exercicios_revisao_Rn

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Domínios em Rn
1. Determine o domínio da função f(x, y) =
√
x+ y em R2.
2. Encontre o domínio da função g(x, y) = 1
x2+y2−4 em R2.
3. Determine o domínio da função h(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2 − 1) em R3.
4. Calcule o domínio da função f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2 em R3.
5. Determine o domínio da função g(x, y) = arcsin(xy) em R2.
6. Encontre o domínio da função h(x, y, z) = 1
z−x2−y2 em R3.
7. Calcule o domínio da função f(x, y) = ln(y − x2) em R2.
8. Determine o domínio da função g(x, y, z) =
√
z2 − 4x2 − 4y2 em R3.
9. Encontre o domínio da função f(x, y) =
√
x+y
x−y em R2.
10. Determine o domínio da função h(x, y) = ln(x) + ln(y) em R2.
11. Calcule o domínio da função f(x, y, z) = 1√
x2+y2+z2−4
em R3.
12. Determine o domínio da função g(x, y) = arccos
(
x+y
2
)
em R2.
13. Encontre o domínio da função h(x, y, z) = ln(1− x2 − y2 − z2) em R3.
14. Calcule o domínio da função f(x, y) =
√
1− x2 − y2 + 1
x2+y2 em R2.
15. Determine o domínio da função g(x, y, z) =
√
z−y
x2+y2−1 em R3.
16. Encontre o domínio da função h(x, y, z) =
√
z2 − x− y2 em R3.
17. Calcule o domínio da função f(x, y, z) = ln(x2 + y2 − z) em R3.
18. Determine o domínio da função g(x, y) = 1
x2+y2−1 +
√
1− x2 − y2 em R2.
19. Encontre o domínio da função f(x, y) =
√
x− y + 1√
x+y
em R2.
20. Determine o domínio da função h(x, y, z) = arctan
(
x√
y2+z2
)
em R3.
Limites e Continuidade em Rn
1. Calcule o limite da função f(x, y) = x2 + y2 quando (x, y) → (0, 0).
2. Determine o limite de f(x, y) = x+ y quando (x, y) → (0, 0).
3. Calcule o limite de f(x, y) = x
x2+y2 quando (x, y) → (0, 0).
4. Determine o limite de f(x, y) = x2+y2
x+y quando (x, y) → (0, 0).
5. Calcule o limite de f(x, y) = x2+y2
x+y quando (x, y) → (0, 0).
6. Verifique se a função f(x, y) = x2+y2
x+y é contínua em (0, 0).
7. Determine o limite de f(x, y) = x2y
x2+y2 quando (x, y) → (0, 0).
8. Verifique se a função f(x, y) = x2+y2
x2−y2 é contínua em (0, 0).
9. Calcule o limite da função f(x, y) = x3+y3
x2+y2 ao longo do caminho y = 0 e depois ao longo do caminho x = 0.
10. Calcule o limite de f(x, y) = x2+y2
x+y ao longo da linha y = 2x.
11. Calcule o limite de f(x, y) = ex−ey
x2+y2 quando (x, y) → (0, 0).
12. Verifique se a função f(x, y) = x3+y3
x2+y2 é contínua em (0, 0).
13. Calcule o limite de f(x, y) = x2y
x2+y2 ao longo dos caminhos y = x e y = −x.
14. Determine o limite de f(x, y) = x2+y2
x2+y2+1 quando (x, y) → (0, 0), utilizando coordenadas polares.
15. Calcule o limite de f(x, y) = sin(xy)
x2+y2 quando (x, y) → (0, 0).
16. Verifique a continuidade da função f(x, y) = x2+y2
x2+y2+1 no ponto (0, 0).
17. Determine se a função f(x, y) = xy
x2+y2 é contínua no ponto (0, 0). o limite da função f(x, y) = x2y
x2+y2 quando
(x, y) → (0, 0) utilizando a definição de limite para múltiplas variáveis. o limite de f(x, y) = ex+ey−2
x2+y2 quando
(x, y) → (0, 0).
18. Determine se a função f(x, y) = x2+y2
x2+y2+1 é contínua no ponto (0, 0), verificando os limites ao longo dos caminhos
y = x e y = −x.
Derivadas Parciais em Rn
1. Calcule ∂f
∂x e ∂f
∂y para f(x, y) = x2 + y2.
2. Determine ∂f
∂x e ∂f
∂y para f(x, y) = x2y + y3.
3. Encontre ∂f
∂x e ∂f
∂y para f(x, y) = ex + sin(y).
4. Calcule ∂f
∂x e ∂f
∂z para f(x, y, z) = xz + y2z2.
5. Determine ∂f
∂x para f(x, y) = ln(x+ y).
6. Encontre ∂f
∂x e ∂f
∂y para f(x, y) = arctan(xy).
7. Calcule ∂f
∂x e ∂f
∂z para f(x, y, z) = x2z + yz.
8. Determine ∂2f
∂x2 para f(x, y) = x3 + y2.
9. Calcule ∂2f
∂x∂y para f(x, y) = x2y + y3.
10. Encontre ∂2f
∂x2 para f(x, y) = ex+y.
11. Calcule ∂f
∂x e ∂2f
∂y2 para f(x, y) = x2 ln(y).
12. Determine ∂f
∂z para f(x, y, z) = x+y
z2−x2 .
13. Encontre ∂2f
∂x2 e ∂2f
∂y2 para f(x, y) = sin(xy).
14. Calcule ∂2f
∂x∂y para f(x, y) = x3 + 3x2y + y3.
15. Determine ∂f
∂x e ∂f
∂z para f(x, y, z) = xz2 + ln(x+ y).
16. Encontre ∂2f
∂x2 para f(x, y, z) = exyz.
17. Calcule ∂2f
∂x∂y para f(x, y) = x2+y2
x−y .
18. Determine ∂2f
∂x∂z para f(x, y, z) = xz + y ln(z).
19. Encontre ∂f
∂z e ∂2f
∂z2 para f(x, y, z) = arctan(xz + y).
20. Calcule ∂3f
∂x2∂y para f(x, y) = x2y + exy.
21. Calcule ∂2
∂x2 de f(x, y) = x2 + y2.
22. Calcule ∂2
∂x∂y de f(x, y) = x2y + y3.
23. Determine ∂2
∂y∂x de f(x, y) = x3 + 3xy2.
24. Calcule ∂2
∂y2 de f(x, y) = x2 + y3.
25. Calcule ∂2
∂x∂y de f(x, y) = 2x2y + y3.
26. Calcule ∂2
∂x2 de f(x, y) = x4 + y2.
27. Calcule ∂2
∂x∂y de f(x, y) = exy.
28. Calcule ∂2
∂y2 de f(x, y) = ln(x+ y).
29. Determine ∂2
∂x2 de f(x, y) = cos(x) + y2.
30. Calcule ∂2
∂y2 de f(x, y) = ex+y.
31. Determine ∂2
∂x∂y de f(x, y) = sin(x) · cos(y).
32. Calcule ∂2
∂x∂y de f(x, y) = x2y2 + y3.
33. Determine ∂2
∂x∂y e ∂2
∂y∂x de f(x, y) = x2y2.
34. Calcule ∂3
∂x3 de f(x, y) = x4 + y2.
35. Calcule ∂2
∂x∂y de f(x, y) = ex
2+y2
.
36. Determine ∂2
∂x∂y de f(x, y) = x3 + 2xy2 e interprete o resultado.
37. Calcule ∂2
∂x2 de f(x, y) = sin(x) · cos(y).
38. Calcule ∂2
∂y2 de f(x, y) = exy.
39. Calcule ∂3
∂y3 de f(x, y) = y2
x+y2 .
40. Calcule ∂2
∂x∂y e ∂2
∂y∂x de f(x, y) = x2 · y3 + 3x · y2 e analise os pontos críticos com base nas derivadas de ordem
superior.
41. Calcule ∂2
∂x∂y de f(x, y) = x2y + 3y2.
42. Calcule ∂3
∂x3 de f(x, y) = ex+y.
43. Calcule ∂2
∂y2 de f(x, y) = ln(xy).
44. Calcule ∂2
∂x2 de f(x, y) = x2 + y4.
45. Calcule ∂3
∂y3 de f(x, y) = x+ y3.
46. Verifique se o Teorema de Schwarz é válido para a função f(x, y) = x2y + y3.
Calcule ∂2f
∂x∂y e ∂2f
∂y∂x e compare os resultados.
47. Considere a função f(x, y, z) = ex+y+z. Use o Teorema de Schwarz para mostrar que ∂2f
∂x∂y = ∂2f
∂y∂x e calcule
ambas as derivadas.
48. Para a função f(x, y) = ln(x2 + y2), mostre que ∂2f
∂x∂y = ∂2f
∂y∂x .
Determine explicitamente cada derivada e use o Teorema de Schwarz para justificar.
49. Seja f(x, y, z) = x2y + yz2 + z2x. Verifique a validade do Teorema de Schwarz para as derivadas mistas ∂2f
∂x∂z e
∂2f
∂z∂x .
50. A função f(x, y) = exy sin(x+ y) é diferenciável em R2.
Use o Teorema de Schwarz para mostrar que ∂2f
∂x∂y = ∂2f
∂y∂x e calcule explicitamente as derivadas mistas.
Gradiente em Rn
1. Calcule o gradiente da função f(x, y) = 3x2 + 5xy + y2 em relação às variáveis x e y.
2. Determine o gradiente da função f(x, y, z) = x3 + y3 + z3 em R3.
3. Dada a função f(x, y) = exy, calcule o gradiente de f em R2.
4. Calcule o gradiente da função f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2) em R3.
5. Para a função f(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2, calcule o gradiente em R3.
6. Determine o gradiente da função f(x, y) = x · sin(y) + y · cos(x) em R2.
7. Calcule o gradiente da função f(x, y, z) = x2+y2
z2 em R3.
8. Dada a função f(x, y) = x2y + y3, determine o gradiente de f em R2.
9. Calcule o gradiente da função f(x, y) = ln(x2 + y2 + 1) em R2.
10. Para a função f(x, y, z) = ex+y+z, calcule o gradiente de f em R3.
Problemas
1. Distribuição de temperatura numa placa metálica Uma placa metálica fina, com dimensões 0 ≤ x ≤ 2
metros e 0 ≤ y ≤ 3 metros, tem a sua temperatura T (x, y) modelada pela equação:
T (x, y) = 50− 2x2 + 3y
Determine:
(a) O gradiente de temperatura num ponto genérico (x, y).
(b) A direção de maior aumento da temperatura no ponto (1, 2).
(c) O fluxo de calor através do lado da placa onde x = 0.
2. Momento de inércia de uma peça mecânica Uma peça mecânica é modelada por uma chapa fina em forma
de disco com densidade superficial variável ρ(x, y) = 2 + x2 + y2 (kg/m²). A peça tem raio R = 1 metro e está
centrada na origem.
Determine o momento de inércia da peça em relação ao eixo z, dado por:
Iz =
∫∫
R
ρ(x, y)(x2 + y2) dx dy
onde R representa o disco.
3. Deformação numa viga sob carga variável Uma viga de comprimento L = 4 metros está sujeita a uma
carga distribuída variável dada por q(x) = 10x N/m. O deslocamento u(x) da viga em função de x é modelado
pela equação:
d2u
dx2
=
q(x)
EI
onde E = 200GPa é o módulo de elasticidade do material e I = 10−4 m4 é o momento de inércia da secção
transversal.
Determine a equação para u(x) e as constantes de integração sabendo que:
(a)u(0) = 0 (extremidade fixa).
(b) du
dx (L) = 0 (livre na outra extremidade).
4. Cálculo de fluxo de fluido num canal Um fluido incompressível flui num canal rectangular com largura W = 2
metros e comprimento L = 3 metros. A velocidade do fluido no plano do canal é dada por v(x, y) = 2x(3− y),
onde x e y estão em metros e v(x, y) em m/s.
Determine o fluxo total de fluido através da secção transversal do canal, dado por:
Q =
∫ L
0
∫ W
0
v(x, y) dx dy
5. Transferência de calor numa superfície curva Considere uma superfície curva S modelada pelo paraboloide
z = x2+ y2, onde 0 ≤ x2+ y2 ≤ 4. A densidade de fluxo de calor na superfície é dada por q(x, y) = 100e−(x2+y2)
(W/m²).
Calcule a taxa total de transferência de calor através da superfície S, integrando:
Q =
∫∫
S
q(x, y) dS
onde dS é o elemento de área na superfície.