Apostila de Estatística

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1UCDB Virtual
Disciplina:
Estatística
(4 créditos - 80 horas) 
Autor:
Roberto Belarmino Herebia
Modalidade:
Educação a Distância
 2.ed.rev.
32 UCDB VirtualUCDB Virtual
Missão Salesiana de Mato Grosso
Universidade Católica Dom Bosco
Instituição Salesiana de Educação Superior
Chanceler: Pe. Gildásio Mendes dos Santos
Reitor: Pe. Ricardo Carlos
Pró-Reitora de Graduação: Profª. Rúbia Renata Marques
Diretor da UCDB Virtual: Prof. Jeferson Pistori
Coordenadora Pedagógica: Profª. Blanca Martin Salvago
Direitos desta edição reservados à Editora UCDB
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UCDB -Universidade Católica Dom Bosco
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0220
Herebia, Roberto Belarmino
 Disciplina: Estatística. Campo Grande: UCDB/EAD, 
2017.
 178 p.
1.Medidas 2.Dispersão 3.Probabilidade
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO
Este material foi elaborado pelo professor conteudista sob a orientação da equipe 
multidisciplinar da UCDB Virtual, com o objetivo de lhe fornecer um subsídio didático 
que norteie os conteúdos trabalhados nesta disciplina e que compõe o Projeto Pedagógico 
do seu curso. Ele é frequentemente testado e atualizado, promovendo uma constante me-
lhora na qualidade deste material.
Elementos que integram o material
 Plano de Ensino:
Ementa: trata-se de um resumo do conteúdo da disciplina.
Objetivo Geral: é o principal objetivo que o aluno deve atingir ao termo da 
disciplina.
Objetivos Específicos: são os objetivos que devem ser atingidos ao fim de 
cada Unidade de conteúdo.
Conteúdo Programático: trata-se do conteúdo da disciplina apresentado de 
forma estruturada.
Bibliografia Básica: são as três principais obras indicadas pelo professor 
conteudista para aprofundamento do conteúdo. A obra que está marcada com um 
asterisco (*) é o livro texto que o professor sugere como livro chave da disciplina.
Bibliografia Complementar: são obras indicadas que podem servir como 
aprofundamento de alguns pontos específicos do conteúdo.
 Avaliação:
Critérios de avaliação: são as informações referentes aos critérios adotados para a 
avaliação (formativa e somativa) e composição da média da disciplina.
 
Quadro de Controle de Atividades: trata-se de um quadro para você organizar a 
realização e envio das atividades virtuais. O prazo estipulado pelo professor é uma suges-
tão baseada na média dos alunos, você pode adequá-lo ao seu ritmo de estudo, nunca ul-
trapassando o prazo máximo indicado pelo professor da disciplina. Não esqueça que você 
não está sozinho, conte sempre com a ajuda do seu professor e da equipe de tutoria. 
Conteúdo Desenvolvido: é o conteúdo da disciplina, com a explanação do pro-
fessor sobre os diferentes temas objeto de estudo.
Indicações de Leituras de Aprofundamento: são sugestões do professor con-
teudista para que você possa aprofundar no conteúdo estudado. Você irá perceber que a 
maioria das leituras sugeridas são links da Internet. Por isso, é importante que você mescle 
as leituras deste material com a navegação no Ambiente Virtual de Aprendizagem. 
Atividades Virtuais: são atividades propostas que marcarão um ritmo no seu es-
tudo, assim como, estimularão sua interação com o professor e colegas. As datas de envio 
das atividades encontram-se no calendário do Ambiente Virtual de Aprendizagem.
54 UCDB VirtualUCDB Virtual
Como tirar o máximo de proveito
Este material didático é mais um subsídio para seus estudos. Não se limite ao con-
teúdo aqui apresentado. Este material deve ser complementado com outros conteúdos e 
com a interação com os outros participantes. Portanto, não se esqueça de:
· Interagir com frequência com os colegas e com o professor, usando as ferramen-
tas de comunicação e informação que o Ambiente Virtual de Aprendizagem – AVA põe à 
sua disposição;
· Usar, além do material em mãos, os outros recursos disponíveis no AVA: aulas 
audiovisuais, vídeo-aulas, exercícios, fórum de discussão, fórum permanente de cada uni-
dade, etc.;
· Recorrer à equipe de tutoria sempre que precisar orientação sobre dúvidas quan-
to a calendário, atividades, ferramentas da AVA, e outros;
· Ter uma rotina que lhe permita estabelecer o ritmo de estudo adequado a suas 
necessidades como estudante, organize o seu tempo, não espere o final do módulo ou do 
semestre para começar a estudar e fazer as atividades, se necessário, solicite ajuda aos tu-
tores;
· Ter consciência de que você deve ser sujeito ativo no processo de sua aprendiza-
gem, contando com a ajuda e colaboração de todos, mas com a certeza de que o principal 
envolvido deve ser sempre você.
Mascote Edmouse
Ao longo de todo o material, você terá como companheiro o Edmouse, persona-
gem criado pela equipe de produção e design e utilizado pelo professor conteudista para 
expressar as indicações relacionadas aos aspectos didático-pedagógicos que envolvem cada 
conteúdo ou atividade. Veja abaixo o significado das suas aparições.
Lembro de algo
parecido
Posição normal: usado para sau-
dações, ou alguma comunicação 
direta, assuntos em que o profes-
sor queira destacar.
Posição atividade: utilizada em 
situações de indicação de algu-
ma atividade (todos os tipos de 
atividades), fique atento para 
esta posição, geralmente as ati-
vidades são avaliativas.
Posição pare: utilizada em si-
tuações em que você precisa 
parar para refletir sobre algo 
específico.
Posição atenção: utilizada em 
situações de destaque para as-
sunto ou comunicados impor-
tantes.
Posição reflexão: utilizada em 
situações em que você precisa 
de um momento de reflexão 
sobre algo específico, geral-
mente um destaque fundamen-
tal no conteúdo. Neste caso, 
leia o que está escrito no balão 
específico para cada situação.
A seguir, apresentamos o Plano de Ensino desta disciplina. É importante que você 
conheça os objetivos que devem ser atingidos, a bibliografia proposta, os critérios de avalia-
ção, assim como o conteúdo que será desenvolvido ao longo dos estudos. Acompanhe! 
Ementa
Distribuição de Frequência. Medidas de Tendência Central. Medidas de po-
sição: Medidas Separatrizes. Medidas de Dispersão ou variação. Medidas de Assi-
metria e Curtose. Introdução a probabilidade. Váriavel aleatória e distribuição de 
probabilidade. Variável aleatória e distribuição de probabilidades. Modelos de dis-
tribuição de variável discreta.
Objetivo Geral
 Desenvolver a confiança dos alunos ao lidar com dados numéricos. Familiarizar os 
alunos com os conceitos básicos sobre Estatística, métodos de coleta, organização, síntese, 
apresentação, análise e interpretação de dados coletados experimentalmente. 
UNIDADE 1
- Introduzir conceitos de Estatística. 
- Organizar dados em tabelas ou séries.
- Reconhecer dados brutos e dados organizados.
- Organizar dados quantitativos em distribuição de frequências.
- Calcular frequências acumuladas, frequências relativas e frequências acumuladas percen-
tual.
UNIDADE 2
- Habilitar o aluno para a realização de cálculos das medidas de tendência central.
- Permitir ao aluno localizar a média, a mediana e a moda de um conjunto de dados ob-
servados.
- Levar o aluno a perceber a diferença que existe entre simetria e assimetria em função 
das medidas de tendência central.
UNIDADE 3
- Perceber a necessidade dessas medidas para a interpretação dos dados analisados.
- Identificar medidas separatrizes.
- Calcular as medidas separatrizes e saber interpretá-las.
UNIDADE 4
- Entender a definição de medida de dispersão ou variabilidade.
- Saber calcular variância e desvio padrão.
- Conceituar intervalo padrão ou zona de normalidade.
- Identificar dados homogêneos e heterogêneos através do coeficiente de variação.
UNIDADE 5
- Reconhecer quando um conjunto de dados se apresenta assimétrico.
- Saber calcular coeficiente de assimetria.
- Classificar os dados em relação ao grau de achatamento da curva da distribuição.
UNIDADE 6
-Explorara variabilidade dos dados, dos resultados observados e a incerteza associada às 
decisões.
-Introduzir a probabilidade como uma medida de possibilidade de resultados e risco em 
decisões.
-Entender e diferenciar o significado de proporcionalidade, proporção, o que é provável e 
presumível.
76 UCDB VirtualUCDB Virtual - Identificar fenômeno determinístico e aleatório.
- Observar as regras da probabilidade em situações que são considerados eventos múlti-
plos.
- Calcular a probabilidade de um evento para cada situação específica: soma, multiplica-
ção e probabilidades condicionais.
UNIDADE 7
- Identificar o fenômeno aleatório: discreto e contínuo.
- Montar a árvore de possibilidades de um experimento aleatório.
- Construir a distribuição da probabilidade.
- Introduzir a idéia de valor esperado, como auxílio na tomada de decisões.
- Calcular o valor esperado, esperança matemática, e os parâmetros da variável discreta.
UNIDADE 8
- Identificar as características das distribuições das probabilidades binomial e de Poisson.
- Calcular as probabilidades binomiais e de Poisson
Conteúdo Programático - Sumário
UNIDADE 1: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ................................12
1.1 O que é estatística .................................................................................................................12
1.2 Tabela primitiva ou dados brutos .......................................................................................15
1.3 Distribuição de frequências .................................................................................................17
1.4 Tipos de frequência ..............................................................................................................18
1.5 Construção da distribuição de frequência com intervalo de classe ..............................23
1.6 Elementos de uma distribuição de freqüência .................................................................25
1.7 Regra prática para construir uma distribuição de frequência com dados agrupados .28
UNIDADE 2: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ............................43
2.1 Média Aritmética: Simples e Ponderada ............................................................................43
2.2 Média Geométrica ................................................................................................................49
2.3 Média Harmônica .................................................................................................................51
2.4 Moda .......................................................................................................................................56
2.5 Mediana ..................................................................................................................................61
2.6 Posição relativa da Média, Mediana e Moda .....................................................................69
UNIDADE 3: MEDIDAS SEPARATRIZES ...........................................73
3.1 Quartis ....................................................................................................................................73
3.2 Decis .......................................................................................................................................82
3.3 Percentis .................................................................................................................................86
UNIDADE 4: MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIAÇÃO ....................94
4.1 Medidas de dispersão absoluta ...........................................................................................95
4.2 Desvio Médio ........................................................................................................................98
4.3 Variância ...............................................................................................................................105
4.4 Desvio padrão .....................................................................................................................106
4.5 Interpretação do desvio padrão .......................................................................................112
4.6 Intervalo padrão ou zona de normalidade .....................................................................114
4.7 Coeficiente de variação de Pearson .................................................................................114
UNIDADE 5: MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE ......................120
5.1 Assimetria ..............................................................................................................................120
5.2 Coeficiente de Assimetria ...................................................................................................121
5.3 Medidas de Curtose .............................................................................................................126
5.4 Coeficiente de Curtose ........................................................................................................126
UNIDADE 6: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE PROBABILIDADES ....134
6.1 A Probabilidade de um evento ...........................................................................................134
6.2 Espaço amostral ...................................................................................................................135
6.3 Métodos do cálculo da estimativa: clássico, frequência relativa e subjetivo ................136
6.4 A matemática da probabilidade ..........................................................................................144
6.5 Técnicas de contagem .........................................................................................................149
UNIDADE 7: VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES...........................................................................153
7.1 Conceito de variável aleatória .............................................................................................153
7.2 Distribuição de probabilidades ..........................................................................................154
7.3 Frequência relativa das variáveis aleatórias .......................................................................156
7.4 Parâmetros da variável discreta ..........................................................................................158
7.5 Esperança matemática .........................................................................................................160
UNIDADE 8: DISTRIBUIÇÃO DA VARIÁVEL DISCRETA ..................166
8.1 A distribuição binomial .......................................................................................................166
8.2 A fórmula binomial ..............................................................................................................167
8.3 Parâmetros da distribuição binomial .................................................................................167
8.4 A distribuição de Poisson ...................................................................................................174
8.5 A Fórmula de Poisson .........................................................................................................175
8.6 Parâmetros da distribuição de Poisson .............................................................................175
98 UCDB VirtualUCDB Virtual
Bibliografia Básica:
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Estatística. Aplicada a todos os níveis. 5. ed. rev. e 
atual. Curitiba. Ibpex, 2010.
FREUND, Jonh E.; SIMON, Gary A. Estatística Aplicada: Economia, Administração e 
Contabilidade. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.
LEVIN, Jack; FOX, James Alan; FORDE, David R. Estatística para Ciências Humanas. 
11. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012
Bibliografia Complementar:
BONAFINI, Fernanda César (Org.). Estatística. São Paulo: Pearson Education do Bra-
sil, 2012.
BUSSAB, Wilton De O, MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5. ed. São Paulo: 
Atual, 2002.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira.Métodos Quantitativos. 2. ed. rev., atual. e ampl. 
Curitiba. Ibpex, 2011.
______. Noções básicas de Matemática Comercial e Financeira. 4. ed. corrigida. Curi-
tiba: Ibpex, 2012.
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística Aplicada. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2010.
Avaliação
A UCDB Virtual acredita que avaliar é sinônimo de melhorar, isto é, a finalidade 
da avaliação é propiciar oportunidades de ação-reflexão que façam com que você possa 
aprofundar, refletir criticamente, relacionar ideias, etc. 
A UCDB Virtual adota um sistema de avaliação continuada: além das provas no 
final de cada módulo (avaliação somativa), será considerado também o desem¬penho do 
aluno ao longo de cada disciplina (avaliação formativa), mediante a realização das ativida-
des. Todo o processo será avaliado, pois a aprendizagem é processual. 
Para que se possa atingir o objetivo da avaliação forma¬tiva, é necessário que as 
atividades sejam realizadas criteriosamente, atendendo ao que se pede e tentando sempre 
exemplificar e argumentar, procurando relacionar a teoria estu-dada com a prática. 
As atividades devem ser enviadas dentro do prazo estabelecido no calendário de 
cada disciplina. 
Critérios para composição da Média Semestral:
Para compor a Média Semestral da disciplina, leva-se em conta o desempenho 
atingido na avaliação formativa e na avaliação somativa, isto é, as notas alcançadas nas 
diferentes atividades virtuais e na(s) prova(s), da seguinte forma: Somatória das notas re-
cebidas nas atividades virtuais, somada à nota da prova, dividido por 2. Caso a disciplina 
possua mais de uma prova, será considerada a média entre as provas.
Média Semestral: Somatória (Atividades Virtuais) + Média (Provas) / 2
Assim, se um aluno tirar 7 nas atividades e 5 na prova: MS = 7 + 5 / 2 = 6
Antes do lançamento desta nota final, será divulgada a média de cada aluno, dan-
do a oportunidade de que os alunos que não tenham atingido média igual ou superior a 
7,0 possam fazer a Recuperação das Atividades Virtuais. Se a Média Semestral for igual ou 
superior a 4,0 e inferior a 7,0, o aluno ainda poderá fazer o Exame Final. A média entre a 
nota do Exame Final e a Média Semestral deverá ser igual ou superior a 5,0 para considerar 
o aluno aprovado na disciplina.
Assim, se um aluno tirar 6 na Média Semestral e tiver 5 no Exame Final: MF = 6 
+ 5 / 2 = 5,5 (Aprovado)
1110 UCDB VirtualUCDB Virtual Boas-vindas
Caro aluno, seja bem vindo!
A sociedade contemporânea, em qualquer ramo, principalmente nas áreas 
cujos profissionais devem trabalhar com dados e informações, necessita de pesso-
as que tenham a capacidade de entender e utilizar procedimentos estatísticos. 
É, fundamental que o texto produzido neste manual para o estudo dos 
conceitos básicos da Estatística, leve o aluno a pensar utilizando seu cotidiano, os 
fatos que estão na mídia e seu dia-a-dia. Essa estratégia visa proporcionar expe-
riências significativas aos alunos com a finalidade de que este possa elaborar seu 
conhecimento. 
O texto foi elaborado para servir de apoio ao entendimento significativo e 
interessante da disciplina de Estatística. Inicialmente, vamos estudar os conceitos 
básicos de Estatística que fornecem uma visão do que seja Estatística, onde ela se 
aplica.
Vamos estudar os elementos básicos de vários tipos de tabela e como or-
ganizá-las com dados extraídos de pesquisa de campo. Estudaremos também as 
classificações de tabelas e qual a melhor forma de representá-las, de acordo com 
o tipo. 
A segunda unidade apresenta as medidas de tendência central mais utiliza-
das nas áreas da Administração, Ciências Contábeis e Economia. Na terceira a uni-
dade, veremos outras medidas importantes como os quartis, decis e percentis. Na 
quarta unidade apresentamos um estudo das medidas de dispersão e variabilidade 
que nos fornecem instrumentos para determinação dos intervalos padrões e alta 
ou média variação para as pesquisas em geral. Para completar a análise dos dados 
pesquisados é interessante verificar os desvios em relação à normalidade, assunto 
que será estudado na unidade cinco: assimetria e curtose.
Na unidade seis apresentamos um estudo de Introdução ao cálculo da pro-
babilidade, que nos ajudará a compreender o significado de fenômenos aleatórios 
para o entendimento do que é provável e presumível. Vamos também aprender a 
calcular a probabilidade de eventos das mas variadas situações.
Na unidade sete, estudaremos a organização dos vários tipos de fenôme-
nos aleatórios em distribuição de probabilidade.
Na unidade oito, estuda-se a distribuição binomial e de Poisson para as 
variáveis discretas, onde são tratados também seus parâmetros, 
Espero que o entendimento deste conteúdo esteja ao alcance de todos, 
procurou-se colocar de maneira bem clara e bem objetiva, no entanto, estaremos 
em contato para quaisquer esclarecimento que se fizer necessário. Desejo a todos 
sucesso neste estudo.
Profª. Maria Helena
FAÇA O ACOMPANHAMENTO DE SUAS ATIVIDADES
O quadro abaixo visa ajudá-lo a se organizar na realização das atividades. Faça 
seu cronograma e tenha um controle de suas atividades:
Avaliação Prazo* Data de Envio**
Exercício pontuado 1.1
Ferramenta: Questionário
Exercício pontuado 2.1
Ferramenta: Questionário
Exercício pontuado 3.1
Ferramenta: Questionário
Exercício pontuado 4.1
Ferramenta: Questionário
Exercício pontuado 5.1
Ferramenta: Questionário
Exercício pontuado 6.1
Ferramenta: Questionário
Exercício pontuado 7.1
Ferramenta: Questionário
Exercício pontuado 8.1
Ferramenta: Questionário
* Coloque na segunda coluna o prazo em que deve ser enviada a atividade (consulte o 
calendário disponível no ambiente virtual de aprendizagem).
** Coloque na terceira coluna o dia em que você enviou a atividade.
1312 UCDB VirtualUCDB Virtual
A Estatística
É uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a co-
leta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização 
dos mesmos na tomada de decisões (CRESPO, 1997).
A Estatística compreende duas funções bem amplas: a primeira função é a 
descritiva e a segunda é indutiva. Vejamos o que cada uma desenvolve:
a) Estatística Descritiva
Nas mais diferentes pesquisas, o analista defronta-se com uma infinidade 
de dados, de maneira que se torna difícil absorver completamente a informação 
que está procurando investigar. É extremamente difícil captar intuitivamente todas 
as informações que os dados contêm. Por essa razão é necessário que os dados 
sejam organizados e sintetizados de maneira que revelem informações que o ob-
servador possa usar. 
b) Estatística Indutiva
Na grande parte das pesquisas, por questões de tempo e de viabilidade, é 
necessário trabalhar com uma parte representativa da população estatística. Esse 
subconjunto é a amostra da população considerada. É fácil perceber que um pro-
cesso de indução não pode ser exato, pois ao induzir estamos sempre sujeitos a 
erro. A Estatística Indutiva nos diz até que ponto podemos estar errando em nos-
sas induções e com que probabilidade. 
Em Estatística, utilizamos extensamente os termos população e amostra 
e, estreitamente relacionados com esses conceitos, encontramos os conceitos dos 
termos parâmetro e estatística.
 
Quadro 1 – Termos básicos da Estatística
População Estatística
Conjunto de todos os itens (pessoas, coisas, objetos) 
que interessam ao estudo de um fenômeno coletivo, 
segundo alguma característica.
Amostra Qualquer subconjunto não vazio de uma população.
Parâmetro É uma medida numérica que descreve uma caracterís-tica de uma população.
Estatística É uma medida numérica que descreve uma caracterís-tica de uma amostra.
Para começarmos o nosso estudo de Estatística, temos que apresentar em 
primeiro lugar alguns conceitos básicos que nos acompanharão ao longo de todo 
o conteúdo e que servirão de base para o nosso estudo. 
1.1 O que é Estatística
Hoje, a sobrevivência no mundo do trabalho depende cada vez mais de 
conhecimento, pois em função do desenvolvimentotecnológico, característica 
marcante no mundo contemporâneo, exige-se profissionais mais criativos e ver-
sáteis, capazes de entender o processo de trabalho como um todo. Esses profis-
sionais devem ser autônomos e ter iniciativa para resolver problemas em equipe 
e para utilizar diferentes tecnologias e linguagens, que vão além da comunicação 
oral e escrita. A cada momento recebemos uma carga de informações codificadas 
através dos meios de comunicação, internet e outros. A decodificação dessas in-
formações se faz necessária, pois hoje, o mercado de trabalho procura profissio-
nais que tenham a capacidade de entender estatística e incentivar sua utilização. 
Podemos encontrar Estatística nos meios de comunicação: jornais, revis-
tas, TV, rádio, internet, etc. Ela é mostrada através de pesquisa de opinião pública, 
de índices de mortalidade ou crescimento, de índices de contaminação ambiental, 
de desemprego, de acidentes, de violência, de inflação, etc. 
A atividade de fazer levantamentos surgiu da necessidade de registro de 
terras, de controle de nascimento e mortes e de cobrança de impostos. Os dados 
coletados, organizados, resumidos, analisados e interpretados transformam-se em 
informações estatísticas de grande importância para os que estão interessados em 
curar, em educar, em administrar, fazer ciência ou dirigir a política de acordo com 
a realidade. 
UNIDADE 1: DISTRIBUI-
ÇÃO DE FREQUÊNCIAS OBJETIVO DA UNIDADE: Organizar dados 
em tabelas ou séries. Reconhecer dados 
brutos e dados organizados. Organizar 
dados quantitativos em distribuição de 
frequências. Calcular frequências acumu-
ladas, frequências relativas e frequências 
acumuladas percentual.
1514 UCDB VirtualUCDB Virtual a) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, fica 
inalterado o último algarismo que permanece. 
 Ex.: 45,23423 fica 45,23
 785,39287 fica 785,39
b) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 6, 7, 8 ou 9, aumen-
ta-se uma unidade ao último algarismo que permanece. 
Ex.: 34,846 fica 34,85; 
 234,699 fica 234,70.
c) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, há duas soluções:
• Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-
se uma unidade ao algarismo que permanece. 
Ex.: 27,64501 fica 27,65; 
 67,4250002 fica 67,43.
• Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último alga-
rismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 
 Ex.: 24,735 fica 24,74; 
 24,645 fica 24,64
1.2 Tabela primitiva ou dados brutos
Neste item, estudaremos como organizar em tabelas os dados estatísticos 
resultantes de variáveis quantitativas, as quais são denominadas de distribuição de 
frequência.
Vamos considerar, em particular, a forma pela qual podemos descrever os 
dados estatísticos resultantes de variáveis quantitativas, como é o caso de notas 
obtidas pelos alunos de uma classe, estaturas de um conjunto de pessoas, salários 
recebidos pelos operários de uma fábrica, quantidade de acidentes de uma rodovia 
Brasileira, quantidade de irmãos de acadêmicos de uma sala, quantidade de faltas 
diárias de funcionários de uma Empresa, etc.
Considere o seguinte levantamento relativo à variável quantitativa discreta:
Tabela 1.1 - Quantidade de irmãos dos acadêmicos de uma sala da UCDB/08
1 4 2 5 1 2 1 3 3 2 2 1 1 0 2
2 3 8 5 4 3 1 1 2 2 1 1 4 5 0
4 2 3 2 1 5 4 3 2 2 1 1 3 2 0
Para estudarmos um fenômeno coletivo podemos optar entre os seguin-
tes processos:
a) Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os 
componentes da população. Propriedades:
• Admite erro processual zero e tem confiabilidade 100%.
• É claro.
• É lento.
• É quase sempre desatualizado.
• Nem sempre é viável.
b) Estimação: é uma avaliação indireta de um parâmetro, com base em 
estimador através do cálculo de probabilidades. Propriedades:
• Admite erro processual positivo e tem confiabilidade menor que 100%.
• É mais econômica.
• É rápida.
• É atualizada.
• É sempre viável.
c) Natureza dos dados: alguns conjuntos de dados (como alturas) con-
sistem em números, enquanto outros são não-numéricos (como sexo). Aplicam-
se às expressões dados quantitativos e dados qualitativos para distinguir esses 
dois tipos.
• Dados Qualitativos: consistem em atribuir qualidade ou atributo à va-
riável pesquisada. Por exemplo: raça, sexo, escolaridade, preferência, reli-
gião, etc.
• Dados Quantitativos: consistem em números que representam conta-
gens ou medidas. Podem ser discretos ou contínuos.
- Discretos: são valores pertencentes a um conjunto enumerável 
(ex: 0, 1, 2, 3, etc.). Por exemplo: nº de filhos, nº de carros vendidos, 
nº de alunos reprovados, nº de faltas, nº de irmãos, etc.
- Contínuos: são os valores que podem estar dentro de um interva-
lo real. Por exemplo: peso, altura, salário, comprimento, área, idade, 
etc.
Muitas vezes é necessário ou conveniente suprimir unidades inferiores às 
de determinada ordem. Esta técnica é denominada arredondamento de dados.
O arredondamento neste trabalho será feito da seguinte maneira, com 
duas casas decimais:
1716 UCDB VirtualUCDB Virtual Agora, podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor estatura (150 
cm) e qual a maior (173 cm); que a amplitude de variação foi de (173 – 150), ou 
seja, 23 cm; e ainda a ordem que um valor particular da variável ocupa no conjunto. 
Com um exame mais apurado, vemos que há uma concentração das estaturas em 
algum valor entre 160 cm e 165 cm e, mais ainda, que há poucos valores abaixo de 
155 cm e acima de 170 cm.
Você percebeu como não é complicado. Trata-se simplesmente de orde-
narmos os dados de uma tabela para obter o rol.
1.3 Distribuição de Frequências 
A distribuição de frequência é uma tabela que organiza de maneira sintéti-
ca os dados quantitativos coletados. Na primeira coluna, registramos a variável, na 
segunda coluna a frequência, ou seja, o número de vezes que a variável apareceu na 
pesquisa e nas colunas subsequentes a frequência acumulada, a frequência relativa 
ou percentual e a frequência relativa ou percentual acumulado.
1.3.1 Variável discreta
Quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena, 
cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe e, nesse caso, a distribui-
ção é chamada distribuição sem intervalo de classe, de acordo com o exemplo da 
Tabela 1.3, teremos a tabela seguinte:
Tabela 1.5 - Nº de irmãos dos acadêmicos de uma sala da UCDB/08
Nº de irmãos/acad. f
0 3
1 12
2 13
3 7
4 5
5 4
8 1
Total ∑f= 45
Assim, sempre que possível, devemos construir a distribuição de variável 
discreta sem precisar agrupar, ou seja, escrever na coluna da variável somente a 
própria variável.
A tabela acima é denominada tabela primitiva ou dados brutos, pois os 
dados coletados estão dispostos conforme a ordem da coleta e não na ordem de 
numeração. 
Agora, suponhamos que temos feito coleta de dados relativos às estatu-
ras de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos de um curso da 
UCDB/08, resultando a seguinte tabela de valores:
Tabela 1.2 - Estaturas de 40 alunos de um curso da UCDB/08
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160
162 161 168 163 156 173 160 155 164 168
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164
154 161 156 172 153 157 156 158 158 161
Esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organiza-
dos, é denominado tabela primitiva ou dados brutos.
Rol
Partindo dos dados acima - tabela primitiva - é difícil averiguar em torno 
de que valor tendem a se concentrar as estaturas, qual a menor ou qual a maior es-
tatura ou, ainda, quantos alunos se acham abaixo ou acima de uma dada estatura. 
O passo seguinte é organizar estes dados em ordem crescente, formando o que 
chamamos de Rol.
Para a Tabela 1.1, em relação à quantidade de irmãos dos acadêmicos de 
uma sala da UCDB/08, podemos organizar o rol, ainda em uma tabela primitiva, 
apenas em ordem crescente em relação ao número de irmãos
Tabela 1.3 - O nº de irmãos dos acadêmicos deuma sala da UCDB/08
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 8
Assim, podemos observar que alguns alunos não têm irmãos, enquanto 
que outros têm até 8 irmãos.
Para a Tabela 1.2, em relação à estatura de 40 alunos de uma sala da 
UCDB/09, realiza-se o mesmo procedimento do exemplo anterior.
Tabela 1.4 - Estaturas de 40 alunos de uma sala da UCDB/09
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
1918 UCDB VirtualUCDB Virtual Tabela 1.7 - Estaturas de 40 alunos do curso de Administração/UCDB/09
Estatura (cm) Frequência
150 a 154 4
154 a 158 9
158 a 162 11
162 a 166 8
166 a 170 5
170 a 174 3
Total 40
Assim, em nosso exemplo, temos: f1 = 4, f2 = 9, f3 = 11, f4 = 8, f5 = 5, 
f6 = 3
A soma de todas as frequências é representada pelo símbolo de somató-
rio: 
É evidente que: nf
k
i
i =∑
=1
Para a distribuição em estudo, temos: 
Não havendo possibilidade de engano, usamos: 
b) Frequências relativas ou percentuais (fr ou f%)
As frequências relativas ou percentuais são calculadas dividindo cada fre-
quência simples pelo total das frequências.
Portanto, frequência relativa é o valor da razão entre as frequências simples 
de uma classe e a frequência total: 
Logo, a frequência relativa de cada classe, em nosso exemplo (Tabela 1.7), 
é:
1.3.2 Variável contínua
Os dados de uma tabela serão melhor estudados se agruparmos unifor-
memente em intervalos de valores da variável. Isto é, quando se tratar de variável 
contínua, cuja variação é grande ou mesmo quando tivermos a variável discreta 
com grande variação, podemos agrupar, para cada linha, intervalos de classes. 
A seguir apresentamos um exemplo fictício de tabela com variável quantitativa 
contínua. Por se tratar de um conceito de suma importância, terá um estudo mais 
detalhado.
Tabela 1.6 - Estaturas de 100 alunos da escola X / 2008
Estatura (cm) Frequência
140 ├ 145 2
145 ├ 150 5
150 ├ 155 11
155 ├ 160 39
160 ├ 165 32
165 ├ 170 10
170 ├ 175 1
Total 100
1.4 Tipos de frequência
a) Frequência simples ou absoluta
Frequência simples ou frequência absoluta ou, simplesmente, frequên-
cia de uma classe ou de valor individual é o numero de observações a essa classe 
ou a esse valor. A frequência simples é simbolizada por fi (lemos: f índice i ou 
frequência da classe i).
Vamos utilizar o resultado da Tabela 1.4 para estudarmos os vários tipos 
de frequências.
2120 UCDB VirtualUCDB Virtual Tabela 1.8 - Estaturas de 40 alunos do curso de Administração/UCDB/06
Classes Estaturas 
(cm)
fi fri Fa Fra
1 150 ├ 154 4 0,100 4 0,100
2 154 ├ 158 9 0,225 13 0,352
3 158 ├ 162 11 0,275 24 0,600
4 162 ├ 166 8 0,200 32 0,800
5 166 ├ 170 5 0,125 37 0,925
6 170 ├ 174 3 0,075 40 1,000
Total
 
