ESTATISTICA BASICA

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INSTITUTO PEDAGÓGICO DE 
MINAS GERAIS 
 
 
 
Estatística Básica 
 
Coordenação Pedagógica – IPEMIG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO ...................................................................................... 03 
1 O ENSINO DE ESTATÍSTICA E OS PCN .......................................... 04 
1.1 ESTATÍSTICA: conceitos, fundamentos e epistemologia ................................... 05 
1.2 A Estatística na escola ........................................................................................ 09 
1.3 A Estatística na formação da cidadania .............................................................. 12 
1.3.1 No Ensino Fundamental ................................................................................... 13 
1.4 Os livros didáticos e a construção de conceitos .................................................. 15 
2 O ENSINO DA ESTATÍSTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA: 
IMPORTÂNCIA, ENTRAVES E PERSPECTIVAS .............................. 24 
2.1 A didáticas do ensino de estatística .................................................................... 29 
2.1.1 Sequências didáticas desenvolvidas ................................................................ 34 
3 PRINCÍPIOS DE ESTATÍSTICA ......................................................... 37 
3.1 População e Amostra .......................................................................................... 38 
3.1.1 Recenseamento ............................................................................................... 39 
3.1.2 Estatística descritiva e estatística indutiva ....................................................... 39 
3.1.3 Não probabilística ............................................................................................. 40 
3.1.4 Probabilística .................................................................................................... 41 
3.2 Dimensionamento da amostra ............................................................................. 42 
3.3 Tipos de dados .................................................................................................... 43 
3.3.1 Agrupamento dos dados .................................................................................. 44 
3.3.2 Algumas funções do Excel para descrição dos dados ..................................... 46 
3.4 Frequência acumulada ........................................................................................ 51 
3.5 Distribuição de frequências com dados agrupados ............................................. 54 
3.6 Dados, tabelas e gráficos .................................................................................... 58 
3.6.1 Distribuições simétricas .................................................................................... 60 
3.6.2 Distribuições Assimétricas ................................................................................ 60 
3.6.3 Distribuições com “caudas” longas ................................................................... 60 
3.7 Medidas de tendência central .............................................................................. 60 
3.8 Moda ................................................................................................................... 62 
3.9 Mediana............................................................................................................... 62 
3.10 Considerações a respeito de Média e Mediana ................................................ 62 
3.11 Medidas de dispersão ....................................................................................... 63 
3.11.1 Variância ........................................................................................................ 63 
3.11.2 Desvio Padrão ................................................................................................ 64 
3.11.3 Distribuição normal ......................................................................................... 65 
REFERÊNCIAS UTILIZADAS E CONSULTADAS ............................... 67 
ANEXOS ............................................................................................... 69 
AVALIAÇÃO ......................................................................................... 92 
3 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Esta disciplina foi desenvolvida, objetivando analisar o ensino da estatística 
na educação básica. 
Para tanto, abordar-se-á a o ensino da estatística em consonância com os 
Parâmetros Curriculares Nacionais, dentro do que é proposto para o ensino da 
Matemática, principalmente, da Matemática Financeira e seus conceitos, juntamente 
com os elementos básicos que constituem a estatística e sua didática, além de 
analisar as operações elementares da mesma, objetivando contextualizá-la e 
analisá-la do ponto de vista da didática e da pedagogia. 
Por acreditarmos que a pesquisa é fundamental para o desenvolvimento de 
uma educação de qualidade, enumeramos e analisamos diversas publicações 
acadêmicas, sobre a temática do ensino e aprendizagem da Estatística, no âmbito 
do Brasil, bem como, relatamos trabalhos que tratam das dificuldades, 
demonstradas pelos alunos, nessa disciplina. 
Dando continuidade a nossa proposta, esboçada no título dessa disciplina: O 
Ensino da Estatística, buscamos analisá-la numa perspectiva dos Parâmetros 
Curriculares Nacionais, bem como, as abordagens que são feitas em alguns dos 
muitos livros didáticos utilizados nas escolas do país, culminando com algumas 
sugestões e sequências didáticas para o ensino da mesma. 
Por fim, achamos importante relacionar algumas fórmulas utilizadas na 
estatística, bem como um glossário contendo os termos referentes à mesma e, não 
obstante, algumas atividades são ofertadas para a prática da mesma. 
Por tudo isso, esperamos que você desenvolva seus conhecimentos, acerca 
do tema proposto e que faça, também, uma excelente leitura, obtendo o sucesso 
que almejas. 
Outras informações e aprofundamentos devem ser buscados através da 
leitura da bibliografia utilizada e relacionada ao final desta. 
Coordenação pedagógica do Instituto IPEMIG. 
 
 
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1 O ENSINO DE ESTATÍSTICA E OS PCN 
 
 
A problemática da educação de qualidade no Brasil vem sendo discutida a 
todo o momento e, em diversos veículos de informação, visto que, os resultados 
obtidos, pelo país, em testes e avaliações, internas e externas, no que tange à 
Matemática, causam um grande impacto àqueles que se preocupam com o futuro do 
país e de seus cidadãos, bem como, nos levam a refletir sobre, o que de fato, 
provoca ou interfere nesses resultados. 
Dentre os fatores causadores desses péssimos resultados, um deles reside 
nos livros didáticos e na complexidade que os cerca, haja vista, o envolvimento de 
uma série de fatores que dificultam a sua solução, tais como: a formação de 
professores; as propostas curriculares (regionais) bastante distintas; as questões 
comerciais das editoras e, ainda, as avaliações do Ministério de Educação e Cultura 
(MEC). Em sendo, pensamos que um olhar cuidadoso sobre os livros didáticos 
recomendados para o ensino fundamental, auxilia na percepção da concepção de 
ensino de estatística que predomina em nossa escola básica. 
Assim, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais elaborados e 
publicados pela SEF/MEC, o tema estatística e probabilidade estão recomendados 
no bloco de conteúdo “Tratamento da Informação” do currículo de Matemática. 
Nesse bloco, além da probabilidade e da estatística inclui-se a combinatória, 
considerando que tais assuntos possibilitam, de acordo com os ParâmetrosCurriculares Nacionais, “o desenvolvimento de formas particulares de pensamento e 
raciocínio, envolvendo fenômenos aleatórios, interpretando amostras, fazendo 
inferências e comunicando resultados por meio da linguagem estatística”. 
(BRASIL,1998, p. 134). 
Além dessa visão de ensino apontada pelos Parâmetros Curriculares 
Nacionais, consideramos importante destacar os argumentos que têm sido 
evidenciados nas recentes pesquisas sobre o ensino da Estocástica na Escola 
Básica, como os destacados por Cardeñoso e Azcárate (2005), justificando a 
inclusão desse tema: 
 
 
 
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 Seu interesse para a resolução de problemas relacionados com o 
mundo real e com outras matérias do currículo. 
 Sua influência na tomada de decisões das pessoas quando dispõem 
somente de dados afetados pela incerteza. 
 Seu domínio facilita a análise crítica da informação recebida através, 
por exemplo, dos meios de comunicação. 
 Sua compreensão proporciona uma filosofia do azar de grande 
repercussão para a compreensão do mundo atual (CARDEÑOSO e 
AZCÁRATE, 2005, p. 41). 
 
 
 
Assim, procuramos ao longo de nossa análise perceber as divergências de 
concepções de ensino de probabilidade e de estatística existentes entre a proposta 
nacional e os livros didáticos, buscando evidenciar questões mais preocupantes que 
levem os estudantes, desse nível de ensino, a adquirir conceitos errôneos a respeito 
desses temas ou mesmo não acrescentar ao seu desenvolvimento mais do que 
habilidades de cálculo. 
Antes, porém, vejamos os conceitos e fundamentos da Estatística. 
 
 
1.1 Estatística: conceitos, fundamentos e epistemologia 
 
 
Estatística significa enumeração ou informação numérica habitualmente 
contida em tabelas ou gráficos. Quando se fala em Estatística pensa-se em censos, 
inventários, amostras ou médias. Em sentido restrito tudo isso se pode considerar 
uma Estatística. 
Num sentido mais amplo, Estatística é a ciência que se ocupa em recolher e 
dar um tratamento adequado às informações, tendo como objetivo analisar os dados 
recolhidos, descrevendo-os e organizando-os para posterior interpretação e eventual 
utilização na previsão de acontecimentos futuros. 
Epistemologicamente, a Estatística é um segmento da matemática aplicada 
surgida nas questões de estado e governo. Daí o nome, Estatística, originado do 
termo latino status. Situações ocasionais como número de habitantes, quantidade de 
óbitos e nascimentos, quantidades produzidas e quantitativos das riquezas, 
formaram os primórdios dos problemas que deram início ao pensamento estatístico. 
A palavra Estatística surge, pela primeira vez, no séc. XVIII. Alguns autores 
atribuem esta origem ao alemão Gottfried Achemmel (1719-1772), que teria utilizado 
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pela primeira vez o termo statistik, do grego statizein; outros dizem ter origem na 
palavra estado, do latim status, pelo aproveitamento que dela tiravam os políticos e 
o Estado. 
A partir do século XVIII são vários os nomes que se destacaram na história da 
evolução da estatística, tais como Quételet (1796-1874), Galton (1822-1911), Karl 
Pearson (1857-1936), Weldon (1860-1906), Ronald Fisher (1890-1962). 
Na sua origem, a Estatística estava ligada ao Estado. Hoje, não só se 
mantém esta ligação, como todos os Estados e a sociedade em geral, dependem 
cada vez mais dela. Por isso, em todos os Estados existe um Departamento ou 
Instituto Nacional de Estatística. No Brasil Chama-se: Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística (IBGE). 
Para tanto, a Estatística divide-se em dois ramos distintos: a Estatística 
Descritiva (vide anexo 01), responsável pelo estudo das características de uma dada 
população; e a Estatística Indutiva (vide anexo 2), que generaliza um conjunto de 
resultados, tendo por base uma amostra de uma dada população ou universo, 
enunciando a(s) consequente(s) lei(s). 
Inicialmente, no século XVI, pensada pelos ingleses como uma ciência 
política, destinava-se a descrever características de um país, tais como população, 
área, riquezas e recursos naturais. Deste papel histórico, origina-se a sua função de 
caracterização numérica de uma série de informações populacionais. Com esta 
abordagem, o termo é utilizado no plural, como as “estatísticas de saúde”, as 
“estatísticas de mortalidade”, as “estatísticas do registro civil”, entre outras. 
Assim, ao abrirmos uma revista ou um jornal é quase impossível não 
encontrarmos alguma representação Estatística/matemática complementar aos 
textos, ilustrando ou sintetizando a comunicação, tornando a leitura mais atrativa e 
objetiva. Em muitos casos, os modelos estatísticos/matemáticos assumem a 
importância maior, ficando o texto como complemento ou restrito a observações. 
Outrossim, a Estatística, vista enquanto ciência só ocorreu a partir do século 
XVIII, nos registros do alemão Godofredo Achenwall, ainda como catalogação não 
regular de dado. 
 
 
 
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Mas, a sua evolução histórica é muito interessante, iniciando-se com as 
primeiras sociedades primitivas, a partir das necessidades que exigiam o 
conhecimento numérico dos recursos disponíveis. Por conta disso, os Estados, 
desde tempos remotos, precisaram conhecer determinadas características da 
população, efetuar a sua contagem e saber a sua composição ou os seus 
rendimentos. 
Para que os governantes das grandes civilizações antigas tivessem 
conhecimento dos bens que o Estado possuía e como estavam distribuídos pelos 
habitantes, realizaram-se as primeiras estatísticas, nomeadamente, para 
determinarem leis sobre impostos e números de homens disponíveis para combater. 
Estas estatísticas eram frequentemente limitadas à população adulta masculina. 
O primeiro dado disponível sobre um levantamento estatístico foi referido por 
Heródoto, que afirmava ter-se efetuado, em 3050 a.C., um estudo das riquezas da 
população do Egito com a finalidade de averiguar quais os recursos humanos e 
econômicos disponíveis para a construção das pirâmides. 
Há também notícia de que no ano 2238 a.C. realizou-se na China, um 
levantamento estatístico com fins industriais e comerciais ordenado pelo imperador 
chinês Yao. 
Existem indícios, que constam da Bíblia, relativos a recenseamentos feitos 
por Moisés (1490 a.C.). 
Outra estatística referida pelos investigadores foi feita no ano 1400 a.C., 
quando Ramsés II mandou realizar um levantamento das terras do Egito. 
Também os romanos faziam o recenseamento dos cidadãos e dos bens. 
Eram os censores, magistrados romanos, que asseguravam o censo dos cidadãos. 
Uma das convenções da História é ligar a datação (a.C. ou d.C.) ao 
recenseamento populacional ordenado pelo imperador César Augusto. 
As estatísticas realizadas por Pipino, em 758, e por Carlos Magno, em 762, 
sobre as terras que eram de propriedade da Igreja, são algumas das estatísticas 
importantes de que há referências desde a queda do império romano. 
Guilherme, “O Conquistador”, que reinou entre 1066 e 1087, ordenou que se 
fizesse um levantamento estatístico da Inglaterra. Este levantamento deveria incluir 
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informações sobre terras, proprietários,uso da terra, animais... e serviria de base, 
também, para o cálculo de impostos. 
Para responder ao desenvolvimento social surgiram estas primeiras técnicas 
estatísticas: classificar, apresentar, interpretar os dados recolhidos foram para os 
censos e são para a Estatística um aspecto essencial do método utilizado. Mas, um 
longo caminho havia de ser percorrido até os dias de hoje. 
Até o início do séc. XVII, a Estatística limitou-se ao estudo dos “assuntos de 
Estado”. Usada pelas autoridades políticas na inventariação ou arrolamento dos 
recursos disponíveis, a Estatística limitava-se a uma simples técnica de contagem, 
traduzindo, numericamente, fatos ou fenômenos observados – fase da Estatística 
Descritiva. 
No séc. XVII, com os “aritméticos políticos”, nomeadamente John Graunt 
(1620-1674) e Sir William Petty (1623-1687), inicia-se em Inglaterra uma nova fase 
de desenvolvimento da Estatística, virada para a análise dos fenômenos observados 
– fase da Estatística Analítica. 
 
John Graunt, comerciante londrino, “pessoa engenhosa e estudiosa, tinha o 
hábito de se levantar cedo para estudar, antes da abertura da sua loja”, inspirado 
nas tábuas de mortalidade que, semanalmente, eram publicadas na sua paróquia, 
publicou, em 1660, um trabalho estatístico sobre a mortalidade dos habitantes de 
Londres, procurando dar interpretações sociais às listas de tempos de vida. Sir 
William Petty, baseado neste trabalho, escreveu um livro de enorme sucesso, 
divulgando a nova ciência da “Aritmética Política”. 
Em 1692, o astrônomo Edmund Halley (1658-1744), famoso pela descoberta 
do cometa de órbita elíptica que se aproxima da Terra de 75 em 75 anos, baseando- 
se também em listas de nascimento e falecimento, foi o precursor das atuais tabelas 
de mortalidade, base das anuidades dos seguros de vida. 
O desenvolvimento do Cálculo das Probabilidades surge também no século 
XVII. A ligação das probabilidades com os conhecimentos estatísticos veio dar uma 
nova dimensão à Estatística, que progressivamente se foi tornando um instrumento 
científico poderoso e indispensável. Considera-se assim uma nova fase, a terceira, 
em que se começa a fazer inferência estatística: quando a partir de observações se 
 
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procurou deduzir relações causais, entre variáveis, realizando-se previsões a partir 
daquelas relações. 
Atualmente, a Estatística já não se limita apenas ao estudo da Demografia e 
da Economia. O seu campo de aplicação alargou-se à análise de dados em Biologia, 
Medicina, Física, Psicologia, Indústria, Comércio, Meteorologia, Educação, etc., e 
ainda a domínios aparentemente desligados, como estrutura de linguagem e estudo 
de formas literárias. 
Os modelos estatísticos, enquanto modelos matemáticos aplicados, reúnem 
características de precisão na linguagem, adequados ao ambiente de informações 
rápidas. 
A necessidade de expressar o grau de incerteza, na ocorrência dos 
experimentos e, de explicar o fato de duas experiências iguais poderem ter 
resultados diferentes, leva ao reconhecimento da racionalidade probabilística em 
eventos da natureza. A pesquisa em probabilidade no século XVIII culmina com o 
notável trabalho de Pierre-Simon de Laplace, “Theorie Analitique de Probabilités”. 
À luz da concepção do cientificismo, rapidamente amplia-se o domínio de 
abrangência do cálculo probabilístico. Este se torna indispensável para lidar com 
dados relativos a temas de interesse social e econômico, como administração das 
finanças públicas, saúde coletiva, conduta de eleições e seguro de vida. 
 
