IAE- Indice de Nihans - Teoria

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Índice de Nihans 
 
 
Manuel Meireles 
 
O índice de Nihans é um classificador de elementos, capaz de dividir um 
conjunto de elementos numéricos em diversos subconjuntos. Uma forma simples 
de se dividir uma população em classes ABC, ou outra quantidade qualquer de 
classes como ABCDEF.... O Índice de Nihans é calculado pela seguinte fórmula: 
N
x
xA
 
2
 
 
Por exemplo, o Índice de Nihans dos números 2, 4, 6, 8 e 9 é assim calculado: 
 
 x2 = 2² + 4² + 6² + 8² + 9² 
 = 4 + 16 + 36 + 64 + 81 
 = 201 
 
 x = 2 + 4 + 6 + 8 + 9 = 29 
 
N
x
xA
  
2
201
29
6 93, 
 
1 Modo de cálculo do índice de Nihans 
 
Entendido como se obtém o Índice de Nihans de uma série de valores, pode-se 
aplicar tal item para dividir uma série de elementos em grupos homogêneos. 
 
 
Método para obter Classes: 
 
PASSO 1: Listar os elementos x em ordem decrescente. 
Exemplo: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 2 
 
PASSO 2: Calcular o Índice de Nihans de todos os elementos existentes: 
Inicialmente calcular o quadrado de cada elemento x: 81, 64, 49, 36, 25, 
16, 4 
Calcular  x2 (soma dos valores elevados ao quadrado) = 275 
Calcular  x (soma dos valores) = 41 
Calcular o índice de Nihans pela fórmula 
 
 
 
 
2 
 
 
N
x
xA
 
2
 
 
No nosso exemplo 
N
x
xA
  
2
275
41
6 70, 
 
PASSO 3: Marcar com a letra A todos os elementos que tenham valor igual ou 
superior ao NA (índice Nihans para a classe A), que, no nosso exemplo 
corresponde aos valores: 9, 8, 7 
 Dizemos, portanto, que os elementos 9, 8 e 7 constituem a Classe A 
 
PASSO 4: Calcular o Índice de Nihans dos elementos remanescentes, isto é, 
todos aqueles que não pertençam à classe A Tais elementos são: 6, 5, 4, 2 
Inicialmente calcular o quadrado de cada elemento x: 36, 25, 16, 4 
Calcular  x2 = 81 
Calcular  x = 17 
Calcular o índice de Nihans pela fórmula 
N
x
xB
  
2
81
17
4 76, 
 
PASSO 5: Marcar com a letra B todos os elementos que tenham valor igual ou 
superior ao NB (índice Nihans para a classe B), que, no nosso exemplo 
corresponde aos valores: 6, 5 
Dizemos, portanto, que os elementos 6 e 5 constituem a Classe B 
 
PASSO 6: Por exclusão atribuímos a classe C aos elementos remanescentes (4 e 
2). Observar que o nome desta classe é, verdadeiramente não{A+B}. 
Simplificadamente a estamos chamando de classe C. 
 
A distribuição em classes A,B,C, dos elementos 9, 8, 7, 6, 5, 4, 2 ficou 
desta forma: classe A= 9,8 e 7; classe B= 6 e 5 ; e classe C = 4 e 2 
 
 2 Exemplo de determinação de Classes: 
 
O índice de Nihans dá uma coerência e harmonia aos grupos escolhidos 
como se pode verificar no exemplo abaixo. 
Dispomos de 13 valores que estão na primeira coluna. Na segunda 
coluna calculamos o quadrado de cada um desses valores. Calculamos as 
somatórias tanto dos valores X quanto desses valores elevados ao quadrado. 
Dividimos a somatória de X2 pela somatória de X. A divisão de 47085 por 500 dá a 
nota de corte da classe A. Neste exemplo a nota de corte NA = 94,17. Todos os 
 
 
3 
 
valores X iguais ou superiores a 94,17 pertencem à classe A . Apenas dois valores 
estão nessa situação: 150,0 120,0. 
 
Índice de Nihans 
X Quadrado CLASSE 
150,0 22500,00 A 
120,0 14400,00 A 
75,0 5625,00 
50,0 2500,00 
35,0 1225,00 
17,5 306,25 
15,0 225,00 
12,5 156,25 
7,5 56,25 
6,5 42,25 
6,0 36,00 
3,0 9,00 
2,0 4,00 
500,0 47085,00 
Nihans A= 94,17 
 
Uma vez determinados os elementos da Classe A, com o índice de Nihans 
igual a NA= 94,17, aplicarmos aos elementos restantes o Índice de Nihans, NB . 
Isto é: repete-se o processo anterior descartando-se os elementos que pertencem 
à classe A.. 
Índice de Nihans 
X Quadrado CLASSE 
75,0 5625,00 B 
50,0 2500,00 B 
35,0 1225,00 
17,5 306,25 
15,0 225,00 
12,5 156,25 
7,5 56,25 
6,5 42,25 
6,0 36,00 
3,0 9,00 
2,0 4,00 
230,0 10185,00 
Nihans B= 44,28 
 
A nota de corte para a classe B é 44,28: resultado de 10185 a dividir por 
230. Todos os valores X iguais ou superiores a 44,28 (e abaixo da nota de corte 
NA) pertencem à classe B. Dois valores são encontrados neste exemplo: 75,0 e 
50,0. 
 
 
4 
 
É possível constituir ainda a classe C, partindo-se dos valores X não 
classificados até agora. Repete-se o processo e se obtém a nota de corte NC= 
19,62. Surge um único elemento classe C. 
 
