Espaços euclidianos Rn

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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
ESPAÇOS EUCLIDIANOS Rn
(COMBINAÇÃO LINEAR, (IN)DEPENDÊNCIA LINEAR, SUBESPAÇO, BASE E
DIMENSÃO)
(a consulta a estas notas de aula não dispensa a leitura da bibliografia de referência)
Prof. Ricardo Saldanha de Morais
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
Departamento de Matemática (http://www.dm.cefetmg.br)
II semestre de 2021
http://www.dm.cefetmg.br
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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Sumário
1 Os espaços Rn
2 Combinação linear
3 (In)dependência linear
Equações paramétricas do plano
4 Subespaço, base e dimensão
Bases ortogonais e ortonormais
5 Referências
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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Os espaços Rn
Muito do que sabemos sobre vetores pode ser estendido para além dos
espaços R2
e R3
.
Definição (Espaço euclidiano n-dimensional)
O espaço euclidiano Rn
(n é um inteiro positivo) é o conjunto de todas as
n-uplas ordenadas (x1, x2, ⋯, xn) de números reais. Em śımbolos,
Rn
= {(x1, x2, ⋯, xn) ∣xi ∈ R} .
(x1, x2,⋯, xn) = (y1, y2,⋯, yn) se e só se x1 = y1, x2 = y2, ⋯, xn = yn.
Exemplo 1
A sextúpla (1
3
, 0,−4,
√
7,
3
4
, 2) é um elemento do R6
, que pode ser pensado
como um ponto ou como um vetor.
Quando realizamos operações com elementos de Rn
, nos referimos a eles
como vetores.
Definições (Soma de vetores e multiplicação de vetor por escalar)
(a) A soma de dois vetores v⃗ = (v1, v2,⋯, vn) e w⃗ = (w1, w2,⋯, wn) do Rn
é definida por
v⃗ + w⃗ = (v1 + w1, v2 + w2,⋯, vn + wn).
(b) A multiplicação de um vetor v⃗ = (v1, v2,⋯, vn) do Rn
por um escalar
α ∈ R é definida por
α v⃗ = (αv1, α v2,⋯, α vn).
O vetor nulo do Rn
, denotado por 0⃗, é definido como sendo
0⃗ = (0, 0,⋯, 0).
Se v⃗ = (v1, v2,⋯, vn) ∈ Rn
, então o simétrico do vetor v⃗, representado
por −v⃗, é definido por
−v⃗ = (−v1,−v2,⋯,−vn) (i.e., − v⃗ = (−1) v⃗).
A diferença de dois vetores do Rn
, v⃗ e w⃗, é definida por
v⃗ − w⃗ = v⃗ + (−w⃗) (i.e., a diferença é um caso particular da soma).
Define-se que dois vetores v⃗, w⃗ ∈ Rn
são paralelos (v⃗//w⃗) se v⃗ = α w⃗,
ou w⃗ = α v⃗, para algum α ∈ R.
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Teorema (Propriedades da soma e da multiplicação por escalar)
Se u⃗ = (u1, u2,⋯, un), v⃗ = (v1, v2,⋯, vn) e w⃗ = (w1, w2,⋯, wn) são vetores
do Rn
e α e β são escalares, então:
(a) u⃗ + v⃗ = v⃗ + u⃗,
(b) (u⃗ + v⃗) + w⃗ = u⃗ + (v⃗ + w⃗),
(c) u⃗ + 0⃗ = u⃗,
(d) u⃗ + (−u⃗) = 0⃗,
(e) α (β u⃗) = (αβ) u⃗,
(f) α (u⃗ + v⃗) = α u⃗ + α v⃗,
(g) (α + β) u⃗ = α u⃗ + β u⃗,
(h) 1 u⃗ = u⃗.
O teorema acima segue das propriedades da álgebra matricial.
Definições (Extensões das noções de produto escalar e ortogonalidade)
Sejam u⃗ = (u1, u2,⋯, un) e v⃗ = (v1, v2,⋯, vn) vetores do Rn
.
O produto escalar entre u⃗ e v⃗ é
u⃗ ⋅ v⃗ = u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 +⋯+ un ⋅ vn .
A norma de u⃗ é ∥ u⃗ ∥=
√
u⃗ ⋅ u⃗ =
√
u2
1 + u2
2 +⋯+ u2
n .
u⃗ e v⃗ são ortogonais (u⃗ ⊥ v⃗) se u⃗ ⋅ v⃗ = 0 .
Se u⃗ ≠ 0⃗, a projeção ortogonal de v⃗ sobre u⃗ é proju⃗v⃗ = ( v⃗ ⋅ u⃗
∥ u⃗ ∥2
) u⃗ .
