Equações de Maxwell

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Equações de Maxwell
PROF. FRANCISCO FERNANDES FRIGHETTO
DISCIPLINA: FÍSICA I I I
Leis fundamentais vistas até agora
• Das leis fundamentais que vimos até agora, identificamos como cargas elétricas
geram campos elétricos (Lei de Gauss 𝐸), como dipolos magnéticos geram
campos magnéticos (Lei de Gauss 𝐵), como correntes elétricas geram campos
magnéticos (Lei de Ampère) e como campos magnéticos geram campos elétricos
(Lei de Faraday):
ර𝐸. 𝑑 Ԧ𝐴 =
𝑞𝑖𝑛𝑡
𝜀0
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝐸 ර𝐵. 𝑑 Ԧ𝐴 = 0 → 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝐵
ර𝐵. 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0. 𝑖𝑒𝑛𝑣 → 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒 ර𝐸. 𝑑Ԧ𝑙 = −
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦
• Maxwell percebeu que falta uma informação na Lei de Ampère sobre como
campos elétricos geram campos magnéticos!
Campos magnéticos induzidos
• Para tanto, vamos avaliar a situação de um capacitor de placas paralelas sendo
carregado por uma corrente elétrica (que varia com o tempo) com a Lei de
Ampère, escolhendo o seguinte circuito amperiano e a seguinte área envolta
pelo circuito amperiano:
ර𝐵. 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0. 𝑖𝑒𝑛𝑣 → 𝐵 =
𝜇0. 𝑖
2𝜋𝑟
𝑖𝑖
Área S1
Campos magnéticos induzidos
• É importante lembrar que é possível escolher qualquer área envolta pelo
circuito amperiano, por exemplo, podemos escolher a área envolta pelo circuito
amperiano que passa entre a região por entre as placas do capacitor, como
apresentado abaixo:
Campos magnéticos induzidos
• Parece haver uma inconsistência na Lei de Ampère ao avaliarmos o campo
magnético gerado neste sistema com o capacitor!
• Independente da superfície escolhida, a Lei de Ampère deveria retornar o
mesmo valor para o campo magnético gerado pelo sistema!
ර𝐵. 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0. 𝑖𝑒𝑛𝑣
𝑆1 → 𝐵 =
𝜇0. 𝑖
2𝜋𝑟
ර𝐵. 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0. 𝑖𝑒𝑛𝑣
𝑆2 → 𝐵 = 0 !
Campos magnéticos induzidos
• Esta inconsistência se dá pelo fato da Lei de Ampére ser valida somente no
contexto da magnetostática (∇Ԧ𝐽 = 0 →
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0), que não é o caso do sistema
que estamos avaliando!
• Sendo assim, há uma informação na Lei de Ampère que está faltando para que
possamos resolver a aparente inconsistência apresentada anteriormente.
Campos magnéticos induzidos
• Esta inconsistência se dá pelo fato da Lei de Ampére ser valida somente no
contexto da magnetostática (∇Ԧ𝐽 = 0 →
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0), que não é o caso do sistema
que estamos avaliando!
• Sendo assim, há uma informação na Lei de Ampère que está faltando para que
possamos resolver a aparente inconsistência apresentada anteriormente.
• A única coisa que pode ser usada na área 𝑆2 para tentar resolver este problema
é o campo elétrico (que varia no tempo) entre as placas do capacitor.
• Sendo assim, vamos tentar vincular o campo elétrico entre as placas do
capacitor com a corrente elétrica passando no fio do circuito, no intuito de
resolver a aparente inconsistência!
