Trigonometria: ângulos e triângulos

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6
ExtEnsão da trigonomEtria 
a ângulos rEtos E obtusos 
E rEsolução dE triângulos1UNIDADE
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
1.1 Razões trigonométricas de ângulos agudos
Tarefa 1 (1) 
Apresente uma justificação para cada uma das seguintes fórmulas envolvendo 
as razões trigonométricas de um ângulo agudo:
sin2 a + cos2 a = 1 e tan a = cos
sin
a
a
A primeira fórmula é usualmente designada por fórmula fundamental 
da trigonometria.
Atendendo à figura ao lado, pode-se definir: 
sin a = 
AB
BC
 ; cos a = 
AB
AC
 e tan a = 
AC
BC
 .
Assim:
sin2 a + cos2 a = 
AB
BC
AB
CA
22
+f fp p = 
de PitágorasAB
BC AC
AB
AB
2
2 2
2
2
Teorema
+
= = 1
Sabe-se que: 
sin a = 
AB
BC
 + BC = AB sin a
cos a = 
AB
AC
 + AC = AB cos a 
Então:
tan a = 
AC
BC
 = 
sin
cosAB
AB
a
a
 = cos
sin
a
a
1 
Determine o seno, o cosseno e a tangente do ângulo interno b do triângulo 
[ABC] , retângulo em A .
a) b) c) 
(1) Os símbolos , e representam o grau de dificuldade por ordem crescente.
u1p9h1s
CA
B
a
u1p9h2
AC
B
b
4 cm
3 cm
u1p9h3
AC
B
b
25 cm
15 cm
u1p9h4
A
CB
b
5 cm4 cm
000707 006-027 U1.indd 6 01/07/16 11:39
7
1UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
a) Pelo teorema de Pitágoras, obtém-se BC = 4 3 252 2+ = = 5 .
 Assim, sin b = 
5
3
 ; cos b = 
5
4
 e tan b = 
4
3
 .
b) Pelo teorema de Pitágoras, obtém-se AB = 25 15 4002 2- = = 20 .
 Assim, sin b = 
25
15
 = 
5
3
 ; cos b = 
25
20
 = 
5
4
 e tan b = 
20
15
 = 
4
3
 .
c) Pelo teorema de Pitágoras, obtém-se BC = 4 52 2+ = 41 .
 Assim, sin b = 
41
4
 = 
41
4 41
 ; cos b = 
41
5
 = 
41
5 41
 e tan b = 
5
4
 .
2 
Mostre que para qualquer ângulo agudo a se tem:
1 + tan2 a = 
cos
1
2a
1 + tan2 a = 1 + cos
sin 2
a
a
c m = 1 + 
cos
sin
cos
cos sin
cos
1
2
2
2
2 2
2a
a
a
a a
a
=
+
= 
3 
Sabendo que um ângulo agudo b é tal que tan b = 
2
1
 , determine:
a) cos b b) sin b
a) 1 + tan2 b = 
cos
1
2b
 + 1 + 
2
1 2
c m = 
cos
1
2b
 + 
 + 1 + 
4
1
 = 
cos
1
2b
 + 
4
5
 = 
cos
1
2b
 + 5 cos2 b = 4 +
 + cos2 b = 
5
4
 + cos b 
cos 02b
é agudo
=
b
 
5
4
 = 
2 5
5
b) Tem-se que: 
tan b = 
cos
sin
b
b
 + 
2
1
 = 
cos
sin
b
b
 + cos b = 2 sin b 
 Como sin2 b + cos2 b = 1 , então: 
sin2 b + (2 sin b)2 = 1 + 5 sin2 b = 1 + 
+ sin2 b = 
5
1
 
sin 02b
é agudo
+
b
 sin b = 
5
1
5
5
= 
 Em alternativa:
 Sabe-se pela alínea a) que cos2 b = 
5
4
 , logo:
sin2 b + cos2 b = 1 + sin2 b = 1 - 
5
4
 = 
5
1
 
sin 02b
é agudo
+
b
sin b = 
5
5
 
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8
ExtEnsão da trigonomEtria a ângulos rEtos E obtusos 
E rEsolução dE triângulos
Tarefa 2 
Partindo de um triângulo equilátero [ABC] 
e traçando a bissetriz de um dos seus ângulos, 
obteve-se a figura ao lado.
Utilize a figura para obter o valor exato do seno, 
do cosseno e da tangente dos ângulos agudos 
assinalados, ou seja, sin 30° , cos 30° , 
tan 30° , sin 60° , cos 60° e tan 60° .
SUGESTÃO: Como as razões trigonométricas dependem apenas da amplitude 
do ângulo, pode considerar um triângulo equilátero de lado 1 .
Considerando que o triângulo [ABC] tem lado 1 , pelo teorema 
de Pitágoras, tem-se BD
2
3
= .
Assim:
sin 30º = cos 60º = 
BC
CD
1
2
1
2
1
= = 
cos 30º = sin 60º = 
BC
BD
1
2
3
2
3
= = 
tan 30º = 
BD
CD
2
3
2
1
3
1
3
3
= = = 
tan 60º = 
CD
BD
2
1
2
3
3= = 
4 
Determine as dimensões, x e y , do esquadro de 60° representado na figura 
seguinte.
sin 60º = 
x
30
 + x = 30 × sin 60º + x = 30 × 
3
2
 = 15 3 cm
cos 60º = 
y
30
 + y = 30 × cos 60º + y = 30 × 
2
1
 = 15 cm
u1p10h2
60º
30º
A
B
C
x
y30 cm
u1p11h3
60º
000707 006-027 U1.indd 8 01/07/16 11:39
9
1UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
5 
De acordo com os dados da figura, 
determine BC .
tan 30º = 
CE
CD
 + tan 30º = 
CE
30
 + CE = 
ºtan30
30
 + CE = 30 3 u. c.
Como CE = AB , tem-se que:
tan 60º = 
AB
BD
 + BD = 30 3 × tan 60º + BD = 90 u. c.
Assim, BC BD CD= - . 90 - 30 = 60 u. c.
Logo, BC é igual a 60 u. c. 
6 
Determine o valor de x , em metros, 
de acordo com os dados da figura.
Considere-se y a medida do comprimento do cateto adjacente do triângulo 
com um dos ângulos internos igual a 60º : 
º
º
tan
tan
x y
y
45
50
60
50
=
+
=
* + 
tan
y
60
50
———
º
=
* + 
y
3
50
3
50 3
———
= =
* + 
+ 
tan
x
45
3
50
3
50
º
———
=
+* + 
x
3
50 3
501
———
#+ =e o
* + 
+ 
x
y
3
150 50 3
3
50 3
-
=
=
* 
Logo, x é igual a 
3
150 50 3-
 metros.
u1p11h4
60º
30º
A
E
30
C
D
B
u1p11h5
45º 60º
50 m
x
000707 006-027 U1.indd 9 01/07/16 11:40
10
ExtEnsão da trigonomEtria a ângulos rEtos E obtusos 
E rEsolução dE triângulos
Tarefa 3 
Na figura ao lado está representado o triângulo [PQR] .
Sabe-se que:
•	 PQ = 10 cm
•	 RPQW = 30°
•	 PQRW = 70°
3.1 Determine a amplitude do ângulo PRQW .
3.2 Determine o valor, arredondado às décimas de centímetro, de PR e RQ .
3.1 PRQW = 180º - (30º + 70º) = 80º
3.2 Seja hQ a medida da altura do triângulo relativa ao vértice Q . 
 Tem-se que: 
sin 30º = 
h
10
Q
 + hQ = 10 sin 30º = 5 cm
 Por outro lado, tem-se que: 
sin 80º = 
RQ
hQ
 + RQ = 
º80
5
s ni
 . 5,1 cm
 Seja hP a medida da altura do triângulo relativa ao vértice P . 
 Tem-se que: 
sin 70º = 
h
10
P
 + hP = 10 sin 70º . 9,397 cm 
 Como sin 80º = 
PR
hP
 , tem-se que PR = 
º
,
80
9 397
s ni
 . 9,5 cm .
7 
Considere o triângulo representado na figura ao lado.
Utilize a lei dos senos para determinar os valores 
de x e y , em centímetros, arredondados 
às décimas.
Como 180º - (75º + 65º) = 40º , aplicando a lei dos senos, 
tem-se:
º
,
º
º
, ºsin sin
sin
sin
x x
40
3 5
65
40
3 5 40
+= = . 2,5 cm
,
,sin sin
sin
sin
y y
3 5
65 3 575
65
75º º
º
º
+= = . 3,7 cm
u1p12h1
30º 70º
10 cmP Q
R
u1p12h4
3,5 cm
75º 65º
y
x
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11
1UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
8 
Calcule as medidas do lado e da diagonal 
maior de um losango cuja diagonal menor 
mede 5 cm e em que os ângulos obtusos 
medem 130º . Apresente os resultados 
aproximados às décimas.
Se ABCW = ADCX = 130° , então, BADW = BCDW = 50° , pois os ângulos opostos 
têm a mesma amplitude e a soma das amplitudes dos ângulos internos é de 360° .
Como as diagonais do losango são bissetrizes e são perpendiculares, formam 
ângulos de 90° no seu centro (ponto E ) .
Considere-se o triângulo retângulo [CDE] , donde:
º
EDC
2
130
=X = 65º , 
º
ECD
2
50
=W = 25° e DE
BD
2
= = 2,5 cm
Então:
sin 25º = 
º
,
sinCD
DE
CD CD
25
2 5
+ += . 5,9 cm
Pelo teorema de Pitágoras, vem que:
CE CD DE
2 2 2
= - + CE
2
 = 5,92 - 2,52 + ,CE 28 56= . 5,3 cm 
Assim, AC CE2= = 2 ,28 56 . 10,7 cm .
Portanto, o losango tem de lado, aproximadamente, 5,9 cm e de diagonal 
maior, aproximadamente, 10,7 cm .
NOTA: Pode-se calcular CD aplicando a lei dos senos: 
 Considerando o triângulo isósceles [BCD] , tem-se:
º º
º
ºsin sin
sin
sin
CD
CD
5
50 65
50
5 65
+= = . 5,9 cm
9 
Considere um triângulo acutângulo [ABC] , 
em que BACW = 80° e BC AC2= .
Determine um valor aproximado às décimas 
da amplitude do ângulo ABC .
Pela lei dos senos:
sin sin
sin sin
sin
BC AC
ABC
ABC
BC
AC80
80
2
80º
º
º
2
1
+= = =
=
7
WW
 & 
& ABCW = sin-1 °sin
2
80
c m . sin-1(0,4924) . 29,5° ( ABC é agudo)
u1p13h3
5 cmA C
B
D
u1p13h4
80º
A C
B
000707 006-027 U1.indd 11 01/07/16 11:40
12
ExtEnsão da trigonomEtria a ângulos rEtos E obtusos 
E rEsolução dE triângulos
1.2 Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
10 
No Parque Aventura pretende-se construir 
uma diversão que consiste em atravessar 
um ribeiro, em equilíbrio, com o auxílio120° . 
 Assim:
sin 120° = sin 60° = 
2
3
cos 120° = -cos 60° = 
2
1
- 
 Portanto, A ,
2
1
2
3
-e o e B ,
2
1
2
3
- -e o .
4.2 Determine-se as coordenadas de A(x, y) :
 
y
x y
5
2
12 2
=
+ =
* + 
x
5
2
1
———
2
2
+ =d n
* + 
x
25
21
———
2 =
* + 
 + 
y
x
5
2
5
21
=
=-
* 
xsin i = 29 + sin i = -
5
3
 
 Determine-se cos i :
cos2 i + sin2 i = 1 + cos2 i + 
5
3 2
-d n = 1 + 
+ cos2 i = 
25
16
 + cos i = !
5
4
 Como r G i G 
2
3r
 , i é um ângulo do 3.o quadrante, e, portanto: 
cos i = -
5
4
 Logo:
tan i = 
cos
sin
5
4
5
3
4
3
i
i
=
-
-
= 
11.2 Se Dlf = [-5, 1] = [-1 × 3 - 2, 1 × 3 - 2] , tem-se: 
f(x) = -2 + 3 sin x
 Portanto, a = -2 e b = 3 .
 Em alternativa:
f
f
2
1
2
5
r
r
=
- =-
c
c
m
m
* + 
a b
a b
1
5
+ =
- =-
) + 
a
b
2
3
=-
=
) 
u1p58h1
1
25
x
y
2
p
2}
p
2}
000707 061-105 U4.indd 66 01/07/16 11:45
67
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
12 
Simplifique as expressões seguintes:
a) sin(r + x) + cos(2r - x)
b) 
( ) ( )
( ) ( )
cos cos
sin sin
x x
x x
2
2
r
r
- + -
- + + -
 
a) sin(r + x) + cos(2r - x) = -sin x + cos(-x) = -sin x + cos x
b) 
( ) ( )
( ) ( )
cos cos
sin sin
x x
x x
2
2
r
r
- + -
- + + -
 = 
( )
cos cos
sin sin
cos
sin
x x
x x
x
x
2
2
- +
- - -
= = tan x
13 
Sabendo que x ! ]0, r[ e que cos(x - r) = 
3
2
 , determine:
a) sin x
b) sin(r + x) - cos(-x)
Tem-se que cos(x - r) = -cos x = 
3
2
- , portanto, cos x = 
3
2
- .
a) cos2 x + sin2 x = 1 + 
3
2 2
-d n + sin2 x = 1 + sin2 x = 
9
5
 + 
 + sin x = 
3
5
 
b) sin(r + x) - cos(-x) = -sin x - cos x + 
3
5
3
2
3
52
- =+
-
 
Tarefa 2 
Prove que para todo o x ! IR , cos(r - x) = -cos x e sin(r - x) = sin x .
x ! ]0, r[
Por a)
SUGESTÃO: Aplique os dois grupos de fórmulas anteriores a 
-x + r ou -(x - r) .
cos(r - x) = cos(-x + r) = cos^-(x - r)h = cos(x - r) = -cos x
sin(r - x) = sin(-x + r) = sin^-(r - x)h = -sin(r - x) = sin x
u1p60h1
P(cos x, sin x)
O 1 x
x
p 2 x
y
P'(cos(p 2 x), sin(p 2 x))
000707 061-105 U4.indd 67 01/07/16 11:45
68
Funções trigonométricas
14 
No referencial o.n. xOy da figura estão 
representados a circunferência trigonométrica 
e dois pontos A e B , tais que:
•	 	[AB] é um diâmetro da circunferência;
•	 x é a amplitude, em radianos, do ângulo 
que tem como lado origem o semieixo 
positivo Ox e lado extremidade OoB ;
•	 	a	ordenada	do	ponto		A é -0,6 .
Determine:
a) cos(r + x) b) tan x c) sin(-x)
Sabe-se que B(cos x, sin x) . Como A é simétrico de B em relação à origem, 
tem-se que A(-cos x, -sin x) . Logo, -sin x = -0,6 + sin x = 0,6 . 
Portanto:
0,62 + cos2 x = 1 + cos2 x = 0,64
.x 2 Qo
+
!
cos x = -0,8
a) cos(r + x) = -cos x = -(-0,8) = 0,8
b) tan x = 
,
,
cos
sin
x
x
0 8
0 6
=
-
 = -0,75
c) sin(-x) = -sin x = -0,6
Tarefa 3 
Utilizando o resultado anterior e a paridade das funções seno e cosseno, 
prove que:
a) para todo o x ! IR , cos x
2
r
-c m = sin x e sin x
2
r
-c m = -cos x .
 Repare que x - 
2
r
 = - x
2
r
- +c m .
b) para todo o x ! IR , cos x
2
r
-c m = sin x e sin x
2
r
-c m = cos x .
a) cos x
2
r
-c m = cos x
2
r
- +c m = cos ( )x
2
r
- +c m = -sin(-x) = sin x
 sin x
2
r
-c m = -sin x
2
r
- +c m = -sin ( )x
2
r
- +c m = 
 = -cos(-x) = -cos x
b) cos x
2
r
-c m = cos x
2
r
-c m = sin x
 sin x
2
r
-c m = -sin x
2
r
-c m = cos x
u1p60h4
O 1 x
x
y
B
20,6
A
000707 061-105 U4.indd 68 01/07/16 11:45
69
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
15 
Determine:
a) sin
6
7r
c m + 2 cos
4
3r
-c m
b) cos
3
10r
d n sin
4
r
-c m
c) sin
6
5r
d n - 
4
1
 cos
4
3r
c m
a) sin
6
7r
c m + 2 cos
4
3r
-c m = sin
6
r
r
+c m + 2 cos
4
3r
c m = 
 = -sin
6
r
c m + 2 cos
4
r
r
-c m = 
2
1
- - 2 cos
4
r
c m = 
 = 
2
1
- - 2 × 
2
2
 = 
2
1
- - 2 
b) cos
3
10r
d n sin
4
r
-c m = cos sin3
3 4
r
r r
+ -c cem mo = 
 = cos
3 2
2
#r
r
+ -c em o = -cos
3 2
2
#
r
-c em o = 
 = 
2
1
2
2
4
2
#- - =e o 
c) sin
6
5r
d n - 
4
1
 cos
4
3r
c m = sin
6
r
r
-c m - 
4
1
 cos
4
r
r
-c m = 
 = sin
6
r
c m + 
4
1
 cos
4
r
c m = 
2
1
 + 
4
1
 
2
2
e o = 
2
1
 + 
8
2
16 
Prove que, tal como a figura sugere, cos x
4
r
+c m = sin x
4
r
-c m , para 
qualquer x ! IR .
Pela alínea b) da Tarefa 3 da página 68, tem-se:
cos x
4
r
+c m = sin x
2 4
r r
- +ce mo =
= sin x
2 4
r r
- -c m = sin x
4
r
-c m 
u1p61h4
O
M
x
y
000707 061-105 U4.indd 69 01/07/16 11:45
70
Funções trigonométricas
17 
Sabendo que x ! [-r, 0] e que sin x
2
r
+c m = 
4
3
 , calcule: 
sin(r - x) + 2 tan x
Tem-se que sin x
2
r
+c m = cos x = 
4
3
 ; logo: 
cos2 x + sin2 x = 1 + 
4
3 2
c m + sin2 x = 1 + 
+ sin2 x = 
16
7
 + sin x = !
4
7
 
Como x ! [-r, 0] , então, o ângulo r - x pertence ao 3.º ou ao 4.º quadrante. 
Logo, sin x é um valor negativo.
Portanto:
sin(r - x) + 2 tan x = sin^(-(x - r)h + 2 cos
sin
x
x
 = 
= -sin(x - r) + 2 cos
sin
x
x
 = sin x + 2 cos
sin
x
x
 = -
4
7
2
4
3
4
7
+
-
 = 
= -
4
7
3
2 7
12
11 7
=-- 
18 
Considere, num referencial o.n. xOy , 
a circunferência de centro na origem e raio [AO] , 
sendo A o ponto de coordenadas (4, 0) , 
B um ponto que se desloca sobre a circunferência 
e a o ângulo AOB .
18.1 Calcule a área do triângulo [AOB] 
 quando aV = 
3
r
 .
18.2 Justifique que a área do triângulo [AOB] 
é dada em função de a por:
A(a) = 8 sina
18.3 Sabendo que A(a) = 
5
8
 e que a é um ângulo do 2.º quadrante, 
calcule o valor exato de cos(r + a) - sin
2
r
a+c m .
u1p62h1
O
B
A x
a
y
000707 061-105 U4.indd 70 01/07/16 11:45
71
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
18.1 Seja h a altura do triângulo [AOB] . Tem-se que:
h = OB × sin a = 4 sin 
3
r
 = 4 × 
3
2
 = 2 3
 Portanto:
A[AOB] = 
AO h
2 2
4 2 3
4 3
# #
= = u. a.
18.2 Calcule-se a altura h do triângulo [AOB] para qualquer a .
 Considere-se a ordenada de B dada por yB , então: 
sin a = 
y
4
B
 + yB = 4 sin a
 Assim, h = yB = 4 sina .
 Portanto:
A(a) = 
sin
sin
2
4 4
8
# a
a= 
18.3 cos(r + a) - sin
2
r
a+c m = -cos a - cos a = -2 cos a
 Pela questão anterior, tem-se:
A(a) = 8 sina + 8 sina = 
5
8
 + sin a = 
5
1
 
 Aplicando a fórmula fundamental de trigonometria:
sin2 a + cos2 a = 1 + cos2 a = 1 - 
5
1 2
d n + 
+ cos2 a = 
25
24
 
2. Qo
+
!a
 cos a = 
5
2 6
- 
 Logo, -2 cos a = 
5
4 6
 . 
Tarefa 4 
Considere a função real de variável real definida por: 
tan x = cos
sin
x
x
Prove analiticamente que:
Se x ! Dtan , então, x + r ! Dtan e tan(x + r) = tan x .
Tem-se que:
x ! Dtan & bk ! Z: x = 
2
r
 + kr & bk ! Z: x + r = 
2
r
 + kr
Portanto, x + r ! Dtan .
Além disso:
tan(x + r) = 
( )
( )
cos
sin
cos
sin
x
x
x
x
r
r
+
+
= -
-
 = tan x
a ! 2.º Q
000707 061-105 U4.indd 71 01/07/16 11:46
72
Funções trigonométricas
19 
Determine o domínio e o período fundamental das seguintes funções reais 
de variável real:
a) f(x) = tan(2x) b) g(x) = tan
x
3
c m + 1
a) Df = 'x: 2x ! 
2
r
 + kr, k ! Z1 = 'x: x ! 
4
r
 + k
2
r
, k ! Z1
 Período fundamental: 
2
r
 
b) Dg = 'x: 
x
3
 ! 
2
r
 + kr, k ! Z1 = 'x: x ! 
2
3r
 + 3kr, k ! Z1
 Período fundamental: 3r 
20 
Determine uma expressão geral dos zeros das funções definidas por:
a) f(x) = tan(2x) b) g(x) = tan(x + r)
a) f(x) = 0 + tan(2x) = 0 + 2x = kr, k ! Z + x = k
2
r
, k ! Z
b) g(x) = 0 + tan(x + r) = 0 + x + r = kr, k ! Z + x = kr, k ! Z
21 
Na figura ao lado está representada em 
referencial o.n. parte do gráfico de uma 
função de domínio ]-r, r[ definida por: 
f(x) = a +tan(bx) ,
em que a e b são números reais.
Determine o valor de a e de b .
Tem-se:
( )
f
f
2
2
0 1
r
=
=
c m
* + 
tan
tan
a b
a
2
2
0 1
r
+ =
+ =
c m
* + 
tan b
a
1
2
2
1
r
+ =
=
c m
* + 
+ 
tan b
a
2
1
1
r
=
=
c m
* + 
,b k
a
2 4
1
r r
r= +
=
* 
k ! Z
 + 
,b k
a
2
1
2
1
= +
=
* 
k ! Z
 
Logo, a = 1 e b = 
2
1
 ( b só pode tomar o valor 
2
1
 , pois a dilataçãohorizontal tem razão 2 ) . 
u1p64h2
O
2
1
x
y
2p pp
2}2
p
2}
000707 061-105 U4.indd 72 01/07/16 11:46
73
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
22 
Considere a função real de variável real definida por:
f(x) = 2 - tan x
22.1 Determine f 
4
11r
c m .
22.2 Sabendo que b ! ]r, 2r[ e que cos b =-
3
2
 determine o valor exato 
 de f(b) .
22.1 f
4
11r
c m = 2 - tan
4
11r
c m = 2 - tan 2
4
3
r
r
+c m = 2 - tan
4
3r
c m = 
 = 2 - (-1) = 3
22.2 Se b ! ]r, 2r[ e cos b = 
3
2
- , então, b ! 3.º Q e sin b>
 + x = 
2
r
 + kr, k ! Z
 Portanto:
C.S. = 'x: x = 
2
r
 + kr, k ! Z1
c) 4 sin2 x = 3 + sin x = !
2
3
 
 Como arcsin
2
3
e o = 
3
r
 e arcsin
2
3
-e o = -
3
r
 , tem-se:
x = 
3
r
 + 2kr 0 x = r - 
3
r
 + 2kr 0 x = -
3
r
 + 2kr 0 
0 x = r + 
3
r
 + 2kr, k ! Z +
+ x = 
3
r
 + kr 0 x = -
3
r
 + kr, k ! Z
 Portanto:
C.S. = 'x: x = 
3
r
 + kr 0 x = -
3
r
 + kr, k ! Z1
37 
Resolva em [0, 2r] as seguintes equações:
a) sin x = -cos x b) sin x = cos(2x)
a) sin x = -cos x + sin x = sin x
2
3r
-c m +
 + x = 
2
3r
 - x + 2kr 0 x = r - x
2
3r
-c m + 2kr, k ! Z +
 + 2x = 
2
3r
 + 2kr 0 x = -
2
r
 + x + 2kr, k ! Z +
 + x = 
4
3r
 + kr, k ! Z
 As soluções pertencentes ao intervalo [0, 2r] são 
4
3r
 para k = 0 e 
4
7r
 
para k = 1 .
 Portanto, C.S. = ,
4
3
4
7r r
' 1 . 
000707 061-105 U4.indd 79 01/07/16 11:46
80
Funções trigonométricas
b) sin x = cos(2x) + cos x
2
r
-c m = cos(2x) +
 + 
2
r
 - x = 2x + 2kr 0 
2
r
 - x = -2x + 2kr, k ! Z +
 + -3x = -
2
r
 + 2kr 0 x = -
2
r
 + 2kr, k ! Z +
 + x = 
6
r
 + k
3
2r
 0 x = -
2
r
 + 2kr, k ! Z
 As soluções pertencentes ao intervalo [0, 2r] são 
6
r
 para k = 0 ; 
6
5r
 e 
2
3r
 para k = 1 ; e 
6
9r
 = 
2
3r
 para k = 2 .
 Portanto:
C.S. = , ,
6
5 3
6 2
r r r
( 2
38 
Resolva, em IR , as seguintes equações:
a) tan x + 1 = 0 b) tan2(2x) = 3 c) tan(2x) = tan x
4
r
+c m
a) tan x + 1 = 0 + tan x) = -1
 Como arctan(-1) = -
4
r
 , tem-se x = -
4
r
 + kr, k ! Z .
 Portanto:
C.S. = 'x: x = -
4
r
 + kr, k ! Z1
b) tan2(2x) = 3 + tan(2x) = ! 3
 Como arctan 3_ i = 
3
r
 e arctan 3-_ i = -
3
r
 , tem-se:
2x = 
3
r
 + kr 0 2x = -
3
r
 + kr, k ! Z +
+ x = 
6
r
 + k
2
r
 0 x = -
6
r
 + k
2
r
, k ! Z
 Portanto:
C.S. = 'x: x = 
6
r
 + k
2
r
 0 x = -
6
r
 + k
2
r
, k ! Z1
c) tan(2x) = tan x
4
r
+c m + 2x = x + 
4
r
 + kr, k ! Z + 
 + x = 
4
r
 + kr, k ! Z
 Portanto:
C.S. = 'x: x = 
4
r
 + kr, k ! Z1
39 
Considere a função real de variável real de domínio ,0
4
r ;E definida por:
f(x) = 3tan(2x)
Determine analiticamente as coordenadas do ponto de interseção do gráfico 
de f com a reta de equação y = 3 .
000707 061-105 U4.indd 80 01/07/16 11:46
81
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3tan(2x) = 3 + tan(2x) = 3 
Como arctan 3_ i = 
3
r
 , tem-se:
2x = 
3
r
 + kr, k ! Z + x = 
6
r
 + k
2
r
, k ! Z
A única solução pertencente ao intervalo ,0
4
r; E é 
6
r
 , para k = 0 .
Assim, as coordenadas do ponto de interseção são ,
6
3
r
c m .
40 
Resolva, em IR , as seguintes equações:
a) 2 cos2x + 5 cos x - 3 = 0
b) sin2x + 2 cos2x = 2
c) cos x tan x = 
2
1
d) sin(2x) = cos(4x)
a) Usando a fórmula resolvente:
 2 cos2 x + 5 cos x - 3 = 0 + cos x = 
( )
2 2
5 5 4 2 32
#
! # #- - -
 +
 + cos x = 
2
1
 0 cos x = cos x 3
eq. impossível
=-
>
 
 Como arccos 
2
1
 = 
3
r
 , tem-se: 
x = 
3
r
 + 2kr 0 x = -
3
r
 + 2kr, k ! Z
 Portanto:
C.S. = 'x: x = 
3
r
 + 2kr 0 x = -
3
r
 + 2kr, k ! Z1
b) sin2 x + 2 cos2 x = 2 + 1 - cos2 x + 2 cos2 x = 2 + 1 + cos2 x = 2 + 
+ cos2 x = 1 + cos x = 1 0 cos x = -1 
	 Como arccos 1 = 0 e arccos(-1) = r , tem-se:
x = kr, k ! Z
 Portanto:
C.S. = {x: x = kr, k ! Z}
c) cos x tan x = 
2
1
 + cos x cos
sin
x
x
 = 
2
1
 + sin x = 
2
1
 
 Como arcsin 
2
1
 = 
6
r
 , tem-se:
x = 
6
r
 + 2kr 0 x = r - 
6
r
 + 2kr, k ! Z +
+ x = 
6
r
 + 2kr 0 x = 
6
5r
 + 2kr, k ! Z
 Portanto:
C.S. = 'x: x = 
6
r
 + 2kr 0 x = 
6
5r
 + 2kr, k ! Z1
000707 061-105 U4.indd 81 01/07/16 11:46
82
Funções trigonométricas
d) sin(2x) = cos(4x) + sin(2x) = sin x
2
4
r
-c m +
 + 2x = 
2
r
 - 4x + 2kr 0 2x = r - 
2
r
 + 4x + 2kr, k ! Z + 
 + 6x = 
2
r
 + 2kr 0 -2x = r - 
2
r
 + 2kr, k ! Z +
 + x = 
12
r
 + k
3
r
 0 x = -
4
r
 + kr, k ! Z
 Portanto:
C.S. = 'x: x = 
12
r
 + k
3
r
 0 x = -
4
r
 + kr, k ! Z1
41 
Na figura estão as representações gráficas de duas funções f e g , 
de domínio [0, 2r] , definidas por f(x) = cos(2x) e g(x) = cos x2
3
r
+c m . 
O ponto A é o ponto de interseção dos gráficos de f e de g de menor abcissa.
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos determine:
a) as coordenadas do ponto A .
b) os zeros de g .
a) cos(2x) = cos x2
3
r
+c m + 
 + 2x = 2x + 
3
r
 + 2kr 0 2x = - x2
3
r
+c m + 2kr, k ! Z +
 + 4x = -
3
r
 + 2kr, k ! Z + x = 
12
r
- + k
2
r
, k ! Z
 A menor solução positiva da equação é 
12
5r
 para k = 1 .
 f 
12
5r
d n = cos
6
5r
d n = 
2
3
- ; logo, as coordenadas de A são ,
12
5
2
3r
-e o .
b) g(x) = 0 + cos x2
3
r
+c m = 0 
 Como arccos 0 = 
2
r
 , tem-se: 
2x + 
3
r
 = !
2
r
 + 2kr, k ! Z + 2x + 
3
r
 = 
2
r
 + kr, k ! Z +
+ x = 
12
r
 + k
2
r
, k ! Z
u1p76h2
x
y
A
g
f
000707 061-105 U4.indd 82 01/07/16 11:46
83
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
42 
Resolva no intervalo [0, 2r] as seguintes inequações:
a) sin x > 
2
2
b) cos x G 
2
3
c) tan x > -1
a) Recorrendo à circunferência trigonométrica, 
no intervalo [0, 2r] , observa-se que:
sin x > 
2
2
 + x ! ,
4 4
3r r ;E 
 C.S. = ,
4 4
3r r ;E 
b) Recorrendo à circunferência trigonométrica, 
no intervalo [0, 2r] , observa-se que:
cos x G 
2
3
 + x ! ,
6 6
11r r -1 + 
 + x ! , , ,0
2 4
3
2
3
4
7
2, ,
r r r r
r; ; ;E E E 
 C.S. = , , ,0
2 4
3
2
3
4
7
2, ,
r r r r
r; ; ;E E E
43 
Uma roda-gigante de um parque de diversões tem doze cadeiras.
No instante em que a roda começa a girar, a cadeira 
número 1 está na posição indicada na figura.
A distância, em metros, da cadeira número 1 
ao solo, t segundos após a roda-gigante ter 
começado a girar, é dada por:
d(t) = 7 + 5sin
t
30
r
c m
u1p78h3
4
10
35
119
6 2
8 12
17
u1p81h1s
x
y
O
p
4}
3p
4}
2
2}
!êê
u1p81h2s
x
y
O
p
6}
11p
6
3
2}
!êê
u1p81h3s
x
y
O
p
2}
3p
4}
21
7p
4}
3p
2}
000707 061-105 U4.indd 83 01/07/16 11:46
84
Funções trigonométricas
43.1 Determine a distância a que a cadeira 1 se encontra do solo no instante 
em que a roda começa a girar.
43.2 Determine os maximizantes e os minimizantes da função no intervalo 
[0, 75] .
43.3 Resolva a equação d(t) = 9,5 , para t ! [0, 75] e indique quanto 
tempo demora a cadeira 1 a encontrar-se pela primeira vez a 9,5 metros 
do solo, depois de a roda ter começado a girar.
43.4 Indique, justificando, qual é o comprimento do raio da roda-gigante.
Adaptado do Exame Nacional do 12.º ano, 1997
43.1 d(0) = 7 + 5 sin 0 = 7 m
43.2 Os maximizantes são os valores de t para os quais sin
t
30
r
c m = 1 . 
Assim:
 sin
t
30
r
c m = 1 + 
t
30
r
 = 
2
r
 + 2kr, k ! Z + t = 15 + 60k, k ! Z
 No intervalo [0, 75] tem-se as soluções t = 15 para k = 0 e t = 75 
para k = 1 .
 Os minimizantes são os valores de t para os quais sin
t
30
r
c m = -1 . 
Assim:
 sin
t
30
r
c m = -1 + 
t
30
r
 = 
2
3r
 + 2kr, k ! Z + t = 45 + 60k, k ! Z
 No intervalo [0, 75] tem-se a solução t = 45 para k = 0 .
 Portanto, os maximizantes são 15 e 75 , e o minimizante é 45 .
43.3 d(t) = 9,5 + 7 + 5 sin
t
30
r
c m = 9,5 + sin
t
30
r
c m = 
2
1
 +
 + 
t
30
r
 = 
6
r
 + 2kr 0 
t
30
r
 = r - 
6
r
 + 2kr, k ! Z +
 + t = 5 + 60k 0 t = 25 + 60k, k ! Z
 As soluções pertencentes ao intervalo [0, 75] são 5 e 25 para k = 0 
e 65 para k = 1 .
 A cadeira 1 demora 5 minutos a encontrar-se pela primeira vez 
a 9,5 metros do solo.
43.4 A função atinge um máximo quando sin
t
30
r
c m = 1 . A altura atingida 
 pela cadeira 1 nesse instante é de 7 + 5 = 12 m .
 A função atinge um mínimo quando sin
t
30
r
c m = -1 . A altura atingida 
 pela cadeira 1 nesse instante é de 7 - 5 = 2 m .
 Assim,o raio da roda-gigante mede 
2
12 2-
 = 5 m .
000707 061-105 U4.indd 84 01/07/16 11:46
85
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
44 
No referencial o.n. da figura estão representados 
a circunferência trigonométrica e um triângulo 
[ABC] tal que:
•	 	os	pontos		B , C e D têm coordenadas (0, 1) , 
(0, -1) e (1, 0) , respetivamente;
•	 	o	ponto		A pertence à circunferência 
 e AOWD = x, x ! ,0
2
r ;E .
44.1 Admita que a abcissa de A é 
4
3
 . 
 Determine o valor exato de sin(r - x) - 2 tan(-x) . 
44.2 Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada em função de x 
por cos x .
44.3 Determine o valor de x para o qual a área do triângulo é igual 
 a sin 
3
2r
 .
44.1 sin(r - x) - 2 tan(-x) = sin x + 2 tan x
 Como cos x = 
4
3
 , vem:
cos2 x + sin2 x = 1 + 
4
3 2
c m + sin2 x = 1 + 
+ sin2 x = 
16
7
 + sin x = !
4
7
 
