2Aula-Campo-Eletrico

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Campo elétrico
PROF. FRANCISCO FERNANDES FRIGHETTO
DISCIPLINA: FÍSICA I I I
Campo elétrico - Introdução
• Até agora, observamos a força elétrica entre duas cargas em repouso por meio
da Lei de Coulomb.
Campo elétrico - Introdução
• Até agora, observamos a força elétrica entre duas cargas em repouso por meio
da Lei de Coulomb.
• Suponha que uma carga esteja se movendo. Como a segunda carga saberia que
a primeira se moveu? Dito de outra forma, como seria transmitido este efeito do
movimento da primeira carga na interação entre as cargas? A interação entre as
partícula se transmitiria de forma instantânea?
• E se houvesse outras cargas, como uma carga saberia sobre as outras cargas
extras?
Campo elétrico - Introdução
• Até agora, observamos a força elétrica entre duas cargas em repouso por meio
da Lei de Coulomb.
• Suponha que uma carga esteja se movendo. Como a segunda carga saberia que
a primeira se moveu? Dito de outra forma, como seria transmitido este efeito do
movimento da primeira carga na interação entre as cargas? A interação entre as
partícula se transmitiria de forma instantânea?
• E se houvesse outras cargas, como uma carga saberia sobre as outras cargas
extras?
• Para lidar com essas situações, introduzimos o conceito de campo! Desta forma,
a interação à distância entre as partículas ocorre intermediada pelo campo:
𝐸 = 𝐸 Ԧ𝑥, 𝑡 𝐵 = 𝐵( Ԧ𝑥, 𝑡)
Campo elétrico - Definição
• É possível expressar o campo elétrico gerado por uma carga elétrica puntiforme
a partir da Lei de Coulomb. Para tanto, vamos fazer uso da carga de prova 𝑞0 (tal
que 𝑞0 → 0+).
𝑞1 > 0 𝑞0
Ԧ𝑟10 Ԧ𝐹10
Ԧ𝐹10 =
𝑞1𝑞0
4𝜋𝜀0𝑟10
2 Ƹ𝑟10
Campo elétrico - Definição
• É possível expressar o campo elétrico gerado por uma carga elétrica puntiforme
a partir da Lei de Coulomb. Para tanto, vamos fazer uso da carga de prova 𝑞0 (tal
que 𝑞0 → 0+).
𝐸 =
𝐹
𝑞
= 𝑁/𝐶
𝑞1 > 0 𝑞0
Ԧ𝑟10 Ԧ𝐹10 𝑞1 > 0
Ԧ𝑟 𝐸1
Ԧ𝐹10 =
𝑞1𝑞0
4𝜋𝜀0𝑟10
2 Ƹ𝑟10 = 𝑞0. 𝐸1
𝐸1 =
𝑞1
4𝜋𝜀0𝑟
2
Ƹ𝑟
Campo elétrico - Definição
• É possível expressar o campo elétrico gerado por uma carga elétrica puntiforme
a partir da Lei de Coulomb. Para tanto, vamos fazer uso da carga de prova 𝑞0 (tal
que 𝑞0 → 0+).
𝐸 =
𝐹
𝑞
= 𝑁/𝐶
𝑞2o campo elétrico gerado por um
fio reto infinito com carga elétrica positiva distribuída
de forma uniforme ao longo do fio (λ = 𝑐𝑡𝑒), tal que:
𝑑𝑞 = λ. 𝑑𝑧
𝑟2 = 𝑧2 + 𝑥2
𝑑𝐸 =
𝑑𝑞
4𝜋𝜀0𝑟
2
=
λ
4𝜋𝜀0 𝑧2 + 𝑥2
. 𝑑𝑧
𝑑𝑧′
−𝑧
𝑟
𝑟
𝜃
𝑑𝐸′
Campo elétrico – Fio reto infinito 
uniformemente carregado
• Vamos agora calcular o campo elétrico gerado por um
fio reto infinito com carga elétrica positiva distribuída
de forma uniforme ao longo do fio (λ = 𝑐𝑡𝑒), tal que:
𝑑𝑞 = λ. 𝑑𝑧
𝑟2 = 𝑧2 + 𝑥2
𝑑𝐸 =
𝑑𝑞
4𝜋𝜀0𝑟
2
=
λ
4𝜋𝜀0 𝑧2 + 𝑥2
. 𝑑𝑧
• Por meio de uma análise da simetria do sistema é
possível inferir que o campo elétrico em qualquer
ponto terá componente somente na direção “x”.
