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PROBABILIDADES 
 
Definição: É a chance de um dado evento acontecer. 
A probabilidade de um evento acontecer é calculada pela divisão entre o 
número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. 
Logo: 
𝑃𝑃 = 
𝑛𝑛𝑜𝑜𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑓𝑓𝑐𝑐𝑓𝑓á𝑓𝑓𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐
𝑛𝑛𝑜𝑜𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑓𝑓𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐
 
 
Casos possíveis são todos aqueles que podem ocorrer. É chamado 
também de espaço amostral. 
Casos favoráveis são todos aqueles em que estamos interessados. Esses 
casos representam um subconjunto do espaço amostral. 
Logo: 
𝑃𝑃 = 𝑛𝑛
𝑜𝑜𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑓𝑓𝑜𝑜𝑓𝑓á𝑓𝑓𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐
𝑛𝑛𝑜𝑜𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑓𝑓𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐
= 𝑛𝑛
𝑜𝑜𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑛𝑛𝑒𝑒𝑜𝑜𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑛𝑛𝑒𝑒𝑜𝑜
𝑑𝑑𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐ç𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑐𝑐𝑒𝑒𝑓𝑓𝑐𝑐𝑒𝑒
 
 
- Probabilidade de ocorrer o evento: 0 < 𝑃𝑃 < 1 
- Certeza de não ocorrer o evento: P = 0 
- Certeza de ocorrer o evento: P = 1 
Exemplo 1: 
Qual a probabilidade de sair o número 5 no lançamento de um dado? 
 
Exemplo 2: 
Qual a probabilidade de sair uma bola azul em um sorteio que possui 3 
bolas vermelhas, 4 azuis e 5 pretas? 
 
 
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Exercícios 
 
1- A análise dos dados obtidos das Declarações de Ajuste do Imposto de 
Renda, em um sistema econômico hipotético, mostrou o seguinte 
resultado, relativamente à renda anual dos contribuintes: Se uma pessoa 
for selecionada aleatoriamente para verificação de suas informações pela 
autoridade fiscal, a probabilidade de que essa pessoa tenha renda anual 
superior a R$ 8 000,00 será igual a: 
(A) 0,03 
(B) 0,05 
(C) 0,25 
(D) 0,30 
(E) 0,70 
 
2- Uma sala de aula com 40 alunos fez uma pesquisa sobre a ocorrência 
de dengue no contexto familiar. A pesquisa consistia em tabular, no 
universo de 120 pessoas, se cada aluno e seus respectivos pais e mães já 
tiveram dengue, ou não. As respostas estão tabuladas abaixo. 
 
Sorteando-se ao acaso uma das 120 pessoas pesquisadas, a 
probabilidade de que ela tenha respondido na pesquisa que já teve 
dengue é igual a 
a) 2,5% 
b) 2,3% 
c) 7,8% 
 d) 3,8% 
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e) 1,4% 
 
3- Numa urna há uma bola numerada com cada um dos números 
múltiplos de 3 que são maiores do que 10 e menores do que 30. Se 
sortearmos ao acaso uma dessas bolas, a probabilidade que a bola 
sorteada tenha um número maior do que 22 é igual a: 
a) 1
4
 
b) 1
3
 
c) 1
5
 
d) 1
6
 
e) 2
5
 
 
4- Em um grupo de 100 pessoas, 80 possuem telefone celular, 50 
possuem telefone fixo, e 10 não possui telefone celular nem telefone fixo. 
Sorteando-se ao acaso uma dessas 100 pessoas, a probabilidade de que 
ela tenha telefone fixo mas não tenha telefone celular é de 
a) 50% 
b) 5% 
c) 1% 
d) 20% 
e) 10% 
 
5- Considere hipoteticamente que 40% da população de uma cidade são 
picados pelo mosquito Aedes aegypti. Das pessoas picadas, 20% 
apresentam os sintomas da dengue. Se uma pessoa dessa cidade for 
selecionada aleatoriamente, qual a probabilidade de que ela tenha sido 
picada pelo mosquito Aedes aegypti e apresente os sintomas da dengue? 
a) 0,05 
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b) 0,08 
c) 0,5 
d) 0,6 
e) 0,8 
 
