MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA

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MECÂNICA DOS FLUIDOS
E HIDRÁULICA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Maria Albertina Ferreira do 
Nascimento
Diretoria EAD:
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Fernando Sachetti Bomfim
Marta Yumi Ando
Simone Barbosa
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Cristiane Alves
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande 
responsabilidade sobre as escolhas que 
fazemos, e essas nos guiarão por toda a vida 
acadêmica e profissional, refletindo diretamente 
em nossa vida pessoal e em nossas relações 
com a sociedade. Hoje em dia, essa sociedade 
é exigente e busca por tecnologia, informação 
e conhecimento advindos de profissionais que 
possuam novas habilidades para liderança e 
sobrevivência no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino a 
Distância, a proporcionar um ensino de qualidade, 
capaz de formar cidadãos integrantes de uma 
sociedade justa, preparados para o mercado de 
trabalho, como planejadores e líderes atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................4
1. UNIDADES, DIMENSÕES E ANÁLISE DIMENSIONAL ...........................................................................................5
2. HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL ....................................................................................................................... 10
3. DEFINIÇÃO DE FLUIDO E CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM MECÂNICA DOS FLUIDOS ................................ 13
4. ESTÁTICA DOS FLUIDOS .........................................................................................................................................27
4.1 PRESSÃO, LEI DE STEVIN E PRINCÍPIO DE PASCAL .........................................................................................27
4.2 MANOMETRIA E APLICAÇÕES ............................................................................................................................34
MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA
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INTRODUÇÃO
A mecânica dos fluidos é a ciência que analisa o comportamento dos fluidos em repouso 
ou em movimento. O seu conhecimento e sua compreensão são de fundamental importância em 
muitas engenharias, meteorologia, oceanografia, hidrologia e outras. A mecânica dos fluidos é 
de fato uma disciplina muito importante e de alta tecnologia, pois nos últimos 50 anos permitiu 
o desenvolvimento de muitos campos dentro da engenharia e fora dela. Os engenheiros usam a 
mecânica dos fluidos para o projeto de bombas, compressores, turbinas, sistemas de processos, 
equipamentos de resfriamento e calefação, projeto de turbinas eólicas e no projeto de dispositivos 
de aquecimento solar.
A mecânica dos fluidos se divide em três áreas: a hidrostática – que estuda as forças que 
atuam num fluido em repouso; a cinemática dos fluidos – que estuda a geometria do movimento 
do fluido; e a dinâmica dos fluidos – que estuda as forças que causam a aceleração do fluido.
Nesta primeira unidade, vamos discutir os conceitos básicos em mecânica dos fluidos, 
bem como os principais conceitos em estática dos fluidos. Nesse sentido, nossos objetivos nesta 
unidade são: definir fluido; definir e aplicar algumas propriedades importantes como massa 
específica, peso específico, tensão superficial e viscosidade; apresentar as diversas formas de 
medir pressão; medir pressão em fluidos estáticos e calcular forças hidrostáticas.
Convido-o a efetuar uma leitura minuciosa desta unidade e, em seguida, resolver os 
exercícios propostos. Seja bem-vindo e bons estudos.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
1. UNIDADES, DIMENSÕES E ANÁLISE DIMENSIONAL
Uma grandeza física é uma propriedade de um corpo, ou particularidade de um 
fenômeno, passível de ser medida, e ainda se pode atribuir um valor numérico. A medição de 
uma grandeza pode ser efetuada por comparação direta com um padrão ou com um aparelho de 
medida (medição direta), ou ser calculada, por meio de uma expressão conhecida, à custa das 
medições de outras grandezas (medição indireta). 
Uma dimensão é uma medida de uma grandeza física (sem os valores numéricos) e a 
unidade é uma forma de atribuir um número a essa dimensão. A Tabela 1 apresenta as dimensões 
primárias (ou dimensões fundamentais).
Tabela 1 – As dimensões primárias e suas unidades.
Dimensão Símbolo Unidades SI Unidade inglesa
Massa M kg (quilograma) lb (libra)
Comprimento L m (metro) ft (pé)
Tempo T s (segundo) s (segundo)
Temperatura k (kelvin) R (rankine)
Corrente elétrica I A (ampère) A (ampère)
Quantidade de luz C cd (candela) cd (candela)
Quantidade de matéria N mol mol
Fonte: O autor. 
Exemplo 1
A velocidade (V) de um objeto é dada pela razão entre o deslocamento do objeto em 
determinado tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido o objeto 
se desloca. Usando colchetes [ ] para denotar “a dimensão de”, a dimensão da grandeza 
velocidade é Já a aceleração (a) é a grandeza que determina a variação da 
velocidade em relação ao tempo. Em outras palavras, ela indica o aumento ou a diminuição 
da velocidade com o passar do tempo. Assim, a dimensão da grandeza aceleração é 
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Exemplo 2
Considere a Segunda Lei de Newton, que diz . Assim, temos que a grandeza força 
tem dimensão de .
Exemplo 3
O termo pressão é utilizado em diversas áreas da ciência como uma grandeza escalar que 
mensura a ação de uma ou mais forças sobre um determinado espaço, podendo este ser 
líquido, gasoso ou mesmo sólido. A pressão é uma propriedade intrínseca a qualquer 
sistema. Para problemas que envolvem gases e sólidos, a expressão matemática utilizada 
para expressar pressão é dada por: , em que F é a força normal e A é a área. Assim, 
temos que a grandeza pressão tem dimensão de .
Exemplo 4
Energia em engenharia é um conceito extremamente importante e representa a capacidade de 
produzir trabalho. Esse conceito também é usado em outras áreas científicas, como a biologia, 
física e química. Energia potencial é a energia que pode ser armazenada em um sistema físico e 
tem a capacidade de ser transformada em energia cinética. A energia potencial é a energia que 
corresponde ao trabalho que a força peso realiza. A energia potencial pode ser equacionada 
como , em que m é a massa do corpo, g é a aceleração gravitacional e h é a altura 
em que se encontra o objeto de massa m em relação a um nível de referência. Dessa forma, 
a dimensão de energia potencial é Por outro lado, a energia 
cinética é a forma de energia que os corpos em movimento possuem e é proporcional à massa 
e à velocidade da partícula que se move. A energia cinética é equacionada como 
, em que m é a massa do objeto,conservação. Dessa forma, toda massa que entra no sistema em (1) deve sair em (2). 
Figura 9 – Escoamento de fluido em tubulação e lei de conservação da massa. Fonte: Brunetti (2008).
 Esse fato fica equacionado como:
Eq. (10)
 Substituindo a Eq. (10), segue que
Eq. (11)
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Exemplo 10
Um gás escoa, em regime permanente, no trecho de uma tubulação, como apresentado na 
Figura 10. 
Figura 10 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Na seção (A), tem-se área igual a 20 cm2, massa específica 4 kg/m3 e velocidade igual a 30 m/s. 
Na seção (B), tem-se área igual a 10 cm2, massa específica 12 kg/m3. Qual a velocidade na seção 
(B)?
Solução: Admitindo regime permanente e aplicando a Eq. (11), segue que
Substituindo os valores apresentados no enunciado, temos 
Logo, a velocidade na seção B é igual a .
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Exemplo 11
Considere o escoamento de um fluido de processo industrial num tubo convergente-divergente, 
tal como o da Figura 11. Considerando-se o escoamento do fluido em regime permanente 
através do tubo de Venturi apresentado e que o índice 1 se refere à seção de entrada do tubo e 
o 2, à seção da garganta, tem-se para a velocidade na seção de entrada, em m/s,
Figura 11 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 12 (E) 18
Solução: Admitindo regime permanente, fluido incompressível e aplicando a Eq. (11), segue 
que
Como o fluido em apreço é incompressível, segue que sua massa específica não será modificada 
no escoamento. Assim, temos que
Daí,
Logo, a velocidade na seção 1 é igual a .
Para o sistema apresentado na Figura 7, caso este apresentasse n entradas e m saídas, a Eq. 
(11) fica reescrita como
Eq. (12)
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A Eq. (12) é conhecida como equação da continuidade ou lei da conservação da massa, 
e é sempre empregada quando o sistema em observação está em regime permanente.
Exemplo 12
A Figura 12 ilustra dois sistemas com múltiplos tubos. Com relação à vazão (Q) dos dois sis-
temas, verifica-se que
Figura 12 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
(A) Sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3; Sistema 2: Q=Q1+Q2+Q3; 
(B) Sistema 1: Q=Q1+Q2+Q3; Sistema 2: Q=Q1=Q2=Q3; 
(C) Sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3; Sistema 2: Q=(Q1+Q2+Q3)/3; 
(D) Sistema 1: Q=(Q1+Q2+Q3)/3; Sistema 2: Q=Q1=Q2=Q3; 
(E) Sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3; Sistema 2: Q=Q1=Q2=Q3; 
Solução: Para o sistema 1 de tubulações, temos três tubos em série e a vazão é igual nos três 
tubos. Assim, no sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3. Para o sistema 2 de tubulações, temos três tubos 
em paralelo. Admitindo que os diâmetros sejam iguais, temos que as vazões em cada ramo são 
iguais. Daí, para o sistema 2, Q=Q1+Q2+Q3. Portanto, responde à questão a alternativa (A).
As tubulações em série são formadas por trechos de características distintas e 
que são interligadas nas extremidades e conduzem vazão constante de um dado 
fluido. Por outro lado, as tubulações em paralelo são aquelas que possuem as 
extremidades de montante reunidas num só ponto e as de jusante, em outro ponto. 
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Exemplo 13
Um propulsor a jato queima 1,5 kg s de combustível quando o avião está na velocidade de 200 
, como ilustrado pela Figura 13. Considerando a massa específica do ar igual a 1,2 kg , 
dos gases de combustão de 0,5 kg e que, na figura, A1 = 0,45 m2 e A2 = 0,30 m2, determine 
a velocidade de saída dos gases de combustão (V2). 
Figura 13 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, a equação da continuidade 
para múltiplas entradas e saídas é escrita como
Como temos duas entradas e uma saída, a equação fica reescrita como:
em que os subíndices 1 e 2 denotam as entradas; 3 denota a saída. Como as massas específicas 
das duas entradas e da saída são distintas, não podemos simplificar a expressão acima. 
Substituindo os valores, segue que
Logo, a velocidade de saída dos gases de combustão é igual a .
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Exemplo 14
Considere o escoamento em estado estacionário de um fluido incompressível com massa espe-
cífica igual a 3,0 × 103 kg/m3 através de uma tubulação da Figura 14. Admitindo que as vazões 
mássicas nos pontos 2 e 3 (da figura abaixo) equivalem a 4,5 kg/s e 3 kg/s, respectivamente, 
determine a vazão volumétrica no ponto 1, em m3/h.
Figura 14 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Considerando o regime permanente, fluido incompressível e aplicando a Eq. (12), 
segue que
Aplicando a Eq. (09), segue que a vazão volumétrica é
Portanto, a vazão volumétrica no ponto é igual a .
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Exemplo 15
Considere o escoamento permanente de água em uma junção em T que une três tubos. As 
áreas das seções dos tubos são iguais a 0,15 m2, 0,2 m2 e 0,1 m2, respectivamente. Sabe-se, 
também, que: a água entra apenas pela seção de área 0,15 m2; há um vazamento para fora na 
junção com vazão volumétrica estimada em 0,05 m3/s; as velocidades médias nas seções de 
0,15 m2 e 0,1 m2 são de 15 m/s e 10 m/s, respectivamente. Qual o módulo da velocidade de 
escoamento no tubo de seção 0,2 m2, em m/s? 
(A) 1,5 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 6
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, a equação da continui-
dade para múltiplas entradas e saídas é escrita como
Como temos uma entrada e três saídas (a terceira saída é a perda devido ao furo), a equação 
fica reescrita como:
em que os subíndices 2 e 3 denotam saídas; 1 entrada; e p as perdas pelo vazamento. Como 
o fluido é o mesmo (água) e é incompressível, a equação acima é reescrita como:
Logo, a velocidade de saída na seção 2 é igual a e responde à questão a alternativa (E).
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Exemplo 16
(CESGRANRIO) Um fluxo de água de 8,0 litros/s entra em uma extremidade de uma tubulação 
de raio R. O fluxo se divide e sai por duas extremidades de raio R/2. Na saída 1, o fluxo é de 2,0 
litros/s, como ilustrado na Figura 15.
Figura 15 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Nessas condições, qual é a razão entre a velocidade na saída 2 e a velocidade na saída 1?
(A) 0,33 (B) 0,50 (C) 1,0 (D) 2,0 (E) 3,0
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, a equação da continuidade 
para múltiplas entradas e saídas é escrita como
Como temos uma entrada e três saídas (a terceira saída é a perda devido ao furo), a equação 
fica reescrita como:
em que os subíndices 1 e 2 denotam saídas; e denota a entrada. Como o fluido é o mesmo 
(água) e é incompressível, a equação acima é reescrita como:
Daí, a razão entre as velocidades 1 e 2 é calculada como na Eq. (06):
Observe que . Daí, Portanto, responde à questão a alternativa (E).
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Exemplo 17
Um fluido de processo industrial ( = 1000 kg/m³.) é descarregado do reservatório (1) para os 
reservatórios (2) e (3), como ilustrado na Figura 16.
Figura 16 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Sabendo-se que Q2 = 3/4Q3 e que Q1 = 10 l/s, determine:
A) os diâmetros das tubulações (2) e (3), sabendo-se que a velocidade de saída é v2 = 1 m/s e 
v3 = 1,5 m/s.
B) o tempo necessário para encher completamente os reservatórios (2) e (3).
Solução: Considerandoo regime permanente, fluido incompressível e aplicando a Eq. (12), 
segue que
ou ainda,
e, ainda, . Aplicando a Eq. (06), temos que 
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Admitindo que as seções transversais sejam circulares, segue que os diâmetros das tubulações 
2 e 3 são iguais a
Logo, os diâmetros das tubulações 2 e 3 são, respectivamente, aproximadamente iguais a 
 e 
 Para determinar os tempos necessários para encher os tanques 2 e 3, usaremos a Eq. (05). 
Assim,
Logo, os tempos necessários para encher os tanques 2 e 3 são, aproximadamente, iguais a 
 e , respectivamente.
Em sua oitava edição, Introdução à Mecânica dos Fluidos dos autores Robert W. 
Fox, Alan T. McDonalds e John C. Leylegian, da editora LTC, mantém o nível de 
excelência e traz, como novidade, um espaço destinado às energias renováveis. 
O livro contempla toda a ementa da nossa disciplina. Leitura obrigatória ao futuro 
engenheiro. 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta Unidade 2, completamos nossos estudos em alguns conceitos fundamentais da 
cinemática dos fluidos, tais como: velocidade, aceleração, vazão mássica, vazão volumétrica, 
número de Reynolds e a equação da continuidade. Vimos que, na descrição lagrangeana, o 
movimento do fluido se dá como o de única partícula, enquanto que, na descrição euleriana, um 
volume de controle é adotado como referencial e mede o movimento das partículas que passam 
por essa região. Estudamos, também, a lei da conservação da massa e podemos perceber que a 
análise do escoamento através de vários dutos e vasos, em uma planta industrial, depende da 
conservação da massa.
Discutimos e aplicamos esses conceitos em diversos exemplos. Por fim, apresentamos 
alguns exercícios de fixação do conteúdo estudado. O objetivo geral desses exercícios de fixação é 
auxiliar na estruturação da sua aprendizagem. Lembre-se de que a aprendizagem deve iniciar de 
dentro para fora. Espero que tenham apreciado os conteúdos estudados. Abraços e até a Unidade 
3.
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03
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................66
1. AS FORMAS DE ENERGIA .......................................................................................................................................67
2. EQUAÇÃO DE BERNOULLI E O ESCOAMENTO IDEAL .........................................................................................70
3. MEDIDORES DE VAZÃO ..........................................................................................................................................85
3.1 SONDA DE PITOT ...................................................................................................................................................85
3.2 MEDIDOR DE PLACA DE ORIFÍCIO ......................................................................................................................87
3.3 MEDIDOR DE VAZÃO VENTURI ............................................................................................................................88
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................... 91
EQUAÇÃO DA ENERGIA 
E O ESCOAMENTO IDEAL
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA
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INTRODUÇÃO
Na Unidade 2, foi apresentada a equação da continuidade (ou princípio da conservação 
da massa). Essa equação nos permite concluir que, para um sistema operando em regime 
permanente, a massa que flui para o interior de uma tubulação é igual à massa que flui para fora 
desse sistema.
Levando em conta a natureza da energia, que não pode ser criada nem destruída, apenas 
transformada, o objetivo principal desta unidade é desenvolver e aplicar a equação da conservação 
da energia, a partir da 1ª Lei da termodinâmica. Assim, vamos apresentar nesta unidade a equação 
da conservação da energia ou a Equação de Bernoulli. Vamos aplicar essa equação juntamente 
com a equação da continuidade nos sistemas de medição de vazão por obstrução. 
Nesse sentido, os conceitos que serão abordados nesta unidade são úteis em diversos 
projetos envolvendo mecânica dos fluidos em engenharia civil, como, por exemplo, no projeto de 
chafarizes em que a velocidade do escoamento nos esguichos é transformada em levantamento 
de colunas de água até uma altura máxima. Ou ainda, em projetos de dimensionamento de 
tubulações e bombas hidráulicas. Convido você a fazer uma leitura minuciosa desta unidade 
e, também, ficar muito atento aos exemplos que são apresentados. Aqueça a água e passe um 
cafezinho, aperte o cinto e bons estudos!
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1. AS FORMAS DE ENERGIA
Em física, a capacidade em realizar trabalho de um corpo é denominada energia. Assim, 
para um corpo em movimento numa velocidade V, dizemos que ele possui energia cinética. A 
equação para energia cinética é
Eq. (01)
em que é a grandeza energia cinética; m é a massa do corpo; e V é a velocidade do 
corpo. Por outro lado, o estado de energia de um corpo de massa m devido à sua posição num 
campo gravitacional, em relação a uma linha horizontal de referência, é denominado energia 
potencial. A equação para energia potencial é
Eq. (02)
em que é a grandeza energia potencial; m é a massa do corpo; g a aceleração gravitacional 
e z é a posição do corpo no campo gravitacional, em relação a um plano horizontal de referência 
(PHR).
Um fluido em escoamento numa tubulação apresenta um tipo de energia potencial 
associado às forças de pressão que atuam nesse escoamento. Esse tipo de energia é denominado 
energia potencial de pressão. Considere um fluido escoando numa tubulação de seção 
transversal de área A e submetido a uma pressão uniforme de intensidade p. Pela definição de 
pressão, escrevemos que , em que F é a força que atua na seção de área A, como ilustrado 
na Figura 1. 
Figura 1 – Elemento infinitesimal de fluido. Fonte: Brunetti (2008).
Agora, pela definição de trabalho (W), que é o produto entre força e deslocamento (s), 
escrevemos
Como , reescrevemos a expressão acima como:
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Tomando um elemento infinitesimal de deslocamento (ds), temos um elemento 
infinitesimal de trabalho (dW), e escrevemos
como , temos
Como energia é a capacidade de realizar trabalho, a energia potencial de pressão 
é calculada por meio da equação:
Eq. (03)
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Exemplo 1
Um local avaliado para instalação de uma estação eólica tem ventos estáveis de velocidade de 
10 m/s, como representado na Figura 2. 
Figura 2 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Determine a energia do vento 
A) por unidade de massa.
B) para uma massa de 10 kg.
C) para um fluxo de massa de 1154 kg/s.
Solução: Segue que
A) A energia do vento por unidade de massa pode ser obtida a partir da Eq. (01), pois o fluido 
(no caso, o vento) está em movimento. Assim, 
ou seja,
B) A energia cinética para uma massa de 10 kg é calculada a partir da Eq. (01). Daí, 
C) A energia cinética para uma vazão constante de ar de 1154 kg/s também é obtida a partir 
da Eq. (01). Assim, 
Observe, aqui, que denota a energia cinética por unidade de tempo.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
2. EQUAÇÃO DE BERNOULLI E O ESCOAMENTO IDEAL
A soma dos três tipos de energia supracitados compõe a energia mecânica total de 
um fluido escoando numa tubulação, como ilustrado na Figura 1. A energia mecânica é definida 
como a forma de energia que pode ser convertida completa e diretamente em trabalho mecânico 
por um dispositivo mecânico ideal, conhecido como turbina. Essa energia mecânica total é 
calculada por meio da equação:
Eq. (04)
ou ainda, por meio da equação:
Eq. (05)
em que é a vazão mássica do escoamento.
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Exemplo 2
Energia elétrica é gerada pela instalação de um conjunto gerador-turbina hidráulica em um 
local 90 m abaixo de um grande reservatório de superfície livre, que pode fornecer água a 
vazão de 2000 kg/s, como mostra a Figura 3. Com base nessas informações, estime a potência 
elétrica produzida pela usina, em MW.
Figura 3 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Vamos considerar um elemento de fluido (volume de controle) escoando do ponto 1 
ao ponto 2. Nesses dois pontos, deverá acontecer a conservação da energia mecânica. Assim,
Daí, 
Note que, nos pontos 1 e 2, a pressão é atmosférica, logo não há variação de pressão e os 
termos são idênticos. Note também que podemos assumir que, nessas superfícies livres, se 
for considerado regime permanente, as velocidades nos pontos 1 e 2 podem ser próximas de 
zero, ou seja, os termos da equação são nulos. Assim, como a vazão é a mesma
Daí,
Logo, a potência elétrica dessa barragem é de 1,6 MW.
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Considere, agora, um fluido escoando numa tubulação como apresentado na Figura 4. 
Considere, também, que nesse escoamento sejam verdadeiras as seguintes hipóteses: i) o regime 
de escoamento é permanente; ii) o fluido em escoamento é incompressível; iii) não há máquinas 
(bombas, turbinas e outros) ao longo do trecho em observação; iv) não há atrito no escoamento; 
v) não há troca de calor entre o fluido e quaisquer meios; vi) as propriedades são todas uniformes 
para o escoamento. 
Figura 4 – Escoamento de um fluido numa tubulação em relação a um plano horizontal de referência. Fonte: 
Brunetti (2008).
Considere no escoamento da Figura 2 que, após um intervalo de tempo dt, uma quantidade 
de massa infinitesimal dm1 entra no sistema e traz consigo uma quantidade de energia mecânica 
total dada por:
Ao mesmo tempo, na seção (2), uma massa infinitesimal que antes pertencia ao trecho do 
sistema (1)-(2) deixa o sistema e leva uma quantidade de energia mecânica total dada por: 
Como foram consideradas as condições (iii), (iv) e (v), obrigatoriamente, exige a 
conservação de energia, daí podemos escrever 
ou seja,
Como o fluido é incompressível (hipótese (ii) da Unidade 1), podemos escrever que 
. Substituindo na expressão acima e efetuando uma série de simplificações algébricas, 
temos
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Eq. (06)
que é conhecida como Equação de Bernoulli. De acordo com Brunetti (2008), essa 
equação pode ser enunciada da seguinte maneira: “Se, entre duas seções do escoamento, o 
fluido for incompressível, o escoamento sem atritos, o regime permanente e se não existir 
máquinas nem trocas térmicas, então as cargas totais se manterão constantes em qualquer 
seção, não existindo nem ganhos nem perdas de carga”. A carga a que se refere o enunciado 
anterior é “energia”.
Ian Stewart com seu talento habitual nos ensina as equações de que decorreram 
padrões que encontramos à nossa volta, entre elas, a Equação de Navier-Stokes. 
Essa equação fornece um meio preciso de calcular como os fluidos se movem. 
Assim, fica como sugestão de leitura o livro Dezessete equações que mudaram o 
mundo de Ian Stewart, editora Zahar, 2013.
A equação de Bernoulli é de grande importância em Mecânica 
dos Fluidos. No vídeo Hidrodinâmica - Equação de Bernoulli, é 
feita uma demonstração alternativa dessa equação, bem como o 
entendimento de alguns fenômenos que podem ser explicados por 
essa equação. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=UiG6jgGoyug . 
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Exemplo 3
(CESGRANRIO) A equação de Bernoulli é muito importante na mecânica dos fluidos, pois 
relaciona as variações de pressão com aquelas de velocidade e de elevação ao longo de uma linha 
de corrente. Essa equação, no entanto, deve ser aplicada apenas em situações que obedeçam 
a certas restrições, como, por exemplo, escoamento ao longo de uma linha de corrente. Além 
disso, o escoamento deve ser
(A) transiente, compressível e sem atrito.
(B) transiente, incompressível e sem atrito.
(C) permanente, incompressível e com atrito.
(D) permanente, incompressível e sem atrito.
(E) permanente, compressível e sem atrito.
Solução: A aplicação da equação de Bernoulli é possível de ser aplicada quando são aplicadas 
as seguintes hipóteses: i) o regime de escoamento é permanente; ii) o fluido em escoamento 
é incompressível; iii) não há máquinas (bombas, turbinas e outros) ao longo do trecho em 
observação; iv) não há atrito no escoamento; v) não há troca de calor entre o fluido e quaisquer 
meios; vi) as propriedades são todas uniformes para o escoamento. Dessa maneira, responde à 
questão a alternativa (D).
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Exemplo 4
Um reservatório de grandes dimensões tem um orifício de pequeno diâmetro na sua lateral, 5 
metros abaixo do nível da água, conforme apresentado na Figura 5.
Figura 5 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Admita que sejam válidas as hipóteses para a aplicação da equação de Bernoulli e determine a 
velocidade da água, em m/s, através desse orifício.
Solução: Admitindo escoamento em regime permanente, fluido incompressível e que o 
escoamento seja sem perda de carga, decorre da equação de Bernoulli que
em que o subíndice 1 denota a região de superfície livre e o subíndice 2 denota a região 
imediatamente após a saída de água no orifício. Nas regiões 1 e 2, a pressão é atmosférica, o que 
nos permite simplificar os termos e . Como o regime é permanente, segue que o nível de 
água no interior do tanque será sempre o mesmo, o que implica que a velocidade do fluido na 
região 1 seja igual a zero, pois o fluido está parado i.e. Assim, a equação de Bernoulli 
é escrita quando simplificada para essa situação como:
Logo, a velocidade de saída do fluido é igual a 
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Exemplo 5
Uma refinaria envia água ( = 1.000 kg/m3) para um tanque de armazenamento à vazão 
volumétrica constante de 25 m3/s, por meio de uma tubulação de área de seção transversal na 
refinaria igual a 4 m2 e, no tanque de armazenamento, igual a 2 m2. O tanque está a 150 m de 
altura acima da refinaria. Considerando que a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 e que são 
válidas as hipóteses de aplicação da equação de Bernoulli, determine a pressão da água na saída 
da refinaria para que ela seja recebida no tanque à pressão de 
Solução: Admitindo escoamento em regime permanente, fluido incompressível e que o 
escoamento seja sem perda de carga, decorre da equação de Bernoulli que
em que o subíndice 1 denota um ponto na refinaria e o subíndice 2 denota o tanque de 
armazenamento de água. Segue que a velocidade de saída e de recepção da água na refinaria e 
no tanque é igual, respectivamente, a 
Substituindo as informações na equação de Bernoulli, segue que
Logo, a pressão da água na saída da refinaria é, aproximadamente, iguala .
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Exemplo 6
Um fluido de massa específica igual a 1000 kg/m3 flui pelo conduto ilustrado na Figura 6, de A 
para B, onde a seção A mede 4 m2 e a seção B mede 2 m2. Sabendo que a diferença de pressão 
entre A e B é de 2,4 Pa, qual o valor da velocidade do fluido na seção A? Considere a aceleração 
da gravidade local igual a 10 m/s2.
Figura 6 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Admitindo escoamento em regime permanente, fluido incompressível e que o 
escoamento seja sem perda de carga, decorre da equação de Bernoulli que
Como a tubulação está na horizontal, segue que Assim,
Da equação da continuidade temos que
Substituindo (02) em (01)
Logo, a velocidade de escoamento do fluido na seção A é igual a 
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Exemplo 7
Um fluido incompressível ( ) está escoando em uma tubulação horizontal de 
diâmetro d. Em determinado ponto da tubulação, foi acoplado um dispositivo medidor de 
vazão. Esse dispositivo consiste de um mecanismo que reduz o diâmetro disponível para o 
escoamento em uma região do tubo, temporariamente, para d/2, e um manômetro de mercúrio 
cujos braços são acoplados em duas regiões da tubulação, uma delas de diâmetro normal e a 
outra de diâmetro reduzido, conforme representado na Figura 7. 
 
Figura 7 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Considere que o desnível de mercúrio ( ) nos braços do manômetro seja igual a 
h e que são válidas as hipóteses da aplicação da equação de Bernoulli e prove que a velocidade 
(V) de escoamento do fluido na tubulação de diâmetro d pode ser calculada por meio da 
expressão .
Solução: Admitindo escoamento em regime permanente, fluido incompressível e que o 
escoamento seja sem perda de carga, decorre da equação de Bernoulli que
em que o subíndice A denota a região do tubo com diâmetro d e B denota a região do tubo com 
diâmetro d/2. Como a tubulação está na horizontal, segue que Assim,
Segue que é calculado, como já explicado na Unidade 1, da seguinte maneira:
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Segue, agora, da equação da continuidade que
Substituindo (02) e (03) em (01), temos que
como queríamos demonstrar.
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Exemplo 8
Deseja-se fazer um pequeno orifício na parede de um reservatório que contém água armazenada, 
de forma que a água jorrada atinja exatamente o ponto x, situado no solo, localizado a uma 
distância de 6 m da base do reservatório, conforme indicado na Figura 8. 
Figura 8 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Assuma que o reservatório seja aberto ao ambiente atmosférico e, também, grande o suficiente 
para que o nível da água, H, permaneça constante e igual a 10 m, mesmo após a abertura do 
orifício. Diante dessas informações, determine o valor, em metros, da distância mínima, y, da 
lâmina d’água para que a água atinja o ponto x desejado.
Solução: Admitindo escoamento em regime permanente, fluido incompressível e que o 
escoamento seja sem perda de carga, decorre da equação de Bernoulli que
em que o subíndice A denota a região de superfície livre no topo do tanque d e B denota a 
região do tubo imediatamente após o furo. Temos que , pois as duas regiões estão 
submetidas a pressão atmosférica. Como o regime é permanente, o nível de água no tanque 
não mudará e consequentemente a velocidade da água na superfície livre no interior do tanque 
é . Assim, a equação acima fica reescrita como
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O movimento descrito por uma partícula fluida saindo através do orifício e caindo a uma 
distância de 6 m do tanque é um movimento de queda livre. Assim, 
e
Daí,
As raízes da equação quadrática acima são y1 = 9 e y2 = 1. Note que y = 9 não convém para 
o problema. Logo, a distância mínima, y, da lâmina d’água para que a água atinja o ponto x 
desejado é de 1 m.
Considere, agora, na Figura 4 que tenha sido instalada uma máquina na região onde o 
fluido está escoando, como ilustra a Figura 9. Entenda, aqui, que máquina é qualquer dispositivo 
capaz de adicionar ou retirar energia do sistema. 
Figura 9 – Sistema de escoamento de fluido com a presença de máquina de fluxo. Fonte: Brunetti (2008).
As máquinas de fluxo estão presentes no cotidiano dos engenheiros civis nas mais 
diversas formas, desde bombas e sistemas de bombeamento, compressores, 
ventiladores e sopradores no transporte de fluidos em processos industriais, 
passando pela utilização de turbinas a gás na propulsão de modernas aeronaves, 
até a conversão da energia de um fluido em movimento para energia elétrica com 
alta eficiência em turbinas hidráulicas, a vapor e eólicas, dentre outras.
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Dessa forma, uma das hipóteses de aplicação da equação de Bernoulli não é respeitada e, 
daí resulta que
Para que a equação acima se torne uma igualdade, devemos alocar um termo na equação 
que represente a quantidade de energia específica que foi acrescentada e/ou retirada do fluido. 
Vamos denominar a referida quantidade de energia de HM. Assim, a Eq. (06) passa a ser reescrita, 
quando há presença de máquina do sistema, como:
Eq. (07)
A Eq. (07) afirma que a presença de uma máquina de fluxo no sistema pode acarretar 
variações na carga cinética, na carga potencial e na carga de pressão. Ao aplicar a Eq. (07) e se o 
valor encontrado para for positivo, a máquina em apreço é uma bomba, e se for negativo, 
a máquina será uma turbina.
Caso a máquina em apreço seja uma bomba é a quantidade de energia específica 
que a bomba deve fornecer ao sistema hidráulico a fim de manter o fluido em movimento.
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Exemplo 9
Um reservatório elevado de grandes dimensões contendo água (massa específica 1.000 kg/m3) 
está conectado a outro reservatório de grandes dimensões por meio de uma tubulação com 50 
mm de diâmetro e a vazão volumétrica é de 0,5 m3/s, conforme ilustra a Figura 10.
Figura 10 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
A máquina M foi instalada entre esses tanques e o sentido do escoamento é de B para A. 
Considerando-se a aceleração da gravidade como 10 m/s2, π = 3 e desprezando-se as perdas de 
carga, verifique se a máquina M é bomba ou turbina. Justifique sua resposta apresentando os 
cálculos e as hipóteses para aplicação de Bernoulli.
Solução: Admitindo escoamento em regime permanente, fluido incompressível e que o 
escoamento seja sem perda de carga, decorre da Eq. (07) que
(fique atento ao sentido do escoamento!) Os tanques A e B estão sujeitos à pressão atmosférica. 
Daí, Como se trata de reservatório de grandes dimensões e o regime é permanente, 
temos que , pois o fluido está parado. Assim,
Como , segue que a máquina em apreço é uma bomba.
A potência teórica requerida é calculada por meio da equação:
Eq. (08)
em que é a massa específica, g a aceleração gravitacional, a vazão volumétrica e 
é a carga da bomba calculada a partir da Eq. (07).
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Exemplo 10
No Exemplo 9, vimos que a máquina presente no sistema é uma bomba, pois Assim, 
 e a potência teórica desenvolvida pela bomba será
Exemplo 11
Uma instalação hidráulica deve ser construída para transportar 0,03 m3/s de água (massa 
específica 1000 kg/m3), entre dois tanques, distantes 100 m um do outro, através de uma 
tubulação de 100 mm de diâmetro,conforme a Figura 11. 
Figura 11 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Considerando que a aceleração da gravidade é 10 m/s2 e que é igual a 3 e desprezando as 
perdas de carga, determine a potência mínima de uma bomba com eficiência de 75%, necessária 
para essa instalação.
Solução: Considerando regime permanente, fluido incompressível e escoamento ideal, segue 
que , pois os dois tanques estão abertos à atmosfera; , pois os níveis dos 
tanques não irão alterar-se ao longo do processo. Assim, segue da Eq. (07) que 
Agora, segue da Eq. (08) que a potência teórica será 
Assim, a potência real será .
Portanto, a potência real mínima é de 800 W.
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3. MEDIDORES DE VAZÃO
Uma importante área de aplicação da mecânica dos fluidos é a determinação da medida 
da vazão e velocidade de escoamento dos fluidos. Nesse sentido, inúmeros dispositivos foram 
criados ao longo dos anos a fim de efetuar as medidas dessas grandezas. Os medidores de 
vazão e velocidade variam amplamente em seu nível de sofisticação, tamanho, custo, exatidão, 
versatilidade, capacidade, queda de pressão e princípio operacional. 
3.1 Sonda de Pitot
As sondas de Pitot ou tubos de Pitot são amplamente empregadas para medição de vazão 
e velocidade. Trata-se de um tubo com uma tomada de pressão num ponto de estagnação do 
escoamento que mede a pressão de estagnação do escoamento. A sonda estática de Pitot, por 
outro lado, trata-se de um tubo que faz a medida da tomada de pressão de estagnação e a pressão 
estática, cuja velocidade pode ser calculada. Observe a Figura 12.
Figura 12 – Sondas de Pitot. Fonte: Adaptado de White (2002).
A sonda estática de Pitot mede a velocidade local, medindo a diferença de pressão e 
aplicando a equação de Bernoulli. Temos que e , devido à estagnação. Assim, 
segue da Eq. (06) que 
Eq. (09)
A sonda de Pitot é um dispositivo simples, acessível, barato e altamente confiável. Ela 
causa pouca queda de pressão e não atrapalha muito o escoamento.
Não existe escoamento ideal.
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Exemplo 12
O tubo Pitot da Figura 13 usa mercúrio como fluido manométrico. Quando é colocado em um 
escoamento de água, a altura lida no manômetro é z = 250 mm. Desprezando a inclinação e 
outros erros, qual a velocidade de escoamento da água, em m/s? Dados: 
e .
Figura 13 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Considerando regime permanente, fluido incompressível e escoamento sem 
perda de carga, aplicamos a Eq. (09). Segue que a diferença de pressão é calculada como 
 Daí, 
Portanto, a velocidade de escoamento da água na tubulação é aproximadamente igual a 
O medidor de vazão do tipo Pitot é amplamente empregado em 
situações do cotidiano como em aviões e carros de Fórmula 1. O 
vídeo a seguir, Medidor de vazão - Diferencial de pressão, ilustra o 
princípio de funcionamento e aplicações desse medidor de vazão 
e velocidade: https://www.youtube.com/watch?v=kHpZN92V9JM .
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3.2 Medidor de Placa de Orifício
 
A placa de orifício consiste em um disco com um orifício central com saída em ângulo 
que deve ser montado concêntrico ao eixo do conduto cilíndrico, provido de duas tomadas de 
pressão, uma a jusante e outra a montante do disco, conforme mostra a Figura 14.
Figura 14 – Medidor de vazão por placa de orifício. Fonte: Brunetti (2008).
A combinação das equações da continuidade e de Bernoulli entre um ponto antes da 
placa (ponto de constrição) e o local onde há a constrição pode ser escrita como:
• equação da continuidade: 
• equação de Bernoulli: 
 A combinação dessas duas equações nos permite escrever que
Eq. (10)
Diversos fatores afetam o uso da Eq. (10), tais como: área na vena contracta é desconhecida; 
efeitos por atrito podem ser significantes; localização do ponto de tomada de pressão influencia 
a leitura da pressão diferencial.
Vena contracta é o ponto em um fluxo de fluido onde o diâmetro do fluxo é o 
menor, e a velocidade do fluido está no seu máximo, como no caso de um fluxo 
saindo de um bocal.
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3.3 Medidor de Vazão Venturi
O tubo de Venturi é um aparato usado para medir a velocidade do escoamento e a vazão 
de um líquido incompressível por meio da variação da pressão durante a passagem desse líquido 
por um tubo de seção mais larga e depois por outro de seção mais estreita, como ilustrado na 
Figura 15.
Figura 15 – Tubo de Venturi. Fonte: O autor. 
Se o fluxo de um fluido é constante, mas sua área de escoamento diminui, então 
necessariamente sua velocidade aumenta. Para o teorema da conservação da energia, se a energia 
cinética aumenta, a energia determinada pelo valor da pressão diminui. A Eq. (10) pode ser usada 
para determinação da velocidade de escoamento do fluido. 
As principais partes que constituem o tubo de Venturi são: (i) o cilindro de entrada, 
onde se faz a medida de alta pressão; o cone (convergente) de entrada, destinado a aumentar 
progressivamente a velocidade do fluido; (ii) a garganta cilíndrica, onde se faz a tomada de baixa 
pressão; (iii) o cone de saída, que diminui progressivamente a velocidade até ser igual à de entrada.
Comparado à placa de orifício, é o que apresenta menor perda de carga do escoamento 
da tubulação e não há formação de vena contracta, ou seja, a área efetiva do escoamento é 
aproximadamente igual à seção da garganta.
O livro Mecânica dos Fluidos de autoria de R. C. Hibeller traz uma introdução 
abrangente e bem detalhada da teoria e aplicações de conceitos. Com uma 
didática primorosa e recursos que potencializam o aprendizado, essa obra é 
leitura indispensável ao futuro engenheiro. 
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Exemplo 13
A Figura 16 ilustra um escoamento em regime permanente em um tubo de Venturi. Considere 
que o fluido manométrico é o mercúrio e que os pesos específicos envolvidos no problema 
valem γHg = 140.000 N/m3 e γágua = 10.000 N/m3. Supondo as perdas por atrito desprezíveis, 
propriedades uniformes nas seções e g = 10 m/s2, determine a vazão da água que escoa na 
tubulação. 
Figura 16 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Considerando regime permanente, fluido incompressível e escoamento sem 
perda de carga, aplicamos a Eq. (09). Segue que a diferença de pressão é calculada como 
 Daí, a velocidade de escoamento é
Assim, a vazão de escoamento é
Portanto, a vazão volumétrica é de .
Os medidores de vazão por placa de orifício e tubo de Venturi 
são também chamados de medidores de vazão por obstrução. 
Esses tipos de medidores de vazão são empregados em algumas 
aplicações em diversas indústrias. O vídeo a seguir, The differential 
pressure flow measuring principle (Orifice-Nozzle-Venturi), apresenta 
o princípio de funcionamento desses medidores de vazão: 
https://www.youtube.com/watch?v=oUd4WxjoHKY .
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Rotâmetro é um dispositivo utilizado para medir a vazão de um 
líquido ou gás num tubo e pertence à classe de medidores de área 
variável. Esses dispositivos medem o fluxo de um fluido fazendo-o 
passar por um tubo de seção variável. O vídeo a seguir, Rotameter 
working principle, apresenta os princípios de funcionamento de um 
rotâmetro: https://www.youtube.com/watch?v=ELJoieQDe6w .
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, estudamos os conceitos fundamentais da dinâmica dos fluidos.Vimos 
os tipos de energia e estudamos a equação de Bernoulli, que pode ser interpretada como um 
caso particular da 1ª Lei da Termodinâmica. Estudamos e aplicamos a Equação de Bernoulli em 
situações ideais. Estudamos e aprendemos sobre os medidores de vazão.
Por fim, apresentamos alguns exercícios de fixação do conteúdo estudado. O objetivo 
geral desses exercícios de fixação é auxiliar na estruturação da sua aprendizagem. Lembre-se de 
que a aprendizagem deve iniciar de dentro para fora. Espero que tenham apreciado os conteúdos 
estudados. Abraços e até a Unidade 4.
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SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................... 93
1. O ESCOAMENTO REAL E PERDA DE CARGA ......................................................................................................... 94
2. TURBOMÁQUINAS ..................................................................................................................................................109
2.1 SELEÇÃO DE BOMBAS CENTRÍFUGAS ................................................................................................................ 111
2.2 O PONTO OPERACIONAL DE UMA BOMBA........................................................................................................115
2.3 CAVITAÇÃO DA BOMBA E A CARGA DE SEÇÃO POSITIVA ................................................................................ 117
2.4 ASSOCIAÇÕES DE BOMBAS .................................................................................................................................119
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................123
ESCOAMENTO REAL E BOMBAS 
CENTRÍFUGAS
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA
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INTRODUÇÃO
A presente unidade discutirá o escoamento forçado de fluidos reais no interior de 
condutos fechados, ou seja, vamos nos familiarizar com o conceito de perda de carga. A perda de 
carga é a energia específica que o fluido perde devido ao escoamento e a teoria de perda de carga 
se divide em perda de carga contínua – aquela que acontece em seções retas de tubulações – e 
perda de carga localizada – aquela que ocorre quando o fluido atravessa algum acessório e/ou 
instrumento presente na tubulação. 
Em seguida, discutiremos sobre o uso de bombas centrífugas. As bombas são dispositivos 
que acrescentam energia específica ao fluido, forçando-o a entrar em movimento. Vamos aprender 
a fazer a correta seleção de bomba para um dado processo e, ainda, a identificar o ponto de 
operação e, também, a evitar o fenômeno da cavitação. 
Seja bem-vindo à Unidade 4 e bons estudos.
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1. O ESCOAMENTO REAL E PERDA DE CARGA
Até agora, estudamos escoamento de fluidos incompressíveis sem nos preocuparmos 
com os efeitos da viscosidade sobre esse escoamento, bem como sem nos preocuparmos com os 
efeitos do atrito entre o fluido e a parede da tubulação. Esses escoamentos são ditos escoamentos 
ideais. A partir de agora, vamos levar em consideração esses dois efeitos sobre o escoamento.
Nos escoamentos ideais de um fluido incompressível, vimos que 
, ou seja, a energia do sistema é conservada (de acordo com a 
primeira lei da termodinâmica, os tipos de energias que contemplam a equação de Bernoulli 
são transformados). A realidade desse tipo de escoamento é que o atrito e a turbulência dos 
escoamentos internos de fluidos incompressíveis são significativos e, desse modo, a equação de 
Bernoulli não pode ser empregada.
A Figura 1 ilustra a situação em que o fluido está em repouso e consequentemente toda 
a energia do sistema é referente à energia potencial de pressão e a energia potencial que o fluido 
possui, em relação a um plano horizontal de referência (PHR). Nessa situação, a linha de energia 
total (plano de energia) e a linha de pressão são coincidentes.
Figura 1 – Fluido em repouso. Fonte: O autor.
Ao colocar o fluido em movimento, considerando escoamento ideal, parte da energia 
potencial de pressão é transformada em energia cinética (pois o fluido entra em movimento). A 
Figura 2 ilustra a situação. Observe que, na região marcada como (1), na Figura 3, toda a energia 
do fluido é referente à energia potencial de pressão e potencial em relação ao plano horizontal 
de referência. Já nas regiões marcadas como (2) e (3), também na Figura 3, parte da energia foi 
transformada em energia cinética (representada na figura em amarelo). Observe que a parcela da 
energia cinética em (3) é maior que em (2), pois houve redução do valor do diâmetro que, por sua 
vez, aumenta o valor da velocidade.
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Figura 2 – Escoamento ideal. Fonte: O autor.
Em escoamento real, como já mencionado, a viscosidade do fluido (lembre que a 
viscosidade do fluido é a propriedade que mede a resistência do fluido em escoar) e o atrito irão 
causar dissipação de energia. Essa dissipação de energia é o que chamamos de perda de carga. 
Nos escoamentos internos, a perda de carga se manifesta na diminuição da pressão do sistema, 
como ilustrado na Figura 2. Na Figura 3, a perda de carga é ilustrada pela cor vermelha. Observe 
que, quanto maior a distância percorrida e maior a velocidade de escoamento, maior o valor da 
perda de carga.
Figura 3 – Escoamento real. Fonte: O autor.
Para o caso do escoamento real, a equação de Bernoulli em sua forma original não pode 
ser aplicada, pois
Daí, corrigimos essa diferença, acrescentando à equação de Bernoulli o termo de perda 
de carga, denotado por h.
Eq. (01)
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A perda de carga é causada principalmente pela viscosidade do fluido em escoamento 
e também tem relação com o cisalhamento nas paredes da tubulação. A equação empírica que 
permite o cálculo da perda de carga é a equação de Darcy-Weisbach, definida como:
Eq. (02)
em que h é a perda de carga, L é o comprimento do tubo, V é a velocidade média de 
escoamento do fluido no interior da tubulação, D é o diâmetro da tubulação, g é a aceleração 
gravitacional e f é o fator de atrito. O fator de atrito f é calculado, para escoamento laminar, como:
Eq. (03)
Já para escoamento turbulento, ele pode ser estimado por meio do diagrama de Moody, 
que é apresentado na Figura 4.
O diagrama de Moody nada mais é do que a representação gráfica de diversas possibilidades 
de solução da equação de Colebrook:
Eq. (04)
em que é denominado rugosidade relativa.
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Figura 4 – Diagrama de Moody. Fonte: Adaptado de Brunetti (2008).
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Exemplo 1
Um oleoduto com 20 km de comprimento e diâmetro uniforme opera com um gradiente de 
pressão de 50 Pa/m transportando um derivado de petróleo de massa específica 850 kg/m3. Se a 
cota da seção de saída do oleoduto situa-se 40 m acima da cota de entrada, e considerando que 
a aceleração da gravidade local é 10 m/s2, determine o valor da perda de carga total associada 
ao escoamento, em m.
Solução: Segue do enunciado que o gradiente de pressão ao longo do oleoduto é de 50 Pa/m. 
Dessa maneira, ao longo dos 20 km de extensão, o gradiente de pressão é de 106 Pa. Admitindo 
regime permanente e fluido incompressível,segue da Eq. (01) que
em que é o gradiente de pressão. Admitindo que o diâmetro da tubulação seja 
uniforme, temos que Daí, a perda de carga total é
Logo, a perda de carga ao longo do escoamento é, aproximadamente, igual a 77,6 m.
Exemplo 2
Considere o escoamento de um óleo ( = 900 kg/m3, = 0,1 kg/m.s) em um duto horizontal 
com 50 mm de diâmetro, longo e reto de 500 m, ocorrendo à velocidade média de 2,0 m/s. Para 
a situação descrita, determine a perda de carga total.
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, segue da Eq. (02) que
No entanto, para o fator de atrito f, devemos primeiramente verificar se o escoamento é lami-
nar ou turbulento, avaliando o número de Reynolds. Assim,
ou seja, o escoamento é laminar e o fator de atrito é determinado por meio da Eq. (03)
Assim, o valor da perda de carga associada ao escoamento é
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Exemplo 3
Na Figura 5, são apresentados dois trechos de tubos circulares e retilíneos, A e B, onde escoa 
uma mesma vazão volumétrica Q, de um mesmo fluido newtoniano, com massa específica 
 e viscosidade absoluta μ. O escoamento em ambos os casos é observado como laminar e 
plenamente desenvolvido. Considerando a situação descrita, determine a razão entre as perdas 
de cargas, , nas duas tubulações.
Figura 5 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, segue da Eq. (02) que 
Mas o enunciado garante que o escoamento é laminar. Daí, o fator de atrito é dado pela Eq. 
(03). Substituindo a Eq. (03) na Eq. (02), segue que
Sabemos que a velocidade de escoamento é calculada como . Assim, a perda de carga 
é calculada como
Desse modo, para o tubo de comprimento 2L e diâmetro 2D, a perda de carga é
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e, para o tubo de comprimento L e diâmetro D, a perda de carga é
Assim,
Logo, 
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Exemplo 4
Água escoa por 50 km através de uma tubulação horizontal de cobre ( ) de 
150 mm de diâmetro a 500 l/min. Determine a perda de carga e a queda de pressão para a 
situação descrita, considerando e .
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, segue da Eq. (02) que 
Temos que a velocidade de escoamento do fluido é dada por
O regime de escoamento é caracterizado pelo número de Reynolds
ou seja, o regime de escoamento é turbulento e, nessa situação, o fator de atrito é 
obtido pelo diagrama de Moody na Figura 7. Temos, ainda, que a rugosidade relativa é 
. Com o número de Reynolds e a rugosidade relativa na Figura 7, 
estimamos o fator de atrito em f = 0,018. Daí, a perda de carga é
Agora, para estimar a queda de pressão, aplicamos a Eq. (01). Como o diâmetro da tubulação é 
constante, segue que a velocidade é constante ao longo da tubulação e, dessa maneira, não há 
variação de velocidade. Como no enunciado não se faz menção à diferença de cota ao longo 
da tubulação, é pertinente assumir que a diferença de altura é nula. Assim, simplificando a 
Eq. (01), temos que
ou ainda,
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Exemplo 5
O fator de atrito para escoamento em tubulação lisa pode ser determinado pela equação 
, quando 5x103segue da Eq. (02) que 
Temos que a velocidade de escoamento do fluido é dada por
O regime de escoamento é caracterizado pelo número de Reynolds
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ou seja, o regime de escoamento é turbulento e, nessa situação, o fator de atrito é obtido pelo 
diagrama de Moody na Figura 7. Temos, ainda, que a rugosidade relativa é (tubulação 
lisa). Com o número de Reynolds e a rugosidade relativa na Figura 7 da Unidade 3, estimamos 
o fator de atrito em f = 0,015. Daí, a perda de carga contínua ao longo dos 7,5 m de tubulação 
(0,5 m da sucção e 7 m do recalque) é
Agora, vamos estimar a perda de carga localizada, ou seja, a perda de carga causada pela 
presença dos acessórios e, para isso, será empregada a Eq. (05), pois o enunciado fornece 
valores de K, o coeficiente adimensional de perda de carga. Daí,
Como temos vários acessórios numa tubulação de mesmo diâmetro, podemos somar os valores 
de K e, em seguida, aplicar a Eq. (05). Assim, . Daí, a perda localizada será
A perda de carga total é a soma da perda de carga contínua com a localizada e, nesse caso, seu 
valor é hT = 48,4 m. Observe que, nesse exercício, a perda de carga localizada é 15,5 vezes o 
valor da perda de carga contínua. Agora, vamos determinar , que é a quantidade de energia 
específica que a bomba deve fornecer ao sistema hidráulico a fim de manter o fluido em 
movimento e ainda vencer as perdas de carga; para isso, empregaremos a Eq. (07)
Nas superfícies livres dos dois tanques, o fluido está parado (pois estamos admitindo regime 
permanente) e a pressão nesses pontos é atmosférica nos dois tanques. Assim, simplificando a 
Eq. (07), temos que
Daí, a potência teórica é calculada pela Eq. (08)
Portanto, a potência teórica da bomba é igual a 9,1 kW.
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Em algumas situações, é habitual expressar um coeficiente de perda de carga como 
um comprimento equivalente (Leq). Comprimento equivalente é o comprimento de tubo que 
apresentaria perda de carga igual à do acessório em questão. Para isso, igualamos as equações 
Eq. (02) e Eq. (05), resultando em . Ao empregar essa metodologia, não necessitamos 
calcular separadamente a perda de carga contínua e localizada e, em seguida, somá-las. Assim, 
basta usar a equação:
Eq. (09)
Outra forma de descrever a resistência hidráulica de acessórios presentes em 
tubulações é por meio de comprimentos equivalentes. Esses valores costumam 
ser tabelados e fornecidos pelos fabricantes desses acessórios em forma de 
catálogos. A seguir, temos uma representação de uma página desses catálogos. 
Tabela 1 – Catálogo KSB.
Fonte: Adaptado de Manual técnico de bombas KSB.
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Exemplo 8
Calcular o comprimento equivalente da instalação hidráulica apresentada na Figura 8, de 
diâmetro 3 polegadas, construída com tubo de aço galvanizado novo, conforme a figura abaixo, 
que deve transportar uma vazão de água de Q = 10 m3/h.
 
Figura 8 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: A tabela de comprimentos equivalentes nos fornece as informações dos valores dos 
comprimentos equivalentes dos acessórios presentes nesse trecho de tubulação. Assim, observe 
o esquema abaixo.
Figura 9 – Comprimento equivalente. Fonte: O autor.
O valor de 43,9 m indica que a perda de carga que o fluido sofrerá ao fluir pela tubulação é 
equivalente a ele fluir por uma tubulação reta de mesmo diâmetro e material.
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2. TURBOMÁQUINAS
As turbomáquinas representam um conjunto de máquinas que são capazes de acrescentar 
ou retirar energia dos fluidos. Bombas, as turbomáquinas que acrescentam energia ao fluido, 
compreendem ventiladores, compressores e sopradores. Turbinas, que são as turbomáquinas que 
retiram energia de uma corrente fluida. Neste material, vamos falar exclusivamente das bombas 
centrífugas, que são amplamente utilizadas em engenharia civil.
As bombas centrífugas são bombas de deslocamento radial e são projetadas de modo 
que o líquido entra na direção axial, no centro da bomba, e depois é direcionado para o rotor 
na direção radial, que ocasionará uma diminuição de pressão e que provocará a sucção de mais 
líquido para o interior da bomba. Quando o líquido escoa para fora da bomba, a seção da carcaça 
difusora em formato caracol desacelera o escoamento e, com isso, aumenta a pressão, como 
ilustrado na Figura 10.
Figura 10 – Bomba centrífuga. Fonte: Hibbeler (2016).
O desempenho de uma bomba centrífuga é caracterizado pela carga líquida HB, definida 
como a variação da carga de Bernoulli entre a entrada e saída da bomba. Assim, a carga líquida 
é dada por
Eq. (10)
A dimensão da carga líquida é comprimento e, com frequência, é listada como uma altura 
de coluna de água equivalente, mesmo que a bomba não bombeie água.
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A carga líquida é proporcional à potência útil realmente fornecida ao fluido. Costuma-se 
chamá-la de potência da água, mesmo que o fluido que esteja sendo bombeado não seja água. 
Essa potência é calculada como:
Eq. (11)
em que é a massa específica, g a aceleração gravitacional, a vazão volumétrica e 
é a carga da bomba calculada a partir da Eq. (10).
A partir de testes experimentais, os fabricantes oferecem curvas de desempenho (curvas 
características) das bombas. Normalmente, essas bombas são dimensionadas para operarem a uma 
velocidade nominal e para acomodar diversos rotores no interior da carcaça. Os resultados 
desses ensaios experimentais são apresentados em uma série de curvas que apresentam, para 
diferentes diâmetros de rotor operando na mesma rotação, ou para diferentes rotações de um 
mesmo diâmetro de rotor, as seguintes características: (i) vazão versus altura manométrica total; 
(ii) vazão versus rendimento; (iii) vazão versus potência requerida no eixo de acionamento. A 
Figura 11 ilustra uma curva característica de uma bomba centrífuga.
Figura 11 – Curva característica de bomba centrífuga. Fonte: Catálogo Goulds Pumps.
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2.1 Seleção de Bombas Centrífugas
O processo de seleção de bombas centrífugas envolve 4 etapas: 
1ª etapa: Cálculo ou definição da vazão volumétrica;
2ª etapa: Cálculo da carga do sistema, ou seja, determinar a quantidade de energia 
específica mínima que a bomba deverá suprir ao sistema a fim de manter o fluido em movimento. 
Em outras palavras, você deverá medir a diferença de nível entre a região de sucção e recalque e 
ainda quantificar a perda de carga total do sistema;
3ª etapa: Seleção do modelo de bomba a ser empregado no sistema a partir do gráfico de 
quadrículas fornecido pelo fabricante;
4ª etapa: Efetuar a especificação da bomba: modelo, diâmetro de rotor, rendimento e 
potência a partir das curvas de desempenho do modelo estabelecido na 3ª etapa.
Vejamos o Exemplo 9, que ilustra o processo de seleção de bomba.
Exemplo 9
Admita que, em uma empresa, haja necessidade de dimensionar uma bomba hidráulica 
para a instalação de bombeamento da Figura 12. Considere que os dados necessários para 
o dimensionamento da bomba constam na figura abaixo e que o diâmetro da tubulação 
seja de 5 cm e de aço liso. Determine a especificação completa do modelo de bomba a 
ser empregado nesse sistema, usando o catálogo de bombas KSB, disponível em http://
www.ufrrj.br/institutos/it/deng/daniel/Downloads/Material/Graduacao/IT%20503/MC_
A2740_42_44_4P_E_S_5%5B1%5D.pdf.
Figura 12 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
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Solução: Considerando regime permanente e que a água seja um fluido incompressível, segue 
que:
1ª etapa: A vazão do sistema é de 36 m3/h.
2ª etapa: Precisamos determinar a carga a ser fornecida pela bomba para manter o fluido em 
movimento. Assim, vamos empregar a equação
 
Como os tanques estão abertos à atmosfera, as pressões são idênticas e, ainda, como os tanques 
são de grandes dimensões e o regime é permanente, vamos assumir que o nível desses tanques 
não será alterado, logo podemos assumir que as velocidades nas superfícies livres dos tanques 
são nulas. Assim, a carga a ser fornecida pela bomba é
E é coerente pensar que, para o fluido escoar, é necessário que ele vença a altura geométrica do 
sistema e a perda de carga total. Vamos estimar a perda de carga. A velocidade de escoamento é
O número de Reynolds do escoamento é
Agora, estimamos o fator de atrito pelo Diagrama de Moody com (tubo liso) e com Re 
= , que nos fornece f = 0,015. Nesse exemplo, vamos calcular a perda de carga total 
usando a regra do comprimento equivalente, uma vez que nos foram dadas essas informações. 
Assim, o comprimento equivalente é
Daí, a perda de carga total é determinada pela equação de Darcy:
Logo, a carga do sistema é
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3ª etapa: Assim, temos as seguintes informações e com elas 
vamos ao gráfico de quadrículas do fabricante KSB e assumir uma velocidade de rotação do 
rotor de 3500 rpm (observe, no catálogo, que há dois gráficos de quadrículas).
Figura 13 – Gráfico de quadrículas. Fonte: Manual de Bombas KSB.
Observe, no gráfico de quadrículas da Figura 13, que o modelo a ser selecionado é 32-200.
4ª etapa: Agora, para dar as especificações, vamos procurar esse modelo no catálogo e analisar 
as informações do gráfico da curva característica. Assim, a curva característica da bomba 
modelo 32-200 do manual KSB é dada pela Figura 14.
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Figura 14 – Curva característica de uma bomba centrífuga. Fonte: Manual de Bombas KSB.
Observe que a Figura 14 nos fornecerá informações importantes acerca das especificações da 
bomba. No primeiro gráfico, notamos que o diâmetro do rotor é de (você deve 
entrar com as informações ). No segundo gráfico, observamos 
que o NPSH é aproximadamente igual a 5 m (você só precisa entrar com o valor da vazão 
volumétrica). No terceiro gráfico, com o valor da vazão volumétrica ( ) e com 
o diâmetro do rotor ( ), observamos que a potência tem valor próximo a 14 HP.
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2.2 O Ponto Operacional de uma Bomba
Considere um sistema de bombeamento como apresentado na Figura 15, muito 
semelhante ao sistema do Exemplo 9. O formato da curva da bomba que foi especificado nesse 
exemplo é de uma parábola com concavidade para baixo. Dessa forma, podemos afirmar que a 
curva de desempenho da bomba é do tipo em que a, b e c são constantes. 
Considere uma tubulação que contém uma bomba para fornecer fluido entre dois reservatórios. 
A altura de carga do sistema é definida como 
.
Figura 15 – Sistema de bombeamento. Fonte: Hibbeler (2016).
 Quando fazemos a representação gráfica da curva do desempenho da bomba com 
a curva do sistema, encontramos comportamentos como apresentados na Figura 16. Note que as 
duas curvas contínuas apresentam um ponto em comum. Esse ponto O é definido como o ponto 
de operação do sistema, nele é igual ao , ou seja, são coincidentes com um valor 
de vazão. Observe, ainda, na Figura 16, que, com o passar do tempo, o ponto de operação será 
deslocado devido à presença de incrustações na tubulação e à oxidação da bomba. Isso afetará o 
ponto operacional que, por sua vez, reduzirá a vazão de operação.
 
Figura 16 – Curvas da bomba e do sistema. Fonte: Hibbeler (2016).
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Exemplo 10
Água é transferida de um reservatório para uma caixa d’água de um edifício, cujo nível de 
referência se encontra 50 m acima do primeiro. Ambos os reservatórios se encontram sujeitos 
à pressão atmosférica. A curva de carga do sistema apresenta a seguinte forma:
Hs = 135 + 4500 Q²
na qual Hs é a carga que deve ser desenvolvida pela bomba para que escoe uma vazão volumétrica 
Q através da tubulação.
A curva característica da bomba centrífuga utilizada no sistema pode ser definida por:
Hb = 1035 −18.000 Q²
na qual Hb é a carga desenvolvida pela bomba quando ela bombeia uma vazão volumétrica Q. 
Em ambas as equações, [H] = m de coluna de água e [Q] = m³/s. Determine a vazão transferida 
do reservatório inferior para o superior, no ponto de operação.
Solução: No ponto operacional, . Assim,
135 + 4500 Q² = 1035 −18.000 Q²
Q = 0,2 m³/s
Assim, no ponto operacional, a vazão é igual a 0,2 m³/s.
Uma bomba centrífuga, ao ser colocada em funcionamento, deve, inicialmente, 
ser escorvada. A escorva é um processo de preparação para o funcionamento 
de uma bomba no qual o ar ou gases contidos no seu interior e na tubulação de 
sucção são extraídos e substituídos pelo fluido a ser bombeado.
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2.3 Cavitação da Bomba e a Carga de Seção Positiva
Ao bombear líquidos, é possível que a pressão no interior da bomba caia abaixo da 
pressão de vapor do líquido Pv. Quando isso acontecer, formar-se-ão bolhas cheias de vapor 
denominadas bolhas de cavitação, ou seja, o líquido, nessas condições, ferverá localmente. Essas 
bolhas, após se formarem, serão transportadas através da bomba até regiões de maior pressão 
causando um breve colapso das bolhas. Esse colapso é indesejável, pois causa ruídos, vibrações, 
reduz a eficiência e causa danos às pás do rotor. A repetição desse fenômeno leva à corrosão ou 
erosão das pás do rotor (ÇENGEL; CIMBALA, 2007). Esse fenômeno é denominado cavitação.
De acordo com Çengel e Cimbala (2007), para evitar a cavitação, devemos garantir 
que a pressão local permaneça acima da pressão de vapor. Para isso, é útil usar o parâmetro de 
escoamento denominado carga de sucção positiva líquida (NPSH), definido como
Eq. (12)
em que é a pressão; g a aceleração gravitacional; é a massa específica do fluido; V a 
velocidade de escoamento da região de sucção. Esse valor é estimado pelos fabricantes das bombas 
em uma série de ensaios experimentais, variando vazão e pressão de entrada, e o fabricante 
publica um parâmetro de desempenho denominado carga sucção positiva líquida requerida 
(NPSHrequerido) – semelhante à curva de NPSH apresentada no Exemplo 9. Esse valor representa 
o valor mínimo de carga necessária para evitar a cavitação na bomba. O valor do NPSHrequerido 
aumenta com o aumento do valor da vazão. 
De posse do NPSHrequerido, que é determinado por um gráfico, esse valor é comparado 
com a carga de sucção positiva líquida disponível (NPSHdisponível) e esse valor é determinado 
aplicando a equação da energia no lado da sucção da bomba. Para impedir a cavitação, segundo 
Hibbeler (2016), é necessário que
Eq. (13)
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Exemplo 11
A bomba apresentada na Figura 17 é usada para transferir água a 25ºC para uma estação de 
tratamento a partir de um poço, como ilustra a figura. A vazão através do tubo de 3 in de 
diâmetro é de 21 l/s, a altura h do nível de coleta de água abaixo da bomba é de 3 m e o fator de 
atrito foi estimado em f = 0,02. Verifique se haverá cavitação da bomba instalada.
Figura 17 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução:A velocidade de escoamento é
Considerando a pressão atmosférica local igual a 105 Pa, a massa específica da água igual a 1000 
kg/m3, segue que a carga de pressão de sucção disponível na entrada da bomba ( ) é dada por
Daí, 
A pressão de vapor da água na temperatura 25ºC é aproximadamente igual a 3,2 kPa. Assim,
ou ainda, (Fique atento: 47,8 kPa é referente à pressão exercida por 
4,78 m de coluna de água). Admita que a bomba em apreço tenha a curva característica da 
Figura 18.
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Figura 18 – Curva característica da bomba. Fonte: O autor.
Note que o NPSH requerido para a vazão de 21 l/s é menor que 3,0 m. Como o 
, a bomba não irá cavitar.
 
2.4 Associações de Bombas
Existem situações em que, em um dado processo, faz-se necessário aumentar a vazão 
volumétrica de fluido a ser bombeado ou, ainda, a elevação da pressão. Para resolver esses 
problemas, é costume efetuar associações de bombas em série ou paralelo, como ilustrado na 
Figura 19.
Figura 19 – Associação de bomba (A) em paralelo (B) em série. Fonte: O autor.
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Na associação em série, a carga líquida (HB) combinada é simplesmente a soma das 
cargas líquidas de cada bomba, como mostra a Eq. (14), e a vazão total é igual à vazão de cada 
bomba individual.
Eq. (14)
 
 
Na associação em paralelo, a vazão em volume das bombas combinadas é igual à soma 
das vazões individuais de cada bomba, como mostra a Eq. (15), e a carga da bomba é igual à carga 
de cada bomba individual. 
Eq. (15)
A curva característica das associações de bombas é obtida a partir das curvas características 
das bombas individuais. Vamos considerar que estamos trabalhando com associação de duas 
bombas idênticas em série e em paralelo. A Figura 20 apresenta a curva característica das 
associações em série e paralelo de duas bombas idênticas. 
Figura 20 – Curvas características de bombas (A) em paralelo, (B) em série. Fonte: O autor.
Na associação de duas bombas idênticas em paralelo, como apresentado na Figura 20 (A), 
a curva característica resultante é obtida somando-se os valores individuais da vazão volumétrica 
Q, mantendo-se a carga H da bomba constante, ou seja, para um dado valor de H, o segmento AD 
é igual à soma dos segmentos AB e BC. Por outro lado, na associação de duas bombas idênticas 
em série, como apresentado na Figura 20 (B), a curva característica resultante é obtida somando-
se os valores individuais da carga H da bomba, mantendo-se a vazão volumétrica da bomba 
constante, ou seja, para um dado valor de Q, o segmento AD é igual à soma dos segmentos AB e 
BC. 
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Exemplo 12
Desníveis de terreno elevados podem acarretar a necessidade de bombas com rotores de grande 
diâmetro e alta rotação, implicando altas acelerações centrífugas, bem como dificuldades 
na especificação de materiais e custos elevados. Para diminuir esses custos, podem-se 
associar várias bombas menores. Considere a associação de quatro bombas iguais na forma 
esquematizada na Figura 21. 
Figura 21 – Associação de bombas. Fonte: O autor.
Com relação ao tema, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
O tipo de associação de bombas apresentada na figura permite flexibilidade operacional, pois se 
pode retirar ou colocar qualquer das bombas em funcionamento em função das necessidades, 
com a vantagem de não ocorrer interrupção completa caso haja falha em uma das bombas. 
Nesse caso, ocorreria apenas uma redução da vazão do fluido bombeado pelo sistema.
PORQUE
Nesse tipo de associação, denominado associação em paralelo, a curva característica da 
associação ilustrada na figura é obtida a partir das curvas originais de cada bomba, somando-
se as vazões unitárias para uma mesma pressão.
É correto afirmar: 
(A) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é a justificativa correta 
da primeira. 
(B) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa. 
(C) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira. 
(D) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é a justificativa correta da 
primeira. 
(E) Tanto a primeira quanto a segunda asserção são proposições falsas.
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Solução: A associação em apreço é em paralelo. Esse tipo de associação tem como característica 
a flexibilidade operacional, pois se pode retirar ou colocar qualquer das bombas em 
funcionamento em função das necessidades, com a vantagem de não ocorrer interrupção 
completa caso haja falha em uma das bombas. Nesse caso, ocorreria apenas uma redução da 
vazão do fluido bombeado pelo sistema. E a curva característica desse tipo de associação é 
obtida pela adição das vazões unitárias para uma mesma pressão. Logo, responde à questão a 
alternativa (A).
Exemplo 13
O sistema elevatório de água de um edifício é composto por duas bombas centrífugas iguais, 
ligadas em série, com capacidade de 20 litros por segundo e 40 metros de altura manomé-
trica. A vazão, em litros por segundo, e a altura manométrica, em metros, das duas bombas 
funcionando em conjunto são, respectivamente, 
(A) 20 e 40. (B) 20 e 80. (C) 40 e 40. (D) 40 e 80. (E) 80 e 80.
Solução: Na associação em série, a carga líquida (HB) combinada é simplesmente a soma 
das cargas líquidas de cada bomba, e a vazão total é igual à vazão de cada bomba individual. 
Assim, a vazão é igual a 20 litros por segundo, e a carga líquida das duas bombas em série é 
igual a 40 m. Portanto, alternativa (A).
Em sua segunda edição, Bombas e instalações de bombeamento do autor Archibald 
Joseph Macintyre, da editora LTC, mantém o nível de excelência e traz uma obra 
completa e precisa para aquele engenheiro que projetará ou executará instalações 
de deslocamento de líquidos. Leitura mais que obrigatória para o futuro engenheiro.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, estudamos os conceitos fundamentais de perda de carga e de sistemas de 
bombeamentos. Estudamos os tipos de perda de carga e como calculá-las e, também, estudamos 
as bombas centrífugas. Aplicamos esses conceitos a fim de efetuar o dimensionamento de bombas 
centrífugas em circuitos hidráulicos.
Por fim, apresentamos alguns exercícios de fixação do conteúdo estudado. O objetivo 
geral desses exercícios de fixação é auxiliar na estruturação da sua aprendizagem. Lembre-se que 
a aprendizagem deve iniciar de dentro para fora. Espero que tenham apreciado os conteúdos 
estudados nesta unidade e também a disciplina como um todo. Até a próxima.
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ENSINO A DISTÂNCIA
REFERÊNCIAS
BRUNETTI, F. Mecânica dos fluidos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. Porto Alegre: 
McGraw-Hill, 2007.
FOX, R.W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à mecânica dos fluidos. 8. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2016.
GOULDS PUMPS. [Home]. Disponível em: https://www.gouldspumps.com/en-US/Home/. 
Acesso em: 26 out. 2020.
HIBBELER, R. C. Mecânica dos fluidos. Tradução de Daniel Vieira. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2016.
KSB. [Portal]. Disponível em: https://www.ksb.com/ksb-br-pt/download-center/. Acesso em: 26 
out. 2020.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C.; HONDZO, M. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Pioneira 
Thomson Learning, 2004.
RÜCKEN. Manômetros industriais. Disponível em: https://rucken.com.br/. Acesso em: 24 out. 
2020.
WHITE, F. M. Fluid mechanics. 4th ed. New York: McGraw-Hill, 2002.V a velocidade e é uma constante adimensional. Dessa 
forma, a dimensão de energia cinética é Observe que tanto 
energia potencial e energia cinética apresentam a mesma dimensão. Isso já era de se esperar, 
pois tratam da mesma grandeza física.
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Exemplo 5
(ITA) Certa grandeza física A é definida como o produto da variação de energia de uma 
partícula pelo intervalo de tempo em que essa variação ocorre. Outra grandeza, B, é o 
produto da quantidade de movimento da partícula pela distância percorrida. A combinação 
que resulta em uma grandeza adimensional é 
(A) AB (B) A/B (C) A/B2 (D) A2/B (E) A2B 
Solução: Segue do enunciado que A = ∆E.∆t, em que ∆E é a variação de energia e ∆t é 
a variação do tempo. Por outro lado, temos que B = Q.d, em que Q é a quantidade de 
movimento e d é a distância percorrida. Assim, a dimensão da grandeza A é [A] = M.L2.T–2.T 
= M.L2.T–1 e a da grandeza B é [B] = M.L.T–1.L = M.L2.T–1. Como [A] = [B], segue que a razão 
entre as grandezas A e B resulta em uma grandeza adimensional.
Exemplo 6
(ITA) Considere um corpo esférico de raio R totalmente envolvido por um fluido com 
velocidade média V. De acordo com a lei de Stokes, para baixas velocidades, esse corpo 
sofrerá a ação de uma força de arrasto viscoso dado pela equação , em que é 
uma constante adimensional e é uma propriedade do fluido. A dimensão de é
(A) (B) (C) (D) (E)
Solução: Segue do enunciado que , em que F é força (cuja dimensão é 
); R é o raio (cuja dimensão é L); V é a velocidade (cuja dimensão é 
) e é a grandeza de que se deseja avaliar a dimensão. Assim,
Ou seja, a dimensão da grandeza é e responde à questão a alternativa (E).
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Exemplo 7
(CESGRANRIO) O Sistema Internacional de Unidades (SI) é o padrão de medidas 
recomendado pela Conferência Geral de Pesos e Medidas, sendo, atualmente, o mais 
utilizado no Brasil e no mundo. São unidades do Sistema Internacional:
(A) metro, quilograma, segundo e kelvin.
(B) metro, quilograma, hora e Celsius.
(C) metro, grama, minuto e Celsius.
(D) milha, libra, segundo e fahrenheit.
(E) jarda, quilograma, hora e fahrenheit.
Solução: Da Tabela 1 depreende-se que são unidades do SI metro, quilograma, segundo 
e kelvin que, por sua vez, são unidades das grandezas comprimento, massa, tempo e 
temperatura, respectivamente. Logo, responde à questão a alternativa (A).
O conhecimento acerca das dimensões e unidades de algumas grandezas físicas 
ajuda e muito no entendimento de algumas grandezas físicas. Na Tabela 2, a 
seguir, são apresentadas algumas grandezas físicas, suas dimensões e unidades 
no SI e no sistema inglês de unidades.
Tabela 2 - Unidades e dimensões de algumas grandezas.
Grandeza Dimensão Unidades SI Unidades inglesas
Área L2 m2 ft2
Volume L3 m3 ft3
Velocidade L T-1 m s-1 ft s-1
Aceleração L T-2 m s-2 ft s-2
Força M L T-2 kg m s-2 lb ft s-2
Pressão M L2 T-2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Tensão M L2 T-2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Massa específica M L3 kg m-3 lb ft-3
Viscosidade M L-1 T-1 kg m-1 s-1 lb ft-1 s-1
Energia M L2 T2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Trabalho M L2 T2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Potência M L2 T3 kg m2 s-3 lb ft2 s-3
Vazão volumétrica L3 T-1 m3 s-1 ft3 s-1
Vazão mássica M T-1 kg s-1 lb s-1
Fonte: O autor. 
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Exemplo 8
(CESGRANRIO) A unidade do Sistema Internacional (SI) para medidas de pressão 
corresponde a
(A) kgf/m2
(B) (kg.m/s2)/m2
(C) (kgf.m/s2)/m2
(D) (kg.m2)/(m/s2)
(E) (kgf.m2)/(m/s2)
Solução: Vimos, no Exemplo 3, que a dimensão de pressão é . Assim, a 
unidade de pressão no SI é . Assim, responde à questão a alternativa (B). 
Exemplo 9
No século XIX, Osborne Reynolds estudou a transição entre os regimes laminar e turbulento 
em um tubo. O parâmetro que determinou o regime de escoamento, mais tarde, recebeu o 
nome de número de Reynolds, indicado por Re. O número de Reynolds é definido por:
em que é a massa específica do fluido, V é a velocidade de escoamento, D é o diâmetro 
do tubo e a viscosidade. Com base nessas informações, prove que o número de Reynolds 
é adimensional.
Solução: Segue do enunciado que . Assim,
Logo, o número de Reynolds é adimensional.
Algumas unidades recebem nomes especiais. A saber: 1 kg m-1 s-2=1 Pa (lê-se 1 
Pascal); 1 M L2 T-2=1 J (lê-se 1 Joule); 1 M L2 T-3=1 W (lê-se 1 Watt).
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2. HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL 
Todos sabem a expressão: “não podemos somar três maçãs com duas melancias”. Isso 
porque se trata de coisas distintas. Na verdade, é uma expressão simplificada de uma lei matemática 
mais fundamental e global, a lei da homogeneidade dimensional enunciada como:
Todo termo aditivo de uma equação deve ter as mesmas dimensões.
 
Todas as equações teóricas, em qualquer ciência física, são dimensionalmente homogêneas. 
Vamos analisar os casos seguintes:
Eq. (01)
Eq. (02)
em que as unidades de V e Vo (m/s), g (m/s2) e t (s). Vejamos, primeiramente para a 
equação (01), segue que: [ . 
Agora, para a equação (02), segue que: [ . Note que a equação 
(01) é dimensionalmente consistente, enquanto que (02) não o é.
Para serem dimensionalmente homogêneos, os termos de uma equação devem 
ter a mesma unidade. 
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Exemplo 10
A equação de Bernoulli é provavelmente a equação mais discutida e utilizada em Mecânica 
dos Fluidos. Essa equação, para um escoamento irrotacional de um fluido incompressível, 
é dada por: , tal que P é a pressão, é a massa específica, g a 
aceleração da gravidade, V a velocidade e z a cota referente à altura em relação à horizontal. 
Vamos analisar as dimensões de cada termo aditivo da equação de Bernoulli. Assim,
Como a dimensão de cada termo aditivo da equação de Bernoulli é a mesma, e igual a 
L, segue que a essa equação segue o princípio da homogeneidade dimensional. Caso as 
dimensões de qualquer um dos termos fossem diferentes das outras, isso indicaria que um 
erro foi cometido em alguma parte da análise. 
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Exemplo 11
Uma importante equação na teoria das vibrações é
em que m é a massa e x é a posição no instante t. Para uma equação dimensionalmente 
consistente, determine as dimensões de c, k e 
Solução: Sabemos que é a derivada segunda da posição em relação ao tempo, ou seja, é a 
aceleração. Sabemos também que é a derivada primeira da posição em relação ao tempo, 
ou seja, é a velocidade. Assim, o termo tem dimensão de , ou seja, 
tem dimensão de força. Assim, os termos e deverão ter dimensão de força para que a 
equação diferencial dada tenha consistência dimensional. Daí,
Portanto, as dimensões de c, k e f(t) são, respectivamente, e 
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3. DEFINIÇÃO DE FLUIDO E CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM 
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Em Física, foi estudado que a matéria existe em três estados fundamentais: sólido, líquido 
e gasoso. Uma substância que se encontra no estado líquido ou gasoso é denominada fluido e 
o que distingue um sólido de um fluido é a capacidade da substância em resistir à aplicação de 
uma tensão de cisalhamento. Dessa forma, um sólido é toda substância que resiste à tensão de 
cisalhamento aplicado nele e que se deforma. Por outro lado, um fluido é toda substância que, ao 
ser submetida a uma tensão de cisalhamento, irá deformar-se continuamente,https://www.gouldspumps.com/en-US/Home/independentemente 
da magnitude do valor da tensão de cisalhamento.
tangencial (Ft) e a área A onde é aplicada. 
Sabemos que toda a matéria é constituída de átomos e estes, segundo alguns modelos 
atômicos, são constituídos por um núcleo e eletrosfera. Daí, de acordo com essas considerações, 
a matéria é amplamente espaçada, em particular no estado gasoso. No entanto, para facilitar 
nosso estudo em Mecânica dos Fluidos, vamos assumir que a matéria é um meio contínuo e 
homogêneo e, a partir daí, podemos definir algumas propriedades dos fluidos.
A massa específica do fluido é a massa do fluido por unidade de volume 
Assim,
Eq. (03)
Considere que uma força de intensidade F seja aplicada sobre uma superfície 
cuja área é A, como indicado na Figura 1. Essa força pode ser decomposta de 
acordo com a direção normal à superfície e da tangente, dando origem a uma 
componente normal (FN) e outra tangencial (Ft), conforme ilustrado a seguir.
Figura 1 – Decomposição do vetor força. Fonte: O autor.
Dessa maneira, a pressão é o resultado do quociente entre a força normal (FN) e 
a área A onde é aplicada. Por outro lado, a tensão de cisalhamento é o resultado 
do quociente entre a força tangencial (Ft) e a área A onde é aplicada.
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A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que as possíveis unidades 
são: , , etc.
O volume específico do fluido é volume do fluido ocupado por unidade de massa 
 Assim,
Eq. (04)
A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que as possíveis unidades 
são: , , etc.
 O peso específico do fluido é o produto da massa específica com a 
aceleração gravitacional Assim,
Eq. (05)
com . A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que as 
possíveis unidades são: etc.
A densidade do fluido é a razão do valor da massa específica do fluido com o 
valor da massa específica de um fluido padrão. O fluido padrão para líquidos é a água e, para 
gases, é o ar. Assim,
Eq. (06)
A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que essa grandeza é 
adimensional.
Há que se ter cuidado com a nomenclatura estabelecida neste material. O que é, 
normalmente, definido nos livros de Física como “densidade” é aqui definido como 
“massa específica”, ao passo que “densidade” é uma medida relativa.
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Exemplo 12
Um recipiente de 7,5 m3 é parcialmente preenchido com 900 kg de um líquido cuja massa 
específica é 2.400 kg/m3. O restante do volume do recipiente contém gás com massa específica 
igual a 3,6 kg/m3. Nesta situação, determine a massa de gás, em kg, no interior do recipiente.
Solução: Depreende-se do enunciado que parte do recipiente está preenchido com o líquido 
e parte com gás. Assim, pela Eq. (01), podemos determinar o volume do líquido contido no 
interior do recipiente, ou seja,
Como o volume do recipiente é 7,5 m3, segue que o volume de gás é igual a 
Aplicando novamente a Eq. (01), determina-se o valor da massa de gás no interior do tanque. 
Assim, 
Portanto, a massa de gás no interior do recipiente é igual a 25,65 kg. 
Exemplo 13
Dois líquidos X e Y possuem massas específicas a 25°C de 1000 kg/m3 e 1200 kg/m3, 
respectivamente. Em um tanque mantido à temperatura constante de 25°C, serão misturados 
160 m3 do líquido X com 240 m3 do líquido Y. Se os líquidos formarem uma mistura ideal, 
determine a massa específica média da mistura a 25°C, em kg/m3.
Solução: Depreende-se do enunciado que, para o líquido X, 1000 kg/m3 e V = 160 m3. Já 
para o líquido Y, 1200 kg/m3 e V = 240 m3. Como a mistura é ideal, segue que o volume 
final da mistura é igual à soma dos volumes dos líquidos X e Y, ou seja, 400 m3. Aplicando a Eq. 
(01), determinamos a massa dos líquidos X e Y na mistura. Assim,
A massa total da mistura é igual a 448.000 kg e a massa específica da mistura é determinada 
aplicando a Eq. (01). Assim,
Logo, a massa específica da mistura é igual a 
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A viscosidade do fluido é a propriedade que mede a resistência deste em escoar. Para 
obter uma equação para a viscosidade, considere que uma camada fluida seja colocada entre duas 
placas planas, paralelas e infinitas. Considere ainda que as placas estejam separadas por uma 
distância . No instante t = 0, considere que uma força F, constante e tangencial, seja aplicada sobre 
a placa superior, enquanto que a placa inferior permanece parada. Após um tempo, verifica-se 
que a placa superior se move continuamente sob a influência da força F, com velocidade constante 
V, como apresentado na Figura 2. Lembre-se de que essa força F horizontal está sendo aplicada 
sobre uma área A da placa. A razão entre F e A é denominada tensão de cisalhamento .
Figura 2 - Comportamento de um fluido entre placas quando a placa superior está em movimento. Fonte: O autor.
O fluido em contato com a placa superior prende-se à superfície dessa placa e passa a 
deslocar-se com ela a uma mesma velocidade V. Aqui, temos a atuação da tensão de cisalhamento 
 agindo sobre a camada fluida. Por outro lado, o fluido que está aderido à placa inferior 
assume a velocidade dessa placa, isto é, a velocidade é nula, porque a placa está parada. Assim, 
para um escoamento laminar e estacionário, temos entre as duas placas a criação do gradiente de 
velocidade, denotado por . O fato está ilustrado na Figura 3.
Figura 3 – Criação do gradiente de velocidade devido ao escoamento de um fluido entre placas quando a placa 
superior está em movimento. Fonte: O autor.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Os fluidos para os quais o gradiente de velocidade criado é proporcional ao cisalhamento 
aplicado são denominados fluidos newtonianos. A constante de proporcionalidade entre essas 
grandezas é denominada viscosidade. Dessa forma, os fluidos newtonianos seguem a Lei de 
Newton da Viscosidade, que é escrita como
 
Eq. (07)
em que é a tensão de cisalhamento, é o gradiente de velocidade ou taxa de deformação 
e é a viscosidade. A análise das dimensões da grandeza viscosidade nos permite afirmar que as 
possíveis unidades são: etc.
A maior parte dos fluidos comuns como água, ar, gasolina e óleo são fluidos newtonianos. 
Creme dental, piche, tintas e soluções de amido são exemplos de fluidos que não seguem a lei de 
Newton da viscosidade, e esses fluidos são denominados fluidos não newtonianos. 
Para os fluidos newtonianos, há uma relação linear entre a tensão de cisalhamento e a 
taxa de deformação e, para os fluidos não newtonianos, a relação é não linear, como pode ser 
observado na Figura 4.
Figura 4 – Fluidos newtonianos e não newtonianos. Fonte: O autor.
Os fluidos não newtonianos apresentam viscosidade aparente . Os fluidos 
pseudoplásticos são aqueles para os quais os valores da viscosidade aparente diminuem à medida 
que se aumenta a taxa de deformação e são exemplos de fluidos pseudoplásticos: soluções com 
partículas em suspensão, soluções poliméricas e outros. Os fluidos dilatantes têm os valores da 
viscosidade aparente aumentados à medida que se aumenta a taxa de deformação e são exemplos 
de fluidos dilatantes: areia em suspensão, solução de amido e outros. Existem fluidos, como creme 
dental, que inicialmente resistem a baixos valores de taxa de cisalhamento (e se comportam como 
sólidos, inicialmente) e, ao excederem um valor limite de tensão, passam a escoar como um 
fluido e esse tipo de fluido é denominado plástico de Bingham.
A viscosidade em líquidos e gases é afetada fortemente pela temperatura. Em líquidos, o 
aumento da temperatura ocasiona diminuição no valor da viscosidade, isso porque, em líquidos, 
a viscosidade é causadapela coesão entre as moléculas e à medida que se tem a temperatura 
aumentada, há distanciamento entre as moléculas que, por sua vez, diminui a coesão e, por 
consequência, há diminuição do valor da viscosidade. Já nos gases, a viscosidade é causada pelos 
choques entre as moléculas gasosas. Dessa maneira, um aumento na temperatura ocasionará 
aumento no número de colisões entre as moléculas que, consequentemente, aumentará o valor 
da viscosidade. 
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A viscosidade cinemática do fluido é a razão entre os valores da viscosidade absoluta 
do fluido e a sua massa específica. Assim,
Eq. (08)
A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que as possíveis unidades 
são: etc.
 
Viscosidade Absoluta, Viscosidade Aparente e Viscosidade Cinemática, e agora 
professor? A viscosidade é a propriedade inerente ao fluido pela qual este oferece 
resistência ao cisalhamento, isto é, trata-se da medida da resistência do fluido à 
fluência quando sobre ele atua uma força exterior. Dessa maneira, não se podem 
confundir viscosidade absoluta, viscosidade aparente e viscosidade cinemática. 
A viscosidade absoluta (ou dinâmica) é a viscosidade apresentada por fluidos 
que seguem a Lei de Newton da Viscosidade (fluidos newtonianos) e é constante 
independente dos valores da tensão de cisalhamento e da taxa de deformação às 
quais o fluido está submetido. Por outro lado, os fluidos não newtonianos (aqueles 
que não seguem a Lei de Newton da Viscosidade) apresentam viscosidade 
aparente, e esse valor varia de acordo com a tensão de cisalhamento e a taxa 
de deformação às quais esse fluido está submetido. E, por fim, a viscosidade 
cinemática é a razão entre o valor da viscosidade (absoluta ou aparente) e a 
massa específica do fluido.
A decomposição de forças num plano inclinado é de grande 
importância para entendermos alguns fenômenos e nos auxiliará 
na resolução do próximo exemplo. Assista ao vídeo Dinâmica - 
Entendendo o plano inclinado antes de passar para o próximo 
exemplo. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=99uVkglDDn0 .
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Exemplo 14
Um experimento consiste em um sistema de duas placas, sendo que uma está imóvel (v1 = 0), e 
a outra é puxada com uma força horizontal por unidade de área igual a 15 Pa, como ilustrado 
na Figura 5.
Figura 5 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Um fluido viscoso ocupa o espaço entre as duas placas que se situam a D = 15 mm uma da 
outra. Devido à viscosidade do fluido, a placa de cima se move paralelamente à primeira com 
v2 = 300 cm/s. Determine a viscosidade absoluta do fluido.
Solução: Admitindo que o fluido em apreço seja newtoniano, podemos usar a Eq. (05) e deter-
minar o valor da viscosidade absoluta desse fluido. Note que a referida equação é, na verdade, 
uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que pode ser resolvida por separação de 
variáveis. Assim, 
Resolvendo as integrais acima, resulta em
Dessa forma, a viscosidade do fluido pode ser calculada por meio da equação
Como e, substituindo na equação acima, temos que a viscosidade de um fluido newto-
niano pode ser determinada por meio da equação
Do enunciado depreende-se que , D = 15 mm = 0,015 m e V = 300 cm/s = 3 
m/s. Substituindo, temos que
Logo, o valor da viscosidade absoluta do fluido é igual a 0,075 Pa.s.
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Exemplo 15
Na Figura 6, observa-se uma placa quadrada cuja área da base é 2 m2 e massa 2 kg que des-
liza sobre uma lâmina de óleo depositada sobre um plano inclinado em 30º em relação à 
horizontal. A viscosidade desse óleo é 0,4 Pa.s e a espessura da lâmina é de 10 mm. Admita 
que a lâmina de óleo não escorra pelo plano inclinado, que o escoamento entre a placa e o 
plano seja laminar e que a aceleração da gravidade local seja igual a 10 m/s2. Nessas condi-
ções, determine a velocidade terminal da placa escoando pelo plano inclinado.
Figura 6 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Como o fluido em apreço é óleo e esse é um fluido newtoniano, a Eq. (05) pode ser 
empregada. No Exemplo 3, já resolvemos essa equação diferencial e escrevemos a equação 
para determinar o valor da viscosidade. Agora, vamos reescrever a equação do Exemplo 3 
para determinar a velocidade, ou seja,
que pode ser reescrita como
em que é a espessura da camada de óleo. Do enunciado temos que 
; ; . A força que atua nesse sistema é a força peso, ou seja, 
. No entanto, devemos considerar apenas a componente da força que 
atua paralelamente ao escoamento. Assim, efetuando decomposição dessa força, resulta que 
a força paralela ao escoamento será Assim, a velocidade termi-
nal da placa é
Logo, a velocidade terminal da placa é igual a 0,125 m/s.
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Exemplo 16
A placa da Figura 7 está apoiada no topo de um filme fino de água que está a 25ºC. Quando 
uma força F é aplicada, o perfil de velocidade através da espessura de fluido é descrito por 
em que V está em m s e y em m. Nessa situação, considerando que o fluido em escoamento seja 
newtoniano, de viscosidade cinemática e massa específica 1000 , determine:
A) o valor do módulo da tensão de cisalhamento no ponto localizado sobre a superfície fixa.
B) o valor do módulo da tensão de cisalhamento no ponto localizado sobre a placa móvel.
Figura 7 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Por hipótese o fluido em escoamento é newtoniano e, dessa maneira, podemos aplicar 
a lei de Newton da viscosidade – Eq. (05). Assim,
Note que a taxa de deformação – – é a derivada do perfil de velocidade em relação ao raio, 
isto é, 
Assim, a expressão que calcula o valor em módulo da tensão de cisalhamento é dada por:
Como segue que 
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Do enunciado, depreende-se que . Substituindo na equação 
acima, segue que
Logo, o valor do módulo da tensão de cisalhamento na superfície fixa (y = 0) é
 Temos, ainda, que a tensão de cisalhamento num ponto localizado sobre a placa móvel (y = 
15 mm = 0,015 m) é 
 
Note que o maior valor de tensão de cisalhamento se desenvolveu sobre a superfície fixa e não 
sobre a superfície móvel, pois o gradiente de velocidade é máximo na superfície fixa.
O estudo reológico de diversas substâncias tem sido o foco de pesquisa de 
alguns pesquisadores. O estudo reológico nada mais é do que o estudo do 
comportamento da viscosidade de fluidos. Assim, ficam como sugestão de leitura 
os artigos científicos a seguir:
• OLIVEIRA, R. C.; ROSSI, R. M.; GIMENES, M. L.; JAGADEVAN, S.; 
GIUFRIDA, W. M.; BARROS, S. T. D. Extraction of passion fruit seed 
oil using supercritical CO2: a study of mass transfer and rheological 
property by Bayesian inference. Grasas y Aceites, Sevilla, v. 64, 
p. 400-406, 2013. Disponível em: http://grasasyaceites.revistas.
csic.es/index.php/grasasyaceites/article/view/1446/1448.
• OLIVEIRA, R. C.; ROSSI, R. M.; BARROS, S. T. D. Estudo reológico da polpa de 
morango (Fragaria vesca) em diferentes temperaturas. Acta Scientiarum. 
Technology, Maringá, v. 34, p. 283-288, 2012.
http://grasasyaceites.revistas.csic.es/index.php/grasasyaceites/article/view/1446/1448
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O líquido mantém sua forma devido à atração de suas moléculas por forças de coesão, 
que é um tipo de força que faz com que os líquidos resistam à tensão por tração e, dessa forma, 
criam uma tensão superficial.O fenômeno da tensão superficial é explicado quando observamos as forças coesivas 
que atuam em moléculas de líquidos. Observe, na Figura 8, que uma molécula localizada 
profundamente num meio líquido possui forças coesivas atuando em todo seu redor e, como 
consequência, a força resultante que atua sobre ela é nula. Por outro lado, uma molécula localizada 
na superfície do meio líquido possui forças de coesão vindas de moléculas que estão abaixo delas 
e também de moléculas vizinhas. Na superfície livre, não há forças de coesão e, por conseguinte, 
teremos uma força resultante para baixo que tentará puxar a superfície para baixo. 
Figura 8 – Tensão superficial em moléculas. Fonte: Hibbeler (2016).
A separação das moléculas da superfície exige uma força de tração. Essa força de tração 
que surge na superfície gera uma tensão que atua no sentido paralelo à superfície devido às forças 
atrativas entre as moléculas desse líquido, como apresentado na Figura 9. Essa força de tração por 
unidade de comprimento é denominada tensão superficial e é, em geral, expressa em N/m 
ou lbf/ft e o valor numérico dessa grandeza, em geral, depende da temperatura do líquido. 
Figura 9 – Tensão superficial na superfície livre. Fonte: Hibbeler (2016).
A tensão superficial em líquidos muda consideravelmente com o valor da temperatura. 
Para água a 0ºC, seu valor é 0,076 N/m e, para água a 300ºC, seu valor é 0,014 N/m. Isso ocorre 
porque, quanto maior a temperatura, maior o grau de agitação dessas moléculas e, portanto, 
menor a tensão superficial. A tensão superficial também muda com a pureza do material. 
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Para diminuir o valor da tensão superficial de líquidos, certos produtos químicos são 
adicionados, visando à redução dessa tensão superficial. Essas substâncias que são adicionadas 
são denominadas agentes tensoativos. Por exemplo, sabões e detergentes diminuem a tensão 
superficial da água e permitem que ela entre em pequenas aberturas para lavagem mais eficiente 
de roupas. 
Separar as moléculas e quebrar a tensão superficial de um líquido exige trabalho e a 
energia produzida por esse trabalho é chamada de energia de superfície livre.
A coesão também é responsável pela formação de gotas líquidas que se formam quando 
um líquido é borrifado. Essas forças de coesão tendem a minimizar o formato de qualquer gota 
líquida reduzindo a gota ao formato esférico. A diferença de pressão entre as partes interna e 
externa dessa gotícula é calculada por meio da equação:
Eq. (09)
em que R é o raio da gotícula. 
Outra consequência da tensão superficial é o efeito capilar, que é a ascensão ou 
depressão de um líquido num tubo de pequeno diâmetro imerso num líquido. Esses tubos finos 
são denominados capilares e a superfície livre curva de um líquido num capilar é denominado 
menisco, como ilustrado nas Figuras 11 e 12. A capilaridade depende das forças de coesão e 
adesão.
O método da gota pendente (Figura 10) é bastante utilizado para se determinar 
a tensão superficial de materiais. O método da gota pendente baseia-se na 
determinação do perfil de uma gota pendente em ar em equilíbrio mecânico, como 
ilustrado na figura abaixo.
Figura 10 – O método da gota para determinação da tensão superficial. Fonte: O autor.
O mercúrio é um líquido não umectante, ou seja, as forças de adesão das moléculas 
da superfície são menores que as forças de coesão, e seu menisco será convexo. 
Por outro lado, a água é um líquido umectante, ou seja, as forças de adesão das 
moléculas da superfície são maiores que as forças de coesão, e seu menisco será 
côncavo. 
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Figura 11 – Líquido umectante e não umectante. Fonte: Hibbeler (2016).
O valor da ascensão capilar (h) é calculado por meio da equação:
Eq. (10)
em que é a massa específica do fluido; g a aceleração gravitacional; R é o raio do capilar 
e é o ângulo de contato, definido como o ângulo que a tangente à superfície do líquido faz com 
a superfície sólida no ponto de contato.
Figura 12 – Ascensão capilar. Fonte: Adaptado de Hibbeler (2016).
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Exemplo 17
Devido à tensão superficial do líquido de massa específica , o líquido sobe dentro dos 
tubos 1 e 2, como mostrado na figura abaixo. Sabe-se que . Com base nessas informa-
ções, determine .
Figura 13 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Temos a ascensão capilar de um mesmo líquido em capilares de diferentes diâ-
metros. Assim, as grandezas , e são idênticas nos dois capilares. Logo, as ascensões 
capilares nos tubos são
e
Logo, 
Portanto, 
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4. ESTÁTICA DOS FLUIDOS
4.1 Pressão, Lei de Stevin e Princípio de Pascal
As forças aplicadas em corpos rígidos por fluidos tanto em repouso quanto em movimento 
são situações estudadas em Estática dos Fluidos e a propriedade do fluido responsável por tal 
fenômeno é denominado pressão, que nada mais é do que a força normal aplicada por um fluido 
por unidade de área. Pressão é um termo empregado quando discorremos sobre líquidos e gases 
(fluidos), ao passo que o termo equivalente para os sólidos é tensão normal.
Eq. (11)
A grandeza pressão tem como unidades: Pa, bar, atmosfera padrão (atm), mm de Hg, psi 
etc. 
Uma das áreas de materiais que mais tem despertado a atenção no 
mundo é a que inclui as chamadas “blendas poliméricas”. A tensão 
interfacial é o parâmetro-chave no controle da compatibilidade 
entre os constituintes de uma mistura de polímeros. No artigo 
Comparação entre o método da gota pendente e o método da 
gota girante para medida da tensão interfacial entre polímeros, um 
estudo comparativo entre métodos diferentes é realizado para determinação 
da tensão interfacial entre polímeros. As autoras são Nicole R. Demarquette, da 
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - Departamento de Engenharia 
Metalúrgica e de Materiais, e Musa R. Kamal, da McGill University, Chemical 
Engineering Department. O artigo está disponível em: http://www.scielo.br/pdf/
po/v7n3/8889.pdf. 
http://www.scielo.br/pdf/po/v7n3/8889.pdf
http://www.scielo.br/pdf/po/v7n3/8889.pdf
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A pressão em uma dada posição é denominada pressão absoluta e é medida em relação 
ao vácuo absoluto. No entanto, a maioria dos dispositivos medidores de pressão é calibrada 
para efetuar a leitura do zero na pressão atmosférica e essa pressão é denominada pressão 
manométrica, como pode ser observado na Figura 15. Na Figura 16, são apresentados alguns 
manômetros industriais. Assim,
Eq. (12)
Figura 15 – Pressão absoluta e pressão manométrica. Fonte: O autor.
Figura 16 – Manômetros industriais. Fonte: Rücken (2020).
Observe a Figura 14 e note que pressão e área são grandezas inversamente 
proporcionais.
Figura 14 – A relação de proporcionalidade entre pressão e área. Fonte: O autor.
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A pressão é uma grandeza escalar, isto é, ela tem uma intensidade e não uma direção 
específica. Dessa forma, a pressão em qualquer ponto de um fluido é igual em todas as direções. 
A magnitude do valor da pressão em fluidos aumenta com o aumento do valor da profundidade, 
e esse fato é apresentado pelo Teorema de Stevin.
Teorema de Stevin
O valor da diferença de pressão entre dois pontos, em um fluido em repouso, é igual ao 
produto do peso específico desse fluido pela diferença de altura entre esses dois pontos.
Escrevendo o Teorema de Stevin como uma equação, temos:
 Eq. (13)em que é a diferença de altura entre dois pontos. Segundo Brunetti (2008), o Teorema 
de Stevin tem como consequências:
I. na diferença de pressão entre dois pontos, não interessa a distância entre eles, mas a 
diferença de cotas.
II. a pressão dos pontos num mesmo plano ou nível horizontal é a mesma.
III. o formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em algum ponto 
(princípio dos vasos comunicantes).
IV. em gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cota entre dois pontos 
não é muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre eles.
Os vasos comunicantes  são recipientes geralmente em formato de U que são 
empregados na análise das relações entre as massas específicas de líquidos 
imiscíveis e executar estudos sobre a pressão exercida por colunas de líquidos. 
A Figura 17 apresenta um vaso comunicante preenchido com água com corante.
Figura 17 – Os vasos comunicantes. Fonte: O autor.
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Exemplo 18
Um tanque cilíndrico é preenchido por um óleo cuja massa específica é igual a 2500 kg/m3. 
O óleo ocupa o tanque até a altura de 5 m, sendo que, na superfície do óleo, a pressão é a 
atmosférica, que foi estimada em 105 Pa. Determine a pressão absoluta na base do tanque, 
em kPa.
Solução: Da Eq. (08) segue que a pressão absoluta é a soma da pressão atmosférica, que no 
enunciado é dito ser 105 N/m2, com a pressão hidrostática, que é calculada pela Lei de Stevin. 
Assim, a pressão hidrostática é
Logo, a pressão absoluta no fundo do tanque é
Os vasos comunicantes são dispositivos, em geral, com formato 
em U que são empregados para analisar a relação entre massa 
específica de líquidos imiscíveis e a pressão exercida por colunas 
de líquidos. O vídeo a seguir, Vasos comunicantes, apresenta o que 
são e como funciona o princípio dos vasos comunicantes: 
https://www.youtube.com/watch?v=ZDTyfitx4A4.
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Exemplo 19
A pressão absoluta medida em um ponto no fundo do oceano Atlântico foi de 100 atm. Sabe-se 
que: (i) a pressão atmosférica local equivale a 1 atm = 105 Pa; (ii) a massa específica da água 
do mar vale 1,05 x 103 kg/m3 e (iii) a aceleração da gravidade local é de 9,8 m/s2. Determine a 
profundidade, em relação ao nível do mar, onde foi feita a medição da pressão.
Solução: Sabemos que a pressão absoluta é a soma da pressão manométrica (ou hidrostática) 
com a pressão atmosférica. Dessa forma, depreende-se do enunciado que a pressão hidrostática 
no fundo do oceano é igual a . Aplicando a lei de Stevin, podemos 
determinar o valor da altura na qual ocorre esse valor de pressão hidrostática.
Logo, a profundidade, em relação ao nível do mar, era de aproximadamente 962,1 m.
Exemplo 20
Em uma barragem, uma comporta quadrada, de 1 m de lado, está posicionada a 2 m de 
profundidade, como ilustrado pela Figura 18.
Figura 18 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Sabendo que a massa específica da água é 1000 kg/m3 e a aceleração gravitacional é 10 m/s2, 
determine a força que a água exerce sobre essa comporta.
Solução: Sabemos que a pressão é a razão entre a força perpendicular que atua num objeto 
pela área de atuação da força. Pela Lei de Stevin, a pressão hidrostática é 
Observe que e não 2 m. Isso ocorre, pois temos que recordar que a pressão atuará 
no centro de gravidade da comporta, que nesse caso está a 2,5 m abaixo do nível da água 
na placa. Temos que a área da comporta é igual a 1 m2. Daí, a força que atua na placa é 
 Logo, a força que atua na comporta é igual a 25 kN.
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O Princípio de Pascal
O princípio de Pascal, enunciado no século 17, por Blaise Pascal, diz que: “O aumento da 
pressão exercida em um líquido em equilíbrio é transmitido integralmente a todos os pontos do 
líquido bem como às paredes do recipiente em que ele está contido”. 
Para ficar clara a importância desse princípio, considere um recipiente que contenha um 
líquido e no interior do líquido vamos marcar pontos: A, B e C. Considere que as pressões nesses 
pontos sejam A = 20 Pa, B = 30 Pa e C = 40 Pa, como ilustrado na Figura 19 (a). Considere que um 
êmbolo ideal seja acoplado ao recipiente e que esse êmbolo tenha área de A = 0,5 m2. Considere 
também que uma força perpendicular de 100 N seja exercida sobre o êmbolo, o que produz uma 
pressão adicional sobre o sistema de 200 Pa. O Princípio de Pascal afirma que essa pressão de 200 
Pa é, agora, transmitida a todos os pontos no interior do tanque. Assim, a pressão nos pontos A, 
B e C será igual a: A = 220 Pa, B = 230 Pa e C = 240 Pa, como ilustrado na Figura 19 (b).
Figura 19 – Ilustração do Princípio de Pascal. Fonte: O autor.
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O princípio de Pascal tem muita importância para resolver problemas de dispositivos que 
transmitem e ampliam força por meio da pressão aplicada em fluidos, como a prensa hidráulica.
Exemplo 21
Em uma oficina, um carro encontra-se suspenso por meio de uma prensa hidráulica, como 
apresentado na Figura 20. 
Figura 20 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
O diâmetro, D, do êmbolo maior que sustenta o carro é igual a 30 cm, enquanto que o diâmetro, 
d, do êmbolo menor é igual a 2,5 cm. Considere que o fluido interno na prensa seja ideal e as 
massas dos êmbolos desprezíveis. Se a massa do carro, suspenso no êmbolo de maior diâmetro, 
é de 2000 kg, determine a força a ser desenvolvida pelo compressor de ar (B) para subir o 
macaco (A) a uma velocidade constante.
Solução: Segue do Princípio de Pascal que a pressão exercida pelo compressor é transmitida 
igualmente para todos os pontos no interior da prensa. Dessa forma, como o sistema está em 
equilíbrio estático, escrevemos
em que P é a pressão, F a força normal e A a área. Como a força que atua no sistema é o peso 
e essa grandeza é o produto da massa do objeto com a gravidade, segue, após simplificações 
algébricas, que
em que m é a massa e d, D são diâmetros dos êmbolos menor e maior, respectivamente, e g é 
a aceleração gravitacional. Daí,
Logo, a força a ser desenvolvida pelo compressor é de 138,9 N.
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4.2 Manometria e Aplicações
O manômetro é o instrumento empregado para a medição do valor da pressão. Em geral, 
esse dispositivo é constituído de um tubo em U de plástico ou vidro. A Figura 21 ilustra alguns 
exemplos de manômetros com a forma em U.
Figura 21 – Exemplos de manômetros em U. Fonte: O autor.
A técnica da medida de pressão, por meio de um manômetro em U, é denominada 
manometria. Os fluidos que estão no interior desses manômetros são denominados fluidos 
manométricos e, em geral, são empregados mercúrio, água, óleo, com massas específicas diferentes 
e não miscíveis com o fluido do sistema, que deve ter o valor da pressão a ser medido.
Para a determinação do valor da pressão manométrica em uma das extremidades do 
manômetro, faz-se o uso da seguinte regra prática: à medida que se desce em uma coluna de 
fluido, a pressão tem seu valor aumentado, e à medida que se sobe em uma coluna de fluido, 
a pressão tem seu valor diminuído. A equação obtida aplicando a regra prática é denominada 
equação manométrica. 
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Exemplo 22
Considere o manômetro em U da Figura 22 e determine a equação manométrica que permite o 
cálculo da diferença de pressão entre os pontos A e B. Na figura, considere que , e são os 
pesos específicos dos fluidos 1, 2 e 3, respectivamente,e que , e são, respectivamente, 
os valores das alturas das colunas de fluidos 1, 2 e 3.
Figura 22 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Admita que e sejam os valores das pressões nas tubulações nos pontos A e B, 
respectivamente. Para determinar a equação manométrica dessa instalação, vamos iniciar as 
tomadas das medidas das pressões das colunas de fluidos a partir do lado esquerdo. Assim,
• No ponto A e no ponto 1, as pressões são as mesmas (lembre-se de que, em pontos 
onde o fluido é o mesmo e na mesma cota, as pressões são iguais).
• Entre os pontos 1 e 2, descemos uma coluna, contendo o fluido 1, de altura h1. Logo, essa 
pressão é positiva e pela Lei de Stevin seu valor é calculado por meio de .
• Nos pontos 2 e 3, as pressões são idênticas.
• Entre os pontos 3 e 4, subimos uma coluna, contendo o fluido 2, de altura h2. Logo, essa 
pressão é negativa e pela Lei de Stevin seu valor é calculado por meio de .
• Entre os pontos 4 e 5, subimos uma coluna, contendo o fluido 3, de altura h3. Logo, essa 
pressão é positiva e, pela Lei de Stevin, seu valor é calculado por meio de .
• Nos pontos 5 e B, as pressões são as mesmas.
• Juntando esses valores, temos a equação manométrica, que é escrita como:
Assim, a diferença de pressão entre os pontos A e B é dada por:
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Exemplo 23
O sistema ilustrado na Figura 23 foi utilizado para medir a pressão do gás contido no 
interior de um botijão de gás doméstico. O fluido manométrico é o mercúrio (Hg), cuja 
massa específica é 13600 kg.m–3.
Figura 23 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Sabendo-se que, no local, a aceleração da gravidade é 10 m.s–2 e a pressão atmosférica é 8,00 
x 104 Pa, determine o valor da pressão exercida pelo gás, em Pa.
Solução: Admita que seja o valor da pressão no interior do botijão. Assim, escrevemos a 
equação manométrica para o sistema da seguinte maneira:
Logo, a pressão absoluta no interior do botijão é igual a 134,4 kPa. Caso queira determinar 
apenas a pressão hidrostática, fazemos na equação manométrica acima Assim, a 
pressão manométrica correspondente é 
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Exemplo 24
No manômetro ilustrado na Figura 24, instalado em uma aula prática de mecânica dos 
fluidos, o fluido manométrico é o mercúrio, de massa específica 13,6 g/cm3. Há água, de massa 
específica 1,00 g/cm3, no ramo esquerdo, e óleo, de massa específica 0,80 g/cm3, no ramo 
direito. Considerando a aceleração da gravidade local g = 10 m/s2, determine a diferença de 
pressão, PB – PA, em kPa.
Figura 24 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Sejam e os valores das pressões nas tubulações nos pontos A e B, respectivamente. 
Segue do enunciado que os pesos específicos do mercúrio, água e óleo são iguais a 136000; 
10000 e 8000 N/m3. Assim, escrevemos a equação manométrica:
Lembre-se de que, ao usar as medidas que constam na figura, que estão em centímetros, temos 
que transformá-las para metro. Daí, resolvendo a equação, temos que
Logo, a diferença de pressão entre os pontos B e A é igual a 38,7 kPa.
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4.3 Empuxo
Acredito que todos que fazem a leitura deste material já entraram em uma piscina ou em 
um riacho. Vocês observaram que nos sentimos mais leves quando estamos dentro da piscina? 
Pois bem, esse fato é explicado devido ao surgimento de uma força normal orientada para cima 
que surge denominada empuxo. Note que o empuxo é um tipo de força e suas unidades são: N, 
dyna etc.
Princípio de Arquimedes
Todo corpo, quando imerso em um fluido, sofre ação de uma força empuxo orientada 
verticalmente para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido que esse corpo desloca.
Escrevendo o princípio de Arquimedes como uma equação, temos:
Eq. (14)
em que é o empuxo; a massa específica do fluido; g a aceleração gravitacional e 
 é o volume do fluido deslocado.
O peso aparente de um corpo submerso em um fluido é calculado como:
Eq. (15)
Exemplo 25
Um bloco no formato de um cubo de 10 cm de aresta é parcialmente submerso em um fluido até 
1/4 de sua altura. Dado que a massa específica do fluido é 900 kg/m3 e a aceleração gravitacional 
é igual a 10 m/s2, determine o empuxo sobre o bloco em N.
Solução: Segue do enunciado que o volume de fluido deslocado é 
Assim, o valor do empuxo é
Logo, o valor do empuxo é igual a 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta Unidade 1, completamos nossos estudos em alguns conceitos fundamentais 
da mecânica dos fluidos, tais como: força de cisalhamento, forças normais, tipos de fluidos e 
as propriedades de fluidos (massa específica, viscosidade, peso específico, tensão superficial e 
densidade). 
Discutimos, também, conceitos fundamentais em estática dos fluidos, como a lei de 
Stevin, o princípio dos vasos comunicantes, o princípio de Pascal e o princípio de Arquimedes. 
Por fim, são apresentados alguns exercícios de fixação do conteúdo estudado. O objetivo 
geral desses exercícios de fixação é auxiliar na estruturação da sua aprendizagem. Lembre-se de 
que a aprendizagem deve iniciar de dentro para fora. Espero que tenham apreciado os conteúdos 
estudados. Abraços e até a Unidade 2.
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................... 41
1. CARACTERIZAÇÃO DO MOVIMENTO DOS FLUIDOS ............................................................................................42
2. VELOCIDADE MÉDIA E VAZÃO ...............................................................................................................................49
3. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE ...........................................................................................................................54
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................64
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA
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INTRODUÇÃO
 
Na maior parte das situações industriais, os fluidos não permanecem parados, eles 
escoam. A cinemática dos fluidos é a parte da mecânica dos fluidos que vai se preocupar com o 
fluido em movimento. Esse movimento, muitas vezes, é ocasionado por forças e/ou momentos. 
Nossos objetivos nesta unidade são: definir a velocidade e a aceleração de um fluido 
segundo a visão lagrangeana e euleriana; definir vazão em volume e em massa; classificar os 
diversos tipos de escoamento e discutir como eles ocorrem; definir e aplicar a equação da 
continuidade para escoamentos em regime permanente. 
 Convido a todos para efetuarem uma leitura minuciosa desta unidade e, em seguida, 
resolver os exercícios propostos. Agarre sua xícara de café, aperte o cinto e bons estudos.
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1. CARACTERIZAÇÃO DO MOVIMENTO DOS FLUIDOS
 
Em se tratando da cinemática dos fluidos, as grandezas deslocamento, velocidade e 
aceleração são de interesse de estudo. Ao realizar este estudo, precisamos definir um referencial. 
Em mecânica dos fluidos, há dois tipos de referenciais: o Lagrangiano e o Euleriano. De acordo 
com Potter, Wiggert e Hondzo (2004), o deslocamento, a velocidade e a aceleração das partículas 
são relacionadas por meiode , e , respectivamente. O 
ponto define o ponto a partir do qual o movimento será estudado para cada partícula. 
Essa descrição do movimento é denominada lagrangiana e nela a descrição do movimento das 
partículas individuais é observada em função do tempo. No entanto, essa versão de observação 
é um tanto trabalhosa, pois teríamos de acompanhar o movimento de todas as partículas fluidas 
ao longo do escoamento. Para facilitar os estudos, a versão euleriana foi desenvolvida. Nela, 
pontos são marcados no espaço e se observam as partículas passando em cada ponto. Assim, 
por exemplo, podemos analisar as taxas de variação das grandezas com a posição e o tempo. A 
região de escoamento é denominada campo de escoamento e podemos expressar as grandezas 
deslocamento, velocidade e aceleração como função da posição e tempo: , 
 e . O comportamento das funções deslocamento, velocidade 
e aceleração é descrito de maneira similar ao do cálculo vetorial.
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Exemplo 1
Um campo de velocidade tridimensional, incompressível e permanente é dado pela 
equação onde 
as coordenadas x, y e z estão em centímetro e a velocidade em cm/s. Para esse campo de 
escoamento, resolva os itens abaixo:
A) Determine a velocidade de escoamento no ponto P(0,0,0).
B) Um ponto de estagnação é aquele no qual a velocidade é identicamente nula. Para o 
escoamento em apreço, verifique a existência de ponto de estagnação e, em caso afirmativo, 
determine onde ele ocorre.
Solução: 
A) Segue que no ponto P(0,0,0) o vetor velocidade é . Assim, a velocidade 
é . No ponto P(0,0,0), a velocidade, portanto, 
é aproximadamente igual a 
B) Como no ponto de estagnação a velocidade é identicamente nula, segue que isso ocorrerá 
quando os componentes do vetor velocidade forem identicamente nulos. Assim, temos que 
que pode ser reescrito como:
que, por sua vez, é um sistema de equações lineares. Aplicando a regra de Cramer, 
encontramos x = 3, y = 1 e z = 2. Logo, nesse campo de escoamento, há apenas um ponto de 
estagnação e ele ocorre em E = (3, 1, 2).
No Exemplo 1, vimos a aplicação de um campo de escoamento para a velocidade. O 
campo de velocidade é escrito como em que , e são os componentes 
do vetor velocidade nas direções , e . O campo de aceleração é calculado por meio da equação 
em que , e são os componentes do vetor aceleração e dados por:
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Exemplo 2
Considere o campo de velocidade descrito por meio da equação:
em que as coordenadas x, y e z estão em centímetro e a velocidade em cm/s. Determine o vetor 
campo de aceleração para o escoamento e determine a aceleração do escoamento no ponto 
P(0,0,0).
Solução: Temos que , e 
. Assim,
Dessa forma, o vetor aceleração é escrito como:
e o vetor aceleração no ponto P(0,0,0) é 
Logo, a aceleração no ponto P(0,0,0) é 39,8 cm s2.
Um fluido escoando pode ser entendido como um conjunto de partículas de fluidos 
em movimento. À medida que uma dessas partículas descreve sua trajetória, ela pode girar. 
Em situações em que as partículas fluidas entram em rotação, é de interesse em mecânica dos 
fluidos e esses escoamentos são ditos rotacionais. Os escoamentos que não são rotacionais são 
denominados irrotacionais.
 
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Em escoamentos rotacionais, temos a formação de vórtices. O vetor taxa de rotação 
ou velocidade angular é definido, matematicamente, como:
Eq. (01)
A vorticidade ( do escoamento é a medida da rotação da partícula fluida e é definida 
como o dobro do valor da velocidade angular e, matematicamente, é definido como:
Eq. (02)
Exemplo 3
Um campo de velocidade tridimensional, incompressível e permanente é dado pela 
equação onde as 
coordenadas x, y e z estão em centímetro e a velocidade em cm/s. Verifique se esse campo de 
escoamento é rotacional ou irrotacional.
Solução: Temos que , e 
. Para decidir se o escoamento é rotacional ou irrotacional, podemos aplicar a Eq. (02). Assim, 
o vetor vorticidade é
e, para o escoamento em apreço, segue que
Como o vetor vorticidade é diferente do vetor nulo, segue que o escoamento é rotacional. 
Os vórtices são movimentos espirais ou circulares ao redor de 
um centro de rotação. O vídeo Introdução à Dinâmica dos Fluidos 
| Experimentos - Escoamento numa pia vórtice mostra o vórtice em 
um escoamento. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=16iCr_kfZIo.
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Um escoamento em mecânica dos fluidos está em regime permanente quando a variável 
de interesse não depende do tempo em um ponto P do campo. Caso contrário, dizemos que o 
regime é transiente. No regime permanente, o fenômeno é descrito por uma equação algébrica 
ao passo que, no regime transiente, o fenômeno é descrito por uma equação diferencial. 
Para ilustrar a situação, considere água escoando em um canal e água sendo drenada de 
um tanque cilíndrico, como ilustra a Figura 1. Se a vazão for constante e a geometria do canal não 
for alterada, podemos afirmar que a velocidade de escoamento no canal é constante ao longo de 
todo o canal e isso ilustra o regime permanente. Agora, considere o caso da drenagem do tanque. 
Se não houver reposição de água no tanque, a altura do nível de água no interior do tanque 
diminuirá e esse fato ocasionará diminuição do valor da velocidade de saída da água na parte 
inferior do tanque; isso ilustra o regime transiente. 
Figura 1 – Escoamento de água num canal e drenagem de um tanque. Fonte: O autor.
 Um escoamento é unidimensional quando apenas uma coordenada espacial é 
requerida para especificar o campo de velocidades. Quando duas ou três coordenadas espaciais 
são requeridas para especificar o campo de velocidade de um escoamento, esses escoamentos 
são ditos bidimensionais e tridimensionais, respectivamente. A Figura 2 ilustra as situações 
descritas.
Figura 2 – Escoamento uni, bi e tridimensional. Fonte: Brunetti (2008).
Em mecânica dos fluidos, é comum caracterizar um escoamento como sendo laminar, 
de transição ou turbulento. Para isso, recorremos ao número de Reynolds, que é um número 
adimensional definido pela Eq. (03):
Eq. (03)
em que é a massa específica do fluido; é a velocidade média de escoamento do fluido; D 
é o diâmetro da tubulação e é a viscosidade do fluido. O número de Reynolds é uma razão entre 
forças. O numerador desse número – – quantifica forças de inércia e o denominador – – 
quantifica as forças viscosas do escoamento. Um escoamento é dito laminar quando Re 2400, o escoamento é 
dito turbulento.
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No escoamento laminar, as partículas fluidas movimentam-se ao longo de trajetórias 
bem definidas apresentando lâminas, e a viscosidade do fluido atua no sentido de amortecer a 
tendência de surgimento da turbulência. Esse tipo de escoamento é visto em situações onde o 
fluido apresenta baixa velocidade e altos valores de viscosidade. No escoamento turbulento, as 
partículas fluidas movimentam-se em trajetórias irregulares, com movimento aleatório, o que 
produz transferência da quantidade de movimento entre regiões do fluido. A distinção entre 
escoamento laminar e turbulento é ilustrada na Figura 3.
Figura 3 – Escoamento laminar e turbulento. Fonte: O autor.
O número de Reynolds é um número adimensional muito empregado em Mecânica 
dos fluidos para caracterizar um escoamento laminar ou de transição ou 
turbulento. No entanto, na equação desse número, aparece a grandeza diâmetro. 
A pergunta que surge é “Comodeterminar o número de Reynolds para tubulações 
que não apresentam seção transversal circular?” A resposta é simples: para essas 
situações, fazemos uso do diâmetro hidráulico. Assim, o diâmetro hidráulico é 
definido como a razão entre a área molhada e o perímetro molhado de uma dada 
seção transversal.
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Exemplo 4
Considere a figura abaixo, que representa o aparato de experimento utilizado para reproduzir 
o experimento de Reynolds.
Figura 4 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Na figura: 1 - Reservatório de 20 L; 2 - Visor de nível de água; 3 - União; 4 - Reservatório de 
corante; 5 - Tubo de vidro, 13 mm de diâmetro interno; 6 - Mangueira plástica. Considere que 
dois experimentos, realizados nesse módulo experimental, tenham as seguintes características:
Experimento 1: água, massa específica = 1000 kg m3; viscosidade = 1cP; V = 0,02 m s.
Experimento 2: água, massa específica = 1000 kg m3; viscosidade = 1cP; V = 0,22 m s.
Para cada um dos experimentos, calcule o número de Reynolds e os classifique em laminar ou 
turbulento.
Solução: Segue da Eq. (03) que o número de Reynolds é definido por 
Dessa forma, para o experimento 1, temos que ; 
; e V = 0,02 m s. Daí,
Como Re 2000, para o experimento 2, conclui-se que o escoamento é turbulento.
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2. VELOCIDADE MÉDIA E VAZÃO
A vazão mássica é a quantidade de massa (m) que atravessa a seção transversal 
de uma tubulação por unidade de tempo (t), como ilustrado na Figura 5. Dessa forma, 
matematicamente, escrevemos:
Eq. (04)
Figura 5 – Escoamento de um fluido numa tubulação. Fonte: Brunetti (2008).
A vazão volumétrica é o volume de fluido (Vol) que atravessa a seção transversal de 
uma tubulação por unidade de tempo (t). Dessa forma, matematicamente, escrevemos:
Eq. (05)
Note, na Figura 4, que num dado intervalo de tempo t, uma quantidade de massa m que 
atravessou a seção transversal de área A percorreu uma distância na tubulação, denotada por s. 
O produto entre as grandezas área (A) e a distância percorrida (s) define o volume de fluido na 
seção em observação. Assim, a Eq. (05) pode ser reescrita como:
No entanto, o quociente entre distância percorrida e tempo define, em física, a grandeza 
velocidade. Assim, 
Eq. (06)
em que V é a velocidade média de escoamento do fluido no interior da tubulação. 
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É óbvio que a Eq. (06) só é verdadeira quando a velocidade na seção é uniforme. No 
entanto, a maior parte dos escoamentos não é unidimensional e a aplicação da Eq. (06) fica 
comprometida. Daí, para resolver esse impasse, vamos tomar um elemento infinitesimal de área 
(dA) que corresponde a uma parte infinitesimal de volume (dQ), como ilustrado na Figura 6.
Figura 6 – Elemento infinitesimal do escoamento. Fonte: Brunetti (2008).
 Assim, a Eq. (06) pode ser reescrita como:
ou ainda,
Eq. (07)
 
Igualando a Eq. (06) e a Eq. (07), segue que
Resolvendo a equação para a velocidade média, temos que: 
Eq. (08)
A Figura 7 ilustra o perfil de velocidade e o significado da velocidade média para um 
fluido escoando numa tubulação. 
Figura 7 – Perfil de velocidade em escoamento de fluidos em tubos. Fonte: Brunetti (2008).
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Exemplo 5
Uma torneira leva 200 s para encher um tanque de água de volume 10 litros. Considerando que 
a área de saída da torneira é A = 5 cm2, determine a velocidade de saída Vs da água na torneira, 
em m/s.
Solução: Considerando regime permanente e aplicando a Eq. (05), temos que a vazão 
volumétrica é igual a 
Agora, aplicando a Eq. (06), segue que a velocidade de saída da água será igual a
Logo, a velocidade de saída da água pela torneira é igual a 
Exemplo 6
(FGV) Considerando uma rede de esgotos que escoa por uma tubulação circular de 100 mm de 
diâmetro, determine a vazão desse esgoto, sendo a velocidade do fluido de 1,5 m/s:
(A) 0,0118 L/s. (B) 11,8 L/s. (C) 117,8 L/s. (D) 5,54 L/s. (E) 15,54 L/s.
Solução: Considerando o regime permanente e aplicando a Eq. (06), segue que
Logo, a vazão volumétrica é, aproximadamente, igual a e responde à questão a 
alternativa (B).
Alguns problemas em engenharia são resolvidos de maneira satisfatória ao admitir 
que o fluido apresenta comportamento incompressível. Diz-se que um fluido é 
incompressível, tanto para escoamento em regime permanente ou transiente, 
quando a relação entre a massa ocupada pelo fluido e o seu volume é constante, 
isto é, a massa específica tem valor constante na pressão e na temperatura de 
trabalho. Esse fato é observado com frequência em líquidos que apresentam 
pouca variação de volume quando comprimidos. Por outo lado, os gases, quando 
comprimidos, podem variar seu volume de forma significativa, que, por sua vez, 
acarretará a variação da massa específica.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Exemplo 7
O perfil de velocidade em um escoamento laminar, incompressível e completamente 
desenvolvido em um tubo circular de 15 m de comprimento é dado pela expressão: 
em que R é o raio do tubo, r é a distância radial do centro do tubo e é a velocidade 
máxima do escoamento que ocorre no centro do tubo, como mostra a Figura 8.
Figura 8 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Nessa situação, considerando que o fluido em escoamento seja newtoniano de massa específica 
1000 , e que o raio da tubulação é R = 10 cm, determine a velocidade 
média desse escoamento, em .
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, temos, a partir do 
enunciado, que o perfil de velocidade do escoamento pode ser escrito como:
Da Eq. (08) temos que
Na situação descrita, como a tubulação apresenta seção transversal na forma de círculo, segue 
que e, daí, . Assim, reescrevemos a Eq. (08) como:
Na integral acima, como o escoamento é unidimensional, a variação da velocidade é na direção 
radial e o raio está variando de 0 até 0,10 m. Assim,
Portanto, a velocidade média de escoamento é igual a .
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Sabemos da Unidade 1 que . Daí, substituindo na Eq. (03), segue que
Substituindo a Eq. (05), na equação acima, resulta em
Eq. (09)
Substituindo Eq. (06) na Eq. (09), resulta em
Eq. (10)
Exemplo 8
Calcule a vazão mássica e volumétrica de um líquido que escoa por uma tubulação de 0,3 m 
de diâmetro, sendo que a velocidade de escoamento é igual a 1,0 m/s e a massa específica do 
fluido é igual a 950 kg m3.
Solução: Admitindo regime permanente, fluido incompressível e aplicando a Eq. (10), segue 
que
Logo, a vazão mássica de escoamento é, aproximadamente, igual a 
Exemplo 9
Um fluido incompressível escoa, permanentemente, com velocidade de 0,8 m s em uma 
tubulação cilíndrica com 5,0 cm de diâmetro. Se a massa específica do fluido é igual a 750 kg
m3, determine a vazão mássica do escoamento.
Solução: Admitindo regime permanente, fluido incompressível e aplicando a Eq. (10), segue 
que
Logo, a vazão mássica de escoamento é, aproximadamente, igual a 
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
3. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Considere um fluido escoando numa tubulação, como apresentado na Figura 9. De acordo 
com a lei da conservação da massa, esta não pode ser criada nem destruída, o que implica a sua