O conhecimento dos vários tipos de frequência ajuda-nos a responder 
muitas questões com relativa facilidade, como as seguintes:
a) Quantos alunos têm estaturas de 154 cm, inclusive, a158 cm? 
Resposta: Esses são os valores da variável que formam a segunda classe, 
ou seja, f2=9.
b) Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 154 cm?
Resposta: Esses valores são os que formam a primeira classe. 
Como fri = 0,100, obtemos a resposta multiplicando a frequência relativa 
por 100: 0,100 100 = 10. Logo, a percentagem de alunos é 10%.
c) Quantos alunos têm estatura abaixo de 162 cm?
Resposta: É evidente que as estaturas consideradas são aquelas que for-
mam as classes de ordem 1, 2 e 3. Assim, o número de alunos é dado por: ou 
observa-se a fa3 na Tabela 1.8. Portanto, 24 alunos têm estatura abaixo de 162 
cm. 
d) Quantos alunos têm estatura não-inferior a 158 cm? 
Resposta: O numero de alunos é dado por: 
ou então: 
Exemplo 2. Vamos considerar o resultado da Tabela 1.5 em relação ao nú-
mero de irmãos dos acadêmicos do 3º semestre de Administração/UCDB/06 
Evidentemente: 100%ou 1fr i =∑ 10%+22,5% + 27,5% +20% + 
12,5% + 7,5% = 100%
Observação: A função das frequências relativas é permitir a análise ou 
facilitar as comparações.
c) Frequência acumulada (fa ou Fa ) 
É o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior 
do intervalo de uma dada classe:
fa1 = f1
fa2 = fa1 + f2
fa3 = fa2 + f3
fa4 = fa3 + f4 ….
fan = fan-1 + fn
Assim, no exemplo apresentado na Tabela 1.8, a frequência acumulada 
correspondente à terceira classe é:
 
o que significa que existem 24 alunos com estaturas inferiores a 162 cm 
(limite superior do intervalo da terceira classe).
d) Frequência acumulada relativa ou percentual (Fri ou fa%) de uma 
classe é a frequência acumulada da classe, dividida pela frequência total da distri-
buição:
Fri= 
Assim, para a terceira classe, temos: Fr3 = 
Exemplo 1. Considerando a Tabela 1.4 no exemplo das estaturas, vamos 
inserir as frequências acima estudadas:
2322 UCDB VirtualUCDB Virtual Observação: Se a variável toma numerosos valores distintos, é comum 
tratá-la como uma variável contínua, formando intervalos de classe de amplitude 
diferente de um. Esse tratamento (arbitrário) abrevia o trabalho, mas acarreta al-
guma perda de precisão.
1.5. Construção da distribuição de frequência com intervalos 
de classe (dados agrupados)
No exemplo que trabalhamos, a variável em questão, estatura, será obser-
vada e estudada muito mais facilmente quando dispusermos os valores ordenados 
em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor, o número de vezes que apa-
rece repetido. 
Denominamos frequência o número de alunos que fica relacionado a um 
determinado valor da variável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de 
distribuição de frequência:
Tabela 1.12 - Estaturas de 40 alunos do curso de Administração/UCDB/09
Estatura 
(cm)
Frequên-
cia
Estatura 
(cm)
Frequên-
cia
Estatura 
(cm)
Frequên-
cia
150 1 158 2 167 1
151 1 160 5 168 2
152 1 161 4 169 1
153 1 162 2 170 1
154 1 163 2 171 1
155 4 164 3 172 1
156 3 165 1 173 1
157 1 166 1 TOTAL 40
Mas o processo dado é ainda inconveniente, já que exige muito espaço, 
mesmo quando o número de valores da variável (n) é de tamanho razoável. Sendo 
possível, a solução mais aceitável, pela própria natureza da variável contínua, é o 
agrupamento dos valores em vários intervalos. 
Assim, se um dos intervalos for, por exemplo, 154 a 158, em vez de dizer-
mos que a estatura de 1 aluno é de 154 cm; de 4 alunos, 155 cm; de 3 alunos, 156 
cm, e de 1 aluno, 157 cm, diremos que 9 alunos têm estatura entre 154, inclusive, 
e 158 cm. Deste modo, estaremos agrupando os valores de variável em intervalos, 
sendo que, em Estatística, preferimos chamar os intervalos de classes.
O número de valores da variável que pertencem à classe é chamado de 
frequência de uma classe. Os dados da Tabela 1.12 podem ser dispostos como na 
Tabela 1.13, denominada distribuição de frequência com intervalos de classe:
Tabela 1.9 - Nº de irmãos dos acadêmicos do 3º semestre de Administra-
ção/UCDB/06
i Nº de irmãos/acad. (xi) fi
1 0 3
2 1 12
3 2 13
4 3 7
5 4 5
6 5 4
7 8 1
 
Vamos completar a tabela com vários tipos de frequência para podermos 
realizar uma análise mais detalhada do Nº de irmãos dos acadêmicos do 3º semes-
tre de Administração:
Tabela 1.10 - Nº de irmãos dos acadêmicos do 3º semestre de Administra-
ção/UCDB/06
i xi fi fri Fa Fri
1 0 3 0,07 3 0,07
2 1 12 0,27 15 0,34
3 2 13 0,29 28 0,63
4 3 7 0,15 35 0,78
5 4 5 0,11 40 0,89
6 5 4 0,09 44 0,98
7 8 1 0,02 45 1,00
 
Podemos representar as frequências relativas através dos percentuais, ve-
jamos como fica a Tabela 1.11:
Tabela 1.11 - Nº de irmãos dos acadêmicos do 3º semestre de Administra-
ção/UCDB/06
i xi fi F% Fa Fa%
1 0 3 7 3 7
2 1 12 27 15 34
3 2 13 29 28 63
4 3 7 15 35 78
5 4 5 11 40 89
6 5 4 9 44 98
7 8 1 2 45 100
 
2524 UCDB VirtualUCDB Virtual 1.6 Elementos de uma distribuição de frequência
1.6.1 Classes
Classes de frequência, ou simplesmente classes, são intervalos de variável. 
As Classes são representadassimbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3,... K (onde k 
é o numero total de classes da distribuição). Assim, em nosso exemplo, o intervalo 
154 a 158 define a segunda classe (i = 2). Como a distribuição está formada por 
seis classes, podemos afirmar que k = 6.
Vejamos como fica a Tabela 1.14, incluindo os números de intervalo de 
classes.
Tabela 1.15 - Estaturas de 40 alunos do curso de Administração/UCDB/09
K Estatura (cm) Frequência
1 150 ├ 154 4
2 154 ├ 158 9
3 158 ├ 162 11
4 162 ├ 166 8
5 166 ├ 170 5
6 170 ├ 174 3
Total 40
1.6.2 Limites de classe
Denominamos limites de classe os extremos de cada classe. O menor nú-
mero é o limite inferior da classe ( ix ) e o maior número, o limite superior da classe 
(Ls ). Na segunda classe, por exemplo, temos: e 1542 =l L2 = 158
Observação: Os intervalos de classe devem ser expressos de acordo com a 
Resolução 886/66 do IBGE, empregando, para isso, o símbolo ├ (inclusão de ix 
e exclusão de Ls). Assim, o indivíduo com uma estatura de 158 cm está incluído na 
terceira classe (i = 3) e não na segunda.
1.6.3 Amplitude de um intervalo de classe
Amplitude de um intervalo de classe é a medida do intervalo que define a 
classe. Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe 
e indicada por a. Assim: 
a = Ls - Li
Na distribuição da Tabela 1.15, temos:
 a = Ls - Li → a = 158 – 154 = 4 a = 4 cm 
Tabela 1.13 - Estaturas de 40 alunos do curso de Administração/UCDB/09
Estatura (cm) Frequência
150 a 154 4
154 a 158 9
158 a 162 11
162 a 166 8
166 a 170 5
170 a 174 3
Total 40
Ao agruparmos os valores da variável em classes, ganhamos em simplici-
dade, mas perdemos em pormenores. Assim, na Tabela 1.12, podemos verificar 
facilmente que quatro alunos têm 161 cm de altura e que não existe nenhum aluno 
com 171 cm de altura. Já na Tabela 1.13 não podemos ver se algum aluno tem a 
estatura de 159 cm. No entanto, sabemos, com segurança, que onze alunos têm 
estatura compreendida entre 158 e 162 cm.
O que pretendemos com a construção dessa nova tabela é realçar o que há 
de essencial nos dados e, também, tornar possível o uso de técnicas analíticas para 
sua total descrição, até porque a Estatística tem por finalidade específica analisar 
o conjunto de valores, desinteressando-se por casos isolados.
Observações: Quando os dados estão organizados em uma distribuição 
de frequência, são comumente denominados dados agrupados.
Hoje as distribuições de frequência são construídas utilizando o símbolo 
├ que tem significado de incluir o número de menor valor (limite inferior da clas-
se) e excluir o número de maior valor (limite superior). 
Vejamos como fica o exemplo estudado:
Tabela 1.14 - Estaturas de 40 alunos do curso de Administração/UCDB/09
Estatura (cm) Freqüência
150 ├ 154 4
154 ├ 158 9
158 ├ 162 11
162 ├ 166 8
166 ├ 170 5
170 ├ 174 3
Total 40
2726 UCDB VirtualUCDB Virtual Observação: O ponto médio de uma classe é o valor que a representa. 
Para facilitar no cálculo dos outros pontos médios, podemos utilizar os seguintes 
procedimentos: calcula-se o ponto médio da primeira classe e em seguida soma-se 
a amplitude.
Tabela 1.16 - Estaturas de 40 alunos do curso de Administração/UCDB/09
K Estatura (cm) Frequência Xi
1 150 ├ 154 4 152
65 ampitude xx =+⇒
2 154 ├ 158 9 156
65 ampitude xx =+⇒
3 158 ├ 162 11 160
65 ampitude xx =+⇒
4 162 ├ 166 8 164
65 ampitude xx =+⇒
5 166 ├ 170 5 168
65 ampitude xx =+⇒
6 170 ├ 174 3 172
∑ if
Total 40
Agora vamos completar a Tabela 1.16 com todas as frequências e ponto 
médio:
Tabela 1.17 - Estaturas de 40 alunos do curso de Administração/UCDB/09
K Estatura (cm) Fi Fa F% Fa% 
1 150 ├ 154 4 4 10,0 10,0 152
2 154 ├ 158 9 13 22,5 32,5 156
3 158 ├ 162 11 24 27,5 60,0 160
4 162 ├ 166 8 32 20,0 80,0 164
5 166 ├ 170 5 37 12,5 92,5 168
6 170 ├ 174 3 40 7,5 100,0 172
Total 40 100
1.6.7 Número de classes ou intervalos de classe
A primeira preocupação que temos, na construção de uma distribuição 
de frequência, é a determinação do número de classes e, consequentemente, da 
amplitude e dos limites dos intervalos de classe. Para a determinação do número 
de classes de uma distribuição, podemos lançar mão de duas regras que nos dá o 
número de classes em função do número de valores da variável: Regra da raiz ou 
a Regra de Sturges:
a) Regra da raiz: dar preferência ao seu uso quando os dados da pesquisa 
não superarem 60 elementos.
nk = , onde k é o número de classes e n é o número de dados obser-
1.6.4 Amplitude total da distribuição
A amplitude total da distribuição (AT) pode ser calculada pela diferença 
entre o maior valor do rol, quando estamos trabalhando com os dados em rol ou 
é a diferença ente o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o 
limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo):
AT = x (máx) – x (mín) → cálculo para o rol
AT = ls (máx.) – li (mín.) → cálculo para tabela de distribuição de fre-
quência 
Em nosso exemplo, temos: AT = 174 – 150 = 24 → AT = 24 cm
Observação: É evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, 
verificamos a relação:
 Em nosso exemplo: K= 
1.6.5 Amplitude amostral
Amplitude amostral (AA) é a diferença entre o valor máximo e o valor 
mínimo do rol da amostra:
Em nossos exemplos temos:
Rol do n° de irmãos: AA = 8 – 0 = 8 irmãos / acadêmico
Rol das estaturas de 40 alunos de uma sala da UCDB /09: AA = 173 – 150 
= 23 cm
Observe que a amplitude total da distribuição pode não coincidir com a 
amplitude amostral.
1.6.6 Ponto médio de uma classe
Ponto médio de uma classe (xi) é, como o próprio nome indica, o ponto 
que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.
Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos a semissoma dos 
limites da classe (media aritmética):
 
2
sllx ii
+
=
Assim, o ponto médio da segunda classe, em nosso exemplo, é:
cm156x156
2
158154x
2
x 22
2s2
2 =⇒=
+
=⇒
+
=
ll i
2928 UCDB VirtualUCDB Virtual intervalo de classe.
k
xxa minmax −= 
3° Passo: Montar a tabela contendo:
• Título completo
• Cabeçalho: variável, frequência, frequência acumulada, frequência per-
centual e frequência percentual acumulada, como por exemplo:
Tabela 1.18 - Idades dos jovens da comunidade “Amor e Paz”
(Variável) 
Idade
F Fa F% Fa%
4° Passo: Para montar os intervalos da variável, deve-se começar com 
o menor valor do rol e somar com a amplitude de classe calculada no 2° passo. 
Repete-se o valor do limite superior na próxima classe como o limite inferior (por 
exemplo: o limite superior da primeira classe é o limite inferior da segunda classe) 
e soma-se novamente com a amplitude da classe, até completar toda a coluna do 
intervalo de classe das variáveis.
Por exemplo: Se o menor valor do rol for 10 (Xmin = 10) e a amplitude 
calculada igual a 2 (a = 2), teremos:
Para a primeira classe o intervalo 10 ├ 12, onde 10 é o limite inferior, 
incluído no intervalo, e 12 o limite superior, não pertencendo ao intervalo;
Para a segunda classe o intervalo 12 ├ 14, onde 12 é o limite inferior, 
incluído no intervalo, e 14 o limite superior, não pertencendo ao intervalo;
Para a terceira classe o intervalo 14 ├ 16, onde 14 é o limite inferior, 
incluído no intervalo, e 16 o limite superior, não pertencendo ao intervalo;
Para a quarta classe o intervalo 16 ├ 18, onde 16 é o limite inferior, 
incluído no intervalo, e 18 o limite superior, não pertencendo ao intervalo;
Para a quinta classe o intervalo 18 ├ 20, onde 18 é o limite inferior, 
incluído no intervalo, e 20 o limite superior, não pertencendo ao intervalo; e assim 
vamos repetindo até completar a última classe, determinada no primeiro passo.
vados.
b) Regra de Sturges: deverá ser usada quando n > 60.
n log3,31 ⋅+≅k , onde k é o numero de classe e n é o número total 
de dados.
Decidido o número de classes que deve ter a distribuição, resta-nos re 
solver o problema da determinaçãoda amplitude do intervalo de classe, o que 
conseguimos dividindo a amplitude total pelo número de classes:
Quando o resultado não é exato, devemos arredondá-lo para mais. Outro 
problema que surge é a escolha dos limites dos intervalos, os quais deverão ser tais 
que forneçam, na medida do possível, para pontos médios, números que facilitam 
os cálculos. 
Em nosso exemplo, temos:
Para a Tabela 1.17, onde n = 40, pela regra da raiz 
 , ou seja, temos k = 6
Logo: a = ,48,3
6
23
6
150173
===
−
 isto é, seis classes de intervalos 
iguais a 4.
1.7 Regra Prática para construir uma distribuição de frequên-
cia com dados agrupados (intervalos de classe) 
Para facilitar a construção de uma distribuição de frequência com interva-
lo de classe, usaremos os seguintes passos:
1° Passo: Determinar a quantidade de classes da distribuição, utilizando 
uma das fórmulas:
a) , ou 
b) nk = ; onde n é a quantidade de elementos da amostra ou o total 
de dados observados.
Observação: O valor de K deve ser sempre arredondado para um núme-
ro inteiro por significar quantidade de classes.
2° Passo: Calcular o valor da amplitude: a medida do tamanho de cada 
3130 UCDB VirtualUCDB Virtual 4° Passo: Montar os intervalos da variável, começando com o menor valor 
do rol (10) e somar com a amplitude de classe calculada no 2° passo (a = 2). Repe-
te-se o valor do limite superior na próxima classe como limite inferior da próxima 
classe, até completar toda a coluna do intervalo de classe das variáveis. Na última 
classe, o valor 20 também pertence ao intervalo.
Tabela 1.18 - Idades dos jovens da comunidade “Amor e Paz”
 Idade F Fa F% Fa%
10 ├ 12
12 ├ 14
14 ├ 16
16 ├ 18
18 ├ 20
5° Passo: Vamos preencher a coluna da frequência simples, contando 
quantos números existem no rol dentro de cada intervalo numérico.
12 15 13 17 18 20 15 17 12 10
13 14 15 16 18 19 20 17 15 12
10 11 13 15 17 19 14 16 20 18
Tabela 1.18 - Idades dos jovens da comunidade “Amor e Paz”
 Idade F Fa F% Fa%
10 ├ 12 3
12 ├ 14 6
14 ├ 16 7
16 ├ 18 6
 18 ├ 20 8
Podemos agora completar as frequências acumuladas, frequências relati-
vas, frequências relativas acumuladas.
Para a frequência acumulada: Vamos somar cada classe com a anterior 
até a última.
Para a frequência relativa usamos a seguinte fórmula: 
 
Tabela 1.18 - Idades dos jovens da comunidade “Amor e Paz”
(Variável) 
Idade F Fa F% Fa%
10├ 12
12├ 14
14├ 16
16├ 18
18├ 20
5° Passo: Para preencher a coluna da frequência simples, basta contar 
quantos números existem no rol dentro de cada intervalo numérico.
Para entendermos melhor, vamos realizar os passos juntos, em exem-
plos:
Exemplo 1. Foi realizado um levantamento das idades de 30 jovens de 
uma comunidade, para realizarem estudos sobre o lazer desta comunidade. 
12 15 13 17 18 20 15 17 12 10
13 14 15 16 18 19 20 17 15 12
10 11 13 15 17 19 14 16 20 18
1° Passo: Determinar a quantidade de classes da distribuição utilizando a 
fórmula da raiz, pois n = 30
2° Passo: Calcular o valor da amplitude (medida do tamanho de cada 
classe)
 
3° Passo: Montar a tabela contendo título completo, variável, frequência, 
frequência acumulada, frequência percentual e frequência percentual acumulada, 
como por exemplo:
Tabela 1.18 - Idades dos jovens da comunidade “Amor e Paz”
 Idade F Fa F% Fa%
3332 UCDB VirtualUCDB Virtual Tabela 1.19 - Resistência à ruptura de blocos de concreto da empresa Con-
cretex/SP/08
 Resistência 
à ruptura (Xi)
F Fa F% Fa%
4° Passo: Para montar os intervalos da variável, começando com o menor 
valor do rol (30,0) e somar com a amplitude de classe calculada no 2° passo (a = 
5,8). Repete-se o valor do limite superior na próxima classe como o limite inferior 
da próxima classe, até completar toda a coluna do intervalo de classe das variá-
veis. 
Tabela 1.19 - Resistência à ruptura de blocos de concreto da empresa Con-
cretex/SP/08
Resistência à 
ruptura (Xi) F Fa F% Fa%
30,0 ├ 35,8
35,8 ├ 41,6
41,6 ├ 47,4
47,4 ├ 53,2
53,2 ├ 59,0
59,0 ├ 64,8
64,8 ├ 70,6
5° Passo: Vamos preencher a coluna da frequência simples, contando 
quantos números existem no rol dentro de cada intervalo numérico.
30,0 32,6 39,6 41,6 43,0 45,7 46,8 47,9 48,5 49,2
50,0 50,1 50,6 51,3 52,5 53,2 54,5 54,6 54,8 54,9
55,2 55,2 55,3 55,4 55,5 55,6 55,8 55,8 55,8 55,9
55,9 60,0 60,3 60,4 60,4 60,5 60,6 60,7 60,8 60,8
60,9 61,2 61,4 61,5 61,7 61,8 62,3 63,6 64,8 70,1
Para a frequência relativa acumulada: Basta somar cada frequência relativa, 
com a classe anterior até a última
 Tabela 1.18 - Idades dos jovens da comunidade “Amor e Paz”
 Idade F Fa F% Fa%
10 ├ 12 3 3 10 10
12 ├ 14 6 9 20 30
14 ├ 16 7 16 23,33 53,33
16 ├ 18 6 22 20 73,33
 18 ├ 20 8 30 26,67 100
Total 30 100%
Exemplo 2. Foi realizado um ensaio amostral de 50 corpos de prova de 
concreto para determinar a resistência à ruptura, na Empresa Concretex / SP/08. 
Os dados obtidos foram:
30,0 32,6 39,6 41,6 43,0 45,7 46,8 47,9 48,5 49,2
50,0 50,1 50,6 51,3 52,5 53,2 54,5 54,6 54,8 54,9
55,2 55,2 55,3 55,4 55,5 55,6 55,8 55,8 55,8 55,9
55,9 60,0 60,3 60,4 60,4 60,5 60,6 60,7 60,8 60,8
60,9 61,2 61,4 61,5 61,7 61,8 62,3 63,6 64,8 70,1
1° Passo: Determinar a quantidade de classes da distribuição utilizando a 
fórmula da raiz, pois n = 50
 
2° Passo: Calcular o valor da amplitude (medida do tamanho de cada 
classe)
 
3° Passo: Montar a tabela, contendo título completo, variável, frequência, 
frequência acumulada, frequência percentual e frequência percentual acumulada, 
como no exemplo:
3534 UCDB VirtualUCDB Virtual Tabela 1.19 - Resistência à ruptura de blocos de concreto da empresa Con-
cretex/SP/08
Resistência à 
ruptura (Xi) 
F Fa F% Fa%
30,0 ├ 35,8 2
35,8 ├ 41,6 1
41,6 ├ 47,4 4
47,4 ├ 53,2 8
53,2 ├ 59,0 16
59,0 ├ 64,8 17
64,8 ├ 70,6 2
Podemos agora completar as frequências acumuladas, frequências relati-
vas, frequências relativas acumuladas.
Para a frequência acumulada: Vamos somar cada classe com a anterior 
até a última
Para a frequência relativa usamos a seguinte fórmula:
 
Para a frequência relativa acumulada: Basta somar cada frequência 
relativa, com a classe anterior até a última
Tabela 1.19 - Resistência à ruptura de blocos de concreto da empresa Con-
cretex/SP/08
Resistência à 
ruptura (Xi) F Fa F% Fa%
30,0 ├ 35,8 2 2 4 4
35,8 ├ 41,6 1 3 2 6
41,6 ├ 47,4 4 7 8 14
47,4 ├ 53,2 8 15 16 30
53,2 ├ 59,0 16 31 32 62
59,0 ├ 64,8 17 48 34 96
64,8 ├ 70,6 2 50 4 100
50 100%
Lista de exercícios 1
1. O Detran/MS realizou um levantamento amostral no Cruzamento “X” em 
Campo Grande para saber o nº de acidentes por mês. Qual a distribuição de 
frequência (f, fa, f%, fa%) que mostra o fenômeno estudado durante 30 me-
ses?
1 2 1 1 1 3 1 1 2 2 2 3 0 0 0 
3 1 1 2 1 3 2 4 0 0 0 0 4 0 1 
a)Número de acidentes ocorridos/mês no Cruzamento “X” em Campo Grande
Fonte: DETRAN/MS (* dados coletados durante 30 meses)
b) Número de acidentes ocorridos/mês no Cruzamento “X” em Campo Grande
Fonte: DETRAN/MS (* dados coletados durante 30 meses)
c) Número de acidentes ocorridos/mês no Cruzamento “X” em Campo Grande
Fonte: DETRAN/MS (* dados coletados durante 30 meses)
d) Número de acidentes ocorridos/dia no Cruzamento “X” em Campo 
Grande/2008
Fonte: DETRAN/MS (* dados coletados durante 30 meses)
3736 UCDB VirtualUCDB Virtual
2. Um grupo de alunos do 3º semestre do curso de ADM/PÚBLICA/UCDB/07 
realizou um levantamento com o tempo de atendimento na Secretaria de Admi-
nistração do Estado. Foram encontrados os seguintes resultados em minutos:
Qual a distribuição de frequência (f,fa, f% fa%), que utilizou a fórmula 
de Sturges para o cálculo do número de classes? Considere a amplitude de clas-
ses “a” com uma casa decimal.
a) Tempo de atendimento na Secretaria de Administração do Estado/CG/07
b) Tempo de atendimento na Secretaria de Administração do Estado/CG/07
Fonte: Pesquisa Interna SEADM/MS
c) Tempo de atendimento na Secretaria de Administração do Estado/CG/07
Fonte: Pesquisa Interna SEADM/MS
d) Tempode atendimento na Secretaria de Administração do Estado/CG/07
Fonte: Pesquisa Interna SEADM/MS
3. Os resultados a seguir são de uma pesquisa feita na Secretaria de Abas-
tecimento/MS, no período de 50 dias de 2007, para saber o nº de pessoas/
dia atendidas. Qual a distribuição de frequência (f, fa, f%, fa%) que mostra o 
fenômeno estudado?
a) Número de pessoas atendidas/dia na Secretaria de Abastecimento/MS
Fonte: SEAB/MS (* dados coletados durante 50 dias)
b) Número de pessoas atendidas/dia na Secretaria de Abastecimento/MS
Fonte: SEAB/MS (* dados coletados durante 50 dias)
c) Número de pessoas atendidas/dia na Secretaria de Abastecimento/MS
Fonte: SEAB/MS (* dados coletados durante 50 dias)
3938 UCDB VirtualUCDB Virtual
d) Número de pessoas atendidas/dia na Secretaria de Abastecimento/MS/07
Fonte: SEAB/MS (* dados coletados durante 50 dias)
4. Em um treino para a participação na corrida de São Silvestre, um grupo de 
56 pessoas registrou os seguintes tempos para percorrer o trajeto determinado. 
Qual a distribuição de freqüência que representa o referido treino?
a) Número de pessoas por tempo utilizado para percorrer o trajeto na corrida de São 
Silvestre
b) Número de pessoas por tempo utilizado para percorrer o trajeto na corrida de São 
Silvestre
c) Número de pessoas por tempo utilizado para percorrer o trajeto na corrida de São 
Silvestre
d) Número de pessoas por tempo utilizado para percorrer o trajeto na corrida de São 
Silvestre
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no 
ambiente virtual de aprendizagem.
Exercício pontuado 1.1
1. Uma empresa fabricante do sabão X interessada em melhorar as vendas, 
encomendou uma pesquisa ao Departamento de Marketing da Empresa Ten-
dência. Foi realizado um levantamento em Campo Grande, em 2006, para de-
terminar hábitos de compra/mês de quem compra o sabonete X e obtiveram 
os seguintes resultados:
2 4 5 3 6 7 4 3 5 4 2 3 1 5 4 3 6 4 5 7 6 8 4 3 2 4 3 1 5 4 6 4 5 3 2 
3 3 4 5 2 5 3 5 2 4 4 3 4 4 2 4 5 6 4
1.1 Qual a distribuição de frequência?
a) 
b) 
4140 UCDB VirtualUCDB Virtual
c) 
d) 
1.2 Que percentual da pesquisa corresponde até 3 compras/mês? 
a)57,5%
b) 20,4 %
c) 37,1 %
d) 66,7 %
1.3 Que percentual da pesquisa corresponde a 2 compras/mês?
a)16,7 %
b) 7 %
c) 20,4%
d) 13 %
2. A mesma Empresa, no mesmo período, fez uma pesquisa para saber a faixa 
etária das pessoas que preferem o sabonete X e obteve os seguintes resulta-
dos:
10,0 10,5 10,7 10,7 10,8 10,9 11,0 11,3 11,4 11,5 11,7 12,0 12,4 12,6 12,9 13,0 
13,5 13,9 13,9 14,0 14,3 14,6 14,7 14,8 14,9 15,2 15,6 15,7 15,8 15,9 16,2 16,3 
16,4 16,4 16,5 16,7 16,8 17,2 17,4 17,5 17,6 17,6 18,0 18,4 18,0 18,5 18,7 18,9 
19,0 19,2 19,3 19,5 19,7 19,9 19,9 20,2 20,3 20,4 21,6 22,6 23,9 24,6 25,7 27,8 
28,9 30,5 32,6 34,6 37,8 40,6 48,9 57,0
Qual a distribuição de frequência (f, fa, f%, fa%)? Utilize a fórmula de Sturges 
para o cálculo do número de classes e trabalhe com uma casa decimal a ampli-
tude de intervalo de classe.
a)
b)
c)
d)
3. Uma pesquisa feita pelos alunos do 3º semestre de Ciências Contábeis/
UCDB/06, com uma amostra de 90 pessoas para saber a idade dos moradores 
de um bairro da capital, obteve os seguintes resultados:
Complete o que falta na distribuição de frequência e responda:
3.1 Qual o nº. de classes?
a) 9
b) 8
c) 15
d) 16
4342 UCDB VirtualUCDB Virtual
3.2 Qual o limite inferior da quarta classe?
a) 27
b) 36
c) 18
d) 9
3.3 Qual o limite superior da segunda classe?
a) 36
b) 9
c) 27
d) 18
3.4 Qual a amplitude de intervalo de classe?
a) 15
b) 8
c) 9
d) 7
3.5 Qual a frequência de terceira classe?
a) 13
b) 11
c) 17,8
d) 14,4 
3.6 Qual a frequência relativa da segunda classe?
a) 0,17%
b) 14,4%
c) 0,14%
d) 17,8%
3.7 Qual o percentual de moradores que têm idade de 18 36 anos?
a) 12,2%
b) 48,8%
c) 26,6%
d) 61,0%
3.8 Qual o percentual de moradores que têm idade 0 54 anos? 
a) 74,3%
b) 85,5%
c) 94,3%
d) 8,9%
Submeta a atividade por meio da ferramenta Questionário.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
CRESPO, Antonio. Estatística fácil. 3. ed. São Paulo: Saraiva. 1989.
Podemos observar que os estudos que até agora realizamos nos permitem 
descrever os valores que uma variável pode assumir através da distribuição de fre-
quência. Podemos também localizar a maior concentração de valores de uma dis-
tribuição. Porém, ocorre que poderia ser muito difícil trabalhar com a distribuição 
de frequência completa, razão pela qual se costuma lançar mão de determinadas 
medidas. Há diversas medidas que sumarizam certas características importantes 
da distribuição de frequência. Isto é, tais medidas possibilitam condensar as in-
formações para esclarecer a fase analítica da Estatística Descritiva. Nesta unidade 
necessitamos introduzir conceitos que expressam, através de números, essas carac-
terísticas e tendências. Esses conceitos são denominados: 
• Medidas de Posição ou Medidas de Tendência Central;
• Medidas de Posição ou Medidas Separatrizes;
• Medidas de Variabilidade ou Dispersão;
• Medidas de Assimetria e Curtose.
2.1 Média Aritmética: Simples e Ponderada
A medida de tendência central mais comumente utilizada para descrever 
resumidamente uma distribuição de frequência é a média, ou mais propriamente, 
a média aritmética. Há vários tipos de médias, que serão estudados a seguir: média 
aritmética simples e ponderada, média geométrica simple e ponderada, média har-
mônica simples e ponderada.
Na média aritmética, temos como símbolo: (lê-se ‘x traço’ ou ‘x barra’).
2.1.1 Média Aritmética Simples
A média aritmética simples de um conjunto de números é igual à divisão 
entre a soma dos valores do conjunto e o número total de valores.
Exemplo: Determine a média aritmética simples dos valores: 
5, 3, 12, 9, 1.
UNIDADE 2: MEDIDAS DE 
TENDÊNCIA CENTRAL OBJETIVOS DA UNIDADE: Habilitar o alu-
no para a realização de cálculos das medi-
das de tendência central. Permitir ao alu-
no localizar a média, a mediana e a moda 
de um conjunto de dados observados. 
Levar o aluno a perceber a diferença que 
existe entre simetria e assimetria em fun-
ção das medidas de tendência central.
4544 UCDB VirtualUCDB Virtual
 ou simplesmente 
Onde
 =xi Valor genérico da observação
 =n Número das observações, ou seja, número de elementos do 
conjunto
 A média aritmética simples será calculada sempre que os valores 
não estiverem tabulados, ou seja, quando aparecerem representados individual-
mente. Ou ainda, a média de dados não agrupados é realizada por meio da média 
aritmética simples.
Acompanhe mais alguns exemplos: 
Determine a média aritmética para os seguintes conjuntos de valores:
1. 
2. 
3. 
2.1.2 Média Aritmética Ponderada 
Calcula-se a média aritmética ponderada quando os valores do conjunto 
tiverem pesos diferentes. Obtém-se uma média ponderada através da divisão en-
tre a somatória dos produtos de cada variável pelo respectivo peso (frequência) e 
a somatória dos pesos (somatória das frequências).
Exemplo: Admitimos que as notas atribuídas a vinte alunos em um teste 
de estatística sejam as seguintes, dispostas em ordem crescente: 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 
7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9.
Como os valores da variável aparecem repetidos, é possível adotar o núme-
ro de observações ou frequência de cada um deles como peso ou fator de pondera-
ção. Podemos verificar que a nota oito aparece cinco vezes. Portanto, é indiferente, 
para cálculo da média somar o número oito cinco vezes ou multiplicar esse valor 
por cinco: 8+8+8+8+8 = 5x8 = 40
Então,
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência, 
usaremos a média aritmética dos valores x1, x2, ..., xk, ponderados pelas respec-
tivas frequências absolutas: f1, f2, ..., f k, a média aritmética doconjunto será 
calculada por:
∑
∑
==
f
fx
i
k
i
ii
x 1 ou 
n
fxx ii∑=
Lembre-se de que: nf i =∑ = número total de observações.
 xi: Valor da variável ou pontos médios de classes. 
 k: Quantidade de classes ou de valores individuais diferentes da variável.
Um dispositivo prático para esse cálculo é a composição da seguinte tabe-
la:
 
Tabela 2.1 – Notas dos alunos de uma turma
ix ii fx
5
6
7
8
9
1
5
6
5
3
5x1 = 5
6x5 = 30
7x6 = 42
8x5 = 40
9x3 = 27
20 144
6
ii fx
4746 UCDB VirtualUCDB Virtual
144 7,2
Quando os valores estão agrupados em classes, a tabela requer mais uma 
coluna, necessária para dispor os pontos médios das classes. Portanto, vejamos o 
exemplo:
Tabela 2.2 - Notas de Teste de Raciocínio Oral de Acadêmicos da 
UCDB/06
Notas fi
10├ 20
20├ 30
30├ 40
40├ 50
50├ 60 
5
10
15
10
5
15
25
35
45
55
75
250
525
450
275
Veja alguns exemplos: 
1. A tabela 2.3 representa as idades de crianças em Recreações. Determine 
a idade média das crianças:
Tabela 2.3 - Idade de crianças em recreações
ix
6
7
8
9
10
5
9
10
12
8
30
63
80
108
80
44 361
A idade média dos acadêmicos é 8,2 anos
2. A tabela 2.4 a seguir representa as notas das provas de uma turma de 
acadêmicos da UCDB/08.
Tabela 2.4 - Notas dos acadêmicos
Notas fi
2
si
i
llx += ii fx
0 ├ 20
20├ 40
40├ 60
60├ 80
80├ 100 
4
5
10
15
9
10
30
50
75
90
40
150
500
1125
810
43 ∑ = 2625fx ii
 
A nota média dos acadêmicos foi de 61,05 pontos.
Lista de exercícios 2.1
1. Calcule a média aritmética simples da sequência abaixo e marque a alterna-
tiva correta:
1, 8, 9, 4, 6, 7, 3, 1, 3, 5
a) 5,00 c) 4,72
b) 4,70 d) 4,84
2. Calcule a média aritmética simples das sequências abaixo e marque a alter-
nativa correta:
1,1 2,8 2,9 3,4 2,6 1,7 3,3 4,1 4,3 3,8 4,5 5,7
a) 3,54 c) 3,35
b) 3,45 d) 3,40
3. Calcule a média aritmética ponderada da tabela abaixo e marque a alterna-
tiva correta:
Número de acidentes ocorridos/mês no Cruzamento “X” em Campo Grande
a) 0,95 acidentes/mês c) 1 acidente/mês
b) 0,96 acidentes/mês d) 0,97 acidente/mês
ii fx
4948 UCDB VirtualUCDB Virtual
4. Calcule a média aritmética ponderada da tabela abaixo e marque a alterna-
tiva correta:
Número de acidentes/mês dos funcionários acidentados /mês da 
ENERSUL/MS/07
a) 4,5 acidentes/mês c) 5 acidentes/mês
b) 4,2 acidentes/mês d) 4 acidente/mês
5. Calcule a média aritmética ponderada da tabela abaixo e marque a alterna-
tiva correta:
Diâmetros de 210 Parafusos da Fábrica Lenty Ltda/Abril/03
a) 0,50 cm c) 0,55 cm
b) 0,56 cm d) 0,54 cm
6. Calcule a média aritmética ponderada da tabela abaixo e marque a alterna-
tiva correta:
Índice Beta de Poluição Ambiental
a) 1,91 c) 2,00
b) 1,90 d) 1,92 
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no 
ambiente virtual de aprendizagem.
2.2 Média Geométrica
Média geométrica de n valores é definida, genericamente, como a raiz 
n-ésima do produto de todos eles. A média geométrica pode ser simples ou 
ponderada.
2.2.1 Média Geométrica Simples
Com n valores x1, x2, ..., xn, a média geométrica desses valores será:
 ou n ig xx Π=
A letra ∧ (pi maiúsculo) é o símbolo para indicar o produto ou também 
chamado de produtório dos valores da variável. Utilize a calculadora científica para 
o cálculo da média geométrica.
Exemplos: Calcular a média geométrica dos conjuntos de números:
a) X = {12, 55, 48} Então: x1 = 12, x2 = 55, x3 = 48 e n = 3
 ou 
b) Y = {4, 7, 9, 6} Então: x1 = 4; x2 = 7; x3 = 9; x4 = 6 e n = 4
c) Z= { 2, 4, 20, 72} Então: x1 = 2; x2 = 4; x3 = 20; x72 = 72 e n = 4
Utilize a calculadora científica para o cálculo da média geométrica deste 
último exemplo, seguindo os seguintes passos (Calculadora fx -350 MS): 
5150 UCDB VirtualUCDB Virtual
• Digite n, que é o índice da raiz a ser calculada, ou seja 4; aperte a tecla 
da raiz x (use a tecla SHIFT e ∧ ). Na calculadora você verá: 
x4 .
• Continuando abriremos um parêntese para efetuar o produto dos valo-
res (2x4x20x72). Na calculadora você verá .
• Agora aperte a tecla igual = e já aparecerá o resultado → 10,36008026 
= 10,36
Para usar outras calculadoras, primeiro deve verificar como funcionam. 
Os passos a seguir podem mudar dependendo da calculadora.
Acompanhe outros exemplos:
1.
2.
3.
2.2.2 Média Geométrica Ponderada
A média geométrica ponderada de um conjunto de números dispostos em 
uma tabela de frequências é calculada por meio da seguinte expressão:
∑
= ⋅⋅⋅=
k
i
i
kii
f
f
k
ff
ig xxxx 1 )(2 
∑= = ∏
=
k
i
fi fi
i
k
i
g Xx 1
1
Lembre-se que: 
Exemplo: Calcular a média geométrica para a distribuição de dados fictí-
cios:
Tabela 2.5 – Exercícios resolvidos por semana pelos alunos
xi fi
2
4
8
24
4
2
2
1
Resolução:
Acompanhe os exemplos: 
1. Calcular a média geométrica ponderada do conjunto: 
2. Calcular a média geométrica ponderada do conjunto: 
2.3 Média Harmônica
A média harmônica de um conjunto de valores xi é o inverso da média 
aritmética dos inversos dos valores.
2.3.1 Média Harmônica Simples
Dado o conjunto de n valores nxxxx ,...,, 32,1 ; a média harmônica do 
conjunto será:
∑∑
==
=⇒=
n
i i
hn
i i
h
x
nx
n
x
x
11
11
1
5352 UCDB VirtualUCDB Virtual Exemplo: Calcular a média harmônica simples:
Acompanhe alguns exemplos: 
1. 
2. 
 
3.
2.3.2 Média Harmônica Ponderada
A média harmônica ponderada de um conjunto de números, dispostos em 
uma tabela de frequências, é dada pela seguinte expressão:
Exemplo: Calcular a média harmônica dos dados da tabela a seguir:
Tabela 2.6 – Quantidade de exercícios resolvidos pelos alunos
Classes xi fi
fi
xi
1 ├ 3
3 ├ 5 
5 ├ 7
7 ├ 9
9 ├ 11 
2
4
6
8
10
2
4
8
4
2
2/2=1,00
4/4=1,00
8/6=1,33
4/8=0,50
2/10=0,20
Então temos:
Acompanhe alguns exemplos:
1. Determinar a média harmônica dos dados da tabela:
5554 UCDB VirtualUCDB Virtual Tabela 2.7 – Valores gastos em uma lanchonete
Classes fi
10 ├ 14
14 ├ 18 
18 ├ 22
22 ├ 26
26 ├ 30 
4
5
8
6
4
Primeiro vamos determinar o ponto médio Xi de cada classe e o valor de 
i
i
x
f
Tabela 2.7 – Valores gastos em uma lanchonete
Classes xi fi
10 ├ 14
14 ├ 18 
18 ├ 22
22 ├ 26
26 ├ 30 
12
16
20
24
28
4
5
8
6
4
4/12=0,33
5/16=0,31
8/20=0,40
6/24=0,25
4/28=0,14
Então temos:
 Determinar a média harmônica dos dados da tabela:
Tabela 2.8 – Idades dos participantes de uma olimpíada de matemática
Classes fi
15 ├ 20
20 ├ 25 
25 ├ 30
30 ├ 35
35 ├ 40 
2
4
7
3
2
Primeiro vamos determinar o ponto médio Xi de cada classe e o valor de 
Tabela 2.8 – Idades dos participantes de uma olimpíada de matemática
Classes xi fi
15 ├ 20
20 ├ 25 
25 ├ 30
30 ├ 35
35 ├ 40 
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
2
4
7
3
2
2/17,5=0,11
4/22,5=0,18
7/27,5=0,25
3/32,5=0,09
2/37,5=0,05
Então temos:
Lista de exercícios 2.2
1. Calcule a média geométrica e a média harmônica simples da sequência abai-
xo e marque a alternativa correta. 
a) c) 
b) d) 
2. Calcule a média geométrica e a média harmônica simples das sequências 
abaixo e marque a alternativa correta: 
{1; 2,8; 2,9; 3,4; 2,6; 1,7; 3,3; 4,1; 4,3; 3,8; 4,5; 5,7}
a) c) 
b) d) 
3. Calcule a média geométrica ponderada e a média harmônica ponderada da 
tabela abaixo e marque a alternativa correta: 
Número de acidentes/mês dos funcionários de uma empresa durante o ano 
de 2007.
Nº de acidentes/mês F 
1 1 
2 2 
3 2 
4 3 
5 3 
6 1 
 
 
5756 UCDB VirtualUCDB Virtual
2.4 Moda
Denominamos moda o valor mais frequente em uma série de valores. 
Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a moda. Quando afirmamos 
que o salário modal de uma empresa é o salário mais comum, queremos dizer que 
esse é o salário recebido pelo maior número de funcionários dessa empresa. Em 
1895, o termo moda foi utilizado primeiramente por Karl Pearson.
2.4.1 Moda para dados de valores não-tabulados
Quando lidamos com conjunto ordenado de valores, a modaserá o valor 
predominante, o valor que mais se repete.
Exemplo: 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10
Xmo = 9, pois é o valor mais frequente.
Evidentemente, um conjunto de valores pode não apresentar moda, isto 
é, nenhum valor aparece mais vezes que o outro. Neste caso, o conjunto de valo-
res é chamado de amodal.
Exemplos: 
a) 4, 5, 6, 7, 8 ou
b) 3, 3, 4, 4, 5, 5
Nestes exemplos, podemos perceber que não há predominância de ne-
nhum valor dos conjuntos sobre o outro, portanto os conjuntos são amodais.
Podemos ter conjuntos multimodais, podendo haver dois ou mais valores 
modais. Neste caso, o conjunto de valores é chamado bimodal. 
Acompanhe mais alguns exemplos:
1. A ( 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9,) → Xmo1 = 3 e Xmo2 = 6 Bimo-
dal
Tanto o valor 3 como o valor 6, apresentaram o maior número de obser-
vações.
2. B ( 6, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11) → Xmo1 = 6 e Xmo2 = 10 Bimodal
Tanto o valor 6 como o valor 10, apresentaram o maior número de obser-
vações.
3. C ( 6, 7, 7, 7, 7, 9, 10, 10, 10, 10, 12, 15) → Xmo1 = 7 e Xmo2 = 10 
Bimodal
Tanto o valor 6 como o valor 10, apresentaram o maior número de obser-
vações.
2.4.2 Cálculo da moda para valores tabulados
a) Sem intervalos de classe
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a 
moda: basta fixar o valor de variável de maior frequência.
Tabela 2.9 – Idades das crianças de uma comunidade
i Valor f
1 2 3
2 5 6
3 7 9
4 10 12
5 12 6
6 15 4
Na distribuição da Tabela 2.9, à frequência máxima (12) corresponde o 
valor 10 da variável. Logo: Xmo = 10
b) Com intervalos de classe
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. 
Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que 
está compreendido entre os limites da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto 
médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta.
Temos, então: Xmo = 
Onde:
li é o limite inferior da classe modal;
ls é o limite superior da classe modal.
Assim, para a distribuição:
a) c) 
b) d) 
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no 
ambiente virtual de aprendizagem.
5958 UCDB VirtualUCDB Virtual
Tabela 2.10 - Estaturas de 40 alunos do curso de Administração/
UCDB/06
i Estaturas (cm) fi
1 150 ├ 154 4
2 154 ├ 158 9
3 158 ├ 162 11 
4 162 ├ 166 8
5 166 ├ 170 5
6 170 ├ 174 3
Temos que a classe modal é i = 3, li = 158 e ls = 162.
 Vem: Xmo = 
 Logo: Xmo = 160 cm
 Observação: Para o cálculo da moda, há outros métodos mais 
elaborados, por exemplo, o que faz uso da fórmula de Czuber:
Xmo = 
 Na qual: li é o limite inferior da classe modal;
 a é a amplitude da classe modal;
 Δ1 = f(modal) - f(anterior);
 Δ2 = f(modal) - f(posterior).
Assim, para a distribuição da Tabela 2.10, temos:
 
Donde: 
 
Logo: Xmo = 159,6 cm
Quando estamos trabalhando com tabelas, devemos dar preferência à fór-
mula de Czuber.
Acompanhe mais alguns exemplos:
1. Observe a tabela, sem intervalo de classe, e determine a moda.
Tabela 2.11 – Idade das crianças de uma creche
i Valor fi
1 10 5
2 15 8
3 17 15
4 20 9
5 24 6
6 28 3
Na distribuição da Tabela 2.11, à frequência máxima (15) corresponde o 
valor 17 da variável. Logo: Xmo = 17
 2. Observe a tabela a seguir e complete o que se pede abaixo.
Tabela 2.12 - Gasto em viagem de turismo em Campo Grande/MS/06
i Custo (R$) fi
1 450 ├ 550 8
2 550 ├ 650 10
3 650 ├ 750 11
4 750 ├ 850 16
5 850 ├ 950 13
6 950 ├ 1.050 5
7 1.050 ├ 1.150 1
 
a) Qual é a classe modal? A classe modal é a classe de maior frequência → 
4ª classe, onde fi=16
b) Quais os limites (li e ls) da classe modal? li = 750 e ls = 850
c) Qual é a moda? 
3. Vamos resolver agora pela fórmula de Czuber: 
 
a) Qual é o limite inferior da classe modal? li = 750 
b) Qual é a amplitude da classe modal? a = 100
c) Qual é o valor do Δ1 [Δ1 = f(modal) - f(anterior)]? 
6160 UCDB VirtualUCDB Virtual
Lista de exercícos 2.3
Observe a tabela a seguir e complete o que se pede abaixo:
Tabela 2.6 - Custo/família em Campo Grande/MS/08
custos (R$)
1. Qual é a classe modal?
a) 850 950 c) 650 750
b) 750 850 d) 550 750
2. Qual o limite inferior da classe modal?
a) li = 750 c) li = 850
b) li = 650 d) li = 950
3. Qual a amplitude de classe modal?
a) 120 c) 100
b) 200 d) 150
4. Qual é o valor do 1 [ 1 = f(modal) - f(anterior)]?
a) 6 c) 5
b) 3 d) 4
5. Qual é o valor do 2 [ 2 = f(modal) - f(posterior)]?
a) 5 c) 4
b) 3 d) 2
6. Utilizando a fórmula de Czuber, o custo modal dessa pesquisa é:
a) xmo = R$812 c) xmo = R$813
b) xmo = R$812,50 d) xmo = R$813,50
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no 
ambiente virtual de aprendizagem.
2.5 A Mediana (Xmd)
Mediana
É outra medida de posição definida como o número que se encontra no 
centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. 
Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo 
uma ordem de grandeza, é o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos 
de mesmo número de elementos.
2.5.1 Cálculo da mediana para dados não tabulados dispostos em rol
 
Dada uma série de valores, como, por exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, 
de acordo com a definição de mediana, o primeiro passo é a ordenação (crescente 
ou decrescente) dos valores: 
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18.
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo núme-
ro de elementos à direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o 10, já que 
nessa série, há quatro elementos acima dele e quatro abaixo. Observemos que a 
série tem um número ímpar de elementos.
Temos, então: Xmd = 10
Se, porém, a série dada tiver um número par de elementos, a mediana será, 
por definição, a média aritmética dos dois termos centrais.
Assim, a série de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 tem para mediana a 
média aritmética entre 10 e 12.
Logo: Xmd = Donde: Xmd = 11
Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o 
número de elementos da série, o valor mediano será:
- o termo de ordem ,
2
1n + se n for ímpar, ou seja, 
 
- a média aritmética dos termos de ordem ,1
2
ne
2
n
+
 
se n for par, ou 
seja, 
Acompanhe alguns exemplos:
d) Qual é o valor do Δ2 [Δ2 = f(modal) - f(posterior)]? 
e) Qual é a moda?
6362 UCDB VirtualUCDB Virtual 1. Na série 3, 7, 8, 9, 12, 13, 16, 18, 20:
Como n = 9, ímpar, temos Logo, a mediana é o 5º termo da 
série, isto é: 
2. Na série 12, 16, 17, 20, 22, 23, 28, 31:
Como n = 8, temos Logo, a mediana é a média aritmé-
tica do 4º e 5º termos da série, isto é: 
Observações:
- O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série, 
como vimos. Quando o número de elementos da série é ímpar, há coincidência. 
O mesmo pode não acontecer, quando esse número for par.
- A mediana e a média aritmética não têm, necessariamente, o mesmo 
valor. Na primeira série apresentada, por exemplo, temos:
 
A mediana como podemos observar, depende da posição e não dos valo-
res dos elementos na série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre a 
mediana e a média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Esta 
propriedade da mediana pode ser constatada através dos exemplos:
5, 7, 10, 13, 15 
5, 7, 10, 13, 65 
Isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do pri-
meiro, por influência dos valores extremos, enquanto que a mediana permanece 
a mesma. 
A mediana é designada, muitas vezes, por valor mediano. 
2.5.2 Cálculo da mediana para dados tabulados
Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequência, o cálculo da 
mediana se processa de modo muito semelhante àquele dos dados não-agrupa-
dos, implicando, porém, a determinação prévia das frequências acumuladas. Ainda 
aqui, temos que determinar um valor tal que divida a distribuição em dois grupos 
que contenham o mesmonúmero de elementos. A posição da mediana de uma 
distribuição, a partir de qualquer um dos extremos, é dada por:
PXmd = 
a) Calculo da mediana para dados tabulados sem intervalos de clas-
se
Neste caso, basta identificar a frequência acumulada imediatamente supe-
rior à metade da soma das frequências. A mediana será aquele valor da variável que 
corresponde a tal frequência acumulada.
Tabela 2.13 - N° de meninos/família em uma comunidade
Nº de meninos fi
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
Tomemos a distribuição relativa à Tabela 2.13, completando-a com a colu-
na correspondente à frequência acumulada:
Tabela 2.13 - N° de meninos/família em uma comunidade 
Nº de meninos fi fa
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
6564 UCDB VirtualUCDB Virtual
Sendo: , em seguida devemos procurar o valor da mediana 
pela coluna de fa, ou seja, na coluna das frequências acumuladas; a menor fre-
quência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da 
variável, sendo então este o valor mediano. 
Logo: = 2 meninos / família 
Acompanhe mais alguns exemplos:
1. Na tabela temos as notas obtidas em testes pelos alunos de uma sala. 
Qual a pontuação mediana destes alunos.
Tabela 2.14 – Notas dos testes dos alunos do 1° ano
Notas fi fa
2 2 2
4 3 5
6 10 15
8 14 29
10 11 40
Sendo: . Em seguida devemos procurar o valor da media
na pela coluna de fa , na coluna das frequências acumulada. A menor 
freqüência acumulada que supera esse valor é 29, que corresponde ao valor 8 da 
variável, sendo então este o valor mediano. 
Logo: = 8 → a nota mediana desta turma é 8
2. Na tabela temos os valores pagos por contribuintes para uma ação so-
cial comunitária. Qual o valor mediano pago?
Tabela 2.15 - Valores pagos por contribuintes
Valores (R$) fi fa
10 18 18
15 15 33
20 10 43
25 12 55
30 8 63
Sendo: , em seguida devemos procurar o valor da me-
diana pela coluna de fa, na coluna das frequências acumuladas. A menor frequência 
acumulada que supera esse valor é 33, que corresponde ao valor 15 da variável, 
sendo então este o valor mediano. 
Logo: = 15 → o valor mediano pago pelos contribuintes é de R$ 
15,00
b) Cálculo da mediana para dados tabulados com intervalos de clas-
se 
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em 
que está compreendida a mediana.
Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a 
mediana - classe mediana. Tal classe será, evidentemente, aquela corresponden-
Lista de exercícios 2.4
Complete o esquema para o cálculo da mediana das distribuições:
1. 
2. 
 Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no am-
biente virtual de aprendizagem.
1.1 Qual é a posição da mediana?
a) 18
b) 17
c) 17,5
d) 18,5
1.2 Qual o valor do x que corresponde à posição da 
mediana?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
2.1 Qual é a posição da mediana?
a) 15,5
b) 15
c) 16
d) 16,5
2.2 Qual o valor do x que corresponde à posição da 
mediana?
a) 2
b) 3
c) 3,5
d) 2,5
6766 UCDB VirtualUCDB Virtual
te à frequência acumulada imediatamente superior a PXmd = .
Assim, considerando a distribuição da Tabela 2.10, acrescida das frequên-
cias acumuladas:
Tabela 2.16 - Estaturas de 40 alunos do curso de Administração/UCDB/08
Estaturas (cm) fi Fa
150 ├ 154 4 4
154 ├ 158 9 13
158 ├ 162 11 24 ←classe mediana
 162 ├ 166 8 32
166 ├ 170 5 37
170 ├ 174 3 40
Total 40
Temos: Pxmd = 
Como há 24 valores incluídos nas três primeiras classes da distribuição e 
como pretendemos determinar o valor que ocupa o 20º lugar, partimos do início 
da série e vemos que este deve estar localizado na terceira classe (i=3), supondo 
que as frequências dessas classes estejam uniformemente distribuídas. Como há 
11 elementos nessa classe e o intervalo de classe é igual a 4, devemos tomar, a 
partir do limite inferior, a distância: 
Aplicando a fórmula 
Temos: 
Então, a mediana será dada por:
Xmd = = 
Portanto: Xmd = 160,54 cm
Na prática, executamos os seguintes passos:
1º. Determinamos as frequências acumuladas.
2º. Calculamos PXmd = posição da classe mediana e, em seguida, 
empregamos a fórmula:
Xmd = 
Na qual: 
li é o limite inferior da classe mediana;
Fa(ant) é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
F (Xmd) é a frequência simples da classe mediana;
a é a amplitude do intervalo da classe mediana.
Tomando como exemplo a distribuição anterior, temos:
Logo, a classe mediana é a ordem 3. Então:
 
 F(ant) = 13, f(Xmd) = 11 e a = 4
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
Xmd = 158 + 
Isto é: Md = 160,54 cm
Acompanhe mais alguns exemplos:
1. Considere a tabela que apresenta os salários dos funcionários de uma 
empresa. Qual é o salário mediano destes funcionários?
Tabela 2.17 - Salário dos funcionários da empresa
Salários (R$) fi Fa
500 ├ 600 8 8
600 ├ 700 12 20
700 ├ 800 15 35
 800 ├ 900 18 53 ← classe mediana
 900 ├ 1000 16 69
1000 ├ 1100 8 77
Total 77
Temos: Pxmd = 
6968 UCDB VirtualUCDB Virtual
Há 53 valores incluídos nas quatro primeiras classes da distribuição e pre-
tendemos determinar o valor que ocupa o 38,5º lugar. Partindo do início da série, 
vemos que este deve estar localizado na quarta classe (i=4), supondo que as fre-
quências dessas classes estejam uniformemente distribuídas. Como há 18 elemen-
tos nessa classe e o intervalo de classe é igual a 100, vamos aplicar a fórmula, para 
o cálculo da mediana que será dada por:
Portanto: Xmd = 819,44 → O salário mediano dos funcionários da em-
presa é R$ 819,44.
Observação: No caso de existir uma frequência acumulada exatamente 
igual a , a mediana será o limite superior da classe correspondente.
Lista de exercícios 2.5
Complete o esquema para o cálculo da mediana da distribuição de frequência:
 
 Tabela - Custo/família de Campo Grande/MS/08
Complete a tabela e responda às questões.
1. Qual a posição do intervalo mediano?
a) 33 b) 32 c) 34 d) 35
c) Emprego da mediana 
Empregamos a mediana quando:
a) Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
b) Há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média;
c) A variável em estudo é salário, renda ou custo.
2.6 Posição Relativa da Média, Mediana e Moda
Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. Porém, 
a assimetria torna-as diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é a 
assimetria. Assim, em uma distribuição em forma de sino, temos:
x = xmd = Mo, no caso da curva simétrica.
Mo < xmd < x , no caso da curva assimétrica positiva.
x < xmd < Mo, no caso da curva assimétrica negativa.
2. Qual o limite inferior do intervalo mediano?
a) 650 b) 750 c) 850 d) 950
 
3. Qual a frequência acumulada anterior ao intervalo mediano?
a) 29 b) 45 c) 18 d) 11
4. Qual a frequência simples do intervalo mediano?
a) 16 b) 11 c) 13 d) 15
5. Qual a amplitude do intervalo de classe?
a) 120 b) 150 c) 110 d) 100
6. O custo/família mediano é:
a) 778,75 b) 768,75 c) 767 d) 788,7
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício 
no ambiente virtual de aprendizagem.
 
44,81944,19800100.
18
5,3800100
18
355,38800 =+=+=⋅


 −+=mdX
1
1
1
)(
1
2 a
f
Fa
f
lX
xmd
ant
imd ⋅












−
+=
∑
7170 UCDB VirtualUCDB Virtual
Exercício pontuado 2.1
1. Os salários-hora de dez funcionários de uma agência de Marketing são:
R$ 16,00; R$ 24,00; R$ 21,00 R$ 18,00; R$ 23,00
R$ 14,00; R$ 19,00; R$ 22,00; R$ 21,00; R$ 17,00
1.1 Qual é a media dos salários - hora?
a) R$ 20,00
b) R$ 19,50
c) R$ 21,00
d) R$ 19,80
1.2 Qual é a moda dos salários - hora?
a) R$ 21,00
b) R$ 19,50
c) R$ 24,00
d) R$ 18,50
1.3 Qual é a mediana dos salários-hora?
a) R$ 20,00
b) R$ 19,50
c) R$ 18,50
d) R$ 19,00
2. Uma estatística feita em 92 estabelecimentos comerciais, tendo em vista um 
estudosobre o número de empregados nesse setor, mostrou os seguintes re-
sultados.
Número de funcionários em 92 estabelecimentos comerciais em Campo 
Grande/MS - agosto/2006
2.1 Qual o número médio de funcionários/estabelecimento comercial?
a) 8,01
b) 8,32
c) 8,22
d) 9,22
2.2 Qual o número mediano de funcionários/estabelecimento comercial?
a) 7,00
b) 9,00
c) 10,00
d) 8,00
2.3 Qual é o número modal de funcionários/estabelecimento comercial?
a) 8,00
b) 9,00
c) 10,00
d) 6,00
3. A distribuição abaixo representa o consumo por cliente, em Kg, de um 
produto colocado em oferta em um supermercado da cidade, que limitou o 
consumo por cliente em 3 kg. Determinar:
Consumo da Oferta do Supermercado X em Campo Grande/MS - 
JULHO/2006
3.1 Qual o consumo médio?
a) 1,500 Kg
b) 1,704 Kg
c) 2,021 Kg
d) 1,775 Kg
3.2 Qual o consumo modal? 
a) 2,1 Kg
b) 1,5 Kg
c) 2,6 Kg
d) 1,8 Kg
3.3 Qual o consumo mediano?
a) 1,845 Kg
b) 1,754 Kg
c) 1,854 Kg
d) 2,156 Kg
4. Considere os dados a seguir: A {2,4,3,8,5,4,5,8}
4.1 Qual é a média aritimética?
a) 4,9
b) 4,5
c) 5,0
d) 4,8
4.2 Qual é a média geométrica?
a) 4,0
b) 4,5
c) 4,4
7372 UCDB VirtualUCDB Virtual
d) 5,0
4.3 Qual é a média harmônica?
a) 4,3
b) 4,0
c) 4,5
d) 4,4
4.4 Qual é a moda?
a) amodal
b) Xmo = 4,5
c) trimodal => Mo=4, Mo=5, Mo=8
d) bimodal => Mo=4 e Mo=5
4.5 Qual é a mediana?
a) 5,0
b) 4,0
c) 4,5
d) 4,8 
5. Considere a tabela a seguir:
 
5.1 Qual é a média aritimética?
a) 6,1
b) 6,0
c) 6,4
d) 6,9
5.2 Qual é a média geométrica?
a) 6,0
b) 5,9
c) 5,4
d) 6,4
5.3 Qual é a média harmônica?
a) 4,9
b) 5,2
c) 5,4
d) 4,6
5.4 Qual é a moda?
a) 2
b) 5
c) 7
d) 10
Submeta a atividade por meio da ferramenta Questionário.
Muitas vezes torna-se necessário conhecermos outras medidas, além das 
de Tendência Central. Assim, nesta unidade estudaremos medidas de posição cha-
madas Separatrizes: Mediana, quartis, decis e percentis.
Mediana é uma medida de posição que é simultaneamente, medida de ten-
dência central e medida separatriz. Por esse motivo a mediana foi estudada na 
Unidade 2. Assim, passaremos ao estudo do quartis, posteriormente dos decis e 
percentis.
Já estudamos que a mediana separa a série em duas partes iguais, e que 
cada parte contém o mesmo número de elementos. Contudo, uma mesma série 
pode ser dividida em duas ou mais partes que contenham a mesma quantidade de 
elementos. O nome da medida de posição separatriz será de acordo com a quanti-
dade de partes em que é dividida a série.
• Mediana: divide a série em duas partes iguais (Xmd);
• Quartis: divide a série em quatro partes iguais (Q1, Q2, Q3);
• Decis: divide a série em 10 partes iguais (D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, 
D9);
• Percentis: divide a série em 100 partes iguais (P1, P2, P3, ..., P99).
3.1 Quartis (QK)
Nos quartis, a série é dividida em quatro partes iguais. Os elementos sepa-
ratrizes da série são Q1, Q2, e Q3.
 25% 50% 75%
 
 Q1 Q2 Q3
 
Q1: é o primeiro quartil, corresponde à separação dos primeiros 25% de 
elementos da série.
Q2: é o segundo quartil, coincide com a mediana (Q2 = Md).
Q3: é o terceiro quartil, corresponde à separação dos últimos 25% de ele-
mentos da série, ou seja, os 75% dos elementos da série.
UNIDADE 3: MEDIDAS DE 
POSIÇÃO: MEDIDAS SE-
PARATRIZES
OBJETIVO DA UNIDADE: Perceber a ne-
cessidade dessas medidas para a inter-
pretação dos dados analisados. Identi-
ficar medidas separatrizes. Calcular as 
medidas separatrizes e saber interpretá-
las.
7574 UCDB VirtualUCDB Virtual Para o cálculo dos quartis utilizam-se técnicas semelhantes àquelas do cál-
culo da mediana. Consequentemente, podem-se utilizar as mesmas fórmulas do 
cálculo da mediana, levando em conta que a expressão será substituída por 
 , sendo K o número da ordem do quartil, em que K =1 corresponde ao pri-
meiro quartil; K = 2 corresponde ao segundo quartil e K = 3 ao terceiro quartil.
3.1.1 Cálculo do quartil para o rol
1° Passo: Determina-se a posição do Quartil. 
 
2° Passo: Identifica-se a posição mais próxima do rol.
3° Passo: Verifica-se quem está naquela posição.
Exemplo: Para calcular Q1, Q2 e Q3 para o conjunto de valores a seguir, 
se procede assim:
 
Inicialmente precisamos colocar os valores em ordem (rol):
a) Vamos utilizar os passos para o cálculo do 1° quartil:
1° Passo: Determina-se a posição do 1° quartil: 
 
2° Passo:
 
Identificar a posição 3
3° Passo: Procura-se no rol o valor do número que está na posição iden-
tificada.
O número que corresponde a 25% do rol é o valor 2.
b) Vamos utilizar os passos para o cálculo do 2° quartil:
1° Passo: Determina-se a posição do 2° quartil:
2° Passo: Identificar a posição 6
3° Passo: Procura-se no rol o valor do número que está na posição iden-
tificada.
O número que corresponde a 50% do rol é o valor 7
c) Vamos utilizar os passos para o cálculo do 3° quartil:
1° Passo: Determina-se a posição do 3° quartil: 
 
2° Passo: Identificar a posição 6
3° Passo: Procura-se no rol o valor do número que está na posição iden-
tificada.
O número que corresponde a 75% do rol é o valor 9
3.1.2 Cálculo do quartil para a tabela sem intervalo de classe
1° Passo: Calcula-se a posição do quartil.
2° Passo: É necessário inserir a coluna da frequência acumulada, e nela 
procurar o valor da posição do quartil.
3° Passo: O Valor do quartil será o valor da variável que corresponde 
àquela classe.
Exemplo: Para calcular os valores do Q1, Q2 e Q3 da tabela seguinte, pro-
cede-se assim:
Tabela 3.1 – Número de acidentes/mês no Cruzamento X em CG/07
N° de acidentes/mês f fa
0 4 4
1 6 10
2 9 19
3 5 24
4 4 28
7776 UCDB VirtualUCDB Virtual
a) Vamos calcular inicialmente Q1
1° Passo: Determinar a posição do 1° quartil (25%)
 
2° Passo: Procurar na coluna da fa a posição do 7° elemento.
3° Passo: A variável que corresponde à posição do 7° elemento é 1 (na 
segunda classe).
25% da pesquisa mostrou que este cruzamento teve 1 acidente / mês.
b) Vamos calcular o Q2
1° Passo: Determinar a posição do 2° quartil (50%)
 
2° Passo: Procurar na coluna da fa a posição do 14° elemento.
3° Passo: A variável que corresponde à posição do 14° elemento é 2 (na 
terceira classe).
50% da pesquisa mostrou que este cruzamento teve 2 acidentes/mês.
c) Vamos calcular o Q3
1° Passo: Determinar a posição do 3° quartil (75%)
 
2° Passo: Procurar na coluna da fa a posição do 21° elemento.
3° Passo: A variável que corresponde à posição do 21° elemento é 3 (na 
quarta classe).
75% da pesquisa mostrou que este cruzamento teve 3 acidentes / mês.
3.1.3 Cálculo do quartil em tabelas com intervalo de classe
Determina-se, inicialmente, a classe que contém o valor quartil a ser calcu-
lado. A identificação da classe é feita por meio do termo da ordem calculada pela 
expressão:
 
Essa expressão determina a posição do referente quartil ou classe que con-
tém o quartil. Assim, temos:
 
Sendo:
lQk = limite inferior da classe do quartil considerado.
Fant = frequência acumulada da classe anterior à classe do quartil conside-
rado.
aQK = amplitude do intervalo de classe do quartil considerado.
fQK = frequência simples da classe do quartil considerado.
Exemplo: Para o cálculo dos quartis de dados agrupados com intervalos 
de classe, consideramos a distribuição dos pesos de um grupo de turistas que visita 
um parque temático em Fortaleza/CE/Julho/06. Será acrescentada uma coluna 
com os valores da frequência acumulada. 
Tabela 3.2 - Pesos de um grupo de turistas do Parque Temático Fortaleza/
CE/Julho/06.
i Pesos (kg) Frequência (fi) Frequência acumulada 
(Fa)
1 10 ├ 30 10 10
2 30 ├ 50 24 34
3 50 ├ 70 57 91
4 70 ├ 90 44 135
5 90 ├ 110 29 164
6 110 ├ 130 16 180
Primeiro, calcula-se a classe a que pertence o quartil Q1 (k=1), ou seja, a 
posição:
7978 UCDB VirtualUCDB Virtual
P Q1 = 
 
Observando a coluna de frequência acumulada,verificamos que o quadra-
gésimo quinto termo pertence à terceira classe (a frequência acumulada da teceria 
classe abrange do 35º termo ao 91º termo). Sabendo que a classe do primeiro 
quartil é a terceira classe, podemos verificar qual o valor numérico do primeiro 
quartil utilizando a expressão:
 = 50 + 
Os cálculos para os quartis Q2 e Q3 processam-se de forma análoga ao 
cálculo do primeiro quartil.
2° quartil (o segundo quartil pertence à ter-
ceira classe).
3° quartil (o terceiro quartil pertence à quar-
ta classe)
 
Assim temos: Q1 = 53,9 kg; Q2 = 69,7 kg e Q3 = 90,0 kg
Acompanhe mais alguns exemplos:
1. Determinação dos quartis para o conjunto: 
 
Colocando os valores em ordem (rol), temos:
a) Vamos utilizar os passos para o cálculo do 1° quartil:
 
1° Passo: Determina-se a posição do 1° quartil:
 
2° Passo: Identificar a posição 4
3° Passo: Procura-se no rol o valor do número que está na posição iden-
tificada.
 O número que corresponde a 25% do rol é o valor 15
b) Vamos utilizar os passos para o cálculo do 2° quartil:
1° Passo: Determina-se a posição do 2° quartil:
 
2° Passo: Identificar a posição 8 
3° Passo: Procura-se no rol o valor do número que está na posição iden-
tificada.
 
ix ix ix ix ix ix ix ix
10 13 14 15 15 16 18 18
O número que corresponde a 50% do rol é o valor 18
 c) Vamos utilizar os passos para o cálculo do 3° quartil:
8180 UCDB VirtualUCDB Virtual
1° Passo: Determina-se a posição do 3° quartil:
 
2° Passo: Identificar a posição 12
3° Passo: Procura-se no rol o valor do número que está na posição iden-
tificada.
 
 
O número que corresponde a 75% do rol é o valor 22
2. Calcular os valores do Q1, Q2 e Q3 da tabela seguinte:
Tabela 3.3 – Número de faltas de acadêmicos do primeiro semestre
N° de faltas f fa
1 6 8
3 8 14
4 13 27
6 7 34
7 4 38
a) Vamos calcular inicialmente Q1
1° Passo: Determinar a posição do 1° quartil (25%)
 
2° Passo: Procurar na coluna da fa a posição do 9,5° elemento.
3° Passo: A variável que corresponde à posição do 9,5° elemento é 3 (na 
segunda classe).
25% dos acadêmicos tiveram 3 faltas.
b) Vamos calcular o Q2
1° Passo: Determinar a posição do 2° quartil (50%)
 
2° Passo: Procurar na coluna da fa a posição do 19° elemento.
3° Passo: A variável que corresponde à posição do 19° elemento é 4 (na 
terceira classe).
50% dos acadêmicos tiveram 4 faltas.
c) Vamos calcular o Q3
1° Passo: Determinar a posição do 3° quartil (75%)
 
2° Passo: Procurar na coluna da fa a posição do 28,5° elemento.
3° Passo: A variável que corresponde à posição do 28,5° elemento é 6 (na 
quarta classe).
75% dos acadêmicos tiveram 6 faltas.
3. Calcular os valores do Q1, Q2 e Q3 da tabela seguinte:
Tabela 3.4 – Pontos obtidos em teste de atenção por candidatos a um em-
prego
i Pontos Frequência (fi) Frequência acumulada (Fa)
1 0 ├ 40 3 3
2 40 ├ 80 8 11
3 80 ├ 120 18 29
4 120 ├ 160 15 44
5 160 ├ 200 10 54
a) Vamos calcular a classe a que pertence o quartil Q1 (k=1), ou seja, a 
posição:
P Q1 = 
Observando a coluna de frequência acumulada, verificamos que o 13,5º 
termo pertence à terceira classe (a frequência acumulada da terceira classe abrange 
do 12º termo ao 29º termo). Sabendo que a classe do primeiro quartil é a terceira 
classe, podemos verificar qual o valor numérico do primeiro quartil utilizando a 
8382 UCDB VirtualUCDB Virtual expressão: 
 = 
25% dos candidatos fizeram no máximo 85,56 pontos.
Cálculos para os quartis Q2 e Q3 processamos da mesma forma do cál-
culo do primeiro quartil.
2° quartil (o segundo quartil pertence à tercei-
ra classe).
 
50% dos candidatos fizeram no máximo 115,56 pontos.
3° quartil (o terceiro quartil pertence à 
quarta classe)
 
75% dos candidatos fizeram no máximo 150,67 pontos.
Assim temos: 
Q1 = 85,56 pontos Q2 = 115,56 pontos e Q3 = 150,67
3.2 Decis (DK)
Nos decis, a série é dividida em 10 partes iguais (D1, D2, D3, ...D9).
 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
D1: é o primeiro decil, corresponde à separação dos primeiros 10 % de 
elementos da série.
D5: é o quinto decil, coincide com a mediana (D5 = Md).
D9 : é o nono decil, corresponde à separação dos últimos 10% elementos 
da série.
3.2.1 Calculo do Decil para o rol
Os passos são os mesmos para o cálculo do quartil para o rol.
Exemplo: Calcular D1 e D8 do conjunto dado: 
Inicialmente vamos colocar o conjunto em ordem crescente:
a) Calcular D1
1° Passo: determina-se a posição do primeiro Decil.
 
2° Passo: Procura-se no rol o valor do primeiro elemento.
3° passo: O valor do D1=2 que corresponde a 10% do rol.
b) Calculo do D8
1° Passo: determina-se a posição do oitavo Decil.
 
2° Passo: Procura-se no rol o valor do oitavo elemento.
3° passo: O valor do D8=18 que corresponde a 80% do rol.
3.2.2 Cálculo do Decil para tabela sem Intervalo de Classe
Os procedimentos são os mesmos utilizados para o cálculo dos quartis.
Exemplo: Calcular D3 e D7 usando a seguinte tabela:
8584 UCDB VirtualUCDB Virtual Tabela 3.5 - Quantidade de filhos dos funcionários de uma pequena em-
presa
Filhos f fa
0 18 18
1 35 53
2 46 99
3 28 127
4 25 152
5 10 162
6 5 167
7 3 170
a) Cálculo do D3
1° Passo: Calcula-se a posição do D3
 
2° passo: Procura-se a posição do D3 pela coluna da frequência acumu-
lada, o D3 está na 2° classe (fa 53).
3° Passo: O valor da variável na segunda classe é 1 filho, que corresponde 
a 30% da pesquisa.
b) Cálculo do D8
1° Passo: Calcula-se a posição do D8
 
2° passo: Procura-se a posição do D8 pela coluna da frequência acumu-
lada, o D8 está na 5° classe (fa 152).
3° Passo: O valor da variável na segunda classe é 4 filhos, que correspon-
de a 80% da pesquisa.
3.2.3 Cálculo do decil para tabela com intervalo de classe
 
Primeiramente, determina-se a classe que contém o valor do decil a ser 
calculado pela expressão:
 
Esse termo está localizado numa classe que recebe o nome de classe decil. 
Para o cálculo dos decis, utilizamos técnicas semelhantes às do cálculo dos quartis. 
Isto é, utilizamos a fórmula:
Sendo: 
KD
l = limite inferior da classe de decil considerado.
Fant = frequência acumulada da classe anterior à classe de decil considera-
do.
hDK = amplitude do intervalo de classe do decil considerado.
fDK = frequência simples da classe do decil considerado.
Exemplo: O cálculo dos decis será exemplificado com os dados da tabela 
a seguir que organiza as estaturas de adolescentes, colhidas durante o período em 
que participaram de um acampamento, durante as férias.
Tabela 3.6 - Estaturas dos participantes de um acampamento Bonito/
Julho/06
i Estaturas (cm) Frequência (fi) Frequência acumulada 
(Fa)
1 120 ├ 128 6 6
2 128 ├ 136 12 18
3 136 ├ 144 16 34
4 144 ├ 152 13 47
5 152 ├ 160 7 54
Calculam-se os decis D1, D2, ...D7, ..., de forma semelhante ao cálculo dos 
quartis.
Primeiro decil (K=1): (o primeiro decil pertence à pri-
meira classe).
 
