Matemática Atuarial aula 07

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PONTO DOS CONCURSOS 
MATEMÁTICA ATUARIAL 
DE PESSOAS 
 SUSEP 
Aula 7 
 
André Cunha 
29/03/2010 
 
 
 
Este documento contém o conteúdo programático do curso (plano de 
ensino) e aborda o seguinte tópico: Múltiplas vidas. 
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Conteúdo 
1. Introdução .......................................................................... 3 
2. Vida conjunta ...................................................................... 3 
2.1. Probabilidades ............................................................ 3 
2.2. Anuidades e seguros .................................................... 4 
3. Último sobrevivente ............................................................. 5 
3.1. Probabilidades ............................................................ 5 
3.2. Anuidades e seguros .................................................... 6 
4. Relações entre os status vida conjunta e último sobrevivente .... 6 
4.1. Relações envolvendo probabilidades ............................... 7 
4.2. Relações envolvendo anuidades e seguros ...................... 7 
5. Funções de contingência ....................................................... 8 
5.1. (x) morre antes de (y) ................................................. 8 
5.2. (x) morre depois de (y) ................................................ 9 
5.3. Anuidades reversíveis ................................................ 10 
6. Exercícios de Fixação ......................................................... 12 
7. GABARITO ........................................................................ 15 
8. Resolução dos Exercícios de Fixação ..................................... 16 
 
 
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1. Introdução 
 
Tudo o que estudamos até agora foi relativo à vida de uma 
pessoa. Probabilidades de morte e sobrevivência, anuidades, seguros, 
reservas, prêmios, tudo foi calculado com base no status do indivíduo 
(se vivo ou não). 
Hoje vamos estudar funções de duas vidas. Anuidades que são 
pagas, por exemplo, enquanto duas pessoas estiverem vivas. Apesar 
de o edital citar múltiplas vidas, vamos estudar apenas funções de 
duas vidas, pois o conceito é facilmente generalizável para três vidas 
ou mais e, além disso, a ESAF não cobra questões envolvendo mais 
de duas vidas. 
Para quem tiver interesse, há material sobre 3 vidas em 
[JOR91], mas não estude isso antes da prova da SUSEP. 
 
2. Vida conjunta 
 
Para uma vida, as probabilidades estudadas giram em torno da 
sobrevivência de um indivíduo. 
Quando falamos em duas ou mais vidas, temos de definir 
sobrevivência de outra forma, visto que algumas dessas pessoas 
podem estar vivas e outras não. 
A sobrevivência do status de vida conjunta requer que todas as 
pessoas estejam vivas. 
Notação para duas vidas de idades x e y: xy . 
 
2.1. Probabilidades 
 
A probabilidade do status vida conjunta sobreviver n anos é 
definida por xyn p , e a de “morrer” 1 é dada por xyn q . 
 
• Cálculo de xyn p 
Aqui e para o resto da aula, quando nada for falado, fica 
estabelecido que as vidas em questão são independentes. 
Como as duas pessoas têm de estar vivas para a sobrevivência 
do status, temos que 
 
1 Daqui em diante omitiremos as aspas para falar da morte de um status. 
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(1) ynxnxyn ppp ⋅= 
 
• Cálculo de xyn q 
É imediato que 
(2) ynxnxynxyn pppq ⋅−=−= 11 
Também poderíamos calcular de outra forma, percebendo que 
para o status vida conjunta morrer, pelo menos uma das pessoas tem 
de morrer em até n anos. Assim teríamos 
(3) ynxnynxnxyn qqqqq ⋅−+= 
É trivial provar a equivalência entre (2) e (3). 
 
2.2. Anuidades e seguros 
 
As anuidades e seguros para o status vida conjunta são 
calculados de forma inteiramente análoga à que vimos nas aulas 4 e 
5. 
Por exemplo, um seguro que paga uma u.m. no final do ano da 
morte da primeira de duas pessoas de idades x e y é dado por 
 
∑∞
=
+=
0
/
1
j
xyj
j
xy qvA , 
e uma anuidade contínua diferida de n anos, temporária de m anos, 
paga enquanto as duas pessoas de idades x e y estiverem vivas tem 
por fórmula 
∫+= mn
n
xyt
t
xmn dtpva/ . 
 Na verdade, todas as fórmulas para seguros, anuidades, 
prêmios e reservas funcionam aqui também, basta trocar o x pelo xy 
(no caso de reservas, o x+t pelo x+t:y+t). 
 