 Como x ! ,0
2
r ;E , tem-se sin x = 
4
7
 .
 Assim, tan x = cos
sin
x
x
 = 
4
3
4
7
3
7
= .
 Calculando o valor da expressão: 
sin x + 2 tan x = 
4
7
 + 2 × 
7
3
 = 
12
11 7
44.2 Tome-se para base o lado [BC] . Tem-se, então, que a base mede 
2 unidades e a altura corresponde à abcissa de A , ou seja, cos x .
 Assim, A[ABC] = 
cos x
2
2 #
 = cos x .
44.3 A[ABC] = sin
3
2r
 + cos x = 
2
3
 + 
 + x = 
6
r
 + 2kr 0 x = -
6
r
 + 2kr, k ! Z
 Como x ! ,0
2
r ;E , tem-se x = 
6
r
 .
u1p79h2
x
x
y
O
A
C
B
000707 061-105 U4.indd 85 01/07/16 11:46
86
Funções trigonométricas
Tarefa 6 
Considere as funções f e g definidas em IR por:
f(x) = 
2
1
 + 2 sin x e g(x) = 2 cos2x 
6.1 Mostre que a função g é r-periódica .
6.2 Sabendo que:
 f 
2
a
r
-c m = 1, a ! ]r, 2r[
 Calcule f(a - r) + g(3r + a) .
6.3 Mostre que a função f admite extremos nos zeros de g .
6.4 Resolva a condição f(x) G 
2
3
 / x ! [0, r] representando o conjunto 
 solução na forma de intervalo ou união de intervalos de números reais. 
6.5 Na figura seguinte estão representadas em referencial o.n. xOy os 
gráficos das restrições de f e g ao intervalo [0, 2r] e o papagaio [ABCD] .
 Sabe-se que:
	 	 •	 A e C são os pontos de interseção dos gráficos de f e g ;
	 	 •	 	B é o ponto de interseção do gráfico de g com o eixo Ox de menor 
abcissa;
	 	 •	 	D é o ponto do gráfico de f de maior ordenada.
 Determine o valor exato da área do papagaio.
6.6 Considere a função definida por: 
 h(x) = 
( )
( )
g x
f x
2 -
 6.6.1 Determine o domínio de h .
 6.6.2 Calcule o valor exato de hfarctan
5
12
d np .
u1p79h1
x
y
O
f
gA C
D
B 2p
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87
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
6.1 x, x + r ! Dg porque Dg = IR .
 g(x + r) = 2^cos(x + r)h2 = 2(-cos x)2 = g(x)
6.2 f 
2
a
r
-c m = 1 + 
2
1
 + 2 sin
2
a
r
-c m = 1 + cos a = -
4
1
, a ! 3.º Q
 Pela fórmula fundamental da trigonometria:
cos2 a + sin2 a = 1 + 
4
1 2
-c m + sin2 a = 1 + sin a = 
4
15
-
 Então:
 f(a - r) + g(3r + a) = 
2
1
 + 2 sin(a - r) + 2^cos(3r + a)h2 =
 = 
2
1
 - 2 sin a + 2(-cos a)2 = 
2
1
 - 2 × 
4
15
-e o + 2 × 
4
1 2
c m = 
 = 
8
5 4 15+
 
6.3 Os maximizantes de f são os valores para os quais sin x = 1 , ou seja, 
x = 
2
r
 + 2kr, k ! Z , e os minimizantes de f são os valores para 
os quais sin x = -1 , ou seja, x = -
2
r
 + 2kr, k ! Z . Então, 
os extremos ocorrem nos pontos 
2
r
 + kr, k ! Z . 
 Ora, os zeros de g são os valores para os quais cos x = 0 , 
o que corresponde a x = 
2
r
 + kr, k ! Z .
6.4 f(x) G 
2
3
 + 
2
1
 + 2 sin x G 
2
3
 + sin x G 
2
1
 Recorrendo à circunferência trigonométrica, 
no intervalo [0, r] , observa-se que:
sin x G 
2
1
 + x ! ,0
6
r; E , ,
6
5r
r
 +
 + x = 
6
r
 + 2kr 0 x = r - 
6
r
 + 2kr, k ! Z + 
 + x = 
6
r
 + 2kr 0 x = 
6
5r
 + 2kr, k ! Z 
 Assim, as abcissas de A e C são, respetivamente, 
6
r
 e 
6
5r
 , donde 
 AC = 
3
2r
 .
u1p85h1s
x
y
O
p
6}
5p
6}
1
2}
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88
Funções trigonométricas
 Pela alínea anterior, sabe-se que as abcissas de B e D são iguais a 
2
r
 .
 Assim, a ordenada de D é dada por f 
2
r
c m = 
2
1
 + 2 sin
2
r
 = 
2
5
 .
 Portanto:
A[ABCD] = 
AC BD
2 2
3
2
2
5
6
5#
#
r
r
= = 
6.6 6.6.1 h(x) = 
( )
( )
cos
sin
g x
f x
x
x
2 2 2
2
1
2
2-
=
-
+
 
 Dh = {x ! IR: 2 - 2 cos2 x ! 0} = 
 = {x ! IR: cos x ! 1 / cos x ! -1} =
 = {x ! IR: x ! kr, k ! Z}
 6.6.2 Seja arctan 
5
12
 = y . Então, tan y = 
5
12
 e y pertence 
ao 1.º quadrante.
 Calcule-se o valor exato de cos y e de sin y :
 1 + tan2 y = 
cos y
1
2 + 1 + 
5
12 2
d n = 
cos y
1
2 + cos2 y = 
169
25
 Como y ! 1.º Q , cos y = 
13
5
 .
 Tem-se que tan y = cos
sin
y
y
 + 
5
12
 = 
sin y
13
5
 + sin y = 
13
12
 .
 Assim, h(y) = 
cos
sin
y
y
2 2
2
1
2
2-
+
 = 
2 2
169
25
2
1
2
13
12
#
#
-
+
 = 
576
793
 .
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre 
as alternativas que lhe são apresentadas.
1 
Seja f uma função real de variável real, de domínio IR , r-periódica . 
Qual das expressões seguintes pode definir a função f ?
(a) sin x (B) cos 
x
2
(C) tan x (D) sin(2x)
A opção correta é a (D).
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89
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2 
No referencial o.n. da figura 
está representada parte do 
gráfico de uma função f 
definida por f(x) = a cos(bx) 
em que a e b designam 
números reais.
Quais dos valores seguintes podem ser os valores de a e de b ?
(a) a = 4 e b = 
3
2
(B) a = 4 e b = 
3
1
(C) a = -4 e b = 1
(D) a = -4 e b = -1
A opção correta é a (B).
3 
Considere a função h , de domínio IR , definida por h(x) = 2 cos(3x) .
3.1 Uma expressão geral dos zeros da função h é:
 (a) x = 
( )k
3
1 r+
, k ! Z
 (B) x = 
( )k1 2
6
r+
, k ! Z
(C) x = 
( )k1
6
r+
, k ! Z
(D) x = 
( )k
3
1 2 r+
, k ! Z
3.2 O contradomínio de h é:
 (a) [-3, 3] (B) [-2, 2] (C) [-1, 1] (D) ,
2
1
2
1
-; E
3.1 h(x) = 0 + 2 cos(3x) = 0 + 3x = 
2
r
 + kr, k ! Z + x = 
6
r
 + 
k
3
r
, k ! Z
 A opção correta é a (B).
3.2 A opção correta é a (B).
4 
O mostrador do relógio da figura é um círculo 
e está apoiado numa barra.
Sabe-se que, t segundos após as zero horas, 
a distância, em metros, da extremidade 
do ponteiro dos minutos à barra é dada por:
d(t) = 1 + 0,8 cos t
1800
r
c m
O comprimento, em metros, do ponteiro dos minutos é:
(a) 0,5 (B) 0,8 (C) 0,9 (D) 1
u1p80h1
x
y
p 2p
24
4
3p 4p 5p 6p
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90
Funções trigonométricas
30 min = 1800 s
d(0) = 1 + 0,8 cos(0) = 1,8 m 
d(1800) = 1 + 0,8 cos 
1800
1800#
r
c m = 0,2 m
, ,
2
1 8 0 2-
 = 0,8 m
A opção correta é a (B).
5 
Se tan x = -
4
3
 e x ! ]0, r[ , o valor exato da expressão 3 - 5 sin2 x é:
(a) -
5
6
(B) -
5
1
(C) 
5
1
(D) 
5
6
cos2 x + sin2 x = 1 + 
sin
cos
sin sin
sin
x
x
x
x
x
1
2
2
2
2
2+ = + 
+ 
tan sinx x
1
1
1
2 2+ = + 
3
4 2
-d n + 1 = 
sin x
1
2 + sin2 x = 
25
9
Logo, 3 - 5 sin2 x = 3 - 5 × 
25
9
 = 
15 9
5
-
 = 
6
5
 .
A opção correta é a (D).
6 
No referencial o.n. da figura estão 
representados os gráficos das 
funções f e g de domínio [0, 2r] 
definidas por f(x) = sin x 
e g(x) = cos x .
Os pontos P e Q são os pontos de interseção dos dois gráficos.
O valor exato dePQ é:
(a) 
2
r
(B) 
4
2
2r
+ (C) r (D) 22r +
sin x = cos x + x = 
4
r
 + kr, k ! Z 
Assim, tem-se P ,
4 2
2r
e o e Q ,
4
5
2
2r
-e o .
Portanto: 
PQ = 
4
5
4 2
2
2
22 2
r r
- + - -d en o = 22r +
A opção correta é a (D).
u1p81h1
x
y
O
P g
f
Q
000707 061-105 U4.indd 90 01/07/16 11:46
91
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
7 
Qual é o valor de tanearccos
13
5
d no ?
(a) 
12
5
(B) 
5
12
(C) 
13
12
(D) 
12
13
Seja arccos 
13
5
 = y . Então, cos y = 
13
5
 e y pertence ao 1.º quadrante .
Calcule-se o valor exato de tan y :
1 + tan2 y = 
cos y
1
2 + 1 + tan2 y = 
13
5
1
2
d n
 + tan2 y = 
25
144
 
Como y ! 1.º Q , tan y = 
5
12
 .
A opção correta é a (B).
8 
Qual é o valor de x tal que arcsin(2x - 3) = -
6
r
 ?
(a) -
4
5
(B) -
4
7
(C) 
4
7
(D) 
4
5
arcsin(2x - 3) = -
6
r
 & sin^arcsin(2x - 3)h = sin
6
r
-c m & 
& 2x - 3 = 
2
1
- + x = 
4
5
A opção correta é a (D).
9 
Para qualquer valor real de x , a expressão 
sin(r - x) sin(-x) + cos(r + x) sin x
2
r
+c m 
é igual a:
(a) -sin x (sinx + cos x)
(B) -sin2x + cos2x
(C) 1
(D) -1
sin(r - x) sin(-x) + cos(r + x) sin x
2
r
+c m = 
= sin x (-sin x) - cos x cos x = 
= -sin2 x - cos2 x = -(sin2 x + cos2 x) = -1 
A opção correta é a (D).
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92
Funções trigonométricas
10 
Seja m ! IR . Os valores de m para os quais a equação 1 - sin x = m2 
é possível são:
(a) , 23- -A A , ,2 3+7 7 
(B) ,2 2-7 A 
(C) , 23-A A 
(D) ,2 2- 7A 
A equação é possível se, e só se, -1 G 1 - m2 G 1 .
A opção correta é a (B).
11 
Qual das seguintes representações gráficas traduz as soluções da equação 
-2 cos x - 1 = 0 no intervalo ]-r, r[ ?
(a)   (B) (C) (D) 
A opção correta é a (C).
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos 
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
12 
Considere as funções f e g , reais de variável real, definidas por:
f(x) = -3 sin(2x) e g(x) = 2 cos
x
2
c m
12.1 Determine o valor exato de f 
6
5r
d n + g
2
3r
c m .
12.2 Determine o período fundamental de cada uma das funções f e g .
12.3 Calcule uma expressão geral para os zeros de f e outra para os zeros de g .
12.4 Determine o contradomínio de g .
12.5 Estude a paridade de f e de g .
12.1 f 
6
5r
d n + g
2
3r
c m = -3 sin 2
6
5
#
r
d n + 2 cos
2
2
3r
f p
 =
 = -3 sin
3
r
-c m + 2 cos
4
r
r
-c m = 3 sin
3
r
c m - 2 cos
4
r
c m = 
 = 
2
3 3 2 2-
 
u1p81h2
x
y
O
u1p81h3
x
y
O
u1p81h4
x
y
O
u1p81h5
x
y
O
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93
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
12.2 Como o período fundamental de sin x é 2r , o período fundamental 
de f(x) é r .
 Como o período fundamental de cos x é 2r , o período fundamental 
de g(x) é 4r .
12.3 Zeros de f : 
 f(x) = 0 + -3 sin(2x) = 0 
arcsin 0 0
+
=
 2x = kr, k ! Z + 
 + x = k
2
r
, k ! Z 
 Zeros de g : 
 g(x) = 0 + 2 cos
x
2
c m = 0 
arccos0
2
+ r
=
 
x
2
 = 
2
r
 + kr, k ! Z + 
 + x = r + 2kr, k ! Z 
12.4 -1 G cos
x
2
c m G 1 + -2 G 2 cos
x
2
c m G 2
 Assim, Dlg = [-2, 2] .
12.5 Tem-se que -x e x ! D , então:
 f(-x) = -3 sin(-2x) = 3 sin(2x) ; logo, f é ímpar.
 g(-x) = 2 cos
x
2
-
c m = 2 cos
x
2
c m ; logo, g é par.
13 
A profundidade da água do mar, 
à entrada de um certo porto de abrigo, 
varia com a maré.
Admita que o tempo que decorre entre 
cada maré baixa e cada maré alta é de 
6 horas, sendo igualmente de 6 horas 
o tempo que decorre entre cada maré alta 
e cada maré baixa.
Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode definir a função 
que dá a profundidade, em metros, da água do mar, à entrada desse porto, 
t horas após a maré baixa.
Qual é a expressão correta? 
(a) 9 - 2 cos t
6
r
c m
(B) 9 - 2 cos t
3
r
c m
(C) 11 - 4 cos t
12
r
c m
(D) 9 + 2 cos t
6
r
c m
Numa pequena composição, explique as razões pelas quais rejeita as outras 
três expressões.
Apresenta três razões diferentes, uma por cada expressão rejeitada.
000707 061-105 U4.indd 93 01/07/16 11:46
94
Funções trigonométricas
A função pretendida é periódica de período fundamental 12 , porque ocorre 
uma maré alta a cada 12 horas sempre intercalada com uma maré baixa que 
também acontece a cada 12 horas.
A opção (C) tem período fundamental 24 e a opção (B) tem período 
fundamental 6 ; por isso, a opção correta ou é a (A) ou a (D). Ambas 
as expressões das opções (A) e (D) têm contradomínio [7, 11] . No entanto, 
para t = 0 , obtém-se 7 m na expressão da opção (A) e 11 m na expressão 
da opção (D). Como a função dá a profundidade da água do mar t horas após 
a maré baixa, o valor para t = 0 tem de ser um mínimo da função. Logo, 
a opção correta é a (A).
14 
Simplifique a expressão seguinte:
sin(r + i) + cos(-i) + sin
2
r
i-c m
Calcule o seu valor exato, sabendo que cos i = -
4
1
 / i ! 2.º Q .
Simplifique-se a expressão:
sin(r + i) + cos(-i) + sin
2
r
i-c m = 
= -sin i + cos i + cos i = -sin i + 2 cos i
Calcule-se o valor de sin i :
sin2 i + cos2 i = 1 + sin2 i + 
4
1 2
-c m = 1 + 
+ sin2 i = 
16
15
 + sin i = !
4
15
 
Como i ! 2.º Q , sin i = 
4
15
 . 
Assim, -sin i + 2 cos i = 
4
15 2- -
 .
15 
Seja h uma função, de domínio IR , definida por: 
h(x) = 2 + (1 + cos x)2 - (1 - cos x)2
15.1 Mostre que:
 a) h(x) = 2 + 4 cos x
 b) h é 4r-periódica . O valor 4r é o período fundamental de h ?
15.2 Sabendo que h(a) = 1 e que a pertence ao 3.º quadrante, determine 
o valor exato de:
sin(a + r) + cos
2
r
a+c m
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95
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
15.1 a) h(x) = 2 + (1 + cos x)2 - (1 - cos x)2 =
 = 2 + 1 + 2 cos x + cos2 x - 1 + 2 cos x - cos2 x = 2 + 4 cos x
 b) h(x + 4r) = 2 + 4 cos(x + 4r) = 2 + 4 cos(x + 2 × 2r) = 
 
cos é 2 periódica
=
-r
 2 + 4 cos x
 Logo, h é 4r-periódica , mas 4r não é o período fundamental, 
uma vez que h também é 2r-periódica .
15.2 Simplificando a expressão, tem-se:
sin(a + r) + cos
2
r
a+c m = -sin a - sin a = -2 sin a
 Tem-se que h(a) = 1 + 2 + 4 cos a = 1 + cos a = -
4
1
 .
 Logo: 
cos2 a + sin2 a = 1 + sin2 a = 1 - 
4
1 2
-c m + 
+ sin2 a = 
16
15
 
