1 MATEMÁTICA1

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1 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 
 
 
DE 
 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
 
Temos seis conjuntos numéricos existentes, os naturais, 
inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. 
Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cinco 
primeiros. 
 O conjunto dos números naturais são os primeiros a 
serem estudados. São os inteiros e positivos. 
O conjunto dos números inteiros são aqueles que 
envolvem os naturais e os negativos. 
O conjunto dos racionais são todos aqueles que podem 
ser escritos na forma de frações, já os irracionais não 
podem ser escritos na forma de fração. 
Os reais vão englobar todos os anteriores. 
 
NÚMEROS NATURAIS 
Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, 
vamos escrevendo o conjunto dos números naturais, 
representados pela letra IN: 
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um 
número natural sempre possui um sucessor e a partir do 
zero um sucessor. 
 
Exemplos: 
o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9. 
o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003. 
Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor 
de n é n - 1. 
 
Exercícios Resolvidos 
1) Um número natural e seu sucessor chamam-se 
consecutivos. Escreva todos os pares de números 
consecutivos entre esses números: 
2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255 
Resolução: 
0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256 
 
2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais 
velha que Reinivaldo. As idades de Reinivaldo e Thaís são 
números consecutivos. A minha idade é um número que é 
o sucessor do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos 
Hudson tem? 
 
Resolução: 
Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são 
números consecutivos, então se Reinivaldo tem 45 anos, Thaís 
tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor 
de 46, então esta idade será 48 anos. 
 
3) Escreva todos os números naturais que são maiores 
que 3 e menores que 7. 
 
Resolução: 
Seja o conjunto: A = {x  IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade 
específica o enunciado do exercício ficará escrito desta forma, 
ilustrando todos os elementos fica assim: 
A = {4, 5, 6} 
 
ADIÇÃO 
 
2 
 
Um automóvel segue de João Pessoa com destino a 
Maceió. Seu condutor deseja passar por Recife, sabendo-
se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120 km 
e que Recife está a 285 km de Maceió, quantos 
quilômetros o automóvel irá percorrer até chegar em 
Maceió? Esta é uma pergunta relativamente fácil de 
responder, basta somar as distâncias: 285 + 120 = 405 
km. 
Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só 
número, todas as unidades de dois, ou mais, números 
dados. 
O resultado da operação chama-se soma ou total, 
e os números que se somam, parcelas ou termos. 
 
Propriedades 
 
Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre 
um número natural. Ex: 8 + 6 = 14 
 
Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um 
número natural, o resultado é o próprio número natural, 
isto é, o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 + 0 = 3 
 
Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma. 
 
Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16 
 
Associativa - A soma de vários números não se altera se 
substituirmos algumas de suas parcelas pela soma 
efetuada. Os sinais empregados para associações são 
denominados: 
 
 ( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves 
 
Exemplos: 
8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 16 
13 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27 
 
De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c 
 
Nota: 
Estudando-se as línguas, verificamos a importância da 
colocação das vírgulas para entendermos o significado 
das sentenças. 
 
Exemplo: 
1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro." 
2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro." 
 
Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam 
significados diferentes, pelo fato da vírgula ter sido 
deslocada. 
 
Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de 
associação (parênteses, colchetes e chaves) podem 
funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os 
sinais na seqüência: 
 
( ) parênteses [ ] colchetes{ } chaves 
 
Exemplo: 
 
A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 
= 3, são diferentes, daí a importância da associação. 
 
Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma 
parcela por outra cuja soma seja igual a ela. Esta 
propriedade é de sentido contrário da anterior. 
 
Exemplo: 
 
9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi 
dissociado em dois outros 5 e 4). 
De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c. 
Observe que o zero como parcela não altera a soma e 
pode ser retirado. 
 
Exemplo: 
20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3 
 
SUBTRAÇÃO 
 
Fabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta 
bancária. Quando retirou um extrato, observou que seu 
novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinha em 
sua conta antes do depósito? 
Para saber, efetuamos uma subtração: 
 
 2 1 3 7 
 1 2 0 0 
 
 R $ 9 3 7 ,0 0 
 m in u e n d o 
 
 s u b tr a e n d o 
 
 r e s to o u 
d ife r e n ç a 
 
 
Denomina-se subtração a diferença entre dois 
números, dados numa certa ordem, um terceiro número 
que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. A 
subtração é uma operação inversa da adição. 
O primeiro número recebe o nome de minuendo e 
o segundo de subtraendo, e são chamados termos da 
subtração. A diferença é chamada de resto. 
 
Propriedades 
 
Fechamento:- Não é válida para a subtração, pois no 
campo dos números naturais, não existe a diferença entre 
dois números quando o primeiro é menor que o segundo. 
Ex: 3 - 5 
Comutativa: Não é válida para a subtração, pois 9 - 0 
 0 - 9 
 
Associativa: Não é válida para a subtração, pois (15 - 
8) - 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8 - 3) = 15 - 5 = 10 
 
Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos 
termos de uma subtração, a diferença não se altera. 
 
Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos 
seus dois termos, teremos (15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 
12 = 7 
 
 
MULTIPLICAÇÃO 
 
Multiplicar é somar parcelas iguais. 
 
Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15 
 
Nesta adição a parcela que se repete (5) é 
denominada multiplicando e o número de vezes que o 
3 
 
multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultado é 
chamado de produto. 
 
Então: 
 5 
  3 
 
 1 5 
m u ltip lic a n d o 
m u ltip l ic a d o r 
 
p ro d u to 
 
Multiplicação é a operação que tem por fim dados 
dois números, um denominado multiplicando e outro 
multiplicador, formar um terceiro somando o primeiro 
tantas vezes quando forem as unidades do segundo. O 
multiplicando e o multiplicador são chamados de fatores. 
 
Propriedades 
 
1) Fechamento - O produto de dois números naturais é 
sempre um número natural. 
Ex: 5 x 2 = 10 
 
2) Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de 
elemento neutro da multiplicação porque não afeta o 
produto. 
Ex: 10 x 1 = 10 
 
3) Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto. 
Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20 
 
4) Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se 
multiplicar uma soma ou uma diferença indicada por um 
número, multiplica-se cada uma das suas parcelas ou 
termos por esse número, e em seguida somam-se ou 
subtraem-se os resultados. 
 
Exemplo: 
1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27 
 
2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15 
 
Essa propriedade é chamada distributiva porque o 
multiplicador se distribui por todos os termos. 
 
Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar 
cada parcela da primeira pelas parcelas da segunda e 
somaros produtos obtidos. 
 
Exemplo: 
(6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63 
 
DIVISÃO 
 
 Divisão Exata 
Divisão exata é a operação que tem por fim, dados 
dois números, numa certa ordem, determinar um terceiro 
que, multiplicado pelo segundo, reproduza o primeiro. A 
indicação dessa operação é feita com os sinais ou  que 
se lê: dividido por. O primeiro número chama-se dividendo, 
o segundo divisor e o resultado da operação, quociente. 
 
Exemplo: 
15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15 
Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente. 
 
 Divisão Aproximada 
No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 
6, observa-se que não se encontra um número inteiro que, 
multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 é menor 
que 53 e 9 ´ 6 = 54 é maior que 53. 
O número 8, que é o maior número que 
multiplicado por 6 não ultrapassa o dividendo 53, é 
denominado quociente aproximado a menos de uma 
unidade por falta, porque o erro que se comete, quando se 
toma o número 8 para o quociente, é menor que uma 
unidade. Temos, assim, a seguinte definição: chama-se 
resto de uma divisão aproximada a diferença entre o 
dividendo e o produto do quociente aproximado pelo 
divisor. A indicação dessa divisão é feita assim: 
 
 
 
DIVIDENDO = DIVISOR QUOCIENTE + RESTO 
 
Exemplo: 
 
 53 = 6  8 + 5 
 
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS 
 
É um conjunto de números reunidos entre si por 
sinais de operações. 
A partir do estudo da adição e subtração, já 
podemos começar a resolver expressões aritméticas, 
envolvendo adições e subtrações. 
O cálculo dessas expressões é feito na ordem em 
que é indicada, devendo observar-se que são feitas 
inicialmente as operações indicadas entre parênteses, em 
seguida as indicadas entre colchetes e finalmente as 
indicadas entre chaves. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular o valor da expressão aritmética 
35 - [4 + (5 - 3)] 
efetuando-se as operações indicadas dentro dos 
parênteses obtemos 
35 - [4 + 2] 
efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes 
temos 
35 - 6 = 29 
 
2) Calcular o valor da expressão aritmética 
86 - {26 - [8 - (2 + 5)]} 
efetuando-se as operações indicadas nos parênteses 
obtemos 
86 - {26 - [8 - 7]} 
efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos 
86 - {26 - 1} 
efetuando as operações indicadas entre as chaves vem 
que 
86 - 25 = 61 
4 
 
 
3) Calcular o valor da expressão aritmética 
53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]} 
53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]} 
53 - {52 - 0} 
53 - 52 = 1 
 
O cálculo das expressões aritméticas que contém 
as 4 operações (adição, subtração, multiplicação e 
divisão) deve obedecer a seguinte ordem: 
Inicialmente as multiplicações e divisões e em 
seguida, as adições e subtrações, respeitando-se a ordem 
de se iniciar com os parênteses mais internos, a seguir os 
colchetes e finalmente as chaves. 
 
Exemplo: 
54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ] 
efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que 
estão indicadas nos parênteses temos: 
54 - 3 x [ 10 - 7 ] 
efetuando-se os colchetes vem que 
54 - 3 ´ [ 3 ] 
54 - 9 = 45 
 
 
 
Exercício Resolvido 
 
1) Resolva a seguinte expressão aritmética 
{[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 
12 
 
 
Resolução: 
{ [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12 
{ [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 
{ [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 
{ 23 x 2 - 2} x 2 + 12 
{ 46 - 2 } x 2 + 12 
44 x 2 + 12 
88 + 12 
100 
 
DIVISIBILIDADE 
 
Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se 
um número é ou não divisível por outro. 
Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é 
divisível por 3, e no entanto será que 762 é divisível por 2? E por 
3? 
 
 
 
Todo número que é par é divisível por 2. 
Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc. 
 
 
 
Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado 
for um número divisível por 3, então o número inicial o será 
também. 
 
Exemplos: 
762, pois 7 + 6 + 2 = 15 
3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 
53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24 
 
 
 
Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se 
terminar numa dezena divisível por 4 o número será divisível por 
4. 
 
Exemplos: 
 764, pois 64 é divisível por 4. 
1 572, pois 72 é divisível por 4. 
3 300, pois o número termina em dois zeros. 
 
 
 
Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será 
divisível por 5. 
 
Exemplos: 
760, 1 575, 3 320. 
 
 
 
Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será 
também, divisível por 6. 
Exemplos: 
762, 1 572, 33 291. 
 
 
 
Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos 
seguir 3 passos: 
1
O
. Separe a casa das unidades do número; 
2
O
. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2; 
3
O
. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse 
resultado for divisível por 7, então o número original também o 
será. 
 
Exemplos: 

378 é divisível por 7, pois 
 
Passo1: 37 ........ 8 
Passo 2: 8 2 = 16 
Passo 3: 3716 = 21 
 
Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é. 
 
4 809 é divisível por 7, pois 
 
Passo1: 480 ........ 9 
Passo 2: 9  2 = 18 
Passo 3: 480  18 = 462 
 
Repetindo os passos para o número encontrado: 
 
Passo1: 46 ........ 2 
Passo 2: 2  2 = 4 
Passo 3: 46  4 = 42 
5 
 
 
Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é. 
 
 
 
Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma 
centena divisível por 8 então o número original também será. 
 
Exemplos: 
1 416, 33 296, 57 800, 43 000. 
 
 
 
Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado 
for um número divisível por 9, então o número inicial o será 
também. 
 
Exemplos: 
3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 
53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27 
945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36 
 
 
 
Observe o último algarismo se for zero o número será divisível 
por 10. 
 
Exemplos: 
760, 3 320, 13 240. 
 
 
 
Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a 
soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de 
ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por 11. 
 
Exemplos: 
2 937, pois: 
soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16 
soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5 
fazendo a diferença: 16 - 5 = 11 
 
28 017, pois: 
soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9 
soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9 
fazendo a diferença: 9 - 9 = 0 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número 
natural por outro natural. 
 
Exemplos: 
24 é múltiplo de 3, pois 3 x 8 = 24. 
20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 
= 0 
 
 Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um 
divisor de x. 
 
Exemplos: 
8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8. 
21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21. 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o 
próprio número e a unidade; ele será considerado um número 
primo, são eles: 
 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... 
 
RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMO 
Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos 
números que formam a série dos números primos, até 
encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso 
nenhuma dessas divisões seja exata, então o número é primo. 
 
Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos 
evitar algumas dessas divisões. 
 
Exemplo: 
Vamos verificar se o número 193 é primo.Utilizando os 
critérios da divisibilidade, podemos verificar que 193 não é 
divisível por 2, 3, 5, 7. 
Então, dividindo: 
 
 1 9 3 1 1 1 9 3 1 3 1 9 3 1 7 
 8 3 1 7 6 3 1 4 2 3 1 1 
 6 1 1 6 
 
 
 
Quociente menor que o divisor  11 < 17, e não houve divisão 
exata, então o número 193 é primo. 
 
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
Quando um número não é primo, pode ser decomposto 
num produto de fatores primos. 
A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os 
fatores primos divisores de um número natural. 
 
Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor 
primo, excetuando-se a unidade, a seguir, dividimos o quociente 
pelo menor divisor comum e assim sucessivamente até 
encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao 
produto de todos os divisores encontrados que serão números 
primos. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO 
NATURAL 
 
Podemos determinar o total de divisores de um número, 
mesmo não se conhecendo todos os divisores. 
 
 Regra: O número total de divisores de um número é 
igual ao produto dos expoentes dos seus fatores primos 
6 
 
aumentados (cada expoente) de uma unidade. 
 
Exemplo: 
Vamos determinar o total de divisores de 80. 
Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 2
4
 
5
1
 
 
Aumentando-se os expoentes em 1 unidade: 
4 + 1 = 5 
1 + 1 = 2 
Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados 
 5 2 = 10 
Portanto, o número de divisores de 80 é 10. 
 
Nota: 
Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos 
encontrando apenas os divisores positivos desse número. 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) 
 
Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou 
mais números naturais não nulos, ao maior número natural que 
divide a todos simultaneamente. 
 
Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 
6, pois este divide ao mesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além 
disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números dados. 
 
 
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
Decompõe-se os números em fatores primo e em 
seguida escolhe-se os fatores primos comuns com os menores 
expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes. 
 
Exemplo: 
1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280 
 
 
Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois 
números que decompomos, com os menores expoentes. Os 
fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com 
seus menores expoentes são : 
 2
2
  5 = 4  5 = 20 
 
Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte 
forma: 
 MDC (60, 280) = 20 
 
2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188 
 
 
O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser 
escolhido aquele que tiver o menor expoente, então temos 2
2
 = 4 
mdc (480, 188) = 4 
 
MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS 
(MÉTODO DE EUCLIDES) 
 
Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280. 
 
1
O
. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior 
número na primeira lacuna (do meio) e o menor na segunda 
lacuna (do meio): 
 
 
 
2
O
. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de 
cima do 60 e o resto na lacuna abaixo do 280: 
 
 
 
3
O
. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado 
direito de 60 e repete-se os passos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto 
zero. 
 
 
4
O
. Passo: O último divisor encontrado será o mdc. 
 
mdc (60, 280) = 20 
 
Nota: 
"Números Primos entre Si" 
Dois ou mais números são considerados primos entre si se e 
somente o Máximo Divisor Comum entre esses números for 
igual a 1. 
 
Exemplo: 
 21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1 

 
7 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos 
dividir 144 e 160, a fim de obtermos quocientes iguais. 
 
Resolução: 
Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160 
 
 
 
 mdc (144, 160) = 2
4
 = 16 
 
Então: 
144  16 = 9 
O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9, 
Vem que 160  16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 
160 e 10 o menor quociente. Logo os números procurados são 9 
e 10 
pois 144  9 = 16 e 160 10 = 16. 
 
2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 
24 metros de frente e 56 metros de fundo. Qual deve ser o 
comprimento de um cordel que sirva para medir exatamente as 
duas dimensões? 
 
Resolução: 
 
 
 
Então: 
 mdc ( 56, 24) = 8 
 
Resposta: 
O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para 
medir as dimensões do terreno deve ser de 8 metros de 
comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 
24. 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C) 
 
"Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não 
nulos é o menor dos múltiplos, não nulo, comum a esses 
números." 
 
Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 
6 e outro constituído pelos múltiplos de 9. 
 
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...} 
M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...} 
 
Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, 
verificamos que existem números que aparecem em ambos, isto 
é, são comuns aos dois conjuntos, como os números 18 e 36, isto 
é: 
 
M(6)  M(9) = {0, 18, 36, ...} 
 
Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 
9, isto é, estes números são divisíveis ao mesmo tempo por 6 e 
por 9. 
Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o 
número 18, isto é: 
 
mmc (6, 9) = 18 
 
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
 
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, 
obtém-se decompondo simultaneamente este números e 
efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e não comuns 
escolhidos com seus maiores expoentes. 
 
Exemplo: 
Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180. 
Fatorando os números: 
 
 
 
 7 0 2 1 4 0 2 1 8 0 2 
 3 5 5 7 0 2 9 0 2 
 7 7 3 5 5 4 5 3 
 1 7 7 1 5 3 
 1 5 5 
 1 
 
 
Então temos: 
70 = 2 x 5 x 7 
140 = 2
2
 x 5 x 7 
180 = 2
2
 x 3
2
 x 5 
 
Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três 
fatorações são 2e 5.O número 7 não é fator primo comum porque 
só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número 3 
também não é fator primo comum porque só aparece na 
fatoração do número 180. Logo: 
 
fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 
2
2
 e 5. 
 
Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores 
expoentes: 3
2
 e 7. 
 
mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260 
 
8 
 
MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA 
 
 
 
Então: 
 
mmc (70, 140, 180) = 2
2
 x 3
2 
x 5 x 7 = 1260 
 
RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC 
 
O produto de dois números dados é igual ao produto do 
M.D.C. desses números. 
 
mmc (a, b) mdc (ab) = a x b 
 
Exemplo: 
 
Sejam os números 18 e 80 
Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80)  mdc (18, 80) 
O produto é 18  80 = 1440. 
 
Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números. 
 
 
 
8 0 , 1 8 2 
4 0 , 9 2 
2 0 , 9 2 
1 0 , 9 2 
 5 , 9 3 
 5 , 3 3 
 5 , 1 5 
 1 , 1mmc (80, 18) = 2
4
 x 3
2
 x 5 = 720 
 
Logo: 
mdc(80, 18) = 1440  mmc(18, 80) = 1440  720 = 2 
 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
Para identificarmos se um problema deve ser resolvido 
através do M.M.C. temos algumas indicações importantes. 
I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, 
significa que estes fatos são múltiplos; 
II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns; 
III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o 
M.M.C. 
 
Exemplo: 
 
Três viajantes passam por determinado local respectivamente a 
cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que hoje os três se encontram, 
quando acontecerá o novo encontro? 
 
Resolução: 
Existe a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se 
encontraram, quando ocorrerá o novo encontro?" 
 Múltiplo 
"Encontrar-se-ão num determinado dia" 
 Comum 
"Quando acontecerá o novo encontro" 
 Mínimo 
 
Portanto 
 
 
1 5 , 2 0 , 2 5 2 
1 5 , 1 0 , 2 5 2 
1 5 , 5 , 2 5 3 
 5 , 5 , 2 5 5 
 1 , 1 , 5 5 
 1 , 1 1 
 
 3 0 0 
 
 
 
Resposta: 
O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias. 
 
NÚMEROS INTEIROS (Z) 
 
Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comércio, um 
comerciante desejando ilustrar a venda de 3 kg de um total de 10 
kg de trigo existente num saco, escreve no saco: "- 3", a partir 
daí um novo conjunto numérico passa a existir, o Conjunto dos 
Números Inteiros, hoje, representamos pela letra Z. 
 
Z = {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
A reticências, no início ou no fim, significa que o conjunto não 
tem começo nem fim. Concluímos, então, que todos os números 
inteiros possuem um antecessor e um sucessor. 
 Com a relação às operações que serão possíveis de se efetuar, 
ilustraremos exemplos da adição e multiplicação. 
 
ADIÇÃO 
 
Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal. 
 
Exemplos: 
(+2) + (+3) = +5 
(-2) + (-3) = - 5 
 
Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o 
sinal do maior número em módulo. 
 
Exemplos: 
(-2) + (+3) = +1 
(+2) + (-3) = -1 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
9 
 
1) Calcule a soma algébrica: 
 
Resolução: 
 
-150 - 200 + 100 + 300 
-150 - 200 + 100 + 300 
-350 + 100 + 300 
-250 + 300 
50 
 
2) Alexandre tinha 20 figurinhas para jogar bafo. Jogou com 
Marcelo e perdeu 7 figurinhas, jogou com Jorge e ganhou 2, ao 
jogar com Gregório ganhou 3 e perdeu 8 e com Hudson ganhou 1 
e perdeu 11. Com quantas figurinhas ficou Alexandre no final do 
jogo? 
 
Resolução: 
 
Representando em soma algébrica: 
20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0 
 
Resposta: Nenhuma. 
 
 
MULTIPLICAÇÃO 
 
Na multiplicação de números inteiros vamos, sempre, considerar 
a seguinte regra: 
(+) . (+) = (+) 
(+) . (-) = (-) 
(-) . (+) = (-) 
(-) . (-) = (+) 
Exemplos: 
(+2)  (+3) = (+6) 
(+2) (- 3) = (- 6) 
(-2)  (+ 3) = (- 6) 
(-2)  (- 3) = (+ 6) 
 
 
Exercício Resolvido 
 
1) Calcule o valor da expressão abaixo: 
{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1) 
 
Resolução: 
 
{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1) 
{12 + [-6 - 7]}  [-12 -(-16)] + (-14) - (-3) 
{12 + [-13]} . [-12 + 16] - 14 + 3 
{12 - 13} . 4 - 14 + 3 
{-1}.4 - 14 + 3 
-4 - 14 + 3 
-18 + 3 
-15 
 
NÚMEROS REAIS (IR) 
 
A união de todos os conjuntos vistos até agora dará 
origem ao conjunto dos números reais, representado pela 
letra IR. 
 
Observe o diagrama: 
 
 
 
 
Observação  "Números Irracionais" 
 
A parte que está em forma de "telhado", ou seja, 
IR - Q representa o conjunto dos números irracionais, e 
estes por sua vez são aqueles que não podem ser escritos 
na forma de fração: 
 
Exemplos: 
 
 2 , 3 , etc. 
 
NÚMEROS DECIMAIS 
 
Os números decimais fazem parte do conjunto dos 
números racionais, e no entanto, estes números merecem 
uma atenção especial, que aparecem muito em nosso 
cotidiano, além de se relacionar com muitas questões de 
provas de concursos públicos. 
 
ADIÇÃO 
 
Escrevem-se os números decimais uns sobre os 
outros de modo que as vírgulas se correspondam; somam-
se os números como se fossem inteiros, e, coloca-se a 
vírgula na soma, em correspondência com as parcelas. 
 
Exemplo: 
 
 
1 3 ,8 + 0 ,0 5 2 + 2 ,9 = 
 
1 3 ,8 1 3 ,8 0 0 
 0 ,0 5 2 o u 0 ,0 5 2 
 2 ,9 2 ,9 0 0 
 
1 6 ,7 5 2 1 6 ,7 5 2 
 
 
 
SUBTRAÇÃO 
 
Escreve-se o subtraendo sob o número de modo 
que as vírgulas se correspondam. Subtraem-se os 
números como se fossem inteiros, e coloca-se a vírgula no 
resultado em correspondência com os dois termos. 
 
Exemplo: 5 ,0 8 - 3 ,4 8 5 2 = 
 
 5 ,0 8 0 0 
  3 ,4 8 5 2 
 
 1 ,5 9 4 8 
 
 
10 
 
 
MULTIPLICAÇÃO 
 
Para se efetuar o produto entre números na forma 
decimal, deve-se multiplicar normalmente, como se 
fossem números inteiros e após conta-se a quantidade de 
casas decimais que cada um dos fatores apresenta 
somando em seguida e transferindo para o resultado do 
produto. 
 
Exemplo: 
 
 
 
1 ,23  0 ,4 = 0 ,492 ; 12 ,345  5 ,75 = 70 ,98375 
 
 
DIVISÃO 
 
Reduzem-se o dividendo e o divisor ao mesmo 
número de casas decimais, desprezam-se as vírgulas de 
ambos, e efetua-se a divisão como se fossem inteiros. 
Obtido o quociente, coloca-se ao mesmo tempo, uma 
vírgula a sua direita e um zero a sua esquerda do resto, a 
fim de continuar a divisão. 
Os demais algarismos do quociente serão sempre 
obtidos colocando-se um zero a direita de cada resto. 
 
 
Exemplo: 
 
7 2 ,2 3 7 9  5 ,8 7 3 
 
 
Igualando-se as casas decimais do dividendo e do divisor 
temos: 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
P1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que 
não seja divisível por 5 ? 
 
P2) Qual o menor número que se deve somar a 4831 para 
que resulte um número divisível por 3 ? 
 
P3) Qual o menor número que se deve somar a 12318 
para que resulte um número divisível por 5 ? 
 
P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas 
forem contadas de 9 em 9 não sobra nenhuma e se forem 
contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas são as 
bolinhas? 
 
*P5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 
ou 15 ; então podemos afirmar que o conjunto A tem : 
a) 5 elementos b) 6 elementos 
c) 7 elementos d) 8 elementos 
 
P6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 
1080 para se obter um número divisível por 252? 
 
P7) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 
2205 para se obter um número divisível por 1050? 
 
P8) Assinalar a alternativa correta. 
a) O número 1 é múltiplo de todos os números primos 
b) Todo número primo é divisível por 1 
c) Às vezes um número primo não tem divisor 
d) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor 
 
P9) Assinalar a alternativa falsa: 
a) O zero tem infinitos divisores 
b) Há números que tem somente dois divisores: são os 
primos; 
c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo; 
d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é 
zero. 
 
P10) Para se saber se um número natural é primo não: 
a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números 
primos; 
b) Divide-se esse número pelos sucessivos números 
primos; 
c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos; 
d) Diminuí-se esse número dos sucessivos númerosprimos. 
 
P11) Determinar o número de divisores de 270. 
 
P12) Calcule o valor das expressões abaixo: 
a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7) 
b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2 
c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7 
d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ] 
e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2 
f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 
13 
 
P13) Calcular os dois menores números pelos quais 
devemos dividir 180 e 204, a fim de que os quocientes 
sejam iguais. 
a) 15 e 17 b) 16 e 18 
c) 14 e 18 d) 12 e16 
 
P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, 
respectivamente, 90, 108 e 144 metros, em partes iguais e 
do máximo tamanho possível. 
Determinar então, o número das partes de cada peça 
e os comprimentos de cada uma. 
9, 8, 6 partes de 18 metros 
8, 6, 5 partes de 18 metros 
9, 7, 6 partes de 18 metros 
10, 8, 4 partes de 18 metros 
e) e) e) 
 
P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima 
distância comum, um terreno de forma quadrilátera. 
Quantas árvores são necessárias, se os lados do terreno 
tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros? 
a) 562 árvores b) 528 árvores 
c) 474 árvores d) 436 árvores 
 
P16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 
11 
 
anos em seu cargo, os senadores 6 anos e os deputados 
3 anos. Em 1929 houve eleições para os três cargos, em 
que ano deverão ser realizadas novamente eleições para 
esses cargos? 
 
P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes 
respectivamente. Cada roda tem um dente esmagador. Se 
em um instante estão em contato os dois dentes 
esmagadores, depois de quantas voltas repete-se 
novamente o encontro? 
 
P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo 
sentido. O primeiro percorre em 36 segundos, e o segundo 
em 30 segundos. Tendo os ciclistas partido juntos, 
pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão 
novamente no ponto de partida e quantas voltas darão 
cada um? 
 
P19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem 
respectivamente 60 e 75 dentes, sendo que os dentes são 
todos numerados. Se num determinado momento o dento 
nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da 
maior, estes dentes estarão juntos novamente? 
 
P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o 
produto deles, podemos afirmar que: 
a) os números são primos 
b) eles são divisíveis entre si 
c) os números são primos entre si 
d) os números são ímpares 
 
P21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para 
Santos, ônibus a cada 8 minutos; para Campinas a cada 
20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às 7 horas 
da manhã partiram três ônibus para essas cidades. 
Pergunta-se: a que horas do dia, até às 18 horas haverá 
partidas simultâneas? 
 
P22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para 
São Paulo a cada 20 minutos, para o Sul do país a cada 
40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos; às 8 horas 
da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais 
são as outras horas, quando os embarques coincidem até 
as 18 horas. 
 
P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 
ladrilhos. Quantos ladrilhos iguais serão necessários para 
ladrilhar 3/8 do mesmo pátio? 
 
P24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do 
maior. Quais são os números? 
 
P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. 
Uma tarde recebeu uma peça de linho de 45 metros para 
vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça, depois 
1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender? 
 
P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. 
O primeiro recebeu 3/4 do que tocou ao segundo e este, 
2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu cada um ? 
 
P27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três 
fregueses. O primeiro comprou 1/3 da peça e mais 10 
metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12 metros 
e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos 
metros tinha a peça ? 
 
P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles 
tem 1/5 do valor e outro, 1/7. Juntando ao que possuem 
R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o preço 
do terreno ? 
 
P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em 
seguida, 3/5 do resto. Ficou com R$80,00. Quanto 
possuía? 
 
P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4? 
 
P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em 
seguida mais 3/5 do restante. Quanto falta para atingir o 
cume? 
 
P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor 
quando se acrescentam 3 unidades? 
 
P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades 
em 1 hora e 30 minutos. Quanto tempo leva de uma 
cidade a outra uma viagem de trem? 
 
P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 
dessa mesma maçã. Qual das duas comeu mais e quanto 
sobrou? 
 
P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para 
quociente 49. Qual é esse número? 
 
P36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre 
três meninos. Quantas balas couberam a cada um, se o 
primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o segundo 
deu ½ do que possuía ao terceiro? 
 
P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três 
herdeiros. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro 
o restante. Qual recebeu a maior quantia? 
 
P38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. 
Em quanto tempo enche 3/7 desse tanque? 
 
P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O 
primeiro recebe ½, o segundo 1/5 do que recebeu o 
primeiro e os restantes recebem partes iguais. Quanto 
recebeu cada pobre? 
 
P40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo 
combate morrem mais 1/7 do que restou e ainda sobram 
30.000 homens. Quantos soldados estavam lutando? 
 
P41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ 
são pereiras; há ainda mais 24 árvores diversas. Quantas 
árvores há no pomar? 
 
P42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma 
estrada faz mais cinco quilômetros e assim corre 2/3 do 
percurso que deve fazer. Quanto percorreu o corredor e 
qual o total do percurso, em quilômetros? 
 
P43) Efetuar as adições: 
 1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98 
 2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39 
 
12 
 
P44) Efetuar as subtrações: 
 1º) 6,03 - 2,9456 
 2º) 1 - 0,34781 
 
P45) Efetuar as multiplicações 
 1º) 4,31 x 0,012 
 2º) 1,2 x 0,021 x 4 
 
P46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por 
falta. 
 1º) 56 por 17 a menos de 0,01 
 2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,1 
 3º) 5 por 7 a menos de 0,001 
 
P47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. 
Nestas condições: 
Escreva a representação decimal do número de 
acertos; 
Transformar numa fração decimal; 
Escreva em % o número de acertos de Luciana. 
d) d) d) 
P48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica 
lembrando a ordem das operações: 0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005). 
 
P49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse 
a fração decimal que representa o número 0,081 na forma 
de fração decimal, Toninho escreveu 10
81
; Ele acertou ou 
errou a resposta. 
 
P50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, 
quais tem o mesmo valor ? 
 
P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o 
resultado por 3 dá o mesmo resultado que multiplicar 804 
por 0,75? 
 
P52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o 
valor de 4 - x . 
 
P53) Uma indústria A, vende suco de laranja em 
embalagem de 1,5 litro que custa R$ 7,50. Uma indústria 
B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro que 
custa R$ 5,40. Qual das duas vende o suco mais barato? 
 
P54) Em certo dia, no final do expediente para o público, a 
fila única de clientes de um banco, tem um comprimento 
de 9 metros em média, e a distância entre duas pessoas 
na fila é 0,45m. 
Responder: 
a) Quantas pessoas estão na fila? 
b) Se cadapessoa, leva em média 4 minutos para ser 
atendida, em quanto tempo serão atendidas todas as 
pessoas que estão na fila? 
 
 
GABARITO - CONJUNTOS NUMÉRICOS 
P1) 1,2,3,4 
P2) 2 
P3) 2 
P4) 45 
P5) B 
P6) 7 
P7) 10 
P8) B 
P9) D 
P10) B 
P11) 16 
P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357 
f) 682 
P13) A 
P14) B 
P15) C 
P16) 1941 
P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor 
P18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos 
P19) Após 4 voltas 
P20) C 
P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h 
P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h 
P23) 24.339 
P24) 72 e 48 
P25) 12 metros 
P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00 
P27) 90 metros 
P28) R$420.000,00 
P29) R$300,00 
P30) 155/4 
P31) 2/7 
P32) 24 
P33) 9 h 
P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada 
P35) 35 
P36) 6,6,15 
P37) R$35.000,00 
 
P38) 3horas 
P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 , 
3º 4º e 5º R$16,00 
P40) 45.000 
P41) 105 
P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros 
P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791 
P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219; 
P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008; 
P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714; 
P47) a) 0,85 b) 100
85
 c) 85% 
P48) 0,05 
P49) Errou, a resposta é 81/1000 
P50) 2,03; 2,030 e 2,0300 
P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 
603 
P52) 13,6256 
P53) a indústria A 
P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos. 
 
MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
 
A medida básica de comprimento é o metro cujo 
símbolo é m. 
 
O metro é um padrão adequado para medir a largura de 
uma rua, o comprimento de um terreno, a altura de uma sala. 
 
13 
 
Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de 
metro e que são maiores que ele, como por exemplo medir a 
extensão de uma estrada. 
 
Há também unidades derivadas do metro e que servem 
para medir pequenos comprimentos, como por exemplo o 
comprimento de um prego. 
 
Observe a tabela que representa os múltiplos e 
submúltiplos do metro. 
 
 Nome Símbolo Relação 
Múltiplos do Metro decâmetro dam 10 m 
 hectômetro hm 100 m 
 quilômetro km 1000 m 
Submúltiplos do Metro decímetro dm 0,1 m 
 centímetro cm 0,01 m 
 milímetro mm 0,001 m 
 
Nota: 
Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do 
metro, realizando sucessivas multiplicações ou divisões por 10. 
 
MUDANÇA DE UNIDADE 
 
Para transformar a unidade de uma medida, em geral, 
utilizaremos a escada de unidades abaixo representada: 
 
 
Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de 
metros para centímetros, vamos multiplicar o número por 100, 
pois estaremos descendo dois degraus. 
Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus esta 
escada (metros pra hectômetro por exemplo), iríamos dividir o 
número por 100. Analogamente, de acordo com a quantidade de 
degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de dez. 
 
Exemplo1: 
 
Vamos reduzir 424,286 hectômetros pra metros. 
hm  m   100 (Desce 2 degrau) 
424,286 100 = 42428,6 m 
 
 
Exemplo2: 
 
Reduzindo 5645,8 decímetros para quilômetros. 
dm  km   10.000 (Sobe 4 degraus) 
 5645,8 ¸10.000 = 0,56458 km 
 
 
 
 
O U T R A S U N ID A D E S D E M E D ID A S 
R E L A C IO N A D A S A O M E T R O 
 
Polegada = 2,54 cm 
 Pé = 30,48 cm 
Milha = 1609 metros 
 
 
 
EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
 
P1) Reduzir 28,569 hm a metros. 
 
P2) Exprimir 456,835 cm em quilômetros. 
 
P3) Quantos metros existem em 8 dm? 
 
P4) Quanto dista, em quilômetros, a terra da lua; sabendo-se que 
essa distância equivale, em média, a 60 raios terrestres? (Nota: o 
raio da terra mede 6.370.000 m). 
 
P5) Um viajante percorreu em 7 horas, 33.600 metros. Quantos 
quilômetros ele fez, em média, por hora? 
 
P6) O passo de um homem mede cerca de 0,80m. Quanto tempo 
empregará esse homem para percorrer 4.240 km de uma estrada, 
sabendo-se que anda à razão de 100 passos por minuto? 
 
P7) Uma senhora comprou 20 metros de fazenda à razão de R$ 
84,00 o metro. Se esta fazenda foi medida com uma régua que 
era 1 cm mais curta que o metro verdadeiro; pergunta-se: 
1º) Quanto de fazenda a senhora recebeu? 
2º) Quanto pagou a mais? 
 
P8) Numa construção, chama-se pé direito a distância do chão ao 
teto. Nos prédios de apartamentos, o pé direito mínimo é de 2,70 
m. Qual a altura aproximada de um prédio de 15 andares? 
 
P9) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, 
em diagonal por polegadas. Considerando-se a polegada igual a 
2,5 cm. Quantos cm tem a diagonal de um aparelho de 16 
polegadas? 
 
P10) De acordo com a Bíblia, a arca de Noé tinha 300 cúbitos de 
comprimento, 50 cúbitos de largura e 30 cúbitos de altura. 
Considerando-se 1 cúbito = 0,5 m. Calcule as dimensões da arca 
de Noé. 
 
P11) Em um mapa cada cm corresponde a 25 km no real. 
Sabendo-se que a distância real de São Paulo a Curitiba é de 
aproximadamente 400 km, essa distância corresponde a quantos 
cm no mapa? 
 
 P12) A figura a seguir mostra parte de um mapa onde estão 
localizadas as cidades A, B, C< D e as distâncias (em km) entre 
elas. Um automóvel percorria uma menor distância saindo de A, 
passando por B e chegando a D ou saindo de A, passando por C 
e chegando a D? 
14 
 
 
 
 
P13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de 
mesmo comprimento. Qual deverá ser o comprimento de cada 
pedaço? 
 
P14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada 
que tem 52,5 km de comprimento. Por sua vez a cidade B está 
ligada a cidade C por uma estrada cujo comprimento é igual a 
2/3 da distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá um 
veículo que sai de A, passa por B e atinge C? 
 
P15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma 
sala que tem 7,40m de comprimento por 4,15m de largura. Esta 
sala tem três portas, duas delas com 90 cm de vão cada uma e a 
outra com 130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai 
colocar rodapé no vão da porta, podemos dizer que ele vai usar 
de rodapé: 
a) 16m 
b) 17m 
c) 18 m 
d) 19 m 
e) 20 m 
 
GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
 
P1) 2856,9 
 
P2) 0,00456835 
 
P3) 0,80 
 
P4) 382.200 km 
 
P5) 4,8 km/h 
 
P6) 53.000 minutos 
 
P7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80 
 
P8) 40,50 m 
 
P9) 40 cm 
 
P10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de altura 
 
P11) 16 cm 
 
P12) Passando por C 
 
P13) 1,62 m 
 
P14) 87,5 km 
 
P15) E 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
INTRODUÇÃO 
 
Antes de iniciarmos o estudo de perímetros de 
figuras planas, vamos revisar alguns conceitos básicos da 
Geometria Plana. 
 
ÂNGULOS 
 
"Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem". 
 
 
Ângulo: BOˆA 
 
 
BISSETRIZ 
 
"É uma semi-reta de origem no vértice do ângulo, que o 
divide em 2 ângulos congruentes". 
 
 
 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
 
"São ângulos cujos lados de um, são semi-retas opostas 
aos lados do outro, como ilustra a figura". 
 
 
T E O R E M A : ba ˆˆ  
 
 
 
CLASSIFICAÇÕES 
 
 
 
15 
 
 
 
ÂNGULOS ADJACENTES 
 
 
 
 
TRIÂNGULOS 
 
"Os Triângulos são Polígonos de três lados". 
 
CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS LADOS 
 
 
 
CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS ÂNGULOS 
 
 
 
 
 
QUADRILÁTEROS 
 
"Os Quadriláteros são Polígonos de quatro lados". 
 
TRAPÉZIO 
 
"Quadrilátero com dois lados paralelos e ângulos 
consecutivos (agudo e obtuso) suplementares". 
 
Trapézio ABCD:16 
 
AD // BC 
 Aˆ + Bˆ = 180O 
 Cˆ + Dˆ = 180º 
 
 
PARALELOGRAMO 
 
 
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos, ângulos 
opostos iguais e consecutivos suplementares". 
 
Paralelogramo ABCD: 
 
 
 
AB // CD e AC // BD 
 Aˆ + Bˆ = 180O 
 Cˆ + Dˆ = 180º 
 Aˆ = Dˆ e Cˆ = Bˆ 
 
LOSANGO 
 
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, 
ângulos opostos iguais e ângulos consecutivos 
suplementares". 
 
Losango ABCD: 
 
 
AB // CD e AC // BD 
AB =BC = CD = AD 
 Aˆ + Bˆ = 180O 
 Cˆ + Dˆ = 180º 
 Aˆ = Cˆ e Dˆ = Bˆ 
 
 
RETÂNGULO 
 
 
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos ângulos 
internos de medida igual a 90
O
". 
 
Retângulo ABCD: 
 
 
AB // CD e 
AD // BC 
 Aˆ = Bˆ = Cˆ = Dˆ =90O 
 
QUADRADO 
 
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, 
ângulos internos de medida igual a 90
O
". 
 
Quadrado ABCD: 
 
 
AB // CD e AD // BC 
AB = BC = CD = AD 
 Aˆ = Bˆ = Cˆ = Dˆ = 90O 
 
POLÍGONOS DIVERSOS 
 
Além dos triângulos e quadriláteros, temos polígonos de 
lados maiores que 4, que é o caso do Pentágono (5 
lados), Hexágono (6 lados), e assim sucessivamente. 
Observe a tabela abaixo, referente aos nomes dos 
polígonos: 
 
Nomenclatura 
 
Número de lados 
 3 Triângulo 
 4 Quadrilátero 
 5 Pentágono 
 6 Hexágono 
 7 Heptágono 
 8 Octógono 
 9 Eneágono 
 10 Decágono 
 11 Undecágono 
 12 Dodecágono 
 20 Icoságono 
 
Exemplos: 
 
Pentágono 

17 
 


Hexágono 
 
 
 
 Notas: 

"Polígonos Regulares" 
 
Os polígonos são ditos regulares quando seus lados e 
ângulos são iguais entre si. Por exemplo, um polígono 
regular de três lados é triângulo eqüilátero, ou de quatro 
lados, o quadrado. 

Perímetro dos Polígonos 
 
Para a obtenção do perímetro de qualquer figura plana é 
necessário apenas, soma os lados da figura em questão. 
 
 
EXERCÍCIOS / FIGURAS PLANAS 
 
P1) Um terreno é retangular. As medidas dos seus lados são 58 m 
e 22,5 m. Se esse terreno precisa ser murado em todo o seu 
contorno, determine: 
a) Quantos metros de muro devem ser construídos? 
b) Quantos tijolos serão usados na construção do muro, se para 
cada m de muro são usados 45 tijolos? 
 
P2) Um jardim é quadrado e cada um de seus lados mede 62,5m 
nestas condições: 
a) Se Manoel der 3 voltas completas em torno do jardim, quantos 
m ele andará? 
b) Se Helena andar a metade da medida do contorno desse 
jardim, quantos m ela andará? 
 
P3) Um jardim é retangular. O maior lado desse jardim mede 150 
m e o lado menor mede 3/5 do maior. Nestas condições. 
a) Quanto mede o menor lado do jardim? 
b) Qual a medida do contorno desse jardim? 
 
P4) Raul tem 100 m de tela de arame para fazer uma cerca. 
Nessas condições: 
a) Ele poderia fazer uma cerca de 23 m de lado? 
b) Ele poderia fazer uma cerca retangular de 32 m de 
comprimento por 12 m de largura? 
 
P5) Usando um pedaço de barbante, Helena mediu o contorno de 
uma mesa quadrada e encontrou ao todo 8 pedaços. Se esse 
pedaço de barbante mede 24 polegadas, calcule: 
a) Quantas polegadas mede o contorno da mesa? 
b) Quantos cm mede o contorno dessa mesa, se uma polegada 
mede 2,5 cm. 
 
P6) Um hexágono regular tem 6 lados, todos com a mesma 
medida. Se o perímetro desse hexágono é 51 cm, quanto mede 
cada lado desse hexágono? 
 
GABARITO - PERÍMETROS 
 
P1) a) 161 m b) 7245 tijolos 
 
P2) a) 750 m b) 125 m 
 
P3) a) 90 m b) 480 m 
 
P4) a) sim b) sim 
 
P5) a) 192 polegadas b) 480 cm 
 
P6) 8,5 cm 
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE 
 
"Superfície é a região do plano determinada por segmentos de 
reta ou por linhas curvas. Medir uma superfície é compará-la 
com outra tomada como unidade". 
 
Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da 
área do sistema métrico internacional, cuja unidade básica é o 
metro quadrado (m
2
) e que corresponde a um quadrado de 1 
metro de lado. 
 
 
 
Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a 
unidade imediatamente inferior. 
O metro quadrado foi criado para medir grandes 
superfícies, como por exemplo, a superfície de uma fazenda. 
Para medir grandes superfícies foram criadas unidades 
maiores que o metro quadrado, bem como, foram criadas 
unidades menores que o metro quadrado para medir pequenas 
superfícies. 
 
Múltiplos do Metro Quadrado 
 
Decâmetro Quadrado (dam
2
) - que corresponde a uma 
área quadrada de 1 dam de lado, eqüivalendo a 100 m
2
. 
 
Hectômetro Quadrado (hm
2
) - que corresponde a uma 
área quadrada de 1 hm de lado, eqüivalendo a 10.000 m
2
. 
 
Quilômetro Quadrado (km
2
) - que corresponde a uma 
região quadrada de 1 km de lado, eqüivalendo a 1.000.000 m
2
. 
18 
 
 
 
Submúltiplos do Metro Quadrado 
 
Decímetro Quadrado (dm
2
) - que corresponde a uma 
região quadrada de 1 dm de lado, equivalendo a 0,01 m
2
. 
 
Centímetro Quadrado (cm
2
) - que corresponde a uma 
área quadrada de 1 cm de lado, equivalendo a 0,0001 m
2
. 
 
Milímetro Quadrado (mm
2
) - que corresponde a uma 
área quadrada de 1 mm de lado, equivalendo a 0,000001 m
2
 
 
 
QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE 
 
As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, 
qualquer unidade é sempre 100 vezes maior que a unidade 
imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade 
imediatamente superior. 
 
 
MUDANÇA DE UNIDADE 
 
Para transformar a unidade de uma medida, em geral, 
utilizaremos a escada de unidades abaixo representada: 
 
 
 
 
Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de 
metros quadrados para centímetros quadrados, vamos multiplicar 
o número por 10.000, pois estaremos descendo dois degraus. Por 
outro lado, se fôssemos subir dois degraus desta escada (metros 
quadrados pra decâmetros quadrados por exemplo), iríamos 
dividir o número por 10.000. Analogamente, de acordo com a 
quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de 
cem. 
 
 
MEDIDAS AGRÁRIAS 
 
São medidas utilizadas na agricultura para medir 
campos, fazendas, etc. 
As unidades são o hm
2
, o dam
2
 e o m
2
 que recebem 
designações especiais. 
A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo 
símbolo é a, eqüivale a 1 dam
2
 ou seja 100 m
2
. 
O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo: 
O múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1 
hectômetro quadrado. Seu símbolo é ha. 
O submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo 
valor corresponde a 0,01 are e equivale a 1m
2
. 
 
 
Múltiplo hectare ha Hectômetro quadrado 10.000 m
2
 
 are a Decâmetro quadrado 100 m
2
 
Sub-
múltiplo 
centiare ca Metro quadrado 1 m
2
 
 
 
Observação: 
 
Existem unidades não legais que pertencem ao sistema 
métrico decimal. 
 
Alqueire Paulista = 24.200 m2 
Alqueire Mineiro = 48.400 m2 
 
 
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS 
 
P1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m
2
? 
 
P2) Uma reserva florestal tem 122.800m
2
 de área. Qual a área 
dessa reserva em ha? 
 
P3) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área 
dessa plantação em km
2
? 
 
P4) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área 
dessa gleba foi reservada para pasto. Quantos m
2
 de pasto foram 
formadosnessa gleba? 
 
P5) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m
2
 
ele comprou? 
 
P6) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram 
formados 50 alqueires (mineiros) de pasto de excelente 
qualidade. Quantos m
2
 de pasto foram formados nessa fazenda? 
 
P7) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 
ha. Qual é, em m
2
, a superfície ocupada pela plantação? 
 
GABARITO - MEDIDAS AGRÁRIAS 
 
P1) 60.000 m
2 
 
P2) 12,28 ha 
 
P3) 4,06 km
2
 
 
P4) 3750 m
2 
 
P5) 145.20 m
2 
 
 
P6) 2.420.000 m
2 
 
P7) 420.000 m
2
 
 
19 
 
ÁREAS DE POLÍGONOS 
 
Quando medimos superfícies tais como um 
terreno, ou piso de uma sala, ou ainda uma parede, 
obtemos um número, que é a sua área. 
 
"Área é um número real, maior ou igual a zero, que 
representa a medida de uma superfície." 
 
Obteremos, portanto, as relações que vão nos 
auxiliar a encontrar as áreas dos polígonos mais comuns. 
 
RETÂNGULO (SR) 
 
A área de uma região retangular de altura h e base b é 
dada por b  h unidades de área, ou seja: 
 
 
SR = b  h 
 
QUADRADO (SQ) 
 
A área de uma região quadrada 
de lado a é dada por (a  a = a
2
) 
unidades de área, ou seja: 
 
 
SQ = a  
a = a
2
 
 
 
PARALELOGRAMO (SP
 
 
Vamos recortar o triângulo ADH e coloca-lo no 
espaço existente no lado BC: 
 
Como as duas áreas são iguais, podemos dizer que a área 
da região limitada por um paralelogramo é dada 
multiplicando-se o comprimento (ou base) b pela largura 
(ou altura) h, ou seja: 
 
SP = b  h 
 
TRIÂNGULO (S) 
 
 Para chegarmos na fórmula para cálculo da área limitada 
por um triângulo vamos primeiramente dividir um retângulo 
por uma das diagonais, encontrando assim dois triângulos 
retângulos congruentes: 
 
 
Observando a figura acima, concluímos que a área 
de um triângulo pode ser obtida pela metade da área de 
um retângulo: 
 
 
 
S  = 
2
S
R
 = 
2
hb 
 
 
 
 
S D =
2
hb 
 
 
 
LOSANGO (SL) 
 
 
20 
 
Seja o Losango MNPQ abaixo de diagonal maior 
D e diagonal menor d. 
 
 
Para deduzirmos qual a fórmula para cálculo da sua área 
vamos separa-lo em dois outros triângulos (MNP e 
MQP) de base D e altura d/2 congruentes entre si: 
 
 
L o g o : S L = 2  S 1 = 2 x
2
.D
2
d
 = 2  
4
d.D
 = 
2
d.D
 
 
 2
d.D
S
L
 
 
 
TRAPÉZIO (ST) 
 
Seja o Trapézio abaixo de base menor b, base 
maior B e altura h. 
 
 
Para deduzirmos a fórmula para o cálculo da área 
limitada por um trapézio, vamos inverter sua posição e 
"encaixar" num segundo trapézio idêntico ao primeiro, 
observe: 
 
 
Desta forma, encontramos um paralelogramo, e para 
calcular a área de um paralelogramo basta multiplicar a 
sua base pela sua altura, logo: 
 
 
S P = 2  S T  S T = 
2
S
P
 S T =
2
alturabase 
 
 

 
 
S T = 
2
b).h(B 
 
 
 
CÍRCULO 
 
A área de um círculo de raio r é dada por: 
 
 S =  . r2 
 
 
SETOR CIRCULAR 
 
Se  é dado em graus, a área do setor circular pode ser 
calculada por: 
 
 SSC = 
2
r
360
α

 
 
 
COROA CIRCULAR 
 
A área da Coroa Circular pode ser calculada pela 
diferença da área do círculo maior pela área do círculo 
menor. 
 
