 𝑒 𝑛 ∈ ℝ 
Supondo que: 𝑥 = 𝑡𝑚𝑛, se 𝑥 → 1 então 𝑡 → 1 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
 
𝟏 − √𝒙
𝒏
𝟏 − √𝒙
𝒎 = lim𝑡→1
1 − √𝑡𝑚𝑛
𝑛
1 − √𝑡𝑚𝑛
𝑚 = lim𝑡→1
(1 − 𝑡𝑚)′
(1 − 𝑡𝑛)′
= lim
𝑡→1
−𝑚𝑡𝑚−1
−𝑛𝑡𝑛−1
=
𝑚1𝑚−1
𝑛1𝑛−1
=
𝑚
𝑛
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙
𝟐𝒙 − 𝐬𝐞𝐧𝒙
 93 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝐥𝐧 𝒙
𝐥𝐧(𝐬𝐞𝐧 𝒙)
 94 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐥𝐧(𝟏 + 𝟒𝒙)
𝟑𝒙 − 𝟏
 95 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
 
𝟏 − √𝒙
𝒏
𝟏 − √𝒙
𝒎 96 
P á g i n a | 51 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→0
 
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2𝑥−sen𝑥
=
0
0
 , (𝑖𝑛𝑑. ) 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙
𝟐𝒙 − 𝐬𝐞𝐧𝒙
= lim
𝑥→0
(𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)′
(2𝑥 − sen 𝑥)′
= lim
𝑥→0
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2 − cos 𝑥
=
𝑒0 + 𝑒0
2 − cos(0)
=
2
1
= 2 
 
 
Resolução: lim
𝑥→0
 
𝑥−sen𝑥
𝑒𝑥−𝑒−𝑥−2𝑥
=
0
0
(𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→0
(𝑥−sen𝑥)′
(𝑒𝑥−𝑒−𝑥−2𝑥)′
= lim
𝑥→0
1−cos (𝑥)
𝑒𝑥+𝑒𝑥−2
= lim
𝑥→0
1−cos (𝑥)
2𝑒𝑥−2
=lim
𝑥→0
1−cos (𝑥)
𝑥
2𝑒𝑥−2
𝑥
 
=
lim
𝑥→0
1 − cos (𝑥)
𝑥
lim
𝑥→0
 
2𝑒𝑥 − 2
𝑥
= 
lim
𝑥→0
1 − cos (𝑥)
𝑥
×
1 + cos (𝑥)
1 + cos (𝑥)
2 lim
𝑥→0
 
(𝑒𝑥 − 1)
𝑥
= 
lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑥(1 + cos(𝑥))
2
 
=
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑥(1 + cos(𝑥))
2
=
lim
𝑥→0
sen(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥(1 + cos(𝑥))
2
=
lim
𝑥→0
sen(𝑥)
𝑥
× lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
(1 + cos(𝑥))
2
 
=
1 × 0
2
= 0 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙
𝟐𝒙 − 𝐬𝐞𝐧𝒙
 97 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒙 − 𝐬𝐞𝐧𝒙
𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙 − 𝟐𝒙
 98 
P á g i n a | 52 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
Resolução: lim
𝑥→
𝜋
2
1−sen𝑥
2𝑥−𝜋
=
0
0
(𝑖𝑛𝑑. ) 
Mudando de variável: 𝑦 = 𝑥 −
𝜋
2
 , se 𝑥 →
𝜋
2
 então 𝑦 → 0, 𝑥 = 𝑦 +
𝜋
2
 
lim
𝑥→0
1 − sen (𝑦 +
𝜋
2)
2 (𝑦 +
𝜋
2) − 𝜋
= lim
𝑥→0
1 − sen (𝑦 +
𝜋
2)
2𝑦 + 𝜋 − 𝜋
= lim
𝑥→0
1 − sen (𝑦 +
𝜋
2)
2𝑦
 
sen(𝑎 + 𝑏) = sen 𝑎 cos 𝑏 + sen 𝑏 cos 𝑎 
= lim
𝑥→0
1 − (sen 𝑦 cos
𝜋
2
+ sen
𝜋
2
cos 𝑦)
2𝑦
= lim
𝑥→0
1 − cos𝑦
2𝑦
×
1 + cos𝑦
1 + cos𝑦
 