3. Qo
+
!a
 sin a = -
4
15
 Portanto, -2 sin a = 
2
15
 .
16 
Determine os valores de k reais para os quais é possível, em IR , a condição:
sin x = k 1+ / cos x = k
Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se:
cos2 a + sin2 a = 1 + k2 + k 1
2
+_ i = 1 + k2 + k = 0 + 
+ k2 + k = 0 + k(k + 1) = 0 + k = 0 0 k = -1
Substituindo na condição, tem-se que k = 0 ou k = -1 é possível . Logo, 
k pode assumir os valores 0 e -1 .
17 
No referencial o.n. xOy da figura está representado o gráfico da função f 
de domínio [-r, r] , definida por f(x) = 1 - 2 sin2x e o triângulo [AOB] .
Sabe-se que:
•	 os	pontos		A e B pertencem ao gráfico de f ;
•	 o	ponto		A pertence ao eixo Ox e o ponto B pertence ao eixo Oy .
u1p83h1 
x
y
OA
B
p2p
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96
Funções trigonométricas
17.1 Sabendo que para b ! ,
2
r
r;E se tem f(b) = 0,1 , determine o valor 
exato de:
cos b + sin(r + b)
17.2 Determine a área do triângulo [AOB] .
17.3 Determine os valores do domínio de f , tais que f(x) = -
2
1
 .
17.1 Simplificando a expressão, tem-se:
cos b + sin(r + b) = cos b - sin b 
 Calcule-se sin b e cos b : 
f(b) = 0,1 + 1 - 2 sin2 b = 0,1 + sin2 b = 
20
9
 + 
+ sin b = !
10
3 5
 
 Tem-se que:
sin2 b + cos2 b = 1 + 
20
9
 + cos2 b = 1 + 
+ cos2 b = 
20
11
 + cos b = !
10
55
 Como b ! ,
2
r
r;E , sin b = 
10
3 5
 e cos b = -
10
55.
 Assim, cos b - sin b = -
10
55 3 5+
 .
17.2 Determine-se a ordenada de B :
f(0) = 1 - 2 sin2 0 = 1
 Determine-se a abcissa de A :
 f(x) = 0 + 1 - 2 sin2 x = 0 + sin2 x = 
2
1
 + 
 + sin x = !
2
2
 + x = 
4
r
 + k
2
r
, k ! Z
 A abcissa de A corresponde ao zero da função com abcissa menor, ou seja, 
 
4
3r
- .
 Assim, A[AOB] = 
AO BO
2
#
 = 
2
4
3
1#
r
 = 
8
3r
 .
17.3 f(x) = 
2
1
- + 1 - 2 sin2 x = 
2
1
- + sin2 x = 
4
3
 + 
 + sin x = !
2
3
 + x = 
3
r
 + kr 0 x = 
3
2r
 + kr, k ! Z
 Como Df = [-r, r] , as soluções são 
3
r
 e 
3
2r
 para k = 0 
 e -
3
r
 e -
3
2r
 para k = -1 .
 C.S. = , , ,
3
2
3 3 3
2r r r r
- -( 2 
000707 061-105 U4.indd 96 01/07/16 11:47
97
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
18 
Considere o triângulo isósceles da figura, em que a ! ,0
2
r ;E .
18.1 Mostre que a área do triângulo é dada, 
em função de a , por:
A(a) = 4 sin a cos a
18.2 Determine a área do triângulo para a = 
3
r
 .
18.3 Sabendo que sin(r - a) = 
12
5
 , determine o valor exato de A(a) .
18.1 Considere-se a figura seguinte, que resulta da divisão do triângulo inicial 
em dois triângulos retângulos iguais:
 Sabe-se que: 
cos a = 
AC
AB
2
 + AB = 4 cos a 
sin a = 
AC
h
 + h = 2 sin a
 Assim:
A[ABC] = 
AB h
2
#
 = 
cos sin
2
4 2#a a
 = 4 cos a sin a
18.2 A
3
r
c m = 4 cos 
3
r
 sin 
3
r
 = 4 × 
2
1
 × 
2
3
 = 3
18.3 sin(r - a) = 
12
5
 + sin a = 
12
5
 Tem-se que: 
sin2 a + cos2 a = 1 + 
12
5 2
d n + cos2 a = 1 + 
+ cos2 a = 
144
119
 + cos a = !
12
119
 
 Como a ! ,0
2
r ;E , cos a = 
12
119
 . 
 Logo: 
A(a) = 4 × 
12
5
 × 
12
119
 = 
36
5 119
u1p83h2
2 cm 2 cm
a a
u1p83h2
2 cm
C
A B
h 2 cm
a a
000707 061-105 U4.indd 97 01/07/16 11:47
98
Funções trigonométricas
19 
Determine o domínio e os zeros, se existirem, da função definida por:
a) f(x) = tan
x
2
c m b) g(x) = 
( )tan x
x
2
c) h(x) = tan x
1
c m
a) Df = 'x: 
x
2
 ! 
2
r
 + kr, k ! Z1 = 'x: x ! r + 2kr, k ! Z1
 Zeros: f(x) = 0 + tan
x
2
c m = 0 + 
x
2
 = kr, k ! Z + x = 2kr, k ! Z
b) Dg = 'x: 2x ! 
2
r
 + kr, k ! Z / tan(2x) ! 01 = 
 = 'x: x ! k
4
r
, k ! Z1
 Zeros: g(x) = 0 + 
( )tan x
x
2
 = 0 + x = 0 / x ! k
4
r
, k ! Z + x ! Q
c) Dh = 'x: x
1
 ! 
2
r
 + kr, k ! Z / x ! 01 = 
 = 'x: x ! 
k
2
1
r
r+
, k ! Z / x ! 01
 Zeros: h(x) = 0 + tan x
1
c m = 0 + 
 + x ! 0 / x ! 
k
2
1
r
r+
 / x
1
 = kr, k ! Z + 
 + x = 
k
1
r
, k ! Z\{0}
20 
Na figura está representado um cilindro de revolução, tal que:
•	 O é o centro da base inferior;
•	 a	reta		DB é perpendicular a OB ;
•	 D pertence à base superior do cilindro; 
•	 o		raio	da	base	mede		4	cm	;
•	 a é a amplitude do ângulo BOD .
20.1 Prove que o volume do cilindro é dado em função de a por:
V(a) = 64r tan a, a ! ,0
2
r; ;
20.2 Determine a altura do cilindro para a = 
3
r
 .
20.3 Calcule o valor de a para o qual o volume do cilindro é 64r .
20.4 Para que valores de a a altura do cilindro mede o mesmo que 
o diâmetro da base? Utilize valores aproximados às décimas do radiano.
u1p84h1
O B
D
a
000707 061-105 U4.indd 98 01/07/16 11:47
99
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
20.1 Tem-se que tan a = 
OB
DB
 + DB = 4 tan a . Logo:
V(a) = rr2 × DB = r × 42 × 4 tan a = 64r tan a
 O domínio da função é ,0
2
r ;E porque nos casos em que a = 0 
 ou a = 
2
r
 o cilindro fica degenerado.
20.2 DB = 4 tan 
3
r
 = 4 3
20.3 V(a) = 64r + 64r tan a = 64r + tan a = 1 + a = 
4
r
 + kr, k ! Z
 No intervalo ,0
2
r ;E a única solução é a = 
4
r
 .
20.4 DB = 8 + 4 tan a = 8 + tan a = 2 & a = tan-1 2 & a . 1,1 rad
21 
Sabendo que sin(r - x) = 
3
1
 e x ! ,
2
r
r;E , determine o valor exato de:
sin x
2
3r
+c m + tan(2r + x)
Tem-se que: 
sin(r - x) = 
3
1
 + sin x = 
3
1
sin x
2
3r
+c m + tan(2r + x) = -cos x + tan x
Assim:
sin2 x + cos2 x = 1 + 
9
1
 + cos2 x = 1 + 
+ cos2 x = 
9
8
 + cos x = !
3
2 2
 
Como x ! ,
2
r
r;E , cos x = -
3
2 2
 . 
Logo, tan x = cos
sin
x
x
 = 
3
2 2
3
1
-
 = 
4
2
- .
Portanto, -cos x + tan x = 
3
2 2
 - 
4
2
 = 
12
5 2
 .
22 
Determine:
a) arcsin
2
2
-e o
b) arccos 
2
3
c) sinfarccos
2
2
-e op
d) tanearccos 1 + arcsin
5
13
-d no
e) cose
2
r
 - arcsin
2
1
-c mo
f) sinc-arctan 
4
3
m
000707 061-105 U4.indd 99 01/07/16 11:47
100
Funções trigonométricas
a) arcsin
2
2
-e o = - 
4
r
 
b) arccos 
2
3
 = 
6
r
c) sinfarccos
2
2
-e op = sin 
4
3r
 = 
2
2
d) tanearccos 1 + arcsin
13
5
-d no = tane0 + arcsin
13
5
-d no = 
 = tanearcsin
13
5
-d no 
 Seja arcsin
13
5
-d n = y . Então, sin y = 
13
5
- e y pertence ao 1.º quadrante.
 Calcule-se o valor exato de tan y :
cos2 y + sin2 y = 1 + 
tan y
1
2 + 1 = 
sin y
1
2 + 
+ 
tan y
1
2 + 1 = 
25
169
 + tan2 y = 
144
25
 
 Como y ! 4.º Q , tan y = 
12
5
- .
e) cose
2
r
 - arcsin
2
1
-c mo = cose
2
r
 - 
6
r
-c mo = cos 
3
2r
 = 
2
1
-
f) sinc-arctan 
4
3
m = -sincarctan 
4
3
m
 Seja arctan 
4
3
 = y . Então, tan y = 
4
3
 e y pertence ao 1.º quadrante.
 Tem-se que sin(-y) = -sin y .
 Calcule-se o valor exato de sin y :
cos2 y + sin2 y = 1 + 
tan y
1
2 + 1 = 
sin y
1
2 + 
+ 
9
16
 + 1 = 
sin y
1
2 + sin2 y = 
25
9
 
 Como y ! 1.º Q , -sin y = 
5
3
- .
23 
Na figura ao lado está 
representado o gráfico da função 
f(x) = 1 + 2 sin x , de domínio 
[-r, 2r] .
u1p84h2 
x
y
O
A
B
C
000707 061-105 U4.indd 100 01/07/16 11:47
101
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
•	 	Os	pontos		A e B são pontos de interseção consecutivos do gráfico de f 
com o eixo Ox ;
•	 A	abcissa	de		A é negativa e a abcissa de B é positiva;
•	 A	ordenada	de		C é máximo da função f .
Utilizando apenas processos analíticos, determine o valor exato da área 
do triângulo [ABC] .
f(x) = 0 + 1 + 2 sin x = 0 + sin x = 
2
1
- +
+ x = -
6
r
 + 2kr 0 x = r - 
6
r
-c m + 2kr, k ! Z + 
+ x = -
6
r
 + 2kr 0 x = 
6
7r
 + 2kr, k ! Z
As soluções pertencentes a [-r, 2r] são -
6
r
 e 
6
7r
 para k = 0 , 
6
11r
 para k = 1 e -
6
5r
 para k = -1 .
Assim, as abcissas de A e B são, respetivamente, -
6
r
 e 
6
7r
 .
Tem-se que f atinge um máximo quando sin x = 1 ; logo, a ordenada de C , 
yc , é 1 + 2 × 1 = 3 .
Portanto:
A[ABC] = 
AB y
2
c#
 = 
2
6
7
6
3#
r r
+c m
 = 2r
24 
Resolva, em IR , as seguintes equações:
a) 2 - sin x = 1
b) 2 - 2 cos x = 3
c) 2 sin x - 3 = 0
d) 1 + cos(2x) = sin
2
r
-c m
e) sin x cos(2x) = 0
f) 1 - 2 sin2x = 0
g) sin(2x) = cos x 
h) 3 - tan x = 0
i) tan x = tan x2
4
r
-c m
a) 2 - sin x = 1 + sin x = 1 + x = 
2
r
 + 2kr, k ! Z
 C.S. = &x: x = 
2
r
 + 2kr, k ! Z0
b) 2 - 2 cos x = 3 + cos x = 
2
1
- + x = 
3
2r
 + 2kr 0 x = -
3
2r
 + 2kr, k ! Z
 C.S. = &x: x = 
3
2r
 + 2kr 0 x = -
3
2r
 + 2kr, k ! Z0
c) 2 sin x - 3 = 0 + sin x = 
2
3
 + 
 + x = 
3
r
 + 2kr 0 x = 
3
2r
 + 2kr, k ! Z
 C.S. = &x: x = 
3
r
 + 2kr 0 x = 
3
2r
 + 2kr, k ! Z0
000707 061-105 U4.indd 101 01/07/16 11:47
102
Funções trigonométricas
d) 1 + cos(2x) = sin
2
r
-c m + 1 + cos(2x) = -1 + cos(2x) = -2 + x ! Q
 C.S. = Q
e) sin x cos(2x) = 0 + sin x = 0 0 cos(2x) = 0 + 
 + x = kr 0 2x = 
2
r
 + kr, k ! Z + 
 + x = kr 0 x = 
4
r
 + k
2
r
, k ! Z
 C.S. = &x: x = kr 0 x = 
4
r
 + k
2
r
, k ! Z0
f) 1 - 2 sin2 x = 0 + sin2 x = 
2
1
 + sin x = !
2
2
 + 
 + x = 
4
r
 + k
2
r
, k ! Z
 C.S. = &x: x = 
4
r
 + k
2
r
, k ! Z0
g) sin(2x) = cos x + sin(2x) = sin x
2
r
-c m +
 + 2x = 
2
r
 - x + 2kr 0 2x = r - x
2
r
-c m + 2kr, k ! Z +
 + 3x = 
2
r
 + 2kr 0 x = 
2
r
 + 2kr, k ! Z + 
 + x = 
6
r
 + k
3
2r
 0 x = 
2
r
 + 2kr, k ! Z
 C.S. = &x: x = 
6
r
 + k
3
2r
 0 x = 
2
r
 + 2kr, k ! Z0
h) 3 - tan x = 0+ tan x = 3 + x = 
3
r
 + kr, k ! Z
 C.S. = &x: x = 
3
r
 + kr, k ! Z0
i) tan x = tan x2
4
r
-c m + x = 2x - 
4
r
 + kr, k ! Z + 
 + x = 
4
r
 + kr, k ! Z
 C.S. = &x: x = 
4
r
 + kr, k ! Z0
25 
Resolva, em ,
2
2
r
r; E , a equação seguinte:
2 sin2x = 1 - cos x
2 sin2 x = 1 - cos x + 2(1 - cos2 x) = 1 - cos x + 
+ 2 cos2 x - cos x - 1 = 0 + cos x = 
( )
2 2
1 1 4 2 1
#
! # #- -
 + 
+ cos x = 
4
1 9!
 + cos x = 1 0 cos x = 
2
1
- +
+ x = 2kr 0 x = 
3
2r
 + 2kr 0 x = -
3
2r
 + 2kr, k ! Z + x = 
k
3
2 r
, k ! Z
Soluções no intervalo ,
2
2
r
r; E : 
3
2r
 , 
3
4r
 e 2r . Logo, C.S. = , ,
3
2
3
4
2
r r
r( 2 .
000707 061-105 U4.indd 102 01/07/16 11:47
103
4UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
26 
Considere um triângulo retângulo [ABC] , 
cujos catetos são [AB] e [BC] .
Admita que se tem AB = 1 , BAWC = x 
e 0 0 / x ! ]-r, r [ 
Recorrendo à circunferência trigonométrica, no intervalo ]-r, r[ , 
observa-se que:
2 sin x - 3 > 0 + sin x > 
2
3
 + x ! ,
3 3
2r rSabe-se que:
•	 	A é um ponto da circunferência do 3.o quadrante;
•	 	B tem coordenadas (0, 1) ;
•	 	[AC] é um diâmetro da circunferência;
•	 	i é o ângulo de lado extremidade OoC e de lado 
origem o semieixo positivo Ox .
A área do triângulo [ABC] é, em função de i , igual a:
(A) sin i (B) cos i (C) 
tan
1
i
(D) 
2
1
 sin i
Como [AC] é um diâmetro, o triângulo [ABC] é retângulo em B .
Tome-se para base o lado [AB] e para altura o lado [BC] .
Tem-se C(cos i, sin i) e A(-cos i, -sin i) . Logo:
AB = ( ) ( )cos sin0 12 2i i+ + + =
= cos sin sin1 22 2i i i+ + + = sin2 2 i+
BC = ( ) ( )cos sin0 12 2i i- + - =
= cos sin sin1 22 2i i i+ - + = sin2 2 i-
Assim: 
A[ABC] = 
sin sin
2
2 2 2 2#i i+ -
 = 
sin
2
4 4 2i-
 = cos2i 
cos 0
+
2i
 cos i
Em alternativa: A[ABC] = 2A[OCB] = 2 × 
cos
2
1 # a
 = cos a .
A opção correta é a (B).
10 
Para os valores de x para os quais está definida, a expressão
sin sin
cos cos
x x
x x
3 4
4
3
3
-
-
é igual a:
(A) cos x (B) tan x (C) 
sin
cos
x
x
(D) cos x
1
 
sin sin
cos cos
x x
x x
3 4
4
3
3
-
-
 = 
( )
( )
sin sin
cos cos
x x
x x
3 4
4 1
2
2
-
-
 = 
( )
( )
sin sin
cos sin
x x
x x
3 4
4 4 1
2
2
-
- -
 = 
= 
( )
( )
sin sin
cos sin
x x
x x
3 4
43
2
2
-
-
 = 
sin
cos
x
x
 
