Exercícios de Probabilidade e Estatística

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Terceira Lista de Estat´ıstica
Profa Luciene R Gonc¸alves
1. Sejam os eventos A e B, com P (A) = 3
8
, P (B) = 1
2
, P (A ∪B) = 5
8
. Calcule;
(a) P (A ∩B)
(b) P (A¯)
(c) P (A¯ ∩ B¯)
(d) P (A¯ ∪ B¯)
(e) P (A ∩ B¯)
2. Uma empresa possui 2400 empregados, classificados de acordo com a tabela abaixo:
Idade Homem Mulher
Menos do que 25 anos 317 259
Entre 25 e 40 anos 1057 527
Mais do que 40 anos 186 54
Se um empregado for selecionado ao acaso, calcule a probabilidade de que ele seja:
(a) Um empregado com mais de 40 anos de idade;
(b) homem entre 25 e 40 anos de idade;
(c) mulher ou tenha mais do que 40 anos de idade;
(d) um empregado com 25 anos de idade ou mais, sabendo-se que e´ uma mulher.
3. Um determinado motor ele´trico falha se ocorreer um dos defeitos tipo A, B ou C. Sabendo-
se que o defeito tipo A e´ duas vezes mais prova´vel do que o tipo B, e este e´ treˆs vezes
mais prova´vel do que o tipo C, calcule a probabilidade de a falha ser devida a cada um
dos tipos de defeitos.
1
4. Um lote de certo tipo de pec¸as e´ formado de 9 pec¸as boas, 2 com pequenos defeitos e uma
com defeito grave. Uma dessas pec¸as e´ escolhida ao acaso. Determine a probabilidade de
que a pec¸a escolhida:
(a) Na˜o tenha defeito;
(b) na˜o tenha defeito grave.
5. Uma caixa conte´m 6 bolas brancas, 4 pretas, e 3 vermelhas e 2 amarelas. Extraindo-se,
ao acaso, uma bola da caixa, qual a probabilidade de a mesma ser:
(a) Branca;
(b) amarela ou vermelha;
(c) amarela ou na˜o preta;
(d) branca, preta ou amarela.
6. Uma caixa tem treˆs bolas brancas e duas bolas pretas. Extraindo-se, ao acaso, duas bolas
com reposic¸a˜o, calcular a probabilidade de serem:
(a) A=uma de cada cor
(b) B=ambas da mesma cor
Considerando que a extrac¸a˜o das duas bolas seja feita simultaneamente, calcule a proba-
bilidade dos eventos A e B.
7. Um time de voˆlei tem 16 jogadores, sendo que 3 sa˜o levantadores e 13 sa˜o atacantes.
Como escolher 1 levantador e 5 atacantes para formar o time que inicia o jogo?
8. Uma caixa conte´m 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Extraindo-se ao acaso 2 bolas, sem
reposic¸a˜o, determinar a probabilidade de serem:
(a) Ambas azuis;
(b) ambas vermelhas;
(c) uma de cada cor.
9. Treˆs ma´quinas A, B e C produzem respectivamente 50%, 30% e 20% do total de pec¸as
de uma fa´brica. As porcentagens de pec¸as defeituosas produzidas por essas ma´quinas sa˜o
respectivamente 3%, 4% e 5%.
2
(a) Se uma pec¸a e´ selecionada aleatoriamente da produc¸a˜o total, qual e´ a probabilidade
de ela ser defeituosa?
(b) Se uma pec¸a e´ selecionada da produc¸a˜o total aleatoriamente e ela e´ defeituosas, qual
e´ a probabilidade de ela ter sido produzidas pela ma´quina A?
10. No lanc¸amento de treˆs dados calcule a probabilidade de obter:
(a) Soma dos pontos igual a 5;
(b) soma dos pontos menor ou igual a 4;
(c) soma 7 ou soma 9;
11. Um sistema e´ constitu´ıdo de treˆs componentes A, B e C, trabalhando independentemente e
com probabilidades de funcionamento, respectivamente, iguais a 0,9; 0,8 e 0,7. Sabendo-se
que: o funcionamento do componente A e´ indispensa´vel ao funcionamento do sistema; se
apenas B ou C na˜o funcionam, o sistema tem rendimento inferior, pore´m funciona; a falha
simultaˆnea de B e C implica o na˜o funcionamento do sistema. Calcule a confiabilidade
do sistema, isto e´, a probabilidade de funcionamento do sistema.
12. Uma caixa conte´m 12 laˆmpadas, das quais 4 sa˜o defeituosas. Retirando-se, aleatoria-
mente, 3 laˆmpadas da caixa, calcule a probabilidade de que:
(a) Nenhuma seja defeituosa;
(b) exatamente uma seja defeituosa;
(c) pelo menos uma seja defeituosa.
13. A porcentagem de pec¸as fora de especificac¸a˜o produzidas por certa ma´quina e´ de 10%.
Selecionadas, ao acaso, 5 pec¸as da produc¸a˜o dessa ma´quina, qual a probabilidade de
encontrar 2 pec¸as fora de especificac¸a˜o?
14. A probabilidade de que o aluno A resolva determinado problema e´ 2
3
e a probabilidade
de que o aluno B o resolva e´ 4
5
. Se ambos tentarem independentemente a resoluc¸a˜o, qual
a probabilidade de o problema ser resolvido?
15. Uma caixa conte´m 10 bolas, sendo 5 pretas, 3 vermelhas e 2 brancas. Extraem-se alea-
toriamente 4 bolas, sem reposic¸a˜o. Qual a probabilidade de que a 1a bolas extra´ıda seja
preta, a 2a bola, vermelha, a 3a bola, branca e a 4a bola, preta?
3
16. Certo tipo de aparelho pode apresentar 3 tipos de defeitos: A, B ou C. O aparelho e´
considerado em bom estado se na˜o apresentar nenhum desses defeitos. Sabendo-se que as
probabilidade de ocorrerem os defeitos A, B e C sa˜o, respectivamente, 0,04; 0,06 e 0,10;
sabendo-se, ainda, que as probabilidades de ocorrerem defeitos tipos A e B; A e C; B e
C; A, B e C sa˜o respectivamente 0,010; 0,015;; 0,020 e 0,005, determinar a probabilidade
de um aparelho desse tipo, selecionado ao acaso:
(a) Estar em bom estado;
(b) ter apenas um tipo de defeito.
17. Em um certo cole´gio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 1, 80m de
altura. Por outro lado, 60% dos estudantes sa˜o homens. Se um estudante e´ selecionado
aleatoriamente e tem mais de 1, 80m de altura, qual a probabilidade de que o estudante
seja mulher?
18. Uma carta e´ extra´ıda ao acaso de um baralho. Encontre a probabilidade de que ela seja:
(a) Um a´s
(b) um valete de copas
(c) um treˆs de paus ou um seis de ouros
(d) um naipe de copas
(e) qualquer naipe, exceto copas
(f) um dez ou um naipe de espadas
(g) nem um quatro e nem um naipe de espadas.
19. um banco local fez uma revisa˜o de sua pol´ıtica de carto˜es de cre´dito com a intenc¸a˜o de
cancelar alguns contratos de carto˜es. No passado, aproximadamente, 5% dos detentores
de carto˜es de cre´dito se tornaram inadimplentes, deixando o banco incapaz de cobrar o
saldo devedor. Portanto, a gereˆncia estabeleceu uma probabilidade a priori de 0,05 de
que qualquer portador de carta˜o de cre´dito em particular se tornara´ inadimplente. O
banco tambe´m descobriu que a probabilidade de os clientes que na˜o sa˜o inadimplentes
deixarem de efetuar um pagamento mensal e´ 0,20. Naturalmente, a probabilidade de os
inadimplentes deixarem de efetuar um pagamento mensal e´ 1.
(a) Dado que o cliente tenha deixado de efetuar um ou mais pagamentos mensais, calcule
a probabilidade de que o cliente se torne inadimplente.
4
(b) O banco gostaria de cancelar o carta˜o de cre´dito se a probabilidade de um cliente
tornar-se inadimplente for maior que 20%. O banco deveria cancelar o carta˜o se o
cliente deixar de efetuar um pagamento mensal? por que?
20. As probabilidades a priori dos eventos A1 e A2 sa˜o P (A1) = 0, 40 e P (A2) = 0, 60. Sabe-se
tambe´m que P (A1 ∩ A2) = 0. Suponha que P (R|A1) = 0, 20 e P (R|A2) = 0, 05.
(a) A1 e A2 sa˜o mutuamente exclusivos? Explique.
(b) Calcule P (A1 ∩R) e P (A2 ∩R).
(c) Aplique o teorema de Bayes para calcular P (A1|R) e P (A2|R).
21. Suponha dois eventos, A e B, sendo P (A) = 0, 50, P (B) = 0, 60 e P (A ∩B) = 0, 40.
(a) Encontre P (A|B)
(b) Encontre P (B|A)
(c) A e B sa˜o independentes? por que?
22. Suponha que a durac¸a˜o X de uma ligac¸a˜o telefoˆnica, em minutos, seja dada pela seguinte
distribuic¸a˜o de probabilidades:
xi 1 2 3 4
P (xi) 0,2 0,5 0,2 0,1
Calcule:
(a) A durac¸a˜o me´dia da ligac¸a˜o telefoˆnica;
(b) o desvio padra˜o da durac¸a˜o da ligac¸a˜o telefoˆnica.
23. Considerando-se que a demanda dia´ria, em milhares de quilogramas, de determinado
produto em um supermercado e´ uma varia´vel aleato´ria, dada pela func¸a˜o densidade de
probabilidade
f(x) =