= lim
𝑥→0
1 − cos2 𝑦
2𝑦(1 + cos 𝑦)
= lim
𝑥→0
sen2 𝑦
2𝑦(1 + cos 𝑦)
= lim
𝑥→0
[
sen 𝑦
𝑦
×
sen 𝑦
2(1 + cos 𝑦)
] 
=
sen0
2(1 + cos 0)
=
0
4
= 0 
 
 
Resolução: lim
𝑥→𝑝
sen(𝑥2−𝑝2)
𝑥−𝑝
=
0
0
(𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→𝑝
sen(𝑥2 − 𝑝2)
𝑥 − 𝑝
= lim
𝑥→𝑝
sen((𝑥 − 𝑝)(𝑥 + 𝑝))
𝑥 − 𝑝
 
Usando substituição teremos: 𝑢 = 𝑥 − 𝑝, se 𝑥 → 𝑝 então 𝑢 → 0 e 𝑥 = 𝑢 + 𝑝, então: 
lim
𝑢→0
sen(𝑢(𝑢 + 𝑝 + 𝑝))
𝑢
= lim
𝑢→0
sen(𝑢(𝑢 + 2𝑝))
𝑢
×
𝑢 + 2𝑝
𝑢 + 2𝑝
 
= lim
𝑢(𝑢+2𝑝)→0
[
sen(𝒖(𝒖 + 𝟐𝒑))
𝒖(𝒖 + 𝟐𝒑)
] × lim
𝑢→0
(𝑢 + 2𝑝) = 1 × (0 + 2𝑝) = 2𝑝 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝝅
𝟐
 
𝟏 − 𝐬𝐞𝐧𝒙
𝟐𝒙 − 𝝅
 99 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒑
𝐬𝐞𝐧(𝒙𝟐 − 𝒑𝟐)
𝒙 − 𝒑
 100 
P á g i n a | 53 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝒆𝒔𝒕𝒖 𝒙)
𝒙
× 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒆𝒅𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒙 − 𝟏
𝒙
 × 𝒄𝒂𝒓𝒏𝒆𝒊𝒓𝒐 = 
= lim
𝑥→0
 𝑒𝑠𝑡𝑢
𝑠𝑒𝑛(𝑒𝑠𝑡 𝑥)
𝑒𝑠𝑡𝑢 𝑥
× lim
𝑥→0
𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑒𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 − 1
𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥
 × 𝑐𝑎𝑟𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜 
= 𝑒𝑠𝑡𝑢 lim
𝑥→0
 
𝑠𝑒𝑛(𝑒𝑠𝑡𝑢 𝑥)
𝑒𝑠𝑡𝑢 𝑥
× 𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 lim
𝑥→0
 
𝑒𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 − 1
𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥
 × 𝑐𝑎𝑟𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜 
= 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒂𝒏𝒕𝒆 × 𝒄𝒂𝒓𝒏𝒆𝒊𝒓𝒐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝒆𝒔𝒕𝒖 𝒙)
𝒙
× 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒆𝒅𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒙 − 𝟏
𝒙
 × 𝒄𝒂𝒓𝒏𝒆𝒊𝒓𝒐 ESCR 
1 1 
P á g i n a | 54 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Continuidade de 
Uma função 
O estudo da Continuidade de uma função está fortemente vinculado 
com o estudo de limites, pois quando quer-se saber se uma função é 
continua deve-se analisar também a existência do limite. 
Uma função 𝑓(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝑎 se as seguintes condições forem 
satisfeitas: 
a) 𝑓(𝑎) está definida; 
b) 𝑓(𝑥) existir, quando os limites laterais são iguais 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) ; 
c) lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). 
Caso contrário a função é descontínua. 
 
