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Disciplina
Fenômenos de Transporte
Unidade 1
Estática e cinemática dos �uidos
Aula 1
De�nição e propriedades dos �uidos
Introdução
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Vamos começar nosso estudo de Fenômenos de
Transporte entendendo o que é um �uido. Entender como um �uido se comporta, te ajudará a
compreender suas propriedades, como massa e peso especí�co, viscosidade absoluta ou
dinâmica, além da Lei de Newton da Viscosidade. A partir disso, �cará claro a importância
dessas propriedades para aplicações na Engenharia e áreas correlatas, como estimar qual a
pressão que um equipamento subaquático de exploração de petróleo sofre a determinada
profundidade, como projetar sistemas hidráulicos para a construção civil e mecânica, entender
como uma usina hidrelétrica gera energia e muitas outras aplicações de grande importância para
o cotidiano de sua pro�ssão.
Poderia listar mais uma grande quantidade de aplicações, mas convido você a estudar e se
aprofundar no tema, o que lhe trará novos conhecimentos totalmente aplicáveis e que lhe farão a
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Fenômenos de Transporte
diferença em sua carreia.
Bons estudos! 
De�nição e propriedades dos �uidos
De acordo com Brunetti (2008, p. 1) “�uido é uma substância que não tem uma forma própria,
assume o formato do recipiente”. Por de�nição, um sólido, colocado em um recipiente, não
alterará sua forma. Já o líquido e gás tomarão a forma desse recipiente (Figura 1).
Figura 1 | Exemplo de como os sólidos, líquidos e gases se comportam dentro de recipientes. Fontes: Pixabay.
Na Figura 1, as frutas não alteram seu formato quando colocadas no recipiente. Já água no copo,
toma a sua forma. Nos cilindros de gás, o �uido toma o formato do recipiente.
O conceito de �uido é explicado também pelo modelo das “duas placas” (Brunetti, 2008).
Considere um sólido �xo entre duas placas, em que a superior é móvel e a inferior �xa. A
aplicação de uma força tangencial na placa superior faz o sólido se deformar até atingir o
equilíbrio estático. Quando a mesma con�guração é aplicada a um �uido, a placa superior e a
primeira camada adjacente do �uido à placa móvel adquirem uma velocidade . As demais
camadas adquirem velocidades inferiores à primeira camada, até que a camada adjacente à
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placa �xa apresentará velocidade zero. A Figura 2 mostra o diagrama de velocidades das
camadas de um �uido cisalhado por ação de uma força  tangencial.
Figura 2 | Per�l de velocidades de um �uido entre duas placas. Fonte: adaptada de Çengel e Cimbala (2015, p. 51).
Ainda segundo Brunetti (2008), esse fenômeno é chamado de Princípio da Aderência ou
Condição de não deslizamento, pois os pontos do �uido que estão em contato com a superfície
sólida “aderem” a ela.
A Figura 3 mostra as resultantes das forças que atuam em um �uido. Uma força transversal à
superfície, , e outra, normal à superfície, . Essas forças, aplicadas sobre uma determinada
área , geram as tensões de cisalhamento, , e normal, , respectivamente.
F  
Ft Fn
A τ σ
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Figura 3 | Forças atuantes sobre um �uido. Fonte: adaptada de Fox et al. (2018, p. 27).
Considere a tensão de cisalhamento:
 
Existe, entre as camadas do �uido, uma espécie de atrito devido às interações entre elas. Quanto
maior o atrito, mais viscoso é o �uido. Se a tensão de cisalhamento do �uido é proporcional ao
gradiente de velocidade, temos que esse �uido é newtoniano, e, portanto, segue a Lei de Newton
da Viscosidade.
Os �uidos newtonianos são equacionados como se segue, em que a viscosidade dinâmica, , é a
constante de proporcionalidade e  é a distância entre as placas:
 
Outras propriedades dos �uidos devem ser apresentadas:
     Massa especí�ca ( ): é a relação entre a massa do �uido ( ), e o volume ( ) ocupado por
essa massa de �uido.
     Peso especí�co ( ): é a razão entre o peso do �uido ( ) e o volume ocupado.
τ = Ft
A
μ
ε 
τ = μ v
ε
ρ m V
ρ = m
V
γ P
γ = P
V = m×g
V
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onde g é a aceleração da gravidade.
       Peso especí�co relativo (para �uidos no estado líquido – ( ): é a relação entre o peso
especí�co de um determinado líquido em relação ao peso especí�co da água (por padrão).
     Viscosidade cinemática ( ): é a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa especí�ca. É
uma propriedade cuja aplicação principal está no estudo da cinemática dos �uidos.
Fluidos compressíveis e incompressíveis: de acordo com Brunetti (2008), um �uido é
considerado compressível se ao aplicar uma força sobre uma determinada área, seu
volume diminui. Para �uidos incompressíveis, com a aplicação da força seu volume não
muda ou a mudança é praticamente desprezível. Os gases costumam a ser classi�cados
como �uidos compressíveis, e os líquidos e gases com pequena pressão aplicada são
classi�cados como incompressíveis.
Relação entre as propriedades dos �uidos
γr
γr = γ
γH2O
ν
ν = μ
ρ
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Fenômenos de Transporte
É de fundamental importância relacionar as propriedades dos �uidos. Massa especí�ca e
densidade, apesar de serem expressas pela mesma grandeza, kg/m3, no Sistema Internacional
de Unidades, são conceitualmente diferentes. A massa especí�ca, diz respeito à massa de uma
porção homogênea e contínua de uma substância (Brunetti, 2008). A densidade é um conceito
mais amplo, que pode incluir uma substância contínua e homogênea, mas também uma
substância como um sólido não homogêneo, com espaços vazios em seu interior. Nesse caso,
medir a densidade aparente também é importante. Aqui é adotado, por motivos de simpli�cação
prática, sobretudo para �uidos newtonianos, a massa especí�ca e o peso especí�co.
É comum pensar que quanto maior a massa especí�ca, maior a viscosidade de um �uido. Na
verdade, essas duas propriedades não possuem relação direta. Tomemos como exemplo água e
óleo, com os dados apresentados no Quadro 1:
Quadro 1 | Comparação entre os valores médios das propriedades da água e do óleo
Fluido
Massa
especí�ca
média, a 20 ºC
Viscosidade média, a 20
ºC
Água destilada
Óleo
lubri�cante
998 kg/m3
1, 0 × 10( − 3)N . s/m2
800 kg/m3
1, 0 × 10( − 1)N . s/m2
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automotivo
Fonte: Fox et al. (2018, p. 655-660).
Note que apesar da massa especí�ca da água ser superior à massa especí�ca do óleo, a
viscosidade média da água é inferior em duas ordens de grandeza em relação ao óleo. Isso é
explicado pela con�guração molecular e as forças de atração entre as moléculas de cada uma
das substâncias. Os óleos possuem cadeias moleculares maiores que as moléculas de água, nas
quais as forças de interação acabam superando inclusive as forças geradas pelas pontes de
hidrogênio da água. Esse tipo de análise, baseado na interação entre as partículas ou moléculas
de um �uido, não é de abordagem comum dentro de fenômenos de transporte (Brunetti, 2008;
Fox et al. , 2018). Apesar disso, entender os fenômenos no nível molecular facilita o
entendimento do comportamento dos �uidos. Outro exemplo clássico é a comparação entre as
viscosidades e as densidades da água e da glicerina. Ao contrário da comparação entre água e
óleo, aqui temos a água com densidade e viscosidade menores que a densidade e viscosidade
da glicerina.
Outra importante relação é entre massa e peso especí�co. Da física newtoniana, sabemos que o
peso é o produto da massa de um corpo pela aceleração da gravidade. Assim, podemos
relacionar a massa especí�ca com o peso especí�co da seguinte forma:
Se a massa especí�ca é calculada por:
e o peso especí�co é calculado por:
Substituindo  por , temos que o peso especí�co é igual à massa especí�ca multiplicada pela
aceleração da gravidade:
Essas relações são úteis para cálculos envolvendo energia associada a um �uido, por exemplo.
Outra relação importante é entre a viscosidade dinâmica (ou absoluta) e força tangencial, que é
aplicada em cálculos de sistemas de pistões com �uidos lubri�cantes, por exemplo.
A viscosidade dinâmica, para �uidos newtonianos, tem relação com a tensão+
m1.v2
1
2 + p1dV1 = m2. g. z2 +
m2.v2
2
2 + p2dV2
g. z1 + v2
1
2 + p1
ρ
= g. z2 + v2
2
2 + p2
ρ
z1 +
v2
1
2g + p1
γ = z2 +
v2
2
2g + p2
γ
H1 = H2
H = z + v2
2g + p
γ = constante
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Fenômenos de Transporte
Podemos observar diversas aplicações práticas da equação de Bernoulli, desde um avião, que
depende do princípio de Bernoulli para gerar sustentação em suas asas; até um spray de
inseticida, que também usa o princípio de Bernoulli para espalhar o conteúdo em uma área
maior. Assim, essas aplicações estão presentes tanto no cotidiano quanto em processos
industriais. Vamos começar analisando uma situação em que existe um desnível.
Imagine que uma torre de água cilíndrica de 3,0 m de diâmetro fornece água para uma casa. O
nível da água na caixa d’água está 35 m acima do ponto onde a água entra na casa por meio de
um cano com diâmetro interno de 5,1 cm. O tubo de entrada fornece água a uma taxa máxima de
2,0×10−3m3 s−1. O tubo está conectado a um tubo mais estreito que leva ao segundo andar que
tem um diâmetro interno de 2,5 cm. Vamos determinar a pressão e a velocidade da água no cano
mais estreito em um ponto que está a uma altura de 5,0 m acima do nível onde o cano entra na
casa (observe que existe uma diferença de altura – ou seja, temos um desnível).
Para resolvermos essa questão, vamos assumir que a água é um �uido ideal, que o �uxo é
constante e que o nível da água na torre de água é também mantido constante. Vamos analisar
três pontos principais deste sistema: o ponto 1 no topo da água na torre (35 m), o ponto 2 onde a
água entra na casa e o ponto 3 no cano estreito a uma altura h2 = 5,0 m acima do nível onde o
cano entra na casa.
Começamos aplicando a equação de Bernoulli ao �uxo da caixa d’água do ponto 1 ao ponto 2. A
equação de Bernoulli é apresentada na Equação (09).
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Como assumimos que a velocidade da água no topo da torre é desprezível devido ao fato de que
o nível da água na torre é mantido constante, podemos considerar que v1=0. A pressão no ponto
2 pode ser isolada da equação de Bernoulli, como:
Se considerarmos que nesse sistema são válidas as seguintes condições:
Se considerarmos que nesse sistema são válidas as seguintes condições:
γ = 9810 N/m3
g = 9,81 m/s2
p1 = 1 atm = 101325 Pa
E sabendo que, de acordo com as condições apresentadas:
z1 – z2 = 35 m
Podemos veri�car que a única informação que falta para determinarmos p2 é v2. Porém, foi
fornecida a vazão do sistema. Considerando que o tubo tem área de seção transversal circular,
podemos determinar a velocidade no ponto 2 por meio da de�nição da vazão volumétrica (Q),
apresentada na Equação (10), em que A é a área da seção transversal
O diâmetro da tubulação em 2 é de 5,1 cm = 5,1 x 10-2m. Logo:
Portanto, a pressão no ponto 2 é:
Agora aplicamos a equação de Bernoulli aos pontos 2 e 3:
A pressão no ponto 3 pode ser determinada por:
z1 +
v2
1
2g + p1
γ
= z2 +
v2
2
2g + p2
γ
p2 = γ(z1 − z2) + p1 −
γv2
2
2g
Q = v2A2 → v2 = Q
A2
v2 = 2×10−3m3/s
π( 5,1×10−2
2 )
2 = 1 m
s
p2 = 9810 N
m3 × (35m) + 101325Pa −
9810N/m3×(1
m
/s)2
2×9,81
m
/s2
p2 = 444175Pa
z2 +
v2
2
2g + p2
γ = z3 +
v2
3
2g + p3
γ
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Fenômenos de Transporte
A mudança na altura y2 −y3 = −5,0 m. A velocidade da água no ponto 3 é:
O diâmetro da tubulação em 2 é de 2,5 cm = 2,5 x 10-2m. Logo:
Portanto, a pressão no ponto 3 é:
Pode-se concluir que, como a velocidade da água no ponto 3 é muito maior do que no ponto 2, a
contribuição da pressão dinâmica no ponto 3 é menor do que no ponto 2.
Videoaula: Equação de Bernoulli
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Nesta videoaula, vamos abordar umas das equações mais importantes para a mecânica dos
�uidos: a equação de Bernoulli. Na dinâmica dos �uidos, o princípio de Bernoulli a�rma que um
aumento na velocidade de um �uido ocorre simultaneamente com uma diminuição na pressão
estática ou uma diminuição na energia potencial do �uido.
Saiba mais
p3 = γ(z2 − z3) + γ( v2
2
2g −
v2
3
2g ) + p2
Q = v3A3 → v3 = Q
A3
v3 = 2×10−3m3/s
π( 2,5×10−2
2 )
2 = 3,9 m
s
p3 = 9810 N
m3 (−5m) + 9810 N
m3 (
12m2/s2
2×9,81
m
/s2
−
3,92m2/s2
2×9,81
m
/s2
) + 444175Pa
p3 = 388020Pa
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Fenômenos de Transporte
Vimos que a equação de Bernoulli é uma equação de conservação de energia que possui
diversas aplicações, tanto industrias, quanto comuns ao nosso dia a dia. Para entender mais a
respeito da conexão entre os conceitos matemáticos e as questões de Engenharia, bem como
abordar as diferentes aplicações dessa equação, acesse: CESAD.
Referências
https://cesad.ufs.br/ORBI/public/uploadCatalago/15323215102012Instrumentacao_para_o_Ensino_de_Fisica_I_Aula_10.pdf
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Fenômenos de Transporte
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2004.
HALLIDAY, D. E.; RESNICK, R. Fundamentos de Física 2. 4ª ed., vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, Livros
Técnicos e Cientí�cos Editora S. A., 1991.
WHITE, F. M. Fluid Mechanics. Nova York: Mc Graw Hill, 2002.
Aula 2
Equação da energia
Introdução
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Fenômenos de Transporte
Olá, estudante!
Nesta aula, vamos abordar a equação da energia com a inserção de uma máquina no sistema.
Sabendo que a energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada, é possível
construir uma equação que permitirá fazer o balanço das energias – o que �zemos na aula
anterior, com a de�nição da equação de Bernoulli.
Entretanto, podemos ter uma máquina inserida no sistema, o que modi�ca a análise. A máquina
é qualquer dispositivo que pode ser introduzido no escoamento e retira energia do sistema
(nesse caso, turbinas) ou fornece-a (nesse caso, bombas) para ele, na forma de trabalho, como
veremos no Bloco 1.
Bons estudos!
Máquinas e equação da energia
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Fenômenos de Transporte
A equação de Bernoulli calcula a carga total (H) do escoamento, a qual é constante ao longo de
uma linha de corrente, considerando as hipóteses simpli�cadoras pertinentes, de acordo com a
Equação (01).
Entretanto, para chegarmos a essa equação, �zemos diversas hipóteses simpli�cadoras, como a
eliminação da perda por atrito e do trabalho do eixo. Nosso intuito agora será remover a hipótese
(e): “sem trabalho de eixo, ou seja, sem bombas, turbinas, ventiladores ou outros dispositivos que
realizem trabalho (positivo ou negativo) no sistema”.
Muitos sistemas de �uidos são projetados para transportar um �uido de um local para outro a
uma taxa de �uxo, velocidade e diferença de elevação especi�cadas, e o sistema pode tanto
gerar quanto consumir trabalho. Isto signi�ca que inseriremos máquinas nos nossos problemas.
Elas poderão fornecer ou retirar energia desse processo de escoamento.
O raciocínio a seguir será muito simples: ao adicionar máquinas ao sistema, devemos
acrescentar um termo na equação de Bernoulli, referente ao trabalho de eixo realizado ou
retirados pela máquina. Vamos, então, incluir esta quantidade de energia (na forma de carga de
pressão) na igualdade acima, indicando-a por HM, conforme Equação (02).
H1 = H2
H1 + HM = H2
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Esses sistemas não envolvem a conversão de energia nuclear, química ou térmica em energia
mecânica. Além disso, eles não envolvem nenhuma transferência de calor em quantidade
signi�cativa e operam essencialmente a temperatura constante. Tais sistemas podem ser
analisados convenientemente considerando apenas as formas mecânicas de energia e os
efeitos de fricção que fazem com que a energia mecânica seja perdida (isto é, convertida em
energia térmica que geralmente não pode ser usada para nenhum propósito útil).
A energia mecânica pode ser de�nida como a forma de energia que pode ser convertida em
trabalho mecânico completa e diretamente por um dispositivo mecânico ideal,como uma turbina
ideal. As energias cinética e potencial são as formas familiares de energia mecânica. Entretanto,
a energia térmica não é energia mecânica, uma vez que não pode ser convertida em trabalho
direta e completamente (a segunda lei da termodinâmica).
Uma bomba transfere energia mecânica para um �uido aumentando sua pressão, e uma turbina
extrai energia mecânica de um �uido diminuindo sua pressão. Portanto, a pressão de um �uido
�uindo também está associada à sua energia mecânica.
Em relação às bombas, elas podem ter diferentes con�gurações, como bombas de
deslocamento positivo, bombas rotativas, bombas centrífugas, entre outras. No momento,
focaremos principalmente no aumento de pressão proporcionado ao �uido à medida que passa
por uma bomba. O trabalho realizado pelo �uido na turbina é considerado uma perda de energia
para o sistema de escoamento.
Assim, caso a máquina em questão seja uma bomba ou um ventilador, por exemplo, o termo HM
será positivo, pois estas máquinas fornecem energia para o �uido. Se a máquina for uma turbina,
o termo HM será negativo, pois ela retira energia do �uido. Expandindo os termos anteriores com
a equação de Bernoulli, obtemos a Equação (03).
Entretanto, os conceitos de potência e de rendimento da máquina também estão relacionados ao
trabalho que ela realiza, e serão abordados no próximo bloco.
E�ciência e potência das máquinas
z1 + v2
1
2g + p1
γ
+ HM = z2 + v2
2
2g + p2
γ
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Antes de aplicarmos a equação de energia, que engloba os conceitos de Bernoulli e de máquinas,
é importante que você compreenda o conceito destas máquinas de forma apropriada. Como
você sabe, pelo princípio de conservação da energia, a energia fornecida por uma bomba não
surge do nada. Da mesma forma, a energia retirada por uma turbina não simplesmente
desaparece. Ambas passam por um processo de transformação de energia.
Por exemplo, se considerarmos uma bomba que utiliza eletricidade, transformamos energia
elétrica em energia mecânica ao �uido; há também o processo inverso – uma turbina pode ser
usada para transformar a energia mecânica do �uido em energia elétrica (como é o caso das
usinas hidrelétricas). Por causa disso, é razoável a ideia de que tais máquinas possuem um input
(entrada) e um output (saída) de energia. Isto nos leva ao conceito de rendimento ou e�ciência
total (ηmáq) da máquina, de acordo com as Equações (04) e (05).
Dessa forma, podemos perceber que a e�ciência (rendimento) é a razão entre a potência
fornecida e a potência recebida pela máquina. Naturalmente, deve ser um valor entre 0 e 1. Uma
e�ciência de 100% sugere que a conversão de energia foi perfeita, ou seja, sem efeitos de atrito
ou outras irreversibilidades que convertam a energia elétrica ou mecânica em energia térmica.
ηbomba =
Potência recebida pelo fluido
Potência da bomba
ηturbina =
Potência da turbina
Potência cedida pelo fluido
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Fenômenos de Transporte
Utilizaremos a letra N para representar a potência teórica da máquina, seja ela uma bomba ou
turbina. Observe que, ao usar a equação de Bernoulli com o termo HM, isso signi�ca que o
resultado estará com dimensões de carga de pressão, ou seja, comprimento. Como geralmente
estamos habituados a lidar com potências em unidade de trabalho (energia) por unidade de
tempo (J/s ou W), a potência teórica da máquina propriamente dita pode ser avaliada pela
Equação (06).
Após a determinação da potência teórica, é preciso realizar a seleção da máquina, seja ela uma
bomba, um ventilador ou uma turbina. Para tanto, são utilizadas curvas características e
catálogos que são fornecidos pelos próprios fabricantes desses equipamentos. Em geral, os
fabricantes fornecem grá�cos da capacidade energética da bomba, em termos de
altura manométrica total, ou em função da vazão. Assim, conhecendo o processo e a potência
necessária, podemos consultar esses grá�cos e determinar qual dos equipamentos se
enquadram nas necessidades do processo.
Além disto, em instalações hidráulicas, é preciso observar (e prevenir) a possibilidade de
ocorrência de cavitação. Ela é um fenômeno que ocorre em máquinas hidráulicas devido às
variações súbitas de pressão que a água pode sofrer com o movimento dos rotores das bombas
e das turbinas. Este fenômeno consiste na implosão de pequenas bolhas de vapor, que chegam a
provocar a erosão do metal dos rotores, reduzindo drasticamente sua vida útil. De maneira geral,
a cavitação provoca perda de e�cácia e de rendimento da máquina hidráulica.
Bomba ou turbina?
N = γ.Q.HM
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É muito comum encontrarmos problemas da mecânica dos �uidos que envolvem linhas de
escoamento onde está instalada uma máquina, seja uma bomba ou turbina. Além disso, se o
�uido na linha é considerado ideal, então não há perda de carga; já se o �uido for real, então há
perda de carga, o que deve ser considerado no equacionamento. Vamos considerar a seguinte
situação:
Uma empresa possui reservatório de água de grandes dimensões, conforme Figura 1. Este
reservatório descarrega água para atmosfera através de uma tubulação com uma vazão de 10
L/s. A área da seção transversal dos dutos à jusante e à montante da máquina é a mesma e igual
a 10 cm².
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Fenômenos de Transporte
Figura 1 | Reservatório instalado na empresa.
Se supormos que o �uido neste sistema é ideal, como podemos determinar se a máquina
utilizada neste processo é uma bomba ou turbina?
Nesse caso, como estamos interessados em saber se a máquina, que vamos denominar de M, é
uma bomba ou turbina, temos que determinar a carga HM da máquina. Se a máquina for uma
bomba, HM será positivo; se for uma turbina, HM será negativo. Conforme a Equação (02), temos
que:
Nosso objetivo é determinar o termo HM. Então, podemos rearranjar a Equação (02), isolando a
diferença de carga entre os pontos (1) e (2), conforme Equação (07).
Para H1 e H2, vamos utilizar a de�nição da equação de Bernoulli. A Equação (08) apresenta a
expressão para H1.
Contudo, de acordo com as informações fornecidas, a Equação (08) pode ser simpli�cada. Como
a pressão no ponto (1) é atmosférica, podemos considerar somente a pressão manométrica,
então podemos fazer P1 = 0. Como o reservatório é de grandes proporções, podemos considerar
que a superfície é calma e, portanto, v1 = 0. Com isso, H1 se reduz à altura piezométrica do ponto
(1), que pode ser observada na Figura 1, conforme Equação (09).
Aplicando o mesmo raciocínio para H2, obtemos a Equação (10):
H1 + HM = H2
HM = H2 − H1
H1 = z1 +
v2
1
2g + p1
γ
H1 = z1 = 20m
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Fenômenos de Transporte
Entretanto, no ponto (2), a única simpli�cação que podemos fazer é a da descarga atmosférica,
semelhante ao caso no ponto (1), então P2 = 0. Assim, temos a Equação (11) para H2.
A velocidade V2 no ponto (2) pode ser determinada por meio da vazão volumétrica fornecida no
enunciado (Q = 10 L/s) e da área transversal do duto mostrado na �gura no ponto (2) (A = 10
cm²). Colocando as unidades de Q e A no SI, obtemos:
Substituindo v2 e z2 (Figura 1) na Equação (11), e considerando que a gravidade é igual a 10
m/s2, obtemos o valor de H2, como mostra a Equação (12):
Assim, substituindo as Equações (09) e (12) na Equação (07) e resolvendo para HM, obtemos a
Equação (13):
Como HMvariados processos. O foco principal será determinar o equacionamento destas máquinas,
baseado nos conceitos vistos nas aulas anteriores, como a equação de Bernoulli.
Saiba mais
O escoamento dos �uidos e sua interação com os mecanismos de promoção e controle são
regidos pelas leis da mecânica aplicadas aos meios contínuos. O estudo disso originou a
disciplina conhecida como mecânica dos �uidos. Para saber mais sobre o assunto, acesse:
http://repositorio.eesc.usp.br/bitstream/handle/RIEESC/7516/Introdu%C3%A7%C3%A3o%20%C3
%A0s%20m%C3%A1quinas%20hidr%C3%A1ulicas.pdf?sequence=1
Referências
http://repositorio.eesc.usp.br/bitstream/handle/RIEESC/7516/Introdu%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A0s%20m%C3%A1quinas%20hidr%C3%A1ulicas.pdf?sequence=1
http://repositorio.eesc.usp.br/bitstream/handle/RIEESC/7516/Introdu%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A0s%20m%C3%A1quinas%20hidr%C3%A1ulicas.pdf?sequence=1
Disciplina
Fenômenos de Transporte
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2004.
HALLIDAY, D. E.; RESNICK, R. Fundamentos de Física 2. 4ª ed., vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, Livros
Técnicos e Cientí�cos Editora S. A., 1991.
WHITE, F. M. Fluid Mechanics. Nova York: Mc Graw Hill, 2002.
Aula 3
Escoamento permanente de um �uido incompressível em conduto fechado
Introdução
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante!
Nesta aula, vamos abordar o seguinte fenômeno: imagine que um �uido passa sobre uma
superfície; suas moléculas próximas ao objeto sofrem uma perturbação. As moléculas logo
acima da superfície são desaceleradas em suas colisões com as moléculas que aderem à
superfície. Essas moléculas, por sua vez, diminuem o �uxo logo acima delas.
Quanto mais se afastam da superfície, menos colisões são afetadas pela superfície do objeto.
Isso cria uma �na camada de �uido perto da superfície na qual a velocidade muda de zero na
superfície para o valor de �uxo livre longe da superfície. Os engenheiros chamam essa camada
de camada limite porque ocorre no limite do �uido.
Bons estudos!
Camada limite em placas planas
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Avançando nos estudos da dinâmica dos �uidos, um conceito muito importante para os
fenômenos de transporte é o da camada limite. Ela é de�nida como a região na qual o �uxo se
ajusta da velocidade nula (zero) na parede até um máximo na corrente principal do �uxo. A
compreensão deste conceito é fundamental para a compreensão dos escoamentos em si.
Da mesma forma, como uma camada limite de velocidade se desenvolve quando o �uido �ui
sobre uma superfície, uma camada limite térmica deve se desenvolver se a temperatura do corpo
e a temperatura da superfície diferirem.
Em geral, quando um �uido �ui sobre uma superfície estacionária, por exemplo, a placa plana, o
leito de um rio ou a parede do tubo, o �uido que toca a superfície é levado ao repouso pela
tensão de cisalhamento na parede (vide a seção de Saiba Mais). A camada limite é a região na
qual o �uxo se ajusta de velocidade zero na parede até um máximo no �uxo principal do �uxo. O
conceito de camadas limite é importante em toda dinâmica de �uidos viscosos e na teoria da
transferência de calor, já que ajuda a explicar como esses eventos ocorrem.
A Figura 1 representa a distribuição de velocidade na camada limite para diferentes posições.
Antes de atingir a placa, o per�l de velocidade é uniforme ( ). Com o aumento da distância do
bordo de ataque, a espessura δ de �uido retardado aumenta.
u0
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 1 | Desenvolvimento da camada limite em uma placa plana. Fonte: adaptada pela autora a partir de Wikimedia
Commons.
A camada limite pode ser laminar ou turbulenta, dependendo do valor do número de Reynolds. A
camada limite é laminar para números de Reynolds menores, e a velocidade no sentido do �uxo
muda uniformemente ( ) à medida que nos afastamos da parede, conforme mostrado na
Figura 1. À medida que o número de Reynolds aumenta (com x), o �uxo torna-se instável.
Finalmente, a camada limite é turbulenta para números de Reynolds mais altos, e a velocidade no
sentido do �uxo é caracterizada por �uxos turbulentos instáveis (mudança com o tempo) dentro
da camada limite.
A transição da camada limite laminar para turbulenta ocorre quando o número de Reynolds em x
(posição no eixo x) excede Rex ≈ 500.000. A transição pode ocorrer mais cedo, mas depende
principalmente da rugosidade da superfície. A camada limite turbulenta engrossa mais
rapidamente do que a camada limite laminar devido ao aumento da tensão de cisalhamento na
superfície do corpo.
A espessura da camada limite (δ) é de�nida como a distância da parede até o ponto onde a
velocidade do �uxo da camada limite é igual a 99% da velocidade do “�uxo livre”. Para camadas
limite laminares, escoando sobre uma placa plana, a solução de Blasius das equações que
governam o �uxo fornecem a equação para determinação da camada limite – Equação (01).
Em que Rex é o número de Reynolds baseado no comprimento da placa.
Para um �uxo turbulento, a espessura da camada limite é dada pela Equação (02).
u(y)
δ ≈ 5,0
√Rex
x
δ ≈ 0,37
Re
1/5
x
x
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Esta equação foi derivada com várias suposições. A fórmula da espessura da camada limite
turbulenta assume que o �uxo é turbulento desde o início da camada limite.
Entretanto, isso é válido apenas para placa plana. Quando trabalhamos com tubos, dutos ou
condutos, o equacionamento é diferente, como veremos no próximo bloco.
Camada limite em condutos forçados
Os condutos forçados são aqueles nos quais a pressão interna é diferente da pressão
atmosférica. Nesse tipo de conduto, as seções transversais são sempre fechadas e o �uido
circulante as enche completamente. O movimento pode se efetuar em qualquer sentido do
conduto; útil e que, de maneira geral, provoca perda de e�cácia e de rendimento da máquina
hidráulica.
A camada limite desempenha um papel importante no �uxo através de tubos. Na entrada do
tubo, muitas vezes há uma distribuição de velocidade constante. Uma camada limite é formada
na parede e sua espessura aumenta com o aumento da distância à jusante da entrada do tubo. O
�uxo do núcleo que ainda não foi afetado pelo atrito é acelerado até que, após uma distância
su�ciente, a camada limite tenha crescido até sua largura total. A partir deste ponto à jusante (A),
o per�l de velocidade do �uxo do tubo permanece inalterado, conforme mostrado na Figura 2.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 2 | Camada limite no escoamento em condutos. Fonte: adaptada pela autora a partir de Guia da Engenharia.
Considere um �uxo uniforme entrando em um tubo. Assim que este �uxo atinge o tubo, muitas
mudanças ocorrem. A mais importante delas é que a viscosidade se impõe ao �uxo e a condição
de não escorregamento na parede do tubo entra em vigor. Consequentemente, as componentes
da velocidade são zero na parede, ou seja, u = v = 0. O �uxo adjacente à parede desacelera
continuamente.
Temos uma camada próxima ao corpo onde a velocidade aumenta lentamente de zero na parede
até uma velocidade uniforme em direção ao centro do tubo. Essa camada é chamada de camada
limite. Os efeitos viscosos são dominantes dentro da camada limite. Fora desta camada está o
núcleo invíscido, para o qual os efeitos viscosos são desprezíveis ou ausentes.
A camada limite não é um fenômeno estático; é dinâmico e cresce, o que signi�ca que sua
espessura aumenta à medida que nos movemos à jusante. A camada limite das paredes cresce
de tal forma que todas se fundem na linha central do tubo. Uma vez que isso ocorre, o núcleo
invíscido termina e o �uxo é totalmente viscoso. O �uxo agora é chamado de �uxo totalmente
desenvolvido. O per�l de velocidade torna-se parabólico (Figura 2).
Uma vez que o �uxo esteja totalmente desenvolvido, o per�l de velocidade não varia na direção
do �uxo. De fato, nesta região, o gradiente de pressão e a tensão de cisalhamento no �uxo estão
em equilíbrio. O comprimento do tubo entre o início e o ponto onde o �uxo totalmentedesenvolvido começa é chamado de comprimento de entrada. Denotado por Le, o comprimento
de entrada é uma função do número de Reynolds do �uxo e expresso pelas Equações (03) e (04).
Para �uxo laminar:
Para �uxo turbulento:
Em condição crítica, ou seja, Red = 2300, o Le/d para um �uxo laminar é 138. Sob condições
turbulentas, varia de 18 (em Red = 4000) a 95 (em Red = 108).
Le
d
≈ 0,06Red
Le
d
≈ 4,4Re1/6
d
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Entendendo condutos
É muito comum encontrarmos problemas da mecânica dos �uidos que envolvem condutos.
Vimos anteriormente que conduto é qualquer estrutura sólida destinada ao transporte de �uidos.
Os condutos são classi�cados quanto ao comportamento dos �uidos em seu interior: podem ser
forçados ou livres.
Os condutos livres e os condutos forçados, embora tenham pontos em comum, diferem em
um importante aspecto: os livres apresentam superfície livre sobre a qual atua a pressão
atmosférica; enquanto, nos condutos forçados, o �uído enche totalmente a secção e escoa com
pressão diferente da atmosférica.
No que se refere às semelhanças entre estes condutos, os problemas apresentados pelos canais
são mais difíceis de se resolverem, porque a superfície livre pode variar no tempo e no espaço e,
em consequência, a profundidade de escoamento, a vazão, a declividade do fundo do canal e a
da superfície livre são grandezas interdependentes.
De modo geral, a secção transversal do conduto forçado é circular, enquanto nos condutos livres
pode assumir qualquer outra forma. No conduto forçado, as rugosidades das paredes internas
têm menor variedade do que a do conduto livre, que pode ser lisa ou irregular, como a dos canais
naturais. Além disto, a rugosidade das paredes pode variar com a profundidade do escoamento
e, consequentemente, a seleção do coe�ciente de atrito é cercada de maiores incertezas do que
no caso de condutos forçados.
Os elementos geométricos constituem propriedades da secção transversal do canal, as quais
podem ser caracterizadas pela forma geométrica e pela altura de água. Estes elementos são
Disciplina
Fenômenos de Transporte
indispensáveis ao dimensionamento hidráulico.
Os elementos geométricos que merecem destaque são:
Altura de água ou profundidade de escoamento (h): distância vertical entre a superfície livre
e a base do canal. Na prática, é comum desprezar o efeito da declividade no canal (I) sobre
a medida de (h), em função do cosseno do ângulo, por ser um erro muito pequeno.
Área molhada (AM): área da secção transversal ocupada pela água.
Perímetro molhado (σ): comprimento da linha de contato entre a água e as paredes e o
fundo do canal ou trecho do período, da seção de área A, em que o �uido está em contato
com a parede do conduto.
Raio hidráulico (RH): resultado da divisão da área molhada pelo perímetro molhado,
conforme Equação (05).
Diâmetro hidráulico (DH): de�nido como quatro vezes o raio hidráulico, conforme Equação
(06).
A determinação do diâmetro hidráulico pode ser crucial no projeto e na implementação de certos
sistemas que lidam com o �uxo de �uidos. Para projetar contra condições turbulentas em
orifícios não circulares, a determinação do valor torna-se necessária. Por exemplo, quando se
trata do �uxo controlado de misturas de lama na tubulação, o �uxo turbulento torna-se uma
possibilidade e a utilização de tubulações e condutos que consideram condições turbulentas e
laminares torna o valor crucial nas considerações de projeto para sistemas operacionais seguros
e adequados.
Como resultado, os sistemas podem sofrer tensões desnecessárias nas juntas, válvulas e outros
componentes com os quais você pode lidar na fase inicial do projeto. Por �m, em combinação
com o número de Reynolds, os diâmetros hidráulicos desempenham um papel importante na
simulação e predeterminação dos parâmetros de projeto que lidam com o �uxo viscoso.
Outro elemento que merece atenção é a rugosidade. Os condutos apresentam asperezas nas
paredes internas que in�uem na perda de carga dos �uidos em escoamento. Em geral, tais
asperezas não são uniformes, mas apresentam uma distribuição aleatória tanto em altura como
em disposição. No entanto, para efeito de estudo, supõe-se inicialmente que as asperezas
tenham altura e distribuição uniformes. A altura uniforme das asperezas será indicada por ε e
denominada “rugosidade uniforme”.
Para efeitos do estudo das perdas no escoamento de �uidos, é fácil compreender que elas não
dependem diretamente da rugosidade, mas do quociente DH/ε que será chamado “rugosidade
relativa”.
Videoaula: Escoamento permanente de um �uido incompressível em conduto
fechado
RH = A
σ
DH = 4RH
Disciplina
Fenômenos de Transporte
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Nesta videoaula, vamos introduzir algumas de�nições e conceitos utilizados na abordagem de
camada limite para diferentes geometrias, e que tem relação com o escoamento de um �uido
escoa sobre uma superfície sólida. Também serão abordadas outras de�nições importantes para
o estudo de escoamento e de mecânica dos �uidos, como rugosidade e raio e diâmetro
hidráulico.
Saiba mais
Diversas operações nas indústrias envolvem a utilização de �uidos em seus processos. O estudo
completo do comportamento e das características desses �uidos, como a tensão de
cisalhamento, por exemplo, é necessário para a determinação de suas aplicações em diferentes
equipamentos, como bombas, tubulações, trocadores de calor, misturadores, entre outros. Saiba
mais em: PUC-Rio.
https://www.puc-rio.br/ensinopesq/ccpg/pibic/relatorio_resumo2017/relatorios_pdf/ctc/MEC/MEC-Camila%20Moreira%20Costa.pdf
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Referências
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2004.
HALLIDAY, D. E.; RESNICK, R. Fundamentos de Física 2. 4ª ed., vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, Livros
Técnicos e Cientí�cos Editora S. A., 1991.
WHITE, F. M. Fluid Mechanics. Nova York: Mc Graw Hill, 2002.
Aula 4
Perda de carga em um escoamento interno
Introdução
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante!
Nesta aula, vamos abordar a perda de energia, chamada de perda de carga. Trata-se de um
fenômeno que ocorre durante o escoamento dos �uidos em uma tubulação sob pressão, devido
à resistência da parede ao processo de escoamento. A perda de carga pode ser classi�cada em
distribuída (aquela que ocorre em trechos de tubulação retilíneos e de diâmetro constante) ou
localizada (aquela que ocorre em trechos da tubulação onde há presença de acessórios, sejam
eles: válvulas, curvas, derivações, registros ou conexões, bombas, turbinas e outros).
A perda de carga pode ser determinada por meio de diferentes equações, como a equação de
Darcy, por exemplo. Entretanto, um ponto importante que deve ser considerado nessas equações
é o fator de atrito – que pode ser determinado pela utilização do diagrama de Moody.
Bons estudos!
Perdas de carga
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Analisaremos a equação da energia não considerando mais o �uido como ideal. Isto signi�ca
que os efeitos da viscosidade (atrito) entram em jogo e precisam ser equacionados. Mantidas as
hipóteses de regime permanente, �uido incompressível, escoamento uniforme na seção e sem
troca de calor com o meio, temos que a equação de Bernoulli pode ser reescrita conforme a
Equação (01): 
Por ser essencialmente uma perda de energia do escoamento, o termo Hp1,2 é geralmente
chamado de “perda de carga”. Na prática, esta expressão é utilizada para se referir a diversas
perdas de energia do escoamento relacionadas à tubulação, englobando outros fatores além do
atrito, como curvas e cotovelos na tubulação ou a presença de válvulas e outros dispositivos.
Dessa forma, a partir da equação de Bernoulli, com a presença de uma máquina entre dois
pontos, (1) e (2), e considerando a dissipação de energia por efeitosviscosos, podemos escrever
a equação da energia conforme a Equação (02):
A perda de carga pode ser convertida para a forma de potência dissipada, por meio da Equação
(03).
H1 = H2 + Hp1,2
z1 +
v2
1
2g + p1
γ
+ HM = z2 +
v2
2
2g + p2
γ
+ Hp1,2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Existem essencialmente dois tipos de perda de carga que ocorrem em um circuito hidráulico:
distribuída e localizada. Quanto maior a perda de carga distribuída e localizada, mais energia
deve ser fornecida ao �uido para garantir o desempenho do sistema.
A perda de carga distribuída é uma perda de pressão causada pelo atrito que o �uido encontra à
medida que �ui. A perda é diretamente proporcional ao comprimento do circuito; por isso,
falamos de perda distribuída ao longo de todo o comprimento da tubulação. Essas quedas de
pressão são diretamente proporcionais à viscosidade e velocidade do �uido. Quanto mais
viscoso for um �uido, maior será o atrito entre suas camadas conforme ele se move; da mesma
forma, se a velocidade for dobrada, a perda de carga torna-se quatro vezes maior devido ao atrito
gerado.
A perda de carga é inversamente proporcional à seção da tubulação. Nas mesmas condições de
vazão, se o diâmetro do tubo diminuir, a perda de carga aumenta consideravelmente após o
aumento da velocidade. Outros elementos, como a rugosidade da superfície interna da
tubulação, também in�uenciam na perda de carga distribuída em um circuito hidráulico.
Já a perda de carga localizada ou concentrada é resultado de elementos de circuito único. Pode
estar vinculada à construção do sistema, por exemplo, se houver conexões, curvas, junções ou
variações de seção, ou pode depender do �uxo de �uido dentro de componentes, como válvulas
hidráulicas. Em todos esses casos, é gerada uma resistência que causa dissipação de energia e,
como resultado, perda de carga. Uma das equações que ajudam a determinar a perda de carga é
a equação de Darcy, que veremos no próximo bloco.
Equação de Darcy
Ndiss = γ.Q.Hp1,2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Em 1856, Henry Darcy investigou o �uxo de água através de �ltros de areia para �ns de
puri�cação de água. Nesse experimento, ele fez as seguintes suposições:
1. Fluxo monofásico (somente água).
2. Meio poroso homogêneo (areia).
3. Fluxo vertical.
4. Fluido não reativo (água).
5. Geometria única.
Depois de muito estudo e principalmente observações, Darcy foi o primeiro a apresentar um
estudo e fórmula que resumisse uma perda de pressão no escoamento devido ao atrito do �uido
com a superfície interna do tubo. Desta forma, quanto mais velho e rugoso for a parede interna
da tubulação ou mais viscoso for o �uido, maior será a perda de pressão ou energia hidráulica ao
longo da tubulação.
Quando o �uido �ui dentro de uma tubulação, ocorre atrito entre o �uido em movimento e a
parede estacionária do tubo. Esse atrito converte parte da energia hidráulica do �uido em energia
térmica. Essa energia térmica não pode ser convertida de volta em energia hidráulica, então o
�uido sofre uma queda de pressão. Essa conversão e perda de energia é conhecida como perda
de carga. A perda de carga em uma tubulação com �uidos newtonianos pode ser determinada
usando a equação de Darcy, apresentada na Equação (04):
hL = f L
D
v2
2g
Disciplina
Fenômenos de Transporte
A Equação (04) pode ser reescrita, em outros termos, como a Equação (05):
Em que:
hL = Perda de carga.
f = Fator de atrito de Darcy.
L = Comprimento do tubo.
D = Diâmetro interno do tubo.
v = Velocidade do �uido.
g = Constante gravitacional.
d = Diâmetro interno do tubo.
Q = Vazão volumétrica.
A equação de Darcy fornece informações sobre os fatores que afetam a perda de carga em uma
tubulação. Se o comprimento do tubo for dobrado, a perda de carga também dobrará. Se o
diâmetro interno do tubo for dobrado, a perda de carga será reduzida pela metade. Se a taxa de
�uxo for dobrada, a perda de carga aumentará por um fator de quatro.
Com exceção do fator de atrito de Darcy, cada um desses termos pode ser facilmente medido.
Nesse caso, poucas informações sobre as propriedades do �uido do processo ou a rugosidade
da superfície no interior do material do tubo estão disponíveis. Embora esses fatores pareçam
para a maioria das pessoas ter um efeito sobre a perda de carga, a equação de Darcy não os
considera.
Apesar dessas limitações, uma aplicação da lei de Darcy é o �uxo de água através de um
aquífero. A lei de Darcy com a equação de conservação de massa é equivalente à equação de
�uxo de águas subterrâneas, sendo uma das relações básicas da hidrogeologia. A lei de Darcy
também é aplicada para descrever �uxos de petróleo, gás e água através de reservatórios de
petróleo.
Fator de atrito
hL = 0,0311fL Q2
d3
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Como podemos encontrar o fator de atrito para calcularmos a perda de carga? O fator de atrito
“f”, apresentado anteriormente, pode ser obtido por meio de tabelas ou por meio do diagrama de
Moody. Em 1944, L. F. Moody traçou os dados da equação de Colebrook e o grá�co resultante
�cou conhecido como o diagrama de Moody. Foi este grá�co que primeiro permitiu ao usuário
obter um fator de atrito razoavelmente preciso para condições de �uxo turbulento, com base no
número de Reynolds e na rugosidade relativa do tubo.
Na Figura 1, podem ser identi�cadas linhas que traçam o fator de atrito para diferentes tipos de
�uxo (laminar, turbulento e transição).
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 1 | Diagrama de Moody. Fonte: Wikimedia Commons.
Para ler um grá�co Moody, primeiro é necessário determinar a rugosidade relativa do tubo, ε/D. ε
é a altura da rugosidade das paredes internas do tubo e está publicada em diversas tabelas
como, por exemplo, o Quadro 1.
Quadro 1 | Rugosidade de tubulação de diferentes materiais
Material da Tubulação Rugosidade ε (mm)
Aço inox 0,002
Aço comercial 0,046
Cobre 0,002
Plástico 0,0015
Vidro Liso
Concreto liso 0,04
Borracha lisa 0,01
Fonte: elaborado pela autora.
Em seguida, calcule o número de Reynolds para o �uxo de �uido. O número de Reynolds é
calculado pela Equação (06).
Re = ρvD
μ
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Em que:
ρ é a massa especí�ca do �uido.
v é a velocidade média do �uido.
D é o diâmetro interno do tubo.
µ é a viscosidade dinâmica do �uido.
Os passos seguintes são: encontre a curva correspondente à rugosidade relativa no lado direito
do diagrama de Moody. Em seguida, localize o número de Reynolds na parte inferior do grá�co e
descubra onde o número de Reynolds intercepta a curva de cima. Finalmente, estime o fator de
atrito olhando horizontalmente da interseção entre a rugosidade relativa e o número de Reynolds
para o eixo esquerdo.
Para entendermos melhor este diagrama, precisamos entender que o fator de atrito para �uxo
laminar é determinado pela Equação (07).
Quando o �uxo ocorre entre as condições de �uxo laminar e turbulento (Re 2300 a Re 4000), a
condição de �uxo é conhecida como crítica e é difícil de prever. Aqui o �uxo não é totalmente
laminar nem totalmente turbulento. É uma combinação das duas condições de �uxo.
Já o fator de atrito para �uxo turbulento (Re > 4000) é calculado usando a equação de Colebrook-
White, apresentada na Equação (08).
Devido à formação implícita da equação de Colebrook-White, o cálculo do fator de atrito requer
uma solução iterativa por meio de métodos numéricos.
Mesmo tendo o diagrama de Moody em mãos, achar o fator “f” não é simples, pois, para tal, é
necessário saber ou medir a rugosidade do tubo e ainda calcular o número de Reynolds para
depois aplicar o diagrama. Diante desse fato, às vezes, complicado, mais fácil é medir
diretamente com equipamentos eletrônicos a perda de carga “dP” entre dois pontos conhecidos
e com o mesmo equipamento ou qualquer outro auxiliar medir a velocidade e então achar o “f”
pela formula de Darcy.
Vamos agora aos exercícios!
Videoaula: Perda de carga em um escoamento interno
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f = 64
Re
1
√f
= 1,14 − 2log10(
e
D
+ 9,35
Re√f
)
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Nesta videoaula, vamos introduzir conceitos importantes para a determinação da perda de carga
em um escoamento. Também serão abordados os tipos de perdas de carga, bem como todo o
equacionamento e cálculo relacionado a essa determinação, como a equação de Darcy e o
diagrama de Moody.
Saiba mais
De quais parâmetros a perda de carga é dependente? Ela varia com o diâmetro da tubulação e
com a pressão? Para saber mais sobre o assunto, acesse: Scielo.
Referências
https://www.scielo.br/j/rbeaa/a/dMBPB3djzSN4K45fwsSJ76p/abstract/?lang=pt
Disciplina
Fenômenos de Transporte
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2004.
HALLIDAY, D. E.; RESNICK, R. Fundamentos de Física 2. 4ª ed., vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, Livros
Técnicos e Cientí�cos Editora S. A., 1991.
WHITE, F. M. Fluid Mechanics. Nova York: Mc Graw Hill, 2002.
Aula 5
Revisão da Unidade
Equação de Bernoulli, máquinas e perda de carga
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante! A equação do balanço de energia para sistemas em regime permanente, sem
geração e sem consumo de energia, considera a energia na forma de energia potencial, de
pressão e energia cinética. A soma dessas três energias, fornece a de�nição de Energia
Mecânica (Equações 01 e 02). Considerando a entrada do sistema como (1) e a saída como (2),
obtemos a Equação (03). 
A Equação (03) ainda pode ser simpli�cada se considerarmos que o �uido em estudo é
incompressível e que as propriedades permanecem uniformes nas seções do escoamento.
Aplicando essas hipóteses simpli�cadoras à Equação (03), ela pode ser simpli�cada na Equação
(04).
A Equação (04) é a equação de Bernoulli. No entanto, podemos fazer mais uma simpli�cação,
que consiste em dividir a equação de Bernoulli pela gravidade (g) e utilizar a relação do peso
especí�co, de�nido como γ = ρ.g. Dessa forma, obtém-se a Equação (05).
Ė1 = Ė2
EP1 + EC1 + EPr1 = EP2 + EC2 + EPr2
m1. g. z1 +
m1.v2
1
2 + p1dV1 = m2. g. z2 +
m2.v2
2
2 + p2dV2
g. z1 + v2
1
2 + p1
ρ
= g. z2 + v2
2
2 + p2
ρ
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Sem embargo, muitos dos sistemas reais utilizam uma máquina para o �uxo. Assim, caso a
máquina em questão seja uma bomba ou um ventilador, por exemplo, o termo HM será positivo,
pois estas máquinas fornecem energia para o �uido. Se a máquina for uma turbina, o termo HM
será negativo, pois ela retira energia do �uido. Expandindo os termos anteriores com a equação
de Bernoulli, obtemos a Equação (06).
Ainda sim, a experiência não con�rma rigorosamente o teorema de Bernoulli, porque os �uidos
reais se afastam do modelo perfeito. A viscosidade e o atrito são os principais responsáveis pela
diferença; o escoamento somente ocorre com uma perda de energia: a perda de carga, conforme
Equação (07).
A perda de carga em uma tubulação com �uidos newtonianos pode ser determinada usando a
equação de Darcy, apresentada na Equação (08):
A Equação (08) pode ser reescrita, em outros termos, como a Equação (09):
Em que:
hL = Perda de carga.
f = Fator de atrito de Darcy.
L = Comprimento do tubo.
D = Diâmetro interno do tubo.
v = Velocidade do �uido.
g = Constante gravitacional.
d = Diâmetro interno do tubo.
Q = Vazão volumétrica.
Um conceito muito importante para os fenômenos de transporte é o da camada limite. É de�nida
como a região na qual o �uxo se ajusta da velocidade nula (zero) na parede até um máximo na
corrente principal do �uxo; sua compreensão é fundamental para a compreensão dos
escoamentos em si.
Em geral, quando um �uido �ui sobre uma superfície estacionária, por exemplo, a placa plana, o
leito de um rio ou a parede do tubo, o �uido que toca a superfície é levado ao repouso pela
z1 +
v2
1
2g + p1
γ
= z2 +
v2
2
2g + p2
γ
z1 +
v2
1
2g + p1
γ + HM = z2 +
v2
2
2g + p2
γ
z1 +
v2
1
2g + p1
γ + HM = z2 +
v2
2
2g + p2
γ + Hp1,2
hL = f L
D
v2
2g
hL = 0,0311fL Q2
d3
Disciplina
Fenômenos de Transporte
tensão de cisalhamento na parede. A camada limite é a região na qual o �uxo se ajusta de
velocidade zero na parede até um máximo no �uxo principal do �uxo.
Videoaula: Revisão da Unidade
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Nesta videoaula, vamos fazer um apanhado geral dos diversos assuntos abordados ao longo da
Unidade, principalmente em relação ao balanço de energia no �uxo de um �uido, abordando a
equação de Bernoulli, e depois introduzindo conceitos de máquinas (bombas e turbinas) bem
como o de perda de carga e o de camada limite do escoamento.
Estudo de caso
Para contextualizar sua aprendizagem, imagine que você trabalha para uma empresa cujo
processo necessita do escoamento de um determinado óleo de um tanque para o outro.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Como encarregado deste processo, você sabe que esse óleo apresenta as seguintes
características: viscosidade cinemática = 1,1.10−4 2/ e peso especí�co = 8829 / 3, à
temperatura ambiente; ele escoa no interior de um tubo inclinado, diâmetro 0,0127 . Você
também está ciente de que esse escoamento é lento, que ocorre em regime laminar e que a
vazão do escoamento é de 0,142 3/ , através de um tubo inclinado cujo ângulo é de = 30°
(Figura). Com base nessas informações, você deseja determinar qual a variação da pressão
interna, a cada metro, entre dois pontos quaisquer – como você realizaria esse processo?
Figura 1 | Representação grá�ca do Estudo de caso.
Dados: g = 10 m/s2.
Sugestão: para os cálculos, considere duas seções quaisquer, 1 e 2, distantes 1 .
______
Re�ita
A viscosidade cinemática de um �uido tem uma in�uência signi�cativa na velocidade do
escoamento desse �uido em sistemas e dutos. A relação entre a viscosidade cinemática e a
velocidade do escoamento é geralmente descrita pela Lei de Newton da Viscosidade, que é uma
das leis fundamentais da mecânica dos �uidos.
Fluidos com baixa viscosidade cinemática têm uma maior taxa de cisalhamento e, portanto,
tendem a �uir mais facilmente com velocidades mais altas para um gradiente de velocidade
dado. Já �uidos com alta viscosidade cinemática têm uma menor taxa de cisalhamento e,
portanto, tendem a �uir mais lentamente com velocidades mais baixas para o mesmo gradiente
de velocidade.
Pensando em aplicações práticas, no projeto de tubulações, quais grandezas são determinadas
utilizando a viscosidade cinemática no seu cálculo?
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Videoaula: Estudo de caso
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Estamos considerando condições de operação em regime permanente, sem troca térmica com o
ambiente, �uido incompressível, escoamento completamente desenvolvido e sem a presença de
máquinas ou singularidades. Considerando duas seções quaisquer, 1 e 2, distantes 1 .
Aplicando a equação da energia entre esses pontos, tem-se:
Como o escoamento é laminar, analisando o diagrama de Moody, temos que o coe�ciente da
perda de carga distribuída, para esse regime, vale:
Como no problema não existem perdas de carga devido a singularidades, tem-se:
Aplicando a equação da continuidade entre os pontos 1 e 2, tem-se:
Pela �gura, temos que (considerando  )
Como 1 = 2, tem-se:
H1 = H2 + Hp1,2
z1 +
v2
1
2g + p1
γ = z2 +
v2
2
2g + p2
γ + Hp1,2
f = 64
Re
= 64μ
ρvD
Hp1,2 = 64μ
ρvD
Lv2
D2g
z1 + v2
1
2g + p1
γ
= z2 + v2
2
2g + p2
γ
+ 64μ
ρvD
Lv2
D2g
v = Q
A
=
0,142  m3
h
1h
3600s
π(0,0127)2
4
= 0,31 m/s
L = 1m
sen 30°= z1−z2
L
z1 − z2 = 0,5 m
p1−p2
γ = z2 − z1 + 64μ
ρvD
Lv2
D2g
DisciplinaFenômenos de Transporte
Da de�nição de viscosidade cinemática:
Resumo Visual
ν = μ
ρ
p1−p2
γ
= z2 − z1 + 64ν
vD
Lv2
D2g
p1−p2
γ = −0,5 m +
64×1,1.10−4 m2
s
×1m×0,31 m
s
(0,0127)2
m2×2×10 m
s2
p1−p2
γ = −0,5 m + 0,68 m
p1−p2
8829 N
m2
= 0,18m
p1 − p2 = 1589,22 N
m2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Fonte: elaborada pela autora.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Referências
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2004.
HALLIDAY, D. E.; RESNICK, R. Fundamentos de Física 2. 4ª ed., vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, Livros
Técnicos e Cientí�cos Editora S. A., 1991.
WHITE, F. M. Fluid Mechanics. Nova York: Mc Graw Hill, 2002.
,
Unidade 3
Introdução à transferência de calor
Aula 1
Introdução à condução
Introdução
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante!
Nesta unidade, você vai aprender os conceitos que estão relacionados à transferência de calor.
Você já pensou como um �uido é resfriado ou aquecido? Podemos imaginar que, no nível
microscópico, as moléculas com maior quantidade de calor (consequentemente, mais agitadas)
transmitem calor para as moléculas mais lentas que estão em menor temperatura e em uma
determinada distância e tempo.
A energia não pode ser observada com nossos olhos; porém, podemos sentir a mudança de
temperatura, assim como visualizar a mudança de estado. Como essa transferência de calor
ocorre? Existem três mecanismos para isso: condução, convecção e radiação. Eles transferem
calor para �uidos e superfícies por meios distintos e com vastas aplicações na engenharia.
Nesta aula, vamos iniciar esse processo de aprendizagem pelo mecanismo de condução.
Bons estudos!
Condução unidimensional em regime estacionário
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Calor é a transferência de energia que ocorre em um espaço delimitado que chamamos de
contorno. Ela é ocasionada pela diferença de temperatura entre o sistema onde está ocorrendo a
transferência e o seu meio. Geralmente quando pensamos em aplicações de engenharia, como
os trocadores de calor, é interessante que o equipamento seja isolado para não transmitir calor
ao ambiente, causando um desperdício de energia. Esse processo denomina-se adiabático e
apresenta transmissão de calor nula com o ambiente; nesse caso, os mecanismos de
transferência de calor atuam no interior do equipamento.
Chamamos de Q o calor transmitido da região 1 para uma região 2; em um processo de
transferência de calor, temos a �nalidade de calcular a taxa de transferência designada como q, e
que pode ser representada por unidade de massa, por área (Equação1), por comprimento
(Equação 2) e por volume. As representações por área e comprimento são as mais utilizadas em
aplicações de engenharia. Nesse caso, o calor é aplicado com o conceito de �uxo; utiliza-se a
simbologia  , que representa o �uxo de calor e a unidade no sistema internacional (SI) é watts
(W).
Em que q é a taxa de transferência de calor (W/m2),  é o �uxo de calor (W) e A é a área de troca
térmica.
Q  ̇,
q = Q̇
A
                (1)
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Em que q é a taxa de transferência de calor (W/m2), é o �uxo de calor (W) e L é comprimento
ao longo do qual ocorre a transferência de calor.
Conhecendo esses conceitos, podemos adentrar na teoria que envolve o primeiro mecanismo de
transferência de calor: a condução. Ela representa a transferência de calor que ocorre através do
movimento molecular aleatório, não considerando a diferença de velocidade. Logo, a condução
pode ocorrer em todos os estados da matéria, ou seja, em sólidos, líquidos e gases. A lei de
Fourier de transmissão de calor descreve a relação entre o �uxo de calor e a diferença de
temperatura e pode ser representada pela Equação 3.
Em que k é uma propriedade do material onde está ocorrendo a transferência de calor: a
condutividade térmica; sua unidade no SI é W/m.K. X representa o eixo que representa a direção
na qual está ocorrendo a transferência de calor. A Figura 1 descreve o comportamento
representado pela lei de Fourier. Vale ressaltar que a transferência de calor ocorre
espontaneamente da maior para a menor temperatura, sendo o contrário possível somente
através de um sistema de resfriamento.
q = Q̇
L
                (2)
Q  ̇ 
qx = −k. dT
dx
           (3)
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 1 | Representação do fenômeno descrito pela lei de Fourier. Fonte: Wikimedia Commons .
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Para descrever o mecanismo de condução unidimensional em regime estacionário, podemos
imaginar o �uxo de calor através de uma parede plana de comprimento L, sendo o
comportamento da diferença de temperatura linear. Dessa forma, a lei e Fourier pode ser escrita
conforme a Equação 4.
 
Como poderemos encontrar a condutividade térmica? Veremos isso no próximo bloco.
Condutividade térmica
A condutividade térmica representa a taxa com que um material pode transportar energia com as
mesmas condições de geometria e temperatura. Trata-se de uma propriedade individual de cada
material; pode ser aplicada em materiais sólidos, líquidos e gasosos. Devido ao maior
espaçamento molecular dos líquidos e gases, sua condutividade térmica possui valores menores
em comparação à dos sólidos, como pode ser observado nos exemplos citados no Quadro 1.
Nele, vemos que os materiais gasosos são menos condutivos, seguidos pelo líquido. Os
materiais sólidos possuem valores muito maiores.
Materiais Condutividade térmica (W/m.K)
Gás hidrogênio (200 K) 0,1282
Gás oxigênio (200 K) 0,01833
qx = −k. T2−T1
L
                                   (4)
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Etanol (300 K) 0,1676
Água (300 K) 0,6089
Mercúrio (373,2 K) 10,50
Sódio (373,2 K) 86,2
Quadro 1 | Proporção aproximada para a condutividade térmica entre materiais sólidos, líquidos e
gasosos. Fonte: Bird et al. (2004, pp. 260-261).
 