6- Uma loja de departamentos realizou uma promoção em um 
determinado dia nos primeiros minutos de seu funcionamento. O gerente 
da loja colocou em uma caixa cinquenta bolinhas, idênticas fisicamente, 
numeradas de 1 a 50. Cada um dos cinquenta primeiros clientes, 
diferentes, que entrava na loja recebia um único cartão, escolhido 
aleatoriamente, que continha também um dos números de 1 a 50. Assim 
que todos os cartões foram distribuídos, a loja realizou o sorteio de uma 
das bolinhas da caixa, para que o cliente que tivesse aquele número 
ganhasse uma Smart TV. Assim, a probabilidade de o cliente sorteado ter 
em sua mão um cartão com um número primo é: 
a) 3
10
 
b) 8
25
 
c) 17
50
 
d) 9
25
 
 
7- Uma população de 1.000 pessoas acima de 60 anos de idade foi 
dividida nos seguintes dois grupos: 
A: aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pessoas); e 
B: aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 pessoas). 
Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabética ou fumante ou 
ambos (diabética e fumante). 
A população do grupo B é constituída por três conjuntos de indivíduos: 
fumantes, ex-fumantes e pessoas que nunca fumaram (não fumantes). 
Com base nessas informações, julgue o item. 
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Se, no grupo B, a quantidade de fumantes for igual a 20% do total de 
pessoas do grupo e a quantidade de ex-fumantes for igual a 30% da 
quantidade de pessoas fumantes desse grupo, então, escolhendo-se 
aleatoriamente um indivíduo desse grupo, a probabilidade de ele não 
pertencer ao conjunto de fumantes nem ao de ex-fumantes será inferior a 
70%. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
 Probabilidade e Análise combinatória 
Muitas questões de concursos associam análise combinatória e 
probabilidade. 
Já vimos que: 
𝑃𝑃 = 𝑛𝑛
𝑜𝑜𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑓𝑓𝑜𝑜𝑓𝑓á𝑓𝑓𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐
𝑛𝑛𝑜𝑜𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑓𝑓𝑑𝑑𝑣𝑣𝑐𝑐
 
Nesses tipos de questões, teremos que usar os conceitos do “PFC”, 
permutação, arranjo ou combinação para encontrar os casos possíveis ou 
os casos favoráveis. 
 
Exercícios 
1 - Júlia e Laura são irmãs e fazem parte de um grupo de 5 meninas. 
Desse grupo, três serão sorteadas para um passeio. A probabilidade de 
que uma das irmãs seja sorteada e a outra não seja sorteada é de: 
a) 40% 
b) 50% 
c) 60% 
d) 70% 
e) 80% 
 
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2 - Em cada uma de duas urnas há três bolas: uma vermelha, uma rosa e 
uma azul. Sorteiam-se duas bolas, aleatoriamente, uma de cada urna. A 
probabilidade de as bolas sorteadas terem cores diferentes é de 
a) 8
9
 
b) 7
9
 
c) 2
3
 
d) 1
2
 
e) 1
3
 
 
3 - Uma operação policial será realizada com uma equipe de seis agentes, 
que têm prenomes distintos, entre eles André, Bruno e Caio. Um agente 
será o coordenador da operação e outro, o assistente deste; ambos 
ficarão na base móvel de operações nas proximidades do local de 
realização da operação. Nessa operação, um agente se infiltrará, 
disfarçado, entre os suspeitos, em reunião por estes marcada em uma 
casa noturna, e outros três agentes, também disfarçados, entrarão na casa 
noturna para prestar apoio ao infiltrado, caso seja necessário. 
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item seguinte. 
Se os dois agentes que ficarão na base móvel forem escolhidos 
aleatoriamente, a probabilidade de André e Bruno serem os escolhidos 
será superior a 30%. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
4 - De um lote de 12 processos, três serão sorteados para fins de 
avaliação por parte do Conselho Nacional de Justiça (CNJ). Em cinco dos 
processos originais houve condenação do réu, e nos demais, absolvição. 
Assim, a probabilidade de que a maior parte dos processos a serem 
sorteados seja de absolvições é igual a: 
a) 9
33
 
