Aula 09 matemática

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Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 AULA 09: EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES SUMÁRIO PÁGINA 1. Teoria 01 2. Resolução de exercícios 26 3. Questões apresentadas na aula 109 4. Gabarito 139 Caro aluno, Nesta aula trataremos de tópicos de álgebra cobrados no seu edital: Álgebra: produtos notáveis, equações, sistemas e problemas do primeiro grau, inequações, equação e problemas do segundo grau. Bons estudos! 1. TEORIA 1.1 PRODUTOS NOTÁVEIS Trabalhando com álgebra, existem algumas expressões que costumam aparecer com frequência em nossos cálculos. Essas expressões são chamadas de "produtos notáveis", e 0 conhecimento delas pode permitir que você agilize os seus cálculos e obtenha resultados mais rapidamente. Vejamos os principais casos: Quadrado da soma de dois termos Imagine que tenhamos duas variáveis em uma equação, "a" e "b". quadrado da soma desses dois termos é simplesmente (a + Repare que: Desenvolvendo essa expressão da direita da igualdade acima, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 A expressão acima é 0 nosso "produto notável". Ela nos diz que 0 quadrado da soma de dois termos é IGUAL ao quadrado do primeiro termo (a²) somado a duas vezes a multiplicação entre os termos (2.a.b) e somado ao quadrado do segundo termo Vejamos um exemplo prático. Suponha que você precise fazer 0 cálculo de 57². Isso é mesmo que: + Temos quadrado de uma soma, que pode ser resolvido através do produto notável que já conhecemos acima: = Quadrado da diferença entre dois termos Imagine que tenhamos duas variáveis em uma equação, "a" e "b". quadrado da diferença entre esses dois termos é simplesmente (a Repare que: Temos na linha acima mais um produto notável. Ele poderia ter sido usado para fazer também cálculo de lembrando que isto é equivalente a (60 - Veja: = Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 2Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima - Aula 09 = 3249 Veja como utilizar um produto notável como este em uma questão de prova: 1. FCC - - 2011) Dos números que aparecem nas alternativas, 0 que mais se aproxima do valor da expressão 0,75 é: a) 0,0018 b) 0,015 c) 0,018 d) 0,15 e) 0,18 RESOLUÇÃO: Veja que elevar 0,619 e 0,599 ao quadrado seria bem trabalhoso. Entretanto, lembrando que onde a = 0,619 e b = 0,599, temos que: 0,619² = (0,619- 0,599) = (1,218) (0,02) Assim, Resposta: c Diferença entre dois quadrados Observe que: a² Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 3Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Ou seja, Este é 0 nosso produto notável. Ele nos diz que a diferença entre dois números elevados ao quadrado (a² é igual à multiplicação entre a soma deles (a + b) e a diferença entre eles (a b). Portanto, caso você precise fazer, por exemplo, - basta calcular assim: Fácil, não? Vejamos mais produtos notáveis. Cubo da soma de dois números e Cubo da diferença entre dois números A lógica desses produtos notáveis é similar à lógica que já vimos nos demais casos. Assim, para não perdermos tempo, vou disponibilizar para você diretamente as fórmulas desses dois casos: Exemplificando uso desses produtos notáveis, vamos resolver a questão abaixo: 2. CEPERJ - DEGASE/RJ - 2012) Uma quantidade dada pela expressão: X = + + 3 2,977 + Desse modo, igual a: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 4Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima - Aula 09 A) 25,2527456 B) 26,3939392 C) 27,0000000 D) 36,0000000 E) 36,3020293 RESOLUÇÃO: Veja que temos termos elevados ao cubo nessa expressão do enunciado, 0 que nos faz lembrar do seguinte produto notável: Observe que se trocarmos 0,023 por "a" e 2,977 por "b", a expressão do enunciado seria exatamente Observando os produtos notáveis, vemos que: Portanto, ao invés de efetuar toda a conta, basta calcularmos: Resposta: Estes não são os únicos produtos notáveis existentes, mas são os mais importantes. Resumindo-os, temos: 1. 3. 1.2 EQUAÇÕES DE 1° GRAU Prof. Arthur Lima 5Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Para começar estudo deste tópico, vamos trabalhar 0 seguinte exemplo: "João tinha uma quantidade de bolas cheias, porém 5 murcharam, restando apenas 3 cheias. Quantas bolas tinha João?". Neste caso, a variável que pretendemos descobrir é número de bolas. Chamando essa variável de X, sabemos que X menos 5 bolas que murcharam resulta em apenas 3 bolas cheias. Matematicamente, temos: portanto, Este é um exemplo bem simples. Note que a variável X está elevada ao expoente 1 (lembra-se que Quando isso acontece, estamos diante de uma equação de 1° grau. Estas equações são bem simples de se resolver: basta isolar a variável X em um lado da igualdade, passando todos os demais membros para 0 outro lado, e assim obtemos 0 valor de X. Antes de prosseguirmos, uma observação: você notará que eu não gosto de usar a letra X, mas sim uma letra que "lembre" 0 que estamos buscando. No exemplo acima, eu teria usado (de bolas), pois acho que isso evita esquecermos 0 que representa aquela variável principalmente quando estivermos trabalhando com várias delas ao mesmo tempo. O valor de X que torna a igualdade correta é chamado de "raiz da equação". Uma equação de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz. Vejamos outro exemplo: - 3x = 15 Note que as equações abaixo NÃO são de primeiro grau: a) - b) 1 c) X Uma equação do primeiro grau pode sempre ser escrita na forma ax+b=0, onde a e b são números que chamaremos de coeficientes, sendo que, necessariamente, 0 (a deve ser diferente de zero, caso contrário = 0, e não Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 6Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 estaríamos diante de uma equação de primeiro grau). Veja que, isolando X em temos: b a b Portanto, a raíz da equação é sempre dada por a Na equação de primeiro -b_-(-13)_13 = grau 2x 13 a = 2 e b -13. Portanto, a raiz será X = a 2 2 Agora imagine seguinte problema: "O número de bolas que João tem, acrescido em 5, é igual ao dobro do número de bolas que ele tem, menos 2. Quantas bolas João tem?" Ora, sendo 0 número de bolas, podemos dizer que + 5 (o número de bolas acrescido em 5) é igual a 2B - 2 (o dobro do número de bolas, menos 2). Isto é: Para resolver este problema, basta passar todos os termos que contém a incógnita para um lado da igualdade, e todos os termos que não contém para outro lado. Veja: 2+5=B Sobre