Tratando de materiais sólidos, lembramos que existem diferenças entre os materiais não
metálicos e metálicos. Na categoria de materiais não metálicos, estão os isolantes, que são uma
combinação entre materiais não metálicos e ar, como as espumas e as �bras. Esses materiais
possuem o valor de condutividade térmica aproximadamente 10 vezes menor que os materiais
metálicos. Materiais isolantes são grandemente utilizados na indústria para isolar equipamentos
que dependem de temperatura e transmissão de calor, como reator e trocadores de calor, por
exemplo, minimizando a transferência de calor com o ambiente e aproximando-os de um
processo adiabático.
Entre os materiais altamente condutivos, encontramos a prata (429 W/m.K), o cobre (401
W/m.K), o alumínio (204 W/m.K), o aço (52 W/m.K) e o latão (109 W/m.K). O cobre é bastante
aplicado na indústria por apresentar características como maleabilidade, ductilidade e
resistência à corrosão, alta condutividade térmica e acessibilidade. É usado na construção de
equipamentos responsáveis por aquecimentos e resfriamentos, como os trocadores de calor
mostrado pela Figura 2.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 2 | Cobre presente em um trocador de calor para fabricação de cerveja. Fonte: Freepik.
Agora que você já conhece os conceitos relacionados à lei de Fourier e à condutividade térmica,
que tal aplicar um exemplo? Você precisa aquecer água para fazer um chá; para isso, utilizará
uma panela de aço inox que possui uma condutividade térmica de 17 W/m.K e 0,5 cm de
espessura. Como a panela estava no seu armário, considere que a temperatura inicial do material
é de 25 ºC. Você colocou água na panela e levou ao fogão, acendendo a chama e logo o aço inox
atingiu a temperatura de 100 ºC. Calcule o �uxo de calor que está passando pela espessura da
panela de aço inox.
O primeiro passo é converter a unidade da espessura da panela de centímetros para metros: 0,5
cm equivale a 0,05 m. Aplicando os dados na equação da lei de Fourier, você terá:
Vale lembrar que o sinal representa a direção do �uxo de calor. O sinal positivo mostra que o
�uxoestá entrando no sistema, indicando um aquecimento.
Resistência térmica dos materiais
qx = −k. T2−T1
L   =   − 17 W
m.K  .   25 ºC−100ºC
0,05 m =  25500 W =  25,5 kW  
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Agora imagine que o material onde vai ocorrer a condução de calor está sujo, com incrustação,
por exemplo. Isso di�cultará a transferência de calor. A propriedade que mede essa di�culdade
de o �uxo de calor passar através dos materiais é denominada resistência térmica e pode ser
aplicada a qualquer um dos mecanismos de transferência de calor. Nesse momento, vamos
aplicá-la ao mecanismo de condução. A resistência térmica é o inverso da condutividade
térmica, como mostra a Equação 5 a seguir. A unidade no SI é K.m/W.
Em que L é o comprimento da parede plana ou tubulação, k é a condutividade térmica e A é a
área de troca térmica.
O cálculo do �uxo de calor condutivo com a resistência térmica é dado pela Equação 6.
A resistência térmica também está relacionada a aplicações muito úteis em nosso cotidiano,
como no conforto térmico aplicado à construção civil. Pense em uma casa localizada em uma
cidade muito fria onde há um isolante térmico entre as paredes, conforme Figura 3. O �uxo de
calor �cará retido no interior da casa, mantendo-a aquecida. O mesmo raciocínio é aplicado em
geladeiras domésticas, e também nas roupas que vestimos quando está frio.
Rcond = L
kA
      (5)
Q̇condução = qx.A = k. T1−T2
L
.A = T1−T2
Rcondução
               (6)
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 3 | Condução de calor através de parede composta. Fonte: Bird et al. (2004, p. 293).
No caso de condução de calor em paredes compostas, vale lembrar que a resistência precisa ser
calcula individualmente para cada camada que constitui a parede, logo:
Industrialmente, o conceito de resistência térmica é utilizado no isolamento de trocadores de
calor, tubulações de vapor, reatores químicos, dentre outros, e na conservação da temperatura de
data centers.
Vamos analisar um exemplo prático? Em uma casa, há uma janela de vidro de 1m2 e 4 mm de
espessura que está submetida a uma temperatura interna da casa de 30 ºC e uma temperatura
externa de -10 ºC. A condutividade térmica do vidro é igual a 0,8 W/K.m. Calcule a resistência
térmica condutiva e o �uxo de calor que passa pelo material em questão.
Utilizando primeiramente a Equação 5 para calcular a resistência e convertendo a unidade da
espessura para metros, temos que:
Agora vamos usar a Equação 6 para calcular o �uxo de calor. Aqui vale lembrar que devemos
seguir o sentido espontâneo do �uxo de calor, que é do quente para o frio, logo: T1 = 30ºC e T2 =
-10 ºC .
Rcondução = Rtotal =  R1 +  R2 + R3 + … + Rn                           (7)
Rcond = L
kA
= 0,004
0,8.1 = 0,005  K.m
W
Disciplina
Fenômenos de Transporte
O resultado de um �uxo de calor de 8000 W indica que, se não houvesse o isolamento, o calor
que está dentro da casa sairia, pois o sistema sempre buscará o equilíbrio térmico.
Videoaula: Introdução à condução
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Esta videoaula tem a �nalidade de iniciar os seus estudos sobre os mecanismos de transferência
de calor. Nela, você aprenderá sobre a condução de calor, condutividade térmica e resistência
térmica. Verá que existem diversas aplicações para esse mecanismo, muitas das quais estão ao
seu redor. No �nal desta aula, você vai se familiarizar com o mecanismo de condução de calor.
Saiba mais
∈ Q̇condução = T1−T2
Rcondução
= 30−(−10)
0,005 = 8000 W
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Para que você possa aprofundar os seus conhecimentos sobre a condução de calor permanente,
indicamos o capítulo 3, páginas 154 a 165, do livro Transferência de Calor e Massa, dos autores
Çengel e Ghajar, presente na Biblioteca Virtual.
Referências
BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de Transporte. Rio de Janeiro: LTC,
2004.
BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
SIMÕES, R. M. I. Fenômenos de Transporte. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A.,
2016.
Aula 2
Introdução à convecção
Introdução
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante!
Nesta aula, vamos continuar estudando a transferência de calor. Você já conheceu o mecanismo
de condução, responsável pela troca de calor entre as moléculas de uma substância. Ela é
dependente da condutividade térmica. Agora você conhecerá o segundo mecanismo de
transferência de calor: a convecção.
A convecção está relacionada com a transferência de energia entre uma superfície e um �uido
em movimento sobre ela. A convecção combina dois fenômenos de transferência de energia que
são a advecção (responsável pelo movimento global do �uido) e a condução (que descreve o
movimento aleatório das moléculas do �uido).
Bons estudos!
As camadas-limite de convecção
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Vamos começar os nossos estudos sobre convecção conhecendo o conceito de camada-limite,
desenvolvido no início do século XX por L. Prandtl. Ele consiste em um escoamento com duas
regiões distintas. A primeira está distante da superfície do material, e os efeitos viscosos nela
são desprezíveis. A segunda está muito próxima à superfície do material e possui espessura
muito pequena; apresenta velocidade de escoamento reduzida e diversi�cada entre a própria
velocidade do material e a velocidade do escoamento livre.
As camadas-limite são classi�cadas em de velocidade, térmica e de concentração. Vejamos os
seus conceitos e as diferenças.
A camada-limite de velocidade
É também conhecida como camada-limite �uidodinâmica, por estar relacionada à velocidade do
�uido. Durante o escoamento do �uido, as velocidades da região em contato com a superfície do
material são bastante reduzidas em relação à velocidade à montante da superfície; é possível
considerar que a velocidade na parede é zero. Segundo Bergman (2019), a tensão de
cisalhamento (t) é responsável pela redução do movimento do �uido e está associada ao atrito e
rugosidade do material. A Figura 1 representa o conceito de camada-limite de velocidade; é
possível veri�car a atuação da tensão de cisalhamento da superfície do material e as diferentes
velocidade conforme o aumento da espessura (d) da camada-limite.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 1 | Desenvolvimento da camada-limite de velocidade sobre uma placa plana. Fonte: Bergman (2019, p. 221).
Dessa forma, podemos de�nir o coe�ciente de atrito local (Cf) como a equivalência entre a
tensão de cisalhamento (t), a densidade (r) e a viscosidade (m):
Já a tensão de cisalhamento (t) é dada pela viscosidade multiplicada pela variação da
velocidade em relação ao comprimento da superfície.
A camada-limite de térmica
O conceito que descreve a camada-limite térmica está associado ao desenvolvimento do per�l
de temperaturas do �uido em função da espessura da camada (dt) partindo da superfície da
placa, conforme a Figura 2:
Figura 2 | Camada-limite térmica sobre uma placa plana isotérmica. Fonte: Bergman (2019, p. 222).
Observa-se na �gura que as partículas de �uido atingem o equilíbrio térmico em contato com a
superfície da placa. Essas partículas trocam calor com as que estão posicionadas acima e assim
sequencialmente até a espessura máxima, onde a temperatura se torna constante, atingindo a
corrente livre e formando o per�l ilustrado.
Cf
s
2/2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
A camada-limite de concentração
Está relacionada à transferência de massa aplicada em processos que apresentam mudanças de
concentração, como reações químicas, absorção de gases, dentre muitos outros. Conforme a
Figura 3 e em comportamento análogo às demais camadas-limites já apresentadas, pode-se
observar o comportamento constante da concentração na superfície da placa e, conforme
aumenta a espessura da camada-limite, o per�l de concentraçãodeforma-se até atingir a
corrente livre.
Através das condições da camada-limite, é possível determinar a transferência de massa por
convecção entre a superfície e a corrente livre de �uido. Para analisar a transferência de massa,
é necessário o cálculo do �uxo da espécie envolvida por meio da lei de Fick.
Figura 3 | Camada-limite de concentração de uma espécie sobre uma placa plana. Fonte: Bergman (2019, p. 222).
Agora que você compreendeu os diferentes conceitos que envolvem as camadas-limite de
convecção, seguiremos com os estudos sobre esse mecanismo de transferência de calor.
Aprenderemos a calcular o coe�ciente convectivo. Não se esqueça de resolver os exercícios, eles
são importantes para a �xação do conteúdo.
Coe�ciente convectivo
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Agora que você já conhece o conceito de camada-limite, vamos estudar o coe�ciente convectivo.
Ele é de�nido pela taxa de transferência de calor entre um �uido e uma superfície sólida por
unidade de área e diferença de temperatura.
O coe�ciente convectivo é imprescindível no cálculo de trocadores de calor de todos os tipos,
bem como de qualquer equipamento que execute troca térmica. Não é uma propriedade do
�uido, mas está atrelado às propriedades físicas e estado físico dele. Pode ser determinado
experimentalmente por meio de todas as variáveis que in�uenciam a convecção, como a
geometria da superfície, regime do escoamento, a velocidade e as propriedades do �uido. O
comportamento da camada-limite tem um papel fundamental para o entendimento do
coe�ciente convectivo, principalmente nas regiões de estagnação que ocorrem na superfície da
placa.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
O coe�ciente convectivo pode ser calculado empiricamente por meio da combinação de
números adimensionais como Nusselt (Nu), Prandtl (Pr) e Reynolds (Re). Fisicamente, o número
de Nusselt é para a camada-limite térmica o equivalente do que o coe�ciente de atrito é para a
camada-limite de velocidade. Pode ser calculado pela razão entre o produto do coe�ciente
convectivo (h) e o comprimento da superfície (L) onde está ocorrendo a transferência de calor,
pela condutividade térmica (k) do material, como pode ser representado pela Equação 3:
O número de Prandtl representa uma aproximação das difusividades de momento e térmica de
um �uido por meio da relação entre a quantidade de movimento e transferência de calor, sendo
uma medida e�ciente desses fenômenos nas camadas-limites de velocidade e térmica por
controla a espessura dessas camadas. Pode ser expressa pela razão do produto do calor
especí�co (cP) e viscosidade dinâmica (m) pela condutividade térmica (k), como apresentado
pela Equação 4.
O número de Reynolds caracteriza a ação da inercia e das forças viscosas; é usado para de�nir o
comportamento do escoamento na camada-limite. A Equação 5 foi desenvolvida para
tubulações que são mais aplicadas aos trocadores de calor. Saberemos se há um regime laminar
ou turbulento; esse conhecimento é necessário para a de�nição do coe�ciente convectivo.
Em que r é a densidade do �uido, v é a velocidade do escoamento, D o diâmetro da tubulação e
m a viscosidade dinâmica.
Agora que você já conhece esses três números adimensionais, vamos voltar ao número de
Nusselt. Ele também pode ser representado como uma função do número de Reynolds e do
número de Prandtl, como mostra a Equação 6.
Nu = h.L
k
 
Nu = f(Re,Pr)
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Considerando a aplicação desses conceitos para encontrar o coe�ciente convectivo necessário
para o cálculo de trocadores de calor tubulares (por serem mais comuns e utilizados
industrialmente), teremos a seguinte expressão:
Sendo a, p e q parâmetros encontrados experimentalmente.
Normalmente, quando o regime é laminar, o coe�ciente convectivo possui um valor melhor
quando comparado ao regime turbulento. Esse fenômeno ocorre devido ao fato de a região de
estagnação apresentar espessura mais �na na camada-limite com a turbulência. Dessa forma, a
Equação 7 apresentará peculiaridades referentes a cada regime. A Equação 8 representa o
regime laminar e a Equação 9, o regime turbulento; ambas são aplicadas ao escoamento em
tubulações:
Em que a expressão  descreve a diferença de viscosidade do �uido entre a área de
estagnação representada pela viscosidade na parede do tubo ( ) e a viscosidade do �uido na
área transversal dele. Vale ressaltar que as propriedades físicas dos �uidos podem ser
encontradas tabeladas na literatura.
No próximo bloco você aprenderá como aplicar os conceitos vistos até aqui, compreendendo a
importância da aplicação da teoria da camada-limite e o cálculo do coe�ciente convectivo. Para
�xar melhor todo esse aprendizado, resolva os exercícios.
Lei de resfriamento de Newton
Nu = (Re)p(Pr)q
Nu = 1,86Re1/3Pr1/3(D/L)1/3(/w)0,14
Nu = 0,027Re0,8Pr1/3(/w)0,14
(μ/μw)0,14
μw
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Agora que você já conhece os conceitos e importância do estudo da camada-limite e sabe como
encontrar o coe�ciente convectivo, vamos entender como calcular o �uxo de calor proveniente
da convecção. A lei de resfriamento de Newton é utilizada para expressar a convecção entre um
�uido e uma superfície através da diferença entre a temperatura no interior do �uido (T¥) e a
temperatura na superfície sólida (Ts). Dessa forma, possibilita-se o cálculo do �uxo de calor
relacionado ao mecanismo de convecção por meio da Equação 10.
O �uxo de calor é expresso por:
A lei de resfriamento de Newton pode também ser expressa pela Equação 12:
Para completar os conceitos relacionados à convecção, vale mencionar que esse mecanismo de
transferência de calor pode ser classi�cado em convecção forçada ou natural. Na convecção
forçada, o movimento do �uido está relacionado com as forças externas; na convecção natural,
q '' = Q̇
A
    (11)
Q̇ = h.A. (Ts − T∞)  (12)
Disciplina
Fenômenos de Transporte
com a diferença de densidade do �uido com a temperatura. Por exemplo, em trocadores de calor,
a convecção é forçada devido ao envio do �uido ocorrer através de sistemas de bombeamento;
já em uma operação gravitacional, a convecção é natural devido ao seu resfriamento (aumento
de densidade) ou aquecimento (redução de densidade).
Vale destacar que, na convecção forçada, os valores do coe�ciente convectivo são bem maiores;
logo, o �uxo de calor aumenta proporcionalmente, tornando a troca de calor mais efetiva. Isso
ocorre também quando a troca de calor é aplicada entre líquidos, pois suas propriedades
condutivas são maiores do que em gases para as mesmas condições de escoamento.
Vamos resolver um exemplo para aplicar todo o conhecimento que você adquiriu nessa aula.
Imagine a seguinte situação: você trabalha para uma empresa e percebe que há uma tubulação
fazendo com que a água aquecida tenha uma perda de calor. Você decide instalar um isolamento
térmico nessa tubulação, mas, para isso, precisa descobrir o �uxo de calor que está sendo
dissipado para a atmosfera. Sabendo que a água entra em uma tubulação de 0,047 metros de
diâmetro e 2 metros de comprimento a 60ºC e sai a 40ºC com uma velocidade de 0,3 m/s, e que
a temperatura no interior da parede do tubo é de 35 ºC, calcule o �uxo de calor que se dissipa da
tubulação para a atmosfera.
Primeiramente, você consultou tabelas de propriedades físicas e coletou a densidade,
viscosidade, calor especí�co e condutividade térmica para a água na faixa de temperatura
mencionada no problema e encontrou: r = 997 kg/m3; m = 0,001 kg/(m·s); cP = 4186 J/kg e
k=0,64 W/(m.K).
No segundo passo, você precisará calcular os números adimensionais de Reynolds e Prandtl:
Identi�cando que o regime do escoamento é turbulento, utiliza-se a Equação 9. A viscosidade da
água na faixa de temperatura dado no exemplo possui variações desprezíveis, logo    é
igual a 1. Dessa forma, é encontrado no valor do número de Nusselt.
Calculando o coe�ciente convectivo, do teremos:
Utilizando a lei de resfriamento de Newton, saberemos que o �uxo de calor terá o valor de:
Vale ressaltar que osinal negativo indica a direção do �uxo, mostrando a dissipação para a
atmosfera.
Não se esqueça de fazer os exercícios para melhor �xação do conteúdo.
Re = ρ.v.D
μ = 997.0,3.0,047
0,001 = 14058 (regime   turbulento)
Pr = cP .μ
k
= 4186.0,001
0,64 = 6,54
( μ
μw
)
0,14
Nu = 0,027Re0,8Pr
1
3 ( μ
μw
)
0,14
   = 0,027. 140580,8. 6,541/3. 1 = 105,09
Nu = h.L
k
  h = Nu.k
L
= 105,09.0,64
2 = 33,63 W/(m2.K)
q '' = h. (Ts − T∞) = 33,63. (35 − 60) = −840,73 W/m2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Videoaula: Introdução à convecção
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O vídeo que você assistirá trará uma maior compreensão sobre o mecanismo de convecção e
seus principais conceitos, como as camadas-limite convectivas e o coe�ciente convectivo,
facilitando assim os seus estudos e fazendo com que você tenha um domínio maior sobre os
mecanismos de transferência de calor.
Saiba mais
Para que você aprofunde os seus conhecimentos, acesso o capítulo 6 (p. 220) do livro
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa, disponível na Biblioteca Virtual.
Referências
Disciplina
Fenômenos de Transporte
BERGMAN, T. L. Incropera – Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. Rio de Janeiro:
Grupo GEN, 2019.
BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de Transporte. Rio de Janeiro: LTC,
2004.
BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
SIMÕES, R. M. I. Fenômenos de Transporte. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A.,
2016.
Aula 3
Introdução à radiação
Introdução
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante!
Nesta aula, você conhecerá a radiação térmica. Provavelmente você já passou ao lado de uma
lareira ou de uma fogueira e sentiu o calor emitido. Você sabia que essa sensação está
relacionada ao fenômeno da radiação térmica? O estudo dela se iniciou muito tempo atrás, em
meados do século XIX, com o calor emitido pela luz de corpos aquecidos, por exemplo, do ferro
em brasa manipulado pelos ferreiros da época.
Atualmente, a radiação térmica é empregada na indústria com a aplicação de trocadores de calor
de alta performance, assim como fornos utilizados em processos de craqueamento térmico tão
importantes na produção de químicos básicos destinados à fabricação de plásticos.
Bons estudos!
Radiação do corpo negro
Disciplina
Fenômenos de Transporte
A radiação térmica é um mecanismo de transferência de calor por meio de fótons. Estes são
de�nidos como partículas que compõem a luz e são capazes de transportar energia. A radiação
térmica pode ser propagada através de substâncias como o ar e é o único mecanismo de
transferência de calor que pode ocorrer no vácuo. Pode dar-se em sólidos, líquidos e gases. Em
aplicações reais, a radiação térmica pode ocorrer juntamente com a condução e a convecção,
porém em proporções diferentes.
Vale lembrar que, nos estudos sobre condução e convecção, você aprendeu que esses
mecanismos ocorrem no sentido da redução da temperatura, ou seja, de uma temperatura alta
para uma temperatura inferior. No entanto, a radiação térmica não apresenta essa limitação e
pode ocorrer no sentido contrário, transferindo calor de um meio mais quente para um mais frio,
como pode ser visto na Figura 1, a qual ilustra uma pessoa que se aquece com o auxílio de uma
fogueira.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 1 | Exemplo de ocorrência de radiação térmica. Fonte: Bergman (2019, p. 698).
Para uma dada temperatura, existe uma quantidade máxima de radiação que pode ser emitida e
a única superfície capaz de transmitir essa quantidade máxima sem re�eti-la é denominada
como corpo negro. O corpo negro é um modelo idealizado, totalmente negro, criado para auxiliar
no estudo da radiação e capaz de ser um perfeito emissor e absorvedor de todo o calor
proveniente independente do comprimento de onda e direção para uma determinada
temperatura. A Figura 2 apresenta a diferença do corpo negro (idealizado) e um corpo real; é
interessante observar a irregularidade do corpo real que pode apresentar defeitos e assimetrias
em comparação com o corpo negro, que possui simetria perfeita.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 2 | Comparação entre o corpo negro e um corpo real. Fonte: Bergman (2019, p. 701).
Apesar do nome e de parecer totalmente negro aos nossos olhos, há uma distinção entre o corpo
negro idealizado e uma superfície negra real. Superfícies reais revestidas com pigmento
negro (por exemplo, o negro de fumo) têm boa aproximação com o comportamento idealizado
do corpo negro, porém não são perfeitas.
No que toca à absorção de luz, as superfícies negras têm maior êxito nela. Você pode sentir esse
fenômeno vestido roupas dessa cor: perceberá que sente mais calor com elas. Já as superfícies
brancas re�etem a luz; seguindo esse raciocínio, roupas brancas são mais indicadas para os dias
quentes.
Existe um outro tipo de corpo utilizado para os mesmos �ns do corpo negro; ele é denominado
grande cavidade com pequena abertura. No caso desse corpo, a radiação térmica entra pela
abertura de área e é submetida a múltiplas re�exões, possibilitando que a luz tenha diversas
chances de ser absorvida pelas superfícies internas da cavidade antes que qualquer parte dela
possa eventualmente escapar.
Propriedades radioativas
Disciplina
Fenômenos de Transporte
As propriedades radioativas estão relacionadas às características químicas dos materiais, que
podem exibir comportamentos distintos em diferentes comprimentos de onda. A dependência do
comprimento de onda é um fator importante a ser considerado no estudo das propriedades
radioativas, como emissividade, absortividade, re�etividade e transmissividade dos materiais.
Como nenhum corpo real pode emitir maior quantidade de calor por radiação térmica do que o
corpo negro, o mesmo pode ser usado como referência para descrever as características de
emissão e de absorção de superfícies reais.
A emissividade de uma superfície pode ser representa pela razão entre a radiação emitida pela
superfície real a uma determinada temperatura e a radiação emitida pelo respectivo corpo negro
na mesma temperatura. Logo, o valor da emissividade varia entre 0 e 1, sendo 1 para o corpo
negro, apresentando 100 % de emissividade. A emissividade de corpos reais �ca abaixo de 1.
Ela pode variar com a temperatura da superfície, o comprimento de onda e a direção das
radiações emitidas. Dessa forma, diferentes comportamentos podem ser encontrados para uma
única superfície somente com a variação da temperatura. Por exemplo, em baixas temperaturas,
alguns corpos não metálicos podem apresentar comportamento próximo ao de um corpo negro,
com emissividades de 0,8. No entanto, superfícies metálicas podem apresentar emissividades
baixas. É possível observar a emissividade na natureza, como a do solo para o ar apresentando
valores de aproximadamente 0,35, e da neve para o ar de 0,95.
Absortividade é a quantidade de radiação incidente que é absorvida por um corpo; logo, para um
corpo negro, absortividade é de 100%, pois a luz é totalmente absorvida por ele. Seguindo com o
raciocínio, pense sobre o conceito da re�etividade, que trata da quantidade de radiação que é
Disciplina
Fenômenos de Transporte
re�etida por uma superfície. Você já pode imaginar que um corpo negro re�ete 100%, logo o valor
é zero.
Por �m, tratamos da transmissividade, que é a quantidade de irradiação que incide no corpo e é
transmitida através de um meio material semitransparente, por exemplo, através dos vidros. A
Figura 3 representa o comportamento para a absortividade, re�etividade e transmissividade.
Figura 3 | Propriedades radioativas. Fonte: Bergman (2019, p. 718).
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Lei Stefan-Boltzmann
Agora que você já conhece o conceito do corpo negro, vamos aprender a calcular a radiação
emitida por ele. Parade cisalhamento
aplicada por uma força tangencial sobre este:
Isso quer dizer que, se considerarmos que a força resultante aplicada sobre um �uido seja nula,
com viscosidade dinâmica conhecida, é possível obter, por exemplo, a velocidade com que um
pistão deve se mover para que o sistema pistão-cilindro esteja em equilíbrio estático (Brunetti,
2008), como mostrado na Figura 4.
ρ = m
V
γ = P
V
= m
V
× g
m
V ρ
γ = ρ × g
τ = Ft
A
= μ v
ε
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 4 | Esquema de um pistão de diâmetro D1 de largura 5 cm inserido dentro de um cilindro de diâmetro D2, com um
�uido entre eles. Fonte: adaptada de Brunetti (2008, p. 12).
Aplicação das propriedades dos �uidos em exemplos e casos
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Para compreender os conceitos apresentados, vamos aplicá-los em dois casos clássicos.
Pense em uma das caixas d’águas de uma cidade, em que é conhecida a massa de água contida
em seu interior, que é de 2000 kg com peso especí�co de 1000 kg/m3. Como você faria se você
precisasse determinar o volume e o peso especí�co da água dessa caixa?
Para resolver essa questão, você usará as relações entre as propriedades dos �uidos. O volume é
obtido por:
Substituindo os valores fornecidos pela questão, o volume �ca como incógnita:
O peso especí�co é obtido pela relação 
 
Em problemas de fenômenos de transporte é comum manipular e trabalhar unidades de medida
e sistemas de unidades diferentes. No exemplo apresentado, todas as unidades estão no
Sistema Internacional, e como resultado, temos o volume já expresso em . O volume poderia
ser expresso em litros, o que geralmente é mais comum. Para isso, seria necessária uma
conversão de metros cúbicos para litros ( ). Por de�nição, .
ρ = m
V
1000 kg
m3 = 2000kg
V
 ⟹ V = 2000kg
1000 kg
m3
= 2m3
:(g = 10m/s2)
γ = ρ × g ⟹ γ = 1000 kg
m3 × 10 m
s2 = 10.000 kg
m2s2 = 10.000 N
m3
m3
L 1 m 3 = 1000L.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
De acordo com Brunetti (2008), os sistemas de unidades chamados coerentes, pois de�ne as
unidades das grandezas fundamentais, comumente utilizados no estudo de �uidos são:
Quadro 2 | Sistemas de Unidades Coerentes e suas unidades de grandeza fundamentais
 
Sistema de unidades
unidade de
comprimento
unidade de massa |
unidade de força
unidade de tempo
MKS técnico ou MK*S metro (m)
quilograma (kg) |
quilograma-força
(kgf)
segundo (s)
SI metro (m) quilograma (kg) segundo (s)
CGS centímetro grama (g) segundo (s)
 
 
Em uma outra situação, você precisará especi�car um óleo lubri�cante para um sistema de
pistão e cilindro. Para isso, você precisará determinar a viscosidade dinâmica. O pistão possui
massa de 0,5 kg, com 5 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro ( ), e está colocado dentro
de um cilindro de comprimento in�nito (vamos usar aqui essa de�nição, por simpli�cação
prática) e 10,5 cm de diâmetro ( ). O �uido colocado entre eles garante que o movimento do
pistão ocorra com velocidade constante (Figura 5) de 1 m/s para cima.
D1
D2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 5 | Esquema de um pistão e cilindro para o Exemplo 2. Fonte: adaptada de Brunetti (2008, p. 12).
Para encontrar o valor da viscosidade dinâmica, vamos partir da relação
e dos dados fornecidos e, como sugestão, seguir o passo a passo:
       A força tangencial é igual, em magnitude, ao peso do pistão, pois é a força atuante sobre a
superfície do �uido lubri�cante, logo ..
     O valor de corresponde à toda a área do pistão que está em contato com o �uido. A área é
calculada multiplicando-se o perímetro do círculo do corte transversal do pistão por sua
altura. Para que as unidades estejam de acordo com o sistema internacional, vamos
transformar as medidas de comprimento que estão em centímetros para metros. Dessa
forma:
     A velocidade é fornecida e é igual a 
     O valor de  corresponde a diferença de diâmetro entre o pistão e o cilindro, dividido por
dois, pois, como mostra a Figura 5, o espaço entre eles, em um corte frontal do conjunto, está
dos dois lados do sistema. Assim:
τ = Ft
A
= μ v
ε
Ft = m × g = 5 × 10 = 50 N
A 
A = 2 × π × D1
2 × L = 2 × 3,1415 … × 0,1m × 0,05m = 3,14 × 10−2m2
1 m/s.
ε 
ε = D2−D1
2 = 0,105m−0,10m
2 = 2,5 × 10−3 m
Disciplina
Fenômenos de Transporte
       Como o valor obtido para a distância entre as duas superfícies é muito pequena, o diagrama
de velocidades pode ser aproximado para uma reta (diagrama linear), o que permite a
aplicação da relação:
Videoaula: De�nição e propriedades dos �uidos
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Nesta aula, você irá aprender sobre as propriedades básicas de um �uido. Delas, destacam-se a
massa especí�ca, o peso especí�co, a viscosidade dinâmica e a viscosidade cinemática. Além
disso, você vai entender como usá-las, junto com os conceitos básicos de fenômenos de
transporte para resolver problemas práticos de Engenharia. Dessa forma, te convido a assistir o
vídeo como forma de você aprofundar mais seus estudos.
Saiba mais
Ft
A
= μ v
ε
⟹ μ = Ft×ε
A×v
= 50N×2,5×10−3m
3,14×10−2m2× 1m
s
= 3,98 N . s/m2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante! Para aprofundar ainda mais seus estudos na de�nição e propriedade dos �uidos,
aplicação dos sistemas de unidades, recomendo a leitura e estudo dos exemplos contidos no
capítulo 1, nas páginas 9, 10 e 11 – do livro Mecânica dos Fluidos, de Frank M. White, disponível
na Biblioteca Virtual:
Esse capítulo trata das propriedades dos �uidos de forma escalar e vetorial, quando aplicável,
além de apresentar o estudo de análise dimensional em seus problemas.
Referências
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556070/
Disciplina
Fenômenos de Transporte
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. São Paulo: Pearson, 2008.
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos. Porto Alegre: Grupo A, 2015. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/. Acesso em: 18 jul. 2023.
FOX, R. W. et al. Introdução à mecânica dos �uidos. 9. ed. Barueri: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/. Acesso em: 18 jul.
2023.
WHITE, F. M. Mecânica dos �uidos. Porto Alegre: Grupo A, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556070/. Acesso em: 18 jul. 2023.
Aula 2
Estática dos �uidos
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556070/
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Vamos estudar os conceitos relacionados ao
comportamento estático dos �uidos. Para isso, começaremos com o conceito geral de pressão,
como se calcula a pressão que age sobre um �uido e quais os medidores de pressão, ou
manômetros, mais comuns utilizados em projetos de engenharia. Além disso, estudaremos a Lei
de Pascal, e sua importância em aplicações como a prensa hidráulica e o elevador hidráulico, e o
Teorema de Stevin, que permite calcular a pressão sobre um corpo submerso em um �uido, o
que é muito útil para projetos de embarcações e estruturas submarinas.
Bom estudo para você! 
Conceitos de pressão, manômetros, Lei de Pascal e Teorema de Stevin
Disciplina
Fenômenos de Transporte
A estática dos �uidos trata de problemas e dos fenômenos considerados como os mais simples
dentro do estudo de �uidos em Fenômenos de Transporte (Fox et al., 2018), mas não por isso
sejam os menos importantes. Aqui, além de conceituar �sicamente o que é pressão,
estudaremos os seus efeitos sobre os corpos submersos, como é possível medir a pressão e
como esses conceitos são aplicados em projetos hidráulicos em engenharia.
 