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b) 7
22
 
c) 14
22
 
d) 5
33
 
e) 15
22
 
 
5 - Considere todas as senhas formadas por três vogais maiúsculas. São 
exemplos dessas senhas: EEE, OIA e UAU. 
Dentre todas as senhas desse tipo, escolhendo ao acaso uma delas, a 
probabilidade de que ela tenha duas letras iguais e uma diferente é de 
a) 36% 
b) 40% 
c) 44% 
d) 48% 
e) 52% 
 
6 - As 6 vagas da garagem de um pequeno edifício recém-construído 
serão sorteadas entre os proprietários dos 6 apartamentos, de modo que 
cada apartamento terá direito a uma vaga. As vagas ficam localizadas 
lado a lado ao longo de uma parede. Doisirmãos, proprietários dos 
apartamentos 1 e 2, gostariam que suas vagas ficassem localizadas lado a 
lado. A probabilidade de que isso aconteça é igual a 
a) 1
2
 
b) 1
3
 
c) 1
4
 
d) 1
5
 
e) 1
6
 
 
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7 - Em uma urna encontram-se 14 bolinhas numeradas de 1 a 14. Uma 
pessoa retira, sem olhar e sem repor, duas bolas de dentro da caixa, 
sucessivamente. Qual a probabilidade de que os números nas duas 
bolinhas sejam ímpares? 
a) 1
3
 
b) 1
8
 
c) 1
16
 
d) 3
13
 
e) 5
14
 
 
8 - De um grupo formado por 10 soldados veteranos e 15 soldados 
novatos serão escolhidos, aleatoriamente, 3 soldados para compor a 
guarda do quartel durante uma noite. A respeito dessa guarda, julgue o 
próximo item. 
A probabilidade de a guarda ser composta somente por soldados 
veteranos é superior a 6%. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
Probabilidade do evento Complementar 
Dois eventos são complementares quando, simultaneamente, temos: 
· A união dos dois eventos resulta no espaço amostral (número de casos 
possíveis) 
· Os dois eventos são mutuamente excludentes (eles não têm elementos 
em comum; a intersecção entre ambos é vazia) 
Ou seja, qualquer resultado possível estará contido em um dos dois 
eventos e juntos, conseguem englobar todos os resultados possíveis. 
Além disso, não há qualquer resultado que satisfaça, simultaneamente, 
aos dois eventos. 
Exemplo: 
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Evento A: Sair um número par no lançamento de um dado 
Evento B: Sair um número ímpar no lançamento de um dado 
Note que: 
- Os dois eventos juntos, representam o espaço amostral. 
- Não há casos de ocorrências simultâneas. 
OBS: B = �̅�𝐴 
 
IMPORTANTE: 
Como os dois eventos juntos representam a totalidade, temos: 
𝐴𝐴 + �̅�𝐴 = 1 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝐴𝐴 + �̅�𝐴 = 100% 
Logo: 
𝐴𝐴 = 1 − �̅�𝐴 𝑐𝑐𝑜𝑜 𝐴𝐴 = 100% − �̅�𝐴 
OBS: Em várias questões, é trabalhoso encontrar a probabilidade do 
evento que queremos então faremos a probabilidade do seu 
complementar e utilizaremos a fórmula acima. 
 
1 - Uma empresa de transporte marítimo transporta cargas classificadas 
como “Químico”, “Combustíveis” e “Alimentos”, e cada um de seus navios 
transporta apenas um tipo de carga. Essa empresa informa que, dos 350 
navios, 180 transportam combustíveis, e 120 transportam alimentos. Ao 
chegar ao porto, a probabilidade de um navio dessa empresa estar 
transportando carga “Químico” ou “Alimentos” é, aproximadamente, de 
a) 0,14 
b) 0,34 
c) 0,49 
d) 0,62 
e) 0,75 
 