 SCC =  (R
2
  r2) 
 
Observação: 
 
"Comprimento da Circunferência" 
 
O comprimento de uma circunferência é calculado a partir 
da fórmula: 
 
21 
 
C = 2..R 
 
Não confunda circunferência com o círculo: para você 
enxergar a diferença basta você imaginar uma pizza, a 
sua borda será a circunferência e o todo o seu recheio 
será o círculo. 
 
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE 
(ÁREAS) 
 
P1) Uma parede tem 27m
2
 de área. Sabendo-se que já foram 
pintados 15m
2
 dessa parede, quantos m
2
 de parede ainda resta 
pintar? 
 
P2) Em um terreno de 5.000m
2
, 42% da área foi reservada ara 
construções, ficando o restante como área livre. Quantos metros 
quadrados restaram de área livre? 
 
P3) Uma parede dever ser revestida com azulejos. A parede tem 
20m
2
 de área e cada azulejo tem 0,04m
2
 de área. Quantos 
azulejos devem ser comprados para revestir totalmente essa 
parede? 
 
P4) Uma região retangular tem 6 m de comprimento por 4 de 
largura, uma região quadrada tem 5m de lado. Qual das duas 
regiões tem a maior área? 
 
P5) Consideremos uma região retangular que tem 27m de 
comprimento e 8 de largura. Essa região foi dividia em duas 
outras regiões A e B, de forma que a área da região A 
corresponde a 1/3 da área da região que foi dividida. Calcule a 
área de cada região. 
 
P6) Uma região circular tem 5m de raio. Essa região foi dividida 
em duas outras, A e B, de modo que a área da região B 
corresponde a 40% da área da região original. Calcule a área 
de cada uma dessas regiões. 
 
P7) Foram confeccionadas 1.500 flâmulas triangulares. Cada 
flâmula tem 0,40m de base de 0,15m de altura. Quantos metros 
quadrados foram usados na confecção dessas flâmulas? 
 
P8) Uma peça de madeira tem a fórmula de losango. A diagonal 
maior mede 50cm e a diagonal menor 20cm. Qual a área desse 
losango? 
 
P9) Calcular a base de um paralelogramo cuja a área é de 
8,8336dm
2
 e a altura 1,52dm. 
 
P10) A área de um losango mede 2,565 dm
2
 e uma das suas 
diagonais tem 2,7dm. Quanto mede a outra diagonal? 
 
P11) A base maior de um trapézio mede 2,4m e a menor é igual a 
1/3 da maior. Qual é a sua área em m
2
. Sabendo-se que a altura 
mede 8,5dm? 
 
P12) O comprimento de uma circunferência é 25,12cm. Qual é a 
área da circunferência? 
 
P13) A medida do raio de uma circunferência é igual a metade da 
medida do diâmetro dessa circunferência. Esta afirmação é falsa 
ou verdadeira? 
 
P14) A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro. Quando a 
roda desse automóvel der 5.000 voltas completas, de quantos 
metros será a distância percorrida pelo automóvel? 
 
P15) Uma circunferência tem 80 cm de raio. Se eu dividi-la por 
pontos em 4 partes de mesmo comprimento, qual será o 
comprimento de cada uma dessas 4 partes? 
 
P16) Determinar o valor do raio de uma circunferência cujo 
comprimento é 12,56 dm. 
 
P17) Cada uma das rodas, de 0,30 m de raio, de um automóvel, 
deu 4.500 voltas percorrendo um certo trajeto. Quantos 
quilômetros percorreu este automóvel? 
 
GABARITO - MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREAS) 
 
P1) 12m
2 
 
 
P2) 2900 m
2 
 
P3) 500 azulejos 
 
P4) A quadrada pois 25 m
2
 > 24 m
2
 
 
P5) 144 m
2
 para B e 72 m
2
 para A 
 
P6) A região A = 47,10m
2
 e a região B = 31,40m
2
. 
 
P7) 45 m
2 
 
P8) 500 cm
2 
 
P9) 5,8116 dm 
 
P10) 1,9 dm 
 
P11) 1,36 m
2 
 
P12) 50,21 cm
2
 
 
P13) Verdadeiro 
 
P14) 9425 m 
 
P15) 125,66 cm 
 
P16) 2 dm de raio 
 
P17) 8,478 km 
 
MEDIDAS DE CAPACIDADE 
 
" Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter 
em seu interior". 
 
Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa 
de água mineral cabe meio litro, estamos medindo a quantidade 
de líquido que a garrafa pode conter. 
 
 
Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as 
unidades de volume para medir os líquidos. Mas para este fim, 
utilizamos uma outra unidade de medida chamada litros, que se 
abrevia por l.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 
22 
 
dm de aresta, ou seja, corresponde ao volume de um decímetrocúbico. 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, 
um consumo de 25m
3
 de água. Quantos litros de água foram 
consumidos nessa casa? 
 
25m
3
 = (25 x 1000)dm
3
 = 25.000dm
3
 = 25.000l 
 
 
MUDANÇA DE UNIDADE 
 
Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 
em 10, pode-se concluir que as mudanças de unidades são feitas 
como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando-se a 
vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a 
direita ou ainda, como foi dito, utilizando a escada de 
transformações representada abaixo: 
 
 
 
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE 
 
P1) Expressar 2l em ml. 
 
P2) Sabendo-se que 1dm
3
 = 1l, expressar 250 l em cm
3
. 
 
P3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o 
consumo do último mês foi de 36m
3
, quantos litros de água 
foram consumidos? 
 
P4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma 
vacina que deve ser colocada em ampolas de 35cm
3
 cada uma. 
Quantas ampolas serão obtidas com esta quantidade de vacina? 
 
P5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 
85m
3
. Quantos litros de combustível essa carreta pode 
transportar quando totalmente cheia? 
 
P6) Um reservatório, cujo volume é de 10m
3
, estava totalmente 
cheio quando deles foram retirados 2.200 l. Numa segunda vez 
foi retirado 1/3 da quantidade de água que restou. Nessas 
condições, quantos litros ainda restam no reservatório? 
 
P7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 
12cm
3
. Qual é a capacidade máxima em ml desta ampola? 
 
P8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo 
volume interno é de 0,24m
3
? 
 
 
 
GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE 
 
P1) 2000ml 
 
P2) 250000 cm
3 
 
P3) 36.000 litros 
 
P4) 40.000 ampolas 
 
P5) 85.000l de combustível 
 
P6) 5200 litros 
 
VOLUME DOS SÓLIDOS 
 
 
"As abelhas em virtude de uma certa intuição geométrica sabem, 
que o hexágono é maior que o quadrado e o triângulo e conterá 
mais mel com o mesmo gasto de material..." 
Papus de Alexandria 
 
 
 
As abelhas, na realidade, não fazem hexágonos em suas colméias 
como disse o Matemático Papus de Alexandria, elas constroem 
Prismas Hexagonais. 
 
 Os prismas são figuras geométricas consideradas sólidos 
geométricos, assim como as Pirâmides, Cilindros, Cones, 
Esferas. 
 
Nesta parte de nossos estudos daremos uma atenção 
especial para os sólidos geométricos. Até agora, quando 
estudamos quadrados, triângulos; falávamos apenas das áreas ou 
perímetros dessas figuras, e agora poderemos calcular o volume 
desses sólidos. 
 
 
PIRÂMIDES 
 
Para estudarmos as Pirâmides, vamos partir de um 
prisma: 
 
 
23 
 
 
 
Observe que a pirâmide se encaixa perfeitamente 
dentro de um prisma (desde que suas dimensões, como a 
base, altura e propriedades sejam as mesmas, no nosso 
caso um prisma quadrangular e uma pirâmide 
quadrangular). 
Se pudéssemos completar um prisma com areia, e após 
completar uma pirâmide concluiríamos que com o volume 
de areia contido no prisma poderíamos encher três vezes 
a pirâmide, daí o volume desse prisma seria o triplo do 
volume da mesma pirâmide. 
Na realidade é isso que acontece, o volume do prisma 
quadrangular da figura acima é numericamente igual ao 
triplo do volume da pirâmide, portanto o volume de uma 
pirâmide pode ser pegando o volume de um prisma e 
dividindo por três. 
 Podemos ainda identificar outros elementos da pirâmide, 
observe a figura abaixo: 
 
 
 
VOLUME: V = 3
HA b 
 
 
ÁREA TOTAL: AT = AL + Ab 
 
RELAÇÃO: ap
2
 = ab
2
 + H
2
 
 
 
Onde: 
ap apótema da pirâmide; 
ab  apótema da base; 
H  altura da pirâmide. 
 
 
Exercício Resolvido 
 
R2) Calcule o volume e a área lateral de uma pirâmide 
regular, sabendo que seu apótema mede 5 cm e a sua 
base é um quadrado sujo lado mede 8 cm. 
 
Resolução: 
 
Para encontrarmos o volume dessa pirâmide precisamos 
saber a sua altura: 
ap
2
 = ab
2
 + H
2
  5
2
 = ( 2
8
)
2
 + H
2
  H
2
 = 25  16 
H
2
 = 9  H = 3 cm 
 
Logo: 
 
 
3
HA
V
b

  V = 
3
38
2

 V = 6 4 c m
3
 
 
 
Para se chegar na área lateral devemos saber quantas 
são as faces laterais e qual a área de uma face. Como a 
base é um quadrado de lado 8cm e cada face de uma 
pirâmide é um triângulo, fica ilustrada uma face lateral da 
seguinte forma: 
 
 
a p = 5 c m 
 b = 8 c m 
 . 
a p ó te m a d a 
 p ir â m id e 
 
A F = 
2
58 
 = 2 0 c m
2
 
 
 
AL = 4  20 = 80 cm
2
 
 
PRISMAS 
 
Observe os Prismas abaixo: 
 
 
 
Observe agora apenas o Prisma Hexagonal: 
 
 
 
Você deve ter observado que de acordo com a 
24 
 
base de um prisma é o como ele será chamado, se a base 
for um hexágono, um Prisma Hexagonal; se for um 
quadrado, um Prisma Quadrangular etc. O mesmo 
ocorrerá com as Pirâmides. 
Em todo sólido nós teremos as arestas, faces e 
vértices. A aresta nada mais é do que uma intersecção 
entre as faces. Os vértices, a intersecção entre as arestas, 
e assim por diante. 
Para o cálculo do volume de um prisma basta 
multiplicarmos a área da base pela altura. 
Estudaremos a princípio, os prismas mais comuns, 
o Paralelepípedo e o Cubo que são particularidades de 
Prismas Quadrangulares. 
 
 
CUBO 
 
 
 
 
VOLUME: V = a3 
 
ÁREA TOTAL: AT = 6a
2
 
 
DIAGONAL: D = a 3 
 
 
 
PARALELEPÍPEDO 
 
 
 
 
 
VOLUME: V = a.b.c 
 
ÁREA TOTAL: AT = 2(a.b + b.c + a.c) 
 
DIAGONAL: D = 2c2b2a  
 
Exercício Resolvido 
 
1) Calcule a área total e a medida da diagonal de um cubo 
cujo volume é 125 m
3
. 
 
Resolução: 
V = 125  a
3
 = 125  a = 3 125  a = 5 m 
AT = 6a
2
  AT = 6´5
2
  AT = 6  25  AT = 150 m
2
 
D = a 3  D = 5 3 m 
 
CILINDROS 
 
Encontramos vários tipos de cilindros no nosso dia a 
dia: 
 
 
Para se calcular o volume de um cilindro, faremos analogamente 
ao prisma (Ab  H), somente com a ressalva de que a base de um 
cilindro será um círculo. Na figuras representadas abaixo temos a 
planificação de um cilindro (Figura 4) onde podemos perceber 
que para o cálculo de sua área lateral vamos considerar o 
retângulo formado com a base sendo numericamente igual ao 
comprimento da circunferência. 
 
 
 
VOLUME: VC = Ab  H 
 
ÁREA LATERAL: AL = 2r  H 
 
ÁREA TOTAL: AT = AL + 2Ab 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1) Calcule o volume de um cilindro reto de altura 10 cm, 
sabendo que sua área lateral é 60p cm
2
. 
 
Resolução: 
AL = 2r  H  60 = 2r  10  r = 3cm 
V = Ab  H = r
2
  H = 9  10 = 90 cm3 
 V = 90p cm
3
 
25 
 
 
2) Calcule o volume de um cilindro eqüilátero, sabendo que a 
área de sua secção meridiana é 64 m
2
. 
 
Resolução: 
Um cilindro eqüilátero é aquele que possui a altura igual ao 
diâmetro da base: 
 
Cilindro Eqüilátero: H = d Secção Meridiana 
 
 
ASM = 64  H  d = 64  d
2
 = 64  H = d = 8 m 
V = Ab  H = r
2
  H =  42  8 = 128 m3 
V = 128 m3 
 
OUTROS SISTEMAS DE MEDIDAS 
 
 MEDIDAS DE MASSA 
 
"Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que 
esse corpo contém". 
 
O sistema métrico decimal é utilizado, para estabelecer 
as unidades que servem para medir a massa de um corpo. 
A unidade padrão para medir a massa de um corpo é a 
massa de um decímetrocúbico de água, a uma temperatura de 
4ºC. Entretanto, por ser mais prático, foi utilizado como unidade 
principal o grama (abrevia-se g) e que se constitui numa massa 
igual a milésima parte do quilograma ou seja, 
1g = 0,001kg ou 1kg = 1000g. 
 
 
RELAÇÃO IMPORTANTE 
 
Volume Capacidade Massa 
1 dm
3
 = 1 litro = 1 kg 
 
Exemplo: 
Um recipiente, totalmente cheio contém um volume de 
5m
3
 de água pura. Qual é o peso (massa) da água contida neste 
recipiente? 
5m3 = 5.000 dm3 = 5000 kg 
Logo, o peso dessa água contida nesse recipiente é de 5.000 kg 
 
OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO 
GRAMA 
 
Tonelada (T) = 1.000 kg 
Megaton = 1.000 toneladas 
Quilate = 0,2 g (unidade para medida de pedras e metais 
preciosos) 
 
 
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE MASSA 
 
P1) Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 
blocos, todos com o mesmo número de páginas. Se cada bloco 
tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usados para 
fazer esses blocos? 
 
P2) Uma laje é formada por 40 blocos de concreto. Cada bloco 
de concreto tem 1 1/4 T. de massa. Qual a massa da laje toda? 
 
P3) Um litro de uma certa substância corresponde a uma massa 
de 2.5 kg. Quantos kg há em 6 m
3
 dessa substância? 
 
P4) Um comprimido contém 3,5 mg de vitamina x. Uma pessoa 
toma três desses comprimidos por dia. Quantos miligramas de 
vitamina x essa pessoa vai ingerir após 1 mês de 30 dias? 
 
P5) Um recipiente contém água pura. A massa dessa água é de 
18.000 kg. Qual é em m
3
 o volume interno desse recipiente? 
 
P6) Um volume de 0,01 m
3
 corresponde a quantos decímetros 
cúbicos? 
 
P7) Um reservatório tem um volume de 81 m
3
 e está totalmente 
cheio d´água. Uma válvula colocada nesse reservatório deixa 
passar 1500l de água a cada 15 minutos. Esta válvula ficou 
aberta durante um certo tempo e depois foi fechada. Verificou-se 
que havia, ainda 27m
3
 de água no reservatório. Durante quanto 
tempo esta válvula permaneceu aberta? 
a) 8 horas 
b) 9 horas 
c) 12 horas 
d) 18 horas 
e) 36 horas 
 
GABARITO - MEDIDAS DE MASSA 
 
P1) 18.750 kg 
P2) 50 T 
P3) 15.000 kg 
P4) 315 mg 
P5) 18 m
3 
P6) 10 dm
3 
P7) B 
 
MEDIDAS DE TEMPO 
 
A unidade fundamental do tempo é o segundo. As 
unidades secundárias, que se apresentam somente como 
múltiplos, constam no quadro: 
 
NOMES Símbolos Valores em segundos 
Segundo s ou seg 1 
Minuto min 60 
Hora h 3.600 
26 
 
Dia d 86.400 
 
Outras unidades, usadas na prática, são: 
Semana (se) 7 dias 
Mês (me) 30, 31 ou 29 ou 28 dias 
Ano (a) 360, 365 ou 366 dias 
 
O ano compõe-se de 12 meses. O ano comercial tem 360 
dias, o ano civil tem 365 dias e ano bissexto 366 dias. 
Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e 
dezembro têm 31 dias; os meses de abril, junho, setembro e 
novembro têm 30 dias. O mês de fevereiro tem 28 dias nos anos 
comuns (civil) e 29 dias nos anos bissextos. 
Todo ano que for divisível por 4, são bissextos. Assim, por 
exemplo: 
1940, 1952, 1964 são bissextos 
1910, 1953, 1965 não são bissextos 
 
Nomenclaturas: 
 
02 anos chama-se biênio 
03 anos chama-se triênio 
04 anos chama-se quadriênio 
05 anos chama-se quinquênio ou lustro 
10 anos chama-se decênio ou década 
100 anos chama-se século 
1000 anos chama-se milênio 
02 meses chama-se bimestre 
03 meses chama-se trimestre 
06 meses chama-se semestre 
 
A representação do número complexo que indica 
unidade de tempo, é feita escrevendo-se em ordem decrescente o 
valor, s números correspondentes às diversas unidades 
acompanhados dos respectivos símbolos. 
 
Exemplo: 
 
9 a 4 me 18 d 15 h 23 min 17 seg 
 
MUDANÇA DE UNIDADES 
 
Podem ocorrer dois casos: 
 
Caso 1: Transformação de número complexo em unidades 
inferiores também chamadas de medidas simples ou número 
incomplexo. 
 