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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Combinação linear
Definição (Combinação linear)
Um vetor v⃗ ∈ Rn
é combinação linear dos vetores v⃗1, v⃗2, ⋯ , v⃗k ∈ Rn
se
existem escalares α1, α2,⋯, αk ∈ R tais que
α1v⃗1 + α2v⃗2 +⋯+ αkv⃗k = v⃗ (1)
Exemplo 2
v⃗ = (1,−4, 6) é combinação linear dos vetores v⃗1 = (1,−1, 1) e v⃗2 = (2, 1,−3).
Com efeito, podemos verificar que
(1,−4, 6) = 3 (1,−1, 1) + (−1) (2, 1,−3).
Logo, v⃗ é combinação linear de v⃗1 e v⃗2.
Quando k = 1, a equação vetorial (1) fica α1v⃗1 = v⃗, isto é, v⃗ é combinação
linear de v⃗1 se e somente se v⃗ // v⃗1.
Exemplo 3
v⃗ = (1, 1, 1) é combinação linear dos vetores v⃗1 = (1,−1, 1) e v⃗2 = (2, 1,−3)?
Solução:
Temos que
α1 v⃗1 + α2 v⃗2 = v⃗ ⇔ α1 (1,−1, 1) + α2 (2, 1,−3) = (1, 1, 1)
⇔ (α1 + 2α2,−α1 + α2, α1 − 3α2) = (1, 1, 1)
⇔
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
α1 + 2α2 = 1
−α1 + 2α2 = 1
α1 − 3α2 = 1
.
Precisamos verificar se o sistema linear acima possui solução:
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 2 1
−1 1 1
1 −3 1
v⃗
1
→
v⃗
2
→
v⃗
→
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
escalonando...
−−−−−−−−−−→
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 2 1
0 1 0
0 0 2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
Como o sistema linear não possui solução, v⃗ não é combinação linear de v⃗1
e v⃗2.
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Exemplo 4
O vetor v⃗ = (0, 0, 4, 2) é combinação linear dos vetores v⃗1 = (1,−1, 0, 0),
v⃗2 = (−2, 2, 2, 1) e v⃗3 = (−1, 1, 2, 1)?
Solução:
Devemos verificar se a equação vetorial α1 v⃗1 + α2 v⃗2 + α3 v⃗3 = v⃗ admite
solução. Essa equação é equivalente ao sistema linear
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
α1 − 2α2 − α3 = 0
−α1 + 2α2 + α3 = 0
2α2 + 2α3 = 4
α2 + α3 = 2
⟺
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 −2 −1
−1 2 1
0 2 2
0 1 1
v⃗
1
→
v⃗
2
→
v⃗
3
→
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
α1
α2
α3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
0
4
2
v⃗
→
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 −2 −1 0
−1 2 1 0
0 2 2 4
0 1 1 2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
escalonando...
−−−−−−−−−−→
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 −2 −1 0
0 1 1 2
0 0 0 0
0 0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
Uma vez que o sistema possui solução, v⃗ é combinação linear de v⃗1, v⃗2 e
v⃗3. Cabe notar que, como esse sistema admite infinitas soluções, v⃗ pode ser
expresso como combinação de linear de v⃗1, v⃗2 e v⃗3 de infinitas maneiras. Em
particular, temos v⃗ = 4 v⃗1 + 2 v⃗2 + 0 v⃗3 e v⃗ = 5 v⃗1 + 3 v⃗2 − v⃗3 (confira!).
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Exemplo 5
O vetor nulo 0⃗ ∈ Rn
é combinação linear de quaisquer vetores v⃗1, v⃗2, ⋯ , v⃗k ∈
Rn
pois podemos escrever
0⃗ = 0 v⃗1 + 0 v⃗2 +⋯+ 0 v⃗k
(i.e., a equação vetorial α1v⃗1 + α2v⃗2 +⋯+ αkv⃗k = 0⃗ possui solução).
Exemplo 6
Sejam i⃗ = (1, 0, 0), j⃗ = (0, 1, 0) e
k⃗ = (0, 0, 1) (vetores unitários canônicos
do R3
).
Todo vetor v⃗ = (a, b, c) do R3
é com-
binação linear de i⃗, j⃗ e k⃗. De fato,
(a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0)
+c (0, 0, 1)
= a i⃗ + b j⃗ + c k⃗ .
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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Equações paramétricas do plano
(In)dependência linear
Definição ((In)dependência linear)
Um conjunto C = {v⃗1, v⃗2,⋯, v⃗k} de vetores do Rn
é linearmente
independente (LI) se a equação vetorial
α1v⃗1 + α2v⃗2 +⋯+ αkv⃗k = 0⃗
possui somente a solução trivial, isto é, α1 = α2 = ⋯ = αk = 0. Caso
contrário, dizemos que C é linearmente dependente (LD).
Exemplo 7
O conjunto C = {v⃗}, v⃗ ∈ Rn
, v⃗ ≠ 0⃗, é LI, já que α v⃗ = 0⃗ se e somente se α = 0.
Exemplo 8
i⃗ = (1, 0, 0), j⃗ = (0, 1, 0) e k⃗ = (0, 0, 1) formam um conjunto LI. Com efeito,
α1 i⃗ + α2 j⃗ + α3k⃗ = 0⃗ ⇔ α1(1, 0, 0) + α2(0, 1, 0) + α3(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
⇔ (α1, α2, α3) = (0, 0, 0) ⇔ α1 = α2 = α3 = 0 .
Exemplo 9
Os vetores v⃗1 = (1, 0, 1, 2), v⃗2 = (0, 1, 1, 2) e v⃗3 = (1, 1, 1, 3) são LI?
Solução:
A equação vetorial
α1(1, 0, 1, 2) + α2(0, 1, 1, 2) + α3 (1, 1, 1, 3) = (0, 0, 0, 0)
é equivalente ao sistema linear homogêneo
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
α1 + α3 = 0
α2 + α3 = 0
α1 + α2 + α3 = 0
2α1 + 2α2 + 3α3 = 0
⟺
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 1
0 1 1
1 1 1
2 2 3
v⃗
1
→
v⃗
2
→
v⃗
3
→
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
α1
α2
α3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
0
0
0
0⃗
→
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
Devemos verificar se esse sistema possui somente a solução trivial:
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 1 0
0 1 1 0
1 1 1 0
2 2 3 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
escalonando...
−−−−−−−−−−→
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
Como o sistema possui somente a solução trivial, {v⃗1, v⃗2, v⃗3} é LI.
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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Equações paramétricas do plano
Exemplo 10
Sejam v⃗1 = (1, 2,−1), v⃗2 = (1,−2, 1), v⃗3 = (−3, 2,−1) e v⃗4 = (2, 0, 0) vetores
do R3
. O conjunto {v⃗1, v⃗2, v⃗3, v⃗4} é LI?
Solução:
A equação vetorial
α1 (1, 2,−1) + α2 (1,−2, 1) + α3(−3, 2,−1) + α4(2, 0, 0) = (0, 0,0)
é equivalente a
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
α1 + α2 − 3α3 + 2α4 = 0
2α1 − 2α2 + 2α3 = 0
−α1 + α2 − α3 = 0
,
que é um sistema linear homogêneo com menos equações do que incógnitas
e que possui, portanto, solução não trivial (infinitas soluções). Logo,
{v⃗1, v⃗2, v⃗3, v⃗4} é LD.
Um conjunto com mais do que n vetores do Rn
é sempre LD.
(In)dependência linear no caso de três vetores do R3
Sejam u⃗ = (u1, u2, u3), v⃗ = (v1, v2, v3) e w⃗ = (w1, w2, w3) vetores do R3
.
A equação vetorial
α1 (u1, u2, u3) + α2 (v1, v2, v3) + α3(w1, w2, w3) = (0, 0, 0)
é equivalente ao sistema linear homogêneo (nas incógnitas α1, α2 e α3)
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
u1 α1 + v1 α2 + w1 α3 = 0
u2 α1 + v2 α2 + w2 α3 = 0
u3 α1 + v3 α2 + w3 α3 = 0
ou
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
u1 v1 w1
u2 v2 w2
u3 v3 w2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
α1
α2
α3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
0
0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
O sistema admite solução não trivial se e somente se
det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
u1 v1 w1
u2 v2 w2
u3 v3 w2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= 0 ⇔ det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= 0 ⇔ u⃗ ⋅ (v⃗ × w⃗)
ÍÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÑÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÒÏ
produto misto
= 0.
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(In)dependência linear no caso de três vetores do R3
Três vetores do R3
são LD se e somente se eles são coplanares.
Três vetores do R3
são LI se e somente se eles não são coplanares.
Figura: Três vetores do R3
LD Figura: Três vetores do R3
LI
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(In)dependência linear versus combinação linear
Exemplo 11
Sejam v⃗1 = (−2,−2, 2), v⃗2 = (−3, 3/2, 0) e v⃗3 = (−2, 1, 0) vetores do R3
. O
conjunto {v⃗1, v⃗2, v⃗3} é LI?
