Apostila Contr Proc Parte 02

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138 
 
6 Respostas de processos: Processos de 1a e 2a 
ordem. Respostas de processos de ordem elevada 
usando Scilab. 
 
 
 
6.1 Respostas de processos 
 
A análise dinâmica de um processo consiste em estudar o seu comportamento quando 
ocorrem variações nas entradas do processo. Os processos reais têm modelos com estruturas 
complexas e, normalmente, são aproximados por modelos mais simples, lineares e invariantes 
no tempo. Este capítulo discute e analisa as características dinâmicas da resposta de sistemas 
de primeira e segunda ordem, pois muitos processos podem ser modelados por esses sistemas. 
Para sistemas de ordem elevada, será lançada mão do uso do Scilab na simulação dos 
sistemas. 
 
A resposta de um sistema dinâmico a uma entrada (ou função de excitação) pode ser obtida se 
as equações diferenciais que representam o sistema forem resolvidas. A Figura 6.1 representa 
um processo com entrada )t(u e saída )t(y . 
 
 
Figura 6.1 Representação de um processo dinâmico. 
 
No caso de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) podemos representar o sistema por 
uma função de transferência )s(G , a qual descreve de modo completo as características 
dinâmicas do sistema (Figura 6.2). 
 
 
Figura 6.2 Função de transferência do processo. 
 
 
6.2 Entradas padrões para a análise do processo 
 
Na análise da dinâmica de processos e no projeto de sistemas de controle, é importante saber 
como as saídas do processo respondem às variações nas entradas do processo (resposta 
temporal). Para o propósito de análise, podemos escolher qualquer variação arbitrária, 
entretanto, por muitos anos, os engenheiros de controle têm se habituado a usar variações na 
entrada que representem adequadamente aquelas encontradas na prática industrial. Temos 
dois tipos importantes de variação na entrada que são usadas extensivamente no projeto de 
sistemas de controle. Essas entradas estão ilustradas nas Figuras 6.3 e 6.4. 
 
139 
 
 
 Figura 6.3 Entrada degrau. 
 
 
 Figura 6.4 Entrada impulso. 
 
Como vimos no Capítulo 5, quando o sistema é representado por uma função de transferência, 
a resposta temporal )t(y para uma excitação na entrada )t(u pode ser obtida da seguinte 
forma: 
 
=)t(y ℒ [ ] =− )s(y1 ℒ [ ])s(u)s(G1− (6.1) 
 
em que )s(y e )s(u são, respectivamente, as transformadas de Laplace de )t(y e )t(u . A 
expressão 6.1 sugere que é necessário se conhecer, além da função de transferência do sistema 
)s(G , a transformada de Laplace do sinal de entrada. As transformadas de Laplace de 
diversos sinais básicos podem ser obtidas diretamente na Tabela 4.1. 
 
 
6.3 Processos de primeira ordem 
 
Um sistema de primeira ordem é aquele onde a saída )t(y se relaciona com a entrada através 
de uma equação diferencial de primeira ordem. Em controle de processos, usualmente adota-
se a seguinte representação para esse sistema: 
 
)t(uK)t(y
dt
)t(dy
pp =+τ (6.2) 
 
em que pτ é chamado de constante de tempo do processo, pois tem a dimensão de tempo e 
está relacionada à velocidade com que o sistema responde a uma certa entrada. 
 
pK é chamado de ganho estático ou simplesmente ganho do processo. 
 
Lembrando que )t(y e )t(u são definidas como variáveis-desvios em torno do estado 
estacionário, ou seja, 0)0(y = e 0)0(u = . Daí, tomando a transformada de Laplace dos 
termos da equação 6.2, tem-se 
 
140 
 
)s(uK)s(y)s(sy pp =+τ (6.3) 
 
A equação 6.4 pode ser rearranjada na forma padronizada da função de transferência de um 
sistema de primeira ordem, dada por 
 
1s
K
)s(u
)s(y)s(G
p
p
+τ
== (6.4) 
 
6.3.1 Resposta ao degrau 
 
Consideremos a resposta do sistema de primeira ordem para uma variação degrau de 
amplitude A na entrada do sistema. 
 
)t(AU)t(u = (6.5) 
 
em que )t(U é a função degrau unitário. Uma representação gráfica é mostrada na Figura 6.5. 
 
 
 Figura 6.5 Função degrau de amplitude A . 
 



≥=
<=
0tA
0t0)t(u (6.6) 
 
Como visto no capítulo 4, a transformada dessa função é: 
 
s
A)s(u = (6.7) 
 
Substituindo a equações 6.8 na 6.4, obtém-se: 
 
( )
p
pp
p
pp
p
p
1
s
AK
s
AK
1
ss
AK
1ss
AK)s(y
τ
+
−=








τ
+
τ
=
+τ
= (6.8) 
 
Tomando a transformada inversa dos termos da (6.8), obtém-se a seguinte resposta )t(y : 
 ( )ptp e1AK)t(y τ−−= (6.9) 
 
A curva da resposta )t(y é vista na Figura 6.6. 
 
141 
 
 
Figura 6.6 Resposta do sistema de primeira ordem a uma entrada degrau. 
 
Alguns aspectos importantes dessa resposta são: 
 
1. O valor final da resposta é dado por: 
 ( ) ptptt AKe1AKlim)t(ylim p =−= τ−∞→∞→ (6.10) 
 
Ou seja, essa relação explica o nome ganho estático ao parâmetro pK , desde que para 
qualquer variação degrau )entrada(∆ na entrada a variação resultante na saída no estado 
estacionário seja dada por 
 
)entrada(K)saida( p∆=∆ (6.11) 
 
2. Se em (6.9) fizermos pt τ= , teremos 
 ( ) ppp AK632,0e1AK)(y pp =−=τ ττ− (6.12) 
 
Ou seja, o valor de )t(y alcança 63,2% do seu valor final após decorrido um intervalo de 
tempo igual a uma constante de tempo. Quanto menor for a constante de tempo, mais rápida 
será a resposta do sistema. 
 
Para p4t τ≥ , a resposta permanece dentro de 2% do valor final. Como pode ser visto pela 
equação 6.9, o regime estacionário é alcançado matematicamente somente após um tempo 
infinito. Na prática, entretanto, uma estimativa razoável do tempo de resposta é o tempo que a 
142 
 
curva de resposta necessita para alcançar a linha de 2% do valor final, ou quatro constantes de 
tempo. 
 
2. A inclinação da curva resposta em 0t = é dada por: 
 
( ) 1e)t(d ]AK)t(y[d 0tt
0tp
p p
==
τ
=
τ−
=
 (6.13) 
 
Isso significa que, a reta tangente à resposta ao degrau em 0t = atinge o valor final da 
resposta após um tempo igual à constante de tempo. 
 
 
6.3.2 Resposta impulsional 
 
Consideremos a função impulso de intensidade A 
 
)t(A)t(u δ= (6.14) 
 
em que )t(δ é a função impulso unitário. Uma representação gráfica é mostrada na Figura 
6.7. 
 
 
 Figura 6.7 Função impulso de intensidade A . 
 





>
≤≤
<
=
bt0
bt0
b
A
0t0
)t(u (6.15) 
e 
 
)t(A)t(ulim
0b
δ=
→
 (6.16) 
 
Portanto, a transformada de Laplace dessa função é 
 
A)s(u = (6.17) 
 
Combinando as equações 6.5 e 6.17, obtém-se 
 
p
pp
p
p
1
s
AK
1s
AK)s(y
τ
+
τ
=
+τ
= (6.18) 
143 
 
 
Tomando a transformada inversa, obtém-se a resposta )t(y 
 
pt
p
p
e
AK)t(y τ−
τ
= (6.19) 
 
A representação gráfica dessa resposta é mostrada na Figura 6.8. 
 
 
Figura 6.8 Resposta de um sistema de primeira ordem ao impulso. 
 
 
6.4 Processos de segunda ordem 
 
Um sistema de segunda ordem é aquele cuja saída )t(y é modelada por uma equação 
diferencial de segunda ordem. A forma padrão desses sistemas é 
 
)t(uK)t(y
dt
)t(dy2
dt
)t(yd
p2
2
2
=+ζτ+τ (6.20) 
 
onde τ que é chamado de tempo característico ou período natural de oscilação do sistema, 
determina a velocidade (ou, equivalentemente, o tempo de resposta) do sistema. 
 
A constante ζ (zeta), chamada de fator de amortecimento, é adimensional e dá uma medida 
da quantidade de amortecimento do sistema, isto é, o grau de oscilação na resposta do 
processo após uma perturbação. 
 
pK é chamado de ganho do sistema.144 
 
 
Como )t(y e )t(u são variáveis-desvios definidas em torno do estado estacionário, as 
condições iniciais são: 
 
0)0(y = 0
dt
dy
0t
=



=
 0)0(u = (6.21) 
 
Tomando a transformada de Laplace da equação 6.31 tem-se 
 
)s(uK)s(y)s(sy2)s(ys p22 =+ζτ+τ (6.22) 
 
A equação 6.22 pode ser rearranjada na forma padronizada da função de transferência de um 
sistema de segunda ordem, dada por 
 
1s2s
K
)s(u
)s(y)s(G 22
p
+ζτ+τ== (6.23) 
 
e representada no diagrama de blocos da Figura 6.9. 
 
 
Figura 6.9 Diagrama de blocos de um sistema de segunda ordem. 
 
 
6.4.1 Resposta ao degrau 
 
Consideremos agora a resposta do sistema de segunda ordem a uma variação degrau de 
amplitude A . Ou seja 
 
)t(AS)t(u = (6.24) 
 
cuja transformada de Laplace é 
 
s
A)s(u = (6.25) 
 
Combinando as equações 6.23 e 6.25 obtém-se 
 
( )1s2ss
AK)s(y 22
p
+ζτ+τ= (6.26) 
 
Os dois pólos da função de transferência são dados pelas raízes do polinômio característico 
 
01s2s22 =+ζτ+τ (6.27) 
 
145 
 
e elas são: 
 
τ
−ζ
+
τ
ζ
−=
1
p
2
1 
τ
−ζ
−
τ
ζ
−=
1
p
2
2 (6.28) 
 
Ou seja 
 
( )( )21
2
p
pspss
AK)s(y
−−
τ
= (6.29) 
 
A resposta )t(y dependerá da localização dos dois pólos 1p e 2p no plano complexo. 
Podemos distinguir três casos: 
 
1 - 1>ζ , dois pólos reais e distintos. 
2 - 1=ζ , dois pólos iguais (pólo múltiplo). 
3 - 10 <ζ≤ , dois pólos complexos conjugados. 
 
O caso em que 0<ζ é omitido, pois corresponde a um sistema de segunda ordem instável 
que tem resposta ilimitada para qualquer entrada. 
 
Caso de resposta superamortecida, 1>ζ 
 
A inversão da equação 6.29 fornece como resultado 
 
















τ
−ζ
−ζ
ζ
+
τ
−ζ−= τζ− t1senh
1
t1coshe1AK)t(y 2
2
2t
p (6.30) 
 
em que as funções hiperbólicas são definidas por 
 
2
ee
senh
α−α
−
=α e 
2
ee
cosh
α−α +
=α (6.31) 
 
A resposta é registrada na Figura 6.10, para diversos valores de ζ maiores que 1. Note que a 
resposta não é oscilatória e nem ultrapassa o valor final 1AKy p = (não tem sobre-elevação), 
e torna-se mais lenta à medida que ζ aumenta. Isso é o que se denomina uma resposta 
superamortecida. Finalmente, notamos que, com o tempo, a resposta se aproxima de seu valor 
final assintoticamente. Analogamente ao caso de um sistema de primeira ordem, o ganho é 
dado por 
 
)entrada(
)saida(K p ∆
∆
= (6.32) 
 
146 
 
 
Figura 6.10 Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada degrau. 
 
 
Caso de resposta criticamente amortecida, 1=ζ 
 
Nesse caso, a inversão da equação 6.29 resulta em 
 












τ
+−= τ−tp e
t11AK)t(y (6.33) 
 
A resposta, correspondente a esse caso na Figura 6.10, não é oscilatória. Essa condição, 1=ζ , 
é chamada de amortecimento crítico, e corresponde ao caso em que a resposta sem sobre-
elevação e oscilação se aproxima mais rapidamente do seu valor final. 
 
Caso de resposta subamortecida, 10 <ζ≤ 
 
Pode-se demonstrar que nesse caso, a inversão da equação 6.29, resulta em 
 
( )








φ+ω
ζ−
−=
τζ− tsene
1
11AK)t(y t
2p
 (6.34) 
em que 
 
τ
ζ−
=ω
21
 (6.35) 
ζ
ζ−
=φ −
2
1 1tg (6.36) 
147 
 
 
A resposta é registrada na Figura 6.10 para diversos valores do fator de amortecimento na 
faixa 10 <ζ≤ . Podemos observar que nesse caso todas as curvas-resposta ultrapassam o 
valor estacionário final. Se 707,0<ζ , as curvas-resposta não só ultrapassam como também 
oscilam em torno do valor final, e se tornam mais oscilatórias à medida que ζ diminui. Pode-
se verificar que a inclinação das curvas é zero na origem, para todos os valores de ζ . A 
resposta de um sistema de segunda ordem para 10 <ζ≤ é chamada de subamortecida. 
 
 
6.4.2 Características de uma resposta subamortecida 
 
Das três respostas possíveis, a resposta subamortecida (Figura 6.11) é a que ocorre com mais 
frequência em sistemas de controle. Por esse motivo, foram criados diversos termos para 
descrevê-la. 
 
 
Figura 6.11 Características da resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem 
subamortecida. 
 
Sobre-elevação (overshoot) - Overshoot é a medida de quanto a resposta de um sistema 
submetido a um estímulo degrau excede o seu valor final. Observando a Figura 6.11, ele é 
expressa pela razão BA . O overshoot é uma função de ζ e é dada pela seguinte expressão: 
 








ζ−
piζ−
=
21
expOS (6.37) 
 
148 
 
Pela (6.37), vemos que o overshoot aumenta com a redução de ζ . Temos 0OS = para 1=ζ e 
1OS = para 0=ζ . 
 
O instante do pico pt , correspondente ao primeiro pico do sobre-sinal é dado por 
 
2p 1
t
ζ−
piτ
= (6.38) 
 
Razão de amortecimento (decay ratio) - é a razão entre a altura de dois picos sucessivos, 
dado por AC , na Figura 6.11. Pode-se também demonstrar que o decay ratio é dado pela 
expressão: 
 
( )2
2
OS
1
2
expDR =








ζ−
piζ−
= (6.39) 
 
Para sistemas de segunda ordem, o DR é constante para pares de picos sucessivos. 
 
Tempo de ascensão (rising time) - Esse é o tempo que a resposta leva para alcançar, pela 
primeira vez, o valor final, sendo representado por rt , na Figura 6.11. Da Figura 6.10, 
notamos que rt aumenta com o aumento de ζ . Pode-se demonstrar que o tempo de subida rt 
é dado pela expressão 
 








ζ
ζ−
−
ζ−
τ
=
−
2
1
2r
1
tan
1
t (6.40) 
 
Tempo de resposta - Esse é o tempo que a resposta leva para alcançar uma faixa de ±5% do 
seu valor final e nela permanecer. Para 9,00 <ζ< , o tempo de acomodação correspondendo 
à faixa de tolerância de ±5% é dado, aproximadamente, por 
 
ζ
τ
=
3
t s (6.41) 
 
Se for utilizado o critério de ±2%, então st é dado, aproximadamente, por 
 
ζ
τ
=
4
t s (6.42) 
 
Período de oscilação - Da equação 6.34 vemos que a freqüência em radianos 
(radianos/tempo) da oscilação de uma resposta subamortecida é dada por 
 
ω = freqüência em radianos = 
τ
ζ− 21
 (6.43) 
 
Como a freqüência em radianos ω se relaciona com a freqüência cíclica f por meio de 
149 
 
 
f2pi=ω (6.44) 
 
segue-se que, 
 
τ
ζ−
pi
==
21
2
1
T
1f (6.45) 
 
em que T é o período de oscilação (tempo/ciclo), que é o tempo decorrido entre dois picos. 
 
Período natural de oscilação - Se o amortecimento for eliminado ( 0=ζ ), o sistema oscila 
continuamente sem atenuação em sua amplitude. Nessas condições “naturais” ou não 
amortecidas, a freqüência em radianos é τ1 (veja equação 6.34). Essa freqüência é chamada 
de freqüência natural nω . 
 
τ
=ω
1
n (6.46) 
 
A freqüência cíclica natural correspondente nf e o período nT são relacionados pela 
expressão 
 
piτ
==
2
1
T
1f
n
n (6.47) 
 
Em resumo, é evidente que ζ representa uma medida do grau de amortecimento, ou do 
caráter oscilatório, e que τ representa uma medida do período, ou velocidade, da resposta de 
um sistema desegunda ordem. 
 
Observação 
 
Note que o tempo de resposta é diretamente proporcional ao tempo característico e 
inversamente proporcional ao fator de amortecimento. Como o valor de ζ normalmente é 
determinado a partir da especificação requerida do sobre-sinal OS máximo, o tempo de 
acomodação é determinado principalmente pelo tempo característico τ . Isso significa que a 
duração do período transitório pode ser modificada, sem modificar o sobre-sinal máximo, por 
intermédio do ajuste do tempo característico. 
 
Da análise anterior, é evidente que para uma resposta rápida, τ deve ser pequeno. Para limitar 
o sobre-sinal máximo e tornar o tempo de resposta pequeno, o fator de amortecimento ζ não 
deve ser muito pequeno. 
 
 
6.4.3 Resposta ao impulso 
 
Se um impulso de intensidade A for aplicado a um sistema de segunda ordem. 
 
)t(A)t(u δ= (6.48) 
150 
 
ou 
A)s(u = (6.49) 
 
Então, combinando as equações 6.26 e 6.49 obtém-se: 
 
1s2s
AK)s(y 22
p
+ζτ+τ= (6.50) 
( )( )21
2
p
psps
AK)s(y
−−
τ
= (6.51) 
 
A natureza da resposta a um impulso dependerá dos pólos serem reais ou complexos. 
 
Para o caso em que 10 <ζ≤ , pode-se demonstrar que a inversão da equação 6.63 fornece 
como resultado 
 
τ
ζ−
ζ−τ
=
τζ− t1sene
1
AK1)t(y 2t
2
p
 (6.52) 
 
cujo gráfico se encontra na Figura 6.12. A inclinação na origem é 1,0 para todos os valores de 
ζ . 
 
Figura 6.12 Resposta de um sistema de segunda ordem a um impulso. 
 
Para o caso em que 1=ζ (sistema criticamente amortecido), a resposta é dada por: 
τ−
τ
=
t
2
p
et
AK)t(y (6.53) 
cujo gráfico se encontra também na Figura 6.12. 
151 
 
 
Analogamente, para o caso em que , 1>ζ a resposta é dada por: 
 
τ
−ζ
−ζτ
=
τζ− t1senhe
1
AK1)t(y 2t
2
p
 (6.54) 
que também está representada graficamente na Figura 6.12. 
 
6.5 Respostas de processos de ordem elevada usando 
Scilab 
 
Sistemas de ordem superior são usualmente representados por equações diferenciais de ordem 
superior a dois. O tempo morto também pode ser aproximado por uma equação diferencial de 
ordem arbitrária 
 
Nesta seção discutiremos a resposta de sistemas de ordem elevada usando o Scilab. Conforme 
visto na Seção 3.4, o que precisamos é criar o sistema linear a partir do modelo em função de 
transferência ou o modelo no espaço de estados usando a função syslin. A seguir, usa-se a 
função csim para realizar a simulação, e, assim, obter a resposta do sistema. 
 
 
6.5.1 N Sistemas capacitivos em série 
 
Para o caso de N sistemas de primeira ordem em série, a resposta global é de N -ésima 
ordem, isto é, o denominador da função de transferência global (Figura 6.13) é um polinômio 
do tipo. 
 
01
1N
1N
N
N asasasa ++++
−
−
… (6.55) 
 
 
Figura 6.13 Diagrama de blocos do sistema. 
 
Se os N sistemas de primeira ordem são não-interagentes conforme a Figura 6.14, a função 
de transferência global é dada por: 
 
( )( ) ( )1s1s1s
KKK)s(G)s(G)s(G)s(G
N21
N21
N21o +τ+τ+τ
==
⋯
⋯
⋯ (6.56) 
 
 
Figura 6.14 Diagrama de blocos de N sistemas em série sem interação. 
 
Obviamente, o sistema pode também ser representado pelo bloco como mostra a Figura 6.15. 
152 
 
 
 
Figura 6.15 Diagrama de blocos equivalente. 
 
Para um conjunto com N sistemas de primeira ordem com interação, a função de 
transferência global se torna mais complexa. 
 
Exemplo 6.2 
 
Obter a resposta ao degrau de amplitude A de um sistema formado por N ( 4,3,2,1N = ) 
sistemas de primeira ordem iguais em série sem interação. Portanto, temos 
 
( )( ) ( )1s1s1s
KKK)s(G)s(G)s(G)s(G
N21
N21
N21o +τ+τ+τ
==
⋯
⋯
⋯ (6.57) 
 
Se N21 KKK === … e N21 τ==τ=τ … , então 
 
( )N
N
1s
K
)s(u
)s(y
+τ
= (6.58) 
 
Se a entrada é 
s
A)s(u = (6.59) 
 
Substituindo na equação 6.58, temos 
 
( ) s
A
1s
K)s(y N
N
+τ
= (6.60) 
ou 
( )NN 1s
1
AK
)s(y
+τ
= (6.61) 
 
Para generalizar, podemos obter a resposta NAK)t(y em função de τt . No programa a 
seguir, considera-se 1=τ . 
 
 
Programa 
 
//Resposta a degrau de sistemas de primeira ordem em série 
// 
clear 
clearglobal 
clc 
 
s=%s 
153 
 
tau=1 
totau=0:0.1:5 
num=1 //numerador de G(s) 
scf(1) 
clf 
for N=1:4 
 den=(tau*s+1)^N //denominador de G(s) 
 sl=syslin('c',num,den) //cria o sistema linear a partir de num e den 
 y=csim('step',totau,sl) //resposta a degrau unitário 
 disp('') 
 printf('Função de transferência global com N = %f\n',N) 
 disp(sl) 
 plot(totau,y) 
end 
xlabel('t/tau') 
ylabel('y/AK^N') 
xstring(1.4,0.8,['N=1']) 
xstring(1.9,0.63,['N=2']) 
xstring(2.3,0.46,['N=3']) 
xstring(2.6,0.32,['N=4']) 
 
O seguinte resultado é mostrado na janela de comando do Scilab. 
 
 
 
Função de transferência global com N = 1.000000 
 
 1 
 ----- 
 1 + s 
 
 
Função de transferência global com N = 2.000000 
 
 1 
 --------- 
 2 
 1 + 2s + s 
 
 
Função de transferência global com N = 3.000000 
 
 1 
 --------------- 
 2 3 
 1 + 3s + 3s + s 
 
 
Função de transferência global com N = 4.000000 
 
 1 
 ------------------- 
 2 3 4 
 1 + 4s + 6s + 4s + s 
 
 
A Figura 6.16 apresenta a resposta a degrau para esses quatro valores de N . 
 
154 
 
 
Figura 6.16 Resposta ao degrau de sistemas de primeira ordem em série sem interação. 
 
 
6.5.2 Sistemas dinâmicos com tempo morto (retardo por 
transporte) 
 
Muitos sistemas dinâmicos reais apresentam um atraso puro de tempo puro. A modelagem 
matemática desse fenômeno é de suma importância porque atrasos de tempo têm efeito 
desestabilizador em malhas de controle. Conseqüentemente, é desejável que o modelo a ser 
usado em projeto de sistemas de controle inclua o retardo puro de tempo sempre que o 
sistema original apresentar tal característica. 
 
Exemplo 6.3 
 
Considere o escoamento de um líquido através do tubo esquematizado na Figura 6.17. 
 
 
Figura 6.17 Sistema com retardo por transporte. 
 
Com as hipóteses: a densidade ρ e a capacidade calorífica pC são constantes. A parede do 
tubo apresenta capacidade calorífica desprezível e o perfil de velocidade é plano. 
 
155 
 
A temperatura )t(u do fluido que entra no tubo varia com o tempo e deseja-se obter a 
resposta da temperatura de saída )t(y . Considerando que o sistema esteja inicialmente em 
regime estabelecido, temos: 
 
A temperatura )t(Ti do fluido que entra no tubo varia com o tempo e deseja-se obter a 
resposta da temperatura de saída )t(T . Considerando que o sistema esteja inicialmente em 
regime estabelecido, temos: 
 
iss TT = (6.62) 
 
Daí, uma perturbação em )t(Ti no instante 0t = , como mostrado na Figura 6.18, não será 
percebida na extremidade final do tubo antes de dt , onde dt é o tempo necessário para o 
fluido que entra atravessar todo o tubo e que pode ser calculado por: 
 
 
Figura 6.18 Resposta do retardo por transporte a um estímulo na temperatura de entrada. 
 
ca volumétrivazão
 tubodo volume
t d = (6.63) 
 
F
AL
t d = (6.64) 
 
A relação entre )t(Ti e )t(T é 
 
)tt(U)tt(T)t(T ddi −−=(6.65) 
 
A função )t(T é igual a isT para dtt < . Portanto, a relação 6.65 mostra que )t(T é a função 
)t(Ti atrasada de dt unidades de tempo. Aqui, incluímos a função degrau unitário )tt(U d− 
para denotar explicitamente que isT)t(T = para todos os valores de dtt < . 
 