8786 UCDB VirtualUCDB Virtual
Segundo decil (K=2): (o segundo decil pertence à 
segunda classe).
Dessa forma, podemos calcular os outros decis. Por exemplo, cálculo do 
sétimo decil (K=7):
 (o sétimo decil pertence à quarta classe)
3.3 Percentis (Pk)
Nos percentis, a série é dividida em 100 partes iguais (P1, P2, P3, ... P99).
P1: é o primeiro percentil, corresponde à separação do primeiro 1% de 
elementos da série.
P50: é o quinquagésimo percentil, coincide com a mediana (P50 = D5 = Q2 
= Md).
Para o cálculo dos percentis, utilizamos técnicas semelhantes às do cálculo 
dos quartis e decis. Inicialmente, determina-se a classe que contém o valor percen-
til, que se calcula pela expressão:
 (K = 1; 2; 3;...; 98; 99)
3.3.1 Cálculo de Percentil para rol
Verificamos que o raciocínio é o mesmo utilizado para o cálculo do Quar-
til e Decil. Consideremos o exemplo abaixo:
1. Calcular o P28 e P82 do conjunto 
Devemos inicialmente ordenar os valores:
a) Cálculo do P28
1° Passo: Determinar a posição do P282° Passo: procura-se no rol o valor da posição do 3° elemento.
3° Passo: A variável que corresponde à posição desejada é o número 6.
b) Cálculo do P82
1° Passo: Determinar a posição do P82 
 
2° Passo: procura-se no rol o valor da posição do 9° elemento.
3° Passo: A variável que corresponde à posição desejada é o número 18.
3.3.2 Cálculo do Percentil para Tabela sem Intervalo de Classe
O cálculo do Percentil para a tabela sem intervalo de classe é o mesmo que 
para os cálculos dos Quartís e Decís. Estudemos esses cálculos através do exemplo 
a seguir:
Exemplo: Calcular P45 e P93 da tabela a seguir:
Tabela 3.7 - Número de quartos/chalés em Bonito/MS/07
Número de quartos/chalés f fa
1 15 15
2 30 45
3 20 65
4 12 77
5 10 87
6 8 95
a) Calcular P45
1° Passo: Determinar a posição do P45 
2° Passo: Procurar a posição do 43 elemento pela coluna da frequência 
acumulada. Podemos observar que o elemento de posição 43 está na segunda 
classe.
3° Passo: O valor da variável que corresponde a 45% da pesquisa revelou 
que os pesquisados preferem até dois quartos por chalé. 
P28 28 28.n .11 3,08
100 100
P28 82 28.n .11 9,02
100 100
8988 UCDB VirtualUCDB Virtual
b) Calcular P93
1° Passo: Determinar a posição do P93 
 
2° Passo: Procurar a posição do 88° elemento pela coluna da frequência 
acumulada. Podemos observar que o elemento de posição 88 está na sexta clas-
se.
3° Passo: O valor da variável que corresponde a 93% da pesquisa revelou 
que os pesquisados preferem até seis quartos por chalé. 
3.3.3 Cálculo para Percentil em Tabelas com Intervalo de Classe
Para o cálculo dos percentis, utilizamos técnicas semelhantes às do cálculo 
dos quartis e decis. Inicialmente, determina-se a classe que contém o valor percen-
til a ser calculado pela expressão:
 
Para obtenção do percentil, utilizamos a fórmula:
K
K
K P
P
ant
i
PK af
F
fK
lP •












−
⋅
=
∑
100
Sendo:
l = limite inferior da classe do percentil considerado.
Fant = frequência acumulada da classe anterior do percentil considerado.
 amplitude do intervalo de classe do percentil considerado.
 = frequência simples da classe do percentil considerado.
Exemplo: Na tabela a seguir vamos calcular o 46º percentil (K=46) e o 
76° percentil (K=76):
Tabela 3.8 - Estaturas dos participantes de um acampamento infantil/Bo-
nito/Julho/06
i Estaturas (cm) Frequência (fi) Frequência acumulada (Fi)
1 120 ├ 128 6 6
2 128 ├ 136 12 18
3 136 ├ 144 16 34
4 144 ├ 152 13 47
5 152 ├ 160 7 54
a) Cálculo do P46
 (o quadragésimo sexto percentil pertence à 
terceira classe)
 
b) Cálculo do P76
 (o percentil 76 pertence à quarta classe)
 
Lista de exercícios 3.1
Considere o conjunto de valores que representa as idades de um 
grupo de crianças de uma comunidade: e 
responda as questões 1 a 3.
1. Qual a idade que corresponde a 25% das crianças (Q1)?
a) Q1=3 
b) Q1=5
c) Q1=4
d) Q1=6
9190 UCDB VirtualUCDB Virtual
2. Qual a idade que corresponde a 70% das crianças (D7)?
a) D7=6
b) D7=8
c) D7=5
d) D7=9
3. Qual a idade que corresponde a 45% das crianças (P45)?
a) P45 = 4
b) P45 = 8
c) P45 = 5
d) P45 = 6
Considere a tabela a seguir, que representa os valores economizados 
por crianças para a compra do presente do dia das mães e responda as questões 
4 a 6.
Tabela 3.9 - Valores economizados pelas crianças
Valores (R$) Num. de crianças (fi) fa
10 2
15 6
20 8
25 15
30 13
35 11
40 5
4. Qual o valor economizado por 75% das crianças (Q3)?
a) Q3= 30
b) Q3= 40
c) Q3= 35
d) Q3= 25
5. Qual o valor economizado por 40% das crianças (D4)?
a) D4 = 25
b) D4 = 20
c) D4 = 35
d) D4 = 30
6. Qual o valor economizado por 92% das crianças (P92)?
a) P92 = 35
b) P92 = 30
c) P92 = 40
d) P92 = 38
Considere a tabela a seguir, que representa os salários de funcionários 
de uma empresa de reciclagem e responda as questões 7 a 9.
Tabela 3.10 - Salários da empresa de reciclagem Coisas &Tal
Salários Funcionários
500 ├ 600 3
600 ├ 700 8
700 ├ 800 12
800 ├ 900 17
 900 ├ 1000 10
1000 ├ 1100 8
1100 ├ 1200 6
7. Qual o salário de 25% dos funcionários que ganham menos (Q1)?
a) Q1=742,68
b) Q1=741,67
c) Q1=678,97
d) Q1=698,85
8. Qual o salário de 60% dos funcionários que ganham menos (D6)?
a) D6 = 835,80
b) D6= 829,78
c) D6 = 890,59
d) D6 = 895,86
9. Qual o salário de 90% dos funcionários que ganham menos (P90)?
a) P90 = 1095,00
b) P90 = 1105,00
c) P90 = 1085,00
d) P90 = 1056,00
Não deixe de verificar seu aprendizado fazendo o exercício no ambiente vir-
tual de aprendizagem.
Exercício pontuado 3.1
1. Calcule os quartis Q1 e Q3 das séries a seguir:
1.1 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25.
a) Q1 = 3 e Q3 =10 c) Q1 = 5 e Q3 =19
b) Q1 = 5 e Q3 =10 d) Q1 = 3 e Q3 =19
1.2 9; 20; 2; 15; 7; 10; 20; 2; 6; 18; 20; 7.
a) Q1 = 3 e Q3 = 9 c) Q1 = 3 e Q3 =18
b) Q1 = 6 e Q3 =18 d) Q1 = 6 e Q3 =9
9392 UCDB VirtualUCDB Virtual
2. Determine P40, P 85 dos números abaixo:
 3, 3, 4, 2, 6, 9, 6, 7, 3 
a) P40 = 3 e P85 = 7 c) P40 = 4 e P85 = 8
b) P40 = 3 e P85 = 8 d) P40 = 4 e P85 = 7
3. O departamento de recursos humanos da Indústria Sorriso, fez um levan-
tamento para saber a respeito de faltas dos funcionários e obteve os seguintes 
resultados:
Número de faltas dos funcionários/mês, da Indústria Sorriso, no ano de 2005 e 2006
3.1 Qual o número de faltas/mês de 70% da pesquisa?
a) 70% da pesquisa corresponde a 17 faltas/mês
b) 70% da pesquisa corresponde a 9 faltas/mês 
c) 70% da pesquisa corresponde a 8 faltas/mês
d) 70% da pesquisa corresponde a 10 faltas/mês
3.2 Qual o número de faltas/mês de 15% da pesquisa?
a) 15% da pesquisa corresponde a 4 faltas/mês.
b) 15% da pesquisa corresponde a 7 faltas/mês. 
c) 15% da pesquisa corresponde a 6 faltas/mês.
d) 15% da pesquisa corresponde a 8 faltas/mês.
4. Um grupo de alunos do 4º semestre de Ciências Contábeis/UCDB/07 rea-
lizou um levantamento amostral, sobre a renda familiar com os alunos desse 
curso e obteve os seguintes resultados:
Renda familiar de alunos do curso de Ciências Contábeis//UCDB/07
4.1 Qual a renda de 25% dos alunos do curso (aproximação de décimos)?
a) 25% dos alunos do curso têm renda até 5,0 salários.
b) 25% dos alunos do curso têm renda até 4,9 salários.
c) 25% dos alunos do curso têm renda até 5,1 salários.
d) 25% dos alunos do curso têm renda até 4,5 salários.
4.2 Qual a renda de 80% dos alunos do curso (aproximação de décimos)?
a) 80% dos alunos do curso têm renda até 19,0 salários.
b) 80% dos alunos do curso têm renda até 19,5 salários.
c) 80% dos alunos do curso têm renda até 19,1 salários.
d) 80% dos alunos do curso têm renda até 19,07 salários.
 
Submeta a atividade por meio da ferramenta Questionário.
9594 UCDB VirtualUCDB Virtual
Já estudamos que um conjunto de valores pode ser sintetizado por meio 
de procedimento matemático, como o cálculo da média, moda, mediana, quartís 
e percentís. No entanto, a interpretação de dados estatísticos exige que se realize 
um número maior de estudos, além dos estudados nas unidades precedentes. Tor-
na-se necessário ter uma idéia de como se apresentam os dados, qual a variação 
em torno da média, qual a concentração. Vejamos o seguinte exemplo:
Foram avaliados três grupos de executivos, cada um com cinco elementos, 
no que se refere à criatividade e os testes mostraram os seguintes resultados:
Grupo A: 5 5 5 5 5
Grupo B: 3 4 5 6 7
Grupo C: 1 2 5 7 10 
 
Para representar cada grupo, podemos calcular a média e vamos verificar 
que os três grupos têm a mesma média x = 5. Entretanto, observando a variação 
dos dados, podemos perceber que os grupos se comportam de forma diferente, 
apesar de todos terem a mesma média. Nesse caso, a média ainda que considerada 
como um número que pode representar uma sequência de números, não pode 
destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores 
que compõem o conjunto. Desse modo,precisamos efetuar outros procedimen-
tos matemáticos para caracterizar melhor os dados de cada grupo com o objetivo 
de tirarmos conclusões qualitativas. 
As medidas que mostram a variação dos dados de um conjunto são cha-
madas de Medidas de Dispersão ou Variabilidade:
• Medidas de Dispersão Absoluta:
 - Amplitude total;
 - Desvio médio;
 - Variância e desvio padrão.
• Medidas de Dispersão Relativa:
UNIDADE 4: MEDIDAS DE 
DISPERSÃO OU VARIA-
BILIDADE
OBJETIVO DA UNIDADE: Entender a defi-
nição de medida de dispersão ou variabi-
lidade. Saber calcular variância e desvio 
padrão. Conceituar intervalo padrão ou 
zona de normalidade. Identificar dados 
homogêneos e heterogêneos através do 
coeficiente de variação.
 - Coeficiente de variação de Pearson.
4.1 Medidas de Dispersão Absoluta
4.1.1 Amplitude Total ou Intervalo Total
O Símbolo da Amplitude Total é AT
Definição: A amplitude total de um conjunto de números é a diferença 
entre os valores extremos do conjunto observado:
Exemplo 1: Calcular a amplitude total dos seguintes conjuntos de núme-
ros:
 A = {10, 12, 13, 20, 25, 34, 45}
 B = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}
 C = {-4, -3, -2, 3, 5}
Solução:
 Para o conjunto A, temos: AT = 45 - 10 = 35
 Para o conjunto B, temos: AT = 23 - 17 = 6
 Para o conjunto C, temos: AT = 5 - (-4) = 9
Se os dados vierem dispostos em uma tabela de frequências, com os valo-
res agrupados em classes, há duas formas de se definir a amplitude total:
 
Primeiro Método: AT = Ponto médio da última classe menos o ponto 
médio da primeira classe.
Segundo Método: AT = Limite superior da última classe menos o limite 
inferior da primeira classe.
Exemplo 2: Calcular a amplitude total dos valores dispostos na tabela 
4.1.
 
9796 UCDB VirtualUCDB Virtual Tabela 4.1 - Consumo de água do Bairro Santa Mônica/06
 Classes Fj Xj
10 ├ 20 5 15
20 ├ 30 12 25
30 ├ 40 20 35
40 ├ 50 14 45
50 ├ 60 10 55
60 ├ 70 4 65
n = 65
Pelo primeiro método: AT = 65 - 15 = 50 → AT = 50 
Nesse método, os valores extremos são eliminados.
Pelo segundo método: AT = 70 - 10 = 60 → AT = 60
4.1.2 Restrições ao uso da Amplitude Total
Embora a amplitude total seja a mais simples das medidas de dispersão, 
há uma forte restrição ao seu uso em virtude de sua grande instabilidade, uma 
vez que ela leva em conta apenas os valores extremos da série. Comparemos os 
conjuntos A e B do exemplo 1:
 Conjunto Média Amplitude Total: AT
A = {10, 12, 13, 15, 20, 25, 45} x = 20 AT A = 35
B = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23} x = 20 AT B = 6
A média aritmética de cada um desses conjuntos é igual a 20. Portanto, no 
que diz respeito a uma medida de posição, ambos os conjuntos podem ser consi-
derados idênticos. Ao calcularmos a amplitude total, verificaremos que os valores 
do conjunto A apresentam maior dispersão. Todavia, no cálculo da amplitude to-
tal, não são levados em consideração os valores da série que se encontram entre os 
extremos, o que poderia conduzir o analista a interpretações equivocadas. Muitas 
vezes, um valor particularmente anormal poderá afetar de maneira acentuada a 
medida. O conjunto A, por exemplo, apresenta o último valor (45) sensivelmente 
distante do penúltimo (25), fato que talvez tenha provocado uma amplitude total 
de tal magnitude (35).
Além da insensibilidade aos valores entre os extremos anormais, a am-
plitude total é sensível ao tamanho de amostra. Ao aumentar essa última, a am-
plitude total tende a aumentar, ainda que não proporcionalmente. Finalmente, a 
amplitude total apresenta muita variação de uma amostra para outra, mesmo que 
ambas sejam extraídas da mesma população.
Apesar dos inconvenientes dessa medida, os quais não justificam, na maio-
ria das vezes, seu uso, há situações especiais em que ela resulta satisfatória. É o 
caso, por exemplo, da amplitude da temperatura em um dia ou no ano. Outra 
situação seria aquela em que os dados são raros ou demasiadamente esparsos para 
justificar o emprego de uma medida mais precisa.
É importante acrescentar que, ao descrever uma série por uma medida de 
posição (média, por exemplo) e de dispersão, se essa última for a amplitude total, 
é recomendável que se indiquem os valores extremos da série.
Acompanhe mais alguns exemplos: 
Determine a amplitude total em cada um dos casos a seguir: 
1. 
2. Número de faltas dos acadêmicos
Tabela 4.2 - Número de faltas dos acadêmicos da Turma A
Faltas Acadêmicos
2 15
3 10
5 8
6 6
9 4
Total 43
3. Notas da atividade 2 dos acadêmicos da turma A
Tabela 4.3 - Notas da atividade 1, dos acadêmicos da Turma A
Notas Acadêmicos
3,8 ├ 4,8 5
4,8 ├ 5,8 6
5,8 ├ 6,8 12
6,8 ├ 7,8 15
7,8 ├ 8,8 5
Total 43
9998 UCDB VirtualUCDB Virtual Pelo primeiro método: AT = 8,3 – 4,3 = 4 → AT = 4 
Nesse método, os valores extremos são eliminados.
Pelo segundo método: AT = 8,8 - 3,8 = 5 → AT = 5
4.2 Desvio Médio (Símbolo: Dm) 
O desvio médio ou média dos desvios é igual à média aritmética dos va-
lores absolutos dos desvios tomados em relação a uma das seguintes medidas de 
tendência central: média ou mediana.
4.2.1 Desvio Médio para Dados Brutos
Quando os valores não vierem dispostos em uma tabela de frequências, o 
desvio médio será calculado, de acordo com a definição, através do emprego de 
uma das seguintes fórmulas:
a) Desvio em relação à média aritmética.
b) Desvio em relação à mediana.
 
 
As barras verticais indicam que são tomados os valores absolutos dos 
desvios. 
Exemplo: Calcular o desvio médio dos conjuntos de números apresen-
tados no exemplo 1:
 A= {10, 12, 13, 20, 25, 34, 45}
 B= {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}
 C= {-4, -3, -2, 3, 5}
 
Os dados necessários para o cálculo do desvio são:
 e 
 e 
 e 
É conveniente colocarmos os valores dispostos em uma tabela, conside-
rando:
a) Desvio Médio do Conjunto A: onde temos 
Tabela 4.4 - Elementos do Conjunto A
xi xxi −
10 10 – 22,71 = -12,71 12,71 10 – 20 = -10 10
12 12 – 22,71 = -10,71 10,71 12 – 20 = -8 8
13 13 – 22,71 = -9,71 9,71 13 - 20 = -7 7
20 20 – 22,71 = -2,71 2,71 20 – 20 = 0 0
25 25 – 22,71 = 2,29 2,29 25 – 20 = 5 5
34 34 – 22,71 = 11,29 11,29 34 – 20 = 14 14
45 45 – 22,71 = 22,29 22,29 45 – 20 = 25 25
Usando as fórmulas a) e b), chegaremos a:
Pela Média 
 
Pela Mediana
 
b) Desvio Médio do Conjunto B: onde temos 
101100 UCDB VirtualUCDB Virtual Tabela 4.5 - Elementos do Conjunto B
xi xxi −
17 17 – 20 = -3 3 17 – 20 = -3 3
18 18 – 20 = -2 2 18 – 20 = -2 2
19 19 – 20 = -1 1 19 – 20 = -1 1
20 20 – 20 = 0 0 20 – 20 = 0 0
21 21 – 20 = 1 1 21 – 20 = 1 1
22 22 – 20 = 2 2 22 – 20 = 2 2
23 23 – 20 = 3 3 23 – 20 = 3 3
Neste caso, o desvio médio é igual, tanto quando calculado a partir da 
média como da mediana, uma vez que 
Pela Média
 Dm= Dm = 1,71
Pela Mediana
Dm = 
c) Desvio Médio do Conjunto C: onde temos 
Tabela 4.6 - Elementos do Conjunto C
xi xxi −
-4 (-4) – (-0,2) = - 3,8 3,8 -4 – (-2) = -2 2
-3 (-3) – (-0,2) = -2,8 2,8 -3 – (-2) = -1 1
-2 (-2) – (-0,2) = -1,8 1,8 -2 – (-2) = 0 0
3 3 – (-0,2) = 3,2 3,2 3 – (-2) = 5 5
5 5 – (-0,2) = 5,2 5,2 5 – (-2) = 7 7
 16,8 15
Pela Média
Dm= Dm = 3,36
Pela Mediana 
Dm = 3 Dm = 3
 
Como ocorreu para o primeiro conjunto, o desvio médio neste caso é me-
nor quando tomado em relação à mediana do que em relação à média.
4.2.2 Desvio Médio para Dados Tabulados sem Intervalo de Classe
 
Se os valores vierem dispostos em uma tabela de frequências, agrupados 
ou não em classes, serão usadas as seguintes fórmulas:
Cálculo pela Média 
Onde X j representa um valor individual ou um ponto médio da classe.
Cálculo pela Mediana 
Exemplo: Calcular o desvio médio em relação à média e em relação à 
mediana do número de empregados por estabelecimentos comerciais conforme a 
tabela 4.6.
Tabela 4.7 - Número de empregados por estabelecimentos comerciais
Emp/estab f Fa
1 2 2 2 3,71.(2)=7,42 4.(2)=8
2 3 5 6 2,71.(3)=8,13 3.(3)=9
3 3 8 9 1,71.(3)=5,13 2.(3)=6
4 5 13 20 0,71.(5)=3,55 1.(5)=55 6 19 30 0,29.(6)=1,74 0.(6)=0
6 4 23 24 1,29.(4)=5,16 1.(4)=4
7 3 26 21 2,29.(3)=6,87 2.(3)=6
10 2 28 20 5,29.(2)=10,58 5.(2)=6
28
103102 UCDB VirtualUCDB Virtual Inicialmente completamos a tabela 4.6 com a coluna da frequência acu-
mulada Fa para o cálculo da mediana e da coluna para o cálculo da média. Após 
determinarmos os valores da mediana e da média devemos colocar mais duas 
colunas para o cálculo do desvio com a média e com a mediana.
Cálculo da média 
Para encontrarmos o valor do desvio em relação à média completamos a 
tabela com a coluna 5.
Cálculo do Desvio médio em relação à Média 
Cálculo da Mediana → Posição da mediana 
Na coluna da Fa vemos que o elemento de ordem 14° está na classe 5, 
onde o valor de x é 5, ou seja 
Para encontrarmos o valor do desvio em relação à mediana completamos 
a tabela com a coluna 6.
Cálculo do Desvio médio em relação à Mediana 
4.2.3 Desvio Médio para dados Tabulados com Intervalo de Classe
Exemplo: Calcular o desvio médio dos valores representativos do consu-
mo de energia elétrica (em Kwh) de 80 usuários.
Tabela 4.8 - Consumo de energia elétrica de consumidores de Campo 
Grande/MS/06
Consumo 
(Kwh)
fj x j x j fj Fa
 5 ├ 25 4 15 60 64,5 x 4 = 258 62,31 x 4 = 249,24 4
 25 ├ 45 6 35 210 44,5 x 6 = 267 42,31 x 6 = 253,86 10
 45 ├ 65 14 55 770 24,5 x 14 = 343 22,31 x 14 = 312,34 24
 65 ├ 85 26 75 1950 4,5 x 27 = 117 2,31 x 27 = 60,06 50
 85 ├ 105 14 95 1330 15,5 x 14 = 217 17,69 x 14 = 247,66 64
105├ 125 8 115 920 35,5 x 8 = 284 37,69 x 8 = 301,52 72
125├ 145 6 135 810 55,5 x 6 = 333 57,69 x 6 = 346,14 78
145├ 165 2 155 310 75,5 x 2 = 150 77,69 x 2 = 155,38 80
80 1970 ∑= 2,1926
Iniciamos com o cálculo da média e da mediana
 
Completamos as tabelas com as diferenças e os produtos necessários para 
o cálculo do desvio médio.
Cálculo pela média: 
Cálculo pela mediana: 
Podemos observar novamente que o desvio médio, calculado com base na 
mediana, é menor que o calculado com base na média aritmética.
Observações: 
1. O desvio médio apresenta resultado mais vantajoso que as medidas de 
dispersão precedentes, principalmente pelo fato de, em seu cálculo, levar em con-
sideração todos os valores da distribuição.
2. O desvio médio, calculado levando-se em consideração os desvios em 
torno da mediana, é mínimo, ou seja, é menor do que qualquer desvio médio cal-
culado com base em qualquer outra medida de tendência central.
3. Apesar de o desvio médio expressar aceitavelmente a dispersão de uma 
amostra não é tão freqüentemente empregado como o desvio padrão, o qual será 
estudado a seguir, pois este se adapta melhor a uma ampla gama de aplicações. 
Além disso, o desvio médio não considera o fato de alguns desvios serem negati-
vos e outros positivos, pois essa medida os trata como se fossem todos positivos, 
como valores absolutos. Contudo, será preferível o uso do desvio médio em lugar 
do desvio padrão, quando esse for indevidamente influenciado pelos desvios ex-
tremos.
Pratique resolvendo mais alguns exemplos: Determine o desvio mé-
dio em cada um dos casos, pela média.
1. 
Para facilitar vamos colocar os valores em uma tabela:
105104 UCDB VirtualUCDB Virtual Tabela 4.9 – Idades de visitantes de uma loja de modas 
12 8
15 5
18 2
19 1
24 4
32 12
Xi = 120 32
Temos que: 
2. Número de faltas dos acadêmicos
Tabela 4.10 - Número de faltas dos acadêmicos da turma A
Faltas Acadêmicos
ii fx 4−ix ii fx 4−
2 15 30 2 30
3 10 30 1 10
5 8 40 1 8
6 6 36 2 12
9 4 36 5 20
Total 43 172 80
Para o cálculo do Dm, precisamos da média, dos módulos dos desvios e 
do produto dos desvios pela frequência, em seguida é só aplicarmos a fórmula:
 
3. Notas da atividade 1 dos acadêmicos da turma A
Tabela 4.11 - Notas da atividade 1, dos acadêmicos da turma A
Notas Acadêmicos 
3,8 ├ 4,8 5 4,3 21,5 2,21 11,05
4,8 ├ 5,8 6 5,3 31,8 1,21 7,26
5,8 ├ 6,8 12 6,3 75,6 0,21 2,52
6,8 ├ 7,8 15 7,3 109,5 0,79 11,85
7,8 ├ 8,8 5 8,3 41,5 1,79 8,95
Total 43 279,9 41,63
Para o cálculo do Dm, precisamos dos valores de , da média, dos módu-
los dos desvios e do produto dos desvios pela frequência, em seguida é só aplicar-
mos a fórmula:
 
4.3 Variância (Símbolo: S2) 
 
Vimos que a Amplitude total e o Desvio Médio são medidas que se deixam 
influenciar pelos valores extremos, que em grande maioria são devidos ao acaso.
A variância é uma medida que leva em consideração valores extremos e os 
valores intermediários, isto é, expressa melhor os resultados obtidos. A variância 
relaciona os desvios em torno da média, ou mais claramente, é a média aritmética 
dos quadrados dos desvios.
Variância de uma população:
 Sendo:
 = variância
x = valor da média aritmética 
di = ( )xxi −
n = ∑ if
Observação: É mais comum na estatística o trabalho com amostra e não 
com a população. Neste caso o denominador passa a ser (n - 1) em vez de n, pois 
assim teremos uma melhora na estimativa do parâmetro da população:
Variância de uma amostra:
107106 UCDB VirtualUCDB Virtual 4.4 Desvio padrão (Símbolo: S)
O desvio padrão é a medida de dispersão mais usada, tendo em comum 
com o desvio médio o fato de em ambos serem considerados os desvios com rela-
ção à média ( x ). Só que, no cálculo do desvio padrão, em lugar de serem usados 
os valores absolutos das discrepâncias ou desvios, calculam-se os quadrados des-
ses. O desvio padrão não é senão uma média quadrática dos desvios em relação à 
média aritmética de um conjunto de números, ou seja, é a raiz quadrada da média 
aritmética dos quadrados dos desvios, tomados a partir da média aritmética.
4.4.1 Desvio padrão de Dados Brutos
Seja o seguinte conjunto de números: X = {x1, x2,... xn}. O desvio padrão 
ou a média quadrática dos desvios ou afastamento em relação à média aritmética 
desse conjunto será definido por:
ou resumidamente: 
 Exemplo: Calcular o desvio padrão do conjunto de números 
Vamos utilizar uma tabela para o cálculo do desvio padrão. Iniciamos 
calculando o valor da média.
 
Tabela 4.12 - Cálculo do Desvio Padrão
ix
1 (1 - 4)2 = 9
3 (3 - 4)2 = 1
5 (5 - 4)2 = 1
7 (7 - 4)2 = 9
Aplicando a fórmula do desvio padrão temos:
 
Observação: quando o desvio padrão representar uma descrição da 
amostra e não da população, caso mais frequente em estatística, o denominador 
das expressões será igual a n - 1, em vez de n. A razão desse procedimento reside 
no fato de que, utilizando o divisor (n - 1), obtém-se uma estimativa melhor do 
parâmetro de população. Além do mais, apenas n - 1 das discrepâncias (xi - x) são 
independentes, uma vez que essas (n - 1) discrepâncias determinam automatica-
mente a n-ésima. Para valores grandes de n (n > 30) não há grande diferença entre 
os resultados proporcionados pela utilização de qualquer dos dois divisores, n ou 
n - 1. Entretanto, daremos preferência para a fórmula que proporciona uma esti-
mativa mais justa do desvio padrão da população, ou seja:
4.4.2 Desvio padrão de Dados Tabulados sem Intervalo de Classe
Quando os valores vierem dispostos em uma tabela de frequências, o cál-
culo do desvio padrão se fará através de uma das seguintes fórmulas:
Desvio padrão para dados populacionais
 
Desvios padrão para dados amostrais
ix = valor isolado da variável, ou ponto médio da classe, se os valores 
vierem agrupados em classe. 
Exemplo: Calcular o desvio padrão da tabela a seguir: 
109108 UCDB VirtualUCDB Virtual Tabela 4.13 - Número de faltas/mês dos funcionários da empresa Agro Sul 
/ 2011
N° de faltas / mês f
ii fx
0 4 0
1 3 3
2 2 4
3 1 3
4 1 4
5 2 10
6 1 6
7 1 7
* Pesquisa populacional
 Inicialmente calculamos a média 
Em seguida, inserimos mais uma coluna na tabela 4.13, onde vamos fazer 
os cálculos necessários para o cálculo do desvio padrão:
Tabela 4.13 - Número de faltas/mês dos funcionários da empresa Agro Sul 
/ 08
N° de faltas / mês f
0 4 0 ( 0 - 2,47 )2.( 4 ) = 24,40
1 3 3 ( 1 - 2,47 )2.( 3 ) = 6,48
2 2 4 ( 2 - 2,47 )2.( 2 ) = 0,44
3 1 3 ( 3 - 2,47 )2.( 1 ) = 0,28
4 1 4 ( 4 - 2,47)2.( 1 ) = 2,34
5 2 10 ( 5 - 2,47 )2.( 2 ) = 12,80
6 1 6 ( 6 - 2,47 )2.( 1 ) = 12,46
7 1 7 ( 7 - 2,47 )2.( 1 ) = 20,52
* Pesquisa popula-
cional
79,72
Exemplo: Foi realizada uma pesquisa amostral para conhecer o número 
de filhos dos funcionários da Empresa Coisas & Tal. Determine o desvio padrão 
da quantidade de filhos.
Tabela 4.14 - Número de filhos/funcionários da empresa Coisas & Tal /08
N° de filhos /func f
0 3 0
1 5 5
2 2 4
3 1 3
4 1 4
5 1 5
6 1 6
14 27
Inicialmente calculamos a média 
Em seguida, vamos completar na tabela, na próxima coluna com os des-
vios ao quadrado, multiplicado pela frequência, obtendo assim a soma total para 
aplicarmos na fórmula.
Tabela 4.14 - Número de filhos/funcionários da empresa Coisas & Tal /08
N° de filhos /func f 
0 3 0 ( 0 – 1,93 )2.( 3 ) = 11,17
1 5 5 ( 1 – 1,93 )2.( 5 ) = 4,32
2 2 4 ( 2 – 1,93 )2.( 2 ) = 0,01
3 1 3 ( 3– 1,93 )2.( 1 ) = 1,15
4 1 4 ( 4 – 1,93 )2.( 1 ) = 4,28
5 1 5 ( 5 – 1,93 )2.( 1 ) = 9,42
6 1 6 ( 6 – 1,93 )2.( 1 ) = 16,56
* Pesquisa amostral 14 27 46,91
4.4.3 Desvio padrão de Dados Tabulados com Intervalo de Classes
Quando tivermos que calcular o desvio padrão para tabelas de dados ta-
bulados com intervalos de classes usaremos as mesmas fórmulas para dados sem 
intervalos de classes, utilizando para os pontos médios de cada classe, seguindo 
com os mesmos procedimentos.
Exemplo: Com dados da tabela a seguir, calcule o desvio padrão da distri-
buição de frequências do consumo de energia elétrica (Kwh):
 
