Sumário Matemática e Raciocínio Lógico

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SUMÁRIO 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
E MATEMÁTICA
Operações, propriedades e aplicações (soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e 
radiciação) .......................................................................................................................3
Princípios de contagem e probabilidade ..............................................................................09
Arranjos e permutações ....................................................................................................10
Combinações ..................................................................................................................10
Conjuntos numéricos (números naturais, inteiros, racionais e reais) e operações com conjuntos ..04
Razões e proporções (grandezas diretamente proporcionais, grandezas inversamente proporcionais, 
porcentagem, regras de três simples e compostas) ...............................................................13
Equações e inequações .....................................................................................................23
Sistemas de medidas .......................................................................................................28
Volumes ........................................................................................................................29
Compreensão de estruturas lógicas .....................................................................................32
Lógica de argumentação (analogias, inferências, deduções e conclusões) .................................34
Diagramas lógicos. ..........................................................................................................35
13 Noções de Matemática Financeira. .................................................................................35
13.1 Juros simples e compostos. .......................................................................................36
13.2 Capitalização e descontos .........................................................................................39
13.3 Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalente, proporcional, real e aparente ......................41
13.4 Rendas uniformes e variáveis .....................................................................................43
13.5 Planos de amortização de empréstimos e financiamentos ...............................................44
13.6 Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento,empréstimo e 
investimento ..................................................................................................................44
13.7 Inflação, variação cambial e taxa de juros ...................................................................45
3
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
OPERAÇÕES, PROPRIEDADES 
E APLICAÇÕES
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
• Adição e Subtração
A soma de frações com denominadores iguais é uma 
fração cujo denominador é igual ao das parcelas e cujo 
numerador é a soma dos numeradores das parcelas.
Exemplo:
A diferença entre duas frações com denominadores 
iguais é uma fração cujo denominador é igual ao das 
frações dadas e cujo numerador é a diferença dos nume-
radores.
Exemplo: 
Quando somar ou subtrair frações que têm denomina-
dores diferentes, devemos primeiro reduzí-las ao mesmo 
denominador e, depois, aplicar a regra anterior.
Exemplo: 
mmc ( 6, 9, 12, 18 ) = 36, portanto o denominador comum 
será 36.
• Multiplicação
O produto de duas frações é uma outra fração, cujo 
numerador é o produto dos numeradores dados e, o 
denominador, é o produto dos denominadores dados.
Exemplo: 
• Divisão
O quociente de uma fração por outra é igual ao pro-
duto da primeira fração pelo inverso da segunda fração.
5
126
? ====
20
504
4.5
7.72
4
7
.
5
72
7
4
:
5
72
:Exemplo
 
 
PROBLEMAS COM FRAÇÕES
Exemplo: 
Ivo é professor de Matemática de um determinado 
curso. Seu salário, incluindo as horas extras, é de R$ 
1.600,00. Ele gasta a metade deste para alimentar sua 
família de 5 pessoas, gasta 1/4 do salário no aluguel 
da casa que ele mora e, 3/8 do restante, em condução.
a) Quanto custa o aluguel da casa de Ivo?
b) Quanto a família de Ivo gasta em condução?
c) Que fração do salário sobra para outras despesas?
Resolução:
Quantia gasta na alimentação da família:
R$800,00
2
R$1.600,00
=
a) Quantia gasta no aluguel da casa:
 
R$400,00
4
R$1.600,00
4
1
.R$1.600,00 ==
b) Quantia casa em condução:
 R$ 1.600,00 - ( R$ 800,00 + R$ 400,00 ) = R$ 
1.600,00 - R$ 1.200,00 = R$ 400,00
 Portanto, temos: 
 R$150,00
8
1.200
8
3.400
:R$400,00de
8
3
==
c) Fração do salário que sobra: 
 Como Ivo já gastou no total a quantia de R$ 
1.350,00 (R$ 800,00 + R$ 400,00 + R$ 150,00), a 
fração do salário de Ivo que sobra é de: 
A sobra (R$ 250,00) é o resultado da subtração da 
quantia total (R$ 1600,00) pela soma das quantias 
gastas (R$ 1350,00)
Para obtermos qual a fração que a sobra representa 
no total do salário, basta dividirmos esta sobra pela 
quantia total. 
NÚMEROS DECIMAIS E FRAÇÕES DECIMAIS
O sistema de numeração decimal apresenta a seguinte 
ordem posicional dos algarismos locados no número:
*Unidades simples (1) 
*Dezenas (10)
*Centenas (100) 
*Unidade de milhar (1000)
*Unidade de milhar (1000) 
*Décimos 
 
*Centésimtos 
 
*Milésimos 
 
4
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
*Décimos- milésimos
*Centésimos- milésimos
*Milionésimos
Eis alguns numerais e como devem ser lidos: 
0,9: nove décimos 
0,17: dezessete centésimos
0,254: duzentos e cinqüenta e quatro milésimos
5,6: cinco inteiros e 6 décimos
7,18: sete inteiros e dezoito centésimos
27,391: vinte e sete inteiros, trezentos e noventa e 
um milésimos
472,1256: quatrocentos e setenta e dois inteiros e mil, 
duzentos, cinqüenta e seis décimos-milésimos.
TEORIA DOS CONJUNTOS
Vamos objetivar inicialmente a introdução ao estudo 
dos conjuntos, seus elementos, suas relações e as operações 
entre os mesmos.
DEFINIÇÕES INICIAIS
Conjunto é uma idéia associada à introdução de ob-
jetos ou grupos. Não podemos definir precisamente, mas 
todos os seres racionais possuem intuitivamente a noção 
do significado de conjunto.
Elementos são objetos que representam um conjunto.
Representação de um Conjunto
Existem várias maneiras de representar um conjunto, 
dentre as quais podemos destacar três:
1) Através de diagramas (curvas fechadas) contendo 
os elementos em seu interior:
 
2) Por extenso ou nomeação de seus elementos, 
escritos entre chaves, e o mesmo (conjunto) repre-
sentando por uma letra maiúscula:
 A = { a , e , i , o , u }
3) Através de uma propriedade característica dos seus 
elementos:
 A = { vogais do alfabeto }
Relação de Pertinência
Dados um conjunto A e um elemento x quaisquer, 
existe uma relação primitiva entre os mesmos, denomi-
nada relação de pertinência que verifica as seguintes 
possibilidades:
1ª Possibilidade: O elemento x integra os elementos 
que constituem o conjunto A, ou seja:
x ∈ A ( lê-se: x pertence a A)
2ª Possibilidade: O elemento x não integra os ele-
mentos que constituem o conjunto A, ou seja:
x ∉ A ( lê-se: x não pertence a A)
CONJUNTO VAZIO
Existem conjuntos que possuem uma infinidade de 
elementos, porém existem conjuntos que possuem um con-
junto limitado de elementos, por exemplo, o conjunto dos 
dias da semana, ou o conjunto dos meses de um ano. Tais 
conjuntos podem ser representados por diagramas ou pela 
enumeração de seus elementos. Agora, como representar 
um conjunto que não possui elementos?
Um conjunto que não possui elementos é dito con-
junto vazio.
Ø ou { }
Exemplos:
A = { mês do ano com 33 dias }
A = { }
A = Ø
SUBCONJUNTOS
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer 
pertencem a um outro conjunto B, diz-se então que A é 
um subconjunto de B, ou seja:
A ⊂ B (lê-se: A está contido ema equação:
 
GABARITO
 1. v = {-4}
 2. v = {1}
 3. v = {2}
 4. v = { }
 5. v = {-1}
 6. v = { }
 7. v = { 0 }
 8. v = {-6}
 9. v = {9}
10. impossível
11. 
12. S = {3 }
13. S = {-2}
14. S = {3}
15. S = {1} 
INEQUAÇÃO DO 1O GRAU
Toda sentença matemática envolvendo uma variável 
real que pode ser expressa de uma das formas sem que 
seu conjunto solução se altere, é chamada inequação 
do 1o grau.
 
Exemplo: 
8x + 3 20
B) 2
1
5
1
2
>
−
+
xx
C) 8 ( 1 - 2X ) ≥ 6 - 3X 
D) 7X - 1 ≤ 27
E) 





 −−−
xx
G) 
2
4
2
3
51 +
−
>
−
−
xx
H) 
 2. Qual o valor inteiro de x que satisfaz a inequação:
11
4
37
>
−
−
xx
 3. Dê o maior número inteiro que satisfaça a inequação 2 - 3x 
> 7
GABARITO
1. A) S = { X > 22/3 }
 B) S = { X > 1 }
 C) S = { X ≤ 2/13 }
 D) S = { X 6 }
 2. -1 
 3. -2 
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO
1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS
RESOLUÇÃO E UM SITEMA
Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com 
duas incógnitas significa obter dois valores que verificam 
as duas equações simultaneamente, quando substituídos 
nas mesmas. A solução de um sistema assim constituído 
é, portanto, um par de valores (par ordenado).
Os procedimentos práticos que permitem resolver o 
sistema são 3: adição, substituição e comparação.
ADIÇÃO
A partir do sistema, este processo consiste em deixar 
os coeficientes de uma mesma incógnita opostos. Desta 
forma, somam-se membro a membro as duas equações 
recaindo-se em uma equação com uma única incógnita.
Exemplo:



=+
=−
113
42
yx
yx
 somando-se as duas equações, temos:
 
5x =15 ⇒ x = ⇒ x = 3 , substi-
tuindo em qualquer uma das equações iniciais, temos:
2 . 3 - y = 4 ⇒ 6 - y = 4 ⇒ - y = 4 - 6 
⇒ - y = - 2 x(-1)
y = 2
Portanto, S = {(3,2)}
SUBSTITUIÇÃO
A partir do sistema, este processo consiste em isolar 
uma incógnita e substituí-la na outra equação do sistema, 
recaindo-se numa equação do 1º grau.
Exemplo:



=+
=−
113
42
yx
yx
 isolando o “y” da primeira equação, 
temos:
26
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
-y = 4 - 2x x(-1) ⇒ y = 2x - 4 , substituindo na se-
gunda equação do sistema, obtemos a seguinte equação 
do 1º grau:
3x + (2x - 4 ) = 11 ⇒ 3x + 2x - 4 = 11 
 ⇒ 5x = 11 + 4 ⇒ 5x = 15 ⇒
x = ⇒ x = 3, substituindo na equação em 
que isolamos “y”, temos:
y = 2 . 3 - 4 ⇒ y = 6 - 4 ⇒ y = 2
Portanto, S = {(3,2)}
COMPARAÇÃO
A partir do sistema, este processo consiste em isolar a 
mesma incógnita nas duas equações do sistema e comparar 
o resultado, obtendo-se desta forma uma equação do 1º.
Exemplo:



=+
=−
113
42
yx
yx
 isolando a mesma incógnita, por exem-
plo, “y” nas duas equações, temos:
y = 2x - 4 (primeira) e y = 11 - 3x (segunda)
comparando os resultados, temos:
2x - 4 = 11 - 3x ⇒ 2x + 3x = 11 + 4 ⇒ 
5x = 15 ⇒ x = ⇒ x = 3
Substituindo o resultado x = 3 em qualquer das duas 
equações em y, obtemos:
y = 11 - 3 . 3 ⇒ y = 11 - 9 ⇒ y = 2
Portanto, S = {(3,2)}
EXERCÍCIOS
 1. Em certo jogo de futebol uma entrada para arquibanca-
da custava R$ 100,00 e para cadeira numerada custava 
R$ 300,00. O jogo foi visto por 1.575 pessoas e deu 
renda de R$ 269.500,00. Quantas pessoa usaram a 
arquibancada e quantas usaram a cadeira numerada?
x=134.750 ; y= 134.750
x=134.550 ; y= 134.950
x= 1015 ; y= 560
x= 315 ; y= 1260
 2. O perímetro de um terreno retangular é 40 metros. O 
comprimento do terreno é igual ao triplo da largura. 
Quais são as dimensões desse terreno retangular?
a) x=20m ; y=20m c) x=25m ; y=15m
b) x=30m ; y=10m d) x=35m ; y= 5m
 3. No fim de um dia de trabalho o caixa de um supermer-
cado tem em seu poder R$ 6.240,00 em 160 notas de 
R$ 50,00 e de R$ 10,00/ Quantas notas há de cada 
espécie?
a) x = 116 ; y = 44 c) x = 80 ; y = 80
b) x = 144 ; y = 16 d) x = 120 ; y = 40
 4. Em um mês de trabalho uma montadora de carros 
produziu 787 unidades em dois modelos A e B. Se o 
número de carros do medelo A supera os modelos B 
em 51 unidades, quantos carros foram produzidos de 
cada tipo?
a) A = 368 ; B = 419 c) A = 387 ; B = 400
b) A = 420 ; B = 357 d) A = 419 ; B = 368
 5. O supermercado “CARREFOUR” vende duas marcas de 
sabão em pó: Caixa Azul e Caixa Verde. Em certo dia 
são vendidas 228 caixas, sendo que o de Caixa Azul 
vendeu três vezes mais que o outro. Quantas caixas 
foram vendidas de cada marca?
a) Azul=57 ; Verde=171 b) Azul=76 ; Verde=152
b) Azul=171 ; Verde=57 c) Azul=152 ; Verde=76
 6. No estacionamento de um supermercado há automó-
veis e bicicletas num total de 27 veículos e 84 rodas. 
Quantos veículos há de cada espécie?
a) x = 15 ; y = 12 c) x = 21 ; y = 6
b) x = 3 ; y = 24 d) x = 7 ; y = 20
 7. Em certa escola há 70 professores, contando-se aí ho-
mens e mulheres. Se a metade do número de mulheres 
é igual ao triplo do de homens, quantos professores 
há de cada sexo?
a) H = 15 ; M = 55 c) H = 10 ; M = 60
b) H = 20 ; M = 50 d) H = 30 ; M = 40
 8. A população do Brasil é de aproximadamente 150 
milhões de habitantes. A população urbana é 3/2 da 
rural. Qual é o número de habitantes que moram nas 
cidades? E no campo?
a) P.U = 80 ; P.R = 70 c) P.U = 75 ; P.R = 75
b) P.U = 50 ; P.R = 100 d) P.U = 90 ; P.R = 60
 9. Kátia e Beatrice ganham juntas R$ 12.560,00 por mês. 
Se a primeira recebe R$ 325,00 mais que a segunda 
, qual é o salário de cada uma?
a) Kátia = R$6.280,00 ; Beatrice = R$ 6.280,00
b )Kátia = R$6.442,50 ; Beatrice = R$ 6.117,50
c) Kátia = R$6.605,00 ; Beatrice = R$ 5.955,00
d) Kátia = R$6.930,00 ; Beatrice = R$ 5.630,00
10. Em um estacionamento há 45 veículos entre carros e 
motos. Feita uma contagem, foram contadas 162 rodas. 
Quantos veiculos há de cada tipo?
a) x = 36 ; y = 9 c) x = 34 ; y = 11
b) x = 35 ; y = 10 d) x = 33 ; y = 12
11. Com R$ 269,10 Aníbal pretende comprar 120 brindes 
para a festa junina da escola. Os brindes escolhidos 
são picolés de R$ 1,50 e canetas de R$ 4,20. Quantos 
picolés e quantas canetas Aníbal deverá comprar?
a) x = 84 ; y = 36 c) x = 86 ; y = 34
b) x = 85 ; y = 35 d) x = 87 ; y = 33
12. Resolver os sistemas abaixo( ){ }( )ℜ∈ℜ∈= yexyxU /,
a) 


−=−
=+
6
8
yx
yx
 f)






=−
=+
3
2
3
3
4
3
yx
yx
27
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
b) g)




=−
−
=
+
−
352
236
1
xy
yxyx
c) 


=+
=−
73
024
yx
yx
 h)
( )
( )


−=−−+
−−=−
2333
1532
yxyx
yxyx
d) 


=−
−=−
5,129
5,554
yx
yx
 i)
( )






−
−=
−
=
−
+
−
3
52
2
17
2
5
3
2
25
xyy
xyx
e) j)






+=
−
=
+
yx
yxyx
2
2
25
13. Encontrar os valores de a e b para que o par (2, -3) 
seja solução de : ( ){ }ℜ∈ℜ∈= yexyxU /,
a) 


=+
=−
byx
ayx
2
3
 c) 


−=
+−=
xby
ayx
4
23
 
b)
14. Encontrar cinco soluções para o sistema: 




+
=
=−
2
4
42
yx
yx
15. Determinar a e b tal que (3, 1) seja solução do sistema 
, nas incógnitas x e y.
16. A soma de dois números é 14 e a diferença entre eles 
é 22. Quais são esses números?
17. Um terreno de 8000m2 deve ser repartido entre dois 
lotes. A diferença entre as áreas desses lotes deve ser 
1000m2. Calcular a área de cada lote.
18. A soma das idades de duas pessoas é 36 anos. A idade 
de uma delas é igual a 5
7
da idade da outra. Determinar 
as idades dessas pessoas.
19. Dois números são tais que, multiplicando-se o maior 
por 5 e o menor por 6, esses produtos são iguais. O 
maior deles, diminuído de 3, é igual ao menor aumen-
tado de 1. Calcular esses dois números.
20. Numa firma trabalham 44 pessoas. O número de homens 
é igual a 5
6
 do número de mulheres. Quantos homens 
e quantas mulheres trabalham nessa firma?
21. Uma fração é equivalente a 2
3
. Se subtrairmos 4 do nume-
rador, a fração se torna equivalente a 2
1
. Encontrar essa 
fração.
22. O perímetro de um retângulo é 50 cm. Calcular as 
dimensões desse retângulo, sabendo que a diferença 
entre elas é 5 cm.
23. A soma da minha idade com a do meu filho é 46 anos. A 
minha idade, diminuída de 4 anos, é igual ao quíntuplo 
da idade do meu filho. Qual é a minha idade?
24. Num torneio de perguntas e respostas, para cada 
resposta correta ganham-se 10 pontos e para cada 
resposta errada perdem-se 5 pontos. Uma certa equipe, 
depois de 10 perguntas, acumulou 70 pontos. Quantas 
perguntas acertou? E quantas perguntas errou?
25. Tenho 18 notas, algumas de R$ 100,00 e outras de R$ 
50,00, num total de R$ 1100,00. Quantas notas tenho 
de cada valor?
26. Em um quintal, há 30 animais, entre galinhas e porcos, 
perfazendo um total de 82 pernas. Quantos são os 
porcos e quantas são as galinhas?
27. No pátio de um estacionamento existem automóveis 
e motos, num total de 150 rodas. O número de auto-
móveis é igual ao dobro do número de motos. Quantos 
veículos há nesse estacionamento?
28. Uma tábua de 54 centímetros deve ser cortada em 
dois pedaços, de modo que um deles tenha 4 cen-
tímetros a mais que o outro. Qual o comprimento 
de cada peça?
29. Sejam dois números tais que o maior é igual ao dobro 
do menor. A soma dos quocientes da divisão exata do 
maior por 2 e do menor por 5 resulta 6. Quais são esses 
números?
30. Somando-se 13 ao numerador de uma fração, esta se 
torna igual a 1; somando-se 14 ao denominador dessa 
fração, esta se torna igual a 2
1
 . Que fração é essa?
31. Numa divisão o quociente é 8 e o resto 24. Sabe-se 
que a soma do dividendo, do divisor, do quociente e 
do resto é 344. Encontrar o dividendo e o divisor.
GABARITO
 1. c) x=1015 ; y=560
 2. b) x=30m ; y=10m
 3. a) x=116 ; y=44
 4. d)A=419 ; B=368
 5. b) Azul=171 ; Verde=57
 6. a) x=15 ; y=12
 7. c) H=10 ; M=60
 8. d) P.U=90 ; P.R=60
 9. b) K=R$6.442,50 ; B=R$ 6.117,50
10. a) x=36 ; y=9
11. d) x=87 ; y=33
12. a) S = {(1,7)}
28
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
 b) S = {(-5,8)}
 c) S = {(1,2)}
 d) S = {(0,5;1,5)}
 e) S = {(15,-30)}
 f) S = {(1,1)}
 g) S = {(1,4)}
 h) S = {(1,0)}
 i) S = {(2,3)}
 j) S = {(28,12)}
13. a) a = 11 e b = 1
 b) a = 6 e b = 5
 c) a = 0 e b = 5
14. Resposta pessoal
15. a = 2 e b = 1
16. 18 e - 4
17. 4500m2 e 3500m2
18. 21 anos e 15 anos
19. 24 e 20
20. 24 homens e 20 mulheres
21. 
22. 15 cm e 10 cm
23. 39 anos
24. acertou 8 e errou 2
25. 14 notas de R$ 50,00 e 4 notas de R$ 100,00
26. 11 porcos e 19 galinhas
27. 30 automóveis e 15 motos
28. 25 cm e 29 cm
29. 10 e 5
30. 
31. dividendo = 280 ; divisor = 32
SISTEMAS DE MEDIDAS
 