𝑑𝐸𝑥 = 𝑑𝐸. cos 𝜃 =
λ. cos 𝜃
4𝜋𝜀0 𝑧2 + 𝑥2
. 𝑑𝑧
𝑑𝑧′
−𝑧
𝑟
𝑟
𝜃
𝑑𝐸′
Campo elétrico – Fio reto infinito 
uniformemente carregado
𝐸 =
λ
4𝜋𝜀0
න
−∞
∞ cos 𝜃
𝑧2 + 𝑥2
. 𝑑𝑧 =
λ
2𝜋𝜀0
න
0
∞ cos 𝜃
𝑧2 + 𝑥2
. 𝑑𝑧
• A integral acima pode ser resolvida da seguinte forma:
𝑧 = 𝑥. tg 𝜃 → 𝑑𝑧 = 𝑥. sec2 𝜃 𝑑𝜃
𝐸 =
λ
2𝜋𝜀0
න
0
𝜋/2 cos 𝜃
(𝑥. tg 𝜃)2+𝑥2
. 𝑥. sec2 𝜃 𝑑𝜃
𝐸 =
λ
2𝜋𝜀0. 𝑥
න
0
𝜋/2
cos 𝜃 𝑑𝜃 =
λ
2𝜋𝜀0. 𝑥
Campo elétrico – Anel uniformemente 
carregado
• Vamos agora calcular o campo elétrico gerado por um anel de raio “R”
com carga elétrica positiva distribuída de forma uniforme ao longo do
anel (λ = 𝑐𝑡𝑒) em um ponto P que se encontra no eixo “z”, tal que:
𝑑𝑞 = λ. 𝑑𝑠
𝑟2 = 𝑅2 + 𝑧2
𝑑𝐸 =
𝑑𝑞
4𝜋𝜀0𝑟
2
=
λ
4𝜋𝜀0 𝑅2 + 𝑧2
. 𝑑𝑠
Campo elétrico – Anel uniformemente 
carregado
• Vamos agora calcular o campo elétrico gerado por um anel de raio “R”
com carga elétrica positiva distribuída de forma uniforme ao longo do
anel (λ = 𝑐𝑡𝑒) em um ponto P que se encontra no eixo “z”, tal que:
𝑑𝑞 = λ. 𝑑𝑠
𝑟2 = 𝑅2 + 𝑧2
𝑑𝐸 =
𝑑𝑞
4𝜋𝜀0𝑟
2
=
λ
4𝜋𝜀0 𝑅2 + 𝑧2
. 𝑑𝑠
• Por meio de uma análise da simetria do sistema é possível inferir que o
campo elétrico em qualquer ponto que se encontra no eixo “z” terá
componente somente na direção “z”.
𝑑𝐸𝑧 = 𝑑𝐸. cos 𝜃 =
λ. cos 𝜃
4𝜋𝜀0 𝑅2 + 𝑧2
. 𝑑𝑠
Campo elétrico – Anel uniformemente 
carregado
cos 𝜃 =
𝑧
𝑟
→ 𝑑𝐸𝑧 =
λ. 𝑧
4𝜋𝜀0 𝑅2 + 𝑧2 3/2
. 𝑑𝑠
Campo elétrico – Anel uniformemente 
carregado
cos 𝜃 =
𝑧
𝑟
→ 𝑑𝐸𝑧 =
λ. 𝑧
4𝜋𝜀0 𝑅2 + 𝑧2 3/2
. 𝑑𝑠
• Dada a simetria do problema que estamos avaliando, tem-se que todas as
contribuições das cargas infinitesimais ao longo do anel serão todas iguais
umas as outras (especificamente para um ponto P no eixo “z”)!
𝐸 =
𝑧
4𝜋𝜀0 𝑅2 + 𝑧2 3/2
. න λ𝑑𝑠 =
𝑞. 𝑧
4𝜋𝜀0 𝑅2 + 𝑧2 3/2
Campo elétrico – Anel uniformemente 
carregado
cos 𝜃 =
𝑧
𝑟
→ 𝑑𝐸𝑧 =
λ. 𝑧
4𝜋𝜀0 𝑅2 + 𝑧2 3/2
. 𝑑𝑠
• Dada a simetria do problema que estamos avaliando, tem-se que todas as
contribuições das cargas infinitesimais ao longo do anel serão todas iguais
umas as outras (especificamente para um ponto P no eixo “z”)!