Basicamente duas forças atuam sobre os �uidos: a força tangencial, , que, aplicada sobre uma
árearealizar esse cálculo, utilizaremos a lei de Stefan-Boltzmann, que pode ser
representada pela Equação 1:
Em que s é a constante de Stefan-Boltzmann, igual a 5,67 x 10-8 W/m2.K4 e T é a temperatura
absoluta em Kelvin. Sabendo que  , sendo A igual a área onde está ocorrendo a
transferência de calor, temos a Equação 2:
Lembrando que o corpo negro representa a quantidade de calor máxima que pode ser irradiada, é
necessário adequar a equação para ser aplicada em corpo reais que emitem uma parte desse
limite. Logo, é necessário introduzir o conceito de emissividade. Dessa forma, a lei de Stefan-
Boltzmann para corpos reais é dada pela Equação 3.
q '' = σ.T 4
q '' = q/A
q = σ.A.T 4
q = ε.σ.A.T 4
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Em muitos casos, há o interesse em calcular a quantidade de energia transmitida por radiação de
uma superfície para um meio de temperatura constante; desta forma, modi�ca-se a lei de Stefan-
Boltzmann com a Equação 4.
Nesses casos, o mecanismo de radiação atuará juntamente com o de convecção para
transferência de calor para o meio (vizinhança). Assim, é importante conhecermos a Equação 5,
que apresenta o cálculo do coe�ciente convectivo para a aplicação.
Para auxiliar a �xação dos conceitos vistos nessa aula, vamos resolver a aplicação a seguir, que
é uma adaptação de Bergman (2019, p. 762). Considere uma superfície exposta à radiação solar.
A temperatura da superfície é 320 K nesse momento. Considerando a temperatura efetiva do céu
em 260 K, determine a taxa líquida de transferência de calor por radiação para os casos:
a)     e = 0,9 (superfície cinza absorvedora).
b)     e = 0,1 (superfície cinza re�etora).
Para começar, podemos observar que o valor da área ou formato da superfície não foi
mencionado. Portanto, vamos calcular a quantidade de calor em relação à área.
Observa-se que a quantidade de calor emitida por radiação para corpos reais com grande
emissividade é maior do que para os corpos com baixa emissividade. Vamos ver mais um
exemplo?
Considere uma placa opaca horizontal bem isolada nas bordas e na superfície inferior. A placa é
uniformemente irradiada de cima enquanto o ar a Tviz = 321 K �ui sobre a superfície, fornecendo
um coe�ciente convectivo de 40 W/m2.K e a temperatura da placa é uniformemente mantida a
350 K. Calcule a quantidade de calor sendo transmitida pelo mecanismo de radiação.
Primeiramente, vamos calcular a emissividade através do coe�ciente convectivo:
Para encontrar a quantidade de calor emitida por radiação aplique a lei de Stefan-Boltzmann:
q = ε.σ.A. (T 4 −  T 4
viz)
h =
ε.σ.(T 4− T 4
viz)
T−Tviz
q '' = ε.σ. (T 4 −  T 4
viz) = 0,9.  5,67x10−8. (3204 − 2604) = 301,89 W/m2
q '' = ε.σ. (T 4 −  T 4
viz) = 0,1.  5,67x10−8. (3204 − 2604) = 33,54 W/m2
h =
ε.σ.(T 4− T 4
viz)
T−Tviz
→ 40 =
ε.5,67x10−8.(3504−3214) 
350−321 →  ε = 0,8
q '' = ε.σ. (T 4 −  T 4
viz) = 0,8.  5,67x10−8. (3504 − 3214) = 199,1 W/m2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Videoaula: Introdução à radiação
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O vídeo que você assistirá trará uma maior compreensão sobre o mecanismo de radiação
térmica e seus principais conceitos, como a teoria do corpo negro e as propriedades radioativas,
facilitando assim os seus estudos e fazendo com que você tenha um domínio maior sobre os
mecanismos de transferência de calor.
Saiba mais
Para que você aprofunde os seus conhecimentos, acesse o capítulo 12 (p. 697) do livro
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa, disponível na Biblioteca Virtual, e estude a
página 701, que apresenta a teoria completa sobre o corpo negro.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Referências
BERGMAN, T. L. Incropera – Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. Rio de Janeiro:
Grupo GEN, 2019.
BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de Transporte. Rio de Janeiro: LTC,
2004.
BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
SIMÕES, R. M. I. Fenômenos de Transporte. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A.,
2016.
Aula 4
Trocadores de calor
Introdução
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante!
Nesta aula, vamos exempli�car, com os trocadores de calor, os conhecimentos adquiridos nesta
Unidade. Eles são equipamentos utilizados em diversas aplicações relacionadas à engenharia,
nos mais diversos setores da indústria. Por exemplo, para adequar a temperatura de matérias-
primas que serão processadas; para acondicionar produtos que passarão por processos de
puri�cação; para controlar a temperatura em tratamentos de e�uentes, assim como para resfriar
computadores presentes em um data center.
Existem diferentes tipos de trocadores de calor que são aplicados conforme o seu objetivo e
demanda. Há também as torres de resfriamento que seguem o mesmo princípio de
funcionamento, unindo os conceitos da condução, convecção e radiação.
Bons estudos!
Tipos de trocadores de calor
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Trocadores de calor podem ser de�nidos como equipamentos com o �uido mais quente, o qual
transfere calor para o �uido mais frio. Existem três tipos mais comuns de trocadores de calor: os
recuperadores, os regeneradores e os trocadores de calor de contato direto.
Os recuperadores são equipamentos nos quais o �uido quente está separado do �uido frio por
uma parede que pode ser uma tubulação ou uma placa. Dessa forma, o calor é transferido
através da combinação dos mecanismos de condução e convecção, podendo haver radiação se
houver a presença de aletas ou outros aparatos que aumentem a e�ciência da transferência de
calor. Os recuperadores são os trocadores de calor com maior variedade de aplicações,
tornando-se os mais comuns em setores industriais. São utilizados em processos de
aquecimento, resfriamento, condensação e evaporação, e podem operar com correntes paralelas
e contracorrentes.
Os regeneradores executam a troca de calor através da ocupação alternada dos �uidos quente e
frio em um mesmo espaço denominado núcleo do trocador ou matriz. Um exemplo dessa
classi�cação é o leito compactado. Os trocadores de calor de contato direto são aqueles que
expõem os �uidos quente e frio intimamente; são exemplos desse tipo de operação as torres de
resfriamento, onde a água entra em contato direto com o ar dos ventiladores para que haja uma
redução de temperatura, ou um secador que aquece uma superfície para retirar a umidade.
Podemos destacar três principais tipos de trocadores de calor que possuem o projeto baseado
nos mecanismos de condução e convecção: trocadores duplo-tubo (bitubulares), trocadores
casco e tubos e trocadores a placa.
Os trocadores de calor duplo-tubo ou bitubulares são utilizados para áreas de troca térmica
maior do que 50 m2. São extremamente úteis, pois podem ser dispostos em qualquer conjunto
Disciplina
Fenômenos de Transporte
com conexões de tubos através de partes padronizadas, fornecendo uma superfície de baixo
custo para a transmissão de calor. Devido ao seu formato, uma unidade denomina-se grampo,
pela sua semelhança com este objeto. A Figura 1 apresenta o esquema de trocadores de calor
duplo-tubo em correntes paralelas (a) e contracorrente (b).
Figura 1 | Trocadores de calor duplo-tubo. Fonte: Bergman (2019, p. 645).
O trocador de calor casco e tubos é composto por um casco e diversos tubos em seu interior,
podendo chegar a centenas deles. Estes são organizados por arranjos quadráticos ou
triangulares, �xos através dos espelhos e, para elevar a turbulência no escoamento do �uido,
utilizam-se chicanas. Esse trocador opera através de correntes paralelas ou contracorrente e é
utilizado quando necessários mais do que 50 m2 de área de troca térmica. Os trocadores de
caso e tubos são classi�cados pelo número de passes no casco e no tubo, por exemplo: um
trocador de calor casco e tubos que possui um passe no cascoe dois nos tubos é denominado
trocador 1-2. A Figura 2 apresenta um trocador de calor casco e tubos.
Figura 2 | Trocador de calor casco e tubos. Fonte: Bergman (2019, p. 646).
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Para �nalizar, entre os tipos mais comuns de regeneradores, temos o trocador de calor a placas,
que é utilizado devido a sua versatilidade de tamanhos e facilidade em ampliar ou reduzir a água
de troca térmica. Também apresenta facilidade de limpeza, característica importante nas
indústrias alimentícias e farmacêuticas. A Figura 3 apresenta a estrutura de um trocador de calor
a placas.
Figura 3 | Trocador de calor a placas. Fonte: Bergman (2019, p. 647).
Vale ressaltar: existem trocadores que apresentam o seu funcionamento aplicando os três
mecanismos de transferência de calor (condução, convecção e radiação) através a presença de
aletas, denominados trocadores de calor de escoamento cruzado.
Coe�ciente global de transferência de calor
Disciplina
Fenômenos de Transporte
O coe�ciente global de transferência de calor (U) representa a ação dos mecanismos de
transferência de calor através das resistências presentes no equipamento. Ele refere-se à
qualidade com que o calor é conduzido através de resistência, por exemplo, as paredes dos
tubos e incrustações. Sua unidade no SI é W/(m2°C).
Existem duas classi�cações para o coe�ciente global de transferência de calor. A primeira,
chamamos de UC; a letra C simboliza a palavra em inglês clean, que signi�ca limpo. Logo, UC é
utilizado para projetar o trocador de calor, pois está relacionado a um equipamento que teve
contato com nenhum tipo de �uido. A segunda classi�cação é denominada UD; a letra D
simboliza a palavra em inglês dirty, que signi�ca “sujo”. Assim, UD é utilizado para designar
trocadores de calor em funcionamento. Quanto menor o valor, pior está a transferência de calor,
indicando a necessidade de limpeza no equipamento.
O coe�ciente global de transferência de calor limpo (UC) é calculado através de uma relação
entre os coe�cientes convectivos referentes à transferência de calor de ambos os �uidos que
estão no equipamento. Na Figura 4, você pode observar um esboço de um trocador de calor
duplo-tubo onde há um �uido passado pelo tudo interno (i) e outro �uido passando pelo tubo
externo (o). Assim, teremos o coe�ciente convectivo hi relacionado ao �uido interno e ho para o
tubo externo.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 4 | Coe�cientes convectivos associados a um trocador de calor duplo-tubo. Fonte: Bergman (2019, p. 648).
Dessa forma, hi e ho podem ser calculados empiricamente por meio da combinação de números
adimensionais como Nusselt (Nu), Prandtl (Pr) e Reynolds (Re), como mostra a Equação 1:
Quando aplicamos a Equação 1 para �uidos escoando através de tubos em regime turbulento,
teremos a expressão apresentada pela Equação 2:
Em que a expressão   descreve a diferença de viscosidade do �uido entre a área de
estagnação representada pela viscosidade na parede do tubo ( ) e a viscosidade do �uido na
Nu = a(Re)p(Pr)q      (1)
Nu = 0,027Re0,8Pr1/3(m/mw)0,14   (2)
(m/mw)0,14
mw
Disciplina
Fenômenos de Transporte
área transversal dele. Expandindo a Equação 2 para que o coe�ciente convectivo seja
diretamente calculado teremos a Equação 3 para hi e Equação 4 para ho:
Em que De é o diâmetro equivalente representando a diferença entre o tubo interno e o tubo
externo; essa diferença é denominada anel.
Para trocadores de calor casco e tubos, o coe�ciente convectivo para o �uido e escoamento pelo
casco em regime turbulento é dado pela Equação 5.
Conhecendo os valores de hi e ho, o próximo passo é realizar uma correção no hi para que se
obtenha o coe�ciente convectivo referente ao calor que atravessa a parede do tudo interno em
um trocador duplo-tubo ou os múltiplos tubos em um casco e tubos, denominado hio. Ele pode
ser calculado pela Equação 6.
Em que DI é o diâmetro interno e DE, o diâmetro externo referentes ao tubo interno.
Agora podemos calcular o UC por meio da Equação (7), que relaciona os coe�cientes
convectivos hio e ho:
Para �nalizar, o UD pode ser calculado por meio da relação do UC com fator de incrustação (Rd)
por meio da Equação (8). Também pela equação de conservação da energia, que será
apresentada no próximo bloco desta aula.
Análise de um trocador de calor
hi.D
k
= 0,027( r.v.D
m
)
0,8
( cP .m
k
)
1/3
(m/mw)0,14   (3)
ho.De
k
= 0,027( r.v.D
m
)
0,8
( cP .m
k
)
1/3
(m/mw)0,14   (4)
ho.De
k
= 0,36( r.v.D
m
)
0,55
( cP .m
k
)
1/3
(m/mw)0,14   (5)
hio = hi. DI
DE
            (6)
UC = hio.ho
hio+ho
        (7)
1
UD
= 1
UC
+ Rd        (8)
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Para realizar o cálculo a área de troca térmica de trocadores de calor, dispomos de dois métodos
bastante consolidados que podem ser aplicados para qualquer tipo de trocador de calor, tanto
em correntes paralelas quanto contracorrente. Esses métodos são o da conservação de energia
e o e-NUT, que está relacionado a efetividade do trocador de calor.
O método da conservação da energia possui origem na lei da conservação da energia, que é a 1º
lei da termodinâmica, e pode ser representado pela Equação 9:
Em que A é a área de troca térmica, U é o coe�ciente global de transferência de calor podendo
ser usado o UC na fase de projeto e o UD na fase de operação. Q é o calor trocado entre os
�uidos, podendo ser calculado de Equação (10), e LMTD é a média logarítmica das temperaturas,
que pode ser calculada pela Equação (11).
A troca de calor que ocorre entre os �uidos (Q) pode ser calculado pelo calor sensível, como
mostra a Equação (10):
Em que ṁ é a vazão mássica do �uido; cp é o calor especí�co do �uido, que pode ser encontrado
em tabelas; e DT é a diferença entre as temperaturas de entrada e saída do �uido.
A = Q
U .LMDT
     (9)
Q = ṁ. cp.DT        (10)
Disciplina
Fenômenos de Transporte
A média logarítmica de temperatura (LMTD) é uma relação entre as quatro temperaturas que
envolvem a operação de um trocador de calor, ou seja, as temperaturas de entrada e saída para
os dois �uidos que estão realizando essa troca térmica. A LMTD é calculada pela Equação (11):
 
Onde os DTmáx e DTmín são dependentes do tipo de escoamento do trocador de calor, que pode
ser paralelo ou contracorrente, como mostra a Figura 5. Observando a �gura, é possível
compreender que deve ser construído um grá�co no qual a linha superior representa as
temperaturas de entrada e saída do �uido de aquecimento; e a linha inferior, as temperaturas de
entrada e saída do �uido de resfriamento. As temperaturas devem ser posicionadas conforme o
escoamento das correntes e, na sequência, deve ser realizada uma subtração das temperaturas
nos extremos no grá�co. A maior subtração é chamada de DTmáx e a menor de DTmín.
Figura 5 | Escoamentos paralelo e contracorrente em trocadores de calor. Fonte: Bergman (2019, pp. 657 e 659).
LMTD =  
DTmáx− DTmín
ln(
DTmáx
DTmín
)
         11
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Para trocadores de calor casco e tubos, é aplicado um fator de correção (Ft) no cálculo do LMTD.
O fator de correção é encontrado gra�camente perante o tipo de trocador de calor, como pode
ser visualizado da Figura 6 para trocadores casco e tubos com um passe no casco e 2, 4, 6, etc.
(qualquer múltiplo de 2) passes nos tubos.
Figura 6 | Fator de correção para trocadores de calor casco e tubos com um passe no casco e 2, 4, 6, etc. (qualquer múltiplo
de 2) passes nos tubos. Fonte: Bergman (2019, p. 660).
Agora com todos os conhecimentos necessários para analisar um trocador de calor, você está
apto a resolver os exercícios, bem como problemas reais aplicando esse equipamento tão
usando em diversas áreas da engenharia.
Videoaula: Trocadores de calor
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O vídeo que você assistirá agora trará uma maior compreensãosobre a análise de trocadores de
calor com o objetivo de encontrar a área de troca-térmica, bem como o cálculo do coe�ciente
global de transferência de calor aplicado a trocadores duplo-tubo e casco e tubos. Trata-se de
um assunto de grande importância, pois esses equipamentos são vastamente aplicados em
diversos setores da engenharia.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Saiba mais
Para que você aprofunde os seus conhecimentos, acesse o capítulo 11 (p. 644) do livro
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa, disponível na Biblioteca Virtual, e estude as
páginas 658 e 659, que apresentam a teoria completa sobre o cálculo da média logarítmica da
temperatura. 
Referências
Disciplina
Fenômenos de Transporte
BERGMAN, T. L. Incropera – Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. Rio de Janeiro:
Grupo GEN, 2019.
BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de Transporte. Rio de Janeiro: LTC,
2004.
BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
SIMÕES, R. M. I. Fenômenos de Transporte. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A,
2016.
Aula 5
Revisão da Unidade
Mecanismos de transferência de calor e análise de trocadores de calor
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante! Vamos rever agora os principais conceitos para a aplicação dos mecanismos de
transferência de calor, bem como para a análise e cálculo da área de troca térmica de um
trocador de calor.
O primeiro mecanismo de transferência de calor a ser estudado é a condução, que representa a
transferência de calor através do movimento molecular aleatório, não considerando a diferença
de velocidade. Logo, a condução pode ocorrer em todos os estados da matéria, ou seja, em
sólidos, líquidos e gases. O calor transferido por condução deve ser calculado pela lei de Fourier,
que descreve a relação entre o �uxo de calor e a diferença de temperatura, e pode ser
representada pela Equação 1.
A convecção está relacionada com a transferência de energia entre uma superfície e um �uido
em movimento sobre essa superfície. Combina dois fenômenos de transferência de energia, que
são a advecção (responsável pelo movimento global do �uido) e a condução (que descreve o
movimento aleatório das moléculas do �uido). A lei de resfriamento de Newton é utilizada para
expressar a convecção entre um �uido e uma superfície através da diferença entre a temperatura
no interior do �uido (T¥) e a temperatura na superfície sólida (Ts). Dessa forma, possibilita o
cálculo do �uxo de calor relacionado ao mecanismo de convecção através da Equação 3.
Q̇ = −k.A. T2−T1
L
Q̇ = h.A. (Ts − T∞)  (3)
Disciplina
Fenômenos de Transporte
A radiação é aplicada aos trocadores de calor aletados, que são tipos bastante especí�cos e
com alta e�ciência de troca térmica. O �uxo de calor transmitido por radiação pode ser calculado
pela lei de Stefan-Boltzmann, representada pela Equação 4.
 
Agora que relembramos os mecanismos de transferência de calor, vamos seguir com a revisão
dos conteúdos sobre os trocadores de calor. O principal objetivo de um projeto de trocador de
calor é encontrar a área de troca térmica. Esse objeto se inicia calculando o coe�ciente global de
transferência de calor (U) que pode ser classi�car em UC (limpo) e UD (sujo).
O coe�ciente global de transferência de calor limpo (UC) é calculado através de uma relação
entre os coe�cientes convectivos referentes à transferência de calor de ambos os �uidos no
equipamento; ou seja o �uido que passa pelo tudo interno (i) e outro �uido passando pelo tubo
externo (o). Assim, teremos o coe�ciente convectivo hi relacionado ao �uido interno e ho para o
tubo externo. Os coe�cientes convectivos hi e ho podem ser calculados para tubulação pelas
Equações 5 e 6; e, para trocadores de calor casco e tubos, o coe�ciente convectivo para o �uido
e escoamento pelo casco em regime turbulento é dado pela Equação 7.
Conhecendo os valores de hi e ho, o próximo passo é realizar uma correção no hi para que se
obtenha o coe�ciente convectivo referente ao calor que atravessa a parede do tudo interno em
um trocador duplo-tubo ou os múltiplos tubos em um casco e tubos, denominado hio. Ele pode
ser calculado pela Equação 8.
Agora podemos calcular o UC através da Equação 9, que relaciona os coe�cientes convectivos
hio e ho:
Para �nalizar, o UD pode ser calculado através da relação do UC com fator de incrustação (Rd)
por meio da Equação 10, como também pela equação de conservação da energia, apresentada
na Equação 11:
Q̇ = ε.σ.A. (T 4 −  T 4
viz)
hi.D
k = 0,027( ρ.v.D
μ )
0,8
( cP .μ
k )
1/3
(μ/μw)0,14
ho.De
k = 0,027( ρ.v.De
μ )
0,8
( cP .μ
k )
1/3
(μ/μw)0,14
ho.De
k
= 0,36( ρ.v.De
μ
)
0,55
( cP .μ
k
)
1/3
(μ/μw)0,14
hio = hi. DI
DE
UC = hio.ho
hio+ho
Disciplina
Fenômenos de Transporte
O método da conservação da energia é utilizado para calcular a área de troca térmica e possui
origem na lei da conservação da energia, que é a 1º lei da termodinâmica. Pode ser representado
pela Equação 11:
Agora que você relembrou todos os conceitos sobre mecanismo de transferência de calor,
vamos aplicá-lo? Siga em frente com os seus estudos e analise os trocadores de calor.
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Este vídeo apresenta uma revisão dos principais conceitos sobre os mecanismos de
transferência de calor, bem como as etapas necessárias para o cálculo da área de troca térmica
de um trocador de calor. Os trocadores de calor são amplamente utilizados nos diversos setores
da engenharia, logo, é bastante importante que você compreenda esses conceitos e saiba aplicá-
los.
Estudo de caso
1
UD
= 1
UC
+ Rd
A = Q
U .LMDT
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Trocadores de calor são largamente aplicados nos mais diversos setores da engenharia, como
indústrias químicas, farmacêuticas, alimentos, petróleo, assim como sistemas de ar-
condicionado de grande porte. Podem ser usados na troca de calor sensível (quando há
diferença de temperatura) ou na troca de calor latente (quando há apenas mudança de estado).
Logo, pode ser empregado como condensador e evaporador em sistemas de refrigeração e
colunas de destilação.
Nesse contexto, você se colocará no papel de um engenheiro responsável pelo projeto de uma
indústria química e precisa avaliar se um determinado trocador de calor 1-2 (um passe no casco
e 2 passes nos tubos) em contracorrente com área de troca térmica de 290 m2 é aplicável ao
resfriamento de 22 kg/s de água destilada de 33 °C a 29 °C utilizando 35 kg/s de água comum
proveniente de um reservatório de 24°C. A troca de calor fornece um fator de incrustação de 1
m2.ºC/kW com uma velocidade do tubo de 1,8 m/s e 1,07 m/s no casco.
Dispõe-se para este serviço de um trocador com casco de 0,387 m de diâmetro interno e tubos
com 0,018 m de diâmetro externo (DE) e 0,016 de diâmetro interno (DI) com comprimento igual a
5 m. O diâmetro equivalente (De) é de 0,14 m. Avalie se ele poderá ser instalado e atenderá a
demanda ou se será necessária a compra de um novo trocador de calor.
Para realizar esse projeto, você precisará percorrer os seguintes passos:
Encontrar as propriedades físicas da água (densidade, viscosidade, calor especí�co e
condutividade térmica).
Calcular os coe�cientes convectivos para o �uido que escoa pelos tubos e pelo casco.
Calcular os coe�cientes globais de transferência de calor limpo e sujo.
Calcular a área de troca térmica.
______
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Re�ita
Para entregar um ótimo relatório ao seu gestor, você deverá realizar os seguintes cálculos para o
trocador de calor casco e tubos, alvo do seu projeto:
Procurar as propriedades necessárias na literatura: condutividade térmica, densidade,
viscosidade e calor especí�co.
A quantidade de calor trocada através do mecanismo de condução para os �uidosenvolvidos nesse projeto.
O mesmo do item anterior para o mecanismo de convecção.
Calcular os coe�cientes convectivos.
Calcular a área de troca térmica do trocador de calor.
Lembre-se de que você também pode utilizar o livro da disciplina, bem como a Biblioteca Virtual.
Elabore o relatório com os cálculos do seu projeto e apresente-os ao seu gestor.
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Como ambos os �uidos que escoam no casco e nos tubos são água em uma faixa de
temperatura semelhante, vamos iniciar encontrando as propriedades físicas (densidade,
viscosidade, calor especí�co e condutividade térmica) que podem ser aplicadas para os dois
setores do trocador de calor. Você poderá encontrar esses dados em diversos livros de
fenômenos de transporte presentes na Biblioteca Virtual,  como os citados na bibliogra�a dessa
aula.
Quadro 1 | Propriedades físicas da água
Propriedade Física Valor
Densidade 997 kg/m3
Viscosidade 0,001 kg/(m.s)
Calor Especí�co 4,186 kJ/kg
Condutividade Térmica 0,61 x 10-3 kW/(m2.ºC)
Fonte: elaborado pela autora.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Temos todas as propriedades físicas necessárias, então é hora de calcular os coe�cientes
convectivos para o casco e para os tubos do trocador 1-2. Siga as equações. Primeiramente,
para o casco, temos a velocidade de 1,07 m/s e diâmetro externo de 0,14 m (DE), juntamente
com as propriedades físicas. Vamos calcular o ho através a equação a seguir:
Para calcular o hi, temos que o diâmetro internos dos tubos é 0,016 e a velocidade é de 1,8 m/s.
Juntamente com as propriedades físicas, é possível calcular o hi conforme equação a seguir:
Encontrados os coe�cientes convectivos, vamos fazer a correção do hi calculando o hio, sabendo
que o diâmetro externo dos tubos é de 0,018 m:
Agora podemos calcular o UC:
Para �nalizar o cálculo do coe�ciente global de transferência de calor, vamos calcular o UD,
sabendo que o fator de incrustação é 1 m2.ºC/kW.
Para seguir com os cálculos, é necessário calcular a temperatura de saída da água do
reservatório. Para isso, podemos considerar que todo calor que a água destilada transmite, a
água do reservatório absorve. Aplicando esse conceito em equação para o cálculo do calor
sensível e sabendo que a água destilada possui temperatura de entregada e saída de 33 °C e 29
°C, respectivamente, e vazão mássica de 22 kg/s, enquanto a água comum proveniente de um
reservatório tem uma temperatura de entrada de 24°C e vazão mássica de 35 kg, teremos:
ho.De
k
= 0,36( ρ.v.De
μ
)
0,55
( cP .μ
k
)
1/3
(μ/μw)0,14
ho. 0,14
0,61 x 10−3 = 0,36( 997.1,07.0,14
0,001 )
0,55
( 4,186.0,001
0,61 x 10−3 )
1/3
(0,001/0,001)0,14
ho = 2,09  kW
m2.ºC
hi.D
k = 0,027( ρ.v.D
μ )
0,8
( cP .μ
k )
1/3
(μ/μw)0,14
hi. 0,016
0,61 x 10−3 = 0,027( 997.1,07.0,016
0,001 )
0,55
( 4,186.0,001
0,61 x 10−3 )
1/3
(0,001/0,001)0,14
hi = 0,42  kW
m2.ºC
hio = hi.
DI
DE = 0,42. 0,016
0,018 = 0,37 kW
m2.ºC
UC = hio.ho
hio+ho
= 0,37.2,09
0,37+2,09 =  0,31  kW
m2.ºC
1
UD
= 1
UC
+ Rd = 1
0,31 + 0,0005 + 0,0015 ® UD = 0,24  kW
m2.ºC
Qquente = Qfrio
Disciplina
Fenômenos de Transporte
A taxa de calor sensível pode ser calculada tanto para o �uido quente quanto para o frio, pois,
conforme visto na equação acima, os dois possuem o mesmo valor. Logo, teremos:
Em posse das quatro temperaturas podemos calcular o LMTD para regime contracorrente.
Vamos de�nir DTmáx e DTmín, observe o esquema a seguir (Figura 1) que simboliza a entrada e
saída em contracorrente. Fazendo a subtração dos extremos, temos que DTmáx = 6,49 ºC e
DTmáx = 5 ºC. Substituindo na equação:
Figura 1 | Esquema que simboliza a entrada e a saída em contracorrente. Fonte: elaborada pela autora.
Após calculada a LMTD, precisamos realizar a correção, por se tratar de um trocador de calor
casco e tubos. Para isso, precisamos calcular o R e P; a letra T (maiúscula) se refere às
temperaturas do �uido quente e t (minúscula), às temperaturas do �uido frio. Posteriormente,
utilizamos a Figura 2 para encontrar o fator de correção.
ṁq. cP .DT = ṁf . cP .DT
22.4,186. (33 − 29) = 35.4,186. (Tsaída − 24)
Tsaída = 26,51ºC
Qquente = ṁq. cP .DT = 22.4,186. (33 − 29) = 368,37 kW
LMTD =  
ΔTmáx− ΔTmín
ln(
ΔTmáx
ΔTmín
)
= 6,49− 5
ln( 6,49
5 )
= 5,71 º
R = T1−T2
t1−t2
= 33−29
26,51−24 = 1,59
P = t2−t1
T1−t1
= 26,51−24
33−24 = 0,28
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 2 | Fator de correção para trocadores de calor casco e tubos com um passe no casco e 2, 4, 6, etc. (qualquer múltiplo
de 2) passes nos tubos. Fonte: Bergman (2019, p. 660).
Dessa forma, o fator de correção é de 0,95. Corrigindo a LMTD, temos que:
Calculando a área de troca térmica, temos:
Dessa forma, o trocador 1-2 já existente poderá ser instalado e utilizado para essa função.
Resumo Visual
LMTDcorrigido = LMTD.Ft = 5,71.0,95 = 5,42 ºC
A = Q
U .LMDT
= 368,37
0,24.5,42 = 283,19 m2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 3 | Principais conceitos sobre os mecanismos de transferência de calor e análise de trocadores de calor.
Referências
Disciplina
Fenômenos de Transporte
BERGMAN, T. L. Incropera – Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. Rio de Janeiro:
Grupo GEN, 2019.
BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de Transporte. Rio de Janeiro: LTC,
2004.
BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
SIMÕES, R. M. I. Fenômenos de Transporte. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A.,
2016.
,
Unidade 4
Introdução à transferência de massa e termodinâmica básica
Aula 1
Transferência de massa
Introdução
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante! Seja bem-vindo à aula sobre Transferência de Massa. Nesta aula, você aprenderá
sobre a transferência de massa entre diferentes meios, como gasosos e líquidos, e como isso é
aplicado em processos industriais.
Existem inúmeros exemplos de transferência de massa na vida diária: a difusão do açúcar numa
xícara de café, a vaporização da água numa chaleira, o movimento do ar carregado de umidade
sobre o oceano e sua precipitação em forma de chuva, o processo de combustão, o
condicionamento de ar, como o exemplo da secagem de roupas ao sol mostrado na Figura 1.
Ao �nal desta aula, você será capaz de calcular os �uxos de massa e as concentrações de cada
componente em uma mistura e sua difusão, compreender os fenômenos de transferência de
massa na engenharia e suas aplicações. Boa aula!
Noções de transferência de massa
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Na natureza, toda substância ou mistura de substâncias que estão em desequilíbrio, tende a se
redistribuir até que o equilíbrio seja restabelecido. Essa tendência é conhecida como força
motriz, que é o mecanismo subjacente a muitos fenômenos de transporte como os que vamos
abordar nesta aula em Transferência de Massa.
As moléculas se moverão em qualquer direção, mas têm a tendência de ocupar novos espaços
em que a população delas é menor. A diferença entre essas concentrações é a força motriz na
transferência de massa que permite o �uxo de matéria na direção A para B, conforme a Figura 2.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 2 | Sentido do �uxo de matéria. Fonte: Cremasco (2016, p. 27).
O balanço de massa é a aplicação da lei da conservação de massa, e considera as taxas de
entrada e saída de massa uma substância em um sistema.
O processo de balanço de massa e energia é muito empregado na indústria química.
Um exemplo disso é na extração do sal contido no petróleo cru. Antes de ser
processado na re�naria, este sal deve ser eliminado em um lavador. Neste lavador, a
água é misturada ao petróleo que dissolve parte do sal. O processo de balanço de
massa é utilizado para o cálculo das concentrações de sal no �uxo de alimentação do
petróleo e no �uxo de saída do lavador, para queseja quanti�cada a concentração de
sal e a razão petróleo/água (Santos et al., 2022, p. 50).
O �uxo é o movimento das partículas de uma substância de uma região de alta concentração
para uma região de baixa concentração. Esse processo é impulsionado pela tendência natural
das substâncias de se espalharem e alcançarem um equilíbrio. A taxa de �uxo de massa é
in�uenciada pelo coe�ciente de difusão.
O coe�ciente de difusão ou difusividade, é a representação numérica da velocidade de uma
substância se mover através de um meio. Substâncias com coe�cientes de difusão mais altos se
difundem mais rapidamente. Isso é vital em processos como a osmose, em que a água se move
através de membranas celulares.
Na Figura 3, ilustramos a concentração, que é a medida da quantidade de uma determinada
espécie A e B em uma mistura, representada por e . A concentração pode ser expressa
em termos de massa ou mol, e a concentração é in�uenciada diretamente no �uxo de massa.
Quanto maior a diferença de concentração entre duas regiões, maior será a força motriz para a
transferência de massa atingir o estado de equilíbrio. 
CA CB
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 3 | Transferência de massa por difusão em uma mistura. Fonte: Bergman (2019, p. 554).
Quando falamos de difusão, estamos nos referindo a outro conceito crucial que exploraremos. A
difusão é o processo pelo qual as substâncias se deslocam de áreas de alta concentração para
regiões de baixa concentração. Esse fenômeno ocorre de forma natural e busca equalizar as
disparidades de concentração, conforme previsto pela Lei de Fick.
É fundamental fazer uma distinção entre transferência de massa e movimento de
massa de �uido (ou escoamento de �uido), que ocorre em nível macroscópico
quando o �uido é transportado de um local para outro. A transferência de massa
exige a presença de duas regiões com diferentes composições químicas e refere-se
ao movimento da espécie química a partir da região de concentração mais elevada
em direção à região de menor concentração. A principal força motriz para o
escoamento do �uido é a diferença de pressão, enquanto, para a transferência de
massa, é a diferença de concentração (Çengel e Ghajar, 2009, p. 808).
A Lei de Fick da difusão, formulada em 1855, estabelece que a taxa de difusão de uma espécie
química em um determinado ponto, em uma mistura de gases (ou solução líquida ou sólida), é
proporcional ao gradiente de concentração dessa espécie neste ponto. Embora uma maior
concentração da espécie indique a presença de mais moléculas desta mesma espécie por
Disciplina
Fenômenos de Transporte
unidade de volume, a sua concentração pode ser expressa de diversas maneiras que veremos ao
longo desta aula.
Composição das misturas
Agora vamos desvendar as de�nições da transferência de massa em misturas. Para alcançar
esse entendimento, vamos dar uma olhada mais aprofundada em alguns conceitos
fundamentais da termodinâmica. Imagine uma mistura como um quebra-cabeça químico, em
que temos várias peças, ou seja, os constituintes químicos representados pela letra i, também
chamados de espécies.
Então para compreender a quantidade de cada peça i individualmente, temos duas formas de
fazer isso: a concentração mássica, que é como atribuir um peso a cada peça em relação ao
espaço que ela ocupa dada por ( ), ou a concentração molar, que é mais como contar
quantas peças temos em um espaço especí�co dado por  ( ). E aqui está a parte
interessante: a concentração mássica e a concentração molar estão entrelaçadas mediante o
peso de cada peça, ou seja, a massa molar da espécie, representada por  ( ), de tal
forma que:
kg/m3
Ci kmol/m3
Mi kg/kmol
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Sabendo que  está representando a massa de cada espécie i por unidade de volume da
mistura, logo, a massa especí�ca da mistura (ou densidade mássica) será expressa por:
Em analogia, o número total de moles por unidade de volume da mistura será dado por:
A quantidade da espécie i em uma mistura também pode ser quanti�cada em termos da sua
fração mássica y, por meio da relação a seguir:
Ou ainda, pela sua fração molar x, a seguir:
Por meio do balanço de massa, aprendemos que massa total m da mistura se conserva, então a
soma de massa de todas as espécies i, será representada pela relação:
E para fração molar, a equação anterior pode ser rescrita por:
Em uma mistura de gases ideais, a relação entre a concentração mássica e a concentração
molar de qualquer componente é estabelecida pela pressão parcial desse componente, seguindo
os princípios da lei dos gases ideais. Em outras palavras:
E, para a concentração molar tem-se que:
Onde  representa a pressão parcial de uma espécie i,  é a constante dos gases para a espécie
i,  é a constante dos gases universal, T é a temperatura da mistura. Logo, é possível relacionar
a fração molar com as pressões parciais da mistura por meio da expressão matemática a seguir:
ρi = MiCi
ρi
ρ = ∑i ρi
C = ∑i Ci
yi = ρi
ρ = mi
m
xi = Ci
C
m = ∑imi
∑i xi = 1
ρi = pi
RiT
Ci = pi
RT
pi
Ri
xi = Ci
C = pi
p
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Foram propostas duas maneiras distintas para determinar a concentração de uma mistura, e é
natural questionar qual método é o mais adequado. A resposta é que isso depende da situação.
Ambas as abordagens têm semelhanças, e a escolha entre elas dependerá da facilidade com
que cada uma conduz a solução desejada.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 4 | Difusão de uma mistura binária. Fonte: Çengel e Ghajar (2009, p. 814).
A equação fundamental da difusão molecular (unidimensional) demonstrada na Figura 4, é
conhecida como Lei de Fick da Difusão foi deduzida da teoria cinética dos gases e para uma
Disciplina
Fenômenos de Transporte
mistura binária em 1855, pode ser escrita na base molar por:
Onde, x é a comprimento na direção perpendicular a área A ilustrado na Figura 4. E o �uxo molar
(difusivo)  da espécie A em B, ou seja, transferência de massa molar por difusão por
unidade de tempo e por unidade de área normal na direção x em . Note que
 é a concentração molar da mistura binária foi considerada constante para
simpli�car a expressão, essa hipótese é mais apropriada para situações que envolvem soluções
de sólidos e líquidos diluídos.
De outra forma, para determinar o �uxo mássico difusivo  da espécie A em relação B em
, por meio da densidade da mistura binária conhecendo a densidade da mistura
, a Lei de Fick da difusão assume a forma na base mássica abaixo:
Além disso, a constante de proporcionalidade na Lei de Fick é de�nida como outra propriedade
de transporte de massa denominada de coe�ciente de difusão ou difusividade de massa 
 da espécie A em relação à espécie B. A unidade SI da difusividade de massa é , que é a
mesma que as unidades da difusividade térmica ou difusividade da quantidade de movimento
(também chamada viscosidade cinemática).
Difusividade mássica
Jdif,A = −CDAB
d(
CA
C )
dx
= −DAB
dCA
dx
 com C = constante
Jdif,A
kmol/s ⋅ m2
C = CA + CB
Jdif,A
kg/s ⋅ m2
ρ = ρA + ρB
Jdif,A = −ρDAB
d(
ρA
ρ )
dx
= −DAB
dρA
dx
 com ρ = constante
DAB
m2/s
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Em razão da complexidade da difusão de massa, geralmente os coe�cientes difusão são
determinados de forma experimental. A teoria cinética dos gases sugere que o coe�ciente de
difusão tem a tendência de aumentar conforme a temperatura sobe, mas diminuir à medida que
a pressão aumenta. Em outras palavras, a teoria aponta para a razão:
As variáveis T e P na equação representam a temperatura e a pressão. A partir do conhecimento
do coe�ciente de difusão em determinada temperatura e pressão em dois estados 1 e 2 de uma
mistura, é possível calcular o coe�ciente de difusão de gases através da relação matemática, a
seguir:
Em uma usina verde de energia, a e�ciência da célula a combustível está diretamente ligada à
taxa de difusão do hidrogênio através de uma membrana seletiva. Neste exercício, a célula a
combustível de tamanho laboratorial operade acordo com a Figura 5. A temperatura de operação
é de 60 °C e pressão atmosférica (1 atm). A membrana seletiva possui uma espessura de 0,5
mm e coe�ciente de difusão efetivo do hidrogênio no material é de .
DAB~ T 3/2
P
DAB,1
DAB,2
= P2
P 1(
T1
T2
)
3
2
2,5 × 10-5 m2/s
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 5 | Esquema de uma célula de combustível. Fonte: Wikipedia Commons.
Considere que o hidrogênio se difunde através da membrana seletiva de maneira unidimensional
e que o per�l de concentração inicial de hidrogênio na extremidade de alimentação é de 0,05
kg/m³, enquanto a concentração de hidrogênio no ar é praticamente zero. Você deve avaliar o
desempenho da célula a combustível e determinar quanto tempo levará para que a concentração
de hidrogênio atinja 80% do valor de equilíbrio ao longo da espessura da membrana.
Tarefas:
Calcule o �uxo de difusão de hidrogênio através da membrana seletiva.
Determine o tempo necessário para que a concentração de hidrogênio atinja 80% do valor
de equilíbrio.
Discuta como a espessura da membrana e o coe�ciente de difusão efetivo afetam o tempo
de equilíbrio da difusão.
Dados:
·        Concentração inicial de hidrogênio na alimentação: 
·      Concentração de hidrogênio para o equilíbrio (80%): 
·      Coe�ciente de difusão do hidrogênio na membrana: 
·      Espessura da membrana: 
 
