Unidade 1 - Tópico 1

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UNIDADE 1 – TÓPICO 1 
QUESTÃO 1 
Matrizes são tabelas que respeitam uma ordem de formação, possuem respectivamente linhas e 
colunas. A denominação “Matrizes” surgiu no século XIII com James Joseph Sylvester, e foi apenas 
no século XIX que o matemático inglês Arthur Cayley sistematizou a teoria das matrizes a partir 
da Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero 
capítulo da Teoria das Matrizes. Esse tipo especial de tabela possui propriedades e definições. 
Sobre elas, leia atentamente as sentenças a seguir: 
 
I - O produto de uma matriz por outra é determinado por meio do produto dos seus respectivos 
elementos. Falso! Todos os elementos das linhas da primeira matriz multiplicam todos os 
elementos das colunas da segunda matriz. 
 
II - Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem mxn, vale a igualdade (A + B) + C = A + (B 
+ C). 
 
III - Em geral, A·B ≠ B·A, para A e B duas matrizes quaisquer, isto é, não é válida a propriedade 
comutativa da multiplicação para matrizes. 
 
Agora, assinale a alternativa CORRETA: 
 
a) ( ) Apenas a sentença II é verdadeira. 
b) ( ) As sentenças I e II são verdadeiras. 
c) ( ) As sentenças I e III são verdadeiras. 
d) (X) As sentenças II e III são verdadeiras. 
 
QUESTÃO 2 
 
A história da matemática retrata que os estudos das matrizes tiveram seu início por volta do 
século II a.C., presentes em textos chineses sobre aplicação de sistemas lineares. Porém, o nome 
matriz veio somente no século XIII, com James Joseph Sylvester. Matrizes são tabelas que 
respeitam uma ordem de formação, possuem respectivamente linhas e colunas. Esse tipo 
especial de tabela possui propriedades e definições. Entre as propriedades mais importantes está 
a multiplicação de matrizes. Sobre a multiplicação de matrizes, leia atentamente as sentenças a 
seguir: 
 
I - O produto das matrizes X, de ordem 2x5, e Z, de ordem 5x5, é uma matriz de ordem 2x5. 
II - O produto das matrizes X de ordem 1x6 e Z de ordem 6x2 é uma matriz coluna de ordem 1x2. 
Falsa! Essa estrutura não é de uma matriz coluna. A matriz coluna é toda matriz formada por uma 
única coluna. Matriz de ordem (1x2), significa que tem 1 linha e 2 colunas. 
 
III - O produto das matrizes X de ordem 3x7 e Z de ordem 7x4 é uma matriz quadrada de ordem 
3x4. Falsa! Essa estrutura não é de uma matriz quadrada. Para Paiva (2013, p. 96), “matriz 
quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas” 
 
A alternativa VERDADEIRA é: 
 
a) ( ) As sentenças I e III estão corretas. 
b) ( ) Apenas III está correta. 
c) ( ) Apenas II está correta. 
d) (X) Apenas I está correta. 
 
QUESTÃO 3 
 
Uma forma bastante interessante de ensinar matrizes inversas e multiplicação de matrizes é 
utilizando a criptografia. A criptografia é o estudo dos princípios e técnicas pelas quais a 
informação pode ser codificada, de forma que possa ser conhecida apenas pelas pessoas 
detentoras do código. Um professor de matemática resolveu codificar suas mensagens através 
da multiplicação de matrizes, para isso, ele associou as letras do alfabeto aos números, conforme 
a tabela a seguir: 
 
 
Desta forma, supondo que o professor deseja enviar a mensagem "AMOR", pode-se tomar uma 
matriz 𝑀2𝑥2, da forma: [
𝐴 𝑀
𝑂 𝑅
] a qual, usando-se da tabela acima, será dado por: 
[
1 12
14 17
] 
 
Tomando-se a matriz-chave C para o código: [
2 3
1 2
] transmite-se a mensagem “AMOR” através 
da multiplicação das matrizes M e C, ou seja: 
𝑀 ∙ 𝐶 = [
1 12
14 17
] ∙ [
2 3
1 2
] = [
14 27
45 76
]. 
 