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
O sistema métrico decimal é constituído por um 
conjunto de unidades de diversas grandezas, todas de-
rivando de uma unidade de comprimento, denominada 
metro (símbolo m).
O metro em algumas situações, uma medida muito 
pequena ou, em outras ocasiões, muito grande para de-
terminadas medições. Por este motivo, foram criados os 
múltiplos e submúltiplos do metro.
UNIDADES DE COMPRIMENTO
As unidades de comprimento são baseadas no metro, 
unidade principal, seus múltiplos e submúltiplos.
Os múltiplos formam-se da unidade principal, precedida 
dos prefixos gregos deca (dez), hecto (cem) e quilo (mil).
Os submúltiplos formam-se da unidade principal, prece-
dida dos prefixos gregos deci (décimo), centi (centésimo) 
e mili (milésimo).
Assim, temos que:
Tome nota:
Dado um número qualquer representando um certo 
comprimento, em uma das unidades, para transforma-los 
em uma unidade imediatamente superior, basta deslocar 
a “vírgula” uma casa para esquerda. Para transformá-lo na 
unidade imediatamente inferior, basta deslocar a “vírgula” 
uma casa para direita.
Exemplos:
Transformar 3,25 m (metros) em hm (hectômetros).
km hm dam m dm cm mm
 3 , 2 5
 0 , 0 3 2 5
Logo, 3,25 m equivale a 0,0325 hm.
Transformar 0,128 km (quilômetros) em dm (decíme-
tros)
km hm dam m dm cm mm
 0 , 1 2 8
 1 2 8 0 0
Logo, 0,128 km equivale a 12800 dm
UNIDADES DE ÁREA
As unidades de área são quadrados cujos lados são 
tomados como unidade de comprimento.
A unidade principal de área é o metro quadrado, cujo 
lado mede um metro de comprimento.
 1m 
 
 1m
Onde: 1 m2 = (1 m).(1 m)
As unidades de área são baseadas no metro quadrado, 
seus múltiplos e submúltiplos são:
29
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Os múltiplos:
• 1 km2 = (1000 m).(1000 m) = (1000)2 m2
• 1 hm2 = (100 m).(100 m) = (100)2 m2
• 1 dam2 = (10 m).(10 m) = (10)2 m2
Os submúltiplos:
• 1 dm2 = (0,1 m).(0,1 m) = (0,1) 
2 m2
• 1 cm2 = (0,01 m).(0,01 m) = (0,01)2 m2
• 1 mm2 = (0,001 m).(0,001 m) = (0,001)2 m2
Assim, temos que:
Tome nota:
• Dado um número qualquer representando uma área, 
em uma das unidades, para transformá-los em uma 
unidade imediatamente superior, basta deslocar a 
“vírgula” duas casa para esquerda. Para transformá-
-lo na unidade imediatamente inferior, basta des-
locar a “vírgula” duas casas para direita.
Exemplos:
Transformar 78,93 dm2 (decímetro ao quadrado) em 
mm2 (milímetro ao quadrado).
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
 78 , 93
 78 93 00
Logo, 78,93 dm2 equivale a 789300 mm2.
Transformar 50 dam2 (decâmetro ao quadrado) em km2 
(quilômetro ao quadrado).
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
 50
0,0 00 5
Logo, 50 dam2 equivale a 0,0005 km2 (ou 5.10-4 km2).
UNIDADE DE VOLUME
As unidades de volume são cubos cujas arestas são 
tomadas como unidades de comprimento.
A unidade principal de volume é o metro cúbico, ou 
seja, o volume de um cubo cuja aresta mede um metro de 
comprimento.
 1m 1m
 
 1m
 
1 m3 = (1 m).(1 m).(1m)
As unidades de volume são baseadas no metro cúbico, 
seus múltiplos e submúltiplos.
Os múltiplos:
• 1 km3 = (1000 m).(1000 m).(1000 m) = (1000)3 m3
• 1 hm3 = (100 m).(100 m).(100 m) = (100)2 m2
• 1 dam3= (10 m).(10 m).(10 m) = (10)3 m3
Os submúltiplos:
• 1 dm2 = (0,1 m).(0,1 m).(0,1 m) = (0,1) 
3 m3
• 1 cm3 = (0,01 m).(0,01 m).(0,01 m) = (0,01)3 m3
• 1 mm2 = (0,001 m).(0,001 m).(0,001 m) = (0,001)2 
m2
Assim, temos que:
Tome nota:
Dado um número qualquer representando um volume, 
em uma das unidades, para transformá-los em uma uni-
dade imediatamente superior, basta deslocar a “vírgula” 
três casa para esquerda. Para transformá-lo na unidade 
imediatamente inferior, basta deslocar a “vírgula” três 
casas para direita.
Exemplos:
Transformar 2 km3 (quilômetros cúbicos) em cm3 
(centímetro cúbico)
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
 2
 2 000 000 000 000 000
Logo, 2 km3 equivale a 2.000.000.000.000.000 cm3 
(ou 2.1015 cm3)
30
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
UNIDADES DE CAPACIDADE
As unidades de capacidade são baseadas no litro, 
unidade principal. 
Os múltiplos formam-se da unidade principal, precedida 
dos prefixos gregos deca (dez), hecto (cem) e quilo (mil). 
Os submúltiplos formam-se da unidade principal, prece-
dida dos prefixos gregos deci (décimo), centi (centésimo) 
e mili (milésimo).
Assim, temos que:
Tome nota:
Para transformação de unidades, o procedimento é 
análogo ao de mudança de unidades de medidas de com-
primento.
O litro é definido como unidade de medida de volume, 
igual ao volume de um quilograma de água, sob pressão 
de 760 mm de mercúrio, na temperatura de 3,98º C. Na 
prática, este volume é equivalente a 1 dm3.
1 litro ≈ 1 dm3
UNIDADES DE MASSA
A massa de um corpo é definida como sendo a quan-
tidade de matéria de que é feito. A massa de um corpo 
qualquer é invariável ao longo da superfície terrestre.
A unidade principal, o grama, é definido como sendo 
a quantidade de água destilada ocupando o volume de 1 
cm3, a temperatura de quatro graus centígrados sob pressão 
atmosférica normal.
Os múltiplos e submúltiplos são:
Tome nota:
Para transformação de unidades, o procedimento é 
análogo ao de mudança de unidades de medidas de com-
primento.
UNIDADES AGRÁRIAS
São unidades de medidas de áreas utilizadas para 
avaliar superfícies de terras cultivadas, campos, matas, etc.
A unidade é o “are”. O múltiplo do are é o hectare (100 
vezes o are) e o submúltiplo é o centiare (0,01 vezes o are).
 
Tome nota:
• hectare: 1ha = 100a
• are: 1a = 100m2
• centiare: 1ca = 0,01a = 1m2
Os lavradores e agricultores brasileiros medem suas 
terras em unidade diferente: o alqueire. No entanto, vigo-
ram duas espécies de alqueires:
• 1 alqueire paulista é igual a 24200 m2
• 1 alqueire mineiro é igual a 48400 m2
UNIDADES DE TEMPO
Fazendo as conversões de tempo em função da unidade 
segundo, temos:
• 1 minuto = 60 segundos.
• 1 hora = 60 minutos = 3600 segundos.
• 1 dia = 24 horas = 1440 minutos = 86400 segundos.
• 1 ano = 365 dias (aproximadamente) = 8760 horas 
= 525600 minutos = 31536000 segundos.
SISTEMA MONETÁRIO
A moeda corrente brasileira é o Real, divididos nos 
seguintes valores:
Cédulas de:
• 1 Real
• 5 Reais
• 10 Reais 
• 20 Reais
• 50 Reais
• 100 Reais
Moedas de:
1 centavo que equivale à 100
1
 do Real;
5 centavos que equivale à do Real;
10 centavos que equivale à do Real;
25 centavos que equivale à 4
1
 do Real
50 centavos que equivale à 2
1
 do Real
1 Real que equivale ao próprio Real
31
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
EXERCÍCIOS
 1. Quantos metros de arame são necessários para cercar 
um lote de terreno retangular de 12 m de frente e 30 
m de fundo, fazendo a cerca com 6 fiados de arame?
 2. Em uma parede de 3 m de altura é montada uma estante 
com 9 prateleiras igualmente espaçadas e de 2 cm de 
espessura. Qual é a distância entre cada prateleira e sua 
vizinha?
 3. João Carlos fez uma viagem de 5 horas à velocidade 
média de 82,71 quilômetros por hora. Quantos metros 
João Carlos andou?
 4. Em certa época o Brasil, que tem uma superfície de 
8.500.000 km2, tinha uma população de 13 habitantes 
por km2. Quantos habitantes existiam no Brasil nessa 
ocasião?
 5. Um terreno retangular com 12 m de frente e 40 m de 
fundo é vendido à razão de R$ 3.400,00 por metro 
quadrado. Qual é o preço total do terreno?
 6. Uma folha de papel tem forma e retângulo com com-
primento 21 cm e largura 28 cm. Essa folha é quadricu-
lada, estando riscada de tal forma que fica subdividida 
em quadradinhos há na folha? Qual é a área da folha?
 7. Qual é a área de um terreno de forma quadrada cujo 
perímetro é 88 m?
 8. Um auditório tem as seguintes dimensões; comprimen-
to 15 m, largura 10 m e altura 4 m. Qual é o volume 
de ar existente no auditório?
 9. Um tonel com capacidade para 218l está cheio de 
vinho que vai ser engarrafado. Quantas garrafas de 9 
dl é possível encher completamente com o conteúdo 
do tonel?
10. Um laboratório importa 50l de uma vacina concentrada. 
Em seguida dilui o medicamento em 670 dm3 de água 
destilada e coloca em ampolas de 2 cm3 cada uma. 
Quantas ampolas podem ser produzidas dessa forma?
11. Uma caixa d’água tem a forma de um cubo com 2 m 
de aresta (medidas internas). Quantos litros de água 
é possível armazenar nessa caixa?
12. Em uma garrafa de guaraná cabe 0,2 l de bebida. Quan-
tas garrafas é possível encher com a bebida contida 
num recipiente com capacidade de 28 m3?
13. Quantos litros de água são necessários para encher 
completamente uma piscina que tem comprimento 25 
m, largura 10 m e profundidade 2,2 m?
14. Dois sítios, um de 8ares por 6ares e outro de 200000 
m2 fora, unidos, formando uma propriedade única, de:
a) 6800 ha d) 6,8 ha 
b) 680 ha e) 0,68 ha
c) 68 ha 
15. Dividindo o valor da capacidade de um barril e a de 
uma caixa d’água é de 0,0375. Se a capacidade do barril 
é de 0,000045 dam3, qual a capacidade, em litros, da 
caixa d’água?
a) 900 litros. d) 1.200 litros 
b) 1.000 litros. e) 1.500 litros
c) 1.150 litros.
16. A divisão de uma área de uma chácara e a de uma 
fazenda é de 0,001875. Se a área da chácara é de 
8700m2, qual, em hectares, vale a área da fazenda?
a) 464 ha d) 596 ha 
b) 472 ha e) 612 ha
c) 532 ha
17. Um laboratório importa 50 litros de uma vacina concen-
trada. Em seguida dilui o medicamento em 670dm3 de 
água destilada e coloca em ampolas de 2cm3 cada uma. 
Quantas ampolas podem ser produzidas dessa forma?
a) 340.000 d) 400.000 
b) 360.000 e) 420.000
c) 380.000
18. Em uma garrafa de guaraná cabe 0,2 litros de bebida. 
Quantas garrafas é possível é possível encher com a 
bebida contida num recipiente com capacidade de 
28m3?
a) 100.000 d) 170.000 
b) 130.000 e) 185.000
c) 140.000
19. Priscila acertou seu relógio ao sair de casa, às 7 ho-
ras da manhã. O relógio adianta 1 segundo por hora. 
Quanto ele estiver marcando 8 horas da noite, que 
horas serão na realidade?
a) 19 horas 59 minutos.
b) 19 horas 59 minutos 17 segundos.
c) 19 horas 59 minutos 27 segundos.
d) 19 horas 59 minutos 37 segundos.
e) 19 horas 59 minutos 47 segundos.
20. (IBGE - 2000) Em certas regiões rurais no Brasil, áreas 
são medidas em alqueires mineiros. Um alqueire mi-
neiro é a área de um terreno quadrado de 220 metros 
de lado. Qual é a área, em quilômetros quadrados, de 
uma fazenda com 30 alqueires mineiros?
a) 1,452 c) 145,2 e) 14520
b) 14,52 d) 1452
GABARITO
1. 504 m 11. 8.000 litros
2. 31 cm 12. 140.000 garrafas
3. 413.550 m 13. 550.000 litros
4. 11050000 habitantes 14. 68 ha
5. R$ 1.632.000,00 15. 1200 litros
6. 588 quadradinhos; 588 cm2 16. 464 ha
7. 484 m2 17. 360.000
8. 600 m3 18. 140.000
9. 242 garrafas 19. 19 horas 59 minutos 
47 segundos.
10. 360.000 ampolas 20. 1,452
32
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
COMPRENSÃO DE ESTRUTURAS LÓGICAS
LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES
Toda proposição deve obedecer aos dois princípios 
básicos a seguir:
• Princípio da não- contradição (uma proposição 
não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo)
• Princípio do terceiro excluído (uma proposição ou 
é verdadeira ou é falsa, não podendo assumir um terceiro 
valor lógico)
De acordo com os princípiosbásicos, toda proposição 
pode ser classificada em verdadeira (V) ou falsa (F)
VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO
O valor verdadeiro (V) ou falso (F) que uma proposição 
pode assumir é chamado valor lógico ou valor verdade 
dessa proposição.
Exemplos:
1. A afirmação P: “O Brasil é o único país tetra- 
campeão mundial de futebol” é uma proposição, cujo valor 
lógico é verdadeiro
2. A afirmação P: “Todos os brasileiros, sem exceção, 
gostam de futebol” é uma proposição, cujo valor lógico é 
falso
Dizemos também que uma proposição p é uma pro-
posição verdadeira (ou falsa) para significar que p é uma 
proposição cujo valor lógico é verdadeiro (ou falso)
3. A afirmação q: “4 + 5 > 9” é uma proposição falsa
4. A afirmação q: “nenhum ser humano é imortal” é 
uma proposição verdadeira
5. A afirmação: “x + 5 = 10” não é uma proposição 
pois, como não se conhece o valor de x, não se pode dizer 
se a afirmação é verdadeira ou falsa
6. A frase q: “” Vamos à festa? “não é uma propo-
sição, pois não se trata de uma afirmação e sim de uma 
interrogação
7. A frase q: “Que bela mulher!” não é uma propo-
sição, pois não se trata de uma afirmação e sim de uma 
exclamação
TABELA LÓGICA OU TABELA- VERDADE
Dada uma proposição p o seu valor lógico ou é ver-
dade ou é falso. Os dois possíveis valores de p podem ser 
representados na seguinte tabela, conhecida como tabela 
lógica ou tabela- verdade;
 
Exemplo:
As proposições p: “O tubarão é um animal mamífero” 
e q: “todo ser vivo é um mamífero”, correspondem, respec-
tivamente, as linhas 1 e 2 da tabela anterior:
PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTA
Toda proposição que não contem nenhuma outra pro-
posição como parte integrante de si mesma é dita simples, 
caso contrário é dita composta.
Exemplo:
A proposição p: “O zinco é um elemento químico ”é 
uma proposição simples e a proposição “A pressa é inimiga 
da perfeição” é uma proposição composta.
CONECTIVOS LÓGICOS
São expressões que servem para unir duas proposições 
ou transformar uma proposição formando uma nova propo-
sição. Os conectivos lógicos básicos são:
NEGAÇÃO: ~ P
Dada uma proposição p, a negação de p é indicada ~ p 
(não p) e definida como a proposição que obtemos quando 
negamos, logicamente, p.
Exemplos:
1. p: o sol é uma estrela
 ~ p: o sol não é uma estrela
2. p: 4 + 5 = 9 ( quatro mais cinco é igual a nove)
 ~ p: 4 + 5 ≠ 9 ( quatro mais cinco é diferente de 
nove)
3. p: existe um ser humano que é mortal
 ~ p: nenhum ser humano é mortal
VALOR LÓGICO DE ~ P
A proposição ~ p é uma proposição transformada da 
proposição p por meio de uma negação lógica. Como tal, 
seu valor lógico é verdadeiro se p é falso e é falso se p 
é verdadeiro. Esse valor depende do valor lógico de p de 
acordo com a seguinte convenção: Se o valor lógico de p é 
verdadeiro então o valor lógico de ~ p é falso e vice- versa.
Tabela- verdade de ~ p
Exemplo:
A proposição p: “O Brasil faz parte da América do Sul” 
é verdadeira (V) e a proposição ~ p: “O Brasil não faz parte 
da América do Sul” é falsa (F).
CONJUNÇÃO: P ∧ Q
Dadas as proposições p e q, chamamos conjunção de 
p e q, a proposição p ∧ q ( p e q).
33
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Exemplos:
1. p: “O concorde é um avião”
 q: “A cigarra é um inseto”
 
 p ∧ q: “O concorde é um avião e a cigarra é um 
inseto”
2. p: “Romário é um jogador de futebol”
 q: “Paulo Maluf é um político”
p ∧ q: “Romário é um jogador de futebol e Paulo Maluf 
é um político”
VALOR LÓGICO DE P ∧ Q
A proposição p ∧ q é uma proposição composta for-
mada a partir das proposições p e q. Como tal, ela possui 
um valor lógico: verdadeiro ou falso. Esse valor depende 
dos valores lógicos de p e de q de acordo com a seguinte 
convenção: a proposição p ∧ q só é verdadeira(V) se p e 
q forem ambas verdadeiras, caso contrário, ela é falsa.
Tabela- verdade de p ∧ q
DISJUNÇÃO: P ∨ Q
Dadas duas proposições p e q, chamamos disjunção de 
p e q a proposição (p ou q).
Exemplos:
1. p: “O tigre é um felino”
 q: “Domingo é um dia da semana”
 p ∨ q: “O tigre é um felino ou Domingo é um dia 
da semana”
2. p : “O fogo é gelado”
 q : “O gelo é quente”
 p ∨ q: “O fogo é gelado ou o gelo é quente”
VALOR LÓGICO DE P ∨ Q
A proposição p ∨ q é uma proposição composta for-
mada a partir das proposições p e q. Como tal, ela possui 
um valor lógico: verdadeiro ou falso. Esse valor depende 
dos valores lógicos de p e de q de acordo com a seguinte 
convenção: a proposição p q só é falsa(F) se p e q forem 
ambas falsas, caso contrário, ela é verdadeira(V).
Tabela- verdade de p ∨ q
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA DE P Q
Dadas duas proposições p e q chamamos disjunção 
exclusiva de p e a proposição p q (ou p ou q).
Exemplo:
p: “5 é um número inteiro”
q: “O sol é redondo”
p q : “Ou 5 é um número inteiro ou o sol é redondo”
VALOR LÓGICO DE P Q
A proposição p q é uma proposição composta for-
mada a partir das proposições p e q. Como tal, ela possui 
um valor lógico: verdadeiro ou falso. Esse valor depende 
dos valores lógicos de p e de q de acordo com a seguinte 
convenção: a proposição p q é verdadeira (V) sempre 
que os valores lógicos de p e de q forem diferentes, caso 
contrário, isto é, se p e q tiverem o mesmo valor lógico, 
a proposição p q é falsa (F).
Tabela- verdade de p q
CONDICIONAL: P → Q
Dadas duas proposições p e q chamamos condicional 
“se p, então q” a proposição p → q.
Exemplos:
1. p : “o cavalo galopa” q: “O avião 
voa”
p → q: “se o cavalo galopa então o avião voa”
2. p : “10 = 10” q : “ 100 é 
múltiplo de 10”
p → q : “Se 10 é igual a 10, então 100 é múltiplo de 10”
VALOR LÓGICO DE P → Q
A proposição p q é uma proposição composta formada 
a partir das proposições p e q. Como tal, ela possui um 
valor lógico: verdadeiro ou falso. Esse valor depende dos 
valores lógicos de p e de q de acordo com a convenção: a 
proposição p q só é falsa (F) se p for verdadeira (V) e q 
for falsa (F), caso contrário, ela é verdadeira (V).
Tabela- verdade de p → q
34
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL
As tabelas-verdade destas proposições são as seguin-
tes:
Exemplo:
Se p e q são as proposições p : “Edvaldo é bancário” e
q: “Edvaldo é rico” então a proposição
p → q é p →q: “Edvaldo é bancário, então Edvaldo 
é rico” e assim nós temos:
• Recíproca (q → p): “Se Edvaldo é rico, 
então Edvaldo é bancário”
• Contrária ( ~ p →~ q): “Se Edvaldo não é 
bancário, Edvaldo então não é rico”
• Contra- positiva ( ~ q → ~ p) “Se Edvaldo 
não é rico, então Edvaldo não é bancário”
BICONDICIONAL : P ↔ Q
Dadas duas proposições p e q chamamos bicondicional 
“p se, e somente se, q”a proposição p ↔ q.
Exemplo:
p: “Sou filho da minha mãe” q: “O céu é azul”
p ↔ q: “Sou filho de minha mãe se, e somente se, o 
céu é azul”
VALOR LÓGICO DE P ↔ Q
A proposição p ↔ q é uma proposição composta for-
mada a partir das proposições p e q. Como tal, ela possui 
um valor lógico: verdadeiro ou falso. Esse valor depende 
dos valores lógicos de p e de q de acordo com a conven-
ção: a proposição p ↔ q é verdadeira (V) se p e q forem 
ambas verdadeiras (V) ou ambas falsas (F) caso contrário, 
ela será falsa (F).
 