Solução: Como det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−2 −3 −2
−2 3/2 1
2 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= 0 (confira!), o sistema
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−2 −3 −2
−2 3/2 1
2 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
α1
α2
α3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
0
0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(e a eq. vetorial α1v⃗1 +α2v⃗2 +α3v⃗3 = 0⃗)
possui solução não trivial. Consequentemente, {v⃗1, v⃗2, v⃗3} é LD.
Note que, neste caso, v⃗2 = 0 v⃗1 +
3
2
v⃗3, ou seja, v⃗2 é combinação linear de v⃗1
e v⃗3 (v⃗1 não é combinação linear de v⃗2 e v⃗3).
Teorema
O conjunto {v⃗1, v⃗2,⋯, v⃗k} ⊂ Rn
(k > 1) é linearmente dependente se, e
somente se, um dos vetores v⃗i é combinação linear dos demais vetores.
Em particular, {v⃗1, v⃗2} ⊂ Rn
é LD se e somente se um vetor é com-
binação linear do outro, isto é, um vetor é múltiplo escalar do outro.
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Equações paramétricas do plano
Seja π o plano que passa pelo
ponto P0 = (x0, y0, z0) e é para-
lelo aos vetores v⃗ = (v1, v2, v3) e
w⃗ = (w1, w2, w3), não paralelos
entre si.
P = (x, y, z) ∈ π se e somente
se os vetores
−−−→
P0P , v⃗ e w⃗ são co-
planares, isto é, são LD. Assim,
P = (x, y, z) ∈ π se e somente se
um dos três vetores pode ser ex-
presso como combinação linear
dos outros dois.
Em outros termos, como v⃗ e w⃗ não são paralelos, P = (x, y, z) ∈ π se e
somente se existem s, t ∈ R tais que
−−−→
P0P = s v⃗ + t w⃗ (veja o Exerćıcio 8,
da Parte II, da Lista de Exerćıcios 9).
A igualdade
−−−→
P0P = s v⃗ + t w⃗, s, t ∈ R — ou (x − x0, y − y0, z − z0) =
s (v1, v2, v3) + t (w1, w2, w3), s, t ∈ R — pode ser escrita como
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https://drive.google.com/file/d/13FN0HUfiU00h4bh-HB8TqASNJeir1tDL/view?usp=sharing
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = x0 + v1 s + w1 t
y = y0 + v2 s + w2 t
z = z0 + v3 s + w3 t
, s, t ∈ R (2)
As equações (2), chamadas equações paramétricas, descrevem o plano
π que passa por P0 = (x0, y0, z0) e é paralelo aos vetores v⃗ = (v1, v2, v3)
e w⃗ = (w1, w2, w3) (não paralelos entre si).
O conjunto de equações (2) é equivalente à equação
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + s (v1, v2, v3) + t (w1, w2, w3), s, t ∈ R
— ou
−−→
OP =
−−−→
OP0 + s v⃗ + t w⃗, s, t ∈ R — denominada equação vetorial
do plano π.
Exemplo 12
Encontre equações paramétricas do plano que contém os pontos A = (0, 1, 0),
B = (1, 0, 1) e C = (0, 0, 1).
Solução: Temos que
−−→
AB = (1,−1, 1) e
−−→
AC = (0,−1, 1) são LI (por quê?).
Logo, tomando A como ponto particular, o plano tem equações paramétricas
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = s
y = 1 − s − t
z = s + t
, s, t ∈ R .
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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Equações paramétricas do plano
As equações paramétricas e vetorial de um plano não são únicas.
Exemplo 13
Um plano π tem equação geral x + 2 y − z − 1 = 0. Obtenha uma equação
vetorial de π.
Solução:
Da equação geral, segue que x = 1 − 2 y + z. Fazendo y = s e z = t, s, t ∈ R,
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = 1 − 2 s + t
y = s
z = t
são equações paramétricas de π. Podemos ver então que o plano passa por
P0 = (1, 0, 0) e é paralelo aos vetores v⃗ = (−2, 1, 0) e w⃗ = (1, 0, 1). Resulta
também das equações paramétricas que
(x, y, z) = (1, 0, 0) + s (−2, 1, 0) + t (1, 0, 1), s, t ∈ R,
é uma equação vetorial do plano π.
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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Bases ortogonais e ortonormais
Subespaço
Definição (Subespaço)
Um subconjunto W ⊆ Rn
, W ≠ ∅, é um subespaço se satisfaz as duas
condições a seguir:
(i) se u⃗, v⃗ ∈ W, então u⃗ + v⃗ ∈ W,
(ii) se u⃗ ∈ W e α ∈ R, então α u⃗ ∈ W.
Exemplo 14
Seja W = {(x, y) ∈ R2∣x ≥ 0, y ≥ 0}.