CH2,inicial = 0,05 kg/m3
CH2,final = 0,8 × 0,05 = 0,04 kg/m3
DH2-Membrana = 2,5 × 10-5 m2/s
L = 0,5 mm = 5 × 10-4 m
Disciplina
Fenômenos de Transporte
·      Temperatura de operação: 
 
Passo 1: Cálculo do �uxo de difusão ( ): 
A Lei de Fick para difusão unidimensional é dada pela equação (11). Onde temos que  é o
�uxo difuso de massa (kg/m²s),  é o coe�ciente de difusão efetivo (m²/s) e  é o gradiente de
concentração (kg/m⁴). Neste caso, o gradiente de concentração é dado por:
Substituindo os valores na equação (15), tem-se:
Agora, resolvendo a equação (16), substituído o gradiente de concentração na equação (11)
permitiu determinar o �uxo de massa da difusão:
 
Passo 2: Cálculo do tempo para 80% do equilíbrio:
A equação (11) Lei de Fick da difusão na forma diferencial, permite deduzir a expressão para
calcular o tempo necessário que a concentração de hidrogênio leva para atingir o valor de
equilíbrio, e aplicando as condições de contorno e resolvendo a equação diferencial, temos que:
Onde:
·        Concentração de hidrogênio na alimentação: 
·      Concentração na superfície da membrana: 
·        Concentração de hidrogênio para equilíbrio: 
Iniciando as substituições na equação (17), resulta em:
Na matemática, a função erro  é uma função especial (não elementar) com formato
sigmoide. Ela é conhecida como função erro de Gauss ou integral de probabilidade. Você pode
T = 60 °C = 60+273 = 333 K
Jdif,A
Jdif,A
dCA
dx
dCA
dx =
CH2,final−CH2,inicial
L
dCA
dx
= (0,04−0,05)
5×10−4 = −20 kg/m4
JH2,Membrana = −DH2−Membrana
dCA
dx
JH2,Membrana = −2,5 × 10−5(−20)
JH2,Membrana = 0,0005 kg/m2s
Cx−Ci
Cs−Ci
= 1 − erf( x
2√Dt
)
Ci = 0,05 kg/m3
Cs = 0
Cx = 0,8 × 0,05 = 0,04 kg/m3
0,04−0,05
0−0,05 = 1 − erf( L
2√DH2−Membranat
)
0,8 = erf( L
2√DH2−Membranat
)
erf(x) = x
Disciplina
Fenômenos de Transporte
utilizar calculadoras on-line ou tabelas dos livros para obter os valores da função, neste caso, a
função erro será representada por , logo tem-se:
Realizando as substituições das variáveis restantes do exercício, tem-se:
Agora, isolando a variável tempo (t), temos que:
Portanto, levará cerca de 0,002 segundos para que a concentração de hidrogênio atinja 80% do
valor de equilíbrio ao longo da espessura da membrana.
Passo 3: Como a espessura da membrana e o coe�ciente de difusão afetam o tempo de
equilíbrio
A membrana seletiva possui uma espessura de apenas 0,5 mm relativamente próximo da
espessura de uma folha de papel. Quanto mais �na a membrana, menor é a distância a ser
percorrida, o que resulta em um tempo de equilíbrio mais curto.
Outra informação importante, tem sido o coe�ciente de difusão de vapor de água na atmosfera
tem sido objetivo de vários estudos. Algumas fórmulas empíricas foram desenvolvidas, Marrero
e Mason (1972) propuseram a expressão mais assertiva, dada por:
Onde P é a pressão total em atm e T é a temperatura em K. Existem inúmeras tabelas com
valores de coe�ciente de difusão para diversas espécies nos livros do Çengel (2009), Lightfoot
(2004), Cremasco (2016) e Bergman (2019) disponíveis na sua Biblioteca Virtual
(https://integrada.minhabiblioteca.com.br/) para consulta.
Videoaula: Transferência de massa
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Preparado para uma imersão profunda nos principais conceitos de Transferência de Massa?
Nesta aula, você terá a chance de explorar de maneira aprofundada os conceitos de
concentração, �uxo e balanço de massa, saber qual é a diferença entre base mássica e molar.
erf(0,748) = 0,8
0,748 = L
2√DH2−Membranat
0,748 = 5×10−4
2√2,5×10−5t
0,5595t = 25×10−8
4×6,25×10−5
t = 0,00178 ≈ 0,002 s
DH2O−Ar = 1,87 × 10−10 T 2,072
P  para 280 Khttps://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-1923-9/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786556903217/
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante! Esta aula é de Introdução à Termodinâmica! Vamos abordar os conceitos
fundamentais como a conservação da energia mecânica. Você aprenderá sobre a energia
cinética, potencial e interna, além de entender o que são propriedades, estados e processos em
sistemas termodinâmicos.
Ao �nal desta aula, você será capaz de aplicar os conceitos aprendidos para resolver problemas
de forma prática e entender como esses fenômenos são importantes em diversas áreas da
engenharia.
Lembre-se de fazer todos os exercícios propostos e seguir o material didático indicado para
leitura na seção Saiba Mais. Aproveite esta oportunidade para aprimorar seus conhecimentos e
desenvolver habilidades importantes para sua carreira pro�ssional. Vamos começar!
Os conceitos da termodinâmica
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Um aspecto importante para se apreender os conceitos fundamentais da Termodinâmica
consiste em conhecer as de�nições habituais. Tais princípios são aplicados por engenheiros
para analisar e projetar uma grande variedade de dispositivos destinados a atender às
necessidades humanas.
A termodinâmica é encontrada normalmente em muitos sistemas de engenharia e em outros
aspectos da vida; não é preciso ir muito longe para ver algumas áreas de sua aplicação. Na
verdade, não é preciso ir a lugar algum. O coração está constantemente bombeando sangue para
todas as partes do corpo humano, diversas conversões de energia ocorrem em trilhões de
células do corpo e o calor gerado nele é constantemente rejeitado para o ambiente. O conforto
humano está intimamente ligado a essa taxa de rejeição do calor metabólico. Tentamos
controlar a taxa de transferência de calor ajustando nossas roupas às condições ambientais
(Assunção e Godoi 2019, p. 12).
Os sistemas termodinâmicos podem ser classi�cados como abertos, fechados ou isolados,
dependendo da quantidade de matéria e energia que pode entrar ou sair do sistema. Um sistema
aberto permite a entrada e saída de matéria e energia também conhecido como volume de
controle, enquanto um sistema fechado permite apenas a troca de energia, veja a diferença entre
eles na Figura 1. Já um sistema isolado não permite a entrada ou saída de matéria ou energia.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 1 | Exemplos de sistema e volume de controle. Fonte: Braga Filho (2020, p. 3).
De acordo com Moran (2018), tudo o que é externo ao sistema é considerado parte das
vizinhanças do sistema. O sistema é distinguido de suas vizinhanças por uma fronteira tracejada,
que pode estar em repouso ou em movimento.
Uma propriedade é uma característica mensurável de um sistema termodinâmico, como pressão,
temperatura, volume, massa, densidade, entalpia, entropia, etc. As propriedades podem ser
classi�cadas em intensivas ou extensivas. As propriedades intensivas não dependem da
quantidade de matéria do sistema, como a pressão e a temperatura. As propriedades extensivas
dependem da quantidade de matéria do sistema, como a massa e o volume.
Um estado é uma condição especí�ca de um sistema termodinâmico, de�nida por um conjunto
de propriedades. Por exemplo, um gás pode estar em um estado de alta pressão e baixo volume,
ou em um estado de baixa pressão e alto volume.
Um processo é uma transformação de um estado para outro, envolvendo trocas de calor e
trabalho com o ambiente externo. Por exemplo, a Figura 2 representa um gás pode sofrer uma
compressão isotérmica, ou seja, um processo em que o volume diminui, mas a temperatura
permanece constante.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 2 | Diagrama de um processo de compressão. Fonte: Çengel e Boles (2013, p. 16).
Uma das leis mais importantes da física é a lei da conservação da energia, que a�rma que a
energia não pode ser criada nem destruída, apenas transformada de uma forma para outra. A
Disciplina
Fenômenos de Transporte
energia pode se manifestar de diversas formas, como elétrica, térmica, química, nuclear,
luminosa, sonora, etc.
No dia a dia, toda vez que você dirige seu carro, liga o ar-condicionado ou usa um
eletrodoméstico, você está usufruindo dos benefícios proporcionado pela Termodinâmica, o
estudo das relações envolvendo calor, trabalho mecânico e outros aspectos da energia e da
transferência de energia. Por exemplo, o processo termodinâmico do motor do carro, veja na
Figura 3, o motor antigo de Volkswagem Fusca que transforma calor através da reação química
entre o oxigênio e a gasolina ou álcool (combustão) em trabalho mecânico dentro dos cilindros,
pressionando os pistões que resultam em torque e rotação para dar movimento ao carro.
Figura 3 | Motor de Volkswagem Fusca. Fonte: Pixabay.
Para Çengel (2013), a conservação da energia está implícita no enunciado da primeira lei.
Embora a essência da primeira lei seja a existência da propriedade energia total, a primeira lei
quase sempre é vista como uma declaração do princípio de conservação da energia.
Dessa forma, primeira lei da termodinâmica é fundamental para a compreensão de tais
processos, é uma extensão do princípio da conversão da energia. Ela amplia esse princípio para
incluir trocas de energia tanto por transferência de calor quanto por realização de trabalho, e
introduz o conceito de energia interna de um sistema termodinâmico.
É importante entender os conceitos de propriedade, estado e processo em sistemas
termodinâmicos para aplicar a conservação da energia mecânica em problemas práticos. As
propriedades termodinâmicas são medidas que descrevem o estado de um sistema, enquanto o
estado é a combinação de todas as propriedades termodinâmicas em um determinado
momento. Já o processo termodinâmico é a mudança de estado de um sistema, que pode
ocorrer de diversas formas.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Os fundamentos da termodinâmica
Existem duas formas de estudar a Termodinâmica na engenharia: a abordagem macroscópica e
a microscópica. A abordagem macroscópica se concentra no comportamento global do sistema,
sem se preocupar com os detalhes da estrutura interna da matéria. Por exemplo, na Figura 4
note que quando você aquece uma panela de água no fogão, você pode observar que a
temperatura e o volume da água mudam, mas não precisa saber como as moléculas de água se
movem. Essa forma de estudar a termodinâmica é chamada de Termodinâmica Clássica.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 4 | Panela com água em aquecimento. Fonte: Freepik.
A abordagem microscópica leva em conta a estrutura da matéria, ou seja, como as partículas
que formam o sistema se comportam. Por exemplo, na Figura 5, quando você aquece uma
panela de água no fogão, você pode imaginar que as moléculas de água �cam mais agitadas e
se afastam umas das outras. Essa forma de estudar a termodinâmica é mais complexa e teórica,
e é chamada de Termodinâmica Estatística.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 5 | Panela com água em ebulição. Fonte: Freepik.
Já quando uma propriedade é aditiva, ou seja, resultante da soma de cada elemento in�nitesimal
que compõe o sistema, normalmente dependente do tamanho e da extensão do sistema e varia
com o tempo, logo trata-se de uma propriedade extensiva, por exemplo massa, volume e energia.
As propriedades intensivas não são aditivas, apresenta os mesmos valores em todos os
elementos in�nitesimais, e não dependem do tamanho e da extensão do sistema, podem variar
de um lugar para o outro dentro do sistema em qualquer momento, como a temperatura e a
pressão.
A propriedade extensiva densidade de uma substância é a massa m dividida pelo volume V
ocupado pela massa:
 
O volume especí�co v é de�nido como o volume ocupado por uma substância pela sua mesa,
basicamente trata-se de ser o inverso da densidade, dado por:
A pressão é de�nida como componente normal de uma força F que atua sobre uma superfície
dividida pela área A da superfície:
ρ
ρ = m
V
v = V
m = 1
ρ
P =F
A
Disciplina
Fenômenos de Transporte
A pressão absoluta é a medida em relação à pressão do zero absoluto, e a pressão manométrica
é medida em relação a pressão atmosférica local, elas se relacionam por:
A variação da pressão manométrica exercida pelo peso de uma coluna de líquido de altura z
sobre uma superfície, pode ser calculada conhecendo a aceleração da gravidade g e a densidade
 do líquido, através da relação matemática:
Na Figura 7 observa-se que a parte externa ao sistema em estudo é considerada como
vizinhança do sistema, a fronteira é a superfície real ou imaginária que separa o sistema da
vizinhança, podendo estar em repouso ou em movimento. Um sistema fechado (também
conhecido como massa de controle) consiste em uma quantidade �xa de massa, e nenhuma
massa pode atravessar sua fronteira. Ou seja, nenhuma massa pode entrar e sair de um sistema
fechado, como mostra na Figura 6.
Pabsoluta = Pmanométrica + Patmosférica
ΔP  
ρ
ΔP = ρgz
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 6 | Delimitação de sistema fechado com vizinhança e fronteira. Fonte: Moran (2018, p. 4).
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Agora em sistema aberto, ou um volume de controle, é usualmente uma região criteriosamente
selecionada no espaço. Em geral, ele inclui um dispositivo que envolve �uxo de massa, como um
compressor, uma turbina, ou um bocal (Figura 7). As fronteiras de um volume de controle
denominadas de superfície de controle podem ser reais ou imaginárias.
Figura 7 | Delimitação de sistema aberto pelas fronteiras. Fonte: Çengel e Boles (2013, p. 12).
Um sistema está em equilíbrio termodinâmico quando mantém o equilíbrio térmico, mecânico,
de fase e químico. Qualquer alteração de um estado para outro é chamado de processo. Um
processo com estados inicial e �nal idênticos é chamado de ciclos. Durante um processo quase-
estático ou de quase-equilíbrio, o sistema permanece praticamente em equilíbrio durante todo o
tempo. O estado de um sistema simples e compressível é completamente determinado no
mínimo por duas propriedades independentes e intensivas, como temperatura e pressão.
Agora, você vai relembrar as formas de energia, onde viu-se que a energia mecânica que está
relacionada ao movimento e à posição de um corpo ou de um conjunto de corpos que pode ser
convertida completa e diretamente em trabalho mecânico por um dispositivo mecânico, como
uma bomba, por exemplo. Por de�nição, energia mecânica E é a soma da energia cinética EC e
Disciplina
Fenômenos de Transporte
da energia potencial Ep de um sistema. A energia cinética está associada ao movimento de um
corpo, e a potencial é a energia armazenada em um corpo devido à sua posição ou con�guração
em relação a um campo de forças gravitacional.
Onde m é massa do objeto de estudo, V é a velocidade, g é aceleração gravitacional e z é a
elevação do centro gravidade do sistema com relação a algum nível de referência escolhido
arbitrariamente.
A terceira forma de energia mencionada anteriormente, a energia interna U, está associada à
energia contida em uma partícula decorrente do acúmulo devido às variações de temperatura, ou
seja, mensura o nível de agitação das moléculas dentro de um sistema. Logo, a variação total de
energia de um sistema será representada por:
Em um sistema isolado, ou seja, que não troca massa nem energia com o ambiente externo, a
energia mecânica se conserva, ou seja, as energias cinéticas e potenciais podem ser
desprezadas. Isso signi�ca que a soma das energias do sistema não varia ao longo do tempo.
Portanto, para um estado inicial e �nal, a conservação de energia assume uma forma aplicação,
dada por:
Alguns raros sistemas são totalmente isolados de fato. Mas é normal fazer suposições para
obter uma solução aproximada.
Metodologia de solução de problemas
E = Ec + Ep =
Energia Cinética
mV 2
2 +
Energia Potencial
mgz
ΔE = ΔEc + ΔEp + ΔU
Ec, inicial +  Ep, inicial + Uinicial =  Ec, final +  Ep, final + Ufinal
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Para começar a aprender qualquer ciência, é importante entender e absorver suas bases teórica.
Após isso, vem a etapa seguinte: testar o que você aprendeu. Para ajudar nesse processo, um
estudante de engenharia pode transformar a solução de um problema complexo em uma série
de problemas simples utilizando um método passo a passo.
Etapa 1: compreensão do problema
Em suas próprias palavras, procure explicar de forma sucinta o problema, destacando as
informações principais fornecidas e as quantidades que você precisa calcular.
Etapa 2: representação grá�ca
Crie um esboço simpli�cado do sistema físico envolvido e destaque as informações relevantes
na ilustração. Enumerar as informações presentes na ilustração ajuda a ter uma visão completa
do problema.
Etapa 3: hipóteses e aproximações
Apresente todas as hipóteses relevantes e aproximações feitas para simpli�car o problema e
permitir sua resolução. Utilize valores coerentes para as quantidades ausentes e necessárias.
Por exemplo, observe na Figura 8 que na cidade de Denver, nos Estados Unidos, a pressão cai
para 0,83 atm devido à altitude de 1.610 m.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 8 | Relação de hipóteses e aproximações. Fonte: Çengel e Boles (2013, p. 36).
Etapa 4: princípios físicos
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Aplique todos os princípios e as leis básicas relevantes da física (como balanço de massa e
conservação da energia) e simpli�que-os usando as hipóteses feitas.
Etapa 5: propriedades
Identi�que as propriedades desconhecidas em estados conhecidos e necessárias para resolver o
problema, utilizando relações ou tabelas de propriedades.
Etapa 6: cálculos
Substitua as quantidades conhecidas nas relações simpli�cadas e realize os cálculos para
determinar as incógnitas. Preste atenção especial às unidades e aos cancelamentos de
unidades, lembrando que uma quantidade sem unidades dimensionais não tem signi�cado.
Etapa 7: análise, veri�cação e discussão
Avalie se os resultados obtidos são lógicos e intuitivos, e examine a validade das suposições que
podem ser questionadas.
Agora vamos aplicar as etapas na resolução para um exemplo de um rio escoando em direção a
um lago com uma velocidade média de 3 m/s a uma vazão de 500 m3/s em um local 90 m acima
da superfície do lago. Determine a energia mecânica total da água do rio por unidade de massa e
o potencial para geração de potência do rio naquele local.
Etapa 1 – A energia mecânica total da água do rio por unidade de massa e o potencial de
geração de energia de todo o rio precisam ser determinados.
Etapa 2 – Representação grá�ca do problema na Figura 9.
Figura 9 | Esboço simpli�cado.
Etapa 3 a 5 – Hipóteses assumidas: a) A elevação fornecida é a elevação da superfície livre do
rio. b) A velocidade fornecida é a velocidade média. c) A energia mecânica da água na saída da
turbina é negligenciável. A densidade da água é ρ = 1000 kg/m³ e a aceleração da gravidade é
9,81 m/s².
Etapa 6 e 7 – Cálculos, Análise e Discussão.:
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Para determina o �uxo de massa, utilizamos a densidade e a velocidade fornecida pelo
problema.
Aplicando a Equação 7, assumindo que  e observando que a soma da energia de �uxo e
energia potencial é constante para um �uido dado, podemos considerar que a elevação de toda a
água do rio é a elevação da superfície livre.
Realizando as substituições na Equação 11 e realizando a conversão, tem-se que:
Conhecendo o fator conversão: 1 MW = 1000 kW = 1000 kJ/s, é possível realizar a conversão do
valor encontrando para 444,7 MW que corresponde à energia gerada para fornecimento de
energia elétrica. Na discussão, notamos que a porção de energia cinética na Equação (12) em
comparação com a energia potencial, é negligenciável e pode ser desprezadas nos cálculos da
potência fornecida pela queda do rio em 90 m de altura.
Videoaula: Avaliação de propriedades e modelo de gás ideal
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Boas-vindas a nossa aula de Termodinâmica. Aqui, exploraremos conceitos cruciais como
caracterizar fases e processos de substâncias puras através do diagrama de fases. Aprender
de�nições importantes como pontos críticos, temperatura e pressão de saturação e estados de
equilíbrio. Além disso, você conhecerá diversas equações advindas do modelo de gás ideal e o
signi�cado do expoente “n” para processos politrópicos. Ao �nal, você será capaz de aplicar
esses conhecimentos na prática pro�ssional do engenheiro. Preparado para ampliar seu
entendimento? Vamos começar!
ṁ = ρV̇
ṁ = 1000 kg
m3 × 500 m3
s = 500.000 kg
s
ΔU = 0
ΔE = ΔEc + ΔEp + ΔU = m v2
2 + mgz = m( v2
2 + gz)
ΔE = 500.000 kg
s (
(3 m
s
)
2
2 + 9,81 m
s2 90 m)(
1 kJ
kg
1000 m2
s2
) = 443.700 kJ
s
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Saiba mais
Dê um passo além! Explore nossa Biblioteca Virtual para encontrar materiais que aprofundam os
conceitos discutidos na aula. Lá, você poderá acessar uma variedade de livros relacionados à
termodinâmica, disponíveis para leitura on-line. É uma oportunidade incrível para enriquecer seu
conhecimento de forma conveniente e acessível. Saiba mais sobre as aplicações na engenharia
realizando a leitura do item 1.12 na página 40 do livro Fundamentos da termodinâmica, de Claus
Borgnakke; Richard E. Sonntag. Este livro é um guia essencial para a compreensão profunda dos
princípios termodinâmicos. Com uma abordagem clara e exemplos práticos, ele é uma referência
valiosa para estudantes de engenharia que desejam dominar a matéria.
Referências
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521207931/pageid/43
Disciplina
Fenômenos de Transporte
ASSUNÇÃO, G. S C.; GODOI, P. J. P M. Termodinâmica. Porto Alegre: Grupo A, 2019. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788533500167/. Acesso em: 17 ago.
2023.
BORGNAKKE, C.; SONNTAG, R. E. Fundamentos da termodinâmica. São Paulo: Editora Blucher,
2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207931/.
Acesso em: 17 ago. 2023.
BRAGA FILHO, W. B. Termodinâmica para engenheiros. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2020.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637196/. Acesso em:
17 ago. 2023.
ÇENGEL, Y. A.; BOLES, M. A. Termodinâmica. Porto Alegre: Grupo A, 2013. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580552010/. Acesso em: 17 ago. 2023.
MORAN, M. J. Princípios de termodinâmica para engenharia. 8. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN,
2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521634904/.
Acesso em: 17 ago. 2023.
WYLEN, G. V. Fundamentos da termodinâmica clássica. São Paulo: Editora Blucher, 1995.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521217862/. Acesso em:
17 ago. 2023.
Aula 3
Avaliação de propriedades e modelo de gás ideal
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788533500167/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207931/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637196/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580552010/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521634904/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521217862/
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante! Nesta aula, aprenderemos como estabelecer a fase e o estado que são aspectos
chaves na análise termodinâmica por meio do diagrama de fases P-v-T. A competência de
determinar estados e empregar diagramas de propriedades é individualmente importante na
resolução de problemas envolvendo o balanço de massa e energia.
Você vai conhecer quando e como aplicar o gás de estudo pode ser considerado para o modelo
de gás ideal, ou seja, uma equação empírica que foi deduzida através da relação
proporcionalidade entre pressão, volume e temperatura para dar origem à famosa equação do
estado para gases ideais.
Alguns gases ideais possuem desvios no comportamento em relação à equação do estado dos
gases ideais, que serão estudados como relações com processos politrópicos. Você �cou
curioso para conhecer mais sobre esses assuntos? Vamos lá!
Características de fases e substâncias puras
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Vamos entender como as bases fundamentais regem o comportamento dos gases, as
mudanças de fase das substâncias puras, a equação do estado para os gases ideais e os
processos politrópicos.
A fase se refere ao estado físico no qual uma substância pura se encontra, podendo ser sólido,
líquido ou gasoso. A transição entre essas fases ocorre em pontos especí�cos de temperatura e
pressão, conhecidos como pontos críticos.
A substância pura é aquela que tem composição química invariável e homogênea. Pode existir
em mais de uma fase, mas a composição química será sempre a mesma em todas as fases,
conforme o ilustrado na Figura 1(b). A palavra homogênea é utilizada de duas maneiras,
quimicamente para representar uma substância pura, ou �sicamente quando as propriedades
não são dependentes da posição no volume de interesse.
Há inúmeras situações práticas em que duas fases de uma substância pura coexistem em
equilíbrio. A água existe como uma mistura de líquido e vapor na caldeira e no condensador de
uma usina termoelétrica. O refrigerante passa de líquido para vapor no congelador de um
refrigerador. Por ser uma substância conhecida, a água é usada para demonstrar os princípios
básicos envolvidos na mudança de fase (Çengel e Boles, 2013, p. 113).
Além disso, será comum o uso do termo substância compressível simples para substância pura
em que são desprezíveis as variações de volume, isto é, um comportamento típico dos gases e
líquidos, observe a mudança de volume da Figura 1(a) para Figura 1(c). O termo vapor é utilizado
para indicar a fase de gás, embora em algumas situações é aplicado para indicar que um gás
está muito próximo de condensar para uma fase líquida. Quando uma substância existe em duas
fases simultaneamente, se diz que existe um equilíbrio de fases, ilustrado na Figura 1(b).
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Figura 1 | Mudança de fase líquida para o vapor em substância pura a pressão constante. Fonte: Borgnakke e Sonntag (2018,
p. 56).
Por de�nição, o ponto crítico é o estado no qual não ocorre mais uma distinção clara entre as
fases líquida e gasosa durante o processo de vaporização, ilustrado na Figura 2(a). A uma
pressão supercrítica, uma substância pura experimenta uma expansão gradual e uniforme da
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fase líquida para a fase gasosa. Ao longo da linha tripla, que é de�nida pelas condições de
temperatura e pressão do ponto triplo na Figura 2(b), as três fases de uma substância pura
coexistem em equilíbrio. Nesse ponto, a substância pura está no limite entre as fases líquida e
gasosa, e a transição entre elas se torna gradual. É importante ressaltar que o ponto crítico é um
marco no comportamento das substâncias puras, indicando um estado singular em que as
propriedades físicas se assemelham àquelas de ambas as fases líquida e gasosa demonstrado
na Figura 2(c).
Figura 2 | Diagrama P-v-T da água. Fonte: Moran (2018, p. 78).
O conceito de temperatura de saturação se refere à temperatura em que uma transição de fase
acontece para uma pressão especí�ca, conhecida como pressão de saturação nesse ponto. Os
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diagramas de fase elucidam que cada pressão de saturação está associada a uma temperatura
de saturação exclusiva, e eles valem no sentido inverso.
Todas as equações que envolvem pressão, temperatura e volume especí�co de uma substância
é classi�cada como equação de estado, e as relações envolvendo outras propriedades de uma
substância em estados de equilíbrio também são chamadas de equações de estado. Existem
várias equações de estado, algumas mais simples, outras mais complexas.
A equação de estado que surgiu com base nas observaçõesexperimentais do comportamento
de substâncias na fase gasosa em pressão e densidade relativamente baixas é conhecida como
a equação de estado do gás ideal. Esta equação prevê o comportamento P-v-T de um gás com
bastante precisão dentro de uma determinada região.
A importância de conhecer as propriedades e o comportamento dos gases é crucial em vários
campos da engenharia até a medicina. De acordo com Moran (2018), o gás nitrogênio é utilizado
em aplicações médicas. Uma delas corresponde à prática da criocirurgia, utilizada pelos
dermatologistas, que consiste no congelamento localizado do tecido da pele para a remoção de
lesões indesejáveis, inclusive lesões pré-cancerosas. Para esse tipo de cirurgia aplica-se
nitrogênio líquido a partir de um spray ou uma sonda. A criocirurgia é rapidamente realizada, em
geral sem o uso de anestesia.
Por �m, todos esses processos vistos representam mudanças em sistemas termodinâmicos que
envolvem variações simultâneas de pressão, volume e temperatura. Em algumas situações, eles
podem ser expressos por uma equação com pressão e volume relacionado ao expoente
politrópico "n", os valores variando de menos in�nito e mais in�nito para processos politrópicos.
Os valores de "n" representam diferentes tipos de processos, como isobáricos (pressão
constante) e isocóricos (volume constante) que será estudado durante a aula.
Relações termodinâmicas para gases ideais
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Em 1662, Robert Boyle notou a relação inversa entre pressão e volume dos gases, enquanto em
1802, J. Charles e J. Gay-Lussac descobriram que o volume dos gases era proporcional à
temperatura em baixas pressões. Esses marcos culminaram na formulação da equação de
estado, que de�ne as propriedades dos gases em termos de pressão, volume e temperatura. Foi
quando surgiu a equação de estado a seguir:
Note que a constante de proporcionalidade R é denominada de constante do gás. A Equação 1 é
conhecida como a equação de estado do gás ideal, ou também, relação do gás ideal, e todo gás
que atende essa relação é chamado de gás ideal. Onde P é a pressão absoluta, T a temperatura
absoluta e v o volume especí�co.
A constante R do gás é especí�ca para cada gás, porque é determinada a partir da massa molar
do gás, dada por:
 