Subtraindo a equação 6.62 da equação 6.65 e introduzindo as variáveis-desvios 
 
isii TTT −= (6.66) 
 
sTTT −= (6.67) 
obtém-se 
)tt(U)tt(T)t(T ddi −−= (6.68) 
 
Tomando a transformada de Laplace dos termos de (6.68), temos 
156 
 
 
)s(Te)s(T istd−= (6.69) 
 
Portanto, 
dst
i
e)s(T
)s(T
−
= que é a função de transferência do retardo (6.70) 
 
Observação 
 
A função 
 
)tt(T)t(T di −= (6.71) 
pode ser expandida em uma série de Taylor como segue 
…−+−= 2
i
22
di
di dt
)t(Td
!2
t
dt
)t(Td
t)t(TT (6.72) 
 
Tomando a transformada de Laplace de todos da equação acima temos 
 
…−+−= )s(Ts
!2
t)s(Tst)s(T)s(T i2
2
d
idi (6.73) 
 
)s(Ts
!2
t
st1)s(T i2
2
d
d 





−+−= … (6.74) 
 
a expressão entre parênteses será idêntica a stde− se tiver um número infinito de termos 
 
)s(Te)s(T istd−= (6.75) 
 
 
6.5.3 Sistemas de primeira ordem com tempo morto 
 
Considere um processo de primeira ordem seguido por um tempo morto esquematizado na 
Figura 6.19. 
 
 
Figura 6.19 Processo de primeira ordem com tempo morto. 
 
Seja )tt(y)t(y d* −= , então a representação em diagrama de blocos desse sistema é 
apresentada na Figura 6.20, onde a função de transferência em cada um dos blocos é 
 
1s
K
)s(u
)s(y
p
p
+τ
= (6.76) 
157 
 
st
*
de)s(y
)s(y
−
= (6.77) 
 
 
Figura 6.20 Diagrama de blocos de um processo de primeira ordem com tempo morto. 
 
A função de transferência global entre a entrada externa )t(u e a saída )t(y* é dada por 
 
1s
eK
)s(u
)s(y
p
st
p
* d
+τ
=
−
 (6.78) 
 
O sistema representado em (6.78) é equivalente à seguinte equação diferencial: 
)tt(uKy
dt
dy
dpp −=+τ (6.79) 
em que dt é o tempo morto. 
 
Para entender melhor esse esquema, tomemos o exemplo de um tanque de mistura com 
retardo por transporte na corrente afluente esquematizado na Figura 6.21. 
 
Figura 6.21 Tanque de mistura com retardo por transporte na corrente afluente. 
 
Supondo que o volume do tubo na entrada seja significativo, então haverá atraso por 
transporte entre variações na concentração de alimentação na entrada e na saída do tubo. O 
atraso pode ser calculado por: 
F
V
t td = (6.80) 
em que tV é o volume do tubo. A relação entre a concentração na saída do tubo e a 
concentração na entrada do tubo é dada por: 
 
)tt(c)t(c di*i −= (6.81) 
isto é, a concentração na saída do tubo é igual a da entrada dt instantes de tempo atrás. A 
equação de modelagem é 
 
c
V
F)t(c
V
F
dt
dc *
i −= (6.82) 
158 
 
c
V
F)tt(c
V
F
dt
dc
di −−= (6.83) 
 
Tomando a transformada de Laplace da equação 6.83, obtém-se 
 
)s(c
V
F
e)s(c
V
F)s(sc sti d −= − (6.84) 
st
i
de)s(c
V
F)s(c
V
F)s(sc −=+ (6.85) 
st
i
de)s(c)s(c)s(sc
F
V
−
=+ (6.86) 
st
i
de)s(c)s(c1s
F
V
−
=





+ (6.87) 
)s(c
1s
F
V
e)s(c i
std
+
=
−
 (6.88) 
 
 
6.5.4 Sistemas de segunda ordem com tempo morto 
 
Considere um processo de primeira ordem seguido por um elemento tempo morto 
esquematizado na Figura 6.22 e o diagrama de blocos correspondente mostrado na Figura 
6.23. 
 
 
Figura 6.22 Processo de segunda ordem com tempo morto. 
 
 
Figura 6.23 Diagrama de blocos de um processo de segunda ordem com tempo morto. 
 
Nesse caso, a função de transferência global entre a entrada externa )t(u e a saída )t(y* é 
1s2s
eK
)s(u
)s(y
22
st
p
* d
+ζτ+τ=
−
 (6.89) 
 
 
6.5.5 Aproximação de Padé para tempo morto 
 
Lembre-se de que a função de transferência de um tempo de atraso por transporte é stde− , em 
que dt é o tempo morto. Essa função de transferência é bastante diferente das outras funções 
159 
 
de transferência (primeira ordem, segunda ordem etc.) no sentido de que não é uma função 
racional (isto é, uma razão de polinômios). Algumas aproximações do tempo morto úteis em 
cálculos de controle são apresentadas aqui. 
 
Uma aproximação do tempo morto pode ser obtida escrevendo stde− como stde1 e 
expressando o denominador como uma série de Taylor; o resultado é 
 
⋯++++
==
−
!3
st
!2
st
st1
1
e
1
e 33
d
22
d
d
st
st
d
d
 (6.90) 
Mantendo somente os dois primeiros termos no denominador tem-se 
st1
1
e
d
std
+
≅− (6.91) 
 
Essa aproximação, que é simplesmente um atraso de primeira ordem, é uma aproximação 
ruim do tempo morto. Um melhoramento pode ser feito expressando o tempo morto como 
 
2st
2st
st
d
d
d
e
e
e
−
−
= (6.92) 
 
Expandindo o numerador e o denominador em uma série de Taylor e mantendo somente os 
termos de primeira ordem resulta 
s
2
t1
s
2
t1
e
d
d
std
+
−
≅− (6.93) 
 
Essa aproximação é também conhecida como aproximação de Padé de primeira ordem. Uma 
outra aproximação bastante conhecida para o tempo morto é a aproximação de Padé de 
segunda ordem: 
 
12st6st
12st6st
e
d
22
d
d
22
dstd
++
+−
≅− (6.94) 
 
Exemplo 6.4 Aproximação do tempo morto 
 
A resposta aproximada ao degrau unitário da função de transferência 
1s
e)s(G
s
p +
=
−
 
 
pode ser obtida utilizando-se as aproximações 6.91, 6.93 e 6.94. As aproximações para o 
tempo morto usadas neste exemplo foram: 
e− ≅
+
s
s
1
1
 aproximação de primeira ordem (6.95) 
160 
 
e− ≅
−
+
s
s
s
1 1
2
1 1
2
 aproximação de Padé 1/1 (6.96) 
e− ≅
− +
+ +
s s s
s s
2
2
6 12
6 12
 aproximação de Padé 2/2 (6.97) 
 
As respostas ao degrau unitário dessas três aproximações do tempo morto são mostradas na 
Figura 6.24. A resposta ao degrau de 
1s
e std
+
−
 é também mostrada para comparação. 
 
 
Figura 6.24 Comparação das respostas ao degrau de sistemas de primeira ordem com tempo 
morto com aproximações de Padé de primeira e segunda ordem. 
 
Embora nenhuma das aproximações de stde− seja muito precisa, a aproximação de stde− é 
mais útil quando está multiplicado por várias funções transferência de primeira ordem ou de 
segunda ordem. Neste caso, a aproximação do tempo morto combinado com essas funções de 
transferência aparenta ser satisfatório, pois essas funções de transferência filtram o conteúdo 
de altas freqüências dos sinais que atravessam o tempo morto. 
 
 
6.5.6 Sistemas dinâmicos com resposta inversa 
 
O comportamento dinâmico de alguns processos desvia drasticamente do que foi visto até 
aqui como indica a Figura 6.25, que mostra a resposta de um sistema a uma entrada degrau. 
Pode-se ver que a resposta inicialmente vai na direção contrária para depois ir na direção certa 
após a inversão. 
 
161 
 
 
 
Figura 6.25 Sistema que exibe resposta inversa. 
 
Tal comportamentoé chamado de resposta inversa ou resposta de fase não mínima (non 
minimum phase). Matematicamente resposta inversa pode ser representada por um sistema 
cuja função de transferência tem um zero positivo, isto é, um zero no semi-plano direito s . 
 
Exemplo 6.6 
 
Considere a caldeira da Figura 6.26. 
 
 
Figura 6.26 Caldeira. 
 
Supondo que 1F seja aumentada de um degrau. O volume da água fervente e, 
conseqüentemente, a altura diminuirá por um curto período de tempo e começará a aumentar. 
Tal comportamento é resultado de dois efeitos opostos: 
 
1 - A água fria provoca uma diminuição na temperatura que, por sua vez, diminuirá o volume 
das bolhas. Isto gera decréscimo no nível de líquido da água fervente, seguindo um 
comportamento de primeira ordem: 
 
1s
K
1
1
+τ
− (6.98) 
 
2 - Com o fornecimento constante de calor, a produção de vapor continua a mesma e, 
conseqüentemente, o nível de líquido começará a subir de maneira integral (capacidade pura): 
 
s
K 2
 (6.99) 
 
Esses dois efeitos podem ser considerados efeitos em paralelo, cujo diagrama de blocos é 
mostrado na Figura 6.27. 
162 
 
 
 
Figura 6.27 Diagrama de blocos. 
 
A função de transferência global entre a entrada )t(F1 e a saída )t(h é 
 
( )
( )1ss
KsKK
1s
K
s
K)s(G
1
2112
1
12
o
+τ
+−τ
=
+τ
−= (6.100) 
Para 112 KK <τ , a função de transferência apresenta um zero positivo no ponto 
 
0
KK
K
s
112
2 >
−τ
−= (6.101) 
1s
K
s
K
)s(F
)s(h
1
12
1 +τ
−= (6.102) 
s
1)s(F1 = (6.103) 






+τ
−=
1s
K
s
K
s
1)s(h
1
12
 (6.104) 
( )1ss
K
s
K)s(h
1
1
2
2
+τ
−= (6.105) 
 
Tomando a transformada inversa 
 ( )1t12 e1KtK)t(h τ−−−= (6.106) 
 
A Figura 6.28 mostra uma possível resposta do sistema a variação degrau na entrada. 
 
163 
 
 
Figura 6.28 Comportamento dinâmico de sistema com resposta inversa. 
 
 
Exemplo 6.6 
 
O comportamento dinâmico de um sistema é descrito pela equação 
 
dt
)t(du
a)t(u)t(y
dt
)t(dy5
dt
)t(yd6 2
2
+=++ 
 
Quais são os pólos e os zeros do sistema? Como varia a resposta do sistema com o valor do 
coeficiente a quando o sistema é sujeito a uma entrada degrau unitário? 
 
Transformando a equação para produzir a função de transferência 
 
1s5s6
as1
)s(u
)s(y
2 ++
+
= 
( )( )1s31s2
as1
)s(u
)s(y
++
+
= 
 
tendo um zero em a1− e pólos em -1/2 e -1/3. 
 
( )( )333,0s5,0s
as1
6
1
)s(u
)s(y
++
+
= 
 
Para uma entrada degrau unitário, 
s
1)s(u = , assim, 
 
( )( )333,0s5,0ss
as1
6
1)s(y
++
+
= 
( ) ( )
333,0s
a333,013
5,0s
a5,012
s
1)s(y
+
−
−
+
−
+= 
 
cuja função inversa é 
 
( ) ( ) t333,0t5,0 ea333,013ea5,0121)t(y −− −−−+= 
 
164 
 
Programa 
 
//Resposta a degrau de um sistema de segunda ordem com resposta inversa 
// 
clear 
clearglobal 
clc 
s=%s 
delt=0.1 
t=0:delt:15 
a_=[2 1 -1 -2] 
out=[] 
for i=1:4 
 a=a_(i) 
 num=1+a*s //numerador de G(s) 
 den=6*s^2+5*s+1 //denominador de G(s) 
 sl=syslin('c',num,den) //cria o sistema linear a partir de num e den 
 y=csim('step',t,sl) //resposta a degrau unitário 
 disp('') 
 printf('Função de transferência com a = %f\n',a) 
 disp(sl) 
 out=[out; y] 
end 
scf(1) 
clf 
plot(t,out) 
xlabel('t') 
ylabel('y') 
legend(['a=2','a=1','a=-1','a=-2'],4) 
 
O seguinte resultado é mostrado na janela de comando do Scilab. 
 
 
 
Função de transferência com a = 2.000000 
 
 1 + 2s 
 ---------- 
 2 
 1 + 5s + 6s 
 
 
Função de transferência com a = 1.000000 
 
 1 + s 
 ----------- 
 2 
 1 + 5s + 6s 
 
 
Função de transferência com a = -1.000000 
 
 1 - s 
 ----------- 
 2 
 1 + 5s + 6s 
 
 
Função de transferência com a = -2.000000 
 
165 
 
 1 - 2s 
 ---------- 
 2 
 1 + 5s + 6s 
 
 
O efeito do valor de a , isto é, do posicionamento do zero, é ilustrado na Figura 6.29. 
 
 
Figura 6.29 Diferentes respostas ao degrau dependendo da posição do zero do sistema. 
 
Note que a presença de zeros positivos, 1s = quando 1a −= e 5.0s = quando 2a −= , leva a 
resposta inicialmente na direção errada como já discutido. 
 
O sistema tem pólos em -2 e -1, portanto, é estável. O zero positivo não afeta a estabilidade. 
 
6.5.7 Comportamento dinâmico de sistemas com mais de um zero no 
semi-plano direito 
 
Algumas observações 
 
A porção inicial da resposta ao degrau de um sistema com mais de um zero positivo exibirá 
tantas inversões quantos forem o número de zeros positivos: 
 
1 - A resposta ao degrau de um sistema com um zero positivo exibirá uma inversão. Portanto, 
se a resposta ao degrau de um sistema termina na direção certa, ela inicialmente vai na direção 
errada para depois da inversão retornar à direção certa. 
 
2 - A resposta ao degrau de um sistema com dois zeros positivos exibirá duas inversões. 
Portanto, se a resposta ao degrau de um sistema termina na direção certa, ela primeiramente 
166 
 
vai na direção certa, toma uma primeira inversão e permanece temporariamente na direção 
errada para depois da segunda inversão retornar à direção certa. 
 
 
Comentário 
 
Um exemplo típico da engenharia química é o controle do nível na base da coluna de 
destilação mostrada na Figura 6.30 (Seborg et al., 1989). A resposta inversa do nível de 
líquido é freqüentemente encontrada quando são feitas variações bruscas na pressão do vapor 
no refervedor. Isso acontece porque um aumento na pressão do vapor resulta em aumento na 
formação de espuma e em diminuição na vazão de líquido no downcomer. Inicialmente, 
predomina o primeiro efeito, provocando aumento do nível, entretanto, a redução na vazão de 
líquido eventualmente leva ao decréscimo esperado no nível. Sistemas com resposta inversa 
são difíceis de controlar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.30 Coluna de destilação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
167 
 
Exercícios 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
 
6.1 Um termômetro apresentando dinâmica de primeira ordem com uma constante de tempo 
de 1,0 min, é colocado em um banho a 40°C. Após o termômetro atingir o regime 
estacionário, é colocado subitamente em um banho a 50°C em 0t = e lá deixado por 1,0 min, 
após o qual retorna imediatamente ao banho a 40°C. 
a) Represente graficamente a variação da leitura do termômetro com o tempo. 
b) Qual é a leitura final do termômetro? 
 
Solução 
 
Balanço de energia em regime transiente 
 
( )TThA
dt
dT
mC ip −= (1) 
 
Balanço de energia em regime permanente 
 
( )sis TThA0 −= (2) 
 
Subtraindo a equação 2 da equação 1, obtém-se 
 
[ ])TT()TT(hA
dt
)TT(d
mC sisisp −−−=
−
 (3) 
 
Em variáveis desvios, a equação 3 fica 
 
( )TThA
dt
Td
mC ip −= (4) 
 
em que: 
 
sTTT −= (5) 
isii TTT −= (6) 
 
ou 
 
i
p TT
dt
Td
hA
mC
=+ (7) 
O termo 
hA
mCp
 corresponde à constante de tempo, e a equação 7 pode ser escrita como 
 
168 
 
ip TTdt
Td
=+τ (8) 
 
Portanto, a função de transferência do termômetro é dada por: 
 
1s
1)s(T
)s(T)s(G
pi +τ
== (9) 
1s
1)s(G
+
= (10) 
 
A curva que representa a variação da temperatura iT é mostrada figura 
 
Figura 6.31 Variação da temperatura iT . 
 
No estado estacionário, temos que: 
 
40Tis = °C 
40Ts = °C 
 
A temperatura iT é uma função-pulso de amplitude 10 e duração de 1 min. Assim, a variação 
de iT pode ser expressa como dois degraus consecutivos, mas de sinais opostos. Um degrau 
de amplitude 10°C iniciado em 0t = min e o outro de amplitude -10°C iniciado em 1t = 
min. 
 
169 
 
 
Figura 6.32 Variação da temperatura iT como soma de dois degraus. 
 
)1t(U10)t(U10)t(Ti −−= (11) 
 
Tomando a transformada de Laplace dessa equação, temos 
 
s
i e
s
10
s
10)s(T −−= (12) 
 
Substituindo em (10) 
 






−
+
=
−se
s
10
s
10
1s
1)s(T (13) 
( ) ( )
se
1ss
10
1ss
10)s(T −
+
−
+
= (14) 
( ) ( ) 




+
−
+
=
−se
1ss
1
1ss
110)s(T (15) 
 
A inversa de )s(T é 
 ( ) ( )[ ])1t(Ue1)t(Ue110)t(T )1t(t −−−−= −−− (16) 
ou 
170 
 
( )
( ) ( )[ ]

>−−−
<−
=
−−−
−
1te1e110
1te110)t(T )1t(t
t
 (17) 
 
( )



>
<−
=
−
−
1te1828,17
1te110)t(T
t
t
 (18) 
 
Figura 6.33 Leitura do termômetro, T . 
 
A leitura final do termômetro de 40°C é alcançada praticamente em 5 min, ou seja, em 5 
constantes de tempo. 
 
 
6.2 Deseja-se atenuar as oscilações de concentração que ocorrem na saída de um reator 
contínuo operando com uma vazão de 10 L/min. As variações de concentração alcançam 2 
g/L em torno da concentração de regime que é igual a 20 g/L, com um período de oscilação 
igual a 6,28 min. Para isso, foi projetado um tanque de mistura colocado depois do reator, 
com o objetivo de obter uma razão de amplitude igual a 0,1. Sabe-se que a função de 
transferência que descreve a concentração de saída do tanque de mistura com a concentração 
de saída do reator é dada por: 
 
1s
1)s(G
p
p +τ
= 
em que 
vazão
volume
p =τ . Escreva um programa em Scilab para determinar o volume do tanque 
de mistura em litros para se obter a razão de amplitude desejada. 
 
 
171 
 
Solução 
 
A concentração que ocorre na saída do reator apresenta comportamento de uma onda senoidal 
e corresponde à concentração de entrada do tanque de mistura e dada por 





 pi
+= t
28,6
2
sen220)t(c i 
 
ou em variável desvio 
 





 pi
= t
28,6
2
sen2)t(ci 
ou 
 
)t(Asen)t(ci ω= 
 
A concentração de saída do tanque de mistura após decorrido um tempo longo, também 
apresenta comportamento de uma onda senoidal com amplitude Aˆ . A razão entre as 
amplitudes de saída e entrada é chamada de razão de amplitude AR . 
 
Aˆ
AAR = 
 
Programa 
 
//Razão de amplitude em função do volume do tanque de mistura 
clear 
clc 
 
//Parâmetros do processo 
Kp=1; //ganho do processo 
F=10; //vazão de entrada, L/min 
cis=20; //concentração de sal na entrada no estado estacionário, g/L 
 
//Entrada senoidal 
A=2; //amplitude da onda senoidal de entrada, g/L 
P=6.28; //período, min 
w=2*%pi/P; //frequência angular, rad/min 
t=0:0.01:100 //tempo de simulação 
u=A*sin(w*t) //onda senoidal 
 
s=%s 
N=round(P/0.01) 
V=10:10:200 
for i=1:length(V) 
 taup=V(i)/F 
 G=syslin('c',Kp/(taup*s+1)) 
 y=csim(u,t,G) 
 Ahat(i)=max(y($-N+1:$)) 
end 
AR=Ahat/A 
 
//Plota figura AR versus V 
scf(1) 
clf 
172 
 
plot(V,AR) 
xlabel('V (L)') 
ylabel('AR') 
 
//Acha o volume do tanque correspondente a AR=0,1 
Vstar=interp1(AR,V,0.1,'linear') 
disp('Solução') 
printf('Volume do tanque = %f L\n',Vstar) 
 
//Plota a resposta da saída para o volume correspondente a AR=0,1 
taup=Vstar/F 
G=syslin('c',Kp/(taup*s+1)) 
y=csim(u,t,G) 
scf(2) 
clf 
plot(t,y) 
xlabel('t (min)') 
ylabel('c (g/L)') 
 
O seguinte resultado é mostrado na janela de comando do Scilab. 
 
 
 Solução 
Volume do tanque = 99.504362 L 
 
 
A Figura 6.34 mostra a curva de AR em função de V . Podemos observar que AR diminui 
com V , ou seja, quando maior o volume do tanque de mistura, maior será a atenuação da 
oscilação. 
 
A Figura 6.35 mostra que a variação da concentração na saída do tanque de mistura após 
decorrido um tempo razoável é também uma onda senoidal com amplitude menor do que a 
amplitude da onda de entrada. No caso em 50,99V = L, a amplitude da onda senoidal de 
saída é de aproximadamente 0,20 g/L. 
 
173 
 
 
 
Figura 6.34 Curva de AR em função de V . 
 
 
 
Figura 6.35 Resposta da saída à entrada senoidal para 50,99V = L. 
 
 
 
174 
 
Exercícios propostos 
 
6.3 Em um sistema de primeira ordem com função de transferência 
 
1s
K
)s(u
)s(y
+τ
= 
 
considerando que a entrada é uma função degrau, pede-se: 
 
a) Qual o tempo (em unidades de constante de tempo) que a saída demora para chegar a 5% 
do valor final? 
b) Qual o instante de tempo em que a resposta tem inclinação máxima? 
c) Se a resposta mantivesse a inclinação máxima, quanto tempo ela demoraria para atingir o 
valor final? 
 
6.4 Suponha que a um sistema de primeira ordem 
1s
K)s(G
+τ
= seja aplicada uma rampa com 
inclinação igual a 1 ( 2s1)s(u = ). Daí, pede-se: 
 
a) A expressão analítica da resposta do sistema e represente graficamente essa resposta. 
b) Quais os instantes de tempo em que a inclinação da resposta é mínima e máxima? 
c) Se essa resposta gráfica fosse dada, como você calcularia os parâmetros K e τ ? 
 
6.5 O tanque do desenho abaixo funciona continuamente para homogeneizar um efluente 
industrial a ser despejado num rio. A agitação é perfeita. A vazão de efluente é constante, 
igual a 50 gpm. 
 
 
 
Aleatoriamente, em espaços de tempo muito longos, um elemento poluidor é lançado no 
efluente durante 2 min. A vazão do efluente não é modificada, porém a concentração do 
elemento poluidor possui a seguinte forma: 
 
 
 
Calcular o volume do tanque para que a concentração máxima do elemento poluidor no 
despejo seja 5% do pico da sua concentração no efluente. 
 
175 
 
6.6 Considere o processo de mistura mostrado na figura abaixo no qual uma corrente de uma 
solução contendo sal dissolvido escoa em um tanque de volume de armazenamento V 
constante. Tanto a vazão volumétrica F e a concentração de sal na corrente de alimentação do 
tanque, ic (massa/volume) variam com o tempo. 
(a) Deseja-se determinar as funções de transferência que relacionam a concentração de saída 
c com a vazão de entrada F e a concentração de entrada ic . 
(b) Desenhe o diagrama de blocos do sistema. 
(c) Esboce a resposta da concentração de saída c a uma variação degrau unitário na vazão de 
entrada F . 
(d) Esboce a resposta da concentração de saída c a uma variação degrau unitário na 
concentração de entrada ic . 
(e) Interprete os resultados. 
 
 
 
6.7 Dois tanques de armazenamento de líquido estão mostrados abaixo. Cada tanque tem 4 ft 
de diâmetro. Para o Sistema I, a válvula atua como uma resistência linear de acordo com a 
relação vazão-altura h12,1F = , onde F está em ft3/min e h está em ft. Para o Sistema II, a 
variação do nível h não afeta a vazão de saída F . Supondo que cada tanque esteja 
inicialmente em estado estacionário com 6h s = ft e 72,6Fis = ft
3/min e que no instante 
0t = , a vazão de entrada varia de 6,72 para 9,36 ft3/min. Para cada sistema, determine as 
seguintes informações: 
a) A função de transferência )s(F)s(h i . 
b) A resposta transiente )t(h . 
c) Os níveis no novo estado estacionário. 
d) Se cada tanquetem 8 ft de altura, qual dos tanques transbordará primeiro? E quando? 
 
 
 Sistema I Sistema II 
 
6.8 Está se estudando a colocação de um tambor de amortecimento das variações na 
concentração da carga de um reator. 
 
176 
 
 
 
A sugestão é colocar dois tanques em série de tal forma que o volume total seja o mesmo 
( 10FVFV 21 == ). O distúrbio na concentração de entrada tem tipicamente a forma a seguir 
 
 
 
Verificar qual a melhor alternativa em termos de amortecimento do distúrbio. 
 
6.9 Dois sistemas de primeira ordem em paralelo 
 
 
 
podem ter diferentes tipos de resposta. Particularmente, no caso em que 1K e 2K têm sinais 
contrários, verifique que tipos de resposta podemos ter para um degrau em u . 
 
6.10 No esquema de dois tanques interagentes representado a seguir 
 
177 
 
 
 
Verificar em que condições a resposta de 1h para variações em iF é sobreamortecida e 
subamortecida. 
 
6.11 Um esquema com dois tanques misturadores é mostrado a seguir 
 
 
 
Uma corrente de reciclo com vazão rFé usada, onde r é a razão de reciclo. 
 
a) Verificar o efeito da razão na dinâmica do sistema ( )s(c)s(c Ai2A ). 
b) Como se comportaria o sistema quando ∞→r . 
 
6.12 Três tanques são operados em série de modo não interagente como mostra a figura. Para 
cada tanque, 1K = , 1=τ . Se o desvio na vazão ao primeiro tanque for uma função impulso 
de magnitude 2, determine: 
(a) Uma expressão para )s(h , onde h é o desvio no nível do terceiro tanque. 
(b) Esquematize a resposta )t(h . 
(c) Obtenha uma expressão para )t(h . 
 
178 
 
 
 
6.13 Um sistema de três tanques idênticos em série com constante de tempo de 1,0 min e 
resistência de 1,25 m/(m3/min) encontra-se em estado estacionário, com uma vazão de 0,20 
m3/min. No tempo 0t = , uma vazão dF de 2,4 m
3/min é adicionada ao tanque 2 através de 
uma tubulação secundária, durante 0,1 min, pela adição de 0,24 m3 de água ao tanque, de 
maneira uniforme durante 0,1 min. 
 
 
 
(a) Desenvolva o diagrama de blocos que relacione 3h , desvio na altura do tanque 3, com iF′ 
e dF . 
(b) Obtenha uma expressão para )t(h3 . 
(c) Determine )t(h3 em ∞= ,2,1t . 
 
 
6.14 Dois CSTRs estão interligados por uma longa tubulação que atua como tempo morto de 
dt min para as vazões no estado estacionário. Assuma que as vazões e os volumes sejam 
constantes, e uma reação de primeira ordem irreversível BA k→ em cada tanque. 
179 
 
Desenvolver a função de transferência que relaciona a concentração da alimentação ao 
primeiro tanque Aic e a concentração de A na corrente que deixa o segundo tanque cA2 . Use 
inversão para determinar )t(c 2A a uma perturbação degrau unitário em Aic . 
 
 
 
6.15 No arranjo de trocadores de calor mostrado na figura é conhecido o seguinte: 
a) A resposta da temperatura AT da corrente 2 que deixa o trocador A a uma variação na 
vazão de entrada F da corrente 1 é de primeira ordem com uma constante de tempo de 0,67 
min e um ganho estacionário de 20. 
b) A resposta de BT a uma variação em AT é de segunda ordem subamortecida com uma 
constante de tempo de 3,2 min e um fator de amortecimento de 0,48. O ganho é de um. 
Determinar a resposta de BT a uma variação degrau de amplitude um em F . Assuma que as 
temperaturas de todas as correntes de entrada, a vazão da corrente 2 através de A e da corrente 
3 através de B permaneçam constantes. 
 
 
 
6.16 Considere o processo de mistura no qual uma corrente de uma solução contendo sal 
dissolvido escoa com uma vazão volumétrica constante 1F em um tanque de volume de 
armazenamento V constante. A corrente de saída e uma outra corrente com uma vazão 
volumétrica constante 2F , contendo o mesmo sal, convergem para uma junção de mistura 
conforme mostra a figura. 
(a) Deseja-se determinar a função de transferência que relaciona a concentração 3c 
(massa/volume) com as concentrações 1c e 2c . 
(b) Desenhe o diagrama de blocos do sistema. 
(c) Esboce a resposta da concentração 3c a uma variação degrau unitário na concentração 1c . 
(c) Esboce a resposta da concentração 3c a uma variação degrau unitário na concentração 2c . 
(e) Interprete os resultados. 
 
180 
 
 
 
6.17 Escreva a função de transferência entre T e ciT para o sistema de resfriamento mostrado 
abaixo. A capacidade térmica da parede da camisa é desprezível, mas não a da água na 
camisa. Esboce a resposta T para um pulso em ciT . 
 
 
 
6.18 Seja o transportador de esteira da figura abaixo 
 
 
 
A vazão de sólidos no transportador é função do ponto z em que é medido. Além disso, a 
vazão em cada ponto é função de tempo t . O transportador é, portanto, um sistema onde 
algumas variáveis, além de dependerem do tempo, possuem seus valores distribuidos ao longo 
do comprimento z . Os valores da vazão que tem interesse prático são os de entrada e saída, 
)t,0(F e )t,L(F , respectivamente. Obter a função de transferência entre as vazões de entrada 
e saída. Para isto será usada a seguinte designação: 
)t,z(Q = vazão a uma dada distância z a partir da entrada do transportador, kg/min 
)t,z(ρ = densidade linear ao longo do transportador, kg/m 
v = velocidade da esteira, m/min 
L = comprimento do transportador, m 
 
181 
 
7 Representação dos elementos da malha de 
controle: Sensor e transmissor. Modelos das 
válvulas de controle e curvas características. 
Controladores PID e representação em função de 
transferência. 
 
 
 
7.1 Instrumentos em malhas de controle 
 
Uma malha de controle é composta por um sensor, para detectar a variável de processo que se 
quer controlar; um transmissor, para converter o sinal do sensor em um sinal analógico 
(pneumático ou elétrico) ou digital equivalente; um controlador, que compara o sinal do 
processo com o setpoint e produz um sinal apropriado de controle; e um elemento final de 
controle, que altera a variável manipulada. Normalmente, o elemento final de controle é uma 
válvula operada através de um atuador pneumático que abre e fecha a válvula de modo a 
alterar o fluxo manipulado. 
 
A Figura 7.1 mostra uma malha de controle da temperatura de um trocador de calor. O sensor 
detecta a variável de processo (temperatura da corrente de processo na saída), um transmissor 
converte o sinal do sensor em um sinal equivalente (por exemplo, corrente que varia de 4 a 20 
mA) que é proporcional à variável controlada do processo, e esta corrente é aplicada à entrada 
do controlador. O controlador compara o sinal do processo com um valor de referência 
desejado (setpoint) e produz um sinal de saída do controlador apropriado (corrente), também 
de 4 a 20 mA. Um conversor I/P converte o sinal elétrico em sinal pneumático e um elemento 
final de controle muda a variável manipulada, abrindo ou fechando a válvula (aumentando ou 
reduzindo a vazão da água de refrigeração) com base no sinal da saída do controlador. 
Aumentando a vazão da água, retira mais calor da corrente quente e, conseqüentemente, 
diminui a temperatura da mesma na saída do trocador e vice-versa, de modo a levar 
temperatura da corrente do processo para o setpoint. 
 
182 
 
 
 
Figura 7.1 Malha de controle feedback. 
 
O sensor, transmissor e a válvula de controle normalmente ficam fisicamente localizados 
próximos do equipamento de processo, ou seja, no campo. O controlador normalmente 
localiza-se num painel ou computador na sala de controle, que pode ficar distante do 
equipamento de processo. A fiação faz a conexão entre as duas localizações, conduzindo 
sinais e correntes do transmissor para o controlador e do controlador para o elemento final de 
controle. 
 
 
7.2 Diagramade blocos de uma malha de controle 
feedback 
 
A cada componente de uma malha de controle corresponde um modelo, e como visto 
anteriormente, uma representação desse modelo é na forma de função de transferência. A 
Figura 7.2 apresenta um diagrama de blocos que mostra o fluxo de informações dentro de 
uma malha de controle eletrônica analógica em feedback. 
 
183 
 
 
 
Figura 7.2 Diagrama de blocos de uma malha de controle feedback. 
 
Para o diagrama da Figura 7.2, temos as seguintes funções de transferência: 
 
pG Função de transferência do processo 
dG Função de transferência da perturbação 
mG Função de transferência do medidor e transmissor 
cG Função de transferência do controlador 
fG Função de transferência do elemento final de controle 
mK Ganho estacionário do mG 
 
e as seguintes variáveis desvios: 
 
y Variável controlada 
my Variável medida 
spy Set point 
spy′ Set point interno 
ε Erro 
c Saída do controlador 
u Variável manipulada 
d Perturbação ou carga 
 
É comum simplificar o estudo de sistemas de controle de processos substituindo o diagrama 
de blocos da malha de controle feedback da Figura 7.2 por um diagrama de blocos, como o da 
Figura 7.3, em que a variável medida conduz a própria informação física ou química do 
processo. Dessa forma, o ganho mK pode ser omitido do diagrama e a comparação é feita em 
termos de quantidade física ou química da variável controlada com o valor desejado. 
 
184 
 
 
 
Figura 7.3 Diagrama de blocos de uma malha de controle feedback. 
 
 
7.3 Dispositivos de medição e de atuação 
 
Entre a saída do processo e a entrada do controlador, pode haver diversos instrumentos 
associados com a medição básica da variável controlada e com a transmissão do sinal de 
medição ao painel de controle. Cada um desses instrumentos tem características dinâmicas ou 
de regime estacionário que podem influir na operação da malha de controle. 
 
O sensor é o instrumento utilizado para fazer a medição diretamente no processo, podendo ser 
um termopar, uma placa de orifício para vazão, um tubo Bourdon para pressão ou qualquer 
outro dispositivo. Em aplicações industriais, o sensor é, geralmente, combinado com um 
transmissor para proporcionar um sinal de saída padrão a fim de transmitir a medição à 
distância. Por isto, ao se considerar as características do sistema de medição, deve-se 
examinar a combinação sensor/transmissor. 
 
Esses elementos normalmente introduzem atrasos na malha de controle, os quais, em geral, 
são pequenos quando comparados com os tempos de resposta envolvidos no processo 
propriamente dito. Dessa forma, é comum desprezar a dinâmica de medição e de atuação, 
quando comparada com a dinâmica do processo. No entanto, desprezar a dinâmica de 
medição e de atuação quando o tempo de resposta dos mesmos não é desprezível perante o 
tempo de resposta do processo, pode levar a erros grandes. 
 
É comum modelar esses elementos por meio de um atraso de primeira ordem com os 
parâmetros experimentalmente medidos ou extraídos da literatura técnica correlata. 
 
 
7.3.1 Sensor e transmissor 
 
Dispositivos que convertem informações físicas ou químicas de uma forma em uma forma 
física diferente são denominados transdutores. A Figura 7.4 ilustra a configuração geral de um 
transdutor que consiste tipicamente em um elemento sensor combinado com um transmissor. 
 
185 
 
 
 
Figura 7.4 Transdutor de processo típico. 
 
Os sinais padronizados mais utilizados para transmissão são 
 
- transmissão pneumática: 3-15 psi 
 
- transmissão eletrônica: 4-20 mA 
 
Os transmissores geralmente são de ação direta, isto é, o sinal de saída cresce 
proporcionalmente à variável medida. Além disso, a maioria dos transmissores comerciais 
possui a faixa de entrada ajustável. 
 
O comportamento estático de sensores e transmissores lineares é descrito por seu ganho em 
regime estacionário 
 
oinstrument do entrada da Faixa
oinstrument do saida da FaixaK m = (7.1) 
 
A faixa de medição dos transdutores é caracterizada por dois parâmetros 
 
 - o zero da faixa: corresponde ao valor inicial da faixa de medição; 
 
- largura da faixa (span): corresponde à diferença entre o fundo e o zero da faixa de medição. 
 
Para um instrumento não-linear, o ganho em qualquer ponto de operação é a tangente à 
característica entrada/saída no ponto de operação. 
 
Supondo que um transmissor de temperatura esteja calibrado para medir de 50 a 150°C, tem-
se a seguinte correspondência: 
 
Entrada Saída 
50°C 4 mA 
150°C 20 mA 
 
Esse transdutor apresenta um limite inferior ou “zero” de 50°C e largura da faixa de 100°C. A 
relação entre o sinal da saída do transmissor e a entrada é dada por 
 
( ) mA 4faixa da zeroTK)mA(T mm +−= (7.2) 
 
( ) mA 4C05T
C50-C150
mA 4-mA 20)mA(Tm +°−





°°
= (7.3) 
 
186 
 
( ) mA 4CT
C
mA16,0)mA(Tm −°





°
= (7.4) 
 
em que T é a temperatura medida pelo sensor. Por exemplo, caso a temperatura fosse 
100T = °C, o sinal de saída seria 
 
( ) mA 12=mA 4C100
C
mA16,0)mA(Tm −°





°
= (7.5) 
 
Alguns sensores típicos usados para medir saídas de processos mais comuns são: 
 
 
Sensor de vazão 
 
Placa de orifício 
 
Os sensores de vazão têm dinâmica muito rápida e eles são, normalmente, modelados por 
equações algébricas simples 
 
p=vazão ∆α (7.6) 
 
onde α é uma constante determinada pelas características de construção e p∆ é a variação de 
pressão na placa. 
 
 
Sensor de Pressão 
 
Tais sensores são empregados para medir a pressão de um processo ou a diferença de pressão 
que será utilizada para calcular o nível de líquido ou vazão. 
 
Os dispositivos que usam diafragmas são modelados por equações diferenciais de segunda 
ordem (balanço de força). 
 
pKz
dt
dz2
dt
zd
p2
2
2 ∆=+ζτ+τ (7.7) 
 
em que 
 
z Deslocamento do diafragma 
p∆ Diferença de pressão 
τ , ζ e pK Três parâmetros do sistema de segunda ordem definidos pelas características de 
construção do dispositivo. 
 
 
 
 
187 
 
Sensor de temperatura 
 
Os mais comuns são os termopares. 
 
(a) Quando existe apenas a resistência à transferência de calor no filme externo 
 
São modelados por um sistema de primeira ordem: 
 
TT
dt
dT
m
m
m =+τ (7.8) 
 
ou em função de transferência 
 
1s
1
)s(T
)s(T
m
m
+τ
= (7.9) 
 
(b) Quando há resistência à transferência de calor nos filmes interno e externo 
 
A leitura do termopar exibe comportamento de segunda ordem: 
 
TT
dt
dT2
dt
Td
m
m
2
m
2
2
=+ζτ+τ (7.10) 
 
ou em função de transferência 
 
1s2s
1
)s(T
)s(T
22
m
+ζτ+τ= (7.11) 
 
 
7.4 Modelos das válvulas de controle e curvas 
características 
 
Toda malha de controle contém um elemento final de controle, dispositivo que permite a 
manipulação de uma variável de processo. Os elementos finais de controle usualmente 
ajustam vazão de materiais e, indiretamente, as taxas de transferência de energia para o 
processo. 
 
Na maioria dos processos industriais, o elemento final de controle mais comum para 
manipular a vazão de fluido é a válvula de controle. Esta, tipicamente, utiliza algum tipo de 
acionamento mecânico para mover o obturador da válvula em sua sede, abrindo ou fechando a 
área de passagem do fluido. O acionador mecânico pode ser um motor de corrente contínua, 
um motor de passo, um atuador eletro-hidráulico ou ainda um atuador pneumático constituído 
por um diafragma operado pneumaticamente, e que move a haste da válvulacontra a força 
oposta de uma mola fixa. 
 
Apesar do crescente uso de válvulas motorizadas, a maioria das aplicações de controle de 
processos utiliza válvulas de controle pneumáticas, em que o sinal de entrada é uma pressão 
188 
 
de ar, e a válvula abre e fecha à medida que varia a pressão de ar sobre o diafragma associado 
a uma mola. A Figura 7.5a mostra o esquema de uma válvula de controle que contém um 
dispositivo pneumático (motor da válvula) que move a haste da válvula à medida que varia a 
pressão sobre um diafragma associado a uma mola. A haste posiciona um tampão num 
orifício existente no corpo da válvula. Conforme a pressão aumenta, o tampão se move para 
baixo, limitando o fluxo através da válvula. Esta ação é chamada de ar para fechar. Os 
motores das válvulas são, muitas vezes, construídos de modo a apresentar a posição 
proporcional à pressão no topo da válvula. A maioria das válvulas comerciais varia de uma 
posição totalmente aberta a totalmente fechada, à medida que a pressão vai de 3 a 15 psig. 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 7.5 Válvulas pneumáticas: (a) ar para fechar; (b) ar para abrir. 
 
A válvula de controle pneumática é um sistema que exibe dinâmica de segunda ordem 
(balanço de forças), mas a resposta a variações na pressão do ar, para a maioria das válvulas 
de tamanho pequeno e médio, é tão rápida que sua dinâmica pode ser desprezada. Nestes 
casos, somente um termo constante (ganho) relaciona a saída do controlador com a vazão 
através da válvula. 
 
Visto que é muito comum ter controladores eletrônicos analógicos ou digitais controlando 
válvulas pneumáticas, pode ser necessário introduzir na malha um conversor I/P, que converte 
corrente em pressão, tipicamente 4-20 mA em 3-15 psi, e normalmente é assumido com 
característica linear e dinâmica desprezível (resposta muito rápida), resultando em uma 
função de transferência que meramente consiste em um ganho estacionário IPK . 
 
mA
psi
 75.0
mA 16
psi 12
mA 4 -mA 20
psi 3 - psi 15K IP === (7.12) 
 
Há vários aspectos que devem ser considerados em válvulas de controle: ação, características 
e tamanho. 
 
 
7.4.1 Ação 
 
As válvulas são projetadas de modo que, em casos de emergência, fiquem completamente 
abertas ou fechadas. O tipo de ação depende do efeito da variável manipulada sobre a 
segurança do processo. Por exemplo, se a válvula manuseia vapor ou combustível, 
gostaríamos que o fluxo fosse interrompido numa emergência (válvula fechada). Se a válvula 
manuseia água de refrigeração de um reator, gostaríamos que a vazão fosse para um máximo 
189 
 
numa emergência (válvula aberta). A Figura 7.5 mostra os dois tipos de ação. A válvula ar 
para fechar é quando, aumentando-se a pressão do ar, fecha-se mais a válvula. Se o sinal do ar 
comprimido cair para zero por causa de alguma falha (por exemplo, interrupção da linha do 
suprimento de ar de instrumentação), essa válvula ficará aberta, uma vez que a mola 
empurrará o diafragma para cima abrindo a válvula. A válvula pode ser ar para abrir 
invertendo-se a ação do obturador. Aumentando-se a pressão do ar, abre-se mais a válvula. 
Portanto, a escolha do tipo de válvula a ser usada é baseada em considerações de segurança. 
 
A ação do controlador deve ser escolhida corretamente em função do processo, para que 
funcione corretamente. A escolha errada pode provocar uma instabilidade no sistema, e o 
controlador não conseguirá operar em automático. 
 
 
7.4.2 Tamanho 
 
A vazão através de uma válvula depende do tamanho da válvula, queda de pressão na válvula, 
da posição da haste e das propriedades do fluido. A equação de projeto para líquidos 
nonflashing é: 
 
gr sp
p)x(fCF v
∆
= (7.13) 
 
em que 
 
F Vazão 
vC Coeficiente da válvula 
x Posição da haste (fração de abertura) 
)x(f Fração da área de escoamento da válvula (a curva de )x(f versus x é chamada de 
curva característica inerente da válvula) 
gr sp Peso específico (relativo à água) 
p∆ Queda de pressão na válvula 
 
A característica inerente da válvula, )x(f , depende da forma geométrica do obturador e da 
sede da válvula. 
 
 
7.4.3 Características 
 
Em geral, a vazão do fluido através da válvula depende das pressões a montante e a jusante, 
bem como do tamanho da abertura no interior da válvula. Quando o obturador e a sede (ou 
orifício) são torneados, podem-se obter várias relações entre a posição da haste e o tamanho 
da abertura (e, portanto, da vazão). Mudando o formato do obturador e da sede da válvula, 
diferentes relações entre a posição da haste e a área de escoamento são conseguidas. A 
característica inerente é dada pelo gráfico da vazão através da válvula versus a posição da 
haste, para uma queda de pressão fixa, isto é, para pressões constantes a montante e a jusante 
através da válvula. A queda de pressão é a força propulsora do escoamento e, por isto, tem um 
efeito determinante nas características de vazão do processo. Nos casos em que a queda de 
190 
 
pressão através da válvula é constante durante a operação, a característica inerente determina 
realmente a variação da vazão com a posição da haste. 
 
As características inerentes de vazão mais utilizadas são: 
 
Linear: x)x(f = (7.14) 
 
Nesse caso, o fluxo no regime estabelecido (para pressões constantes a montante e a jusante) é 
proporcional à pressão pneumática no topo da válvula. Uma válvula com esta relação é 
chamada linear. 
 
Quadrática ou abertura rápida: x)x(f = (7.15) 
 
Igual porcentagem: 1xR)x(f −= (7.16) 
 
A válvula igual porcentagem recebe esse nome porque a inclinação da curva )x(f contra x , 
dxdf , é uma fração constante de f , conduzindo a uma mudança de igual porcentagem na 
vazão para uma mudança específica em x em qualquer ponto de operação da válvula. 
 
Hiperbólica: ( )x1RR
1)x(f
−−
= (7.17) 
 
em que R corresponde à “rangeabilidade” da válvula (valores típicos para R : de 20 a 50). A 
rangeabilidade de uma válvula de controle significa a relação entre a máxima e a mínima 
vazão que a válvula consegue controlar. 
 
A Figura 7.6 mostra a curva característica de cada tipo de válvula. Foi usado o valor 35R = 
para as válvulas igual porcentagem e hiperbólica. 
 
191 
 
 
 
Figura 7.6 Curvas características de válvulas de controle. 
 
Observação 
 
Uma válvula com característica linear aparentemente seria a mais desejável; no entanto, o 
objetivo do projetista é obter uma característica instalada de vazão que seja tão linear quanto 
possível, isto é, ter a vazão através da válvula e do processo variando linearmente com x . 
Visto que p∆ varia quadraticamente com a vazão, uma válvula não linear freqüentemente 
produzirá uma relação de vazão mais linear após a instalação que uma válvula com 
característica linear. Em particular, a válvula de igual porcentagem é projetada para 
compensar, pelo menos aparentemente, as mudanças em p∆ com a vazão. 
 
 
7.4.4 Função de transferência de válvulas de controle 
 
A válvula de controle pneumática é um sistema que exibe dinâmica de segunda ordem 
(balanço de força), o que significa que o movimento da haste não responde instantaneamente 
a uma variação da pressão aplicada a partir do controlador. 
 
De experiências realizadas com válvulas pneumáticas, verificou-se que a relação entre a vazão 
e a pressão no topo de uma válvula linear pode ser quase sempre apresentada por uma função 
de transferência de primeira ordem, assim, 
 
1s
K
)s(p
)s(F
v
v
+τ
= (7.18) 
 
192 
 
em que vK é o ganho em regime estabelecido, isto é, a constante de proporcionalidade entre a 
vazão em regime estabelecido e a pressão no topo daválvula, e vτ é a constante de tempo da 
válvula. 
 
Para a maioria das válvulas de tamanho pequeno e médio, a resposta a variações é tão rápida 
que sua dinâmica pode ser desprezada quando a constante de tempo da válvula é muito 
pequena em comparação com as constantes de tempo de outros componentes do sistema de 
controle, de modo que a função de transferência pode ser representada aproximadamente por 
uma constante (ganho) que relaciona a saída do controlador com a vazão através da válvula. 
 
vK)s(p
)s(F
= (7.19) 
 
Nessas condições, diz-se que a válvula contribui com um retardo dinâmico desprezível. 
 
Luyben (1990) oferece uma descrição de válvulas de controle e também orientação na seleção 
de válvulas para diferentes situações. 
 
 
7.5 Controladores PID e representação em função de 
transferência 
 
Nesta seção é apresentada uma descrição sobre controladores PID (Proporcional-Integral-
Derivativo) e os fundamentos matemáticos envolvidos na teoria desses controladores. O 
controlador PID é, certamente, o algoritmo de controle por realimentação mais utilizado na 
indústria. Estima-se que o controlador PI atende de 70 a 90% das aplicações em uma 
indústria. 
 
