CV5 LIMITES E DERIVADA

Prévia do material em texto

Curso: 
Módulo: Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas
Código do Módulo
Nível: V 
Formador: dr ESMAIL 
 
Nome de formando/a:
Número: ___ 
Turma: _____ 
 
 
Título da Unidade de Competência
Descrição da Unidade de Competência:
optimização usando limites e derivadas.
Código: UC HG 03502171
Campo: Habilidades Genéricas
Data de Registo: 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas
Código do Módulo: UC HG 03502171 
ESMAIL HENRIQUES 
Nome de formando/a: ____________________________ 
 
BEIRA, 2022 
Competência Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas.
Descrição da Unidade de Competência: Nesta unidade o candidato fica apto a resolver problemas de
optimização usando limites e derivadas. 
03502171 Nível do QNQP: 
Habilidades Genéricas Sub Campo 
Data de Revisão do Registo
 
Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas 
Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas. 
Nesta unidade o candidato fica apto a resolver problemas de 
5 
Matemática 
Registo 
 2
1. HABILIDADES DE ESTUDO 
Caro estudante \ formandos! 
Para frequentar com sucesso este módulo terá que buscar através de uma leitura cuidadosa das 
fontes de consulta a maior parte da informação ligada ao assunto abordado. Para o efeito, no 
fim de cada unidade \ resultados de aprendizagem apresenta-se uma sugestão \ dúvidas de 
livros para leitura complementar. 
 Antes de resolver qualquer tarefa ou problema, o estudante \ formandos deve certificar 
se de ter compreendido a questão colocada; 
 É importante questionar se as informações colhidas na literatura são relevantes para a 
abordagem do assunto ou resolução de problemas; 
 Sempre que possível, deve fazer uma sistematização das ideias apresentada no texto. 
Desejamos - lhe muitos sucessos! 
1.2. PRECISA DE APOIO? 
Dúvidas e problemas são comuns ao longo de qualquer estudo. Em caso de dúvida numa 
matéria tente consultar os manuais e Docentes \ formadores disponíveis na instituição onde se 
encontra. 
Se tiver dúvidas na resolução de algum exercício, procure estudar os exemplos semelhantes 
apresentados no manual. Se a dúvida persistir, consulte seus colegas que entendera a matéria. 
Se a dúvida persistir, veja a resolução do exercício. 
Sempre que julgar pertinente, pode consultar o tutor que está à sua disposição na tua 
instituição. 
Não se esqueça de consultar também colegas da escola que tenham compreendido ou feito a 
cadeira de cálculo diferencial “Resolver problemas de optimização usando limites e 
derivadas”, vizinhos e até estudantes de universidades que vivam na sua zona e tenham ou 
estejam a fazer cadeiras relacionadas com cálculo diferencial. 
1.3. AVALIAÇÃO 
O Módulo de Resolver problemas de optimização usando limites e derivadas terá 4 
avaliações que deverá ser feito na instituição onde se encontra. A avaliação visa não só 
informar-nos sobre o seu desempenho nas lições, mas também estimular-lhe a rever alguns 
aspectos e a seguir em frente. 
Durante o estudo deste módulo o estudante será avaliado com base na realização de avaliação, 
caso se não alcança terá que reavaliação ou autoavaliação previstas em cada resultado de 
aprendizagem ou unidade. 
 3
LIMITES 
INTRODUÇÃO 
O estudo dos limites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e integrais. 
Neste momento, trabalharemos apenas a ideia intuitiva e informal de limite, sem as definições 
rigorosas e as demonstrações formais de suas propriedades. A ideia intuitiva de limite é 
trabalhada geometricamente por meio de sequências e pela análise do gráfico de uma função. 
A noção de limite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na 
compreensão e, consequentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no 
campo das ciências que lidam com a Matemática. O Cálculo Diferencial e Integral (CDI) é 
uma parte (um ramo) da matemática, toda ela, fundamentada no conceito de limite. 
O conceito de limite de uma função f é uma das ideias fundamentais que distinguem o Cálculo 
da Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um físico deseje obter quanto vale determinada 
medida, quando a pressão do ar é zero. Na verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então 
um procedimento a ser adotado é experimentalmente efectuar-se essas medidas com valores 
cada vez menores de pressão, se os valores desta medida tendem para um determinado 
número L, admite-se que no vácuo ela seria igual ao valor L. 
Se representarmos por x a pressão e à medida que quisermos for dada por f(x), então podemos 
representar esse resultado por: 
Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito é de 
fundamental importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que 
possuem várias aplicações na física, electricidade, mecânica, construção civil, etc. 
Breve histórico 
Uma preocupação já presente entre os gregos antigos consistia na busca de procedimentos 
para encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações 
geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos dedicaram-se, 
principalmente, ao cálculo de áreas de figuras limitadas por segmentos de recta ou arcos de 
círculo, pela redução a figuras conhecidas. 
Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras por curvas, é inevitável recorrer a 
procedimentos que se utilizem, directa ou indirectamente, do conceito de limite. Os gregos 
resolveram o problema de calcular a área do círculo pela aproximação sucessiva (método de 
exaustão) de polígonos inscritos com número cada vez maior de lados, de acordo com a 
sequência de figuras apresentada a seguir. 
 
Lxf
x


)( lim
0 
 4
 
 
Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com 
vértices no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura convergia para o 
círculo circunscrito a todos os elementos da sequência em questão. 
Deve-se a Cauchy (1789-1857), matemático francês, a formalização precisa de limite. 
 