Ou através da cadeia de números 14 27 45 76. Desta forma, utilizando-se a mesma matriz-chave 
C, a decodificação da mensagem 52 85 22 40 será compreendida como a transmissão da palavra: 
 
a) ( ) LOGO 
b) ( ) PARA 
c) ( ) VIDA 
d) (x) TODO 
 
RESOLUÇÃO 
Para construir a Matriz D vamos usar o fato que D é a matriz inversa de C se, e somente se, C×D 
= D×C = I, onde I é matriz identidade. Depois, basta resolvermos os sistemas de equações 
resultantes. 
 
D = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] . C = [
2 3
1 2
] e 
 
D = C-1 
[
2 3
1 2
] . [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = [
2𝑎 + 3𝑐 2𝑏 + 3𝑑
𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
 
Sistemas de equações: 
 
Podemos usar o método da adição ou o método da substituição. Usando o método da adição, 
podemos multiplicar a segunda equação por -2, tanto o primeiro sistema, quanto o segundo 
sistema. 
{
2𝑎 + 3𝑐 = 1
𝑎 + 2𝑐 = 0
 
 
{
2𝑎 + 3𝑐 = 1
−2𝑎 − 4𝑐 = 0
 
_______________ 
−𝑐 = 1 (−1) 
𝑐 = −1 
 
𝑎 + 2𝑐 = 0 
𝑎 + 2(−1) = 0 
𝑎 = 2 
 
{
2𝑏 + 3𝑑 = 0
𝑏 + 2𝑑 = 1
 
 
{
2𝑏 + 3𝑑 = 0
−2𝑏 − 4𝑑 = −2
 
_______________ 
−𝑑 = −2 (−1) 
𝑑 = 2 
 
𝑏 + 2𝑑 = 1 
𝑏 + 2(2) = 1 
𝑏 = 1 − 4 
𝑏 = −3 
 
[
52 85
22 40
] . [
2 −3
1 2
] = [
104 − 85 −156 + 170
44 − 40 −66 + 80
] = [
19 14
4 14
] 
 
Logo, a mensagem 52, 85, 22, 40 será compreendida como 19, 14, 4, 14, correspondendo à 
palavra TODO. 
 
QUESTÃO 4 
 
(FUNIVERSA) Duas empresas — 1 e 2 — são investigadas em três crimes fiscais — I, II e III. As 
evidências que relacionam as duas empresas aos crimes são tais que: 
 
Para tratar as informações necessárias à investigação desses crimes, um perito montou uma 
matriz M na qual cada elemento aij corresponde à quantidade de evidências que relacionam a 
empresa i ao crime j. 
 
Com base nessas informações, a matriz M é: 
 
a) ( ) (
5 3
5 4
3 5
) 
 
 
b) (X) (
5 5 3
3 4 5
) 
 
 
c) ( ) (
3 4 5
5 5 3
) 
 
 
d) ( ) (
3 5
4 5
5 3
) 
 
 
e) ( ) (
3 5
5 4
5 3
) 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Duas empresas — 1 e 2 — são investigadas em três crimes fiscais — I, II e III. 
 