 
111110 UCDB VirtualUCDB Virtual Tabela 4.15 - Distribuição de frequências do consumo de energia elétrica
Consumo Número de 
usuários 
5 ├ 25 4 15 60 - 64,5 4160,25 16641,0
25├ 45 6 35 210 - 44,5 1980,25 11881,5
45├ 65 14 55 770 - 24,5 600,25 8403,5
65├ 85 26 75 1950 - 4,5 20,25 526,5
 85├ 105 14 95 1330 15,5 240,25 3363,5
105├ 125 8 115 920 35,5 1260,25 10082,0
125├ 145 6 135 810 55,5 3080,25 18481,5
145├ 165 2 155 310 75,5 5700,25 11400,5
80 6360 80780
A média aritmética do consumo já foi calculada anteriormente:
 
Cálculo do Desvio padrão pela Fórmula Original:
O desvio padrão do consumo de energia elétrica é 31,98 Kwh. Lembre-se 
que o desvio médio já foi calculado, resultando em Dm = 24,63 Kwh.
Pratique resolvendo mais alguns exemplos: Determine o desvio pa-
drão em cada um dos casos, pela média.
1. 
Para facilitar vamos colocar os valores em uma tabela:
Tabela 4.16 – Idades dos visitantes ao museu
12 8 64
15 5 25
18 2 4
19 1 1
24 4 16
32 12 144
 254
Para o cálculo do desvio padrão precisamos elevar ao quadrado os desvios 
em relação à média:
 
2. Número de faltas dos acadêmicos da turma A
Tabela 4.17 - Número de faltas dos acadêmicos da turma A
Faltas Acadêmicos
2 15 30 2 4 60
3 10 30 1 1 10
5 8 40 1 1 8
6 6 36 2 4 24
9 4 36 5 25 100
Total 43 172 202
Para o cálculo do Desvio padrão precisamos da soma dos quadrado dos 
módulos dos desvios multiplicado pela frequência, em seguida é só aplicarmos a 
fórmula:
3. Notas da atividade 1 dos acadêmicos da turma A
Tabela 4.18 - Notas da atividade 1, dos acadêmicos da turma A
Faltas Acadêmicos
3,8 ├ 4,8 5 4,3 21,5 2,21 24,4205
4,8 ├ 5,8 6 5,3 31,8 1,21 8,7846
5,8 ├ 6,8 12 6,3 75,6 0,21 0,5292
6,8 ├ 7,8 15 7,3 109,5 0,79 9,3615
7,8 ├ 8,8 5 8,3 41,5 1,79 16,0205
Total 43 279,9 59,1163
Para o cálculo do Desvio padrão precisamos da soma do quadrado dos 
módulos dos desvios multiplicado pela frequência, em seguida é só aplicarmos a 
fórmula:
 ( já calculado)
 
120
113112 UCDB VirtualUCDB Virtual
4.5 Interpretação do desvio padrão
Neste item vamos apresentar duas regras para interpretação do desvio 
padrão:
1ª) Regra Empírica
Para qualquer distribuição amostral com média x e desvio padrão S, tem-
se:
• O intervalo contém entre 60% e 80% de todas as 
observações amostrais. A porcentagem aproxima-se de 70% para distri-
buições fortemente simétricas, chegando a 90% para distribuições forte-
mente assimétricas.
• O intervalo contém aproximadamente 95% das 
observações amostrais para distribuições simétricas e aproximadamente 
100% para distribuições com assimetria elevada.
• O intervalo contém aproximadamente 100% das 
observações amostrais, para distribuições simétricas.
2º) Teorema de Tchebycheff
Para qualquer distribuição amostral com media x é desvio padrão S, tem-
se:
• O intervalo contém, no mínimo, 50% de todas as ob-
servações amostrais.
• O intervalo contém, no mínimo, 75% de todas as 
observações amostrais.
• O intervalo contém, no mínimo, 89% de todas as 
observações amostrais.
Observação: O intervalo padrão é definido por um conjunto de valores 
(ou uma região) em torno da média aritmética, contidos num intervalo de ampli-
tude “2S ” (duas vezes o desvio padrão), ou seja, -S (antes da média) e +S (depois 
da média). Conforme estudos matemáticos, essa região engloba 68,26% dos valo-
res da série ou dos dados pesquisados.
Fig. 4.1 - Gráfico da zona de Normalidade 
Exemplo: O restaurante “Sabor em kilo” fez um levantamento para saber 
o consumo médio e obteve média de 580 g e o desvio padrão de 210 g, calcule:
a) a amplitude de intervalo da zona de normalidade;
b) a amplitude dos 95% centrais.
Solução:
a) Zona de normalidade: de até 
Sendo = 580 g e S = 210 g calcula-se o intervalo:
 = 580 - 210 = 370 g
 = 580 + 210 = 790 g
Assim, a zona de normalidade é de 370 g até 790 g. Isso representa que 
68% dos clientes do restaurante consomem entre 370 g e 790 g. 
b) amplitude dos 95% centrais: até 
 = 580 – 2.(210) = 160 g
 = 580 + 2.(210) = 1000 g
Assim, a amplitude dos 95% centrais é de 160 g até 1000. Essa amplitude 
indica que 95% dos clientes consomem entre 160 g e 1000 g.
115114 UCDB VirtualUCDB Virtual 4.6 Intervalo Padrão ou Zona de Normalidade
Como pudemos estudar no item 4.5 sobre a interpretação do Desvio Pa-
drão, o Intervalo Padrão ou Zona de Normalidade engloba cerca de 68% da pes-
quisa realizada. Em muitos casos utilizamos o intervalo padrão para especificar 
com maior precisão o que realmente pode ser considerado padrão. Observamos 
esse fato nos exames de sangue que realizamos para saber se estamos dentro do 
padrão. Temos sempre um valor mínimo e um valor máximo na normalidade. Isso 
é facilmente percebido para vários fenômenos cotidianos
Exemplo: Consideremos o exemplo: Número de faltas por mês dos 
 funcionários da Empresa Coisas & tal agosto/08.
Média calculada 
Desvio padrão 
Para calcular o Intervalo padrão ou número padrão de faltas/mês dos 
 funcionários usamos a fórmula:
 
Portanto, o número padrão de faltas por funcionários da Empresa 
 Coisas&Tal é de 0 a 4.
Exemplo: Consideremos o exemplo: Número de filhos dos funcionários 
da Empresa Total/08.
Média calculada filhos/func.
Desvio padrão filhos/func.
Para calcular o Intervalo padrão ou número padrão de filhos dos funcio- 
 nários usamos a fórmula:
Portanto, o número padrão de filhos por funcionários da Empresa 
 Coisas&Tal é de 0 a 5.
4.7 Coeficiente de Variação de Pearson
O desvio padrão por si só não revela muita coisa. Assim, um desvio pa-
drão pode ser considerado pequeno para uma média e para outra é extremamente 
grande. Por exemplo, um desvio padrão de 40 pode ser considerado pequeno para 
uma média de 35, entretanto, se a média for 4, este se torna muito grande.
Quando precisamos comparar duas ou mais séries de valores quanto à sua 
dispersão e variabilidade e esses conjuntos estão expressos em grandezas diferentes 
é preciso dispor de outra medida. Para contornar essas dificuldades e limitações, 
podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados de maneira relativa ao 
seu valor médio. Essa medida que mede o grau de concentração dos valores em 
torno da média é denominada de Coeficiente de Variação.
100.. ⋅=
x
SVC onde S = desvio padrão amostral e x = média amostral
Podemos realizar interpretações do coeficiente de variação através de al-
gumas regras empíricas:
Se: C.V < 15% tem-se baixa dispersão
Se: 15% < C.V. < 30% tem-semédia dispersão
Se: C.V > 30% tem-se elevada dispersão
Podemos classificar as distribuições em homogêneas ou heterogêneas da 
seguinte forma:
Distribuição homogênea: tem coeficiente da variação com baixa ou média 
dispersão (até 30% de variação).
Distribuição heterogênea: tem coeficiente da variação com elevada disper-
são (acima de 30% de variação).
Exemplo: Na Empresa Carrefour, o salário médio dos homens é de 
R$ 1.500,00 com desvio padrão de R$ 650,00 e o salário médio das mulheres é de 
R$ 1.200,00 com desvio padrão de 580,00. A dispersão relativa dos salários é maior 
para os homens?
Solução: Homens: e 
 Mulheres e 
Para os homens: 
Para as mulheres: 
Os Salários das mulheres têm dispersão relativa maior que os salários dos 
homens. As duas distribuições apresentam alta dispersão (C.V. > 30%). 
117116 UCDB VirtualUCDB Virtual
Lista de exercícios 4.1
1. Calcule a amplitude total, a média aritmética, o desvio-padrão e o coeficiente 
de variação dos seguintes conjuntos de números:
 {3; 4; 2; 5; 6 }
1.1 Amplitude Total
a) AT = 5 c) AT = 2
b) AT = 4 d) AT = 3
1.2 Média aritmética
a) = 4.5 c) = 4
b) = 5 d) = 5,1
1.3 Desvio padrão
a) s 1,41 c) s = 1
b) s 1,5 d) s 1
1.4 Coeficiente de variação
a) C.V = 25% c) C.V = 35,25%
b) C.V 35% d) C.V 25,35%
2. {0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,9}
 
2.1 Amplitude Total
a) AT = 0,5 c) AT = 0,2
b) AT = 0,4 d) AT = 0,3
2.2 Média aritmética
a) = 0,63 c) = 0,61
b) = 0,62 d) = 0,6
2.3 Desvio padrão
a) s 0,18 c) s = 0,17
b) s 0,16 d) s 0,19
2.4 Coeficiente de variação
a) C.V = 27% c) C.V = 28%
b) C.V 27,4% d) C.V 26%
3. Número de acidentes ocorridos/mês no Cruzamento “X” em Campo Gran-
de
Fonte: DETRAN/MS (* dados coletados durante 30 meses)
3.1 Média de acidentes/mês:
a) = 1,12 c) = 0,73
b) = 1,2 d) = 0,8
3.2 Moda de acidentes/mês:
a) xmo 1,3 c) xmo = 1
b) xmo = 0 d) xmo 0,3
3.3 Mediana de acidentes/mês:
a) xmd 1,1 c) xmd = 0
b) xmd = 1 d) xmd 0,5
3.4 Desvio médio em relação à mediana:
a) Dm 1,3 c) Dm = 0,73
b) Dm= 1 d) Dm 0
3.5 O desvio padrão de acidentes/mês:
a) sp 1,1 c) sp = 1,09
b) sp= 1,2 d) sp 1
3.6 Calcular o coeficiente de variação.
a) C.V 100% c) C.V = 99%
b) mais de 100% d) C.V= 90%
3.7 O número padrão de acidentes/mês:
a) [ 0 a 3] c) [ 1 a 3]
b) [ 0 a 2] d) [ 2 a 3]
4. Diâmentros de 210 parafusos da fábrica Lenty LTDA//07
4.1 Diâmetro médio
a) 0,53 cm c) 0,51
b) 0,5 cm d) = 0,54
4.2 Diâmetro padrão desse lote :
a) [ 0,5 a 0,6] c) [ 0,35 a 0,65]
b) [ 0,4 a 0,7] d) [ 0,25 a 0,65]
 
119118 UCDB VirtualUCDB Virtual
4.3 Desvio médio em relação à mediana:
a) Dm= 0,12 cm c) Dm 0,1 cm
b) Dm= 0,14 cm d) Dm 0,2 cm
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no ambiente 
virtual de aprendizagem
Exercício pontuado 4.1
1. Considere os seguintes valores A {3, 4, 1, 5, 7}
1.1 Qual a amplitude total?
a) 4 c) 6
b) 5 d) 3
1.2 Qual a média aritimética?
a) 4 c) 3
b) 5 d) 2
1.3 Qual o desvio padrão?
a) 2,5 c) 1
b) 3 d) 2
1.4 Qual o coeficiente de variação?
a) 45% c) 50%
b) 5% d) 5,5%
2. Número de acidentes ocorridos/mês no Cruzamento “X” em Campo Gran-
de
 Fonte: DETRAN/MS (dados coletados durante 30 meses)
2.1 Qual a média de acidentes/mês?
a) 1 c) 1,13
b) 1,45 d) 1,24
2.2 Qual a moda de acidentes/mês?
a) 1 c) 0,5
b) 2 d) 0
2.3 Qual a mediana de acidentes/mês?
a) 2 c) 1,5
b) 1 d) 2,5
2.4 Qual o desvio médio em relação a mediana?
a) 1 c) 1,25
b) 0,93 d) 0,83
2.5 Qual o desvio padrão de acidentes/mês?
a) 0,89 c) 1,25
b) 0,98 d) 1,23
3. Diâmentros de 220 parafusos da fábrica Lenty LTDA/07
3.1 Qual o diâmetro médio?
a) 0,64 c) 0,70
b) 0,54 d) 0,50
3.2 Qual o desvio padrão desse lote?
a) 0,25 c) 0,10
b) 0,20 d) 0,15
3.3 Qual o desvio médio em relação à mediana?
a) 0,21 c) 0,15
b) 0,12 d) 0,17
Submeta sua atividade por meio da ferramenta Questionário.
121120 UCDB VirtualUCDB Virtual
Para completar o estudo do quadro das estatísticas descritivas, resta estu-
darmos as medidas de assimetria e curtose. Estas medidas juntamente com as de 
posição e de dispersão proporcionam a descrição e compreensão completas da 
distribuição de frequência estudada.
Já foi dito que as distribuições de frequências diferem quanto ao valor 
médio, quanto à dispersão dos valores e também quanto à forma. As formas em 
que se apresenta uma distribuição podem ser caracterizadas quanto ao grau de 
deformação ou assimetria e o grau de achatamento ou afilamento da curva de 
freqüências e do Histograma.
5.1 Assimetria
Assimetria
É o grau de afastamento de uma distribuição em relação ao eixo de si-
metria. Uma distribuição simétrica apresenta igualdade entre as medidas média, 
moda e mediana. Caso contrário, a distribuição é denominada assimétrica.
5.1.1 Distribuição Simétrica
Em uma curva totalmente simétrica, a mediana, a moda e a média coin-
cidem.
Xmo = Xmd =
Fig. 5.1 - Curva simétrica
UNIDADE 5: MEDIDAS DE 
ASSIMETRIA E MEDIDAS 
DE CURTOSE
OBJETIVOS DA UNIDADE: Reconhecer 
quando um conjunto de dados se apre-
senta assimétrico. Saber calcular coefi-
ciente de assimetria. Classificar os dados 
em relação ao grau de achatamento da 
curva da distribuição.
5.1.2 Distribuição Assimétrica à Esquerda
Uma distribuição assimétrica à esquerda (ou positiva) é uma curva não si-
métrica, sendo que o valor da moda é menor que a mediana, e por sua vez é menor 
que a média.
 Xmo < Xmd < . 
Fig. 5.2 - Curva asssimétrica à esquerda
5.1.3 Distribuição Assimétrica à Direita
Uma distribuição assimétrica à direita (ou negativa) é uma curva não simé-
trica, sendo que o valor da moda é maior que a mediana e, por sua vez, é maior 
que a média.
 Xmo > Xmd >
Fig. 5.3 Curva Assimétrica à Direita
5.2 Coeficiente de Assimetria
5.2.1 Coeficiente de Pearson
 Sendo: 
123122 UCDB VirtualUCDB Virtual Se:
• AS = 0, diz-se que a distribuição é simétrica. 
• AS > 0, diz-se que a distribuição é assimétrica positiva ou à direita.
• AS < 0, diz-se que a distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda.
O coeficiente de Assimetria de Pearson permite compararmos duas ou 
mais distribuições diferentes e avaliar qual delas é mais assimétrica. Quanto maior 
o coeficiente de Assimetria de Pearson, mais assimétrica é a curva:
• Assimetria fraca se: 0 < |AS| < 0,15
• Assimetria moderada se: 0,15 < |AS| < 1
• Assimetria forte se: |AS| >1
Exemplos: 
1. Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de fre-
quência:
Distribuições Média Moda Mediana
A 30 40 32
B 38 26 34
C 43 43 43
Determine o tipo de assimetria de cada uma delas.
Distribuição A: 40 > 32 > 30 → Xmo > Xmd > x → Distribuição As-
simétrica à Direita.
Distribuição B: 26 < 34 < 38 → Xmo < Xmd < x → Distribuição As-
simétrica à Esquerda.
Distribuição C: 43 = 43 = 43 → Xmo = Xmd = x → Distribuição Si-
métrica
2. Considere a distribuição amostral abaixo:
Tabela 5.1 - Notas do Teste de Raciocínio Lógico do Grupo A
Notas f Medidas
10 ├ 14 10 x = 20
14 ├ 18 20 Xmo =20
18 ├ 22 30 S = 4,64
22 ├ 26 20
26 ├ 30 10
∑ f =90
Como Xmo = x → trata-se de uma curva Simétrica
ASA = → ASA = 0 → O coeficiente de assimétrica é igual a 
zero Isso confirma que se trata de uma curva simétrica.
3. Considere a distribuição amostral abaixo:
Tabela 5.2 - Notas do Teste de Raciocínio Lógico do Grupo B
Teste f Medidas
10 ├ 14 10 x = 21
14 ├ 18 20 Xmo =23.33
18 ├ 22 30 S = 4,38
22 ├ 26 50
26 ├ 30 10
∑ f = 120
Como Xmo > x → trata-se de uma curva assimétrica à direita (ou nega-
tiva).
ASB = → ASB = - 0,53 O coeficiente de assimétrica ne-
gativo confirma que se trata de uma curva assimétrica à esquerda. Como 0,15 < 
|AS| < 1, a distribuição é assimétrica moderada. 
21 - 23,33 0,5319
125124 UCDB VirtualUCDB Virtual
Exercícios resolvidos
1. Considere a tabela que apresenta onúmero de faltas no mês de maio, dos 
acadêmicos de uma turma de Engenharia da UCDB, calcule o coeficiente de 
assimetria e classifique a distribuição.
Tabela 5.6 - Faltas dos acadêmicos do 1° semestre de Engenharia
Número de faltas Número de aluno
2 2
4 4
6 5
8 6
10 7
12 4
14 2
30
O coeficiente de assimetria é calculado através da fórmula 
Observem que precisamos da média, da moda e do desvio padrão. Vamos, então, 
calcular:
Tabela 5.6 - Faltas dos acadêmicos do 1° semestre de Engenharia
N. de faltas 
- Xi
N. de alu-
nos – Fi Xi.Fi 
2 2 4 (2-8,13)2.2=75,1538
4 4 16 (4-8,13)2.4=68,2276
6 5 30 (6-8,13)2.5=22,6845
8 6 48 (8-8,13)2.6=0,1014
10 7 70 (10-8,13)2.7=24,4783
12 4 48 (12-8,13)2.4=59,9076
14 2 28 (14-8,13)2.2=68,9138
30 244 319,467
A média → 
A moda → a classe modal é a quinta classe onde a frequência é 7→ 
O desvio padrão → 
Portanto → Assimetria negativa moderada
2. Considere a tabela que apresenta o número de faltas no ano dos funcionári-
os de uma empresa e calcule o coeficiente de assimetria classificando a dis-
tribuição.
As -0,56 8,13 - 10= =3,32
Tabela 5.7 - Faltas dos funcionários de uma empresa
Número de faltas Número de funcionári-
os
2 ├ 4 6
4 ├ 6 9
6 ├ 8 11
 8 ├ 10 16
10 ├ 12 13
12 ├ 14 10
14 ├ 16 5
70
O coeficiente de assimetria é calculado através da fórmula 
Precisamos da média, da moda e do desvio padrão. Vamos, então, calcular:
Tabela 5.7 - Faltas dos funcionários de uma empresa
N. de 
faltas 
N. de funcionários – 
Fi
Xi Xi.Fi 
2 ├ 4 6 3 18 (3-9,03)2.6=218,1654
4 ├ 6 9 5 45 (5-9,03)2.9=146,1681
6 ├ 8 11 7 77 (7-9,03)2.11=45,3299
 8 ├ 10 16 9 144 (9-9,03)2.16=0,0144
10 ├ 12 13 11 143 (11-9,03)2.13=50,4517
12 ├ 14 10 13 130 (13-9,03)2.10=157,609
14 ├ 16 5 15 75 (15-9,03)2.5=178,2045
70 632 795,943
A média → 
A moda → a classe modal é a quarta classe onde a frequência é 16, portanto temos:
Limite inferior da classe → Li = 8 
Freq. da classe anterior → 11
Freq. da classe posterior → 13
 
O desvio padrão → 
 → Assimetria negativa fraca
127126 UCDB VirtualUCDB Virtual 5.3 Medidas de Curtose
Denominamos curtose o grau de achatamento (ou afilamento) de uma 
distribuição em relação a uma distribuição padrão (chamada curva normal pa-
drão).
De acordo com o grau da curtose, as curvas de frequência podem se clas-
sificar em três tipos:
• Mesocúrtica: é a curva chamada de curva normal padrão.
• Leptocúrtica: é a curva que se apresenta mais fechada (ou mais afila-
da).
• Platicúrtica: é a curva mais aberta (ou mais achatada).
Figura 5.4 - Curvas com diferentes tipos de achatamento
5.4 Coeficiente de curtose
Uma curva normal apresenta um coeficiente de curtose de valor C = 
0,263, assim podemos estabelecer comparações entre as diversas curvas e classi-
ficá-las.
• C = 0,263 → corresponde a curva mesocúrtica.
• C < 0,263 → corresponde a curva leptocúrtica.
• C > 0,263 → corresponde a curva platicúrtica.
Exemplo: 
Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequên-
cia:
 Distribuições Q1 Q3 P10 P90
A 3 15 2 25
B 30 45 26 49
C 4 18 2 25
Determine o coeficiente de curtose e classifique a distribuição.
• = 0,261→ corresponde à curva lep-
tocúrtica.
• = 0,326 → corresponde à curva plati-
cúrtica.
• = 0,304→ corresponde à curva plati-
cúrtica.
Acompanhe mais alguns exemplos:
1. Tabela sem intervalo de classe. Considere a tabela que apresenta o nú-
mero de faltas no mês dos acadêmicos de uma classe de Engenharia da UCDB. 
Calcule o coeficiente de curtose e classifique a distribuição
Tabela 5.8 - Faltas dos acadêmicos
Faltas Acadêmicos
2 2
4 4
6 5
8 6
10 7
12 4
14 2
30
Para o cálculo do coeficiente de curtose precisamos determinar:
Q3 → O terceiro quartil
Q1 → O primeiro quartil
P90 → Percentil noventa
P10 → Percentil dez
Vamos preparar a tabela para estes cálculos
 Tabela 5.8 - Faltas dos acadêmicos
Faltas Acadêmicos Fa
2 2 2
4 4 6 (x3) está nesta classe → Classe do P10 → x3=4
6 5 11 (x7,5) está nesta classe → Classe do Q1→ x7,5=6
8 6 17
10 7 24 (x22,5) está nesta classe → Classe do Q3 → x22,5=10
12 4 28 (x27) está nesta classe → Classe do P90 → x27=12
14 2 30
30
129128 UCDB VirtualUCDB Virtual
Como a tabela é sem intervalo de classe temos:
Q3= 10 Q1 = 6 P90 = 12 P10 = 4
Calculando o coeficiente de curtose: 
 
Como C = 0,250 < 0,263 Concluímos que a curva é LEPTOCÚRTICA
2. Tabela com intervalo de classe. Considere a tabela que apresenta o nú-
mero de faltas no ano dos funcionários de uma empresa Calcule o coeficiente de 
curtose e classifique a distribuição.
Para o cálculo do coeficiente de curtose precisamos determinar:
Q3 → O terceiro quartil
Q1 → O primeiro quartil
P90 → Percentil noventa
P10 → Percentil dez
Vamos preparar a tabela para estes cálculos
Tabela 5.8 - Número de faltas dos acadêmicos
Faltas Número de funcionários Fa
2 ├ 4 6 6
4 ├ 6 9 15
6 ├ 8 11 26
 8├ 10 16 42
10 ├ 12 13 55
12 ├ 14 10 65
14 ├ 16 5 70
70
Como a tabela é com intervalo de classe temos:
Calculando o coeficiente de curtose →
Como C = 0,276 > 0,263 Concluímos que a curva é PLATICÚRTICA
Exercícios Resolvidos
1. Calcular o coeficiente de Curtose para os dados da tabela 5.6, sem intervalo de 
classe.
Tabela 5.9 - Faltas dos funcionários de uma empresa
Número de faltas Número de aluno
2 2
4 4
6 5
8 6
10 7
12 4
14 2
30
Para o cálculo do coeficiente de curtose precisamos determinar:
Q3 → O terceiro quartil
Q1 → O primeiro quartil
P90 → Percentil noventa
P10 → Percentil dez
Vamos preparar a tabela para estes cálculos:
131130 UCDB VirtualUCDB Virtual
Faltas Número de 
alunos
Fa
2 2 2
4 4 6 (x3) está nesta classe P10 → x3=4
6 5 11 (x7,5) está nesta classe Q1→ x7,5=6
8 6 17
10 7 24 (x22,5) está nesta classe Q3 → x22,5=10
12 4 28 (x27) está nesta classe P90 → x27=12
14 2 30
30
Como a tabela é sem intervalo de classe, temos:
Q3= 10 Q1 = 6 P90 = 12 P10 = 4
Calculando o coeficiente de curtose → 
Como C = 0,250 < 0,263 Concluímos que a curva é LEPTOCÚRTICA.
2. Calcular o coeficiente de Curtose para os dados da tabela 5.7, com intervalo 
de classe.
Tabela 5.10 - Número de faltas dos funcionários de uma empresa
Número de faltas Número de funcionários
2 ├ 4 6
4 ├ 6 9
6 ├ 8 11
 8 ├ 10 16
10 ├ 12 13
12 ├ 14 10
14 ├ 16 5
70
Para o cálculo do coeficiente de curtose, precisamos determinar:
Q3 → O terceiro quartil
Q1 → O primeiro quartil
P90 → Percentil noventa
P10 → Percentil dez
Vamos preparar a tabela para estes cálculos.
Tabela 5.10 - Número de faltas dos funcionários de uma empresa
Faltas N. de funcionários Fa
2 ├ 4 6 6
4 ├ 6 9 15 Classe do P10
6 ├ 8 11 26 Classe do Q1
 8 ├ 10 16 42
10 ├ 12 13 55 Classe do Q3
12 ├ 14 10 65 Classe do P90
14 ├ 16 5 70
70
Como a tabela é com intervalo de classe temos:
Calculando o coeficiente de curtose →
Como C = 0,276 > 0,263 Concluímos que a curva é PLATICÚRTICA
133132 UCDB VirtualUCDB Virtual
1. A Empresa “ENERSUL” MS/07 procurou estudar a ocorrência de acidentes 
com os seus funcionários, conforme tabela abaixo. 
Número de acidentes/mês dos funcionários acidentados /mês da enersul/
MS/07
1.1 Calcule o coeficiente de assimetria e classifique a distribuição.
a) AS=1,6 Assimetria positiva forte
b) AS=0 Simétrica
c) AS= - 1,6 Assimetria negativa forte
d) AS= - 0,19 Assimetria negativa moderada
1.2 Determine o coeficiente de curtose e classifique a distribuição quanto ao 
grau de achatamento. 
a) C=0,200 leptocúrtica
b) C=0,200 mesocúrtica
c) C= 0,268 platicúrtica
d) C= 0,268 leptocúrtica
2. A tabela abaixo apresenta dados sobre uma pesquisa amostral em 80 residências de 
Campo Grande/MS/07 sobre o consumo elétrico, conforme tabela abaixo. 
Consumo elétrico (kwh) em residências de Campo Grande/MS/07
2.1 Classifique o coeficiente de assimetria e classifique a distribuição.
a) AS=0,18 Assimetria positiva moderada
b) AS=- 0,18 Assimetria negativa fraca 
c) AS=- 0,11 Assimetria negativafraca
d) AS=0,11 Assimetria positiva forte
Exercício pontuado 5.1 2.2 Determine o coeficiente de curtose e classifique a distribuição.a) C=0,480 platicúrtica
b) C=0,280 platicúrtica
c) C= 0,284 platicúrtica
d) C= 0,253 leptocúrtica 
 Submeta sua atividade por meio da ferramenta Questionário.
135134 UCDB VirtualUCDB Virtual
A Estatística consiste em trabalhar com o acaso e a incerteza. A teoria da 
probabilidade é um importante instrumento analítico em uma sociedade que é 
forçada a medir incertezas. Tanto nos negócios como nas situações corriqueiras 
da vida, temos nossa opinião, mas não temos certeza do resultado do que nos 
propomos a realizar. Podemos estar incertos se devemos ou não promover uma 
oferta de certo produto, se existe congestionamento no trânsito no roteiro do 
nosso caminho, se existe vírus no software que pretendemos instalar, se devemos 
negociar com determinado sindicato quando há forte indício de greve, se deve-
mos investir em determinado equipamento quando há boas chances de recupe-
rarmos o investimento a ser efetuado, contratar determinado funcionário que nos 
parece ser promissor, etc.
Nesta unidade veremos como a incerteza pode realmente ser medida, 
como associar-lhe números e como interpretar estes valores chamados de “pro-
babilidades”, que vão nos permitir a tomar decisões adequadas, auxiliar a desen-
volver estratégias. O ponto principal é a possibilidade de quantificar o quanto 
provável será a ocorrência de determinada situação.
6.1 A Probabilidade de um Evento
As probabilidades devem sempre estar relacionadas a algum “evento”, 
que pode ser o mais variado possível: chuva, lucro, nascer menina, ocorrer uma 
carta de ouro, sair ponto 6 no dado, sair bola vermelha de uma urna, etc.
A probabilidade de um evento A, é representada por P(A) e será sempre 
um número entre 0 e 1 e indica a chance de ocorrência do evento A. Quanto mais 
próxima de 1 é a P(A), maior será a chance de ocorrência do evento A, e quanto 
mais próxima de zero, menor a chance de ocorrência do evento A.
A um evento impossível temos que P(A) = 0 (a probabilidade de se obter 
ponto 7 ao se jogar um dado).
A um evento certo temos que P(A) = 1 (a probabilidade de sair cara ou 
coroa quando se joga uma moeda).
Portanto, temos que .
UNIDADE 6: 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
DE PROBABILIDADES OBJETIVOS DA UNIDADE: - Explorar a variabilidade dos 
dados,introduzindo a probabilidade como 
uma medida de possibilidade. 
- Entender e diferenciar o significado de 
proporcionalidade, proporção, o que é 
provável e presumível. 
- Observar as regras da probabilidade em 
cada situação.
As probabilidades podem ser expressas em decimais, porcentagens ou fra-
ções:
0,10 = 10% = ; 0,25 = 25% = 4
1 1 = 100%
6.2 Espaço Amostral e Eventos
Uma experiência aleatória deve ser subentendida sempre que for possível:
- repetir a experiência indefinidamente, fixadas algumas condições;
- mesmo mantendo as condições iniciais, sempre será impossível influen-
ciar no resultado.
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de 
uma ex
periência, resultados estes que podem ser de natureza quantitativa ou 
qualitativa.
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral, isto é, qualquer 
resultado ou conjunto de resultados do espaço amostral. Portanto os resulta-
dos de um experimento chamam-se eventos.
Conjunto é uma coleção bem definida de objetos e itens.
Podemos descrever os elementos de um conjunto de duas maneiras:
- relacionando todos eles, ou relacionando apenas um número suficiente 
deles, de modo a deixar claro quais são os elementos do conjunto.
Ex: 
- enunciando uma regra, ou a definição das características comuns aos 
elementos do conjunto.
Ex: B = { todos os inteiros positivos menores que 9 } 
Para podermos falar de probabilidades, temos de ter sempre um espaço 
amostral, que é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. O 
termo experimento sugere a incerteza do resultado.
Espaço amostral é o conjunto dos resultados possíveis de uma 
experiência.
Eventos são os resultados possíveis desta experiência.
Por exemplo, um experimento pode consistir na retirada de uma carta de 
um baralho, registrando a cor da carta. O espaço amostral será constituído pelas 
duas cores possíveis: vermelha ou preta. O experimento poderia também ser a res-
peito dos naipes, neste caso o espaço amostral será composto pelos quatro naipes 
possíveis: ouro, paus, copas e espadas.
137136 UCDB VirtualUCDB Virtual Outro experimento poderia consistir na inspeção de uma máquina de uma 
fábrica, com vistas à ocorrência de peças com defeitos durante o espaço de tempo 
de uma hora, o espaço amostral pode ser 0, 1, 2, 3, 4, ... n peças.
6.3 Métodos do Cálculo da Estimativa: Clássico; Frequência 
relativa e Subjetivo 
O cálculo da estimativa da ocorrência de um evento será igual à razão entre o 
número de casos favoráveis e o número de casos possíveis de ocorrer, sendo todos igual-
mente prováveis.
 onde
P(A) = probabilidade de ocorrer o evento A
n(A) = número de elementos do evento A
n(U) = número total de resultados possíveis
Exemplos:
1. Qual a probabilidade de se obter um ponto par no lançamento de um dado?
2. Lançando-se duas vezes uma moeda, qual a probabilidade de ocorrer duas 
“caras”?
Seja c a ocorrência de “cara” e k a ocorrência de “coroa”.
Os casos possíveis de ocorrer são os arranjos: cc, ck, kc, kk
3. Qual a probabilidade de se obter uma “dama” retirando-se ao acaso uma carta 
de um baralho?
Baralho → 13 cartas de cada naipe e 4 naipes → total 52 cartas
4. No lançamento de dois dados e na observação dos pontos das faces 
superiores, determine a probabilidade dos seguintes eventos:
a) O produto ser menor que 20 
b) A soma ser um número de 4 a 10 
Sempre que lançamos 2 dados, temos 36 resultados possíveis, portanto, 
n(U) = 36
Resultados possíveis no lançamento de dois dados
obs: 
a) O produto ser menor que 20
 