A opção correta é a (C).
u1p91h2
x
y
u
O
B
A
C
000707 106-133.indd 109 01/07/16 11:48
110
AvAliAção globAl de conhecimentos
u1p92h2
x
O
B
A
y
u1p92h1
11 
Um pêndulo oscila descrevendo um ângulo de amplitude 
6
r
 radianos e um arco de comprimento 11 centímetros.
O comprimento do pêndulo é, aproximadamente, igual a:
(A) 18 cm (B) 19 cm (C) 20 cm (D) 21 cm
r r r
2
2
11
6 1
66
66
+ +
r
r
r
r
r= = = . 21 
A opção correta é a (D).
12 
Na figura ao lado, estão representados, num referencial 
o.n. xOy , uma circunferência e o triângulo [OAB] .
Sabe-se que:
•	 	O é a origem do referencial;
•	 	a	circunferência	tem	centro	no	ponto		O e raio 1 ;
•	 	A é o ponto de coordenadas (-1, 0) ; 
•	 	B pertence à circunferência e tem ordenada negativa;
•	 	o	ângulo		AOB tem amplitude igual a 
3
2r
 radianos.
Qual é a área do triângulo [OAB] ?
(A) 
4
3
(B) 
1
2
(C) 
4
1
(D) 3
Exame Nacional do 12.º ano, 2011
Tomando para base o lado [AO] , então, a altura é o valor simétrico 
da ordenada de B .
Esta é uma circunferência trigonométrica; logo, a ordenada de B é: 
sin
3
2
r
r
+d n = -sin 
3
2r
 = -
2
3
 
Assim, A[AOB] = 
2
1
2
3
#
 = 
3
4
 .
A opção correta é a (A).
13 
Indique qual dos seguintes valores não é período da função real de variável real 
f(x) = sin(3x) .
(A) 
3
2r
(B) r (C) 
3
4r
(D) 2r
A opção correta é a (B). 
000707 106-133.indd 110 01/07/16 11:48
111
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
14 
Seja g uma função de domínio IR e período fundamental 3 , em que se sabe que:
g(x) = x2 / x ! [-1, 2]
O contradomínio de g é:
(A) [1, 4] (B) [0, 4] (C) [-1, 4] (D) [0, 1]
A opção correta é a (B). 
15 
Considere o conjunto A = &x ! IR: x = cosc
3
r
 + krm, k ! Z0 .
Então, tem-se que:
(A) A = 
2
1
-' 1 (C) A = ,
2
1
2
1
-' 1
(B) A = 
2
1
' 1 (D) A = , , ,1
2
1
2
1
1- -' 1
A opção correta é a (C). 
16 
Selecione a proposição falsa.
(A) arcsin 
2
2
 - arcsin 
2
1
 = 
12
r
(B) arcsin 
2
2
 + arctan 3 = 
12
7r
(C) sin`arctan 3-_ ij = 
2
3
(D) tan(arccos 1) = 0
A opção correta é a (C). 
17 
Seja b um número real, tal que b = arccos
5
1
-d n . 
O valor de cos b + sin b é igual a:
(A) 
5
1 2 6- -
(B) 
5
3
(C) 
25
19
(D) 
5
1 2 6- +
Tem-se que cos b = -
5
1
 . Assim: 
cos2 b + sin2 b = 1 + 
25
1
 + sin2 b = 1 + sin2 b = 
25
24
 
Como b ! [0, r] , sin b = 
5
2 6
 .
Logo, cos b + sin b = -
5
1
 + 
5
2 6
 .
A opção correta é a (D).
000707 106-133.indd 111 01/07/16 11:48
112
AvAliAção globAl de conhecimentos
18 
Seja f a função de domínio [-1, 1] definida por f(x) = arcsin x .
Sabe-se que o ponto de coordenadas (y, i) pertence ao gráfico da função f .
Selecione a proposição falsa.
(A) sin(r - i) = y
(B) cos
2
r
i-c m = y
(C) sin(r + i) = -y
(D) cos
2
3r
i+c m = -y
Tem-se que i = arcsin y + y = sin i
A opção correta é a (D).
19 
No referencial o.n. da figura está 
representado o gráfico de uma função f 
definida por f(x) = arcsin(x + a) + b , 
em que a e b designam números reais.
Sabe-se que Df = [1, 3] e que, tal como 
a figura sugere, f(2,5) = 
2
r
 .
Então, tem-se:
(A) a = -2 e b = 
3
r
(B) a = -2 e b = 
2
r
(C) a = 2 e b = 
3
r
(D) a = 2 e b = 
2
r
O domínio da função arcsin é [-1, 1] ; logo, a = -2 .
f(2, 5) = 
2
r
 + arcsin(2,5 - 2) + b = 
2
r
 + 
6
r
 + b = 
2
r
 
A opção correta é a (A).
20 
Seja a um número real. Sabe-se que a é uma solução da equação 
cos x = -
5
1
 .
Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação cos x = 
5
1
 ?
(A) -a
(B) r + a
(C) 2r - a
(D) 
2
r
 + a
A opção correta é a (B). 
u1p93h1
xO 2,5
y
f
p
2}
000707 106-133.indd 112 01/07/16 11:48
113
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos 
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
21 
De acordo com os dados da figura 
determine:
a) um valor aproximado às centésimas 
da distância entre os dois barcos 
^ BC h .
b) a amplitude, em graus, arredondada 
às unidades, dos outros dois 
ângulos internos do triângulo 
[ABC] .
a) Usando o teorema de Carnot:
a2 = c2 + b2 - 2cb cos a + 
+ a2 = 625,52 + 785,52 - 2 × 625,5 × 785,5 × cos 23° +
+ a2 = 391250,25 + 617010,25 - 982660,5 × cos 23° &
& a c , ,1008260 5 904543 76- & a c 322,05 m
b) Usando o teorema de Carnot:
c2 = a2 + b2 - 2ab cos CW + 
+ 625,52 = 322,052 + 785,52 - 2 × 322,05 × 785,5 cos CW +
+ 391250,25 - 103716,2 - 617010,25 = -505940,55 cos CW &
& cos CW c 0,6512 & CW c 49°
 Tem-se que BW c 180° - (23° + 49°) = 108° .
 NOTA: Pode-se, em alternativa, usar a lei dos senos em ambos os casos.
22 
De acordo com os dados da figura seguinte, determine 
sin
sin
a
b
 .
A
B C
785,5 m
625,5 m
23º
u1p94h2
3 m
b
a
37º
60º
3 3 m!w
000707 106-133.indd 113 01/07/16 11:48
114
AvAliAção globAl de conhecimentos
Seja a a altura do triângulo. Tem-se que:
sin sin
a 3 3
60°a
= e 
sin sin
a 3
37°b
= 
Logo: 
sin
sin
a
b
 = 
sin
sin
a
a
3 3
60
3
37
°
°
#
#
 = 2 sin 37°
23 
Na figura ao lado está representado um triângulo [ABC] .
23.1 Sabendo que 
sin
2
b
 = 
sin
5
c
 e que 
 b = 150 m , determine a medida de c 
em metros.
23.2 Determine c , em graus, se: 
c2 = a2 + b2 - 3ab 
23.1 Pela lei dos senos, 
sin
b
b
 = 
sin
c
c
 . Sabe-se que: 
sin
2
b
 = 
sin
5
c
 + 
sin
150
b
 = 
sin
375
c
 
 Logo, c = 375 m .
23.2 Pelo teorema de Carnot, c2 = a2 + b2 - 2ab cos c . 
 Assim, cos c = 
2
3
 ; logo, c = 30° .
24 
Na figura ao lado está representado o quadrado 
[ABCD] de lado 2 .
Considere um ponto P , que se desloca ao longo 
do lado [CD] , nunca coincidindo com o ponto C 
nem com o ponto D . 
Para cada posição do ponto P , seja x a amplitude, 
em radianos, do ângulo BAP ,x
4 2
!
r r
e o;E .
Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à calculadora, a não ser para 
eventuais cálculos numéricos.
u1p94h3
C
A
b a
c B
ba
g
u1p94h4
D C
A
2
2
B
P
x
000707 106-133.indd 114 01/07/16 11:48
115
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
24.1 Mostre que a área da região colorida é dada por 4 - tan x
2
 .
24.2 Determine o valor de x para o qual a área da região colorida 
 é 
3
12 2 3-
 .
24.3 Para um certo valor de x , sabe-se que cos x
2
r
+c m = -
1
17
5
 .
 Determine, para esse valor de x , a área da região colorida.
Teste Intermédio do 11.º ano, 2010
24.1 Tem-se que tanx = 
A'
PA'
A
 + AA' = tan x
2
 . 
 Assim, PC = 2 - tan x
2
 .
 A[ABCP] = 
PC AB
2
+
 × CB = 
 = 
tan x
2
2
2
2- +c m
 × 2 = 4 - tan x
2
24.2 A[ABCP] = 
3
12 2 3-
 + 4 - tan x
2
 = 
3
12 2 3-
 + 
 + tan x
1
 = 
3
3
 + tan x = 3 & x = 60°
24.3 Tem-se que cos x
2
r
+c m = -sin x ; logo, sin x = 
15
17
 .
 Usando a fórmula fundamental da trigonometria: 
sin2 x + cos2 x = 1 + 1 + 
tan x
1
2 = 
sin x
1
2 + 
+ 1 + 
tan x
1
2 = 
17
15
1
2
d n
 + 1 + 
tan x
1
2 = 
225
289
 + 
+ tan2 x = 
64
225
 
 Como x ! 1.º Q , tan x = 
8
15
 ; logo, A[ABCP] = 4 - 
8
15
2
 = 
4
11
 .
u1p94h4
D C
A
Al2
2
B
P
x
000707 106-133.indd 115 01/07/16 11:49
116
AvAliAção globAl de conhecimentos
25 
Mostre que:
a) 
cos
sin
x
x
1-
 = 
sin
cos
x
x1+
 , 6x ! IR\{x: x = kr, k ! Z}
b) sin4x - cos4x = sin2x - cos2x , 6x ! IR
c) cos3x + sin2x cos x = cos x, 6x ! IR
d) 1 - 
sin
cos
x
x
1
2
+
 = sin x, 6x ! IR\{x: x = -
2
r
 + 2kr, k ! Z}
a) 
cos
sin
x
x
1-
 = 
( ) ( )
( )
cos cos
sin cos
x x
x x
1 1
1
+
+
-
 = 
( )
cos
sin cos
x
x x
1
1
2-
+
 = 
 = 
( )sin cos
sin x
x x1
2
+
 = 
sin
cos
x
x1 +
 Esta expressão está definida desde que: 
1 - cos x ! 0 / sin x ! 0 + x ! kr, k ! Z
b) sin4 x - cos4 x = (sin2 x - cos2 x)(sin2 x + cos2 x) = sin2 x - cos2 x
c) cos3 x + sin2 x cos x = cos x(cos2 x + sin2 x) = cos x
d) 1 - 
sin
cos
x
x
1
2
+
 = 1 - 
sin
sin
x
x
1
1 2
+
-
 = 1 - 
( ) ( )
sin
sin sin
x
x x
1
1 1
+
+ -
 = sin x
 Esta expressão está definida desde que: 
1 + sin x ! 0 + x ! -
2
r
 + 2kr, k ! Z
26 
Na figura seguinte estão representadas em referencial ortogonal as restrições 
das funções f e g , definidas por f(x) = sin x + 1 e g(x) = cos2 x - sin2 x , 
ao intervalo [0, 2r] .
26.1 Calcule os zeros da função f × g .
26.2 Determine as coordenadas dos pontos de interseção dos dois gráficos.
26.3 Os pontos P e Q pertencem, respetivamente, aos gráficos de f e de g , 
têm a mesma abcissa e distam de uma unidade. Determine todos os pares 
de pontos (P, Q) destes gráficos que gozam da mesma propriedade.
u1p95h1
x
y
O
P
Q
2p
000707 106-133.indd 116 01/07/16 11:49
117
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
26.4 Resolva a inequação f(x) > 
2
1
 , representando o conjunto solução 
 na forma de intervalo ou união de intervalos de números reais.
Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano
26.1 ( f × g)(x) = (sin x + 1)(cos2 x - sin2 x)
 ( f × g)(x) = 0 + (sin x + 1)(cos2 x - sin2 x) = 0 +
 + sin x + 1 = 0 0 cos2 x - sin2 x = 0 +
 + x = -
2
r
 + 2kr, k ! Z 0 sin x = cos x 0 sin x = -cos x +
 + x = -
2
r
 + 2kr 0 x = 
4
r
 + k
2
r
, k ! Z
 No intervalo [0, 2r] , tem-se as soluções 
4
r
 para k = 0 , 
2
3r
 e 
4
3r
 
 para k = 1 , 
4
5r
 para k = 2 e 
4
7r
 para k = 3 .
26.2 f(x) = g(x) + sin x + 1 = cos2 x - sin2 x +
 + sin x + cos2 x + sin2 x = cos2 x - sin2 x + 
 + sin x + 2 sin2 x = 0 + sin x = 0 0 1 + 2 sin x = 0 + 
 + x = kr, k ! Z 0 sin x = 
2
1
- +
 + x = kr 0 x = -
6
r
 + 2kr 0 x = r + 
6
r
 + 2kr, k ! Z +
 + x = kr 0 x = -
6
r
 + 2kr 0 x = 
6
7r
 + 2kr, k ! Z
 No intervalo [0, 2r] , tem-se as soluções 0 e 
6
7r
 para k = 0 , r 
 e 
6
11r
 para k = 1 e 2r para k = 2 .
 Calcule-se as ordenadas destes pontos: 
f(0) = sin 0 + 1 = 1
f 
6
7r
c m = sin 
6
7r
 + 1 = 
2
1
f(r) = sin r + 1 = 1
f 
6
11r
d n = sin 
6
11r
 + 1 = 
2
1
f(2r) = sin 2r + 1 = 1
 Assim, as coordenadas dos pontos de interseção são: 
(0, 1) ; ,
6
7
2
1r
d n ; (r, 1) ; ,
6
11
2
1r
d n e (2r, 1)
000707 106-133.indd 117 01/07/16 11:49
118
AvAliAção globAl de conhecimentos
26.3 Tem-se que para os pontos P e Q : 
 f(x) = g(x) + 1 0 f(x) = g(x) - 1 +
 + sin x + 1 = cos2 x - sin2 x + 1 0 sin x + 1 = cos2 x - sin2 x - 1 +
 + sin x = cos2 x - sin2 x 0 sin x + 2 = cos2 x - sin2 x +
 + sin x = 1 - 2 sin2 x 0 sin x + 2 = 1 - 2 sin2 x +
 + 2 sin2 x + sin x - 1 = 0 0 2 sin2 x + sin x + 1 = 0 +
 + sin x = 
( )
2 2
1 1 4 2 1
#
! # #- - -
 0 sin x
2 2
1 1 4 2 1
Eq. impossível
#
! # #
=
- -
1 2 34444444 4444444
 + 
 + sin x = 
4
1 9!-
 + sin x = 
2
1
 0 sin x = -1 +
 + x = 
6
r
 + 2kr 0 x = 
6
5r
 + 2kr 0 x = 
2
3r
 + 2kr, k ! Z
 No intervalo [0, 2r] , tem-se as soluções 
6
r
 , 
6
5r
 e 
2
3r
 para k = 0 .
 Calcule-se as ordenadas destes pontos: 
f 
6
r
c m = sin 
6
r
 + 1 = 
2
3
f 
6
5r
d n = sin 
6
5r
 + 1 = 
2
3
f 
2
3r
c m = sin 
2
3r
 + 1 = 0
 Assim, as coordenadas dos pontos P e Q podem ser, respetivamente: 
 ,
6 2
3r
d n e ,
6 2
1r
d n ; ,
6
5
2
3r
d n e ,
6
5
2
1r
d n ou ,
3
0
2
r
c m e ,
2
3
1
r
-c m
26.4 f(x) > 
2
1
 + sin x + 1 > 
2
1
 + sin x > 
2
1
-
 Usando a circunferência trigonométrica, no intervalo [0, 2r] , observa-se que:
sin x > 
2
1
- + x ! ,0
6
7r; ; , ,
6
11
2
r
rF F 
 C.S. = ,0
6
7r; ; , ,
6
11
2
r
rF F
27 
Simplifique as expressões seguintes:
a) sin x
2
r
+c m - cos(-r - x) + cos(3r + x)
b) tan(-x) - sin x
2
3r
- +c m + cos(-x)
c) sin x
2
7r
+c m + sin(9r + x) + cos(x - r)
d) sin x
2
3r
+c m tan x
2
r
+c m
000707 106-133.indd 118 01/07/16 11:49
119
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
a) sin x
2
r
+c m - cos(-r - x) + cos(3r + x) = cos x + cos x - cos x = cos x
b) tan(-x) - sin x
2
3r
- +c m + cos(-x) = -tan x - cos x + cos x = -tan x
c) sin x
2
7r
+c m + sin(9r + x) + cos(x - r) = 
 = sin x
2
3r
+c m + sin(r + x) - cos x = -cos x - sin x - cos x = 
 = -sin x - 2 cos x
d) sin x
2
3r
+c m tan x
2
r
+c m = -cos x 
sin
cos
x
x
-c m = 
sin
cos
x
x2
 = 
 = 
sin
sin
x
x1 2-
 = 
sin x
1
 - sin x
28 
Determine o valor exato de:
a) sin 
4
r
 - 2 cos
3
2r
-d n + 3 tan 
4
5r
 
b) cos 
7
6
r
 - sin 
3
4r
 + 2 cos 
6
13r
c) sin 
4
7r
 - cos(-3r) - tan 
3
8r
d) sin 
4
7r
-c m - sin 
4
17r
 + 2 sin 
3
26r
 + tan 
6
11r
-d n
Recorrendo à circunferência trigonométrica:
a) sin 
4
r
 - 2 cos
3
2r
-d n + 3 tan 
4
5r
 = 
2
2
 - 2 cos
3
r
-c m + 3 tan
4
r
r
+c m = 
 = 
2
2
 - 2 × 
2
1
-c m + 3 × 1 = 
2
8 2+
 
b) cos 
6
7r
 - sin 
3
4r
 + 2 cos 
6
13r
 = 
 = cos
6
r
r
+c m - sin
3
r
r
+c m + 2 cos 2
6
r
r
+c m =
 = -
2
3
 + 
2
3
 + 2 × 
2
3
 = 3
c) sin 
4
7r
 - cos(-3r) - tan 
3
8r
 = sin 2
4
r
r
-c m - cos r - tan 2
3
2
r
r
+d n =
 = -
2
2
 + 1 + 3 = 
2
2 2 3 2+ -
 
d) sin 
4
7r
-c m - sin 
4
17r
 + 2 sin 
3
26r
 + tan 
6
11r
-d n =
 = sin 
4
r
 - sin 
4
r
 + 2 sin
3
2r
 + tan 
6
r
 = 
 = 
2
2
 - 
2
2
 + 2 × 
2
3
 + 
3
3
 = 
3
4 3
 