este tema, resolva a questão a seguir: 3. CEPERJ - PREF. SÃO GONÇALO - 2011) Antônio recebeu seu salário. As contas pagas consumiram a terça parte do que recebeu, e a quinta parte do restante foi gasta no supermercado. Se a quantia que sobrou foi de R$440,00, valor recebido por Antonio foi de: a) R$780,00 b) R$795,00 c) R$810,00 d) R$825,00 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 7Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 e) R$840,00 RESOLUÇÃO: Seja S salário recebido por Antonio. Se ele gastou a terça parte (isto é, 3 ) com as contas, sobraram Desse valor restante, a quinta parte (ou seja, S 5 3 ), foi gasta no supermercado. Como sobraram 440 reais, podemos dizer que: Vamos resolver a equação de primeiro grau acima, com a variável S: 8 15 15 8 Resposta: D. 1.2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU (SISTEMAS LINEARES) Em alguns casos, pode ser que tenhamos mais de uma incógnita. Imagine que um exercício diga que: Veja que existem infinitas possibilidades de X e y que tornam essa igualdade verdadeira: Por isso, faz-se necessário obter mais uma equação envolvendo as duas incógnitas para poder chegar nos seus valores exatos. Portanto, imagine que 0 mesmo exercício diga que: Portanto, temos 0 seguinte sistema, formado por 2 equações e 2 variáveis: x+y=10 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 8Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 A principal forma de resolver esse sistema é usando 0 método da substituição. Este método é muito simples, e consiste basicamente em duas etapas: 1. Isolar uma das variáveis em uma das equações 2. Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item anterior. A título de exemplo, vamos isolar a variável X na primeira equação acima. Teremos, portanto: Agora podemos substituir X por 10 na segunda equação. Assim: x-2y=4 10-3y=4 10-4=3y 6=3y y=2 Uma vez encontrado 0 valor de y, basta voltar na equação X = 10 y e obter 0 valor de X: x=10-2 Existem outros métodos de resolução de sistemas lineares por agora tente conhecer bem método da substituição, que auxiliará a resolver diversas questões de sua prova! Treine este método com a questão abaixo: 4. CEPERJ SEFAZ/RJ 2011) Os professores de uma escola combinaram almoçar juntos após a reunião geral do sábado seguinte pela manhã, e transporte até o restaurante seria feito pelos automóveis de alguns professores que estavam no estacionamento da escola. Terminada a reunião, constatou-se que: Com 5 pessoas em cada carro, todos os professores podem ser transportados e 2 carros podem permanecer no estacionamento. Se 2 professores que não possuem carro desistirem, todos os carros podem transportar os professores restantes, com 4 pessoas em cada carro. Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 9Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 número total de professores na reunião era: A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 RESOLUÇÃO: Chamemos de número de carros disponíveis Com 5 pessoas em cada carro, seria possível deixar 2 carros no estacionamento, isto é, usar apenas - 2 carros. Sendo P 0 número de professores, podemos dizer que igual ao número de carros que foram usados (C 2) multiplicado por 5, que é a quantidade de professores em cada carro: Se 2 professores desistirem, isto é, sobrarem P 2 professores, estes podem ser transportados nos carros, ficando 4 pessoas em cada carro. Portanto, número de professores transportados neste caso (P 2) é igual à multiplicação do número de carros (C) por 4, que é a quantidade de professores em cada carro: Temos assim um sistema linear com 2 equações e 2 variáveis: P-2=C'4 Vamos isolar a variável P na segunda equação: A seguir, podemos substituir essa expressão na primeira equação: 12=C Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 10Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Descobrimos, portanto, que 0 total de carros é C = 12. O total de professores é dado por: Resposta: c 1.3 EQUAÇÕES DE 2° GRAU Assim como as equações de primeiro grau se caracterizam por possuírem a variável elevada à primeira potência (isto é, as equações de segundo grau possuem a variável elevada ao quadrado sendo escritas na forma onde a, b e são os coeficientes da equação. Veja um exemplo: Nesta equação, (pois x² está sendo multiplicado por 1), As equações de segundo grau tem 2 raízes, isto é, existem 2 valores de X que tornam a igualdade verdadeira. No caso da equação acima, veja que x=1ex=2 são raízes, pois: e Toda equação de segundo grau pode ser escrita também da seguinte forma: Nesta forma de escrever, e r₂ são as raízes da equação. Tratando do exemplo acima, como as raízes são 1 e 2, podemos escrever: Desenvolvendo a equação acima, podemos chegar de volta à equação inicial: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 11Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 A fórmula de Báskara nos dá as raízes para uma equação de segundo grau. Basta identificar os coeficientes a, b e colocá-los nas seguintes fórmulas: 2a e X 2a Como a única diferença entre as duas fórmulas é um sinal, podemos escrever simplesmente: 2a Para exemplificar, vamos calcular as raízes da equação - utilizando a fórmula de Báskara. Recordando que a = 1, b = -3 e = 2, basta substituir estes valores na fórmula: 2a = Observe esta última expressão. Dela podemos obter as 2 raízes, usando primeiro sinal de adição (+) e depois 0 de subtração (-). Veja: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 12Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 e Na fórmula de Báskara, chamamos de "delta" (D) a expressão b² 4ac, que vai dentro da raiz quadrada. Na resolução acima, ou seja, 0 "delta" era um valor positivo Quando teremos sempre duas raízes reais para a equação, como foi 0 caso. Veja que, se D for negativo, não é possível obter a raiz quadrada. Portanto, se DEstratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 ou simplesmente Tente resolver a questão abaixo: 5. VUNESP - ISS/SJC - 2012) Em uma sala, 0 número de meninos excede número de meninas em três. O produto do número de meninos pelo número de meninas é um número que excede 0 número total de alunos em 129. total de alunos nessa sala é (A) 25. (B) 27. (C) 30. (D) 32. (E) 36. RESOLUÇÃO: Seja A número de meninas e número de meninos. enunciado diz que excede A em 3, ou seja, B=A+3 Além disso, é dito que 0 produto entre A e (isto é, A X B) excede número total de alunos em 129. Como 0 total de alunos é dado pela