Limite função polinomial e racional Cálculo 1

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1 
 
 
 
 
LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL 
 
Uma função polinomial de grau n é da forma nn
nn axaxaxaxfy  

1
1
21 ...)( , 
onde x é a variável independente, n  N, e a1, a2, ...,an são constantes reais. 
 
Exemplos: 135)( 23  xxxxf , 65)( 2  xxxg 
 
Dentre os assuntos já estudados, verificamos que o gráfico de uma função pode ser 
descrito como uma curva contínua se não apresentar “quebras” ou “buracos”. Tais 
características estão presentes nas funções polinomiais. Por esse motivo, são contínuas em 
toda parte. Quando a função é contínua, é possível calcular o limite diretamente pelo 
cálculo algébrico. 
Considere a função 6)( 2  xxxf representada 
graficamente ao lado. 
A partir da função dada, calcule: 
(a)f(4) = (b) 

)(lim
4
xf
x
 (c) 

)(lim
4
xf
x
 
(d) 

)(lim
4
xf
x
 
 
Como a função f é polinomial, podemos calcular o limite para 
qualquer valor de x, substituindo-o na função. Assim, 
6644)(lim 2
4


xf
x
 
Uma função polinomial comporta-se como o seu termo de maior grau, quando 
x ou x . Dependendo do sinal do coeficiente k de x
n
 e do grau n do polinômio, 
esse limite será  ou  . 
 
Retomando a função 6)( 2  xxxf , tem-se que: 


2l im)(lim xxf
xx 
e 

2l im)(lim xxf
xx
 
 
Exercício de Aula (EA6): (VALE 2,5 PONTOS NA N1. Entregar um por grupo.) 
1) Exercício 1) abaixo, letras c) até r). 
2) Exercício 2) abaixo, letras c) f) g) h) m). 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcular os seguintes limites: 
 
a) 

x
x
l im
 
b) 

x
x
l im
 
c) 

2l im x
x 
d) 

2l im x
x 
l) 

)5323(lim 45 xxx
x
 
m) 

)1385(lim 236 xxx
x 
n) 

)1385(lim 236 xxx
x 
o) 

)823(lim 23 xxx
x 
Disciplina: Cálculo I 
Professor: Michel Molossi Aula 5 
2 
 
e) 

4l im x
x 
f) 

4l im x
x 
g) 

52lim x
x 
h) 

52lim x
x 
i) 

67lim x
x 
j) 

67lim x
x
 
k) 

)5323(lim 45 xxx
x 
 
p) 

)823(lim 23 xxx
x 
q) 

)(lim 54 xx
x 
r) 

)153(lim 2 xx
x
 
s) 

)42(lim 32 xxx
x 
t) 

)2653(lim 35 xxx
x 
u) 

)5227(lim 42 xxx
x 
v) 

)32(lim 2456 xxxx
x 
 
2) Calcule os limites: 
 
a) 

)2(lim
2
x
x 
b) 

)13(lim
3/1
x
x
 
c) 

)12(3lim
1
xx
x 
d) 

)52(lim
7
x
x
 
e) 

)25(lim 2
2
xx
x 
f) 

)7)(408(lim
6
tt
t 
g) 

2
1
)12(3lim x
x
 
h) 

)34(lim 2
5
xx
x 
i) 

)432(lim 2
2
xx
x
 
j) 

)3(lim 3
1
x
x 
k) 

)325(lim 2
4
xx
x
 
l) 

532
1
)3()1(lim tt
t 
m) 

)62)(1(lim 323
8
xxx
x 
 
 
Gabarito: 
1) a)  b)  s)  t) u)  v) 
2) a) 4 b) 0 d) -9 e) 4 i) 10 j) 2 k) 75 l) 256 
 
 
 
FUNÇÃO RACIONAL 
 
Uma função racional é definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é, 
)(
)(
)(
xh
xg
xf  , onde g e h são polinômios, com h não nulo. 
O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os valores reais de x, 
exceto aqueles x tais que 0)( xh . 
Ao contrário das funções polinomiais, que são contínuas, as funções racionais dadas 
por 
)(
)(
)(
xh
xg
xf  , podem apresentar descontinuidade. Uma função racional é contínua em 
cada ponto em que o denominador não se anula, e tem descontinuidade nos pontos em 
que o denominador é zero. 
 
 Se em x = c, h(c)  0, então f(x) é contínua em x = c e, portanto, o limite quando x→c é 
dado algebricamente. 
 
Exemplo: A função f(x) =
2
42


x
x
é contínua no ponto x = 3, já que h(3 ) 0; neste ponto tem-se 
f(3)= 5. Assim, 
3 
 
2
4
lim
2
3 

 x
x
x
= f(3) = 5. 
 
 Se em x = c tem-se h(c) = 0 e g(c)  0 então nesse ponto a função apresenta uma 
descontinuidade com assíntota vertical. Para valores de x próximos de c (mas não 
iguais a c) a razão 
)(
)(
xh
xg
 assume valores grandes (positivos ou negativos) e o gráfico 
sobe (ou desce) indefinidamente, chegando cada vez mais próximo de uma reta vertical x 
= c. Para identificar se o limite é +∞ ou -∞ em torno das assíntotas verticais, faz-se o 
estudo de sinal do numerador e do denominador. 
 
Exemplo: 
Na função 
1
2
)(
2
2



x
xx
xf , a qual está graficamente representada abaixo, vemos que 
x = – 1 e x = 1 são assíntotas verticais (são zeros de h(x)): 



 1
2
lim
2
2
1 x
xx
x
 



 1
2
lim
2
2
1 x
xx
x
 



 1
2
lim
2
2
1 x
xx
x
 



 1
2
lim
2
2
1 x
xx
x
 
 
 Se em x = c tem-se h(c) = 0 e g(c) = 0, então tanto h quanto g são divisíveis por x–c, e o 
limite pode ser calculado de modo direto após a eliminação da indeterminação neste 
ponto. 
 
Exemplo: 
Em 
2
4
lim
2
2 

 x
x
x
, verifica-se que x = 2 anula tanto o denominador quanto o 
numerador. Ou seja: x – 2 e 42 x são divisíveis por x – 2. Sendo assim, para o 
cálculo do limite quando 2x , primeiramente deve-se eliminar a indeterminação: 
4)2(lim
2
)2)(2(
lim
2
4
lim
22
2
2







x
x
xx
x
x
xxx
 
 
Mas cuidado! Embora se possa calcular o limite em x = 2 após a indeterminação 
ser eliminada, a função continua sendo descontínua neste ponto, já que não está 
definida nele. 
 
 
LIMITES NO INFINITO DE UMA FUNÇÃO RACIONAL 
 
Nas funções racionais, ao atribuirmos para x, valores consideravelmente grandes 
(positivos ou negativos), as funções podem (mas não todas) começar ou terminar cada vez 
mais perto de uma reta horizontal y = k, chamada assíntota horizontal. Isso ocorre se 
kxf
x


)(lim
 
ou kxf
x


)(lim . 
Uma função racional comporta-se como a razão entre os termos de maior grau, no 
numerador e no denominador, quando x ou x . 
 
4 
 
Exemplo: 
Observemos e analisemos a função 
1
1
)(
2
2



x
x
xf , cujo gráfico está representado ao 
lado. 
 
Tem-se: 
11limlim
1
1
lim
2
2
2
2



 xxx x
x
x
x
11limlim
1
1
lim
2
2
2
2



 xxx x
x
x
x
 
 
 
 
 
Pode-se verificar que a assíntota horizontal está em y = 1. 
 
Basicamente podem ocorrer três situações na análise de limites no infinito de funções 
racionais: 
 se o grau de g(x) é menor do que o grau de h(x), o limite de f(x), tanto para x
quanto para x , é 0; 
 se o grau de g(x) é igual ao grau de h(x), então o limite de f(x) é dado pela razão dos 
coeficientes dos termos de maior grau; 
 se o grau de g(x), m, é maior que o grau de h(x), n, então o limite será +∞ ou -∞. Para 
identificar qual deles, g(x) e h(x) devem ser divididos por 
nx , e a análise dar-se-á com 
base no termo de maior grau resultante no numerador. 
 
Exemplos: 




2
33
2lim
2
lim
1
52
lim x
x
x
x
x
xxx
 
 






2
33
2lim
2
4
lim
12
54
lim x
x
x
x
x
xxx
 
 
 
Exercícios de Aula (EA7): (NÃO É NECESSÁRIO ENTREGAR) 
1) Exercício 5) abaixo, letras a) até e). 
2)Exercício 6) abaixo, letrasa) até d). 
3) Exercício 10) abaixo. 
4) Exercício 11) abaixo. 
 
 
Exercícios: 
1) Dada a função 
1
1
)(
2



x
x
xf , x  1, analise o comportamento da função f para valores 
próximos de x = 1. A seguir, represente a função graficamente e determine: 
a) 

)(lim
1
xf
x 
b) 

)(lim
1
xf
x 
c) 

)(lim
1
xf
x
 
 
2) Para quais valores de x há um buraco ou uma interrupção no gráfico de 
65
9
2
2



xx
x
y ? 
Em qual deles ocorre assíntota vertical? 
5 
 
 
3) Encontre 
x
xx
x 35
12
lim
23
2 


. 
 
4) Avalie os limites indicados e determine, em cada caso, se a função é contínua no ponto 
dado. 
a) )1(lim 2
2


x
x
 
b)
2
1
lim
3 

 x
x
x
 
c) 




 
 5
13
lim
2
x
x
 
d)
2
65
lim
2
2 

 x
xx
x
 e) )3(lim 24
0
xx
x


 
 
5) Calcular os seguinteslimites: 
a) 


 86
53
lim
x
x
x
 
b) 


 52
4
lim
3
2
x
xx
x
 
c) 


 1
23
lim
4
x
x
x
 
d) 


 52
13
lim
x
x
x
 
e) 


 12
2
lim
2 xx
x
x
 
l) lim𝑥→+∞
5𝑥3+3𝑥2−𝑥+1
𝑥2+3𝑥
= 
 
f) 


 3
67
lim
5
x
x
x
 
g) 


 37
6
lim
3
3
t
t
t
 
h) 
 xxx
x
x 63
7
lim
23
3
 
i) 

 6
45 3110
lim
x
xx
x
 
j) 


 xxx
xx
x 533
322
lim
23
3
 
 
k) lim𝑥→−∞
5𝑥5+3𝑥2−𝑥
𝑥3+3𝑥
= 
 
m) lim𝑥→+∞
−5𝑥3+3𝑥2−𝑥+1
𝑥2+3𝑥
= 
6) Calcule o limite, se existir. 
a) 


 9
34
lim
2
2
0 x
xx
x
 
b) 


 9
34
lim
2
2
3 x
xx
x
 
c) 


 2
4
lim
2
1 x
x
x
 
d) 


 2
4
lim
2
2 x
x
x
 
e) 


 3
96
lim
2
3 x
xx
x
 
f) 


 12
82
lim
24 xx
x
x
 
i) 
 y
y
y 5
lim
2
5
 
j) 


 5
103
lim
2
5 x
xx
x
 
k) 


 1
2
lim
2
2
1 x
xx
x
 
l) 


 232 2
42
lim
xx
x
x
 
m) 


 1
103
lim
2
1 x
xx
x
 
n) 


 1
103
lim
2
1 x
xx
x
 
6 
 
g) 


 12
82
lim
22 xx
x
x
 
h) 


 6
3
lim
2 x
x
x
 
o) 


 1
65
lim
2
1 x
xx
x
 
p) 