O controlador recebe o sinal )t(ym e o compara ao setpoint spy para produzir o sinal de 
atuação )t(c de maneira que a saída retorne ao valor desejado spy . Portanto, a entrada ao 
controlador é o erro )t(yy)t( msp −=ε , enquanto que sua saída é )t(c . O algoritmo PID usa o 
erro em três modos distintos para produzir o sinal de saída 
 
P Proporcional 
I Integral 
D Derivativo 
 
Apesar de ter a disponibilidade das ações desses três modos, em muitas aplicações não se faz 
necessária a utilização de um ou mais desses modos. Assim, é bastante comum encontrar os 
seguintes tipos de controladores: 
 
- Controlador Proporcional (P) 
 
- Controlador Proporcional-Integral (PI) 
 
- Controlador Proporcional-Derivativo (PD) 
 
193 
 
- Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID) 
 
 
7.5.1 Controlador proporcional (controlador P) 
 
A saída é proporcional ao erro e pode ser expressa por 
 
sc c)t(K=)t(c +ε (7.20) 
 
A equação 7.20 mostra que a saída do controlador é proporcional ao erro entre o setpoint e a 
variável controlada. A proporcionalidade é dada pelo ganho proporcional do controlador, cK . 
Esse ganho, ou sensitividade do controlador, determina o quanto a saída do controlador varia 
para determinada variação no erro. 
 
Para controladores de propósitos gerais, cK é adimensional. Esta situação ocorrerá se c e ε 
tiverem as mesmas unidades. Alguns controladores, especialmente os modelos antigos, têm 
uma banda proporcional ajustado no lugar de um ganho do controlador. A banda proporcional 
PB (em %) é definida como 
 
cK
100PB = (7.21) 
 
Essa definição se aplica somente se cK for adimensional. Note que uma banda proporcional 
pequena (estreita) corresponde a um ganho de controlador grande, enquanto um PB grande 
(larga) implica um valor pequeno de cK . Usualmente, 500PB1 ≤≤ (Stephanopoulos, 1984). 
 
Definindo-se o desvio do sinal de atuação )t(c como 
 
sc)t(c)t(c −= (7.22) 
 
Assim, a equação 7.20 fica 
 
)t(K=)t(c c ε (7.23) 
 
A transformada da equação 7.23 fornece a função de transferência do controlador P: 
 
cc K)s(G = (7.24) 
 
A Figura 7.7 mostra a ação do controlador proporcional. Como pode ser observado na figura, 
o controle proporcional tem ação instantânea e possui a mesma dinâmica que o erro, sendo 
que a magnitude da sua ação é diretamente proporcional ao erro pelo fator cK . Dessa forma, 
se o erro não variar, isto é, permanecer constante, a saída do controlador P também não irá 
variar. Portanto, esses controladores permitem um erro em regime permanente (também 
conhecido como offset), ou seja, eles podem encontrar um ponto de equilíbrio onde existe um 
desvio entre o set point e a variável controlada. 
 
194 
 
A grande desvantagem desse tipo de controle é que sempre há um erro residual quando o 
sistema sofre uma perturbação, isto é, existe um offset em relação ao setpoint. Este fato 
acontece, como pode ser observado na equação 7.23, devido à impossibilidade de se ter um 
sinal de erro atuante nulo ( 0=ε ) para um sinal de controle não nulo ( 0c ≠ ). 
 
 
 
Figura 7.7 Resposta do controlador P a uma variação degrau no erro. 
 
 
Ação direta ou reversa 
 
O ganho do controlador pode ser adotado positivo ou negativo. Quando 0K c > , a saída do 
controlador )t(c aumenta quando o sinal de entrada )t(ym diminui. Esse é um controlador de 
ação reversa. Quando 0K c < , o controlador é dito ser de ação direta, uma vez que a saída do 
controlador aumenta com o aumento da entrada. Note que essas definições são baseadas no 
sinal de entrada )t(ym , em vez de no sinal erro )t(ε . O sinal correto depende da ação do 
transdutor (normalmente é direto), da ação da válvula (ar-para-abrir ou ar-para-fechar) e do 
efeito da variável manipulada sobre a variável controlada. 
 
 
7.5.2 Controlador proporcional-integral (controlador PI) 
 
O sinal de atuação relacionando ao erro é dado pela equação 
 
s
I
c
c cdt)t(
K)t(K=)t(c ∫ +ετ+ε (7.25) 
 
Iτ é a constante de tempo integral. A ação integral é aplicada com base na integral do erro no 
tempo. 
 
195 
 
Tanto cK como Iτ são ajustáveis. Usualmente, min 501,0 I ≤τ≤ (Stephanopoulos, 1984). 
Alguns fabricantes preferem usar o termo taxa de reajuste (reset time), que é definida como o 
inverso de Iτ ( I1 τ ). A função de transferência do controlador PI é dada por 
 






τ
+=
s
11K)s(G
I
cc (7.26) 
 
 
7.5.3 Controlador proporcional-integral-derivativo (controlador 
PID) 
 
Às vezes, um outro modo de controle é adicionado ao controlador PI. O novo modo de 
controle é a ação derivativa. A saída do controlador é dada por 
 
sDc
I
c
c cdt
dKdt)t(K)t(K=)t(c +ετ+ε
τ
+ε ∫ (7.27) 
 
onde Dτ é o tempo derivativo, tempo pelo qual a ação derivativa antecede a ação 
proporcional. A função de transferência do controlador PID é dada por 
 






τ+
τ
+= s
s
11K)s(G D
I
cc (7.28) 
 
 
7.6 Observações 
 
O problema da escolha dos modos a serem usados numa aplicação específica não tem, em 
geral, uma solução definitiva. O ideal é escolher o controlador mais simples que produzirá um 
controle adequado. A seguir, são fornecidas algumas informações úteis que podem auxiliar na 
seleção dos modos de controle. 
 
a) O controle P tem a vantagem de sintonizar apenas um parâmetro, cK . Entretanto, ele 
apresenta uma grande desvantagem, a de operar a variável controlada com erro estacionário 
(offset). 
 
b) Para entender o significado físico do tempo integral, Iτ , considere o exemplo hipotético da 
resposta do controlador PI a uma variação degrau unitário no erro, como mostra a Figura 7.8. 
 
196 
 
 
 
Figura 7.8 Resposta do controlador PI a uma variação degrau no erro. 
 
Iτ é o tempo que o controlador leva para repetir a ação proporcional. Quanto menor o valor 
de Iτ , mais acentuada a inclinação da curva resposta, isso significa que a resposta do 
controlador se torna mais rápida. Uma outra forma de explicar isso é olhar a equação 7.27. 
Quanto menor o valor de Iτ , maior o termo na frente do integral, IcK τ , e, 
conseqüentemente, maior o peso dado à ação de integração. 
 
c) Para entender o significado físico do tempo derivativo, Dτ , considere o exemplo hipotético 
da resposta do controlador PD a uma variação rampa no erro, como mostra a Figura 7.9. 
Assim, 
 
At)t( =ε(7.29) 
 
A
dt
d
=
ε
 (7.30) 
 
 
 
Figura 7.9 Resposta do controlador PD a uma variação rampa no erro. 
 
A saída do controlador é dada por 
 
197 
 
sDcc cdt
dK)t(K=)t(c +ετ+ε (7.31) 
 
e substituindo as equações 7.29 e 7.30 na equação 7.31 dá 
 
sDcc cAKtKA=)t(c +τ+ (7.32) 
 
Portanto, o efeito da ação derivativa é antecipar a variação linear no erro adicionando DcAK τ 
à saída da ação proporcional, como mostrado na Figura 7.8. 
 
d) O propósito de adicionar a ação derivativa ao controle PI é antecipar para onde está indo o 
processo observando a taxa de variação no erro, ou seja, sua derivada, e aplicar uma ação de 
controle proporcional à taxa corrente da variação no erro. Essa adição da ação derivativa à 
ação PI promove melhora sensível na resposta. A característica da ação derivativa de agir 
sobre a derivada do erro torna inapropriado o uso em sinais com ruídos (exemplo de sinais de 
nível e de vazão). Por outro lado, é muito usada em variáveis lentas como temperatura e 
composição, já que antecipa a saída do controlador. 
 
e) As funções de transferências que contêm a ação derivativa são funções de transferências 
ideais uma vez que elas são fisicamente irrealizáveis. Os controladores comerciais 
normalmente aproximam o comportamento do controlador PID ideal (equação 7.28) usando 
uma função de transferência da forma 
 






+ατ
+τ






τ
+τ
=
1s
1s
s
1sK)s(G
D
D
I
I
cc (7.33) 
 
em que α é um número pequeno, tipicamente entre 0,05 e 0,2. 
 
f) Uma desvantagem da ação integral é o fenômeno conhecido como reset windup (“sobe ao 
vento”). Lembrando que a ação integral varia a saída do controlador enquanto 0)t( ≠ε . 
Portanto, se um erro sustentado persistir, o termo integral se tornará grande e, eventualmente, 
a saída do controlador saturará. O crescimento do termo integral quando o controlador já está 
saturado é referido como reset windup. Este ocorre quando um controlador PI ou PID 
encontra um erro sustentado. Nessa situação, uma limitação física (válvula de controle 
completamente aberta ou fechada) não deixará o controlador reduzir o erro a zero. 
Obviamente, é indesejável ter um termo integral que continue a crescer após a saída do 
controlador ter saturado, pois o controlador já está fazendo de tudo para reduzir o erro. 
Felizmente, encontra-se disponível nos controladores comerciais o antireset windup, que 
cessa temporariamente a ação de controle integral sempre que a saída do controlador saturar. 
A ação de controle integral prossegue quando a saída não está saturada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
198 
 
Exercícios 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
7.1 Em uma instalação industrial, temos o seguinte esquema de bombeamento de água na 
temperatura ambiente: 
 
 
 
Nas condições nominais de operação, temos: 
 
3
1 10013,1P ×= kPa 
2
2 10091,7P ×= kPa 
2
3 10039,3P ×= kPa 
45F = m3/h 
 
A válvula de controle tem 50C max,v = e a perda de pressão após a válvula deve-se ao atrito na 
tubulação, ou seja, 2t32 FkPP =− . A equação que caracteriza a válvula é 
 
P
F56,11C fv ∆
σ
= 
 
( )x15,3
mx,vv eCC
−−
= 
 
 
em que: 
 
F vazão (m3/h) 
12 PPP −=∆ kPa 
fσ densidade relativa à água 
x abertura da válvula (válvula de igual porcentagem) 
 
Assim, pede-se: 
 
199 
 
a) Qual a abertura da válvula para 45F = m3/h, 30F = m3/h e 55F = m3/h. 
b) Repetir o cálculo no caso de se usar uma válvula com característica linear. 
 
7.2 Na malha de controle da temperatura de saída de um aquecedor, temos o seguinte 
esquema: 
 
 
 
O sensor de temperatura opera na faixa de 50 a 100°C e tem ganho 3,0K m = mA/°C. O 
controlador é proporcional com 200PB = % (ou 5,0K c = ). O conversor IP tem ganho 0,75 
psi/mA. A válvula tem ganho 2 m3/h/psi e o ganho do processo é 3 °C/m3/h. Considerando 
que no estado estacionário inicial 75T = °C, 12Tm = mA, 75Tsp = °C, 0=ε , 12c = mA, 
9c =′ psi e 8F = m3/h, determinar os valores dos mesmos sinais no novo estado estacionário 
correspondente a 80Tsp = °C. 
 
7.3 No Exercício 7.2, quais seriam os valores dos sinais ao longo da malha se o controlador 
fosse PI? 
 
7.4 Em um tambor flash temos um conjunto de malhas de controle conforme esquematizado a 
seguir: 
 
 
 
Definir para cada uma das válvulas se ela deve ser ar-abre ou ar-fecha. 
 
200 
 
7.5 Uma das formas de se evitar variações bruscas no sinal que vai para a válvula quando de 
variações no set point é fazer o modo derivativo agir apenas sobre o feedback e não sobre o 
erro. 
 






τ+ε
τ
+ε= ∫ dt
)t(dydt)t(1)t(K)t(u D
t
0
I
c 
 
Mostre como ficaria a representação desse controlador em funções de transferência na malha 
de controle. 
 
201 
 
 
8 Representação da malha de controle em 
diagramas de blocos: Caracterização das 
perturbações. Operação servo e reguladora. 
 
 
 
8.1 Diagrama de blocos e resposta da malha fechada 
 
O desempenho de um sistema de controle pode ser julgado pela resposta transiente da saída a 
uma variação específica na entrada. A variação na entrada pode ser uma variação no setpoint 
ou um distúrbio no processo. Embora o termo resposta transiente significa a resposta de um 
sistema de controle a qualquer tipo de entrada, usualmente refere-se a uma variação degrau no 
setpoint ou no distúrbio. A variação degrau é usada mais por conveniência; as soluções a essa 
entrada são mais fáceis de obter do que para qualquer outro tipo de perturbação. A variação 
degrau também é o tipo mais severo de perturbação, e a resposta ao degrau mostra o erro 
máximo que ocorreria para um eventual variação no distúrbio. Se vários sistemas de controle 
ou ajustes de controlador são comparados, o sistema com a melhor resposta a variação degrau 
em um determinado distúrbio geralmente terá a melhor resposta a flutuações randômicas 
nesse distúrbio. 
 
A Figura 8.1 mostra o diagrama de blocos de uma malha de controle. Ele é constituído 
basicamente de blocos correspondentes ao processo, controlador, elemento final de controle e 
medidor. Com relação ao processo, é dividido em dois blocos. Um bloco é relativo ao efeito 
da entrada do processo sobre a saída do processo, e o outro da carga sobre a saída do 
processo. 
 
 
 
Figura 8.1 Diagrama de blocos de uma malha de controle. 
 
202 
 
A série de blocos entre o comparador e a variável controlada, constituída por cG , fG e pG , é 
chamada de caminho direto (forward path), enquanto que o bloco mG entre a variável 
controlada e o comparador é chamado de linha de realimentação (feedback path). Da Figura 
8.1, podemos escrever as seguintes relações: 
 
Processo: )s(d)s(G)s(u)s(G)s(y dp += (8.1) 
 
Medidor: )s(y)s(G)s(y mm = (8.2) 
 
Controlador: )s(y)s(y)s( msp −=ε comparador (8.3) 
 
 )s()s(G)s(c c ε= ação de controle (8.4) 
 
Elemento final de controle: )s(c)s(G)s(u f= (8.5) 
 
Vamos desenvolver agora as relações em malha fechada. Combinando (8.5) e (8.4), temos: 
 
)s()s(G)s(G)s(u cf ε= (8.6) 
 [ ])s(y)s(y)s(G)s(G)s(u mspcf −= (8.7) 
 
Substituindo (8.8) em (8.1), temos: 
 [ ] )s(d)s(G)s(y)s(G)s(y)s(G)s(G)s(G)s(y dmspcfp +−= (8.8) 
 
)s(d)s(G)s(y)s(G)s(G)s(G)s(G)s(y)s(G)s(G)s(G)s(y dmcfpspcfp +−= (8.9) 
 
)s(d)s(G)s(y)s(G)s(G)s(G)s(y)s(G)s(G)s(G)s(G)s(y dspcfpmcfp +=+ (8.10) 
 [ ] )s(d)s(G)s(y)s(G)s(G)s(G)s(y)s(G)s(G)s(G)s(G1 dspcfpmcfp +=+ (8.11) 
 
)s(d)s(G)s(G)s(G)s(G1
)s(G)s(y)s(G)s(G)s(G)s(G1
)s(G)s(G)s(G)s(y
mcfp
d
sp
mcfp
cfp
+
+
+
=(8.12) 
 
A equação 8.12 fornece a resposta do processo com a malha fechada. Note que ela é composta 
de duas partes. A primeira mostra o efeito da mudança do setpoint, spy , sobre a saída, 
enquanto a segunda constitui o efeito do distúrbio, d , sobre a saída. 
 
 
8.2 Funções de transferência em malha fechada 
 
Podemos distinguir duas funções de transferência na equação 8.15, que são: 
 
Função de transferência em malha fechada para variação no setpoint 
203 
 
 
)s(G)s(G)s(G)s(G1
)s(G)s(G)s(G)s(G
mcfp
cfp
sp +
= (8.15) 
 
Função de transferência em malha fechada para variação no distúrbio 
 
)s(G)s(G)s(G)s(G1
)s(G)s(G
mcfp
d
load +
= (8.16) 
 
O objetivo de um sistema de controle é fazer com que a saída y comporte de maneira 
desejada manipulando a entrada do processo u . Podemos distinguir dois tipos de problema de 
controle: o problema servo e o regulador. 
 
Problema servo: 0)s(d = . O controlador atua de maneira a fazer a saída do processo y 
seguir a trajetória de referência spy . 
 
)s(y)s(G)s(y spsp= (8.17) 
 
Problema regulador: 0)s(ysp = . O controlador procura eliminar o impacto da variação no 
distúrbio e obter a entrada de controle u para manter y no setpoint. 
 
)s(d)s(G)s(y load= (8.18) 
 
Em ambos os casos, queremos que o erro ε seja pequeno. 
 
 
Exemplo 8.1 Diagrama de blocos da malha de controle do nível de 
líquido em um tanque. 
 
Considere a malha fechada do controle de nível da Figura 8.2. 
 
 
Figura 8.2 Malha fechada do controle de nível. 
 
A célula de pressão diferencial (DPC, differential pressure cell) é um medidor de nível em 
que a medição é feita de forma indireta, ou seja, mede uma pressão diferencial e, 
consequentemente, um nível. 
 
204 
 
Nessa malha de controle temos: 
 
iF Distúrbio 
oF Variável manipulada 
 
Iniciaremos a análise por um balanço de massa no tanque com as variáveis expressas como 
variáveis desvios. 
 
Como já vimos no Capítulo 2, para um líquido de massa específica constante, o balanço da 
massa de líquido no tanque fornece: 
 
oi FFdt
hdA −= (8.19) 
 
Aplicando a transformada de Laplace, temos 
 
)s(F)s(F)s(Ash oi −= (8.20) 
 
)s(F
As
1)s(F
As
1)s(h oi −= (8.21) 
 
Portanto, as duas funções de transferência do processo são: 
 
As
1G p −= (8.22) 
 
As
1G d = (8.23) 
 
No elemento de medida, a pressão exercida pelo líquido pode ser calculada por 
 
hp α=∆ constante=α (8.24) 
 
Assumindo que a equação para o elemento de medida seja modelado por uma equação 
diferencial de segunda ordem 
 
hKpKh
dt
hd2
dt
hd
ppm
m
2
m
2
2 α=∆=+ζτ+τ (8.25) 
 
A transformada desta equação fornece a função de transferência do elemento de medida 
 
)s(h
1s2s
K)s(h 22
p
m
+ζτ+τ
α
= (8.26) 
 
Para o controlador, vamos admitir que o controlador possua as ações proporcional e integral, 
ou seja 
 
205 
 
)s(
s
11K)s(c
I
c ε





τ
+= (8.27) 
 
)s(h)s(h)s( msp −=ε (8.28) 
 
Para a válvula de controle, vamos assumir que a resposta seja de um sistema de primeira 
ordem 
 
)s(c
1s
K)s(F
v
v
o +τ
= (8.29) 
 
Acabamos de completar a análise de cada componente do sistema de controle e de obter uma 
função de transferência para cada um. Essas funções de transferência podem ser agora 
combinadas de modo a permitir que o sistema possa ser representado pelo diagrama de blocos 
da Figura 8.3. 
 
 
Figura 8.3 Diagrama de blocos para o sistema de controle de nível. 
 
 
Exemplo 8.2 Diagrama de blocos da malha de controle da temperatura 
de um tanque de aquecimento. 
 
Consideremos a malha de controle da temperatura do tanque de aquecimento visto no 
Capítulo 3 e representada na Figura 8.4. Vamos supor que a vazão seja constante, isto é 
FFi = . 
 
206 
 
 
 
Figura 8.4 Malha fechada do controle da temperatura do tanque. 
 
Daí, temos 
 
iT Perturbação 
stF Entrada manipulada 
 
Assim, o modelo para o tanque é simplesmente o balanço de energia 
 
( )








ρ
∆
+−=
p
stst
ii C
HF
TTF
Ah
1
dt
dT
 (8.30) 
 
Aplicando a transformada de Laplace à equação 8.30, obtemos: 
 
)s(T
Ah
F)s(F
AhC
H)s(T
Ah
F)s(sT isst
p
sti +
ρ
∆
+−= (8.31) 
 
ou 
 
)s(T
1s
F
Ah
1)s(F
1s
F
Ah
CF
H
)s(T i
i
st
i
pi
st
+
+
+
ρ
∆
= (8.32) 
 
A equação mostra que o processo é de um sistema de primeira ordem com relação a ambas 
entradas. 
 
)s(T
1s
K)s(F
1s
K)s(T i
p
d
st
p
p
+τ
+
+τ
= (8.33) 
 
Para o sensor de temperatura (termopar), vamos assumir que a resposta do termopar seja 
muito rápida e, portanto, sua dinâmica possa ser desprezada. 
 
)s(TK)s(T mm = (8.33) 
207 
 
 
Para o controlador, vamos admitir que ele possua apenas a ação proporcional 
 
)t(K=)t(c cε (8.35) 
 
)s(T)s(T)s( msp −=ε (8.36) 
 
Para a válvula de controle, podemos assumir dinâmica de primeira ordem 
 
)s(c
1s
K)s(T
v
v
st +τ
= (8.37) 
 
Assim, acabamos de desenvolver os blocos separados. Se estes blocos forem combinados de 
acordo com a Figura 8.1, obtém-se o diagrama de blocos para o sistema de controle completo 
mostrado na Figura 8.5. 
 
 
 
Figura 8.5 Diagrama de blocos para o sistema de controle da temperatura do tanque. 
 
 
8.3 Sobre a malha de controle 
 
A equação 8.15 pode ser escrita como 
 
)s(d)s(G1
)s(G)s(y)s(G1
)s(G)s(G)s(G)s(y
OL
d
sp
OL
cfp
+
+
+
= (8.38) 
 
O produto 
 
)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G mcfpOL = (8.39) 
208 
 
 
é chamado de função de transferência da malha aberta, pois relaciona a variável medida my 
ao setpoint spy quando o laço de realimentação é desligado do comparador (laço de 
realimentação é aberto). 
 
Caso a variável medida não conduza a própria informação física ou química do processo, 
então temos que incluir o ganho mK da função de transferência do medidor e transmissor de 
acordo com a Figura 8.6. 
 
 
 
Figura 8.6 Diagrama de blocos de uma malha de controle feedback. 
 
Lembre-se de que o tipo de resposta transitória é determinado pelos pólos da malha fechada, 
ao passo que a forma de resposta transitória é determinada principalmente pelos zeros da 
malha fechada. 
 
 
8.4 Efeito do controle proporcional na resposta de um 
processo controlado 
 
Em malha fechada, tem-se 
 
)s(d)s(G)s(G)s(G)s(G1
)s(G)s(y)s(G)s(G)s(G)s(G1
)s(G)s(G)s(G)s(y
mcfp
d
sp
mcfp
cfp
+
+
+
= (8.40) 
 
Vamos assumir que 1)s(G)s(G fm == . Para o controlador proporcional, temos 
 
cc K)s(G = (8.41) 
 
Portanto, a função de transferência do processo em malha fechada é 
 
209 
 
)s(d
K)s(G1
)s(G)s(y
K)s(G1
K)s(G)s(y
cp
d
sp
cp
cp
+
+
+
= (8.42) 
 
 
8.4.1 Sistemas de primeira ordem 
 
Para processos de primeira ordem, temos 
 
)s(d
1s
K)s(u
1s
K)s(y
p
d
p
p
+τ
+
+τ
= (8.43) 
 
constante de tempo: pτ 
ganhos estacionários: pK para a manipulada 
 dK para a perturbação 
 
Da equação 8.43, podemos identificar as funções de transferênciado processo em malha 
aberta 
 
1s
K)s(G
p
p
p +τ
= 
1s
K)s(G
p
d
d +τ
= (8.44) 
 
Substituindo essas duas equações na equação 8.42, temos 
 
)s(d
KK1s
K)s(y
KK1s
KK)s(y
cpp
d
sp
cpp
cp
++τ
+
++τ
= (8.45) 
 
)s(d
1s
KK1
KK1
K
)s(y
1s
KK1
KK1
KK
)s(y
cp
p
cp
d
sp
cp
p
cp
cp
+
+
τ
+
+
+
+
τ
+
= (8.46) 
 
)s(d
1s
K)s(y
1s
K)s(y
p
d
sp
p
p
+τ′
′
+
+τ′
′
= (8.47) 
 
com 
 
cp
p
p KK1+
τ
=τ′ (8.48) 
 
cp
cp
p KK1
KK
K
+
=′ (8.49) 
 
210 
 
cp
d
d KK1
KK
+
=′ (8.50) 
 
pK′ e dK′ ganhos estáticos com a malha fechada 
 
A equação 8.47 que mostra o sistema em malha fechada apresenta os seguintes aspectos: 
 
1 - Permanece de primeira ordem em relação às variações na perturbação e no setpoint. 
2 - A constante de tempo diminui ( pp τ<τ′ ), o que significa que a resposta da malha fechada é 
mais rápida do que resposta da malha aberta, para variações na perturbação e no setpoint. 
3 - O ganho estático dK′ diminui ( dd KK <′ ) e 1K p <′ . 
 
 
8.4.1.1 Variação degrau no setpoint (servo) 
 
Considerando uma variação degrau unitário no setpoint 
 
s
1)s(y sp = (8.51) 
 
Substituindo essa função na equação 8.47 com 0)s(d = , tem-se 
 
s
1
1s
K)s(y
p
p
+τ′
′
= (8.52) 
 
A transformada inversa dessa equação é 
 ( )ptp e1K)t(y τ′−−′= (8.53) 
 
A Figura 8.7 mostra a resposta a malha fechada de sistemas de primeira ordem com controle P 
a uma variação degrau no setpoint. 
 