kx, se 0 ≤ x ≤ 1/2
k(1− x), se 1/2 ≤ x ≤ 1
0, caso contra´rio,
pede-se:
(a) Determinar o valor da constante k;
5
(b) calcular a demanda me´dia dia´ria do produto;(c) calcular a variaˆncia da demanda dia´ria do produto;
(d) calcular a probabilidade de que a demanda dia´ria do produto esteja entre 250 e 750
kg.
24. Um fabricante de certo tipo de pec¸as garante que uma caixa de suas pec¸as contera´, no
ma´ximo, duas defeituosas. Se a caixa conte´m 20 pec¸as e a experieˆncia tem demonstrado
que o processo de fabricac¸a˜o produz 5% de pec¸as defeituosas:
(a) calcule a probabilidade de que uma caixa satisfac¸a a garantia;
(b) considerando-se que a caixa vendida determina um lucro de R$120, 00, caso esteja
conforme a garantia, e um prejuizo de R$50, 00, se na˜o corresponder a` garantia,
indique qual sera´ o lucro me´dio por caixa vendida.
25. Uma remessa de 800 estabilizadores de tensa˜o e´ recebida pelo controle de qualidade de
uma empresa. Sa˜o inspecionados 20 aparelhos da remessa, que sera´ aceita se ocorrer no
ma´ximo um defeito. Ha´ 80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de ser aceito?
26. A experieˆncia mostra que de cada 400 laˆmpadas, 2 se queimar ao serem ligadas. Qual a
probabilidade de que numa instalac¸a˜o de:
(a) 600 laˆmpadas, no mı´nimo 3 se queimam?
(b) 900 laˆmpadas, exatamente 8 se queimam?
27. Numa estrada ha´ 2 acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em:
(a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes?
(b) 300 km ocorram 5 acidentes?
28. Sabe-se que 20% dos animais submetidos a um certo tratamento na˜o sobrevivem. Se esse
tratamento foi aplicado em 20 animais e se X e´ o nu´mero de na˜o sobreviventes, determine:
(a) A distribuic¸a˜o de X;
(b) E(X) e V ar(X);
(c) P (2 < X ≤ 4);
(d) P (X ≥ 2).
6
29. Numa fita de som, ha´ um defeito em cada 200 pe´s. Qual a probabilidade de que:
(a) em 500 pe´s na˜o acontec¸a defeitos?
(b) em 800 pe´s ocorram pelo menos 3 defeitos?
30. Em uma sala temos cinco rapazes e quatro moc¸as. Sa˜o retiradas aleatoriamente, treˆs
pessoas. Fac¸a X a varia´vel aleato´ria nu´mero de rapazes.
(a) Determine a distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria X. Apresente a
tabela e o gra´fico.
(b) Determine a func¸a˜o distribuic¸a˜o de probabilidade acumulada de X. Apresente a
tabela e a func¸a˜o.
(c) Calcule as probabilidades: P (X ≤ 2) e P (1 < X ≤ 3).
31. Considere o seguinte espac¸o amostral de um experimento Ω = {0, 2, 4, 5}. Verifique se a
func¸a˜o abaixo pode ser uma func¸a˜o de probabilidade associada a este espac¸o amostral.
X(Ω) = xi P (X = xi)
0 0,3
2 0,2
4 0,3
5 0,2
32. Numa certa regia˜o, fo´sseis de pequenos animais sa˜o frequentemente encontrados e um
arqueo´logo estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade para o comprimento, em
cent´ımetros, desses fo´sseis:
f(x) =