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2 - A probabilidade de que certo evento A ocorra é de 20%, a 
probabilidade de que o evento B ocorra é de 30% e a probabilidade de 
que A e B ocorram é de 10%. Assim, a probabilidade de que nem A nem 
B ocorra é igual a: 
a) 30% 
b) 40% 
c) 50% 
d) 60% 
e) 70% 
 
3 - Em um grupo com 20 pacientes, infectados com um único vírus cada 
um, tem-se 50% com dengue, 30% com febre chikungunya e o restante 
com zika vírus. Examinados três desses pacientes, ao acaso, a 
probabilidade de pelo menos um deles estar infectado com o zika vírus é, 
aproximadamente: 
a) 50,88% 
b) 36,51% 
c) 46,54% 
d) 59,95% 
e) 54,87% 
 
4 - Suponha que três lançamentos independentes de uma moeda justa 
sejam feitos em seguida. Qual a probabilidade de que ao menos uma 
delas seja cara? 
a) 1/4 
b) 1/8 
c) 7/8 
d) 2/3 
e) 1/2 
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5 - Os times A e B vão disputar as finais de um campeonato de basquete. 
Os jogos de basquete não podem terminar empatados, tem que haver 
um vencedor. Admita que as probabilidades dos times A e B vencerem 
cada jogo são iguais, isto é, 1/2 cada um. As finais serão disputadas em 
até dois jogos. De acordo com o regulamento do campeonato, devido ao 
melhor desempenho até o momento, ao time A basta vencer um jogo das 
finais para ser campeão. Já o time B para ser campeão tem que vencer os 
dois jogos das finais. A probabilidade do time A ser campeão é: 
a) 1/2 
b) 2/3 
c) 3/4 
d) 3/5 
e) 4/5 
 
6 - Um dado é lançado quatro vezes. A probabilidade de que o número 
´6´ seja obtido ao menos duas vezes é, aproximadamente, igual a: 
a) 0,05 
b) 0,13 
c) 0,25 
d) 0,40 
e) 0,50 
 
A Probabilidade é condicional quando temos uma condição a ser 
obedecida no enunciado. Será dado uma informação adicional que irá 
alterar o cálculo da probabilidade. 
Exemplos: 
Qual a probabilidade de sair o número 5 no lançamento de um dado 
P = 1/6 
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Qual a probabilidade de sair o número 5 no lançamento de um dado 
sabendo que o número sorteado foi ímpar 
P = 1/3 
Para calcular a probabilidade condicional, podemos utilizar a fórmula: 
𝑃𝑃(𝐴𝐴 𝐵𝐵⁄ ) = 𝑛𝑛(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)
𝑛𝑛(𝐵𝐵)
 
P(𝐴𝐴 𝐵𝐵⁄ ) – É a probabilidade de ocorrer o evento A, dado que o evento B 
ocorreu. 
n(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) – número de elementos dos dois conjuntos simultaneamente. 
n(B) – número de elementos do conjunto B. 
 
1 - A tabela abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas 
respectivas frequências. Não há observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
 
Uma pessoa com mais de 50 kgf será escolhida ao acaso. A probabilidade 
de que o peso dessa pessoa esteja entre 60 kgf e 80 kgf é, 
aproximadamente, 
(A) 65% 
(B) 63% 
(C) 60% 
(D) 58% 
(E) 55% 
 
2 - Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco 
delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata 
e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas 
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– em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se 
apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma 
pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma 
pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de 
que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que 
ganhou de João é igual a: 
a) 1/3 
b) 1/5 
c) 9/20 
d) 4/5 
e) 3/5 
 
3 - Como forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, Russell e 
Gödel disputaram, no parque da cidade, em um domingo à tarde, 
partidas de futebol e de vôlei. O quadro a seguir mostra os quantitativos 
de membros de cada família presentes no parque, distribuídos por 
gênero. 
 