211 
 
 
Figura 8.7 Resposta a malha fechada de sistemas de primeira ordem com controle P a uma 
variação degrau no setpoint. 
 
Para ∞→t , a resposta final nunca atingirá o novo setpoint desejado que é igual a 1, mas 
tende a pK′ como pode ser constatado pela equação 8.53. A diferença entre o novo setpoint e 
o valor final da resposta é chamada de erro em regime permanente (offset). 
 
resposta) da final(valor -setpoint) (novo=offset (8.54) 
 
cpcp
cp
p KK1
1
KK1
KK
1K1offset
+
=
+
−=′−= (8.55) 
 
Offset é característico de controle proporcional, e offset 0→ com ∞→cK . 
 
A Figura 8.8 mostra a resposta da malha fechada de sistemas de primeira ordem com controle 
P a uma variação degrau no setpoint para diferentes valores do ganho proporcional. 
 
212 
 
 
Figura 8.8 Efeito do ganho sobre a resposta a malha fechada de sistemas de primeira ordem 
com controle P a uma variação degrau no setpoint. 
 
 
8.4.1.2 Variação degrau na perturbação (regulador) 
 
Considerando uma variação degrau unitário na perturbação 
 
s
1)s(d = (8.56) 
 
Substituindo essa variável na equação 8.47 com 0)s(y sp = , tem-se 
 
s
1
1s
K)s(y
p
d
+τ′
′
= (8.57) 
 
A transformada inversa dessa equação é 
 ( )ptd e1K)t(y τ′−−′= (8.58) 
 
A Figura 8.9 mostra a resposta a malha fechada de sistemas de primeira ordem com controle P 
a uma variação degrau na perturbação. 
 
213 
 
 
Figura 8.9 Resposta à malha fechada de sistemas de primeira ordem com controle P a uma 
variação degrau na carga. 
 
O controlador não consegue manter a resposta no setpoint desejado. Neste caso, tem-se 
também erro em regime permanente. 
 
resposta) da final(valor -(setpoint)=offset (8.59) 
 
cp
d
cp
d
d KK1
K
KK1
K0K0offset
+
−=
+
−=′−= (8.60) 
 
Vemos que offset 0→ com ∞→cK . 
 
 
Observação 
 
Embora o offset tenda a zero, fazendo ∞→cK , nunca se deve usar valores muito altos de 
cK em controle proporcional, porque um processo nunca é exatamente um sistema de 
primeira ordem, e a presença de dinâmicas de ordem superior pode levar a malha à 
instabilidade. 
 
 
8.4.2 Sistemas de segunda ordem 
 
Consideremos os processos de segunda ordem, com função de transferência 
 
214 
 
1s2s
K
)s(u
)s(y)s(G 22
p
p
+ζτ+τ== (8.61) 
 
 
8.4.2.1 Problema servo 
 
Para este caso, 0)s(d = , e da equação 8.15, podemos escrever 
 
)s(y
1s2s)(
K)s(y sp22
p
+τ′ζ′+τ′
′
= (8.62) 
 
em que 
cpKK1+
τ
=τ′ (8.63) 
cpKK1+
ζ
=ζ′ (8.64) 
cp
cp
p KK1
KK
K
+
=′ (8.65) 
 
A equação 8.62 mostra que o sistema em malha fechada apresenta os seguintes aspectos: 
 
- Permanece de segunda ordem. 
 
- O ganho estático diminui, pois τ<τ′ . 
 
- O período natural τ′ e o fator de amortecimento ζ′ diminuem. Isso implica que um 
processo sobreamortecido ( 1>ζ ) com controle proporcional e valores apropriados de cK 
pode se tornar subamortecido ( 1<ζ′ ) e oscilatório. 
 
Vamos considerar agora uma variação degrau unitário no setpoint. Ou seja, 
 
s
1)s(y sp = (8.66) 
e a resposta em malha fechada é dada por 
 
s
1
1s2s)(
K)s(y 22
p
+τ′ζ′+τ′
′
= (8.67) 
 
Onde dependendo dos parâmetros do modelo e o ganho do controlador, a resposta pode ser: 
 
1 - Sobreamortecida com 1>ζ′ . 
2 - Criticamente amortecida com 1=ζ′ . 
3 - Subamortecida com 1<ζ′ . 
 
215 
 
O valor final de )(y ∞ pode ser calculado pelo teorema do valor final 
 
[ ]
cp
cp
p0s KK1
KK
K)s(yslim)t(y
+
=′==∞→
→
 (8.68) 
 
Portanto, o offset é dado por 
 
resposta) da final(valor -setpoint) (novo=offset (8.69) 
 
cpcp
cp
p KK1
1
KK1
KK
1K1offset
+
=
+
−=′−= (8.70) 
 
Assim offset 0→ quando ∞→cK (8.71) 
 
 
Observações 
 
- O fator de amortecimento pode ser: 1>ζ′ , 1=ζ′ 1<ζ′ . 
- Se a resposta da malha fechada for sobreamortecida e lenta, então aumentando-se cK a 
resposta da malha fechada reage mais rapidamente, mas pode tornar-se oscilatória. 
 
A Figura 8.10 mostra a resposta a malha fechada de sistemas de segunda ordem com controle 
P a uma variação degrau no setpoint para diferentes valores do ganho proporcional. 
 
 
Figura 8.10 Efeito do ganho sobre a resposta à malha fechada de sistemas de segunda ordem 
com controle P a uma variação degrau no setpoint. 
 
216 
 
 
8.5 Efeito da ação de controle integral 
 
8.5.1 Sistemas de primeira ordem (problema servo) 
 
Neste caso, 0)s(d = , e vamos assumir que 1)s(G)s(G fm == . 
 
Para processos de primeira ordem, com a função de transferência 
 
1s
K)s(G
p
p
p +τ
= (8.72) 
e modo integral dado por 
 
s
1K)s(G
I
cc
τ
= (8.73) 
 
Então, substituindo essas duas funções na função de transferência em malha fechada para 
variação no setpoint (equação 8.15), tem-se 
 
)s(y
s
1K
1s
K
1
s
1K
1s
K
)s(y sp
I
c
p
p
I
c
p
p






τ







+τ
+






τ







+τ
= (8.74) 
 
Simplificando a equação, chega-se em 
 
)s(y
1s2s
1)s(y sp22 +ζτ+τ= (8.75) 
 
em que 
 
cp
pI
KK
ττ
=τ (8.76) 
 
cpp
I
KK2
1
τ
τ
=ζ (8.77) 
 
A equação 8.75 mostra que o sistema em malha fechada apresenta os seguintes aspectos: 
 
- Aumenta a ordem dinâmica da resposta da malha fechada. 
 
- A ação decontrole integral isolada faz com que a resposta da malha fechada possa ficar mais 
lenta (aumentando a ordem do sistema, sua resposta torna-se mais lenta). 
 
217 
 
- A ação de controle integral elimina qualquer offset. Para 
 
s
1)s(y sp = (8.78) 
 
e substituindo na equação 8.15, temos 
 
s
1
1s2s
1)s(y 22 +ζτ+τ= (8.79) 
 
O valor final de )(y ∞ pode ser calculado pelo teorema do valor final 
 
[ ] 1
1s2s
1lim)s(yslim)t(y 220s0s =




+ζτ+τ==∞→ →→ (8.80) 
 
Portanto, 
 
resposta) da final(valor -setpoint) (novo=offset (8.81) 
 
offset 0= − =1 1 (8.82) 
 
 
Observações 
 
1 - A forma da resposta a malha fechada depende de cK e Iτ . 
 
2 - Para um dado Iτ , aumentando-se cK , temos que ζ diminui. 
a) Em geral, a resposta move-se de superamortecida lenta a subamortecida mais rápida e 
oscilatória. 
b) O overshoot e a razão de declínio da resposta à malha fechada aumentam. 
 
Esse efeito de cK sobre a resposta a malha fechada pode ser visto na Figura 8.11. 
 
218 
 
 
Figura 8.11 Efeito do ganho sobre a resposta a malha fechada de sistemas de primeira ordem 
com controle integral a uma variação degrau no setpoint. 
 
3 - Diminuindo-se Iτ , diminui ζ . 
 
4 - Aumentando-se a ação de controle integral (aumentando cK e diminuindo Iτ ), a resposta 
à malha fechada torna-se mais sensível. 
 
 
8.5.2 Sistemas de primeira ordem (problema regulatório) 
 
Neste caso, 0)s(y sp = , e assumindo que 1)s(G)s(G fm == , e 
 
1s
K)s(G
p
p
p +τ
= 
1s
K)s(G
p
d
d +τ
= (8.83) 
 
Pelo procedimento usual, a função de transferência global para variações na perturbação pode 
ser escrita como 
 
)s(d
s
1K
1s
K
1
1s
K
)s(y
I
c
p
p
p
d






τ







+τ
+
+τ
= (8.84) 
ou 
219 
 
)s(d
1s2s
s
KK
K
)s(y 22
cp
Id
+ζτ+τ
τ
= (8.85) 
 
onde τ e ζ são dados pelas equações 8.76 e 8.77, respectivamente. 
 
Para um dado Iτ , o efeito de cK sobre a resposta a malha fechada pode ser visto na Figura 
8.12. As observações feitas para o caso servo, também são válidas neste caso. 
 
 
 
Figura 8.12 Efeito do ganho sobre a resposta à malha fechada de sistemas de segunda ordem 
com controle P a uma variação degrau na carga. 
 
 
8.6 Efeito da ação de controle derivativo 
 
Vamos assumir que 1)s(G)s(G fm == e o modo derivativo é dado por 
 
sK)s(G Dcc τ= (8.86) 
 
 
8.6.1 Efeito da ação de controle derivativo sobre a resposta de 
um sistema de primeira ordem 
 
Para processos de primeira ordem, com 
 
220 
 
1s
K)s(G
p
p
p +τ
= (8.87) 
 
Substituindo as equações (8.86) e (8.87) na função de transferência em malha fechada para 
variação no setpoint (equação 8.15), tem-se 
 
( )
( )
)s(y
sK
1s
K
1
sK
1s
K
)s(y sp
Dc
p
p
Dc
p
p
τ








+τ
+
τ








+τ
= (8.88) 
 
( ) )s(y1sKK
sKK)s(y sp
Dcpp
Dcp
+τ+τ
τ
= (8.89) 
 
Daí, podemos notar o seguinte: 
 
1 - O controle derivativo não altera a ordem da resposta. 
 
2 - A constante efetiva a malha fechada é ( )Dcpp KK τ+τ , que é, maior do que pτ . Isso 
significa que a resposta do processo controlado é mais lenta do que a do processo original. 
 
 
8.6.2 Efeito da ação de controle derivativo sobre a resposta de 
um sistema de segunda ordem 
 
Consideremos um sistema de segunda ordem onde a função de transferência é 
 
1s2s
K
)s(u
)s(y)s(G 22
p
p
+ζτ+τ== (8.90) 
 
Substituindo essa equação e a equação do controlador na função de transferência em malha 
fechada para variação no setpoint (equação 8.15), tem-se 
 
)s(y
sK
1s2s
K
1
sK
1s2s
K
)s(y sp
Dc22
p
Dc22
p
τ
+ζτ+τ+
τ
+ζτ+τ
= (8.91) 
 
( ) )s(y1sKK2s
sKK)s(y sp
Dcp
22
Dcp
+τ+ζτ+τ
τ
= (8.92) 
 
 
 
221 
 
Observações 
 
a) O período natural τ da resposta em malha fechada permanece o mesmo. 
 
b) Como DcpKK22 τ+ζτ=τζ′ 
∴ ζ>ζ′ , ou seja, a resposta é mais amortecida e o fator aumenta com cK e Dτ . 
 
A ação de controle derivativo resulta em comportamento mais robusto nos processos 
controlados. 
 
 
8.7 Efeitos das ações de controle combinadas 
 
Controle PI 
 
Nesse caso valem as seguintes observações gerais: 
 
1 - A ordem da resposta aumenta (efeito do modo integral). 
 
2 - O offset é eliminado (efeito do modo integral). 
 
3 - Com o aumento de cK , a resposta torna-se mais rápida (efeito dos modos proporcional e 
integral) e mais oscilatória [aumenta o overshoot e o decay ratio (efeito do modo integral)]. 
Valores altos de cK resultam em respostas muito sensíveis e podem levar à instabilidade. 
 
4 - Com o decréscimo de Iτ , com cK constante, a resposta torna-se mais rápida, mas mais 
oscilatória com overshoot e decay ratio maiores (efeito do modo integral). 
 
 
Controle PID 
 
Valem as observações: 
 
1 -A resposta a malha fechada em geral tem as mesmas características dinâmicas do controle 
PI. 
 
2 - A presença do modo integral torna a resposta à malha fechada do processo mais lenta. Para 
aumentar a velocidade da resposta, podemos aumentar o valor de cK , mas a resposta torna-se 
mais oscilatória e pode ficar instável. A introdução do modo derivativo dá um efeito 
estabilizante ao sistema. Assim, podemos ter velocidades de resposta razoáveis selecionando 
valores adequados para cK mantendo ao mesmo tempo o overshoot e o decay ratio 
moderados. 
 
3 - O modo derivativo normalmente não é usado para sistemas muito rápidos tais como 
malhas de controle de vazão ou controle de pressão, desde que esses sistemas normalmente 
têm muito sinais ruidosos e o ruído é amplificado pela ação derivativa. 
 
222 
 
 
8.8 Motivação para a adição de modos integrais e 
derivativos de controle 
 
Tendo apresentado as funções de transferência ideais para os modos integrais e derivativos de 
controle, vamos indicar agora a motivação prática para o uso desses modos. As curvas da 
Figura 8.13 mostram o comportamento de um sistema de controle típico usando diferentes 
tipos de controle sujeito a uma variação degrau na perturbação. A variável controlada 
aumenta no tempo zero devido à perturbação. Na ausência de controle, essa variável continua 
a aumentar até atingir um novo valor em regime estabelecido (curva sem controle). Com a 
ação apenas proporcional, o sistema de controle é capaz de deter a subida da variável 
controlada e situá-la em novo valor de regime estabelecido (curva P) e a diferença entre esse 
novo valor de regime estabelecido e o valor inicial é o erro permanente. Para o sistema 
mostrado, pode-se observar que o erro permanente é de 27,61% da variação final que teria 
ocorrido para essa perturbação na ausência de controle. 
 
Como mostra a curva PI, a adição da ação integral elimina o erro permanente; a variável 
controlada retorna ao seu valor inicial. Essa vantagem da ação integral é compensada pela 
desvantagem de um comportamento mais oscilatório. 
 
A adição da ação derivativa à ação PI promove uma melhora sensível na resposta (curva PID). 
A subida da variável controlada é detida com maior rapidez, e a mesma é trazida de volta ao 
valor inicial mais rapidamente, com pouca ou nenhuma oscilação. 
 
 
 
Figura 8.13 Resposta de um sistema de controle típico mostrando o efeito de vários modos de 
controle.223 
 
 
Exemplo 8.4 Sistema de controle de nível. 
 
Consideremos o sistema de nível do tanque mostrado na Figura 8.14. 
 
 
Figura 8.14 Sistema de nível de líquido. 
 
Onde 
constanteF = (8.93) 
 
O balanço de massa de líquido no tanque fornece: 
 
FFF
dt
dhA di −+= (8.94) 
 
Em termos de variáveis desvios, a equação é dada por: 
 
di FFdt
hdA += (8.95) 
 
Aplicando a transformada de Laplace, obtemos 
 
)s(F)s(F)s(Ash di += (8.96) 
 
)s(F
As
1)s(F
As
1)s(h di += (8.97) 
 
Assumindo 
 
1GG fm == (8.98) 
 
Em malha fechada, tem-se 
 
)s(F
1s
K
A
K
1
)s(h
1s
K
A
1)s(h d
c
c
sp
c
+
+
+
= (8.99) 
 
Problema servo 
 
224 
 
Vamos determinar o offset da malha de controle para uma variação degrau unitário no 
setpoint. 
 
s
1)s(h sp = e 0)s(Fd = (8.100) 
 
Assim, 
 
s
1
1s
K
A
1)s(h
c
+
= (8.101) 
 
O valor final de )(h ∞ pode ser calculado pelo teorema do valor final 
 
1)s(shlim)t(h
0s
==∞→
→
 (8.102) 
 
Calculando o offset, obtemos 
 
011offset =−= (8.103) 
 
Problema regulatório 
 
Agora, vamos determinar o offset da malha de controle para uma variação degrau unitário na 
perturbação. 
 
0)s(h sp = e 
s
1)s(Fd = (8.104) 
 
Assim, 
s
1
1s
K
A
K
1
)s(h
c
c
+
= (8.105) 
 
O valor final de )(h ∞ é 
c
0s K
1)s(hslim)t(h ==∞→
→
 (8.106) 
 
Portanto, 
0
K
1
K
10offset
cc
≠−=−= (8.108) 
 
Neste caso, o offset da malha de controle não é nulo. 
 
 
 
225 
 
Observações 
 
Processos que apresentam o termo s1 em sua função de transferência, quando são 
controlados com controle proporcional, não apresentam offset para variações no setpoint, mas 
apresentam offset para variações sustentadas na perturbação. 
 
 
Exercícios 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
 
8.1 Pretende-se controlar o nível de líquido em um tanque conforme o esquema a seguir: 
 
 
 
Tendo em vista que o nível já é um integrador para variações nas vazões de entrada e saída, 
verificar a possibilidade de se usar um controlador proporcional para esse sistema. 
 
Solução 
 
Balanço de massa em regime transiente 
 
FF
dt
dhA i −= (1) 
 
Balanço de massa em regime permanente 
 
sis FF0 −= (2) 
 
Subtraindo a equação 2 da equação 1, obtém-se 
 
)FF()FF(
dt
)hh(dA sisis −−−=
−
 (3) 
 
Em variáveis desvios, a equação 3 fica 
 
226 
 
FF
dt
hdA i −= (4) 
 
em que: 
 
shhh −= (5) 
isii FFF −= (6) 
sFFF −= (7) 
ou 
F
A
1F
A
1
dt
hd
i −= (8) 
 
Aplicando a transformada de Laplace, obtemos 
 
)s(F
A
1)s(F
A
1)s(hs i −= (9) 
 
)s(F
s
A1)s(F
s
A1)s(h i −= (10) 
 
)s(F)s(G)s(F)s(G)s(h pid −= (11) 
 
s
A1)s(G)s(G dp == (12) 
 
Da equação 8.15, temos 
 
)s(G)s(G)s(G)s(G1
)s(G)s(G)s(G)s(G
mcfp
cfp
sp +
= (13) 
 
Supondo que 1)s(G)s(G mf == , então 
 
c
c
sp
K
s
A11
K
s
A1
)s(G
+
= (14) 
As
K1
As
K
)s(G
c
c
sp
+
= (15) 
c
c
sp KAs
K)s(G
+
= (16) 
 
227 
 
1s
K
A
1)s(G
c
sp
+
= (17) 
 
Para uma variação degrau unitário no set point 
 
s
1h sp = (18) 
)s(h
1s
K
A
1)s(h sp
c
+
= (19) 
s
1
1s
K
A
1)s(h
c
+
= (20) 
 
O valor de )t(h para ∞→t pode ser calculado aplicando o teorema do valor final 
 
1)s(hslim)t(hlim
0st
==
→∞→
 (21) 
 
O offset é 
 
resposta) da final(valor -(setpoint)=offset (22) 
 
01-1=offset = (23) 
 
Portanto, não há offset. Assim, é factível o uso de um controlador proporcional. 
Obs: Para distúrbios em Fi o controlador Proporcional dá off set 
 
8.2 Na malha de controle a seguir: 
 
 
 
temos: 
 
2)s(G c = , 1s
1)s(G v += , 1s5
3)s(G p += e 1K m = 
 
228 
 
Pede-se: 
 
a) Calcular os offsets para variações em spy e d . 
b) Refazer o item anterior considerando 





+=
s5
112)s(G c 
c) Refazer o item b) considerando 2K m = . 
 
Tente explicar a resposta. 
 
8.3 Um sistema de refrigeração com dois trocadores de calor é controlado conforme 
representado a seguir: 
 
 
 
a) Obtenha as funções de transferência relacionando )s(T com )s(Tsp , )s(d1 e )s(d 2 . 
b) Considerando 
 
2)s(G c = 1s
3)s(G v += 1s5
2)s(G 1p += 1s10
5)s(G 2p +
−
= 1)s(G m = 
 
Verificar se o sinal do ganho do controlador está correto. 
c) Com o sinal de )s(G c corrigido, representar graficamente as respostas da malha para 
degraus unitários em spT , 1d e 2d . 
 
8.4 Um esquema de controle frequentemente usado na indústria é o de malhas em cascata 
como representado a seguir: 
 
229 
 
 
 
 
Esse esquema é recomendável quando a malha interna é muito mais rápida que a malha 
externa. 
Considere que 
1s2
2)s(G pII += , 1s10
3)s(G pI += e temos dois controladores disponíveis 
 
5)s(G c = e 





+=
s5
112)s(G c 
 
Daí, pede-se: 
 
a) Qual controlador deve ser usado na malha interna e qual deve ser usado na malha externa? 
b) Para a configuração escolhida, represente graficamente as respostas da malha para 
variações em Id e IId . 
 
8.5 Em uma malha de controle onde o controlador usa o modelo interno do processo, temos o 
seguinte esquema: 
 
 
 
em que )s(G~ é uma aproximação de )s(G . Daí, pede-se: 
 
a) As funções de transferência que relacionam )s(y com )s(y sp e )s(d . 
b) Admitindo que )s(G)s(G~ = (modelo perfeito) e )s(G1)s(G c = , como ficariam as funções 
de transferência do item a)? 
230 
 
c) Admitindo que 
1s10
1s2)s(G
+
−
= , então nesse caso )s(G1 é instável e não poderia ser usado. 
Como ficariam as funções de transferência da malha se 1s10)s(G c += (controlador PD). 
 
 
231 
 
 
9 Respostas da malha fechada com Scilab: 
Controlador proporcional. Offset na variável 
controlada. Controlador PI. Efeito dos parâmetros 
de sintonia. Estabilidade. Controlador PID 
 
 
 
9.1 Respostas da malha fechada com Scilab 
 
Nesta seção, exemplificaremos o efeito de controladores PID com algumas aplicações em 
controle de processos. Os programas se iniciam com as definições das funções de 
transferência de cada um dos elementos da malha de controle, conforme o diagrama de blocos 
da Figura 8.1. Em seguida, montamos a função de transferência global em malha fechada 
)s(Gsp , conforme a equação 8.15 para variação no setpoint, ou a função , )s(G load conforme 
equação 8.16 para variação na perturbação. Uma vez montada a função de transferência 
global, cria-se então o sistema linear correspondente usando syslin, conforme visto no 
Capítulo 3. Depois disso, vem a simulação da malha fechada usando a função csim. 
 
 
Exemplo 9.1 
 
Considere um processo de primeira ordem com controle proporcional. As funções de 
transferência são 
 
1s
K)s(G
p
p
p +τ
= 
1s
K)s(G
p
d
d +τ
= (9.1) 
 
1)s(G m = (9.2) 
 
1)s(G f = (9.3) 
 
cc K)s(G = (controle P) (9.4) 
 
Os parâmetrosdas funções de transferência do processo são: 1KK dp == e 1p =τ . 
 
Vamos simular a resposta do sistema para uma variação degrau unitário no setpoint (controle 
servo). Queremos comparar as respostas com diferentes valores do ganho do controlador cK 
(1, 4 e 10). 
 
Programa 
 
//Resposta ao degrau unitário no setpoint de um sistema de primeira ordem 
//com controle P 
// 
232 
 
clear 
clearglobal 
clc 
s=%s 
 
//Definição das funcões de transferência da malha de controle 
Gm=1 //função de transferência do medidor 
Gf=1 //função de transferência do elemento final de controle 
Kp=1 //ganho processo Kp 
taup=1 //constante de tempo do processo 
Gp=Kp/(taup*s+1) //função de transferência do processo Gp 
Kd=1 //ganho processo Kd 
Gd=Kd/(taup*s+1) //função de transferência do processo Gd 
 
//Intervalo de simulação 
t=0:0.01:3 
 
//Ganho do controlador P 
Kc_=[1 4 10] 
 
//Simulação 
out=[] //armazena a saída y para impressão 
disp('Função de transferência global Gsp') 
for i=1:length(Kc_) 
 Kc=Kc_(i) 
 Gc=Kc //função de transferência do controlador 
 Gsp=Gp*Gf*Gc/(1+Gp*Gf*Gc*Gm) //função de transferência global Gsp 
 printf('\n') 
 printf('Com Kc = %f\n',Kc) 
 disp(Gsp) 
 sl=syslin('c',Gsp) //criação do sistema linear 
 y=csim('step',t,sl) //resposta a degrau unitário 
 offset=1-y($) //calcula o offset 
 printf('\n') 
 printf('offset = %f\n',offset) 
 out=[out;y] 
end 
 
//Plota gráfico 
scf(1) 
clf 
plot(t,out) 
xlabel('t') 
ylabel('y') 
legend(['Kc=1','Kc=4','Kc=10'],4) 
 
Os seguintes resultados são mostrados na janela de comando do Scilab. 
 