1
40
x, se 4 ≤ x < 8
−1
20
x + 3
5
, se 8 ≤ x < 10
1
10
, se 10 ≤ x < 11
0, caso contra´rio,
Pede-se:
(a) Fac¸a um gra´fico da f.d.p
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(b) Para um fo´ssil encontrado nessa regia˜o, determine a probabilidade de o comprimento
ser inferior a 6 cm e de ser superior a 5 mas inferior a 10,5 cm.
(c) Encontre o valor esperado para o comprimento dos fo´sseis da regia˜o.
33. Seja X o tempo durante o qual um equipamento ele´trico e´ usado em carga ma´xima, num
certo per´ıodo de tempo, em minutos. A f.d.p de X e´ dada por:
f(x) =

1
15002
x, se 0 ≤ x < 1500
1
15002
(3000− x), se 1500 ≤ x ≤ 3000
0, caso contra´rio,
8
Pede-se:
(a) A E(X), ou seja, o tempo me´dio em que o equipamento sera´ utilizado em carga
ma´xima.
(b) A V ar(X).
34. Seja
f(x) =
 32(1− x2), se 0 < x < 10, caso contra´rio,
Ache a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade acumulada e esboce o gra´fico.
35. Uma varia´vel aleato´ria (v.a) X tem a seguinte func¸a˜o de probabilidade:
P (x) =

0, 2 se x = −1ou x = 5 ou x = 6
0, 3 se x = 2
0, 1 se x = 15
0, para outros valores.
Determine:
(a) A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X.
(b) P (X ≤ −2)
(c) P (3 ≤ X ≤ 12)
(d) P (X ≤ 2)
(e) P (X > 14)
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