Avaliação I - Individual-análise matemática

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GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:886286)
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Prova 75229162
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
Um dos mais icônicos escritos da matemática do século XIX foi o famoso Formulaire de 
Mathematiques, de Giuseppe Peano.
Nele Peano, matemático italiano, formulou os famosos axiomas dos números naturais. Ferramenta 
que desenvolveu fortemente a Análise Matemática. São eles:
• Zero é um número.
• Se a é um número, o sucessor de a é um número.
• Zero não é o sucessor de um número.
• Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais.
• Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S, então todo 
número está em S.
Baseado nisto, assinale a opção de uma proposição que pode ser provada a partir do uso destes 
axiomas:
A Raiz de 2 é um número irracional.
B Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p).
C Seja X um conjunto finito e Y um subconjunto de X. Então Y também é finito e possui no
máximo o mesmo número de elementos de X.
D Todo subconjunto dos números naturais é enumerável.
O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos 
números naturais. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro 
do campo da Matemática, pois entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender 
os números naturais. Sendo assim, analise as sentenças a seguir a respeito dos procedimentos do 
método indutivo:
I) Verificar se P(1) é verdadeira.
II) Negar P(n).
III) Supor válida P(n).
IV) Concluir P(n+1) válida.
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I, III e IV estão corretas.
B As sentenças II e IV estão corretas.
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C As sentenças I, II e III estão corretas.
D As sentenças II, III e IV estão corretas.
Ao se aplicar, para x, o número n = 3 (ímpar) e o número n = 4 (par), na equação , 
ambos terão, para y, como resultado, um certo número.
Esse número é par?
A Sim, pois y terá como resultados (6, 10), ambos números pares.
B Não, pois, como é citado no problema, um número é par e o outro é ímpar. Automaticamente,
não se terá como resultado um número par.
C Não, visto que o par gera par e o ímpar gera ímpar.
D Sim, pois y terá como resultados (12, 20), ambos números pares.
Em matemática, uma prova é uma demonstração de que, dados certos axiomas, algum 
enunciado de interesse é necessariamente verdadeiro. Utiliza como base premissas intrínsecas a um 
modelo conceitual e um silogismo que, a partir de uma série de operações, chega ao resultado. 
Historicamente, a matemática foi construída através de demonstrações que constituíram os alicerces 
até hoje conhecidos. A figura anexa faz a alusão a um dos teoremas mais intrigantes de todos os 
tempos, o famoso Último Teorema de Fermat. Ele, apesar de ter sido enunciado no século XVII, 
apenas há poucas décadas, através do matemático Andrew Willes, conseguiu ser demonstrado.
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FONTE DA IMAGEM: Disponível em: . Acesso em: 24 jul. 2018.
A Indução, demonstração direta e absurdo.
B Indução, absurdo e demonstração direta.
C Demonstração direta, indução e absurdo.
D Absurdo, demonstração direta e indução.
No dia a dia nos deparamos com situações diversas, onde temos que contar, enumerar objetos, 
etc. No cotidiano você dispõe de um ambiente e objetos inseridos nele, na matemática temos 
conjuntos e elementos pertencentes a este conjunto. Desta forma, podemos definir um conjunto 
enumerável se:
A Se ele for obrigatoriamente apenas finito.
B Existir uma função bijetora entre ele e o conjunto dos números naturais.
C Ser um subconjunto dos números reais.
D Ser o conjunto de partida de uma função linear.
O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos 
números naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante 
também conhecer seu significado e sua posição dentro da Matemática. Em outras palavras, entender o 
Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais. O conjunto dos 
números naturais é fundamentado pelos axiomas de Peano. Sendo assim, sobre os itens que contém 
axiomas de Peano, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
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( ) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 não é sucessor de ninguém.
( ) Um número natural possui apenas um sucessor.
( ) Se um subconjunto X pertence a N é tal que 1 pertence a N e o seu sucessor pertence a X, então 
X = N.
( ) A função que associa dois números naturais é bijetiva.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B V - V - V - F.
C F - F - V - F.
D V - V - F - F.
O conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...} é usado para contagens. De tão natural, IN é chamado de 
conjunto dos números naturais, o primeiro conjunto numérico que aparece na história de qualquer 
civilização ou em qualquer tratado sobre os fundamentos da Matemática. Quanto à característica dos 
números naturais:
I- Um dos axiomas de Peano é justamente o princípio da indução, já visto por nós como método de 
demonstração.
II- A adição de números naturais e a multiplicação de números naturais podem ser definidas a partir 
do conceito de número inteiro.
III- O Princípio da Boa Ordenação nos garante que qualquer subconjunto não vazio dos números 
naturais possui um elemento mínimo.
IV- O mesmo Princípio da Boa Ordenação tem como consequência imediata o Primeiro Princípio da 
Indução, que é uma boa ferramenta matemática a ser utilizada em demonstrações.
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças II e III estão corretas.
B As sentenças I e IV estão corretas.
C As sentenças I e III estão corretas.
D As sentenças I, II e IV estão corretas.
Uma sentença matemática "P(n) | n é par" depende de uma variável natural n, a qual se torna 
verdadeira ou falsa quando substituímos n por um número natural dado qualquer.
Qual valor torna a sentença verdadeira?
A P(n) = 5.
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B P(n) = 1.
C P(n) = 3.
D P(n) = 2.
Análise é o ramo da matemática que lida com os conceitos introduzidos pelo cálculo diferencial 
e integral, medidas, limites, séries infinitas e funções analíticas. Porém, seu início se dá em um estudo 
bastante elementar à nossa visão, mas que é de fundamental importância no estudo dos conceitos 
anteriormente citados, os conjuntos numéricos. Quanto às propriedades dos conjuntos numéricos a 
seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Se A não foi finito, dizemos que A é infinito.
( ) O conjunto dos números naturais N é finito. 
( ) O conjunto dos números inteiros Z não é enumerável.
( ) Não existe bijeção entre um conjunto finito e um subconjunto próprio dele mesmo. 
Assinale a alternativa CORRETA:
A F - F - V - V.
B F - V - V - F.
C V - F - F - V.
D V - V - F - F.
Sejam m e n dois números inteiros, tais que m < n. Então, para todo p N, m + p , n + p. Para 
demonstrar a proposição é necessário usar qual propriedade?
A Monotonicidade da adição.
B Transitividade.
C Tricotomia.
D Elemento Neutro.
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