 
 Função de transferência global Gsp 
 
Com Kc = 1.000000 
 
 1 
 ----- 
 2 + s 
 
offset = 0.501239 
 
Com Kc = 4.000000 
233 
 
 
 4 
 ----- 
 5 + s 
 
offset = 0.200000 
 
Com Kc = 10.000000 
 
 10 
 ------ 
 11 + s 
 
offset = 0.090909 
 
 
As respostas são mostradas na Figura 9.1. Pode-se notar que à medida que aumentamos o 
ganho cK , a saída se aproxima mais do setpoint 1y sp = e, conseqüentemente, menor o offset, 
conforme discutido no Capítulo 8, e também nos resultados mostrados na janela de comando 
do Scilab. 
 
 
 
Figura 9.1 Efeito do ganho sobre a resposta a malha fechada do sistema de primeira ordem 
com controle P a uma variação degrau unitário no setpoint. 
 
Agora, vamos simular a resposta do sistema para uma variação degrau unitário na perturbação 
para os mesmos valores do ganho do controlador cK (controle regulatório). 
 
 
 
 
234 
 
Programa 
 
//Resposta ao degrau unitário na perturbação de um sistema de primeira 
ordem 
//com controle P 
// 
clear 
clearglobal 
clc 
s=%s 
 
//Definição das funcões de transferência da malha de controle 
Gm=1 //função de transferência do medidor 
Gf=1 //função de transferência do elemento final de controle 
Kp=1 //ganho processo Kp 
taup=1 //constante de tempo do processo 
Gp=Kp/(taup*s+1) //função de transferência do processo Gp 
Kd=1 //ganho processo Kd 
Gd=Kd/(taup*s+1) //função de transferência do processo Gd 
 
//Intervalo de simulação 
t=0:0.01:3 
 
//Ganho do controlador P 
Kc_=[1 4 10] 
 
//Simulação 
out=[] //armazena a saída y para impressão 
disp('Função de transferência global Gsp') 
for i=1:length(Kc_) 
 Kc=Kc_(i) 
 Gc=Kc //função de transferência do controlador 
 Gload=Gd/(1+Gp*Gf*Gc*Gm) //função de transferência global Gload 
 printf('\n') 
 printf('Com Kc = %f\n',Kc) 
 disp(Gload) 
 sl=syslin('c',Gload) //criação do sistema linear 
 y=csim('step',t,sl) //resposta a degrau unitário 
 offset=1-y($) //calcula o offset 
 printf('\n') 
 printf('offset = %f\n',offset) 
 out=[out;y] 
end 
 
//Plota gráfico 
scf(1) 
clf 
plot(t,out) 
xlabel('t') 
ylabel('y') 
legend(['Kc=1','Kc=4','Kc=10'],4) 
 
Os seguintes resultados são mostrados na janela de comando do Scilab. 
 
 
 Função de transferência global Gsp 
 
Com Kc = 1.000000 
 
 1 
235 
 
 ----- 
 2 + s 
 
offset = -0.498761 
 
Com Kc = 4.000000 
 
 1 
 ----- 
 5 + s 
 
offset = -0.200000 
 
Com Kc = 10.000000 
 
 1 
 ----- 
 11 + s 
 
offset = -0.090909 
 
 
As respostas são mostradas na Figura 9.2. Pode-se notar que à medida que aumentamos o 
ganho cK , a saída se aproxima mais do setpoint 0y sp = e, conseqüentemente, menor o offset. 
 
 
 
Figura 9.2 Efeito do ganho sobre a resposta a malha fechada do sistema de primeira ordem 
com controle P a uma variação degrau unitário na carga. 
 
 
Exemplo 9.2 
236 
 
 
Considere um processo com as funções de transferência 
 
1s
K
1s
K)s(G
2
2
1
1
p +τ+τ
= 
1s
K)s(G
2
2
d +τ
= (9.5) 
 
1)s(G m = (9.6) 
 
1)s(G f = (9.7) 
 
cc K)s(G = (controle P) (9.8) 
 
Os parâmetros das funções de transferência do processo são: 1KK 21 == , 41 =τ e 12 =τ . 
 
Vamos simular a resposta do sistema para uma variação degrau unitário no setpoint (controle 
servo). Queremos comparar as respostas com diferentes valores do ganho do controlador cK 
(0,56, 4 e 20). 
 
Programa 
 
//Resposta ao degrau unitário na perturbação de dois sistemas de primeira 
ordem 
//em série com controle P 
// 
clear 
clearglobal 
clc 
s=%s 
 
//Definição das funcões de transferência da malha de controle 
Gm=1 //função de transferência do medidor 
Gf=1 //função de transferência do elemento final de controle 
K1=1 //ganho processo K1 
K2=1 //ganho processo K2 
tau1=4 //constante de tempo do processo 1 
tau2=1 //constante de tempo do processo 2 
Gp=K1/(tau1*s+1)*K2/(tau2*s+1) //função de transferência do processo Gp 
Gd=K2/(tau2*s+1) //função de transferência do processo Gd 
 
//Intervalo de simulação 
t=0:0.01:10 
 
//Ganho do controlador P 
Kc_=[0.56 4 20] 
 
//Simulação 
out=[] //armazena a saída y para impressão 
disp('Função de transferência global Gload') 
for i=1:length(Kc_) 
 Kc=Kc_(i) 
 Gc=Kc //função de transferência do controlador 
 Gload=Gd/(1+Gp*Gf*Gc*Gm) //função de transferência global Gload 
 printf('\n') 
 printf('Com Kc = %f\n',Kc) 
 disp(Gload) 
237 
 
 den=denom(Gload) 
 raizes=roots(den) 
 disp('Raízes do denominador da função de transferência global') 
 disp(raizes) 
 sl=syslin('c',Gload) //criação do sistema linear 
 y=csim('step',t,sl) //resposta a degrau unitário 
 out=[out;y] 
end 
 
//Plota gráfico 
ysp=zeros(1,length(t)) 
scf(1) 
clf 
plot(t,ysp,t,out) 
xlabel('t') 
ylabel('y') 
legend(['ysp','Kc=0.56','Kc=4','Kc=20']) 
 
Os seguintes resultados são mostrados na janela de comando do Scilab. Para 56,0K c = , o 
sistema é sobreamortecido (raízes reais e distintas), enquanto que para os outros dois valores 
de cK , o sistema é subamortecido (raízes complexas conjugadas). 
 
 
 Função de transferência global Gload 
 
Com Kc = 0.560000 
 
 0.25 + s 
 ---------------- 
 2 
 0.39 + 1.25s + s 
 
 Raízes do denominador da função de transferência global 
 
 - 0.65 
 - 0.6 
 
Com Kc = 4.000000 
 
 0.25 + s 
 ---------------- 
 2 
 1.25 + 1.25s + s 
 
 Raízes do denominador da função de transferência global 
 
 - 0.625 + 0.9270248i 
 - 0.625 - 0.9270248i 
 
Com Kc = 20.000000 
 
 0.25 + s 
 ----------------2 
 5.25 + 1.25s + s 
 
 Raízes do denominador da função de transferência global 
 
 - 0.625 + 2.204399i 
238 
 
 - 0.625 - 2.204399i 
 
 
A Figura 9.3 mostra as respostas para os valores de cK considerados. Aumentando o ganho 
do controlador diminui o fator de amortecimento e também diminui o offset, isto é, a saída se 
aproxima mais do setpoint 0y sp = . 
 
 
 
Figura 9.3 Efeito do ganho sobre a resposta a malha fechada do sistema de segunda ordem 
com controle P a uma variação degrau unitário na carga. 
 
 
Exemplo 9.4 
 
Para o mesmo sistema do Exemplo 9.1 com controle PI. 
 
1s
K)s(G
p
p
p +τ
= 
1s
K)s(G
p
d
d +τ
= (9.9) 
 
1)s(G m = (9.10) 
 
1)s(G f = (9.11) 
 






τ
+=
s
11K)s(G
I
cc (controle PI) (9.12) 
 
239 
 
Os parâmetros do controlador são: ganho 1K c = e tempo integral 4 ;1 ;25,0I =τ . 
 
Programa 
 
//Resposta ao degrau unitário na perturbação de um sistema de primeira 
ordem 
//com controle PI 
// 
clear 
clearglobal 
clc 
s=%s 
 
//Definição das funcões de transferência da malha de controle 
Gm=1 //função de transferência do medidor 
Gf=1 //função de transferência do elemento final de controle 
Kp=1 //ganho processo Kp 
taup=1 //constante de tempo do processo 
Gp=Kp/(taup*s+1) //função de transferência do processo Gp 
Kd=1 //ganho processo Kd 
Gd=Kd/(taup*s+1) //função de transferência do processo Gd 
 
//Intervalo de simulação 
t=0:0.01:10 
 
//Controlador PI 
Kc=1 //ganho 
tauI_=[0.25 1 4] //tempo integral 
 
//Simulação 
out=[] //armazena a saída y para impressão 
disp('Função de transferência global Gload') 
printf('\n') 
printf('Kc = 1\n') 
for i=1:length(tauI_) 
 tauI=tauI_(i) 
 Gc=Kc*(1+1/(tauI*s)) //função de transferência do controlador 
 Gload=Gd/(1+Gp*Gf*Gc*Gm) //função de transferência global Gload 
 printf('\n') 
 printf('Com tauI = %f\n',tauI) 
 disp(Gload) 
 den=denom(Gload) 
 raizes=roots(den) 
 disp('Raízes do denominador da função de transferência global') 
 disp(raizes) 
 sl=syslin('c',Gload) //criação do sistema linear 
 y=csim('step',t,sl) //resposta a degrau unitário 
 out=[out;y] 
end 
 
//Plota gráfico 
ysp=zeros(1,length(t)) 
scf(1) 
clf 
plot(t,ysp,t,out) 
xlabel('t') 
ylabel('y') 
legend(['ysp','tauI=0,25','tauI=1','tauIc=4']) 
 
240 
 
Os seguintes resultados são mostrados na janela de comando do Scilab. Para 25,0I =τ , o 
sistema é subamortecido devido à presença de pólos complexos conjugados, 1I =τ 
criticamente amortecido (dois pólos iguais) e 4I =τ sobreamortecido (dois pólos reais e 
distintos). 
 
 
 Função de transferência global Gload 
 
Kc = 1 
 
Com tauI = 0.250000 
 
 s 
 --------- 
 2 
 4 + 2s + s 
 
 Raízes do denominador da função de transferência global 
 
 - 1. + 1.7320508i 
 - 1. - 1.7320508i 
 
Com tauI = 1.000000 
 
 s 
 --------- 
 2 
 1 + 2s + s 
 
 Raízes do denominador da função de transferência global 
 
 - 1. 
 - 1. 
 
Com tauI = 4.000000 
 
 s 
 ------------- 
 2 
 0.25 + 2s + s 
 
 Raízes do denominador da função de transferência global 
 
 - 1.8660254 
 - 0.1339746 
 
 
A Figura 9.4 mostra as respostas para os valores de cK e Iτ considerados. A resposta pode 
ser subamortecida, criticamente amortecida ou superamortecida, dependendo do valor de Iτ . 
Aumentando o tempo integral do controlador aumenta o fator de amortecimento e vice-versa. 
A saída se aproxima do setpoint 0y sp = independente do valor de Iτ , ou seja, não há erro em 
regime permanente. 
 
241 
 
 
 
Figura 9.4 Efeito do tempo integral sobre a resposta a malha fechada do sistema de primeira 
ordem com controle PI a uma variação degrau unitário na perturbação. 
 
 
Exemplo 9.5 
 
Considere o mesmo processo do Exemplo 9.2 com as funções de transferência 
 
( )( )( )1s501s101s20
1)s(G p +++= )s(G)s(G pd = (9.13) 
 
1)s(G m = (9.14) 
 
1s20
1)s(G f += (9.15) 
 






τ+
τ
+= s
s
11K)s(G D
I
cc (controle PID) (9.16) 
 
Os parâmetros do controlador são: 802,2K c = , 78,57I =τ e 383,9D =τ ; determinados pelo 
método de sintonia de Cohen e Coon, que será abordado no Capítulo 10. 
 
Vamos simular a resposta do sistema para uma variação degrau unitário na perturbação 
(controle regulatório). 
 
242 
 
Programa 
 
//Resposta ao degrau unitário na perturbação de um sistema de primeira 
ordem 
//com controle PID 
// 
clear 
clearglobal 
clc 
s=%s 
 
//Definição das funcões de transferência da malha de controle 
Gm=1 //função de transferência do medidor 
Gf=1/(20*s+1) //função de transferência do elemento final de controle 
Gp=1/((20*s+1)*(10*s+1)*(50*s+1)) //função de transferência do processo 
Gp 
Gd=Gp //função de transferência do processo Gd 
 
//Intervalo de simulação 
t=0:1:800 
 
//Controlador PID 
Kc=2.802 //ganho 
tauI=50.78 //tempo integral 
tauD=9.383 //tempo derivativo 
 
//Simulação 
disp('Função de transferência global Gload') 
Gc=Kc*(1+1/(tauI*s)+tauD*s) //função de transferência do controlador 
Gload=Gd/(1+Gp*Gf*Gc*Gm) //função de transferência global Gload 
den=denom(Gload) 
raizes=roots(den) 
disp('Raízes do denominador da função de transferência global') 
disp(raizes) 
sl=syslin('c',Gload) //criação do sistema linear 
y=csim('step',t,sl) //resposta a degrau unitário 
 
//Plota gráfico 
ysp=zeros(1,length(t)) 
scf(1) 
clf 
plot(t,ysp,t,y) 
xlabel('t') 
ylabel('y') 
legend(['ysp','PID']) 
 
A Figura 9.5 mostra a resposta para os valores de cK , Iτ e Dτ considerados. Pode-se ver que 
a resposta é oscilatória e assemelha-se à resposta de um sistema de segunda ordem 
subamortecido com razão de declínio de aproximadamente ¼, que é um critério muito 
utilizado para a sintonia dos parâmetros de controladores. 
 
O polinômio da equação característica é de grau 5, cujas raízes são dadas na janela de 
comando do Scilab. São três raízes reais distintas e negativas e duas raízes complexas 
conjugadas com parte real negativa. Essas duas raízes complexas é que provocam o 
comportamento oscilatório da saída. 
 
 
 Função de transferência global Gload 
243 
 
 
 Raízes do denominador da função de transferência global 
 
 - 0.1091864 
 - 0.0720657 
 - 0.0058142 + 0.0354838i 
 - 0.0058142 - 0.0354838i 
 - 0.0271195 
 
 
 
 
Figura 9.5 Resposta ao degrau unitário para uma variação na carga (controle PID). 
 
 
Exemplo 9.6 Estabilização de um sistema instável com controle P 
 
Processo: )s(d
1s
5)s(u
1s
10)s(y
−
+
−
= (9.17) 
 
Obviamente o processo é instável, pois possui um pólo em 01s >= . A Figura 9.6 mostra esse 
comportamento instável quando o processo sofre uma variação degrau na perturbação. 
 
244 
 
 
 
Figura 9.6 Resposta à malha aberta instável. 
 
Introduzindo um sistema de controle feedback com controle P, cujo diagrama de blocos é 
mostrado na Figura 9.7, e assume-se que 
 
1)s(G)s(G fm == (9.18) 
 
 
 
Figura 9.7 Diagrama de blocos. 
 
As funções de transferência em malha fechada são 
245 
 
 
( ) ( ) )s(dK101s
5)s(y
K101s
K10)s(y
c
sp
c
c
−−
+
−−
=(9.19) 
 
Essas duas funções de transferência em malha fechada têm pólo comum negativo se 
101K c > . A Figura 9.8 mostra a resposta estabilizada com 1K c = . 
 
 
 
Figura 9.8 Resposta à malha fechada estável com controle P. 
 
 
Exemplo 9.7 
 
Para o sistema de dois CSTR em série mostrado na Figura 9.9, o produto B é formado e o 
reagente A é consumido em cada um dos dois reatores por uma reação de primeira ordem. O 
parâmetro τ ( FV= ) é ajustado em 2 min e o valor de k é 0,5 min-1. 
 
 
 
Figura 9.9 Sistema de dois CSTR em série. 
 
Os valores no estado estacionário são 
 
246 
 
8,0c s0A = kgmol de A/m
3; 4,0c s1A = kgmol de A/ m
3; 2,0c s2A = kgmol de A/ m
3
 
 
Para controlar a concentração do produto 2Ac que deixa o segundo tanque, é proposto um 
sistema de controle conforme esquematizado na Figura 9.10, em que o controlador efetua 
ajustes na concentração de entrada ao primeiro tanque 0Ac com vistas a manter 2Ac próximo 
do setpoint desejado sp2Ac . A variável Adc é uma concentração perturbação e a variável Auc é 
uma concentração manipulada variada pelo controlador. Assuma que 
 
AdAu0A ccc += 
 
Simule a resposta em malha fechada com controle PI para uma variação degrau de 0,1 kgmol 
de A/m3 no setpoint. Os parâmetros do controlador são: 646,8K c = , 106,1I =τ ; 
determinados pelo método de sintonia de Cohen e Coon, que será abordado no Capítulo 10. 
 
 
 
Figura 9.10 Diagrama da malha de controle. 
 
Balanço de massa do componente A em variáveis desvios 
 
Tanque 1 
 
1A1A0A
1A cVkcFcF
dt
cdV −−= (9.20) 
( ) 1A1AAdAu1A cVkcFccFdt
cdV −−+= (9.21) 
1A1AAdAu
1A ckc
V
F
c
V
F
c
V
F
dt
cd
−−+= (9.22) 
1A1AAdAu
1A ckc1c1c1
dt
cd
−
τ
−
τ
+
τ
= (9.23) 
AdAu1A
1A c
1
c
1
ck1
dt
cd
τ
+
τ
=





+
τ
+ (9.24) 
 
Aplicando a transformada de Laplace, obtemos 
 
)s(c1)s(c1)s(ck1)s(sc AdAu1A1A
τ
+
τ
=





+
τ
+ (9.25) 
247 
 
)s(c
1s
k1
k1
1
)s(c
1s
k1
k1
1
)s(c AdAu1A
+
τ+
τ
τ++
+
τ+
τ
τ+
= (9.26) 
 
As duas funções de transferência são de primeira ordem com 
 
τ+
=
k1
1Kp (9.27) 
τ+
τ
=τ
k1p
 (9.28) 
 
Assim, 
)s(c
1s
K)s(c
1s
K)s(c Ad
p
p
Au
p
p
1A +τ
+
+τ
= (9.29) 
 
Tanque 2 
 
2A2A1A
2A cVkcFcF
dt
cdV −−= (9.30) 
2A2A1A
2A ckc
V
F
c
V
F
dt
cd
−−= (9.31) 
2A2A1A
2A ckc1c1
dt
cd
−
τ
−
τ
= (9.32) 
1A2A
2A c
1
ck1
dt
cd
τ
=





+
τ
+ (9.33) 
 
Aplicando a transformada de Laplace, obtemos 
 
)s(c1)s(ck1)s(sc 1A2A2A
τ
=





+
τ
+ (9.34) 
)s(c
1s
k1
k1
1
)s(c 1A2A
+
τ+
τ
τ+
= (9.35) 
 
A função de transferência é de primeira ordem e dada por 
 
)s(c
1s
K)s(c 1A
p
p
2A +τ
= (9.36) 
 
Vamos simular a resposta do sistema para uma variação degrau unitário no setpoint (controle 
servo). 
 
 
 
248 
 
Programa 
 
//Dois CSTRs em série 
//Malha fechada com controle PI 
clear 
clearglobal 
clc 
s=%s 
 
//Definição das funcões de transferência da malha de controle 
Gm=1 //função de transferência do medidor 
Gf=1 //função de transferência do elemento final de controle 
tau=2 //1/min 
k=0.5 //min^-1 
Kp=1/(1+k*tau) 
taup=tau/(1+k*tau) 
Gp1=Kp/(taup*s+1) //função de transferência do processo Gp1 
Gp2=Kp/(taup*s+1) //função de transferência do processo Gp2 
Gp=Gp1*Gp2 //função de transferência do processo 
Gd=Gp //função de transferência do processo Gd 
 
//Intervalo de simulação 
t=0:0.1:15 
 
//Controlador PI 
Kc=8.646 
tauI=1.106 
 
//Simulação 
disp('Função de transferência global Gsp') 
Gc=Kc*(1+1/(tauI*s)) //função de transferência do controlador 
Gsp=Gp*Gf*Gc/(1+Gp*Gf*Gc*Gm) //função de transferência global Gsp 
disp(Gsp) 
den=denom(Gsp) 
raizes=roots(den) 
disp('Raízes do denominador da função de transferência global') 
disp(raizes) 
sl=syslin('c',Gsp) //criação do sistema linear 
y=csim('step',t,sl) //resposta a degrau unitário 
cA2=y 
 
//Plota gráficos 
cA2sp=ones(1,length(t)) 
scf(1) 
clf 
plot(t,cA2sp,t,cA2) 
xlabel('t (min)') 
ylabel('cA2 (kgmol/m3)') 
legend(['cA2sp','PI']) 
 
Os seguintes resultados são mostrados na janela de comando do Scilab. A presença de pólos 
complexos conjugados indica que a resposta é oscilatória. 
 
 
 Função de transferência global Gsp 
 
 7.205 + 2.1615s 
 ----------------------- 
 2 3 
 7.205 + 3.1615s + 2s + s 
249 
 
 
 Raízes do denominador da função de transferência global 
 
 - 2.1154932 
 0.0577466 + 1.8445841i 
 0.0577466 - 1.8445841i 
 
 
A Figura 9.11 mostra a resposta para os valores de cK e Iτ considerados. Pode-se ver que a 
resposta é oscilatória e aproxima rapidamente do valor desejado. 
 
 
 
Figura 9.11 Resposta transiente a uma variação degrau unitário no setpoint. 
 
Se o valor do ganho cK for mantido em 8,646 e variarmos o tempo integral, isto pode levar a 
situações em que a malha de controle não conseguirá manter a saída controlada e ainda tornar 
o sistema instável. A Figura 9.12 mostra o caso em que a malha encontra-se no limite de 
estabilidade, isto é, a saída oscila de forma sustentada quando 342,0I =τ . Abaixo deste valor, 
a oscilação aumenta com amplitudes crescentes, o que caracteriza um comportamento 
instável, como mostra a Figura 9.13 para 3,0I =τ . Logicamente que os valores de 2Ac 
(desvio) não podem ser menores do que -0,2, pois não tem significado físico. 
 
250 
 
 
Figura 9.12 Resposta transiente a uma variação degrau unitário no setpoint mostrando o 
comportamento no limite da estabilidade. 
 
Os seguintes resultados são mostrados na janela de comando do Scilab para 3,0I =τ . A 
presença de pólos complexos conjugados com parte real positiva indica que a resposta é 
instável. Assim, o sistema de dois CSTR, processo de segunda ordem, estável em malha 
aberta pode tornar-se instável com controle PI. 
 
 
 Função de transferência global Gsp 
 
 7.205 + 2.1615s 
 ----------------------- 
 2 3 
 7.205 + 3.1615s + 2s + s 
 
 Raízes da equação característica 
 
 - 2.1154932 
 0.0577466 + 1.8445841i 
 0.0577466 - 1.8445841i 
 
 
251 
 
 
 
Figura 9.13 Resposta transiente a uma variação degrau unitário no setpoint mostrando o 
comportamento instável. 
 
 
9.2 Estabilidade de sistemas de controle 
 
Vimos, então, o uso do Scilab para obter a resposta transiente de sistemas de controle. As 
figuras das curvas respostas foram traçadas para valores específicos de cada bloco da malha. 
Mostramos que os parâmetros do controlador podem alterar os pólos da malha fechada e 
instabilizar um sistema estável ou estabilizar um sistema instável. O leitor deve sentir-se 
encorajado para executar o programa de cada exemplo com outros valores dos parâmetros dos 
controladores e visualizar as curvas de resposta. Com isso, deve ficar mais claro o efeito 
desses parâmetros sobre o comportamento da saída controlada. 
 
Observa-se que as raízes do denominador dependem dos valores particulares dos valores dos 
ganhos e constantes de tempo do processo, do elementofinal de controle e do medidor, além 
dos valores dos parâmetros de sintonia dos controladores. Essas raízes determinam a natureza 
da resposta transiente, que pode ser estável com ou sem erro em regime permanente. A curva 
resposta pode ser oscilatória com amplitudes sucessivas diminuindo ou aumentando; este tipo 
de resposta é chamado de instável. Neste caso, existe um par de raízes complexas conjugadas 
com parte real positiva. 
 
 
9.2.1 Definição de estabilidade 
 
252 
 
Um sistema dinâmico é considerado estável se para toda entrada limitada ele produz uma 
saída limitada, independente de seu estado inicial. 
 
A Figura 9.14 mostra um sistema dinâmico, onde para uma entrada limitada, a saída também 
é limitada. 
 
 
 
Figura 9.14 Entrada limitada, saída limitada. 
 
Uma entrada limitada situa-se sempre entre um limite inferior e um limite superior (por 
exemplo: senoide, degrau, mas não rampa). Uma saída ilimitada existe apenas na teoria, não 
na prática, pois todas as quantidades físicas são limitadas. 
 