soma A + B, temos: Temos um sistema com duas equações e duas variáveis: B=A+3 Substituindo por na última equação, temos: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 14Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Podemos resolver essa equação do grau com a fórmula de Báskara, onde os coeficientes são a = 1, b = 1 e = -132: 2'1 2 A = -12 ou A = 11 Como A é 0 número de meninas, ele deve necessariamente ser um número positivo. Assim, podemos descartar -12 e afirmar que A = 11 meninas. Portanto, número de meninos é: O total de alunos é: Resposta: A Resolva ainda essa questão: 6. COPS/UEL - CELEPAR - 2010) Entre os números X e y existe a seguinte relação: + + xy² = 27. Nessas condições: a) Sex=3eyé negativo, então b) Se X = 3 e é positivo, então = 3. c) Se X = 4 então y = 8. d) Se X = 8 então e) Se X = -1 então y = -2. RESOLUÇÃO: As alternativas a) e b) dessa questão tratam do caso onde Se isto ocorrer, a expressão do enunciado se transforma em: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 15Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Para resolver esta equação do segundo grau, você pode utilizar a fórmula de Báskara que estudamos. Entretanto, veja a seguir uma forma diferente de resolver (esta forma é válida apenas quando não temos termo independente, isto é, quando em ay² + by + = 0). Basta colocar a variável em evidência: Só existem duas formas do produto acima ser zero. ou que implicaria em Estas são as duas raízes. Assim, veja que se e é negativo, então Chegamos ao resultado da alternativa Resposta: A 1.3.1 EQUAÇÕES BIQUADRADAS Observe a equação abaixo: Aqui temos uma equação de quarto grau, pois temos a variável X elevada à quarta potência. Repare ainda que não temos 0 termo e nem 0 termo (ou simplesmente x). Isto é, estes dois termos possuem coeficiente igual a zero. Essas equações, onde temos X⁴ e não temos nem nem X, são chamadas de biquadradas. Elas são importantes porque podemos resolvê-las utilizando mesmo método que vimos para as equações de segundo grau, com algumas adaptações. O primeiro passo é "criar" a variável y, definindo que y = Assim, podemos reescrever a equação inicial, agora em função de y. Basta lembrar que = Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 16Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Veja que nesta última linha temos uma equação de segundo grau com a variável y. Sabemos resolvê-la, utilizando a fórmula de Báskara: 2a Portanto, temos 2 valores para y: Atenção: até aqui obtemos 0 valor de y apenas. Mas a equação original tinha a variável X, motivo pelo qual devemos buscar valores de X. Para isto, basta lembrar que y = Considerando = 3, temos: Veja que, a partir de obtivemos 2 valores para X: partir de devemos obter outros 2 valores de X, totalizando 4 valores de X (o que era previsível, afinal temos uma equação de grau): Se estivéssemos trabalhando no conjunto dos números complexos (onde existe raiz quadrada de números negativos), estas seriam as outras duas raízes da equação original: Entretanto, em regra devemos considerar que estamos no conjunto dos números reais, onde não existe raiz quadrada de número negativo. Portanto, diante de devemos dizer simplesmente que a equação biquadrada X⁴ 3 = 0 só tem 2 raízes reais, e não 4. Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 17Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Pratique a resolução de equações biquadradas utilizando a equação abaixo: Você deverá encontrar = 4 e 9, e a seguir encontrar 1.3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 2° GRAU Já aprendemos a resolver sistemas formados por duas ou mais equações de primeiro grau, contendo duas ou mais variáveis. Utilizamos para isso 0 método da substituição. Podemos ter sistemas contendo também equações de segundo grau, onde aplicaremos mesmo método para resolver. Veja um exemplo a seguir: Isolando X na primeira equação, temos que y. Efetuando a substituição na segunda equação, temos que: y=2 Veja que neste caso a solução foi bem simples, pois a variável y² foi cancelada por -y². Entretanto, ainda que isso não ocorra é possível resolver sistema, utilizando os conhecimentos de equações de 2° grau. Veja este outro exemplo: Isolando X na segunda equação, temos Substituindo na primeira equação, temos: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 18Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Com 0 auxílio da fórmula de Báskara podemos resolver esta equação de segundo grau na variável y: 2'1 Para temos mesma forma, para y = -1 você pode ver que Assim, este sistema possui duas soluções: x=1ey=2 ou 1.4 INEQUAÇÕES DE 1° E 2° GRAUS Chamamos de inequação uma desigualdade que utiliza os símbolos > (maior que),Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 isolar a variável X, somando -7 nos dois lados da inequação: Portanto, sabemos que qualquer valor X que seja maior que -6 atende a inequação. Por exemplo, atende a inequação, pois Uma maneira mais formal de representar todos os valores que atendem a inequação é dizer que conjunto-solução desta inequação (S) é: ( leia: conjunto solução é formado por todo X pertencente ao conjunto dos números reais, tal que X é maior que -6) Vamos resolver agora a seguinte inequação: Podemos "passar" 18 para lado direito da inequação (somando -18 nos dois lados da inequação) e "passar" 0 2x para lado esquerdo: -3xEstratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Para resolver uma inequação do segundo grau, você precisa: 1) passar todos os termos para 0 mesmo lado; 2) substituir 0 sinal da inequação pelo sinal de igualdade, resolvendo a equação através da fórmula de Báskara; 3) escrever conjunto-solução da inequação. Vamos efetuar estes passos. Passando todos os termos da inequação acima para mesmo lado, temos: Vamos multiplicar os dois membros da inequação por -1, para substituir 0 sinal negativo de Lembrando que devemos inverter 0 sinal da desigualdade, temos: Agora, devemos substituir 0 sinal > por = temporariamente, apenas para calcularmos as raízes da equação: Utilizando a fórmula de Báskara, vemos que X1 = 4e O próximo passo é escrever 0 conjunto solução da inequação. Como 0 fator tem coeficiente positivo a curva f(x) = 13x 36 tem concavidade para cima, cruzando 0 eixo horizontal em e em x = 9. O gráfico desta função seria mais ou menos assim: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 21Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima - Aula 09 f(x) 4 9 X Observe neste