O conceito de limite de uma função f é uma das ideias fundamentais que diferenciam o 
cálculo da álgebra e da trigonometria 
No curso de cálculo e suas aplicações procuramos apresentar a definição de limites de 
diferentes formas. Pois, quando procuramos o limite de uma função nos interessa os valores 
f(x) de uma função dada que estejam próximos de um número a, mais que não sejam 
necessariamente iguais a a. 
Para compreender melhor o conceito de limites, vamos apresentar inicialmente a noção 
intuitiva, ou seja, como era pensado o limite no desenvolvimento do cálculo no século XVIII. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
... 
 5
RESULTADO DE APRENDIZAGEM 1 
2. NOCAO DE LIMITES 
Nesta lição, você deverá prestar muita atenção aos seguintes termos e conceitos de 
limite: Noção intuitiva de limite, Interpretação numérica de limites, Interpretação gráfica de 
limites e limites laterais. 
OBJECTIVOS 
 Explica limite duma função quando a variável tende para um valor finito. 
CONCEITO DE LIMITES 
O conceito de limite de uma função f é uma das idéias fundamentais que diferenciam o 
cálculo da álgebra e da trigonometria 
No curso de cálculo e suas aplicações procuramos apresentar a definição de limites de 
diferentes formas. Pois, quando procuramos o limite de uma função nos interessa os valores 
f(x) de uma função dada que estejam próximos de um número a, mais que não sejam 
necessariamente iguais a a. 
Para compreender melhor o conceito de limites, vamos apresentar inicialmente a noção 
intuitiva, ou seja, como era pensado o limite no desenvolvimento do cálculo no século XVIII. 
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
Dizemos que a função f(x) têm por limite o número L quando x tende para o número p, e 
escrevemos: L)x(flim
px


 
Aplicando o conceito de Limites apresentamos alguns exemplos: 
Nesses exemplos,analise os valores f(x) de uma função dada, que estejam próximos de um 
número a, mas que não sejam necessariamente iguais a a. 
INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE LIMITES 
Consideremos a função f definida por 
x
xf
1
)(  e analisemos, mediante uma tabela, o seu 
comportamento quando os valores de crescem ilimitadamente através de valores positivos. 
x 
4
1
 
3
1
 
2
1
 
1 2 3 4 10 100 1.000 10.000 100.000 
 4 3 2 1 
2
1
 
3
1
 
4
1
 
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 
Pela tabela constatamos que quando cresce ilimitadamente através de valores positivos, os 
valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos 
tal fato por: , que se lê: “limite de f de , quando tende a mais infinito, é 
igual a zero”. 
x
)(xf
x
0)(lim 

xf
x
x x
 6
Observação: Quando uma variável independente está crescendo ilimitadamente através de 
valores positivos, escrevemos: “ ”. Devemos enfatizar que  não é um número 
real. O símbolo  indica, portanto, o comportamento da variável independente . 
Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável 
decrescem ilimitadamente através de valores negativos. 
x 
-
4
1
 -
3
1
 -
2
1
 
-1 -2 -3 -4 -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000 
 -4 -3 -2 -1 
-
2
1
 -
3
1
 -
4
1
 
-0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 
Observando a tabela anterior verificamos que à medida que os valores de decrescem 
ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez 
mais de 0 (zero). Usando o simbolismo “ ” para indicar os valores de que estão 
decrescendo ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um 
0)(lim 

xf
x
, que se lê: “limite de f de , quando tende a menos infinito, é igual a zero. 
Pelo gráfico da função 
x
xf
1
)(  cujo 
esboço é indicado pela figura ao lado, 
notamos que quando x cresce 
ilimitadamente através de valores positivos 
( ), os valores da função )(xf 
aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E, 
portanto, simbolicamente podemos escrever 
 ou 0
1
lim 
 xx
. 
 
 
 
 
Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura 
indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores 
negativos ( ), os valores da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). 
Simbolicamente, escrevemos: 0)(lim 

xf
x
ou 0
1
lim 
 xx
 
 
 
 
 
x
x
x
x
)(xf
x
x x
x x
x
0)(lim 

xf
x
x
 7
Exemplos 1: 
1) Observe o gráfico da função 
x
xf
1
1)(  apresentado na Figura a seguir: 
 
 
 
 
Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor 1, quando x tende 
para o infinito. Isto é, 1y quando .x  Denotamos por 1
1
1lim 






 xx
 
Exemplo 2: 
x
xf
1
)(  Com 0a 
 Neste caso, a não está no domínio de f, isto é, f (0) não é definido. Observe que a medida que 
x está cada vez mais próximo de 0, com 0x , para qual valor tende f (x)? 
Inicialmente vamos construir duas tabelas de valores de ))(,( xfx . Na primeira, x 
aproximando de zero por valores negativos e na segunda, x aproximando de zero por valores 
positivos 
x ... -3 -2 -1 1/2 1/4 1/8 1/16 .. 1/256 ... -1/2048 ... 0 
y=f(x) ... 1/3 1/2 -1 -2 -4 -8 -16 ... -256 ... -2048 ... f(0) não é definida 
 
x ... 3 2 1 1/2 1/4 1/8 1/16 ... 1/256 ... 1/2048 ... 0 
y=f(x) ... 1/3 ½ 1 2 4 8 16 .. 256 .... 2048 ... f(0) não é definida 
 
Observem as duas tabelas: 
 Quando 0x por valores negativos, y e escrevemos 





 xx
1
lim
0
, 
denominado de limite a esquerda do número real a. 
 Quando 0x por valores positivos, y e escrevemos 





 xx
1
lim
0
 , 
denominado de limite à direita do número real a. 
 
Considerando ainda a função 
x 1 2 3 
y =f(x) 1 1/2 1/3 
 
x -1 - 2 - 3 
y =f(x) -1 -1/2 -1/3 
Vejam que: 
 Quando x , 
 Quando x , y
Como em ambos os casos y
Observe o gráfico da função 
 
 
Dizemos que a função f(x)
escrevemos: L)x(flim
px


 
Nota: Os valores de x podem se aproximar do valor de 
estudaremos estes casos precisamente em limites laterais.
Exemplo 2: 
1) Seja a função f(x) = 2x+1,
Solução: 
Queremos determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja 
pela direita(valores superiores a 2) ou pela esquerda (valores inferiores a 2)
 
Considerando ainda a função 
x
xf
1
)(  , elaboramos outras tabelas. 
4 5 ... 100 ... 1000 
1/4 1/5 ... 1/100 1/1000 
- 4 - 5 ... 100 ... 1000 
-1/4 -1/5 ... -1/100 -1/1000 
0y 
0y 
0y podemos escrever 0
1
lim 





 xx
Observe o gráfico da função 
x
xf
1
)( 
 
 
f(x) têm por limite o número L quando x tende para o número 
 
valores de x podem se aproximar do valor de p pela direita ou pela esquerda, 
estudaremos estes casos precisamente em limites laterais. 
f(x) = 2x+1, calcule, utilizando a ideia intuitiva de limite, 
Queremos determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja 
pela direita(valores superiores a 2) ou pela esquerda (valores inferiores a 2)
8
 
... 100000 ... 
 1/100000 
... 100000 ... 
 -1/100000 
0
 
 
tende para o número p, e 
direita ou pela esquerda, 
calcule, utilizando a ideia intuitiva de limite, )1x2(lim
2x


. 
Queremos determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja 
pela direita(valores superiores a 2) ou pela esquerda (valores inferiores a 2) 
 9
Esquerda Direita 
x 2x+1 x 2x+1 
1 2.1+1 = 3 3 2.3+1 = 7 
1,5 2.1,5+1 = 4 2,5 2.2,5+1 = 6 
1,7 2.1,7+1 = 4,4 2,1 2.2,1+1 = 5,2 
1,8 2.1,8+1 = 4,6 2,01 2.2,01+1 = 5,02 
1,9 2.1,9+1 = 4,8 2,001 2.2,001+1 = 5,002 
1,95 2.1,95+1 = 4,9 2,0001 2.2,0001+1 = 5,0002 
1,99 2.1,99+1 = 4,98 2,00001 2.2,00001+1 = 5,00002 
... ... ... ... 
    
2 5 2 5 
 
 
Assim, substituindo estes valores no gráfico observamos que quando x se aproxima de 2 a 
função f(x) se aproxima de 5. 
Como o Domínio de f(x) = 2x+1 é todos os Reais temos 5122)12(lim
2


x
x
 
estudaremos estes casos precisamente em interpretação numérica. 
INTERPRETAÇÃO NUMÉRICA DE LIMITES 
2) )4x(lim 2
1x


=12 – 4 = 1 – 4 = -3, pois o domínio de f(x) = x2 – 4 é todos os Reais 
3) 422)2x(lim
2x
)2x)(2x(
lim
2x
4x
lim
2x2x
2
2x







, pois }2{)f(D  
4) 4
1
4
32
4
3x
4
lim
)3x)(2x(
)2x(4
lim
6x5x
8x4
lim
2x2x22x













, pois 
}3 2,{)f(D  
5) 63339)3x(lim
)9x(
)3x)(9x(
lim
)3x)(3x(
)3x)(9x(
lim
3x
9x
lim
9x9x9x9x










 
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
8
e ix o d a s a b s c is s a s , X
e
ix
o
 d
a
s
 o
rd
e
n
a
d
a
s
, 
Y
Y = 2 X + 1
 10
6) 6
1
6
23
6
2
6
lim
)3()2(
)3(6
lim
)3()2(
186
lim
333










 xxx
x
xx
x
xxx
 
7) 
5
3
10
6
55
6
5
6
lim
)5()5(
)5(6
lim
25
306
lim
5525










 xxx
x
x
x
xxx
 
LIMITES LATERAIS 
Vimos que para determinar o limite de uma função quando x tende para a, devemos verificar 
o comportamento da função para valores de x muito próximos de a, maiores ou menores que 
a. 
O valor do qual f se aproxima quando o valor de x se aproxima de a por valores menores do 
que a é denominado limite à esquerda de f. Analogamente, o valor do qual f se aproxima 
quando x tende para a através de valores maiores que a é o limite à direita de f. 
Estes limites, são chamados limites laterais. 
 Limite à esquerda: )(lim
 
xf
ax 
, teremos x < a logo x = a – h, onde h > 0 é 
muito pequeno. 
 Limite à direita: )x(flim
ax 
, teremos x > a logo x = a + h, onde h > 0 é muito 
pequeno. 
Quando temos o gráfico de uma função ou temos esta função definidapor várias sentenças 
fica simples calcular os limites laterais. 
Perceba que o limite dessa função para x tendendo a existe, embora a função não esteja 
definida no ponto x = a 
De forma genérica, escrevemos: Lxf
ax


)(lim 
De acordo com os exemplos apresentados anteriormente no limite intuitiva, nota-se que a 
ideia de limite de uma função f, quando x tende para a, depende somente dos valores de f em 
valores próximos de a, o valor de f(a) é irrelevante. 
Nota: 












L
Lxf
Lxf
Lxf
ax
ax
ax
,
)(lim
)(lim
)(lim 
Exemplos 2: 
1. Seja a função definida pelo gráfico da Figura a seguir, calcule: 
)(lim))(lim)
1 1 
xfbxfa
xx  
 
 11
 
Solução: 
Observando o gráfico, podemos concluir que: 3)(lim5)(lim
1 1 

 
xfexf
xx
 
Logo não existe o limite desta função quando x tende a 1. 
2. Seja a função: 









 2 x para ,x-9
2 xpara , 2
2x para, 1
)(
2
2x
xf Calcule: 
 )(lim (c)
 )(lim)(
)(lim)(
2 
2 
2 
xf
xfb
xfa
x
x
x





 
Solução: 
a) Quando  2x significa x > 2 logo 29)( xxf  assim 52-9 x-9lim 22
2

x
 
b) Quando  2x significa x < 2 logo 1)( 2  xxf assim 
512 1xlim 22
2 

x
 
c) Como os limites laterais são iguais, concluímos que .5)(lim
2


xf
x
 
 
Exemplo 2: 
Considera a função 






3,,73
3,,1
)(
xsex
xsex
xf 
 Quando tomamos valores de x cada vez mais próximos x = 3 pelo seu lado esquerdo, o 
valor de f(x) aproxima de 2. e podemos escrever 2)1(lim)(lim
33

 
xxf
xx
 
 Quando tomamos valores de x cada vez mais próximos de x = 3 pelo seu lado direito, 
o valor de f(x) aproxima também de 2 e podemos escrever 
2)73(lim)(lim
33

 
xxf
xx
 
 12
No caso de 2)(lim
3


xf
x
, pode-se dizer que Lxf
x


)(lim
3
, portanto o limite existe, caso a 
contrario o limite não existe nesse ponto definido. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13
RESULTADO DE APRENDIZAGEM 2 
3. CALCULO LIMITES DE FUNÇÕES SIMPLES 
Nesta lição, você deverá prestar muita atenção em: Propriedades dos limites, Cálculo de 
limites e Problemas que se traduzem por um cálculo de limites. 
OBJECTIVOS 
a) Calcular limites simples quando a variável tende para um número finito; 
b) Resolver problemas usando o cálculo de limites. Discute e interpreta o resultado. 
 