A matriz M, o elemento aij corresponde: 
• i (linhas) as duas empresas; 
• j (coluna) aos três crimes. 
Sendo assim a Matriz M é de ordem 2x3. 
Agora basta ver quantas vezes cada empresa foi relacionada com cada crime 
M = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
] 
a11 = A empresa 1 (i) está relacionada com o crime 1 (j), cinco vezes; 
a12 = A empresa 1 está relacionada com o crime 2, cinco vezes; 
a13 = A empresa 1 está relacionada com o crime 3, três vezes; 
a21 = A empresa 2 está relacionada com o crime 1, três vezes; 
a22 = A empresa 2 está relacionada com o crime 2, quatro vezes; 
a23 = A empresa 2 está relacionada com o crime 3, cinco vezes; 
Portanto, a matriz M = [
5 5 3
3 4 5
] 
 
QUESTÃO 5 
 
(UFMT) Sejam as matrizes A = (aij)2x3 tal que aij = j – 3i; B = (bij)3x2 tal que bij = 2i + j2; e C = (cij)2x2 
tal que cij = ij. O elemento de maior módulo dentre os que formam a diagonal principal da matriz 
P, em que P = AB + 20C, é: 
 
a) ( ) 20 
b) ( ) 9 
c) ( ) -16 
d) (x) -12 
e) ( ) 0 
 
RESOLUÇÃO 
 
Dados do problema: 
Matriz A = (aij)2x3 tal que aij = j – 3i 
Matriz B = (bij)3x2 tal que bij = 2i + j2 
Matriz C = (cij)2x2 tal que cij = ij 
Em que P = AB + 20C. 
O problema quer saber qual é o elemento de maior módulo dentre os que formam a diagonal 
principal da matriz P. 
Calculamos inicialmente as matrizes A, B e C: 
Matriz A = (aij)2x3 
A = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
] 
Matriz B = (bij)3x2 
B = [
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
𝑏31 𝑏32
] 
Matriz C = (cij)2x2 
C = [
𝑐11 𝑐12
𝑐21 𝑐22
] 
 
aij = j – 3i 
a11 = 1 - 3.1 = 1 – 3 = -2 
a12 = 2 - 3.1 = 2 – 3 = -1 
a13 = 3 – 3.1 = 3 – 3 = 0 
a21 = 1 – 3.2 = 1 – 6 = -5 
a22 = 2 – 3 .2 = 2 – 6 = -4 
a23 = 3 – 3.2 = 3 – 6 = -3 
 
A = [
−2 −1 0
−5 −4 −3
] 
 
 
 
bij = 2i + j2 
b11 = 2.1 + 12 = 2 + 1 = 3 
b12 = 2.1 + 22 = 2 + 4 = 6 
b21 = 2.2 + 12 = 4 + 1 = 5 
b22 = 2.2 + 22 = 4 + 4 = 8 
b31 = 2.3 + 12 = 6 + 1 = 7 
b32 = 2.3 + 22 = 6 + 4 = 10 
 
B = [
3 6
5 8
7 10
] 
 
cij= ij 
c11 = 1.1 = 1 
c12 = 1.2 = 2 
c21 = 2.1 = 2 
c22 = 2.2 = 4 
 
 
 
C = [
1 2
2 4
] 
Agora temos que calcular: P = AB + 20C 
Primeiro calculamos a multiplicação das matrizes AxB, destacado em amarelo. 
A = [
−2 −1 0
−5 −4 −3
] . B = [
3 6
5 8
7 10
] 
Relembrando, para que aconteça a multiplicação de matrizes o número de linhas da primeira 
matriz tem que ser igual ao número de colunas da segunda matriz. Como temos a matriz A= (aij)2x3 
e a matriz B = (bij)3x2 é possível fazer a multiplicação entre as matrizes e teremos uma matriz 
quadrada de ordem 2x2. 
[
−2 −1 0
−5 −4 −3
].[
3 6
5 8
7 10
]=[
−11 −20
−56 −92
] 
 