𝐸 =
𝑧
4𝜋𝜀0 𝑅2 + 𝑧2 3/2
. න λ𝑑𝑠 =
𝑞. 𝑧
4𝜋𝜀0 𝑅2 + 𝑧2 3/2
• É interessante notar que no limite assintótico (𝑧 ≫ 𝑅) o campo elétrico
gerado pelo anel será semelhante ao de uma carga puntiforme:
lim
𝑧≫𝑅
Ԧ𝐸 =
𝑞
4𝜋𝜀0𝑧
2 Ƹ𝑧
Campo elétrico – Disco uniformemente 
carregado
• Vamos agora calcular o campo elétrico gerado por um disco de raio “R”
com carga elétrica positiva distribuída de forma uniforme ao longo do
disco (σ = 𝑐𝑡𝑒) em um ponto P que se encontra no eixo “z”, tal que:
𝑑𝑞 = σ. 𝑑𝐴
𝑑2 = 𝑟2 + 𝑧2
𝑑𝐸 =
𝑑𝑞
4𝜋𝜀0𝑑
2
=
σ
4𝜋𝜀0 𝑟2 + 𝑧2
. 𝑑𝐴
Campo elétrico – Disco uniformemente 
carregado
• Vamos agora calcular o campo elétrico gerado por um disco de raio “R”
com carga elétrica positiva distribuída de forma uniforme ao longo do
disco (σ = 𝑐𝑡𝑒) em um ponto P que se encontra no eixo “z”, tal que:
𝑑𝑞 = σ. 𝑑𝐴
𝑑2 = 𝑟2 + 𝑧2
𝑑𝐸 =
𝑑𝑞
4𝜋𝜀0𝑑
2
=
σ
4𝜋𝜀0 𝑟2 + 𝑧2
. 𝑑𝐴
• Por meio de uma análise da simetria do sistema é possível inferir que o
campo elétrico em qualquer ponto que se encontra no eixo “z” terá
componente somente na direção “z”.
𝑑𝐸𝑧 = 𝑑𝐸. cos 𝜃 =
σ. cos 𝜃
4𝜋𝜀0 𝑟2 + 𝑧2
. 𝑑𝐴
Campo elétrico – Disco uniformemente 
carregado
cos 𝜃 =
𝑧
𝑑
→ 𝑑𝐸𝑧 =
σ. 𝑧
4𝜋𝜀0 𝑟2 + 𝑧2 3/2
. 𝑑𝐴
Campo elétrico – Disco uniformemente 
carregado
cos 𝜃 =
𝑧
𝑑
→ 𝑑𝐸𝑧 =
σ. 𝑧
4𝜋𝜀0 𝑟2 + 𝑧2 3/2
. 𝑑𝐴
• Como a área em questão é um círculo, tem-se que 𝐴 = 𝜋𝑟2, de tal forma
que 𝑑𝐴 = 2𝜋𝑟. 𝑑𝑟:
𝑑𝐸𝑧 =
σ. 𝑧. 𝑟
2𝜀0 𝑟2 + 𝑧2 3/2
. 𝑑𝑟 → 𝐸 =
σ. 𝑧
2𝜀0
න
0
𝑅 𝑟
𝑟2 + 𝑧2 3/2
𝑑𝑟
• A integral acima pode ser resolvida da seguinte forma:
𝑟 = 𝑧. tg 𝜑 → ቊ
𝑑𝑟 = 𝑧. sec2 𝜑 . 𝑑𝜑
𝜑𝑅 = arctg(𝑅/𝑧)
𝐸 =
σ. 𝑧
2𝜀0
න
0
𝜑𝑅 𝑧. tg 𝜑
𝑧. tg 𝜑 2 + 𝑧2 3/2
𝑧. sec2 𝜑 . 𝑑𝜑 =
σ
2𝜀0
න
0
𝜑𝑅
sin𝜑 𝑑𝜑
Campo elétrico – Disco uniformemente 
carregado
𝐸 =
σ
2𝜀0
1 − cos𝜑𝑅 =
σ
2𝜀0
1 −
1
1 + 𝑅/𝑧 2
=
σ
2𝜀0
1 −
𝑧
𝑧2 + 𝑅2
Campo elétrico – Disco uniformemente 
carregado
𝐸 =
σ
2𝜀0
1 − cos𝜑𝑅 =
σ
2𝜀0
1 −
1
1 + 𝑅/𝑧 2
=
σ
2𝜀0
1 −
𝑧
𝑧2 + 𝑅2
• É interessante notar que no limite 𝑅 ≫ 𝑧 (plano infinito) o campo elétrico
gerado será o seguinte:
lim
𝑅≫𝑧
𝐸 =
σ
2𝜀0
. ො𝑧 → 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜
Campo elétrico – Linhas de campo
• Podemos representar o campo elétrico graficamente por meio das linhas de campo
elétrico ou seja, curvas que representam a força exercida sobre uma carga de teste
positiva (𝑞0 → 0+).