PROPRIEDADES DE LIMITES 
A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem 
utilizar a pesquisa do número  que aparece na definição de limite. 
Propriedade 1: Teorema da Unicidade do limite 
Se 1)(lim Lxf
ax


 e 2)(lim Lxf
ax


, então .21 LL  
Propriedade 2: limite de um constante 
Sejam a e c números reais quaisquer, então cc
ax

 
lim isto é o limite de uma constante é a 
própria constante. 
Exemplo: lim�→� 4 = 4 
Propriedade 3: limite de um polinómio do 1ª grau 
Se a, b, m são números reais, então: bmabmx
ax


)(lim 
 
 
Exemplo: 754.3)53(lim
4 


x
x
 
Propriedade 3: 
 Se ,)(lim e )(lim
 
MxgLxf
axax


 então: 
1. Limites de adição de duas funções diferentes 
 )]()([lim
 
MLxgxf
ax

 Ou 
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

 
Exemplo: 
2. Limites de produto de duas funções diferentes 
 )]()([lim
 
MLxgxf
ax

 Ou 
  )(lim).(lim)().(lim xgxfxgxf
axaxax 

 
Exemplo: 
71.7)43.(7)4)1(3).(81()43(lim).8(lim)43).(8(lim
111


xxxx
xxx 
 14
3. Limites de quociente de duas funções diferentes 
0M que desde 
M
L
=
)(
)(
lim
 

 xg
xf
ax
Ou )(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax









, desde que 0)(lim 

xg
ax
 
Exemplo: 
7
17
32.2
72.5
)32(lim
)75(lim
32
75
lim
2
2
2











 x
x
x
x
x
x
x
 
4. Limites de uma potência 
  n) positivo inteiro p/ ( )(lim
 


nn
ax
Lxf 
Exemplo:   )1)(1).(1).(1(lim1lim
3
4
3


xxxxx
xx
 
= 2564.4.4.4)13).(13).(13).(13()1(lim).1(lim).1(lim).1(lim
3333


xxxx
xxxx
 
5. Limites de um radical 
par n p/ 0 L que desde ,)(lim
 


nn
ax
Lxf
 
Ou
 
Se 0)(lim 

xf
ax
 e n um número inteiro ou se 0)(lim 

xf
ax
 e n é um número inteiro positivo 
Impar, n
ax
n
ax
xfxf

 )(lim)(lim 
Exemplo: 
4649207595.45.3)943(lim943lim 333 23 2
5
3 2
5


xxxx
xx
 
6. Limites de exponencial 
  0 L que desde , .ln)(ln lim
 


Lxf
ax Ou 
Se 0)(lim 

xf
ax
,    )(limln)(lnlim xfxf
axax 

 
Exemplo:       )4ln()31ln(31ln3limln3lnlim 22
1
2
1


xx
xx
 
 
Exemplo: Determine o seguinte limite: 


)13(lim 2
2 
xx
x
112.321lim3limlim 2
2
2 2 
2
2 
3


P
xxx
P
xx 
CÁLCULO DE LIMITES 
Muitas funções podem ser obtidas fazendo somas, diferenças, produtos, quocientes, e 
potencias de funções mais simples. Para fazer o cálculo de limites temos propriedades que 
podem ser usadas para simplificar funções mais elaboradas. 
 15
Há certos limites mesmos aplicando propriedade encontramos no final desta natureza 
�
�
�
; 	0�; 1�;+∞−∞; 0 × ∞	;
�
�
� e este tipo de solução chama-se indeterminação. 
A seguir veremos cada tipo de indeterminada e seus exemplos. 
LIMITES INDETERMINADOS 
Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar 
tal procedimento nos deparamos com resultados do tipo 
0
0
 ou .


 
Exemplo: 
1) Calcular o limite abaixo: 
4
2
lim
2
2
2 

 x
xx
x
 
Solução: 
Seja f(x) = x2 - x – 2 e g(x) = x2 - 4. 
Então: 
f(2) = 22- 2 - 2 = 0 e g(2) = 22 - 4 = 0 
Assim, ao substituirmos directo teríamos uma indeterminação do tipo 
0
0
, logo tal 
procedimento não pode ser utilizado. 
No caso de indeterminações do tipo 
0
0
 ou 


 há vários métodos que podem ser aplicados de 
acordo com as funções envolvidas. Futuramente, utilizando-se de derivadas apresentaremos 
um método prático para resolver tais casos, método este conhecido como regra de 
L’Hospital. 
Quando efectuando alguns cálculos se determina o limites diz-se que se levantou a 
indeterminação. 
LIMITE CUJA INDETERMINAÇÃO É INFINITOS “LIMITES FINITOS” 
Dicas “Bits” 
 Limite x tende a infinito “� → +∞" quando a maior expoente “grau” se encontra 
no numerador o limite é igual +∞,	se “� → −∞"	é igual −∞ e se “� → ∞" é igual a 
∞. 
 Limite x tende a infinito “� → +∞" quando a maior expoente “grau” se encontra 
no denominador o limite é igual �,	se “� → −∞"	é igual� e se “� → ∞" é igual a �. 
 Limite x tende a infinito “� → +∞" quando a maior expoente “grau” se encontra 
no numerador o limite é igual a coeficiente ,	 se “ � → −∞"	 é igual a 
�����	����������� e se “� → ∞" é igual a �����������. 
 16
Indeterminação +∞−∞ 
Normalmente, a indeterminação +∞−∞ surge no cálculo do limite de uma função 
polinomial ou de uma função irracional. 
A estratégia passa levantar a indeterminação depende do caso em estudo. 
A expressão algébrica da função é uma função polinomial racional. 
Exemplo: lim�→��(3�
� − 2� + 7) = 	 [∞ −∞] 
Resolução: 
Colocando em evidencia a maior potencia de x vem: 
lim
�→��
(3�� − 2� + 7) = lim
�→��
�3�� �1 −
2
3�
+
2
3��
�� = 3(+∞)� × (1 − 0 + 0) = +∞ 
Em geral, teremos: 
Consideremos a função polinomial 13764)( 23  xxxxP , podemos escrevê-la na 
seguinte forma: 