Seja um sistema dinâmico com entrada u e saída y 
 
)s(u)s(G)s(y = (9.37) 
 
)s(G pode ser uma função de transferência de um processo não controlado ou uma função de 
transferência de um sistema controlado [ )s(G sp ou )s(G load ]. 
 
Se )s(G tem um pólo com parte real positiva, ele dá origem a um termo pt1 eC que cresce 
continuamente com o tempo, resultando em um sistema instável. Portanto, um sistema de 
controle é estável se e somente se todos os pólos de malha fechada estão no semiplano 
esquerdo do plano s . A localização dos zeros da função de transferência não tem efeito algum 
na estabilidade do sistema. Eles afetam a resposta dinâmica, mas não a estabilidade. 
 
 
9.2.2 A equação característica 
 
Foi visto no Capítulo 8 que a resposta em malha fechada é dada por 
 
)s(d)s(G)s(G)s(G)s(G1
)s(G)s(y)s(G)s(G)s(G)s(G1
)s(G)s(G)s(G)s(y
mcfp
d
sp
mcfp
cfp
+
+
+
= (9.38) 
 
ou 
 
)s(d)s(G)s(y)s(G)s(y loadspsp += (9.39) 
 
As características de estabilidade da resposta em malha fechada serão determinadas pelos 
pólos das funções de transferência )s(G sp e )s(G load . Esses pólos são comuns para ambas as 
funções de transferência, pois elas têm o mesmo denominador, e são dados pela solução da 
equação: 
 
253 
 
0)s(G)s(G)s(G)s(G1 mcfp =+ (9.40) 
 
que é chamada de equação característica. 
 
Sejam n21 p,,p,p … as n raízes da equação característica, pode-se escrever 
 
( )( ) ( ) 0pspspsa)s(G)s(G)s(G)s(G1 n21nmcfp =−−−=+ ⋯ (9.41) 
 
Assim, um sistema de controle feedback é estável se todas as raízes de sua equação 
característica têm partes reais negativas. Isso significa que se qualquer raíz da equação 
característica estiver sobre ou à direita do eixo imaginário, isto é, tiver parte real nula ou 
positiva, o sistema de controle feedback será instável. 
 
 
9.2.3 Critério de Routh 
 
Um critério baseado na teoria das matrizes é o critério de estabilidade de Routh. Ele permite 
determinar o número de raízes da equação característica que apresentam partes reais positivas 
sem ter que fatorar o polinômio (equação 9.41). 
 
0asasasa)s(G)s(G)s(G)s(G1 011n1nnnmcfp =++++=+ −− ⋯ (9.42) 
 
O coeficiente na deve ser positivo. 
 
1o Teste: Se qualquer um dos coeficientes 011nn a,a,,a,a …− for negativo ou nulo, então há no 
mínimo uma raíz do polinômio característico com parte real positiva (sistema instável). 
 
2o Teste: Se todos os coeficientes 011nn a,a,,a,a …− são positivos, formamos o seguinte 
arranjo (arranjo de Routh): 
 
1
21
321
4321
7n5n3n1n
6n4n2nn
W
CC
BBB
AAAA
aaaa
aaaa
1n
5
4
3
2
1
Linha
⋮
⋯⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋮
−−−−
−−−
+
 
 
em que 
 
1n
3nn2n1n
1n
3n1n
2nn
1
a
aaaa
a
aa
aa
A
−
−−−
−
−−
−
−
=
−
= 
1n
5nn4n1n
1n
5n1n
4nn
2
a
aaaa
a
aa
aa
A
−
−−−
−
−−
−
−
=
−
= 
254 
 
 
1n
7nn6n1n
1n
7n1n
6nn
3
a
aaaa
a
aa
aa
A
−
−−−
−
−−
−
−
=
−
= … 
 
1
21n3n1
1
21
3n1n
1 A
AaaA
A
AA
aa
B −−
−−
−
=
−
= 
1
31n5n1
1
31
5n1n
2 A
AaaA
A
AA
aa
B −−
−−
−
=
−
= … 
 
1
2121
1
21
21
1 B
BAAB
B
BB
AA
C −=
−
= 
1
3131
1
31
31
2 B
BAAB
B
BB
AA
C −=
−
= … 
 
e assim por diante. 
 
Examinaremos a seguir os elementos da primeira coluna do arranjo 
 
11111nn WCBAaa ⋯− 
 
(a) Se qualquer um desses elementos for negativo, temos no mínimo uma raíz à direita do eixo 
imaginário e o sistema é instável. 
(b) O número de trocas de sinal nos elementos da primeira coluna é igual ao número de raízes 
à direita do eixo imaginário. 
 
Portanto, um sistema é estável se todos os elementos da primeira coluna do arranjo de Routh 
são positivos. 
 
O Scilab provê um comando que constrói o arranjo de Routh. 
 
r=routh_t(h [,k]) 
 
h é o denominador da função de transferência e k o ganho. 
 
 
Exemplo 9.8 
 
Considere a malha de controle dos dois CSTR em série do Exemplo 9.6 com sintonia 
646,8K c = e 106,1I =τ ; e 646,8K c = e 3,0I =τ . 
 
Programa 
 
//Dois CSTRs em série 
//Arranjo de Routh para a malha fechada com controle PI 
clear 
clearglobal 
clc 
s=%s 
 
255 
 
//Definição das funcões de transferência da malha de controle 
Gm=1 //função de transferência do medidor 
Gf=1 //função de transferência do elemento final de controle 
tau=2 //1/min 
k=0.5 //min^-1 
Kp=1/(1+k*tau) 
taup=tau/(1+k*tau) 
Gp1=Kp/(taup*s+1) //função de transferência do processo Gp1 
Gp2=Kp/(taup*s+1) //função de transferência do processo Gp2 
Gp=Gp1*Gp2 //função de transferência do processo 
Gd=Gp //função de transferência do processo Gd 
//Controlador PI 
Kc=8.646 
tauI=1.106 
Gc=Kc*(1+1/(tauI*s)) //função de transferência do controlador 
Gsp=Gp*Gf*Gc/(1+Gp*Gf*Gc*Gm) //função de transferência global Gsp 
 
disp('Arranjo de Routh para a malha de controle com') 
printf('Kc = %f\n',Kc) 
printf('tauI = %f\n',tauI) 
r=routh_t(denom(Gsp)) 
disp(r) 
 
Kc=8.646 
tauI=0.3 
Gc=Kc*(1+1/(tauI*s)) //função de transferência do controlador 
Gsp=Gp*Gf*Gc/(1+Gp*Gf*Gc*Gm) //função de transferência global Gsp 
 
disp('Arranjo de Routh para a malha de controle com') 
printf('Kc = %f\n',Kc) 
printf('tauI = %f\n',tauI) 
r=routh_t(denom(Gsp)) 
disp(r) 
 
Os resultados mostrados na janela de comando do Scilab é dado por 
 
 
 Arranjo de Routh para a malha de controle com 
Kc = 8.646000 
tauI = 1.106000 
 
 1. 3.1615 
 2. 1.95434 
 2.18433 0. 
 1.95434 0. 
 
 Arranjo de Routh para a malha de controle com 
Kc = 8.646000 
tauI = 0.300000 
 
 1. 3.1615 
 2. 7.205 
 - 0.441 0. 
 7.205 0. 
 
 
A primeira sintonia mostra que o sistema de controle é estável, enquanto que a segunda 
sintonia é instável com duas trocas de sinal na primeira coluna, indicando a presença de duas 
raízes comparte real positiva. 
256 
 
 
 
Exercícios 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
 
9.1 
 
a) Use o Scilab para simular a malha do Exercício 8.2 nos casos a), b) e c). 
b) Simule também os mesmos casos, considerando que a malha é modificada com a inclusão 
da função de transferência do sensor no sinal de spy . 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
9.2 
 
a) Use o Scilab para simular os efeitos dos distúrbios 1d e 2d na malha do Exercício 8.3. 
b) Repita a simulaçãodo item anterior considerando que 
1s5
5)s(G 1p += e 1s5
8)s(G 2p += . 
 
9.3 
 
a) Use o Scilab para simular o sistema do Exercício 8.4 para distúrbios em Id e IId 
b) Repita a simulação considerando que 
1s50
3)s(G 2p += 
c) Simule novamente a malha do item b) para variações em spy . 
d) Repita a simulação do item c) considerando que a malha interna está aberta. 
 
9.4 Considere a malha de controle representada na Figura 9.7. Adotando 1K c = , usar o 
Scilab para simular o comportamento da malha para variações em spy e d . Representar 
graficamente os seguintes sinais: )t(y , )t(u e )t(d′ , onde d′ é o sinal de saída do bloco 
)s(G d . Discuta os resultados obtidos. 
 
9.5 Um processo é descrito pela seguinte função de transferência: 
 
( )
( )( )( )1s21s41s25
s514)s(G
+++
−
= 
 
que inclui as dinâmicas do sensor e válvula. O grupo de engenharia tem a opção de reprojetar 
o processo para eliminar o zero do lado direito (fazer o numerador igual a 4). Eles precisam 
saber se essa modificação vai levar a uma resposta substancialmente mais rápida para a malha 
de controle. 
257 
 
 
a) Para um controlador proporcional, determine o valor máximo de cK para o processo 
existente. 
b) Repita o item a) para o caso em que o zero do lado direito é eliminado. 
c) Faça uma simulação para verificar de quanto a velocidade da malha pode ser aumentada 
caso o zero instável seja eliminado. 
 
9.6 Uma malha de controle pode ser simplificada conforme o esquema 
 
 
Mostrar que um controlador proporcional pode estabilizar essa malha. 
Qual o offset que resulta se o controlador proporcional for usado. 
Considerando 2K = e 10=τ , verifique para que valores de cK o controlador 






+=
s5
11K)s(G cc estabiliza a malha. Simule o comportamento da malha para um valor 
adequado de cK . 
 
9.7 Para o sistema do Exercício 8.1, temos 3A = m2, vv KG = ( 5,0= m3/h/mA) 
 
1s
K)s(G
m
m
m +τ
= em que 10K m = mA/m e 2,0m =τ min. 
 
Verificar para que valores de 50K0 c ≤≤ e 1001 I ≤τ≤ a malha permanece estável. 
 
9.8 Considere uma malha de controle onde 
 
( )2mpv 1s5
10)s(G)s(G)s(G
+
= 
 
Mostrar que nenhum controlador proporcional com 0K c > consegue desestabilizar essa 
malha. Verifique se para um PI, existe um valor de Iτ que faça com que a malha seja estável 
para qualquer valor ( 0> ) de cK . 
 
9.9 Considere um sistema de primeira ordem com tempo morto tendo a seguinte função de 
transferência 
 
1s
e10G
st
p
d
+
=
−
 
 
258 
 
O sistema é controlado com um controlador proporcional de ganho cK . Assume-se que 
1)s(G)s(G fm == . Usando aproximação de Padé, ache a relação entre cK e dt que resulte 
reposta em malha fechada estável. 
 
9.10 Considere o diagrama de blocos da Figura 8.1 com as seguintes funções de 
transferência: 
 
cc KG = , 2G f = , 
( )
( )( )1s101s2
as4,0G p ++
−
= , 
1s5
3G d +
= , 
1s
1G m +
= 
 
A presença de um zero no semi plano direito (isto é, 0a > ) na função de transferência do 
processo pode afetar a estabilidade do sistema em malha fechada? (Dica: Considere as duas 
situações onde 0a = e 0a > .) 
 
259 
 
 
10 Sistemas com tempo morto e resposta inversa: 
Resposta em frequência. Estabilidade de Bode 
com Scilab. 
 
 
 
10.1 Resposta em frequência 
 
 
O critério de Routh apresentado no Capítulo 9 para analisar a estabilidade de funções de 
transferência requer que as mesmas estejam na forma polinomial. Em plantas industriais, é 
comum a presença de tempo morto e, nestes casos, necessitamos de um método que seja 
simples e que consiga esclarecer de maneira mais fácil os efeitos do processo e do controlador 
na estabilidade de sistemas a malha fechada. 
 
Em todos os sistemas de controle em malha fechada, é desejável que o mesmo seja estável, e, 
além disso, também é desejável que tal sistema possua estabilidade robusta adequada. Esta 
estabilidade robusta significa que deseja-se que o sistema se mantenha estável para uma 
determinada faixa de variação dos parâmetros do sistema. O termo estabilidade robusta, 
indica que deve haver um ponto ou condição notável, ao qual associa-se uma certa relação, 
que definirá o grau ou índice de estabilidade. Esta condição notável pode ser melhor 
visualizada em função da análise do sistema no domínio da freqüência, através dos diagramas 
de Bode ou Nyquist. 
 
A idéia básica da resposta frequêncial é que, quando a entrada de um sistema linear invariante 
no tempo e estável é uma onda senoidal pura, a resposta final da saída será uma onda senoidal 
pura de mesma freqüência, diferindo da entrada apenas na amplitude e fase (Figura 10.1). 
Usualmente, a amplitude e a fase da saída dependem, sobretudo, da freqüência (Figura 10.2). 
 
 
 
Figura 10.1 Resposta senoidal de um sistema linear. 
 
260 
 
 
 
Figura 10.2 Entrada e saída senoidais. 
 
 
10.2 Resposta frequêncial de sistemas lineares 
 
Consideremos um sistema dado por: 
 
)s(P
)s(Q
)s(u
)s(y)s(G == (10.1) 
 
em que )s(Q e )s(P são polinômios de ordem m e n com nm < 
 
Vamos provar que: 
 
1 - A resposta final de um sistema a uma entrada senoidal é também uma onda senoidal. 
2 - A razão de amplitudes )j(GmodAR ω= é função de ω . 
3 - A fase )j(Garg ω=φ é função de ω . 
 
)j(G ω é a função de transferência senoidal do sistema linear e é obtida substituindo-se s por 
ωj na função de transferência )s(G , resultando em: 
 
)]j(GIm[j)]j(GRe[)j(G ω+ω=ω (10.2) 
 
A forma polar da função )j(G ω é dada por: 
 
φω=ω je)j(G)j(G (10.3) 
em que: 
22 )]j(GIm[)]j(GRe[)j(G ω+ω=ω (10.4) 
e 
)]j(GRe[
)]j(GIm[
tan 1
ω
ω
=φ − (10.5) 
 
261 
 
Seja )t(u uma entrada senoidal com amplitude A e frequência angular ω (rad/unidade de 
tempo): 
 
tAsen)t(u ω= (10.6) 
 
A transformada de Laplace desta função é: 
22s
A)s(u
ω+
ω
= (10.7) 
Substituindo na função de transferência (10.1): 
22s
A)s(G)s(y
ω+
ω
= (10.8) 
 
Expandindo em frações parciais: 
( )( )ω−ω+
ω
= jsjs
A)s(G)s(y (10.9) 
ω−
+
ω+
+
−
++
−
+
−
= js
b
js
a
ps
C
ps
C
ps
C)s(y
)s(G de expansao na aparecem que termos
n
n
2
2
1
1
����� ������ ��
… (10.10) 
n21 p,,p,p … pólos de )s(G 
 
Invertendo, temos 
 
tjtjtptptp ebeaeee)t(y n21 ωω− +++++= … (10.11) 
 
Se n21 p,,p,p … têm partes reais negativas (sistema estável), então para ∞→t : 
 
tjtj
ss ebea)t(y ωω− += (10.12) 
 
Determinação das constantes a e b : 
 
( )( ) ω−+ω++−++−+−=ω−ω+
ω
js
b
js
a
ps
C
ps
C
ps
C
jsjs
A)s(G
n
n
2
2
1
1 … (10.13) 
j2
)j(AG
js
A)s(Ga
js −
ω−
=
ω−
ω
=
ω−=
 (10.14) 
j2
)j(AG
js
A)s(Gb
js
ω
=
ω+
ω
=
ω=
 (10.15) 
tjtj
ss ej2
)j(AG
ej2
)j(AG)t(y ωω− ω+ω−−= (10.16) 
 
Temos que 
 
φ−φ− ω=ω−=ω− jj e)j(Ge)j(G)j(G
 (10.17) 
e 
)j(Garg ω=φ (10.18) 
262 
 
 
Mas, 
)j(Garg)j(Garg ω−=ω− (10.19) 
 
Substituindo esses resultados em (10.16), obtemos: 
( ) ( )φ+ωφ+ω− ω+
ω
−=
tjtj
ss ej2
)j(GA
ej2
)j(GA)t(y (10.20) 
( ) ( )
j2
ee)j(GA)t(y
tjtj
ss
φ+ω−φ+ω
−
ω= (10.21) 
 
Usando a identidade de Euler, chega-se a: 
 
( )φ+ωω= tsen)j(GA)t(y ss (10.22) 
 
Assim, a saídaapós decorrido um tempo suficientemente grande também é uma onda senoidal 
com amplitude )j(GA ω . Portanto, a razão de amplitude é dada por: 
)j(G
A
)j(GA
AR ω=
ω
= (10.23) 
 
De fato, a AR é dada por )j(G ω (equação 10.23), enquanto o ângulo de fase da saída difere 
do ângulo de entrada por )j(Garg ω (equação 10.18). Essas características são mostradas na 
Figura 10.3. 
 
Figura 10.3 Amplitude da entrada senoidal, amplitude da saída senoidal e o deslocamento de 
fase. 
 
Algumas observações sobre a solução estacionária: 
 
1 - A resposta final )t(y ss é também uma onda senoidal com freqüência ω . 
2 - A razão entre as amplitudes da saída e entrada é chamada de razão de amplitude AR e é 
calculada por: 
)j(GAR ω= (10.24) 
3 - A onda na saída atrasa (atraso de fase) em relação à onda na entrada por um ângulo φ . 
)j(Garg ω=φ (10.25) 
 
A vantagem de se usar a resposta frequencial para analisar ou projetar sistemas de controle é 
que a resposta do sistema é obtida facilmente das respostas dos elementos individuais, não 
263 
 
importando quantos elementos são incluídos. Vejamos, a seguir, a resposta frequencial dos 
elementos mais comuns em controle. 
 
 
Exemplo 10.1 Resposta de um sistema de primeira ordem a uma 
entrada senoidal 
 
A função de transferência de um sistema de primeira ordem é dada por: 
 
1s
K
)s(u
)s(y)s(G
p
p
+τ
== (10.26) 
 
Fazendo ω= js na função de transferência, obtém-se: 
 ( )
( )1j
1j
1j
K
1j
K)j(G
p
p
p
p
p
p
+ωτ−
+ωτ−
+ωτ
=
+ωτ
=ω (10.27) 
1
Kj
1
K)j(G 22
p
pp
22
p
p
+ωτ
ωτ
−
+ωτ
=ω (10.28) 
 
O módulo de )j(G ω é calculado por: 
 
( ) ( )
( )
( )222p
22
p
2
p
222
p
2
p
22
p
222
p
2
p
1
1K
1
K
1
K)j(G
+ωτ
+ωτ
=
+ωτ
τω
+
+ωτ
=ω (10.29) 
1
K)j(G
22
p
p
+ωτ
=ω (10.30) 
ou 
1
K
AR
22
p
p
+ωτ
= (10.31) 
 
O argumento é calculado por: 
 
p
22
p
p
22
p
pp
1
K
1
K
)j(Garg ωτ−=
+ωτ
+ωτ
ωτ
−
=ω (10.32) 
ou 
)(tan)j(Garg p1 ωτ−=ω=φ − (10.33) 
 
Note que 1AR < , portanto a amplitude diminuiu. Como 0<φ e ângulo negativo significa 
atraso de fase, portanto, a saída atrasa em relação à entrada. 
 
264 
 
Por um procedimento análogo ao Exemplo 10.1, podemos obter as características da resposta 
frequencial de outros elementos comuns encontrados em controle de processos e sumarizadas 
na Tabela 10.1. 
 
Tabela 10.1 Razão de amplitude e ângulo de fase de funções de transferência ( ω está em 
rad/tempo). 
Função de 
transferência, )s(G 
Razão de amplitude, AR Ângulo de fase, φ (°) 
1s
K
+τ
 
1
K
22 +ωτ
 
)(tan 1 ωτ−− 
s
K
 
ω
K
 
90− 
1s2s
K
22 +ζτ+τ ( ) ( )2222 21
K
ζτω+ωτ−
 





ωτ−
ζτω
−
−
22
1
1
2
tan 
1s
K
1s
K
1s
K
N
N
2
2
1
1
+τ+τ+τ
⋯
 
22
N
22
2
22
1
N21
111
KKK
ωτ+ωτ+ωτ+ ⋯
⋯
 
)(tan
)(tan)(tan
N
1
2
1
1
1
ωτ−+
+ωτ−+ωτ−
−
−− …
 
stde− 1 






pi
ω−
2
360
t d 
cK cK 0 






τ
+
s
11K
I
c 2
I
2c
11K
τω
+ 





ωτ
−
−
I
1 1tan 
( )s1K Dc τ+ 22Dc 1K ωτ+ )(tan D1 ωτ− 






τ+
τ
+ s
s
11K D
I
c 11K
2
I
Dc +





ωτ
−ωτ 





ωτ
−ωτ−
I
D
1 1tan 
 
 
10.3 Diagramas de Bode 
 
Diagramas de Bode constituem uma forma conveniente de representar as características da 
resposta frequêncial de um sistema. Os diagramas de Bode consistem em um par de gráficos 
mostrando: 
 
- logaritmo de AR versus logaritmo da frequência (curva de AR) 
 
- ângulo de fase versus logaritmo da frequência (curva de fase) 
 
 
Exemplo 10.2 Diagrama de Bode de sistemas de primeira ordem 
 
No exemplo anterior, vimos que o AR e o ângulo de fase para a resposta senoidal de um 
sistema de primeira ordem são: 
 
265 
 
22
p
p
1
K
AR
ωτ+
= (10.34) 
ωτ−=φ − p1tan (10.35) 
 
A equação 10.33 pode ser reescrita como: 
 
22
pp 1
1
K
AR
ωτ+
= (10.36) 
( )22p
p
1log
2
1
K
ARlog ωτ+−=
 (10.37) 
 
Por conveniência, desde que pτ seja constante, admitimos ωτp como a variável independente 
em vez de ω . O gráfico de pKARlog versus ωτplog é mostrado na Figura 10.4a. O gráfico 
de fase versus ωτp é mostrado na Figura 10.4b 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 10.4. Diagrama de Bode para um sistema de primeira ordem. 
266 
 
 
Da Figura 10.4a, podemos verificar facilmente as seguintes características: 
 
1 – À medida que 0→ω , então 0p →ωτ e, da equação 10.36, 0KARlog p → ou 
1KAR p → . Essa é a assíntota de baixa freqüência mostrada por uma linha tracejada. É uma 
linha horizontal passando pelo ponto 1KAR p = . 
 
2 - À medida que ∞→ω , então ∞→ωτp e da equação 10.36, ωτ−≅ pp logKARlog . Essa 
é a assíntota de alta freqüência mostrada por uma linha tracejada. É uma linha de inclinação -1 
passando pelo ponto 1KAR p = para 1p =ωτ . 
 
Portanto, a resposta em freqüência de um sistema de primeira ordem pode ser aproximada por 
duas assíntotas (Figura 10.5). Uma aproxima a resposta do sistema a excitações de baixa 
freqüência, e a outra, a altas freqüências. Tais assíntotas encontram-se na frequência 
p1 τ=ω , que é chamada de freqüência de canto ou de quebra. Assim, a freqüência de quebra 
divide a curva de resposta de freqüência em duas regiões, uma curva para a região de baixa 
freqüência e outra para a de alta freqüência. 
 
Da Figura 10.4b, podemos verificar facilmente as seguintes características: 
 
1 - À medida que 0→ω , o atraso 0→φ . 
 
2 - À medida que ∞→ω , o atraso ( ) 90tan 1 −=∞−→φ − °. 
 
Na frequência de quebra, p1 τ=ω e o atraso 45)1(tan 1 −=−=φ − °. 
 
Figura 10.5 Gráfico de pKARlog versus ωτplog para um sistema de primeira ordem e duas 
assíntotas. 
 
267 
 
Se o ganho do sistema pK for igual a 1, significa que a saída iguala à entrada quando a 
freqüência se aproxima de zero. Se o ganho do sistema for maior do que 1, a amplitude da 
saída é maior do que a amplitude da entrada a baixas frequências. 
 
 
Exemplo 10.3 Diagrama de Bode de sistemas de segunda ordem 
 
O AR e o ângulo de fase para a resposta senoidal de um sistema de segunda ordem são: 
( ) ( )2222
p
21
K
AR
ζτω+ωτ−
= (10.38) 






ωτ−
ζτω
−=φ − 221 1
2
tan (10.39) 
 
A Figura 10.6 ilustra a resposta em freqüência para sistemas de segunda ordem para diversos 
valores do coeficiente de amortecimento ζ . 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 10.6. Diagrama de Bode para um sistema de segunda ordem. 
268 
 
 
As duas assíntotas para o gráfico AR versus τω podem ser determinadas. 
 
1 - À medida que 0→ω , o 0ARlog → ou 1AR → (assíntota de baixa freqüência). 
 
2 - À medida que ∞→ω , o τω−→ log2ARlog (assíntota de alta freqüência). É uma linha 
reta com inclinação -2 passando pelo ponto 1AR = e 1=τω . 
 