Lei de Ampère-Maxwell
• Partindo da definição de capacitância, temos como expressar o campo elétrico
entre as placas do capacitor de placas paralelas da seguinte forma (lembrando
que a cargas armazenada nas placas do capacitor estão variando no tempo):
𝐶 =
𝑞
𝑉
→
𝜀0. 𝐴
𝑑
=
𝑞
𝑉
→
𝜀0. 𝐴
𝑑
=
𝑞
𝐸. 𝑑
→ 𝑞 = 𝜀0. 𝐴. 𝐸
Lei de Ampère-Maxwell
• Partindo da definição de capacitância, temos como expressar o campo elétrico
entre as placas do capacitor de placas paralelas da seguinte forma (lembrando
que a cargas armazenada nas placas do capacitor estão variando no tempo):
𝐶 =
𝑞
𝑉
→
𝜀0. 𝐴
𝑑
=
𝑞
𝑉
→
𝜀0. 𝐴
𝑑
=
𝑞
𝐸. 𝑑
→ 𝑞 = 𝜀0. 𝐴. 𝐸
• O fluxo de campo elétrico passando entre as placas do capacitor de placas
paralelas pode ser expresso da seguinte forma:
Φ𝐸 = න𝐸. 𝑑 Ԧ𝐴 = 𝐸. 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎𝑠
𝑞 = 𝜀0. Φ𝐸 → 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= 𝜀0
𝑑Φ𝐸
𝑑𝑡
Lei de Ampère-Maxwell
• Com isso, uma forma de resolver a aparente inconsistência é incluir o seguinte
termo na Lei de Ampère, culminando na Lei de Ampère-Maxwell:
ර𝐵. 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0. 𝑖𝑒𝑛𝑣 + 𝜀0
𝑑Φ𝐸
𝑑𝑡
• Usando a Lei de Ampère-Maxwell conseguimos chegar no mesmo resultado
para a o campo magnético gerado no circuito amperiano selecionado,
independente da área escolhida:
𝐵 =
𝜇0. 𝑖
2𝜋𝑟
Equações de Maxwell
• Notem que a Lei de Ampère-Maxwell está identificando a forma como correntes elétricas e
campos elétricos estão gerando campos magnéticos. Juntando agora todas as leis da eletricidade e
magnetismo que vimos na disciplina, tem-se todas as equações de Maxwell em sua forma integral:
ර𝐸. 𝑑 Ԧ𝐴 =
𝑞𝑖𝑛𝑡
𝜀0
= න
𝜌
𝜀0
𝑑𝑉 → 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝐸
ර𝐵. 𝑑 Ԧ𝐴 = 0 → 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝐵
ර𝐸. 𝑑Ԧ𝑙 = −
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
= −
𝑑
𝑑𝑡
න𝐵. 𝑑 Ԧ𝐴 → 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦
ර𝐵. 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0. 𝑖𝑒𝑛𝑣 + 𝜀0
𝑑Φ𝐸
𝑑𝑡
= 𝜇0. න Ԧ𝐽. 𝑑 Ԧ𝐴 + 𝜀0
𝑑
𝑑𝑡
න𝐸. 𝑑 Ԧ𝐴 → 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒 − 𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙
Equações de Maxwell
• A partir de teoremas integrais de cálculo (teorema do divergente e teorema de
Stokes), é possível obter as equações de Maxwell em sua forma diferencial:
∇𝐸 =
𝜌
𝜀0
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝐸
∇𝐵 = 0 → 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝐵
∇ × 𝐸 = −
𝑑𝐵
𝑑𝑡
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦
∇ × 𝐵 = 𝜇0. Ԧ𝐽 + 𝜀0
𝑑𝐸
𝑑𝑡
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒 − 𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙
• Onde 𝜌 corresponde a densidade volumétrica de cargas elétricas. Vale notar
que as equações acima são concebidas para o caso do vácuo!
Equação da continuidade
• Neste momento é muito importante fazer o divergente da Lei de Ampère-Maxwell:
∇. ∇ × 𝐵 = 𝜇0∇. Ԧ𝐽 + 𝜀0
𝑑𝐸
𝑑𝑡
Equação da continuidade
• Neste momento é muito importante fazer o divergente da Lei de Ampère-Maxwell:
∇. ∇ × 𝐵 = 𝜇0∇. Ԧ𝐽 + 𝜀0
𝑑𝐸
𝑑𝑡
• Usando a identidade de que o gradiente do rotacional de qualquer vetor será sempre zero:
∇. Ԧ𝐽 + 𝜀0
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 0
Equação da continuidade
• Neste momento é muito importante fazer o divergente da Lei de Ampère-Maxwell:
∇. ∇ × 𝐵 = 𝜇0∇. Ԧ𝐽 + 𝜀0
𝑑𝐸
𝑑𝑡
• Usando a identidade de que o gradiente do rotacional de qualquer vetor será sempre zero:
∇. Ԧ𝐽 + 𝜀0
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 0
• Como a derivada no tempo e o divergente são operações independentes uma da outra, há
como intercambiar uma operação com a outra:
∇Ԧ𝐽 + 𝜀0
𝑑
𝑑𝑡
∇𝐸 = 0
Equação da continuidade
• Neste momento é muito importante fazer o divergente da Lei de Ampère-Maxwell:
∇. ∇ × 𝐵 = 𝜇0∇. Ԧ𝐽 + 𝜀0
𝑑𝐸
𝑑𝑡
• Usando a identidade de que o gradiente do rotacional de qualquer vetor será sempre zero:
∇. Ԧ𝐽 + 𝜀0
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 0
• Como a derivada no tempo e o divergente são operações independentes uma da outra, há
como intercambiar uma operação com a outra:
∇Ԧ𝐽 + 𝜀0
𝑑
𝑑𝑡
∇𝐸 = 0
• Por fim, fazendo uso da Lei de Gauss para o campo elétrico:
∇Ԧ𝐽 +
𝑑𝜌
𝑑𝑡
= 0 → 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
Equações de Maxwell - Vácuo
• No caso de um vácuo sem cargas elétricas e sem correntes elétricas, tem-se que
𝜌 = 0 e Ԧ𝐽 = 0. Sendo assim, para este caso tem-se as seguintes equações de
Maxwell na forma diferencial:
∇𝐸 = 0 → 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝐸
∇𝐵 = 0 → 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝐵
∇ × 𝐸 = −
𝑑𝐵
𝑑𝑡
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦
∇ × 𝐵 = 𝜇0. 𝜀0
𝑑𝐸
𝑑𝑡
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒 −𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙
• Nesta forma das equações de Maxwell, fica clara a relação entre campos
elétricos e campos magnéticos.
Onda eletromagnética no vácuo
• Com as equações de Maxwell na forma diferencial para o vácuo, vamos fazer o rotacional da Lei
de Faraday :
∇ × ∇ × 𝐸 = −∇ ×
𝑑𝐵
𝑑𝑡
Onda eletromagnética no vácuo
• Com as equações de Maxwell na forma diferencial para o vácuo, vamos fazer o rotacional da Lei
de Faraday :
∇ × ∇ × 𝐸 = −∇ ×
𝑑𝐵
𝑑𝑡
• Usando a identidade do rotacional de um rotacional de um vetor qualquer, ∇ × ∇ × Ԧ𝐹 =
∇ ∇ Ԧ𝐹 − ∇2 Ԧ𝐹, e o fato de que há como intercambiar as derivadas no tempo com os rotacionais:
∇ ∇𝐸 − ∇2𝐸 = −
𝑑
𝑑𝑡
∇ × 𝐵
Onda eletromagnética no vácuo
• Com as equações de Maxwell na forma diferencial para o vácuo, vamos fazer o rotacional da Lei
de Faraday :
∇ × ∇ × 𝐸 = −∇ ×
𝑑𝐵
𝑑𝑡
• Usando a identidade do rotacional de um rotacional de um vetorqualquer, ∇ × ∇ × Ԧ𝐹 =
∇ ∇ Ԧ𝐹 − ∇2 Ԧ𝐹, e o fato de que há como intercambiar as derivadas no tempo com os rotacionais:
∇ ∇𝐸 − ∇2𝐸 = −
𝑑
𝑑𝑡
∇ × 𝐵
• Por fim, usando a Lei de Gauss para o campo elétrico e a Lei de Ampère-Maxwell:
∇2𝐸 − 𝜇0. 𝜀0
𝑑2𝐸
𝑑𝑡2
= 0
∇ × 𝐵 = 𝜇0. 𝜀0
𝑑𝐸
𝑑𝑡
→
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑎𝑔𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑣 =
1
𝜇0. 𝜀0
= 𝑐
Onda eletromagnética no vácuo
• Com as equações de Maxwell na forma diferencial para o vácuo, vamos fazer o rotacional da Lei
de Ampère-Maxwell:
∇ × ∇ × 𝐵 = 𝜇0. 𝜀0. ∇ ×
𝑑𝐸
𝑑𝑡
Onda eletromagnética no vácuo
• Com as equações de Maxwell na forma diferencial para o vácuo, vamos fazer o rotacional da Lei
de Ampère-Maxwell:
∇ × ∇ × 𝐵 = 𝜇0. 𝜀0. ∇ ×
𝑑𝐸
𝑑𝑡
• Usando a identidade do rotacional de um rotacional de um vetor qualquer, ∇ × ∇ × Ԧ𝐹 =
∇ ∇ Ԧ𝐹 − ∇2 Ԧ𝐹, e o fato de que há como intercambiar as derivadas no tempo com os rotacionais:
∇ ∇𝐵 − ∇2𝐵 = 𝜇0. 𝜀0.
𝑑
𝑑𝑡
∇ × 𝐸
Onda eletromagnética no vácuo
• Com as equações de Maxwell na forma diferencial para o vácuo, vamos fazer o rotacional da Lei
de Ampère-Maxwell:
∇ × ∇ × 𝐵 = 𝜇0. 𝜀0. ∇ ×
𝑑𝐸
𝑑𝑡
• Usando a identidade do rotacional de um rotacional de um vetor qualquer, ∇ × ∇ × Ԧ𝐹 =
∇ ∇ Ԧ𝐹 − ∇2 Ԧ𝐹, e o fato de que há como intercambiar as derivadas no tempo com os rotacionais:
∇ ∇𝐵 − ∇2𝐵 = 𝜇0. 𝜀0.
𝑑
𝑑𝑡
∇ × 𝐸
•Por fim, usando a Lei de Gauss para o campo magnético e a Lei de Faraday:
∇2𝐵 − 𝜇0. 𝜀0
𝑑2𝐵
𝑑𝑡2
= 0
∇ × 𝐸 = −
𝑑𝐵
𝑑𝑡
→
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑎𝑔𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑣 =
1
𝜇0. 𝜀0
= 𝑐
Onda eletromagnética no vácuo
• Ao se resolver alguma situação envolvendo campos elétricos e campos magnéticos, há duas
formas de se proceder:
• (a) Calcular o campo elétrico a partir da equação de onda, e calcular o campo magnético a
partir da equação de Faraday:
∇2𝐸 − 𝜇0. 𝜀0
𝑑2𝐸
𝑑𝑡2
= 0 → ∇ × 𝐵 = 𝜇0. 𝜀0
𝑑𝐸
𝑑𝑡
• (b) Calcular o campo magnético a partir da equação de onda, e calcular o campo elétrico a
partir da equação de Ampère-Maxwell:
∇2𝐵 − 𝜇0. 𝜀0
𝑑2𝐵
𝑑𝑡2
= 0 → ∇ × 𝐸 = −
𝑑𝐵
𝑑𝑡
• Em qualquer um dos dois procedimentos, tem-se que os campos elétricos e campos magnéticos
serão descritos como ondas, e está se preservando corretamente as relações entre os campos
elétricos e campos magnéticos!!
Onda eletromagnética no vácuo
Impactos Históricos das equações de 
Maxwell
• É importante notar que a velocidade de propagação das ondas
eletromagnéticas será sempre o mesmo (no vácuo, c =
1
𝜇0.𝜀0
), de tal forma que
as equações de Maxwell parecem levar a um resultado que está em contradição
com o princípio da relatividade de Galileu! Ou seja, as equações de Maxwell
parecem não ser compatíveis com a Mecânica Clássica!!!
• Esta contradição levou vários cientistas do fim do século XIX e início do século
XX a tentar encontrar uma solução que tonassem as equações de Maxwell
compatíveis com a Mecânica Clássica (levando a propostas como a Teoria do
Éter, que foram depois refutadas por resultados experimentais).
Impactos Históricos das equações de 
Maxwell
• Vendo o sucesso esmagador das equações de Maxwell para a descrição da
natureza e percebendo outros problemas relativos a Mecânica Clássica (como a
órbita anômala de Mercúrio ao redor do Sol e a “aberração luminosa” em
observações astronômicas), Einstein percebeu que o problema na verdade era
com relação a Mecânica Clássica, culminando na teoria da relatividade restrita.
• No contexto da teoria da relatividade restrita, Einstein percebeu que o campo
elétrico e o campo magnético eram diferentes manifestações de uma mesma
entidade, o campo eletromagnético, culminando na teoria eletromagnética, a
primeira teoria clássica de campos!!
MUITO OBRIGADO POR SUA ATENÇÃO!!
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	Slide 7: Campos magnéticos induzidos
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