32
3
4
13
4
7
4
6
14)(
xxx
xxP Portanto, 







 32
3
4
13
4
7
4
6
1lim)4(lim)(lim
xxx
xxP
xxx
 
Ora, é claro que: 1
4
13
4
7
4
6
1lim
32







 xxxx
 
Temos, então: )4(lim)(lim 3xxP
xx


 
Assim, temos dois casos: 

)4(lim)(lim 3xxP
xx
 e

)4(lim)(lim 3xxP
xx
 
Generalizando, sendo 01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 

 , podemos sempre 
escrever:
 
n
n
xx
xaxP

 lim)(lim 
Uma função polinomial admite, quando � → +∞ ou quando � → −∞ ou ainda quando 
� → ∞, o mesmo limite que seu monómio de maior grau. 
A expressão algébrica da função é uma função polinomial irracional. 
Para levantar a indeterminação, usa-se a estratégia de multiplicar e dividir a expressão pelo 
binómio conjugado. 
Dada a função racional 
)(
)(
)(
xQ
xP
xf  , onde P e Q são funções polinomiais em x com: 
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 

 e 01
2
2
1
1 ...)( bxbxbxbxbxQ
m
m
m
m 

 
Sendo 0na e .0mb Tem-se então que: 
 17
mn
x
m
n
m
m
n
n
xm
m
x
n
n
x
x
x
xx
x
b
a
xb
xa
xb
xa
xQ
xP
xQ
xP
xf 






 limlim
lim
lim
)(lim
)(lim
)(
)(
lim)(lim 
Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados: 
1o) 

)(lim xfmn
x
 
2o) 0)(lim 

xfmn
x
 
3o) 
m
n
x b
a
xfmn 

)(lim 
Exemplos: 
1) 



x
x
x
xx
xxx
xxx
lim
9
10
9
10
lim
4109
115810
lim
2
3
2
23
 
2) 0015
1
lim15
15
lim
21012
1196815
lim
4
3
24
23





 xx
x
xxx
xxx
xxx
 
3) 
5
7
1lim
5
7
5
7
lim
58145
21187
lim
3
3
23
23



 xxx x
x
xxx
xxx
 
4) Calcule 
1
lim
2  x
x
x
 
Solução: 
Para calcularmos este limite, escrevemos 2xx  ( ,0x pois )x e então dividimos o 
numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por .2x 
1
1
1
1
lim
1
lim
1
lim
1
lim
222
2
2
2
2
2
2







 
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
5) Calcule xxx
x


43lim 2 
Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por xxx  432 , temos: 
       xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxxx 








 43
43
lim
43
43
lim
43
43
43lim43lim
22
22
2
2
22
 
Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem: 
 
2
3
11
3
1
43
1
4
3
lim
43
43
lim43lim
2222
2
2 









xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xxx
xxx
 
 
 
 
 18
Indeterminação 
∞
∞
 
Esta indeterminação resulta do calculo do limite quando � → ∞ de uma função racional. 
Exemplos: lim�→�∞
������
���������
 
Solução: 
Antes de partir para calculo, observa só, o expoente de numerador e de denominador são 
iguais que é 3, de acordo com dica o limite a coeficiente, o coeficiente do limite é 
�
�
, esta é 
solução final, mas toma cuidado mesmo tender a mais infinito se o coeficiente é negativa e a 
solução é negativa, (lim�→�∞
�������
���������
= −
�
�
) e se (lim�→�∞
������
���������
= −
�
�
) e se 
(lim�→�∞
�������
���������
=
�
�
), sempre tem tomar cuidado nesse tipo de caso. 
Agora vamos ao cálculo da nossa questão. 
lim
�→�∞
2�� − 3�
5�� + 3�� + 1
 
Tem vários métodos para calcular este limite tais como: simplificação, L’Hospital, levantar 
indeterminação … 
Vamos levantar indeterminação 
lim
�→�∞
2�� − 3�
5�� + 3�� + 1
= �
∞
∞
� 
lim
�→�∞
2��
��
−
3�
��
5��
��
+
3��
��
+
1
��
=
2 − 0
5 + 0 + 0
=
2
5
 
Indeterminação 
�
�
 
Se depois de efectuar os cálculos possíveis obtemos uma indeterminação do tipo 
�
�
 é porque a 
fracção não é irredutível. 
O valor para o qual x esta a tender é raiz do numerador e do denominador. 
Normalmente, consegue-se levantar a indeterminação, simplificando a fracção, multiplicando 
em cima e em baixo pelo conjugado ou pondo em evidência a menor potência de x. 
Exemplo: lim�→�
����
���
 
Solução: 
lim
�→�
�� − 1
1 − �
= �
�
�
� 
Usando método de simplificação teremos: 
lim
�→�
�� − 1
1 + �
=
(� − 1)(� + 1)
−(1 − �)
=
� + 1
−1
=
1 + 1
−1
=
2
−1
= −2 
 19
Limites de expressões com exponenciais e logaritmos 
Propriedade 
1. lim�→�
����
�
= 1 
2. lim�→�∞
��
��
= +∞ , � ∈ � 
3. lim�→�
���
���
= 0 
4. lim�→�
��(���)
�
= 1 
5. lim�→�∞
�� �
�
= 0 
Limites notáveis 
Propriedade 
1. lim�→�
����
�
= 1 2. lim�→�
���
�
= 1 3. lim�→�∞ �1 +
�
�
�
�
= � 
 
O Número “e”. 
No estudo dos logaritmos (no modulo Resolver problemas de crescimento logarítmico) já nos 
referimos ao número e. Esse número é a base do sistema de logaritmos naturais ou neperianos. 
O número e pode ser obtido por meio de uma sucessão notável (sucessão de Euler), cujo 
termo geral é: 
n
n
n
a 