000707 106-133.indd 119 01/07/16 11:49
120
AvAliAção globAl de conhecimentos
29 
Na figura está representado um cone de revolução.
•	 A	geratriz		[VB] mede 2 cm ;
•	 A	amplitude	do	ângulo		CVB é x ;
•	 [VC] é a altura do cone. 
29.1 Prove que o volume do cone é dado, 
em função de x , por:
V(x) = 
3
8r
 sin2 x cos x , x ! ,0
2
r ;E
29.2 Sabendo que b ! ,0
2
r ;E e que tan b = 
2
5
 , determine o valor exato 
de V(b) .
29.1 Tem-se que: 
cos x = 
VC
2
 + VC = 2 cos x e sin x = 
CB
2
 + CB = 2 sin x
V(x) = 
( )sin cos sin cosr a x x x x
3 3
2 2
3
82 2 2# #r r r
= = 
29.2 1 + tan2 b = 
cos
1
2b
 + 1 + 
4
25
 = 
cos
1
2b
 + cos2 b = 
29
4
 Como b ! ,0
2
r ;E , cos b = 
29
2 29
 .
 Tem-se que tan b = 
cos
sin
b
b
 + 
2
5
 = 
sin
29
2 29
b
 + sin b = 
29
295
 .
 Assim, V(b) = 
3
8
29 29
2 2925
# #r
 = 
2523
0 2940 r
 .
30 
Considere a função real de variável real f , de domínio 
&x ! IR: x ! 
2
r
 + kr, x ! Z0 , definida por:
f(x) = 1 + 
( )
cos
sin cos
x
x x1 2- +
30.1 Mostre que f(x) = 1 - 2 sin x .
30.2 Determine uma expressão geral dos zeros de f .
30.3 Determine, com denominador racional, o valor exato de 
f
f
3de 
cordas. As cordas terão como extremidades 
dois pontos, A e B , em margens opostas.
Para determinar o comprimento das cordas 
foi necessário fixar um ponto C na mesma 
margem de A , medir a distância entre A e B , 
e a amplitude dos ângulos CAB e BCA , 
tendo-se obtido os seguintes resultados:
AC = 35 m , CABW = 39,7° e BCAW = 47,9°
Que comprimento, em metros, devem ter as cordas?
Divida-se o triângulo [ABC] em dois 
triângulos retângulos, marcando a altura, 
hB , relativamente à base AC .
De acordo com a figura apresentada, 
tem-se:
, , °
, , °
tan
tan
x
h
x
h
1 11 47 9
0 83 39 7
35
B
B
= =
= =
-
* + 
,
, ,
h x
h x
1 11
29 05 0 83
B
B
=
= -
* + 
,
,
h
x
16 62
14 97
B =
=
* 
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
AB = ( )h x35B
2 2+ - = , ,16 62 20 032 2+ . 26 m
BC = x h B
2 2+ = , ,14 97 16 622 2+ . 22,37 m
As cordas AB e BC têm, aproximadamente e respetivamente, 26 m e 22,37 m .
11 
Sejam a , b e c ângulos tais que aV = 150° , bT = 135° e cU = 120° .
Indique o valor exato de:
a) sin a - 2 sin b b) 
sin
sin
2 a
c-
a) sin 150º - 2 sin 135º = sin 30º - 2 sin 45º = 
2
1
 - 2
2
2e o = 
2
1
 - 2
b) 
º
º
º
º
sin
sin
sin
sin
2 150
120
2 30
60
2
2
1
2
3
2
3-
=
-
=
-
=-
c m
 
A
BC
u1p12h1
A
B
C 47,9º
42,1º 50,3º
39,7º
35-xx
hB
000707 006-027 U1.indd 12 01/07/16 11:40
13
1UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Tarefa 4 
Considere um triângulo [ABC] tal que 
os ângulos internos de vértices em A e B são 
agudos e de lados cujas medidas de comprimento 
são a = BC , b = AC e c = AB . 
Seja CABW = a . Considere a projeção ortogonal 
Cl do ponto C sobre a reta AB e hC = CCl .
4.1 Escreva ACl e C Bl em função de a .
4.2 Mostre, aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos [AClC] e [ClBC] , 
que hC
2 = a2 - (c - b cos a)2 e hC
2 = b2 - b2 cos2a .
4.3 Da alínea anterior deduza que a2 = b2 + c2 - 2bc cos a .
Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano
4.1 Como cos a = 
b
AC'
 , tem-se AC' = b cos a . 
 Como C'B = AB - AC' , então, C'B = c - b cos a . 
4.2 Aplicando o teorema de Pitágoras a [AC'C] , tem-se que: 
AC' CC' AC
2 2 2
+ = , isto é, por 4.1, hC
2 = b2 - b2 cos2 a . 
 Aplicando o teorema de Pitágoras a [C'BC] , obtém-se: 
CB CC' BC'
2 2 2
= + , isto é, por 4.1, hC
2 = a2 - (c - b cos a)2 .
4.3 Igualando as expressões obtidas em 4.2, tem-se que:
b2 - b2 cos2 a = a2 - (c - b cos a)2 + 
+ b2 - b2 cos2 a = a2 - c2 + 2bc cos a - b2 cos2 a + 
+ a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
 c.q.d.
12 
Determine o raio da circunferência 
representada na figura ao lado.
Considere-se a figura ao lado:
Como AB
%
 = 2 × 60º = 120º , então, AEBW = 120º . 
Como o triângulo [ABE] é isósceles AE BE r= =_ i , 
então, BAEW = 30º = ABEW .
Aplicando a lei dos senos, tem-se:
º ºsin sin
r12
120 30
= + r = 
º
º
sin
sin
120
12 30
 = 
2
3
12
2
1
#
 = 
12 3
2
 = 4 3 u. c.
u1p16h5
r
12
A
B
C
E
60º
u1p16h3
BA
a
c
b
hC
C'
C
a
u1p16h5
r
12
60º
000707 006-027 U1.indd 13 01/07/16 11:40
14
ExtEnsão da trigonomEtria a ângulos rEtos E obtusos 
E rEsolução dE triângulos
13 
De um triângulo [ABC] sabe-se que:
•	 ABCW = 76°
•	 BC = 11 cm
•	 AC = 12 cm
13.1 Justifique que o ângulo BAC é agudo e determine um valor 
aproximado ao grau da sua amplitude.
13.2 Determine um valor aproximado ao centímetro do comprimento 
do lado [AB] .
13.1 Como BC AC1 , então, BAC ABC1W W . 
 Portanto, o ângulo BAC é agudo.
 Aplicando a lei dos senos, tem-se:
ºsin sin A
12
76
11
= + sin A = 
ºsin
12
11 76
 + AW . 63°
13.2 Como ACBW = 180º - (76º + 63º) = 41º , aplicando a lei dos senos, 
tem-se:
º º
º
ºsin sin
sin
sin
AB
AB
12
76 41
76
12 41
+= = + AB . 8 cm
14 
Dois navios saíram de um porto às 8 horas 
da manhã. Um dos navios viajou na direção 
60° nordeste a uma velocidade constante 
de 24 nós. O outro navio viajou na direção 
15° sudeste à velocidade constante de 18 nós, 
conforme a figura ao lado.
Qual será a distância em quilómetros entre 
os navios ao meio-dia?
Apresente o resultado arredondado às unidades.
NOTA: 1 nó é uma unidade de medida de velocidade equivalente a 1852 m/h .
Ao fim de 4 horas, cada um dos navios percorreu, respetivamente:
24 × 1,852 km/h × 4 = 177,792 km 
18 × 1,852 km/h × 4 = 133,344 km 
Então, a distância entre os navios será a medida, d , do lado oposto ao ângulo 
de amplitude 75º .
u1p17h3
60º
15º
000707 006-027 U1.indd 14 01/07/16 11:40
15
1UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Pelo teorema de Carnot, tem-se:
d2 = 133,3442 + 177,7922 - 2 × 133,344 × 177,792 × cos 75º +
+ d2 = 37118,71442 + d . 193 km
Portanto, a distância entre os navios ao meio-dia será de, aproximadamente, 
193 km .
15 
Determine o valor exato de:
a) cos 135° - cos 120°
b) sin 150° ∙ cos 150°
a) cos 135º - cos 120º = cos 45º - cos 60º = 
2
2
2
1
1 2- = -
b) sin 150º $ cos 150º = -sin 30º $ cos 30º = -
2
1
2
3
4
3
# =-
16 
Considere uma circunferência de centro O 
e raio 10 cm . 
Dois raios [OA] e [OB] formam entre si 
um ângulo de 125° .
Determine a medida do comprimento 
da corda [AB] .
Apresente o resultado arredondado à décima 
do centímetro.
Como os outros dois ângulos do triângulo [ABO] são iguais e de amplitude 
27,5º , pela lei dos senos, tem-se:
º , ºsin sin
AB
125
10
27 5
= ,
ou seja,
, º
º
sin
sin
AB
27 5
10 125#
= . 17,7 cm
Portanto, a medida do comprimento da corda [AB] é de, aproximadamente, 
17,7 cm .
Em alternativa, pelo teorema de Carnot:
AB = °cos10 10 200 1252 2+ - . 17,7 cm
u1p18h1
A
B
O
10
10
125º
000707 006-027 U1.indd 15 01/07/16 11:40
16
ExtEnsão da trigonomEtria a ângulos rEtos E obtusos 
E rEsolução dE triângulos
1.3 Resolução de triângulos
17 
Calcule a área de um terreno triangular cujos 
lados medem 80 , 150 e 200 metros.
Apresente o resultado arredondado 
às unidades.
Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se um dos ângulos internos 
do triângulo:
2002 = 802 + 1502 - 2 × 80 × 150 cos a + 
+ 40 000 = 28 900 - 24 000 cos a 
Como 
cos-1
24 000
40 000 28 900
-
-
d n = cos-1
08
37
-d n = cos-1(-0,4625) . 117,5º ,
então, a . 117,549° . 
Assim, a área do triângulo da figura é, aproximadamente, igual a: 
, °
2
80 150 117 549s ni# #
 . 5320 m2 
18 
Resolva cada um dos seguintes triângulos.
Apresente as medidas arredondadas às décimas.
Sempre que nos cálculos intermédios proceder a arredondamentos conserve 
três casas decimais.
a) b) 
a) x = 180º - 85º - 36º = 59º
 Pela lei dos senos, tem-se:
º º
º
ºsin sin
sin
sin
a a
8
85 59
85
8 59
+= = . 6,9 cm
sin sin
sin
sin
b
c
8
85 36
85
8 36º º
º
º
+= = . 4,7 cm
u1p19h2
ac
x
8 cm
A C
B
85º
36º
u1p19h3
a
x
y
4 cm
3 cm
37º
u1p20h4
200 m
150 m
80 m
y ! ]90, 180[ 
000707 006-027 U1.indd 16 01/07/16 11:40
17
1UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
b) Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se:
 a2 = 32 + 42 - 2 × 3 × 4 cos 37° + a2 = 9 + 16 - 24 cos 37° + 
	 + a2 = 25 - 24 cos 37° + a . 2,4 cm
 Pela lei dos senos, tem-se:
,
°sin
2 415
37
 = 
sin x
3
 + sin x = 
,
sin
2 415
3 37°
 + x . 48,4°
 Logo, y . 180° - (37° + 48,38°) . 94,6° .
19 
Sabendo que as diagonais de um paralelogramo 
medem 8 e 6 centímetros e que o menor 
ângulo por elas formado mede 50° , 
determine as medidas dos comprimentos 
dos lados do paralelogramo, aproximadas às décimas.
Recorde:
As diagonais de um paralelogramo intersetam-se nos seus pontos médios.
Sejam l1 e l2 os lados do paralelogramo, em que l1 é o lado oposto ao ângulo 
de amplitude 50º e l2 é o lado oposto ao ângulo de amplitude 130º . 
Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se:
l1
2 = 32 + 42 - 2 × 3 × 4 cos 50º + l1
2 . 9,573 + l1 . 3,1 cm
l2
2 = 32 + 426
7
r
r
c
c
m
m
 .
u1p96h1
x
A B
C
V
2 cm
000707 106-133.indd 120 01/07/16 11:49
121
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
30.1 f(x) = 1 + 
( )
cos
cossin
x
x x1 2- +
 = 
 = 1 + cos
sin cos cossin
x
x x x x1 22 2- - -
 = 
 = 1 + cos
sin cos
x
x x2-
 = 1 - 2 sin x
30.2 f(x) = 0 + 1 - 2 sin x = 0 + sin x = 
2
1
 + 
 + x = 
6
r
 + 2kr 0 x = 
6
5r
 + 2kr, k ! Z
30.3 
f
f
3
6
7
r
r
c
c
m
m
 = 
sin
sin
1 2
3
1 2
6
7
r
r
-
-
 = 
1 2
2
3
1 2
2
1
#
#
-
+
 = 
1 3
2
-
 = 
 = 
1 3
2 2 3
-
+
 = -1 - 3
31 
Determine:
a) sin(arctan 1)
b) tanfarccos
3
2
-d np
c) coscarcsin 
6
1
m
d) tanfarccos(-1) + arcsin
12
5
-d np
a) sin(arctan 1) = sin 
4
r
 = 
2
2
b) Seja arccos
3
2
-d n = y . Então, cos y = -
3
2
 e y pertence ao 2.º quadrante.
 Calcule-se o valor exato de tan y :
1 + tan2 y = 
cos y
1
2 + 1 + tan2 y = 
9
4
1
 + tan2 y = 
4
5
 Como y ! 2.º Q , tan y = -
2
5
 .
c) Seja arcsin 
6
1
 = y . Então, sin y = 
6
1
 e y pertence ao 1.º quadrante.
 Calcule-se o valor exato de cos y :
cos2 y + sin2 y = 1 + cos2 y + 
36
1
 = 1 + cos2 y = 
36
35
 
 Como y ! 1.º Q , cos y = 
6
35
 .
000707 106-133.indd 121 01/07/16 11:49
122
AvAliAção globAl de conhecimentos
d) tanfarccos(-1) + arcsin
12
5
-d np = tanfr + arcsin
12
5
-d np =
 = tanfarcsin
12
5
-d np 
 Seja arcsin
12
5
-d n = y . Então, sin y = -
12
5
 e y pertence ao 4.º quadrante.
 Calcule-se o valor exato de tan y :
cos2 y + sin2 y = 1 + 
tan y
1
2 + 1 = 
sin y
1
2 + 
+ 
tan y
1
2 + 1 = 
144
25
1
 + tan2 y = 
119
25
 
 Como y ! 4.º Q , tan y = -
119
5 119
 .
32 
No referencial o.n. da figura estão 
representados o gráfico da função f , 
tal que f(x) = arccos x , 
o triângulo [ABC] e a reta r.
Sabe-se que:
•	 	C é o ponto do gráfico de f 
de abcissa -1 ;
•	 	B é o ponto de interseção do gráfico 
de f com a reta r ;
•	 	r é a reta de equação y = 
3
r
 ;
•	 	A é o ponto da reta r de abcissa -2 .
32.1 Determine tan
f f
4
1
2
1
-+ce cmo m .
32.2 Calcule a área do triângulo [ABC] .
32.3 Mostre que tan2[ f(x)] = 
x
x1
2
2-
, 6x ! Df\{0} .
32.1 tan f f
4
1
2
1
+ -ce cmo m = tandarccos 
4
1
n + arccos
2
1
-c m = 
 = tandarccos 
4
1
n + 
3
2r
 
 Seja arccos
4
1
c m = y . Então, cos y = 
4
1
 e y pertence ao 1.º quadrante.
u1p96h2
x
y
O-1-2
B
f
A
r
C
000707 106-133.indd 122 01/07/16 11:49
123
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
 Calcule-se o valor exato de tan y :
1 + tan2 y = 
cos y
1
2 + 1 + tan2 y = 
16
1
1
 + tan2 y = 15
 Como y ! 1.º Q , tan y = 15 .
 Assim, tandarccos 
4
1
n + 
3
2r
 = 15 + 
3
2r
 .
32.2 Tem-se f(-1) = arccos(-1) = r ; logo, a ordenada de C é igual a r 
 e a altura do triângulo é r - 
3
r
 = 
3
2r
 .
 Calcule-se a abcissa de B :
f(x) = 
3
r
 + arccos x = 
3
r
 + x = cos 
3
r
 = 
2
1
 Assim, a base do triângulo mede 
2
1
 + 2 = 
2
5
 . 
 Logo: 
A[ABC] = 
AB h
2
#
 = 
2
2
5
3
2
#
r
 = 
6
5r
 
32.3 tan2[ f(x)] = tan2[arccos x]
 Seja arccos x = y . Então, cos y = x .
 Calcule-se o valor exato de tan2 y :
1 + tan2 y = 
cos y
1
2 + 1 + tan2 y = 
x
1
2 + tan2 y = 
x
x1
2
2-
 
 Esta expressão só faz sentido para valores não nulos pertencentes 
ao domínio de f .
33 
Um ponto C desloca-se sobre uma 
semicircunferência de diâmetro [AB] 
e centro O .
Considere que o comprimento do segmento 
[AC] , em função da amplitude x do ângulo 
AOC , é dado por: 
d(x) = 2 sin
x
2
c m , x ! [0, r]
Determine:
a) OA
b) o valor de x para o qual d(x) = 3 .
c) os valores entre os quais varia o perímetro do triângulo [AOC] . 
u1p97h1
AB
C
O
d (x)
x
000707 106-133.indd 123 01/07/16 11:49
124
AvAliAção globAl de conhecimentos
a) Tem-se que d(r) = AB + AB = 2 sin
2
r
c m = 2 . Logo, OA = 1 .
 Em alternativa: 
 sin
x
2
c m = 
OA
DA
 + OA = 
sin
x
DA
2
c m
 + OA = 1
b) d(x) = 3 + 2 sin
x
2
c m = 3 + 
 + 
x
2
 = 
3
r
 + 2kr 0 
x
2
 = 
3
2r
 + 2kr, k ! Z +
 + x = 
3
2r
 + 4kr 0 x = 
3
4r
 + 4kr, k ! Z
 A única solução pertencente ao intervalo [0, r] é 
3
2r
 .
c) P[AOC] = OA + OC + CA 
 Tem-se que OA = OC = 1 e 0a) sin2 x = cos x + 1 - cos2 x - cos x = 0 + 
 + cos x = 
( )
( )
2 1
1 1 4 1 1
#
! # #
-
- -
 + 
 + cos x
2
1 5
Eq. impossível
=-
+
>
 0 cos x = 
2
1 5
-
-
 
 No intervalo [0, 2r] : 
 C.S. = *arccos
2
5 1-
e o, 2r - arccos
2
5 1-
e o4
b) cos x = sin(2x) + sin x
2
r
-c m = sin(2x) +
 + 
2
r
 - x = 2x + 2kr 0 
2
r
 - x = r - 2x + 2kr, k ! Z + 
 + -3x = -
2
r
 + 2kr 0 x = 
2
r
 + 2kr, k ! Z + 
 + x = 
6
r
 + 2k
3
r
 0 x = 
2
r
 + 2kr, k ! Z 
 No intervalo ,
2
5
2
r r
-Logo, cos y = 
5
4
 .
 Assim: 
g(y) = -4 sin y cos y = 
= -4 × 
5
3
-d n × 
5
4
 = 
25
48
 2.2.3 h(x) = 0 + -4 sin x cos x = 0 + 
 + sin x = 0 0 cos x = 0 + 
 + x = kr 0 x = 
2
r
 + kr, k ! Z + 
 + x = 
k
2
r
, k ! Z 
3 
Resolva em [-r, 2r] :
2 cos x - 1- 2 × 3 × 4 cos 130º + l2
2 . 40,427 + l2 . 6,4 cm
As medidas dos comprimentos dos lados do paralelogramo são, 
aproximadamente, 3,1 cm e 6,4 cm . 
20 
Considere um triângulo acutângulo 
qualquer [ABC] .
Mostre que a área do triângulo [ABC] 
da figura é igual a 
sinAB AC
2
$ $ a
 
e conclua que a área de um triângulo é igual 
ao semiproduto das medidas de dois dos seus 
lados pelo seno do ângulo por eles formado.
Seja h a altura do triângulo relativamente à base [AC] . Tem-se que: 
sin a = 
AB
h
 + h = AB sin a
Como A[ABC] = 
h AC
2
#
 , obtém-se o pretendido.
u1p20h3
a
B
CA
u1p19h4
50º
000707 006-027 U1.indd 17 01/07/16 11:40
18
ExtEnsão da trigonomEtria a ângulos rEtos E obtusos 
E rEsolução dE triângulos
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre 
as alternativas que lhe são apresentadas.
1 
De acordo com os dados da figura, conclui-se que o comprimento de [BD] , 
em centímetros, é: 
(a) 5 3
(B) 
10 3
3
(C) 
10 3 3
3
-_ i
(D) 1
º
º
tan
tan
BD AD
AD
45
10
60
10
=
+
=
* + 
BD AD
AD
1
10
3
10
=
+
=
* + 
AD
33
10 10 3
———
==
* + 
+ BD
3
10 3
10
1
———
+
=
* + 
BD
3
10 3
10
———
+ =
* + 
BD 10
3
10 3
———
= -
* + 
+ 
BD
3
10 3 3
———
=
-_ i
* 
A opção correta é a (C). 
2 
Considere o triângulo [XBY] . Atendendo aos dados da figura e sabendo que 
XY = 30 , a medida da altura, h , do triângulo é:
(a) 30 - 15 3
(B) 30 + 15 3
(C) 45 - 15 3
(D) 45 + 15 3
u1p21h1
10 cm
30º
45º
A
D
C
B
u1p21h2
45º 60º
h
X Y
C
B
000707 006-027 U1.indd 18 01/07/16 11:40
19
1UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
º
º
tan
tan
XC
h
XC
h
45
60
30
=
=
-
* + 
h XC
h XC3 30
=
= -_ i
* & h = 30 3 - 3h + 
+ 3 1+_ ih = 30 3 + 
+ h = 
1 3
30 3
+
 = 
2
30 3 90
-
-
 = 45 - 15 3
A opção correta é a (C). 
3 
Um paralelogramo tem lados que medem a e 2a e que formam, entre si, 
um ângulo de 30º .
A área desse paralelogramo é:
(a) 2a2 (B) 2a (C) a (D) a2
Pelo enunciado, obtém-se:
Os dois paralelogramos têm a mesma área e, em ambos os casos, tem-se:
sin 30º = a
h
 + h = 
a
2
Logo, Aparalelogramo = 2a × 
a
2
 = a2 .
A opção correta é a (D). 
4 
A distância em metros, arredondada 
às unidades, entre dois pontos opostos, 
A e B , de um lago é, de acordo 
com os dados da figura, igual a:
(a) 61 m
(B) 66 m
(C) 154 m
(D) 341 m
º º
º
ºsin sin
sin
sin
AB
AB
74
150
25
25
150 74
+= = . 341 m
A opção correta é a (D). 
u1p21h3
74º
150 m
A
B25º
u1p19h1s
30º
2a
a
u1p19h2s
30º
2a
a h
ou
000707 006-027 U1.indd 19 01/07/16 11:40
20
ExtEnsão da trigonomEtria a ângulos rEtos E obtusos 
E rEsolução dE triângulos
5 
Na figura ao lado, está representado um 
paralelepípedo de dimensões 3 , 5 
e 6 centímetros em que A , B e C são 
três dos seus vértices.
A medida da amplitude, em graus, 
do ângulo CAB é, aproximadamente:
(a) 33,3°
(B) 46,6°
(C) 56,7°
(D) 76,7°
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
AB 61= ; BC 34= e AC 45 3 5= = 
Pelo teorema de Carnot, vem:
34
2
 = 45
2
 + 61
2
 - 2 × 3 5 × 61 × cos CABW +
+ 34 = 106 - 6 305 cos CABW + 
+ cos CABW = 
305
12
 = 
305
12 305
Como cos-1
305
12 305
e o . 46,6° , CABW . 46,6° .
A opção correta é a (B).
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos 
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
6 
Relativamente ao triângulo [ABC] , retângulo 
em C , representado na figura ao lado, determine 
o valor aproximado às décimas:
a) do comprimento do lado [AC] .
b) do comprimento do lado [BC] .
c) da medida da altura do triângulo relativamente à base [AB] .
a) cos 50º = 
AC
70
 + AC = 70 cos 50º + AC . 45,0 cm 
b) sin 50º = 
BC
70
 + BC = 70 sin 50º + BC . 53,6 cm
c) sin 50º = 
AC
h
 + h = 45 sin 50° . 34,5 cm
u1p21h4
5 cm
6 cm
3 cm
C
B
A
u1p22h1
50º
70 cm
C
A B
000707 006-027 U1.indd 20 01/07/16 11:40
21
1UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
7 
Mostre que para qualquer ângulo agudo a se tem: 
a) (sin a - cos a)2 + (sin a + cos a)2 = 2
b) cos
tan s n tani 2 #
a
a a a-
 = sin a
a) (sin a - cos a)2 + (sin a + cos a)2 =
 = sin2 a - 2 sin a cos a + cos2 a + sin2 a + 2 sin a cos a + cos2 a =
 = 2(sin2 a + cos2 a) = 2 × 1 = 2
b) 
( )
( )
cos cos
cos
cos
cos
sin cos sin sin
1tan sin t
sin
sinan2
2
2 2 2
a
a a a
a
a
a
a
a
a
a a a a
=
-
=
-
=
+ -
 
 = 
cos
cossin
2
2
a
a a
 = sin a
8 
Considere que sin b = 
5
3
 e b é um ângulo agudo.
8.1 Determine o valor exato de: 
 a) cos2 b b) tan b
8.2 Determine a amplitude de b , aproximada à décima de grau.
8.1 a) cos2 b = 1 - sin2 b = 1 - 
5
3 2
d n = 
25
16
 b) Como b é agudo, então, cos b = 
25
16
 = 
5
4
 . Logo:
tan b = 
cos
sin
b
b
 
5
4
5
3
4
3
= 
8.2 Como sin-1
5
3
d n . 36,9º e b é agudo, então, bT . 36,9º . 
9 
Considere o retângulo [ABCD] , representado na figura ao lado.
Sabe-se que BC = 2AB . 
Determine:
a) os valores exatos das razões trigonométricas 
do ângulo BAC .
b) a amplitude do ângulo COD , com arredondamento 
à unidade de grau.
u1p22h2
A B
D C
O
000707 006-027 U1.indd 21 01/07/16 11:40
22
ExtEnsão da trigonomEtria a ângulos rEtos E obtusos 
E rEsolução dE triângulos
a) Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
AC AB BC
2 2 2
= + = AB AB2
2 2
+ _ i = AB5
2
 + 
+ AC AB5= 
 Então, os valores exatos das razões trigonométricas do ângulo BAC são:
sin BACW = 
AC
BC
 = 
AB
AB
5
2
 + sin BACW = 
5
2 5
 
cos BACW = 
AC
AB
 = 
AB
AB
5
 + cos BACW = 
5
5
 
tan BACW = 
AB
BC
 = 
AB
AB2
 + tan BACW = 2 
b) Pela alínea anterior, sabe-se que BACW . 63,43º , então, ODCX = OCDW = 
 = BACW = 63,43º , pois são ângulos alternos internos.
 Logo, CODW = 180º - 2 × 63,43º = 53,14º . 53º .
10 
Calcule a área, com arredondamento às décimas, de um octógono regular 
com 6 cm de lado.
Um octógono regular é formado por oito triângulos isósceles. Os ângulos 
internos de cada um destes triângulos têm as seguintes amplitudes: 
um ângulo de 
º
8
360
 = 45º e dois ângulos de amplitude 
º º
2
180 45-
 = 67,5º .
Seja h a altura de cada um dos triângulos isósceles. Então:
tan 67,5° = 
h
3
 + h . 7,243 cm
Portanto,
Aoctógono = 8 × A3 = 8 × 
,
2
6 7 243#
 . 173,8 cm2
11 
Considere o paralelogramo representado. 
Determine, tendo por base os dados 
apresentados na figura:
a) a área do trapézio [BCDE] , com 
arredondamento às centésimas.
b) a amplitude do ângulo a , com aproximação à décima de grau.
u1p22h3
A
55º
6 cm
B
D
E
C
a
4 cm
000707 006-027 U1.indd 22 01/07/16 11:40
23
1UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
a) sin DAEW = 
AD
DE
 + sin 55º = 
DE
4
 + DE = 4 sin 55º . 3,277 cm
 cos DAEW = 
AD
AE
 + cos 55º = 
AE
4
 + AE = 4 cos 55º . 2,294 cm
 Como EB = BA - EA = 6 - 2,294 = 3,706 , então:
Atrapézio = 
,BE CD
DE
2 2
3 706 6
#
+
=
+
 × 3,277 . 15,90 cm2
b) Sabe-se que ADCX = 180º - 55º = 125º .
 Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se o comprimento da diagonal 
do paralelogramo:
AC
2
 = 42 + 62 - 2 × 4 × 6 cos 125º + AC . 8,918 cm
 Finalmente, pela lei dos senos, obtém-se a amplitude de a :
,
ºsin sin
8 918
125
4
a
= + sin a = 
,
sin
8 918
4 125º
 Como sin-1
,
ºsin
8 918
4 125
d n . 21,6º e a é agudo, então, aV . 21,6°. 
12 
A Helena encontra-se junto ao Padrão dos Descobrimentos, 
em Lisboa.
Sabendo que os olhos da Helena se encontram a 1,60 
metros do solo e que a Helena, se caminhar em direção 
ao monumento cerca de 45 metros, observa o topo 
do monumento com um ângulo de elevação que aumenta de 40º para 70º , 
determine a altura do monumento, com aproximação às unidades.
Considere-sea a distância da Helena ao monumento quando está mais perto 
e h a altura do monumento menos os 1,60 metros de altura a que os olhos 
da Helena se encontram do solo. 
º
º
tan
tan
a
h
a
h
40
45
70
=
+
=
* + 
( ) º
º
tan
tan
h a
h a
45 40
70
= +
=
) + 
+ 
( )tan tana a70 45 40º º
———
= +
( + 
( )tan tan tana 70 40 45 40º º º
———
=-
( +
+ tan tan
tan
a
70 40
45 40
º º
º
———
=
-* + 
,
,
a
h
19 8
54 4
.
.
* 
Logo, h + 1,6 . 56 m .
A altura do monumento é de, aproximadamente, 56 metros.
000707 006-027 U1.indd 23 01/07/16 11:40
24
ExtEnsão da trigonomEtria a ângulos rEtos E obtusos 
E rEsolução dE triângulos
13 
Na figura ao lado, está representada uma pirâmide 
quadrangular regular [ABCDP] .
Sabe-se que:
•	 	a	base		[ABCD] é um quadrado de área 16 ;
•	 	a	amplitude	do	ângulo		PAC é de 60° .
Determine:
a) o valor exato da medida da aresta lateral [AP] .
b) a amplitude do ângulo, arredondada à décima de grau, que a aresta lateral 
[AP] faz com uma aresta da base, sua concorrente. 
c) o valor exato do volume da pirâmide. 
a) Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
 AC 4 4 32 4 22 2= + = = u. c. 
 Seja O o centro da base [ABCD] .
cos PAOW = 
AP
AO
 + cos 60º = 
AP
2 2
 + 
+ 
ºcos
AP
60
2 2
2
1
2 2
4 2= = = u. c.
b) Designe-se por M o ponto médio do segmento [AB] .
 Considere-se o triângulo retângulo [AMP] :
AM
AB
2
= = 
2
16
 = 2 u. c.
cos PAMW = 
AP
AM
 = 
4 2
2
 + cos PAMW = 
2
4
 
	 Então, PAMW . 69,3º . 
c) Calcule-se OP , a altura da pirâmide [ABCDP] :
 sin PAOW = 
AP
OP
 + sin 60º = 
OP
4 2
 + OP = 4 2
2
3
2 6# = u. c.
 V[ABCDP] = 
A OP
3 3
16 2 6[ ]ABCD # #
= = 
3
32
6 u. v.
14 
Aplicando a lei dos senos determine, com aproximação às décimas:
a) o terceiro lado de um triângulo cujos outros dois lados medem 30 cm e 50 cm 
e o ângulo oposto ao lado que mede 50 cm tem de amplitude 40º .
b) o perímetro e a área do triângulo em que um dos lados mede 10 cm , 
um dos ângulos adjacentes tem de amplitude 70º e o ângulo oposto 30º .
u1p23h1
C
B
A
D
P
000707 006-027 U1.indd 24 01/07/16 11:40
25
1UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
a) Seja a a amplitude do ângulo oposto ao lado de comprimento 30 cm . 
Calcule-se, aplicando a lei dos senos, o comprimento, x , do lado em falta: 
ºsin sin
50
40
30
a
= + sin a = 
sin
50
30 40º
 Como sin-1 sin
50
30 40º
d n . 22,7º e a é agudo ( aVse possível, o número da cadeira da Inês. 
Justifique a sua resposta. 
1.1 Como a roda está dividida em 12 setores circulares, a amplitude do arco 
 que separa duas cadeiras consecutivas é dada por 
12
360°
 = 30º .
1.2 A Inês pode ocupar a cadeira número 2 ou a cadeira número 6 , 
uma vez que somente é afirmado que o ângulo IOWV = 60° , 
não sendo nada afirmado sobre a orientação do ângulo.
1 
Na figura ao lado está representado o triângulo 
equilátero [ABC] .
Indique as amplitudes dos ângulos orientados com 
lados origem e extremidade, respetivamente:
a) AoB e AoC b) AoC e AoB c) CoB e CoA
a) 60° b) -60° c) -60°
u1p25h4
B
C
A
u1p24h1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
000707 028-032 U2.indd 28 01/07/16 11:42
29
2UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2.2 Rotações segundo ângulos orientados
2 
Considere que O representa o centro da roda 
referida na tarefa 1. 
2.1 Indique a imagem do ponto que representa 
a cadeira 1 pela rotação de centro em O 
e amplitude:
 a) 90°
 b) -120°
 c) 180°
 d) -240°
2.2 Indique as amplitudes de duas rotações com centro O que transformem 
2 em 6 .
2.1 a) Cadeira 4.
 b) Cadeira 9.
 c) Cadeira 7.
 d) Cadeira 5.
2.2 As amplitudes são: 120° e -240° .
2.3 Ângulos generalizados. 
Medidas de amplitudes de ângulos generalizados
3 
A Joana foi assistir a uma prova de ciclismo em contrarrelógio, que se realiza 
numa pista circular com 500 metros de perímetro. Quando entrou no recinto 
desportivo, um ciclista percorria a pista.
3.1 Indique a distância percorrida pelo ciclista, com valor aproximado 
à décima de metro, quando a amplitude do arco descrito é igual a:
 a) 300° b) -1920° c) 3150°
3.2 Se o sentido adotado for o negativo, qual é a amplitude do arco descrito 
quando o ciclista percorre 2187,5 metros?
3.1 a) 
x
360
300
500°
°
= + x = 
360
300 500
°
° #
 . 416,7 m
 b) 
x
360
1920
500°
°
= + x = 
360
1920 500
°
° #
 . 2666,7 m
 c) 
x
360
3150
500°
°
= + x = 
360
3150 500
°
° #
 = 4375,0 m
3.2 
,x
360 500
2187 5
°-
= + xV = 
,
500
360 2187 5° #
- = -1575°
u1p26h3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
O
10
11
12
000707 028-032 U2.indd 29 01/07/16 11:42
30
Ângulos orientados, Ângulos generalizados e rotações
4 
A Terra demora 24 horas a efetuar uma rotação 
completa em torno do seu eixo. Determine quanto 
tempo demora a efetuar uma rotação de:
a) 60°
b) 210°
c) 600°
a) 
x
360
60
24°
°
= + x = 
360
60 24
°
° #
 = 4 horas
b) 
x
360
210
24°
°
= + x = 
360
210 24
°
° #
 = 14 horas
c) 
x
360
600
24°
°
= + x = 
360
600 24
°
° #
 = 40 horas
5 
Indique o valor de aV e k para o ângulo generalizado (a, k) de amplitude:
a) 600°
b) 1320°
c) -550°
d) -1000°
a) Como 
360
6002}
!êê
3
2}
!êê
3
2}
!êê
2
1
2}
2
1
2}
2
2
2}
!êê
2
2
2}
!êê
2
3
2}
!êê
2
3
2}
!êê O
000707 033-060 U3.indd 34 01/07/16 11:43
35
3UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3 
Na figura ao lado estão representados a circunferência 
trigonométrica e os pontos P e Q , pontos 
de interseção da circunferência com os lados 
extremidade dos ângulos de amplitude 60° e 240° , 
respetivamente.
3.1 Indique a rotação de centro em O para a qual 
a imagem de P é Q .
3.2 Justifique que as coordenadas dos pontos P e Q são simétricas.
3.3 Indique as coordenadas dos pontos P e Q .
3.1 Rotação de centro em O e amplitude 180° .
3.2 A rotação de centro em O e amplitude 180° corresponde a uma reflexão 
central em relação à origem; logo, as coordenadas de P e Q são simétricas.
3.3 P(cos 60°, sin 60°) , isto é, P ,
2
1
2
3e o ;
 Q(cos 240°, sin 240°) , isto é, Q ,
2
1
2
3
- -e o 
4 
Considere o hexágono regular da figura, inscrito 
na circunferência de centro em O e raio 1 , 
tal que [AB] é paralelo a Oy .
Tendo por base as amplitudes dos ângulos 
formados entre as semirretas OoA , OoB , OoD 
e OoE e o semieixo positivo Ox , determine 
as coordenadas dos pontos A , B , D e E .
Sabe-se que um hexágono regular é composto por seis triângulos 
equiláteros, então:
A(cos -30°, sin -30°) , isto é, A ,
2
3
2
1
-e o ;
B(cos 30°, sin 30°) , isto é, B ,
2
3
2
1e o
O ponto D é simétrico de A e o ponto E é simétrico de B ; logo, 
as suas coordenadas são:
D ,
2
3
2
1
-e o e E ,
2
3
2
1
- -e o 
x
y
u1p34h2
O
P
Q
60º
240º
x
y
u1p35h5
O
C
F
D B
E A
000707 033-060 U3.indd 35 01/07/16 11:43
36
Razões tRigonométRicas de ângulos geneRalizados
5 
Represente, na circunferência trigonométrica, ângulos do 3.o ou 4.o quadrantes, 
para os quais:
a) o seno é igual a -
3
1
 .
b) o cosseno é igual a -
1
2
 .
c) o cosseno é igual a 
1
2
 .
a) 
 sin a = 
3
1
 para a . 19,5°
 Logo, aV pode tomar os seguintes valores:
 199,5° ou -160,5° ; -19,5° ou 340,5° .
6 
Determine o valor exato de:
a) sin a , com aV = 240°
b) cos b , com bT = -150°
c) sin c - sin d , com d = -90°
a) sin 240° = -sin 60° = 
2
3
- 
b) cos(-150°) = cos 210° = -cos 30° = 
2
3
-
c) sin 270° - sin(-90°) = -1 - (-1) = 0
cos
u1p24h1s
sin
219,5º
2160,5º
340,5º
199,5º
1
32}
cos
u1p24h2s
sin
1
22}
2120º
240º
cos
u1p24h3s
sin
1
2}
260º
300º
b) 
cos a = 
2
1
 para a = 60°
 Logo, aV pode tomar os seguintes valores:
 240° ou -120° .
c) 
aV pode tomar os seguintes valores:
	 	 -60° ou 300° .
000707 033-060 U3.indd 36 01/07/16 11:43
37
3UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
7 
Na figura estão representados, em referencial o.n. direto 
xOy , a circunferência trigonométrica, a reta de equação 
x = 1 e um ângulo a do 1.o quadrante:
•	 	O	ponto		C tem de coordenadas (1, 3) .
•	 	OoC é a semirreta extremidade do ângulo a .
7.1 Indique o valor de tan a .
7.2 Determine a equação reduzida da reta OC .
7.3 Calcule as coordenadas de A , ponto de interseção 
da reta OC com a circunferência.
7.4 Determine a área do triângulo [AOB] .
7.1 tan a = 
1
3
 = 3
7.2 A reta OC passa na origem e tem declive 3 ; logo, a equação reduzida 
da reta OC é y = 3x .
7.3 Determine-se as coordenadas de A :
 
y x
x y
3
12 2
=
+ =
* + 
( )x x3 1
———
2 2+ =
) + 
x
10
1
———
2 =
* + 
 + 
y
x
10
3 10
10
10
=
=
* 
 Logo, A ,
10
10
10
3 10e o .
7.4 A[AOB] = 
OB AB
2
#
 = 
2
10
10
10
3 10
#
 = 
200
30
 = 
20
3
 u. a. 
Tarefa 2 
Represente num referencial o.n. direto um ângulo orientado a tal que:
a) a amplitude de a é positiva, sin a = 
3
1
 e cos a 0 .
c) cos a = -1 e a orientação de a é positiva.
x > 0 , pois A ! 1.º Q
x
y
u1p36h2
O B
A
C
a
000707 033-060 U3.indd 37 01/07/16 11:43
38
Razões tRigonométRicas de ângulos geneRalizados
a) b) c) 
8 
Represente, na circunferência trigonométrica, um ângulo aV ! [0, 360] que 
verifique a condição:
a) tan a = 1 b) tan a = -2 c) tan a = -0,25
9 
Represente num referencial o.n. direto um ângulo orientado a positivo tal que:
a) sin a = -
2
1
 e cos a > 0 b) cos a = -
2
1
 e tan a 0
c) sin a × tan a > 0 
a) 2.º ou 4.º quadrante.
b) 1.º ou 3.º quadrante.
c) 1.º ou 4.º quadrante.
12 
Indique duas amplitudes de ângulos com:
a) o mesmo seno e cossenos simétricos.
b) o mesmo cosseno e senos simétricos.
c) seno e cosseno simétricos.
d) tangentes simétricas. 
a) Por exemplo: 45º e 135º . 
b) Por exemplo: 45º e -45º .
c) Por exemplo: 45º e -135º .
d) Por exemplo: 45º e -45º .
000707 033-060 U3.indd 39 01/07/16 11:43
40
Razões tRigonométRicas de ângulos geneRalizados
13 
Considere o ângulo generalizado i = (a, 1) .
Sabe-se que:
•	 cos	i = -
5
3
•	aV ! ]180, 360[ , em que aV é a amplitude, em graus, de a .
13.1 Determine o seno e a tangente de i .
13.2 Indique, recorrendo à calculadora, um valor aproximado às unidades 
da amplitude de i .
13.1 Considere-se P o ponto de interseção da circunferência trigonométrica 
com o lado extremidade de i . 
 Sabe-se que a abcissa de P é igual a 
5
3
- e que a equação reduzida 
 da circunferência trigonométrica é x2 + y2 = 1 . Substituindo x pela 
abcissa de P , obtém-se:
5
3 2
-d n + y2 = 1 + y2 = 1 - 
25
9
 + y = 
5
4
! 
 Como o ângulo a é do 3.o ou do 4.o quadrantes, o ponto P tem 
ordenada negativa.
 Portanto, y = 
5
4
- , ou seja, sin i = 
5
4
- .
 Por fim, tem-se:
tan i = 
cos
sin
3
4
i
i
= 
13.2 Na calculadora, obtém-se:
sin -1
5
4
d n . 53,13°
 Então, o ângulo orientado correspondente a i tem de amplitude, em graus, 
(53,13° + 180°) + 1 × 360° = 593,13° , ou seja, i . 593° .
Tarefa 3 
Na figura está representado, em referencial o.n. 
direto xOy , o ângulo a cujo lado extremidade 
interseta a circunferência trigonométrica 
no ponto A de abcissa -0,8 .
3.1 Calcule o valor exato de sin a e tan a .
3.2 Indique as coordenadas da imagem de A pela 
rotação de centro O e amplitude 180° e, por 
definição de seno, cosseno e tangente, indique o seno, 
o cosseno e a tangente, do ângulo de amplitude aV + 180° , em que aV é a 
amplitude, em graus, de a .
x
y
20,8
a
u1p40h1
O
A
000707 033-060 U3.indd 40 01/07/16 11:43
41
3UNIDADEDomínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3.3 Indique a amplitude, em graus, de dois ângulos, um com orientação 
positiva e outro com orientação negativa, que tenham o mesmo seno e o 
mesmo cosseno que a . Apresente os valores arredondados às unidades.
3.1 Pelo teorema de Pitágoras, tem-se que 0,82 + b2 = 1 + b = 0,6 , 
 sendo b a ordenadah 25 min
(D) 11 h 30 min
x
360
12
450
= + x = 15
A opção correta é a (C).
2 
Considere, num referencial o.n. direto xOy , o ângulo generalizado 
a = (-200°, -2) cujo lado origem coincide com o semieixo positivo Ox .
A que quadrante pertence o ângulo a ?
(a) 1.º quadrante
(B) 2.º quadrante
(C) 3.º quadrante
(D) 4.º quadrante
A opção correta é a (B). 
3 
Considere, num referencial o.n. direto xOy , a circunferência 
trigonométrica e o ângulo a cujo lado extremidade 
interseta a circunferência no ponto A de abcissa 0,7 .
O seno do suplementar de a é, aproximadamente:
(a) -0,51
(B) -0,71
(C) 0,51
(D) 0,71
Seja y a ordenada do ponto A , isto é, y = sin a .
(0,7)2 + y2 = 1 + y = ! ,0 51 . !0,71
O suplementar de a encontra-se no 2.º quadrante; logo, o seu seno é positivo.
A opção correta é a (D).
x
y
0,7
a
u1p44h2
O
A
000707 033-060 U3.indd 47 01/07/16 11:44
48
Razões tRigonométRicas de ângulos geneRalizados
4 
Considere um ângulo de amplitude a , em graus, tal que a ! ]90, 180[ .
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(a) sin a ∙ cos a > 0
(B) 
sin
cos
a
a
 > 0
(C) sin a ∙ tan a 0
b) 
cos
tan
i
i
 0
c) sin2 i cos i 0
a) 1.º ou 3.º quadrante, pois no 1.º quadrante ambas as quantidades são 
positivas e no 3.º quadrante ambas são negativas.
b) Tem-se que 
cos
tan
i
i
a a . 
15.1 Supondo que o perímetro do setor circular 
é 20 centímetros, mostre que:
 a) a = r
20
 - 2
 b) a área do setor circular é 10r - r2 .
15.2 Supondo que o raio do setor circular mede 2 centímetros e que 
 a = 
9
4r
 rad , calcule a área e o perímetro do setor circular.
15.3 Supondo que r = 5 cm e s = 7 cm determine a amplitude a , 
em radianos.
15.1 a) Tem-se que s = 20 - 2r e s = ar ; logo:
a = r
s
 = r
r20 2-
 = r
20
 - 2
 b) A circunferência de raio r tem de área r2r ; logo:
r
2
2
r
r
 = 
r
A
20
2
setor
-
 + 
+ Asetor = 
r r
2
20
2 2
r
r-c m
 = 
r r
2
20 2 2-
 = 10r - r2
15.2 Tem-se que s = 
4
9
r × 2 = 
9
8
r 
 Portanto: 
Psetor = 
9
8
r + 2 + 2 = 
9
8
r + 4 cm
 Tem-se:
A
2
4
9
4
setor
r
r
r
= + Asetor = 
2
4
9
4
#
r
r
r
 = 
9
8
r cm2
15.3 s = ar + a = 
5
7
 rad 
u1p47h2
r
a
r
s
000707 033-060 U3.indd 53 01/07/16 11:44
54
Razões tRigonométRicas de ângulos geneRalizados
16 
No referencial o.n. xOy da figura estão representadas 
a circunferência trigonométrica e a reta r .
Sabe-se que:
•	 	a	reta		r tem equação x = 1 ;
•	 	os	pontos		A e B são os pontos 
da circunferência de abcissas 1 
e -0,65 , respetivamente;
•	 	AOWB = a e a ! ,
2
r
r;E
•	 	O pertence à reta BC ;
•	 	C é o ponto de interseção da reta r com a reta BC .
16.1 Mostre que a ordenada de B é 
20
231
 .
16.2 Determine o valor exato de sin(-a) + 2 cos(r - a) + tan a .
16.3 Determine a área do triângulo [OAC] .
16.1 Sabe-se que a abcissa de B é igual a -0,65 = 
20
13
- e que 
 a equação reduzida da circunferência trigonométrica é x2 + y2 = 1 . 
Substituindo, na equação reduzida da circunferência, x pela abcissa 
de B , obtém-se:
20
13 2
-d n + y2 = 1 + y2 = 1 - 
400
169
 + 
+ y = !
400
231
+ y = !
20
231
 
 Como o ponto B pertence ao 2.º quadrante, tem ordenada positiva.
 Portanto, a ordenada de B é 
20
231
 .
16.2 Equação da reta BC : y = 
20
13
20
231
-
x + y = 
13
231
- x
 Coordenadas do ponto C : ,1
13
231
-e o 
 Como sin(-a) + 2 cos(r - a) + tan a = -sin a - 2 cos a + tan a , então:
sin(-a) + 2 cos(r - a) + tan a = 
= 
231
20
- - 2
20
13
-d n + 
13
231
-e o = 
13
10
 - 
0
231
26
33
 
16.3 A[OAC] = 
OA AC
2 2
1
13
231
#
#
= = 
26
231
 u. a.
x
y
20,65
a
u1p47h3
O A
B
C
r
000707 033-060 U3.indd 54 01/07/16 11:44
55
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 1
I
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre 
as alternativas que lhe são apresentadas.
1 
Na figura ao lado está representado um triângulo retângulo 
em A , tal que BC = 3AB .
A amplitude de a , em graus, é aproximadamente:
(a) 1,2
(B) 0,3
(C) 70,5
(D) 67,5
cos a = 
BC
AB
 + cos a = 
AB
AB
3
 
Como cos-1
3
1
d n . 70,5 , então, aV . 70,5° .
A opção correta é a (C).
2 
Seja [ABC] o triângulo acutângulo da figura, 
em que BACW = 30° , CABW = a e BC = 4 cm . 
Sabendo que tan a = 
3
4
 , o valor exato de CA é, 
em centímetros:
(a) 6,1
(B) 6,2
(C) 6,3
(D) 6,4
1 + tan2 a = 
cos
1
2a
 + 1 + 
3
4 2
d n = 
cos
1
2a
 & cos2 a = 
25
9
sin2 a = 1 - cos2 a = 
25
16
 & sin a = 
4
5
Então, 
sin
4
30°
 = 
AC
5
4
 + AC = 
5
32
 = 6,4 cm .
A opção correta é a (D).
u1p48h1
a
A
C
B
u1p48h2
A
CB
a
30º
000707 033-060 U3.indd 55 01/07/16 11:44
56
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 1
3 
Considere o ângulo generalizado b de amplitude 690° .
3.1 O ângulo b pode ser definido por:
 (a) (340°, 1) (B) (350°, 1) (C) (330°, 1) (D) (320°, 1)
3.2 O valor exato de:
 sin^bT + 90°h + cos bT + tan^bT - 30°h
 é:
 (a) - 3 (B) 0 (C) 3 (D) 2 3
3.1 
360
690Logo, cos y = 
5
4
 .
 Assim: 
g(y) = -4 sin y cos y = 
= -4 × 
5
3
-d n × 
5
4
 = 
25
48
 2.2.3 h(x) = 0 + -4 sin x cos x = 0 + 
 + sin x = 0 0 cos x = 0 + 
 + x = kr 0 x = 
2
r
 + kr, k ! Z + 
 + x = 
k
2
r
, k ! Z 
3 
Resolva em [-r, 2r] :
2 cos x - 1 < 0 / sin x G 0
Recorrendo à circunferência trigonométrica, observa-se que no intervalo 
[-r, 2r] :
2 cos x - 1 < 0 + cos x < 
2
1
 + x ! ,
3
r
r
- -; ; , ,
3 3
5r r <F 
sin x G 0 + x ! [-r, 0] , [r, 2r]
Assim, fazendo a interseção destes dois conjuntos, obtém-se como solução: 
x ! ,
3
r
r
- -; ; , ,
3
5
r
r <F 
000707 106-133.indd 133 01/07/16 11:49