Exemplo: 
Verificar quantos minutos há em 3d 8h 13min? 
Como 1 dia tem 24 horas 24 h x 3 = 72 h 
Temos + 8 h. Estas 72 h + 8 h dá 80 h. 
Como a hora vale 60 min.  80 h x 60 min = 4800 min. 
Somando-se ainda mais 13 min.  4813 min. 
 
Caso2: Transformação de um número expresso em medidas 
simples ou unidades inferiores ou em números incomplexos. 
 
Exemplo: 
Transformar 4813 min. em número não decimal, é o 
mesmo que determinar quantos dias, horas e minutos há em 4813 
min. Neste caso efetuamos as operações inversas do problema 
anterior. 
 
4813 ¸60 = 80 h e 13 min 
80h ¸ 24 = 3 d e 8 h 
 
Logo, 4813 minutos é o mesmo que 3 dias 8horas e 13 minutos. 
 
 
EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE TEMPO 
 
P1) Dizer: a) Quantos minutos há numa semana? 
 b) Quantas horas há em duas semanas? 
 
P2) Converter: a) 2d 12 h 15 min em minutos. 
 b) 4 a 8 me 12 d em dias. 
 
P3) Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min. 
 
P4) Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano. 
 
P5) Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e 
outro durante 11 me 29 d. Qual é a diferença entre os tempos de 
trabalho dos dois operários? 
 
P6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 
24 h. Que horas serão, na verdade, quando o relógio marcar 5 h 
da tarde? 
 
 
 
GABARITO - MEDIDAS DE TEMPO 
 
P1) a) 10.080 min b) 336 h 
 
P2) a) 3.615 min b) 1.712 dias 
 
P3) 242 d 18 h 21 min 
 
P4) 7 me e 20 d 
 
P5) 1 a 10me 14d 
 
P6) 4 h 58 min 
 
 
ESFERA 
 
 
Considere um semicírculo, fixo num eixo, rotacionando o 
mesmo em torno do eixo, este semicírculo gera uma 
esfera: 
27 
 
 
 
VOLUME: V = 
3
R
3
4
π
 
 
ÁREA ESFERA: A = 4R2 
 
 
Exercício Resolvido 
 
1 ) Uma esfera tem raio 15 cm. 
 
Calcule: 
a) seu volume; 
b) sua área; 
c) a área da secção feita a 9cm do centro. 
 
Resolução: 
 
a) Volume: 
 
 
V = 
3
4
  R
3
 = 
3
4
 1 5
3 
  V = 4 5 0 0  c m
3
 
 
 
 
b) Área: 
 
A = 4  R2 = 4  152  A = 900 cm2 
 
c) Secção: 
 
 
 
Cálculo do raio da secção: 
 
15
2
 = 9
2
 + r
2
  r2 = 144 
 r = 12cm 
 
Logo a área da secção: 
 
As =  r
2
 = 144 cm2 
s cm
2
 
 
CONES 
 
Um cone pode ser obtido através da rotação de um 
triângulo retângulo em torno de um eixo (e). Na figura 
temos que a hipotenusa (g) do triângulo será a geratriz do 
cone. 
 
 
 
A relação que existe entre um cone e um cilindro é 
a mesma existente entre uma pirâmide e um prisma, 
observe: 
 
 
 
Podemos concluir então que volume de um cone será 
28 
 
obtido dividindo o volume de um cilindro, de mesma base 
e mesma altura, por três. 
 
 
 
VOLUME: V = 3
HA b 
 
 
ÁREA LATERAL: AL =  r g 
 
ÁREA TOTAL: AT = AL + Ab 
 
RELAÇÃO: g2 = H2 + r2 
 
Onde: 
g  geratriz do cone; 
r  raio da base 
H  altura do cone. 
 
 
Exercício Resolvido 
 
1) Os catetos de um triângulo retângulo medem 8 cm e 15 
cm. Calcule o volume e a área total do cone de revolução 
gerado pela rotação completa desse triângulo em torno de 
um eixo que contém seu cateto maior. 
 
Resolução: 
 
 
O triângulo retângulo considerado, ao 
dar uma volta completa, gera no espaço 
um cone de raio 
r = 8cm e altura H = 15cm . Sendo g a 
medida da geratriz desse cone, por 
Pitágoras: 
g
2
 = 8
2
 + 15
2
g
2
 = 64 + 225  g = 17 
cm 
 
 
Volume:V = 
3
HA
b

 = 
3
2
Hr 
 = 
3
1564 
 = 3 2 0 c m
3
 
 
Área Total: 
 
AT = AL + Ab =  r g +  r
2
 =  .8 .17 +  . 82 = 200 cm2 
 
 
EXERCÍCIOS SOBRE VOLUMES 
 
P1) Sendo 5cm a medida de uma aresta de um cubo, 
obtenha: 
a) a medida de uma diagonal de uma face de um cubo. 
b) a medida de uma diagonal desse cubo. 
c) sua área total. 
d) seu volume. 
 
P2) Se a diagonal de uma face de um cubo mede 5 2 , 
então o volume desse cubo é: 
a) 600 3 
b) 625 
c) 225 
d) 125 
e) 100 3 
 
P3) Um paralelepípedo reto retângulo tem arestas medindo 
5, 4 e k. Se a sua diagonal mede 3 10 , o valor de k é: 
a) 3 
b) 7 
c) 9 
d) 10 
e) 20 
 
P4) Se a soma das medidas de todas as arestas de um 
cubo é 60cm, então o volume desse cubo, em centímetros 
cúbicos, é: 
a) 125 
b) 100 
c) 75 
d) 60 
e) 25 
 
P5) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com 
arestas medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão 
e em seguida o alumínio líquido é moldado como um 
paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor 
de x é: 
a) 16 
b) 17 
c) 18 
d) 19 
e) 20 
 
P6) A água de um reservatório na forma de um 
paralelepípedo reto retângulo de comprimento 30m e 
largura 20m atingia a altura de 10m. Com a falta de 
29 
 
chuvas e o calor, 1800 metros cúbicos da água do 
reservatório evaporaram. A água restante no reservatório 
atingiu a altura de: 
a) 2 m 
b) 3 m 
c) 7 m 
d) 8 m 
e) 9 m 
 
P7) Dado um prisma regular triangular (base é um polígono 
regular) de aresta da base medindo 4cm e altura 6cm, 
calcule: 
 
 
 
a) a área de uma base. 
 
b) a área de uma face lateral. 
 
c) a área lateral. 
 
d) a área total. 
 
e) o volume. 
 
 
P8) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a 
altura mede 8cm e a aresta da base 2 3 cm . O volume 
dessa pirâmide em cm
3
, é: 
a) 24 3 
b) 36 3 
c) 48 3 
d) 72 3 
e) 144 3 
 
P9) Um imperador de uma antiga civilização mandou 
construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. 
As características dessa pirâmide são: 
1
O
. Sua base é um quadrado com 100m de lado. 
2
O
. Sua altura é de 100m. 
Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 
m
3
, os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, 
em média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo 
necessário para a construção da pirâmide, medido em 
anos de 360 dias, foi de: 
a) 40 anos 
b) 50 anos 
c) 60 anos 
d) 90 anos 
e) 150 anos 
 
P10) Qual é a altura de uma pirâmide quadrangular que 
tem as oito arestas iguais a 2 ? 
 
P11) Na figura seguinte, o ponto V é o centro de uma face 
do cubo. Sabendo que o volume da pirâmide VABCD é 
6m
3
, o volume do cubo, em m
3
, é: 
 
 
a) 9 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
e) 21 
 
P12) Num cilindro de revolução, o raio da base mede 8cm 
e a altura mede 10cm. Calcule desse cilindro: 
a) a área da base. 
b) a área lateral. 
c) a área total. 
d) a área de uma secção meridiana. 
e) o volume. 
 
P13) Um tanque de petróleo tem a forma de um cilindro 
circular reto, cujo volume é dado por: V = p R
2
 h. Sabendo-
se que o raio da base e a altura medem 10 m, podemos 
afirmar que: o volume exato desse cilindro (em m
3
) é: 
a) 1 000p b) 100p c) (1 000p)/3 
d) (100p)/3 e) 200p 
 
P14) O volume de um cilindro circular reto é 36 6 p cm
3
. 
Se a altura desse cilindro mede 6 6 cm, então a área 
total desse cilindro, em cm
2
, é: 
a) 72p 
b) 84p 
c) 92p 
d) 94p 
e) 96p 
 
P15) Na figura, a base do cone reto está inscrita na face do 
cubo. Supondo p = 3, se a área total do cubo é 54, então o 
volume do cone é: 
 
30 
 
 
 
a) 2
81
 b) 2
27
 
 
c) 4
9
 d) 4
27
 
 
e) 4
81
 
 
 
P16) Uma esfera tem raio medindo 15cm. Calcule: 
a) a área de sua superfície esférica. 
b) o volume dessa esfera. 
c) a área de uma secção feita nessa esfera por um plano 
que dista 9 cm do seu centro. 
 
P17) Bolas de tênis, normalmente são vendidas em 
embalagens cilíndricas contendo três unidades que 
tangenciam as paredes internas da embalagem. Numa 
dessas embalagens, se o volume não ocupado pelas 
bolas é 2p, o volume da embalagem é: 
 
 
a) 6 
b) 8
c) 10
d) 12
e) 4
 
P18) Considere uma laranja como sendo uma esfera de 
3cm de raio. Se a dividirmos em doze gomos congruentes, 
então o volume de cada em gomo, em cm
3
, será: 
 
a) b) 2c) 3
8
 
 
d) 3e) 6
49
 
 
P19) Um tijolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo. 
Esse tijolo tem 22cm de comprimento, 10 cm de largura e 
7cm de altura. Qual é o volume de argila usado na 
fabricação desse tijolo? 
 
P20) Um cubo tem 3cm de aresta. Um segundo cubo tem 
uma aresta que é igual ao triplo da aresta do primeiro. 
Calcule o volume de cada cubo e verifique quantas vezes 
o volume do segundo cubo é maior que o volume do 
primeiro. 
 
P21) Uma piscina, em forma de paralelepípedo retângulo, 
tem 10m de comprimento, 5m de largura e 1,75m de 
profundidade internamente. Quantos m
3
 de água são 
necessários para encher totalmente essa piscina? 
 
P22) Uma parede é feita de blocos. Cada bloco tem 0,4m 
de comprimento, 0,15m de largura e 0,25m de altura. 
Sabendo-se que foram usados 200 desses blocos para a 
construção dessa parede, qual é o volume da parede em 
m
3
? 
 
P23) Um bloco de pedra cúbico tem 2m de aresta. Qual é o 
peso desse bloco, se cada m
3
 pesa 1/2 tonelada? 
 
P24) Deseja-se cimentar um quintal retangular que tem 
12m de comprimento por 7 de largura. Com uma mistura 
de areia e cimento que tem 3cm de espessura. Qual é em 
m
3
, o volume da mistura usada nesse revestimento? 
 
P25) Um paralelepípedo retângulo tem 4 m de 
comprimento, 3m de largura e 2m de altura. Um cubo tem 
3m de aresta. Qual deles tem o volume maior? 
 
P26) A carroceria de um caminhão tem as seguintes 
medidas internas: 4m de comprimento, 2,5m de largura e 
0,5m de altura. Essa carroceria está transportando uma 
quantidade de areia que corresponde a 3/5 do seu volume. 
Quantos m
3
 de areia estão sendo transportados pelo 
caminhão:? 
 
P27) Expresse em dm
3
: 
a) 0,08m
3 
b) 13600 cm
3 
c) 2
1
m
3
 
 
P28) Um volume de 2.500.000 cm
3
 corresponde a quantos 
metros cúbicos? 
 
P29) O volume de 0,7m
3
 de uma solução líquida deve ser 
distribuído em ampolas cujo volume máximo é de 250 cm
3
. 
Quantas ampolas serão usadas? 
 
P30) Uma caixa d´água está totalmente cheia e contém 
2m
3
 de água. Um registro colocado nessa caixa, deixa 
escolar 0,25m
3
 de água a cada 20 minutos, quando está 
aberto. Se o registro ficar aberto durante uma hora, 
quantos metros cúbicos de água restarão na caixa após 
seu fechamento? 
 
P31) Um sólido tem 1,2m
3
 de volume. Um segundo sólido 
tem um volume que corresponde a 5/8 do sólido dado. 
Qual o volume do segundo sólido? 
 
P32) A leitura de um hidrômetro feita em 01/4/98 assinalou 
1936m
3
. Um mês após, a leitura do mesmo hidrômetro 
assinalou 2014m
3
. Qual foi, em m
3
, o consumo nesse 
31 
 
período? 
 
P33) O volume inicial de um tanque é 1m
3
 de ar. Cada 
golpe de uma bomba de vácuo extrai 100dm
3
 de ar desse 
tanque. Após o 7º golpe da bomba, quantos m
3
 de gás 
permanecem no tanque? 
 
GABARITO - VOLUMES 
 
P1) 
a) 5 2 cm b) 5 3 cm 
c) 150 cm
2
 d) 125 cm
3
 
 
P2) D 
 
P3) B 
 
P4) A 
 
P5) D 
 
P6) C 
 
P7) 
a) 4 3 cm
2 
b) 24 cm
2 
c) 72 cm
2
 d) 8( 3 + 9) cm
2 
e) 24 3 cm
3
 
 
P8) C 
 
P9) B 
 
P10) 1 = 1 
 
P11) D 
 
P12)a) 64p cm
2
 b) 160p cm
2
 
c) 288p cm
2
 d) 80p cm
2
 
e) 640p cm
3
 
 
P13) A 
 
P14) B 
 
P15) D 
 
P16) 
a) 900p cm
2
 b) 4500p cm
3
 
c) 144p cm
2
 
 
P17) A 
 
P18) D 
 
P19) 1540 cm
3
 
 
P20) 27cm
3
, 729cm
3
, 27vezes 
 
P21) 87,50 m
3
 
 
P22) 3 m
3 
 
P23) 4 toneladas 
 
P24) 2,52 m
3
 
 
P25) o cubo pois 27m
3
 > 24 m
3 
 
P26) 3 m
3
 
 
P27) 
a) 80 dm
3
 b) 13,6 dm
3
 c) 500 dm
3
 
 
P28) 2,5 m
3
 
 
P29) 2800 ampolas 
 
P30) 1,25 m
3 
 
P31) 0,75 m
3
 
 
P32) 78 m
3 
 
P33) 0,3 m
3
 
 
 
 
 
 
PORCENTAGEM (%) 
 
"Porcentagem é uma fração decimal, cujo denominador é 
cem, a expressão x %, é chamada de 
 
ta x a p e rc e n tu a l e re p re s e n ta a ra zã o
100
x
" . 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM PORCENTAGEM 
 
Podemos, por exemplo, operar números na forma de 
porcentagem, observe: 
 
Exemplo: 
 
Efetue: 
 
32 
 
 
 
%64
= 
5
4
10
8
100
64
 = 0 ,8 = 8 0 % 
  (1 0 % )
2
 = 
22
10
1
100
10












= 
100
1
= 1 % 
  5 %  1 5 % =
100
5

100
15
=
20
1

20
3
= 
400
3
= 0 ,7 5 % 
 
 
TRANSFORMAÇÕES 
 
Muitas vezes teremos que transformar números decimais, 
ou frações, para a forma de porcentagem, ou mesmo 
teremos que fazer o contrário, transformar porcentagens 
em números decimais ou frações. 
 
DECIMAIS  PORCENTAGEM 
 
"Para converter números decimais em porcentagem, basta 
multiplicar o número por 100". 
 
Exemplos: 
Vamos converter os números abaixo para a forma de 
porcentagem: 
0,57100 = 57% 
0,007100 = 0,7% 
1,405 100 = 140,5% 
 
FRAÇÕES  PORCENTAGEM 
 
"Para converter frações para porcentagens, em geral, 
vamos transformar as frações em números decimais, em 
seguida multiplicá-los por 100". 
 
Exemplos: 
 

15
7
= 0 ,4 6 6 .. .= 4 6 ,6 6 6 % a p ro x im a d a m e n te 4 6 ,7 % 

4
3
= 0 ,7 5 = 7 5 % 
 
 
CÁLCULOS EM PORCENTAGEM 
 
Existem problemas onde precisamos encontrar a 
porcentagem de um valor específico, ou mesmo a 
porcentagem de um determinado número de elementos 
em um conjunto, ou população: 
 
Exemplo1: 
Em uma empresa trabalham 60 pessoas, sendo 15 
mulheres. Vamos determinar qual a porcentagem de 
homens, existente nesta empresa. 
Observe que de 60 pessoas, 15 são mulheres e 
45 são homens, logo, em sabemos que 60
45
 dos 
funcionários da empresa são homens. 
Simplificando a fração encontrada obtemos 4
3
, 
então teremos 75% dos funcionários como sendo homens 
e o restante (25%) sendo mulheres. 
 
Exemplo2: 
Vamos determinar quanto é 23% de R$ 500,00. 
Paratanto, vamos calcular de duas formas distintas, a 
primeira utilizando uma regra de três, e a outra, utilizando 
a relação "fração  todo", utilizada na resolução de 
problemas que envolvem frações. 
 
1
O
.Modo: "Regra de Três" 
 
 % R$ 
 23 x 
 100 500 
 
Como as grandezas são diretamente proporcionais a 
equação fica assim: 
 
 

100
23
= 
500
x
 1 0 0 x = 2 3 . 5 0 0  x = 2 3 . 5  x = 1 1 5 
 
 
Logo, 23% de R$ 500,00 é igual a R$ 115,00. 
 