P á g i n a | 55 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
EXERCÍCIOS SOBRE CONTINUIDADE 
 
 
 
 
Resolução: Quando x =1 , 𝒇(𝟏) = 𝟑 
Agora devemos calcular o limite: 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
(
3
2−𝑥
) =
3
2−1
= 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 𝒇(𝟎) = 𝟐 
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0
(
1
𝑥2
) =
1
0
= + ∞ 
 
 
 
 
Portanto a função é contínua porque, 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝟏)=3 
Portanto a função é descontínua 
porque, lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(0). 
Verifique se a função é contínua em x= 1, onde: 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 3
2 − 𝑥 
 , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
. .
. .
3 , 𝑠𝑒 𝑥 = 1
 
 
1 
Verifique se a função é contínua em x= 0, onde: 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 1
𝑥2
 , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
. .
. .
2 , 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 
 
2 
P á g i n a | 56 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
 
 
 
Resolução: Quando x=1 , 𝒇(𝟏) = 1 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
= lim
𝑥→1
(𝑥+1)(𝑥−1)
(𝑥−1)
= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1) = 1 + 1 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 𝒇(𝟏) =
𝟑
𝟐
 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
1 − √𝑥
1 − √𝑥
3 =
0
0
(𝑖𝑛𝑑. ) 
= lim
𝑥→1
1 − √𝑥
1 − √𝑥
3 = lim𝑥→1
1 − √𝑥
1 − √𝑥
3 × (
1 + √𝑥
1 + √𝑥
) × (
1 + √𝑥
3
+ √𝑥2
3
1 + √𝑥
3
+ √𝑥2
3 ) 
 = lim
𝑥→1
(1−𝑥)(1+ √𝑥
3
+ √𝑥2
3
)
(1−𝑥)(1+√𝑥)
= lim
𝑥→1
1+ √𝑥
3
+ √𝑥2
3
1+√𝑥
=
1+1+1
1+1
=
3
2
 
 
 
Portanto a função é descontínua 
porque, lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(1) 
Portanto a função é contínua 
porque, lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 𝑓(1) =
3
2
 
Verifique se a função é contínua em x= 1, onde: 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
1 , 𝑠𝑒 𝑥 = 1
. .
. .
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
 , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
 
 
3 
Verifique se a função é contínua em x= 1, onde: 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
3
2
 , 𝑠𝑒 𝑥 = 1
. .
. .
1 − √𝑥
1 − √𝑥
3 , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
 
 
4 
P á g i n a | 57 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
 
 
 
Resolução: Quando x=1, 𝒇(𝟏) = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐 
Agora devemos calcular os limites laterais, ou seja, o valor do limite quando x 
tende aos valores que se aproximam esquerda e a direita de 1: (a direita + e a 
esquerda -) 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
(𝑥 + 1) = 2 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
(𝑥2) = 1 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: Quando x= -2 , 𝒇(−𝟐) = 𝟏 
lim
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−2+
( 𝑥 + 1) = 1 + 1 = 2 
lim
𝑥→−2−
(𝑥2) = (−2)2 = 4 
 
 
 
Portanto a função é descontínua porque, 
lim
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→−2−
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−2) 
Ou seja.. 
3=3 
Portanto a função é descontínua porque, 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 𝑓(1) 
Ou seja.. 
3=3 
Verifique se a função é contínua em x= 1, onde: 
𝑓(𝑥) = {
 𝑥 + 1 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
. .
. .
𝑥2 , 𝑠𝑒 𝑥 < 1
 
 
5 
Verifique se a função é contínua em x= -2 , onde: 
𝑓(𝑥)= {
 𝑥2 , 𝑠𝑒 𝑥 < −2
1, 𝑠𝑒 𝑥 = −2
.
𝑥 + 1 , 𝑠𝑒 𝑥 > −2
 
 
6 
P á g i n a | 58 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
 
 
 