Tabela- verdade de p ↔q
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: 
Analogias Inferências, Deduções 
e Conclusões
A lógica se preocupa geralmente com a validade dos 
argumentos. Na análise da validade de um argumento, um 
conhecimento muito útil é o da teoria dos conjuntos (espe-
cialmente os diagramas de Venn) e, bem mais importante, 
os conhecimentos básicos da álgebra das proposições e 
suas regras de inferências.
ARGUMENTOS
Chamamos de argumento toda afirmação de que uma 
seqüência finita de proposições p1, p2, p3, ..., pn(n ≥1) 
tem como conseqüência uma proposição q, onde as pro-
posições p1, p2, p3, ..., pn são chamadas premissas e a 
proposição q é chamada conclusão do argumento.
Exemplos:
1) Uma mulher casada é infeliz. Uma mulher infeliz 
morre cedo. Logo uma mulher casada morre cedo.
2) Se chover Claúdia não sai de casa, mas Claúdia 
saiu. Logo não chove.VALIDADE DE UM ARGUMENTO
Dizemos que um argumento p1, p2, p3,...,pn q é 
válido se, e somente se, q é uma proposição verdadeira 
sempre que p1, p2, p3, ... , pn forem verdadeiras. Caso 
contrário, isto é, se tivermos p1, p2, p3, ..., pn verdadeira 
e q falsa, dizemos que o argumento não é válido ou que o 
argumento é um sofisma (ou uma falácia).
CRITÉRIO DE VALIDADE
Um argumento p1, p2, p3, ..., pn q é válido se, e 
somente se, a proposição (p1∧ p2 ∧ p3 ∧...∧ pn) → q é 
uma tautologia.
Exemplo:
O argumento “Brasília é a capital do Brasil. Logo Bra-
sília é a capital do Brasil ou Buesnos Aires é a capital da 
argentina” é um argumento válido.
De fato, em forma simbólica o argumento dado fica p 
p ∨ q, onde q é a proposição verdadeira P: “Brasília é a 
capital do Brasil” e q é a proposição verdadeira q: “Buenos 
Aires é a capital da Argentina”
Construindo as tabelas- verdade das proposições en-
volvidas no argumento, p, q, p ∨ q e da proposição P → 
( p ∨ q ), temos:
Como na última coluna, a coluna de p →( p ∨ q ), só 
aparecem V, podemos concluir que o argumento dado é um 
argumento válido.
Na realidade, como p é uma das premissas, no caso a 
única, e em um argumento temos que supor que as pre-
missas são sempre verdadeiras, só devemos nos preocupar 
com as duas primeiras linhas da tabela anterior, que são:
 
35
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
DIAGRAMAS LÓGICOS
Demonstrar a validade ou não de um argumento não 
é tarefa das mais simples, como pudemos perceber. Um 
instrumento bastante útil são os diagramas de Venn, da 
teoria dos conjuntos, visto que muitas proposições verbais 
podem ser traduzidas em proposições sobre conjuntos.
DIAGRAMAS DE VENN
Os diagramas de Venn constituem um meio simples 
de se visualizar a relação existente entre dois ou mais 
conjuntos.
1) Para mostrarmos que o conjunto A está contido no 
conjunto B ( A Ì B ), fazemos o seguinte diagrama;
 
2) Para mostrarmos que o conjunto A intercepta o 
conjunto B ( A ∩ B ≠ ∅ ), fazemos o seguinte diagrama:
 
3) Para mostrarmos que o conjunto A não intercepta 
o conjunto B ( A ∩ B ≠∅ )
LÓGICA NA TEORIA DOS CONJUNTOS
Conjunto é um dos conceitos primitivos da matemá-
tica e que, como tal, não pode ser definido. A noção de 
conjunto pode ser formada a partir da idéia de coleção de 
objetos. Os objetos que compõem um conjunto são chama-
dos de elementos do conjunto. A relação entre elementos 
e conjuntos é a relação de pertinência. Dizemos que um 
elemento a pertence a um conjunto A ( a ∈A ) e se a não 
for elemento do conjunto A, dizemos que o elemento A 
não pertence ao conjunto A ( a ∉ A )
Os conjuntos podem ser representados de várias ma-
neiras diferentes:
• Por extensão ou listagem. 
É quando listamos todos os elementos do conjunto, 
escrevendo- os entre chaves, e separando- os por vírgula 
ou ponto e vírgula.
Exemplo:
O conjunto das vogais do alfabeto A = { a; e; i; o; u; }
• Por compreensão ou caracterização
É quando representamos o conjunto por meio de 
uma propriedade que é comum a todos os elementos do 
conjunto. Esta propriedade é expressa por meio de uma 
função proposicional que deve caracterizar completamente 
os elementos do conjunto.
Exemplo:
Seguindo o exemplo anterior teremos, A = { x / x é 
vogal do alfabeto }
• Por diagramas
É quando representamos o conjunto por meio de uma 
figura plana. O diagrama mais utilizado é o diagrama de 
Venn, visto anteriormente.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
JUROS SIMPLES
Podemos definir Juros Simples como sendo o valor 
acrescido a um determinado capital. Seu valor é determi-
nado a partir do valor (capital) inicial estipulado.
Fórmula matemática:
J = C.i.t
onde:
J: juros simples.
C: capital (ou principal ou valor nominal).
i: taxa (em porcentagem - %).
t: tempo decorrido para a capitalização.
Obs: o período em que o tempo é dividido para a capita-
lização deve estar coerente com a denominação do período 
da taxa.
Assim, temos que:
• Se o período for em anos, a taxa deve ser anual: 
i = x% a.a.
• Se o período for em meses, a taxa deve ser mensal: 
i = x% a.m.
• Se o período for em dias, a taxa deve ser ao dia: 
i = x% a.d.
Lembre-se que:
1 bimestre = 2 meses.
1 trimestre = 3 meses.
1 quadrimestre = 4 meses
1 semestre = 6 meses.
1 ano = 12 meses.
1 biênio = 2 anos = 24 meses.
Lustro ou qüinqüênio = 5 anos.
1 semana = 7 dias
1 quinzena = 15 dias
1 mês = 30 dias (comercial).
1 ano = 360 dias (comercial).
36
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Exemplo:
Para render juros de R$ 4.375,00 à taxa de 2,5% ao mês, 
devo aplicar meu capital de R$ 50.000,00 durante quanto 
tempo?
Resolução:
J = 4.375,00
i = 2,5%
C = 50.000,00
t = ?
tiCJ ..= ⇒ t.
100
5,2000.50375.4 = 
t.000.125500.437 = ⇒ 000.125
500.437
=t ⇒ t = 3,5
R: 3 meses e meio.
Obs.: Como a denominação da taxa é mensal, logo o 
período encontrado será mensal.
MONTANTE
Capital empregado acrescido do juros simples obtido 
num certo período de aplicação.
JCM +=
 
Como tiCJ ..= , temos que:
tiCCM ..+= ⇒ ).1( tiCM += , onde:
M: montante (capital mais juros)
C: capital (ou principal ou valor nominal).
i: taxa (em porcentagem - %).
t: tempo decorrido para a capitalização.
Exemplo:
Larissa fez um empréstimo bancário no valor de R$ 
200.000,00. Após 7 meses, ela devolveu R$ 480.000,00 
ao banco. O empréstimo foi, portanto, tomado à taxa de?
C = 200.000,00
M = 480.000,00
t = 7 meses
i = ?
Resolução:
JCM += ⇒ )7.1(000.200000.480 i+=
⇒ 7.1
000.200
000.480 i+= ⇒ 7.14,2 i+= 
 
⇒ 7.14,2 i=− ⇒ 7
4,1
=i ⇒ 2,0=i 
⇒ 1002,0 ×=i ⇒ i = 20%
R: 20% (a.m.)
EXERCÍCIOS
 1. Qual o capital que, aplicado à taxa de juros simples 
de 15% a.m., produz um montante de R$920,00, ao 
final de 2 anos ?
a) R$ 200,00 
b) R$ 260,50
c) R$ 466,66 
d) R$ 782,00
e) R$ 3.312,00
 2. (VUNESP - SP) Num balancete de uma empresa consta 
que um certo capital foi aplicado a uma taxa de 30% a.a. 
, durante 8 meses, rendendo juros simples no valor de 
R$ 193,00. O capital aplicado foi de:
a) R$ 288,00 
b) R$ 880,00
c) R$ 960,00
d) R$ 965,00
e) R$ 2.800,00
 3. (UnB/CESPE CHESF) Um capital acrescido dos seus 
juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo 
capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, 
reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital é:
a) inferior a R$ 5.600,00.
b) superior a R$ 5.600,00 e inferior a R$ 5.750,00.
c) superior a R$ 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00.
d) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00.
e) superior a R$ 6.100,00.
 4. Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros 
simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja ob-
tido um montante de R$ 19.050,00, o prazo dessa 
aplicação deverá ser de:
a) 1 ano e 10 meses. d) 1 ano e 6 meses.
b) 1 ano e 9 meses. e) 1 ano e 4 meses.
c) 1 ano e 8 meses.
 5. (UnB/CESPE - BANESE) Considere um título de valor 
nominal igual a R$ 1.000,00, cujo vencimento ocor-
rerá daqui a 12 meses. Se a taxa de juros simples, no 
mercado é de 150% a.a. , julgue os itens seguintes, 
no contexto de juros simples.
a) A taxa mensal de juros simples equivalente à taxa 
anual é de 12,5% a.m.
b) Daqui a 6 meses, o título valerá mais de R$ 600,00.
c) Dois meses antes do vencimento, o título valerá 
menos de R$ 800,00.
d) O valor atual do título é maior que R$ 500,00.
e) O valor atual do título no sistema de capitalização 
composta anual à taxa de 150% a.a. seria o mesmo 
do obtido no regime de juros simples. (Obs.: para 
este último item é necessário estudar o próximo 
tópico da apostila - Juros Compostos).
 6. (TRF 1º Região) Em um regime de capitalização 
simples, um capital de R$ 12.800,00, foi aplicado à 
taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 
14.000,00, esse capital deve ficar aplicado por um 
período de :
37
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
a) 8 meses. d) 1 ano e 5 meses.
b) 10 meses. e) 1 ano e 8 meses.
c) 1 ano e 2 meses.
 7. Um certo capital, diminuído de seus juros simples de 
4 meses, à taxa de 4% a.b. (ao bimestre), reduz-sea 
R$ 460,00. Que capital era esse?
a) R$ 800,00 
b) R$ 600,00
c) R$ 500,00
e) R$ 550,00
d) R$ 400,00
 8. (ECT ) O preço original de um aparelho eletrônico é de 
R$ 800,00. Se for parcelado em 6 vezes (pagamento 
de uma parcela a cada mês), a loja cobra uma taxa de 
juros de 8% am. Considerando essas condições, o valor 
total pago pelo aparelho após 6 meses será de: 
a) R$ 384,00 
b) R$ 997,33
c) R$ 1.184,00
d) R$ 1.192,00
e) R$ 3.840,00
 9. (ECT ) Uma aplicação de R$ 400,00 gera um mon-
tante de R$ 496,00 no final de 8 meses. Conside-
rando esses dados, a taxa de juros simples dessa 
aplicação foi de: 
a) 3% c) 4% e) 10%
b) 3,33% d) 5%
10. (SENAPER - PR) Em quantos anos um capital aplicado 
à taxa de 5 % ao ano, no regime de juros simples, 
produz juros iguais à metade do capital inicial?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 9 e) 8
11. (SENAPER - PR) Um cidadão tomou um empréstimo 
bancário de R$ 36.000,00 pelo prazo de 5 anos e ao 
final desse tempo deverá restituir ao banco a impor-
tância de R$ 38.700,00.
Qual é a taxa anual de juros simples nesse empréstimo?
a) 1,2 % c) 1,8 % e) 2,5 %
b) 1,5 % d) 2 %
12. (SENAPER - PR) Calcular quantos reais devem ser apli-
cados em uma instituição financeira que paga a taxa 
de juros simples de 0,8% ao mês, para que se obtenha 
o montante de R$ 2.064,00 no fim de 4 meses.
a) R$ 1.980,00 
b) R$ 1.990,00
c) R$ 2.020,00
d) R$ 2.010,00
e) R$ 2.000,00
13. (SENAPER - PR) Determinar a taxa mensal de juros 
simples que faz com que um capital aumente 40% no 
fim de 4 meses.
a) 7 % c) 9 % e) 11 %
b) 8 % d) 10 %
14. (ECT ) O preço original de um aparelho eletrônico é de 
R$ 800,00. Se for parcelado em 6 vezes (pagamento 
de uma parcela a cada mês), a loja cobra uma taxa de 
juros de 8% am. Considerando essas condições, o valor 
total pago pelo aparelho após 6 meses será de: 
a) R$ 384,00 
b) R$ 997,33
c) R$ 1.184,00
d) R$ 1.192,00
e) R$ 3.840,00
15. (ECT ) Uma aplicação de R$ 400,00 gera um montante 
de R$ 496,00 no final de 8 meses. Considerando esses 
dados, a taxa de juros simples dessa aplicação foi de: 
a) 3% c) 4% e) 10%
b) 3,33% d) 5%
GABARITO
 1. A 7. C 13. D
 2. D 8. C 14. C 
 3. D 9. A 15. A 
 4. D 10. A 
 5. V-F-V-F-V 11. B 
 6. C 12. E
JUROS COMPOSTOS
Defini-se Juros Compostos como o valor acrescido 
a um determinado investimento, da qual é resultante da 
capitalização simultânea do montante (juros mais capi-
tal) tendo como base de cálculo um determinado período 
considerado.
A relação matemática que define Juros Compostos 
é dado por:
t
jc iCM )1( += , onde:
Mjc : montante (capital + juros compostos)
C : capital investido (capital aplicado, principal, valor 
nominal)
i : taxa percentual de juros
t : período a qual o tempo é dividido para a capita-
lização.
A tabela a seguir mostra o montante acumulado ao 
final de cada unidade de tempo.
Unidades 
de tempo
Capital Juro Montante
1 C iC C+iC = C(1 + i)
2 C(1+ i) IC(1 + i) C(1 + i) + iC(1 + 
i) =
 C(1 + i)2
3 C(1+i)2 iC(1+ i)2 C(1 + i)2
 + iC(1 + 
i)2 =
 C(1 + i)3
4 C(1+i)3 iC(1+ i)3 C(1 + i)3+i C(1 + 
i)3
 = 
C(1 + i)4
   
38
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Exemplo1:
Qual deve ser o montante acumulado em 48 meses, a 
uma taxa de 20% ao ano, no regime de juros compos-
tos, a partis de um capital de R$ 30.000,00?
Resolução:
t = 48 meses = 4 anos
i = 20% = 
100
20 = 0,2
C = 30.000,00
M = ?
t
jc iCM )1( += ⇒ M = 30.000(1 + 0,2)4 
M = 30.000(1,2)4 ⇒ M = 30.000(2,0736)
M = 62.208
R: R$ 62.208,00
Exemplo2:
Um nominal de R$ 2.500,00 é investido hoje para res-
gatar um montante de R$ 4.100,00 daqui a 6 meses. A 
que taxa (mensal) deve ser aplicado o mesmo principal 
no regime de juros compostos?
Resolução:
C = 2.500
M = 4.100
t = 6 meses
i = ?
t
jc iCM )1( +=
 ⇒ 4.100 = 2.500( 1 + i )6
500.2
100.4
 = ( 1 + i )6 ⇒ 1,64 = ( 1 + i )6 
1 + i = 
6 64,1
 ⇒ i = 1,086 - 1
i = 0,086 ⇒ i = 0,086x100 ⇒ i = 8,6%
R: 8,6% ao mês.
EXERCÍCIOS
 1. Quanto se deve aplicar hoje, em reais, à taxa de 2 % 
ao mês no regime de juros compostos para se ter R$ 
12.188,16 daqui a 10 meses? Para efeito dos cálculos, 
usar 1,104 como valor (aproximado) de (1,02)5.
a) R$ 9.800,00 
b) R$ 9.900,20
c) R$ 9.500,00
d) R$ 9.990,00
e) R$ 10.000,00
 2. Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa 
mensal de 2%, num regime de capitalização composta. 
Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa 
aplicação serão:
a) R$ 98,00 c) R$ 110,00 e) R$ 121,00
b) R$ 101,00 d) R$ 114,00
 3. Qual o juro composto gerado por um capital de R$ 
10.000,00 aplicado durante 10 meses à taxa de 3% 
ao mês. Dado (1,05)10 ≈ 1,34.
a) R$ 3.400,00 
b) R$ 3.000,00
c) R$ 3.200,00
d) R$ 3.600,00
e) R$ 4.000,00
 4. Em 2005, depositei R$ 180.000,00 a juro composto e 
recebi após 3 meses R$ 311.040,00. Quanto receberia 
se tivesse aplicado esse mesmo capital, à mesma taxa, 
por 8 meses?
a) R$ 734.435,07 d) R$ 813.987,10
b) R$ 773.967,06 e) R$ 823.746,00
c) R$ 802.444,09
 5. O valor de R$ 5.000,00 foi depositado em uma ca-
derneta de poupança no dia 02 de julho de 2005. 
Considerando que naquele dia a taxa de juro mensal 
era de 0,6%, foi feita uma estimativa do rendimento 
que aquele valor poderia produzir, caso a taxa se 
mantivesse fixa. Sabendo que os juros são creditados 
no dia 02 de cada mês, no dia 03 de outubro de 2005 
o total acumulado de juros será um valor:
a) Entre R$ 900,00 e R$ 1.000,00.
b) Entre R$ 100,00 e R$ 130,00.
c) Entre R$ 90,00 e R$ 100,00.
d) Menor que R$ 90,00.
 6. Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa 
mensal de 2%, num regime de capitalização composta. 
Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa 
aplicação serão:
a) R$ 98,00 c) R$ 110,00 e) R$ 121,00
b) R$ 101,00 d) R$ 114,00
 7. Um trator pode ser comprado à vista por um preço v 
, ou pago em 3 parcelas anuais de R$ 36.000,00, a 
primeira dada no ato da compra. Nesse caso, incidem 
juros compostos de 20% a.a. sobre o saldo devedor. 
Nessas condições o preço v é:
a) R$ 75.000,00 d) R$ 95.000,00
b) R$ 88.000,00 e) R$ 97.000,00
c) R$ 91.000,00
 8. (UnB/CESPE - CHESF) No sistema de juros compostos 
com capitalização anual, um capital de R$ 20.000,00 
para gerar em 2 anos um montante de R$ 23.328,00 
deve ser aplicado a uma taxa de:
a) inferior a 6,5% a.a.
b) superior a 6,5%a.a. e inferior a 7,5%a.a.
c) superior a 7,5%a.a. e inferior a 8,5%a.a.
d) superior a 8,5%a.a. e inferior a 9,5%a.a.
e) superior a 9,5%a.a.
 9. (UnB/CESPE - SEARHP/SEFAZ) Um terreno foi anun-
ciado em um jornal por uma imobiliária nas seguintes 
condições: entrada de R$ 10.000,00, acrescida de uma 
parcela de R$ 12.000,00, a ser paga um mês após a 
entrada. Um interessado propôs pagar a imobiliária 
uma entrada de R$ 6.000,00, mais duas prestações 
mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a 
compra. Com base nessa situação e considerando a 
taxa de juros compostos de 4% ao mês em ambas as 
propostas, julgue os itens a seguir:
39
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
a) O valor à vista que seria equivalente ao anunciado 
pela imobiliária seria inferior a R$ 21.800,00.
b) Na forma de pagamento proposta pelo interessado, 
se cada prestação fosse igual a R$ 8.000,00, o valor 
atual desse financiamento no ato da compra seria 
maior que R$ 22.000,00.
c) O valor dos juros pagos na forma proposta pela 
imobiliária é inferior a R$ 420,00.
d) A taxa efetiva bimestral de 8% é equivalente à taxa 
cobrada pela imobiliária.
e) Existe um valor de prestação entre R$ 8.200,00 e R$ 
8.300,00 para o qual as duas formas de pagamento 
apresentam o mesmo valor atual.
10. (UnB/CESPE - TRT 6º Região) João dispõe de R$ 
10.000,00 para aplicar durante 3 meses. Consultando 
determinado banco, recebeu as seguintes propostas 
de investimento:
 I - 2% de juros simples ao mês.
 II - 1% de juros compostos ao mês.
 III - resgate de R$ 10.300,00 no final de um período 
de 3 meses.
 Com relação à situação hipotética apresentada acima 
e considerandoque, uma vez aplicado o dinheiro, não 
seja feita retirada alguma antes de 3 meses, julgue os 
seguintes itens:
a) Se João optar pela proposta I, ele terá, no final do 
primeiro mês, R$ 10.200,00.
b) Se João optar pela proposta I, ele terá, no final do 
segundo mês, mais de R$ 10.350,00.
c) Se João optar pela proposta II, ele terá, no final 
do segundo mês, mais de R$ 10.200,00.
d) Se João optar pela proposta III, ele terá aplicado 
seu dinheiro a uma taxa de juros igual a 3% ao 
trimestre.
e) Para João, a proposta financeiramente menos favo-
rável é a III.
GABARITO
 1. E 5. C 9. V-F-F-F-V
 2. B 6. B 10. V-V-V-V-V 
 3. A 7. C 
 4. B 8. C 
 
CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS
É definido pelo valor ”abatido” de um título (ou título 
de crédito) quando este for quitado antecipadamente.
Podemos citar alguns tipos de título de crédito: notas 
promissórias, duplicatas e as letras de câmbio.
O valor do título de crédito (ou valor de face), ou seja, 
aquele que está descrito no título e que seria pago na data 
do vencimento do título é denominado de Valor Nominal.
Se o valor nominal for negociado previamente antes 
da data do vencimento do mesmo é denominado de Valor 
Líquido (ou valor atual ou valor descontado).
O Valor líquido é menor que o Valor Nominal
 
Tome nota: o valor do desconto é diferente do valor 
descontado!
Prazo de antecipação é o intervalo de tempo entre 
a data que o título é negociado e a data de vencimento 
do mesmo.
DESCONTO RACIONAL (VERDADEIRO) – POR DENTRO
Quando efetuamos um pagamento antes do vencimento 
pré-estabelecido, os juros embutidos na dívida serão reti-
rados, ou seja, o saldo devedor será apenas o principal a 
ser quitado na presente data.
Quando os juros retirados foram os mesmos in cor­
porados, houve um desconto racional (verdadeiro) 
ou por dentro.
Observe que o desconto racional é o retorno de uma 
aplicação feita a juros simples. Logo, podemos utilizar 
a mesma relação matemática que define juros simples, 
contudo devemos alterar a terminologia utilizada.
D : desconto
N : valor nominal (valor no vencimento)
A : valor atual (valor atualizado do título)
i : taxa do desconto (%)
t : período da antecipação.
Assim, temos que: o desconto (4) é a diferença entre 
o valor nominal (N) e o valor atual (1).
D = N – A
Fazendo uma analogia com conceito de montante, 
podemos associar ao valor nominal.
N = M
Como os descontos devem ser iguais aos juros incor-
porados, temos:
Se J = C.i.t , então: D = A.i.t
Exemplo:
Qual será o desconto racional obtido em um título 
resgatado por R$ 2.000,00, 2 meses antes do vencimento 
a uma taxa de 3% a.m.?
40
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Resolução:
D = ?
A = 2.000,00
t = 2 meses
i = 3%a.m. = 0,03
D = A.i.t D = 2.000.0,03.2 ⇒ D = 120,00
R: R$ 120,00
Desconto Bancário
Desconto Bancário ou desconto comercial (por fora) 
toma-se como referência para o cálculo percentual, o Valor 
Nominal.
Assim, temos que:
N ———————— i100%
 DC ————————i(100% - n.x%)
Onde,
N: valor nominal.
DC: desconto comercial.
i100%: taxa de 100%.
i(100% -n. x%): diferença percentual.
t: período de antecipação. 
%)%100(
%100
txi
i
DCN
−
=
Exemplo:
Determinar o valor nominal de uma promissória que 
descontada comercialmente, 2 meses antes do vencimento 
e a taxa de 10% ao mês, resultou um valor descontado de 
R$ 580,00.
Resolução:
%)%100(
%100
nxi
i
DCN
−
=
 ⇒ %)10.2%100(
%100580
−
=N
 
⇒ 80
100580=N
725=N
R: R$ 725,00
EXERCÍCIOS
 1. (TCDF) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 
foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-
-lhe por isso concedido um desconto racional simples 
à taxa de 60%a.m. Nesse caso, de quanto foi o valor 
pago pelo título?
 2. (UnB/CESPE – BANESE ) Um indivíduo desconta uma 
promissória de valor de face igual a R$ 900,00, com 
vencimento daqui a 60 dias, em um banco cuja taxa de 
desconto simples é de 10% ao mês. Com base nessas 
informações, julgue os itens abaixo:
a) O valor recebido pelo indivíduo é maior que R$ 
730,00.
b) A dívida cresce a uma taxa mensal de juros com-
postos superior a 10%.
c) O valor descontado é maior que 20% do valor rece-
bido.
d) Se a promissória tivesse vencimento em 30 dias, a 
taxa de juros compostos de crescimento da dívida 
seria menor que 10%.
e) Se o valor recebido pelo individuo ao descontar a 
promissória fosse igual à metade do seu valor de 
face, mantida a taxa de desconto simples de 10% 
ao mês, isso significaria que o vencimento da pro-
missória seria daqui a 5 meses.
 3. (UnB/CESPE – SEARHP/SEFAZ) Um título de valor nomi-
nal igual a R$ 40.000,00 foi descontado em um banco 
à taxa de desconto comercial simples de 4% ao mês. 
Considerando que o prazo de antecipação desse título 
tenha sido de dois meses, julgue os itens seguintes.
a) O desconto comercial simples concedido foi igual a 
R$ 1.600,00
b) Com desconto comercial simples, o valor do título 
passaria a ser menor que R$ 38.000,00.
c) A taxa efetiva de juros da operação foi menor que 
4%.
d) Se o banco cobrasse, a título de tarifas bancarias, a 
taxa de 0,004167% ao dia, o valor correspondente a 
essas tarifas, após o prazo de antecipação do título, 
seria menor que R$ 96,00.
e) O desconto racional simples seria menor que R$ 
1.800,00.
 4. (AFTN) Uma empresa descontou uma duplicata em um 
banco que adota uma taxa de 84% a.a. e o desconto 
comercial simples. O valor do desconto foi de R$ 
10.164,00. Se na operação fosse adotado o desconto 
racional simples, o valor do desconto seria reduzido 
em R$ 1.764,00. Nessas condições, o valor nominal 
da duplicata é de:
 a) R$ 45.000,00
 b) R$ 46.700,00
 c) R$ 47.300,00
 d) R$ 48.400,00
 e) R$ 50.000,00
 5. (TTN) O valor atual racional de um título é igual a ½ 
de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, 
sabendo-se que o pagamento desse título foi anteci-
pado de 5 meses.
 a) 200% a.a.
 b) 20% a.m.
 c) 25% a.m.
 d) 28% a.m.
 e) 220% a.a.
 6. Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar 
por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o 
valor nominal for de R$ 29.500,00 e eu desejo ganhar 
36% a.a., é de:
 a) R$ 24.000,00
41
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
 b) R$ 25.000,00
 c) R$ 27.500,00
 d) R$ 18.880,00
 e) R$ 24.190,00
 7. (AFTN) Você possui uma duplicata cujo valor de face é 
R$ 150,00. Esta duplicata vence em 3 meses. O banco 
com o qual você normalmente opera além da taxa 
normal de desconto mensal (simples por fora) também 
fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata 
a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em 
sua conta este valor desde a data do desconto até a 
data do vencimento da duplicata. Caso você desconte 
a duplicata no banco você receberá líquidos, hoje, R$ 
105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da 
taxa praticada por este banco é:
 a) 5%
 b) 5,2%
 c) 4,6%
 d) 4,8%
 e) 5,4%
 8. (CESPE/UnB – Senado Federal) No desconto simples 
bancário de 4 título à mesma taxa de desconto, cada 
um no valor de R$ 2.000,00, com vencimentos mensais 
e sucessivos, a partir de 30 dias, obteve um valor lí-
quido de R$ 7.000,00. Com relação a situação descrita, 
julgue os itens que se seguem:
a) A taxa de desconto simples do título que vence em 
120 dias corresponde à taxa de juros simples de 
6,25% ao mês.
b) A taxa de desconto simples para cada título é igual 
a 5% ao mês.
c) O desconto obtido para o título que vence em 90 
dias é o triplo do desconto obtido para o título que 
vence em 30 dias.
d) As taxas mensais de juros simples dos valores atuais 
dos títulos são diferentes.
e) No desconto simples bancário, a taxa de desconto 
incide sobre o valor atual ou líquido.
GABARITO
 1. R$ 50.000,00 7. a
 2. E-C-C-E-C 8. C-C-C-C-E 
 3. E-C-E-C-E 
 4. d 
 5. b 
 6. b 
TAXAS EFETIVAS E TAXAS NOMINAIS
Quando a unidade de tempo indicada pela taxa de 
juros coincide com a unidade de tempo do perío do de 
capitalização dizemos que a taxa é efetiva.
Exemplos:
• A taxa de 2% ao mês com capitalização mensal jurosde 6% ao trimestre capitalizados trimestral mente.
Nos enunciados de problemas de juros com postos onde 
se dá a taxa efetiva, freqüentemente se omite o período de 
capitalização, ficando subenten dido que este é o mesmo 
indicado pela taxa.
Exemplos:
• taxa de 2% ao mês - significando 2% ao mês, com 
capitalização mensal .
• juros de 6% ao trimestre - significando 6% ao tri-
mestre, com capitalização trimestral .
Entretanto, é comum encontrarmos também em pro-
blemas de juros compostos expressões como:
“juros de 72% ao ano, capitalizados mensalmente” 
“taxa de 24% ao ano com capitalização bimestral”
Em tais expressões observamos o que se conven cionou 
chamar de taxa nominal que é aquela cuja unidade de 
tempo não coincide com a unidade de tempo do período 
de capitalização.
Podemos entender a taxa nominal como uma “taxa 
falsa”, geralmente dada com período em anos, que não 
devemos utilizar diretamente nos cálculos de juros com-
postos, pois não produzem resultados corre tos. Em seu 
lugar devemos usar uma taxa efetiva.
Conversão da Taxa Nominal em Taxa Efetiva
A conversão da taxa nominal em taxa efetiva é feita 
ajustando-se o valor da taxa nominal proporcio nalmente 
ao período de capitalização. Isto pode ser feito com uma 
regra de três simples e direta.
Exemplo1:
Um problema de juros compostos faz referência a 
uma taxa de juros de 72% ao ano com capitali zações 
mensais. Qual deverá ser a taxa mensal que usaremos 
para calcular o montante?
Como as capitalizações são mensais, devemos ajus tar a 
taxa nominal anual de 72% para uma taxa mensal, usando 
uma regra de três:
12 meses(1 ano) ————— 72%
 1 mês ————— x
Logo, x = 6% ou i = 0,06
Exemplo2:
Uma aplicação financeira paga juros compos tos de 8% 
ao ano, capitalizados trimestralmen te. Qual é a taxa 
de juros efetiva trimestral praticada nesta aplicação?
As capitalizações são trimestrais. Logo, devemos ajus-
tar a taxa nominal anual de 8% para uma taxa trimestral, 
usando uma regra de três:
12 meses(1 ano) ————— 8%
 3 mês ————— x
Logo, a taxa efetiva praticada é de 2% ao tri mestre.
42
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Taxas Equivalentes
Dizemos que duas taxas são equivalentes quan do, 
aplicadas a capitais iguais, por prazos iguais, produzem 
juros também iguais.
Exemplo:
Qual a taxa trimestral de juros compostos equiva lente 
à taxa composta de 20% a.m.?
Pretendemos determinar uma taxa trimestral (it) equi-
valente a uma taxa mensal dada (im = 0,20).
Como 1 trimestre equivale a 3 meses, teremos 1 e 3 
como expoentes:
(1 + it)
1 = (1 + im)3 ⇒ (1 + it)
1 = (1,20)3 = (1 
+ it)
1 = 1,728 ⇒ it = 0,728 = 72,8%
Portanto, a taxa trimestral composta equivalente a 
20% a.m. é 72,8%.
Taxa Real e Taxa Aparente
Consideremos que um banco tenha oferecido uma 
determinada aplicação pagando uma taxa efeti va de 10% 
a.a. Se no mesmo período for registrada uma inflação da 
ordem de 6% a.a., então diremos que a taxa de 10% a.a. 
oferecida pelo banco não foi à taxa real de remuneração 
do investimento, mas uma taxa aparente, pois os preços, 
no mesmo perí odo, tiveram um aumento de 6%. Se com-
pararmos o que ocorreria com dois in vestimentos de $100, 
00, o primeiro sendo remunera do à taxa de 10% a.a. e o 
segundo recebendo apenas a correção monetária devida à 
inflação de 6% a.a., teremos:
Montante da aplicação a juros de 10%: 100,00 x 1,10 
=110,00
Montante da aplicação sujeita apenas à taxa de corre-
ção monetária de 6%: 100,00 x 1,06 =106,00
Se o investidor recebesse, ao fim do investimen to 
exatamente R$106,00 não teria havido ganho ne nhum 
pois o único acréscimo recebido teria sido o da correção 
monetária. Como o investidor recebeu R$110,00, o seu 
ganho real foi de R$4,00 em relação a R$106,00, ou seja:
%77,3...0377,0
106
4
==
Sejam as taxas unitárias e referentes a um mes mo 
prazo:
iR = a taxa real
iI = a taxa de inflação 
iA = a taxa aparente
Poderíamos chegar ao mesmo resultado utilizan do a 
relação:
(1 + iR).(1 +iI) = (1 +IA)
(1 +i R) .(1 + 0,06) = (1 + 0, 10) 
(1 + iR) . 1,06 =1,10
(1 + iR) = 1,10 ÷ 1,06 
(1 +i R) =1,0377...
iR = 0,0377... = 3,77%
Observe que, ao contrário do que possa parecer a 
princípio, a taxa aparente iA não é igual à soma da taxa 
de inflação ii com a taxa real ‘R, mas sim:
iA=iI+iR+(iI.iR)
EXERCÍCIOS
 1. (CEB-Contador- Superior) A aplicação de R$ 5.000,00 
à taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 
4 meses, o montante de:
 a) R$ 10.358,00 
 b) R$10.368,00 
 c) R$ 10.378,00
 d) R$ 10.388,00
 2. (Metrô-Assistente Administrativo-2°G) Um capital de 
US$ 2.000,00, aplicado à taxa racional composta de 
5% a.m., em 1 ano produz um montante de quantos 
dólares? Dado: (1,05)12 =1,79586.
 a) US$ 3.291,72 
 b) US$ 3.391,72
 c) US$ 3.491,72
 d) US$ 3.591,72
 3. (ESAF) Se um capital cresce sucessiva e cumu-
lativamente durante 3 anos, na base de 10% ao ano, 
seu montante final é:
 a) 30% superior ao capital inicial.
 b) 130% do valor do capital inicial.
 c) aproximadamente 150% do capital inicial.
 d) aproximadamente 133% do capital inicial.
 4. (CEB-Contador- Superior) A caderne ta de poupança 
remunera seus aplicadores à taxa nominal de 6% a.a., 
capitalizada mensalmente no regime de juros compos-
tos. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$ 
80.000,00 durante 2 meses?
 a) R$ 801,00 
 b) R$ 802,00 
 c) R$ 803,00
 d) R$ 804,00
 5. (Banco Central/Superior) A taxa de 30% ao trimestre, 
com capitalização mensal, corresponde a uma taxa 
efetiva bimestral de:
 a) 20% 
 b) 21%
 c) 22%
 d) 23%
 e) 24%
 GABARITO
1. B 4. B 7. B 10. A
2. D 5. B 8. B
3. D 6. E 9. E
43
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
 RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS
Renda, também conhecida como anuidade, é todo 
valor utilizado sucessivamente para compor um capital 
ou pagar uma dívida. 
As rendas são um dos principais conceitos que baseiam 
os financiamentos ou empréstimos. Nessas rendas são 
realizadas uma série de pagamentos (parcelas ou termos) 
para arrecadar um fundo de poupança, pagar dívidas, 
financiar imóveis, etc. No caso da poupança, para acumu-
larmos determinado valor, realizamos vários pagamentos 
que geram um montante ao final, chamado de montante 
equivalente da renda.
Dentro da renda, são trabalhados os seguintes con-
ceitos:
• Número de prestações ou termos de renda: quan-
tidade de pagamentos ou recebimentos feitos;
• Valores dos termos de renda: valor de cada termo 
da renda;
• Período de Vencimento: data de vencimento ou 
pagamento dos termos da renda.
As rendas de acordo com as formas de pagamento 
podem ser divididas em: Rendas certa e Rendas aleatórias.
RENDAS CERTAS
As rendas certas, também chamadas de séries perió-
dicas uniformes, são aquelas em que todos os elementos 
já estão pré-determinados e podem ser classificados de 
acordo com o tempo, a variação dos elementos, o valor, 
o período do vencimento, etc, que por sua vez podem ser 
divididas em:
• Rendas Postecipadas: Rendas em que o paga-
mento é feito apenas ao final de cada período. 
Ex.: faturas de cartão de crédito, empréstimos e 
financiamentos, etc.
• Rendas Antecipadas: Rendas em que há a exi-
gência do pagamento ser feito no início de cada 
período. Ex.: financiamentos pagos à vista.
• Rendas Diferidas: O período de pagamento está 
num prazo entre o início da compra do período de 
pagamento da primeira parcela. Ex.: Essas séries 
são utilizadas em promoções de “Compre hoje e 
comece a pagar em tal dia.”
RENDAS ALEATÓRIAS
As rendas aleatórias são utilizadas quando alguns de 
seus elementos não podem ser previamente determinados. 
Ex.: o seguro de vida, com relação ao valor do seguro (de 
acordo com a causa da morte) e a data do recebimento 
(data da morte) que não podem ser determinados durante 
o fechamento do contrato.
CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS
Como foi dito, as rendas são uma sucessão de pagamen-
tos ou depósitos em determinado período e tempo. Mas, 
ainda de acordo com cada tipo de elemento que estiver 
determinado no contrato, elas podemser classificadas de 
formas diferentes. 
Veja:
• Rendas Temporárias: quando os pagamentos 
possuem um prazo para acabar.
• Rendas Perpétuas: quando os pagamentos são 
infinitos.
• Rendas Fixas ou Uniformes: quando os pagamen-
tos são iguais.
• Rendas Variáveis: quando os pagamentos mudam.
• Rendas Constantes: quando os termos são cons-
tantes. Ex.: Prestações.
• Rendas Variáveis: quando as rendas são variáveis. 
Ex.: Depósitos crescentes na poupança.
• Rendas Imediatas: quando o primeiro pagamento 
é feito no primeiro período (mês) da série.
PLANO DE AMORTIZAÇÃO
Amortização significa o processo de encerramento de 
uma dívida por meio de pagamentos periódicos realizados 
com base em planejamento. 
Diferença entre o SAC e o SAF
SAF (Sistema de Amortização Francês), ou Tabela Price, 
é um método utilizado no pagamento de empréstimos com 
a seguinte e principal característica: apresentar prestações 
(ou parcelas) iguais.
O Sistema de Amortização Constante substituiu o 
SAF pelo seguinte motivo: não fazer cobrança de juros 
sobre jutros.
Características do SAC
As principais características de definem o SAC, são:
• Utilização de parcelas decrescentes;
• Amortização constante;
• Uso de juros decrescentes;
• E o saldo devedor também é decrescente.
A Tabela SAC é o sistema de amortização no qual as 
parcelas tem valores decrescentes. Para empréstimos e 
financiamentos de carros normalmente utiliza-se o sistema 
Tabela Price. 
Como Funciona o Cálculo
A sigla SAC significa Sistema de Amortização Cons-
tante. A cada mês, a parcela corresponde à amortização 
acrescida dos juros aplicados sobre o saldo devedor:
Parcela = Amortização + Juros Sobre Saldo Devedor
Para calcular o valor da amortização basta dividir o 
valor financiado pelo número de meses. Suponha um finan-
ciamento de 110.500,00 em 360 meses à 0,72% ao mês:
amortização = 110500/360 = 306,94
1ª parcela = 306,94 + 0,72%*110500 = 1.102,54
2ª parcela = 306,94 + 0,72%*(110500-1*306,94) = 1.100,33
3ª parcela = 306,94 + 0,72%*(110500-2*306,94) = 1.098,12
44
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Amortização de Empréstimos
Entre as inúmeras maneiras que existem para se amor-
tizar o principal, o sistema de amortização constante (SAC) 
é um dos mais utilizados na prática. Tal sistema consiste 
em se fazer que todas as parcelas de AMORTIZAÇÃO sejam 
iguais. Assim, considerando um principal a ser amortizado 
em “n” parcelas, e supondo pagamento dos juros em todos 
os períodos. 
 
 Fórmula 
 
Exemplo
1) (MATHIAS, 2004) Uma empresa pede emprestado 
R$ 100.000,00 que o banco entrega no ato. Sabendo que 
o banco concedeu 3 anos de carência, que os juros serão 
pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% ao ano 
e que o principal será amortizado em 4 parcelas anuais, 
construir a planilha.
Solução:
Planilha de Financiamento
n Amortização Juros Prestação Saldo
Devedor
0 - x- - x- - x- R$ 100.000,00
1 - x- R$ 10.000,00 R$ 10.000,0 R$ 100.000,00
2 - x- R$ 10.000,0 R$ 10.000,0 R$ 100.000,00
3 R$ 25.000,00 R$ 10.000,0 R$ 35.000,00 R$ 75.000,00
4 R$ 25.000,00 R$ 7.500,00 R$ 32.500,00 R$ 50.000,00
5 R$ 25.000,00 R$ 5.000,00 R$ 30.000,00 R$ 25.000,00
6 R$ 25.000,00 R$ 2.500,00 R$ 27.500,00 R$ 0,00
Total R$ 100.000,00 R$ 45.000,00 R$ 145.000,00 R$ 0,00
Sistema de Amortização Francês (Price ou SAF)
Neste sistema, as PRESTAÇÕES são iguais e periódicas, 
a partir do instante em que começam a ser pagas.
Assim, considerando um principal a ser pago nos 
instantes 1,2,3,....,n, a uma taxa de juros (expressa na 
unidade de tempo da periodicidade dos pagamentos), as 
prestações sendo constantes constituem uma seqüência 
uniforme em que cada parcela é indicada por R. 
Fórmula 
INFLAÇÃO
 Inflação é o aumento dos preços de bens e serviços. 
Ela implica diminuição do poder de compra da moeda. A 
inflação é medida pelos índices de preços. O Brasil tem 
vários índices de preços. O Índice Nacional de Preços ao 
Consumidor Amplo (IPCA) é o índice utilizado no sistema 
de metas para a inflação.
 Causas da inflação
A inflação pode ter várias causas, que podem ser 
agrupadas em:
• pressões de demanda
• pressões de custos
• inércia inflacionária e
• expectativas de inflação. 
Consequências da inflação
A inflação gera incertezas importantes na economia, 
desestimulando o investimento e, assim, prejudicando o 
crescimento econômico. Os preços relativos ficam distorci-
dos, gerando várias ineficiências na economia. As pessoas 
e as firmas perdem noção dos preços relativos e, assim, 
fica difícil avaliar se algo está barato ou caro. A inflação 
afeta particularmente as camadas menos favorecidas da 
população, pois essas têm menos acesso a instrumentos 
financeiros para se defender da inflação.
Inflação mais alta também aumenta o custo da dívida 
pública, pois as taxas de juros da dívida pública têm de 
compensar não só o efeito da inflação mas também têm 
de incluir um prêmio de risco para compensar as incertezas 
associadas com a inflação mais alta.
Índices de Preços e Taxas de Inflação 
 Um índice de preços é resultante de um procedimento 
estatístico que, entre outras aplicações, permite medir 
as variações ocorridas nos níveis gerais de preços de um 
período para outro. 
O IPCA é calculado mês a mês, através de uma pesquisa 
de preços levantada pelo Instituto Brasileiro de Geografia 
e Estatística (IBGE). Ela é realizada em estabelecimentos 
comerciais, domicílios, com prestadores de serviços e 
concessionárias de serviços públicos.
O período de coleta do IPCA ocorre entre o 1º e o 30º 
(ou 31º) dia de cada mês. O objetivo é identificar, por 
meio do levantamento, os preços cobrados efetivamente 
ao consumidor, em pagamentos à vista.
45
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
 Fórmula
Cálculo da taxa de inflação
 
 Cálculo da taxa acumulada de inflação
 
 
EXEMPLOS:
1) No ano de 2009, o preço de um produto era de R$ 
10,00. Em 2010, o preço do mesmo passou para R$ 12,50. 
Qual a taxa de inflação do período?
 Solução:
 
 
2) (PARENTE, 1996) A taxa de inflação no Brasil em 
1940 foi de 6,3%a.a.. Em 1941 foi de 16,2%a.a.. Qual a 
inflação acumulada nesses dois anos?
Solução:
 
Taxa de Desvalorização Monetária
Enquanto a inflação representa uma elevação nos níveis 
de preços, a taxa de desvalorização da moeda (TDM) mede 
a queda no poder de compra da moeda causada por estes 
aumentos de preço. (ASSAF, 2001). 
Fórmula:
EXEMPLOS: 
1) A taxa de inflação no Brasil no ano de 2010 foi 
6,3%. Qual a taxa de desvalorização monetária corres-
pondente? 
Solução:
 
Taxa Aparente e Taxa Real
 A taxa aparente de juros é aquela adotada normal-
mente nas operações correntes mercado, incluindo os 
efeitos inflacionários previstos para o prazo da operação. 
Constitui-se, em outras palavras, numa taxa prefixada de 
juros, que incorpora as expectativas da inflação.
Em contexto inflacionário, ainda, devem ser identi-
ficadas na taxa aparente (prefixada) uma parte devida à 
inflação, e outra definida como legitima, Real, que reflete 
“realmente” os juros que foram pagos ou recebidos.
Em conseqüência, o tempo real para as operações de 
Matemática Financeira denota um resultado apurado livre 
dos efeitos inflacionários. Ou seja, quanto se ganhou (ou 
perdeu) verdadeiramente, sem a interferência das variações 
verificadas nos preços. (ASSAF, 2001).
 
 
46
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
FÓRMULAS
Cálculo da Taxa Aparente
 
 
Cálculo da Taxa Real
 
 
EXEMPLOS: 
1) Um banco realiza empréstimos a uma taxa aparente 
de 35% a.a.. Se a taxa de inflação for de 25% a.a., qual o 
ganho real auferido pelo banco?
Solução:
 
 Correção Monetária 
O mecanismo alternativo utilizado nestes contratos 
foi o de combinar valores (já acrescidos de juros reais) 
corrigidos monetariamente por algum indexador (que pode 
ou não ser um índice de preços).
A correção monetária foi criada em meados da década 
de 1960, sendo a variação das Obrigações Reajustáveis do 
Tesouro Nacional (ORTN) utilizada como indexador. Tal cor-
reção foi instituída por leipara correções de débitos fiscais, 
saldos de financiamentos de imóveis, FGTS, alugueis etc.
Com a sucessão dos planos econômicos de combate à 
inflação, começando pelo Plano Cruzado (março de 1986), 
foram criados vários indexadores oficiais: Obrigação do 
Tesouro Nacional (OTN), Bônus do Tesouro Nacional (BTN) 
e outros.
 Em fevereiro de 1991, depois do Plano Collor, foi criada 
a Taxa Referencial (TR), visando a dar uma medida para a 
expectativa de inflação. Assim, a partir de taxas médias de 
aplicações financeiras prefixadas, eliminando-se a taxa real 
embutida, obtém-se a TR (esta taxa real é determinada 
pelas autoridades monetárias e não é um valor constante 
para todos os meses, mas sim variável de acordo com uma 
série de circunstâncias).
Os indexadores mais utilizados atualmente são: a TR, 
o IGP-DI, o IGP-M e o INCC. (HAZZAN, 2007).
Fórmula
 
EXEMPLOS:
 
1) A empresa Biriba S.A. foi condenada a pagar uma 
indenização de R$ 50.000,00 a um de seus clientes por 
uma cobrança indevida, sendo que essa indenização deverá 
ser atualizada monetariamente por 3 meses pela variação 
do INPC/IBGE, com as seguintes taxas de correção 0,94%, 
0,54%, 0,66%. Qual o valor da dívida corrigida?
Solução:
47
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
TAXA DE CÂMBIO REAL
Taxa de câmbio. A taxa de câmbio é o valor da moeda 
de um país em relação ao valor da moeda de outro país. 
Por exemplo, digamos que 1 dólar (US$) seja capaz de 
comprar 3,50 reais (R$). 
A taxa de câmbio é então de R$ 3,50/US$ 1.
Essa é a denominada taxa de câmbio NOMINAL.
Para analisar essa questão, será preciso criar dois 
momentos distintos, que chamaremos de PASSADO e 
PRESENTE. E para simplificar, vamos usar como exemplo 
dados fictícios de preço de um singelo pirulito. Confira as 
informações abaixo:
PASSADO
– Em dado momento do passado a taxa de câmbio era 
R$2,00 por dólar
– O preço de um pirulito no Brasil era R$1,00
– O preço de um pirulito nos EUA era U$0,50
– Dessa forma, vemos que os preços se equivalem: 
cinquenta centavos de dólar, multiplicado pela taxa 
de câmbio que é 2, também dá um real.
PRESENTE
– Considere que, passado determinado período de tem-
po, a taxa de câmbio se mantenha em R$2,00 por dólar
– Porém, que tenha havido um aumento de preços 
diferente no Brasil e nos EUA
– No Brasil a “inflação” foi de 20%, fazendo com que 
o preço atual do pirulito seja de R$1,20
– Nos EUA a “inflação” foi de 10%, sendo que o preço 
atual é de U$0,55
– Dessa forma, um brasileiro que quisesse comprar esse 
pirulito, pagaria em reais: 0,55 x 2 = R$1,10
– Ou seja, mantendo a mesma taxa de câmbio do 
passado, devido à inflação no Brasil ter sido maior, 
comprar pirulito nos EUA ficou mais barato.
Calculando a taxa de câmbio real
Vimos no contexto acima que, mesmo a taxa de câmbio 
mantendo-se constante, a diferença relativa entre as taxas 
de inflação DOS DOIS PAÍSES devem ser consideradas – não 
só do IGP-M brasileiro.
Fórmula:
Nela conseguimos calcular a variação da taxa de 
câmbio real através da multiplicação da variação da taxa 
de câmbio nominal pela inflação no Brasil, dividido pela 
inflação dos EUA.
Dessa forma, teríamos:
Obs 1: para substituir os valores na fórmula é preciso dividir a 
porcentagem por 100 e somar 1.
Obs 2: o valor da taxa de câmbio nominal ficou igual a 1 porque 
a variação considerada entre o PRESENTE e o PASSADO foi igual 
a zero; logo, um mais zero dá um.
Isso significa que a taxa de cambio do PASSADO, para 
ser “comparada” com a taxa do PRESENTE, deveria ser 
corrigida por 9,09%. Façamos essa continha.
A taxa de câmbio nominal do passado, de 2 reais por 
um dólar, precisaria ser aumentada em 9,09%. Logo, a 
taxa de câmbio real (“corrigida”) ficaria em 2,1818 reais 
por dólar.
Assim, se essa taxa de câmbio fosse utilizada (e não 
a nominal), teríamos:
– No Brasil o pirulito continuaria custando R$1,20
– E se um brasileiro fosse comprar um pirulito de 
U$0,55, ao utilizarmos a taxa de câmbio real de 2,1818, 
chegaríamos aos mesmos R$1,20 (isso é uma suposição… 
na prática a taxa de câmbio permaneceu em 2).
CONCLUSÃO: no nosso exemplo, dadas as condições da 
inflação no Brasil e nos EUA, a taxa de câmbio do PRESENTE, 
mesmo sendo igual – em termos nominais – a do PASSADO, 
apresentou uma valorização em termos reais.
Vejamos algumas conclusões:
– no curto prazo, uma elevação na taxa de câmbio 
nominal (por exemplo, de R$3,00 por dólar para R$3,10 por 
dólar), faz com que os produtos importados fiquem mais 
caros (preciso de mais reais para comprar o mesmo produto 
em dólar) e que as exportações sejam impulsionadas (um 
empresário nos EUA precisa de menos dólar para comprar 
um mesmo produto em real).
– quando comparamos taxas de câmbio em períodos 
distintos, é preciso fazer uma correção e trabalhar com 
a taxa real. Para tal, devemos levar em consideração os 
índices de preços dos dois países e não apenas de um só 
– motivo do erro do jornalista do vídeo disponibilizado no 
início desse artigo. Isso porque diferenças nas inflações 
relativas de dois países tem efeito semelhante a variações 
da taxa de câmbio entre eles.
Parabéns por ter 
adquirido este 
material.
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Bons Estudos!
Estude e Aprenda!
Com aB)
Caso não ocorra, então A não é subconjunto de B, 
ou seja:
A ⊄ B (lê-se: A não está contido em B)
 A ⊄ B 
 
 A ⊂ B
Tome nota:
• Todo conjunto A é subconjunto dele mesmo (A ⊂ A)
• O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de 
qualquer conjunto.
• Por termologia matemática, dizer que “o con-
junto A está contido no conjunto B” (A ⊂ B) 
é equivalente a dizer que “o conjunto B contém o 
conjunto A” (B ⊃ A).
5
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
• Dois conjuntos A e B serão iguais se, e somente se, 
o conjunto A é subconjunto de B e B é subconjunto 
de A, ou seja:
 A = B ⇔ A → B e B ⊂ A
UNIÃO DE CONJUNTOS
Dados os conjuntos A e B, defini-se como união dos 
conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪ B, 
formado por todos os elementos pertencentes a A ou B:
A ∧ B = { x / x ∧ A ou x ∧ B} 
Exemplo:
A = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
B = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 }
A → B = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 }
REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMAS
 A 
5 5e
6 7 B : Os conjuntos 
A e B não possuem 
elementos em comum.
 
 A ∪ B : Os conjuntos A e 
B possuem elementos em 
comum.
 A 440
120
 B: O conjunto B é subcon-
junto de A Logo, A ∪ B = A 
Tome Nota:
Operações envolvendo união
• A ∪ A = Ø
• A ∪ B = B ∪ A
• A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C
• A ∪ Ø = Ø
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
 
Dados os conjuntos A e B, defini-se como intersecção 
dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∩ 
B, formado por todos os elementos pertencentes a A e a 
B simultaneamente:
A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B} 
Exemplo:
A = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
B = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 }
A ∩ B = { 2 ; 4 }
REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMAS
 A ∩ B = Ø : Os conjun-
tos A e B não possuem 
elementos em comum.
 
 A ∩ B : Os conjuntos A e 
B possuem elementos em 
comum.
 A ∩ B : O conjunto B é sub-
conjunto de A Logo, A ∪ B 
= B
Tome Nota:
Operações envolvendo união
• A ∩ A = Ø
• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C
• A ∩ Ø = Ø
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
Dados os conjuntos A e B, defini-se como diferença entre 
A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A - B , 
formado por todos os elementos que pertencem a A, mas 
não pertencem a B:
A - B = { x / x ∈ A e x 2,0  B} 
Exemplo:
A = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
B = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 }
A - B = { 0 ; 1 ; 3 ; 5 }
Representação por diagramas
 
 A - B = A : Os conjuntos 
A e B não possuem 
elementos em comum.
 
6
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
 A - B : Os conjuntos A e B pos-
suem elementos em comum.
 A - B : O conjunto B é subcon-
junto de A 
CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO
Dado um conjunto qualquer A, pode-se obter um 
outro conjunto, cujos elementos são todos os possíveis 
subconjuntos de A. Este conjunto, representado por P(A), 
denomina-se conjunto das partes de A.
P(A) = { X / X ⊂ A }
Exemplo:
A = { 1 ; 2 ; 3 }
P(A) = { {1};{2},{3};{1;2};{1;3};{2;3};{1;2;3};?}
Tome Nota:
• Se o conjunto A possuir n elementos, então o con-
junto P(A) possui 2n elementos.
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO
Dado um conjunto A, representa-se o número de ele-
mentos de A por n(A). Dado o diagrama a seguir, verifica-se 
as seguintes relações:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A 
∩ B)
De forma análoga, temos:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) 
- n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ≤ B ∩ C)
Exemplo:
1) Dados os conjuntos A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 }, B = { 2; 4; 
5; 7 }, C = { 1; 4; 6 } e D = { }
a) A ∩ B = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 }∩ { 2; 4; 5; 7 } = { 
2; 4; 5 }
b) C ∩ D = { 1; 4; 6 } ∩ { } = { }
c) A ∩ B ∩ C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 } ∩ { 2; 4; 5; 
7 } ∩ { 1; 4; 6 } = { 4 } 
d) A - B = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 } - { 2; 4; 5; 7 } = { 0; 
1; 3; 6 }
Exemplo:
(F.C.Chagas - BA) Consultadas 500 pessoas sobre as 
emissoras de TV que habitualmente assistem, obteve-se o 
resultado seguinte: 280 pessoas assistem o canal A, 250 
assistem o canal B e 70 assistem outros canais, distintos 
de A e B. O número de pessoas que assistem A e não 
assistem B é:
Utilizando a relação: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A 
∩ B)
 
500 - 70 = 280 + 250 - n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = 100 , assim temos que:
Portanto, 180 pessoas assistem o canal A e não as-
sistem o canal B.
EXERCÍCIOS
 1. Numa festa, 29 pessoas discutiam sobre dois filmes A 
e B. Precisamente:
• 13 pessoas assistiram ao filme A;
• 05 pessoas assistiram, aos dois filmes;
• 06 pessoas não assistiram a nenhum dos dois filmes;
Quantas pessoas assistiram ao filme B, sabendo que 
todas as 29 pessoas opinaram?
 2. Uma empresa, fabricante de achocolatados, preten-
de lançar um novo produto no mercado. Para isso, 
encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos 
consumidores entre duas embalagens A e B. Foram con-
sultadas 402 pessoas, e o resultado foi precisamente 
o seguinte:
• 150 pessoas gostaram somente da embalagem A;
• 240 pessoas gostaram da embalagem B;
• 60 pessoas gostaram das duas embalagem.
Quantas pessoas não gostaram de nenhuma das duas 
embalagem, sabendo que todas as 402 pessoas opi-
naram?
 3. Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes de dois 
refrigerantes: o grud-cola e o pimba-cola. Para se saber 
qual o preferido numa certa região, foi feita uma pes-
7
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
quisa entre 245 jovens dessa localidade. Precisamente:
• 135 jovens entrevistados bebem grud-cola;
• 75 jovens bebem os dois refrigerantes;
• 40 jovens não bebem nenhum dos dois refrigeran-
tes.
Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, conclua 
você qual o refrigerante preferido por eles e quantos 
jovens bebem esse refrigerante.
 4. Numa prova sobre o corpo humano constavam três 
questões: a primeira, sobre o sistema circulatório; a 
segunda, sobre o sistema respiratório; e a terceira, 
sobre o sistema nervoso. Sabe-se que, dos 29 alunos 
que fizeram a prova, precisamente:
• 15 alunos acertaram a primeira questão;
• 07 alunos acertaram somente a segunda questão;
• 01 aluno acertou somente a terceira questão;
• 11 alunos acertaram a segunda e a terceira questão;
• Nenhum aluno errou todas as questões.
Quantos alunos acertaram as três questões?
 5. O departamento de seleção de pessoal de uma indústria 
automobilística aplicou um teste em 44 candidatos. 
Uma das perguntas foi: você já trabalhou no
a) setor de montagem? 
b) setor de pintura?
c) setor de eletricidade?
 
 Concluiu-se que todos os candidatos têm experiência 
em pelo menos um dos setores e que exatamente:
• 28 pessoas trabalharam em montagem;
• 04 pessoas trabalharam só em montagem;
• 01 pessoa trabalhou só em eletricidade;
• 21 pessoas trabalharam em montagem e pintura;
• 16 pessoas trabalharam em pintura e eletricidade;
• 13 pessoas trabalharam em montagem e eletricidade
I - Quantas pessoas têm experiência nos três setores?
II - Quantas pessoas têm experiência em pintura?
III - Quantas pessoas têm experiência em eletricidade?
GABARITO
 
1. 15 pessoas
2. 12 pessoas
3. Pimba-cola é o preferido por 145 jovens.
4. 05 alunos
5. I - 10 pessoas; II - 36 pessoas; III - 20 pessoas.
 
NÚMEROS NATURAIS - IN
Qualquer número que resulte de uma contagem simples 
de unidades é chamado de número natural. O conjunto dos 
números naturais é indicado pelo símbolo IN e por IN * o 
conjunto dos números naturais não-nulos.
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... }
IN * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
NÚMEROS INTEIROS - Z
O conjunto dos números inteiros resolve o problema bá-
sico da subtração dos números naturais quando o minuendo 
é um número maior que o subtraendo e o resto ou diferença 
não pertence ao conjunto dos números naturais (IN).
 minuendo - subtraendo = resto ou diferença
por exemplo:
Minuendo = 2 Subtraendo = 7 resto = -5
 2 - 7 = -5
Donde -5 ? IN (lê-se: -5 não pertence ao conjunto dos 
números naturais) 
Indica-se pelo símbolo Z o conjunto dos números in-
teiros e por Z* o conjunto dos números inteiros não-nulos.
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Z* = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
Podemos generalizar que todo número natural é um 
número interiro. Logo, IN Z ( lê-se “IN está contido em 
Z” ou ainda “IN é subconjunto de Z” ).
NÚMEROS RACIONAIS - Q
A divisão entre dois Z nem sempre será um Z, por 
exemplo, -5 : 2, ou seja, não existe um número inteiro 
que represente o quociente dessa divisão. O conjunto dos 
números racionais é a representação da divisão de um Z 
por um Z*, nesse conjunto -5 : 2 é indicado por ou -2,5. 
Indica-se por Q o conjunto dos números racionais e Q* o 
conjunto dos números racionais não-nulos.
Q = { / Z e Z* }
Q = { / Z* e Z* }
Considerando o denominador igual a 1, podemos ob-
ter uma razão, por exemplo, do tipo = 8, logo podemos 
concluir que Z Q.
NÚMERO IRRACIONAL - I
O conjunto do números racionais (Q) apresenta uma 
divisão particular que se denomina dízima. A dízima pode 
ser periódica ou não-periódica.
• Dízima periódica
 Ex: = 3.44444444444444444...
• Dízima não-periódica
8
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Ex: = 3,14159265358979323846264338... (- lê-se pi - 
é a letra grega que representa o quociente do comprimento 
da circunferência pelo seu diâmetro - )
O conjunto dos números irracionais ( I ) é formado por 
toda divisão que gere uma dízima não-periódica.
CONJUTO DOS REAIS - IR
Qualquer número que pertença ao conjunto dos núme-
ros racionais (Q) ou irracionais (I) é chamado de número 
real IR.
IR = { x / x é um número racional ou irracional}
IR* = { x / x IR 0 }
Assim, podemos concluir que:
IN Z Q IR
EXERCÍCIOS
1. (PUC - SP) Qual é a afirmação verdadeira?
a) A soma de dois números irracionais positivos é 
um número irracional.
b) O produto de dois números irracionais distintos é 
um número irracional.
c) O quadrado de um número irracional é um número 
racional.
d) A diferença entre um número irracional e um 
número irracional é um número irracional
e) A raiz quadrada de um número racional é um 
número irracional.
 2. Todas as alternativas sobre números inteiros estão 
corretas, exceto:
a) Nem todo primo é ímpar.
b) Todo inteiro par pode ser escritos na forma n2 + 
2 com n ?.
c) A soma de dois inteiros ímpares é sempre um 
inteiro par.
d) Todo inteiro ímpar pode ser escrito na forma , n 
?.
e) Se n é um inteiro ímpar, então n2 também é ímpar.
 3. Assinale a alternativa verdadeira.
a) No conjunto dos números inteiros relativos, existe 
um elemento que é menor do que todos os outros.
b) O número real pode ser representado sob a forma 
, sendo p e q inteiros, q0.
c) O número real representado por 0,37222...é um 
número racional.
d) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é 
um número real.
e) O quadrado de qualquer número real é um número 
racional.
 4. (UNIFOR - CE) Qual dentre os números seguintes 
é ra cional.
a) c) e) 
b) d) 
 5. Julgue os itens
a) O número + é inteiro.
b) Se e , então x = y.
c) Se a + b + c = 0 então a3 + b3 + c3 = 3abc
d) Se , então 
e) O número - é irracional.
f) Sendo,
, então y é um número natural.
 6. Sabendo que 3x = m, o valor de 3x+2 + 3x-1 é?
a) 2m + 1 c) e) 3m - 1
b) 3m + 1 d) 2m - 1
 7 A diferença entre o cubo da soma de dois números 
inteiros e a soma de seus cubos pode ser?
a) 4 c) 6 e) 8
b) 5 d) 7
 8. (U.E. Londrina - PR) Sendo n um número natural 
maior que 1, a expressão é equivalente a?
a) c) e) 5
b) d) 
9. Sabendo que 50,35 = k, conclui-se que 51,7 é 
igual a:
a) 25k2 c) 3k2 e) 5k2
b) 25k3 d) 3k3
10. (USP) Uma expressão equivalente a: , para a > 0 
e b > 0, é:
a) c) e) 
b) d) 
GABARITO
1. D 2. B 3. C 4. D
5. V-V-V-F-F-V-F 6.C 7. c 8. A
9. E 10. B
9
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM
Permutações Simples
Permutação é o tipo de agrupamento ordenado em que 
em cada grupo entram todos os elementos.
Em geral, temos:
Exemplo: Quantos anagramas tem a palavra mito?
Qualquer ordenação das letras de uma palavra é deno-
minada anagrama. Como a palavra mito tem 4 letras, temos:
A4,4 = P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 anagramas
1) Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas 
distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis 
diferentes podem ser preparados?
R: 120
2) Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, 
dois a dois distintos. Quantos triângulos podem ser cons-
truídos com vértices nos 9 pontos marcados?
R: 84
3) Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 
5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, 
de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?
R: 48
4) Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos 
esse salão pode estar aberto?
Solução:
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou 
fechadaPara a segunda porta temos também, duas opções, 
e assim sucessivamente. Para as seis portas, teremos então, 
pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
N = 2.2.2.2.2.2 = 64
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas 
as duas portas fechadas, teremos então que o número 
procurado é igual a 64 - 1 = 63.
R: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.
5) Mostrar que 2.4.6.8. ... .(2n - 2).2n = n! . 2n
Solução:
O primeiro membro da igualdade pode ser escrito como:
2.1 . 2.2 . 2.3 . 2.4 . ... . 2.(n - 1) . 2.n
Observe que no produto acima, o fator 2 se repete n 
vezes; portanto, o produto de 2 por ele mesmo, n vezes, 
resulta na potência 2n.
Logo, o primeiro membro da igualdade fica:
2n(1 . 2 . 3 . 4 . ... . n)
Observe que entre parênteses, temos exatamente o 
fatorial de n ou seja: n!
Substituindo, vem finalmente : 2n . n!
Assim, mostramos que:
2.4.6.8. ... .2(n - 1). 2n = n! . 2n
Então, podemos dizer que: 
O produto dos n primeiros números pares positivos é 
igual ao fatorial de n multiplicado pela n - ésima potência 
de 2.
Considere a equação linear a seguir:
x1 + x2 + x3 + ... + xn = b, onde b Î N 
(N = conjunto dos números naturais).
As soluções desta equação, são os valores de x1, x2, ... 
, xn que formam um conjunto ordenado (x1,x2,x3,...,xn), 
denominado n - upla (ênupla) ordenada.
Exemplo: 
Seja a equação linear x1 + x2 + x3 = 3.
As soluções inteiras não negativas da equação acima 
são as ênuplas:
(0,0,3)
(0,1,2)
(0,2,1)
(0,3,0)
(1,0,2)
(1,1,1)
(1,2,0)
(2,0,1)
(2,1,0)
(3,0,0)
Observe que existem 10 soluções inteiras não negativas 
para a equação dada.
Considere agora o problema seguinte:
Existem quantas soluções inteiras não negativas, para 
a equação linear:
x1 + x2 + x3 + ... + xn = b, com b Î N ?
Demonstra-se que o número Y, de soluções inteiras não 
negativas desta equação linear, é dada por:
Portanto, o número Y de soluções inteiras e não ne-
gativas da equação linear dada é:
Exemplo: Qual o número de soluções inteiras não 
negativas da equação x + y + z = 5?
Solução:
Temos: n = 3 e b = 5. Logo:
R: 21 soluções inteiras e não negativas.
Exemplo:
Qual o número de soluções inteiras não negativas da 
equação x + y + z + w = 3?
10
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Solução:
Temos n =4 e b = 3. Logo,
R: 20 soluções inteiras e não negativas.
6) Qual o número de soluções inteiras não negativas 
da equação linear
 x + y + z + w + t = 2?
 R: 15 soluções inteiras não negativas.
COMBINAÇÕES
Combinação é o tipo de agrupamento em que um grupo 
é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos 
componentes.
Exemplo 1: Quantas comissões de 3 pessoas podem 
ser formadas com 4 elementos ( A ,B ,C ,D ) de uma classe? 
Para calcularmos o número de comissões, basta calcular 
o número de arranjos e dividir o resultado por 6 
(24: 6 = 4),que é o fatorial do número de elementos 
que compõem cada comissão ( 3 ). O número de com-
binações de n elementos em grupos de p elementos é 
igual ao número de arranjos de n elementos tomados p ap 
dividido por p!, isto é,
Exemplo 2: Resolver a equação Cx,2 = 15
PROBABILIDADES
A teoria da probabilidade estuda a forma de estabelecer 
as chances de ocorrência de cada experimento aleatório. 
São experimentos que aleatórios, os experimentos ao 
serem realizados repetidas vezes nas mesmas condições, 
apresentaremresultados variados não sendo possível, 
portanto, a previsão lógica dos resultados.
Exemplos:
Lançamento de um dado comum e leitura do número 
voltado para cima;
Nascimento de uma de criança;
Sorteio uma carta de baralho.
Elementos
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados 
possíveis de um experimento aleatório. Ele é Indicado por U 
Exemplos
Lança-se um dado e lê-se o voltado número para cima
O espaço amostral será 
Lança -se duas se moedas diferentes e lê-se as figuras 
das faces voltadas para cima
O espaço amostral será: 
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral
Exemplo
 Seja uma urna contendo 3 bolas azuis (A) e 3 bolas 
vermelhas (V). Dessa urna, são retiradas sucessivamente 
3 bolas
O espaço amostral será: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }VVVVVAVAVVAAAVVAVAAAVAAAU ,,,,,,,=
Alguns eventos
Evento 1: as 3 bolas têm a mesma cor {(AAA), (VVV)}
Evento 2: 2 das bolas são azuis {(AAV) ,)AVA),(VAA)}
Evento 3: as três bolas são vermelhas {(VVV)}
Probabilidade de um Evento 
Se, num experimento aleatório, o número de elementos 
do espaço amostral é n(U ) e o número elementos do 
evento A é n (A), então a probabilidade de o ocorrer o 
evento A é o número P (A), tal que :
 
Ressaltamos que esta definição é somente válida 
quando todos os elementos espaço amostral U têm a 
mesma probabilidade 
ARRANJOS E PERMUTAÇÕES
ARRANJO SIMPLES
Arranjo é o tipo de agrupamento em que um grupo é 
diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos ele-
mentos componentes.
Exemplo:
Quantos números de dois algarismos (elementos) 
distintos podem ser formados, usando os algarismos (ele-
mentos) 2, 3, 4, e 5?
11
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Observe que os grupos (números ou elementos) obtidos 
diferem entre si:
Pela ordem dos elementos ( 24 e 42 por exemplo)
Pelos elementos componentes (natureza) (25 e 43, 
por exemplo)
Os grupos assim obtidos são denominados arranjos 
simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e são indicados:
A4,2 = 4 . 3 = 12
Logo denominamos arranjos simples de n elementos 
tomados p a p ( n ≥ p ) os agrupamentos ordenados de 
p elementos distintos que se podem formar com os n 
elementos dados.
Uma fórmula muito importante
PERMUTAÇÕES SIMPLES
Permutação é o tipo de agrupamento ordenado em que 
em cada grupo entram todos os elementos.
Em geral, temos:
Exemplo: Quantos anagramas tem a palavra mito?
Qualquer ordenação das letras de uma palavra é deno-
minada anagrama. Como a palavra mito tem 4 letras, temos:
A4,4 = P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 anagramas
1) Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas 
distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis 
diferentes podem ser preparados?
 R: 120
2) Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, 
dois a dois distintos. Quantos triângulos podem ser cons-
truídos com vértices nos 9 pontos marcados?
 R: 84
3) Uma família com 5 pessoas possui um automóvel 
de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, 
de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?
 R: 48
4) Um salão tem 6 portas. De quantos modos distin-
tos esse salão pode estar aberto?
 Solução:
 Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou 
fechadaPara a segunda porta temos também, duas opções, 
e assim sucessivamente. Para as seis portas, teremos então, 
pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
 N = 2.2.2.2.2.2 = 64
 Lembrando que uma dessas opções corresponde 
a todas as duas portas fechadas, teremos então que o 
número procurado é igual a 64 - 1 = 63.
 R: o salão pode estar aberto de 63 modos possí-
veis.
5) Mostrar que 2.4.6.8. ... .(2n - 2).2n = n! . 2n
 Solução:
 O primeiro membro da igualdade pode ser escrito 
como:
 2.1 . 2.2 . 2.3 . 2.4 . ... . 2.(n - 1) . 2.n
 Observe que no produto acima, o fator 2 se repete 
n vezes; portanto, o produto de 2 por ele mesmo, n vezes, 
resulta na potência 2n.
 Logo, o primeiro membro da igualdade fica:
 2n(1 . 2 . 3 . 4 . ... . n)
 Observe que entre parênteses, temos exatamente 
o fatorial de n ou seja: n!
 Substituindo, vem finalmente : 2n . n!
 Assim, mostramos que:
 2.4.6.8. ... .2(n - 1). 2n = n! . 2n
 
 Então, podemos dizer que: 
 O produto dos n primeiros números pares positivos 
é igual ao fatorial de n multiplicado pela n - ésima potência 
de 2.
Considere a equação linear a seguir:
x1 + x2 + x3 + ... + xn = b, onde b Î N 
(N = conjunto dos números naturais).
As soluções desta equação, são os valores de x1, x2, ... 
, xn que formam um conjunto ordenado (x1,x2,x3,...,xn), 
denominado n - upla (ênupla) ordenada.
Exemplo: 
Seja a equação linear x1 + x2 + x3 = 3.
As soluções inteiras não negativas da equação acima 
são as ênuplas:
(0,0,3)
(0,1,2)
(0,2,1)
(0,3,0)
(1,0,2)
(1,1,1)
(1,2,0)
(2,0,1)
(2,1,0)
(3,0,0)
Observe que existem 10 soluções inteiras não negativas 
para a equação dada.
Considere agora o problema seguinte:
Existem quantas soluções inteiras não negativas, para 
a equação linear:
x1 + x2 + x3 + ... + xn = b, com b Î N ?
12
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Demonstra-se que o número Y, de soluções inteiras não 
negativas desta equação linear, é dada por:
Portanto, o número Y de soluções inteiras e não ne-
gativas da equação linear dada é:
Exemplo: Qual o número de soluções inteiras não 
negativas da equação x + y + z = 5?
Solução:
Temos: n = 3 e b = 5. Logo:
R: 21 soluções inteiras e não negativas.
Exemplo:
Qual o número de soluções inteiras não negativas da 
equação x + y + z + w = 3?
Solução:
Temos n =4 e b = 3. Logo,
R: 20 soluções inteiras e não negativas.
6) Qual o número de soluções inteiras não negativas 
da equação linear
 x + y + z + w + t = 2?
 R: 15 soluções inteiras não negativas.
EXERCÍCIOS
1. (PUC - SP) Quer-se colorir o mapa representado na 
figura, de modo que os países vizinhos não sejam pintados 
com a mesma cor. Qual o número mínimo de cores que se 
devem usar?
a) 3 c) 5 e) 7
b) 4 d) 6 
2. (SANTA CASA - SP) Existem 4 estradas de rodagem 
e 3 estradas de ferro entre as cidades A e B. Quantos são 
os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta 
entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, 
em qualquer ordem?
a) 4! × 3! d) 12
b) 2–1 × 4! × 3! e) 7
c) 24 
3. (UFBA) Numa eleição para diretoria de um clube 
concorrem 3 candidatos a diretor, 2 a vice-diretor, 3 a pri-
meiro secretário e 4 a tesoureiro. O número de resultados 
possíveis da eleição é:
a) 4 c) 72 e) 12!
b) 24 d) 144 
4. (CESESP - PE) Num acidente automobilístico, após 
ouvir várias testemunhas, conclui-se que o motorista culpa-
do do acidente dirigia o veículo cuja placa era constituída 
de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, 
sendo que o algarismo das unidades era o dígito 2. Assinale, 
então a única alternativa, correspondente ao número de 
veículos suspeitos:
a) 1080 c) 10080 e) 60480
b) 10800 d) 840 
5. (UFSCAR) Um computador registra em sua memória 
informações em código, usando duas letras, não repetidas, 
seguidas de quatro algarismos distintos. Duas dessas infor-
mações x1 x2 a1 a2 a3 a4 e y1 y2 b1 b2 b3 b4 são iguais 
se, e somente se:
 , i = 1, 2.
 , j = 1, 2, 3, 4.
Usando-se as letras A, B, C, D, E, F, G, H, I, J e os 
algarismos 1, 2, 3, 4, o número máximo de informações 
distintas registráveis será:
a) 3220 c) 1080 e) 2160
b) 5040 d) 2670 
6. (MACK - SP) Os números de telefones de uma cida-
de são constituídos de 6 dígitos. Sabendo que o primeiro 
dígito nunca pode ser zero, se os números dos telefones 
passarem a ser de 7 dígitos, o aumento possível na quan-
tidade de telefones será:
a) 81 × 10 3 d) 81 × 10 5
b) 90 × 10 3 e) 90 × 10 5
c) 81 × 10 4
7. (FUVEST) Quantos números ímpares de 4 algaris-
mos, sem repetição, podem ser formados com os dígitos 
1, 2, 3, 4, 5 e 6?
a) 120 c) 30 e) 90
b) 60 d) 180 
8. (MACK - SP) O total de números, formados com 
algarismos distintos, maiores que 50000 e menores que 
90000 que são divisíveis por 5 é:
a) 1596 c) 2686 e) 4032
b) 2532 d) 2788 
9. (FATEC - SP) Quantos números, distintos entre si 
emenores que 30000, têm exatamente 5 algarismos não 
repetidos e pertencentes ao conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6}?
a) 90 c) 180 e) 300
b) 120 d) 240 
10. (PUC - SP) Chamam-se “palíndromos”, números 
inteiros que não se alteram quando é invertida a ordem 
de seus algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O 
número total de palíndromos de cinco algarismos é:
a) 900 c) 1900 e) 5000
b) 1000 d) 2500 
13
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
GABARITO
 
 1. b 6. d
 2. c 7. d
 3. c 8. b
 4. c 9. d
 5. e 10. a
RAZÃO
A razão entre dois números quaisquer é o quociente 
do primeiro pelo segundo. Desta forma, a razão entre os 
números a e b, nesta ordem, é o quociente:
b
a
, com b ≠ 0 onde: 


=
=
econsequentb
eantecedenta
A razão b
a
 é lida da seguinte forma:“a está para b”.
ESCALAS
 
Escala é a representação de uma razão entre duas 
grandezas de medidas (ou dimensões), onde o antecedente 
representa a medida a ser utilizada (ou representada) e 
o conseqüente, a medida real. Geralmente utilizam-se na 
construção de mapas, plantas, etc.
A escala natural , o desenho tem as mesmas dimensões 
do objeto real. 1 : 1 ( 1 para 1), ou seja, 1 cm normal do 
desenho é igual a 1 cm do objeto.
Na escala de redução, a representação gráfica é menor 
que a dimensão do objeto. 1 : 2 (1 para 2, por exemplo), 
ou seja, 1 cm do desenho representa 2 cm do objeto.
Podemos utilizar a seguinte relação matemática:
alduzido TET ReRe .=
Onde: TReduzido: tamanho reduzido
 E: escala utilizada
 TReal: tamanho real
 
Na escala de ampliação, a representação gráfica é 
maior que a dimensão do objeto. 2 : 1 (2 para 1, por exem-
plo), ou seja, 2 cm do desenho equivale a 1 cm do objeto.
Assim, podemos generalizar que:
nrealcomp
gráficocomp 1
.
.
=
Exemplo:
A planta de uma casa está na escala 1 : 50cm, um 
comprimento de 9 cm na planta corresponde a quantos 
metros na realidade?
Resolução:
nrealcomp
gráficocomp 1
.
.
=
 ⇒ ⇒ 
⇒ ou mx 5,4=
VELOCIDADE MÉDIA
A velocidade média é a razão entre o espaço percorrido 
por um móvel e o tempo gasto para percorrê-lo.
t
SVm ∆
∆
=
 , onde: 
mV
 = velocidade média.
S∆ = espaço percorrido (em metros ou suas derivações 
no sistema métrico).
t∆ = tempo gasto (em segundos ou suas derivações).
Exemplo:
Um carro percorre uma distância de 400km, entre duas 
cidade. Sabendo que o tempo gasto da viagem foi de 5 
horas, determine a velocidade média desse carro.
mV
 = ?
S∆ = 400 km , Sendo t
SVm ∆
∆
=
 
t∆ = 5 h
 ⇒ 
R: 
DENSIDADE DEMOGRÁFICA
Densidade demográfica é a razão entre o número de 
habitantes de uma determinada região por quilômetro 
quadrado (km2), ou suas derivações (múltiplos ou submúl-
tiplos) no sistema métrico decimal.
quadradoquilômetro
teshabinD
_
tanº
=
Exemplo:
Numa região hipotética no Brasil de 118.000 km2 exis-
tem 3.776.000 habitantes. Qual a densidade demográfica 
dessa região?
quadradoquilômetro
teshabinD
_
tanº
=
000.118
000.776.3
=D
 ⇒ D = 32 hab/km2
EXERCÍCIOS
 1. Os números 2a + b e a + b formam, entre si uma 
razão de 5
6
. Pode-se afirmar que, se a e b não são 
nulos, então:
a) a = b c) 3
ba =
 e) a = 4b
b) 2
ba =
 d) 4
ba =
14
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
 2. O comprimento de uma estrada está para o comprimen-
to de outra como 3 para 5. Sabendo-se que a diferença 
entre eles é de 240 km, calcular os seus cumprimentos.
a) 600 km e 400 km d) 620 km e 360 km
b) 500 km e 320 km e) 600 km e 360 km
c) 400 km e 120 km
3. (Pol.Rod.Fed - 1997)A distância entre duas cidades A 
e B é de 265 metros e o único posto de gasolina entre 
elas encontra-se a 3/5 desta distância, partindo de A. 
O total de quilômetros a serem percorridos da cidade 
B até este posto é de:
a) 57 c) 110 e) 212
b) 106 d) 159
 4. (UFRN) Uma gravura de forma retangular, medindo 
20cm de largura por 35cm de comprimento, deve 
ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento 
correspondente será?
 a) 0,685m c) 2,1m
 b) 6,85m d) 1,35m 
 5. A razão entre dois números é 8
3
. Se a soma do maior 
com o dobro do menor é 42, o maior deles é:
 a) 9 c) 24
 b) 15 d) 30
 6. (PUC - PR) Para que se verifique a igualdade 20
5
8
9
==
x
y
, os valores de x e y devem ser, respectivamente:
a) 2 e 5 c) 5 e 35
b) 5
1
4
1 e
 d) 2 e 36
 7. (Pol. Rod. Fed.) Duas grandezas a e b foram divididas, 
respectivamente, em partes diretamente proporcionais 
a 3 e 4, na razão 1,2. O valor de 3a +2b é:
a) 6 c) 8,4 e) 20,4
b) 8,2 d) 14,4
 8. Na planta de um arquiteto constatou-se que a escala 
utilizada era de 1: 40. O comprimento real da largura 
de uma sala é de 8 m, tal medida correspondente na 
planta é de:
a) 12 cm c) 16 cm e) 20 cm
b) 14 cm d) 18 cm
 9. Na cartografia utiliza-se a medição por escala para 
facilitar a representação visual. Suponha-se que um 
cartó grafo utilizou-se da escala 1: 50.000, então, se 
duas cidades distam de 0,8m no mapa, sua distância 
real é de:
a) 20 km c) 60 km e) 100 km
b) 40 km d) 80 km
10. Dois arquitetos utilizam-se de duas escalas distintas 
para a realização de uma mesma construção. O arqui-
teto A utilizou a escala 1 : 50m e o arquiteto B, 2 
: 120. Se o dono da casa pediu que fosse feita uma 
varanda de comprimento real de 15 metros de largura, 
nas plantas dos arquitetos isso equivalerá a:
a) 30cm e 35cm d) 30cm e 25cm
b) 25cm e 30 cm e) 15cm e 12,5cm
c) 30cm e 40 cm
11. Um carro viaja a 90 km/h (90 quilômetros por hora) 
num percurso retilíneo entre duas cidades A e B. Se num 
mapa a escala está representada por 1: 80.000, então 
quando o motorista percorrer 20 minutos de viagem, 
no mapa será representado por uma distância de:
a) 0,6m c) 0,2m e) 0,08m
b) 0,4m d) 0,1m
12. A miniatura de um foguete balístico foi feita na es-
cala 1 : 400. O comprimento real do foguete é de 116 
metros. O correspondente da miniatura é de:
a) 0,029cm c) 2,9dm e) 3,44m
b) 4,6m d) 0,34m
13. Um segmento de reta ligando dois pontos em um mapa 
mede 6,5 cm. Considerando que o mapa foi construído 
numa escala de 1: 25 000 qual a distância horizontal 
em linha reta entre os dois pontos?
a) 162,5m. c) 1,5 km. e) 1625 m.
b) 15 hm. d)1,6 km.
14. Sabendo que numa região, a densidade demográfica é 
da ordem de 48 hab/km2, determine a área da região 
em metros quadrados (m2) sabendo que na região 
existem 480.000 habitantes.
a) 109 m2 c) 1011 m2 e) 1013 m2
b) 1010 m2 d) 1012 m2
GABARITO
 1. d 6. d 11. a
 2. e 7. e 12. c
 3. b 8. e 13. c
 4. c 9. b 14. b
 5. c 10. d
PROPORÇÃO
Proporção é a igualdade entre duas razões.
Sendo d
c
b
a
=
 uma proporção qualquer,
a e d são denominados de extremos da proporção e b 
e c são os meios da proporção.
Lê-se: “a está para b assim como c está para d”
PROPRIEDADES DE PROPORÇÃO
Em uma dada proporção: d
c
b
a
=
1ª propriedade
Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos.
cbda .. =
Exemplo: Dado a proporção , determine 
o valor de x.
15
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Resolução:
Aplicando a primeira propriedade de proporção, temos:
(x -2).6 = 3.10 ⇒ 6x - 12 = 30 ⇒ 6x = 30 + 12 
⇒ 6x = 42 ⇒ ⇒ x = 7
2ª propriedade
Se uma proporção for contínua então a soma de seus 
antecedentes com a soma dos dois correspondentes con-
seqüentes deve ser uma constante.
db
ca
d
c
b
a
+
+
==
Exemplo: Calcule x na proporção 52
yx
=
, sabendo 
que x + y = 14.
Resolução:
5252 +
+
==
yxyx
 ⇒ como x + y = 14, temos que:
 ⇒ ⇒ ⇒ x = 4
OUTRAS PROPRIEDADES IMPORTANTES:
c
dc
a
ba +
=
+
 d
dc
b
ba +
=
+
 d
dc
a
ba −
=
−
d
dc
b
ba −
=
−
 d
c
db
ca
=
+
+
 b
a
db
ca
=
−
−
 
 
d
c
db
ca
=
−
−
TERCEIRA PROPORCIONAL
É qualquer dos termos não repetidos de uma proporção 
contínua.
Exemplo:
 , onde 4 é a terceira proporcional entre 5 e 
20 e 20 é a terceira proporcional entre 4 e 5
QUARTA PROPORCIONAL
Chama-se de quarta proporcional entre três números 
ao quartonúmero que, na ordem dada, formará, com os 
três números, uma proporção.
Exemplo:
Determinar a 4ª proporcional entre 4, 6 e 24
 ⇒ 4.x = 6.24 ⇒ 4
144
=x
 ⇒ 
x = 36
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
As grandezas relacionadas numa proporção qualquer 
podem ser diretamente proporcionais ou inversamen-
te proporcionais gerando sempre uma constante de 
proporcio nalidade.
b
ak = , onde k é a constante de proporcionalidade
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são classificadas como diretamente 
proporcionais quando, aumentando o valor absoluto de 
uma delas, a outra aumenta seu valor absoluto na mesma 
proporção. 
Exemplo:
Resolução:
Um ciclista percorre, com velocidade constante, em 1 
hora 40 km e, em 2 horas, 80 km.
Tempo Distância
1h 60 km 
2h 120 km
A proporção correspondente é: 
Exemplo1: Divisão em partes diretamente propor-
cionais.
Dividir 600 em partes diretamente proporcionais a 
13, 17 e 20.
Resolução:
A divisão em três partes resultará em três números 
distintos, já que as partes a serem divididas são distintas, 
que podemos denominar por x, y e z.
Sabemos que: x + y + z = 600 (1) , e que:
 Essa igualdade de proporções define 
 que: x é diretamente proporcional 
 a 13, y diretamente proporcional a 17 
 e z diretamente proporcional a 20.
, utilizando a propriedade das proporções, 
temos:
Assim, temos:
 ⇒ ⇒ 156=x
 ⇒ ⇒ 204=y
 ⇒ ⇒ 240=z
16
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
R: 156 204 e 240.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
 
Duas grandezas são classificadas como inversamente 
proporcionais quando, aumentando o valor absoluto de 
uma delas, a outra diminui seu valor absoluto na proporção 
in versa.
Exemplo1:
Um automóvel percorre uma distância fixa em 2 horas 
com velocidade constante de 80 km/h. Com velocidade de 
40 km/h fará a mesma distância em 4 horas.
Tempo Velocidade
2h 80km/h 
4h 40km/h
 cresce decresce
A proporção correspondente é: invertendo a 
segunda razão, temos: 80
40
4
2
=
Exemplo2: Divisão em partes inversamente propor-
cionais.
Dividir 444 em partes inversamente proporcionais a 
4, 5 e 6.
Resolução:
A divisão em três partes resultará em três números 
distintos, já que as partes a serem divididas são distintas, 
que podemos denominar por x, y e z. 
Sabemos que: x + y + z = 444 (1) , e que:
 Essa igualdade de proporções define 
 que: x é inversamente proporcional 
6
1
5
1
4
1
zyx
==
 a 4, y inversamente proporcional a 
 5 e z inversamente proporcional a 
6.
zyx 654 == , colocando duas das incógnitas em 
função da outra, temos que:
5
4xy =
 (2) e 3
2
6
4 xxz ==
(3) , substituindo na 
equação (1), temos:
444
3
2
5
4
=++
xxx
 ⇒ 15
15.444
15
101215
=
++ xxx
666037 =x ⇒ 37
6660
=x
 ⇒ 180=x
Substituindo o valor de “x” nas equações (2) e (3), 
temos:
5
180.4
=y
 ⇒ 144=y
3
180.2
=z
 ⇒ 120=z 
R: 180,144 e 120
Exemplo3: Divisão em partes diretamente e inver-
samente proporcionais.
Resolução:
Dividir 690 em partes diretamente proporcionais a 1, 
2 e 3 e inversamente proporcionais a 2, 3 e 4.
A divisão em três partes resultará em três números 
distintos ou não, já que as partes a serem divididas são 
compostas, que podemos denominar por x, y e z.
Sabemos que: x + y + z = 690 (1) , e que:
 Essa igualdade de proporções define 
 que: x é diretamente proporcional 
 a 1 e inversamente proporcional a 2, 
3
4
2
3
1
2 zyx
==
 y diretamente proporcional a 2 e 
 inversamente proporcional a 3 e z 
 diretamente proporcional a 3 e inver- 
 samente proporcional a 4 
3
4
2
3
1
2 zyx
==
, colocando duas das incógnitas em 
função da outra, temos que:
3
4xy =
 (2) e 2
3
4
6 xxz ==
 (3) , substituindo na 
equação (1), temos:
690
2
3
3
4
=++
xxx
 ⇒ 6
4140
6
986
=
++ xxx
414023 =x ⇒ ⇒ 180=x 
Substituindo o valor de “x” nas equações (2) e (3), 
temos:
3
180.4
=y
 ⇒ 240=y
2
180.3
=z
 ⇒ 180=z
R: 180, 240 e 180.
EXERCÍCIOS
 1. A soma de dois números é 120. Calcule-os sabendo 
que a razão entre eles é 1/5.
 2. O comprimento de uma estrada está para o compri-
mento de outra como 3 para 5. Sabendo-se que a 
diferença entre eles é de 240 km, calcular os seus 
cumprimentos.
17
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
a) 600 km e 400 km d) 620 km e 360 km
b) 500 km e 320 km e) 600 km e 360 km
c) 400 km e 120 km
 3. Resolver a proporção , sabendo que x + y = 132.
 4. Sabendo que a soma do quadrado de dois números 
positivos é de 100 e a razão entre eles é igual a 3
4
. 
Pergunta-se quais são os números?
 5. A soma das idades do pai e de seu filho é de 60 anos. 
Sabendo-se que essas idades são proporcionais aos 
números 15 e 5. Pergunta-se quais são as idades do 
pai e de seu filho?
 6. O filho nasceu quando o pai tinha 27 anos. Hoje a razão 
entre a idade do pai e do filho é de 1
4
. Determine suas 
idades.
 7. Dividir 1.090 em partes inversamente proporcionais a 
8
7
5
4,
3
2 e
 .
 8. Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 
5, 7 e 13.
 9. Dividir 1.200 em partes diretamente proporcionais a 
26, 34 e 40.
10. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 
e 4.
11. Dividir 108 em partes diretamente proporcionais a 2 
e 3 e inversamente proporcionais a 5 e 6.
12. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 
6 e 7 e inversamente proporcionais a 5, 4 e 2.
13. Ao se dividir o número 400 em valores diretamente 
proporcionais a 1, 2/3 e 5/3, obtém-se, respectiva-
mente:
a) 120, 80 e200 d) 40, 80/3 e 200/3
b) 360, 240 e 600 e) 100, 40 e 60
c) 60, 40 e 100
14. Certa quantia foi dividida entre duas pessoas em partes 
proporcionais a 2 e 3. Sabendo que a segunda recebeu 
a mais que a primeira R$ 1.000,00, determinar qual o 
valor total da quantia distribuída.
15. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 
6 e 7 e inversamente a 5, 4 e 2.
16. Uma herança de R$ 300.000,00 deve ser repartida entre 
Antônio, Bento e Carlos. Cada um deve receber partes 
diretamente proporcionais a 3, 5 e 6, respectivamente, 
e inversamente proporcionais às idades. Sabendo que 
Antônio tem 12 anos, Bento 15 anos, e Carlos tem 24 
anos, qual será a parte recebida por bento?
17. (TRF - 1ºRegião/2001) Dois funcionários de uma 
repartição pública foram incumbidos de arquivar 164 
processos e dividiram esse total na razão direta de 
suas respectivas idades e inversa de seus respectivos 
tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 
3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 
9 anos no serviço público, então a diferença positiva 
entre os números de processos que cada um arquivou 
é:
a) 48 c) 52 e) 56
b) 50 d) 54
18. Cada um dos 784 funcionários de uma Repartição 
Pública presta serviço em um único dos seguintes 
setores: administrativo(1), proces samento(2) e servi-
ços gerais(3). Sabe-se que o número de funcionários 
do setor (2) é igual a 5
2
 do número dos de (3). Se os 
funciona rios do setor (1) são numericamente iguais a 
8
3
 do total de pessoas que trabalham na Repartição, 
então a quantidade de funcionários do setor
a) (1) é 284 c) (2) é 180 e) (3) é 380
b) (2) é 150 d) (3) é 350
19 Três marceneiros receberam R$ 6.000,00 pela execução 
conjunta de uma reforma em certo prédio. Um dos 
artífices trabalhou 5 dias; o outro, 4 dias e meio; e 
o terceiro, 8 dias. Tinham respectivamente a idade 
de 20 anos, 22 anos e 6 meses, 26 anos e 8 meses. 
Eles haviam acertado repartir, entre si, a remuneração 
global em partes diretamente proporcionais ao tempo 
de trabalho de cada um e inversamente proporcionais 
as respectivas idades.
 Com base na situação acima apresentada, julgue os 
itens abaixo.
 I - O marceneiro que trabalhou 5 dias recebeu da 
quantia recebida pelo marceneiroque trabalhou 8 dias.
 II - O marceneiro mais jovem foi o que recebeu a menor 
quantia.
 III - O marceneiro que trabalhou 8 dias recebeu 4
1
 
da remuneração global.
 IV - A soma das quantias recebidas pelo marceneiro 
mais jovem e pelo marceneiro mais velho per faz 15
11
 
da remuneração global.
A quantidade de itens certos é igual a:
a) 0 c) 2 e) 4
b) 1 d) 3
20. Em um processo de fabricação, o custo total é inver-
samente proporcional ao quadrado das quantidades 
produzidas. Quando são produzidas 5 unidades, o custo 
total é igual a 225. Assim, quando forem produ zidas 
12 unidades, o custo total será igual a:
a) 625/25 c) 625/16 e) 625/12
b) 625/24 d) 625/15
18
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
GABARITO
 1. Os números são x = 100 e y = 20
 2. Os comprimentos são de 600 km e 360 km
 3. x = 76 e y = 56
 4. 8 e 6
 5. 45 e 15 anos
 6. 36 e 9 anos
 7. 420, 350 e 320
 8. 125, 175 e 325
 9. 312, 408 e 480
10. 9 e 12
11. 48 e 60
12. 60, 150 e 350
13. 120, 80 e 200
14. R$ 5.000,00
15. 60, 150 e 350
16. R$ 120.000,00 
17. C 
18. D 
19. B 
20. A
REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três simples é um processo prático de 
resolução de problemas que envolvem grandezas direta 
ou inversamente proporcionais. Este processo consiste dos 
seguintes passos:
• Separar em colunas as grandezas de mesma unidade 
de medida.
• Analisar cada coluna e classificá-las como sendo 
grandezas direta ou inversamente proporcionais, 
através da indicação de setas.
 (Obs.: se as setas estiverem no mesmo sentido, as 
grandezas são classificadas como sendo diretamente 
proporcionais, caso contrário, são inversamente pro-
porcionais).
• Formar as devidas proporções.
Exemplo1:
Se Larissa pagou R$ 20,00 por 3m de um determinado 
tecido, quanto ela pagará por 9m desse mesmo tecido?
Resolução:
1º Passo: separar em colunas as grandezas de mesma 
unidade de medida.
Valor (em R$) Tecido (em metros)
20,00 3
 x 9
2º Passo: classificá-las como sendo G.D.P. ou G.I.P.
(convencionasse colocar inicialmente a primeira seta 
em direção da variável x)
20,00 3
 
 x 9
 G.D.P G.D.P
De acordo com o exemplo1, “quanto maior for o metro 
do tecido, maior será a quantia paga por Larissa”, sendo 
assim, as grandezas são diretamente proporcionais.
3º Passo: obter a proporção correspondente ao pro-
blema.
 ⇒ ⇒ 3
180
=x
 ⇒
x = 60
R: R$ 60,00
Exemplo2:
Resolução:
3 operários fazem um serviço de uma obra em 10 dias. 
Se fossem 6 operários, teriam feito o mesmo serviço, em 
quanto tempo?
1º Passo: separar em colunas as grandezas de mesma 
unidade de medida.
 
Nº de operários Tempo (em dias)
 3 10
 6 x
2º Passo: classificá-las como sendo G.D.P. ou G.I.P.
Nº de operários Tempo (em dias)
3 10
 
6 x
 G.I.P. G.I.P.
De acordo com o exemplo2, “quanto maior for o núme-
ro de operários, menor será o tempo gasto para finalizar 
o serviço”, sendo assim, as grandezas são inversamente 
proporcionais.
3º Passo: obter a proporção correspondente ao pro-
blema.
Obs.: Como as setas estão em sentidos contrários 
devemos inverter uma das razões 
 ⇒ ⇒ ⇒ x = 5 
R: 5 dias
19
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
EXERCÍCIOS
 1. (ECT - 2001) Um menino quer medir a distância entre 
sua casa e a escola onde estuda. Para isso, ele mediu 
o comprimento de seu passo, obtendo 60 centímetros. 
Em seguida, observou que, para ir até a escola, ele 
deveria executar 3.000 passos. Considerando iguais 
todos os passos desse menino, a distância entre a casa 
dele e sua escola é:
a) 1,5 km c) 2,0 km e) 2,5 km
b) 1,8 km d) 2,2 km 
 2. Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 
600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo 
carro, para percorrer 840 km, consumirá:
a) 68 litros c) 70 litros e) 85 litros
b) 75 litros d) 80 litros
 3. Uma viagem foi feita em 12 dias percorrendo-se 150 
km por dia. Quantos dias seriam necessários para fazer 
a mesma viagem percorrendo-se 200 km por dia?
 4. Cinco torneiras idênticas enchem juntas um tanque em 
144 minutos. Quantas dessas torneiras são necessárias 
para encher o mesmo tanque em 1 hora e meia?
 5. (Pol. Rod. Fed.) Para chegar ao trabalho, José gasta 
2h 30min dirigindo à velocidade média de 75 km/h. Se 
aumentar à velocidade para 90 km/h, o tempo gasto, 
em minutos para José fazer o mesmo percurso é:
a) 50 c) 90 e) 180
b) 75 d) 125
 6. (TRF 1ª Região/2001) Certo dia, um técnico judiciário 
trabalhou ininterruptamente por duas horas e 50 mi-
nutos na digitação de um texto. Se ele concluiu essa 
tarefa quando eram decorridos do dia, então ele 
iniciou a digitação do texto às:
a) 13h 40min d) 12h 20min
b) 13H 20min e) 12h 10min
c) 13h
 7. (TRF 1ª Região/2001) Para o transporte de valores 
de certa empresa são usados dois veículos, A e B. Se 
a capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 
32000 quilogramas então a razão entre as capacidades 
de a e B, nessa ordem, equivale a:
a) 75 c) 0,75 e) 0,0075
b) 7,5 d) 0,075
 8. Em 16 dias 10 pedreiros construíram um muro inteiro. 
Se fossem 6 pedreiros a mais, quantos dias seriam 
necessários para construir o mesmo muro?
 9. Um eletricista comprou dois rolos de fio de cobre 
de mesma espessura. O rolo maior custou R$ 660,00 
enquanto o outro, 12 metros mais curto, custou R$ 
528,00. Quanto mede o rolo maior?
10. Em um acoplamento de polias o raio da menor é ¼ do 
raio da maior. Se a polia maior der 10 voltas completas, 
quantas voltas terão dado a menor?
11. Um automóvel poderia rodar 6 horas consecutivas, sem 
ser reabastecido, se partisse com um tanque de gasolina 
completo. Entretanto, tendo partido com um vazamento 
no tanque, rodou somente por 4 horas, logo após ter 
completado o tanque. Quanto tempo foi necessário 
para que1/20 da gasolina do tanque fosse perdido pelo 
vazamento?
12. O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro 
B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem 
juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se 
que o serviço seja feito?
a) 2 horas e 7 minutos. d) 1 hora e 43 minutos.
b) 2 horas e 5 minutos. e) 1 hora e 36 minutos.
c) 1 hora e 57 minutos.
13. (IBGE/2000) Uma fita de vídeo pode gravar durante 2 
horas (em velocidade padrão) ou durante 4 horas (em 
velocidade reduzida). Se uma fita foi usada durante 40 
minutos em velocidade padrão, durante quanto tempo 
ela ainda poderá ser usada em velocidade reduzida?
a) 2h 20 min. d) 3h 10 min.
b) 2h 40 min. e) 3h 20 min.
c) 3h
14. (IBGE/2000) Andando com velocidade de 4 km/h, Pedro 
vai do trabalho a casa em 12 minutos. Se aumentasse 
em 50% sua velocidade, em quantos minutos Pedro 
faria esse mesmo percurso?
a) 6 c) 8 e) 10
b) 7 d) 9
15. (ECT-2001) Um moinho utiliza 20kg de trigo para fa-
zer 15 kg de farinha. Considerando que uma pessoa 
adulta coma, em média, 1,5 quilogramas de farinha de 
trigo por dia, então, quantos quilogramas de trigo esse 
moinho necessita moer para abastecer uma família de 
4 pessoas adultas durante 1 semana?
a) 8 kg c) 31,5 kg e) 56 kg
b) 10,5 kg d) 42 kg
16. (ECT - 2001) Um ciclista percorre uma certa distância 
em 45 minutos, pedalando com velocidade média de 
36 km/h. Considerando o rendimento deste ciclista 
constante, se ele pedalasse com uma velocidade média 
de 27 km/h, essa mesma distância seria percorrida em:
a) 30 minutos d) 50minutos
b) 33 minutos e) 1 hora
c) 40 minutos
17. (PMSP-Ag. Vistor/2002) O preço de um determinado 
produto vendido a granel é R$ 20,00 o quilograma. 
Se a pesagem do produto for feita sem descontar a 
massa de 50 gramas da embalagem descartável, um 
consumidor só irá levar um quilograma do produto se 
pagar:
a) R$ 20,40 c) R$ 21,00 e) R$ 21,50
b) R$ 20,50 d) R$ 21,40
18. (IBGE - SENSO/2000) Andando com velocidade de 4 
km/h, Pedro vai do trabalho a casa em 12 minutos. 
Se aumentasse em 50% sua velocidade, em quantos 
minutos Pedro faria esse mesmo percurso?
a) 6 min. c) 8 min. e) 10 min.
b) 7 min. d) 9 min. 
19. Para chegar ao trabalho, José gasta 2h 30min diri-
gindo à velocidade média de 75 km/h. Se aumentar a 
20
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
velocidade para 90 km/h, o tempo gasto, em minuto 
para José fazer o mesmo percurso é:
a) 50 c) 90 e) 180
b) 75 d) 125 
GABARITO
 1. b 8. 10 dias 15. e
 2. c 9. 60 metros 16. e
 3. 9 dias 10. 40 voltas 17. c
 4. 8 torneiras 11. 18 minutos 18. c
 5. d 12. 7 horas 19. d
 6. a 13. b
 7. b 14. c
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta é um processo prático de 
resolução de problemas que envolvem mais de duas gran-
dezas direta ou inversamente proporcionais.
De maneira análoga à regra de três simples, a regra 
de três composta segue os mesmos passos:
• Separar em colunas as grandezas de mesma unidade 
de medida.
• Analisar cada coluna e classificá-las como sendo 
grandezas direta ou inversamente proporcionais, 
através da indicação de setas.
• Deve-se inverter as razões que são inversamente 
proporcionais.
• Iguala-se a razão que contém a variável x com o 
produto das outras razões.
Exemplo1:
Resolução:
Um automóvel, com velocidade constante, percorre 
1250 km em 3 dias, correndo 5 horas por dia. Quantos 
quilômetros percorrerá, com a mesma velocidade, em 4 
dias, correndo 7,5 horas por dia?
Distância(Km) Dias Horas
1250 3 5
 
 x 4 7,5
 
 G.D.P. (1) G.D.P. (2)
De acordo com o exemplo1, na relação (1), temos que: 
“se em 3 dias o automóvel percorre 1250 km, então em 4 
dias percorrerá uma distância maior” - G.D.P. Na relação 
(2), temos que: “se em 5 horas foram percorridos 1250 
km, logo, em 7,5 horas serão percorridos uma distância 
maior” - G.D.P.
5,7
5.
4
31250
=
x
 ⇒ 2
11250
=
x ⇒ 1250.2=x 
⇒ x = 2500
R: 2500 km
Exemplo2:
Resolução:
10 impressoras imprimem 150 folhas em 4 minutos. 
Em quanto tempo 4 impressoras, iguais às primeiras, im-
primirão 300 folhas?
Minutos Impressoras Folhas
4 10 150
 
x 8 300
 
 G.I.P. (1) G.D.P (2)
De acordo com o exemplo2, na relação (1), temos 
que: “se 10 impressoras trabalham em 4 minutos, então 
8 impressoras trabalharão em mais tempo” - G.I.P. Na re-
lação (2), temos que: “se 150 folhas foram impressas em 
4 minutos, então 300 folhas serão impressas num tempo 
maior” - G.D.P.
Invertendo-se a razão do meio, temos:
 ⇒ 2
1.
5
44
=
x ⇒ 
⇒ ⇒ x = 10
R: 10 minutos
EXERCÍCIOS
 1. Se 8 lâmpadas de certa potência, permanecendo acesas 
3 h por noite, durante 13 noites, consomem 78 kw, 
quantos kw consumirão 5 lâmpadas de dupla potência, 
permanecendo acesas 4 h por noite durante 16 noites?
 2. Se 15 operários, trabalhando 8 h por dia, produzem 
80 artigos em 12 dias, quantos operários serão ne-
cessários para produzir 180 artigos iguais em 18 dias, 
trabalhando 6h por dia?
 3. Dois cavalos, cujos valores são considerados como 
diretamente proporcionais às suas forças de trabalho 
e inversamente proporcionais às suas idades, têm o 
primeiro 3 anos e 9 meses e o segundo 5 anos e 4 
meses de idade. Se o primeiro, que tem ¾ da força 
do segundo, foi vendido por R$ 480,00, qual deve 
ser o preço de venda do segundo?
a) R$ 400,00 c) R$ 430,00 e) R$ 450,00
b) R$ 420,00 d) R$ 440,00
 4. Se 27 operários, trabalhando 6 horas por dia levaram 
40 dias para construir um parque de formato retangular 
medindo 450 metros de comprimento por 200 metros 
de largura, quantos operários serão necessários para 
construir um outro parque, também retangular, me-
dindo 200 metros de comprimento por 300 metros de 
largura em 18 dias e trabalhando 8 horas por dia?
a) 30 c) 32 e) 34
21
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
b) 31 d) 33
 5. (STA CASA - SP) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 
horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas 
de certo produto. Quantas toneladas do mesmo pro-
duto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, 
operando 6 horas por dia, durante 6 dias?
a) 8 c) 10,5 e) 15
b) 15 d) 13,5
 6. Uma pessoa realizou certo trabalho de datilografia em 
10 dias. Para isso, trabalhou 6 horas por dia, datilogra-
fando em média 60 letras (ou espaços) por minuto. Se 
outra pessoa for realizar o mesmo serviço, trabalhando 
4 horas por dia e datilografando 50 letras (ou espaços) 
por minuto, quanto tempo levará para fazer o serviço?
 7. (TRF 1ª Região/2001) A impressora X é capaz de tirar 
um certo número de cópias de um texto em 1 hora e 
15 minutos de funcionamento ininterrupto. A impres-
sora Y, que tem 75% da capacidade de produção de X, 
tiraria a metade do número de cópias desse texto, se 
operasse ininterruptamente durante:
a) 50 minutos.
b) 1 hora.
c) 1 hora e 10 minutos.
d) 1 hora e 20 minutos.
e) 1 hora e 30 minutos.
 8. (ANA) Se 40 doceiras fazem 20 tortas em 2 horas, o 
número de horas necessárias para 2 doceiras fazerem 
10 tortas é:
a) 5 c) 15 e) 40
b) 10 d) 20
 9. (PMSP/2000) Um museu dispõe de 13 funcionários 
treinados para atender o público visitante, sendo que 
cada um deles pode acompanhar grupos de no máximo 
6 pessoas. Se o museu decide alocar os 13 funcionários 
para atender um grupo de 74 alunos de uma escola, o 
menor número de estudantes que um dos grupos poderá 
ter é igual a:
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
10. (PMSP/2000) Segundo previsões da divisão de obras 
de um município, serão necessários 120 operários 
para construir 600 m de uma estrada em 30 dias de 
trabalho. Sabendo-se que o município poderá disponi-
bilizar apenas 40 operários para a realização da obra, 
os primeiros 300 m da estrada estarão concluídos em:
a) 45 dias. c) 55 dias. e) 65 dias.
b) 50 dias. d) 60 dias.
11. O volante de uma máquina, dando 318 voltas em 6 
minutos, põe em movimento uma fieira que produz 
265 metros de tecido em 60 minutos. Que tempo 
será preciso para fabricar 564 metros de tecido, se o 
volante der 376 voltas em 4 minutos?
a) 1h. c) 1h 8min. e) 1h 15min.
b) 1h 5min. d) 1h 12 min.
12. 24 escriturários, trabalhando 4 horas por dia, exami-
nam 120 processos em 30 dias; 32 escriturários, três 
vezes menos ativos do que os primeiros, trabalhando 
6 horas por dia, examinam 80 processos, duas vezes 
mais difíceis d que os primeiros, em quantos dias?
a) 100 dias. c) 115 dias. e) 120 dias.
b) 110 dias. d) 118 dias.
13. Se 100 raposas comem 100 galinhas em 100 minutos, 
50 raposas comem 50 galinhas em quantos minutos?
a) 50 min. c) 150 min. e) 250 min.
b) 100 min. d) 200 min.
GABARITO
 1. 160kw 6. 12,5 dias 11. d
 2. 30 operários 7. a 12. e
 3. e 8. d 13. b
 4. a 9. b
 5. d 10. a
PORCENTAGEM
Porcentagem é toda razão onde o conseqüente é igual 
a 100 e é indicado pelo símbolo %. 
 100
% xx =
 (lê-se: x por cento)
Exemplo1:
003,0
100
3,0%3,0 ==
Um método de resolução de problemas envolvendo 
porcentagem é a utilização da regra de três simples. 
Devemos considerar que, 100% equivale a uma parte inteira 
(1) do problema aser analisado.
Exemplo2:
Em uma sala de aula 60% dos alunos são do sexo 
feminino, sabendo que nessa classe há um total de 40 
alunos, qual o número de alunas?
Resolução:
“40 representa o total de alunos na sala de aula, ou 
seja, a fração inteira na qual equivale a 100% da classe”. 
Utilizando a regra de três simples, temos que:
40 alunos——————————100%
x alunos——————————60%
 ⇒ ⇒ 
⇒ ⇒ 5
120
=x
 ⇒ x = 24
R: 24 alunas
 
22
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA
Generalizando a forma de calcularmos a porcenta-
gem de um determinado valor absoluto através da regra 
de três simples, podemos definir a seguinte expressão 
matemática:
x ———————— 100%
y ———————— Z%
 %
%100.
Z
yx =
 ou %100
%. Zxy =
Exemplo3:
Calcular 30% de 150 = = 45
EXERCÍCIOS
 1. Numa prova de 50 questões, quem errou 16 questões 
acertou:
a) 16% das questões d) 50% das questões
b) 32% das questões e) 68% das questões
c) 34% das questões
 2. Dois embrulhos pesam 3 kg e 21 kg, respectivamente. 
A porcentagem correspondente ã razão entre eles é 
(mais leve ou mais pesado):
a) 14,28% c) 
%
3
1
 e) 4,32%
b) 0,14% d) 3%
 3. Numa cidade, a frota de táxi é estimada em 500 veí-
culos. Se frota aumentar 16%, quantos táxis passaram 
a circular pela cidade?
 4. (ECT/2001) Em um restaurante, sobre o valor total 
gasto por pessoa, é acrescido 10% para pagamento 
do garçom. Esse novo valor (valor gasto acrescido de 
10%) será o total da conta. Se um cliente recebe sua 
conta no valor de R$ 57,20, então o valor que será 
destinado ao garçom vale:
a) R$ 5,20 c) R$ 5,72 e) R$ 10,00
b) R$ 5,50 d) R$ 6,35
 5. (ECT/2001) Certo produto sofreu um aumento de 20% 
e, alguns dias depois, é dado um novo aumento de 
10% sobre o preço atual (com o aumento anterior). O 
aumento total que esse produto sofreu foi de:
a) 30,0% c) 31,0% e) 33,3%
b) 30,2% d) 32,0%
 6. janeiro, uma loja em liquidação decidiu baixar todos os 
preços em 10%. No mês de março, frente a diminuição 
dos estoques a loja decidiu reajustar os preços em 10%. 
Em relação aos preços praticados antes da liquidação de 
janeiro, pode-se afirmar que, no período considerado, 
houve:
a) um aumento de 0,5%
b) um aumento de 1%
c) um aumento de 1,5%
d) uma queda de 1%
e) uma queda de 1,5%
 7. Desprezando-se qualquer tipo de perda, ao se adicionar 
100 g de ácido puro a uma solução que contém 40 g de 
água e 60 g deste ácido, obtém-se uma nova solução 
com:
a) 75% de ácido. d) 90% de ácido.
b))80% de ácido. e) 95% de ácido.
c) 85% de ácido.
 8. (CEF/1991) Num grupo de 400 pessoas, 70% são do 
sexo masculino. Se, nesse grupo, 10% dos homens 
são casados e 20% das mulheres são casadas. Qual o 
número de pessoas solteiras?
 9. (Metrô-Técnico de Contabilidade/1994) João, Antônio 
e Ricardo são operários de uma certa empresa. Antônio 
ganha 30% a mais que João, e Ricardo, 10% a menos 
que Antônio. A soma do salário dos três, neste mês, foi 
de R$ 4.858,00. Qual a quantia que coube a Antônio?
10. (Pol. Rod. Fed.) uma pesquisa realizada na Grã-Breta-
nha mostrou que no primeiro semestre deste ano 295 
doentes cardíacos precisaram de transplantes, mas só 
131 conseguiram doadores. O percentual aproximado 
de pacientes que não conseguiram o transplante é:
a) 31% c) 44% e) 64%
b) 36% d) 56%
GABARITO
 1. E 6. D 
2. A 7. B 
3. 580 8. 348 
4. A 9. R$ 1.820,00 
5. E 10. D 
SIMBOLOS MATEMÁTICOS
∈ - pertence
∉ - não pertence
 / - tal que
⊂ - está contido
⊄ - não está contido
⊃ - contém
⊃ - não contém
 ø - conjunto vazio
∀ - para todo e qualquer que seja
∃ - existe
? - não existe
⇒ - implica
⇔ - dupla implicação
A ∩ B - “A” intersecção “B”
A ∪ B - “A” união “B”
a > b - “a” maior que “b”
a ≥ b - “a” maior ou igual a “b”
a