Índice de Nihans 
X Quadrado CLASSE 
35,0 1225,00 C 
17,5 306,25 
15,0 225,00 
12,5 156,25 
7,5 56,25 
6,5 42,25 
6,0 36,00 
3,0 9,00 
2,0 4,00 
105,0 2060,00 
Nihans C= 19,62 
 
ND a nota de corte da classe D pode ser calculada desde que se descarte 
o elemento que pertence à classe C. Com a note de corte NC=11,93 obtém-se três 
valores: 17,5; 15,0 e 12,5. 
Índice de Nihans 
X Quadrado CLASSE 
17,5 306,25 D 
15,0 225,00 D 
12,5 156,25 D 
7,5 56,25 
6,5 42,25 
6,0 36,00 
3,0 9,00 
2,0 4,00 
70,0 835,00 
Nihans D= 11,93 
 
Continuando o processo obtemos a classe E, com a nota de corte NE=5,9. 
Três valores são selecionados: 7.5; 6,5 e 6. 
 
Índice de Nihans 
X Quadrado CLASSE 
7,5 56,25 E 
6,5 42,25 E 
6,0 36,00 E 
3,0 9,00 
2,0 4,00 
25,0 147,50 
Nihans E= 5,90 
 
 
5 
 
 
Uma análise das classes estratificadas pelo Índice de Nihans mostra bem 
a coerência dele. Abaixo são listadas todas as classes obtidas neste exemplo. 
 
Índice de Nihans 
X Quadrado CLASSE 
150,0 22500,00 A 
120,0 14400,00 A 
75,0 5625,00 B 
50,0 2500,00 B 
35,0 1225,00 C 
17,5 306,25 D 
15,0 225,00 D 
12,5 156,25 D 
7,5 56,25 E 
6,5 42,25 E 
6,0 36,00 E 
3,0 9,00 
2,0 4,00 
Nihans A= 94,17 
Nihans B= 44,28 
Nihans C= 19,62 
Nihans D= 11,93 
Nihans E= 5,90 
 
 3 O uso de Normalização no cálculo de índice de Nihans 
 
Chamamos aqui de normalização à conversão dos valores X em valores 
correspondentes que variam entre zero e 100. Essa normalização é feita mediante 
uma fórmula de conversão. (A expressão contradomínio também é muitas vezes 
usada). A normalização, isto é, a conversão dos valores X em valores 
correspondentes entre zero e 100 é obrigatória quando as variáveis envolvem 
números positivos e negativos. Seja o exemplo abaixo no qual a variável X contém 
números negativos. 
A primeira coluna contém as variáveis (X) que pretendemos separar por 
classes; a coluna “Normal” contém o valor normalizado da variável X em relação 
aos demais itens. A normal gerada é um número compreendido entre 0,0 e 100,0. 
A normal é obtida do seguinte modo: 
i
i
x Min
Norm
Max Min


 
Neste caso a Normal dá um valor entre ZERO e 1. Se se pretende um valor 
entre 0 e 100, ou 0 e 10 é necessário multiplicar o resultado por 100 ou por 10: 
100ii
x Min
Norm
Max Min


 
 Lista representa o conjunto das variáveis Xi. 
 
 
6 
 
 Portanto, para obter o contradomínio de uma variável X qualquer contida 
na lista faz-se o seguinte: 
 Determina-se o menor valor da lista: 17 
 Determina-se o maior valor da lista: 45 
 Determina-se o numerador da equação: ( X – (17)) = (x+17) 
 Determina-se o denominados da equação: (45  (17))= (45+17)= 62 
 A normal de qualquer valor X é portanto calculada pela fórmula: 
100*
62
17




  XNormal 
Por exemplo, no caso do valor X= 37 temos: 
10,87100*
62
1737
37_ 



 Normal 
 
Índice de Nihans 
X Normal Quadrado Classe 
45 100,00 10000,0 A 
42 95,16 9055,7 A 
40 91,94 8452,1 A 
37 87,10 7585,8 A 
32 79,03 6246,1 A 
29 74,19 5504,7 A 
25 67,74 4589,0 
 
 
 
 
 
 
ñ-{A} 
22 62,90 3956,8 
18 56,45 3186,8 
15 51,61 2663,9 
12 46,77 2187,8 
9 41,94 1758,65 35,48 1259,1 
3 32,26 1040,6 
1 29,03 842,9 
-2 24,19 585,3 
-6 17,74 314,8 
-9 12,90 166,5 
-17 0,00 0,0 
 1006,5 69396,5 
 Índice Nihnas 
Classe A 
68.95 
 
Calcula-se a Normal de cada um dos valores X e procede-se ao cálculo do 
Índice de Nihans operando sobre a Normal. 
 
 
 
 
7 
 
4 Denominação das Classes 
 
A fig. 38,23 ilustra as denominações que podem ser atribuídas às classes 
obtidas de acordo com o Índice de Nihans. É necessário entender que, quando se 
obtém uma classe, os elementos restantes não constituem outra classe, pois 
esses elementos restantes ainda podem ser divididos em n classes. Desta forma: 
 quando se tem a classe A, aos elementos restantes se dá o 
nome de classe não-A ou n-(A) ou ainda ñ-{A}; 
 quando se tem as classes A e B, aos elementos restantes se dá 
o nome de classe n-(A,B) ou ainda ñ-{A,B}; 
 quando se tem as classes A, B e C aos elementos restantes se 
dá o nome de classe n-(A,B, C) ou ainda ñ-{A,B, C}, e assim por 
diante. 
 
Fig. 3: Denominações das classes . 
 
n-(A,B,C)
C
A
B
A
n-A
A
B
n-(A,B)