AV1 - Atividade contextualizada - Cálculo vetorial e EDO

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ATIVIIDADE CONTEXTUALIZADA 
CÁLCULO VETORIAL E EDO 
DATA 
10/03/2025 
 
 
ATIVIIDADE CONTEXTUALIZADA: CÀLCULO VETORIAL E EDO 
 
DADOS DO (A) ALUNO (A): 
 
NOME: José Airton de Menezes Júnior MATRÍCULA: 01712051 
CURSO: Engenharia Elétrica POLO: Parangaba – Fortaleza -CE 
PROFESSOR(A) ORIENTADOR(A): Elias Arcanjo. 
 
Então vamos lá? 
 
No momento da modelagem do fluxo de um fluido, uma abordagem é expressar a 
velocidade de cada partícula individual no fluido. Para fazer isso, podemos descrever 
esse movimento utilizando uma função que usa como entrada as coordenadas de uma 
partícula, e cuja saída seja o vetor velocidade dessa partícula. Uma das formas de 
representar esse processo seria: 
 
∇, como vetor velocidade; 
X e y, coordenadas de posição; 
f, uma função com duas variáveis. 
 
Logo teríamos: 
 
∇ = f (x, y) 
 
Considere o fluxo de um fluído qualquer, que percorre uma tubulação localizada em 
um relevo que apresenta cotas diferenciadas ao longo de sua superfície. E que a 
função ∇ = x² y³ - 4y, representa a velocidade de cada partícula em movimento. 
Considerando essas informações, calcule o que se pede, em cada situação proposta: 
 
a) Calcular o vetor Gradiente desse fluxo, no ponto (2, -1) 
 
b) Calcular a derivada direcional em relação ao vetor t= 2i +5j, no ponto (2, -1) 
 
c) Calcular a máxima velocidade no ponto (2, -1) 
 
Após realizar suas reflexões, elabore um pequeno texto, contendo o máximo de 20 a 
30 linhas, expondo sua argumentação, acerca do solicitado. 
 
 
Dado: 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦3 − 4 
 
a) Calcular o vetor gradiente no ponto (2, -1) 
 
O vetor gradiente é dado por: 
 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (
∂𝑓
∂𝑥
,
∂𝑓
∂𝑦
) 
 
Derivada parcial em relação a x : 
 
∂𝑓
∂𝑥
=
∂
∂𝑥
(𝑥2𝑦3 − 4𝑦) = 2𝑥𝑦3 
 
Derivada parcial em relação a y: 
 
∂𝑓
∂𝑦
=
∂
∂𝑦
(𝑥2𝑦3 − 4𝑦) = 3𝑥2𝑦2 − 4 
 
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto (2, -1): 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|(2,−1) = 2(2)(−1)3 = 2 × 2 × (−1) = −4 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
|(2,−1) = 3(2)2(−1)2 − 4 = 3 × 4 × 1 − 4 = 12 − 4 = 8 
 
Portanto, o vetor gradiente é: 
 
∇𝑓(2,−1) = (−4,8) 
 
 
b) Calcular a derivada direcional no ponto (2, -1), na direção do vetor 
 
A derivada direcional é dada por: 
 
𝐷𝑡𝑓 = ∇𝑓 ⋅ �̂� 
 
Onde �̂� é o vetor unitário na direção de t. 
 
Primeiro, calculamos o vetor unitário: 
 
�̂� =
𝑡
|𝑡|
=
(2,5)
√22 + 52
=
(2,5)
√4 + 25
=
(2,5)
√29
 
 
Agora, aplicamos o produto escalar: 
 
𝐷𝑡𝑓 = (−4,8) ⋅
(2,5)
√29
 
 
𝐷𝑡𝑓 =
(−4)(2) + (8)(5)
√29
 
 
𝐷𝑡𝑓 =
−8 + 40
√29
=
32
√29
 
 
 
 
c) Calcular a máxima velocidade no ponto (2, -1) 
 
A máxima taxa de variação ocorre na direção do vetor gradiente, e seu valor máximo 
é dado pelo módulo do vetor gradiente: 
 
Máxima velocidade = |∇𝑓(2,−1)| 
 
|∇𝑓(2,−1)| = √(−4)2 + 82 
 
|∇𝑓(2,−1)| = √16 + 64 = √80 = 4√5 
 
Respostas finais: 
 
a) Vetor gradiente = ∇𝑓(2,−1) = (−4,8) 
b) Derivada direcional = 
32
√29
; 
c) Máxima velocidade = 4√5 
 
 
Texto argumentativo: 
 
O tema apresentado nesta avaliação nos mostra a importância no estudo do 
comportamento de um fluido em movimento, tal estudo é essencial para diversas 
áreas da engenharia e da física. No contexto proposto, temos uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2𝑦3 − 4𝑦 que representa a velocidade de cada partícula do fluido. Para compreender 
esse fluxo, analisamos três aspectos fundamentais: o vetor gradiente, a derivada 
direcional e a máxima velocidade no ponto específico (2, -1). 
Inicialmente, ao calcular o vetor gradiente, determinamos que ele é dado por ∇𝑓(𝑥, 𝑦) 
= (2𝑥𝑦3, 3𝑥2𝑦2 − 4) Esse vetor representa a direção e a taxa máxima de variação da 
função naquele ponto. Avaliando no ponto indicado, obtivemos ∇𝑓(2, −1) = (−4,8) , 
indicando que o maior crescimento da função ocorre na direção desse vetor. 
Em seguida, para calcular a derivada direcional na direção do vetor t= 2i +5j, foi 
necessário normalizar esse vetor. A derivada direcional obtida foi 
32
√29
, revelando a taxa 
de variação da velocidade na direção desejada. Essa informação é crucial para prever 
o comportamento do fluido quando sujeito a condições externas ou mudanças na 
geometria do ambiente. 
Por fim, determinamos que a máxima velocidade no ponto dado é 4√5. Esse valor 
corresponde ao módulo do vetor gradiente, representando a maior intensidade que o 
campo de velocidade pode atingir naquele ponto. 
Esses resultados mostram que o vetor gradiente é uma ferramenta poderosa na 
análise de fluxos de fluidos, sendo essencial para otimizar processos industriais, 
prever o comportamento de escoamentos e até mesmo projetar sistemas hidráulicos 
mais eficientes. Assim, compreender e aplicar esses conceitos permite uma melhor 
tomada de decisão em problemas práticos envolvendo dinâmica de fluidos. 
 
Referências bibliográficas: 
 
Livro: Ebook_Cálculo Vetorial e Edo_SER (Versão Digital); 
 
Apostila em PDF Funções de várias variáveis, disponível em: chrome-
extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www.feg.unesp.br/Home/Pagin
asPessoais/profandreamarante/disciplinas/2023_cdi-ii_mat_apostila_ernesto.pdf , 
acesso em 01/03/2025; 
 
Livros de Cálculo e Matemática Aplicada "Cálculo Multivariável" Autor: James Stewart, 
Editora: Cengage Learning, Ano: 2015.