 
 
 
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3. Último sobrevivente 
 
Se por um lado o status vida conjunta morre, acaba, finda com a 
primeira morte, o status último sobrevivente só termina quando 
morrem todos. Posto de outra forma, enquanto houver alguém vivo o 
status sobrevive. 
Notação para duas vidas de idades x e y: 
___
xy . 
Vamos definir (x) como sendo uma pessoa de idade x. 
 
3.1. Probabilidades 
 
A probabilidade do status vida conjunta sobreviver n anos é 
definida por ___
xy
n p , e a de morrer é dada por ___
xy
n q . 
 
• Cálculo de ___
xy
n q , 
Para o status morrer em até n anos, (x) e (y) têm de morrer. 
Dessa forma, 
 
(4) ynxn
xy
n qqq ⋅=___ 
 
• Cálculo de ___
xy
n p , 
É imediato que 
(5) ynxn
xy
n
xy
n qqqp ⋅−=−= 11 ______ 
Também poderíamos calcular de outra forma, percebendo que 
para o status último sobrevivente sobreviver n anos, pelo menos uma 
das pessoas tem de viver mais n anos. Assim teríamos 
(6) ynxnynxn
xy
n ppppp ⋅−+=___ 
Mais uma vez, não é difícil de provar a equivalência entre (5) e 
(6). 
 
 
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3.2. Anuidades e seguros 
 
Aqui, absolutamente nenhuma novidade em relação ao subitem 
2.2. 
Mais uma vez, todas as fórmulas para seguros, anuidades, 
prêmios e reservas funcionam aqui, bastando trocar o x pelo 
___
xy (no 
caso de reservas, o x+t pelo 
________________
: tytx ++ .). 
Exemplificando, uma anuidade que paga uma u.m. no começo 
do ano enquanto (x) ou (y) estiverem vivos tem seu VPA dado por 
∑∞
=
=
0
______
j xy
j
j
xy
pva&& . 
 
4. Relações entre os status vida conjunta e último 
sobrevivente 
 
Essa é a parte que a ESAF mais cobra. 
Vamos definir: 
• xyT como o tempo até a morte do status xy 
• ___
xy
T como o tempo até a morte do status 
___
xy 
 
Como definido acima, xyT é o tempo decorrido até a primeira 
morte entre (x) e (y), e ___
xy
T o tempo decorrido até a segunda. Sendo 
xT e yT os tempos decorridos até as mortes de (x) e (y), 
respectivamente, segue direto que 
 
(7) yx
xy
xy TTTT +=+ ___ 
Guarde a relação (7). Ela cai muito em prova. Vejamos algumas 
relações derivadas dela. 
 
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4.1. Relações envolvendo probabilidades 
 
De (7), segue (8) 
 
(8) ynxn
xy
nxyn pppp +=+ ___ 
 
E de (8), sabendo que cada probabilidade acima obedece 
p = 1 – q, temos 
 
(9) ynxn
xy
nxyn qqqq +=+ ___ 
 
4.2. Relações envolvendo anuidades e seguros 
 
 
(10) yx
xy
xy AAAA +=+ ___ 
A lógica por trás de (10) é que fazendo-se um seguro individual 
para (x) e outro para (y) (lado direito da equação), será paga uma 
u.m. quando o primeiro morrer e quando o segundo morrer também 
(lado esquerdo). 
Continuando, adivinhem como serão as relações (11) e (12)! 
 
(11) yx
xy
xy aaaa +=+ ___ 
(12) yx
xy
xy aaaa &&&&&&&&+=+ ___ 
Ou seja, comprando-se uma anuidade para (x) e outra para (y), 
serão pagas 2 u.m. até o primeiro morrer, 1 u.m. no período entre as 
mortes, e nada após as duas mortes. 
 
 
 
 
 
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5. Funções de contingência 
 
Muitas vezes queremos calcular a probabilidade de (x) morrer 
antes de (y), especialmente se formos calcular anuidades reversíveis, 
como veremos mais adiante. 
Quando uma probabilidade relativa a (x) envolve vidas de outras 
pessoas chamamos de funções de probabilidade de contingência. Aqui 
veremos as mais comuns. 
 
5.1. (x) morre antes de (y) 
 
À probabilidade de (x) morrer antes de (y), desde que dentro 
de n anos, foi dada a notação yxn
q1 , com o número 1 em cima de 
quem morre primeiro. 
Vimos na Aula 2 que a probabilidade de (x) morrer exatamente 
após t anos é igual a dtp txxt +⋅ μ . 
Usando raciocínio análogo, a probabilidade de (x) morrer antes 
de (y), e exatamente no instante t é dada por dtp txxyt +⋅ μ . Somando 
(Integrando) todos os instantes t no intervalo de 0 a n, temos que 
 
(13) ∫ +⋅= n txxytyxn dtpq
0
1 μ 
Apesar de possível, é pouco provável que seja cobrada a fórmula 
(13). É bem mais o estilo da ESAF cobrar fórmulas do estilo de (14). 
 
(14) xyn
yx
n
yx
n qqq =+ 11 
 
A relação (14) é bem intuitiva. Ela nos diz que a probabilidade 
de a primeira morte ocorrer em n anos é igual à probabilidade de (x) 
ser o primeiro a morrer mais a probabilidade de (y) ser o primeiro, 
desde que em até n anos. 
 
 
 
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5.2. (x) morre depois de (y) 
 
À probabilidade de (x) morrer depois de (y), desde que dentro 
de n anos, foi dada a notação yxn
q 2 , com o número 2 em cima de 
quem morre depois. 
 
Agora, a probabilidade de (x) morrer depois de (y), e 
exatamente no instante t é dada por dtqp txytxt +⋅⋅ μ . Somando 
(Integrando) todos os instantes t no intervalo de 0 a n, temos que 
 
(15) ∫ +⋅⋅= n txytxtyxn dtqpq
0
2 μ , 
e a relação favorita da ESAF correspondente à (14) é 
 
(16) ___22
xy
n
yx
n
yx
n qqq =+ 
 
A relação (16) estabelece que a probabilidade de a segunda 
morte ocorrer em até n anos é igual à probabilidade de essa segunda 
morte ser de (x) mais a probabilidade de a segunda morte ser de (y), 
desde que no mesmo intervalo. 
Na linha de (14) e (16), vamos agora dar duas fórmulas de 
funções de seguro de contingência. 
 
(17) xy
yxyx
AAA =+ 11 
(18) ___22
xyyxyx
AAA =+ 
O que (17) nos diz é que uma anuidade paga no momento da 
morte da primeira pessoa (dentre (x) e (y)) equivale à soma de duas 
anuidades: uma paga no momento da morte de (x), caso (x) morra 
antes de (y) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
yx
A1 , e outra paga no momento da morte de (y), caso 
contrário ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
1
yx
A . 
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Deixamos para você interpretar a fórmula (18), bem como a 
notação nela empregada. 
 
5.3. Anuidades reversíveis 
 
Anuidades reversíveis são aquelas que pagam um determinado 
valor para uma das pessoas, enquanto ela viver, mas somente após a 
morte da outra. Elas podem funcionar como um “seguro” em caso de 
morte do provedor de uma família. 
Vamos calcular uma anuidade imediata que paga uma u.m. a 
(y), no final de cada ano, enquanto (y) viver e somente depois da 
morte de (x). 
Notação: yxa / 
 
No final do j-ésimo ano temos: 
• Probabilidade de (y) estar vivo: yj p 
• Probabilidade de (x) estar morto: xj q 
• Probabilidade de (x) estar morto e (y) estar vivo: xjyj qp ⋅ 
 
Prova-se facilmente que 
(19) xyjyjxjyj ppqp −=⋅ 
Assim, trazendo a VP todos os possíveis fluxos, 
(20) ( )∑∞
=
−=
1
/
j
xyjyj
j
yx ppva 
 
Desenvolvendo (20), 
 
( ) xyy
j
xyj
j
j
yj
j
j
xyjyj
j
yx aapvpvppva −=−=−= ∑∑∑ ∞
=
∞
=
∞
= 111
/ , 
Resumindo: 
 
(21) xyyyx aaa −=/ 
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A equação (21), que é bem possível de ser cobrada, afirma que 
a anuidade paga para (y) após a morte de (x) é a diferença entre a 
paga a (y) e a paga enquanto os dois estiverem vivos. 
Caso se trate de uma anuidade temporária de m anos, temos 
 
(22) ______
:::/ mxymymyx
aaa −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Exercícios de Fixação 
 
 
1. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) 
Assinale a opção correta. 
Sendo “x” a idade do marido e “y” a idade de sua esposa, a 
probabilidade do casal estar vivo, após 10 anos é dada por: 
Atenção: 
- observe que nas opções há “x” como idade e como operador 
matemático (donde a interpretação faz parte da questão). 
A) xyxy qp −= 110 
B) 
1010
1010
10
++
++
+
−=
yx
yx
xy ll
ll
p 
C) 
yx
yx
xy xll
xll
p 101010
++= 
D) 
60
5060
10 1 l
llpxy
−−= 
E) 50:601010 1 qpxy −= 
 
2. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) 
Assinale a opção correta. 
Se 10Px é igual a 0,85 e 10Py é igual a 0,80, a probabilidade de termos 
apenas um (1) vivo ao final dos 10 anos é de: 
A) = 0,290. 
B) = 0,425. 
C) = 0,500. 
D) = 0,825. 
E) = 1,000. 
 
3. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) 
Para um Benefício de Pensão de R$ 1.000,00, que já esteja sendo 
recebido no final de cada mês, 80% para o cônjuge e os outros 20% 
para o filho universitário, sem que haja contribuição futura, a reserva 
matemática correspondente será obtida por: 
Atenção: observe que nas opções há “x” como operador matemático 
(donde a interpretação faz parte da questão). 
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A) { } 00,000.1$)12()(24/)12( Raa tztzty ×+= ++−+ 
B) { } 00,000.12$5,05,0 )12()(24/)12( Raa tztzty ××+×= ++−+ 
C) { } 00,000.1$)12(24/)12( Raa zzy ×+= − 
D) { } 00,000.12$2,08,0 )12(24/)12( Raa zzy ××+×= − 
E) { } 00,000.1$2,08,0 )12()(24/)12( Raa tztzty ××+×= ++−+ 
 
4. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) 
No cálculo da probabilidade de uma pessoa de idade x e outra de 
idade y, de pelo menos 1 morrer após “n” anos e dentro dos “m” 
seguintes, representada por n/m Qxy , é dada pela equação: 
A) n/mQxy = 1 - mpxy 
B) n/mQxy = n/mQx x mpxy 
C) n/mQxy = n/mQx x mpy 
D) n/mQxy = mpx x mpy 
E) n/mQxy = n/mQy x mpx 
 
5. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Indique qual 
das expressões abaixo é falsa: 
 
A) ax|y = ay - axy 
 
B) npy|x = npx - npy 
 
C) axy = ayx 
 
D) npxy = npx  npy 
 
E) a_ = ax + ay - axy 
 xy 
 
 
 
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6. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Assinalar a 
afirmativa correta que expressa o cálculo do valor atual de uma 
anuidade vitalícia postecipada imediata em que viva pelo menos uma 
das 2 pessoas de idades “x” e “y”: 
 
A) ax - ay - axy 
B) ay - axy 
C) ax + ay - axy 
D) ax + ay + axy 
E) ax - axy 
 
7. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2008) 
Sendo qx a probabilidade de uma pessoa de idade “x” falecer nesta 
idade “x” e qy a probabilidade de uma pessoa de idade “y” falecer 
nesta idade “y”, e px = (1 – qx), e py = (1 - qy), pode-se afirmar que 
o resultado da equação 
[1 – px py] indica: 
A) A probabilidade de ambos vivos. 
B) A probabilidade de pelo menos um vivo. 
C) A probabilidade de ambosmortos. 
D) A probabilidade de pelo menos um morto. 
E) A probabilidade de “x” vivo e “y” morto ou “y” vivo e “x” vivo. 
 
8. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2009) 
Se tpx = 0,85 e tpy = 0,80, a probabilidade de que ao menos um dos 
dois (x ou y) sobrevivam t anos é igual a: 
A) 0,29; 
B) 0,68; 
C) 0,90; 
D) 0,93; 
E) 0,97. 
 
 
 
 
 
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7. GABARITO 
 
1 – C 
2 – A 
3 – E 
4 – ANULADA 
5 – B 
6 – C 
7 – D 
8 – E 
 
 
 
 
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8. Resolução dos Exercícios de Fixação 
 
 
1. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) 
Assinale a opção correta. 
Sendo “x” a idade do marido e “y” a idade de sua esposa, a 
probabilidade do casal estar vivo, após 10 anos é dada por: 
Atenção: 
- observe que nas opções há “x” como idade e como operador 
matemático (donde a interpretação faz parte da questão). 
A) xyxy qp −= 110 
B) 
1010
1010
10
++
++
+
−=
yx
yx
xy ll
ll
p 
C) 
yx
yx
xy xll
xll
p 101010
++= 
D) 
60
5060
10 1 l
ll
pxy
−−= 
E) 50:601010 1 qpxy −= 
 
Resolução 
 
 O problema pede xyp10 . 
yx
yx
y
y
x
x
yxxy ll
ll
l
l
l
lppp ⋅
⋅=⋅=⋅= ++++ 10101010101010 
Repare que a ESAF assumiu a independência das duas vidas na 
resposta, mas não no enunciado. 
 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
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2. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) 
Assinale a opção correta. 
Se 10Px é igual a 0,85 e 10Py é igual a 0,80, a probabilidade de termos 
apenas um (1) vivo ao final dos 10 anos é de: 
A) = 0,290. 
B) = 0,425. 
C) = 0,500. 
D) = 0,825. 
E) = 1,000. 
 
Resolução 
 
P{1 vivo} = P{(x) vivo e (y) morto} + P{(x) morto e (y) vivo } 
29,080,015,020,085,0)1()1(}1{ 10101010 =⋅+⋅=⋅−+−⋅= yxyx ppppvivop
 
Gabarito: A 
 
 
3. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) 
Para um Benefício de Pensão de R$ 1.000,00, que já esteja sendo 
recebido no final de cada mês, 80% para o cônjuge e os outros 20% 
para o filho universitário, sem que haja contribuição futura, a reserva 
matemática correspondente será obtida por: 
Atenção: observe que nas opções há “x” como operador matemático 
(donde a interpretação faz parte da questão). 
A) { } 00,000.1$)12()(24/)12( Raa tztzty ×+= ++−+ 
B) { } 00,000.12$5,05,0 )12()(24/)12( Raa tztzty ××+×= ++−+ 
C) { } 00,000.1$)12(24/)12( Raa zzy ×+= − 
D) { } 00,000.12$2,08,0 )12(24/)12( Raa zzy ××+×= − 
E) { } 00,000.1$2,08,0 )12()(24/)12( Raa tztzty ××+×= ++−+ 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Muito mal formulada essa questão. 
(y) foi definido? (z) foi definido? E a idade de 24 anos, de onde 
surgiu? Felizmente, ele facilitou as coisas para nós. 
Sem pensar muito: Se 80% vão para uma pessoa e 20% para 
outra, a resposta tem de contemplar isso, e as únicas candidatas são 
a D e a E. Além disso, a resposta é o valor de uma reserva, a estar 
constituída em um momento t, sobrando apenas o item E. 
Para chegarmos à resposta correta sem ser por eliminação, 
precisamos definir: 
• (y) como o cônjuge; 
• (z) como o filho universitário 
• Que o benefício para o filho universitário é pago somente até os 
24 anos de idade 
Repare que a reserva matemática, dado que não haverá mais 
pagamento de prêmios, é o VPA dos benefícios a serem pagos. 
Assim, para o benefício de um real anual, sendo 80% pago a 
(y) e 20% a (z), 
)12(
)(24/
)12( 2,08,0 tztztyBFt aaVPAV ++−+ ×+×== 
 Como o enunciado estipulou que o valor pago é de R$ 12.000 
anuais, segue que o valor da reserva é 
{ } 00,000.12$2,08,0 )12()(24/)12( RaaV tztztyt ××+×= ++−+ . 
 A opção que mais se aproxima disso é a E. 
 
Gabarito: E 
 
4. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) 
No cálculo da probabilidade de uma pessoa de idade x e outra de 
idade y, de pelo menos 1 morrer após “n” anos e dentro dos “m” 
seguintes, representada por n/m Qxy , é dada pela equação: 
A) n/mQxy = 1 - mpxy 
B) n/mQxy = n/mQx x mpxy 
C) n/mQxy = n/mQx x mpy 
D) n/mQxy = mpx x mpy 
E) n/mQxy = n/mQy x mpx 
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Resolução 
 
 Quando a questão pede “a probabilidade de pelo menos um”, 
normalmente o melhor caminho é calcular a probabilidade do evento 
complementar, pois costuma dar muito menos trabalho, e esse caso 
não é uma exceção. 
Sendo H = número de mortes entre n e n + m anos no futuro, 
o espaço amostral de H é dado por {0,1,2}, pois trata-se de 2 
pessoas. 
A questão pede P{H ≥ 1} 
Mas P{H ≥ 1} = 1 - P{H = 0} (a) 
 
• Cálculo de P{H = 0} 
 
A mortes podem ocorrer em três intervalos distintos: em até n 
anos, entre n e n+m anos, e após n+m anos. As possibilidades para 
H = 0 estão resumidas na tabela abaixo: Por exemplo, se houver 2 
mortes no primeiro intervalo e zero nos demais, definimos a 
probabilidade de isso ocorrer como P(2,0,0). 
 
Prob./Intervalo (0,n) (n, n+m) (n+m, ∞) 
P(2,0,0) 2 0 0 
P(0,0,2) 0 0 2 
P(1,0,1) 1 0 1 
 
Assim, P{H = 0} = P(2,0,0) + P(0,0,2) + P(1,0,1) (b) 
 
• Cálculo de P(2,0,0) 
É a probabilidade de os dois morrerem em até n anos. É 
equivalente ao status último sobrevivente morrer, e é dado por 
___
xy
n q . 
• Cálculo de P(0,0,2) 
É a probabilidade de os dois morrerem após n + m anos. É 
equivalente ao status vida conjunta sobreviver a esse período, 
e é dado por xymn p+ . 
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• Cálculo de P(1,0,1) 
Para haver uma morte antes de n anos e outra após n + m, há 
duas possibilidades: ou (x) morre primeiro e (y) depois ou vice 
versa. Essa probabilidade é dada por xmnynymnxn pqpq ++ ⋅+⋅ . 
 Substituindo tudo isso em (b), teremos 
xmnynymnxnxymn
xy
n pqpqpqHP +++ ⋅+⋅++== ___}0{ (c) 
E finalmente, substituindo (c) em (a), 
xmnynymnxnxymn
xy
n pqpqpqHP +++ ⋅−⋅−−−=≥ ___1}1{ , ou ainda 
xmnynymnxnxymn
xy
n pqpqppHP +++ ⋅−⋅−−=≥ ___}1{ , que são duas 
das formas finais de resposta. 
 
Importante: A questão foi anulada, pois nenhuma das opções está 
correta. Coloquei essa questão de propósito aqui. Se você gastou 
muito tempo, quebrou a cabeça e, obviamente, não encontrou a 
opção correta (pois não existia), não temos tempo para isso na 
prova. Está muito difícil, pula e volta no final da prova, se sobrar 
tempo. Você pode também eliminar as mais obviamente erradas, 
como as opções A e D, que nem de n dependiam. Além disso a ESAF 
pode muito bem errar uma questão, como foi o caso aqui. 
Acredito que quem bolou essa questão pensou em outra coisa, 
por isso a relativa complexidade envolvida nos cálculos. 
 
GABARITO: ANULADA 
 
5. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Indique qual 
das expressões abaixo é falsa: 
 
A) ax|y = ay - axy 
 
B) npy|x = npx - npy 
 
C) axy = ayx 
 
D) npxy = npx  npy 
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E) a_ = ax + ay - axy 
 xy 
 
Resolução 
 
Item A: É exatamente a equação (21). Afirmação verdadeira. 
Item B: Desconheço a notação empregada para o lado esquerdo da 
equação. Entretanto, vou reescrever a equação (20) invertendo x e 
y. 
( )∑∞
=
−=
1
/
j
xyjxj
j
xy ppva 
A equação refere-se a uma renda paga enquanto (x) viver e 
somente depois da morte de (y). A expressão entre parêntesis reflete 
a probabilidade de (x) estar vivo e (y morto) ao final doano j. 
Ora, é muito razoável supor (tenho quase certeza disso, não 
vejo como ser outra coisa) que jpy|x denote essa probabilidade. Assim 
teríamos xyjxjxyj ppp −=/ , ou usando n no lugar de j, 
xynxnxyn ppp −=/ . Afirmação falsa. 
 
Item C: Pela definição do status vida conjunta a ordem xy ou yx é 
irrelevante. Afirmação verdadeira. 
 
Item D: A expressão npxy = npx  npy só é verdadeira se as vidas de 
(x) e (y) forem independentes, o que não foi dito no enunciado. 
Entretanto, marcar a letra D como falsa seria um excesso de rigor, 
pois nos textos atuariais normalmente se usa a hipótese de 
independência. Além disso a ESAF também costuma supor as vidas 
independentes. Para finalizar, o item B está “muito mais errado” que 
o D, o que nos leva, sendo práticos e não teóricos, a considerar a 
afirmação como verdadeira. 
 
Item E: É a equação (11), quando se isola o ___
xy
a . Afirmação 
verdadeira. 
 
Gabarito: B 
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6. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Assinalar a 
afirmativa correta que expressa o cálculo do valor atual de uma 
anuidade vitalícia postecipada imediata em que viva pelo menos uma 
das 2 pessoas de idades “x” e “y”: 
 
A) ax - ay - axy 
B) ay - axy 
C) ax + ay - axy 
D) ax + ay + axy 
E) ax - axy 
 
Resolução 
 
O enunciado definiu o status último sobrevivente, 
___
xy . 
Isolando o ___
xy
a em (11), xyyx
xy
aaaa −+=___ . 
 
 
Gabarito: C 
 
7. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2008) 
Sendo qx a probabilidade de uma pessoa de idade “x” falecer nesta 
idade “x” e qy a probabilidade de uma pessoa de idade “y” falecer 
nesta idade “y”, e px = (1 – qx), e py = (1 - qy), pode-se afirmar que 
o resultado da equação 
[1 – px py] indica: 
A) A probabilidade de ambos vivos. 
B) A probabilidade de pelo menos um vivo. 
C) A probabilidade de ambos mortos. 
D) A probabilidade de pelo menos um morto. 
E) A probabilidade de “x” vivo e “y” morto ou “y” vivo e “x” vivo. 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
A probabilidade de ambos sobreviverem um ano é dada por 
pxpy, supondo as vidas independentes. O evento complementar, cuja 
probabilidade é 1 - pxpy, é haver pelo menos um morto. 
 
Gabarito: D 
 
8. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2009) 
Se tpx = 0,85 e tpy = 0,80, a probabilidade de que ao menos um dos 
dois (x ou y) sobrevivam t anos é igual a: 
A) 0,29; 
B) 0,68; 
C) 0,90; 
D) 0,93; 
E) 0,97. 
 
Resolução 
 
Questão copiada da CGU, com leve adaptação, que resolvemos 
acima. 
 A probabilidade de pelo menos um dos dois sobreviver é 1 – 
Pr{2 mortos}. 
 
P{2 mortos } = P{(x) morto e (y) morto} 
03,020,015,0)1()1(}2{ =⋅=−⋅−= ytxt ppmortosp 
Assim, a P{pelo menos 1 sobrevive} = 1 – 0,03 = 0,97 
 
Gabarito: E