 
1.2 A Estatística na Escola 
 
 
A inclusão da Estatística nos currículos da Educação Básica é uma realidade 
nas escolas e redes escolares preocupadas com um ensino de qualidade, tendo em 
vista as necessidades dos conhecimentos de Estatística em nosso cotidiano. Os 
principais livros didáticos de Matemática já destinam capítulos aos conteúdos de 
Estatística, num processo de adequação dessas obras às demandas por 
conhecimentos estatísticos. 
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), o ensino da Probabilidade e 
da Estatística, está inserido no contexto do bloco de conteúdos com nome de 
“Tratamento das Informações”, conforme já dito anteriormente, tendo como 
 
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justificativa a demanda social e o frequente uso na sociedade contemporânea, pela 
necessidade de o indivíduo compreender as informações divulgadas, tomar decisões 
e fazer previsões que influenciam sua vida pessoal e em comunidade. 
Em sendo, podemos afirmar que os PCN ressaltam a questão da utilização da 
Estatística como possibilitadora do desenvolvimento de formas específicas de 
pensamento e raciocínio, envolvendo fenômenos aleatórios, interpretando amostras, 
fazendo inferências e comunicando resultados por meio da linguagem própria 
quantitativa. 
Atualmente, quase todos os meios de comunicação, como jornais, revistas, 
rádio, televisão e Internet lançam mão de modelos estatísticos como gráficos, 
diagramas, pictogramas, tabelas e pesquisas para integrar e enriquecer seus 
conjuntos de informações a serem divulgadas para a população. Grande parte desse 
público acaba não decifrando essa nova linguagem. 
E, sendo a Estatística, a ciência que permite, através de sua utilização, a 
descrição e interpretação de dados específicos das várias áreas de conhecimento, 
essa se constitui em uma poderosa ferramenta para a solução de problemas de 
fundamentação de decisões. É interessante fornecer aos alunos elementos que, 
uma vez possuídos, levam ao reconhecimento da importância de se dominar 
técnicas de análise de dados. 
Esses elementos começam com o conhecimento da linguagem estatística. 
Nesse sentido, vale destacar que a simbologia matemática foi, e ainda é, um fator de 
evolução das ideias matemáticas que se desenvolveram lentamente ao longo de 
séculos. Essa evolução tomou por base dois objetivos permanentes: 
1. Tornar possível a comunicação matemática entre as pessoas, 
independentemente das nacionalidades e culturas; 
2. Simplificar a expressão das ideias e pensamentos matemáticos. 
 
Assim, a matemática, como nenhuma outra ciência, conseguiu construir um 
conjunto universal de signos, moldando uma linguagem com códigos que 
atravessam idiomas e culturas. Dessa forma é possível, por exemplo, um 
matemático chinês escrever equações ou proposições que um matemático brasileiro 
entenderá com facilidade. Essa propriedade é utilizada pela Estatística e passa a ser 
 
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apropriada largamente pela informática, permeando as comunicações no mundo 
cibernético. 
A evolução da matemática fez surgir aplicações específicas, com linguagens 
e símbolos próprios, como foi o caso da matemática financeira, com sua constante 
evolução, e também da Estatística. 
Com o avanço tecnológico, as exigências de sofisticadas competências para 
o mundo do trabalho e a facilidade oferecida pela informática, as pesquisas 
deixaram de acontecer apenas em ocasiões para se tornarem parte integrante e 
inseparável de nossas vidas em todos os instantes. 
A partir dos anos 40, a pesquisa Estatística se volta para solucionar 
problemas envolvendo variados aspectos da inferência, cada um tendo a sua 
aplicação a situações específicas. Os testes de hipótesespara médias, variâncias e 
proporções, a teoria dos testes uniformemente mais poderosos, o processo de 
inclusão (exclusão) de variáveis nos modelos de regressão são algumas das formas 
de inferência de uso consagrado. 
O mundo corporativo passou a adotar a linguagem Estatística em suas rotinas 
operacionais exigindo dos profissionais conhecimentos e competências numéricas 
para o correto entendimento e produção de relatórios, tabelas, gráficos, diagramas e 
fluxogramas. 
Na comunicação de massa, os programas de televisão com maior índice de 
audiência, além de serem totalmente direcionados a institutos de pesquisa, 
passaram a ter obrigatoriamente pesquisas interativas em suas pautas, na busca de 
uma permanente aproximação com o público. Contudo, diante desse ambiente 
saturado de informações, poucas pessoas questionam a forma como esses dados 
foram coletados, tratados e trabalhados até chegarem ao formato “acabado” em que 
são apresentados. Isto é, o público tem sido consumidor de resultados de pesquisas 
da forma como se apresentam, sem a devida interpretação crítica e um 
entendimento do que se está “consumindo”. 
Os meios de comunicação refletem também a facilidade que os modelos 
estatísticos oferecem para sintetização de informações. Por exemplo: uma medida 
de tendência central pode representar bem o perfil de uma população, ou um 
histograma pode melhor apresentar um universo de dados. Existe um ditado em 
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matemática que diz: “Um gráfico bem construído equivale a mil palavras”. Essa nova 
linguagem passa a demandar das pessoas o entendimento e o domínio de novos 
códigos diferentes do “ler e escrever” tradicionais. É nessa perspectiva que o mundo 
moderno caminha, com tecnologias voláteis, otimizando espaços, tempo, recursos, e 
fazendo uso intenso dos argumentos estatísticos. 
Nesse contexto, a escola não pode ignorar essas novas linguagens tão 
presentes no mundo dos educandos. 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais recomendam o trabalho com 
Estatística com a finalidade de que o estudante construa procedimentos para 
coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e 
representações, e que seja capaz de descrever e interpretar sua realidade, usando 
conhecimentos matemáticos. 
É fundamental que as práticas e os conteúdos ministrados em aula estejam 
em sintonia com as novas exigências do mundo em que vivemos, para que a 
educação não seja algo distante da vida dos alunos, mas, ao contrário, seja parte 
integrante de suas experiências para uma existência melhor. 
 
 
1.3 A Estatística na formação da cidadania 
 
 
Desmistificar as pesquisas, estimulando a capacidade de leitura e 
interpretação dos fatos, é função do trabalho escolar na busca da formação de um 
cidadão pleno. Assim, o ensino e o uso dos modelos estatísticos/matemáticos, em 
sala de aula, devem estar em consonância com as necessidades, os interesses e as 
experiências de vida dos alunos. As ininteligíveis fórmulas prontas e os modelos 
acabados, com poucos atrativos para os educandos, devem ceder lugar aos 
modelos construídos a partir de suas vivências, na busca de soluções dos 
problemas que fazem parte de suas relações na sociedade. 
Dessa maneira, o ensino de Estatística deve ser disseminado em toda a 
nossa estrutura escolar, em todos os níveis de ensino, buscando levar aos jovens 
uma compreensão mais completa de suas realidades. 
 
 
 
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As comunicações corporativas e as publicações científicas/tecnológicas 
optam pela significativa objetividade que a utilidade desses modelos estatísticos 
e/ou matemáticos proporcionam para implementar as informações, compactando 
textos e condensando frases. Essa linguagem exata passa a demandar das pessoas 
o entendimento e o domínio dos novos códigos mais refinados, exigindo habilidades 
e competências quantitativas. Assim, o mundo do trabalho evolui, em sintonia com 
as necessidades das organizações empresariais. 
Antigamente, o cidadão completamente alfabetizado precisava apenas de 
saber ler e escrever. Hoje, a alfabetização plena passa pela leitura e escrita, 
adicionada às noções de informática e conhecimentos de Estatística. 
 
 
1.3.1 No Ensino Fundamental 
 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais recomendam o trabalho com 
Estatística com a finalidade de que o estudante construa procedimentos para 
coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e 
representações, e que seja capaz de descrever e interpretar sua realidade, usando 
conhecimentos matemáticos. 
Em relação à Probabilidade, consideram que esta pode promover a 
compreensão de grande parte dos acontecimentos do cotidiano que são de natureza 
aleatória, possibilitando a identificação de resultados possíveis desses 
acontecimentos. Destacam o acaso e a incerteza que se manifestam intuitivamente, 
portanto cabendo à escola propor situações em que as crianças possam realizar 
experimentos e fazer observações dos eventos. 
Quanto à Combinatória, o objetivo é possibilitar ao aluno lidar com situações- 
problema que envolvam diferentes tipos de agrupamentos e possibilitem a 
compreensão do princípio multiplicativo da contagem. 
Com esses objetivos, os PCN elencam seus conteúdos, destacando-se: 
 
 a leitura e interpretação de informações contidas em imagens; 
 a coleta e organização de informações; 
 a interpretação e elaboração de listas, tabelas simples, tabelas de dupla 
entrada e gráficos para comunicar a informação obtida; 
 
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 a produção de textos escritos a partir da interpretação de gráficos e 
tabelas; 
 a construção de gráficos e tabelas com base em informações contidas 
em textos jornalísticos, científicos ou outros; 
 a obtenção e interpretação de média aritmética; 
 a exploração da ideia de probabilidade em situações-problema, 
identificando sucessos possíveis, sucessos certos e as situações de 
“sorte”; 
 a utilização de informações dadas para avaliar probabilidades; a 
identificação das possíveis maneiras de combinar elementos de uma 
coleção e de contabilizá-las, usando estratégias pessoais. 
Os Parâmetros indicam que a coleta, a organização e descrição de dados são 
procedimentos utilizados com muita frequência na resolução de problemas e 
estimulam as crianças a fazer perguntas, estabelecer relações, construir justificativas 
e desenvolver o espírito de investigação. 
Sugerem que, nos dois primeiros ciclos, desenvolvam-se atividades 
relacionadas a assuntos de interesse dos estudantes, que se proponha observação 
de acontecimentos, que se promovam situações para se fazer previsões, que 
algumas noções de probabilidade sejam desenvolvidas. 
Ressaltam que se desenvolva o raciocínio estatístico e probabilístico através 
da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a coletar, organizar 
e analisar informações, formular argumentos e fazer inferências convincentes, tendo 
por base a análise de dados organizados em representações matemáticas diversas. 
Enfatizam, dessa forma, a realização de investigações, a resolução de problemas, a 
criação de estratégias com argumentos e justificativas. 
Dessa forma, os Parâmetros Curriculares Nacionais justificam o ensino da 
probabilidade e da estatística acenandopara a necessidade do indivíduo 
compreender as informações veiculadas, tomar decisões e fazer previsões que 
influenciam sua vida pessoal e em comunidade. Porém, ao descreverem as noções 
de estatística, probabilidade e combinatória, não o fazem de forma integrada, 
podendo deixar ao professor a ideia de compartimentalização desses temas. 
Ressaltam a necessidade de calcular medidas estatísticas, sem preocupar-se em 
 
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enfatizar que o mais importante é saber o que cada medida significa e não 
simplesmente efetuar seus cálculos. 
Destacamos essas questões dado o fato de que as atividades propostas nos 
livros didáticos serem permeadas por uma concepção de ensino de estatística e 
probabilidade bastante compartimentalizada, como se os conceitos probabilísticos e 
estatísticos não se relacionassem. Essa forma de olhar o ensino desses temas se 
contrapõe ao trabalho que recomenda o ensino da probabilidade inseparável da 
estatística, ou seja, da Estocástica. 
A Estocástica possibilita a ruptura com uma visão linear de currículo por sua 
própria natureza interdisciplinar, pois ao explorarmos uma determinada situação- 
problema, envolvemos diferentes conceitos matemáticos e estabelecemos distintas 
relações, sem nos prendermos à limitação do conteúdo proposto para cada série 
(LOPES, 1998). 
Acreditamos que o trabalho com Estocástica deva ser baseado em processos 
de investigações e na resolução de problemas, subsidiando o estudante para que 
ele compreenda e lide bem com sua realidade (LOPES, 1998). 
De acordo com essa visão de ensino de probabilidade e estatística, 
realizamos a análise das atividades propostas. 
 
 
1.4 Os Livros Didáticos e a Construção de Conceitos 
 
Ao analisarmos o conteúdo dos livros didáticos para o ensino fundamental, 
percebemos um descompasso entre os objetivos a serem alcançados pela inclusão 
do ensino da estatística e probabilidade, no ensino fundamental, e a forma como o 
mesmo se faz nos textos examinados. 
Em uma primeira análise notamos a presença de uma super-simplificação de 
conteúdo e o uso da estatística como fim em exercícios de matemática. A estatística 
não aparece como estratégia da solução de problemas de pesquisa, como deveria 
ser trabalhada em todos os níveis de ensino. 
Em vista disso, podemos afirmar que esses objetivos não serão alcançados, 
haja vista que, atingi-los passa por trabalhar situações-problema nas quais o 
conteúdo estatístico compareça como estratégia, na obtenção de respostas a 
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perguntas de interesse dos alunos. O que observamos é que a concepção de 
estatística que permeia os livros da 1ª à 8ª séries ou do 1º ao 9º anos, é de um fazer 
empobrecido, por não inserir a construção dos conceitos estatísticos e 
probabilísticos na metodologia da resolução de problemas. 
No manual para o professor apresentado em algumas coleções, a estatística 
é apresentada como um meio para organizar e interpretar informações numéricas, 
tabelas e gráficos. Nas séries iniciais introduz-se algum fazer através das, 
inadequadamente chamadas, pesquisas estatísticas, como se a estatística 
fornecesse o problema substantivo de pesquisa, no qual ela apenas oferece 
estratégia de solução. Confunde-se aí o problema com sua solução. 
Em vista disso, a tal pesquisa, então, especializa-se em geral em pesquisa de 
opinião, e as perguntas limitam-se, nas categorias observadas. Há uma 
preocupação em nomear apenas o mais frequente, deixando-se de considerar a 
informação coletada, como a 2ª ou 3ª preferência ou mesmo, o menos preferido. O 
que nos chama a atenção, é que nesse ciclo existe a proposta de trabalhar os 
números ordinais e que, não há, nesse sentido, o aproveitamento para integrar a 
aquisição desses conhecimentos. 
Em relação às medidas estatísticas, o mais frequente não recebe o nome de 
moda ou categoria modal, anunciando uma regularidade em evitar-se toda fidelidade 
à linguagem própria deste domínio do conhecimento e, que será encontrada 
independentemente do conteúdo, da matéria ou situação a que se aplicam. Embora 
isso se justifique nas séries iniciais, do ensino fundamental, pensamos que nas 
séries finais não haveria inconvenientes. 
Ledo engano nosso, posto que, nas séries finais, usando a estatística como 
um fazer que enseje a utilização de conteúdos matemáticos, encontramos menção 
às possibilidades em abordagens lúdicas, sem nenhuma outra função que não seja 
a sua listagem por si mesma. É preciso perceber que, ao listar possibilidades, 
estamos apenas trabalhando conceitos matemáticos. Se avaliássemos essas 
possibilidades através de experimentos, aí sim, estaríamos atribuindo um valor 
estatístico a essas atividades uma vez que a construção das possibilidades deveria 
estar motivada por uma necessidade de avaliação de chance. 
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Ao longo da aprendizagem com números, deveria ser trabalhado a 
organização dos dados através do ramo-e-folhas, que é uma representação gráfica 
fácil, simples, elegante e que requer menos conhecimentos anteriores. Esse tipo de 
representação permite a ordenação de um conjunto de dados com maior facilidade, 
assim como a introdução de moda e mediana. 
Veja os exemplos: 
 
Temos 35 ursos, fêmeas, observados, porém, somente 20 puderam ter sua 
idade estimada. Para visualizar a distribuição dos valores de idade dessas fêmeas, 
usaremos um diagrama de ramo-e-folhas, já que um histograma resumiria mais 
ainda algo que já está resumido. 
Os 20 valores de idade (em meses) disponíveis, já ordenados são: 
8 9 11 17 17 19 20 44 45 53 57 57 57 58 70 81 82 83 100 104 
 
Podemos organizar os dados, separando-os pelas dezenas, uma em cada 
linha: 
 
 
8 9 
11 17 17 19 
20 
44 45 
53 57 57 57 58 
70 
81 82 83 
100 104 
 
 
Como muitos valores em cada linha têm as dezenas em comum, podemos 
colocar as dezenas em evidência, separando-as das unidades por um traço. Ao 
dispor os dados dessa maneira, estamos construindo um diagrama de ramo-e-folhas 
(Figura 1). O lado com as dezenas é chamado de ramo, no qual estão 
dependuradas as unidades, chamadas folhas. 
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Figura 1: Ramo-e-folhas da idade (meses) dos ursos fêmeas. 
 
 
 
Os ramos e as folhas podem representar quaisquer unidades de grandeza 
(dezenas e unidades, centenas e dezenas, milhares e centenas, etc.). Para 
sabermos o que está sendo representado, um ramo-e-folhas deve ter sempre uma 
legenda, indicando o que significam os ramos e as folhas. 
Se a idade estivesse medida em dias, por exemplo, usando esse mesmo 
ramo-e-folhas, poderíamos estabelecer que o ramo representaria as centenas e as 
folhas, as dezenas. Assim, 0|8 seria igual a 80 dias e 10|4 seria igual a 1040 dias. 
Analisando o ramo-e-folhas para a idade dos ursos fêmeas, percebemos a 
existência de três grupos: fêmeas mais jovens (até 20 meses), fêmeas mais 
crescidas (de 44 a 58 meses) e um grupo mais velho (maisde 70 meses), com 
destaque para duas fêmeas bem mais velhas. 
O ramo-e-folhas, também, pode ser usado para comparar duas distribuições 
de valores, como mostra a Figura 2. Aproveitando o mesmo ramo do diagrama das 
fêmeas, podemos fazer o diagrama dos machos, utilizando o lado esquerdo. 
Observe que as folhas dos ursos machos são dependuradas de modo espelhado, 
assim como explica a legenda, que agora deve ser dupla. 
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Figura 2: Ramo-e-folhas da idade (meses) dos ursos fêmeas. 
 