Em que é a constante universal dos gases e M é a massa molar (peso molecular) do gás, a
constante tem o mesmo valor para todos os gases, podemos assumir os valores a seguir
Pv = RT
R =
−
R
M
−
R
−
R
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conforme as diferentes unidades apresentadas em cada situação.
 
Você viu a relação da massa com massa molar M e número de mols N, dessa forma
a equação do gás ideal assume outras formas muito usuais, descritas a seguir:
Onde  é o volume especí�co molar, por de�nição, é o volume por unidade de mol (m³/kmol). E
agora, diante de um processo termodinâmico com dois estados diferentes especi�cados com os
subscritos 1 e 2 de um determinado gás ideal (como oxigênio, nitrogênio, hélio, argônio, ar entre
outros), a equação (1) adota uma forma que é possível relacionar os dois estados por:
Agora, já no processo termodinâmico de quase equilíbrio conhecido como o processo
politrópico, a expressão matemática desse processo é dada por:
Relacionando dois estados no processo politrópico, tem-se:
Ou ainda, na forma de:
−
R =
8,31447 kJ
kmol∙K
8,31447 kPa∙m3
kmol∙K
0,0831447 bar∙m3
kmol∙K
1,98588 Btu
lbmol∙R
10,7316 psi∙ft3
lbmol∙R
1545,37 ft∙lbf
lbmol∙R
 
m = M.N
PV = mRT
PV = N
−
RT
P
−
v =
−
RT
−
v
P1V1
T1
= P2V2
T2
PV n = constante
P1V
n
1 = P2V
n
2
P2
P1
= ( V1
V2
)
n
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Quando , o processo é denominado isobárico acontece a pressão constante, e quando 
, o processo é denominado isométrico, ou seja, acontece a volume constante.
Relacionando a temperatura a equação (1) de estado do gás ideal, a equação (10) assume a
forma de:
Além disso, quando tivermos o valor corresponde a um processo isotérmico, de acordo
com a equação de estado do gás ideal.
Explorando o modelo do gás ideal
Neste bloco, chegou o momento de aplicar as equações do modelo de gás ideal a uma situação
real. Imagine que você é o engenheiro responsável por supervisionar um tanque de
armazenamento feito de aço inoxidável na indústria similar ao ilustrado na Figura 3. Esse tanque
tem um volume interno de 0,5 m³ e contém um gás com uma massa molar de 28 kg/kmol.
Inicialmente, o gás está à temperatura de 25 ºC e uma pressão atmosférica de 101,3 kPa. Após
fechado e ser aquecido para �ns de esterilização, sua temperatura aumentou para 300 ºC. Agora,
sua tarefa é resolver os seguintes desa�os: a) calcular a massa do gás no tanque; b) determinar
a pressão �nal do processo usando o modelo de gás ideal; c) encontrar a pressão �nal do
n = 0
n  → ±∞
T2
T1
= ( P2
P1
)
n−1
n
= ( V1
V2
)
n−1
n = 1
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politrópico especí�co, onde o expoente é 1,4. É importante analisar e comparar os resultados
obtidos. Vamos trabalhar juntos para resolver esses pontos!
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Figura 3 | Tanque de armazenamento. Fonte: Freepik.
Dados:
·      Volume interno do tanque 
·      Massa molar do gás 
·      Temperatura inicial 
·      Pressão inicial 
·      Temperatura �nal 
·      Expoente politrópico 
Passo 1: Calcular a massa do gás contida no tanque (a):
Inicialmente, usaremos a equação (2) e os valores da equação (3) para calcular a constante do
gás:
Após encontrado o valor , conhecendo a pressão e temperatura é
possível determinar a massa do gás utilizando a equação do estado de gás ideal:
Signi�ca que dentro do tanque está con�nado uma massa de 1,75 kg de gás em estudo.
Passo 2: Determinar a pressão �nal usando o modelo de gás ideal (b):
Para calcular a pressão �nal, devemos utilizar a equação (7), considerando que o volume durante
o aquecimento será constante, é possível simpli�car a mesma para:
E realizando as substituições para encontrar a pressão �nal, temos que:
Logo, resolvendo a equação (15), concluiu-se que a pressão dentro do tanque após o
aquecimento será de  .
Passo 3: Determinar a pressão �nal do processo politrópico (c):
Agora, utilizando a equação (11) para determinar a pressão �nal em um processo politrópico
com expoente , temos que:
V = 0,5 m³
M = 28 kg/kmol
T1 = 25 ºC (298,15 K)
P1 = 101,  3 kPa
T2 = 300 ºC (573,15 K)
n = 1,4
R =
−
R
M
= 8,31447  kPa∙m3
kmol∙K/28 kg
kmol
= 0,2969 kPa∙m³
kg∙K
R = 0,2969 kPa∙m³/kg∙K
m = RT
PV =
0,2969 kPa∙m³
kg∙K ×298,15 K
101,3 kPa×0,5 m³ ≅1,75 kg
P1
T1
= P2
T2
101,3 kPa
298,15 K = P2
573,15 K
P2 = 194,73 kPa
n = 1,4
573,15 K
298,15 K = ( P2
101,3 kPa )
1,4−1
1,4
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Realizando os cálculos da equação (16), encontrou-se que a pressão dentro do tanque após o
aquecimento será de  .
Neste exercício, aplicamos os conceitos do modelo de gás ideal e do processo politrópico para
resolver os desa�os propostos. Esses cálculos e comparações nos ajudam a entender como
diferentes abordagens podem levar a resultados distintos em termos de pressão �nal.
Videoaula: Avaliação de propriedades e modelo de gás ideal
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Boas-vindas a nossa aula de Termodinâmica. Aqui, exploraremos conceitos cruciais como
caracterizar fases e processos de substâncias puras através do diagrama de fases. Aprender
de�nições importantes como pontos críticos, temperatura e pressão de saturação e estados de
equilíbrio. Além disso, você conhecerá diversas equações advindas do modelo de gás ideal e o
signi�cado do expoente “n” para processos politrópicos. Ao �nal, você será capaz de aplicar
esses conhecimentos na prática pro�ssional do engenheiro. Preparado para ampliar seu
entendimento? Vamos começar!
Saiba mais
P2 = 265,35 kPa
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Fenômenos de TransporteA, gera a tensão de cisalhamento das camadas do �uido ( ) e a força normal ( ),
perpendicular ao �uido, que aplicada sobre uma determinada área  , gera a tensão normal ou,
de forma mais prática, a pressão ( ), como mostrado na Figura 1.
Figura 1 | Esquema que mostra a força normal   que atua sobre uma área , que gera pressão 
sobre o �uido
 
Ft
τ Fn
A
p
Fn p
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De acordo com Brunetti (2008), existem diferentes medidores de pressão, com aplicações
especí�cas, mas que, em comum, têm como base o princípio de que a pressão é proporcional
(aumenta ou diminui) ao peso especí�co do �uido ( ) multiplicado pela diferença de altura – que
chamaremos de cotas – entre dois pontos. Essa de�nição é conhecida como o Teorema de
Stevin.
O barômetro de mercúrio, ainda segundo Brunetti (2008), é utilizado para medir a pressão
atmosférica (ou pressão barométrica – ), através da altura do líquido que está dentro de um
tubo que é virado de ponta-cabeça sobre um recipiente com mercúrio (Figura 2).
γ
patm
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Figura 2 | Representação esquemática de um barômetro.
Para a medição da pressão atmosférica temos também o barômetro metálico, que de acordo
com Godoi e Assunção (2019), apresenta uma precisão menor do que o de mercúrio (Figura 3).
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Figura 3 | Barômetro metálico. Fonte: Pixabay.
Outro tipo de medidor, especí�co para a medição de pressão de líquidos e gases em recipientes
fechados é o manômetro. Os tipos de manômetros podem variar, de acordo com a aplicação,
como o manômetro com tubo em U, o manômetro de Bourdon (Figura 4) ou metálico e os
vacuômetros (manômetros de vácuo).
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Figura 4 | Manômetros metálicos ou de Bourdon. Fonte: Pixabay.
Devido à incompressibilidade da grande maioria dos �uidos utilizados na engenharia, podemos
dizer que “a pressão aplicada num ponto de um �uido em repouso transmite-se integralmente a
todos os pontos do �uido” (Brunetti, 2008, p. 21). Esse conceito, na verdade, é o enunciado da Lei
de Pascal, e tem sua importância para projetos hidráulicos, como a prensa e o elevador
hidráulico, que permite aplicar uma força muito menor de um dos lados do sistema, para elevar
cargas maiores do outro lado (Figura 5).
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Figura 5 | Elevador hidráulico automotivo: aplicação da Lei de Pascal. Fonte: Freepik.
Quando um corpo ou um objeto é submerso em um determinado �uido, ele sofre pressão
proporcional à profundidade em que se encontra e ao peso especí�co do �uido. Brunetti (2008, p.
19) enuncia esse fenômeno como o Teorema de Stevin que diz que “a diferença de pressão entre
dois pontos de um �uido em repouso é igual ao produto do peso especí�co do �uido pela
diferença de cotas dois pontos”. Esse teorema também é conhecido como o Teorema
Fundamental da Hidrostática e explica o porquê a pressão não depende do formato do
recipiente. As principais aplicações vão desde o cálculo da pressão sentida por um mergulhador
a determinada profundidade e aplicações em engenharia como projetos de estruturas para
grandes profundidades, como um submarino, que possui formato próximo de um cilindro, para
aumentar a resistência às elevadas pressões que ele pode sobre determinada distância da
superfície (Figura 6).
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Figura 6 | Submarino Bangor (EUA). Fonte: Pixabay.
Interpretação e equacionamento em Estática dos Fluidos
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A Estática dos Fluidos é melhor compreendida através da aplicação em estudos de caso e
problemas de Engenharia. Para tanto, é necessário inicialmente compreender os fenômenos
envolvidos e modelá-los por meio de equações que serão utilizadas para cálculos em projetos.
A pressão atuante sobre uma superfície de um sólido ou de um �uido corresponde à força
normal aplicada sobre uma determinada área. No caso dos sólidos, essa força não
necessariamente será perpendicular ao plano horizontal, mas no caso dos �uidos, a força será
perpendicular ao plano horizontal (Brunetti, 2008).
Aqui vamos considerar que a pressão é aplicada de forma uniforma sobre toda a área de estudo.
Dessa forma, obtemos o valor da pressão média atuante, através da relação:
A Figura 7 mostra, esquematicamente, como é a atuação dessa força normal:
p = Fn
A
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Figura 7 | Atuação de uma força normal sobre uma área A
O Teorema de Stevin, como já apresentado, relaciona pressão e profundidade. Pense que tudo
que está sobre a superfície da Terra (inclusive os seres humanos) também está imerso em um
�uido, o ar, e por isso, sofre também a atuação da pressão, inclusive nós, seres humanos. Aqui,
se considerarmos a grande diferença de cotas entre o limite da atmosfera e o solo, veremos que
a massa especí�ca do ar muda de acordo com a altitude, o que torna o cálculo mais complexo,
mas não impossível.
Para nossos estudos, vamos considerar que para pequenas diferenças de cotas ( ) em �uidos
gasosos, podemos desprezar a diferença de pressão entre eles. Já para �uidos líquidos, e para
diferenças muito grandes em �uidos gasosos, o cálculo da diferença de pressão ( ) pelo
teorema de Stevin se dá por:
Ou, utilizando uma representação esquemática de um reservatório, onde se quer medir a
diferença de pressão entre as cotas e (Figura 8):
Figura 8 | Representação esquemática de um reservatório preenchido com �uido.
Δh
Δp
Δp = γ × Δh
z1 z2
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Nesse caso a equação pode ser escrita na forma:
Observe que na relação gerada através do Teorema de Stevin, não temos nenhuma variável
relacionada à forma do recipiente, e que a pressão em um mesmo plano horizontal é o mesmo
entre dois pontos contidos nesse plano (Figura 9), que explica também os vasos comunicantes,
onde o �uido �ca no mesmo nível em todos.
Figura 9 | Recipientes diferentes com a mesma pressão na mesma linha horizontal (linha pontilhada). Fonte: adaptada de
Halliday, Resnick e Walker (2016, p.57).
Por meio da relação do Teorema de Stevin, é possível calcular a pressão entre dois pontos e
utilizar nos cálculos com manômetros em U, em que se utiliza a seguinte regra prática, de acordo
com Brunetti (2008, p. 29) “começando do lado esquerdo, soma-se à pressão a pressão das
colunas descendentes e subtrai-se aquela das colunas ascendentes. Notar que as cotas são
sempre dadas até a superfície de separação de dois �uidos do manômetro”. Nesse tipo de
manômetro, o �uido manométrico – geralmente o último da esquerda para a direita – é o
mercúrio (Hg):
p2 − p1 = γ × (z1 − z2)
pA
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Figura 10 | Manômetro em U fechado. Fonte: Brunetti (2008, p. 29).
Seguindo a regra prática, a equação manométrica para o manômetro da Figura 10 �ca:
Para o cálculo de sistemas de elevação hidráulicos, comuns em engenharia, utiliza-se a Lei de
Pascal. Como ela enuncia que a pressão aplicada em um ponto é transmitida integralmente por
todos os pontos de um �uido. Considere o sistema da Figura 11, que representa
esquematicamente uma prensa hidráulica:
pA + γ1h1 + γ2h2 − γ3h3 + γ4h4 − γ5h5 − γ6h6 = pB
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Figura 11 | Representação esquemática da prensa hidráulica.
Como a pressão é transmitida integralmente por todos os pontos do �uido, as superfícies que
entram em contato com os êmbolos 1 e 2 na Figura 11 possuem a mesma pressão:
Logo:
Aplicação dos conceitos de Estática dos Fluidos
Em meados do ano de 2023, uma expedição aos destroços do famoso navio Titanic, localizado a
quatro quilômetros de profundidade, no Oceano Atlântico, terminou em uma tragédia, em que
cinco pessoas morreram devido à implosão catastró�ca do submarino Titan (Amos, 2023).
Algumas das partes desse submarino foram resgatadas, o que revelou alguns pontos e
questionamentos importantes, como a janela de acrílico, se o casco de �bra de carbono e os
�anges de titânio suportariam a pressão da água a uma profundidade de quatro mil metros.No universo da Termodinâmica, o coe�ciente de compressibilidade, também conhecido como
fator de compressibilidade Z, desempenha um papel crucial. Ele é uma ferramenta essencial para
entender o comportamento de gases reais, que existem em contraposição aos gases ideais, os
quais são uma simpli�cação teórica. Enquanto os gases ideais não existem perfeitamente na
realidade, muitos gases, como o ar, se aproximam bastante desse comportamento.
O coe�ciente de compressibilidade Z é uma medida do desvio do comportamento de um gás em
relação ao comportamento de um gás ideal. Este fator leva em consideração fatores como
pressão e temperatura, permitindo corrigir as diferenças entre o comportamento teórico dos
gases ideais e o comportamento observado em gases reais.
Saiba mais sobre fazendo a leitura do item 5.2 – Gases Reais da página C50 do livro
Termodinâmica para Engenheiros, de W. Braga Filho.
Referências
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521637196/epubcfi/6/32%5B%3Bvnd.vst.idref%3Dchapter05%5D!/4/282/18/3:134%5Brad%2Co%3F%5D
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521637196/epubcfi/6/32%5B%3Bvnd.vst.idref%3Dchapter05%5D!/4/282/18/3:134%5Brad%2Co%3F%5D
Disciplina
Fenômenos de Transporte
ASSUNÇÃO, G. S. C.; GODOI, P. J. P M. Termodinâmica. Porto Alegre: Grupo A, 2019. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788533500167/. Acesso em: 24 ago.
2023.
BORGNAKKE, C.; SONNTAG, R. E. Fundamentos da termodinâmica. São Paulo: Editora Blucher,
2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207931/.
Acesso em: 24 ago. 2023.
BRAGA FILHO, W. B. Termodinâmica para engenheiros. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2020.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637196/. Acesso em:
17 ago. 2023.
ÇENGEL, Y. A.; BOLES, M. A. Termodinâmica. Porto Alegre: Grupo A, 2013. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580552010/. Acesso em: 24 ago. 2023.
MORAN, M. J. Princípios de termodinâmica para engenharia. 8. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN,
2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521634904/.
Acesso em: 24 ago. 2023.
Aula 4
Primeira e Segunda Leis da Termodinâmica – Ciclos de Carnot
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788533500167/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207931/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637196/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580552010/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521634904/
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Olá, estudante! Você está pronto para compreender o funcionamento de motor a combustão, ou
um refrigerador, até uma grande usina de álcool? Vamos explorar detalhadamente as leis que
governam a transferência de energia e a conversão de calor em trabalho entre diferentes
sistemas e suas vizinhanças. Primeiro, vamos aprender mais sobre a relação entre trabalho e
calor, aprofundando no balanço de energia e explorando a e�ciência teórica do Ciclo de Carnot.
À medida que avançamos, vamos aprofundar nossos conhecimentos em conceitos centrais,
permitindo-nos compreender com maestria o funcionamento de máquinas térmicas.
Mergulharemos em tópicos como ciclos de potência, ciclos de refrigeração e a fascinante bomba
de calor. Fique �rme nos estudos e vamos juntos explorar os meandros desses temas, e bons
estudos!
Introdução aos ciclos termodinâmicos
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Vamos iniciar destacando o trabalho W, ou seja, a transferência de energia que ocorre quando
uma força age em um objeto e o move por uma distância. Conforme exempli�cado na Figura 1, a
energia sob a forma de trabalho acontece ao cruzar as fronteiras. Além do trabalho mecânico
executado por uma força, é possível encontrar situações como a rotação de um eixo em um
sistema de transmissão automotivo, a realização de trabalho elétrico por meio de uma bateria ou
sistema de potência, e até mesmo o trabalho químico, entre outras formas. 
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Figura 1 | Exemplo de trabalho cruzando a fronteira do sistema. Fonte: Borgnakke e Sonntag (2018, p. 94).
A convenção de sinais para o trabalho é baseada na seguinte regra: se o trabalho for positivo
, signi�ca que o sistema realiza trabalho sobre as vizinhanças; se o trabalho for negativo
, signi�ca que as vizinhanças realizam trabalho sobre o sistema.
Já o calor, representado pela letra Q, é de�nido como a energia transferida por meio de uma
força motriz entre dois sistemas e sua vizinhança devido a uma diferença de temperatura. E para
diferenciar, o trabalho é uma interação de energia que não é causada por uma diferença de
temperatura entre um sistema e sua vizinhança. Além disso, conveniou-se sinais para quando a
transferência de calor for positiva , o �uxo de calor é da vizinhança para o sistema e
quando a transferência de calor for negativa , o �uxo de calor é do sistema para a
vizinhança.
Um processo pode ser considerado adiabático de duas formas: quando o sistema
está bem isolado, de modo que apenas uma quantidade desprezível de calor passe
através da fronteira, ou quando o sistema e a vizinhança estejam à mesma
temperatura e, portanto, não haja força motriz (diferença de temperatura) para a
transferência de calor (Çengel e Boles, 2013, p. 61).
Ao analisar ciclos termodinâmicos para um sistema fechado, é essencial entender o balanço de
energia, que trata das entradas e saídas de energia de um sistema, nos quais seus estados inicial
W > 0
W 0
Qde refrigeração e bomba de calor. Fonte: Moran (2018, p. 57).
Agora, vamos observar as diferenças entre os ciclos representados na Figura 4, os Ciclos de
Refrigeração e Bomba de Calor desa�am nossa intuição, pois transferem calor da região de
temperatura do corpo frio para a região de temperatura do corpo quente.
Embora tenham sido tratados do mesmo modo até este ponto, na realidade os ciclos
de refrigeração e bomba de calor têm objetivos diferentes. O objetivo de um ciclo de
refrigeração é reduzir a temperatura de um espaço refrigerado ou manter a
temperatura do interior de uma residência, ou de outra construção, abaixo daquela do
meio ambiente. O objetivo de uma bomba de calor é manter a temperatura do interior
de uma residência, ou outra construção, acima daquela do meio ambiente ou fornecer
aquecimento para certos processos industriais que ocorrem a temperaturas elevadas
(Moran, 2018, p. 59).
Exploramos conceitos essenciais em engenharia, como trabalho, calor, e�ciência e ciclos
termodinâmicos. Na sequência com exemplos claros, aprendemos como máquinas térmicas
convertem energia, melhorando processos e reduzindo impactos ambientais.
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Análise de energia para ciclos
Em primeiro lugar, é fundamental você conhecer o balanço de energia para um ciclo
termodinâmico, originário da aplicação da primeira lei da termodinâmica para sistemas:
E como, o sistema sempre retorna ao seu estado inicial após o ciclo se completar, não haverá
variação da sua energia total, reduzindo a equação (1) para:
A conservação da energia sempre deve ser satisfeita para todo ciclo termodinâmica, não
importando a sequência de processos que é submetido ao ciclo de um sistema.
Além disso, o trabalho fornecido por um ciclo de potência ilustrado na Figura 4(a) para sua
vizinhança durante o ciclo, é dado pela expressão:
O desempenho de um sistema que percorre um ciclo de potência, conhecido como e�ciência
térmica, é a razão entre calor adicionado que é convertido em trabalho líquido do ciclo
 que pode ser determinada por:
ΔEciclo = Qciclo − Wciclo
Qciclo = Wciclo
Wciclo = Qentra − Qsai
Qentra
Wciclo
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Devido à conservação de energia, podemos inferir que a e�ciência térmica nunca ultrapassará a
unidade (100%). Contudo, a prática com ciclos de potência reais demonstra que a e�ciência
térmica permanece sempre abaixo da unidade. Isso signi�ca que nem toda energia acrescentada
ao sistema via transferência de calor se transforma em trabalho; uma porção é liberada para o
corpo frio por meio da transferência de calor.
A seguir, os ciclos de refrigeração e bomba de calor mostrados na �gura 4(b),  é a energia
transferida por calor do corpo frio para o sistema que percorre o ciclo e  é a energia
descarregada por transferência de calor do sistema para o corpo quente, para tudo acontecer é
necessária a alimentação do sistema com trabalho líquido , portanto, o balanço de
energia assume a forma de:
Considerando que os ciclos de refrigeração e as bombas de calor possuem �nalidades distintas,
os coe�cientes de desempenho, que medem seu rendimento, são estabelecidos de maneiras
variadas. O desempenho do ciclo de refrigeração pode ser escrito por:
A Figura 5 mostra um refrigerador doméstico, onde o calor  é descarregado para o ambiente
no qual o refrigerador está localizado e o  é o trabalho executado pelo compressor
consumindo energia elétrica.
η = Wciclo
Qentra
= Qentra−Qsai
Qentra
= 1 − Qsai
Qentra
Qentra
Qsai
Wciclo
Wciclo = Qsai − Qentra
β = Qentra
Wciclo
= Qentra
Qsai−Qentra
Qsai
Wciclo
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 5 | Refrigerador doméstico. Fonte: adaptada de Çengel e Boles (2013, p. 309).
Disciplina
Fenômenos de Transporte
O desempenho das bombas de calor é de�nido pela razão entre a energia descarregada 
 pelo sistema que percorre o ciclo, para o corpo quente e o trabalho líquido  sobre o
sistema para produzir o efeito, logo, é dado pela expressão:
Os coe�cientes de desempenho  e  são estabelecidos como as proporções entre a
transferência de calor desejada e o esforço em trabalho necessário para alcançar esse resultado.
Do ponto de vista termodinâmico, é vantajoso que esses coe�cientes alcancem os valores mais
elevados possíveis.
E�ciência máxima para Ciclo de Carnot
Qsai
Wciclo
γ = Qsai
Wciclo
= Qsai
Qsai−Qentra
β γ
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Existe uma forma de determinar se uma máquina térmica é viável ou não. E isso é o que
aprenderemos agora! A equação (8) representa a e�ciência térmica máxima para ciclo de
potência hipotético operando entre dois reservatórios de fonte quente e fria, lembrando que esta
relação é válida somente para ciclos operando segundo Ciclo de Carnot com temperaturas em
Kelvin (K), desprezando perdas de calor para as vizinhanças.
Onde a  é a temperatura de fonte fria e a  é a temperatura de fonte quente na escala Kelvin
(K), para a idealização de uma máquina térmica de ciclo de potência ser possível de invenção
ηmax = 1 − TF
TQ
TF TQ
Disciplina
Fenômenos de Transporte
deve ser veri�cado se atende a . Além disso, é importante você compreender que as
relações para a avaliação da e�ciência térmicas baseadas em trabalho e calor são para
situações e ciclos reais podendo ser calculada por meio das equações (4), (6) e (7).
E um refrigerador será possível quando . E para a bomba de calor, o coe�ciente de
desempenho máximo operando entre dois reservatórios, será expresso por:
Agora, você será capaz de determinar o trabalho, a e�ciência térmica e máxima para um motor a
combustão do carro, no qual recebe 600 kJ de calor a uma temperatura de 600 ºC e rejeita 300
kJ de calor para um ambiente com a temperatura de 10 ºC.  
Dados:
1. O trabalho realizado pela máquina é encontrado por meio da aplicação da equação (3):
      2. A e�ciência térmica do ciclo pode ser calculada pela equação (4):
     3. A e�ciência térmica máxima para o ciclo pode ser determinada pela equação (8):
A e�ciência térmica real do ciclo é 17% menor que a e�ciência térmica máxima, portanto, a
máquina térmica é possível de ser inventada.
Outro exemplo interessante, comum do seu dia a dia, você deverá ser capaz de calcular o calor
rejeitado, o coe�ciente de desempenho real e máximo do seu ar-condicionado residencial que em
funcionamento ele mantém a temperatura de sua residência em 23 ºC, enquanto a temperatura
do lado de fora é em torno de 40 ºC. Considerando que ciclo de refrigeração remove 8 kJ da casa
η ≤ ηmax
βmax = TF
TQ−TF
β ≤ βmax
γmax = TQ
TQ−TF
Qentra = 600 kJ
Qsai = 300 kJ
TQ = 600 ºC = 873 K
TF = 10 ºC = 283 K
Wciclo = Qentra − Qsai = 600 − 300 = 300 kJ
η = Wciclo
Qentra
= 300
600 = 0,5 ou 50%
ηmax = 1 − 283
873 = 0,67 ou 67%
Disciplina
Fenômenos de Transporte
e compressor faz 2 hp de trabalho no �uido refrigerante para diminuir a temperatura do seu
quarto.
Dados:
a)     Aplicando a equação (5), determinamos o calor rejeitado do ar-condicionado:
 
(14)
b)     O coe�ciente de desempenho real será calculado por meio da equação (8):
 
(15)
c)     O coe�ciente de desempenho máximo para ciclo de refrigeração pode ser calculado
através da equação (10), a seguir:
 