Quero que o produto dos pontos obtidos seja menor que 20. Dentre os 36 
resultados possíveis vamos verificar quantos têm o produto menor que 20: (não 
pode ser 20)
Resultados possíveis no lançamento de dois dados, cujos produtos são 
menores que 20:
Portanto, como 
b) A soma ser um número de 4 a 10 
Quero que a soma dos pontos obtidos seja um valor de 4 a 10, podendo 
ser 4 e podendo ser 10. Dentre os 36 resultados possíveis, vamos verificar quantos 
têm a soma de 4 a 10
139138 UCDB VirtualUCDB Virtual Resultados possíveis no lançamento de dois dados, cujas somas têm re-
sultado de 4 a 10
Portanto, como 
5. Em uma urna temos: 6 bolas Brancas; 8 bolas Vermelhas e 5 bolas Pre-
tas. Vamos retirar ao acaso 2 bolas. Calcular a probabilidade de:
a) Serem ambas Brancas
b) Serem as duas Pretas
Temos na urna: 6 bolas Brancas (B1, B2, B3, B4, B5 e B6)
 8 bolas Vermelhas (V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7 e V8)
 5 bolas Pretas (P1, P2, P3, P4 e P5)
Dentro da Urna, temos um total de (6+8+5=19) → 19 bolas 
Vamos retirar 2, vamos combinar estas 19 bolas 2 a 2: (B1V1), (B2,V1), 
(P4B5) de quantas maneiras diferentes estas 19 bolas podem se combinar?
Combinação de 19 bolas tomadas 2 a 2 → 19C2
Pode ser calculado pela fórmula:
Ou diretamente na calculadora 19C2=171 (19 tecla nCr e 2, 
19nCr2=171)
→ temos 171 maneiras diferentes de retirarmos 2 bolas
a) A probabilidade de serem as duas Brancas
Queremos retirar 2 bolas brancas, de quantas maneiras isto pode ocorrer?
Como temos 6 bolas brancas, temos que fazer a combinação destas 6 bolas 
brancas 2 a 2, ou seja, 6C2, pela fórmula temos:
Ou, diretamente na calculadora 6C2 = 15.
Agora aplicamos a fórmula para o cálculo da probabilidade:
A probabilidade de retirarmos duas bolas brancas será de 8,77%
b) Qual a probabilidade de serem as duas Pretas?
Queremos retirar 2 bolas pretas, de quantas maneiras isto pode ocorrer?
Como temos 5 bolas pretas, temos que fazer a combinação destas 5 bolas 
pretas 2 a 2, ou seja, 5C2, pela fórmula temos:
Ou, diretamente na calculadora5C2 = 10, 
Agora aplicamos a fórmula para o cálculo da probabilidade:
A probabilidade de retirarmos duas bolas pretas será de 5,85%
6. Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 bolas vermelhas. Ao acaso, duas bolas 
vão ser retiradas da urna simultaneamente. Qual a probabilidade de que estas bolas sejam 
brancas?
Tenho dentro da urna 5 bolas brancas, quero retirar duas.
Existem C5,2 (combinação de 5 bolas tomadas duas a duas) maneiras de sair as 
bolas brancas.
141140 UCDB VirtualUCDB Virtual Existem C11,2 (combinação das 11 bolas tomadas duas a duas) maneiras de sair 
as bolas.
A = {combinações das 5 bolas brancas tomadas 2 a 2 } → 
U = {combinações das 11 bolas tomadas 2 a 2 } → 
Observe que (este valor pode ser obtido usando a calculadora 
científica)
Lista de exercícios 6.1
1. Qual a probabilidade de se obter ponto menor que 3 quando se joga um 
dado?
a) 50% 
b) 33,33% 
c) 25% 
d) 66,66%
2. Extrai-se uma carta de um baralho, qual a probabilidade de se obter:
2.1 Uma figura?
a) 23,08% 
b) 1,92% 
c) 3,85% 
d) 13,08%
2.2 Um “valete” ou um “rei”?
a) 17,08% 
b) 25,38% 
c) 5,38% 
d) 15,38%
2.3 Uma carta vermelha?
a) 25% 
b) 75% 
c) 50% 
d) 35%
3. Em uma urna temos: 30 bolas azuis, 25 bolas pretas, 20 bolas vermelhas e 15 
bolas brancas, e vamos retirar ao acaso uma bola desta urna. Qual a probabi-
lidade dela ser:
3.1 Azul?
a) 22,06% 
b) 30% 
c) 25% 
d) 33,33%
3.2 Preta?
a) 17,28% 
b) 27,78% 
c) 28,87% 
d) 18,38%
3.3 Vermelha?
a) 22,22% 
b) 33,33% 
c) 37,25% 
d) 25,25%
3.4 Branca?
a) 11,25% 
b) 25% 
c) 16,67% 
d) 67,67% 
3.5 Branca ou vermelha?
a) 38,89% 
b) 30% 
c) 45,2% 
d) 28,89% 
 
3.6 Azul ou branca?
a) 30% 
b) 40% 
c) 25% 
d) 50% 
4. No lançamento simultâneo de 2 dados, qual a probabilidade de que:
4.1 A soma dos pontos obtidos seja 9?
a) 22,22% 
b) 11,11% 
c) 30% 
d) 25%
4.2 O produto dos pontos obtidos seja menor que 20?
a) 65% 
b) 67,67% 
c) 34,5% 
d) 77,78% 
4.3 Os pontos obtidos sejam iguais?
a) 16,67% 
b) 65% 
c) 26,65% 
d) 32,25%
U
143142 UCDB VirtualUCDB Virtual
Observação: 
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no 
ambiente virtual de aprendizagem.
Lista de exercícios 6.2
1. No lançamento de dois dados e na observação dos pontos das faces superio-
res determine a probabilidade do produto ser menor que 15.
a) 55,55% 
b) 61,11% 
c) 63,89% 
d) 41,66%
2. Em uma urna temos: 10 bolas azuis, 20 bolas pretas e 22 bolas vermelhas, 
e vamos retirar ao acaso uma bola desta urna. Qual a probabilidade dela ser 
preta?
a) 38,46% 
b) 20% 
c) 22% 
d) 19,23%
3. Extrai-se uma carta de um baralho, qual a probabilidade de se obter um 
“ás”?
a) 76,92% 
b) 0,76% 
c) 5,77% 
d) 7,69%
4. Extrai-se uma carta de um baralho, qual a probabilidade de se obter uma 
figura preta?
a) 50% 
b) 11,54% 
c) 1,15% 
d) 17,31%
 Submeta a atividade por meio da ferramenta Questionário.
Os eventos podem relacionar-se entre si de maneira complementar, mu-
tuamente excludente ou ainda coletivamente exaustivo.
Exemplos:
1. São eventos complementares:
a) Joga-se uma moeda. Evento A = sair cara; Evento B = sair coroa.
b) Joga-se um dado. Evento A = sair um número par; Evento B = sair um 
número ímpar.
c) Ocorre um acidente no trânsito. Evento A = sair ferido; Evento B = 
sair não ferido.
2. São eventos mutuamente excludentes:
a) Número de irmãos de cada aluno da sala. Ter 1 irmão; 2 irmãos; 3 ir-
mãos.
b) Tirar nota abaixo da média; tirar nota acima da média.
c) Dirigir um carro, andar a pé.
3. São eventos coletivamente exaustivos:
a) Ganhar, perder ou empatar num jogo de futebol.
b) Ser feliz ou não ser feliz.
c) Ter sido promovido ou não ter sido promovido.
A estimativa da ocorrência de um evento pode ser determinada de 3 ma-
neiras:
1. Método Clássico: Quando o espaço amostral tem resultados igualmen-
te prováveis.
Exemplo: Em uma caixa temos 10 fusíveis “bons” e 3 “defeituosos”. 
Retira-se um fusível ao acaso, a probabilidade dele ser defeituoso é de:
2. Método Empírico: Tem como base a frequência relativa de ocorrência 
145144 UCDB VirtualUCDB Virtual de um evento num grande número de provas repetidas.
Exemplo: Uma pesquisa de tráfego realizada no trecho de uma avenida 
revelou que dos 200 carros que foram vistoriados 25 tinham pneus em más con-
dições. A probabilidade de que o próximo carro a ser vistoriado tenha pneus bons 
é:
3. Método Subjetivo: Utiliza estimativas pessoais de probabilidade, ten-
do como base um certo grau de crença, ou seja, a probabilidade neste caso é uma 
avaliação pessoal do grau de viabilidade de um evento.
Exemplo: Um corretor de seguros estima em 30% a probabilidade de 
vender hoje uma apólice de seguros a um jovem casal.
6.4 A Matemática da Probabilidade
Muitas aplicações de estatística utilizam a probabilidade de “combina-
ções” de eventos: União ou intersecção de dois eventos.
a) Evento União: Ocorrer o evento A ou o evento B. A probabilidade de 
ocorrer um evento A ou um evento B (ou ambos) numa prova é igual à soma das 
probabilidades dos eventos ocorrerem separadamente, menos a probabilidade de 
ocorrerem simultaneamente.
Exemplos:
1. Qual a probabilidade de sair 5 ou 6 quando se joga um dado?
2. Qual a probabilidade de sair um número par ou um número menor que 
3 quando se joga um dado?
b) Evento Intersecção: Ocorrer o evento A e o evento B. A probabi-
lidade de dois eventos A e B ocorrerem simultaneamente numa prova é igual à 
probabilidade de um, multiplicada pela probabilidade condicional do outro em 
relação ao primeiro.
Quando os eventos A e B forem independentes (quando a ocorrência de 
um não influencia a ocorrência do outro), então:
Exemplos:
1. Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho, qual a probabili-
dade de ocorrer “figura” e “espadas”?
2. Jogam-se duas moedas, qual a probabilidade de ocorrer cara nas duas?
A = sair cara na 1ª moeda B = sair cara na 2ª moeda
Sair cara na segunda moeda, não depende do resultado da primeira, A e B 
são eventos independentes.
3. Uma rifa é composta por 50 números e irá definir o ganhador de 2 prê-
mios sorteados um de cada vez. Se você adquiriu 5 números, qual é a probabilidade 
de ganhar os 2 prêmios?
147146 UCDB VirtualUCDB Virtual • Quero ganhar o primeiro e o segundo prêmio.
• Ganhar o primeiro prêmio → 
• Para o segundo prêmio, tenho 4 números e restam 49 números →
• 
4. Um projeto, para ser transformado em lei, deve ser aprovado pela Câ-
mara dos Deputados e pelo Senado. A probabilidade de que certo projeto seja 
aprovado pela Câmara dos Deputados é de 40%. Caso seja aprovado na Câmara 
dos Deputados, a probabilidade de ser aprovado no Senado é de 80%. Calcule a 
probabilidade deste projeto ser transformado em lei.
• O projeto deve ser aprovado pela Câmara dos Deputados e pelo Sena-
do.
 5. Uma urna A contém 6 bolas vermelhas e 8 bolas azuis e uma urna B contém 
4 bolas vermelhas e 6 azuis. Uma prova consiste em retirar, ao acaso uma bola da urna 
A e passar para a urna B e, em seguida retirar uma bola da urna B. Qual a probabilidade 
de que ela seja azul?
• 1° caso: Passamos uma bola vermelha para a urna B → 
• Na urna B ficamos com 5V e 6A com um total de 11 bolas, agora deve-
mos tirar uma bola azul da urna B.
• Probabilidade de sair Azul da urna B → 
• A probabilidade de passarmos uma bola vermelha e tirar uma bola 
Azul 
será: 
• 2° caso: Podemos também passar uma bola azul para a urna B →
• Na urna B ficaram 4V e 7A, total de 11 bolas, agora devemos tirar uma 
bola azul da urna B.
• Probabilidade de sair Azul da urna B →
• A probabilidade de passarmos uma bola Azul e tirar uma bola Azul 
será: 
• Como podeacontecer o 1° caso ou o 2° caso, concluímos que:
6. Um piloto de Fórmula Um tem 50% de probabilidade de vencer deter-
minada corrida, quando esta se realiza sob chuva. Caso não chova durante a cor-
rida, sua probabilidade de vitória é de 25%. Se o serviço de Meteorologia estimar 
em 30% a probabilidade de que chova durante a corrida, qual a probabilidade deste 
piloto ganhar esta corrida? 
• O piloto pode ganhar a corrida com chuva ou sem chuva.
• Ganhar com chuva = 50% 
e probabilidade de chover = 30% → 0,5 • 0,3 = 0,15.
• Ganhar sem chuva = 25% 
e probabilidade de não chover =70% → 0,25 • 0,7 = 0,175.
• 
7. Uma rifa composta por 85 números irá definir o ganhador de 3 prêmios 
sorteados, um de cada vez. Se você adquiriu 4 números, qual é a probabilidade de 
ganhar os 3 prêmios?
Devemos observar que para ganharmos os 3 prêmios, temos que ganhar 
o primeiro E ganhar o segundo premio E ganhar o terceiro premio → Evento 
Intersecção, onde os 3 eventos são independentes.
149148 UCDB VirtualUCDB Virtual 8. Em uma sala há 6 homens e 4 mulheres e na outra sala há 8 homens e 
9 mulheres. Ao tocarem a campainha da porta, sai uma pessoa de cada sala para 
atender. Qual a probabilidade de que sejam de sexos diferentes?
Neste exemplo, devemos observar que teremos que utilizar os dois casos 
juntos, da União e da Intersecção.
Sair um homem da sala A E uma mulher da sala B OU uma mulher da sala 
A E um homem da sala B.
 9. Em uma urna temos: 6 bolas brancas (B1, B2, B3, B4, B5 e B6)
 8 bolas vermelhas (V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7 e V8)
 5 bolas pretas (P1, P2, P3, P4 e P5)
Vamos retirar ao acaso 2 bolas. Qual a probabilidade de serem uma branca 
e uma vermelha?
Vamos retirar 2, de quantas maneiras diferentes estas 19 bolas podem 
sair?
Vamos COMBINAR estas 19 bolas 2 a 2 (calculado no exemplo 5 do item 
anterior)
→ temos 171 maneiras diferentes de retirarmos 2 bolas
Quero que uma seja branca e a outra vermelha, temos que usar aqui o 
teorema do produto P(A) . P(B)
As possibilidades de termos uma branca será 
As possibilidades de termos uma vermelha será 
As possibilidades de termos uma branca e uma vermelha será (6 x 8) = 48
6.5 Técnicas de Contagem
Ao utilizarmos o método Clássico para determinarmos a probabilidade de 
um determinado evento, é preciso conhecer o número total de resultados possíveis 
de um experimento, para isto empregamos técnicas de contagem.
Listar os resultados possíveis.
Responder questões do tipo Verdadeiro ou Falso.
Se houver apenas uma questão, as possibilidades serão: 
V ou F → 2 possibilidades.
Se tivermos 2 questões, as possibilidades serão: 
VV; VF; FV ou FF → 4 possibilidades.
Quando tivermos 3 questões, as possibilidades serão: 
VVV; VVF; VFV; VFF; FVV; FVF; FFV; FFF → 8 possibilidades
Podemos aprimorar esta técnica de contagem no emprego das árvores de 
decisão:
 Fig. 6.1 - A utilização de um diagrama em árvore
Pois podemos ter cada bola branca com cada uma das bolas vermelhas
 
151150 UCDB VirtualUCDB Virtual Podemos expandir o diagrama em árvore, para quantas questões forem 
necessárias, mas não é prático, se tivéssemos três alternativas complicaria ainda 
mais, mesmo porque não necessitamos de todos os resultados, e sim, sabermos 
quantos resultados é possível, para isso utilizamos o princípio da multiplicação.
O princípio da multiplicação afirma que, se o primeiro experimento admi-
te a resultados possíveis, o segundo tem b resultados possíveis, podendo ocorrer 
qualquer combinação desses resultados, então o número de resultados possíveis 
deste experimento será a x b.
• Jogando-se uma moeda e um dado, a moeda pode apresentar dois resul-
tados e o dado pode apresentar seis resultados, logo o número total de resultados 
é 2 • 6 = 12.
• Na jogada de 3 dados, cada um pode apresentar 6 resultados diferentes, 
o número de resultados possíveis é 6 • 6 • 6 = 216.
• Tenho 5 camisas e 3 gravatas diferentes, o número de resultados possí-
veis de camisas e gravatas será: 5 • 3 =15.
• A probabilidade de um aluno que responde aleatoriamente 10 testes do 
tipo “verdadeiro ou falso” acertar todas as 10 questões será:
Número de resultados possíveis 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 210 = 
1024
Destes 1024 resultados possíveis apenas um tem a combinação dos 10 resul-
tados corretos, logo → P (10 resultados corretos) = 
Quando a ordem dos elementos não importa, o número de todas as com-
binações possíveis será dado por: 
• Quantos comitês, podemos formar com 3 pessoas cada um, se temos 
um grupo de 10 pessoas? 
Podemos formar 120 comitês diferentes.
• De quantas maneiras podemos formar representações compostas por 1 
homem e 2 mulheres se dispomos de 5 mulheres e 6 homens?
• A Pizzaria “La Gôndola” oferece os seguintes tipos de pizza: presunto, 
cogumelo, pimentão, atum, tomate e mussarela. De quantas maneiras podemos 
escolher 3 tipos de pizza?
 podemos fazer o pedido de 20 maneiras diferentes.
Lista de exercícios 6.3
1. O Sr Pedro guarda seu dinheiro em uma caixa. Esta contém 3 notas de 
R$ 100,00; 5 notas de R$ 50,00; 6 notas de R$ 10,00 e 8 notas de R$ 5,00. Se ele 
retirar da caixa duas notas simultaneamente e ao acaso, qual a probabilidade 
de que uma seja de R$ 100,00 e a outra de R$ 50,00?
a) 8,6% 
b) 6,5% 
c) 15% 
d) 10,6%
2. Uma rifa é composta por 100 números e irá definir o ganhador de 3 prêmios 
sorteados um de cada vez. Se você adquiriu 4 números, qual é a probabilidade 
de ganhar os 3 prêmios?
a) 0,001% 
b) 5% 
c) 0,002% 
d) 2%
3. Uma urna A contém 8 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Outra urna contém 
6 bolas brancas e 7 bolas vermelhas. Passa-se uma bola, da urna A para a urna 
B, e em seguida retira-se uma bola da urna B. Qual a probabilidade desta bola 
ser branca?
a) 47,25% 
b) 67,8% 
c) 56,8% 
d) 75,2%
4. Um vendedor prevê que a probabilidade de consumar uma venda durante o 
primeiro contato telefônico com um cliente é de 45%, mas melhora para 60% 
no segundo contato, caso o cliente não tenha comprado no primeiro contato. 
Suponha que este vendedor faça no máximo dois contatos para cada cliente. Se 
ele entrar em contato com um cliente calcule a probabilidade dele:
4.1 Efetuar a compra: 
a) 78% 
b) 45% 
c) 65% 
d) 25%
4.2 Não efetuar a compra:
a) 45% 
b) 75% 
c) 65% 
d) 22%
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no 
ambiente virtual de aprendizagem.
153152 UCDB VirtualUCDB Virtual
Exercício pontuado 6.1
1. Três companhias A, B e C disputam a obtenção do contrato de fabricação 
de um foguete meteorológico. A chefia do departamento de vendas de A esti-
ma que sua companhia tem probabilidade igual à da companhia B de obter o 
contrato, mas que por sua vez é igual a duas vezes a probabilidade de C obter o 
mesmo contrato. Determine a probabilidade de A ou C obter o contrato.
a) 60% 
b) 50% 
c) 40% 
d) 70%
2. Numa sala há 6 homens e 4 mulheres e numa outra sala há 8 homens e 9 
mulheres. Ao tocarem a campainha da porta, sai uma pessoa de cada sala para 
atender. Qual a probabilidade de que ambas sejam do mesmo sexo?
a) 33,33% 
b) 39,41% 
c) 49,41% 
d) 66,84%
3. Uma empresa avalia em 60% a sua probabilidade de ganhar uma concor-
rência para o recolhimento do lixo em um bairro A da capital. Se ganhar a 
concorrência no bairro A, acredita que tem 90% de probabilidade de ganhar 
outra concorrência para o recolhimento do lixo em um bairro B, próximo de A 
Determine a probabilidade de a empresa ganhar ambas as concorrências?
a) 45% 
b) 54% 
c) 75% 
d) 57%
 
4. Um aluno propõe-se a resolver uma questão de um trabalho. A probabilida-
de de que consiga resolver a questão sem necessidade de pesquisa é de 40%. 
Caso faça a pesquisa, a probabilidade de que consiga resolver a questão é de 
70%. Se a probabilidade do aluno fazer a pesquisa é de 80%,calcule a probabi-
lidade de que consiga resolver a questão.
a) 60% 
b) 64% 
c) 84% 
d) 70%
Submeta a atividade por meio da ferramenta Questionário.
7.1 Conceito de variável aleatória
Quando temos que tomar alguma decisão, que leva em conta a incerteza, 
não podemos ter como base apenas a probabilidade, devemos também analisar 
qual o tipo de variável em questão.
Se uma variável tem resultados ou valores que tendem a variar de uma 
observação para outra dependendo de fatores relacionados, chama-se variável ale-
atória. Na prática, é desejável que se defina uma variável aleatória em relação a uma 
amostra ou experimento, de tal modo que a seus resultados possam corresponder 
valores numéricos.
Variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo 
valor é determinado por fatores de chance.
Considere as seguintes situações:
• Um vendedor recebe uma lista com 15 nomes de possíveis compradores 
de seguros que deve visitar a cada dia. A experiência do vendedor é de 
que vende 5 seguros por dia. Qual a probabilidade de que hoje ele venda 
7 seguros?
 - Variável aleatória: número de seguros vendidos por dia.
• Um estudante responde a um teste do tipo verdadeiro-falso com 10 ques-
tões, das quais precisa acertar pelo menos seis. Ele se preocupa apenas 
com a probabilidade de conseguir atingir o resultado esperado, sem se 
preocupar com as questões.
 - Variável aleatória: número de acertos.
• Um geólogo estuda a idade de uma rocha, sem se preocupar com seu 
grau de dureza.
 - Variável aleatória: idade da rocha.
• Um agrônomo estuda uma nova variedade de soja, analisando a produção 
por acre e a melhor temperatura do solo para a germinação das sementes.
 - Variáveis aleatórias: produção e temperatura do solo.
Para atingirmos nosso objetivo (calcular a probabilidade em determinada 
situação) devemos sempre ter em destaque qual a variável aleatória em nosso pro-
blema. Também devemos saber o tipo da variável em estudo: Discreta ou Contí-
nua.
UNIDADE 7: 
VARIÁVEL ALEATÓRIA E 
DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADE
OBJETIVOS DA UNIDADE: 
- Identificar o fenômeno aleatório: dis-
creto e contínuo. 
- Construir a distribuição da probabilida-
de, introduzindo a idéia de valor espera-
do. 
- Calcular o valor esperado, esperança 
matemática, e os parâmetros da variável 
discreta.
155154 UCDB VirtualUCDB Virtual
A soma de todas as probabilidades será sempre igual à unidade: 
 
