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USP/ICMC/SME - 2a. LISTA de EXERCÍCIOS de Álgebra Linear e Equações Diferenciais
Profs. Paulo A. Faria da Veiga - Março de 2024
Observação: Como na 1a. lista, para conjuntos X,Y ̸= ∅, F(X;Y ) denota o conjunto de todas as funções
f : X → Y . Cn(R) denota o conjunto das funções reais sobre R com n = 0, 1, 2, . . . derivadas cont́ınuas.
Exerćıcio 1. Mostre que os vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1) e w = (2, 1, 2) são LD.
Exerćıcio 2. Sejam os vetores v1 = (−1, 0, 2) e v2 = (−1, 2, 4) em R3. Determine se os vetores v =
(−1, 1, 3) e u = (1, 2, 2) são combinações lineares de v1 e v2.
Exerćıcio 3. Mostre que {1, ex, e2x, e3x, e4x} é um conjunto LI no espaço C∞(R). Determine o espaço
gerado por estas duas funções.
Exerćıcio 4. Sejam f(t) = et e g(t) = e3t ∈ F(R,R). Determine todas as combinações lineares satisfazendo
af + bg = 0, a e b escalares.
Exerćıcio 5. Se uma função de C∞(R) é combinação linear de outras, então as suas derivadas sucessivas
são combinações lineares (com os mesmos coeficientes) das derivadas dessas outras. Utilize este resultado
para mostrar que {ex, e2x, x3, x2, x}, é um conjunto LI.
Exerćıcio 6. Mostre que os polinômios seguintes são linearmente independentes:
p(x) = x3 − 5x2 + 1, q(x) = 2x4 + 5x− 6, r(x) = x2 − 5x+ 2.
Exerćıcio 7. No espaço P≤3(R), verifique se os seguintes polinômios são LI ou LD:
p(x) = x3 − 3x2 + 5x+ 1, q(x) = x3 − x2 + 6x+ 2, r(x) = x3 − 7x2 + 4x.
Exerćıcio 8. Analise se as funções f(t) = sen t e g(t) = cos 3t são LI ou LD, x ∈ R. O mesmo para o
conjunto {cosx, ex, lnx}, x > 0.
Exerćıcio 9. Mostre que o espaço gerado pelos vetores (2, 1, 2) e (1, 2, 1) de R3 é o conjunto {(x, y, z) ∈
R3 : x = z}. Verifique que este conjunto é um subespaço de R3.
Exerćıcio 10. Mostre que os vetores u = (1, 1) e v = (−1, 1) forman uma base de R2. Expresse cada um
dos vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) como combinação linear dos elementos desta base.
Exerćıcio 11. Mostre que os subespaços gerados pelos subconjuntos
{(1,−1, 1), (3, 0, 1)} e {(−2,−1, 0), (5,−2, 3)}
de R3 são iguais, e que este subespaço está estritamente contido em R3, isto é, é um subconjunto próprio
de R3.
Exerćıcio 12. Obtenha o subespaço de M2(R) gerado pelas matrizes A1 =
(
1 0
0 −1
)
, B =
(
0 1
0 0
)
e
C =
(
0 0
1 0
)
.
Exerćıcio 13. Mostre que as matrizes A, B e C seguintes, são LI: A =
(
1 1
0 0
)
, B =
(
1 0
0 1
)
,
C =
(
1 1
1 1
)
.
Exerćıcio 14. Mostre que os polinômios 1, x− 1 e x2 − 3x+ 1 forman uma base de P≤2(R). Expresse o
polinômio 2x2 − 5x+ 6 como combinação linear dos elementos desta base.
Exerćıcio 15. Encontre uma base de cada um dos seguintes subespaços de R4:
(a) F = {(x1, x2, x3, x4);x1 = x2 = x3 = x4};
(b) G = {(x1, x2, x3, x4);x1 = x2 e x3 = x4};
(c) H = {(x1, x2, x3, x4);x1 + x2 + x3 + x4 = 0}.
Exerćıcio 16. Sejam u, v ∈ V vetores linearmente independentes. Dados α ̸= 0, mostre que o conjunto
de dois elementos {v, v + αu} é uma base do subespaço gerado pelos vetores v, v + u, v + 2u, . . . , v + nu, . . .
Exerćıcio 17. Mostre que os vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (1, 4, 9) forman uma base de R3.
Expresse cada um dos vetores e1, e2, e3, da base canônica de R3, como combinação linear de u, v e w.
Exerćıcio 18. Encontre uma solução não-trivial para o sistema linear algébrico homogêneo:
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
2x1 + x2 + x3 − x4 = 0
3x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = 0
.
A partir desta solução, obtenha uma combinação linear nula dos vetores v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 1,−2),
v3 = (3, 1, 1), v4 = (4,−1,−2) em que os coeficientes não sejam todos zero.
Exerćıcio 19. Dado o sistema linear homogêneo genérico:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = 0
...
...
... . . .
...
...
...
an1x1 + an2x2 + an3x3 + . . . + annxn = 0 ,
.
com coeficientes todos reais, considere os vetores de Rn dados por v1 = (a11, a21, . . . , an1), v2 = (a12, a22, . . . , an2),
..., vn = (a1n, a2n, . . . , ann) e a matriz quadrada A = [v1, v2, . . . , vn] ∈ Mn(R) por eles gerada. Mostre que
o sistema linear apresenta solução trivial única se e somente se A é regular ou não singular, isto é, se
detA ̸= 0, ou, equivalentemente, se v1, v2, ,,,, vn são LI . O que você pode dizer sobre as soluções do
sistema se v1, v2, ,,,, vn são LD?