2
O
.Modo: "Fração  Todo" 
 
 2 3 % d e 5 0 0 = 
100
23
. 5 0 0 = 2 3 . 5 = 1 1 5 
 
Logo, 23% de R$ 500,00 é igual a R$ 115,00. 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
R1) Ao receber uma dívida de R$ 1.500,00, uma pessoa 
favorece o devedor com um abatimento de 7% sobre o 
total. Quanto recebeu? 
 
Resolução: 
Uma pessoa deve receber R$ 1.500,00, e no entanto, 
essa pessoa, concede um abatimento de 7% sobre esse 
valor, portanto, ela recebeu 93% do valor total (R$ 
1.500,00). 
 
 9 3 % d e 1 .5 0 0 = 
100
93
 1 .5 0 0 = 9 3 . 1 5 = 1 .3 9 5 
 
Logo a pessoa recebeu R$ 1.395,00. 
 
R2) Uma pessoa ao comprar uma geladeira, conseguiu um 
abatimento de 5% sobre o valor de venda estipulado, e 
assim foi beneficiado com um desconto de R$ 36,00. Qual 
era o preço da geladeira? 
 
Resolução: 
 
1
O
.Modo: "Regra de Três" 
 
 % R$ 
 5 36 
 100 x 
 
Como as grandezas são diretamente proporcionais a 
equação fica assim: 
 
33 
 
 

100
5
= 
x
36
 5 x = 3 6 . 1 0 0  x = 3 6 . 2 0 = 7 2 0 
 
Portanto, o preço da geladeira era de R$ 720,00. 
 
2
O
.Modo: "Fração  Todo" 
 
Sabemos, do enunciado, que 5% de um valor qualquer 
(aquele que temos que descobrir) é igual a R$ 36,00, logo: 
 
 5 % d e x = 3 6  
100
5
. x = 3 6  5 x = 3 6 . 1 0 0  x = 7 2 0 
 
Portanto, o preço da geladeira era de R$ 720,00. 
 
R3) Uma coleção de livros foi vendida por R$ 150,00. Com 
um lucro de R$ 12,00. Qual foi a porcentagem do lucro? 
 
Resolução: 
 
"Fração  Todo": 
 
x % d e 1 5 0 = 1 2  
100
x
. 1 5 0 = 1 2  x = 8 % 
 
"Regra de Três" 
 
 % R$ 
 X 12 
 100 150 
 
100
x
= 
150
12
 1 5 0 x = 1 2 0 0  x = 8 % 
 
 
AUMENTOS E DESCONTOS 
 
Uma determinada loja de roupas dá as seguintes opções 
de compra de uma calça jeans, cujo preço é de R$ 40,00: 
1a.Opção de Pagamento  pagamento à vista com um 
desconto de 5%. 
2a.Opção de Pagamento Þ pagamento a prazo com um 
aumento de 5%. 
 
Qual será o novo preço da calça, nos dois casos 
considerados? 
 
Uma forma de encontrarmos estes dois valores é 
determinando quanto é 5% de R$ 40,00. Na opção de 
pagamento à vista, subtrairíamos do valor da calça, e na 
segunda opção, somaríamos os 5% no valor da calça, 
obtendo assim, nos dois casos, os seus respectivos 
valores. 
 
Entretanto, em geral, utilizaremos um Fator de 
Multiplicação, para o caso de haver um desconto ou um 
aumento. 
 
DESCONTOS 
 
"Um desconto de x % em cima de um valor V é dado por: 
(0,a)  V, onde 
a = (100 - x)". 
 
Exemplos (Tabela): 
 
Descontos (%) Fator de Multiplicação 
 25 0,75 
 30 0,70 
 70 0,30 
 5 0,95 
 
Observe que: 
 
75 = (100  25) 
70 = (100  30) 
30 = (100  70) 
95 = (100  5) 
 
Voltando ao nosso exemplo inicial, o preço pago pela 
calça, no pagamento à vista será: 
0,95  40 = R$ 38,00 
 
AUMENTOS 
"Um aumento de x % em cima de um valor V é dado por: 
(1,x)  V". 
 
Exemplos (Tabela): 
 
 Aumentos (%) Fator de Multiplicação 
 25 1,25 
 30 1,30 
 70 1,70 
 5 1,05 
 
Voltando ao nosso exemplo inicial, o preço pago pela 
calça, no pagamento a prazo será: 
1,05 40 = R$ 42,00 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1) Uma adega vende certa quantidade de garrafas de 
vinho a R$ 580,00, obtendo um lucro de 25% sobre o 
preço da compra. Determinar o preço da compra e o lucro 
obtido. 
 
Resolução: 
 Como se trata de um lucro, nos deparamos com um 
problema de aumento. Pelo enunciado R$ 580,00 é o 
preço de venda e o lucro de 25 % (ou o aumento) é dado 
em cima de um valor de compra desconhecido, vamos 
escrever uma equação que nos relacione esses valores 
em linguagem matemática: 
 
Preço de Compra: C 
 
Logo: 
1,25  C = 580  C = 464 
 
Portanto o preço de compra é R$ 464,00 e o lucro obtido 
é igual a 580 - 464 = R$ 116,00. 
 
2) Um número diminuído de seus 18% vale 656. Qual o 
número?34 
 
 
Resolução: 
Houve uma diminuição, portanto é o mesmo que dizer que 
houve um desconto, e este foi de 18%, logo o fator de 
multiplicação é 0,82. Escrevendo a equação matemática 
vem: 
 
Número: x 
0,82  x = 656 x = 800 
 
Portanto o número é 800. 
 
 
EXERCÍCIOS - PORCENTAGEM 
 
P1) Qual o número cujos 18% valem 108? 
 
P2) Qual o número cujos 43% valem 374,1? 
 
P3) Uma pessoa compra um terreno por R$ 17,500,00 e 
vende-o com um lucro de R$ 3.500,00. Qual a 
porcentagem do lucro? 
 
P4) Qual o número que aumentado de seus 20% da a 
soma de 432? 
 
P5) Escrever a razão 3/8 na forma de porcentagem. 
 
P6) Um desconto de R$ 7.000,00 sobre um preço de 
R$ 25.000,00, representa quantos por cento de desconto? 
 
P7) Um lucro de R$ 12.000,00 sobre um preço de 
R$ 150.000,00, representa quantos por cento desse 
preço? 
 
P8) Exprimir 51% na forma decimal. 
 
P9) Em um jogo de basquete, um jogador cobrou 20 lances 
livres, dos quais acertou 65%. Quantos lances livres 
acertou? 
 
P10) Durante o ano de 1992, uma equipe de basquete 
disputou 75 jogos, dos quais venceu 63. Qual a 
porcentagem correspondente aos jogos vencidos? 
 
P11) Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu 
álbum. As restantes eram repetidas. Qual foi a 
porcentagem de figurinhas repetidas? 
 
P12) Em um colégio, 1400 alunos estudam no período da 
manhã. Esse número representa 56% do número de 
alunos que estudam no colégio. Quantos alunos estudam 
ao todo nesse colégio? 
 
P13) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. 
Paguei, então, R$ 7.650,00 pelo objeto. Nessas condições 
qual era o preço original desse objeto? 
 
P14) Um representante comercial recebe de comissão 4% 
pelas vendas que realiza. Em um mês recebeu de 
comissão R$ 580,00. Quanto vendeu nesse mês? 
 
P15) Em uma fábrica 28% dos operários são mulheres, e 
os homens são 216. Quantos são no total os operários 
dessa fábrica? 
 
P16) Um comerciante compra 310 toneladas de minério à 
R$ 450,00 a tonelada. Vende 1/5 com lucro de 25%; 2/5 
com lucro de 15% e o resto com um lucro de 10%. Quanto 
recebe ao todo e qual é o seu lucro? 
 
P17) Um agente de motores adquire os mesmos 
por R$ 18.000,00 e paga uma taxa alfandegária de 15%. 
Devendo dar ao vendedor uma comissão de 10%. Por 
quanto deve vender para pagar 30% sobre o mesmo 
preço? 
 
P18) Uma pessoa compra uma propriedade por 
R$ 300.000,00. Paga de taxas, comissões e escritura R$ 
72.000,00. Por quanto deve revendê-la para obter um 
lucro de 12%? 
 
P19) Um número diminuído de seus 27% vale 365. Qual é 
o número? 
 
P20) Uma pessoa ganha em uma transação 3/5 da quantia 
empregada. De quantos por cento foi o lucro? 
 
P21) A porcentagem de 36% sobre um valor, que fração é 
desse mesmo valor? 
 
P22) Uma betoneira depois de trabalhar na construção de 
um edifício, sofre uma depreciação 
de 27% sobre seu valor e, é então avaliada em 
R$ 36.500,00. Qual o valor primitivo? 
 
P23) Com uma lata de tinta é possível pintar 50m
2
 de 
parede. Para pintar uma parede de 72m
2
 gastam-se uma 
lata e mais uma parte de uma Segunda. Qual a 
porcentagem que corresponde a parte que se gasta da 
segunda lata? 
 
P24) Sabendo-se que uma substância chamada óxido de 
magnésio contém 24g de magnésio. Sendo assim, qual a 
porcentagem de magnésio existente em 40g de óxido de 
magnésio? 
 
P25) A área de um terreno A é 930m
2
, enquanto a área do 
terreno B é 1500 m
2
. Nessas condições a área do terreno 
A representa quantos por cento da área do terreno B? 
 
GABARITO - PORCENTAGEM 
 
P1) 600 
 
P2) 870 
 
P3) 20% 
 
P) 360 
 
P5) 37,5 
 
P6) 28% 
 
P7) 8% 
 
P8) 0,51 
 
P9) 13 
35 
 
 
P10) 84% 
 
P11) 25% 
 
P12) 2.500 
 
P13) 9.000 
 
P14) 14.500 
 
P15) 300 
 
P16) Recebe R$ 160.580,00 e lucra R$ 21.080,00 
 
P17) R$ 29.250,00 
 
P18) R$ 416.640,00 
 
P19) 500 
 
P20) 60% 
 
 
P 2 1 ) 
25
9
 
 
 
P22) R$ 50.000,00 
 
P23) 44% 
 
P24) 60% 
 
P25) 62% 
 
 
JUROS 
 
"Juro é a remuneração do capital empregado. É a 
compensação em dinheiro que se recebe quando se 
emprega uma determinada quantia por um determinado 
tempo". 
 
Quando aplicamos um capital durante um certo 
período de tempo, esperamos obter um rendimento. Após 
esse período, o capital se transformará em um valor 
capitalizado, chamado montante. 
 
"Montante é o capital aplicado acrescido do rendimento 
obtido durante o período da aplicação. É também 
chamado valor futuro, valor de resgate ou valor 
capitalizado". 
Sejam: 
C = Capital aplicado ou principal 
t = Tempo de aplicação 
i = Taxa porcentual 
J = Juro produzido ou rendimento 
M = Montante 
 
Observação: 
 
O tempo de aplicação deve estar coerente com a taxa, isto 
é, se um estiver expresso em anos o outro deve estar 
também, e assim sucessivamente. 
 
JUROS SIMPLES 
 
"No juro simples a taxa será incidente apenas no valor 
inicial". 
 
Exemplo: 
 
Empregando R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. a juros 
simples, qual será o valor resgatado após 3 meses? 
 
Repare que: 
 
C = 5.000 
t = 3 meses 
i = 10% 
J = ? 
M = ? 
 
O que se pede no problema é o montante (M), 
vamos então, estabelecer uma seqüência de rendimentos 
durante os meses, sabendo que se a aplicação está 
relacionada com o juros simples devemos empregar a taxa 
apenas ao valor inicial 
 
(Capital = 5.000): 
 10% de 5000 = 500 
 
Logo, a seqüência: 
(5000; 5000 + 500, 5500 + 500, 6000 + 500, ...) 
(5000; 5500; 6000; 6500; ...) 
Pela seqüência podemos concluir que após os três 
meses de aplicação termos um montante de R$ 6.500,00, 
tendo rendido R$ 1.500,00 de juros. 
 
Imagine agora se fôssemos calcular o montante obtido 
após 30 meses. Seria inviável utilizar uma seqüência para 
a obtenção do montante, portanto utilizaremos para 
cálculo do Juros Simples, a seguinte fórmula. 
 
Nota: 
Para a obtenção do montante basta somar o juros obtido 
com o capital empregado. 
 
100
tiC
J


 e M = J + C 
 
Vamos calcular novamente o montante de uma aplicação 
de R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses: 
 

100
3105000 
J = 
100
150000
= 1 5 0 0 
 
M = 1500 + 5000 = 6500 
 
Observações: 
 
Para o nosso estudo, designaremos m (minúsculo) e d 
(minúsculo) para referirmo-nos ao tempo em meses e a 
dias, respectivamente. 
Vamos considerar o ano com 360 dias (ano comercial). 
 
 
Exercício Resolvido 
 
36 
 
R1) Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 
meses e a taxa de juros simples de 120% a.a.. Calcule: 
a) O juro obtido. 
b) O montante. 
 
Resolução: 
a) Dados: 
 
C = 800.000 
t = 4 meses 
i = 120 % a.a. 
 
Observe que a taxa está em anos e o tempo em meses, 
portanto devemos converter um deles, é mais 
conveniente, em geral, transformar o tempo de acordo 
com a taxa e paratanto podemos utilizar uma regra de 
três: 
 
Ano Meses 
 1 12 
 x 4 
 
Como são grandezas diretamente proporcionais, o cálculo 
será imediato. 
Repare que não haveria necessidade da regra de três, 
uma vez que quatro meses é uma parte do ano e essa 
parte nada mais é que 12
4
 que é o mesmo que 3
1
. 
 
Logo: 
 
 
 t = 
3
1
 
 
 
Substituindo na fórmula: 
 
100
tiC
J

 = 
100
3
1120800000 
 = 3 2 0 .0 0 0 
 
 
 M = J + C = 320.000 + 800.000 = 1.120.000 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
"No Juro Composto, os juros gerados são calculados em 
cima do valor inicial de cada período, sendo incorporadoao montante de cada período". 
 
Exemplo: 
 
Empregando R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. a juros 
compostos, qual será o valor resgatado após 3 meses? 
 
Repare que: 
 
C = 5.000 
t = 3 meses 
i = 10% 
J = ? 
M = ? 
 
Analogamente aos juros simples vamos 
estabelecer uma seqüência de rendimentos durante os 
meses, como o juros será calculado em cima do valor 
inicial de cada período, vamos utilizar um fator de 
multiplicação para o rendimento de 10%  1,10 
 
A seqüência: 
(5000; 1,10 . 5000, 1,10 . 5500, 1,10 . 6050, ...) 
(5000; 5500; 6050; 6655; ...) 
Pela seqüência podemos concluir que após os três 
meses de aplicação termos um montante de R$ 6.655,00, 
tendo rendido R$ 1.655,00 de juros. 
 
 Em geral, utilizaremos a fórmula: 
 
Mt = C (1 + i)
t
 
 
Vamos calcular novamente o montante de uma 
aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. durante 
3 meses: 
 
M3 = 5000 . (1 + 0,10)
3
 = 5000 . (1,10)
3
 = 6.655 
 
 
EXERCÍCIOS - JUROS 
 
P1) Qual o juro produzido por R$ 14.000,00 em três anos, 
a 5% ao ano? 
 
P2) Calcular o juro de R$ 2.700,00 a 8% ao ano, em 3 
anos e 4 meses. 
 
P3) Calcular o juro produzido por R$ 900,00 em 1 ano, 5 
meses e 20 dias a 0,8% ao mês. 
 
P4) Calcular o juro de R$ 264,00 em 9 meses a 7% ao 
ano. 
 
P5) Qual o capital que produz R$ 400,00 de juro ao ano 
em 1 ano e 8 meses á uma taxa de 1% ao mês? 
 
P6) A que taxa ao ano deve ser empregado o capital de R$ 
16.000,00 para produzir R$ 2.520,00 em 2 anos e 3 
meses? 
 
P7) O capital de R$ 6.000,00 empregado à 9% ao ano, 
produziu R$ 810,00 de juro. Durante quanto tempo esteve 
empregado? 
 
P8) Uma pessoa adquire um automóvel por R$ 
18.000,00. O vendedor oferece um abatimento 
de 5% pelo pagamento à vista. A pessoa, no entan- 
to, prefere pagar em duas prestações iguais. A primeira 6 
meses depois da compra e a outra um ano depois 
submetendo-se ao pagamento de 7% de juro ao ano. 
Quanto gastou a mais, adotando o pagamento em 
prestações? 
 
P9) Certo capital colocado a juro durante 3 anos e 4 meses 
a 8% ao ano, produziu R$ 720,00 de juro. Qual o capital? 
 
P10) O capital de R$ 900,00 empregado a 0,8% de juro ao 
mês, produziu R$ 127,00 de juro. Durante quanto tempo 
esteve empregado? 
 
P11) Um aparelho eletrônico custa R$ 620,00 à vista. Em 5 
37 
 
prestações mensais o preço passa a ser de R$ 868,00. 
Sabendo-se que a diferença entre os preços é devida ao 
juros, qual a taxa de juros cobrada ao mês por essa loja? 
 
P12) Quem aplicou R$ 20.000,00 por 2 meses a uma taxa 
de 10% ao mês vai receber a mesma quantia que quem 
aplicou R$ 25.000,00 a uma taxa de 8% ao mês pelo 
mesmo período de tempo. Esta afirmação é 
VERDADEIRA ou FALSA? 
 
P13) Qual o tempo necessário para que um capital, 
colocado a 5% ao ano, dobre de valor? 
 