Calculo da multiplicação: 
(-2 ∙ 3) + (-1 ∙ 5) + (0 ∙ 7) = (-6) + (-5) + (0) = - 6 – 5 = -11 
(-2 ∙ 6) + (-1 ∙ 8) + (-0 ∙ 10) = (-12) + (-8) + (0) = -12 – 8 = -20 
(-5 ∙ 3) + (-4 ∙ 5) + (-3 ∙ 7) = (-15) + (-20) + (-21) = -15 – 20 -21 = -56 
(-5 ∙ 6) + (-4 ∙ 8) + (-3 ∙ 10) = (-30) + (-32) + (-30) = -30 -32 -30 = -92 
Agora, calculamos a segunda parte, destacado em amarelo, da matriz P = AB + 20C 
Multiplicamos o número inteiro 20 com a matriz C. 
Relembrando, para fazer a multiplicação de número inteiro com uma matriz qualquer é só 
multiplicar o número inteiro com cada elemento da matriz, vejamos: 
20[
1 2
2 4
] = [
20 40
40 80
] 
Calculo da multiplicação: 
c11 = 20 ∙ 1 = 20 
c12 = 20 ∙ 2 = 40 
c21 = 20 ∙ 2 = 40 
c22 = 20 ∙ 4 = 80 
Para finalizar faremos a adição das matrizes: 
P = AB + 20C 
[
−11 −20
−56 −92
] + [
20 40
40 80
] = [
9 20
−16 −12
] 
Relembrando o problema quer o maior módulo dentre os que formam a diagonal principal da 
matriz P, sendo assim temos os na diagonal principal os números: 9 e -12. O maior módulo será 
então o -12. 
Pois: 
|9| = 9 
|−12| = 12 
 
QUESTÃO 6 
 
(UEL-PR) Dadas as matrizes A = (aij)3x2, definida por aij = i - j; B = (bij)2x3, definida por bij = j, C = (cij), 
definida por C = A.B, é correto afirmar que o elemento c23 é: 
 
a) ( ) Igual ao elemento c12. 
b) ( ) Igual ao produto de a23 por b23. 
c) ( ) O inverso do elemento c32. 
d) ( ) Igual à soma de a12 com b11. 
e) (X) Igual ao produto de a21 por b13. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Dados do problema: 
A = (aij)3x2, definida por, aij = i – j 
B = (bij)2x3, definida por bij = j 
C = (cij), definida por C = AB 
O elemento c23 é? 
Resolveremos primeiramente as matrizes A e B: 
A = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
] 
 
aij = i – j 
a11 = 1 – 1 = 0 
a12 = 1 – 2 = -1 
a21 = 2 – 1 = 1 
a22 = 2 – 2 = 0 
a31 = 3 – 1 = 2 
a32 = 3 – 2 = 1 
 
A = [
0 −1
1 0
2 1
] 
 
B = [
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑏21 𝑏22 𝑏23
] 
 
bij = j 
b11 = 1 
b12 = 2 
b13 = 3 
b21 = 1 
b22 = 2 
b23 = 3 
 
B = [
1 2 3
1 2 3
] 
 
Agora, resolvemos a matriz C = AB 
Por meio da multiplicação das matrizes A e B, teremos a matriz C de ordem (3x3), vejamos: 
[
0 −1
1 0
2 1
] . [
1 2 3
1 2 3
] = 
Cálculo: 
(0 ∙ 1) + (-1 ∙ 1) = 0 + (-1) = -1 
(0 ∙ 2) + (-1 ∙ 2) = 0 + (-2) = -2 
(0 ∙ 3) + (-1 ∙ 3) = 0 + (-3) = -3 
 