1
1 
Tomando alguns valores naturais, para exemplificar, temos: 
 2
1
1
1 1
1
1 





 an 
 25,2
2
1
1 2
2
2 





 an 
 ... 
 ean n  , 
Ou seja: 
Notamos que aumentando o valor de n, infinitamente, an tende ao valor aproximado de 
2,718182..., ou ainda: ...5907182818284,2
1
1lim 







e
x
x
x
 
Limite Exponencial Fundamental 
Teorema: .......718281828,2
1
1lim
 x








e
x
x
 
Lembre-se: O número “e” é irracional. 
Dois limites podem ser obtidos como consequência do limite exponencial fundamental. 
Primeira Consequência: 
De fato, fazendo 
x
u
1
  , e observando que quando , ficamos com: 
 
  ex x
x
 1 lim
1
0 


x
u

1
 u 0x
 20
 
Que é o próprio limite exponencial fundamental. 
Segunda Consequência: 
Fazendo , e é evidente que quando 0.u ,0 x Daí, 
 
Exemplos: Calcule 
Solução: 
1. Podemos escrever: 
 
Fazendo ,ukx  resulta que se 0u 0x  portanto, ficamos com: 
    ku
ux
eukx
x








k 1
0 0 
 1 lim1 lim
1
 
2. Calcule 
Solução: Façamos 
Quando logo: 
 
O limite ����→�� �� +
�
�
�
�
ou ����→�(� + �)	
�
� é mais um exemplo de indeterminação do 
tipo �∞. 
Para levantar esta indeterminação, geralmente, utiliza-se a seguir formula: 
���[�
�→�
(�)]�(�) = �
���[�
�→�
(�)]�(�)
 
LIMITES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
  e
u
x x
x








 
1
1 lim 1 lim
u
u 
1
0 
1 
1e
 lim
x
0 


 xx
)1ln(11  uxueue xx






































 

u
1000 
x
0 
)1ln( 
1
 lim
)1ln(
u
1
 
1
 lim
1)(uln
u
 lim 
1e
 lim
uu
x uuux
1
1
1
ln
1
u)(1 limln
1
u)ln(1 lim
1
 
u
1
0 
u
1
0 






























e
uu
  .,1 lim *
0 
1


kkx
x
x
     
k
kxkx
k
x
kxkxkx
 11
111 






.
1
ln
lim
1  x
x
x
.11  uxxu
,01  ux
.1ln)1(limln)1(lnlim)1(ln
1
lim
)1(ln
lim
1
ln
lim
1
0
1
0001



























 






 
euuu
uu
u
x
x
u
u
u
uuux
 21
(Teorema: Limite Trigonométrico Fundamental: 
Uma demonstração: No círculo trigonométrico (o raio é a unidade), seja um arco de x 
radianos, com .
2
0

 x Na figura a seguir: .e,ˆ ATxtgPMxsenMAx  
 
 
Lembre-se: 
Área do triângulo 
 AlturaBaseA 
2
1
 
 Área do sector 
 ArcoRaioASetor 
2)(
2
1
 
Observe que o triângulo está contido no sector circular o qual por sua vez está 
contido no triângulo .oAT Assim, podemos afirmar que: área  oAM  área sector  
área  oAT isto é: Mas, 1oA Logo: 
ATxPM  ou, Dividindo termo a termo por ,xsen temos: 

xsen
xtg
xsen
x
xsen
xsen
xxsen
x
cos
1
1  
Tomando os inversos e invertendo a desigualdade, ficamos com: 
1coscos1 
x
xsen
xx
x
xsen
 Sabemos que, quando .1cos,0  xx 
Então, para x tendendo a zero, 
x
xsen
 permanece entre xcos e 1 
E, portanto: A seguir, construímos um quadro para confirmar o que acabamos de demonstrar: 
x (em radianos) 0,2 0,1 5,0 2,0 1,0 001,0 ... x 0 
x
xsen
xf )( 
0,4546 0,8414 0,9588 0,9933 0,9983 0,9999 
 
... 
 
f(x)  1 
Assim, quando x 0 (emradianos), temos que: f (x)  1, ou seja, .1lim
0

 x
xsen
x
 
 
 
Exemplos: 
1lim
0


 
x sen
 
 xx
MÂ
oAM ,oAM
oAM
AToAxoAPMoA 
2
1
)(
2
1
2
1 2
xtgxxsen 
 22
1) Calcule . 
x
 lim
0 xsenx
 
 Solução: 
2) Calcule . 
xtg
 lim
0 xx
 
 Solução: 
 
 
3) 1lim
3
3
lim
00

 u
usen
x
xsen
ux
. 
 Nota: 
 
 
4) . 
 Nota: 
5) 1limlim
02
2
0

 x
xsen
x
xsen
x
xsen
xx
. 
6) Calcule 
x
x
x
cos1
lim
0


. 
Solução: 



























 )cos1(
lim
)cos1(
)cos1(
lim
)cos1(
)cos1()cos1(
lim
cos1
lim
2
0
2
000 xx
xsen
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
001
11
0
1
0cos1
0
1
cos1
limlim
cos1
lim
000


























sen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxx
 
 
7) Calcule 
x
xsen
x 5
3
lim
0
. 
Solução: 5
3
1
5
3
3
3
lim
5
3
5
3
3
3
lim
5
3
lim
000













 x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxx
 
 
1
1
1
lim
11
 lim 
x
 lim
0 
0 0 



x
xsen
x
xsenxsen
x
xx
1
1
1
1
cos
1
lim lim
cos
1
 
x
xsen
 lim
1
 
xcos
xsen
 lim 
xcos
xsen
 lim 
xtg
 lim
0 0 0 0 0 0 













 xx
xsen
xxxx xxxxxx
00,3  uxxu
*
00
k ,1limlim 
 u
usen
kx
kxsen
ux
00,  uxkxu
 
 23
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Calcule os seguintes limites 
a) 
5x
4x5x
lim
2
2
3x 

 b) 35
23
lim
2 

 x
x
x
 
c) 62
3
lim
2 

 x
x
x
 
d) x
x
x 

 2
34
lim
 e) 2x
10x7x
lim
2
2x 

 f) 3x
3x2x
lim
2
3x 

 
g) xx
x2x5xx3
lim
2
234
0x 


 
h) 1x2x
3x4x
lim
5
3
1x 


 
i) 6x
36x
lim
2
6x 


 
j) 2x3x
1x
lim
2
2
1x 


 
k) 2x
32x
lim
5
2x 


 
l) 27x54x36x10x
27x18x8x
lim
234
234
3x 


 
m) 4x2
2x
lim
2x 


 
n) 2x
4x
lim
4x 


 
o) x42
x
lim
0x 
 
p) x22
x
lim
0x 
 
q) 1x
x32
lim
1x 


 
r) 11x
x
lim
0x 
 
s) 2x
3x21
lim
4x 


 
t) 11x5x3
22x3x2
lim
2
2
2x 


 
 