P14) Qual o capital que colocado a 6% ao ano, produz um 
montante de R$ 100.000,00 no fim de 15 anos? 
 
P15) Qual o montante de R$ 100.000,00 no fim de 10 anos 
à taxa de 5,5%? 
 
P16) Qual a taxa que esteve empregado o capital de R$ 
24.750,00, se ao fim de 60 dias produziu o montante de 
R$ 24.997,50? 
 
P17) Uma pessoa deposita suas economias no valor de R$ 
13.000,00 num banco que paga 5% ao ano. Qual o capital 
acumulado em 5 anos? 
 
P18) Uma pessoa emprega seu capital a 8% e, no fim de 3 
anos e 8 meses recebe capital e juros reunidos no valor de 
R$ 15.520,00. Qual o capital empregado? 
 
P19) No fim de quanto tempo um capital qualquer aplicado 
a 5% triplica de valor? 
 
P20) Uma pessoa coloca um capital a 4%. No fim de 3 
anos retira o capital e juros e coloca o montante a 5%. Ao 
cabo de 2 anos o novo montante é de R$ 6.160,00. Qual o 
capital? 
 
GABARITO - JUROS 
 
P1) R$ 2.100,00 
 
P2) R$ 720,00 
 
P3) R$ 127,20 
 
P4) R$ 13,86 
 
P5) R$ 2.000,00 
 
P6) 7% ao ano 
 
P7) 1 ano e 6 meses 
 
P8) R$ 1.845,00 
 
P9) R$ 2.700,00 
 
P10) 1 ano, 5 meses e 20 dias 
 
P11) 8% 
 
P12) sim 
 
P13) 20 anos 
 
P14) R$ 52.631,58 
 
P15) R$ 155.000,00 
 
P16) 1,67% a.d. 
 
P17) R$ 16.250,00 
 
P18) 12.000 
 
P19) 40 unidades de tempo 
 
P20) R$ 5.000,00 
 
EQUAÇÃO DO 1º. GRAU 
 
Observe as sentenças abaixo: 
 
1º) 2  3 + 5 = 11 
2º) 2  4 + 5 = 11 
3º) 2x + 5 = 11 
 
A sentença 1 é verdadeira pois verificamos a igualdade, a 
2 é uma sentença falsa pois 2 4 + 5 = 13. Com relação a 
sentença 3 ela será uma sentença aberta pois não 
sabemos que valor que o x poderá assumir; que inclusive 
essa sentença é um caso particular de equação do 1
O
. 
grau. 
 
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1
O
. GRAU 
 
Exemplo1: 
 
Resolva, em IR, a equação 2(x - 3) = x - 3. 
 
Resolução: 
 
Aplicando a propriedade distributiva no primeiro membro 
da igualdade temos: 
2x - 6 = x - 3  2x - x = 6 - 3  x = 3 
S = {3} 
 
Observe que para a resolução de uma equação do 1
O
. 
grau devemos ter a incógnita isolada no primeiro membro 
da igualdade. 
 
Exemplo 2:

 
R e so lv a , e m IR , a e q u a ç ã o 
1
4
3
2
.3



xx
. 
 
 
Resolução: 
 
Pelo método do m.m.c. obtemos: 
 
 
1
4
3
2
.3



xx
 2 . 3 x - (x + 3 ) = 4  6 x - x - 3 = 4  5 x = 7  x = 
5
7
 
 
38 
 
 








5
7
V  
 
 
Exercício Resolvido 
 
1) Determine o número real tal que sua metade menos a 
sua quinta parte é -6. 
 
Resolução: 
 
número: x 
sua metade: 2
x
 
sua quinta parte: 5
x
 
Logo, chegamos na equação: 
 
2
x
 
5
x
 =  6 
 
 
Resolvendo 
 
2
x
 
5
x
 = 6  
10
60
10
25 

 xx
 5 x  2 x = 6 0  3 x = 6 0  x =  2 0 
 
 
Resposta: 
O número real é o -20. 
 
EXERCÍCIOS - EQUAÇÃO DO 1
O
.GRAU 
 
 
P1) Se, num pomar, 12
5
das árvores frutíferas são 
mangueiras, 4
1
 são laranjeiras, 8
1
 são goiabeiras e as 
100 restantes são macieiras, qual o total de árvores 
existentes neste pomar? 
 
P2) Resolva as seguintes equações de 1
O
. grau: 
 a) 2(x - 1) + 3(x + 1) = 4(x + 2) 
 b) x - 3(4 - x) = 7x - (1 - x) 
 c) 13(2x - 3) - 5(2 - x) = 5(-3 + 6x) 
 d) 3(x + 2) + 2 = 5 + 2(x - 1) + x 
 e) 3(x + 2) = 2(x - 7) + x + 20 
 
P3) Resolva as seguintes equações de 1
O
. grau: 
 
a ) 
5
1
2
3

x
 
b ) x + 
3
x
 = 2 
c ) 
2
x
 + 
3
1
 = 
3
3 x
  
5
2
 
 
d ) 
3
1
2
1 

 xx
 
 
 
P4) Resolva as seguintes equações do 1
O
. grau: 
 
a ) 
2
3x
 + 
3
2x
 = 1 2 
b ) 
5
32 x

3
11 x
=
30
29
 
 
c ) 
2
1
(x  2 ) + 
3
1
(x + 4 ) = 0 
 
d ) 1 + 
4
365 x
+ 
2
2 x
 = 2 + 
2
12x
 
 
e ) 
13
13 x
 
2
2 x
 = 
5
14 x
 
3
52 x
 
 
 
P5) O perímetro de um triângulo mede 12 cm. Se as 
medidas dos lados são números consecutivos, calcule a 
medida do lado maior. 
 
P6) A diferença entre o triplo de um número e seus três 
quartos é 81. Qual é o número? 
 
P7) Um número acrescido de sua quarta parte é igual a 
sua metade somada a 54. Qual é o número? 
 
P8) Um número somado à terça parte de seu sucessor é 
igual a 31. Qual é o número? 
 
P9) Iza tem hoje 14 anos e Márcia 4 anos. Daqui a quantos 
anos a idade de Iza será o dobro da idade de Márcia? 
 
P10) Três irmãos têm juntos 72 anos. O mais velho tinha 2 
anos quando o segundo irmão nasceu, e este tinha 5 anos 
quando o mais novo nasceu. Qual a idade de cada um? 
 
P11) Durante os feriados, 40% dos alunos de uma classe 
foram à praia,25% para o interior e 14 não saíram da 
cidade. Quantos alunos tem essa classe? 
 
P12) Um aluno acertou 10
7
 do número de questões de uma 
prova e errou as 30 questões restantes. Quantas questões 
tinha a prova? 
 
P13) Um comerciante, no final do ano, distribuiu parte de 
seu lucro entre seus três sócios. O primeiro recebeu 5
2
 da 
parte do lucro mais R$5 000,00; o segundo recebeu 7
3
 da 
parte mais R$7 000,00; o terceiro recebeu R$9 000,00. 
Qual foi a parte do lucro distribuída? 
 
P14) Na compra de um objeto gastei 3
2
 do dinheiro que 
tinha e ainda, me sobraram R$40,00. Quanto dinheiro eu 
tinha? 
 
P15) Pensei em um número multipliquei-o por 4 e adicionei 
18 ao resultado. A seguir, dividi a soma encontrada por 2 e 
39 
 
encontrei como resultado 18. Em que número pensei? 
 
GABARITO - EQUAÇÃO DO 1
O
.GRAU 
 
P1) 480 árvores 
 
 P 2 ) 
a ) S = {7 } 
 
b ) S = {
4
11
} 
c ) S = {3 4 } 
d ) S =  
e ) S = IR 
 
 
 
 P 3 ) 
a ) S = {
15
2
} 
 
b ) S = {
2
3
} 
 
c ) S = {
3
22
} 
d ) S = {5 } 
 
 
 
 P 4 ) 
a ) S = {
5
59
} 
 
b ) S = {
22
157
} 
 
c ) S = {
5
2
} 
 
 
 d) S = {12} 
 e) S = {4} 
 
P5) 5 cm 
 
P6) 36 
 
P7) 72 
 
P8) 90 
 
P9) 6 anos 
 
P10) 20 anos; 25 anos e 27 anos 
 
P11) 40 alunos 
 
P12) 100 questões 
 
P13) R$ 122 500,00 
 
P14) R$ 120,00 
 
P 1 5 ) 4 ,5 o u 
2
9
 
 
 
SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1
O
. GRAU COM 
DUAS INCÓGNITAS 
 
INTRODUÇÃO 
 
"Uma herança de R$30 000,00 será dividida entre dois 
irmãos, ficou estabelecido no testamento, que o menino 
mais novo receberia R$5 000,00 a mais que o outro irmão. 
Qual a parte que cabe a cada um?" 
 Um problema desse estilo possui duas incógnitas: a parte 
de cada um. Podemos escreve-lo em linguagem 
matemática: 
 
Parte do irmão mais novo: x 
Parte do irmão mais velho: y 
 
Sabemos que se somarmos as duas partes, teremos a 
quantidade total da herança: 

x + y = 30 000 
 
Como o irmão mais novo irá receber cinco mil reais a 
mais, teremos uma diferença nas partes de cinco mil reais, 
ou seja: 

x - y = 5 000 
 
Logo, teremos duas equações, uma relacionando a soma 
das partes e a outra relacionando a diferença das partes 
que cabem a cada um dos irmãos. 
 
Podemos transformar o problema num sistema, observe: 
 





5000yx
30000yx
 
 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS 
 
Para chegarmos na solução de um sistema de duas 
equações e duas incógnitas, em geral, temos dois 
métodos utilizados, o Método da Substituição e o Método 
da Adição. 
 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 
 
Considerando, ainda, o exemplo ilustrado 
anteriormente: 
 
 





25000
130000
yx
yx
, c h a m a n d o a 1
a . 
e q u a ç ã o d e 1 e a 2
a
. e q u a ç ã o d e 2 . 
 
 
1
O
. Passo: 
 
Isolar uma das incógnitas em qualquer uma das duas 
equações. 
 
Vamos isolar "x" na equação 2: 
x - y = 5000  x = 5000 + y 
40 
 
 
2
O
.Passo: 
 
Substituir a incógnita isolada na outra equação (aquela 
que você não usou no 1
O
. passo). 
 
Substituindo "x" da equação 2, na equação 1: 
x + y = 30000  5000 + y + y = 30000  
 5000 + 2y = 30000  2y = 30000 - 5000  
 2y = 25000  y = 12500 
 
3
O
.Passo: 
 
Substituir o valor encontrado em quaisquer das duas 
equações, encontrando o valor da outra incógnita. 
 
Substituindo "y = 12500" na equação 2: 
x - y = 5000  x - 12500 = 5000  x = 17500 
 
Portanto: 
 
o irmão mais novo irá receber R$ 17 500,00. 
e o irmão mais velho R$ 12 500,00 
 
 
MÉTODO DA ADIÇÃO 
 
Outro método utilizado para a resolução de sistemas deste 
estilo, é o método da adição, e como o próprio nome diz 
vamos somar uma equação com a outra de tal forma, que 
ao efetuarmos essa operação, sumiremos com uma das 
incógnitas encontrando assim uma nova equação do 1
O
. 
grau com uma incógnita. 
 
1
O
.Passo: 
 
Observar os coeficientes das incógnitas, aqueles que 
apresentarem números opostos numa mesma incógnita, é 
que será mais conveniente eliminarmos. 
 
No sistema em questão temos para o coeficiente de "y" na 
primeira equação e o coeficiente de "y" da segunda 
equação, números opostos 
(1 e -1). 
 





5000yx
30000yx
 
 
2
O
.Passo: 
 
Caso os coeficientes não sejam números opostos, 
devemos multiplicar uma das equações por um número 
que nos auxilie no aparecimento dos opostos. 
 
Em nosso caso não será necessário utilizar esse 
2
O
.Passo. 
 
3
O
.Passo: 
 
Somar as duas equações, encontrando e resolvendo a 
equação com uma incógnita. 





5000yx
30000yx
 
somando as duas equações obtemos: x + x + y - y = 
30000 + 5000  2x = 35000 
 x = 17500 
 
4
O
.Passo: 
 
Substituir o valor encontrado em uma das duas equações, 
encontrando assim, o valor da outra incógnita. 
 
Vamos substituir "x" em x + y = 30000: 
 
x + y = 30000  17500 + y = 30000  
 y = 30000 - 17500  y = 12500 
 
Portanto: 
o irmão mais novo irá receber R$ 17 500,00. 
e o irmão mais velho R$ 12 500,00 
 
Observação: 
 
No exemplo ilustrado, poderíamos ter ocultado uma das 
incógnitas, pois quando o enunciado diz que o irmão mais 
novo irá receber 5000 a mais, podemos dizer que se o 
irmão mais velho recebe y, então o irmão mais novo irá 
receber y + 5000, daí encontraríamos apenas uma 
equação com uma incógnita: y + y + 5000 = 30000 (aquela 
que relaciona a soma das partes da herança). 
 
ORIENTAÇÃO GERAL PARA A RESOLUÇÃO DE 
SISTEMAS DO 1
O
. GRAU 
 
O primeiro passo é observar com atenção o 
enunciado do problema 
 
Exemplos: 
 
" Paulo tem 38 anos..."  trinta e oito anos é um dado 
do problema. Porém se o problema nos disser "a idade 
de Paulo, quando eu tinha 18 anos...", 18 anos é um 
dado, mas a idade de Paulo, talvez não conheceremos, 
logo, é uma incógnita e, como tal, deve ser representada 
por uma letra qualquer. Em geral utilizamos as letras "x", 
"y", "z", etc. 
 
Pode ocorrer que o enunciado faça referência a dois 
elementos desconhecidos, por exemplo: "a soma de dois 
números é...", neste caso devemos representar um dos 
números por "x" e o outro por "y", e escrevemos o 
enunciado assim: "x + y =" 
 
Transformamos o enunciado em linguagem matemática 
 
Exemplos: 
 
 I) Um número qualquer : x 
 
I I ) A t e rç a p a r t e d e u m n ú m e ro : 
3
x
 
 
 III) O triplo de um número: 3x 
 
 IV) Um número somado ao seu dobro: x + 2x 
 
 V) A diferença entre dois números: x - y 
 
41 
 
 
EXERCÍCIOS - SISTEMAS DO 1
O
. GRAU 
 
P1) A diferença de dois números é 9.Um terço da soma 
dos números é 17. Encontre os números. 
 
P2) Um número é formado de dois algarismos, cuja soma é 
10. Somando-se 54 ao número ele fica escrito em ordem 
inversa. Qual é o número? 
 
P3) Uma escola tem 565 alunos. O número de meninos 
diminuído de 25 é igual ao número de meninas aumentado 
de 60. Quantos são os alunos de cada sexo? 
 
P4) Sobre uma pista circular de 1.200 metros correm 2 
ciclistas. Correndo os dois no mesmo sentido, o primeiro 
encontra o segundo em cada 200 segundos e correndo 
em sentido contrário, o encontro passa a ser de 100 
segundos. Qual a velocidade de cada um? 
 
P5) Um fazendeiro dispõe de uma certa quantia para 
comprar um certo número de carneiros. Pagando R$ 
20,00 por carneiro, faltam-lhe R$ 40,00 e pagando R$ 
16,00, sobram-lhe R$ 20,00. Quanto possui e quantoscarneiros poderá comprar? 
 
P6) Em uma cesta há laranjas e limões, sendo o número 
de limões os 3/4 do número de laranjas, tirando-se 5 
laranjas, ficam na cesta tantas laranjas quanto limões. 
Quantas laranjas e quantos limões há na cesta? 
 
P7) O perímetro de um retângulo mede 234 metros. 
Calcular sua área, sabendo-se que as medidas (em 
metros) das duas dimensões (comprimento e largura) são 
dois números consecutivos. 
 
P8) Um automóvel parte de Brasília e corre com a 
velocidade média de 48 km/h. Depois de 3 horas par um 
outro que alcança o primeiro 8 horas após. Qual a 
velocidade média do segundo automóvel? 
 
P9) Dois automóveis distantes 600 quilômetros partem, ao 
mesmo tempo, um em direção ao outro, com as 
velocidades de 56 km/h e 64 km/h. Depois de quanto 
tempo e a que distâncias dos pontos de partida dar-se-á o 
encontro? 
 
P10) Um homem e uma mulher bebem um barril de vinho 
em 12 dias. Quando o homem está ausente, a mulher tem 
vinho para 30 dias. Quantos dias gastará o homem para 
beber o barril de vinho sozinho? 
 
P11) Dois jogadores A e B, jogam a R$ 2,50 a partida. 
Antes de iniciarem o jogo, A possuía R$ 66,00 e B R$ 
29,00, depois do jogo, A possuía o quádruplo do que 
possuía B. Quantas partidas A ganhou a mais que B? 
 
P12) Em um concurso público, foi realizada uma prova com 
41 questões. Esta prova foi dividida em duas partes. Na 
primeira parte da prova havia x questões, valendo 2 
pontos cada uma. Na Segunda parte havia y questões, 
valendo 3 pontos cada. A prova valia 100 pontos. Quantas 
questões havia em cada prova? 
 
P13) Paulo participou de um concurso público que tinha 20 
questões em cada questão que acertava ganhava 5 
pontos e em cada questão que errava perdia 2 pontos. Ao 
terminar a prova havia conseguido 65 pontos. Quantas 
questões acertou? 
 
P14) Uma classe tem meninos e meninas. Se um menino 
faltar, os meninos serão o dobro das meninas. Se em vez 
disso, faltarem 6 meninos, haverá um mesmo número de 
meninos e meninas na classe. Determinar quantos são os 
alunos (meninos e meninas) da classe. 
 