A partir dessa tabela, julgue os itens subsequentes. 
Considere que, em eventual sorteio de brindes, um nome tenha sido 
retirado, ao acaso, do interior de uma urna que continha os nomes de 
todos os familiares presentes no evento. Nessa situação, sabendo-se que 
o sorteado não é uma mulher da família Gödel, a probabilidade de ser 
uma mulher da família Russel será superior a 20%. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
4 - Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A 
sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá 
trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, 
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e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José 
o faz em 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia 
qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está 
salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por 
José é igual a: 
a) 0,15. 
b) 0,25. 
c) 0,30. 
d) 0,20. 
e) 0,40. 
 
5 - Numa urna há somente 8 bolas azuis numeradas de 1 a 8 e 12 bolas 
verdes numeradas de 9 a 20. A probabilidade de sortearmos uma única 
bola dessa urna e ela ter um número par, sabendo que ela é azul, é: 
a) 20% 
b) 50% 
c) 40% 
d) 25% 
 
6 - Em uma sala do último ano do ensino médio com 50 alunos, sendo 28 
meninas, foi feita uma pesquisa sobre o curso que pretendiam fazer na 
faculdade. Entre os 6 alunos que responderam que pretendiam fazer 
Arquitetura estavam apenas 2meninas. 
Tomando ao acaso um desses alunos, qual é a probabilidade de que, 
sendo menina, pretenda fazer Arquitetura? 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/11 
d) 1/14 
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e) 1/25 
 
7 - Leia o texto a seguir para responder à questão. 
Uma pesquisa com uma amostra de jovens entre 18 e 25 anos de uma 
comunidade revelou que 70% deles estudam e que 50% deles trabalham. 
A pesquisa mostrou ainda que 40% desses jovens trabalham e estudam. 
Escolhido um jovem entre 18 e 25 anos dessa comunidade, a 
probabilidade de que seja estudante, sabendo-se que não trabalha, é de: 
a) 30% 
b) 40% 
c) 50% 
d) 60% 
e) 70% 
 
 Probabilidade da interseção 
Sabemos que: 
𝑃𝑃(𝐴𝐴 𝐵𝐵⁄ ) =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
 
Logo: 
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴 𝐵𝐵⁄ ).𝑃𝑃(𝐵𝐵) 
 
Considere que dois controladores de recursos públicos de um tribunal de 
contas estadual serão escolhidos para auditar as contas de determinada 
empresa estatal e que, devido às suas qualificações técnicas, a 
probabilidade de José ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, 
enquanto a probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. 
Em face dessas considerações, julgue o item subsequente. 
 
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1- Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a 
probabilidade de José ser escolhido é 1/5. Nessas condições, a 
probabilidade de José e Carlos serem ambos escolhidos é menor que 1/4 
( ) Certo ( ) Errado 
 
Eventos Independentes 
Se a ocorrência de um evento não influencia a ocorrência de um outro 
evento, então esse eventos são independentes e P(𝐴𝐴 𝐵𝐵⁄ ) = P(A). 
Logo: 
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴).𝑃𝑃(𝐵𝐵) 
EX: Qual a probabilidade de sair o número 5 no primeiro lançamento de 
um dado e o número 3 no segundo lançamento? 
 
2- A tabela abaixo mostra a distribuição de frequência dos vinte 
empregados de uma empresa, de acordo com as suas idades. Dois 
empregados diferentes são escolhidos em sequência, aleatoriamente, 
para representar a empresa num determinado evento. Qual a 
probabilidade de que ambos tenham 34 anos? 
(A) 5/20 
(B) 5/34 
(C) 2/20 
(D) 2/34 
(E) 1/19 
 
3- Qual a probabilidade de serem obtidos três ases em seguida, quando 
se extraem três cartas de um baralho comum de 52 cartas se a carta 
extraída é reposta no baralho antes da extração da próxima carta? 
(A) 1/169 
(B) 1/221 
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(C) 1/2197 
(D) 1/5525 
(E) 1/140608 
 
4- Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado banco, 
um correntista deve utilizar sua senha constituída por três letras, não 
necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as 
letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 
letras. Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na 
tela do terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, 
assim, para digitar sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a 
tecla que contém a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o 
valor mais próximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em 
sequência três das cinco teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas 
da senha? 
a) 0,001. 
b) 0,0001. 
c) 0,000125. 
d) 0,005. 
e) 0,008. 
 
5- Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer 
determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três 
pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de 
exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética? 
a) 0,98% 
b) 1% 
c) 2,94% 
d) 1,30% 
e) 3,96% 
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6- Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B) = 0,9. Assinale a única 
alternativa que apresenta um possível valor para P(A ∩ B). 
(A) 0,13. 
(B) 0,22. 
(C) 0,31. 
(D) 0,49. 
(E) 0,54. 
 
 Probabilidade da União 
Qual a probabilidade de, ao lançarmos um dado honesto, sair um número 
ímpar? 
Evento A – Sair o número 1 
Evento B – Sair o número 3 
Evento C – Sair o número 5 
Queremos que ocorra o evento A ou B ou C, ou seja, P(A∪B∪C). 
P(A∪B∪C) = 1
6
+ 1
6
+ 1
6
= 3
6
= 50% 
 
Cuidado: 
Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São 
disponibilizados cursos de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por 
fazer nenhum, um ou os dois cursos. Atualmente temos a seguinte 
situação: · 30 alunos fazem inglês. 
· 20 alunos fazem inglês e espanhol. 
· 35 alunos fazem espanhol. 
· 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol. 
Sorteamos um aluno dessa escola. Qual a probabilidade de o aluno 
sorteado cursar inglês ou espanhol? 
 
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Logo: 
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵) − 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) 
Se os eventos forem mutuamente excludentes: 
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵) 
 
1- De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em francês, 
110 em inglês e 40 não estão matriculados nem em inglês nem em 
francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade 
de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma 
dessas disciplinas (isto é, em inglês ou em francês) é igual a: 
a) 30/200 
b) 130/200 
c) 150/200 
d) 160/200 
e) 190/200 
 
2- Quando Lígia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela 
pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir 
para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir 
para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04.Portanto, a probabilidade de 
Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o 
nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a 
a) 0,25 
b) 0,35 
c) 0,45 
d) 0,15 
e) 0,65. 
 
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3- Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Supondo que 
P(A) = 0,4, P(AUB) = 0,7 e P(B) = p. Os valores de p que fazem com que A 
e B sejam mutuamente exclusivos e A e B sejam independentes são, 
respectivamente, 
a) 0,3 e 0,5 
b) 0,4 e 0,2 
c) 0,5 e 0,2 
d) 0,6 e 0,2 
e) 0,3 e 0,4 
 
4- A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000 pessoas classificadas 
por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Viúvo). 
 
Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do 
sexo Feminino ou Viúva é igual a: 
(A) 0,6. 
(B) 0,2. 
(C) 0,4. 
(D) 0,7. 
(E) 0,5. 
 
5- Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo 
é 0,4; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a 
probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. 
Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a: 
a) 0,04 
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b) 0,40 
c) 0,50 
d) 0,45 
e) 0,95 
 
6- Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o 
número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro 
número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor 
mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? 
a) 20% 
b) 27% 
c) 25% 
d) 23% 
e) 50% 
 
PROBABILIDADE TOTAL 
A lei da probabilidade total é uma regra fundamental que 
relaciona probabilidades marginais e probabilidades condicionais. Ela 
expressa a probabilidade total de um resultado que pode ser realizado 
através de vários eventos distintos. 
Fonte: Wikipédia 
 
Exemplo 1: 
Suponha que duas fábricas forneçam lâmpadas para o mercado. As 
lâmpadas da fábrica X trabalham por mais de 5000 horas em 99% dos 
casos, enquanto as lâmpadas de Y trabalham por mais de 5000 horas em 
95% dos casos. Sabe-se que a fábrica X fornece 60% das lâmpadas. Qual é 
a chance de que a lâmpada comprada irá funcionar por mais de 5000 
horas? 
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X = 60% ; Desses, 99% trabalham mais de 5000 horas 
Y = 40% ; Desses, 95% trabalham mais de 5000 horas 
 
𝑃𝑃 = 60
100
. 99
100
+ 40
100
. 95
100
 
𝑃𝑃 = 
594
1000
+
380
1000
=
974
1000
 
Atenção: Note que só existem as fábricas X e Y, logo, todas as lâmpadas 
estarão dentro dessas duas fábricas. Quando a totalidade de elementos 
está contemplada dentro de uma quantidade fixa de eventos, dizemos 
que esses eventos são complementares. 
Para eventos complementares, calculamos a probabilidade total por: 
𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 𝑝𝑝(𝑋𝑋).𝑝𝑝(𝐴𝐴 𝑋𝑋⁄ ) + 𝑝𝑝(𝑌𝑌).𝑝𝑝(𝐴𝐴 𝑌𝑌⁄ ) 
Exemplo 2: 
Uma urna tem uma bola branca e uma bola preta (vamos chama-la de 
primeira urna). Outra urna tem três bolas brancas e uma bola preta 
(vamos chamar de segunda urna). Escolhe-se uma dessas urnas ao acaso 
e retira-se uma bola. Qual a probabilidade da bola escolhida ser preta? 
Evento X – escolher a primeira urna 
Evento Y – escolher a segunda urna 
Evento A – escolher uma bola preta 
𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 𝑝𝑝(𝑋𝑋).𝑝𝑝(𝐴𝐴 𝑋𝑋⁄ ) + 𝑝𝑝(𝑌𝑌).𝑝𝑝(𝐴𝐴 𝑌𝑌⁄ ) 
P(A) = 1/2 . 1/2 + 1/2 . 1/4 
P(A) = 1/4 + 1/8 
P(A) = 3/8 
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Exercícios 
1 - Um marceneiro apresentou orçamentos separados para a execução de 
armários de quarto é de cozinha para uma grande rede de moveis. Ele 
acha que a probabilidade de ganhar a concorrência da execução dos 
armários de quarto e de 1/2. Caso ele ganhe a execução de armários de 
quarto, a chance de ganhar a execução de armários de cozinha é de 3/4, 
caso contrario, essa probabilidade é de 1/3. Qual a probabilidade de ele 
ganhar apenas um dos contratos? 
(A) 0,167. 
(B) 0,292. 
(C) 0,333. 
(D) 0,375. 
(E) 0,458. 
 
2 - Uma rede local de computadores e composta por um servidor e 2 
(dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos pedidos de 
certo tipo de processamento, cerca de 30% vem de Z e 70% de Y. Se o 
pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentara 
erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos pedidos 
feitos por Y apresentam erro, a probabilidade do sistema apresentar erro 
e: 
a) 5% 
b) 4,1% 
c) 3,5% 
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d) 3% 
e) 1,3% 
 
3 - Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os quais A e B) de 
mesma habilidade, isto e, em qualquer jogo entre dois dos quatro 
jogadores, ambos tem a mesma chance de ganhar. Na primeira rodada, 
eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos por sorteio. 
Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que o torneio 
termine com A derrotando B na final e: 
(A) 1/2. 
(B) 1/4. 
(C) 1/6. 
(D) 1/8. 
(E) 1/12. 
 
4 - Em uma repartição publica, três setores A, B e C são responsáveis pela 
análise de todos os processos autuados, recebendo cada um o mesmo 
número de processos para analisar independentemente. Pela 
complexidade de tais processos, sabe-se que em A, B e C, 
respectivamente, 6%, 4,5% e 1,5% não são analisados dentro do tempo 
estipulado pela Administração. Escolhendo aleatoriamente um processo 
entre todos autuados, a probabilidade dele ser analisado dentro do 
tempo estipulado é de: 
(A) 94,0%. 
(B) 94,5%. 
(C) 95,0%. 
(D) 96,0%. 
(E) 98,5%. 
 