Temos que W ≠ ∅, pois (0, 0) ∈ W.
O subconjunto W não é subespaço do R2
, já
que u⃗ = (1, 1) ∈ W, mas (−1) u⃗ = (−1,−1) ∉ W,
ou seja, a condição (ii) da definição não é
satisfeita.
Contudo, W é fechado em relação à soma, isto
é, a condição (i) é satisfeita (confira!).
Exemplo 15
Seja W = {(x, y) ∈ R2 ∣ y = 2x}. O subconjunto W é um subespaço do R2
.
De fato, W ≠ ∅, uma vez que (0, 0) ∈ W. Sejam u⃗ = (u1, u2) e v⃗ = (v1, v2)
elementos arbitrários de W e α ∈ R. Então, u2 = 2u1 e v2 = 2 v1.
u⃗ + v⃗ ∈ W? Sim, já que u⃗ + v⃗ = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) e
u2 + v2 = (2u1) + (2 v1) = 2 (u1 + v1), ou seja, a condição que define os
elementos de W é atendida.
αu⃗ ∈ W? Sim, pois α u⃗ = (αu1, α u2) e αu2 = α (2u1) = 2 (αu1).
Portanto, W é um subespaço do R2
.
Vale observar que, se w⃗ = (x, y) ∈ W, então
w⃗ = (x, 2x) = x (1, 2).
Ou seja, todo elemento de W é múltiplo escalar
do vetor v⃗ = (1, 2) ∈ W. Desse modo, W pode ser
geometricamente representado pela reta que
passa pela origem e é paralela ao vetor v⃗.
Alternativamente, um subconjunto W ⊆ Rn
, W ≠ ∅, é um subespaço
se, e somente se, α u⃗ + v⃗ ∈ W, ∀α ∈ R e ∀u⃗, v⃗ ∈ W.20/35
Se o subconjunto W ⊆ Rn
é um subespaço, então 0⃗ ∈ W. Com efeito, se
w⃗ ∈ W, segue que 0⃗ = 0 w⃗ ∈ W. A rećıproca não é verdadeira (veja o
Exemplo 12).
Rn
admite pelo menos dois subespaços: o conjunto { 0⃗ } (0⃗ ∈ Rn
), cha-
mado subespaço nulo, e o próprio Rn
.
Subespaços do R2
:
{ (0, 0) }.
Retas pela origem.
R2
.
Subespaços do R3
:
{ (0, 0, 0) }.
Retas pela origem.
Planos pela origem.
R3
.
Teorema
Seja A uma matriz m×n. O conjunto solução do sistema homogêneo AX = 0̄
é um subespaço do Rn
.
Prova: AX = 0̄ admite pelo menos a solução trivial. Portanto, seu conjunto
solução, W, é não vazio. Sejam X1, X2 ∈ W e α ∈ R. Então,
A(αX1 +X2) = A(αX1) +AX2 = αAX1 +AX2 = α 0̄ + 0̄ = 0̄ ,
ou seja, αX1 +X2 ∈ W. Assim, W é um subespaço do Rn
(M(n, 1) ≅ Rn
).
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Base
Definição (Base)
Seja W ⊆ Rn
um subespaço não nulo. Um subconjunto C = {v⃗1, v⃗2,⋯, v⃗k} ⊂
W é uma base de W se
(i) C é LI e
(ii) C gera W, isto é, todo vetor de W é combinação linear de v⃗1, v⃗2,⋯, v⃗k
(W = [v⃗1, v⃗2,⋯, v⃗k]).
Exemplo 16
Seja A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 1 2 −1
2 3 6 −2
−2 1 2 2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
. Encontre uma base para o conjunto solução
do sistema homogêneo AX = 0̄.
Solução:
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 1 2 −1 0
2 3 6 −2 0
−2 1 2 2 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
escalonando...
−−−−−−−−−−→
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0 −1 0
0 1 2 0 0
0 0 0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
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Exemplo 16 (cont.)
O sistema AX = 0̄ é equivalente a {
x − w = 0
y + 2z = 0
, cujo conjunto solução
é X =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x
y
z
w
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
β
−2α
α
β
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
, α, β ∈ R,ou
W = {(β,−2α,α, β) ∣α, β ∈ R} , que é um subespaço do R4
.
Precisamos de um candidato à base de W. Podemos escrever
(β,−2α,α, β) = (0,−2α,α, 0) + (β, 0, 0, β)
= α (0,−2, 1, 0) + β (1, 0, 0, 1) = α v⃗1 + β v⃗2,
em que v⃗1 = (0,−2, 1, 0) e v⃗2 = (1, 0, 0, 1). Ou seja, todo vetor de W
é combinação linear de v⃗1 e v⃗2. Além disso, v⃗1 ∈ W (α = 1, β = 0) e
v⃗2 ∈ W (α = 0, β = 1). Ou seja, S = {v⃗1, v⃗2} é um subconjunto de W que
gera W (W = [v⃗1, v⃗2]).