Respostas: 
a) 8 b) 4 c) - 5 - 26 d) 5 e) -3 f) -4 g) -2 h) – 0,33 i) 12 j) -2 
k) 80 l) 2 m) 0 n) 4 o) 4 p) 22 
q) -0,25 r) 2 s) 1,33 t) 1,35 
 
2. Calcule os limites indicados 
a) 43
3
lim
2
2


 x
xx
x
 b) 
5724)( 23  xxxxf 
c)
)1x2x2x4(lim 23
2x


 
d) 
5x
4x5x
lim
2
2
3x 


 
e) 
xx
x


1lim 2
 f) 
xxx
x


2lim
 
g) xx
1
lim

 
h) xx
1
2lim 

 
i) 
4lim 2 

xx
x
 
j) 
2
2
1lim 






 xx
 
k) 
3
1
1lim 






 xx
 
l) 
3
1
1lim 






 xx
 
m) 











x
x
e
1
3lim n) 
 1lnlim 2 

x
x
 
o) 
 1lnlim 2 

x
x
 
 
 24
2) 3. A variável tende para um valor infinito 
a) 
)1x2x3x5(lim 23
x


 
b) 
)1x2xx2(lim 245
x


 
c) 
)1x2x3(lim 24
x


 
d) 
)8x5x3(lim 24
x

 e) 
)2x3x5(lim 3
x

 f) 
)2x3x(lim 2
x

 
g) 3xx
1xx3x2
lim
2
23
x 


 
h) 1x
1x2
lim
2
2
x 


 
i) 3x
x3
lim
2x 
 
j) 3xx5x9
1x2x5x3
lim
23
23
x 


 
k) 2x
32x
lim
5
2x 


 
l) 7x8x4
8x5x2
lim
5
23
x 


 
m) 7x
1x2x5
lim
23
x 


 
n) 
33
2
x x)1x(
1xx
lim



 
o) )1x4)(1x3(x2
)2x3(
lim
3
x 


 
p) 1x
1xx
lim
2
x 


 
q) 1x
1xx
lim
2
x 


 
r) 1x
5x3x2
lim
4
2
x 


 
s) 
)1x2x3x5(lim 23
x


 
t) 
)1x2xx2(lim 245
x


 u) )1x2xx2(lim 245
x


 
3) 
1. Calcule os seguintes limites trigonométricas 
a) x2
x3sen
lim
0x
 
b) xsen.x
xcos1
lim
0x


 
c) 
20x x
xsec1
lim


 
d) x
xsentgx
lim
0x

 e) tgx1
xcosxsen
lim
4
π
x 

 f) x
asen)axsen(
lim
0x

 
g) x
acos)axcos(
lim
0x


 
h) xπ
2
x
sen1
lim
πx 


 i) 
20x x3
x2cos1
lim


 
j) x5tg
x3tg
lim
0x
 
k) xsen
x2senx3sen
lim
0x


 
l) x4sen
x3cosx5cos
lim
0x


 
m) x3senx
x2senx
lim
0x 


 
n) x3sen
x4sen
lim
0x
 
o) x3
x2tg
lim
0x
 
p) xsenx
xsenx
lim
0x 


 
q) xsenxcos
x2cos
lim
4
π
x 
 
r) xsen
xsentgx
lim
20x


 
s) x4
xsen
lim
0x
 
t) x4
xsen
lim
0x
 u) 
x
xcos1
lim
0x


 
 
 
 
 25
4) Calcule os seguintes limites: 
a) 
 xtg
x
 lim
0 x
 b) 
2xsen 
 lim
0 xx
 c) 
xsenx 5
4xsen 
 lim
0 
 d) 
3
hsen 
 lim
0 hh
 
e) 
2
2
0 
cos-1
 lim
x
x
x
 f) 
1 cos
x-
 lim
2
2
0  xx
 g) 
xx cos1
senxx 
 lim
0 
 
 
Resposta: a) 1 b) 2 c) 4/5 d) 1/3 e) 1 f) 1 
g) 2 
5) Calcule os seguintes limites: 
a) 
2
 n
1
1 lim









n
n
 b) 
n
3
1 lim
 
n
n








 c) 
x1
x
 lim
 
x
x







 
d) 
x
5
1 lim
1
 









x
x
 e)  
xsen
xsen
x
1
 1 lim
 

  
Resposta: a) e b) e3 c) e-1 d) e5 
e) e 
6) Calcule os limites abaixo: 
a) 
 
 
 x 1
ln 2 x
lim Fazer x+ 1 = u
x+1

 b) 
 
 
 x 2
ln 3 x
lim Fazer x+ 2 = u
x+2

 
c) 
x
 x 0
2 1
lim 
x

 d) 
senx
 x 0
e 1
lim 
senx

 
e) x 0
sen5x
lim 
tg4x f) 
 x
2
cos x
lim 
x
2




 
g) 
 2
 x 0
ln 1 x
lim 
x

 h) 
3
 x 1
ln x
lim 
x 1  
i)  cossec x
 x 0
lim 1+senx ( Fazer sen x = u)

 j) 
2 x 0
1 cos x
lim 
x

 
k) 
3 x 0
tgx senx
lim 
x

 l) 
1
x 4
 x 4
1+x
lim 
5


 
 
