Exercícios sobre Cônicas

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Cônicas Lista
Exercícios — Translação e Rotação de Eixos
Exercício 8.8.1 Considere a cônica definida pela equação geral
3x2 − 8xy + 7y2 + 8x − 15y + 20 = 0, (8.205)
em relação ao sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O, e⃗1, e⃗2}.
(a) Determine um novo sistema ortogonal de coordenadas Σ1 = {O1, q⃗1, q⃗2}, no qual elimina-
mos os termos de primeira ordem e o termo misto de segunda ordem, obtendo a equação
na forma reduzida.
(b) Faça o reconhecimento da cônica através da sua equação reduzida.
(c) Determine os principais elementos da cônica para auxiliar no esboço do seu gráfico.
Exercício 8.8.2 Considere a cônica definida pela equação geral
x2 + 4xy + 4y2 + 4x + y − 15 = 0, (8.206)
em relação ao sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O, e⃗1, e⃗2}.
(a) Determine um novo sistema ortogonal de coordenadas Σ1 = {O1, q⃗1, q⃗2}, no qual elimina-
mos os termos de primeira ordem e o termo misto de segunda ordem, obtendo a equação
na forma reduzida.
(b) Faça o reconhecimento da cônica através da sua equação reduzida.
(c) Determine os principais elementos da cônica para auxiliar no esboço do seu gráfico.
Exercício 8.8.3 Considere a cônica definida pela equação geral
4x2 + 4xy + y2 − 12x − 6y + 5 = 0, (8.207)
em relação ao sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O, e⃗1, e⃗2}.
(a) Determine um novo sistema ortogonal de coordenadas Σ1 = {O1, q⃗1, q⃗2}, no qual elimina-
mos os termos de primeira ordem e o termo misto de segunda ordem, obtendo a equação
na forma reduzida.
(b) Faça o reconhecimento da cônica através da sua equação reduzida.
(c) Determine os principais elementos da cônica para auxiliar no esboço do seu gráfico.
Exercício 8.8.4 Considere a cônica definida pela equação geral
x2 − 2xy + y2 + 6x − 14y + 29 = 0, (8.208)
em relação ao sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O, e⃗1, e⃗2}.
1
(a) Determine um novo sistema ortogonal de coordenadas Σ1 = {O1, q⃗1, q⃗2}, no qual elimina-
mos os termos de primeira ordem e o termo misto de segunda ordem, obtendo a equação
na forma reduzida.
(b) Faça o reconhecimento da cônica através da sua equação reduzida.
(c) Determine os principais elementos da cônica para auxiliar no esboço do seu gráfico.
Exercício 8.8.5 Considere a cônica definida pela equação geral
5x2 + 4xy + 2y2 − 10x + 6y − 3 = 0, (8.209)
em relação ao sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O, e⃗1, e⃗2}.
(a) Determine um novo sistema ortogonal de coordenadas Σ1 = {O1, q⃗1, q⃗2}, no qual elimina-
mos os termos de primeira ordem e o termo misto de segunda ordem, obtendo a equação
na forma reduzida.
(b) Faça o reconhecimento da cônica através da sua equação reduzida.
(c) Determine os principais elementos da cônica para auxiliar no esboço do seu gráfico.
Exercício 8.8.6 Considere a cônica definida pela equação geral
2x2 − 3xy + 4y2 + 8x − 5y − 7 = 0, (8.210)
em relação ao sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O, e⃗1, e⃗2}.
(a) Determine um novo sistema ortogonal de coordenadas Σ1 = {O1, q⃗1, q⃗2}, no qual elimina-
mos os termos de primeira ordem e o termo misto de segunda ordem, obtendo a equação
na forma reduzida.
(b) Faça o reconhecimento da cônica através da sua equação reduzida.
(c) Determine os principais elementos da cônica para auxiliar no esboço do seu gráfico.
Exercício 8.8.7 Considere a cônica definida pela equação geral
3x2 + 10xy + 7y2 − 12x + 4y + 1 = 0, (8.211)
em relação ao sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O, e⃗1, e⃗2}.
(a) Determine um novo sistema ortogonal de coordenadas Σ1 = {O1, q⃗1, q⃗2}, no qual elimina-
mos os termos de primeira ordem e o termo misto de segunda ordem, obtendo a equação
na forma reduzida.
(b) Faça o reconhecimento da cônica através da sua equação reduzida.
(c) Determine os principais elementos da cônica para auxiliar no esboço do seu gráfico.
Exercício 8.8.8 Considere a cônica definida pela equação geral
4x2 − 6xy + 5y2 + 16x − 2y − 20 = 0, (8.212)
em relação ao sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O, e⃗1, e⃗2}.
2
(a) Determine um novo sistema ortogonal de coordenadas Σ1 = {O1, q⃗1, q⃗2}, no qual elimina-
mos os termos de primeira ordem e o termo misto de segunda ordem, obtendo a equação
na forma reduzida.
(b) Faça o reconhecimento da cônica através da sua equação reduzida.
(c) Determine os principais elementos da cônica para auxiliar no esboço do seu gráfico.
Exercício 8.8.9 Considere a cônica definida pela equação geral
6x2 + 8xy + 3y2 − 18x + 9y + 6 = 0, (8.213)
em relação ao sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O, e⃗1, e⃗2}.
(a) Determine um novo sistema ortogonal de coordenadas Σ1 = {O1, q⃗1, q⃗2}, no qual elimina-
mos os termos de primeira ordem e o termo misto de segunda ordem, obtendo a equação
na forma reduzida.
(b) Faça o reconhecimento da cônica através da sua equação reduzida.
(c) Determine os principais elementos da cônica para auxiliar no esboço do seu gráfico.
Exercício 8.8.10 Considere a cônica definida pela equação geral
5x2 − 4xy + y2 + 5x − 11y + 18 = 0, (8.214)
em relação ao sistema ortogonal de coordenadas Σ = {O, e⃗1, e⃗2}.
(a) Determine um novo sistema ortogonal de coordenadas Σ1 = {O1, q⃗1, q⃗2}, no qual elimina-
mos os termos de primeira ordem e o termo misto de segunda ordem, obtendo a equação
na forma reduzida.
(b) Faça o reconhecimento da cônica através da sua equação reduzida.
(c) Determine os principais elementos da cônica para auxiliar no esboço do seu gráfico.
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