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Departamento de Engenharia Agrícola e Meio Ambiente 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE E HIDRÁULICA III / HIDRÁULICA III 
Prof Antonio Henrique Monteiro F T Silva 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – LEIS DE CONSERVAÇÃO 
Aspectos importantes: 
� Demonstrar o passo-a-passo das equações e simplificações utilizadas; 
� Organização do desenvolvimento e raciocínio da questão; 
� Caligrafia legível; 
� Unidades corretas; 
� Contas corretas; 
QUESTÃO 1 
a) Na figura abaixo, se a massa do volume de controle não estiver mudando, encontre a velocidade 
média V3. 
 
b) Considere agora que a velocidade média do problema anterior como sendo V3=10m/s. Calcule a 
taxa na qual a massa do volume de controle está variando. 
 
(i) Regime permanente (primeira parte); 
(ii) Propriedades Uniformes na seção de escoamento (quando for o caso); 
(iii) Escoamento sem atrito; 
(iv) Fluido incompressível; 
Parte A 
Regime Permanente: 
 (1) 
cm/s 
Seção de controle 1 – Calculamos em cm3 uma vez que seria complexo transformar a unidade de V(r) já que não 
conhecemos as unidades dos demais coeficientes envolvidos na equação. Para tanto, usaremos o valor de 
ρ=1g/cm3=0,001Kg/cm3. Como a área de uma seção circular é dada por A=πr2, sabemos que dA=2 πrdr. Inserimos 
o sinal negativo decorrente do produto escalar para fluxo de entrada no VC. 
 
Se o cálculo fosse feito para vazão volumétrica o resultado seria 
Seção de controle 2 – Não há cálculos a serem feitos para esta seção. O fluxo mássico é +10kg/s (saindo do VC). 
Seção de controle 3 – Utilizamos a equação 1 e calculamos a vazão mássica na SC 3 a partir dos dados das outras 
seções. 
 
Se o cálculo fosse feito para vazão volumétrica o resultado seria 
Conclui-se que na seção 3 o fluxo está, na verdade para dentro do VC. 
A velocidade 3 é obtida sabendo-se que Q3=V3*A3, onde A3=πD
2
 /4. Logo, 
 
Parte B 
Se a velocidade 3 fosse 10m/s=1000cm/s (saindo do volume de controle como mostra o sinal dado), teríamos 
variação de massa dentro do VC e, portanto, 
 
 
Questão 2 Água é descarregada por um estreito entalhe em um tubo de 150 mm de diâmetro. O jato 
resultante, horizontal e bidimensional, tem 1 m de comprimento e espessura de 15 mm, com velocidade 
não-uniforme. A pressão na seção de entrada é 30 kPa (manométrica). Calcule: 
(a) A vazão em volume na seção de entrada; 
(b) As forças requeridas no acoplamento para manter o tubo borrifador no lugar. Despreze as 
massas do tubo e da água que ele contém. 
 
 
 
(i) Regime permanente 
(ii) Propriedades Uniformes na seção de escoamento 
(iii) Escoamento sem atrito 
(iv) Fluido incompressível 
Determinando o perfil de velocidades que se estende ao longo do rasgo de comprimento L=1m e largura t=0,015m 
(considere um eixo imaginário x que começa no início do entalhe); 
 
(a) Determinando a vazão na seção de entrada (chamada de seção E). 
Regime Permanente: 
 
 logo 
 
VC 
 
 
x 
Análise em separado da integral (lembrar que integral é a área sob o gráfico de uma curva f(x) ) 
 = Área do trapézio formado pelo perfil de velocidades = Vazão por unidade de largura do 
rasgo por onde escoa a vazão de saída. Observe que, neste caso, como L=1: 
 
Área do trapézio de altura unitária 
Fazendo as contas, teremos: (entrada) 
Como Q=VA, temos que (velocidade positiva de acordo com o sistema de coordenadas) 
(b) Utilizando a equação da conservação da quantidade de movimento para regime permanente: 
 
Na direção x: 
 
Como a velocidade na saída não tem componente na direção x, a velocidade na entrada só tem componente x e 
como as forças de campo (pesos do tubo e água foram desconsiderados), tem-se que: 
 e 
 � o sinal da integral aqui vem do produto escalar 
 
� O sinal negativo da resposta indica que o sentido original de Rx foi arbitrado erroneamente; 
Na direção y: 
Como a velocidade na saída só tem componente na direção y, a velocidade na entrada não tem componente y e 
como as forças de campo (pesos do tubo e água foram desconsiderados), tem-se que: 
 
 e 
� O sinal da velocidade vem do sistema de coordenadas. Ainda temos que adicionar o sinal do produto 
escalar que, neste caso, é positivo já que o fluxo é de saída. 
= 
 
� O sinal negativo da resposta indica que o sentido original de Rx foi arbitrado erroneamente; 
 
� Vetorialmente: 
 
 
Questão 3 
 
Solução: Considerações 
(i) Regime permanente; 
(ii) Propriedades Uniformes na seção de escoamento de entrada; 
(iii) Escoamento sem atrito; 
(iv) Fluido incompressível; 
Equação da Conservação da Massa 
Consideramos o volume de controle neste caso acompanhando a geometria do canal. 
Regime Permanente: 
 (1) 
Colocando os sinais correspondentes à vazão de acordo com o produto interno e simplificando a integral na seção 
uniforme. 
 (2) 
(1) 
(2) 
Determinando o perfil de velocidades na seção (2) em função de x. 
 Equação da Reta: V=Vmáx quando x=0 e V=Vmín quando x=h � 
Como V máx =2Vmín 
 � � 
Na seção (2), o elemento de área, para uma largura constante w, pode ser escrito como dA=wdx. A velocidade em 
(1) é a velocidade uniforme U dada. Assim, a Eq. (2) toma a forma: 
 (3) 
 (4) 
 (5) 
 (6) 
 (7) 
Como A1=hw: (8) 
Simplificando os termos comuns: 
 (9) (10) 
Questão 4 
 
Solução: Como o problema solicita a taxa de variação de massa, utilizaremos uma abordagem de regime transiente. 
(1) (2) 
 
 
Considerando-se que o escoamento é incompressível (ρ=cte) e inserindo os sinais corretos dos produtos internos. 
 
Como e como, pela equação da continuidade Q=VA, temos 
 
Convertendo gpm (=gal/min) em gal/s e lembrando que 1ft3=7,48gal 
 
 
 
Questão 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerações: 
i) Regime Permanente 
ii) Ausência de atrito 
iii) Propriedades Uniformes nas seções de escoamento 
iv) Fluido incompressível 
v) Utilização das pressões manométricas 
 
Como se trata de uma Equação Vetorial, faremos a resolução tanto na direção X quanto na Y. 
É importante verificar a forma dos vetores velocidade nas duas seções sob análise: 
 e 
A aplicação da conservação da massa nos fornece o valor da velocidade de saída uma vez que, na versão 
simplificada: 
 
 
ou seja 
 
 
 
Assim, o vetor velocidade na seção 2 toma a forma 
 
 
 
É fácil perceber que a velocidade em 1 pode ser determinada por Q=VA aplicado na seção 1. 
 
 
Aplicando a equação da conservação da quantidade de movimento em x, em regime permanente, temos: 
 
 
Verificando os sinais dos produtos internos e abrindo os termos de fluxo através da SC 
 
 
 
Aplicando a equação da conservação da quantidade de movimento em y, em regime permanente, temos: 
 
 
Verificando os sinais dos produtos internos e abrindo os termos de fluxo através da SC 
 
 
 
VETORIALMENTE: