Aula 1 — INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PLANA

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Ao final desta aula, o aluno será capaz de: 
 Identificar os entes primitivos da Geometria, fazer um estudo da reta e do plano. 
Você sabia que as noções primitivas são adotadas sem definição? 
DEFINIR um conceito nada mais é do que expressar seu significado através 
de outras palavras ou símbolos já conhecidos. 
Então, para se definir um conceito devemos nos basear em outros já 
anteriormente definidos, os quais também já foram definidos por meio de 
outros anteriores, e assim sucessivamente. 
Desse modo é evidente que chegaremos a um conceito primeiro, impossível 
de ser definido, visto que não existe nenhum outro anterior. 
Neste ponto, então, chegaremos as noções primitivas (ou entes primitivos) que na 
Geometria são: 
◗ O PONTO
O ponto é representado por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C etc.
◗ A RETA
A reta é a mais simples de todas as linhas. Sua imagem está associada, por exemplo, a
de um fio bem esticado.
A reta é representada por letras minúsculas do alfabeto latino: a, b, c etc. 
A reta tem uma dimensão: o comprimento, logo a reta é um ente de DIMENSÃO 1. A 
reta é infinita, não tem origem (começo) nem extremidade (fim). 
Notação: 
◗ O PLANO
O plano é a mais simples de todas as superfícies. Sua imagem está associada, por
exemplo, a do tempo de uma mesa, ao quadro da sala de aula ou a uma parede lisa.
É representado por letras gregas minúsculas: α (alfa), β (beta), etc.
O plano tem duas dimensões: o comprimento e a largura, logo, o plano é um ente de 
DIMENSÃO DOIS. 
◗ ATENÇÃO
Os símbolos ∈ (pertence a) e ∉ (não pertence a) devem ser usados entre
PONTO e RETA ou entre PONTO e PLANO; já os símbolos ⊂ (está contido),
⊄ (não está contido), ⊃ (contém) e ⊅ (não contém) devem ser usados
entre RETA e PLANO e vice-versa.
A Geometria é a ciência da extensão 
 GEOMETRIA PLANA é a parte da Geometria que estuda as figuras planas, isto é, as 
figuras cujos elementos estão todos no mesmo plano. 
 GEOMETRIA ESPACIAL é a parte da Geometria que estuda as figuras cujos 
elementos não estão no mesmo plano. 
 FIGURA GEOMÉTRICA é qualquer representação de linhas, de superfícies ou de 
volumes. 
 PONTOS COLINEARES são pontos que pertencem a uma mesma reta. 
 AXIOMA: Por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma, e apenas uma reta 
paralela à primeira. 
 AXIOMA — POSTULADO
É uma verdade evidente por si mesma.
Numa reta há infinitos pontos. Num plano há infinitos pontos. Por um ponto passam infinitas retas. 
◗ POSTULADO DA EXISTÊNCIA
➜ Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.
➜ Num plano há infinitos pontos.
◗ POSTULADO DA DETERMINAÇÃO
I. Da reta
— Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
II. Do plano
— Três pontos não colineares determinam um plano que passa por eles.
III. Da inclusão
— Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse
mesmo plano. 
◗ ESTUDO DA RETA
Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
A ≠ B, A ∈ r ∧ B ∈ r⇒ r = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 
A reta não tem começo, nem fim, isto é, não tem origem nem extremidade. 
◗ POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E RETA
Temos dois casos:
1º o ponto pertence à reta: 
2º o ponto não pertence à reta: 
◗ ENTRE DUAS RETAS
Temos três casos:
1º Paralelas 
— quando não possuem 
ponto em comum. 
2º Concorrentes 
— quando possuem 
apenas um ponto em 
comum. 
3º Coincidentes 
— quando têm todos os 
pontos em comum. 
RETAS COPLANARES OU COMPLANARES 
São retas que estão contidas num mesmo 
plano. 
Coplanares: 
r ⊂ 𝛼𝛼 
⇒ r e s são Coplanares
s ⊂ 𝛼𝛼 
RETAS REVERSAS 
São retas que não estão contidas num 
mesmo plano. 
Reversas: 
r ⊂ 𝛼𝛼 
⇒ r e s são Reversas
s ⊂ 𝝱𝝱 
◗ Semirreta
Seja uma reta r e consideremos um ponto O, tal que, O ∈ r.
O ponto O divide a reta em duas partes denominadas SEMIRRETAS. 
Assim temos: 
Numa semirreta a origem deve sempre ser representada primeiro. 
O ponto O é denominado ORIGEM das semirretas e, como e 
estão na mesma reta, dizemos que são SEMIRRETAS OPOSTAS. A 
semirreta tem origem (ponto onde começa) mas não tem extremidade 
(ponto onde termina), logo é infinita. 
Seja a reta r e consideremos dois pontos distintos A e B pertencentes a ela. 
O subconjunto da reta definido pelos pontos A e B e por todos os pontos situados entre 
eles é denominado SEGMENTO DE RETA. 
◗ SEGMENTOS COLINEARES
São segmentos que estão contidos numa mesma reta.
◗ SEGMENTOS CONSECUTIVOS
São segmentos que possuem uma extremidade comum.
◗ SEGMENTOS ADJACENTES
São segmentos colineares e consecutivos ao mesmo tempo, que possuem em comum
somente uma extremidade (não têm pontos internos comuns).
◗ SEGMENTOS CONGRUENTES
São segmentos que têm a mesma medida em relação a uma mesma unidade.
◗ ESTUDO DO PLANO
◗ DETERMINAÇÃO DO PLANO
Podemos determinar um plano de quatro maneiras distintas. A expressão “determinar
um plano” significa dizer que “existe e é único”. Assim, um plano fica determinado por:
1º Três pontos não 
colineares. 
2º Uma reta e um 
ponto fora dela 
3º Duas retas 
concorrentes 
4º Duas retas 
paralelas distintas 
POSIÇÕES RELATIVAS 
Entre ponto e plano 
Há duas posições do ponto em relação ao plano. 
1ª O ponto pertence ao plano 2ª O ponto não pertence ao plano. 
Entre reta e plano 
Há três posições contidas no plano 
1ª — A reta está contida no plano. 
2ª — A reta é paralela ao plano. 
3ª — A reta é concorrente ou secante 
ao plano.. 
No espaço dois planos podem ocupar as seguintes posições: 
1ª Paralelas 
— quando não tem ponto comum. 
2ª Coincidentes 
— quando têm todos os pontos 
comuns. 
3ª Secantes ou Concorrentes 
— quando têm apenas uma reta 
comum. 
ATENÇÃO 
Note que: 
1. O ponto divide a reta em duas semirretas.
2. A reta divide o plano em dois semi-planos.
3. O plano divide o espaço em dois semi-espaços.
SÍNTESE DA AULA 
Nessa aula você: 
● Aprendeu sobre os entes primitivos da Geometria e também do estudo da reta e
seus principais subconjuntos. Abordaremos ainda o plano, sua determinação e as
posições relativas entre ponto e plano, entre reta e plano e entre dois planos
Entre dois planos 
	Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
	 Identificar os entes primitivos da Geometria, fazer um estudo da reta e do plano. 
	Você sabia que as noções primitivas são adotadas sem definição?
	Neste ponto, então, chegaremos as noções primitivas (ou entes primitivos) que na Geometria são:
	◗ O PONTO
	O ponto é representado por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C etc.
	/
	/
	◗ A RETA
	A reta é a mais simples de todas as linhas. Sua imagem está associada, por exemplo, a de um fio bem esticado.
	/
	A reta é representada por letras minúsculas do alfabeto latino: a, b, c etc.
	/
	A reta tem uma dimensão: o comprimento, logo a reta é um ente de DIMENSÃO 1. A reta é infinita, não tem origem (começo) nem extremidade (fim).
	Notação:
	/
	◗ O PLANO
	O plano é a mais simples de todas as superfícies. Sua imagem está associada, por exemplo, a do tempo de uma mesa, ao quadro da sala de aula ou a uma parede lisa.
	É representado por letras gregas minúsculas: α (alfa), β (beta), etc.
	/
	O plano tem duas dimensões: o comprimento e a largura, logo, o plano é um ente de DIMENSÃO DOIS.
	/
	◗ ATENÇÃO
	Os símbolos ∈ (pertence a) e ∉ (não pertence a) devem ser usados entre PONTO e RETA ou entre PONTO e PLANO; já os símbolos ⊂ (está contido), ⊄ (não está contido), ⊃ (contém) e ⊅ (não contém) devem ser usados entre RETA e PLANO e vice-versa.
	A Geometria é a ciência da extensão
	 GEOMETRIA PLANA é a parte da Geometria que estuda as figuras planas, isto é, as figuras cujos elementos estão todos no mesmo plano.
	 GEOMETRIA ESPACIAL é a parte da Geometria que estuda as figuras cujos elementos não estãono mesmo plano.
	 FIGURA GEOMÉTRICA é qualquer representação de linhas, de superfícies ou de volumes.
	 PONTOS COLINEARES são pontos que pertencem a uma mesma reta.
	 AXIOMA: Por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma, e apenas uma reta paralela à primeira.
	 AXIOMA — POSTULADOÉ uma verdade evidente por si mesma.
	◗ POSTULADO DA EXISTÊNCIA
	➜ Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.
	➜ Num plano há infinitos pontos.
	◗ POSTULADO DA DETERMINAÇÃO
	I. Da reta
	— Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
	II. Do plano
	— Três pontos não colineares determinam um plano que passa por eles.
	III. Da inclusão
	— Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse mesmo plano.
	◗ ESTUDO DA RETA
	Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
	/
	A ≠ B, A ∈ r ∧ B ∈ r⇒ r = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴
	A reta não tem começo, nem fim, isto é, não tem origem nem extremidade.
	◗ POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E RETA
	Temos dois casos:
	◗ ENTRE DUAS RETAS
	Temos três casos:
	◗ Semirreta
	Seja uma reta r e consideremos um ponto O, tal que, O ∈ r.
	/
	O ponto O divide a reta em duas partes denominadas SEMIRRETAS.
	Assim temos:
	/
	Numa semirreta a origem deve sempre ser representada primeiro.
	Seja a reta r e consideremos dois pontos distintos A e B pertencentes a ela.
	/
	O subconjunto da reta definido pelos pontos A e B e por todos os pontos situados entre eles é denominado SEGMENTO DE RETA.
	/
	◗ SEGMENTOS COLINEARES
	São segmentos que estão contidos numa mesma reta.
	/
	◗ SEGMENTOS CONSECUTIVOS
	São segmentos que possuem uma extremidade comum.
	/
	◗ SEGMENTOS ADJACENTES
	São segmentos colineares e consecutivos ao mesmo tempo, que possuem em comum somente uma extremidade (não têm pontos internos comuns).
	/
	◗ SEGMENTOS CONGRUENTES
	São segmentos que têm a mesma medida em relação a uma mesma unidade.
	/
	◗ ESTUDO DO PLANO
	◗ DETERMINAÇÃO DO PLANO
	Podemos determinar um plano de quatro maneiras distintas. A expressão “determinar um plano” significa dizer que “existe e é único”. Assim, um plano fica determinado por:
	POSIÇÕES RELATIVAS
	Entre ponto e plano
	Há duas posições do ponto em relação ao plano.
	Entre reta e plano
	Há três posições contidas no plano
	Entre dois planos
	No espaço dois planos podem ocupar as seguintes posições:
	ATENÇÃO
	Note que:
	1. O ponto divide a reta em duas semirretas.
	2. A reta divide o plano em dois semi-planos.
	3. O plano divide o espaço em dois semi-espaços.
	SÍNTESE DA AULA
	Nessa aula você:
	● Aprendeu sobre os entes primitivos da Geometria e também do estudo da reta e seus principais subconjuntos. Abordaremos ainda o plano, sua determinação e as posições relativas entre ponto e plano, entre reta e plano e entre dois planos