Observando a Figura 2, notamos que os ursos machos são, em geral, mais 
jovens do que os ursos fêmeas, embora possuam dois ursos bem idosos em 
comparação com os demais. 
Importante: No ramo-e-folhas, estamos trabalhando, implicitamente, com 
frequências absolutas. Assim, ao comparar dois grupos de tamanhos diferentes, 
devemos levar isso em conta. Caso os tamanhos dos grupos sejam muito diferentes, 
não se deve adotar o ramo-e-folhas como gráfico para comparação de distribuições. 
Dessa forma, o trabalho com o ramo-e-folhas deveria preceder o uso dos 
histogramas, reproduzindo à semelhança com o diagrama de pontos e, portanto, 
precedendo às distribuições de frequências e respectivas representações gráficas. 
A questão acima é elucidada pela nossa preocupação com o erro mais 
frequente, encontrado nos livros didáticos do ensino fundamental, que é a 
representação gráfica por barras não adjacentes no tratamento das variáveis 
contínuas. 
Outra questão é por que não chamarmos os acontecimentos, de eventos 
elementares, que seria o termo mais adequado para referir-se a cada uma das 
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possibilidades, ou mesmo de evento, quando nos referirmos a qualquer subconjunto 
do espaço amostral. Por exemplo, ao perguntar “como se mede a chance de um 
acontecimento ocorrer?”, na linguagem estocástica, a pergunta estaria melhor 
formulada “como obter a probabilidade de um evento ocorrer?”. 
O uso de porcentagem e estimativa ocorre a partir das séries finais e 
percebem-se atividades que podem possibilitar a aquisição de concepções 
equivocadas e difíceis de serem alteradas, posteriormente, como temos observado 
em nossa experiência no terceiro grau. A estimativa é encontrada como 
aproximação de magnitudes a serem lidas em representações gráficas e falta da 
precisão numérica. 
Como exemplo, podemos verificar que ao apresentar um gráfico de barras, 
representando a população de diferentes municípios e solicitar a leitura da 
população de um deles através desse gráfico, chamou-se esse resultado de 
estimativa. No sentido matemático isso está correto, porém, no sentido estatístico, 
estimativa é o valor de um estimador calculado a partir de uma amostra. 
Trabalhar esse conceito demanda no mínimo uma problematização que 
recaia sobre algum estimador e, então, que se observe sua variação na 
experimentação da retirada de várias amostras. 
Outro conceito que gostaríamos de destacar é a porcentagem, por ser uma 
ferramenta matemática necessária à construção do conceito de probabilidade e às 
experiências probabilísticas. Em nossa análise observamos que o trabalho com 
porcentagem não apareceu em nenhum momento vinculado ao raciocínio estatístico. 
Por exemplo, se fizermos uma proposta de “lançamentos de uma moeda” onze 
vezes e ocorrer “Cara”, 4 vezes; e, “Coroa”, 7 vezes, é provável que ao 
transformarmos esses resultados em porcentagem e compararmos com a definição 
clássica de probabilidade, o estudante tenha uma percepção equivocada de que a 
probabilidade observada na experimentação é suficiente para concluir que os 
eventos não são equiprováveis. 
Trabalhar esse conceito com os estudantes não seria uma tarefa tão difícil se 
deixarmos que os alunos experimentem e convivam com a variabilidade. 
Consideremos que se tivermos em 100 bolas, 50 pretas e 50 brancas, e 
perguntarmos ao aluno, em uma amostra de 10 bolas, quantas se teria de cada cor, 
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muito provavelmente, no contexto de aprendizagem de porcentagem, ele responderá 
que em 10 bolas amostradas ocorreriam 5 de cada cor. Esse é um conceito que 
urge ser trabalhado, para que seja aplicado, corretamente, na resolução de 
problemas estatísticos. 
É necessário percebermos que o significado estatístico, muitas vezes, difere 
do significado matemático, ou seja, a mesma razão observada entre número de 
ocorrência de um evento e o número total de experimentos tem significado 
estatístico distinto dependendo da magnitude desse número total. Por exemplo, ao 
observarmos o lançamento de uma moeda 10 vezes, 100 vezes ou 1000 vezes, em 
cada caso, a ocorrência de metade de caras tem significado distinto. Em 1000 
vezes, a indicação de que a moeda não é viciada é maior do que em 10 vezes. Isso 
desenvolve o espírito crítico da grandeza dos denominadores que pode ser 
desenvolvida desde o início do ensino fundamental, contribuindo para diferenciar 
determinismo de aleatoriedade. 
No final das series finais, continua a ênfase em porcentagem como domínio 
exclusivo do cálculo e também representações gráficas. Estas, apesar de paralelas 
ao ensino das grandezas e medidas, incluindo o trabalho com áreas, têm pouca 
ligação com as representações gráficas. Os diagramas de barras, setoriais, e 
histogramas são ricos para explorar as relações com áreas. Observa-se mais uma 
vez a não integração entre os conceitos estatísticos e matemáticos. 
Nesse sentido, também poderíamos considerar o trabalho de geometria 
envolvendo o estudo da simetria interligado a algumas das representações 
estatísticas. 
Ainda nesse momento, encontramos a média quase como para checar 
habilidades de soma, divisão, ou resolução de equações. Quando apresentada a 
partir de tabelas de frequências, a média aparece, inadequadamente, chamada de 
ponderada. Se feita a partir dos dados em rol bruto é média, se feita a partir dos 
dados agrupados então é ponderada. Esse é outro problema comum de erro 
conceitual, pois a simples aplicação da propriedade associativa da adição não muda 
o peso de cada valor correspondente a cada indivíduo. No caso da média aritmética, 
cada indivíduo ou cada valor tem o mesmo peso, enquanto que em média 
ponderada, esses pesos devem diferir e ser conhecidos a priori. 
 
 
22 
 
 
 
Talvez a média chame mais a atenção do que a moda e a mediana devido ao 
paradigma da distribuição gaussiana e de todos os enganos e mal entendidos do 
teorema central do limite que parece magicamente transformar tudo em normal, o 
sonho de todo pesquisador para seus dados. 
Assim, o ensino conjunto da média, mediana e moda, bem como explorar 
suas posições relativas no ensino de formas gráficas deve ser utilizado sob pena de 
repetirmos o erro de tratar tudo sob a perspectiva de distribuições de erros... 
Chamou-nos a atenção que, ao introduzir o conceito de chance, a linguagem 
estocástica mais uma vez esteve ausente por não se utilizar a palavra probabilidade. 
O conceito de probabilidade vem em sua definição clássica, favoráveis sobre 
possíveis, sem menção às restrições de equiprobabilidade, e conjunto finito dos 
possíveis. A probabilidade de que um aluno tenha peso entre 50kg e 55kg não pode 
ser calculada, pois o conjunto dos pesos possíveis é infinito e não enumerável. 
Assim comoa probabilidade de cada uma das faces de uma ficha telefônica seria 
obtida como ½ pela aplicação do conceito clássico. A assimetria da ficha não 
cumpre a restrição de equiprobabilidade. 
A definição frequentista, número de ocorrências do evento sobre número total 
de repetições, deveria ser dada, pois possibilitaria remover as duas restrições. Os 
eventos não precisam ser equiprováveis e o espaço amostral não precisa ser finito. 
Gostaríamos de ressaltar que não se sugere a definição axiomática, mas 
muita experimentação e observação, evidenciando-se as ideias probabilísticas. 
Dessa forma, os conceitos terão mais significados, e poderemos trabalhar os 
eventos: possível, impossível, provável, muito provável, pouco provável e certo. 
Os conceitos básicos de amostra probabilística e não probabilística, não são 
abordados. Deveriam ser trabalhados, através de vivência, os conceitos de amostra 
aleatória simples, no qual cada possível amostra de um determinado tamanho tem a 
mesma chance de ser selecionada. 
Nota-se que alguns autores utilizam-se de adjetivação para amostra como 
“representativas” e “reprodução da população”, sem utilizar o termo amostra 
probabilística, o que deveria ser evitado ou atribuído a essas qualidades uma 
chance. 
 
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A experiência com amostragem pode ser feita em população finita, por 
exemplo, os alunos da classe e retiradas de amostras casuais simples, sua 
organização, representação e análise. Neste processo, pode-se inserir 
operacionalizações que gerem vícios por intencionalidade ou casualidade em sub- 
populações. Nesse contexto, a noção de estimativa ganha sentido, pois ao trabalhar 
amostragem, o objeto de estudo é a variação de estimativas. 
Durante o processo de análise dessas atividades propostas por alguns livros 
didáticos recomendados pelo MEC, para o ensino fundamental, destacamos a 
urgência de se pensar cuidadosamente o ensino da estocástica em nossa escola 
básica, tanto no que se refere à formação dos professores quanto à elaboração dos 
livros didáticos. 
Necessitamos de que o cenário da pesquisa em ensino da estocástica, no 
Brasil, seja ampliado rapidamente para que possamos alcançar os objetivos 
ressaltados pela proposta curricular brasileira e, assim, possamos formar, de fato, 
cidadãos mais aptos a tomadas de decisão, especialmente em situações envolvendo 
a presença do acaso. Consideramos que não basta verificar as análises de 
avaliações realizadas, seja nos cursos ou nos livros didáticos, pensamos que seja 
necessário o incentivo e apoio à pesquisas que alterem o atual estado da arte desta 
área do conhecimento. 
Nos anexos 3 e 4, relacionamos diversos conceitos acerca da estatística, 
através de um glossário, bem como, relacionamos as fórmulas utilizadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 O ENSINO DA ESTATÍSTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA: 
importância, entraves e perspectivas 
 
 
No Brasil, apesar da Estatística e as Probabilidades fazerem parte do 
currículo de Matemática do Ensino Médio antes dos anos 80, raramente eram 
ensinados. Segundo Ponte, Matos e Abrantes (1998) só depois dos anos 90 é que 
os alunos têm tido a oportunidade de aprender estes tópicos e, talvez por isso no 
que “se refere à Estatística e às Probabilidades, e conhecimentos, capacidades, 
dificuldades e estratégias de raciocínio dos alunos está essencialmente por fazer” (p. 
171). 
Para Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999), as competências que os alunos 
devem desenvolver incluem a organização e representação de dados, a aptidão 
para ler e interpretar tabelas e gráficos comunicando os resultados, sensibilidade 
para distinguir fenômenos aleatórios e deterministas e interpretar situações 
concretas onde estes fenômenos estejam presentes. Na literatura, é sugerido que as 
tarefas criadas traduzam contextos próximos dos interesses dos alunos, mas que, 
simultaneamente, lhes permitam desenvolver competências que os tomem cidadãos 
mais críticos e participativos na sociedade do próximo milênio, o que também é 
realçado por autores de outros países (PEREIRA MENDONZA E SWIFT, 1989). 
E ainda sugerido que se evite o receituário, a computação excessiva e a não 
utilização das novas tecnologias, como os computadores e, mais recentemente, a 
Internet (BATANERO, 1998). Esta última apresenta-se como uma fonte preciosa de 
possibilidades a explorar nas aulas de Estatística, sendo vários os sites com 
sugestões para a sala de aula (NG E WONG, 1999). 
Portanto, é necessário analisar os desempenhos estatísticos dos alunos nos 
conceitos de média e mediana, identificando os conhecimentos instrumentais e os 
conhecimentos relacionais que utilizam nas suas respostas. Para isso, é necessário 
compreendermos como os alunos constroem o significado desses conceitos, 
discutindo a influência dos fatores que podem, ou não, facilitar a atribuição desse 
mesmo significado. 
Apesar das diversas recomendações que têm sido feitas por investigadores e 
que aparecem referidas nos documentos de política educativa, a literatura mostra 
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que, mesmo nos anos de escolaridade básica, a maioria dos alunos não aprende 
Estatística de acordo com essas sugestões (SHAUGHNESSY, 1992). Verifica-se, 
ainda, que muitos alunos revelam dificuldades na compreensão do significado 
matemático dos conceitos estatísticos trabalhados durante este período 
(BATANERO ET AL., 1994; CARVALHO, 1996, 1998; HAWKINS, JOLLIFFE E 
GLICKMAN, 1991). 
Uma outra limitação relacionada com o ensino da Estatística deve-se ao fato 
de a maioria dos professores que trabalham com as series iniciais são professores 
de Matemática com pouca ou nenhuma formação em Estatística, e menos ainda em 
Didática da Estatística, podendo por isso sentir uma responsabilidade acrescida 
quando as orientações para o ensino deste tópico são no sentido das simulações, do 
trabalho de projeto, da discussão das várias estratégias de resolução utilizadas, do 
trabalho em grupo e do recurso às novas tecnologias (SHAUGHNESSY E 
BERGMAN, 1993). 
Skemp (1979) considera que se possui um conhecimento instrumental de um 
conceito quando se domina uma coleção isolada de regras e algoritmos aprendidos 
através da repetição e da rotina, que permite resolver um conjunto limitado de 
situações, por oposição a um conhecimento relacional, onde o aluno construiu um 
esquema do conceito que pode ir atualizando sempre que novas situações assim lho 
exijam. 
As sugestões acima referidas apontam para que os objetivos a serem 
atingidos com o estudo da Estatística devam proporcionar aos alunos um 
conhecimento relacional e não, apenas, um conhecimento instrumental dos 
conceitos. Este fato não é, contudo, um problema que apenas diz respeito à 
Estatística, uma vez que Sfard e Linchevski (1994a) afirmam que “professores e 
investigadores queixam-se frequentemente de que a compreensão que os alunos 
têm da álgebra é meramente instrumental: as crianças são capazes de “avançar nos 
passos necessários”, mas não são capazes de explicar aquilo que estão afazer” (p. 
257). 
Uma distinção mais subtil é introduzida por Sfard (1991) e Sfard e Linchevski 
(1994a) quando diferenciam a noção de processo computacional e de objeto 
abstrato, afirmando que“o que é concebido como processo num determinado nível 
 
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toma-se objeto num nível mais elevado” (p. 194), o que equivale considerar que as 
competências computacionais precedem às formalizações mais elaboradas. Assim, 
para estas autoras, “as mesmas representações, os mesmos conceitos 
matemáticos, podem às vezes ser interpretados como processos e outras como 
objetos; ou, para usar a linguagem introduzida num outro artigo (Sfard, 1991), 
podem ser concebidos operacionalmente ou estruturalmente” (p. 193), sendo a 
concepção operacional associada à realização de procedimentos computacionais e 
a estrutural à atribuição de significado aos símbolos. Deste modo, a atribuição de 
significado, por parte do sujeito, influencia fortemente o modo de abordagem que ele 
tem em relação a uma tarefa proposta na sala de aula. Esta atribuição de significado 
não é independente do contrato didático estabelecido entre o professor e os alunos, 
uma vez que é este que legitima as expectativas mútuas de cada um dos atores da 
relação didática (CÉSAR, 1998; 2000; CÉSAR ET AL., 1999; 2000). 
Uma distinção de inspiração vygotskiana é feita por Douady (1985) quando 
afirma que um conceito matemático pode ser encarado como uma ferramenta, 
“quando o nosso interesse se foca na sua utilização para resolver problemas” (p. 35) 
ou como um objeto, quando o encaramos como “um objeto cultural que faz parte de 
um corpo científico de conhecimentos”, o que implica também o ser socialmente 
reconhecido (p. 35). Neste caso, considera-se um objeto qualquer definição 
matemática, bem como os exemplos, contra-exemplos e descrições estruturais. Se 
pensarmos em termos de sala de aula, um conceito é uma ferramenta se permite ao 
aluno resolver problemas. Mas, Douady (1985) sublinha que estas ferramentas 
podem ser implícitas ou explícitas, ou seja, são explícitas apenas se o aluno 
consegue justificar os procedimentos que usou. Assim, o objetivo educacional a 
atingir seria que os alunos conseguissem fazer apelo a ferramentas explícitas, pois 
são estas que podem favorecer a compreensão dos conceitos, permitindo-lhes 
passar do nível computacional para a utilização dessas mesmas ferramentas em 
determinadas situações que exigem uma utilização mais flexível (SFARD E 
LINCHEVSKI, 1994b). 
O modo como os alunos trabalham na sala de aula com a Estatística, com os 
colegas e o professor, as tarefas e as instruções de trabalho influenciam o que 
aprendem, como o aprendem e os seus desempenhos. 
 