• As linhas de campo elétrico se “originam” em cargas positivas e “terminam” em
cargas negativas.
+ −
Campo elétrico – Linhas de campo
• Linhas de campo elétrico não se interceptam!
Isso acontece porque o campo elétrico é
univocamente definido em cada ponto no
espaço!
𝐸 Ԧ𝑥 = Ԧ𝐹 Ԧ𝑥 /𝑞0
• A força elétrica em um dado ponto no espaço
é tangente à linha de campo elétrico naquele
mesmo ponto.
• A intensidade do campo elétrico é
representada pela densidade das linhas do
campo elétrico.
Campo elétrico – Linhas de campo
• Podemos usar o princípio da superposição para
determinar o campo elétrico de duas cargas
puntiformes, como no caso do dipolo elétrico.
• As linhas de campo elétrico terão origem na carga
positiva e terminarão na carga negativa.
• Se as linhas de campo se conectam, temos uma
força atrativa entre as cargas elétricas
• Se as linhas de campo parecem se espalhar, temos
uma força repulsiva entre as cargas elétricas
Campo elétrico – Partículas em campos
• Sabendo a informação do campo elétrico em certa região do espaço, é possível identificar a
força elétrica agindo em uma partícula eletricamente carregada e seu efeito na dinâmica da
partícula:
Ԧ𝐹 = 𝑚.
𝑑2 Ԧ𝑟
𝑑𝑡2
= 𝑞. 𝐸
Campo elétrico – Partículas em campos
• Sabendo a informação do campo elétrico em certa região do espaço, é possível identificar a
força elétrica agindo em uma partícula eletricamente carregada e seu efeito na dinâmica da
partícula:
Ԧ𝐹 = 𝑚.
𝑑2 Ԧ𝑟
𝑑𝑡2
= 𝑞. 𝐸
• Inclusive, é possível somar esta força elétrica
com outros tipos de forças, como a força
gravitacional, como é o caso no experimento
de Mulliken!!
Ԧ𝐹𝑅 = Ԧ𝐹𝑒𝑙 + 𝑃 = 0 → 𝐹𝑒𝑙 = 𝑃
𝑚.𝑔 =
4𝜋𝑟3
3
. 𝜌 . 𝑔 = 𝑞. 𝐸 → 𝑞 =
4𝜋𝑟3𝜌𝑔
3𝐸
𝑞 = 𝑛. 𝑒 → 𝑛 = ±1,±2,…
Campo elétrico – Exemplo
(2)* Na figura abaixo, as linhas de campo elétrico do lado esquerdo têm uma
separação duas vezes maior que as linhas do lado direito. (a) Se o módulo do
campo elétrico no ponto A é 40 N/C, qual é o módulo da força a que é submetido
um próton no ponto A? (b) Qual é o módulo do campo elétrico no ponto B?
Campo elétrico – Exemplo
(3)* O núcleo de um átomo de plutônio 239 contém 94 prótons. Suponha que o
núcleo é uma esfera com 6,64 fm de raio e que a carga dos prótons está
distribuída uniformemente na esfera. Determine (a) o módulo e (b) o sentido
(para dentro ou para fora) do campo elétrico produzido pelos prótons na
superfície do núcleo.
Campo elétrico – Exemplo
(7)** Na figura abaixo, as quatro partículas formamum quadrado de lado a =
5,00 cm e têm cargas 𝑞1 =+10,0 nC, 𝑞2 = –20,0 nC, 𝑞3 = +20,0 nC e 𝑞4 = –10,0 nC.
Qual é o campo elétrico no centro do quadrado, na notação dos vetores
unitários?
Campo elétrico – Exemplo
(23)* A figura ao lado mostra dois anéis
isolantes paralelos, com o centro na mesma
reta perpendicular aos planos dos anéis. O
anel 1, de raio R, possui uma carga uniforme
𝑞1; o anel 2, também de raio R, possui uma
carga uniforme 𝑞2. Os anéis estão separados
por uma distância d = 3,00R. O campo
elétrico no ponto P da reta que passa pelos
centros dos anéis, que está a uma distância
R do anel 1, é zero. Calcule a razão 𝑞1/𝑞2.
Campo elétrico – Exemplo
(35)* A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente
carregado com 0,600 m de raio o módulo do campo elétrico é igual a metade do
módulo do campo no centro do disco?
Campo elétrico – Exemplo
(47)* Feixes de prótons de alta energia podem ser produzidos por “canhões” que
usam campos elétricos para acelerar os prótons. (a) Qual é a aceleração
experimentada por um próton em um campo elétrico de 2,00. 104 N/C? (b) Qual
é a velocidade adquirida pelo próton depois de percorrer uma distância de 1,00
cm na presença desse campo?
	Slide 1: Campo elétrico 
	Slide 2: Campo elétrico - Introdução
	Slide 3: Campo elétrico - Introdução
	Slide 4: Campo elétrico - Introdução
	Slide 5: Campo elétrico - Definição
	Slide 6: Campo elétrico - Definição
	Slide 7: Campo elétrico - Definição
	Slide 8: Campo elétrico – Princípio da superposição
	Slide 9: Campo elétrico – Princípio da superposição
	Slide 10: Campo elétrico – Princípio da superposição
	Slide 11: Campo elétrico – Dipolo Elétrico
	Slide 12: Campo elétrico – Dipolo Elétrico
	Slide 13: Campo elétrico – Dipolo Elétrico
	Slide 14: Campo elétrico – Dipolo Elétrico
	Slide 15: Campo elétrico – Dipolo Elétrico
	Slide 16: Campo elétrico – Dipolo Elétrico
	Slide 17: Campo elétrico – Dipolo Elétrico
	Slide 18: Campo elétrico – Dipolo Elétrico
	Slide 19: Campo elétrico – Distribuição contínua de cargas elétricas
	Slide 20: Campo elétrico – Distribuição contínua de cargas elétricas
	Slide 21: Campo elétrico – Fio reto infinito uniformemente carregado
	Slide 22: Campo elétrico – Fio reto infinito uniformemente carregado
	Slide 23: Campo elétrico – Fio reto infinito uniformemente carregado
	Slide 24: Campo elétrico – Fio reto infinito uniformemente carregado
	Slide 25: Campo elétrico – Anel uniformemente carregado
	Slide 26: Campo elétrico – Anel uniformemente carregado
	Slide 27: Campo elétrico – Anel uniformemente carregado
	Slide 28: Campo elétrico – Anel uniformemente carregado
	Slide 29: Campo elétrico – Anel uniformemente carregado
	Slide 30: Campo elétrico – Disco uniformemente carregado
	Slide 31: Campo elétrico – Disco uniformemente carregado
	Slide 32: Campo elétrico – Disco uniformemente carregado
	Slide 33: Campo elétrico – Disco uniformemente carregado
	Slide 34: Campo elétrico – Disco uniformemente carregado
	Slide 35: Campo elétrico – Disco uniformemente carregado
	Slide 36: Campo elétrico – Linhas de campo
	Slide 37: Campo elétrico – Linhas de campo
	Slide 38: Campo elétrico – Linhas de campo
	Slide 39: Campo elétrico – Partículas em campos
	Slide 40: Campo elétrico – Partículas em campos
	Slide 41: Campo elétrico – Exemplo
	Slide 42: Campo elétrico – Exemplo
	Slide 43: Campo elétrico – Exemplo
	Slide 44: Campo elétrico – Exemplo
	Slide 45: Campo elétrico – Exemplo
	Slide 46: Campo elétrico – Exemplo