P15) Um comerciante pesou três sacos de arroz. O 
primeiro e o segundo sacos, juntos, têm 110 quilogramas. 
O primeiro e o terceiro, juntos, têm 120 quilogramas e o 
segundo e o terceiro, juntos, têm 112 quilogramas. 
Quantos quilogramas havia em cada saco? 
 
P16) Em certa escola há 70 professores, contando-se aí 
homens e mulheres. Se a metade do número de mulheres 
é igual ao triplo do de homens, quantos são os homens? 
 
P17) Determine dois números cuja soma é 110 e cuja 
diferença é 30. 
 
P18) No estacionamento de um supermercado há 27 
veículos com 84 rodas, contando-se os automóveis e 
bicicletas. Quantos veículos há de cada espécie? 
 
P19) José Carlos e Luís Augusto ganham juntos R$ 
1265,00 por mês. Se o primeiro recebe R$ 325,00 mais 
que o segundo, qual é o salário de cada um? 
 
P20) Em certo jogo de futebol uma entrada para 
arquibancada custava R$ 1,00 e para cadeira numerada 
custava R$ 3,00. O jogo foi visto por 1575 pessoas e deu 
renda de R$ 2695,00. Quantas pessoas usaram a 
arquibancada? 
 
P21) Numa fazenda existem patos e porcos, num total de 
22 cabeças e 58 pés. Determine o números de patos que 
existem nesta fazenda. 
 
P22) Eu tenho um total de 25 moedas, entre moedas de R$ 
0,25 e R$ 0,50 totalizando R$ 9,50. Qual o número de 
moedas de R$ 0,50? 
 
GABARITO - SISTEMAS DO 1
O
. GRAU 
 
P1) 21 e 30 
 
P2) 28 
 
P3) 240 meninas e 325 meninos 
 
P4) 9 e 3m/s 
 
P5) R$ 260,00 
 
P6) 20 e 15 
 
P7) 3422m
2 
 
P8) 66 km/h 
 
P9) 5h, 280km e 320 km 
42 
 
 
P10) 20 dias 
 
P11) 4 partidas 
 
P12) 23 na 1ª parte e 18 na 2ª parte 
 
P13) 15 
 
P14) 11 meninos e 5 meninas 
 
P15) O 1º saco tem 59 kg, o segundo saco tem 51 kg, o 
3º saco tem 61 kg. 
 
P16) 10 homens e 60 mulheres 
 
P17) 70 e 40 
 
P18) 12 bicicletas e 15 automóveis 
 
P19) José Carlos: R$ 795,00 
Luíz Augusto: R$ 470,00 
 
P20) 1 015 pessoas 
 
P21) 15 patos 
 
P22) 13 moedas de R$ 0,25 
 
 
 
REGRA DE TRÊS 
 
É uma técnica de cálculo por meio da qual são 
solucionados problemas sobre grandezas proporcionais. 
Estes problemas são de dois tipos: 
 
1) Regra de Três Simples: quando se referem a duas 
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
2) Regra de Três Composta: quando se referem a mais de 
duas grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Consideremos a seguinte situação: 
 
Sobre uma mola são colocados corpos de massa 
diferentes. A seguir, medindo o comprimento da mola, que 
se modifica com a massa do corpo colocado sobre ela, 
pode-se organizar a seguinte tabela: 
 
 
Massa do corpo (em kg) Comprimento da mola 
(em cm) 
10 50 
20 100 
30 150 
 
Pela tabela pode-se notar que: 
Se a massa do corpo duplica, o comprimento da mola 
também duplica. 
Se a massa do corpo triplica, o comprimento da mola 
também triplica. 
 
Usando os números que expressam as grandezas, temos: 
 
1-) Quando a massa do corpo passa de 10kg para 20kg, 
dizemos que a massa varia na 
 
r a z ã o 
20
10
 = 
2
1
. E n q u a n to is so , o c o m p r im e n to d a m o la p a ssa d e 5 0 c m p a ra 1 0 0 c m , o u se ja , o 
c o m p r im e n to v a r ia n a ra z ã o d e 
100
50
=
2
1
. 
 
 
2-) Quando a massa do corpo passa de 10kg para 30kg, 
dizemos que a massa varia na 
 
r a z ã o 
30
10
 = 
3
1
. E n q u a n to is so o c o m p r im e n to d a m o la p a ssa d e 5 0 c m p a ra 1 5 0 c m , o u se ja , o 
c o m p r im e n to v a r ia n a ra z ã o d e
150
50
 = 
3
1
 
 
Note que a massa do corpo e o comprimento da 
mola variam sempre na mesma razão; dizemos, então, 
que a massa do corpo é uma grandeza DIRETAMENTE 
PROPORCIONAL ao comprimento da mola. 
 
"Quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, 
dizemos que essas grandezas são diretamente 
proporcionais, ou seja, quando a razão entre os valores da 
primeira é igual a razão da segunda". 
 
Veja outros exemplos de grandezas diretamente 
proporcionais: 
 
Quando vamos pintar uma parede, a quantidade de 
tinta que usamos é diretamente proporcional à área a 
ser pintada duplicando-se a área, gasta-se o dobro de 
tinta; triplicando-se a área, gasta-se o triplo de tinta. 
Quando compramos laranjas na feira, o preço que 
pagamos é diretamente proporcional à quantidade de 
laranjas que compramos; duplicando-se a quantidade 
de laranjas, o preço também duplica; triplicando-se a 
quantidade de laranjas, o preço também triplica. 
 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
 
Consideremos a seguinte situação: 
 
A professora de Português da 6ª série tem 48 livros para 
distribuir entre seus melhores alunos. Vamos observar 
que: 
Se ela escolher apenas os dois melhores alunos, cada 
um receberá 24 livros. 
Se ela escolher os quatro melhores alunos, cada um 
receberá 12 livros. 
Se ela escolher os seis melhores alunos, cada um 
receberá 8 livros. 
 
Vamos colocar esses dados no quadro seguinte: 
 
 Número de alunos Número de livros 
 escolhidos distribuído a cada aluna 
 2 24 
43 
 
 4 12 
 6 8 
 
Pela tabela podemos notar que: 
 
Se o número de alunos duplica, o número de livros cai 
pela metade. 
Se o número de alunos triplica, o número de livros cai 
para a terça parte. 
 
Usando os números que expressam as grandezas, temos: 
 
1-) Quando o número de alunos passa de 2 para 4, 
dizemos que o número de alunos varia na razão: 4
2
. 
Enquanto isso, o número de livros passa de 24 para 12, 
variando na razão:12
24
. 
 
Note que essas razões não são iguais, elas são inversas, 
ou seja: 
 
4
2
 = 
2
1
 e 
12
24
 = 
1
2
 
 
 
Nessas condições, o número de alunos escolhidos 
e o número de livros distribuídos variam sempre na razão 
inversa; dizemos então que o número de alunos 
escolhidos é INVERSAMENTE PROPORCIONAL ao 
número de livros distribuídos. 
 
"Quando duas grandezas variam sempre uma na razão 
inversa da outra, dizemos que essas grandezas são 
inversamente proporcionais, ou seja, quando a razão entre 
os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os 
valores da segunda". 
 
Veja outros exemplos de grandezas inversamente 
proporcionais: 
 
Quando vamos fazer uma construção, o tempo que se 
gasta nessa construção é inversamente proporcional 
ao número de operários que se contrata; duplicando-
se o número de operários o tempo cai pela metade. 
Quando fazemos uma viagem, o tempo que se leva é 
inversamente proporcional à velocidade do veículo 
usado: dobrando-se a velocidade do veículo, o tempo 
gasto na viagem cai pela metade. 
 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Consideremos as seguintes situações: 
 
1º) Um carro faz 180km com 15 litros de álcool. Quantos 
litros de álcool este carro gastaria para percorrer 210km? 
 
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de 
álcool. 
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser 
consumido. 
 
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma 
mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que 
se correspondem em uma mesma linha. 
 
 Distância Litros de álcool 
 180 15 
 210 x 
 
Na coluna "litros de álcool" vamos colocar uma flecha 
apontada para o x. 
 
 
Distância Litros de álcool 
 180 15 
 210 x 
 
Observe que aumentando a distância, aumenta também o 
consumo de álcool. Então, as grandezas distância e litros 
de álcool, são diretamente proporcionais. No esquema que 
estamos montando, indicamos isso colocando uma flecha 
no mesmo sentido da anterior. 
 
 Distância Litros de álcool 
 180 15 
 210 x 
 
 
x
15
210
180
  
x
15
7
6
  6 x = 1 0 5  x = 1 7 ,5 l 
 
 
Resposta: O carro gastaria 17,5 litros de álcool. 
 
2º) Um avião voando à velocidade de 800km por hora vai 
de São Paulo a Belo Horizonte em 42 minutos. Se voar a 
600km, por hora em quanto tempo fará a mesma viagem? 
 
As duas grandezas são: velocidade do avião e tempo de 
vôo. 
 
Observemos que, se a velocidade do avião aumenta, o 
tempo de vôo diminui, logo a velocidade e o tempo são 
grandezas inversamente proporcionais. 
 
Chamando de x o tempo necessário para voar de São 
Paulo à Belo Horizonte a 600km por hora, temos: 
 
Tempo de vôo Velocidade 
 42 800 
 X 600 
 
 
800
60042

x
 
4
342

x
 3 x = 1 6 8  x = 5 6 m in u to s 
 
 
Resposta: 
 
O avião vai de São Paulo a Belo Horizonte em 56 minutos, 
voando a 600km/h. 
 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
44 
 
 
A regra de três composta se refere a problemas 
que envolvem mais de duas grandezas. A grandeza cujo 
valor procuramos pode ser diretamente ou inversamente 
proporcional a todas as outras, ou até mesmo diretamente 
proporcional a umas e inversamente proporcional a outras. 
 
1
O
) Em quatro dias oito máquinas produziram 160 peças. 
Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras 
produzirão 360 dessas peças? 
 
Resolução: 
 
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as 
grandezas de mesma espécie em uma só coluna, e as 
grandezas de espécies diferentes que se correspondem 
em uma mesma linha. 
Na coluna "dias" coloquemos uma flecha apontada para x. 
 
Máquinas Peças Dias 
 8 160 4 
 6 360 x 
 
Comparemos cada grandeza com aquela onde está o x. 
 
As grandezas, peças e dias são diretamente 
proporcionais. No nosso esquema isso será indicado 
colocando-se na coluna "peças" uma flecha no mesmo 
sentido da flecha da coluna "dias". 
 
Máquinas Peças Dias 
 8 160 4 
 6 360 x 
 
As grandezas máquinas e dias são inversamente 
proporcionais (quanto maior o número de máquinas, 
menos dias para se efetuar o trabalho). No nosso 
esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
"máquinas" uma flecha no sentido contrario na coluna 
"dias" 
 
Máquinas Peças Dias 
 8 160 4 
 6 360 x 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que 
contém o x, que é x
4
, como o produto das outras razões, 
obtidas segundo orientação das flechas: 
 
 
x
4
= 
6
8
360
160
  
x
4
 = 
4
3
9
4
  
x
4
= 
1
1
3
1
  
x
4
 = 
3
1
  
 
 
 
Resposta: 12 dias. 
 
2º) Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 
peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão 
produzidas por 7 operários trabalhando durante 9 dias? 
 
Resolução: 
Inicialmente vamos organizar os dados no 
seguinte quadro, indicando o número de peças pedido 
pela letra x. 
 
Operários Dias Peças 
 5 6 400 
 7 9 x 
 A B C 
 
Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B 
e C, se aumentarmos o número de dias, o número de 
peças também aumentará; logo, as grandezas B e C 
são diretamente proporcionais. 
 
Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A 
e C, se aumentarmos o número de operários, o número 
de peças também aumentará, logo, as grandezas A e C 
são diretamente proporcionais. 
 
Então, a grandeza C é diretamente proporcional 
às grandezas A e B; logo seus valores são diretamente 
proporcionais aos produtos dos valores das grandezas A e 
B, ou seja: 
 
x
400
 = 
9
6
7
5
 
x
400
 = 
3
2
7
5
  
x
400
 = 
21
10
  
 
 
 
x
40
 = 
21
1
   x = 4 0 . 2 1  x = 8 4 0 
 
Resposta: 
Produzirão 840 peças. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
P1) Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para 
percorrer 65km. Quantos litros gastará num percurso de 
910km? 
 
P2) Qual o tempo gasto por 12 homens para executar um 
trabalho que 8 homens nas mesmas condições executam 
em 9 dias? 
 
P3) Um fonte dá 38 litros de água em 5 minutos; quantos 
litros dará em uma hora e meia? 
 
P4) Para tecer 19m de um tecido com 50cm de largura são 
gastos 38kg de lã. Quantos metros serão tecidos com 
93kg da mesma lã, sendo a largura de 60cm? 
 
P5) Numa transmissão de correia, a polia maior tem 30cm 
de diâmetro e a menor 18cm. Qual o número de rotações 
por minuto da menor polia, se a maior dá 45 no mesmo 
tempo? 
 
P6) Com 9 há de gasto podem ser mantidas 20 cabeças de 
gado. Quantos há serão necessários para manter 360 
cabeças? 
 
P7) Uma máquina, que funciona 4 horas por dia durante 6 
dias produz 2000 unidades. Quantas horas deverá 
funcionar por dia para produzir 20.000 unidades em 30 
dias? 
45 
 
 
P8) Um automóvel, com a velocidade de 80km por hora, 
percorreu certa distância em 6 horas. Que tempo gastará 
para percorrer a mesma distância se reduzir a velocidade 
para 50km por hora? 
 
P9) Um automóvel percorreu certa distância em 4h, com a 
velocidade de 60km por hora. Qual o tempo que gastará 
para percorrer a mesma distância com a velocidade de 
90km por hora? 
 
P10) Se três homens podem arar um campo de 8 há em 5 
dias, trabalhando 8 horas diárias, em quantos dias8 
homens poderão arar 192 há trabalhando 12 horas 
diárias? 
 
P11) Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 
uniformes em 8 dias de trabalho. Quantas máquinas serão 
necessárias para confeccionarem 2160 uniformes em 24 
dias? 
 
P12) Se 54 operários trabalhando 5 horas por dia levaram 
45 dias para construir uma praça de forma retangular de 
225m de comprimento por 150m de largura, quantos 
operários serão necessários para construir em 18 dias, 
trabalhando 12 horas por dia, outra praça retangular de 
195m de comprimento por 120m de largura? 
 
P13) Para construir um canal de 104m de comprimento por 
5m de profundidade e 7m de largura, 100 operários, 
trabalhando 7 horas por dia, levaram 2 meses e meio. 
Aumentando de 40 o número de operários e fazendo-os 
trabalhar 10 horas por dia, pergunta-se: em quanto tempo 
os operários construíram um segundo canal, com o 
mesmo comprimento do primeiro, porém de profundidade 
e largura duplas da do primeiro? 
 
P14) Se com 1000 litros de água se rega um campo de 450 
há durante 20 dias, qual é a quantidade de água 
necessária para se regar outro campo de 200 há durante 
30 dias? 
 
P15) Para o piso de uma sala empregam-se 750 tacos de 
madeira de 5cm de comprimento por 3cm de largura. 
Quantos tacos de 40cm de comprimento por 7,5cm de 
largura são necessários para um piso cuja superfície é 
dupla da anterior? 
 
P16) Se 10 operários, trabalhando 8 horas diárias, 
levantam em 5 1/2 dias uma parede de 22m de 
comprimento por 0,45 de espessura em quanto tempo 16 
operários, trabalhando também 8 horas por dia, levantam 
outra parede de 18m de comprimento, 0,30 de espessura 
e de altura duas vezes maior que a primeira? 
 
P17) Um bloco de mármore de 3m de comprimento, 1,50m 
de largura e 0,60 de altura pesa 4350kg. Quanto pesará 
um bloco do mesmo mármore cujas dimensões são: 
comprimento 2,20 largura 0,75m e altura 1,20? 
 
P18) Um navio tem viveres para 20 dias de viagem. Porém 
um imprevisto deixou-o ancorado em alto mar durante 10 
dias, onde o comandante do navio foi avisado da previsão 
do atraso. Em quanto se deve reduzir a ração diária da 
tripulação, para que não faltasse comida até o fim da 
viagem? 
 
P19) Uma pessoa calculou que o dinheiro que dispunha 
seria suficiente para passar 20 dias na Europa. Ao chegar, 
resolveu prolongar sua viagem por mais 4 dias. A quanto 
teve de reduzir o sue gasto diário médio? 
 
P20) Alguns operários devem terminar certo serviço em 36 
dias, trabalhando 8 horas por dia. O encarregado, após 20 
dias, verifica que só 0,4 da obra estava pronta. Para 
entregar o serviço na data fixada; quantas horas por dia 
devem os operários trabalhar nos dias restantes? 
 
GABARITO - REGRA DE TRÊS 
 
P1) 140 litros 
 
P2) 6 dias 
 
P3) 684 litros 
 
P4) 38,75 metros 
 
P5) 75 rotações 
 
P6) 162 há 
 
P7) 8 horas por dia 
 
P8) 9 horas e 36min 
 
P9) 2 h e 45min 
 
P10) 30 dias 
 
P11) 12 máquinas 
 
P12) 39 operários 
 
P13) 5 meses 
 
P14) 666,666 litros 
 
P15) 75 tacos 
 
P16) 3,15 dias 
 
P17) 3190 kg 
 
P18) 3
1
 
 
P19) 6
1
 
 
P20) 15 horas