Ademais S = {v⃗1, v⃗2} é LI, posto que v⃗1 e v⃗2 não são múltiplos esca-
lares entre si. Logo, S é uma base de W.
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Exemplo 17
{i⃗ = (1, 0), j⃗ = (0, 1)} é uma base (base canônica) do R2
, pois
(i) {i⃗, j⃗} é LI, dado que i⃗ e j⃗ não são paralelos, e
(ii) R2
= [i⃗, j⃗], visto que (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a i⃗ + b j⃗.
Exemplo 18
{v⃗1 = (1, 1), v⃗2 = (−1, 0)} é uma base do R2
. De fato,
(i) {v⃗1, v⃗2} é LI, uma vez que v⃗1 e v⃗2 não são paralelos, e
(ii) R2
= [v⃗1, v⃗2], já que, para v⃗ = (a, b), vale
v⃗ = α1 v⃗1 + α2v⃗2 ⇔ (a, b) = α1(1, 1) + α2(−1, 0) ⇔
(a, b) = (α1 − α2, α1) ⇔ { α1 − α2 = a
α1 = b
⇔ { α1 = b
α2 = b − a
,
ou seja, v⃗ = b v⃗1 + (b − a) v⃗2. Em outras palavras, qualquer vetor do R2
é combinação linear de v⃗1 e v⃗2.
Logo, {v⃗1, v⃗2} é uma base do R2
.
Bases de subespaços não são únicas.
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Exemplo 19
{i⃗ = (1, 0, 0), j⃗ = (0, 1, 0), k⃗ = (0, 0, 1)} é uma base (base canônica) do R3
,
pois, como vimos anteriomente,
(i) {i⃗, j⃗, k⃗} é LI, e
(ii) (a, b, c) = a i⃗ + b j⃗ + c k⃗, isto é, R3
= [i⃗, j⃗, k⃗].
Exemplo 20
{v⃗1 = (1, 2, 3), v⃗2 = (0, 1, 2), v⃗3 = (0, 0, 1)} é uma base do R3
. Com efeito,
(i) {v⃗1, v⃗2, v⃗3} é LI, pois det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0
2 1 0
3 2 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 ≠ 0, e
(ii) R3
= [v⃗1, v⃗2, v⃗3], visto que v⃗ = (a, b, c) = α1 v⃗1 + α2 v⃗2 + α3 v⃗3 ⇔
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
α1 = a
2α1 + α2 = b
3α1 + 2α2 + α3 = c
⇔
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
α1 = a
α2 = b − 2 a
α3 = a − 2 b + c
,
ou seja, v⃗ = a v⃗1 + (b− 2 a) v⃗2 + (a− 2 b+ c) v⃗3. Em outros termos, todo
vetor do R3
é combinação linear de v⃗1, v⃗2 e v⃗3.
Portanto, {v⃗1, v⃗2, v⃗3} é uma base do R3
.
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Dimensão
Já observamos que bases de subespaços do Rn
não são únicas.
Teorema
Qualquer base de um subespaço W ⊆ Rn
não nulo tem o mesmo n
o
¯ de
elementos. Esse n
o
¯ é chamado dimensão de W e é denotado por dimW.
Exemplo 21
{(1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (0, 1)} são bases do R2
e {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
e {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)} são bases do R3
. Dáı, dimR2
= 2 e dimR3
= 3.
Exemplo 22
{e⃗1 = (1, 0, 0,⋯, 0, 0), e⃗2 = (0, 1, 0,⋯, 0, 0),⋯, e⃗n = (0, 0, 0,⋯, 0, 1)} é uma
base (base canônica) do Rn
. Portanto, dimRn
= n.
Exemplo 23
Vimos, no Exemplo 16, que {v⃗1 = (0,−2, 1, 0), v⃗2 = (1, 0, 0, 1)} é uma base
do subespaço W = {(β,−2α,α, β) ∣α, β ∈ R} ⊆ R4
. Logo, dimW = 2.
Se W ⊆ Rn
é um subespaço não nulo, então 1 ≤ dim W ≤ n.
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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Bases ortogonais e ortonormais
Convencionamos que o subespaço nulo { 0⃗ }, 0⃗ ∈ Rn
, tem dimensão 0.
Teorema
Seja W ⊆ Rn
um subespaço não nulo. Se dimW = k, então k vetores de W,
linearmente independentes, formam uma base de W.
Ou seja, quando as hipóteses do teorema são satisfeitas, não é necessário
verificar que os k vetores geram W para concluir que estes constituem
uma base.
Exemplo 24
Consideremos o subespaço W = {(β,−2α,α, β) ∣α, β ∈ R} do exemplo ante-
rior.
Temos que w⃗1 = (5, 2,−1, 5) (α = −1, β = 5) e w⃗2 = (−1,−4, 2,−1)
(α = 2, β = −1) são elementos de W.
Sabemos que dimW = 2. Portanto, de acordo com o teorema acima, como
os vetores w⃗1 e w⃗2 formam um conjunto LI (por quê?), podemos inferir que
o conjunto {w⃗1, w⃗2} é uma (outra) base de W.
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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Bases ortogonais e ortonormais
Exemplo 25
{(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} é uma base do R3
, pois dimR3
= 3 e o conjunto
contém 3 elementos do R3
que são lineamente independentes, já que
det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 2 3
1 3 1
1 1 2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= −3 ≠ 0.
O conjunto {v⃗1, v⃗2, ⋯, v⃗n} ⊂ Rn
é uma base do Rn
se e somente se
det [ v⃗1 ∣ v⃗2 ∣ ⋯ ∣ v⃗n ] ≠ 0 .
Bases ortogonais e ortonormais
Definição (Bases ortogonais e ortonormais)
Seja {v⃗1, ..., v⃗k} uma base de um subespaço do Rn
.
(a) {v⃗1, ..., v⃗k} é uma base ortogonal se os vetores são mutuamente orto-
gonais, isto é, v⃗i ⋅ v⃗j = 0 para i ≠ j.
(b) {v⃗1, ..., v⃗k} é uma base ortonormal, se além de ser uma base ortogonal,
todos os vetores são unitários, isto é, ∥ v⃗i ∥= 1 para i = 1,⋯, k.
Exemplo 26
Temos que β = {v⃗1 = (
√
2
2
,
√
2
2
) , v⃗2 = (−
√
2
2
,
√
2
2
)} é uma base do R2
(ve-
rifique!). O conjunto β é uma base ortogonal, uma vez que v⃗1 ⋅ v⃗2 =
(
√
2
2
,
√
2
2
) ⋅ (−
√
2
2
,
√
2
2
) =
√
2
2
⋅ (−
√
2
2
)+
√
2
2
⋅
√
2
2
= −
1
2
+
1
2
= 0. Ademais, β
é uma base ortonormal, pois ∥ v⃗1 ∥=∥ v⃗2 ∥=
√
√√√√√√⎷(
√
2
2
)
2
+ (
√
2
2
)
2
= 1.
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Exemplo 27
γ = {v⃗1 = (1, 1, 1), v⃗2 = (0, 1, 1), v⃗3 = (0, 0, 1)} é uma base do R3
(verifique!).
O conjunto γ não é uma base ortogonal porque
v⃗1 ⋅ v⃗2 = (1, 1, 1) ⋅ (0, 1, 1) = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 2 ≠ 0.
É posśıvel obter uma base ortogonal ou ortonormal a partir de uma base
conhecida?
Seja W ⊆ Rn
um subespaço com base β = {v⃗1, v⃗2} . Sejam
w⃗1 = v⃗1 e w⃗2 = v⃗2 − c w⃗1 (ou w⃗2 = v⃗2 − c v⃗1) ,
em que c ∈ R é tal que w⃗1 ⊥ w⃗2, isto é, w⃗1 ⋅ w⃗2 = 0 .
Os vetores w⃗1 e w⃗2 pertencem a W pois são combinações lineares de v⃗1
e v⃗2. Também, como β é LI, w⃗1 e w⃗2 são não nulos, qualquer que seja c.
w⃗1 ⋅ w⃗2 = 0 ⟺ w⃗1 ⋅ (v⃗2 − c w⃗1) = 0 ⟺ w⃗1 ⋅ v⃗2 − c w⃗1 ⋅ w⃗1 = 0
⟺ v⃗2 ⋅ w⃗1 − c∥ w⃗1 ∥2
= 0 ⟺ c =
v⃗2 ⋅ w⃗1
∥ w⃗1 ∥2
.
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Assim, w⃗2 = v⃗2 − ( v⃗2 ⋅ w⃗1
∥ w⃗1 ∥2
) w⃗1 = v⃗2 − projw⃗1
v⃗2 . Visto que dimW = 2 e
{w⃗1, w⃗2} ⊆ W é LI (por quê?), segue que {w⃗1, w⃗2} é uma base ortogonal
de W obtida a partir da base β.