 
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Quando se aceita que as interações sociais que se estabelecem na sala de 
aula têm um papel determinante nas aprendizagens que os alunos fazem, admite-se 
também que esta aprendizagem é ativa e influenciada pelas propostas de trabalho 
que ali acontecem, valorizando-se as oportunidades dadas aos sujeitos para 
comunicarem os seus conhecimentos e as suas estratégias de resolução. Assim, 
quando as crianças têm a oportunidade de se confrontarem com tarefas e em 
situações de sala de aula onde são encorajadas a trabalhar de forma não rotineira, 
encontra-se uma grande riqueza de estratégias de resolução o que, na opinião de 
Yackel et al. (1990), mostra que cada criança tem “de construir o seu próprio 
significado matemático”. 
Ou seja, este conhecimento não pode ser dado à criança, pois é ela quem 
tem de apreendê-lo, dar-lhe um sentido próprio, uma vez que ele já é partilhado por 
outros sujeitos de uma mesma cultura. 
Porém, como qualquer professor sabe, uma tarefa não é igualmente 
problemática para todos os alunos, no sentido de desencadear uma variedade rica 
de conflitos sociocognitivos. Cada um tem conhecimentos, experiências vivenciais, 
sentimentos e expectativas diferentes quando é confrontado com uma mesma 
tarefa. Este fato pode ser, de acordo com Yackel et al. (1990), uma limitação, pois o 
professor não pode garantir, à partida, que todas as crianças se envolvam na tarefa 
da mesma maneira. Porém, pode ser também uma vantagem, já que pode ser 
interpretado como uma forma de valorizar a diversidade, de acordo com os objetivos 
da escola inclusiva e da “Matemática para Todos”. Para estes autores, as diferenças 
que cada criança traz para a sala de aula quanto aos conhecimentos e 
competências que possui permitem gerar diferentes soluções e interpretações de 
uma mesma tarefa, o que pode ser visto, pelo professor, como algo positivo e 
enriquecedor, ao contrário do que é tradicional fazer na sala de aula e que aparece 
descrito por diversos autores que estudaram os desempenhos matemáticos de 
alunos em diferentes contextos (CARRAHER, CARRAHER E SCHLIEMANN, 1989; 
SAXE, 1989). 
É neste sentido que qualquer aluno, quando tenta resolver uma tarefa, tem de 
lhe atribuir um significado em função dos seus conhecimentos e, só depois, é que 
está pronto para o fazer. “Na verdade o aluno dá significado às coisas a partir 
daquilo que sabe, de toda a sua experiência anterior, e não necessariamente a partir 
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da lógica interna dos conteúdos ou do sentido que o professor atribui às mesmas 
coisas” (ABRANTES, SERRAZINA E OLIVEIRA, 1999, p. 24). Quando um aluno 
atribui significado a uma tarefa não nos podemos esquecer se ela tem ou não 
marcação social (Doise e Mugny, 1981; Mugny e Doise, 1983), ou seja, se o 
quotidiano em que o aluno vive lhe permite interpretá-la mais facilmente, sendo 
capaz de lhe atribuir um significado, pelo que consegue resolvê-la. Assim, o grau de 
dificuldade de uma tarefa não pode ser determinado apenas pelo nível operatório a 
que faz apelo, tem de ser sempre visto de uma forma contextualizada. 
Yackel et al. (1990) sublinham que o professor não deve dar aos alunos 
tarefas fechadas, como os tradicionais exercícios, mas antes atividades abertas, 
onde seja possível o trabalho em díade ou em pequenos grupos, levando os dois 
alunos cooperarem na co-construção de estratégias de resolução. No caso da 
Estatística, têm sido vários os documentos e os autores a manifestarem que “estes 
conteúdos devem ser trabalhados em pequenos grupos e em projetos” (Godino, 
Batanero, Cañizares, 1996, p. 54), o que realça a necessidade de os alunos 
conseguirem encontrar uma intersubjetividade comum (Wertsch, 1991), pois sem ela 
o diálogo entre os pares não seria possível. 
Um dos objetivos da Educação Estatística é possibilitar aos alunos que 
desenvolvam competências que lhes permitam descrever, julgar e inferir opiniões 
acerca de dados, argumentando e interpretando-os usando para isso as várias 
ferramentas estatísticas de forma a compreender que, em Estatística, o contexto 
motiva os procedimentos, é fonte de significado e a base para interpretar as 
soluções, sendo estas dificilmente certas ou erradas, pois os números têm de ser 
analisados como números num contexto determinado, só assim adquirindo 
significado (MOORE, 1990, citado por GAL E GARFIELD, 1997). 
A atribuição de significado é um passo essencial para a resolução de uma 
tarefa matemática e para que haja apropriação de conhecimento. Como salientou 
Vygotsky (1962, 1978), os alunos necessitam de descontextualizar e 
recontextualizar o saber para que este passe de exterior e social para interior e 
pessoal. 
Assim, facilitar a atribuição de significado às tarefas é fundamentalpara se 
conseguir promover o sucesso escolar, pelo que se deve ter em atenção a natureza 
 
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das tarefas que propomos aos alunos. Para além disso, as interações sociais, 
nomeadamente as interações entre pares, jogam um papel muito relevante na 
facilitação da atribuição de significados, pelo que a implementação de um contrato 
didático inovador é também um elemento essencial a tomar em consideração. 
Para promovermos o sucesso escolar em Matemática, nomeadamente no que 
se refere aos conteúdos de Estatística, é necessário facilitarmos a possibilidade de 
os alunos passarem de um conhecimento instrumental para um conhecimento 
relacional, ou seja, ultrapassar o nível computacional e ser capaz de mobilizar os 
conceitos para os utilizar na resolução de situações da vida real. Como diz Douady 
(1985), a atuação dos professores, na sala de aula, deve estimular os alunos a 
utilizarem ferramentas explícitas em vez das implícitas, permitindo-lhes chegar a 
níveis de conceituação mais elaborados, atingindo os objetos científicos que 
integram o corpo de conhecimentos científicos que pretendemos que os alunos 
apreendam. 
Mas, para que tudo o que foi exposto seja uma realidade e não apenas uma 
intenção, é necessário aprendermos a observar e analisar detalhadamente as 
estratégias de resolução e os raciocínios dos alunos, para podermos situar-nos, 
enquanto investigadores e professores, para além do nível das aparências que 
iludem. 
 
 
2.1 A Didáticas do Ensino de Estatística 
 
 
Aprender implica em assimilar um objeto a esquemas mentais baseados em 
ensaio de erro, na pesquisa, investigação, solução de problemas e não em fórmulas 
e definições. A aprendizagem verdadeira se dá no exercício operacional da 
inteligência. Além disso, os alunos devem aprender a distinguir a observação feita 
no domínio da realidade e a representação da mesma (domínio teórico). Como a 
criança ainda não possui o conhecimento destas representações teóricas, é válido 
que se use sequências didáticas para ensiná-las. 
Todos os dias recebemos um volume muito grande de informações dos mais 
variados meios e tipos de comunicações, com enorme rapidez e facilidade de 
 
 
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acesso a elas, há a necessidade dos indivíduos terem um espaço, que lhes permita 
selecionar, qualificar, analisar e contextualizar tais informações. 
Neste aspecto, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, p. 27), 
orientam no sentido de que: 
a compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e 
sociais dependem da leitura crítica e interpretação de informações 
complexas, muitas vezes contraditórias, que incluem dados estatísticos e 
índices divulgados pelos meios de comunicação. Ou seja, para exercer a 
cidadania é necessário saber calcular, medir, raciocinar, argumentar e tratar 
informações estatisticamente. 
Saber matemática é indispensável em qualquer área do conhecimento. 
Aprendê-la bem transforma pessoas em profissionais confiantes e criativos. 
“O bom treinamento em matemática é efetuado com ênfase no argumento lógico, 
oposto ao autoritário (...)” (DRUCK, 2003, p. 02). 
A utilização de instrumentos de medida para avaliar e acompanhar o 
conhecimento adquirido pelos alunos cada vez mais se torna necessária e este fato 
tem motivado pesquisadores da Educação Estatística a buscarem ferramentas mais 
sofisticadas para serem utilizadas nos processos quantitativos de análise dessas 
avaliações. Este tipo de avaliação “ganhou força nos anos noventa, apoiada em 
estudos sobre desenvolvimento industrial, tecnologia e educação (...)” (Duran, 2003) 
e ainda é um desafio afirmar qual maneira é a mais correta de se avaliar, pois, 
segundo essa autora, “mais do que o direito social do acesso à escola, o desafio era 
o de fazer a qualidade do cidadão, a qualidade do trabalhador, a qualidade do 
familiar, a qualidade do indivíduo.” 
A mídia impressa, em especial, utiliza, muitas vezes, gráficos para noticiar os 
mais variados assuntos, usando-os como ferramenta para defender seus 
argumentos jornalísticos, com isso, é possível entender a afirmação presente nos 
PCN (Brasil, 1997) que afirma que “só está alfabetizado quem sabe ler e interpretar 
dados numéricos dispostos de forma organizada”. 
Com a inclusão de tópicos relacionados à Estatística nos PCN (Brasil, 1997), 
evidencia-se a importância que tal ciência vem recebendo nos últimos anos por 
parte dos educadores. Este fato, por sua vez, nos leva a refletir que muitos dos 
educadores hoje em exercício, não tiveram uma base sobre o assunto em sua 
graduação e com isso, surge a necessidade de pesquisas na área, que contemplem 
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não só a formação dos alunos mas, também, forneçam fundamentos metodológicos 
para o professor. 
Inserido no currículo de Matemática, temos o ensino da Probabilidade e da 
Estatística complementando o cenário de formação global do aluno de Educação 
Básica. Carvalho (2003, p. 35-36) enfatiza que: 
cada vez mais se acentua a importância da Estatística, das Probabilidades 
e das suas aplicações no mundo onde a criança vive, assistindo – se 
simultaneamente a um ensino que procura o abandono da memorização de 
fórmulas e algoritmos para se focar nas conexões entre a Estatística e o 
mundo. Ter a possibilidade de resolver problemas que lhe estão próximos 
leva o aluno a ser mais persistente no que está a fazer. 
 
Com isso, propomos o uso de uma pedagogia que se utiliza de sequências 
didáticas para construir um conhecimento significativo ao aluno, buscando 
desenvolver instrumentos de indagação e problematização das situações, de 
descoberta, escolha e integração das informações disponíveis. 
Segundo Pannuti, (2004, p. 04), 
 
A sequência didática é uma outra modalidade organizativa que se constitui 
numa série de ações planejadas e orientadas com o objetivo de promover 
uma aprendizagem específica e definida. Estas ações são sequenciais de 
forma a oferecer desafios com o grau de complexidade crescente, para que 
as crianças possam colocar em movimento suas habilidades, superando-as 
e atingindo novos níveis de aprendizagem. 
 
 
Deve-se buscar que o aluno compreenda que muitos dos acontecimentos do 
cotidiano são aleatórios, podendo identificar possíveis resultados, entendendo o que 
é previsível e aleatório e utilizando recursos probabilísticos para resolver situações- 
problema. 
Outro ponto importante está nas avaliações de ensino, pois os mecanismos 
de avaliação da Educação Básica têm sido uma das principais causas da situação 
de fracasso escolar que atinge uma parte considerável dos alunos. Nesse contexto, 
a avaliação torna-se sinônimo de classificar, selecionar e julgar a aquisição de 
conhecimentos e habilidades utilizando-se dos mesmos instrumentos para todos, o 
que, muitas vezes, é um grande erro, pois, 
Exigir que todos os alunos, independente das diferenças psicossociais, 
apresentem o mesmo desempenho, é ignorar que cada pessoa tem o seu 
tempo para a aprendizagem, é dotada de identidade própria, visões de 
mundo e padrões culturais próprios, a serem considerados em práticas 
docentes e avaliativas, tendo em vista uma apropriação efetiva e 
 
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significativa do conhecimento. (Diretrizes para Avaliação da Aprendizagem, 
2006). 
 
Mesmo para muitos professores de Matemática é de extrema dificuldade 
compreender a linguagem estatística utilizada na apresentação e divulgação dos 
resultados das avaliações educacionais, pois muitas vezes, isso é apresentado em 
linguagem técnica altamente sofisticada e, até mesmo, incompreensível. 
Para o aluno, uma avaliação deve representar seus ganhos e apontar onde 
estão suas dificuldades a fim de melhorar seu conhecimento; para o professor, ela 
deve levá-lo a perceber onde sua pedagogia é falha e, a partir dessa constatação, 
ele deve estar pronto para modificá-la. É importante salientar que: 
A avaliação é do interesse do aluno, dos pais e da comunidade, porque 
tradicionalmente todo processo de aprendizagem pressupõe formas de 
aferição para garantir a confirmação dos conhecimentos que o aluno 
aprendeu e daqueles que não conseguiu compreender. A aprendizagem 
não é um processo individual e isolado, mas um processo coletivo, social e 
cultural. Só que agora o maior interesse na avaliação é dos governos no 
sentido de inserir a escola no mercado (BASTOS, 2001, p.128). 
 
No artigo „Diretrizes para Avaliação da Aprendizagem‟ (2006), fala-se de uma 
avaliação formativa que foi construída por um grupo de professores de uma 
instituição educacional e não por pessoas externas a ela. Essa parece ser uma 
grande ideia para se avaliar e obter seus ganhos, pois ela apresenta as seguintes 
características: 
• é conduzida pelo professor; 
• destina-se a promover a aprendizagem; 
• leva em conta diferentes linguagens e estilos de aprendizagem; 
• dá tratamento didático aos “erros”, considerando-os como informações 
diagnósticas; 
• inclui todas as atividades realizadas; 
• os alunos exercem papel central, devendo atuar ativamente em sua 
própria aprendizagem. (Diretrizes para Avaliação da Aprendizagem, 2006). 
 
Segundo Versieux (2005, p.3) “não existe uma maneira „correta‟ de definir 
avaliação, uma maneira que, se encontrada poria fim à argumentação sobre como 
ela deve proceder e quais são os seus propósitos”. Assim, podemos observar que 
cabe a cada instituição desenvolver sua avaliação formativa, em sua Proposta 
Pedagógica. Segundo a LDB, em seu artigo 26, conforme citado pelas Diretrizes 
para Avaliação da Aprendizagem, 
os currículos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio devem ter uma 
Base Nacional Comum, a ser completada, em cada sistema de ensino e 
estabelecimento escolar, por uma Parte Diversificada, exigida pelas 
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características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia e 
da clientela. (Diretrizes para Avaliação da Aprendizagem, 2006) 
 
E esta parte diversificada pode ser inserida de forma interdisciplinar, tendo 
como essência a reflexão das experiências vividas pelo aluno. Podem-se 
contextualizar conceitos, existentes no currículo da Base Nacional Comum, 
preparando, assim, o aluno para sua vida futura, trabalho e exercício da cidadania. 
Devem voltar-se, então, ao controle para a qualidade e excelência, com parâmetros 
de eficiência, envolvendo custo e benefício, metas e resultados quantitativos. 
Para as universidades brasileiras, segundo Versieux (2005), 
 
a avaliação é vista como tomada de consciência, visando melhorias na 
universidade, com participação individual, coletiva, visando identificação de 
critérios, procedimentos e avaliação de resultados (...) e (...) depende da 
visão de cada um dos formuladores, já que a escola, inserida no modelo 
capitalista, pode ser interpretada à partir de várias teorias educacionais. 
 
A avaliação tem que ser exigida, mas, ainda, precisa ser melhorada na sua 
forma de aplicar e divulgar resultados. É ela que mostra onde estão os problemas na 
educação de nosso país e não podemos esquecer que, 
 
A educação é bem social, direito de todos, obrigação do Estado e da 
família. Foi este o princípio estabelecido na nossa constituição. Este é um 
pilar da concepção de política pública. (...) Os princípios básicos seriam 
uma consciência crítica responsável, os princípios éticos e uma cidadania 
consolidada e atuante. Estes são os princípios que norteiam uma 
concepção de política pública para avaliação (VERSIEUX, 2005, p. 12). 
 
Com essas diversas questões em mente, após realizar uma pesquisa 
bibliográfica acerca de avaliações educacionais, para mapear o estado da arte de 
como estão sendo analisados os dados e divulgados seus resultados especialmente 
no que se refere aos conteúdos de Estatística nelas contidos, desenvolvemos 
algumas sequências didáticas com temas geradores do cotidiano, buscando 
desenvolver o raciocínio combinatório e probabilístico conforme as sugestões dos 
PCN e, também, apresentar a você professor ou futuro professor de estatística, um 
material didático diferenciado que o auxilie no ensino de combinatória e 
probabilidade. 
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2.1.1 Sequências Didáticas Desenvolvidas 
 
1. Jogo da Memória - Objetivo: explorar situações que desenvolvam o raciocínio 
combinatório e probabilístico 
1. O que você pensa sobre os animais? 
2. O que você pensa sobre as pessoas que abandonam animais? E as que 
maltratam? 
3. Você possui animais? Quantos? Quais? 
4. Qual seria a sua reação quando presenciasse uma cena de maus tratos de 
animais? 
5. Considere um jogo da memória no qual existem 8 gatos idênticos, 6 cachorros 
idênticos, 6 onças idênticas, 4 golfinhos idênticos, 2 bodes idênticos, 2 cavalos 
idênticos e 2 macacos idênticos. Na sua opinião, existe algum animal que é mais 
fácil de formar pares? Por quê? 
O aluno pode jogar várias vezes para ter uma ideia melhor da probabilidade. 
Complete a tabela abaixo indicando a probabilidade retirar cada um desses animais: 
Animais Probabilidade 
Gato 
 
 
Cachorro 
 
 
Onça 
 
 
Macaco 
 
 
Golfinho 
 
 
Cavalo 
 
 
Bode 
 
 
Total 
35 
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6. Agora calcule a probabilidade de: 
a. Retirar a figura de um gato, sabendo que já foram retiradas todas as onças (todas 
as outras figurinhas ainda estão no jogo). 
b. Retirar a figura de um cachorro, sabendo que já foram retirados todos os cavalos. 
c. Retirar a figura de um golfinho, sabendo que já foram retirados todos os gatos e 
todos os cachorros. 
7. Qual foi sua opinião para usar o jogo da memória e ao mesmo tempo começar a 
aprender probabilidade? 
8. Você teria alguma sugestão para um outro jogo que envolvesse probabilidade? 
9. Você tem alguma pergunta ou alguma dúvida sobre esse jogo? 
 
 
2. Brincando com Gráficos e Tabelas 
Objetivo: Interpretar dados organizados em tabelas, calcular percentuais, organizar 
dados em tabelas, discutir os dados apresentados e tomar possíveis decisões. 
 
Atividade 
Um centro de zoonose da região metropolitana de Campinas divulgou os dados da 
Tabela 1. 
 
Tabela 1: Castrações de animais no período de Dezembro de 2006 à Junho de 2007 
por um núcleo de zoonoses da região metropolitana de Campinas. 
 
 
PeríodoCão 
macho 
Cão 
fêmea 
Gato 
macho 
Gato 
fêmea 
Total 
Dez./06 4 0 0 11 
Jan./07 2 0 1 10 
Fev./07 2 0 7 13 22 
Mar./07 6 15 61 
Abr./07 14 12 24 67 
Mai./07 15 46 20 28 
Jun./07 17 48 35 124 
Total 75 117 86 129 
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1. Complete os dados que estão faltando na tabela, calcule as porcentagens 
referentes a cada grupo de animais e organize uma nova tabela devidamente 
formatada. 
 
2. Você seria capaz de avaliar o impacto que as castrações públicas trazem para 
sua cidade? Compare e explicite o motivo das castrações serem realizadas em 
animais machos e fêmeas. 
 
3. Imagine que cada animal fêmea da tabela 1 não tenha sido castrado e gere 5 
filhotes, dos quais 3 são fêmeas nos cães e 4 são fêmeas nos gatos. Quantos novos 
animais existirão quando todos os animais tiverem dado cria? Quantos machos e 
quantas fêmeas? 
 
4. Imagine agora que o período de gestação de uma fêmea é de cerca de 3 meses e 
que a fêmea pode pegar uma nova cria um mês após de ter dado a luz.Quantos 
filhotes estas fêmeas terão gerado ao final de um ano? 
 
5. Imagine ainda que cada filhote gerado entra no período de reprodução a partir do 
sexto mês. Utilizando os dados dos exercícios 3 e 4, calcule o total de novos animais 
gerados no decorrer de um ano pelas fêmeas da tabela 1. 
 