Para o cálculo da probabilidade, utilizamos a seguinte fórmula:
Exemplos:
1. Consideremos a distribuição do número de “caras” obtido ao se lançar 
uma moeda 5 vezes.
As possibilidades são: 0, 1, 2, 3, 4, e 5 caras e as probabilidades respectivas 
são:
Representação gráfica da distribuição de probabilidades:
2. Consideremos a distribuição do número de crianças do sexo masculino em famílias de 
4 filhos.
As possibilidades são: 0, 1, 2, 3, e 4, e as probabilidades respectivas são:
a) Variável Aleatória Discreta: A variável aleatória é denominada “dis-
creta” quando pode assumir um número finito de valores num intervalo finito. 
Geralmente seus valores são obtidos através da contagem.
Uma variável aleatória é discreta quando, entre dois valores seqüenciais 
não se pode ter um outro valor. As variáveis discretas assumem somente um 
número finito de valores.
Exemplos de variáveis aleatórias discretas:
• Número de filhos nas famílias. Uma família pode ter 1 filho, 2 filhos, 3 
filhos, ... não temos famílias com 2,5 filhos: entre 2 e 3 não temos possibilidades 
de resultado.
• Joga-se um dado 10 vezes, o ponto 6 apareceu 1 vez, 2 vezes, 3 vezes, .... 
O ponto seis não vai aparecer 3,2 vezes: entre 3 e 4 não temos resultado possível.
• Número de acertos em testes. Resolve-se uma prova com 10 testes de 
múltipla escolha, onde apenas uma resposta está correta. Acerta-se 1 ou 2 ou 3, 4, 
5,6 ..., 10, não se acerta 4,5 testes: entre 4 e 5 não temos resultado possível.
b) Variável Aleatória Contínua: A variável aleatória “contínua” é aquela 
que pode assumir infinitos valores num intervalo finito. O conjunto universo da 
variável contínua possui infinitos elementos.
A variável aleatória contínua é aquela à qual se pode atribuir qualquer 
valor dentro de determinado intervalo.
Exemplos de variáveis aleatórias contínuas:
• Pesos de alunos do 7° ano. Entre um aluno que pesa 42 kg e outro que 
pesa 43 kg podemos ter vários pesando 42,3 kg, 42,8 kg, 42,9 kg, etc.
• Saldos bancários de clientes de um banco. Mesmo entre dois clientes, em 
que um possui R$ 2.345,00 e o outro R$ 2.346,00, podemos ter outros com saldos 
de R$ 2.345,80, de R$ 2.345,86, de R$ 2.345,71, etc.
• As alturas dos alunos de uma sala. Entre dois alunos que têm 165 cm e 
166 cm de altura, podemos ter outros alunos com 165,3cm, 165,8cm, etc.
7.2 Distribuição de Probabilidades
A distribuição de probabilidades é utilizada para estudarmos mesmo com 
um número limitado de informações, qual a probabilidade de X assumir um deter-
minado valor, ou um intervalo de valores. É o conjunto de valores de uma variável, 
associado às suas respectivas probabilidades.
Denominando de os va-
lores da variável e as proba-
bilidades respectivas, podemos 
escrever a seguinte distribuição 
de probabilidades:
P(0) 1. 1 .C ( (( ( ( (5,0= = = =12 12 12 1 132 32
0 5 5
P(1) 5. 5 .C ( (( ( ( (5,1= = = =12 12 12 1 532 32
1 4 5
P(2) 10. 10 .C ( (( ( ( (5,2= = = =12 12 12 1 1032 32
2 3 5
P(3) 10. 10 .C ( (( ( ( (5,3= = = =12 12 12 1 1032 32
3 2 5
P(4) 5. 5 .C ( (( ( ( (5,4= = = =12 12 12 1 532 32
4 1 5
P(5) 1. 1 .C ( (( ( ( (5,5= = = =12 12 12 1 132 32
5 0 5
157156 UCDB VirtualUCDB Virtual
2. Consideremos a quantidade de uniformes, de cada tamanho a ser adqui-
rido por uma empresa.
Seja = tamanho do uniforme e = quantidade de uniformes.
7.3 Frequência relativa das Variáveis Aleatórias
Quando o conjunto universo das possibilidades de uma prova é indetermi-
nado, então não se pode fixar a probabilidade que se associa a cada valor da variável. 
Neste caso usamos a frequência relativa como estimativa da probabilidade.
Exemplos:
1. Consideremos uma prova que consiste em verificar o número de peças 
produzidas com defeito, semanalmente por uma máquina, durante 30 semanas. 
Consideremos que tenham sido obtidos os resultados:
 = número semanal de peças defeituosas = frequência, número de se-
manas.
A frequência relativa , que constitui a estimativa da probabilidade de cada 
valor de , é dada por , desta forma temos:
Denominando de os valo-
res da variável e as probabilida-
des respectivas, podemos escrever 
a seguinte distribuição de probabi-
lidades:
Lista de exercícios 7.1
1. Consideremos a ocorrência de acidentes de trabalho em uma empresa, du-
rante os 6 primeiros meses do ano. Determine a probabilidade da ocorrência 
de acidentes para cada mês.
a) jan = 4% fev = 24% mar = 40% abr = 32% mai = 24% jun = 20%
b) jan = 8% fev = 12% mar = 40% abr = 32% mai = 16% jun = 20%
c) jan =8% fev =1 2% mar = 20% abr = 16% mai = 24% jun = 20%
d) jan = 2% fev = 3% mar = 5% abr = 4% mai = 6% jun = 5% 
2. Determine a distribuição da probabilidade do número de “caras” obtido ao 
se lançar uma moeda 4 vezes. 
a) P(0) = 5% P(1) = 20% P(2) = 50% P(3) = 20% P(4) = 5%
b) P(0) = 10% P(1) = 20% P(2) = 40% P(3) = 20% P(4) = 10%
c) P(0) = 8,5% P(1) = 16,5% P(2) = 50% P(3) = 16,5% P(4) = 8,5%
d) P(0) = 6,25% P(1) = 25% P(2) = 37,5% P(3) = 25% P(4) = 6,25%
159158 UCDB VirtualUCDB Virtual
7.4 Parâmetros da variável discreta
Quando a probabilidade dos eventos não pode ser determinada, os 
parâmetros (média) e (desvio-padrão) também não podem ser calculados. 
Mas, se em lugar de empregarmos a frequência relativa , podemos de-
terminar (estimativa da média) e s (estimativa do desvio-padrão). Desta forma, 
 e s são parâmetros amostrais e constituem estimativas de e respectivamen-te.
Mas, como já vimos, para o desvio padrão devemos considerar no denominador (n -1) 
no lugar de n, então: 
Exemplos:
1. A tabela abaixo apresenta a distribuição das notas atribuídas a uma tur-
ma de 40 alunos, em uma avaliação de Matemática. Calcular a média e o desvio 
padrão.
Solução:
2. A tabela abaixo apresenta a distribuição dos atendimentos de profissio-
nais da área da saúde, por dia, durante o mês, em um ambulatório médico. Calcular 
a média e o desvio padrão.
3. Consideremos os eventos realizados por uma empresa, durante as 5 primei-
ras semanas de funcionamento. Determine a probabilidade de eventos para 
cada semana.
a)1ª sem =11,11% 2ªsem = 19,44% 3ª sem =25% 4ª sem =22,22% 5ª sem =27,78% 
b)1ª sem =10,53% 2ªsem =18,42% 3ªsem =23,68% 4ªsem =21,05% 5ªsem =26,32% 
c)1ªsem =13,33% 2ª sem =23,33% 3ª sem =30% 4ª sem = 26,66% 5ª sem =33,33% 
d)1ª sem =12,12% 2ª sem= 21,21% 3ª sem=27,27% 4ª sem=24,24% 5ªsem = 30,3% 
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no 
ambiente virtual de aprendizagem.
161160 UCDB VirtualUCDB Virtual
7.5 Esperança Matemática
Muitas vezes é interessante, conveniente para o estudo de uma variável 
aleatória, um resumo sobre suas informações, já sabemos resumir um conjunto de 
informações em um único número que é a média de seus valores. Esta quantidade 
é o valor esperado de X, ou esperança de X. A esperança de uma variável alea-
tória nos dá a média de todos os valores que esperaríamos obter se medíssemos 
a variável aleatória um número muito grande de vezes. Usamos a letra E, para 
representar a esperança → E(X) = esperança de X.
Lista de exercícios 7.2
1. A tabela abaixo apresenta a distribuição de acidentes de trabalho, ocorridos 
no ano de 2006. Calcular a média e o desvio padrão.
a) = 7 s= 4,7
b) = 8,25 s= 4,81
c) = 7,7 s= 4,9
d) = 8,7 s= 4,7
2. A tabela abaixo apresenta a distribuição dos atendimentos de profissionais 
da área da saúde, por dia, durante o mês, em um ambulatório médico. Calcular 
a média e o desvio padrão.
a) = 33,33 s= 7,64
b) = 20,2 s= 6,64
c) = 30,33 s= 9,64
d) = 33,33 s= 6,64
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no 
ambiente virtual de aprendizagem.
Exemplos:
1. Um jogo paga ao jogador R$ 2,00 para cada “cara” que se obtém quando 
lança 4 moedas. Se ele realizar um grande número de lançamentos, qual a média 
de ganho por jogada?
As possibilidades de ganhos e as respectivas probabilidades são:
Observação: joga-se uma moeda 4 vezes, podemos ter 0, 1, 2, 3 ou 4 caras, com 
as seguintes probabilidades:
Vamos admitir que o jogador faça n lançamentos. Assim o número prová-
vel de ocorrências para cada possibilidade será:
Assim, o total que o jogador esperará ganhar em n lançamentos será:
Portanto, a esperança de ganho em cada jogada será igual a 
2. Qual a esperança matemática e o desvio-padrão de um jogo de dados 
163162 UCDB VirtualUCDB Virtual em que você recebe R$ 25,00 se sair ponto 6, R$ 10,00 se sair 4 ou 5 e R$ 4,00 
se obter 1, 2 ou 3?
Cálculo da média
Portanto a esperança matemática é de ganhar R$ 9,50 por jogada.
Cálculo do desvio-padrão:
Lista de Exercícios 7.3
1. Qual a esperança matemática do ganho de um jogo em que você 
ganha R$ 10,00 multiplicado pelo número de pontos quando se joga um 
dado?
a) =R$ 25,00 
b) =R$ 32,00 
c) =R$ 35,00 
d) =R$ 45,00
2. Um jogador recebe R$ 1,00 por ponto que obtém quando lança um 
dado e sai um número par, e R$ 2,00 por ponto quando sai um número 
ímpar. Quanto esperará receber em 50 lançamentos, se paga R$ 2,50 por 
jogada?
a) R$ 125,00 
b) R$ 250,00 
c) R$150,00 
d) R$ 300,00
3. Qual a esperança matemática e o desvio-padrão de um jogo no qual 
se pode receber R$ 50,00 com probabilidade 0,1; R$ 20,00 com probabi-
lidade 0,2 e R$ 10,00 com probabilidade 0,7?
a) =20 = 8 
b) =25 =10 
c) =15 =8
d) =16 =12
4. Um jogador ganha R$ 1,00 por ponto que obtém quando lança um 
dado. Quanto esperará ganhar em 60 lançamentos, se paga R$ 3,00 por 
jogada?
a) R$ 45,00 
b) R$ 30,00 
c) R$ 40,00 
d) R$ 55,00
5. Qual o preço justo a se pagar para entrar num jogo, no qual se pode 
ganhar R$ 30,00 com probabilidade 0,2 e R$ 15,00 com probabilidade 
0,4?
a) R$ 12,00 
b) R$ 15,00 
c) R$ 18,00 
d) R$ 10,00
6. Um jogo de dado tem a seguinte tabela de ganho.
Qual a esperança matemática desse jogo?
a) =R$23,23 
b) =R$30,30 
c) =R$33,33 
d) =R$26,67
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no 
ambiente virtual de aprendizagem.
165164 UCDB VirtualUCDB Virtual
1. Consideremos as assessorias realizadas por um grupo de administradores 
em empresas, durante os 10 primeiros meses do ano. Determine a probabilida-
de de assessorias para cada mês do ano estudado, e assim determine a média 
e o desvio-padrão.
a) =10,14 s=3,49 
b) =9,03 s=3,47
c) =9,14 s=3,89 
d) =8,14 s=2,49
2. O tempo t, em minutos, necessários para um operário montar uma peça de 
refrigerador é uma variável aleatória com a distribuição de probabilidade dada 
abaixo. Determine o tempo médio de montagem da peça, e o desvio-padrão.
Tempo t (min) 2 3 4 5 6 7 
P(t) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 
 
a) =4,7 s=3,97 
b) =4,17 s=2,93
c) =2,7 s=2,83 
d) =4,7 s=1,42
3. Uma confeitaria anotou todas as vendas de um tipo de “torta”, registrados 
na tabela abaixo. Determine a quantidade esperada de tortas encomendadas 
por dia.
Exercício pontuado 7.1 a) b) 
c) 
d) 
4. Um bilhete de loteria paga um prêmio de R$ 500.000,00 com chance de 
0,00001, um prêmio de R$ 100.000,00 com chance de 0,0003 e um prêmio de 
R$ 50.000,00 com chance de 0,0008. Qual o preço justo de venda deste bilhete.
a) R$ 89,00 
b) R$ 57,00 
c) R$ 75,00 
d) R$ 98,00
5. Em uma loteria beneficente, vendem-se 500 bilhetes para a extração de dois 
prêmios, um de R$ 1.000,00 e outro de R$ 700,00. Qual a esperança matemática 
de uma pessoa que compra um bilhete?
a) 
b) 
c) 
d) 
Submeta a atividade por meio da ferramenta Questionário.
4,36
4,86
5,36
5,86
4,3
4,6
3,4
6,4
167166 UCDB VirtualUCDB Virtual
As distribuições para variáveis aleatórias discretas envolvem dados que po-
dem ser contados, como o número de ocorrências por amostra, ou o número de 
ocorrências por unidade num intervalo de tempo, área ou distância. Assim vamos 
estudar as distribuições: Binomial e de Poisson. 
8.1 A Distribuição Binomial
Usa-se o termo Binomial para as situações em que os resultados da vari-
ável aleatória podem ser agrupados em duas classes ou categorias. Neste caso, as 
categorias devem ser excludentes, de modo a se ter clareza a respeito da categoria à 
qual pertence cada observação, e ainda coletivamente exaustiva, ou seja, não existe 
nenhum outro resultado possível.
Para a distribuição binomial devemos ter sempre uma probabilidade cons-
tante para cada evento em cada prova.
Temos muitos casos de variáveis binomiais: 
• Respostas V ou F em um teste.
• Respostas Sim ou Não a um questionário.
• Na classificação de peças: peças Defeituosas ou peças Não Defeituosas.
• Em relação a vacinas: crianças Vacinadas ou Não Vacinadas.
• Nascimento quanto ao sexo: feminino ou masculino.
• Jogo de um dado: sai 6 ou não sai 6.
• Testes com quatro alternativas: Acerta ou Não Acerta; etc.
UNIDADE 8: 
DISTRIBUIÇÕES DA
VARIÁVEL DISCRETA
OBJETIVOS DA UNIDADE: 
- Identificar as características das distri-
buições das probabilidades binomial e de 
Poisson. 
- Calcular as probabilidades binomiais e 
de Poisson.
Chama-se Binomial a distribuição da variável aleatória discreta cons-
tituída pelo número de vezes que ocorre determinado evento, quando a pro-
babilidade desse evento for constante em cada prova.
Para a utilização da distribuição binomial devemos ter:
• n observações, ou seja, n provas idênticas.
• Cada prova tem apenas dois resultados possíveis: aconteceo que eu espero 
ou não acontece o que espero.
• As probabilidades são p (de acontecer o que espero) e q =1-p de não acon-
tecer o que espero.
• Os resultados são independentes.
8.2 A Fórmula Binomial
Para o cálculo da probabilidade binomial, vamos especificar por n o nú-
mero de provas, x o número de vezes que quero que aconteça determinado even-
to, p a probabilidade de este evento ser realizado e q a probabilidade deste evento 
não se realizar (q = p-1), geralmente chamamos de p a probabilidade de se ter 
‘sucesso’ e q a probabilidade de ‘falha’.
• n = número de provas
• x = número de vezes que ocorre o evento
• p = probabilidade de ocorrer o evento
• q = probabilidade de não ocorrer o evento
• P(x) = probabilidade do evento ocorrer x vezes em n provas
O número de possibilidades favoráveis ao evento é 
.
A probabilidade relativa a cada possibilidade é . 
Portanto, 
8.3 Parâmetros da Distribuição Binomial
Para a variável discreta, a média e a variância são:
Para a distribuição Binomial temos: 
Considerando n=1, isto é, uma única prova, temos dois resultados possí-
veis:
• xi = 1 (ocorre o evento)
• xi = 0 (não ocorre o evento)
169168 UCDB VirtualUCDB Virtual
Para 
Para 
Aplicando as fórmulas da média e da variância para esses valores, temos:
Se em uma prova 
Em duas provas temos: 
Em três provas temos: 
Em n provas teremos: 
.
Como o desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância, os parâme-
tros da distribuição Binomial são: 
Exemplos:
1. A distribuição das probabilidades do número de vezes que ocorre o 
ponto 6 em 5 lançamentos de um dado.
Solução: Lançando um dado 5 vezes, podemos ter como resultado, em 
relação ao ponto 6:
O ponto 6 pode sair → 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 vezes → p(sair ponto 6) = ; q 
(não sair 6) = .
P(0) → Probabilidade do ponto seis sair “nenhuma” vez: 
P(1) → Probabilidade do ponto seis sair “uma” vez: 
P(2) → Probabilidade do ponto seis sair “duas” vezes: 
P(3) → Probabilidade do ponto seis sair “três” vezes: 
P(4) → Probabilidade do ponto seis sair “quatro” vezes: 
P(5) → Probabilidade do ponto seis sair “cinco” vezes: 
A representação gráfica dessa distribuição de probabilidades é:
2. Lançando 4 vezes um dado, qual a probabilidade de ocorrer 2 vezes o 
ponto 1?
Solução: 
Temos: n = 4, pois vamos lançar o dado 4 vezes;
 x = 2, quero que ocorra 2 vezes o ponto 1
 p = , a probabilidade de sair ponto 1
 q = , a probabilidade de NÃO sair ponto 1
171170 UCDB VirtualUCDB Virtual
Lançando-se 4 vezes um dado, a probabilidade de sair ponto 1 (ou qual-
quer outro ponto) duas vezes é de 11,57%.
3. Lançando 900 vezes uma moeda, qual a média e o desvio-padrão do 
número de “caras”?
Solução: 
Jogando-se 900 vezes uma moeda, em média sairão 450 caras, com um 
desvio-padrão de 15.
4. Lançando 60 vezes um dado, qual a média e o desvio-padrão do número 
de ocorrências do ponto 6?
Solução: 
Jogando-se 60 vezes um dado, em média sairá 10 vezes o ponto 6, com um 
desvio-padrão de 2,89.
5. A probabilidade de um atirador acertar um alvo é 0,6. Qual a probabili-
dade de acertar 4 em 7 tiros?
Solução: 
Temos: n = 7, pois o atirador vai realizar 7 tiros
 x = 4, quero que ele acerte o alvo 4 vezes
 p = 0,6, a probabilidade dele acertar o alvo
 q = 0,4, a probabilidade dele NÃO acertar o alvo
A probabilidade de este atirador acertar o alvo 4 vezes, atirando 7 vezes, é 
de 29,03%.
6. Das lâmpadas produzidas por uma fábrica 1,2% são recusadas pelo 
controle de qualidade. Qual a probabilidade de serem recusadas 5 lâmpadas de 
um lote de 100?
Solução: 
Temos: n = 100, pois vamos verificar 100 lâmpadas
 x = 5, espero que 5 sejam recusadas 
 p = 0,012, a probabilidade de serem recusadas
 q = 0,988, a probabilidade de NÃO serem recusadas
A probabilidade de se ter 5 lâmpadas com defeito em um lote de 100 
lâmpadas é de 0,6%.
Lista de Exercícios 8.1
1. Das peças produzidas por uma máquina, 5% são defeituosas. Toman-
do-se ao acaso 100 peças produzidas por esta máquina, qual a probabili-
dade de termos 5 peças com defeito?
a) 18% 
b) 28% 
c) 18,18% 
d) 28,2%
2. Qual a probabilidade de que em uma família de 5 filhos haja 3 meni-
nas?
a) 30% 
b) 11,25% 
c) 31,25% 
d) 25,4%
3. Uma máquina produz parafusos. A probabilidade de produzir para-
fusos defeituosos é de 1%. Qual a média e o desvio padrão da produção 
de parafusos defeituosos, sabendo que a produção diária é de 400 para-
fusos?
a) = 4 = 3,98 
b) = 8 = 3,98 
c) = 5 = 3,98 
d) = 4 = 1,99 
4
173172 UCDB VirtualUCDB Virtual
4. Lançando 4 vezes um dado, qual a probabilidade de ocorrerem 2 vezes 
o ponto 1?
a) 10,5% 
b) 11,57% 
c) 21,5% 
d) 21,67%
5. Calcular a média e o desvio padrão da distribuição do número de “ca-
ras” obtidas quando uma moeda é lançada 4 vezes.
a) = 1 = 2
b) = 2 = 1
c) = 3 = 2
d) = 4 = 1
6. Uma prova de Estatística é constituída de 8 testes com 5 alternativas 
cada, das quais apenas uma é a resposta certa. Qual a probabilidade de 
um aluno, que responde aleatoriamente o teste, acertar 3 questões?
a) 13,25%
b) 25,3%
c) 24,68%
d) 14,68%
7. Dois dados são lançados, simultaneamente, 5 vezes. Qual a probabili-
dade de ocorrerem 9 pontos em 2 lançamentos?
a) 8,67% 
b) 86,7% 
c) 7,87% 
d) 78,7%
8. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar 8 ve-
zes, qual a probabilidade de:
8.1 Acertar exatamente 2 tiros?
a) 17,5% 
b) 35,7% 
c) 27,31% 
d) 2,73%
8.2 Não acertar nenhum tiro?
a) 39% 
b) 35,8% 
c) 3,58% 
d) 3,9%
9. Num teste do tipo certo/errado, com 100 perguntas, qual a probabili-
dade de um aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das 
perguntas?
a) 0,02% 
b) 0,002% 
c) 0,2% 
d) 2%
10. Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, qual a proba-
bilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, 
tenhamos:
10.1 Nenhuma lâmpada defeituosa
a) 5,9% 
b) 0,39% 
c) 0,59% 
d) 3,9%
10.2 Três lâmpadas defeituosas
a) 13,96% 
b) 31,96% 
c) 32,3% 
d) 9,96%
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no 
ambiente virtual de aprendizagem.
175174 UCDB VirtualUCDB Virtual
8.4 A Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é um caso particular da distribuição Binomial. É 
o caso limite da binomial quando o número de provas n tende para o infinito e a 
probabilidade p do evento, em uma única prova, tende a zero; entretanto, a média 
 permanece finita e não nula.
A distribuição de Poisson é utilizada para o estudo de ocorrências de even-
tos num contexto de tempo ou espaço.
Exemplo: a análise da taxa de chegada de clientes a um posto de serviços, 
quantidade de clientes de um banco no caixa, número de veículos que passam por 
um posto de pedágio, número de ocorrências de chamadas telefônicas em uma 
Lista de exercícios 8.2
1. Há uma probabilidade de 0,3 de que uma pessoa, ao fazer uma compra em 
uma loja de departamentos, seja beneficiada com um desconto promocional. 
Qual a probabilidade de que, dentre um grupo de 8 pessoas, 2 se beneficiem 
com esta promoção?
a) 
b) 
c) 
d) 
2. Suponha que haja uma probabilidade de 60% de que um carro roubado seja 
recuperado. Qual a probabilidade de que os 6 carros roubados nesta semana 
sejam todos recuperados?
a) 
b) 
c) 
d) 
3. Em determinada cidade, as despesas com a saúde são responsáveis por 30% 
de todas as falências pessoais. Qual a probabilidade de que as despesas com a 
saúde sejam indicadas em 4 das 7 falências pessoais nesta cidade?
a) 
b) 
c) 
d) 
4. É constatado que 80% dos acidentes de trabalho poderiam ser evitados se 
fossem respeitadas as normas de segurança. Qual a probabilidade de que 5 
dentre os 8 acidentes ocorridos em uma indústria possam ser evitados?
a)b) 
c) 
d) 
Submeta a atividade por meio da ferramenta Questionário.
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
empresa... Todas estas situações podem ser desenvolvidas com o emprego da 
distribuição de Poisson.
8.5 A Fórmula de Poisson
A fórmula de Poisson para a probabilidade de x, onde x é o número de 
ocorrências.
por unidade observada é 
Onde X = número de ocorrências
 = média da distribuição
 = 2,718 (número base do sistema de logaritmos neperianos)
8.6 Parâmetros da distribuição de Poisson
A variância na distribuição de Poisson é igual à média, pois, mas na distri-
buição de Poisson temos que p tende a zero, neste caso a expressão tende a 
1, portanto 
 
Exemplos:
1. A taxa média de chegada de clientes a um posto de serviços, por 
minuto, é 0,5. Qual a probabilidade de, em determinado minuto, chegarem 
2 clientes?
 
Solução: 
2. Em uma grande empresa industrial acontece em média 5 aciden-
tes por mês. Qual a probabilidade de em determinado mês ocorrer:
a) Apenas 1 acidente?
b) 3 acidentes?
c) 7 acidentes?
Solução:
a) Apenas 1 acidente
177176 UCDB VirtualUCDB Virtual b) 3 acidentes
c) 7 acidentes
3. Sendo de 1% a proporção de canhotos numa população, qual a proba-
bilidade de que haja apenas 1 canhoto numa classe de 30 alunos?
Solução:
Lista de exercícios 8.3
1. Num posto de pedágio, os veículos chegam em média de 30 por mi-
nuto. Qual a probabilidade de, em determinado minuto, chegarem 40 
veículos? 
a) 13,9% 
b) 30% 
c) 3,1% 
d) 1,39%
2. As chamadas telefônicas ao PABX de uma empresa ocorrem em média 
de 3 por minuto. Qual a probabilidade de em determinado minuto ocor-
rer apenas uma chamada? 
a) 49,1% 
b) 14,94% 
c) 3% 
d) 1,49%
3. As chegadas de clientes a determinado Caixa de um Banco ocorrem 
com a média de 7 a cada 5 minutos. Qual a probabilidade de em certo 
intervalo de 5 minutos chegarem 10 clientes àquele caixa? 
a) 7,1% 
b) 7,18% 
c) 2,11% 
d) 21,1%
4. A média de chamadas telefônicas numa hora é 3. Qual a probabilidade 
de:
4.1 Receber exatamente 2 chamadas numa hora: 
a) 25,4% 
b) 2,54% 
c) 22,4% 
d) 2,24%
4.2 Receber 4 chamadas em 90 minutos:
a) 1,9% 
b) 2,2% 
c) 22,2% 
d) 18,98%
Não deixe de verificar seu aproveitamento fazendo o exercício no 
ambiente virtual de aprendizagem.
Exercício pontuado 8.1
1. Em uma gráfica, 3% dos livros encadernados tem algum defeito. Utili-
ze a distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de que 7 den-
tre os 500 livros encadernados nesta gráfica apresente algum defeito na 
encadernação.
a) P(7) = 1,09% 
b) P(7) = 1,32% 
c) P(7) = 1,04% 
d) P(7) = 1,75%
178 UCDB Virtual
2. Um banco recebe em média 8 cheques sem cobertura por dia, qual a 
probabilidade de receber 5 cheques sem cobertura em um dia qualquer?
a) P(5) = 9,32% 
b) P(5) = 9,16% 
c) P(5) = 9,98% 
d) P(5) = 9,40%
3. O número de pessoas que procuram um posto de informações na pra-
ça central de uma cidade é em média de 6,3 por dia. Qual a probabilidade 
de que, em um dia qualquer tenhamos um número de 10 pessoas?
a) P(10) = 5,98% 
b) P(10) = 4,12% 
c) P(10) = 6,92% 
d) P(10) = 4,98%
4. Um serviço de emergência recebe em média 9 pedidos de ambulância 
por dia. Qual a probabilidade de que, em um dia qualquer, o serviço re-
ceba apenas 3 chamadas?
a) P(3) = 0,5% 
b) P(3) = 1,5% 
c) P(3) = 2,5% 
d) P(3) = 2%
 Submeta a atividade por meio da ferramenta Questionário.