 3
86
lim
2
3 x
xx
x
 
 
7) Determine, em cada caso, em quais intervalos as funções são contínuas: 
a)y = x
x
3
2
1


 b)y = 
34
1
2 

xx
x
 c)y = x
2
 - x – 2 d)y = 2x
3
 – x
2
 + 3 
 
 
 
8) Com base na função 
23
385
)(
2
2



x
xx
xg , cujo gráfico segue abaixo, determine: 
 
9) Seja 








2,1
2
2,3
)(
x
x
xx
xf . Faça um esboço do gráfico da função e realize o que é solicitado: 
a)Determine )(lim )(lim
-2x2
xfexf
x  
 
b)Existe )(lim
2
xf
x
? Se existe, qual? Se não, por quê? 
c)Determine )(lim )(lim
-4x4
xfexf
x  
 
d)Existe )(lim
4
xf
x
? Se existe, qual? Se não, por quê? 
10) Dada a função 
2
3
)(



x
x
xf , encontre as assíntotas horizontal e 
vertical. A seguir, comprove o que você concluiu, observando o gráfico ao 
lado. 
 
 
11) Dada a função 
4
8
)(
2 

x
xg , encontre as 
assíntotas horizontal e vertical. A seguir, comprove o que 
você concluiu, observando o gráfico ao lado. 
 
 
 
 
a) 

)(lim xg
x
 
b) 

)(lim xg
x
 
c) a assíntota horizontal: 
7 
 
 
12) Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem: 
a)
3
5
)(


x
x
xf b)
75
32
)(



x
x
xg c)
4
3
)(
2 

x
x
xh 
d)
3
2
)(
2 


x
x
xi e)
2
12
)(
2



x
xx
xj f)
124
121
)(
2
3



x
x
xf 
g)
2
5 32
)(
xx
x
xl


 
 
Gabarito: 
1) 
 
a) 2 b) 2 c) 
2 
 
 
 
 
 
 
 
2) x = 2 e x = 3. Assíntota em x = 2. 
3)
11
1
 
4)a) 3 – contínua 
b)
5
4
– contínua 
c) -1 – contínua 
d) -1 – descontínua (f não está definida em x = 
2) 
e) 0 – contínua 
 
5 a) 
2
1
b) 0 c)  d) 
2
3
e) 0 f) g) 
7
1
 
h) 7 i) 0 j) 
3
2
 
k)  l)  m)  
6 a) -
3
1
 b) 
3
1
c) 3d) 4 e) 0 f)
7
2
g) -2 
h)
8
5
i)
2
5
j) -7 k) 
2
3
l) 
2
1
 m)  n)  
o)  p)  
7) a) }2/{  xx b)  3 e 1/
2
1
 xxx 
c) x d) x 
8) a)
3
5
b) 
3
5
c) 
3
5
 
9) a) 2)(lim
2


xf
x
; 1)(lim
2


xf
x
 
b) Não existe, pois os limites laterais são 
diferentes. 
c) 3)(lim
4


xf
x
; 3)(lim
4


xf
x
 
d) 3)(lim
4


xf
x
;pois os limites laterais são 
iguais. 
 
10) Assíntota vertical: x = - 2, Assíntota 
horizontal: y = 1 
 
11) Assíntota vertical: x = 2 e x = - 2, 
Assíntota horizontal: y = 0 
 
12) a) Assíntota vertical: x = 3, Assíntota 
horizontal: y = 5 
b) Assíntota vertical: 
5
7
x , Assíntota 
horizontal:
5
2
y 
c) Assíntota vertical: x = 2 e x = - 2, 
Assíntota horizontal: y = 0 
d) Assíntota vertical: não existe, Assíntota 
horizontal: y = 0 
e) Assíntota vertical: x = 2, Assíntota 
horizontal: não existe 
f) Assíntota vertical: não existe, Assíntota 
horizontal: não existe 
g) Assíntota vertical: x = 0 e x = 1, Assíntota 
horizontal: não existe