Estas sequências apresentam-se de uma maneira simples e podem ser 
aplicadas com alunos desde o início da escolaridade. Através da coleta de dados e 
da elaboração de tabelas e gráficos, os estudantes podem observar que a utilização 
da Estatística possibilita a resolução, compreensão e uma melhor visualização de 
diversificados problemas que fazem parte do seu cotidiano e de outras pessoas. 
Assim, podemos tornar a Matemática e seus diversos âmbitos de 
aplicabilidade, do ponto de vista do aluno, um tanto mais prazerosa e com 
significância para ele, na medida em que, oferecemos diferentes formas de aprender 
e de estudar, buscando inovar sempre, a metodologia escolar, renovando, assim, o 
espírito da escola. 
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3 PRINCÍPIOS DE ESTATÍSTICA 
 
 
Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para 
coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros 
extraídos da população, tais como média ou desvio padrão. 
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os 
quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil 
sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair 
informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que 
representam. 
Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes 
devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar 
a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, 
se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou 
seja, para a população de onde os dados provêm. 
Quando de posse dos dados, procura-se agrupá-los e reduzi-los, sob forma 
de amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente. 
Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma 
quantidade ou testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, 
as quais realçam toda a potencialidade da Estatística, na medida em que vão 
permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena 
amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido. 
Exemplo: 
Ao chegarmos a uma churrascaria, não precisamos comer todos os tipos de 
saladas, de sobremesas e de carnes disponíveis, para conseguirmos chegar a 
conclusão de que a comida é de boa qualidade. Basta que seja provado um tipo de 
cada opção para concluirmos que estamos sendo bem servidos e que a comida está 
dentro dos padrões. 
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3.1 População e Amostra 
 
 
Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da 
amostra. Obviamente obter-se-ia uma precisão muito superior se fosse analisado o 
grupo inteiro, a população, do que uma pequena parcela representativa, 
denominada amostra. Observa-se que é impraticável na grande maioria dos casos, 
estudar a população por completo, em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, 
entre outros motivos. 
A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra 
confiável. Se a amostra é confiável e proporciona inferir sobre a população, 
chamamos de inferência estatística. Para que a inferência seja válida, é necessária 
uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de determinação correta da 
população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra. 
Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da 
população, estudam-se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra. 
 
Exemplo: 
Se o objetivo for estudar o desempenho escolar de um colégio, é indicado 
estudar as notas dos alunos ao final do ano letivo. A partir daí poderemos 
facilmente obter a percentagem de aprovações e reprovações. 
Agora, se, entretanto o interesse for aprofundar o estudo, saber se, por 
exemplo, o sucesso no estudo pode ser atribuído para as alunas ou alunos, 
deveremos recolher não somente a informação relativa a nota do aluno que aprovou 
ou não, mas também para cada um, o sexo. 
 Aprovados 
Masculino 28% 
Feminino 13% 
Total 41% 
 
Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se 
enviesada e a sua utilização pode dar origem a interpretações erradas. 
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3.1.1 Recenseamento 
 
Recenseamento é a contagem oficial e periódica dos indivíduos de um 
País, ou parte de um País. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de 
situações. 
Assim, pode definir-se recenseamento do seguinte modo: 
Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos 
com o propósito de adquirir conhecimentos, observando todos os seus 
elementos, e fazer juízos quantitativos acerca de características importantes 
desse universo. 
 
3.1.2 Estatística descritiva e estatística indutiva 
 
 
Sondagem 
Por vezes não é viável nem desejável, principalmente quando o 
número de elementos da população é muito elevado, inquirir todos os seus 
elementos sempre que se quer estudar uma ou mais características 
particulares dessa população. 
Assim surge o conceito de sondagem, que se pode tentar definir como: 
Estudo científico de uma parte de uma população com o objetivo de estudar 
atitudes, hábitos e preferências da população relativamente a acontecimentos, 
circunstâncias e assuntos de interesse comum. 
 
Amostragem 
Amostragem é o processo que procura extrair da população elementos 
que através de cálculos probabilísticos ou não, consigam prover dados 
inferenciais da população-alvo. 
 
 
 
 
 
Tipos de Amostragem 
Não Probabilística 
Acidental ou conveniência 
Intencional 
Quotas ou proporcional 
Desproporcional 
Probabilística 
Aleatória Simples 
Aleatória Estratificada 
Conglomerado 
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3.1.3 Não Probabilística 
 
 
A escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre 
encontrará desvantagem frente ao método probabilístico. No entanto, em 
alguns casos, se faz necessário a opção por este método. Fonseca (1996), 
alerta que não há formas de se generalizar os resultados obtidos na amostra 
para o todo da população quando se opta por este método de amostragem. 
 
Acidental ou conveniência 
Indicada para estudos exploratórios. Frequentemente utilizados em 
supermercados para testar produtos. 
 
Intencional 
O entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua 
opinião. Por exemplo, quando de um estudo sobre automóveis, o pesquisador 
procura apenas oficinas. 
 
Quotas ou proporcional 
Na realidade, trata-se de uma variação da amostragem intencional. 
Necessita-se ter um prévio conhecimento da população e sua 
proporcionalidade. Por exemplo, deseja-se entrevistar apenas indivíduos da 
classe A, que representa 12% da população. Esta será a quota para o 
trabalho. Comumente também substratifica-se uma quota obedecendo a uma 
segunda proporcionalidade. 
 
Desproporcional 
Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à 
população. Atribui-se pesos para os dados, e assim obtêm-se resultados 
ponderados representativos para o estudo. 
 
Exemplo: 
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Em um mercado de telefones celulares, considerando uma fatia de mercado 
meramente ilustrativa, obteve-se os resultados conforme descritos a seguir: 
 
Marcas 
Participação no 
mercado 
Elementos da Amostra 
n % 
Nokia 60% 50 25% 
Ericson 20% 50 25% 
Gradiente 15% 50 25% 
Philips 05% 50 25% 
Total 100% 200 100% 
 
Objetivando obtermos os pesos a serem atribuídos a cada marca de telefone 
celular, para uma análise conjunta de todas as marcas no exemplo acima, obtemos 
os seguintes coeficientes: 
 
Marcas Pesos Número de elementos a serem entrevistados 
Nokia 2,4 120 
Ericson 0,8 40 
Gradiente 0,6 30 
Philips 0,2 10 
Total 4,0 200 
 
 
3.1.4 Probabilística 
 
Para que se possam realizar inferências sobre a população, é necessário 
que se trabalhe com amostragem probabilística. É o método que garante segurança 
quando se investiga alguma hipótese. Normalmente os indivíduos investigados 
possuem a mesma probabilidade de ser selecionado na amostra. 
 
 
Aleatória Simples 
 
É o mais utilizado processo de amostragem. Prático e eficaz, confere 
precisão ao processo de amostragem. Normalmente utiliza-se uma tabela de 
 
 
42 
 
 
 
números aleatórios e nomeiam-se os indivíduos, sorteando-se um por um até 
completar a amostra calculada. 
Uma variação deste tipo de amostragem é a sistemática. Em um grande 
número de exemplos, o pesquisador depara-se com a população ordenada. Neste 
sentido, têm-se os indivíduos dispostos em sequência o que dificulta a aplicação 
exata desta técnica. 
Quando se trabalha com sorteio de quadras de casas, por exemplo, há uma 
regra crescente para os números das casas. Em casos como este, divide-se a 
população pela amostra e obtém-se um coeficiente (y). A primeira casa será a de 
número x, a segunda será a de número x + y; a terceira será a de número x + 3. y. 
Supondo que este coeficiente seja 6. O primeiro elemento será 3. O segundo 
será 3 + 6. O terceiro será 3 + 2.6. O quarto será 3 + 3.6, e assim sucessivamente. 
 
 
Aleatória Estratificada 
 
Quando se deseja guardar uma proporcionalidade na população 
heterogênea. Estratifica-se cada subpopulação por intermédio de critérios como 
classe social, renda, idade, sexo, entre outros. 
 
Conglomerado 
 
Em corriqueiras situações, torna-se difícil coletar características da 
população. Nesta modalidade de amostragem, sorteia-se um conjunto e procura-se 
estudar todo o conjunto. É exemplo de amostragem por conglomerado, famílias, 
organizações e quarteirões. 
 
3.2 Dimensionamento da amostra 
 
 
Quando se deseja dimensionar o tamanho da amostra, o procedimento 
desenvolve-se em três etapas distintas: 
 Avaliar a variável mais importante do grupo e a mais significativa; 
 Analisar se é ordinal, intervalar ou nominal; 
 Verificar se a população é finita ou infinita; 
 
 
 
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Variável intervalar e população infinita 
Variável intervalar e população finita 
Variável nominal ou ordinal e população 
infinita 
 
 
Variável nominal ou ordinal e população finita 
 
 
Obs.: A proporção (p) será a estimativa da verdadeira proporção de um dos 
níveis escolhidos para a variável adotada. Por exemplo, 60% dos telefones da 
amostra é Nokia, então p será 0,60. 
A proporção (q) será sempre 1 - p. Neste exemplo q, será 0,4. O erro é 
representado por d. 
Para casos em que não se tenha como identificar as proporções confere-se 
0,5 para p e q. 
 
3.3 Tipos de dados 
 
 
Basicamente os dados, dividem-se em contínuos e discretos. O primeiro 
é definido como qualquer valor entre dois limites quaisquer, tal como um 
diâmetro. Portanto trata-se de um valor que ser “quebrado”. São dados 
contínuos, questões que envolvem idade, renda, gastos, vendas, faturamento, 
entre muitas outras. 
Quando se fala em valores discretos, aborda-se um valor exato, tal 
como quantidade de peças defeituosas. Comumente utiliza-se este tipo de 
variáveis para tratar de numero de filhos, satisfação e escalas nominais no 
geral. 
A tipologia dos dados determina a variável, ela será, portanto contínua 
ou discreta. Isto quer dizer que ao definir-se uma variável com contínua ou 
discreta, futuramente já se definiu que tipo de tratamento se dará a ela. 
De acordo com o que dissemos anteriormente, numa análise estatística 
distinguem-se essencialmente duas fases: 
Uma primeira fase em que se procura descrever e estudar a amostra: 
Estatística Descritiva e uma segunda fase em que se procura tirar 
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conclusões para a população: 
 
 
1ª Fase Estatística Descritiva 
Procura-se descrever a amostra, pondo em evidência as 
características principais e as propriedades. 
 
2ª Fase Estatística Indutiva 
Conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de uma análise 
descritiva da amostra), expressas por meio de proposições, imaginam-se 
proposições mais gerais, que exprimam a existência de leis (na população). 
No entanto, ao contrário das proposições deduzidas, não podemos dizer 
que são falsas ou verdadeiras, já que foram verificadas sobre um conjunto 
restrito de indivíduos, e, portanto, não são falsas, mas não foram verificadas 
para todos os indivíduos da População, pelo que também não podemos 
afirmar que são verdadeiras! 
Existe, assim, um certo grau de incerteza (percentagem de erro) que é 
medido em termos de Probabilidade. 
Considerando o que foi dito anteriormente sobre a Estatística Indutiva, 
precisamos aqui da noção de Probabilidade, para medir o grau de incerteza 
queexiste, quando tiramos uma conclusão para a população, a partir da 
observação da amostra. 
 
 
 
3.3.1 Agrupamento dos dados 
 
Podemos pensar em agrupar os elementos: 
Para isso, anotamos quantas vezes a nota aparece (frequência). No Excel, 
chamamos a função estatística CONT.SE e mostramos o intervalo que queremos 
analisar e a nota que queremos saber quantas vezes ela aparece: 
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Figura: Função Cont. Se 
 
 
 
E fazendo este procedimento diversas vezes, obtemos: 
 
 
Tabela: Notas dos alunos da escola Y- ano 2007 
 
NOTAS FREQUÊNCIA 
2 1 
3 1 
4 1 
5 2 
6 1 
7 1 
8 2 
9 1 
10 1 
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r 
 
 
 
Podemos assim, fazer o gráfico: 
 
Percebemos aqui que é preciso colocar título no gráfico e nome nos eixos. 
 
 
 
 
2,5 
2 
ai 
 
Nota dos alunos da Série X - Escola Y- ano 2007 
c 1,5 
n ê 
ü 1 q 
e 0,5 
f 
0 
nota 2 nota 3 nota 4 nota 5 nota 6 nota 7 nota 8 nota 9 nota 10 
notas 
 
 
Figura: Gráfico das notas dos alunos da série X 
 
 
14 
13 
12 
14 
13 
12 
12 
13 
14 
16 
13 
14 
14 
14 
“ “ 
15 
15 
17 
16 
14 
12 
11 
12 
 
3.3.2 Algumas funções do Excel para descrição dos dados 
Dada a amostra: 
 
 
 
 
 
 
47 
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Teremos 4 funções mostradas aqui: 
 
Tabela: Funções estatísticas 
 
Função 
Estatística 
Intervalos de 
células 
 
Máximo 17 
 
Mínimo 11 
 
Cont. Números 22 
 
Cont. Valores 
 
23 
 
 
 
Aqui temos a função Máximo = 17 
A função Mínimo = 11 
A função Cont. Números – que é relacionada à contagem de números apenas, não 
importando com células vazias. 
E a função Cont. Valores que é relacionada com o número de observações, mesmo 
sendo células que estão vazias “ “. 
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Função frequência: A função estatística FREQUÊNCIA dá a distribuição de 
frequências da matriz_dados de acordo com a matriz_bin definida: 
 
 
Fig: Planilha do Excel com a tabela de funções estatísticas 
 
 
 
Verifique que, a matriz_dados está nas células: A1; A23 
E a Matriz_bin está na F15; F21 
Selecione as células que estão na coluna posterior da matriz_bin 
E digite a fórmula: =FREQUÊNCIA (A1:A3; F15:F21) 
Pressione as teclas CTRL + SHIFT + ENTER 
Onde obteremos os resultados acima. 
Voltemos a analisar com um gráfico: 
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Fig: Como fazer gráfico 
 
 
 
É preciso selecionar o Intervalo de dados na parte de cima desta caixa e, 
selecionar a coluna da matriz_bin (F15: F21). 
Após este procedimento, clicar em série (na parte superior desta caixa). 
 
 
50 
 
 
 
 
 
Fig: Passo-a-passo para fazer gráfico no Excel 
 
 
 
Em Valores, selecione a matriz que tem os valores das frequências 
(G15:G21). 
Em Rótulo dos eixos das categorias X, selecione Rótulos do eixo das 
categorias, a matriz_bin: F15:F21. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.4 Frequência acumulada 
 
Tabela: TABELA DE FREQUÊNCIA 
 
 
Valores da amostra 
 
Frequência 
Frequência 
relativa 
 
Frequência acumulada 
11 1 4,55% 1 
12 5 22,73% 6 
13 4 18,18% 10 
14 7 31,82% 17 
15 2 9,09% 19 
16 2 9,09% 21 
17 1 4,55% 22 
 
 
Na 4ª coluna, obtemos frequência acumulada, através de: 
 
 
 
Fig: Planiha do Excel com tabela de frequência 
 
 Coloque na célula I2, o valor da célula G2 (frequência absoluta) 
 Fórmula na célula I3= I2+G3 
 Fórmula na célula I4= I3+G4 
Arraste a alça de preenchimento. 
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Gráfico com freqüências relativas 
 
 
 
 
 
 
5,00% 
0,00% 
11 12 13 14 15 16 17 
 
Freqüências acumuladas (Fa) 
25 
 
20 
 
15 
 
10 
 
5 
 
0 
11 12 13 14 
valores das amostras 
15 16 17 
 
 
 
 Vamos fazer o gráfico das frequências relativas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura: Gráfico com frequências relativas 
 
 
 
E agora com frequências acumuladas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura: Gráfico com frequências acumuladas 
fr
e
q
ü
ê
n
c
ia
s
 r
e
la
ti
v
a
s
 
F
a
 
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É possível também, construir este gráfico combinado com as frequências: 
relativa e acumulada: 
 
 
 
Figura: Como construir Gráfico com frequências relativas e acumuladas 
 
 
 
Como verificamos acima, existem as 2 frequências sendo analisadas no 
mesmo gráfico. Conseguimos tal resultado fazendo o procedimento: 
 Assistente de gráfico; 
 Tipos personalizados; 
 Lins-Cols em 2 eixos; 
 Clicar em intervalos de dados, e selecionar os valores da frequência relativa, 
no caso: H15:H21; 
 Em Série, clicar no eixo x, e colocar os valores da amostra, que estão nas 
células: G15:G21; 
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21 
 
 
 
 Adicionar mais uma série: Clicar no botão Adicionar e colocar a coluna que 
estão os valores da frequência acumulada: I15: I21; 
 
 
3.5 Distribuição de frequências com dados agrupados 
 
 
 
Os dados podem ser agrupados utilizando classes, mas para determiná-las 
existem algumas maneiras, segundo Lapponi (2000): 
 
k= arredondando para o valor inteiro menor ou maior; 
 
k= 1+ 3,322* log n , arredondando para o valor inteiro menor ou maior; 
 
 
 
Por exemplo, temos uma amostra de 21 dados: 
 
50 34 65 59 58 45 67 
56 54 43 78 49 56 54 
76 67 67 67 60 56 45 
Figura: Dados da amostra 
 
 
 
Teremos então: 
 
K = = 4,58 =Podemos arredondar para 5. 
 