gráfico que f(x) tem valor negativo para X entre 4 e 9 (está abaixo do eixo horizontal). Da mesma forma, f(x) tem valor positivo para X abaixo de 4 e também para X acima de 9 (pois está acima do eixo horizontal), e tem valor igual a zero para X = 4 e para Como a inequação que temos é - 13x 36Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima - Aula 09 f(x) 4 9 X Portanto, nosso conjunto solução é: Vamos exercitar a manipulação de inequações do segundo grau encontrando 0 conjunto solução da inequação abaixo: + 3x 2 0 Substituíndo 0 3 pelo =, temos: Utilizando a fórmula de Báskara, obtemos X1 gráfico de f(x) = + 3x = 2 tem concavidade para baixo, pois tem coeficiente negativo Este gráfico cruza 0 eixo X em 1 e 2: Prof. Arthur Lima 23Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima - Aula 09 f(x) 1 2 X Como queremos saber a região onde f(x) 3 0, isto é, + 3x 2 3 0, marquei a região que nos interessa no gráfico abaixo: f(x) X Portanto, 0 nosso conjunto solução é a região entre 1 e 2, isto é: Repare que, no primeiro exemplo que analisamos 13x - 36 > 0) tínhamos sinal >, enquanto no segundo exemplo (- + 3x 2 3 0) tínhamos o sinal 3 No primeiro caso, valores de X que tornavam 13x 36 igual a zero não fizeram parte do conjunto solução. Já no segundo exemplo, os valores de X que tornavam + 3x 2 fizeram parte do conjunto solução. Prof. Arthur Lima 24Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Vamos treinar conteúdo acima resolvendo essa questão: 7. ESAF - AFRFB - 2009) Considere as inequações dadas por: Sabendo-se que A é 0 conjunto solução de f(x) e Bé 0 conjunto solução de g(x), então 0 conjunto igual a: Y a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO: primeiro passo da resolução é obter as raízes de f(x) e de g(x). Para isso, basta igualá-las a zero e utilizar a fórmula de Báskara. Acompanhe: 2'1 Observe que nesta equação 0 D foi igual a zero, de modo que temos duas raízes iguais a 1, e gráfico da equação apenas toca no eixo horizontal. Esboçando gráfico de f(x), temos algo assim: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 25Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 f(x) X 1 Observe que para a função f(x) é igual a zero, porém para a função assume valores positivos. Assim, 0 conjunto-solução da inequação apenas pois para qualquer valor X diferente de 1 teremos f(x) > 0. Assim, podemos dizer que: Analise as alternativas de resposta e veja que nem precisamos trabalhar g(x), pois podemos eliminar as alternativas A, B, afinal a intersecção entre os conjuntos Ae não pode conter elementos que não fazem parte de De qualquer forma, vamos encontrar 0 conjunto-solução de g(x). Igualando-a a zero, temos: Assim, g(x) é uma parábola com a concavidade para baixo (pois termo é Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 26Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 multiplicado por um coeficiente negativo, -2), que toca eixo horizontal nos pontos 2. Esboçando 0 gráfico, temos: g(x) -1/2 2 X Repare que g(x) é igual a zero em X 1/2 e em X 2 E g(x) é positiva para X entre -1/2 e 2. Como a nossa inequação é do tipo podemos escrever seguinte conjunto-solução: Repare que 0 ponto X = 1, que é a única solução de faz parte do intervalo . Ou seja, também é solução da inequação É por isso que podemos afirmar que a intersecção entre os conjuntos-solução A e é: Resposta: c Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 27Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 8. CESPE - IBAMA 2012) Em uma repartição, 4.000 processos permaneceram sem andamento devido a problema técnico na rede de computadores. Para resolver esse problema, 0 chefe da repartição direcionou 1/4 dos servidores para fazer uma triagem nos processos, classificando-os em média ou baixa complexidade e em alta complexidade. O chefe, então, disponibilizou 2/5 dos servidores para a análise dos processos de média ou baixa complexidade e 70 servidores para a análise dos processos de alta complexidade, de forma que todos os servidores ficaram ocupados com essas atividades. Após seis semanas de trabalho, havia ainda 3.520 processos aguardando triagem e análise. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. Caso, após a conclusão da triagem dos 4.000 processos, os servidores responsáveis por essa atividade sejam direcionados à análise dos processos de alta complexidade, 0 número de servidores realizando tal análise será menor que 0 dobro daqueles que analisam processos de média ou baixa complexidade. Mais servidores da repartição foram direcionados para a triagem dos processos do que para a análise de processos de média ou baixa complexidade. () A repartição possui um total de 200 servidores. Após seis semanas de trabalho, mais de 90% dos processos ainda aguardavam triagem e análise. Caso ritmo de trabalho permaneça igual ao das seis primeiras semanas, os funcionários da repartição levarão mais de um ano, contado do início dos trabalhos, para completar a triagem e a análise dos 4.000 processos. RESOLUÇÃO: O total de servidores (S) é igual a soma entre 1/4 de S, 2/5 de S e 70: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 28Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 20 Portanto, 50 servidores trabalharam na triagem (1/4 de 200), 80 trabalharam nos processos de baixa e média complexidade (2/5 de 200) e 70 nos de alta complexidade. Após seis semanas de trabalho, havia ainda 3.520 processos aguardando triagem e análise, de modo que apenas 480 dos 4000 processos foram trabalhados em 6 semanas. Com essas informações em mãos, vamos julgar itens. Caso, após a conclusão da triagem dos 4.000 processos, servidores responsáveis por essa atividade sejam direcionados à análise dos processos de alta complexidade, número de servidores realizando tal análise será menor que dobro daqueles que analisam processos de média ou baixa complexidade. Caso 50 servidores da triagem se juntem aos 70 que estão trabalhando nos processos de alta complexidade, teremos 120 servidores executando tal análise, número este inferior ao dobro de 80 (servidores analisando processos de baixa e média complexidade). Item CORRETO. () Mais servidores da repartição foram direcionados para a triagem dos processos do que para a análise de processos de média ou baixa complexidade. A triagem ficou com 50, número menor que os 80 trabalhando nos processos de média ou baixa complexidade. Item ERRADO. () A repartição possui um total de 200 servidores. Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 29Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Item CORRETO, conforme calculamos anteriormente. Após seis semanas de trabalho, mais de 90% dos processos ainda aguardavam triagem e análise. Após 6 semenas, 3520 dos 4000 processos ainda aguardavam triagem e análise. Percentualmente, temos 3520 / 4000 = = 0,88 = = 88%. Item ERRADO. Caso ritmo de trabalho permaneça igual ao das seis primeiras semanas, os funcionários da repartição levarão mais de um ano, contado do início dos trabalhos, para completar a triagem e a análise dos 4.000 processos. Para finalizar 0 trabalho de 480 processos foram necessárias 6 semanas. Para finalizar 4000 processos, vejamos quantas semanas são necessárias: 480 processos 6 semanas 4000 processos X semanas 480X = 4000 X 6 480X = 24000 X = 50 semanas Como cada semana tem 7 dias, vemos que 50 semanas correspondem a 50 X 7 = 350 dias, ou seja, menos de 1 ano. Assim, os funcionários levarão menos de um ano para finalizar a triagem e análise dos 4000 processos. Item ERRADO. Resposta: CECEE 9. CESPE INPI 2013) Uma multinacional detentora da patente de três produtos A, e licenciou esses produtos para serem comercializados em quatro países, a saber, P1, P2, P3 e P4. Em cada país, 0 percentual é cobrado por cada unidade comercializada, conforme a tabela abaixo. P2 P3 P4 A 2% 1,5% 3% 1% B 1,5% 5% 2% 3% C 1% 3% 4% 3,5% Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 30Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. Se 1.000.000 de unidades do produto forem vendidas no país P2 a cada e no país P4 for vendido mesmo número de unidades do produto B, mas a US$ 3,00 cada, com a cotação US$ 1,00 = então os valores recebidos pela multinacional no país P2 será pelo menos 30% maior que os valores recebidos no país P4. Suponha que 0 produto seja vendido nos países P1 e P3 a R$ 2,00 por unidade. Se forem vendidas 1.000 unidades no país P3, então, para que lucro no país P1 seja 20% maior que em P3, é preciso vender 1.600 unidades no país P1. Sabendo que a multinacional comercializou 3.100.000 unidades dos produtos A, e no país P1 e que a quantidade de unidades vendidas do produto A foi 20% maior que a do produto B, e a quantidade de unidades vendidas do produto foi 10% menor que a de B, então, se produto for vendido a cada, 0 valor recebido pela multinacional com a patente desse produto no país P1 foi de R$ 1.800,00. Se no país P4 for vendido um número X de unidades do produto A, com um preço Y, e no país P3 for vendido 10% a mais de unidades que em P4, no mesmo preço, então 0 lucro em P4 será, aproximadamente, 33% menor que em P3. RESOLUÇÃO: Se 1.000.000 de unidades do produto forem vendidas no país P2 a cada e no país P4 for vendido mesmo número de unidades do produto B, mas a US$ 3,00 cada, com a cotação US$ 1,00 = 2,04, então valores recebidos pela multinacional no país P2 será pelo menos 30% maior que os valores recebidos no país P4. O total vendido em cada país é dado pela multiplicação entre preço unitário de venda e a quantidade vendida. Multiplicando-se este valor pelo percentual recebido pela multinacional, temos 0 total por ela recebido. Calculando valor recebido em cada país: P2 (produto B) = 1.000.000 X 5 X 5% = 250.000 reais P4 (produto B) = 1.000.000 X 3 X 3% = 90.000 dólares Repare que 0 valor recebido em P4 encontra-se em dólares, pois 0 preço unitário é de US$3,00. Considerando que 1 dólar é igual a 2,04 reais, temos: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 31Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 1 dólar 2,04 reais 90.000 dólares X reais X = 183600 reais valor recebido em P2 é 66400 reais maior que 0 recebido em P4. Em relação aos 183600 recebidos em P4, essa diferença corresponde a: P = 66400 / 183600 = 0,36 = = 36% Item CORRETO, pois 0 enunciado diz que a diferença será "pelo menos" 30% maior. Suponha que produto seja vendido nos países P1 e P3 a R$ 2,00 por unidade. Se forem vendidas 1.000 unidades no país P3, então, para que lucro no país P1 seja 20% maior que em P3, é preciso vender 1.600 unidades no país P1. O lucro em P3 é: P3 = 1000 X 2 X 2% = 40 reais Um lucro 20% maior corresponde a 1,2 X 40 = 48 reais. Para isso, temos: P4 = unidades X 2 X 1,5% 48 = unidades X 2 X 1,5% Unidades = = 1600 Item CORRETO. Sabendo que a multinacional comercializou 3.100.000 unidades dos produtos A, B e no país P1 e que a quantidade de unidades vendidas do produto A foi 20% maior que a do produto B, e a quantidade de unidades vendidas do produto foi 10% menor que a de então, se produto for vendido a cada, valor recebido pela multinacional com a patente desse produto no país P1 foi de R$ 1.800,00. Chamando de A, e c as quantidades vendidas de cada um desses produtos, vemos que A = 1,2B (ou seja, A é 20% maior que B) e = = 0,9B (ou seja, é 10% menor que B). Como a soma é igual a 3.100.000 unidades, temos: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 32Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 1,2B + + 0,9B = 3100000 3,1B = 3100000 = 1000000 unidades Logo, A = 1,2B = 1200000 unidades = 0,9B = 900000 unidades O valor recebido pela multinacional com a venda de é: Valor = 900.000 X 2 X 1% = 18.000 reais Item ERRADO. () Se no país P4 for vendido um número X de unidades do produto A, com um preço Y, e no país P3 for vendido 10% a mais de unidades que em P4, no mesmo preço, então lucro em P4 será, aproximadamente, 33% menor que em P3. Já vimos que: Valor recebido = unidades X preço unitário X porcentagem Assim, se em P4 são vendidas X unidades ao preço Y do produto A, cuja porcentagem é 1%, temos: Valor recebido em P4 = X.Y.1% = 0,01XY Se em P3 for vendido 10% a mais de unidades (1,1X) no mesmo preço Y, 0 lucro será: Valor recebido em P3 = 1,1X.Y.3% = 0,033XY Assim, 0 lucro em P4 em relação ao lucro em P3 é: 0,01XY / 0,033XY = 0,01 / 0,033 = 0,30 = = 30% Portanto, 0 lucro em P4 é aproximadamente igual a 30% do lucro em P3. Isto Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 33Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 é, trata-se de um lucro 70% menor do que lucro em P3. Item ERRADO. Resposta: CCEE 10. CESPE - INPI 2013) Considere que a e b sejam, respectivamente, as quantidades de patentes registradas, anualmente, pelas empresas A e B, e que essas quantidades satisfaçam, em qualquer ano, as inequações -a² + 26a -160 ≥ 0 e -b² + 36b 320 ≥ 0. Com base nessa situação hipotética, julgue itens a seguir. Se cada quantidade, prevista na solução