Por exemplo, sejaW ⊆ R3
o subespaço de base {v⃗1 = (−2, 4, 2), v⃗2 = (2, 4, 0)} .
Figura: {v⃗1, v⃗2} é base de W. Figura: {w⃗1, w⃗2} é base ortogonal de W.
Sejam w⃗1 = v⃗1 e w⃗2 = v⃗2 − ( v⃗2 ⋅ w⃗1
∥ w⃗1 ∥2
) w⃗1 = (2, 4, 0) − 12
24
(−2, 4, 2) =
(3, 2,−1) .
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O conjunto {w⃗1 = (−2, 4, 2), w⃗2 = (3, 2,−1)} é uma base ortogonal do
subespaço W.
De modo geral, vale o seguinte resultado:
Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
Seja β = {v⃗1, ..., v⃗k} uma base de um subespaço não nulo W do Rn
. Sejam
w⃗1 = v⃗1 ,
w⃗2 = v⃗2 − projw⃗1
v⃗2 ,
w⃗3 = v⃗3 − projw⃗1
v⃗3 − projw⃗2
v⃗3 ,
⋮
w⃗k = v⃗k − projw⃗1
v⃗k − projw⃗2
v⃗k −⋯− projw⃗k−1
v⃗k.
Então o conjunto {w⃗1, ..., w⃗k} é uma base ortogonal de W.
Se u⃗1 =
1
∥ w⃗1 ∥ w⃗1 , u⃗2 =
1
∥ w⃗2 ∥ w⃗2, ⋯ , u⃗k =
1
∥ w⃗k ∥ w⃗k , a coleção
{u⃗1, u⃗2,⋯, u⃗k} é uma base ortonormal do subespaço W.
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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Bases ortogonais e ortonormais
Exemplo 28
Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para
obter uma base ortonormal de R3
a partir da base γ =
{v⃗1 = (1, 1, 1), v⃗2 = (0, 1, 1), v⃗3 = (0, 0, 1)}.
Solução:
Passo 1:
w⃗1 = v⃗1 = (1, 1, 1),
w⃗2 = v⃗2 − projw⃗1
v⃗2 = v⃗2 − ( v⃗2 ⋅ w⃗1
∥ w⃗1 ∥2
) w⃗1 = (0, 1, 1) − 2
3
(1, 1, 1)
= (−2
3
,
1
3
,
1
3
) ,
w⃗3 = v⃗3 − projw⃗1
v⃗3 − projw⃗2
v⃗3 = v⃗3 − ( v⃗3 ⋅ w⃗1
∥ w⃗1 ∥2
) w⃗1 − ( v⃗3 ⋅ w⃗2
∥ w⃗2 ∥2
) w⃗2
= (0, 0, 1) − 1
3
(1, 1, 1) − 1/3
2/3 (−2
3
,
1
3
,
1
3
) = (0,−1
2
,
1
2
) .
{w⃗1, w⃗2, w⃗3} é uma base ortogonal do R3
obtida a partir da base γ.
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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Bases ortogonais e ortonormais
Exemplo 28 (cont.)
Passo 2:
As normas dos vetores w⃗1, w⃗2 e w⃗3 são
∥ w⃗1 ∥=
√
3, ∥ w⃗2 ∥=
√
6
3
e ∥ w⃗3 ∥= 1√
2
.
Então, u⃗1 =
1
∥w⃗1 ∥ w⃗1 =
1√
3
(1, 1, 1) = ( 1√
3
,
1√
3
,
1√
3
), u⃗2 =
1
∥ w⃗2 ∥ w⃗2 =
3√
6
(−2
3
,
1
3
,
1
3
) = (− 2√
6
,
1√
6
,
1√
6
) e u⃗3 =
1
∥ w⃗3 ∥ w⃗3 =
√
2 (0,−1
2
,
1
2
) =
(0,−
√
2
2
,
√
2
2
) formam uma base ortonormal do R3
obtida a partir de γ.
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Os espaços Rn
Combinação linear
(In)dependência linear
Subespaço, base e dimensão
Referências
Referências
SANTOS, R.J. Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear. Belo Hori-
zonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2014.
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 8. ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria Anaĺıtica: um tratamento
vetorial. 3 ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005.
POOLE, D. Álgebra Linear. São Paulo: Pioneira Thomson Learning,
2004.
https://www.geogebra.org/
LATEX https://www.latex-project.org/
https://regijs.github.io/livros.html
https://www.geogebra.org/
https://www.latex-project.org/
	Os espaços Rn
	Combinação linear
	(In)dependência linear
	Equações paramétricas do plano
	Subespaço, base e dimensão
	Bases ortogonais e ortonormais
	Referências