6)
O coe�ciente de desempenho térmico real do ar-condicionado é possível e não infringe as leis da
Termodinâmica para ciclos de refrigeração que operam com os reservatórios de fonte quente e
fria, porque é menor que o coe�ciente de desempenho máximo do ciclo.
Videoaula: Primeira e Segunda Leis da Termodinâmica – Ciclos de Carnot
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Em nossa aula, você vai descobrir os segredos dos ciclos termodinâmicos, desde o famoso Ciclo
de Carnot até os práticos ciclos de potência, refrigeração e a intrigante bomba de calor. Vamos
explorar juntos as e�ciências térmicas máximas que esses processos podemalcançar. Prepare-
se para uma jornada de conhecimento. Vamos à aula!
Qentra = 8 kJ
s
Wciclo =  2 hp = 1,492 kW
TQ = 40 ºC = 313 K
TF = 23 ºC = 296 K
1,492 = Qsai − 8  ↔ Qsai = 9,49 kJ
β = 8
1,49 = 5,36
βmax = 296
313−296 = 17,41
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Saiba mais
Você sabia que a grande preocupação nacional atualmente é o armazenamento de energia?
Ficou curioso em descobrir por quê?  Saiba mais sobre o assunto e leia o tópico 2.7
Armazenamento de Energia da página 56 do livro Princípios de Termodinâmica para Engenharia,
disponível na sua biblioteca virtual.
Referências
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521634904
Disciplina
Fenômenos de Transporte
ASSUNÇÃO, G. S. C.; GODOI, P. J. P M. Termodinâmica. Porto Alegre: Grupo A, 2019. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788533500167/. Acesso em: 24 ago.
2023.
BORGNAKKE, C.; SONNTAG, R. E. Fundamentos da termodinâmica. São Paulo: Editora Blucher,
2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207931/.
Acesso em: 24 ago. 2023.
BRAGA FILHO, W. B. Termodinâmica para engenheiros. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2020.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637196/. Acesso em:
17 ago. 2023.
ÇENGEL, Y. A.; BOLES, M. A. Termodinâmica. Porto Alegre: Grupo A, 2013. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580552010/. Acesso em: 24 ago. 2023.
MORAN, M. J. Princípios de termodinâmica para engenharia. 8. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN,
2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521634904/.
Acesso em: 24 ago. 2023.
Aula 5
Revisão da unidade
Entendendo da difusão até a e�ciência de ciclos termodinâmicos
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788533500167/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207931/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637196/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580552010/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521634904/
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante! Vamos relembrar alguns conceitos importantes sobre transferência de massa,
termodinâmica e e�ciência de máquinas térmicas, refrigeradores e bombas de calor.
A Lei de Fick da difusão nos ajuda a entender como as substâncias se difundem por meio de
outras substâncias. Imagine que você adiciona um torrão de açúcar em um copo de água. Essa
lei nos diz como o açúcar se espalha na água com base na diferença de concentração e na
capacidade de difusão do açúcar na água. Portanto, difusão de uma espécie química i, com o
 representando o �uxo difusivo na base molar em função da concentração C (kmol/m³) por uma
unidade de área normal na direção x, é dada pela expressão abaixo:
                            (1)
De outra forma, também possível calcular o �uxo difusivo na base mássica em função da
densidade , através de:
                                 (2)
Onde a constante DAB é denominada como o coe�ciente difusividade, ou seja, uma grandeza que
mensura a capacidade de difusão de uma espécie química. Além disso, você conheceu a relação
Jdif,A = −CDAB
d(
CA
C )
dx
= −DAB
dCA
dx
 com C = constante
ρA,
Jdif,A = −ρDAB
d(
ρA
ρ
)
dx = −DAB
dρA
dx  com ρ = constante
Disciplina
Fenômenos de Transporte
entre massa e volume de uma propriedade termodinâmica extensiva densidade e volume
especí�co, que são variáveis importantes para de�nição de estado, dado por:
                       (3)
A variação total de energia de um sistema, envolve a energia cinética associada ao movimento
de um corpo, e a energia potencial que é armazenada a corpo devido sua posição em relação ao
campo gravitacional, e a energia interna está relacionada ao nível de agitação das moléculas de
um sistema decorrente das oscilações de temperatura, resumida em:
           (4)
A conservação da energia para estado inicial e �nal assume a forma de aplicação a seguir:
                     (5)
É importante para você conhecer as variações e aplicações para a formulação da equação de
estado do gás ideal, sempre relacionando as variáveis: P representa a pressão de um gás,  é o
volume especí�co, R a constante do gás e T a temperatura, através de: 
      (6)
Diante de um processo com dois estados diferentes associados aos subscritos 1 e 2, a equação
(6) assume uma forma de aplicação para relacionar esses estados, dado por:
                   (7)
Agora, já no processo termodinâmico de quase equilíbrio conhecido como o processo
politrópico, a expressão matemática será representada pela relação, a seguir:
               (8)
Onde o índice n pode variar conforme o processo em análise. E, você pode associar dois estados
no processo politrópico, com a expressão a seguir:
         (9)       
O trabalho W pode ser convertido em calor, porém, o calor Q só pode ser convertido em trabalho
por alguns equipamentos conhecidos como máquinas térmicas. A e�ciência térmica dessa
máquina, é de�nida por:
             (10)
v = V
m
= 1
ρ
ΔE = ΔEc + ΔEp + ΔU
Ec, inicial +  Ep, inicial + Uinicial =  Ec, final +  Ep, final + Ufinal
Pv = RT
P1V1
T1
= P2V2
T2
PV n = constante
P1V n
1 = P2V n
2
η = Wciclo
Qentra
= Qentra−Qsai
Qentra
= 1 − Qsai
Qentra
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Em que, o  é o trabalho realizado pela máquina térmica, é a quantidade de calor
fornecida à máquina e o   é a quantidade de calor rejeitada pela máquina, ou seja, o calor
cedido do sistema as vizinhanças por perdas de processo.
Você aprendeu como analisar e�ciência de refrigeradores e bombas de calor que são
equipamentos que retiram calor de meios a baixa temperatura e o rejeitam para meios a alta
temperatura. O desempenho de um refrigerador ou de uma bomba de calor é expresso pelo
coe�ciente de desempenho, de�nidos como:
                    (11)
                    (12)
Do ponto de vista termodinâmico, é vantajoso que esses coe�cientes de desempenho  e 
 alcancem os valores mais elevados possíveis.
Entendendo da difusão até a e�ciência de ciclos termodinâmicos
Olá, estudante! Vamos relembrar alguns conceitos importantes sobre transferência de massa,
termodinâmica e e�ciência de máquinas térmicas, refrigeradores e bombas de calor. 
A Lei de Fick da difusão nos ajuda a entender como as substâncias se difundem por meio de
outras substâncias. Imagine que você adiciona um torrão de açúcar em um copo de água. Essa
lei nos diz como o açúcar se espalha na água com base na diferença de concentração e na
capacidade de difusão do açúcar na água. Portanto, difusão de uma espécie química i, com o
 representando o �uxo difusivo na base molar em função da concentração C (kmol/m³)
por uma unidade de área normal na direção x, é dada pela expressão abaixo:
Wciclo Qentra
Qsai
β = Qentra
Wciclo
= Qentra
Qsai−Qentra
γ = Qsai
Wciclo
= Qsai
Qsai−Qentra
 β  γ 
Jdiff,A
Disciplina
Fenômenos de Transporte
De outra forma, também possível calcular o �uxo difusivo na base mássica em função da
densidade , através de:
Onde a constante DAB é denominada como o coe�ciente difusividade, ou seja, uma grandeza que
mensura a capacidade de difusão de uma espécie química. Além disso, você conheceu a relação
entre massa e volume de uma propriedade termodinâmica extensiva densidade e volume
especí�co, que são variáveis importantes para de�nição de estado, dado por:
A variação total de energia de um sistema, envolve a energia cinética associada ao movimento
de um corpo, e a energia potencial que é armazenada a corpo devido sua posição em relação ao
campo gravitacional, e a energia interna está relacionada ao nível de agitação das moléculas de
um sistema decorrente das oscilações de temperatura, resumida em:
A conservação da energia para estado inicial e �nal assume a forma de aplicação a seguir:
É importante para você conhecer as variações e aplicações para a formulação da equação de
estado do gás ideal, sempre relacionando as variáveis: P representa a pressão de um gás,  é o
volume especí�co,R a constante do gás e T a temperatura, através de:
Diante de um processo com dois estados diferentes associados aos subscritos 1 e 2, a equação
(6) assume uma forma de aplicação para relacionar esses estados, dado por:
Agora, já no processo termodinâmico de quase equilíbrio conhecido como o processo
politrópico, a expressão matemática será representada pela relação, a seguir:
Jdif,A = −CDAB
d(
CA
C )
dx
= −DAB
dCA
dx
 com C = constante
ρA
Jdif,A = −ρDAB
d(
ρA
ρ )
dx
= −DAB
dρA
dx
 com ρ = constante
v = V
m
= 1
ρ
ΔE = ΔEc + ΔEp + ΔU
Ec, inicial +  Ep, inicial + Uinicial =  Ec, final +  Ep, final + Ufinal
v
Pv = RT
P1V1
T1
= P2V2
T2
PV n = constante
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Onde o índice n pode variar conforme o processo em análise. E, você pode associar dois estados
no processo politrópico, com a expressão a seguir:
O trabalho W pode ser convertido em calor, porém, o calor Q só pode ser convertido em trabalho
por alguns equipamentos conhecidos como máquinas térmicas. A e�ciência térmica dessa
máquina, é de�nida por:
Em que, o  é o trabalho realizado pela máquina térmica,  é a quantidade de calor
fornecida à máquina e o  é a quantidade de calor rejeitada pela máquina, ou seja, o calor
cedido do sistema as vizinhanças por perdas de processo.
Você aprendeu como analisar e�ciência de refrigeradores e bombas de calor que são
equipamentos que retiram calor de meios a baixa temperatura e o rejeitam para meios a alta
temperatura. O desempenho de um refrigerador ou de uma bomba de calor é expresso pelo
coe�ciente de desempenho, de�nidos como:
Do ponto de vista termodinâmico, é vantajoso que esses coe�cientes de desempenho  e 
 alcancem os valores mais elevados possíveis.
Videoaula: Revisão da Unidade
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Você está pronto para relembrar todos os conceitos essenciais nesta unidade? Iremos tratar
sobre a Lei de Fick da difusão de massa, entender propriedades importantes na termodinâmica e
a equação de estado dos gases ideais. Vamos desvendar como trabalho e calor se relacionam
em ciclos termodinâmicos e como calcular a e�ciência térmica com exemplos práticos. Vamos
assistir a este vídeo resumo! Bons estudos!
P1V
n
1 = P2V
n
2
η = Wciclo
Qentra
= Qentra−Qsai
Qentra
= 1 − Qsai
Qentra
Wciclo Qentra
Qsai
β = Qentra
Wciclo
= Qentra
Qsai−Qentra
γ = Qsai
Wciclo
= Qsai
Qsai−Qentra
β γ
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Estudo de Caso
Imagine que você é um engenheiro recém-contratado por uma empresa especializada em
soluções de refrigeração comercial. Um dos clientes da empresa é um estabelecimento que
vende bebidas geladas e está preocupado com o alto consumo de energia de seu refrigerador
comercial, como ilustra a Figura 1. Sua missão é ajudar o cliente a entender como o uso do
refrigerador impacta no consumo anual de energia e propor medidas para melhorar a e�ciência,
aplicando os princípios da termodinâmica aprendidos em aula.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 1 | Refrigerador comercial de bebidas. Fonte: Freepik.
O cliente possui dez refrigeradores comercial para gelar bebidas com as seguintes
características: volume interno de 0,9 m³, temperatura média interna de 4 ºC e e�ciência
(coe�ciente de desempenho) do refrigerador é de 1,2. O refrigerador é frequentemente aberto
pelos clientes em média 50 vezes ao longo do dia, e o ar mais quente da área de vendas entra no
interior do refrigerador, substituindo metade do ar frio dentro do equipamento. Na maior parte do
tempo, dois terços do espaço refrigerado está ocupado com bebidas e os 0,3 m³ restante é
preenchido pelo ar. A temperatura e a pressão média na condição local é de 30 ºC e 95 kPa.
Você precisa calcular a quantidade de energia elétrica consumida pelos refrigeradores comercial
em um ano, levando em consideração o seu coe�ciente de desempenho e o custo de eletricidade
de R$ 1,00 por kWh. Estime o desperdício de energia resultante da abertura frequente da porta do
refrigerador e o do in�uxo de ar quente da área de vendas.
Além de tudo, será necessário propor medidas práticas para reduzir o desperdício de energia do
refrigerador, com a organização interna das bebidas e a manutenção da porta.
______
Re�ita
Depois de analisar o caso do refrigerador comercial de bebidas geladas. Primeiramente, lembre-
se de que a e�ciência de um refrigerador está relacionada ao coe�ciente de desempenho ().
Quanto maior o , mais e�ciente o aparelho. Portanto, ao aconselhar o cliente, considere a
substituição do equipamento por um mais e�ciente.
A frequência de abertura da porta e a exposição ao ar quente são críticas para o consumo de
energia. Sugira ao cliente que organize as bebidas de forma a minimizar a perda de frio sempre
que a porta for aberta, e que a mantenha fechada sempre que possível.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Como engenheiro, você não apenas resolve problemas, mas também contribui para a e�ciência e
a sustentabilidade dos negócios. Ao aplicar os princípios da termodinâmica de forma prática,
economiza dinheiro para o cliente e reduz o impacto ambiental. Portanto, seja criativo e faça a
diferença no mundo real!
Videoaula: Resolução do Estudo de Caso
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A porta de um refrigerador é aberta 50 vezes por dia, e metade do ar frio do interior é substituído
pelo ar mais quente da sala. O custo de energia desperdiçada por ano será calculado em razão
da abertura da porta do refrigerador comercial.
Primeiramente vamos assumir que a local é mantida a 30 ºC e 95 kPa na maior parte do tempo. 
O ar é modelo como gás ideal. A metade do volume de ar dentro do refrigerador contido entre as
bebidas é substituído pelo ar quente .
As propriedades termodinâmicas extraídas de tabelas, são:
Constante dos gases para o ar 
O calor especí�co do ar no estabelecimento 
Volume de ar substituído por ano
Agora, com base nas informações, você pode calcular a densidade do ar contida dentro do
refrigerador através da equação de estado dos gases ideais, por meio de:
 
       (13)
E a massa de ar que será renovada durante o ano, será dada por:
            (14)
mar = 0,3
2 = 0,15 m³.
R = 0,287 kPa∙m³/kg∙K
Cp = 1,005 kJ/kgºC
Var = 0,15 m3(50/dia)(365 dia/ano) = 2737,5 m³/ano
ρar = P/RT = (95kPa)/(0, 287(kPa ∙ m3)/(kg ∙ K)(4 + 273)K) = 1, 195kg/m3
mar = ρarVar = 1,195 kg
m3 × 2737,5 m3
ano
= 3271,3 kg
ano
Disciplina
Fenômenos de Transporte
O calor gasto para refrigerar todo ar da renovação em razão da frequente abertura de portas será
de:
          (15)
Agora para o desempenho , você vai determinar o trabalho do ciclo necessário para
refrigeração, através de:
       (16)
Considerando que potência é sinônimo de trabalho realizado por tempo, você pode calcular o
custo de energia ano em razão de frequente abertura de porta do refrigerador no
estabelecimento.
      (17)
Portanto, um refrigerador consome a mais R$ 19,8 por ano, porém, o estabelecimento possui dez
refrigeradores, resultando em um custo de R$ 198 por ano em razão da abertura da porta com
frequência.
Por �m, você propõe soluções ao cliente para redução no consumo desses refrigeradores. Pense
na organização interna – recomende que o cliente organize as bebidas mais compradas de
forma mais acessível para reduzir o tempo de abertura das portas. Sugira instalação de cortinas
de ar para minimizar a entrada de ar quente no interior do refrigerador, fomente a manutenção
regular do equipamento para garantir seu pleno funcionamento e uma boa vedação tornando o
processo de refrigeração mais e�ciente.
Qentra = marCp Δ T = 3271, 3kg/ano × 1, 005kJ/(kgºC) × (30 − 4)ºC = 85479, 4k
β = 1,4
β = Qentra
Wciclo
↔ Wciclo= 85479,3kJ/ano
1,2 ( 1 kWh
3600 kJ ) = 19,8 kWh
ano  
Custo = 19,8 kWh
ano × 1  R$
kWh
=  R$ 19,8/ano
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Roteiro de Aula Prática
Olá, estudante!
Segue abaixo link do Roteiro de Aula Prática.
Clique aqui, e acesse o roteiro U3 
Resumo Visual
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/RAP/FENOMENOS_DE_TRANSPORTE/RAP_U3.pdf
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Ciclos termodinâmicos. Fonte: elaborada pelo autor.
Referências
BERGMAN, T. L. Incropera - Fundamentos de transferência de calor e de massa. Rio de Janeiro:
Grupo GEN, 2019. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521636656/. Acesso em: 6 ago. 2023.
ÇENGEL, Y. A.; GHAJAR, A. J. Transferência de calor e massa: uma abordagem prática. São
Paulo: Grupo A, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551280/. Acesso em: 6 ago. 2023.
BORGNAKKE, C.; SONNTAG, R. E. Fundamentos da termodinâmica. São Paulo: Editora Blucher,
2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207931/.
Acesso em: 17 ago. 2023.
BRAGA FILHO, W. B. Termodinâmica para engenheiros. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2020.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637196/. Acesso em:
17 ago. 2023.
ÇENGEL, Y. A.; BOLES, M. A. Termodinâmica. Porto Alegre: Grupo A, 2013. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580552010/. Acesso em: 17 ago. 2023.
MORAN, M. J. Princípios de termodinâmica para engenharia. 8. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN,
2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521634904/.
Acesso em: 17 ago. 2023.
WYLEN, G. V. Fundamentos da termodinâmica clássica. São Paulo: Editora Blucher, 1995.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521217862/. Acesso em:
17 ago. 2023.Mesmo construído com materiais de alta resistência, a estrutura não suportou a pressão. Esse é
um caso emblemático, no qual podemos estimar a pressão que o submarino sofreria a essa
profundidade. Para o cálculo da pressão, utilizaremos o Teorema de Stevin, considerando a
pressão atmosférica na superfície da água.
Temos que:
p1 = p2
F1
A1
= F2
A2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
onde o ponto 2 é onde o Titanic se encontra e o ponto 1 é a superfície do Oceano Atlântico.
Então,  é a nossa incógnita e (BRUNETTI, 2008). O peso especí�co
da água do mar é maior do que o da água destilada devido aos sais presentes, e é em média,
igual a (Fox et al., 2018). A cota  e a cota .
Dessa forma:
Podemos ter uma ideia do quão elevada é a pressão obtida se dividirmos o valor da pressão pelo
valor da aceleração da gravidade. O valor corresponderia na superfície terrestre a uma massa de
mais de quatro milhões de quilogramas agindo sobre uma área de um metro quadrado. É por
isso que o submarino Titan sofreu o que foi chamado de implosão catastró�ca, pois sua
estrutura não suportou a pressão, provavelmente a uma profundidade menor do que a
profundidade onde encontra-se o Titanic.
Outra aplicação típica da Estática dos Fluidos é o elevador hidráulico utilizado para elevar um
veículo para manutenções ou troca de óleo. Suponha que o veículo a ser elevado possui a massa
de  e está sobre uma plataforma de  de área. Qual a força que deve ser aplicada
sobre o outro extremo desse sistema hidráulico que possui  de área?
Temos uma situação hipotética apresentada, mas que é um exemplo simpli�cado ou um esboço
de um projeto hidráulico em engenharia. Para determinar essa força, vamos considerar que a
aceleração da gravidade é . Para �car mais claro, podemos simpli�car nosso sistema
para o esquema apresentado na Figura 12.
Figura 12 | Desenho esquemático do elevador hidráulico. Devemos aplicar a Lei de Pascal:
p2 − p1 = γ × (z1 − z2)
p2 p1 = patm ≅101,3 kPa
10.300 N/m3 z1 = 4000 m z2 = 0 m
p2 − 101300  = 10.300 × (4000 − 0)
p2 = 4,11 × 107   N
m2  ou 4,11 × 107 Pa
1.200 kg 4 m2
0,2 m2
10m/s2
F1
A1
= F2
A2
⟹
F1
0,2 = 12.000
4 ⟹ F1 = 600 N
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Veja que a força a ser aplicada é vinte vezes menor, o que facilita a construção do sistema. É
importante observar que poderíamos obter o valor da força sabendo quantas vezes a área 2 é
maior que a área 1, pois a Lei de Pascal aqui aplicada mostra que a força é proporcional à área.
Obviamente trata-se de um esboço simpli�cado de um sistema de elevação hidráulico, mas que
pode auxiliar o início de um projeto de um sistema mais complexo, e com a possibilidade de
diminuir ainda mais a força necessária para elevar o veículo. 
Videoaula: Estática dos �uidos
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Nesta aula, você irá aprender sobre Estática dos Fluidos. Você irá aprender como é calculada a
pressão média sobre um �uido. Também irá entender como é possível saber a pressão atuante
sobre um corpo ou um objeto submerso, mediante aplicação do Teorema de Stevin. Verá
também que a Lei de Pascal pode ser utilizada para projetar sistemas hidráulicos comuns na
engenharia. Dessa forma, te convido a assistir o vídeo como forma de você complementar seus
estudos.
Saiba mais
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante! Para aprofundar ainda mais seus estudos em Estática dos Fluidos, recomendo a
leitura e o estudo dos exemplos contidos no capítulo 14, na página 57 do livro Fundamentos de
Física - Vol. 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica, de Halliday, Resnick e Walker (2016).
Os exemplos dessa página versam sobre a aplicação da Lei de Stevin para um mergulhador e
outro exemplo que também se utiliza da mesma Lei em conjunto com o cálculo de pressão com
a utilização de manômetros em U.
Referências
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/
Disciplina
Fenômenos de Transporte
AMOS, J. O que restos do submarino Titan implodido podem revelar sobre a tragédia. BBC News
Brasil, 30 jun. 2023. Disponível em: https://www.bbc.com/portuguese/articles/c3g0kz71pkno,
Acesso em 30 jun 2023.
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. São Paulo: Pearson, 2008.
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos. Porto Alegre: Grupo A, 2015. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/. Acesso em: 18 jul. 2023.
FOX, R. W. et al. Introdução à mecânica dos �uidos. 9. ed. Barueri: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/. Acesso em: 18 jul.
2023.
GODOI, P. J. P M.; ASSUNÇÃO, G. S. C. Mecânica dos �uidos. Porto Alegre: Grupo A, 2019.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595028494/. Acesso em:
30 jul. 2023.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física - Vol. 2 - Gravitação, ondas e
termodinâmica. 10. ed. Barueri: Grupo GEN, 2016. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/. Acesso em: 30 jul. 2023.
WHITE, F. M. Mecânica dos �uidos. Porto Alegre: Grupo A, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556070/. Acesso em: 18 jul. 2023. 
Aula 3
Escoamento de um �uido
Introdução
https://www.bbc.com/portuguese/articles/c3g0kz71pkno
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595028494/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632078/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556070/
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Vamos estudar os conceitos relacionados ao
escoamento de �uidos, velocidade e vazão. Para isso, começaremos com o conceito de
velocidade de um �uido e sua aplicação para o cálculo do Número de Reynolds. A partir do valor
obtido para o Número de Reynolds é possível classi�car o escoamento como laminar e
turbulento, o que torna esse parâmetro algo muito importante em projetos de engenharia, assim
como a vazão, que pode ser volumétrica, a mais comum, a mássica e a em peso. O cálculo da
vazão é muito útil para aplicações em que é necessário dimensionar tubulações, abastecimento
de bairros e de cidades e vários projetos de engenharia.  
Ótimo estudo para você!  
Número de Reynolds, conceito de vazão e de velocidade de escoamento
Disciplina
Fenômenos de Transporte
De acordo com Brunetti (2008), existem dois tipos de escoamento em �uidos: o laminar e o
turbulento. Se imaginarmos que as camadas dos �uidos em repouso podem ser comparadas
como lâminas, teremos que �uidos que escoam de forma laminar mantêm essas camadas
separadas. Em outras palavras, as camadas ou lâminas não se misturam. Obviamente que essa
explicação é um modelo, pois pode ocorrer, no nível microscópico, a mistura de partículas de
cada camada. Já no escoamento turbulento, as camadas dos �uidos se misturam.
Para delimitar um escoamento laminar de um escoamento turbulento, Reynolds (1883)
demonstrou por meio de uma experiência envolvendo água e um �uido colorido. O sistema
construído ainda continha uma válvula para controlar a velocidade de saída do �uido (Figura 1).
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 1 | Experiência de Reynolds. Fonte: Brunetti (2008, p. 68).
A partir da experiência de Reynolds (Figura 1), é possível de�nir, de acordo com a velocidade de
saída do líquido pelo bocal ( ), como se comporta o �lete de líquido colorido através do tubo de
vidro de diâmetro . Se o líquido colorido não se mistura com a água, temos um escoamento
laminar, pois entende-se que as camadas dos dois �uidos não se misturaram. À medida que se
aumenta a velocidade – por meio do aumento da vazão – o líquido colorido se mistura com aágua e temos então um escoamento turbulento. Costuma-se de�nir também um regime de
transição, conforme a Figura 2.
Figura 2 | Aspecto do �lete do líquido colorido em cada regime de escoamento. Fonte: adaptada de Reynolds (1883).
O Número de Reynolds depende da velocidade de escoamento, que é obtida pelo cálculo da
vazão. A vazão volumétrica, , por sua vez, é calculada através do volume de �uido que passa
por um determinado orifício de área  no tempo .
v
D
Q
A t
Disciplina
Fenômenos de Transporte
A vazão de um determinado �uido pode ser determinada, experimentalmente, medindo-se o
volume de �uido que preenche um determinado reservatório em um determinado intervalo de
tempo. A partir dessa relação, podemos relacionar a vazão também com a velocidade  de
escoamento desse �uido que passa por um tubo de área :
Essas relações serão equacionadas para serem utilizadas em cálculos importantes dentro de
Fenômenos de Transporte.
Além da vazão volumétrica, temos a vazão em massa e em peso. A forma de obtenção e o
sentido físico é semelhante ao da vazão volumétrica:
       A vazão em massa é obtida pela quantidade de massa de �uido que passa pela seção
transversal de um tubo em um determinado intervalo de tempo.
     A vazão em peso é obtida pela razão do peso do �uido ( ) que passa pela seção
transversal de um tubo em um determinado intervalo de tempo.
A relação de vazão volumétrica é a mais utilizada (Brunetti, 2008), e permite o cálculo da
velocidade média de escoamento em uma seção transversal.
Interpretação e equacionamento do Número de Reynolds, da vazão e da
velocidade de escoamento de �uidos
v
A
Q  =  v × A
= m × g
Disciplina
Fenômenos de Transporte
“Entende-se que o escoamento laminar é aquele em que as partículas se deslocam em lâminas
individualizadas, sem trocas de massa entre elas” (Brunetti, 2008, p. 69). Ao contrário do
escoamento laminar, que é menos comum de ocorrer na prática, temos o escoamento
turbulento. Entre os dois tipos de escoamento temos o escoamento de transição. Para delimitar
e classi�car os tipos de escoamento, Reynolds realizou a experiência do escoamento de água
com o �uido colorido, como mencionado, e veri�cou que o fenômeno poderia ser descrito por
meio de um número adimensional, , ou Número de Reynolds.
Para o cálculo desse adimensional, utiliza-se a seguinte relação:
onde:
 é a massa especí�ca do �uido.
 é a velocidade de escoamento do �uido.
 é o diâmetro do tubo.
 é a viscosidade dinâmica do �uido.
 é a viscosidade cinemática do �uido.
Observação 1: deve-se tomar cuidado com  de velocidade e  de viscosidade cinemática, pois
são símbolos muito parecidos.
 
