Lista 2

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2ª LISTA DE ESTATÍSTICA BÁSICA PARA ENGENHARIA 
 
 
PROFESSORA: Luz Amanda 
 
TURMA: B1 
 
 
 
1.- De um lote que contêm 25 peças das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso. Seja X o número de defeituosas 
encontradas. Estabeleça a distribuição de probabilidades de X, quando. 
a) As peças forem escolhidas com reposição. 
b) As peças forem escolhidas sem reposição. 
 
2.- As chamadas diárias do corpo de bombeiros apresentam a seguinte distribuição: 
 
 N de chamadas/dia 0 1 2 3 4 5 
% dias 10 15 30 25 15 5 
 
 a) Calcular o número médio diário de chamadas, bem como o desvio padrão; 
 b) Num ano de 365 dias, pode-se esperar que o número total de chamadas tenha sido de quanto? 
 c) Determinar a função de distribuição acumulada de X. 
 d) Escreva as probabilidades abaixo em função da função acumulada, e obtenha o resultado. 
 d1) P(0 < X  3). d2) P( 1 < X  12). d3) P( 3 < X  5). 
 
3.- Suponha que a variável aleatória X tenha os valores possíveis 1, 2, 3, ... e P(X = j) = 1/2
j
, j = 1, 2, ... 
a) Calcule P(X ser par). 
b) Calcule P(X  5). 
 
4.- Numa indústria de produtos alimentícios, um determinado material é acondicionado em pacotes numa máquina 
automática. A empacotadeira está regulada para pesar em média 200 gramas de material, porém, dado o grau de precisão 
da máquina, o peso real obtido se distribui em torno dessa média com um desvio padrão de 3g. Supondo que a 
embalagem tem um peso constante de 25g, qual a média, e o desvio padrão do peso bruto do pacote? 
 
5.- Uma v.a. X que pode assumir valores entre x = 2 e x = 5 tem a seguinte uma função de densidade: f(x)=2(1+x)/27. 
Determine: 
a) P(X < 4) b) P(3 < X < 4) c) P(X > 3,5). 
 
6.- Considere a função de densidade 
 


 

..0
10,
)(
cc
xxk
xf
 
 a) Encontre o valor de k. 
b) Determine F(x) e use-o par avaliar P(0,3  X < 0,6) 
 
7.- A variável aleatória contínua X tem fdp f(x) = 3x
2
, -1  x  0, se b for um número que satisfaça a –1 < b < 0, Calcule P(X 
> b | X < b/2). 
 
8.- O diâmetro X de um cabo elétrico supõe-se ser uma v.a. contínua X com fdp f(x) = 6x(1 – x), 0  x  1. 
a) Verifique que essa expressão é uma fdp e esboce seu gráfico. 
b) Obtenha uma expressão para a função de distribuição de X e esboce seu gráfico. 
c) Calcule P(X  1/2 | 1/3 < X < 2/3). 
 
9.- Seja 

















51
549,0
438,0
325,0
213,0
101,0
00
)(
xpara
xpara
xpara
xpara
xpara
xpara
xpara
xF
 
 a) Construir o gráfico de F(x). 
b) Determinar a distribuição de probabilidades de X. 
c) Determinar o valor esperado e variância de X. 
d) Sendo Y = 3X – 2, calcular E(Y) e V(Y). 
 
 
10.- Dada a tabela: 
 
 X 0 1 2 3 4 5 
p(x) 0 p
2
 p
2
 p p P
2
 
 
 a) Ache p; 
 b) Calcule P(X ≥ 4) e P(X < 3) 
 c) Calcule P(|X – 3| < 2). 
 d) Calcule a função de distribuição e faça o seu gráfico. 
 
11.- Seja f(x) 







2xou0xse0
1x0sekx
 ; Determinar: 
a) k a fim de que f(x) seja f.d.p 
b) o gráfico de f(x) 
c) P(0 ≤ X ≤ ½) 
d) E(X) 
e) Var(X) 
f) F(x) 
g) o gráfico de F(x). 
 
12. De um lote que contêm 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas com reposição, 5 peças. 
a) Qual a probabilidade de que nenhuma peça defeituosa seja selecionada? 
b) Calcule a esperança da variável que você definiu no item a), interprete esse valor, e calcule também o desvio padrão da 
mesma variável. 
c) Repetir os itens a) e b) considerando que a escolha das peças é sem reposição. 
 
13. Uma fábrica de automóveis anuncia que um tipo de carro, por ela produzido, tem apresentado um defeito nos freios, com 
uma freqüência aproximadamente igual a 30 por cento. Como se trata de um defeito grave, a fábrica solicita que os 
proprietários de carros desse tipo levem seus carros as revendedoras, para que seja realizada uma inspeção e, caso 
necessário, a correção do defeito. Uma particular revendedora recebeu da fábrica dez conjuntos de peças para consertar o 
defeito e 25 carros para ser inspecionados, qual é a probabilidade que ela possa consertar todos os carros que apresentem 
o defeito? 
 
14. Pequenos motores são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa, antes da 
posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um for 
defeituoso, todos os 50 motores são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja 
necessário examinar todos os motores dessa caixa? 
 
15. Numa urna há 40 bolas brancas e 60 pretas. Retiram-se 20 bolas. Qual a probabilidade de que ocorram no mínimo 2 bolas 
brancas, considerando extrações: 
 a) sem reposição 
 b) com reposição. 
 c) em cada caso, [a) e b)], qual o número esperado de bolas pretas a serem selecionados? 
 
16. Se X é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,2. Determine a esperança e o 
desvio padrão de Y = 3X – 2. 
 
17. Um engenheiro de tráfico de controle reporta que 75% de veículos que passam por uma revisão são de dentro do estado. 
Qual a probabilidade de que ao menos 3 dos seguintes 5 veículos sejam de fora do estado? 
 
18. O número de partículas radioativas emitidas por uma fonte segue distribuição de Poisson com  = 0,5 partículas por 
segundo. Determine a probabilidade da fonte emitir: 
 a) Uma partícula em um segundo. 
 b) Mais de uma partícula em um segundo. 
 c) Uma partícula em 3 segundos. 
d) No máximo duas partículas em 3 segundos. 
 
19. Os clientes chegam a uma loja à razão de 6,5 clientes por hora. Determine a probabilidade de que, durante qualquer hora: 
 a) Não chegue nenhum cliente. 
b) Chegue ao menos um cliente. 
c) Mais de um cliente 
d) Exatamente 6,5 clientes 
 
21. O tempo de vida em horas, de um dispositivo, é dado pela função densidade 
 
 f(t) = 
1
50
50e
t
 , t  0 
 
 a) Qual a probabilidade de que um desses dispositivos dure mais que 25 e menos que 75 horas? 
 b) Sabendo-se que tal ocorreu, qual a probabilidade de que tenha durado mais que 50 horas? 
 c) Calcule E(X) e interprete. 
 
22. Seja X uma variável aleatória com distribuição triangular com parâmetros a = 2, b = 4 e c = 2,5. 
a) Determine probabilidade de X tomar valores entre 2,25 e 3 
b) Determine a esperança e a variância de X. 
23. Se X é uma variável aleatória com distribuição triangular com parâmetros a, b e c, prove que: 
3
cba
)X(E


. 
24. Determine a função de distribuição de X, se: 
a) X tem distribuição uniforme no intervalo [a; b]. 
b) X tem distribuição triangular com parâmetros a, b e c. 
c) X tem distribuição exponencial com parâmetro . 
 
25. Sabe-se que o tempo de duração de um determinado componente eletrônico segue uma distribuição exponencial com 
média de 2 anos. O laboratório de Estatística comprou um desses componentes, 
a) qual a probabilidade de que o componente dure mais de dois anos? 
b) se o componente funcionou 1,75 anos, qual a probabilidade dele funcionar mais de 2,5 anos? 
 
26. Suponha-se que a probabilidade de que uma peça, produzida por determinada máquina, seja defeituosa é de 0,2. Se 10 
peças produzidas por essa máquina forem escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais de uma seja 
encontrada? Empregue as distribuições binomial e Poisson e compare os resultados. 
 
27. uma companhia de seguros descobriu que somente cerca de 0,1 por cento da população está incluída em certo tipo de 
acidente cada ano. Se seus 10.000 seguradossão escolhidos, ao acaso, na população, qual é a probabilidade de que não 
mais do que 5 de seus clientes venham a estar incluídos em tal acidente no próximo ano? 
 
28. Se X segue uma distribuição normal com média 10 e variância 4, calcular: 
a) P(8 < X  10), b) P(9  X < 12), c) P(X > 10) d) P(X < 8 ou X > 10). 
 
29. As lâmpadas fabricadas por uma indústria têm vida média de 2.060 horas e desvio padrão de 150 horas. Assumindo que 
o tempo de vida tem uma distribuição normal, Calcular a probabilidade de que: 
a) uma lâmpada queimar-se com mais de 1.900 horas; 
b) idem, com menos de 1.800 horas; 
c) idem, entre 1.900 e 2.220 horas; 
d) idem, entre 1800 e 1900 horas; 
e) no máximo 1 lâmpada, de um conjunto de 4 lâmpadas, queimar com mais de 1.800 horas; 
f) exatamente 2 lâmpadas, de um conjunto de 5 lâmpadas, queimar-se com menos de 2.060 horas. 
 
30. A nota média de um exame final foi 72 e a variância 81. Sabe-se que 10% dos melhores alunos receberam a classificação 
A. Qual a nota mínima que um aluno deve obter para classificar-se em A, assumindo que a distribuição de notas segue 
uma distribuição normal? 
 
31. Os pesos dos indivíduos de uma fábrica seguem uma distribuição normal com média 70 Kg. e desvio padrão 3 Kg. (isto é 
variância 9 Kg
2
). 
a) Calcule a probabilidade de um indivíduo retirado ao acaso desta população apresentar: 
a1) peso entre 65 e 75 Kg. 
a2) peso superior a 77 Kg. 
a3) peso menor que 68 Kg. 
a4) peso superior a 69 e inferior a 73. 
b) Se 5 indivíduos foram selecionados aleatoriamente, calcule a probabilidade de: 
b1) exatamente 3 pesar mais de 73 Kg 
b2) no máximo 2 indivíduos pesar menos de 68,2 Kg. 
 
32. Vamos supor que o tempo necessário para responder as questões de um exame tem distribuição normal com média 100 
minutos e desvio padrão 15 minutos; 
a) Se 200 estudantes se submetem a esse exame, qual é o número esperado de estudantes que termina durante as duas 
primeiras horas? (sugestão: qual a proporção esperada dos estudantes que termina durante este período?) 
b) Os examinadores gostariam que em média, apenas 75% dos estudantes conseguissem completar todas as questões do 
exame. Nessas condições, qual deverá ser a duração da prova? 
 
33. Se T é uma v.a. com distribuição t – Student com 25 graus de liberdade determine o valor de t tal que: 
a) P[T ≤ t] = 0,975; 
b) P[T > t] = 0,025; 
c) P[|T| ≤ t] = 0,9; 
 
34. Seja T uma variável aleatória com distribuição t – Student com 205 graus de liberdade. Determine: 
a) P[T > 1]; 
b) P[T ≤ 0,75/ T > - 2,7]; 
c) P[- 2,3 < T ≤ 1,89]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
 
1. a) b) 
x f(x) x f(x) 
0 256/625 0 969/2530 
1 256/625 1 114/253 
2 96/625 2 38/253 
3 16/625 3 3/253 
4 1/625 4 1/2530 
 1 1 
 
2. a) E(X) = 2,35 V(X) = 1,7275 DP(X) = 1,314343943 
 
 b) 493. 
 
 c) 



















51
5495,0
4380,0
3255,0
2125,0
1010,0
00
)(
xpara
xpara
xpara
xpara
xpara
xpara
xpara
xF
 d) d1) 0,7 d2) 0,75 d3) 0,2 
 
3. a) 1/3 b) 1/16 
 
4. 3 gr. 
 
5. a) 16/27 b) 1/3 c) 7/12 
 
6. a) k = 3/2 b) F(x) = 








1,1
10,
0,0
2/3
x
xx
x P(0,3  X < 0,6) = 0,300441234. 
7. 
8
7
3
3


b
b
 
 
8. b) F(x) = 








1,1
10,23
0,0
32
x
xxx
x c) 1/2 
 
9. b) 
 x f(x) 
 0 0,1 
 1 0,2 
 2 0,2 
 3 0,3 
 4 0,1 
 5 0,1 
 1,0 
 
 c) E[X] = 2,4 V[X] = 2,04 
 
 d) E[Y] = 5,2 V[Y] = 18,36 
 
10. a) 1/3 b) 4/9 e 2/9 c) 7/9 
11. a) k = 2. c) 1/4 d) 2/3 e) 1/18 F(x) = 








1x1
1x0x
0x0
2
 
 
 
12.- a) 0,32768 b) DP(X) = (0,8)1/2 c) 0,291812535 DP(X) =0,917662935 
 
14.- 0,487432271 
 
15.- a) 0,999839 b) 0,99948 c) 12 e 12 
 
16.- E(Y) = 4 DP(Y) = 3,794733192 
 
17.- 0,103515625 
 
18.- a) 0,303265329 b) 0,09020401 c) 0,33469524 d) 0,80884683 
 
19.- a) 0,0015 b) 0,776 c) 0,989 d) impossível 
 
21. a) 0,383400499 b) 0,377540669 c) 50. 
 
22.- a) 0,6875 b) E(X) = 17/6 e V(X) = 
5180,0
 
 
25.- a) 0,367879441 b) 0,687289278 
 
26- a) 0,375809638 b) 0,406005849 
 
27.- 0,109988897 
 
28.- a) 0,34134 b) 0,5328 c) 0,5 d) 0,65865 
 
29.- a) 0,85769 b) 0,04182 c) 0,81587 d) 0,10049 e) 0,0002833819825 
 
 f) 0,3125 
 
30.- 83,565 
 
31.- a1) 0,90508 a2) 0,0099 a3) 0,25143 a4) 0,47064 
 
b1) 0,028271276 b2) 0,888032397 
 
32. -a) 182 b) 110 
 
33.- a) 2,06 b) 2,06 c) 1,708 
 
34.- a) 0,1587 b) 0,7726 c) 0,9599