 
(1 ∙ 1) + (0 ∙ 1) = 1 + 0 = 1 
(1 ∙ 2) + (0 ∙ 2) = 2 + 0 = 2 
(1 ∙ 3) + (0 ∙ 3) = 3 + 0 = 3 
(2 ∙ 1) + (1 ∙ 1) = 2 + 1 = 3 
(2 ∙ 2) + (1 ∙ 2) = 4 + 2 = 6 
(2 ∙ 3) + (1 ∙ 3) = 6 + 3 = 9 
[
0 −1
1 0
2 1
] . [
1 2 3
1 2 3
] = [
−1 −2 −3
 1 2 3
 3 6 9
] 
Portanto, a matriz C = [
−1 −2 −3
 1 2 3
 3 6 9
] 
É correto afirmar que o elemento c23 = 3 
De acordo com as alternativas: 
a) Igual ao elemento c12. Falso! Porque o elemento c12 é igual a -2. 
b) Igual ao produto de a23 por b23. Falso! Porque não existe o elemento a23. 
c) O inverso do elemento c32. Falso! Porque o inverso do elemento c32 é igual a -6. 
d) Igual à soma de a12 com b11. Falso! Porque a soma desses elementos é igual a 0. 
e) Igual ao produto de a21 por b13. Verdadeiro! Porque a multiplicação entre esses 
elementos é igual a 3. 
 
QUESTÃO 7 
 
Assinale V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa. 
(V) Toda matriz diagonal é triangular. 
(V) A matriz identidade é uma matriz diagonal. 
(V) A matriz identidade é uma matriz triangular. 
(V) Para que a matriz 𝐴 = [2𝑎 − 6 3
𝑏 − 9
0 𝑐 + 1
] seja nula, a = 3, b = 2 e c = -1. 
(V) Considere a matriz A = (aij)4x4, cujos elementos são dados por aij = 2i + j. A soma dos elementos 
da diagonal secundária é igual a 128. 
 
RESOLUÇÃO 
(V) Toda matriz diagonal é triangular. 
Sim! Toda matriz diagonal é triangular, sendo que os únicos elementos não nulos são os 
elementos da diagonal principal. Exemplo de uma matriz diagonal [
2 0 0
0 3 0
0 0 6
]. 
(V) A matriz identidade é uma matriz diagonal. 
Sim! Uma matriz identidade é uma matriz diagonal, sendo que os elementos da diagonal principal 
são iguais a um. Veja um exemplo de matriz de identidade [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]. 
(V) A matriz identidade é uma matriz triangular. 
Sim! A matriz identidade é uma matriz diagonal, como podemos ver no exemplo a cima. 
(V) Para que a matriz A = [2𝑎 − 6 3
𝑏 − 9
0 𝑐 + 1
], seja nula, a = 3, b = 2 e c = -1. 
Substituímos os coeficientes a, b e c pelos números dados, vejamos: 
 A = [2𝑎 − 6 3
𝑏 − 9
0 𝑐 + 1
] = [2(3) − 6 3
2 − 9
0 −1 + 1
] = 
Calculamos: 
c11 = 2(3) – 6 = 6 – 6 = 0 
c12 = 32 – 9 = 0 
c21 = 0 
c22 = -1 + 1 = 0 
 Portanto, a matriz A = [
0 0
0 0
] 
(V) Considere a matriz a = (aij)4x4, cujos elementos são dados por aij = 2i+j. A soma dos elementos 
da diagonal secundária é igual a 128. 
Temos então, uma matriz a = (aij)4x4, cujos elementos são dados por aij = 2i+j. 
A = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎13 𝑎14
𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32
𝑎41 𝑎42
𝑎33 𝑎34
𝑎43 𝑎44
] 
A partir dessa matriz iremos calcular, somente os elementos da diagonal secundária, aij = 2i+j, 
conforme o problema apresenta. 
A = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎13 𝑎14
𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32
𝑎41 𝑎42
𝑎33 𝑎34
𝑎43 𝑎44
] 
De acordo com a representação da seta, esta seria a diagonal secundária. Portanto, calcularemos 
somente esses elementos. 
aij = 2i+j 
a14 = 21 + 4 = 25 = 32 
a23 = 22 + 3 = 25 = 32 
a32 = 23 + 2 = 25 = 32 
a41 = 24 + 1 = 25 = 32 
Para finalizar, somamos os resultados desses elementos: 32 + 32 + 32 + 32 = 128. 
Conforme a sentença ela é verdadeira, pois confirma que a soma dos elementos da diagonal 
secundária é igual a 128.