Ou 
 
K=1+ 3,322* log 21=5,39, podemos arredondar para 5 
Assim, teremos que: 
1) Determinar a amplitude de classe: 
Descobrindo o Mínimo =34 
Descobrindo o Máximo= 78 
 
h= 
Máximo 
K 
Mínimo 78 34 
5 
 
8,8 
 
Podemos trabalhar com o número 8,8 ou arredondá-lo para 9: 
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Fazendo o Histograma peloExcel, teremos: 
Ferramentas - Análise se dados – Histograma 
 
 
Figura: Função Histograma do Excel 
 
No Intervalo de entrada, colocamos os dados da amostra (A1:A21) 
 
E no intervalo do bloco, colocamos os dados sem repetição (C1: C14): 
 
 
 
Figura: Dados da amostra na coluna A e dados sem repetição na coluna C 
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Histograma 
6 
4 
2 
0 
150,00% 
100,00% 
50,00% 
0,00% 
Freqüência 
 % cumulativo 
Bloco 
 
 
 
Colocamos no intervalo de saída onde queremos que seja o resultado, e 
obteremos: 
 
 
Tabela: Resultado da Frequência e da Frequência relativa acumulada 
 
 
Bloco 
 
Frequência 
% 
cumulativo 
5 0 0,00% 
34 1 4,76% 
43 1 9,52% 
45 2 19,05% 
49 1 23,81% 
50 1 28,57% 
54 2 38,10% 
56 3 52,38% 
59 2 61,90% 
60 1 66,67% 
65 1 71,43% 
67 4 90,48% 
76 1 95,24% 
78 1 100,00% 
Mais 0 100,00% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura: Histograma com frequência relativa acumulada 
5 45 54 60 76 
F
re
q
ü
ê
n
c
ia
 
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Histograma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que percebemos é que quando fazemos as classes e fazemos um gráfico 
via assistente de gráfico, parece mais facilmente entendido; 
 
 
Tabela: Dados agrupados por classes 
 
 
 
Classes Frequência 
34-43 1 
43-52 5 
52-61 8 
61-70 5 
70-79 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura: Histograma sem espaço intercolunas 
 
Exemplo: 
 
Uma empresa fabricante de um automóvel, pretende avaliar a potencialidade 
do mercado, estimando através de um mercado teste. 
Através de 1000 entrevistados, pretende-se verificar como se comportará a 
fatia de intenção de votos para determinado candidato. 
F
re
q
ü
ê
n
c
ia
 
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Problema: pretende-se, a partir da percentagem de respostas afirmativas, de 
entre os inquiridos sobre a compra do novo produto, obter uma estimativa do 
número de compradores na População. 
 
 
3.6 Dados, tabelas e gráficos 
 
 
Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem 
aos números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais 
comum é o de divisão por classes ou categorias, verificando-se o número de 
indivíduos pertencentes a cada classe: 
1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto: 
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou 
ligeiramente inferior ao menor valor das observações: 
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou 
ligeiramente superior ao maior valor das observações: 
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando . 
Obrigatoriamente deve estar compreendido entre 5 a 20. 
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: 
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para 
cada classe (inferior e superior) 
 
Exemplo: 
 
5,1 5,3 5,3 5,6 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,2 
6,3 6,3 6,3 6,4 6,4 6,4 6,5 6,5 6,6 6,7 
6,7 6,8 6,8 6,9 6,9 7 7,1 7,1 7,2 7,2 
7,3 7,4 7,5 7,5 7,6 7,6 7,6 7,7 7,7 7,8 
7,8 7,9 7,9 8 8 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 
8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 8,9 9 9,1 9,2 9,4 
9,4 9,5 9,5 9,6 9,8 9 9 10 10,2 10,2 
10,4 10,6 10,8 10,9 11,2 11,5 11,8 12,3 12,7 14,9 
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Regras para elaboração de uma distribuição de frequências 
1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto: 
Valor mínimo: 5,1 
Valor máximo: 14,9 
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou 
ligeiramente inferior ao menor valor das observações: LI: 5,1 
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou 
ligeiramente superior ao maior valor das observações: LS:15 
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando . 
Obrigatoriamente deve estar compreendido entre 5 a 20. Neste caso, K é igual 
a 8,94, aproximadamente, 8. 
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: 
 
 
No exemplo, a será igual a: 1,23 
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, definem-se os limites 
para cada classe (inferior e superior), onde limite Inferior será 5,1 e o limite 
superior será 15 + 1,23. 
 
Intervalo de 
Classe 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Acumulada 
Frequência 
Relativa 
05,10 a 06,33 13 13 16,25% 
06,34 a 07,57 21 34 26,25% 
07,58 a 08,81 22 56 27,50% 
08,82 a 10,05 15 71 18,75% 
10,06 a 11,29 4 75 5,00% 
11,30 a 12,53 3 78 3,75% 
12,54 a 13,77 1 79 1,25% 
13,78 a 15,01 1 80 1,25% 
 80 100% 
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3.6.1 Distribuições simétricas 
 
A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente 
simétrica, relativamente a uma classe média 
 
 
 
Caso especial de uma distribuição simétrica: 
Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, 
estamos tratando de dados que distribuem-se em forma de sino. 
 
3.6.2 Distribuições Assimétricas 
A distribuição das frequências apresenta valores menores num dos 
lados: 
 
 
 
 
3.6.3 Distribuições com “caudas” longas 
Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de 
dados em relação aos concentrados na região central da distribuição. 
 
 
 
3.7 Medidas de tendência Central 
 
 
As mais importante medidas de tendência central, são a média 
aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética 
ponderada, mediana, moda, média geométrica, média harmônica, quartis. 
Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, 
desvio padrão e variância. 
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Medidas 
Média aritmética 
 
Média aritmética para 
dados agrupados 
 
 
Média aritmética 
ponderada 
 
 
 
Mediana 
1) Se n é impar, o valor é central, 2) 
se n é par, o valor é a média dos dois 
valores centrais 
 
Moda 
Valor que ocorre com mais 
frequência. 
Média geométrica 
 
 
Média harmônica 
 
Quartil 
 
Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter 
cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos 
dados. 
Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é “normal”, 
então a melhor medida de localização do centro, é a média. 
Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e 
que surge com mais frequência nas aplicações, (esse fato justifica a grande 
utilização da média). 
A média possui uma particularidade bastante interessante, que 
consiste no seguinte: se calcularmos os desvios de todas as observações 
relativamente à média e somarmos esses desvios o resultado obtido é igual a 
zero. 
A média tem uma outra característica, que torna a suautilização 
vantajosa em certas aplicações: quando o que se pretende representar é a 
quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média. 
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, 
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obtemos a quantidade pretendida. 
 
 
3.8 Moda 
 
 
Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os 
dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são 
contínuos. 
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor 
que representa a moda ou a classe modal 
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto 
de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os 
quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana. 
 
3.9 Mediana 
 
 
A mediana é uma medida de localização do centro da distribuição dos 
dados, definida do seguinte modo: ordenados os elementos da amostra, a mediana 
é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos 
elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são 
maiores ou iguais à mediana. 
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a 
amostra de n elementos: 
Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. 
Se n é par, a mediana é a semissoma dos dois elementos médios. 
 
 
3.10 Considerações a respeito de Média e Mediana 
 
 
Se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte 
notação: X1:n , X2:n , ... , Xn:n então uma expressão para o cálculo da mediana 
será: 
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é 
tão sensível aos dados. 
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1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 
2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito 
maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média 
reflete o valor de todas as observações. 
Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito 
influenciada por valores “muito grandes” ou “muito pequenos”, mesmo que estes 
valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis 
pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado 
utilizar a mediana. 
A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 
1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana; 
2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como “outliers”), a média 
tende a ser maior que a mediana; 
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como “outliers”), a 
média tende a ser inferior à mediana. 
 
 
3.11 Medidas de dispersão 
 
Já vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de 
dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados 
através das seguintes medidas: 
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o 
da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à 
medida de localização do centro da amostra. 
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será 
relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, 
apresentada a seguir. 
 
3.11.1 Variância 
 
 
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os 
quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e 
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dividindo pelo número de observações da amostra menos um. 
 
 
 
 
3.11.2 Desvio-padrão 
 
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que 
se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da 
variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz 
quadrada da variância e obtemos o desvio padrão: 
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos 
e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados. 
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, 
são: o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados. 
 
 
 
Exemplo: em uma turma de aluno, verificou-se através da análise das notas de 15 
alunos, os seguintes desempenhos: 
Alunos Conceito na Prova 
1 4,3 
2 4,5 
3 9 
4 6 
5 8 
6 6,7 
7 7,5 
8 10 
9 7,5 
10 6,3 
11 8 
12 5,5 
13 9,7 
14 9,3 
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15 7,5 
Total 109,8 
Média 7,32 
Desvio Padrão 1,77 
 
Observamos no exemplo, que a média das provas, foi estimada em 7,32 
com desvio padrão em 1,77. Concluímos que a maioria das notas concentrou-se em 
9,09 e 5,55. 
 
3.11.3 istribuição Normal 
 
A distribuição normal é a, mas importante distribuição estatística, 
considerando a questão prática e teórica. Já vimos que esse tipo de distribuição 
apresenta-se em formato de sino, unimodal, simétrica em relação a sua média. 
Considerando a probabilidade de ocorrência, a área sob sua curva soma 100%. Isso 
quer dizer que a probabilidade de uma observação assumir um valor entre dois 
pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos. 
 
 
 
 
68,26% => 1 desvio 
95,44% => 2 desvios 
99,73% => 3 desvios 
 
 
Na figura acima, tem as barras na cor marrom representando os desvios 
padrões. Quanto mais afastado do centro da curva normal, mais área compreendida 
abaixo da curva haverá. A um desvio padrão, temos 68,26% das observações 
contidas. A dois desvios padrões, possuímos 95,44% dos dados compreendidos e 
finalmente a três desvios, temos 99,73%. Podemos concluir que quanto maior a 
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variabilidade dos dados em relação à média, maior a probabilidade de encontrarmos 
o valor que buscamos embaixo da normal. 
 
Propriedade 1: 
“f(x) é simétrica em relação à origem, x = média = 0; 
Propriedade 2: 
“f(x) possui um máximo para z=0, e nesse caso sua ordenada vale 0,39; 
Propriedade3: 
“f(x) tende a zero quando x tende para + infinito ou - infinito; 
Propriedade4: 
“f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem média + DP e média - DP, ou 
quando z tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e -1. 
 
Exemplo: 
As alturas de grupo de crianças são tidas como normais em sua distribuição, 
com desvio padrão em 0,30m e média em 1,60. Qual a probabilidade de um aluno 
medir (1) entre 1,50 e 1,80, (2) mais de 1,75 e menos de 1,48? 
(1) 
z1= (1,50-1,60)/0,30=-0,33 
z2= (1,80-1,60)/0,30= 0,67 
Então, z1 (0,1293) + z2 (0,2486) = 37,79% 
(2) 
z1= (1,75-1,60)/0,30=0,30 
0,500-0,1915 = 30,85% 
(3) 
Z1= (1,48-1,50)/0,30 =-0,4 
0,500-0,1554 = 34,46% 
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SEF/MEC, 1997a. 
 
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Nacionais: Matemáticas (3o e 4o ciclos do Ensino Fundamental). Brasília: 
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ANEXOS 
 
 
Anexo 01- Estatística Descritiva 
 
 
1. Estatística Dedutiva ou Descritiva 
Consiste na recolha, apresentação, análise e interpretação de dados numéricos, através da 
criação de instrumentos adequados: quadros, gráficos e indicadores numéricos (Reis, 1996). 
Portanto, a Estatística Descritiva visa somente descrever e analisar um certo grupo (amostra) sem daí 
retirar conclusões ou inferências sobre a população da qual foi retirado esse grupo (Barreiros, 1984). 
Face aos resultados de experiências e da observação dos processos naturais, a questão básica que 
se põe é quase sempre, a seguinte: como resumir os aspectos essenciais dos dados? Será que 
existem regularidades, tendências, ciclos, concentrações,..., padrões, dignos de nota nos dados? 
Mas, por vezes, dada a enorme quantidade de dados disponíveis, a questão central é: como resumir 
os dados de forma que a informação neles contida possa ser facilmente comunicada e assimilada? É 
este o papel da Estatística Descritiva (Vairinhos, 1996). Sin.: Análise de Dados (Vairinhos, 1996). 
 
 
2. Tipos de dados 
 
A interpretação das listas de números a olho é muito difícil. Ao invés disso, nós deveríamos 
produzir um resumo verbal ou numérico e/ou usar métodos gráficos para descrever os pontos 
principais dos dados. 
O método mais apropriado dependerá da natureza dos dados, e aqui podemos distinguir 
dois tipos principais: 
 
1. Dados qualitativos ou categóricos que podem ser: 
1. nominais, por exemplo 
 sexo: masculino, feminino 
 classificação de fósseis 
2. ordinais, i.e. categorias ordenadas, tais como 
 salinidade: baixa, média, alta 
 abundância: dominante, abundante, frequente, ocasional, raro 
2. Dados quantitativos ou numéricos que podem ser: 
1. discretos, i.e. contagens ou número inteiros, por exemplo 
 número de ovos postos pela tartaruga marinha 
 número de ataques de asma no ano passado 
2. contínuos, i.e. medidas numa escala contínua, tais como 
 volume, área, peso, massa 
 velocidade de corrente 
 
 
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As distinções são menos rígidas do que a descrição acima insinua. Por exemplo, em geral 
nós trataríamos idade como uma variável contínua, mas se a idade for registrada pelo ano mais 
próximo, podemos trata-la como discreta, e se separarmos a amostra em ``crianças”, ``adultos 
jovens”, ``idade média”, ``velhos”, por exemplo, então temos faixa etária como uma variável ordenada 
categórica. No entanto, em geral é recomendado manter os dados em sua forma original, 
categorizando os dados somente para propósitos de apresentação. 
2.2 Dados qualitativos 
 
Para sumarizar dados qualitativos numericamente, utiliza-se contagens, proporções, 
percentagens, taxas por 1000, taxas por 1.000.000, etc, dependendo da escala apropriada. Por 
exemplo, se encontrarmos que 70 de 140 estudantes de geologia são homens, poderíamos relatar a 
taxa como uma proporção (0.5) ou provavelmente ainda melhor como um percentual (50%). Se 
encontrarmos que 7 de uma amostra de 5000 pessoas são portadores de uma doença rara 
poderíamos expressar isto como uma proporçãoobservada (0.0014) ou percentual (0.14%), mas 
melhor seria 1.4 casos por mil. 
2.2.1 Tabulando dados 
 
Frequentemente o primeiro passo da descrição de dados é criar uma tabela de 
frequência. Por exemplo, as espécies de “woodlice” caindo numa armadilha foram: 
 
 
Num relatório, a segunda coluna não seria mostrada, e os dados seriam sumarizados num 
formato mais simples como mostrado abaixo. Se o maioria dos dados caem em poucas 
categorias, então é conveniente colapssar algumas das categorias com somente uma ou 
duas observações em outra categoria chamada “outros”. 
 
Table showing the species of 27 woodlice that fell in a pit-fall trap: 
 
 
 
Tabelas simples como esta são na maioria das vezes suficientes para descrever dados 
qualitativos especialmente quando existem somente duas ou três categorias. 
 
2.2.2 Resumindo numericamente 
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Considere o seguinte conjunto de dados que mostra os escores de abundância 
médios DAFOR de ocorrência de Nardus stricta em 100 áreas investigadas em 
Exmoor. 
 
 
A moda de um conjunto de dados categóricos é a categoria que tem o maior 
percentual de dados. Ela deve ser usada cuidadosamente como uma medida 
resumo global porque é muito dependente da forma como os dados são 
categorizados. Para os dados de “woodlice” a moda é Oniscus. Para os dados 
acima, a categoria modal é “Abundante”, mas por muito pouco. 
A mediana, bem como a moda, podem ser calculadas para dados ordenados. Este 
é valor do “meio”, mais comumente usado para dados quantitativos. A mediana não 
faz sentido para os dados “woodlice”. Para os dados de abundância, a categoria 
mediana é “Frequente”, porque 50% dos dados estão em categorias superiores, e 
menos do que 50% estão em categorias inferiores. A mediana é mais robusta do 
que a moda pois é menos sensível à categorização adotada. 
2.2.3 Gráficos de Barras 
 
Dados qualitativos, particularmente quando as categorias são ordenadas, são 
usualmente bem ilustrados num simples gráfico de barras onde a altura da barra é 
igual à frequência. 
 
 
2.2.4 Gráfico de setores 
 
Gráfico de setores também podem ser úteis para apresentação de dados 
categóricos ordenados. Os setores do gráfico são desenhados de tal forma que eles 
tenham área proporcional à frequência. Então para os dados “woodlice”, os ângulos 
seriam para Oniscus, etc. 
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2.3 Dados quantitativos 
 
2.3.1 Histograma 
 
De longe o método mais comum de apresentação de dados numéricos é o 
histograma, relacionado com o gráfico de barras para dados categóricos. As áreas 
dos retângulos resultantes devem ser proporcionais à frequência. 
Algumas vezes é conveniente agregar classes de frequência nos extremos da 
distribuição de forma que os intervalos têm larguras diferentes. Cuidado ao fazer 
isso - um intervalos que é duas vezes a largura de um outro deve tem altura igual à 
metada de sua frequência (para preservar a área contida dentro do intervalo) Da 
mesma forma um intervalo que é três vezes a largura dos outros deve ter um terço 
da altura de sua frequência observada. 
Exemplo. 150 peixes mortos foram encontrados vítimas de contaminação do rio e 
seus comprimentos foram medidos em milímetros. As medidas foram expressas na 
forma de tabela de frequência. 
 