Resolução: 𝑓(4) = (2 × 4) + 3 = 8 + 3 = 11 
lim
𝑥→4+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→4+
7 +
16
𝑥
= 7 +
16
4
= 7 + 4 = 11 
lim
𝑥→4−
2𝑥 + 3 = (2 × 4) + 3 = 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: Quando x=2 , 𝒈(𝟐) = 𝟓 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐+
𝒈(𝒙) = lim
𝑥→2+
𝑥3−2𝑥2+𝑥−2
𝑥−2
=
0
0
 , (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→2+
𝑥3−2𝑥2+𝑥−2
𝑥−2
= lim
𝑥→2+
𝑥2(𝑥−2)+𝑥−2
𝑥−2
= lim
𝑥→2+
(𝑥2+1)(𝑥−2)
𝑥−2
 
= lim
𝑥→2+
𝑥2 + 1 = 4 + 1 = 5 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐−
𝒈(𝒙) = lim
𝑥→2−
𝑥2+𝑥−6
𝑥−2
=
0
0
 , (𝑖𝑛𝑑. ) 
lim
𝑥→2−
𝑥2+𝑥−6
𝑥−2
= lim
𝑥→2−
(𝑥+3)(𝑥−2)
𝑥−2
= lim
𝑥→2−
𝑥 + 3 = 2 + 3 = 5 
 
Portanto a função é contínua porque, 
 lim
𝑥→4+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→4−
𝑓(𝑥) = 𝑓(4) = 11 
Verifique se a função é contínua: 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
 2𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 4
.
.
7 +
16
𝑥
 , 𝑠𝑒 𝑥 > 4
 
 
7 
Verifique se a função é contínua em x=2, onde: 
𝑔(𝑥) =
{
 
 
 
 
𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥 − 2
, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
5, 𝑠𝑒 𝑥 = 2
𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥 − 2
, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 
 
 
8 
Portanto a função é contínua porque, 
lim
𝑥→2+
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→2−
𝑔(𝑥) = 𝑔(2) = 5 
 
P á g i n a | 59 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
 
Resolução: 𝑓(2) = 2 ∗ 2 + 3 = 4 + 3 = 7 
 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐+
𝒇(𝒙) = lim
𝑥→2+
(2𝑥 + 3) = 4 + 3 = 7 
 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = lim
𝑥→2−
𝑥2 + 𝑘𝑥 − 2 = 4 + 2𝑘 − 2 = 2 + 2𝑘 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = 7 → 2 + 2𝑘 = 7 
𝟐𝒌 = 𝟕 − 𝟐 
2𝑘 = 5 → 𝑘 =
5
2
 
A função será continua ⟺ 𝒌 =
𝟓
𝟐
 
 
 
 
 
Resolução: 𝒇(𝟐) = 𝟐𝒌 + 𝟐 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = lim
𝑥→2−
𝑥2−2𝑥
𝑥2−5𝑥+6
= lim
𝑥→2−
𝑥(𝑥−2)
(𝑥−2)(𝑥−3)
= lim
𝑥→2−
𝑥
𝑥−3
=
2
−1
= −2 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = 𝑓(2) 
−2 = 2𝑘 + 2 
2𝑘 = −4 
𝒌 = −𝟐 A função será continua ⟺ 𝒌 = −𝟐 
Para que a função seja contínua: lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝑓(2) = 7, então: 
Encontre o valor de k, para que a função seja contínua: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 𝑘𝑥 − 2, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
 
9 
Encontre o valor de k, para que a função seja contínua: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 2𝑥
𝑥2 − 5𝑥 + 6
, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
2𝑘 + 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
 
10 
P á g i n a | 60 
 
Sebenta 100 limites – Estudante Carneiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
Bibliográficas 
1. http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm13/document/limites/li
mite_6/limite_6.htm. Acesso em: 22/12/2019 
2. https://www.alfaconnection.pro.br/matematica/limites-
derivadas-e-integrais/limites/limites-que-nos-conduzem-a-
indeterminacoes/. Acesso em: 21/12/2019 
3. https://www.dicasdecalculo.com.br/conteudos/limites-e-
continuidade/continuidade-de-uma-funcao/. Acesso em: 31/12/2019