Equacoes_Inequacoes_Modulo de um Numero Real

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Notas de aula: 15_Equações_Inequações_Módulo_Operações 
TÓPICOS 1 
Profa. Angelita Minetto Araújo 
UTFPR 
DAMAT 
 
1 
 
Aula 15 – EQUAÇÕES_INEQUAÇÕES_MÓDULO DE UM 
NÚMERO REAL_OPERAÇÕES 
 
 Uma equação é uma igualdade matemática que envolve uma ou 
mais incógnitas (variáveis desconhecidas). São representadas 
usando o símbolo de igual (=). 
 variável e incógnita são conceitos diferentes: a incógnita tem valor 
único, só pode ter uma solução (exemplo: na equação 2x + 3 = 7 a 
incógnita x só pode ter um valor: 2). 
 uma variável pode ter diferentes valores (exemplo: na equação x+y 
= 20, existem infinitos pares de soluções (dependendo do conjunto de 
números que é tido como universo). 
 
 Para resolver uma equação, precisamos encontrar o valor da 
incógnita que torna a igualdade verdadeira. 
 
 Uma inequação é uma desigualdade matemática que envolve uma 
ou mais incógnitas. São representadas usando os seguintes 
símbolos de desigualdade: 
 maior que: > 
 menor que: 4 
b. 3( 𝑦 − 5) − 4( 𝑦 + 6) ≤ 7 
c. 
2𝑥−3
3
−
5𝑥+4
6
> 5 −
3𝑥
8
 
d. 0 0
−𝑥 + 4 ≥ 0
 
 
Resoluções: 
 
a. 5 − 3 𝑥 > 4 
 isolar a variável: 
−3 𝑥 > 4 − 5 
−3 𝑥 (−1) > −1 (−1) 
 3𝑥 5 −
3𝑥
8
 
 
16𝑥 − 24 − (20𝑥 + 16)
24
>
120 − 9𝑥
24
 
16𝑥 − 24 − 20𝑥 − 16
24
>
120 − 9𝑥
24
 
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4 
 
 
−4𝑥 − 40
24
> 
120 − 9𝑥
24
 
−4𝑥 + 9𝑥 > 40 + 120 
5𝑥 > 160 
𝑥 > 32 
R: Conjunto solução: {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 > 32} 𝑜𝑢 (32, ∞) 
 
 
d. 0 5𝑥 ≥ −4 
3
5
> 𝑥 ≥ −
4
5
 
 
R: Conjunto solução: {𝑥 ∈ ℝ; −
4
5
≤ 𝑥 6 
 
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6 
 
 
Resposta: 
R: Conjunto solução: {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 > 6} 
 
f. {
3𝑥 − 4 > 0
−𝑥 + 4 ≥ 0
 
 
 
 
1. Determine o conjunto solução das desigualdades: 
 
a. 2 + 3𝑥 2 
 
d. 𝑥2 − 5 𝑥 + 6 ≤ 0 
 
e. 
𝑥
𝑥−3
 −3 
 
S = {x ∈ℝ| x > −3} 
 
 
 
b. 4 2 
7
𝑥
(𝑥) > 2(𝑥) 
7 > 2𝑥 
7
2
 >
2𝑥
2
 
 
7
2
 > 𝑥 
S = {x ∈ℝ| 𝑥 0 
𝑥 > 3 
 
 segundo: 
𝑥
𝑥−3
 (𝑥 − 3) 4 
 
Como deve ser: 𝑥 > 3 e 𝑥 > 4 
Logo, S = {x ∈ℝ| 𝑥 ≠ 3 e 𝑥 ≠ 4 } 
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MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
 
O módulo de um número real é o seu valor absoluto. 
 
Graficamente em uma determinada função para construir o 
gráfico basta observar a parte que tem ordenada negativa e 
rebatê-la simetricamente em relação ao eixo das abscissas. 
 
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A todo número real associa-se um valor absoluto, também 
chamado de módulo representado por |𝑥| e assim definido: 
 
|𝑥| = {
 𝑥, se 𝑥 ≥ 0
− 𝑥, se 𝑥 𝑎 ↔ 𝑝 𝑎. 
 𝑉𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑞𝑢𝑒 |𝑝| ≥ 𝑎 ↔ 𝑝 ≤ −𝑎 𝑜𝑢 𝑝 ≥ 𝑎. 
 
 se o valor absoluto de um número for maior que a quantidade 
positiva “a”, então ele é maior que “a” ou menor que o 
simétrico de “a” (-a). 
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: |𝑝| ≥ 15 , 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, 𝑝 ≥ 15 𝑜𝑢 𝑝 ≤ −15 
 |𝑝| > 4 , 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, 𝑝 > 4 𝑜𝑢 𝑝 0 
 
Ou seja, para 𝑏 > 0, a desigualdade |𝑥| B  A > B ou A1 
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−20 . Acesso em: 09 abr. 2014. 
 
SAFIER, Fred. Pré-Calculo. Grupo A, 2011. E-book. ISBN 9788577809271. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577809271/. Acesso em: 16 fev. 
2023. 
 
MEDEIROS, Valéria Z.; CALDEIRA, André M.; SILVA, Luiza Maria Oliveira da; et al. Pré-Cálculo. 
Cengage Learning Brasil, 2013. E-book. ISBN 9788522116515. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116515/. Acesso em: 05 mar. 
2023. 
 
STEWART, James; CLEGG, Daniel; WATSON, Salim. Cálculo Volume I -Tradução da 9ª edição 
norte-americana. Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 05 mar. 
2023. 
http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/nocoes-funcao.htm
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