 
O histograma construído desses dados é mostrado abaixo. 
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Gráfico de Ramos-e-Folhas 
Um método gráfico que merece ser mais amplamente utilizado quando a quantidade 
de dados não é muito grande é o gráfico de ramos-e-folhas como ilustrado a seguir. 
Exemplo. Um estudo geoquímico realizado utilizando amostras compostas de 
sedimentos de corrente com granulometria de 100-150 mesh e profundidade de 
40cm, provenientes de riachos correndo sobre granulitos, revelou os seguintes 
resultados em ppm de Cr 
 
 
Uma vez que a escala tenha sido determinada, a qual define os “ramos” à esquerda 
da linha vertical, podemos facilmente escrever os dados no gráfico de ramos-e- 
folhas como no diagrama esquerdo; como um refinamento podemos então ordenar 
as ``folhas” no diagrama à direita: 
9 4 
10 6 0 
11 5 4 1 8 
12 5 9 6 0 
13 7 0 7 6 5 
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14 1 3 0 7 
15 2 4 8 8 
16 5 6 6 
17 4 0 
18 2 4 
 
9 4 
10 0 6 
11 1 4 5 8 
12 0 5 6 9 
13 0 5 6 7 7 
14 0 1 3 7 
15 2 4 8 8 
16 5 6 6 
17 0 4 
18 2 4 
Acima os ramos são números inteiros e as folhas são valores depois do ponto 
decimal, mas isto não é essencial em geral; por exemplo, os ramos podem 
representar centenas e as folhas dezenas (com unidades arredondadas para o 
decimal mais próximo; as folhas devem ter um único dígito). Nota: é importante 
escrever as folhas em colunas igualmente espaçadas, caso contrário pode resultar 
uma figura distorcida. 
O gráfico de ramos-e-folhas fornece um resumo visual dos dados sem que haja de 
fato a perda de qualquer informação. 
Compare-o com um histograma para os mesmos dados: 
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2.3.2 Resumindo numericamente 
 
Para resumir numericamente dados quantitativos o objetivo é escolher medidas 
apropriadas de locação (“qual o tamanho dos números involvidos?”) e de dispersão 
(“quanta variação existe?”) para os tipos de dados. 
Existem três escolhas principais para a medida de locação, a chamada “3 Ms”, as 
quais estão ligadas a certas medidas de dispersão como segue: 
 
 
2.3.3 Média, variância e desvio padrão 
 
Para resumir dados quantitativos aproximadamente simétricos, é usual calcular a 
média aritmética como uma medida de locação. Se são os valores 
dos dados, então podemos escrever a média como 
 
 
 
 
 
 
onde ` ' e frequentemente é simplificada para 
ou até mesmo que significa `adicione todos os valores de '. 
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A variância é definida como o „desvio quadrático médio da média' e é calculada de 
uma amostra de dados como 
 
 
 
 
 
A segunda versão é mais fácil de ser calculada, embora muitas calculadoras têm 
funções prontas para o cálculo de variâncias, e é raro ter que realisar todos os 
passos manualmente. Comumente as calculadoras fornecerão a raiz quadrada da 
variância, o desvio padrão, i.e. 
 
 
 
 
a qual é medida nas mesmas unidades dos dados originais. 
 
Uma informação útil é que para qualquer conjunto de dados, pelo menos 75% deles 
fica dentro de uma distância de 2 desvio padrão da média, i.e. entre e 
. 
Exemplo. Sete homens foram pesados, e os resultados em kg foram: 
57.0, 62.9, 63.5, 64.1, 66.1, 67.1, 73.6. 
 
 
A média é , 
 
a variância é 
 
e o desvio padrão é . 
 
 
 
 
2.3.4 A mediana e a amplitude inter-quartis 
 
Uma outra forma de sumarizar dados é em termosdos quartis ou percentis. Essas 
medidas são particularmente úteis para dados não simétricos. A mediana (ou 
percentil 50) é definida como o valor que divide os dados ordenados ao meio, i.e. 
metade dos dados têm valores maiores do que a mediana, a outra metade tem 
valores menores do que a mediana. Adicionalmente, os quartis inferior e superior, 
Q1 e Q3, são definidos como os valores abaixo dos quais estão um quarto e três 
quartos, respectivamente, dos dados. Estes três valores são frequentemente usados 
para resumir os dados juntamente com o mínimo e o máximo. Eles são obtidos 
ordenando os dados do menor para o maior, e então conta-se o número apropriado 
 
 
77 
 
 
 
 
 
de observações: ou seja é , e para o quartil inferior, mediana e 
quartil superior, respectivamente. Para um número par de observações, a mediana é 
a média dos valores do meio (e analogamente para os quartis inferior e superior). 
A medida de dispersão é a amplitude inter-quartis, IQR Q3 Q1, i.e. é a 
diferença entre o quartil superior e o inferior. 
Exemplo. O número de crianças em 19 famílias foi 
0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10 
 
A mediana é o (19+1) / 2 = valor, i.e. 3 crianças. 
O quartil inferior e superior são os valores e , i.e. 2 e 6 crianças, portanto 
amplitude inter-quartil é de 4 crianças. Note que 50% dos dados estão entre os 
quartis inferior e superior. 
 
2.3.5 Box-and-Whisker Plots 
 
Box-and-Whisker plots ou simplesmente box-plots são simples representações 
diagramáticas dos cinco números sumários: (mínimo, quartil inferior, mediana, quartil 
superior, máximo). Um box-plot para os dados geoquímicos fica como mostrado a 
seguir. 
 
2.3.6 A moda 
 
Nem todos os conjuntos de dados são suficientemente balanceados para o cálculo 
da média ou mediana. Algumas vezes, especialmente para dados de contagem, um 
único valor domina a amostra. A medida de locação apropriada é então a moda, a 
qual é o valor que ocorre com maior frequência. A proporção da amostra a qual toma 
este valor modal deveria ser utilizada no lugar de uma medida formal de dispersão. 
Algumas vezes, podemos distinguir claramente „picos' na frequência dos valores 
registrados. Neste caso (chamado bimodal) deveríamos apresentar ambas as 
localizações. Dados deste tipo são particularmente difíceis de resumir (e analisar). 
Exemplo. Dez pessoas registraram o número de copos de cerveja que eles 
tomaram num determinado sábado: 
0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 6 
 
A moda é 0 copos de cerveja, a qual foi obtida pela metade da amostra. Poderíamos 
adicionar mais informação separando a amostra e dizendo que daqueles que 
tomaram cerveja a mediana foi de 3 copos. 
 
2.4 Dados múltiplos 
 
Os resultados de um estudo tipicamente envolverão mais do que uma única amostra 
de dados como discutido até aqui. Representações gráficas são úteis para comparar 
grupos de dados ou para verificar se existem relações entre eles. Existem muitas 
possibilidades, mas a mais adequada dependerá das peculiaridades de cada 
conjunto de dados. 
Além dos exemplos abaixo, podemos criar combinações de métodos já discutidos. 
Por exemplo, se medirmos as alturas e pesos de uma amostra de pessoas, 
podemos produzir box-plots de altura lado a lado para homens e mulheres, ou 
gráficos ramo-e-folhas lado a lado (com as alturas dos homens à esquerda do ramo, 
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e as alturas das mulheres à direita), ou um histograma acima do outro (com a 
mesma escala no eixo x de forma que eles possam ser facilmente comparados). 
Para um número diferente de grupos, uma série de box-plots verticais funciona bem 
como um simples resumo dos dados. 
Para combinações de dados categóricos, uma série de gráficos de setores podem 
ser produzidos, i.e. dois gráficos de setores, um para homens e um para mulheres. 
2.4.1 Gráficos de pontos 
Para avaliar se existe uma relação entre duas variáveis contínuas, podemos produzir 
um gráfico de pontos. É importante que o eixo x faça sentido. Em geral faz pouco 
sentido unir os pontos, exceto onde o eixo x representa tempo (veja abaixo). 
Símbolos diferentes podem ser usados para diferentes grupos para adicionar uma 
nova dimensão ao gráfico. O gráfico abaixo mostra alturas e pesos de estudantes do 
sexo masculino e feminino. 
 
 
Para mais do que duas variáveis, pode-se produzir gráficos entre todos os pares 
possíveis para produzir uma matriz de gráficos de pontos. 
2.4.2 Gráfico temporal 
Um caso especial de um gráfico de pontos é um gráfico temporal onde „tempo' está 
no eixo x. As medidas são feitas ao longo do tempo. Nestes casos é usual unir 
pontos sucessivos por retas, e é em geral uma boa prática deixar o eixo x mais 
longo do que o eixo y. 
Abaixo mostramos as temperaturas diárias médias em Philadelphia, USA nos dois 
primeiros meses de 1980. 
 
 
 
79 
 
 
 
 
 
2.4.3 Ladder plot 
O ladder plot não é um gráfico do tipo padrão mas pode ser útil para visualizar 
dados pareados. Considere o seguinte exemplo. 
Um ornitologista deseja saber se um determinado local é usado por pássaros 
migratórios de uma certa raça para engorda antes de migrar. Ele captura alguns 
pássaros em Agosto e pesa-os, então em Setembro ele tenta re-capturar os 
mesmos pássaros e faz novas medidas. Ele re-capturou 10 dos pássaros duas 
vezes, ambos em Agosto e Setembro. A tabela abaixo mostra as massas desses 
pássaros. 
 
 
O ladder plot destes dados fica como segue: 
 
 
É muito mais fácil ver do gráfico do que da tabela que os pássaros tendem a 
engordar, e que aqueles que não engordaram tenderam a ser os maiores que 
provavelmente não necessitam de uma engorda extra. 
 
 
 
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Disponível em: http://leg.ufpr.br/~paulojus/CE003/ce003/node2.html. Acesso em: 4 
abr. 2011. 
 
 
2.5 Exercícios 1 
 
1. Descreva de forma concisa os seguintes dados usando suas palavras e algumas 
estatísticas descritivas, apontando características principais observadas. 
1. As notas (de um total de 100 e ordenadas por tamanho) de 20 estudantes de 
estatística no primeiro exame do semestre: 
 
30 35 37 40 40 49 51 54 54 55 
57 58 60 60 62 62 65 67 74 89 
 
2. O número de faltas de 20 trabalhadores num ano (ordenados por tamanho): 
 
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 
2 2 3 3 4 5 5 5 8 45 
 
3. O número de exemplares de um jornal mensal em particular lidos por 20 
pessoas num ano: 
 
0 1 11 0 0 0 2 12 0 0 
12 1 0 0 0 0 12 0 11 0 
 
2. Produza um gráfico ramos-e-folhas para apresentação dos dados de altura (em 
metros) de 20 mulheres sendo estudadas para uma certa condição médica. 
 
1.52 1.60 1.57 1.52 1.60 
1.75 1.73 1.63 1.55 1.63 
1.65 1.55 1.65 1.60 1.68 
2.50 1.52 1.65 1.60 1.65 
 
3. Os dados a seguir fornecem a concentração de um determinado poluente (ppm) em 
8 pontos de um afluente medidos antes e uma hora depois de um acidente 
ambiental: 
 
 
81 
 
 
 
 
 
Faça um gráfico destes dados, e use o gráfico para ajudar a avaliar se o acidente 
provocou um aumento significativo nos níveis do poluente no afluente. 
 
 
 
4. A tabela abaixo fornece o número de grânulos de arenito por cm em 20 amostras 
tomadas de uma certa localidade (A) e 20 amostrastomadas de uma outra 
localidade (B). 
 
 
 
1. Calcule as médias e desvios-padrão desses duas amostras. 
2. Faça histogramas dos dois conjuntos de dados, e compare-os. 
3. Qual é o mínimo, máximo, mediana, quartil inferior e quartil superior de cada 
grupo? 
4. Usando sua resposta ao item (c), construa boxplots para os dois conjuntos de 
dados - um diretamente acima do outro, ou lado a lado para facilitar a 
comparação. 
5. Para cada grupo, o dado é aproximadamente simétrico ou assimétrico? Se 
assimétrico, em que direção? 
6. Você acha que existe uma diferença real entre os números de grânulos de 
arenito nas duas localidades, ou você acha que as diferenças observadas 
poderiam ter simplesmente ocorrido como uma consequência dos grupos 
consistirem de somente 20 amostras cada? 
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7. Descreva as principais características dos dados em uma ou duas sentenças. 
5. O percentual de açúcar e sal em 9 cereais matinais mais populares foram medidos, 
com os seguintes resultados: 
 
 
 
1. Faça um gráfico desses dados para investigar a relação entre o conteúdo de 
açúcar e sal nos cereais matinais. 
2. Comente brevemente qualquer padrão observado nos dados. 
 
 
 
Anexo 02 – Estatística Indutiva (ou Inferencial), Estatística Matemática, 
Inferência Estatística ou Estatística Analítica 
 
 
É o conjunto de técnicas, assentes na teoria das probabilidades, que permitem construir 
proposições de caráter probabilístico acerca da população, partindo da observação de alguns dos 
seus elementos (amostra) (Vairinhos, 1996). A indução é, segundo a lógica filosófica, a operação 
mental que parte de um certo número de observações ou experiências, para a proposição geral, a lei 
(Sobral & Barreiros, 1980). Assim, os métodos de inferência estatística envolvem o cálculo de 
estatísticas, a partir das quais se infere sobre os parâmetros da população, isto é, permitem com 
determinado grau de probabilidade, generalizar à população certas conclusões, por comparação com 
os resultados amostrais (Reis et al., 1997a). 
Na Inferência Estatística ou Estatística Matemática a questão central é: como usar os dados 
para tentar obter conclusões acerca do todo ou população de onde são originários os dados 
(Vairinhos, 1996). Pretende-se conhecer algo sobre a população U, não sendo, em geral, possível o 
seu estudo exaustivo. 
A informação pretendida sobre U é então obtida a partir de uma observação limitada a uma 
amostra «conveniente». As amostras convenientes, permitindo inferências válidas para a totalidade 
do universo, são amostras aleatórias (Mello, 1997). Ou seja, o problema básico da Inferência 
Estatística é descobrir, face aos dados das observações, qual é a distribuição populacional, mais 
precisamente: qual é a distribuição da variável aleatória que caracteriza (define) a população 
 
 
83 
 
 
 
(Vairinhos, 1995). Em suma, inferir significa, portanto, deduzir como consequência, conclusão ou 
probabilidade. 
Os processos de inferência estatística introduzem ordem em qualquer tentativa para tirar 
conclusões da evidência fornecida por amostras. A lógica desses processos dita algumas das 
condições que devem reger a recolha de dados e as provas estatísticas dizem-nos quão grandes 
devem ser as diferenças (na amostra) para que possamos afirmar que elas representam realmente 
diferenças no grupo (população) do qual se extraiu a amostra para estudo. A Estatística Inferencial 
aborda dois tipos de problemas fundamentais: a) a estimação de parâmetros de uma população, e 
b) o teste de hipóteses (Siegel, 1975). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Anexo 03 - Glossário de Termos da Estatística 
 
 
 
Amostra - é um subconjunto finito da população que se supõe representativo desta. 
Amostra Amodal - é uma amostra que não tem moda. 
Amostra Bimodal - é uma amostra que tem duas modas. 
Amostra Imparcial - é uma amostra em que todos os elementos tiveram igual 
oportunidade de fazer parte da mesma. 
Amostra Multimodal - é uma amostra que tem mais do que duas modas. 
Amostra Representativa - é aquela que deve conter em proporção todas as 
características qualitativas e quantitativas da população. 
Amostragem Aleatória Simples - é aquela em que qualquer elemento da 
população tem a mesma probabilidade de ser escolhido. 
Amostragem Estratificada - é aquela em que a população está dividida em 
estratos ou grupos diferenciados. 
Amostragem Sistemática - é aquela em que os elementos são escolhidos a partir 
de uma regra previamente estabelecida. 
Amplitude de um Conjunto de Dados - é a diferença entre o maior valor e o menor 
valor desse conjunto. Se os dados estiverem agrupados em classes, a amplitude é a 
diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira. 
Atributos Qualitativos - são atributos que estão relacionados com uma qualidade e 
apresentam-se com várias modalidades. 
Atributos Quantitativos - são atributos aos quais é possível atribuir uma medida e 
apresentam-se com diferentes intensidades ou valores. 
Censo - é um estudo estatístico que resulta da observação de todos os indivíduos 
da população relativamente a diferentes atributos pré-definidos. 
Classe Mediana ( ) - é a classe, para dados classificados, que contem a Mediana 
(neste caso considera-se como Mediana o valor da variável estatística que 
corresponde a n/2, quer n seja par, quer n seja ímpar). 
Classe Modal - é a classe, para dados classificados, que aparece com maior 
frequência. 
Coeficiente de Correlação Linear (r)- medida estatística que permite calcular o 
valor numérico correspondente ao grau de dependência entre duas variáveis, o qual 
varia entre -1 e 1. 
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Correlação - é a relação ou dependência entre as duas variáveis de uma 
distribuição bidimensional. 
Correlação Fraca ou Nula - quando o Diagrama de Dispersão não permite o 
ajustamento de nenhuma reta, o que significa que r Diz-se, então, que não 
existe nenhuma relação entre as variáveis da Distribuição Bidimensional. 
Correlação Negativa Forte - quando a reta de regressão, obtida a partir do 
Diagrama de Dispersão, tem declive negativo. A correlação é negativa quando r 
varia entre -1 e 0 e será tanto mais forte quanto r se aproxima de -1. 
Correlação Negativa Perfeita ou Linear - quando a reta de regressão, obtida a 
partir do Diagrama de Dispersão, tem declive negativo com r 
Correlação Positiva Forte - quando a reta de regressão, obtida a partir do 
Diagrama de Dispersão, tem declive positivo. A correlação é positiva quando r varia 
entre 0 e 1 e será tanto mais forte quanto r se aproxima de 1. 
Correlação Positiva Perfeita ou Linear - quando a reta de regressão, obtida a 
partir do Diagrama de Dispersão, tem declive positivo com r 
Dados Classificados - são valores que uma dada variável pode tomar dentro de 
certo intervalo. Estes dados são classificados ou agrupados em classes. 
Dado Estatístico - é o resultado da observação de um atributo/variávelqualitativa 
ou quantitativa. 
Dados Simples - vão valores associados a uma dada variável e cuja representação 
é feita através de uma tabela. 
Definição do Problema - é a primeira fase do estudo estatístico e consiste na 
definição e formulação correta do problema a ser estudado. 
Desvio Médio ( d )- é a média aritmética do valor absoluto da diferença entre cada 
valor e a média, no caso dos dados não classificados. No caso dos dados 
classificados, tem que se entrar em conta com a frequência absoluta de cada 
observação. 
Desvio Padrão ( )- é a raiz quadrada positiva da variância. 
Diagrama de Dispersão - é a representação num referencial ortonormado de um 
conjunto de pares ordenados de valores (x , y), onde cada par ordenado 
corresponde a uma observação. 
Distribuição Bidimensional - é a representação de uma variável bidimensional (xi , 
xj), com 1 i n e xi e xj duas variáveis unidimensionais. 
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Diagrama de Caule-e-Folhas - o mesmo que Separador de Frequências. 
Diagrama de Extremos e Quartis - é um diagrama que representa os valores 
extremos e os quartis de uma variável estatística. 
Distribuição de Frequências - o mesmo que Tabela de Frequências. 
Estatística - é o método que ensina a recolher, classificar, apresentar e interpretar 
um conjunto de dados numéricos. 
Estatística Descritiva - ramo da Estatística que tem por finalidade descrever certas 
propriedades relativas a um conjunto de dados. 
Estatística Indutiva - ramo da Estatística que procura inferir propriedades da 
população a partir de propriedades verificadas numa amostra da mesma. 
Fenómenos Independentes - são fenômenos respeitantes à mesma variável que 
não têm qualquer ligação um com o outro. 
Frequência Absoluta ( fi ) - é o número de vezes que o valor de determinada 
variável é observado. 
Frequência Absoluta Acumulada ( Fi )- é a soma das frequências absolutas 
anteriores com a frequência absoluta deste valor. 
Frequência Relativa ( fri ) - é o quociente entre a frequência absoluta do valor da 
variável e o número total de observações. 
Frequência Relativa Acumulada ( Fri )- é a soma das frequências relativas 
anteriores com a frequência relativa desse valor. 
Função Cumulativa - função que indica para cada valor real x a frequência absoluta 
(ou relativa) de observações com intensidade menor ou igual a x. A representação 
gráfica desta função é em forma de escada. 
Gráfico Circular - é representado por um círculo que está dividido em sectores 
cujas amplitudes são proporcionais à frequência que lhe corresponde. 
Gráfico de Barras - é constituído por barras, horizontais ou verticais, de 
comprimento proporcional à frequência. 
Histograma - é um gráfico de barras em que a área destas é proporcional à 
frequência, não havendo espaço entre as mesmas. Só se utiliza em variáveis 
quantitativas contínuas. 
Média Aritmética Simples ( ) - é o quociente da soma de todos os dados não 
classificados pelo número desses dados. 
 