Observação 2: dentro da disciplina de fenômenos de transporte, mecânica dos �uidos e outras
relacionadas, existem número que chamamos de adimensionais, pois eles não possuem unidade
de medida. O Número de Reynolds é um deles.
A partir do valor obtido pelo cálculo do Número de Reynolds, é possível estabelecer a
classi�cação do tipo de escoamento em tubulações (Brunetti, 2008; Fox et al., 2018):
Se , temos escoamento laminar.
Se , temos escoamento de transição.
Se , temos escoamento turbulento. 
O Número de Reynolds depende de parâmetros intrínsecos ao tipo de �uido, mas também
depende do diâmetro da tubulação e da velocidade. Para a obtenção da velocidade, faz-se
necessário equacionar o cálculo de vazão. Basicamente, a vazão  relaciona o volume do �uido
 com o intervalo de tempo , como segue:
Para obtermos o valor da velocidade de escoamento do �uido nessa tubulação, é necessário
utilizar a relação geométrica de volume com comprimento e área. De acordo com a Figura 3,
temos que, para um intervalo de tempo t, o �uido percorreu uma distância s em uma tubulação
de área A:
Re = ρvD
μ
= vD
ν
ρ
v
D
μ
ν
v v
Re   2400
Q
V t
Q = V
t
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 3 | Representação esquemática do escoamento de um �uido em uma tubulação. Fonte: adaptada de Brunetti (2008, p.
72).
Assim:
Da cinemática, temos que
Então, substituindo:
Ou, se for necessário calcular a velocidade, basta isolar a velocidade na fórmula:
De forma semelhante, a vazão em massa é calculada da seguinte forma:
Utilizando o mesmo raciocínio do cálculo da vazão volumétrica, chegamos em:
E para a vazão em peso (com  sendo o peso especí�co):
e da mesma forma chegamos em:
As unidades de vazão, no Sistema Internacional de Unidades, são:
Q = V
t = sA
t
s
t
= v
Q = v × A
v  = Q
A
Qm = m
t = ρV
t
Qm = ρ × V × A
QG = G
t = γV
t
QG = γ × v × A
Disciplina
Fenômenos de Transporte
vazão volumétrica: 
vazão em massa: 
vazão volumétrica: 
Dessa forma, para a obtenção do valor de velocidade de escoamento de um �uido é necessário
conhecer as suas propriedades e colocar a velocidade como incógnita nas relações
apresentadas.
Aplicação dos conceitos de Reynolds, vazão e velocidade de escoamento
Um fenômeno conhecido e indesejável em turbinas (como as de hidrelétricas) é a cavitação
(Çengel e Cimbala, 2015). Ela ocorre pelas implosões de bolhas de água sobre a superfície
dessas turbinas, causando um desgaste prematuro e a perda da e�ciência do equipamento. Isso
também pode ocorrer em cotovelos de tubulações, no qual há um desavio do �uxo de água.
Di�cilmente os escoamentos nessas situações são laminares, devido à elevada velocidade deste
escoamento dentro das tubulações, o que facilita a formação de bolhas. Uma das formas de
amenizar escoamentos turbulentos é diminuir o diâmetro da tubulação, o que nem sempre é
possível, por questões de projeto. Se fosse possível aumentar a velocidade do �uido, também
m3
s
kg
s
N
s
Disciplina
Fenômenos de Transporte
diminuiríamos o Número de Reynolds e o escoamento turbulento. A velocidade nem sempre é
controlável, principalmente em turbinas de usinas.
A forma mais plausível de diminuir os efeitos da cavitação é escolher materiais mais resistentes,
capazes de vencer o poder de erosão da água, além de manutenções periódicas.
Estudar a magnitude do número de Reynolds é importante para aplicações como essas
apresentadas, na engenharia.
Suponha que temos água sendo escoada por uma tubulação de diâmetro D = 0,1 m, com
, , e que escoa a uma velocidade de 2 m/s  Como
poderíamos determinar o valor do Número de Reynolds nesse caso e dizer se o escoamento é
laminar ou turbulento?
Para isso, temos inicialmente determinar o Número de Reynolds através da relação:
 
Assim:
 
Como o valor encontrado é muito maior que 2400, temos aqui um escoamento turbulento.
Em uma outra situação você se depara com a necessidade de calcular o tempo necessário para
encher um tanque de 8000 litros de água que escoa com uma velocidade de  através de
uma tubulação cuja saída possui área de . Para a solução desse caso, é necessário
utilizar as relações de vazão volumétrica com tempo e com velocidade e com área.
A representação esquemática desse sistema está apresentada na Figura 4.
ρ = 1.000  kg
m3 μ = 0,001 Pa (Pa = N×s
m2 )
Re = ρvD
μ
Re =
1.000  kg
m3 ×2 m
s
×0,1 m
0,001  N×s
m2
= 200.000
4 m/s
0,1 m2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 4 | Representação esquemática de um tanque de 8000 litros. Fonte: adaptada de Brunetti (2008).
Para resolver esse caso, primeiramente devemos transformar o volume em metros cúbicos, para
trabalharmos dentro do Sistema Internacional de Unidades.
É conhecido, para a água, que:
Assim, precisamos encher o tanque com . Aplicando as relações de vazão volumétrica,
temos que:
Logo:
Dessa forma, obtemos o valor do tempo necessário para encher o tanque com 8000 L, que é 40
segundos.
Observe que, devido a uma velocidade de escoamento elevada e um diâmetro pequeno, o tempo
foi baixo. Podemos também calcular a vazão volumétrica, utilizando as mesmas relações:
Aqui também temos uma vazão relativamente elevada.
Uma observação importante na aplicação das relações de vazão, é imaginar ou até esboçar a
situação �sicamente. Por exemplo, um caso clássico é não memorizar que um metro cúbico de1 m3 = 1000 L
8 m3
Q = V
t = v × A
8 m3
t = 2 m
s × 0,1 m3 
Q = V
t = 8 m3
40 s = 0,2  m
3
s
Disciplina
Fenômenos de Transporte
água é mil litros, mas imaginar uma caixa d’água com 1000 litros e entender que temos 1 metro
cúbico de água nela.
Videoaula: Escoamento de um �uido
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Nesta aula, você irá compreender a diferença entre um escoamento laminar de outro turbulento e
perceber a transição que existe entre eles. Esta distinção pode ser determinada por meio do
Número de Reynolds. A importância de saber se um escoamento é laminar ou turbulento pode
determinar o tempo de vida de uma estrutura hidráulica, por exemplo. Outro assunto importante
é o estudo da vazão, que pode ser volumétrica – a mais comum, vazão em massa e vazão em
peso. As relações da vazão permitem o cálculo da velocidade de escoamento, que são
importantes para diversas outras aplicações em fenômenos de transporte. Bons estudos!
Saiba mais
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Para aprofundar ainda mais seus estudos em fenômenos de transporte e o estudo do
escoamento dos �uidos, recomendo a leitura sobre cavitação e a relação com a pressão de
vapor, responsável pelas bolhas de cavitação que causam erosão em tubos e turbinas. Para isso,
acesse as páginas 41 a 43 do livro Mecânica dos Fluidos, de Çengel e Cimbala.
Referências
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. São Paulo: Pearson, 2008.
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos. Porto Alegre: Grupo A, 2015. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/. Acesso em: 18 jul. 2023.
FOX, R. W. et al. Introdução à mecânica dos �uidos. 9. ed. Barueri: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/. Acesso em: 18 jul.
2023.
LIGHTFOOT, N. R.; BIRD, R. B.; STEWART, W. E. Fenômenos de transporte. 2. ed. Barueri: Grupo
GEN, 2004.  Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-1923-
9/. Acesso em: 4 ago. 2023.
Aula 4
Cinemática dos �uidos
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Introdução
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Vamos estudar os conceitos relacionados ao
escoamento unidimensional, em que a velocidade é constante em toda a seção de escoamento.
Junto com este estudo temos o conceito de escoamento permanente, onde não há variação de
propriedades do �uido na seção. Se não há variação de propriedade em cada seção, podemos
enunciar a equação da continuidade, no qual o valor da vazão volumétrica se mantém, o que
permite calcular velocidades em seções diferentes e ver como se aplica este fenômeno em
tubos de Venturi e placas de orifício, por exemplo. Bons estudos para você!
Conceitos de escoamento unidimensional e equação da continuidade
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Quando utilizamos apenas uma coordenada cartesiana para descrever um escoamento, dizemos
que ele é unidimensional, em que apenas esta única coordenada é su�ciente para descrever o
movimento do �uido (Figura 1). Nos escoamentos unidimensionais, a velocidade se é a mesma
em cada seção do tubo ou do conduto.
Figura 1 | Escoamento unidimensional. Fonte: Brunetti (2008, p. 68).
Em outras palavras, aqui serão estudados os escoamentos em apenas um dos eixos. No caso da
Figura 1, a velocidade vx está na direção x apenas, e se formos escolher outras seções do
conduto, teremos velocidades diferentes, porém sem variação ao longo da sua seção (Brunetti,
2008). Aqui temos uma simpli�cação prática, pois devido à viscosidade dinâmica do �uido, a
camada deste que �ca em contato direto com as paredes do tubo apresenta o que é chamado de
princípio da adesão. As camadas subjacentes a esta primeira terão velocidades diferentes, até o
ponto mais distante da parede do tubo que atingirá a velocidade máxima. Para esse caso, em
Disciplina
Fenômenos de Transporte
que se considera o princípio da adesão, a viscosidade absoluta do �uido e um per�l de
velocidade que varia de acordo com a distância da parede do tubo, temos os escoamentos
bidimensionais (Figura 2), onde a variação ocorre em duas direções e tridimensionais, em três
direções.
Figura 2 | Representação esquemática do escoamento bidimensional. Fonte: adaptada de Brunetti (2008, p. 71).
O regime de escoamento de um �uido pode ser classi�cado como transiente ou permanente.
Quando as condições do �uido em alguns pontos ou em um conjunto de pontos deste variam
com o tempo, temos o que chamamos de regime variado. As condições podem ser velocidade,
pressão, massa especí�ca, entre outras.
No regime permanente, que será utilizado aqui, temos que as propriedades do �uido não variam
em um ponto ou conjunto de pontos em função do tempo. De acordo com Brunetti (2008), para
um mesmo instante, dois pontos ou dois conjuntos de pontos de um �uido podem apresentar
propriedades diferentes que não podem variar com o tempo. Como exemplo, considere o
reservatório que escoa um líquido por sua tubulação, mantendo seu nível constante (Figura 3).
Isso é possível pois temos o abastecimento externo, que mantém o nível na seção (1) constante,
o que garante também que a quantidade de água que sai na seção (2) por igual intervalo de
tempo é a mesma que chega em (1), o que prova que a velocidade se mantém constante, e não
alterações nas propriedades do �uido, ou seja, temos um exemplo de regime permanente.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 3 | Escoamento permanente em um tanque. Fonte: adaptada de Brunetti (2008, p. 68).
Em um tubo ou conduto no qual temos regime permanente, mesmo com diferentes valores de
determinadas propriedades do �uido, a vazão em massa entre dois pontos não pode variar,
inclusive porque dentro do volume de controle, não pode haver perda de massa lateral nesse tipo
de regime (Çengel e Cimbala, 2015).  Se o �uido for incompressível, podemos considerar que a
vazão em massa (Qm) e volumétrica (Q) na seção (1) será a mesma. A partir desse conceito,
chegamos à equação da continuidade, em que a soma das vazões de entrada de um sistema,
sem �uxo lateral de massa, é igual à soma das vazões de saída deste mesmo sistema. A partir
da equação da continuidade, é possível determinar a velocidade de escoamento e de saída em
placa de orifício, além do tubo de Venturi, que é utilizado para medir a pressão no escoamento de
um �uido por um tubo com áreas diferentes (Fox et al., 2018).
Equação da continuidade para regime permanente e equacionamento em
orifícios, bocais e tubos de Venturi
Disciplina
Fenômenos de Transporte
De acordo com Brunetti (2008): “seja a vazão em massa na seção de entrada Qm1 e na saída
Qm2. Para que o regime seja permanente, é necessário que não haja variação de propriedades,
em nenhum ponto do �uido com o tempo”. A Figura 4 mostra como isso ocorre em um tubo de
corrente com destaque para duas seções de áreas diferentes.
Figura 4 | Representação esquemática de um tubo com entrada e saída diferentes. Fonte: adaptada de Çengel e Cimbala
(2015, p. 255).
Disciplina
Fenômenos de Transporte
A partir da Figura 4, considerando que o �uído é incompressível e que não há �uxo de massa
lateral, por todo o volume do conduto, a vazão do �uido na seção (1) deverá ser a mesma que a
vazão na seção (2):
Sabendo que a vazão volumétrica é calculada a partir do produto da velocidade pela área da
seção, temos que (aqui vamos considerar a velocidade escalar em cada uma das seções):
Pode-se entender, pela equação anterior, que se a área 1 é maior que a área 2, então tanto
�sicamente quanto matematicamente, chegamos àconclusão de que a velocidade 1 será menor
que a velocidade 2, para que se mantenha a igualdade e a igualdade da vazão. Essa equação é a
forma mais simples da equação da continuidade para um regime permanente. Quando um
reservatório possui duas entradas e três saídas, como mostra a Figura 5, temos que a equação
da continuidade é obtida mediante as somas das vazões de entrada e saída.
Figura 5 | Reservatório com mais de uma entrada e mais de uma saída. Assim, podemos calcular o sistema da Figura 5 da
seguinte forma:
Assim, podemos calcular o sistema da Figura 5 da seguinte forma:
Desenvolvendo para o sistema de duas entradas e três saídas:
Outra situação é quando temos tubos com diâmetros constantes, o que é muito comum na
construção civil com as tubulações de PVC para água. Nesse caso, considerando a água como
Q1 = Q2
v1 × A1 = v2 × A2
∑Qentrada = ∑Qsaída
v1 × A1 +  v2 × A2 = v3 × A3 + v4 × A4 + v5 × A5
Disciplina
Fenômenos de Transporte
um �uido incompressível, não utilizamos a massa especí�ca para os cálculos, então:
Como A entrada é igual a A saída, então:
Mas se um conduto transportar, por exemplo, um �uido compressível, como um determinado
gás, consideramos a massa especí�ca em cada uma das seções. Então:
Para o caso de um tubo de Venturi, que é um tubo convergente-divergente, se considerarmos que
o �uido que passa por ele é incompressível, podemos, por exemplo, calcular a velocidade do
�uido na garganta pela equação já apresentada  , em que geralmente é
instalado um manômetro para a medição de pressão.
Figura 6 | Tubo de Venturi. Fonte: adaptada de Brunetti (2008, p. 76).
Semelhantemente para o cálculo da vazão ou da velocidade em placas de orifício e bocais
convergentes e divergentes, deve-se considerar as áreas das seções analisadas. Aqui vale
ressaltar as diferenças, como mostra a Figura 7.
ventrada × Aentrada = vsaída × Asaída
ventrada = vsaída
ventrada × Aentrada × ρgas,  entrada = vsaída × Asaída×ρgas,  entrada
v1 × A1 = v2 × A2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 7 | Representação esquemática do escoamento em uma placa de orifício.
Aplicações da equação da continuidade para regime permanente
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Para que possamos entender de uma forma mais prática o uso da equação da continuidade,
vamos aplicá-la em casos do cotidiano. A equação da continuidade pode ser utilizada para
calcular, por exemplo, a velocidade de saída de água de torneiras de espaços públicos em que se
deseja reduzir o consumo de água. Nesse caso, as torneiras são substituídas por torneiras do
tipo chuveirinho, com furos. Com uma menor vazão e, portanto, menor volume de água, e com
menor área de saída, a velocidade aumenta dando a sensação de que o volume de água que sai
pelos furos da torneira é maior do que o real (Figura 8).
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 8 | Exemplo de torneira com redução de saída de água. Fonte: Pixabay.
Para um estudo comparativo, vamos considerar duas situações – com e sem redutor de área de
saída – e calcular a velocidade de saída da torneira. Para isso, considere que a torneira de água é
abastecida por uma caixa d’água, cujo nível se mantém constante com o tempo. Podemos
considerar essa caixa d’água como um “reservatório de grandes dimensões” e o escoamento
como permanente.
A velocidade de saída de água no reservatório é feita por um tubo de 50 é de 2 m/s. Se a
tubulação na saída da torneira comum possui 0,00127 m, podemos descobrir qual a velocidade
de saída da água:
Pela equação da continuidade e considerando que a água é um �uido incompressível:
Assim, sabendo que  , e transformando as medidas em milímetros para centímetros,
temos:
 
Substituindo os valores fornecidos e simpli�cando os termos equivalentes, segue que:
 
Dessa forma obtemos o valor de v2 = 6,86 m/s.
v1 × A1 = v2 × A2
A = πD2
4
v1 ×
πD2
1
4 = v2 ×
πD2
2
4
2 m/s × (0,05 m)2 = v2 × (0,0127 m)2
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Com a mesma instalação, a área de saída de água da torneira foi reduzida para 0,0001 m². Nesse
caso esperamos que a velocidade da água aumente, o que possibilitará diminuir a vazão de
entrada.
Para calcular a velocidade de saída, considerando a mesma vazão, temos que:
Então:
Aqui obtemos então que v2 = 39,27 m/s, conforme esperado, maior do que no caso inicial.
Vamos também analisar o caso do tubo de Venturi. De acordo com Çengel e Cimbala (2015), o
tubo de Venturi, junto com a placa de orifício e os bocais convergentes e divergentes, são
medidores de vazão de gases e de líquidos, por obstrução, justamente porque há uma redução
no diâmetro do tubo ou do conduto. Considere o tubo de Venturi da Figura 9, em que há duas
seções, e consequentemente, áreas notáveis: Ae, que é a área de entrada e AG, que é a área da
garganta, da obstrução. Considerando o ar da atmosfera, um gás compressível, na área da
garganta, podemos determinar a velocidade nessa área de obstrução, com os seguintes dados:
,  , velocidade de entrada de 5 m/s e sabendo que a área da
garganta é metade da área de entrada.
Figura 9 | Tubo de Venturi por onde passa ar atmosférico.
Aplicando a equação da continuidade para �uidos compressíveis, temos:
Assim, o valor de vG = 13,33 m/s.
A aplicação do tubo de Venturi se completa quando é acoplado a ele um ou mais manômetros
(Figura 10), que por meio de outros conceitos, nos permite determinar a vazão, e com esses
v1 ×
πD2
1
4 = v2 × A2
2  ms × π(0,05 m)2
4 = v2 × 0,0001 m2
ρe = 1,2 kg/m3 ρG = 0,9 kg/m3
ρe × v1 × A1 = v2 × A2 × ρe
1,2 kg/m3 × 5 m/s × Ae = 0,9 kg/m3 × v2 × 0,5Ae
Disciplina
Fenômenos de Transporte
valores de vazão, dimensionar tubulações, especi�car os materiais dos tubos e condutos, entre
outros projetos de engenharia.
Figura 10 | Tubo de Venturi com manômetro acoplado. Fonte: adaptada de Brunetti (2008, p. 89).
Videoaula: Cinemática dos �uidos
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Nesta aula, você irá estudar cinemática dos �uidos, ou seja, entender como funcionam os �uidos
em movimento, tanto para �uidos compressíveis, como para �uidos incompressíveis, ou seja,
que não tem sua massa especí�ca alterada durante o escoamento. Também verá o conceito de
escoamento permanente, onde as propriedades do �uido não mudam com o tempo. A equação
da continuidade, que utiliza o conceito de vazão constante, é muito útil para calcular a velocidade
em pontos especí�cos do tubo ou conduto, além de ser aplicável à medidores de vazão, muito
úteis em engenharia, como o tubo de Venturi. Vamos lá? Bons estudos!
Saiba mais
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante! Para aprofundar ainda mais seus estudos em fenômenos de transporte e o
estudo da cinemática e do escoamento permanente de �uidos, recomendo a leitura do texto que
se encontra na página 393, do livro Mecânica dos Fluidos, de Çengel e Cimbala.
O texto traz de forma fácil e com imagens, os três exemplos de medidores de vazão por
obstrução: medidor de orifício, medidor de bocal e medidor ou tubo de Venturi. 
Referências
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/
Disciplina
Fenômenos de Transporte
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. São Paulo: Pearson, 2008.
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos. Porto Alegre: Grupo A, 2015. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/. Acesso em: 18 jul. 2023.
FOX, R. W. et al. Introdução à mecânica dos �uidos. 9. ed. Barueri: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/. Acesso em: 18 jul.
2023.
Aula 5
Revisão da Unidade
Principais propriedades, estática e cinemática dos �uidos
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/
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Disciplina
Fenômenos de Transporte
Compreender as principais propriedadesdos �uidos e utilizá-las em aplicações como �uidos em
equilíbrio estático e suas aplicações em sistemas hidráulicos em engenharia, e compreender as
características dos escoamentos, sejam eles laminares ou turbulentos, além de entender o que é
um escoamento permanente com vazão constante são competências fundamentais para você
se aprofundar no estudo de fenômenos de transporte de massa, no caso, �uidos.
Das características fundamentais dos �uidos, temos a capacidade de estes tomar a forma do
recipiente (Figura 1). Isso se deve ao cisalhamento entre as camadas do �uido (Brunetti, 2008).
Figura 1 | Representação esquemática de um sólido e dos �uidos. Fonte: adaptada de Brunetti (2008, p. 1).
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Para �uidos chamados newtonianos, a viscosidade dinâmica  , dada em N.s/m2, é um termo
que não varia para o mesmo �uido e que traz proporcionalidade na seguinte relação:
onde  é a tensão de cisalhamento, em N/m2,  é a força transversal, que causa o cisalhamento
entre as camadas, em Newtons, A é a área, em m2, v é a velocidade da placa móvel no modelo de
duas placas (uma �xa e outra móvel), com o �uido estudado entre elas, e  é a distância entre as
placas ou espessura da camada de �uido, em metros.
Outras duas propriedades importantes a se destacar são a massa especí�ca (da qual obtemos o
peso especí�co), e a viscosidade cinemática, utilizada nos estudos de cinemática de �uidos.
Os �uidos podem apresentar-se em equilíbrio estático, e quando se encontram dessa forma, são
estudados dentro da Estática dos Fluidos. Além da pressão média p (em N/m2) sobre uma
superfície de área A (em m2), dois assuntos são importantes e merecem destaque, pois servem
como ferramentas para projetos em Engenharia:
Princípio de Stevin, que diz que a pressão aumenta com a profundidade z (em metros):
Aqui temos o termo , em N/m3, que é o peso especí�co. Isso quer dizer que �sicamente um
corpo sofrerá maior pressão com o aumento da profundidade e com o aumento do peso
especí�co.
Lei de Pascal, cujo enunciado, segundo Brunetti (2008), diz que a pressão aplicada em um ponto
do �uido se distribui integralmente a todos os pontos desse �uido. Dessa forma, podem ser
construídos sistemas hidráulicos que ampli�cam a força aplicada em uma das extremidades,
para poder elevar pesos maiores na outra extremidade (Figura 2), pois há a proporcionalidade:
F1/A1 = F2/A2.
μ
τ = Ft
A = μ v
ε
τ Ft
ε
Δp = γΔz
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 2 | Sistema Hidrostático com aplicação da Lei de Pascal.
Aqui também você analisará conceitos de cinemática dos �uidos, onde se destacam:
Reynolds e o comportamento do escoamento: por meio de trabalhos experimentais, Reynolds
chegou a um adimensional para classi�car o escoamento em laminar, de transição e turbulento.
Os escoamentos podem ser variáveis e permanentes, aqui você estudará os escoamentos
permanentes, onde em uma determinada seção as propriedades dos �uidos não se alteram.
Com o conceito de vazão volumétrica, que é, �sicamente, o volume de �uido que passa por uma
determinada seção transversal em um período de tempo t, podemos chegar à equação da
continuidade, onde há a conservação de massa, o que possibilita o cálculo de velocidade de
escoamento em pontos de redução ou aumento de área de um tubo por onde este �uido escoa.
Videoaula: Revisão da Unidade
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O vídeo apresenta uma revisão sobre as propriedades de um �uido. Em estática dos �uidos,
estudamos a pressão e sua variação com a profundidade – o Princípio de Stevin, e a Lei de
Pascal. Em Cinemática de Fluidos, pelo Número de Reynolds, determina-se a característica de
um escoamento. Estudaremos os escoamentos permanentes de �uidos incompressíveis, vazão
Disciplina
Fenômenos de Transporte
volumétrica e equação da continuidade. Te convido a assistir o vídeo como forma de você rever e
se aprofundar. Bons estudos!
Estudo de caso
     Você é uma pessoa que possui o cargo elevado na Engenharia de Projetos de uma
multinacional inovadora, na área de turismo subaquático, que resolveu começar suas operações
no Brasil, com seus mais de 7.000 quilômetros de litoral, além dos muitos rios navegáveis
utilizados inclusive para o turismo. Para tanto, você e sua equipe devem desenvolver um
submarino que permita suportar a pressão do local mais profundo, dentro da área marítima
pertencente ao Brasil, pois não podemos navegar em águas internacionais, o que incorreria em
maior burocracia e custos de operação. O submarino também deve ser capaz de suportar os
locais mais profundos dos rios navegáveis. A parede do submarino é feita de �bra de carbono
com algumas janelas transparentes em policarbonato.
Supondo que a maior profundidade em águas marítimas brasileiras é de aproximadamente 6000
metros, e supondo também que a maior profundidade em águas �uviais é de 100 metros,
determine a pressão que o casco e as janelas terão que suportar em cada caso e discuta se a
construção de tal submarino é viável.
Trace considerações sobre o formato do submarino, bem como outras questões de segurança
que considerar importantes. Temos aqui pesos especí�cos diferentes para água do mar e água
�uvial. Para águas marítimas, considere , e para águas �uviais,
.
γ = 10.050 N/m3
γ = 10.000 N/m3
Disciplina
Fenômenos de Transporte
______
Re�ita
Olá, estudante! Depois de apresentarmos todos esses conceitos de propriedades dos �uidos,
pressão, teorema de Stevin, escoamento laminar e turbulento e equação da continuidade, pare e
re�ita como simples conhecimentos e suas aplicações são importantes para grandes projetos
em Engenharia, bem como para a segurança do ser humano, como um projeto de um submarino,
um navio, um carro ou um avião.
Videoaula: Estudo de caso
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A primeira consideração é que conceitos relativamente simples dentro da engenharia podem ser
determinantes e fundamentais para permitir a construção de projetos como um submarino, e
trazer segurança para a tripulação.
Outra consideração é que os materiais empregados devem ser de alta qualidade e resistência
mecânica, certi�cados e testados.
Também é importante observar que janelas e outras aberturas precisam ter cantos
arredondados, que aumentam a resistência mecânica e diminuem cantos vivos. O mesmo com o
formato cilíndrico da embarcação, semelhante a vasos de pressão, cilindros de gás e até aviões.
Para o caso marítimo:
Observe que a pressão é tão elevada, que torna o projeto inviável (teríamos 600 vezes a pressão
atmosférica atuando sobre o submarino. Uma possibilidade de solução é veri�car qual a maior
profundidade pode ser alcançada.
Para o caso �uvial:
Observe que a pressão é elevada, mas o projeto é viável, com a pressão obtida igual a dez vezes
a pressão atmosférica. O desa�o agora seria de�nir uma profundidade máxima marítima, o que
deve ser conversado com a presidência da empresa.
p (Pa) =  γ ( N
m3 ) × profundidade (m)
p =  10.050 ( N
m3 ) × 6000 (m) = 60.300.000 Pa = 60 MPa
p (Pa) =  γ ( N
m3 ) × profundidade (m)
p =  10.000 ( N
m3 ) × 100 (m) = 1.000.000 Pa = 1 MPa.
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Resumo Visual
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Figura 3 | Fenômenos de transporte – Estática e cinemática dos �uidos
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Referências
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. São Paulo: Pearson, 2008.
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos. Porto Alegre: Grupo A, 2015. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/. Acesso em: 12 ago. 2023.
FOX, R. W. et al. Introdução à mecânica dos �uidos. 9. ed. Barueri: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/.Acesso em: 12 ago.
2023.
WHITE, F. M. Mecânica dos �uidos. Porto Alegre: Grupo A, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556070/. Acesso em: 12 ago. 2023.
,
Unidade 2
Equação da energia e escoamento externo
Aula 1
Equação de Bernoulli
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580554915/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635000/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556070/
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Olá, estudante!
A mecânica dos �uidos tem por objetivo aprofundar seus conhecimentos sobre �uidos, que são
substâncias no estado líquido ou gasoso com a característica principal de se deformarem
facilmente quando submetidos à tensão de cisalhamento. Os �uidos são fundamentais dentro
das empresas, o que torna necessário o estudo do seu comportamento físico e as leis que o
regem.
A mecânica dos �uidos pode ser considerada uma ciência fundamental em diversas vertentes da
engenharia; tem aplicação prática em muitas situações, como escoamentos em tubulações,
pressões em barragens, deslocamento de �uidos e até mesmo na aerodinâmica (a�nal, o próprio
ar atmosférico é um �uido). A equação de Bernoulli é a principal equação dos estudos da
mecânica dos �uidos e explica, por exemplo, como os aviões mantêm-se no ar. Dessa forma,
esperamos que você consiga relacionar os conteúdos aqui apresentados com o seu dia a dia e
possa contribuir para a melhor compreensão dos processos industriais.
Bons estudos!
Tipos de energia
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Antes de abordarmos a equação de Bernoulli, é necessário abordarmos as de�nições de balanço
de energia e os tipos de energia que podemos encontrar em um sistema (quantidade de matéria,
com massa e identidades �xas, à qual nossa atenção é dirigida e que é delimitada �sicamente
por superfícies geométricas arbitrárias reais ou imaginárias, �xas ou móveis).
Apesar de ser tão presente no nosso dia a dia, o conceito de energia não é facilmente de�nido,
porque é muito abrangente. Com isso, mostra-se muito abstrato e de difícil explicação.
Entretanto, sabemos que a energia é fundamental para o funcionamento de diversos sistemas.
Por esse motivo, devemos começar esse tópico pelo enunciado do princípio de conservação da
energia: a primeira lei da termodinâmica. Durante um processo, para um sistema isolado, a
energia não pode ser criada nem destruída, apenas transformada. Um sistema fechado, por sua
vez, pode perder ou ganhar energia do meio que o envolve. Assim, é razoável escrever a seguinte
equação para o balanço de energia de um sistema:
Em que é a taxa de energia que entra no sistema; é a taxa de energia que sai dele e
 é a taxa de variação de energia total nele. No regime permanente, a variação de energia
no tempo será nula (como visto na Unidade 1, Aula1). Então, a Equação (01) pode ser
simpli�cada, conforme podemos observar na Equação (02).
Essa entrada e saída de energia do sistema pode ocorrer de diversas maneiras, já que existem
diferentes formas de energia, tais como a potencial, a cinética e a de pressão. Além disso, a
energia pode ser transformada, ou convertida, de uma forma a outra.
Ėentra − Ėsai = dEsistema
dt
Ėentra Ėsai
dEsistema
dt
Ėentra = Ėsai
Disciplina
Fenômenos de Transporte
A energia potencial (EP) é a medida do potencial de o �uido realizar trabalho, e é dependente da
posição que esse �uido ocupa (altura – z) no centro gravitacional (gravidade – g), bem como de
sua massa (m), conforme Equação (03) a seguir:
A energia cinética (EC) é aquela associada ao movimento (nesse caso, o movimento dos �uidos),
ou seja, que está relacionada à velocidade de escoamento do �uido (v). Pode ser avaliada de
acordo com a Equação (04).
Por �m, o último tipo de energia que vamos abordar é a energia de pressão (EPr). Este tipo de
energia se apresenta de uma forma muito semelhante à energia potencial, sendo também
possível analisar o trabalho potencial das forças de pressão atuantes durante o escoamento de
um �uido. É descrita pela Equação (05).
Chamamos de energia mecânica todas as formas de energia relacionadas com o movimento de
corpos ou com a capacidade de colocá-los em movimento ou deformá-los. Assim, a energia
mecânica total (EM) de um sistema de �uido consiste na somatória das energias associadas a
ele, excluindo-se as energias térmicas e mantendo apenas as causadas por efeitos mecânicos. 
O resultado é a Equação (06).
Esses conceitos de energia são fundamentais para o entendimento da equação de Bernoulli.
Equação de Bernoulli
EP = m. g. z
EC = m.v2
2
E ∫
V
pdV
Pr
EM = EP + EC + EPr
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Com as de�nições de energia apresentadas anteriormente, podemos prosseguir para a de�nição
da equação de Bernoulli. Como se trata de uma equação que é, essencialmente, um balanço de
energia entre dois pontos de um escoamento, a equação de Bernoulli é chamada de equação da
energia – mas o que ela fornece é a carga total do escoamento (H). Para de�nir esta equação,
são usadas diversas hipóteses simpli�cadoras para facilitar a interpretação dos problemas.
Naturalmente, simpli�car o problema tende a produzir resultados cada vez mais distantes da
realidade; por isso, a importância desta equação se dá por dois aspectos: primeiro, apresenta
grande signi�cado conceitual sobre o escoamento de um �uido; e, segundo, serve como etapa
inicial para a elaboração de uma equação geral da energia mais rigorosa e detalhada.
Seis hipóteses devem ser consideradas. São elas:
1. O sistema está em condição de regime permanente (é aquele em que as propriedades do
�uido são invariáveis em cada ponto com o passar do tempo).
2. O �uido em estudo é ideal (viscosidade nula e, consequentemente, sem perdas por atrito).
3. O �uido em estudo é incompressível (massa especí�ca constante).
4. Não existe trocas de calor no sistema.
5. Não há trabalho de eixo, ou seja, não existem bombas, turbinas, ventiladores ou outros
dispositivos que realizem trabalho (positivo ou negativo) no sistema.
�. As propriedades permanecem uniformes nas seções do escoamento.
Substituindo a Equação (06) na Equação (02) e depois cada item da Equação (02) pelas
Equações (03), (04) e (05), e considerando a entrada do sistema como (1) e a saída como (2),
obtemos a Equação (07).
Disciplina
Fenômenos de Transporte
Aplicando as hipóteses simpli�cadoras (�uido ideal, �uido em estado incompressível e
propriedades uniformes nas seções do escoamento), a Equação (07) pode ser simpli�cada na
Equação (08).
Na prática, a Equação (08) já é a equação de Bernoulli. No entanto, podemos fazer mais uma
simpli�cação, que consiste em dividir a equação de Bernoulli pela gravidade (g) e utilizar a
relação do peso especí�co, de�nido como γ = ρ.g. Dessa forma, obtém-se a Equação (09).
A equação de Bernoulli é uma declaração matemática de que o trabalho realizado sobre uma
partícula por todas as forças que atuam sobre ela é igual à variação da energia cinética da
partícula.
É importante destacar: pode-se a�rmar que a equação de Bernoulli nesta forma calcula a carga
total (H) do escoamento. Dessa forma, essa equação a�rma que a soma da carga de pressão, da
carga de velocidade e da carga de elevação é constante ao longo de uma linha de corrente, o que
é demonstrado pelas Equações (10) e (11).
Embora apresente inúmeras aplicações, alguns problemas de escoamento podem invalidar o uso
da equação de Bernoulli, sendo os principais: os efeitos de compressibilidade (comuns em
escoamento de gases, quando existem grandes diferenças de pressão), efeitos rotacionais (a
equação de Bernoulli descreve o movimento de partículas �uidas ao longo da linha de corrente –
se as partículas giram em torno da linha de corrente, então a Bernoulli não é mais válida), efeitos
instáveis (escoamentos não estacionários, que variam com o tempo).
Vamos agora ver alguma das aplicações da equação de Bernoulli.
Aplicações da equação de Bernoulli
Ė1 = Ė2
EP1 + EC1 + EPr1 = EP2 + EC2 + EPr2
m1. g. z1