Matrizes de Transição e Migração

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20 LINEAR Matrizes 21 Exemplo 2: Suponhamos que em uma determinada região, a cada ano guinte continua sendo de 0,6. Deseja-se saber como, a longo prazo, a pesca in- dustrial estará afetando os peixes dessa espécie, para ver se é necessário diminuir três por cento da população rural migra para as cidades, enquanto que apenas a intensidade de pesca ou se, ao possível um por cento da população urbana migra para meio rural. Se todas as de- Os estados deste processo são: diminuição da população (D) e aumento mais condições permanecerem as condições políticas não mudarem, e da população (A). Então, sem haver pesca industrial, a matriz de probabilidades estas porcentagens de migração continuarem as mesmas, qual deve ser a relação de transição é entre as populações urbana e rural desta a longo prazo? Como tres por cento da população rural migra para meio urbano, a D A probabilidade de migração do meio rural para 0 meio urbano enquanto D 0,6 0,3 que a probabilidade de não migração é Como um por cento da população urbana migra para meio rural a probabilidade de migração do meio urbano A para rural é 0,01 e a de não migração é 0,99. Denotando por U meio ur- bano por R meio temos a matriz das probabilidades de transição: Como é uma matriz regular, as probabilidades PD da população diminuir e PA da população aumentar a longo prazo são dadas por R U 0,3 PD PD R 0,97 0,01 PA PA U que, sendo resolvida (lembrando que PD + PA = fornece PD PA Como a matriz regular, a longo prazo as probabilidades de viver no meio Portanto, como a probabilidade de a população aumentar é maior, em condi- rural, de viver no meio urbano, devem satisfazer ções naturais, a espécie tem a sobrevivência razoavelmente garantida. Com a pesca industrial, a matriz se altera para 0,97 0,01 PR PR D A 0,03 PU PU D 0,5 A donde 3PR e, como devemos ter PU PR temos PR - Como uma matriz regular, a longo prazo PD e PA são dadas por PU - 0,75. Ou seja, a longo prazo, se não houver modificações nas as de migração, teremos 25% da população no meio rural e 75% da população 0,5 PD PD no meio urbano. PA PA Exemplo 3: Observa-se experimentalmente que, em condições naturais Assim, temos PD PA Como a probabilidade de a população dimi- sem ser submetida à pesca industrial, a quantidade de uma certa espécie de nuir e maior, se a espécie for submetida à pesca industrial, sua peixes varia da seguinte forma: se em um determinado ano a população dimi- será ameaçada portanto, a pesca deve nuiu, a probabilidade de que diminua ainda mais no ano seguinte é de 0,6 se em um determinado ano a população aumenta, a probabilidade de que dimi- Exemplo 4: Duas substâncias distintas em contato e trocam de nua no ano seguinte é de apenas 0,3. Entretanto, observa-se que sendo subme- sódio entre si. Sabe-se (por dedução ou experimentação) que um tida à pesca quando a população aumenta num determinado ano, a de sódio do meio (1) tem probabilidade 0,7 de passar ao meio (2), enquanto probabilidade de que diminua no ano seguinte se altera para enquanto que que um ion de sódio que esteja no meio (2) tem probabilidade de passar se a população diminui num ano, a probabilidade de que diminua no ano ao meio (1). Colocando-se dois moles de sódio no meio (1). quais serão as con- 22 LINEAR Matrizes 23 meio (1) meio (2) GG com probabilidade 1 GG cruzado com GG Gg com probabilidade 0 gg com probabilidade 0 No caso de cruzamento de indivíduos recessivos, teremos: GG com probabilidade 0 Figura 1.5.2 cruzado com gg Gg com probabilidade 0 centrações de sódio em cada um dos meios, após um longo de tempo? com probabilidade 1 Os estados deste processo são: ion no meio (1) e ion esta no meio (2). A matriz de probabilidades de transição é: No caso do cruzamento de um indivíduo dominante com um recessivo, temos: meio (1) meio (2) GG com probabilidade 0 GG cruzado com Gg com probabilidade meio (1) 0,3 0,1 gg com probabilidade 0 meio (2) 0,7 0,9 No caso do cruzamento de um indivíduo dominante com um híbrido, temos: Sejam e as probabilidades de estar no meio (1) e (2), respectivamente. Então, inicialmente, quando todo foi colocado no meio (1), GG com probabilidade e 0. Como a matriz de probabilidades e regular, a longo prazo as proba- GG cruzado com Gg Gg com probabilidade com probabilidade 0 bilidades não dependem das probabilidades iniciais, e devem satisfazer 0,3 0,1 No caso recessivo e temos: 0,7 0,9 GG com probabilidade 0 cruzado com Gg Gg com probabilidade 0,5 Resolvendo (lembrando sempre que + = 1), temos com probabilidade Logo, as concentrações finais em cada meio são 2 0,25 moles no meio E finalmente, no caso de dois indivíduos hibridos, temos: (1) e 2 = moles no meio (2). GG com probabilidade 0,25 Gg cruzado com Gg Gg com probabilidade 0,5 com probabilidade 0,25 1.5.6 Previsões em Genetica: Com pequenas modificações das idéias usadas nos processos de Markov, podemos estudar problemas genéticos. Sabemos que tipo mais simples de transmissão de herança é efetuado atraves Denotando por d, dominante, recessivo e hibrido, e os respectivos cruza- de pares de genes, os quais podem ser ambos dominantes, recessivos, ou um mentos por d X d, d X etc., colocando as probabilidades em colunas, pode- dominante e outro Chamemos G gene dominante e g gene reces- mos montar a seguinte matriz T: sivo. Um será chamado dominante se tiver genes GG, híbrido se tiver genes e recessivo, caso os genes sejam gg. Um indivíduo herda os genes ao acaso, um deles de seu pai e outro de sua Assim, nos varios tipos de cruzamento, temos probabilidades distintas de transmissão de herança d 1 0 0 0,5 0 0,25 No caso de cruzamento de indivíduos dominantes teremos somente filhos de h 0 0 0,5 0,5 dominantes. 0 1 0 0 0,5 0,25 Biblioteca de Tecnolog UFPel