 
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 Teorema de Bayes 
Em teoria das probabilidades e estatística, o teorema de Bayes 
(alternativamente, a lei de Bayes ou a regra de Bayes) descreve a 
probabilidade de um evento, baseado em um conhecimento a priori que 
pode estar relacionado ao evento. O teorema mostra como alterar as 
probabilidades a priori tendo em vista novas evidências para obter 
probabilidades a posteriori. 
 Fonte: Wikipédia 
Sabemos que: 
P(X/A) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋∩𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐴𝐴)
 
Como P(X∩A) = P(A∩X) = P(A/X) . P(X), temos: 
P(X/A) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴/𝑋𝑋).𝑃𝑃(𝑋𝑋)
𝑃𝑃(𝐴𝐴)
 
Pela probabilidade total temos: 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 𝑝𝑝(𝑋𝑋).𝑝𝑝(𝐴𝐴 𝑋𝑋⁄ ) + 𝑝𝑝(𝑌𝑌).𝑝𝑝(𝐴𝐴 𝑌𝑌⁄ ) 
Logo: 
P(X/A) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴/𝑋𝑋).𝑃𝑃(𝑋𝑋)
𝑝𝑝(𝑋𝑋).𝑝𝑝(𝐴𝐴 𝑋𝑋⁄ )+𝑝𝑝(𝑌𝑌).𝑝𝑝(𝐴𝐴 𝑌𝑌⁄ )
 
 
Exemplo: 
Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 clientes 
(A e B). Registros anteriores indicam que, dos pedidos de certo tipo de 
processamento, cerca de 30% vem de A e 70% de B. Se o pedido não for 
feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Sabe-se que 
2% dos pedidos feitos por A e 5% dos feitos por B apresentam erro. 
Selecionando um pedido ao acaso, a probabilidade dele ser proveniente 
de A, sabendo que apresentou erro, e 
(A) 5/41 
(B) 6/41 
(C) 3/5 
(D) 2/35 
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(E) 1/35 
 
P(X/E) = 𝑃𝑃(𝐸𝐸/𝑋𝑋).𝑃𝑃(𝑋𝑋)
𝑝𝑝(𝑋𝑋).𝑝𝑝(𝐸𝐸 𝑋𝑋⁄ )+𝑝𝑝(𝑌𝑌).𝑝𝑝(𝐸𝐸 𝑌𝑌⁄ )
 
P(X/E) = 0.02 . 0,3
0,3 . 0,02 +0,7 . 0,05
 
P(X/E) = 0,006
0,006 +0,035
 
P(X/E) = 0,006
0,041
= 6
41
 
 
 Exercícios 
1 - Considere que 60% do total dos títulos que um investidor possui é do 
tipo X e o restante do tipo Y. A probabilidade do titulo X apresentar uma 
taxa de retorno igual ou superior a taxa de inflação é igual a 80% e do 
titulo Y igual a 50%. Selecionando ao acaso um titulo entre estes em 
poder do investidor e verificando que a taxa de retorno apresentada foi 
inferior a taxa de inflação, a probabilidade dele ser um titulo do tipo Y é 
igual a: 
(A) 37,5% 
(B) 50,0% 
(C) 56,5% 
(D) 62,5% 
(E) 65,0% 
 
2 - Determinados processos de um tribunal são encaminhados para a 
analise de 3 analistas: X, Y e Z. Sabe-se que 30% de todos esses processos 
são encaminhados para X, 45% para Y e 25% para Z. Usualmente, por falta 
de documentação, uma parcela de tais processos é devolvida. Sabe-se 
que 5% , 10% e 10% dos processos de X, Y e Z, respectivamente, são 
devolvidos. A probabilidade de que um processo escolhido ao acaso 
tenha sido encaminhado para X, sabendo que foi devolvido, é: 
(A) 4/15 
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(B) 3/17 
(C) 6/19 
(D) 7/15 
(E) 3/19 
 
3 - Um teste laboratorial de sangue é 95% efetivo para detectar uma certa 
doença, quando ela está presente. Entretanto, o teste também resulta em 
falso positivo para 1% das pessoas saudáveis testadas. Se 0,5% da 
população realmente tem a doença, a probabilidade de uma pessoa ter a 
doença, dado que o resultado do teste é positivo, é: 
a) 0,9 
b) 0,8 
c) 0,4 
d) 0,35 
e) 0,32 
 
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