Para sistemas sub amortecidas ( 1<ζ ), AR pode exceder o valor 1. Particularmente para 
rω=ω , AR alcança um máximo (ressonância). rω é a freqüência ressonante dada por: 
 
τ
ζ−
=ω
2
r
21
 (10.40) 
 
1K ≠ , assíntota de baixa freqüência desloca-se pelo valor Klog .Exemplo 10.4 Tempo morto 
 
A resposta em freqüência do atraso puro de tempo pode ser obtida facilmente lembrando que, 
por definição, stde− representa uma grandeza complexa com módulo unitário e com ângulo de 
fase igual a ω− dt . A Figura 10.7 mostra a resposta em freqüência do atraso puro de tempo. 
Deve ser notado que a fase do atraso puro de tempo não satura em freqüências elevadas. Essa 
característica resulta num efeito desestabilizador quando o sistema opera em malha fechada. 
 
1AR = (10.41) 
ω−=φ dt (10.42) 
 
(a) 
269 
 
 
(b) 
Figura 10.7 Diagrama de Bode para um sistema tempo morto. 
 
 
10.4 Sistemas em série 
 
Para N sistemas em série cujas funções de transferência individuais são dadas por: 
 
)s(G,),s(G),s(G N21 … 
 
a função de transferência global será: 
 
)s(G)s(G)s(G)s(G N21 ⋯= (10.43) 
 
Fazendo ω= js na função de transferência temos: 
 
)j(G)j(G)j(G)j(G N21 ωωω=ω ⋯ (10.44) 
 
ou na forma polar: 
 
N21 j
N
j
2
j
1 e)j(Ge)j(Ge)j(G)j(G φφφ ωωω=ω ⋯ (10.45) 
( )N21j
N21 e)j(G)j(G)j(G)j(G φ+φ+φωωω=ω …⋯ (10.46) 
φω=ω je)j(G)j(G (10.47) 
 
em que: 
 
)j(G)j(G)j(G)j(G N21 ωωω=ω ⋯ (10.48) 
N21 φ++φ+φ=φ … (10.49) 
N21 )AR()AR()AR(AR ⋯= (10.50) 
N21 )ARlog()ARlog()ARlog(ARlog +++= … (10.51) 
270 
 
 
Se a função de transferência do sistema pode ser fatorada em um produto de N funções de 
transferência de sistemas simples, aplicam-se as seguintes regras: 
 
1 - O logaritmo da AR global é igual à soma dos logaritmos das AR s individuais. 
2 - O ângulo de fase global é igual à soma dos ângulos de fase individuais. 
3 - A presença de uma constante na função de transferência global desloca verticalmente toda 
a curva AR , não tendo qualquer efeito sobre o ângulo de fase. Usualmente, é mais 
conveniente incluir um fator constante na definição da ordenada. 
 
 
Exemplo 10.5 Uso do Scilab para traçar o diagrama de Bode para dois 
sistemas em série. 
 
Consideremos os seguintes sistemas em série: 
 
1s2
1)s(G1 += (10.52) 
1s5
6)s(G 2 += (10.53) 
 
A função de transferência global é: 
 
1s5
6
1s2
1)s(G)s(G)s(G 21 ++== (10.54) 
 
O programa mostra a obtenção dos gráficos referentes aos diagramas de Bode dos sistemas 
com o emprego do Scilab. 
 
Programa 
 
//Diagrama de Bode para dois sistemas em série 
// 
clear 
clc 
 
s=%s 
G1=1/(2*s+1) //função de transferência G1 
G2=6/(5*s+1) //função de transferência G2 
G=G1*G2 //função de transferência G 
Systf1=syslin('c',G1) //criação do sistema linear 1 
Systf2=syslin('c',G2) //criação do sistema linear 2 
Systf=syslin('c',G) //criação do sistema linear global 
w=logspace(-2,2,100) 
for i=1:length(w) 
 x1(i)=horner(Systf1,w(i)*sqrt(-1)) 
 x2(i)=horner(Systf2,w(i)*sqrt(-1)) 
 x(i)=horner(Systf,w(i)*sqrt(-1)) 
 AR1(i)=abs(x1(i)) 
 AR2(i)=abs(x2(i)) 
 AR(i)=abs(x(i)) 
 phi1(i)=atan(imag(x1(i)),real(x1(i))) 
 phi1(i)=phi1(i)*180/%pi 
271 
 
 phi2(i)=atan(imag(x2(i)),real(x2(i))) 
 phi2(i)=phi2(i)*180/%pi 
 phi(i)=atan(imag(x(i)),real(x(i))) 
 phi(i)=phi(i)*180/%pi 
end 
 
scf(1); 
clf 
plot2d('ll',w,[AR1 AR2 AR]) 
xlabel('w (rad/tempo)') 
ylabel('AR') 
xstring(12,0.01,'1/(2s+1)') 
xstring(30,0.05,'6/((5s+1)') 
xstring(1.8,0.005,'6/(2s+1)(5s+1)') 
scf(2); 
clf 
plot2d('ln',w,[phi1 phi2 phi]) 
xlabel('w (rad/tempo)') 
ylabel('phi (graus)') 
xstring(0.4,-38,'1/(2s+1)') 
xstring(0.7,-92,'6/((5s+1)') 
xstring(0.1,-110,'6/(2s+1)(5s+1)') 
 
O diagrama de Bode do sistema global é mostrado na Figura 10.7 como também os diagramas 
de Bode dos sistemas individuais. 
 
 
(a) 
272 
 
 
(b) 
Figura 10.7 Diagrama de Bode para dois sistemas em série. 
 
Podemos observar que à medida que 0→ω , 01 →φ e 02 →φ , portanto 0→φ . Observa-se 
também que à medida que ∞→ω , 901 −→φ ° e 902 −→φ °, portanto 180−→φ °. 
 
 
10.5 Estabilidade de Bode 
 
Antes de enunciar o critério de estabilidade de Bode, vamos entender a idéia básica por trás 
do critério em cima de um exemplo. 
 
 
Exemplo 10.6 
 
Para ilustrar a idéia do critério de estabilidade Bode, vamos considerar o sistema de controle 
da Figura 10.8. 
 
 
273 
 
 
Figura 10.8 Sistema em malha fechada. 
 
A função de transferência em malha aberta é: 
 
( )3
c
sp
m
OL 1s
K81
)s(y
)s(y)s(G
+
== (10.55) 
 
Para essa função de transferência, temos que: 
 
3=ω rad/min ⇒ 180−=φ ° (10.56) 
 
A freqüência onde o retardo de fase é igual a 180° é chamada de frequência de cruzamento, 
denotada por coω . Nesta freqüência, temos que: 
 
( ) 8
1
13
1
K81
AR
3
2c
=






+
= (10.57) 
 
consequentemente, se 
 
64
8
1
8
1
1K c =






= ⇒ 1AR = (10.58) 
 
Agora vamos “abrir” a malha com 64K c = , isto é, o sinal de realimentação é desligado do 
comparador. Imagina-se que uma perturbação no ponto de referência é aplicada sobre a malha 
aberta como indica a Figura 10.9. 
 ( )t3sen)t(y sp = (10.59) 
 
 
 
Figura 10.9 Sistema em malha aberta com entrada senoidal (setpoint). 
 
274 
 
A Figura 10.10 mostra a resposta de y em malha aberta a uma variação senoidal no setpoint. 
Note que, após um intervalo de tempo suficientemente grande, a saída é uma onda senoidal 
com a mesma amplitude da variação senoidal e defasada em 180°. 
 
 
 
Figura 10.10 Resposta em malha aberta a uma variação senoidal no setpoint com 64K c = . 
 
Então, a resposta final em malha aberta é 
 ( ) ( )t3sen180t3sen)t(ym −=°−= (10.60) 
 
Imagine agora que num dado instante o setpoint é tornado zero e ao mesmo tempo 
“fechamos” a malha. A resposta do sistema continuará oscilando continuamente com 
amplitude constante, uma vez que 1AR = , apesar da carga e do setpoint não mudarem, como 
indica a Figura 10.11. 
 
 
 
Figura 10.11 Sistema em malha fechada com oscilação contínua (entrada zero) 
275 
 
 
Dessa análise, fica claro que 
 
1 - 64K c = ⇒ 1AR = quando 180−=φ °, a oscilação da malha “fechada” exibirá uma 
oscilação sustentada. 
2 - 64K c > ⇒ 1AR > quando 180−=φ °, a oscilação da malha “fechada” exibirá amplitude 
crescente conduzindo a um sistema instável. 
3 - 64K c < ⇒ 1AR < quando 180−=φ °, a resposta da malha “fechada” exibirá amplitude 
continuamente decrescente. 
 
A Figura 10.12 mostra a resposta frequêncial da função de transferência )s(GOL com 
64K c = . 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 10.12 Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta. 
 
276 
 
 
Critério de estabilidade de Bode 
 
A função de transferência usada na análise de Bode é chamada de função de transferência de 
malha aberta representada por )s(GOL . 
 
)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G mpfcOL = (10.61) 
 
O critério é o seguinte: 
 
Um sistema de controle feedback é instável se a resposta frequencial de sua malha aberta 
apresentar um AR maior do que a unidade na freqüência para a qual o retardo de fase é 180° 
(frequência de cruzamento coω ). 
 
 
Observações 
 
1 - O critério acima é válido para sistemas cujas curvas de ganho e de fase decrescem 
continuamente com a freqüência. 
 
2 - Se a curva de fase se apresenta como a da Figura 10.13, deve-se usar o critério mais geral 
de Nyquist para se determinar a estabilidade. Felizmente a maioria dos sistemas de controle 
de processos pode ser analisada através do simplesdiagrama de Bode que, assim, encontra 
ampla aplicação. 
 
 
 
Figura 10.13 Comportamento da fase do sistema para o qual não se aplica o critério de Bode. 
 
3 - A aplicação não requer mais do que o traçado da resposta frequencial da malha aberta. 
 
 
10.6 Margem de ganho e de fase 
 
O método de Bode estabelece um critério que diz se uma determinada malha de controle é 
estável ou não. Em todos os sistemas de controle em malha fechada, é desejável que o mesmo 
seja estável, e, além disso, também é desejável que tal sistema possua estabilidade robusta 
adequada. 
 
Consideremos o diagrama de Bode da função de transferência da malha aberta do sistema de 
controle mostrado na Figura 10.14. 
277 
 
 
 
 
Figura 10.14 Definição de margens de ganho e de fase. 
 
Seja M a razão de amplitude na freqüência de cruzamento. Então, de acordo com o critério 
de Bode: 
 
Se 1M < o sistema em malha fechada é estável. 
Se 1M > o sistema é instável. 
 
Intuitivamente, se M for apenas ligeiramente menor do que a unidade, o sistema é quase 
instável, podendo-se esperar que ele se comporte de maneira altamente oscilatória, embora 
seja estável. Assim, é desejável que o mesmo seja estável e possua ainda estabilidade robusta 
adequada. Para tanto, define-se margem de ganho como: 
 
margem de ganho = 1
M
 (10.62) 
 
Então para sistemas estáveis M < 1 e, portanto, margem de ganho > 1. 
 
 
Observações 
 
1 – A margem de ganho constitui uma medida de quanto falta para levar o sistema a 
instabilidade. 
2 - Quanto maior a margem de ganho acima de um, mais robusto será o sistema de controle. 
3 - Especificação típica de projeto é que a margem de ganho não deve ser menor que 1,7. 
 
Outro critério é a margem de fase, que é a diferença entre 180° e o retardo ( )1(φ ) na frequência 
para a qual o ganho é a unidade. 
 
)1(180= fase de margem φ−� (10.63) 
278 
 
 
Margem de fase é o atraso de fase adicional necessária para desestabilizar o sistema. Quanto 
maior a margem de fase, maior será o fator de segurança usado no projeto do controlador. 
Uma especificação típica de projeto é que a margem de fase deve ser maior do que 30°. 
 
 
Exemplo 10.7 
 
Considere o sistema em malha fechada da Figura 10.15. Queremos determinar o ganho do 
controlador para uma margem de ganho de 1,7 e uma margem de fase de 30°. 
 
 
 
Figura 10.15 Sistema em malha fechada. 
 
A função de transferência à malha aberta é: 
 
1s5,0
eK
)s(y
)s(y)s(G
s1,0
c
sp
m
OL +
==
−
 (10.64) 
 
Consultando a Tabela 10.1, a razão de amplitude e a fase são dadas por: 
 
1
KKAR
22
c
+ωτ
= (10.65) 
 
ω−ωτ−=φ − d1 t)(tan (10.66) 
 
A Figura 10.16 mostra o diagrama de Bode da malha aberta. 
 
279 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 10.16 Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta. 
 
Margem de ganho 
 
Substituindo 180−=φ ° em (10.66), podemos determinar a frequência de cruzamento coω , 
chegando a 9,16co =ω rad/min. Calculando a razão de amplitude nessa freqüência, temos: 
 
[ ] c2
c K118,0
1)9,16(5,0
K
M =
+
= (10.67) 
 
A margem de ganho é: 
 
cK118,0
1
M
1
 ganho de margem == (10.68) 
 
Para uma margem de ganho de 1,7, temos então: 
280 
 
 
7,1
K118,0
1
c
= (10.69) 
 
0,5K c = (10.70) 
 
Para esse valor do ganho proporcional, a razão de amplitude é 1 1 7 0 588, ,= . 
 
Vamos supor que o tempo morto do processo não tenha sido estimado corretamente e que seu 
valor verdadeiro seja 0,15 em vez de 0,1. Então a função de transferência de malha aberta é: 
 
1s5,0
eK
)s(y
)s(y)s(G
s15,0
c
sp
m
OL +
==
−
 (10.71) 
 
Para essa função de transferência a freqüência de cruzamento é 6,11co =ω rad/min. Nessa 
freqüência a razão de amplitude é: 
 
( ) [ ] 850,01)6,11(5,0
0,5
1
KAR
22
p
c
=
+
=
+ωτ
= (10.72) 
 
e o sistema ainda é estável apesar do erro de 50% na estimativa do tempo morto do processo. 
Note que a razão de amplitude se aproximou do valor 1, ou seja, o sistema está mais próximo 
da instabilidade. 
 
Margem de fase 
 
Agora vamos sintonizar o controlador usando uma margem de fase de 30°. Da equação 10.65, 
temos que: 
 
1AR = ⇒ ( ) 15,0K 2c +ω= (10.73) 
 
Para uma margem de fase de 30°, podemos calcular a frequência correspondente da seguinte 
maneira: 
 
)1(180 fase de margem φ−°= (10.74) 
ou 
( )ω−+ω−−°=° − 1,05,0tan18030 1 (10.75) 
 
Resolvendo-se a equação 10.75, chegamos a solução 1,12=ω rad/min, e de (10.73) 
calculamos o ganho do controlador 14,6K c = . 
 
 
 
 
 
281 
 
Exemplo 10.8 Resposta inversa 
 
Quando há a presença de um zero positivo na função de transferência, o sistema exibe 
resposta inversa. Um efeito adverso é o fato de que o zero positivo piora as características do 
ângulo da fase adicionando -90° ao valor assintótico de φ . 
 
Para ilustrar esse efeito, vamos considerar a seguinte função de transferência de malha aberta: 
( )
( )2
c
OL 1s25,8
1s866,1K)s(G
+
−
= (10.76) 
A razão de amplitude e a fase são dadas por: 
( ) ( ) ( ) 125,8
1
125,8
11866,1
K
AR
22
2
c +ω+ω
+ω= (10.77) 
)25,8(tan)25,8(tan)8(tan 111 ω−+ω−+ω−=φ −−− (10.78) 
 
O diagrama de Bode da malha aberta é mostrado na Figura 10.17. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 10.17 Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta. 
282 
 
 
Sem a presença do zero positivo, a malha fechada seria estável para qualquer 0K c > , pois à 
medida que ∞→ω , 180−→φ °, ou seja, o retardo de fase não atingirá 180°, pois )s(GOL é 
uma função de transferência de segunda ordem. Com a presença do zero positivo, o atraso de 
fase ultrapassa 180° e tende ao valor de 270°, conforme podemos visualizar na Figura 10.17b. 
Portanto, há um valor limite do ganho cK para que a malha fechada seja estável. 
 
Para 180−=φ °, 217,0co =ω rad/min, 792,0K
AR
c
= e, portanto, 26,1
792,0
1K c == , que é o 
máximo valor do ganho sem desestabilizar a malha fechada. 
 
Exemplo 10.9 
 
Um sistema de nível com dois tanques (Figura 10.18) deve ser controlado com um 
controlador PI. As constantes de tempo são de 20 e 10 min, enquanto que a do elemento de 
medida de primeira ordem é de 30s. O tempo integral é de 11,7 min. Ache os valores 
permissíveis para o ganho proporcional do controlador em termos de estabilidade do sistema. 
 
Figura 10.18 Sistema de nível líquido de dois tanques em série. 
 
Pelos dados fornecidos, a função de transferência em malha aberta é dada por: 
 
( )( )( )1s5,01s101s20
1
s7,11
11KG cOL +++






+= (10.77) 
 
Para aplicar o critério de estabilidade de Bode, podemos construir o diagrama de Bode da 
função OLG . 
 
Programa 
 
//Exemplo 10.9 
clear 
clc 
 
s=%s 
GOLoKc=(1+1/(11.7*s))*1/((20*s+1)*(10*s+1)*(0.5*s+1)) //função de 
transferência da malha aberta GOL 
sysOL=syslin('c',GOLoKc) //cria o sistema linear da malha aberta 
 
283 
 
w=logspace(-2,2,1000) 
for i=1:length(w) 
 x(i)=horner(sysOL,w(i)*sqrt(-1)) 
 ARoKc(i)=abs(x(i)) 
 phi(i)=atan(imag(x(i)),real(x(i))) 
 phi(i)=phi(i)*180/%pi 
 if phi(i)>=0 then 
 phi(i)=phi(i)-360 
 end 
end 
 
scf(1); 
clf 
plot2d('ll',w,ARoKc) 
xlabel('w (rad/tempo)') 
ylabel('AR/Kc') 
scf(2); 
clf 
plot2d('ln',w,phi) 
xlabel('w (rad/tempo)') 
ylabel('phi (graus)') 
 
O diagrama de Bode é mostradona Figura 10.19. 
 
(a) 
284 
 
 
(b) 
 
Figura 10.19 Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta. 
 
Para 180−=φ °, 358,0co =ω rad/min, 0377,0K
AR
c
= e, portanto, 5,26
0377,0
1K c == , que é 
o máximo valor do ganho proporcional (com 7,11I =τ min) sem desestabilizar a malha 
fechada. 
 
 
Exercícios 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
 
10.1 Um controlador proporcional é usado para controlar um processo representado pela 
função de transferência )s(G . Determine o valor máximo de cK usando o método de Bode. 
 
1s10
e2)s(G
s2
+
=
−
 
 
Solução 
 
Para esse problema, o cálculo poder feito sem traçar o diagrama de Bode. Em primeiro lugar, 
determinamos a frequência de cruzamento coω pelo critério de estabilidade de Bode. A 
função de transferência de malha aberta )s(GOL dada pela equação 10.61 fica 
 
1s10
e2K)s(G
s2
cOL +
=
−
 (1) 
 
285 
 
s2
cOL e1s10
2K)s(G −
+
= (2) 
 
que pode ser vista como 
 
)s(G)s(GK)s(G 21c= (3) 
com 
1s10
2)s(G1 += (4) 
s2
2 e)s(G −= (5) 
 
Assim 
 
21 φ+φ=φ (6) 
e 
21c )AR()AR(KAR = (7) 
 
A frequência de cruzamento coω pode ser determinada resolvendo a equação 
 
[ ] 





pi
ω−ωτ−=− −
2
360
t)(tan180 dp1o (8) 
 
O valor 57,3 converte radianos em graus. A equação pode ser colocada como 
 
[ ] 0
2
360
t)(tan180)(f dp1o =





pi
ω−ωτ−+=ω − (9) 
 
e resolvida usando o programa Scilab a seguir. 
 
Programa 
 
clear 
clc 
 
function f=frequencia(w) 
 global taup td 
 f=180+[atan(-w*taup)-td*w]*360/(2*%pi) 
endfunction 
 
global taup td 
Kp=2 
taup=10 
td=2 
wco0=1 
wc=fsolve(wco0,frequencia) 
printf('wc0 = %f\n',wc) 
 
A solução dessa equação é dada por 84444,0co =ω rad/min. Nessa freqüência, da equação 7, 
temos 
 
286 
 
22
p
p
c
1
K
KAR
ωτ+
= (10) 
 
De acordo com a estabilidade de Bode, o limite é 1AR = . Assim, 
 
22u 8444,0101
2K1
+
= (11) 
 
Portanto, 2466,4K u = . 
 
A seguir, mostramos o diagrama de Bode ( ω×cKAR e ω×φ ) com o qual, podemos obter 
os mesmos resultados. 
 
 
 
Figura 10.20 Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta. 
 
Para 180−=φ °, 84444,0co =ω , 2355,0K
AR
c
= e, portanto, 2466,4
2355,0
1K u == . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
287 
 
 
 
10.2 Um processo que é controlado por um controlador PI está apresentando em malha 
fechada uma oscilação de período e amplitudes constantes. Que alterações podem ser feitas 
nos parâmetros do controlador ( cK ou Iτ ) para eliminar esse problema? 
 
10.3 Sem calcular exatamente, apresente de forma esquemática os diagramas de Bode para as 
seguintes funções: 
 
a) 
1s5
5)s(G
+
= 
b) 2s
1)s(G = 
c) ( )2
s2
1s4
e1)s(G
+
=
−
 
 
10.4 Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas 
 
a) O atraso de fase é nulo para um processo cuja razão de amplitudes é constante. 
b) A razão de amplitudes do processo ( )21s3
1s2)s(G
+
+
= tende a zero quando a frequência tende 
ao infinito. 
c) A razão de amplitudes para um sistema de segunda ordem sub-amortecido pode passar por 
um máximo quando a frequência aumenta. 
d) O atraso da fase aumenta sem limite quando a frequência tende ao infinito para um 
processo que é um tempo morto. 
e) Para um integrador, a razão de amplitudes é muito alta para baixas frequências e muito 
pequena para altas frequências. 
f) O atraso na fase de para um controlador PI se torna muito alta para baixas frequências. 
g) O atraso de fase do processo 
1s3
1s2)s(G
+
+
= tende para 2pi− quando a frequência tende 
para infinito. 
h) O atraso na fase do processo 
1s3
1)s(G
−
= tende para 2pi− quando a frequência tende 
para infinito. 
 
10.5 Responda as seguintes perguntas relativas ao modo derivativo: 
 
a) Represente esquematicamente o diagrama de Bode de um controlador PID considerando os 
casos em que o tempo integral seja maior e menor que o tempo derivativo. Daí, com base 
nesse diagrama avalie para cada caso o efeito de ruídos de alta frequência na variável 
manipulada. 
b) Represente a função de transferência de um PID que usa o modo derivativo na variável de 
processo. Como fica a análise da estabilidade da malha com esse controlador? 
 
10.6 Um reator CSTR pode ser representado pela seguinte equação: 
 
288 
 
( ) AAiA ckVFFcDT
dcV +−= 
 
onde Aic é a concentração de A na alimentação e Ac a concentração de A no produto. O 
tempo de residência no reator é da ordem de 10 min ( 10FV = min) e a constante de reação é 
dada pela equação: 
 
T50005 e10923,6k −×= 
 
onde T é a temperatura em graus Kelvin. Sabe-se que a temperatura do reator varia 
lentamente entre 290K e 315K. Pretende-se instalar nesse reator um controlador da 
concentração de saída ( Ac ) que manipule a concentração de entrada ( Aic ). Admitindo que as 
dinâmicas da válvula e sensor sejam desprezíveis, pede-se: Analisar a necessidade de se re-
sintonizar o controlador quando a temperatura varia na faixa citada. 
 
10.7 Um controlador PI deve ser usado para controlar o seguinte processo: 
 
1s10
e7)s(G)s(G)s(G
s2
mpv +
=
−
 
 
Um engenheiro nos forneceu os seguintes conjuntos de parâmetros para o controlador: 
 
Parâmetros Caso A Caso B Caso C Caso D 
cK 12 12 0,3 0,3 
Iτ 6 1 6 1 
 
Determine quais conjuntos de parâmetros são aceitáveis e explique porque. 
 
10.8 Um processo de primeira ordem com tempo morto tem a seguinte função de 
transferência 
 
1s2
e10)s(G
st
p
d
+
=
−
 
 
Esse processo será controlado com um controlador PI. Use o critério de estabilidade de Bode 
para achar a faixa de valores do ganho cK em função de dt de modo que a resposta em malha 
fechada seja estável. Assume-se que 1GG fm == e o tempo integral do controlador PI seja 
5,0I =τ min. 
 
10.9 Usando o critério de estabilidade de Bode, determine a faixa de valores de cK que 
estabiliza o processo instável: 
 
5s
1)s(G p
−
= 
 
O controlador é proporcional e 1GG fm == . 
289 
 
 
10.10 Um processo pode ser representado por um tempo morto puro e está sendo controlado 
por um controlador proporcional. A válvula de controle e o sensor têm dinâmicas desprezíveis 
e ganhos 5,2K v = e 1K m = respectivamente. Após uma pequena alteração no set-point, 
observa-se uma oscilação permanente com período de 10 min. Daí pergunta-se: 
 
a) Qual o ganho cK do controlador que está sendo usado? 
b) Qual o valor do tempo morto?