prova 1 analise

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1. Quando conhecemos as propriedades de um conjunto X, por muitas das vezes, podemos aferir condições 
existentes para quaisquer subconjuntos não-vazios de X. Pois os subconjuntos carregam as propriedades e 
características do conjunto em que estão contidos. Sobre as propriedades que qualquer subconjunto X não-
vazio dos naturais possuem, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) X é infinito. 
( ) X é limitado. 
( ) X possui elemento neutro. 
( ) X possui um maior elemento. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - V - F - F. 
 b) V - F - V - V. 
 c) F - F - V - V. 
 d) F - V - F - V. 
 
2. Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da analise matemática, faz-se necessário 
construir os raciocícios ligados aos métodos de transformação. A parte mais importante e mais complicada 
talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo teorema, propriedade ou 
proposição. Baseado nisto, para mostrar que a raiz de 2 é irracional, o tipo mais aconselhado de 
demonstração a ser utilizado é a por: 
 a) Prova direta. 
 b) Contradição.
 c) Absurdo. 
 d) Indução. 
 
3. Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que intuitivamente parecem ser 
bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é fruto de uma grande quantidade de anos, 
onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo que, hoje ainda existem problemas matemáticos 
ainda não resolvidos. Logo, partindo de um fato simples, a soma de números naturais, analise as sentenças 
que são provadas matematicamente: 
 
I- Seja n um número natural qualquer, então a soma m + n está bem definida para todo número natural m. 
II- Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p). 
III- Sejam m, n, temos que m + n = m + (-n). 
IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As sentenças I e II estão corretas. 
 b) Somente a sentença I está correta. 
 c) As sentenças I, II e IV estão corretas. 
 d) As sentenças II e III estão corretas. 
 
4. O conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...} é usado para contagens. De tão natural, IN é chamado de conjunto dos 
números naturais, o primeiro conjunto numérico que aparece na história de qualquer civilização ou em 
qualquer tratado sobre os fundamentos da Matemática. Quanto à característica dos números naturais: 
 
I- Um dos axiomas de Peano é justamente o princípio da indução, já visto por nós como método de 
demonstração. 
II- A adição de números naturais e a multiplicação de números naturais podem ser definidas a partir do 
conceito de número inteiro. 
III- O Princípio da Boa Ordenação nos garante que qualquer subconjunto não vazio dos números naturais 
possui um elemento mínimo. 
IV- O mesmo Princípio da Boa Ordenação tem como consequência imediata o Primeiro Princípio da 
Indução, que é uma boa ferramenta matemática a ser utilizada em demonstrações. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As sentenças I, II e IV estão corretas. 
 b) As sentenças I e III estão corretas. 
 c) As sentenças I e IV estão corretas. 
 d) As sentenças II e III estão corretas. 
 
5. Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito curta e intuitiva, 
porém a pratica pode ser muito complicada. Para demonstrar alguma proposição por absurdo você deve 
assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da negação implica que a 
negação é falsa, que de acordo com a hipótese inicial, torna a negação falsa e a afirmação verdadeira. 
Baseado nesta técnica, analise as sentenças a seguir que podem ser provadas por redução ao absurdo: 
 
I- Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0. 
II- Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável. 
III- Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n². 
IV- Provar que raiz de 3 é irracional. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As sentenças I, II e IV estão corretas. 
 b) As sentenças I e IV estão corretas. 
 c) As sentenças II e III estão corretas. 
 d) As sentenças I e II estão corretas. 
 
6. Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. Porém, os mais importantes da matemática são os 
métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Baseado nestes casos, assinale a 
alternativa CORRETA que pode ser provada pelo método da indução: 
 a) Teorema de Tales. 
 b) Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0. 
 c) Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n. 
 d) Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
 
7. Em matemática, uma prova é uma demonstração de que, dados certos axiomas, algum enunciado de 
interesse é necessariamente verdadeiro. Utiliza como base premissas intrínsecas a um modelo conceitual e 
um silogismo que, a partir de uma série de operações, chega ao resultado. Historicamente, a matemática foi 
construída através de demonstrações que constituíram os alicerces até hoje conhecidos. A figura anexa faz a 
alusão a um dos teoremas mais intrigantes de todos os tempos, o famoso Último Teorema de Fermat. Ele, 
apesar de ter sido enunciado no século XVII, apenas há poucas décadas, através do matemático Andrew 
Willes, conseguiu ser demonstrado. 
 
FONTE DA IMAGEM: Disponível em: <http://www.editions-
harmattan.fr/index.asp?navig=catalogue&obj=livre&no=12972>. Acesso em: 24 jul. 2018. 
 
 a) Demonstração direta, indução e absurdo. 
 b) Absurdo, demonstração direta e indução. 
 c) Indução, absurdo e demonstração direta. 
 d) Indução, demonstração direta e absurdo. 
 
8. Ao realizar-se uma prova matemática, é necessário ter muito claro o fato de qual modalidade de 
demonstração que será utilizada. Para tanto um conhecimento teórico de qual sistemática que cada método 
possui é fundamental. Baseado nisto, acerca da demonstração direta, assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Contradiz-se uma das hipóteses contidas na afirmação. 
 b) A partir das hipóteses contidas na afirmação a ser provada, utilizam-se argumentos lógicos válidos para 
se chegar à tese. 
 c) Nega-se o que deve ser provado. 
 d) É aplicado quando o resultado a ser provado envolve indexação por números naturais (índices naturais). 
 
9. Um dos mais icônicos escritos da matemática do século XIX foi o famoso Formulaire de Mathematiques, de 
Giuseppe Peano. 
 
Nele Peano, matemático italiano, formulou os famosos axiomas dos números naturais. Ferramenta que 
desenvolveu fortemente a Análise Matemática. São eles: 
 
? Zero é um número. 
? Se a é um número, o sucessor de a é um número. 
? Zero não é o sucessor de um número. 
? Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais. 
? Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S, então todo 
número está em S. 
 
Baseado nisto, assinale a opção de uma proposição que pode ser provada a partir do uso destes axiomas: 
 a) Todo subconjunto dos números naturais é enumerável. 
 b) Raiz de 2 é um número irracional. 
 c) Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p). 
 d) Seja X um conjunto finito e Y um subconjunto de X. Então Y também é finito e possui no máximo o 
mesmo número de elementos de X. 
 
10.Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. No entanto, os mais importantes da matemática são 
os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Sobre a sentença que pode ser 
provada pelo método da demonstração direta, assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
 b) Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n. 
 c) Teorema de Tales. 
 d) Para todo número real a não nulo, temos quea . 0 = 0.