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Comutador
1. O que e o comutador de dois operadores
A
^
e
B
^
?
a) O comutador e a soma dos operadores.
b) O comutador e a diferenca entre o produto de dois operadores na ordem inversa.
c) O comutador e o produto de dois operadores.
d) O comutador e o valor medio de dois operadores.
Resposta correta: b) O comutador e a diferenca entre o produto de dois operadores na ordem
inversa.
Explicacao: O comutador de dois operadores
A
^
e
B
^
e dado por
[
A
^
,
B
^
]=
A
^
B
^
B
^
A
^
. Se o comutador for zero, significa que os operadores comutam e podem ser aplicados na ordem
desejada. Se o comutador nao for zero, os operadores nao comutam, o que indica que a ordem de
aplicacao e importante.
2. O que significa que dois operadores comutam?
a) Que eles tem valores proprios diferentes.
b) Que a ordem de aplicacao dos operadores nao altera o resultado.
c) Que eles nao podem ser usados em um sistema quantico.
d) Que a soma dos dois operadores e sempre zero.
Resposta correta: b) Que a ordem de aplicacao dos operadores nao altera o resultado.
Explicacao: Quando dois operadores comutam, ou seja, o comutador entre eles e igual a zero
[
A
^
,
B
^
]=0, isso significa que a ordem de aplicacao desses operadores nao afeta o resultado final. Em
outras palavras, podemos aplicar os operadores em qualquer ordem sem que o resultado seja
alterado.
3. Qual e o comutador entre os operadores posicao
x
^
e momento
p
^
?
a)
[
x
^
,
p
^
]=0
b)
[
x
^
,
p
^
]=i
c)
[
x
^
,
p
^
]=i
d)
[
x
^
,
p
^
]=
Resposta correta: c)
[
x
^
,
p
^
]=i
Explicacao: O comutador entre os operadores posicao
x
^
e momento
p
^
e dado por
[
x
^
,
p
^
]=i, onde
 e a constante de Planck reduzida. Esse resultado e uma das bases fundamentais da mecanica
quantica e esta relacionado ao principio da incerteza de Heisenberg.
4. O que indica o principio da incerteza de Heisenberg em relacao ao comutador?
a) O comutador entre a posicao e o momento de uma particula e igual a zero.
b) A incerteza na posicao de uma particula pode ser calculada a partir do comutador entre os
operadores.
c) O comutador entre a posicao e o momento de uma particula e igual a
.
d) O comutador entre a posicao e o momento determina a velocidade de uma particula.
Resposta correta: b) A incerteza na posicao de uma particula pode ser calculada a partir do
comutador entre os operadores.
Explicacao: O comutador entre os operadores posicao e momento e fundamental para o principio
da incerteza de Heisenberg. Esse principio afirma que nao podemos medir simultaneamente com
precisao arbitraria a posicao e o momento de uma particula. A relacao do comutador
[
x
^
,
p
^
]=i implica que ha um limite fundamental para a precisao com que podemos conhecer essas
grandezas simultaneamente.
5. O que ocorre se dois operadores nao comutam?
a) Eles podem ser medidos simultaneamente com precisao.
b) Eles nao podem ser usados em um sistema quantico.
c) A ordem de aplicacao dos operadores afeta o resultado da operacao.
d) Seus valores proprios sao iguais.
Resposta correta: c) A ordem de aplicacao dos operadores afeta o resultado da operacao.
Explicacao: Quando dois operadores nao comutam, o resultado de sua aplicacao depende da
ordem em que sao aplicados. Ou seja, a troca da ordem dos operadores leva a resultados
diferentes. Isso ocorre porque a operacao de um operador sobre um estado afeta o estado de uma
maneira que depende da ordem de aplicacao.
6. O que e o comutador entre o operador Hamiltoniano
H
^
e o operador de posicao
x
^
?
a)
[
H
^
,
x
^
]=0
b)
[
H
^
,
x
^
]=i
c)
[
H
^
,
x
^
]=i
d)
[
H
^
,
x
^
]=
Resposta correta: a)
[
H
^
,
x
^
]=0
Explicacao: O operador Hamiltoniano
H
^
descreve a energia total de um sistema quantico e, em muitos casos, ele comuta com o operador
de posicao
x
^
. Isso significa que a energia do sistema pode ser medida independentemente da posicao da
particula. Portanto,
[
H
^
,
x
^
]=0 em muitos sistemas simples.
7. O que ocorre com os comutadores de dois operadores Hermitianos?
a) Eles sempre comutam entre si.
b) Eles nunca comutam entre si.
c) O comutador de dois operadores Hermitianos e sempre um numero real.
d) O comutador de dois operadores Hermitianos pode ser outro operador Hermitiano.
Resposta correta: d) O comutador de dois operadores Hermitianos pode ser outro operador
Hermitiano.
Explicacao: Embora dois operadores Hermitianos nao precisem necessariamente comutar entre si,
o comutador de dois operadores Hermitianos e, em geral, outro operador Hermitiano. Isso ocorre
porque o comutador de operadores Hermitianos tende a gerar outros operadores que tambem tem
propriedades similares.
8. O que e o comutador entre os operadores de criacao
a
^
e de aniquilacao
a
^
no oscilador harmonico quantico?
a)
[
a
^
,
a
^
]=0
b)
[
a
^
,
a
^
]=1
c)
[
a
^
,
a
^
]=1
d)
[
a
^
,
a
^
]=
Resposta correta: b)
[
a
^
,
a
^
]=1
Explicacao: No contexto do oscilador harmonico quantico, o comutador entre o operador de
aniquilacao
a
^
e o operador de criacao
a
^
e dado por
[
a
^
,
a
^
]=1. Isso e uma caracteristica fundamental do modelo quantico do oscilador harmonico, onde a
criacao e a aniquilacao de quanta de energia seguem essa relacao.
9. O que ocorre se o comutador entre dois operadores for zero?
a) Os operadores nao podem ser medidos simultaneamente.
b) Os operadores podem ser medidos simultaneamente com precisao.
c) Os operadores nao podem ser usados em sistemas quanticos.
d) O sistema se torna instavel.
Resposta correta: b) Os operadores podem ser medidos simultaneamente com precisao.
Explicacao: Quando o comutador entre dois operadores e zero, isso implica que esses operadores
podem ser medidos simultaneamente com precisao. Em sistemas fisicos, isso significa que as
grandezas correspondentes podem ser conhecidas com exatidao ao mesmo tempo, como e o caso
do momento e da energia em alguns sistemas.
10. Qual e a importancia do comutador na mecanica quantica?
a) Ele define as leis classicas do movimento.
b) Ele estabelece a relacao entre os observaveis e a medida de incertezas.
c) Ele determina a velocidade de uma particula em movimento.
d) Ele permite a aplicacao das leis de Newton em sistemas quanticos.
Resposta correta: b) Ele estabelece a relacao entre os observaveis e a medida de incertezas.
Explicacao: O comutador e fundamental na mecanica quantica porque ele esta diretamente
relacionado ao principio da incerteza de Heisenberg, que afirma que existem limites para a precisao
com que podemos medir certos pares de observaveis, como posicao