 
 
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Média Aritmética Ponderada ( ) - é o quociente entre o somatório do produto de 
cada dado classificado pela sua frequência absoluta e o número desses dados. 
Mediana ( ) - é o valor da variável, para dados não classificados, que ocupa a 
posição central da distribuição. 
Medidas de Dispersão - é um conjunto de medidas (Amplitude, Variância e Desvio 
Padrão) utilizadas no estudo da variabilidade de uma determinada distribuição, 
permitindo obter uma informação mais completa acerca da “forma” da mesma. 
Medidas de Localização - é um conjunto de medidas (Média, Mediana, Moda e 
Quartis) que representam de uma forma global um conjunto de dados. 
Medidas de Tendência Central - o mesmo que Medidas de Localização. 
Moda (m )- observação que ocorre com maior frequência numa amostra. 
Nuvem de Pontos - o mesmo que Diagrama de Dispersão. 
Organização dos Dados - consiste em “resumir” os dados através da sua contagem 
e agrupamento. 
Pictogramas - são gráficos onde se utilizam figuras ou símbolos alusivos ao 
problema em estudo. 
Planificação do Problema - consiste na determinação de um processo para 
resolver o problema e, em especial, como obter informações sobra a variável em 
estudo. 
Polígono de Frequências - são gráficos com aspecto de linhas quebradas. 
Constroem-se unindo por segmentos de reta os pontos médios das bases superiores 
dos retângulos de um histograma. 
População - é um conjunto de seres com uma dada característica em comum e com 
interesse para o estudo. 
Quartis (Q1 e Q3)- são os valores que dividem a distribuição em quatro partes 
iguais. 
Recenseamento - o mesmo que Censo. 
Recolha de Dados - é a primeira etapa depois de definido o problema em estudo. 
Recta de Regressão - é a reta traçada sobre uma dada Nuvem de Pontos, sendo 
um modelo matemático que pretende descrever a relação existente entre duas 
variáveis unidimensionais de uma distribuição bidimensional. 
Relações Estatísticas - são relações que se podem estabelecer entre determinadas 
variáveis de um problema em estudo. 
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Separador de Frequências - é um tipo de tabela que permite ter uma percepção 
imediata do aspecto global dos dados sem perda da informação contida na coleção 
dos dados inicial. 
Somatório ( - representa, de forma abreviada, uma soma. 
Sondagem - é o estudo estatístico que se baseia numa parte da população, isto é, 
em uma amostra que deve ser representativa dessa população. 
Tabela de Frequências - são tabelas onde se apresentam os dados por classes e 
as frequências respectivas. 
Tamanho da Amostra - é o número de elementos que constituem uma dada 
amostra. 
Unidade Estatística ou Indivíduo - é cada um dos elementos da população. 
Variância ( )- é a medida que permite avaliar o grau de dispersão dos valores da 
variável em relação à média. 
Variáveis Contínuas - são as variáveis que podem tomar qualquer valor de um 
determinado intervalo. 
Variáveis Discretas - são as variáveis que podem tomar um número finito ou uma 
infinidade numerável de valores. 
Variáveis Qualitativas - o mesmo que Atributos Qualitativos. 
Variáveis Quantitativas - o mesmo que Atributos Quantitativos. 
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Anexo 04 - Fórmulas 
 
 
Amplitude 
Para um intervalo do conjunto de dados de [a,b], onde x1= a e xn= b 
 
 
Coeficiente de Correlação Linear (com n = nº de observações da amostra) 
 
 
 
Desvio Médio (com n = nº de observações da amostra) 
Dados não classificados 
 
 
 Dados classificados 
 
 
 
 
 
Desvio Padrão (com n = nº de observações da amostra) 
 
 
 
 
 
Frequência Absoluta Acumulada (com n = nº de observações da amostra) 
 
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Frequência Relativa (com n = nº de observações da amostra) 
 
 
 
Frequência Relativa Acumulada (com n = nº de observaçõesda amostra) 
 
 
 
Média Aritmética Simples (com n = nº de observações da amostra) 
 
 
 
 
 
 
 
Média Aritmética Ponderada (com n = nº de observações da amostra) 
 
 
 
Mediana (com n = nº de observações da amostra) 
n par 
 
n ímpar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quartis (com n = nº de observações da amostra) 
Quando o índice i dos xi é um número inteiro: 
n par: 
 
 
n ímpar: 
 
 
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Quando o índice i dos xi não é um número inteiro, calculam-se como nos exemplos 
seguintes: 
 
 
 
Reta de Regressão (com n = nº de observações da amostra) 
onde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somatório 
 
 
onde gi(x) representa uma expressão, cuja variável é x, que varia consoante o índice 
i varia de 1 até n. 
 
 
 
Variância (com n = nº de observações da amostra) 
 
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Avaliação 
 
 
1) A inclusão da Estatística nos currículos da Educação Básica é uma realidade nas 
escolas e redes escolares preocupadas com um ensino de qualidade, tendo em vista 
as necessidades dos conhecimentos de Estatística em nosso cotidiano. Os 
principais livros didáticos de Matemática já destinam capítulos aos conteúdos de 
Estatística, num processo de adequação dessas obras às demandas por 
conhecimentos estatísticos. 
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), o ensino da Probabilidade e da 
Estatística, está inserido no contexto do bloco de conteúdos com nome de 
“Tratamento das Informações”, tendo como justificativa a demanda social e o 
frequente uso na sociedade contemporânea, pela necessidade de o indivíduo 
compreender as informações divulgadas, tomar decisões e fazer previsões que 
influenciam sua vida pessoal e em comunidade. 
Em sendo, podemos afirmar que os PCN ressaltam a questão da utilização 
da Estatística como: 
a) possibilitadora do desenvolvimento de formas específicas de pensamento e 
raciocínio, envolvendo fenômenos aleatórios, interpretando amostras, fazendo 
inferências e comunicando resultados por meio da linguagem própria 
quantitativa; 
b) possibilitadora do desenvolvimento de todas as formas de pensamento e 
raciocínio, envolvendo fenômenos aleatórios, interpretando amostras, fazendo 
inferências e comunicando resultados por meio da linguagem própria 
quantitativa; 
c) possibilitadora do desenvolvimento de formas específicas de pensamento e 
raciocínio, envolvendo fenômenos correspondentes, sem interpretação de 
amostras, fazendo inferências, sem comunicar os seus resultados; 
d) possibilitadora do desenvolvimento de formas específicas de pensamento e 
raciocínio, sem, no entanto, envolver fenômenos aleatórios, interpretando 
amostras, fazendo inferências e comunicando resultados por meio da 
linguagem própria quantitativa. 
 
 
93 
 
 
 
2) Atualmente, quase todos os meios de comunicação, como jornais, revistas, rádio, 
televisão e Internet lançam mão de modelos estatísticos como gráficos, diagramas, 
pictogramas, tabelas e pesquisas para integrar e enriquecer seus conjuntos de 
informações a serem divulgadas para a população. Grande parte desse público 
acaba não decifrando essa nova linguagem. 
E, sendo a Estatística, a ciência que permite, através de sua utilização, a descrição 
e interpretação de dados específicos das várias áreas de conhecimento, essa se 
constitui em uma poderosa ferramenta para a solução de problemas de 
fundamentação de decisões. É interessante fornecer aos alunos elementos que, 
uma vez possuídos, levam ao reconhecimento da importância de se dominar 
técnicas de análise de dados. 
 
Esses elementos começam com o conhecimento da linguagem estatística. Nesse 
sentido, vale destacar que a simbologia matemática foi, e ainda é, um fator de 
evolução das ideias matemáticas que se desenvolveram lentamente ao longo de 
séculos. Essa evolução tomou por base dois objetivos permanentes: 
 
a) tornar possível o aprendizado da matemática e levar a matemática a todos; 
b) tornar possível a comunicação matemática entre as pessoas, 
independentemente das nacionalidades e culturas e simplificar a expressão 
das ideias e pensamentos matemáticos; 
c) tornar possível a comunicação entre as pessoas e simplificar a expressão das 
ideias e pensamentos; 
d) Nenhumas das alternativas anteriores. 
 
 
 
3) Os Parâmetros Curriculares Nacionais recomendam o trabalho com Estatística 
com a finalidade de que o estudante construa procedimentos para coletar, organizar, 
comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações, e que 
seja capaz de descrever e interpretar sua realidade, usando conhecimentos 
matemáticos. 
Nesse sentido, para a formação de um cidadão pleno, a escola deve ensinar a 
estatística, objetivando: 
 
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a) Desmistificar as pesquisas e estimular a capacidade de leitura e interpretação 
dos fatos. 
b) Desmentir as pesquisas e estimular a capacidade de leitura e interpretação 
dos fatos. 
c) Negar as pesquisas e estimulando ao não estudo das mesmas. 
d) Defender as pesquisas, estimulando a crença em sua eficácia. 
 
 
 
4) Os Parâmetros Curriculares Nacionais recomendam o trabalho com Estatística 
com a finalidade de que o estudante construa procedimentos para coletar, organizar, 
comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações, e que 
seja capaz de descrever e interpretar sua realidade, usando conhecimentos 
matemáticos. 
Em relação à Probabilidade, consideram que esta pode: 
 
 
a) promover a compreensão de grande parte dos acontecimentos do cotidiano que 
são de natureza certa e não ocasional, possibilitando a identificação de 
resultados possíveis desses acontecimentos; 
b) promover a compreensão de grande parte dos acontecimentos do cotidiano que 
são de natureza aleatória, possibilitando a identificação de resultados possíveis 
desses acontecimentos; 
c) promover a compreensão de uma pequena parte dos acontecimentos do 
cotidiano que são de natureza certa e não ocasional, possibilitando a 
identificação de resultados possíveis desses acontecimentos; 
d) promover a compreensão de grande parte dos acontecimentos do cotidiano que 
são de natureza incerta e ocasional, porém sem possibilitar a identificação de 
resultados possíveis desses acontecimentos. 
 
 
 
5) Quanto à Combinatória, o objetivo é possibilitar ao aluno lidar com situações- 
problema que envolvam diferentes tipos de agrupamentos e possibilitem a 
compreensão do princípio multiplicativo da contagem. 
Com esses objetivos, os PCN elencam seus conteúdos, destacando-se, EXCETO: 
 
 
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a) a leitura e interpretação de informações contidas em imagens e a coleta e 
organização de informações; 
b) a interpretação e elaboração de listas, tabelas simples, tabelas de dupla entrada 
e gráficos para comunicar a informação obtida; 
c) a construção de gráficos e tabelas com base em informações contidas em textos 
jornalísticos, científicos ou outros; 
d) a exploração da ideia de probabilidade em situações-problema, identificando 
insucessos possíveis, sucessos certose as situações de “falta de sorte”. 
 
 
 
6) No Brasil, apesar da Estatística e as Probabilidades fazerem parte do currículo de 
Matemática do Ensino Médio antes dos anos 80, raramente eram ensinados. 
Segundo Ponte, Matos e Abrantes (1998) só depois dos anos 90 é que os alunos 
têm tido a oportunidade de aprender estes tópicos e, talvez por isso no que “se 
refere à Estatística e às Probabilidades, e conhecimentos, capacidades, dificuldades 
e estratégias de raciocínio dos alunos está essencialmente por fazer” (p. 171). 
Para Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999), as competências que os alunos devem 
desenvolver incluem, EXCETO: 
a) a aptidão para a leitura e interpretação de textos; 
b) a organização e representação de dados; 
c) a aptidão para ler e interpretar tabelas e gráficos comunicando os resultados; 
d) a sensibilidade para distinguir fenômenos aleatórios e deterministas e 
interpretar situações concretas onde estes fenômenos estejam presentes. 
 
 
 
7) Ao avaliar, devemos ter muito cuidado, pois os mecanismos de avaliação da 
Educação Básica têm sido uma das principais causas da situação de fracasso 
escolar que atinge uma parte considerável dos alunos. Nesse contexto, a avaliação 
torna-se sinônimo de classificar, selecionar e julgar a aquisição de conhecimentos e 
habilidades utilizando-se dos mesmos instrumentos para todos, o que, muitas vezes, 
é um grande erro, pois, exigir que todos os alunos, independente das diferenças 
psicossociais, apresentem o mesmo desempenho, é ignorar que cada pessoa tem o 
seu tempo para a aprendizagem, é dotada de identidade própria, visões de mundo e 
padrões culturais próprios, a serem considerados em práticas docentes e avaliativas, 
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tendo em vista uma apropriação efetiva e significativa do conhecimento. (Diretrizes 
para Avaliação da Aprendizagem, 2006). 
Para o aluno, uma avaliação deve representar seus ganhos e apontar onde estão 
suas dificuldades a fim de melhorar seu conhecimento; para o professor, ela deve 
levá-lo a perceber onde sua pedagogia é falha e, a partir dessa constatação, ele 
deve estar pronto para modificá-la. 
No artigo Diretrizes para Avaliação da Aprendizagem (2006), fala-se de uma 
avaliação formativa que foi construída por um grupo de professores de uma 
instituição educacional e não por pessoas externas a ela. 
Essa avaliação tem como principais características, EXCETO: 
 
 
a) é conduzida pelo professor e destina-se a promover a aprendizagem; 
b) leva em conta diferentes linguagens e estilos de aprendizagem e dá 
tratamento didático aos “erros”, considerando-os como informações 
diagnósticas; 
c) não inclui todas as atividades realizadas; 
d) os alunos exercem papel central, devendo atuar ativamente em sua própria 
aprendizagem. 
 
 
 
8) Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para 
coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros 
extraídos da população, tais como média ou desvio padrão. 
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são 
muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o 
problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos 
dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam. 
Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem 
ser utilizados: 
 
a) Somente após se recolher a amostra; 
b) Deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados; 
c) Deve-se tentar extrair o máximo de informação relevante para o problema em 
estudo, ou seja, para a população de onde os dados provêm; 
 
 
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d) Quando de posse dos dados, procura-se agrupá-los e reduzi-los, sob forma de 
amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente. 
 
 
 
9) Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da 
amostra. Obviamente obter-se-ia uma precisão muito superior se fosse analisado o 
grupo inteiro, a população, do que uma pequena parcela representativa, 
denominada amostra. Observa-se que é impraticável na grande maioria dos casos, 
estudar a população por completo, em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, 
entre outros motivos. 
A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a 
amostra é confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de 
inferência estatística. Para que a inferência seja válida, é necessária: 
 
a) Uma amostragem aleatória; 
b) Uma amostragem, livre de erros, tais como falta de determinação correta da 
população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra; 
c) Uma amostragem livre de certos vícios, tais como, a aleatoriedade e o 
tamanho da mesma; 
d) Todas as alternativas anteriores. 
 
 
 
10) Dentre as várias medidas de posição, qual das opções abaixo se relaciona com 
aquela que “é o valor que mais aparece”? 
a) Mediana. 
 
b) Média aritmética. 
 
c) Moda. 
 
d) Quartil. 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
 
Nome do aluno: 
Matrícula: 
Curso: 
Data do envio: / / . 
Ass. do aluno: 
 
 
 
 
 
 O ENSINO DE ESTATÍSTICA NA 
EDUCAÇÃO BÁSICA 
 
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