da inequação da empresa B, foi registrada em algum ano, então, em algum momento, a empresa fez 0 registro de 19 unidades. A menor quantidade de patentes, registradas pela empresa A, em determinado ano, foi de 8 patentes. Se, em determinado ano, as duas empresas registraram a mesma quantidade de patentes, então essa foi igual a 16 unidades. () Se, em determinado ano, as duas empresas registraram as quantidades máximas de patentes previstas pelas inequações, então conclui-se que, nesse ano, a soma da quantidade de patentes foi igual a 36 unidades. Considerando que, até 0 final do mês de outubro de determinado ano, a empresa tenha registrado a patente de 10 produtos, então pode-se concluir que, nos dois últimos meses daquele ano, a empresa registrou a patente de, no máximo, 2 novos produtos. RESOLUÇÃO: Se cada quantidade, prevista na solução da inequação da empresa B, foi registrada em algum ano, então, em algum momento, a empresa fez registro de 19 unidades. Vamos obter 0 conjunto-solução da inequação B: Começamos igualando a zero para obter as raízes: 2(-1) Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 34Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 b b 20 ou b = 16 Como esta inequação tem a concavidade voltada pra baixo (afinal 0 termo tem como coeficiente valor negativo -1), ela só será maior ou igual a zero entre as raízes 16 e 20. Isto é, 0 conjunto solução é: O número16 encontra-se no intervalo entre 16 e 20, logo é uma quantidade de patentes que já pode ter sido registrada pela empresa em algum ano. Item CORRETO. A menor quantidade de patentes, registradas pela empresa A, em determinado ano, foi de 8 patentes. No caso da empresa A temos: Começamos igualando a zero para obter as raízes: a= 2(-1) a 16 ou a = 10 Como esta inequação tem a concavidade voltada pra baixo (afinal 0 termo a² tem como coeficiente valor negativo -1), ela só será maior ou igual a zero entre as Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 35Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 raízes 10 e 16. Isto é, conjunto solução é: Observe que 0 valor a = 8 patentes se encontra fora deste intervalo, não fazendo parte do conjunto de soluções possíveis da inequação. Item ERRADO. Note que bastaria testarmos a = 8 diretamente na inequação. Com isso, obteríamos um absurdo: -8² + 26.8 -160 ≥ 0 Isto confirma que a inequação NÃO é atendida pelo valor a = 8. () Se, em determinado ano, as duas empresas registraram a mesma quantidade de patentes, então essa foi igual a 16 unidades. Observe que 0 conjunto-solução da inequação de A vai de 10 a 16, e 0 de vai de 16 a 20. único valor em comum é 16 unidades. Item CORRETO. () Se, em determinado ano, as duas empresas registraram as quantidades máximas de patentes previstas pelas inequações, então conclui-se que, nesse ano, a soma da quantidade de patentes foi igual a 36 unidades. CORRETO, pois os valores máximos são 16 e 20, totalizando 36 unidades. () Considerando que, até final do mês de outubro de determinado ano, a empresa tenha registrado a patente de 10 produtos, então pode-se concluir que, nos dois últimos meses daquele ano, a empresa registrou a patente de, no máximo, 2 novos produtos. ERRADO. conjunto solução da inequação nos mostra que esta empresa registra de 16 a 20 patentes no ano. Se ela tiver registrado apenas 10 até outubro, ela registrará entre 6 e 10 patentes no restante do ano, para obter um valor entre 16 e 20 unidades. Resposta: CECCE Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 36Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 11. CESPE - INPI 2013) Considere que em um escritório de patentes, a quantidade mensal de pedidos de patentes solicitadas para produtos da indústria alimentícia tenha sido igual à soma dos pedidos de patentes mensais solicitadas para produtos de outra natureza. Considere, ainda, que, em um mês, além dos produtos da indústria alimentícia, tenham sido requeridos pedidos de patentes de mais dois tipos de produtos, X e Y, com quantidades dadas por X e y, respectivamente. Supondo que T seja a quantidade total de pedidos de patentes requeridos nesse escritório, no referido mês, julgue os itens seguintes. () Se T = = 128, então as quantidades X e são tais que X + 64, com Se, em determinado mês, a quantidade de pedidos de patentes do produto X foi igual ao dobro da quantidade de pedidos de patentes do produto Y, então a quantidade de pedidos de patentes de produtos da indústria alimentícia foi 0 quádruplo da quantidade de pedidos de patentes de Y. Se T = 128 e a quantidade X foi 18 unidades a mais do que a quantidade y, então a quantidade y foi superior a 25. RESOLUÇÃO: () Se T = 128, então as quantidades X e são tais que X + 64, com Seja "a" a quantidade de pedidos de patentes da indústria alimentícia. Foi dito que este total é igual à soma dos demais pedidos, que são X e y, ou seja, a=x+y total de pedidos é: Como T = 128, temos 128 = 2a Logo, x+y=a=64. De fato é preciso que X esteja entre 0 e 64, afinal y não pode ser um número negativo (pois se trata de pedidos de patentes). Item CORRETO. Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 37Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Se, em determinado mês, a quantidade de pedidos de patentes do produto X foi igual ao dobro da quantidade de pedidos de patentes do produto Y, então a quantidade de pedidos de patentes de produtos da indústria alimentícia foi quádruplo da quantidade de pedidos de patentes de Y. Sendo X 0 dobro de y, ou seja, X =2y, temos que: Assim, as patentes da indústria alimentícia ("a") são 0 TRIPLO das patentes de Y. Item ERRADO. () Se T = 128 e a quantidade X foi 18 unidades a mais do que a quantidade y, então a quantidade foi superior a 25. Já vimos que, se T = 128, temos que X + = 64. Agora foi dito ainda que: Substituindo X por + 18, temos: x+y=64 23 unidades Item ERRADO. Resposta: CEE 12. ESAF CGU 2012) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas partes com comprimentos X e 1-x respectivamente. Calcule 0 valor mais próximo de X de maneira que X = / X, usando 2,24. a) 0,62 b) 0,38 c) 1,62 d) 0,5 e) 1/ RESOLUÇÃO: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 38Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima - Aula 09 Partimos da igualdade dada no enunciado: 21 Usando a aproximação dada no enunciado (5 2,24), temos: X = -1,62 ou X = 0,62 Dessas duas opções para X, devemos considerar o valor positivo (isto é, X pois a medida de um segmento deve ser sempre um número positivo. RESPOSTA: A 13. ESAF DNIT 2012) A soma dos valores de X e y que solucionam 0 sistema x+2y=7 de equações 2x+y=5 é igual a: a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 RESOLUÇÃO: Isolando X na primeira equação temos: Substituindo na segunda: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 39Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima - Aula 09 14-4y+y=5 y=3 Logo, Assim, a soma de X RESPOSTA: 14. ESAF - PECFAZ - 2013) Em uma secretaria do Ministério da Fazenda, trabalham 63 pessoas. A razão entre 0 número de homens e 0 número de mulheres é igual 4/5. A diferença entre 0 número de mulheres e número de homens que trabalham nessa secretaria é igual a: a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 5 RESOLUÇÃO: Seja H número de homens. de mulheres será 63 H, uma vez que H + M = 63 pessoas. A razão entre H e Mé de 4/5, ou seja, H/M=4/5 5H = 4(63 - H) 9H = 252 H = 252 / 9 H = 28 homens Logo, Prof. Arthur Lima 40Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 M = 35 mulheres A diferença entre 0 número de homens e mulheres é: RESPOSTA: 15. CESPE - BASA - 2012) Em seu testamento, um industrial doou 3/16 de sua fortuna para uma instituição que se dedica à alfabetização de jovens e adultos; 1/10, para uma entidade que pesquisa medicamentos para combater a doença de Chagas; 5/16, para sua companheira; e restante para seu único filho. A partir dessas informações, julgue os itens que se seguem. () O filho do industrial recebeu 40% da fortuna do pai. () A companheira do industrial recebeu mais que filho. A instituição que se dedica à alfabetização de jovens e adultos e a entidade que pesquisa medicamentos para combater a doença de Chagas receberam, juntas, menos de 25% da fortuna do industrial. RESOLUÇÃO: () filho do industrial recebeu 40% da fortuna do pai. Seja F a fortuna total. Sabemos que (3/16)xF ficou para a instituição de alfabetização, (1/10)xF ficou para a entidade de pesquisa, (5/16)xF para a companheira, e restante (que vamos chamar de R) para filho. Assim, sabemos que: Fortuna total = parte da instituição + parte da entidade + parte da companheira + parte do filho 16 10 16 16 10 16 160 160 160 160 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 41Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 64F = R 160 Assim, 0 filho ficou com 40% da fortuna. Item CORRETO. () A companheira do industrial recebeu mais que filho. A esposa recebeu (5/16)xF = 0,3125F = 31,25% da Fortuna. Logo, ela recebeu MENOS que 0 filho. Item ERRADO. () A instituição que se dedica à alfabetização de jovens e adultos e a entidade que pesquisa medicamentos para combater a doença de Chagas receberam, juntas, menos de 25% da fortuna do industrial. Como 0 filho recebeu 40% e a companheira recebeu 31,25%, ao todo esses dois receberam 71,25% do total. Assim, sobraram 28,75% do total para a instituição e a entidade, que é MAIS de 25% da fortuna do industrial. Item ERRADO. Resposta: CEE 16. FGV - SUDENE/PE - 2013) time de João jogou 22 vezes no primeiro semestre deste ano. O time de João ganhou 2 jogos a mais que perdeu e empatou 3 jogos a menos que ganhou. O número de jogos que 0 time de João venceu foi: (A) 7. (B) 8. (C) 9. (D) 10. (E) 11. RESOLUÇÃO: Seja G, P e E 0 número de jogos que 0 time ganhou, perdeu e empatou. Assim, G+P+E=22 Sabemos ainda que G = P + 2, ou seja, ele ganhou 2 jogos a mais do que Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 42Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 perdeu. Também sabemos que ele empatou 3 jogos a menos que ganhou, ou seja, Na equação podemos isolar P, obtendo Na primeira equação obtida, podemos substituir E por G - 3 e substituir P por G 2, ficando com: G+P+E=22 = Logo, time ganhou 9 jogos. RESPOSTA: c 17. FGV - ASSEMBLEIA LEGISLATIVA/MA - - 2013) Na família de Márcia, para cada dois homens há três mulheres e na família de Mauro, para cada três homens há cinco mulheres. A família de Márcia tem 25% a mais de pessoas do que a família de Mauro. No Natal do ano passado, as duas famílias se reuniram integralmente para a ceia no dia 24 de dezembro. Nesse dia, a razão entre as quantidades de homens e de mulheres foi 5 (A) 8 4 (B) 9 7 (C) 11 9 (D) 13 8 (E) 15 RESOLUÇÃO: Na família de Márcia, para cada dois homens há três mulheres, ou seja: H M 2 3 3H = 2M Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 43Estratégia CONCURSOS MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima - Aula 09 H = 2M/3 Na família de Mauro, para cada três homens há cinco mulheres: h m 3 5 5h = = 3m h = 3m/5 A família de Márcia tem 25% a mais de pessoas do que a família de Mauro, ou seja: 2M/3 + M = 1,25 X (3m/5 + m) 5M/3 = 1,25 X 8m/5 5M/3 = 0,25 X 8m 5M/3 = 2m 5M/6 = m Com isso também vemos que: h = 3m/5 h = M/2 No Natal do ano passado, as duas famílias se reuniram integralmente para a ceia no dia 24 de dezembro. Nesse dia, a razão entre as quantidades de homens e de mulheres foi: Razão = (H + h) / Razão = (2M/3 + M/2) / (M + 5M/6) Razão = (4M/6 + 3M/6) / (6M/6 + 5M/6) Razão = (7M/6) / (11M/6) Razão = (7M/6) X (6/11M) Razão = 7/11 RESPOSTA: c Prof. Arthur Lima 44Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 18. FGV SEJAP/MA 2013) Em um presídio misto há 600 presidiários no total, sendo que para cada quatro homens há uma mulher. Entre as mulheres, 80 cumprem pena de até dez anos. Entre os homens, em cada quatro, um cumpre pena de mais de dez anos. Nesse presídio, 0 numero total de presidiários cumprindo pena de mais de dez anos é: a) 440. b) 360. c) 220. d) 160. e) 80. RESOLUÇÃO: Sendo H 0 número de homens, de mulheres é de 600 H, dado que a soma é 600. Sabemos ainda que para cada quatro homens há uma mulher: H 600 H 4 1 H = 2400 4H 5H = 2400 H = 480 homens M = 600 H = 600 480 = 120 mulheres Entre as mulheres, 80 cumprem pena de até dez anos. Logo, 120 80 = 40 mulheres cumprem penas de mais de dez anos. Entre homens, em cada quatro, um cumpre pena de mais de dez anos. Isto é, dos 480 homens cumpre pena superior a 10 anos, ou 1/4 X 480 = 120 homens. Nesse presídio, numero total de presidiários cumprindo pena de mais de dez anos é de 40 mulheres + 120 homens, ou 160 presidiários. RESPOSTA: D 19. FGV MPE/MS 2013) João comprou em uma loja de roupas esportivas uma bermuda e duas camisetas iguais pagando por tudo R$40,00. Sabe-se que a Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 45Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 bermuda custou R$4,00 a mais do que uma camiseta. preço de uma camiseta é: (A) R$6,00. (B) R$10,00. (C) R$12,00. (D) R$14,00. (E) R$16,00. RESOLUÇÃO: Sendo 0 preço da camiseta, 0 preço da bermuda é 4 reais a mais, ou + 4. Assim, como 1 bermuda e 2 camisetas custam 40 reais: Bermuda + 2 X camiseta = 40 3C = = 36 = 12 reais Logo, a camiseta custa 12 reais. RESPOSTA: c 20. FCC MPE/AP 2012) Do salário mensal de Miguel, 10% são gastos com impostos, 15% com moradia, 25% com transporte e alimentação e 10% com seu plano de saúde. Daquilo que resta, 3/8 são usados para pagar a mensalidade de sua faculdade, sobrando ainda R$ 900,00 para 0 seu lazer e outras despesas. gasto mensal de Miguel com moradia, em reais, é igual a (A) 210,00 (B) 360,00 (C) 450,00 (D) 540,00 (E) 720,00 RESOLUÇÃO: Seja S salário de Miguel. Os impostos correspondem a 0,10S, a moradia a 0,15S, 0 transporte e alimentação a 0,25S, e plano de saúde a 0,10S. Retirando essas parcelas do salário, resta: Restante = S 0,10S 0,15S 0,25S 0,10S = 0,40S Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 46Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Deste restante, 3/8, ou seja, (3/8) X 0,40S = 0,15S, são usados para a mensalidade da faculdade, sobrando 0,40S 0,15S = = 0,25S. Este valor corresponde à sobra de 900 reais: 0,25S = 900 S = 900 0,25 = = 3600 reais Como 0 salário é de 3600 reais, então 0 gasto mensal de Miguel com moradia, em reais, é igual a: 0,15S = 0,15 X 3600 = 540 reais Resposta: D 21. FCC 2012) Ao conferir livro de registro da entrada e saída das pessoas q visitaram uma Unidade do Tribunal Regional Federal, ao longo dos cinco dias úteis de certa semana, um Técnico Judiciário observou que: 0 número de pessoas que lá estiveram na segunda-feira correspondia a terça parte do total de visitantes da semana inteira; em cada um dos três dias subsequentes, número de pessoas registradas correspondia a 3/4 do número daquelas registradas no dia anterior. Considerando que na sexta-feira foi registrada a presença de 68 visitantes, é correto afirmar que número de pessoas que visitaram essa Unidade. (A) na segunda-feira foi 250. (B) na terça-feira foi 190. (C) na quarta-feira foi 140. (D) na quinta-feira foi 108. (E) ao longo dos cinco dias foi 798. RESOLUÇÃO: Seja V 0 número total de visitantes da semana. Na segunda-feira, um terço do total compareceu, ou seja, V/3. Na terça-feira, 3/4 do total presente na segunda compareceu, isto é, 3/4 X (V/3) = V/4. Na quarta-feira, do total presente na terça compareceu, ou seja, 3V/16. Na quinta-feira, 3/4 do total presente na quarta compareceu, totalizando 9V/64. Por fim, 68 estiveram presentes na sexta. Assim, total V pode ser dado pela soma dos presentes em cada dia: V = segunda + terça + quarta + quinta + sexta Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 47Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 V = V/3 + V/4 + 3V/16 + 9V/64 + 68 Para colocar as frações em um denominador comum, podemos usar 0 denominador 192. Assim, temos: 192 V = 64 48 V+ 36 V+ 27 V+68 192 192 192 192 192 192 64 V 48 V 36 27 V = 68 192 192 192 192 192 17 V=68 192 Assim, 0 total de presentes na segunda foi V/3 = 256, na terça foi V/4 = 192, na quarta foi 3V/16 = 144 e na quinta foi 9V/64 = 108. Temos essa última informação na alternativa D. Resposta: D 22. FCC - METRÔ/SP - 2012) Relativamente a um lote de tijolos, usado por quatro operários na construção de um muro, sabe-se que: coube a Amilcar assentar a oitava parte e a Benício a décima parte do total de tijolos; coube a Galileu assentar 0 dobro da soma das quantidades que Amilcar e Benício assentaram; Dante assentou restantes 468 tijolos. Nessas condições, total de tijolos do lote é um número compreendido entre (A) 1 250 e (B) e 1 750. (C) e (D) e 250. (E) e RESOLUÇÃO: Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 48Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 Seja T 0 total de tijolos. Amilcar ficou com um oitavo, isto é, T/8. Benício ficou com um décimo, isto é, T/10. Galileu ficou com dobro da soma entre Amilcar e Benício, ou seja, com 2 X (T/8 + T/10). Por fim, Dante ficou com 468. O total de tijolos é dado pela soma da quantidade que ficou com cada pedreiro: Total = Amilcar + Benício + Galileu + Dante T = T/8 + T/10 + 2 X (T/8 + T/10) + + 468 80 80 80 80 80 26T 80 80 T = =1440 26 Assim, 0 total de tijolos é de 1440, número que se encontra no intervalo da alternativa Resposta: A 23. FCC METRÔ/SP - 2012) Certo dia, Alan, chefe de seção de uma empresa, deu certa quantia em dinheiro a dois funcionários Josemir e Neuza solicitando que fossem lhe comprar um lanche e ressaltando que poderiam ficar com 0 troco. Sabe-se que, na compra do lanche eles gastaram 75% da quantia dada pelo chefe e que, do troco recebido, Josemir ficou com 40%, enquanto que Neuza ficou com os R$3,75 restantes. Nessas condições, 0 valor pago pelo lanche comprado foi (A) R$ 15,00. (B) R$ 15,75. (C) R$ 18,50. (D) R$ 18,75. (E) R$ 25,00. RESOLUÇÃO: Seja Q a quantia dada por Alan. Como eles gastaram 75% com 0 lanche, Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 49Estratégia MATEMÁTICA P/ TJ-RO CONCURSOS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 09 sobraram 25%, ou seja, 0,25Q. Josemir ficou com 40% deste valor, sobrando 60% deste valor para Neuza, ou melhor, 60% X 0,25Q = 0,6 X 0,25Q = 0,15Q. Essa quantia de Neuza corresponde a 3,75 reais, que nos permite obter Q: 0,15Q = 3,75 Q = 3,75 / 0,15 = 25 reais Portanto, 0 valor do lanche foi 75% X 25 = 0,75 X 25 = 18,75 reais. Resposta: D 24. FCC METRÔ/SP 2012) O parágrafo seguinte apresenta parte da fala de Benê dirigida a seus amigos Carlão e Dito. Hoje, tenho 23 anos de idade, Carlão tem 32 e Dito tem 44, mas, futuramente, quando a minha idade for igual à terça parte da soma das idades de vocês, ... Um complemento correto para a fala de Benê é (A) as nossas idades somarão 120 anos. (B) Carlão terá 36 anos. (C) Dito terá 58 anos. (D) Carlão terá 38 anos. (E) Dito terá 54 anos. RESOLUÇÃO: Imagine que daqui a N anos a idade de Benê será a terça parte da soma das idades dos demais. Nesta data, a idade de Benê será 23 + N (afinal, passaram-se N anos em relação à data presente), a idade de Carlão será 32 + N e a idade de Dito será 44 + N. Como a idade de Benê será a terça parte da soma, então: Assim, nesta data Benê terá 23 + 7 = 30 anos, Carlão terá 32 + 7 = 39 anos, e Dito terá 44 + 7 = 51 anos. A soma das idades será 30 + 39 + = = 120. Resposta: A Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 50