 
 
m) 
x
x x 0
10 1
lim 
5 1


(dividir por x Num. e Den.) n) 
x
 x
2
lim 1+ 
x
 
 
 
 
Resposta: a) 1 b) 1 c) 1/ e2log d) 1 e) 5/4 f) 1 
 g) 2 
 h) 3 i) e j) 1/2 k) 1/2 l) 5 e m) 1/ 5log
 n) e2 
 
 26 
PROBLEMAS QUE SE TRADUZEM POR UM CÁLCULO DE LIMITES 
Usamos a palavra limite no nosso quotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser 
eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado. 
Exemplos: 
1. Injectando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele 
estoura. Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha. 
2. Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o limite de carga que este suporta. 
3. No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de 
combustível necessário para que a aeronave entre em órbita. 
4. Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais 
potentes e compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha 
que x meses a partir de agora, o preço de certo modelo seja de 
1
30
40)(


x
xP unidades 
monetárias (u. m.). 
a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) = $ 45. 
b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) = 45 - 46 = $ 1. 
c) Quando o preço será de $ 43 u. m. Resposta: P(x) = 43 => Daqui a 9 meses. 
d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x )? Resposta: P(x)  $ 40 quando x  . 
 
5) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de 
milhares
t
tP
1
6
20)(

 . 
a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? 
b) De quanto a população crescerá durante o 90 ano? 
c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? 
Resposta: a) P(9) = 194/10 = 19,4 milhares. 
b) P(9) – P(8) = 194/10 - 58/3 = (1/15) milhares = 67 habitantes. 
c) A população aproximar-se-á de 20 mil habitantes. 
Nota: É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do 
qual pode-se aproximar tanto quanto se desejar. 
 
 
 
 27 
ALGUMAS APLICAÇÕESDE LIMITES 
Área de um círculo 
Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a 
área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que consiste em 
aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas. 
Como exemplo, podemos citar o círculo. Para definir sua área, consideramos um polígono regular 
inscrito de n lados, que denotamos por Pn, conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
Seja An a área do polígono Pn. Então, 
nTn
AnA  , onde 
nT
A é a área do triângulo de base ln e 
altura hn, da figura a seguir. 
 
Como 
2
nn
T
hl
A
n

 é o perímetro do polígono Pn é dado por nn lnp  , vem: 
22
nnnn
n
hphl
nA



 
Fazendo n crescer cada vez mais, isto é, n , o polígono Pn torna-se uma aproximação do 
círculo. O perímetro pn aproxima-se do comprimento do círculo r2 e a altura hn aproxima-se 
do raio r. 
Nesta condição, temos, 
 
2 
2
 2
lim r
rr
An
n






 
que á a área do círculo. 
 
 28 
Velocidade Média e Velocidade Instantânea 
Vamos utilizar uma historinha para ilustrar melhor os conceitos: 
O senhor Mário mora na cidade A e, nos fins de semana, vai visitar a irmã que mora na cidade B, 
distante 200 quilômetros de A, e nesse percurso ele leva duas horas e meia. Na última vez, o 
senhor Mário foi multado pela polícia rodoviária por excesso de velocidade. Ele tentou 
argumentar que, como percorreu 200 km em duas horas e meia, a sua velocidade é de 80 km/h e 
portanto não poderia ser multado. Por que os guardas rodoviários não lhe deram ouvidos? 
A velocidade a que se refere o senhor Mário é a velocidade média: 
horakm
decorridotempo
percorridadistância
vm /80
5,2
200
 
A velocidade a que se refere o guarda rodoviário é a velocidade instantânea, que provavelmente 
era maior do que 80 km/h no instante em que ele passava pelo local, pois é difícil manter uma 
velocidade constante num percurso tão longo. 
Lembremos o que é velocidade instantânea. 
Seja s = s(t) a equação horária do movimento de um ponto material na recta numérica, isto é, s(t) 
indica a coordenada do ponto material no instante t. A velocidade média do ponto material no 
intervalo de tempo ],[ ttt  é dada pela razão (divisão) entre o espaço percorrido e o tempo 
decorrido. 
t
tstts
t
s
vm






)()(
 
A velocidade instantânea do ponto material no instante t é o limite da velocidade média 
t
s


 
quando t tende para 0: 
t
tstts
t
s
tvv
tt 






)()(
limlim)(
00
 
Exemplo: 
4) Seja ttts 103)( 2  a equação horária de um ponto material que se move na reta numérica. 
Supomos que s seja medido em metros e t, em segundos. Calcule: 
a) A velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [2, 4]. 
b) A velocidade instantânea no instante t = 2. 
Solução: 
a) Velocidade média: 
sm
ss
vm /28
2
56
2
20124048
2
)21023()41043(
24
)2()4( 22







 
 
 
 29 
b) A velocidade instantânea no instante t = 2. 







 t
tt
t
sss
v
tt
)21023()2(10)2(3
lim
)2()2(
lim
22
00
 
smt
t
ttt
tt
/22]223[lim
2012102043)(343
lim
0
2
0





 
No próximo tópico, diremos que a velocidade instantânea é a derivada do espaço em relação ao 
tempo: 
dt
ds
tv )(
 
Que veremos no quarto resultado de aprendizagem “4 RA”
 
Exercícios propostos 
1) Suponha que uma partícula esteja sendo acelerada por uma força constante. As duas curvas v = 
n(t) e v = e(t) da figura abaixo fornecem as curvas de velocidade instantânea versus tempo para a 
partícula conforme previstas, respectivamente, pela Física clássica e pela Teoria da Relatividade 
Especial. O parâmetro c representa a velocidade da luz. Usando a linguagem de limites, descreva as 
diferenças nas previsões a longo prazo das duas teorias. 
 
2. Seja T = f(t) a temperatura de uma peça t minutos depois de retirada de um forno industrial. A 
figura abaixo mostra a curva da temperatura versus tempo para a peça, onde r denota a 
temperatura ambiente. Pergunta-se: 
a) Qual é o significado físico de ?)(lim
0
tf
t 
 
b) Qual é o significado físico de ?)(lim tf
t 
 
 
 
 
 30 
RESULTADO DE APRENDIZAGEM 3: