Avaliação I - análise matemática

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GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:1019475)
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Prova 99921070
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 9/1
Nota 9,00
Quando conhecemos as propriedades de um conjunto X, por muitas das vezes, podemos aferir 
condições existentes para quaisquer subconjuntos não-vazios de X. Pois os subconjuntos carregam as 
propriedades e características do conjunto em que estão contidos. Sobre as propriedades que qualquer 
subconjunto X não-vazio dos naturais possuem, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para 
as falsas: 
( ) X é infinito.
( ) X é limitado.
( ) X possui elemento neutro.
( ) X possui um maior elemento.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - F.
B F - F - V - V.
C V - F - V - V.
D F - V - F - V.
Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. Porém, os mais importantes da 
matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Baseado nestes 
casos, assinale a alternativa CORRETA que pode ser provada pelo método da indução:
A Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
B Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
C Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
D Teorema de Tales.
Os conjuntos com uma infinidade de elementos, também chamados de conjuntos infinitos, têm 
propriedades que muito intrigaram e surpreenderam os matemáticos ao longo da história. Por este 
motivo, várias são as possibilidades dentro da analise matemática para comprovar que um conjunto é 
infinito. Para concluir que um conjunto é infinito, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para 
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as falsas, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B V - V - F - F.
C F - V - V - F.
D V - V - V - F.
O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos 
números naturais. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro 
do campo da Matemática, pois entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender 
os números naturais. A respeito dos procedimentos do método indutivo, analise as sentenças a seguir:
I- Verificar se P(1) é verdadeira.
II- Negar P(n).
III- Supor válida P(n).
IV- Concluir P(n+1) válida.
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I, II e III estão corretas.
B As sentenças I, III e IV estão corretas.
C As sentenças III e IV estão corretas.
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D As sentenças I e IV estão corretas.
Normalmente, o ato de somar nos remete a um processo simples. Porém, na análise matemática, 
podem ser provadas várias propriedades da adição dos números naturais. Estas provas podem ser 
feitas por indução, e não são tão simples quanto o usual ato de somar números. Sobre quais são 
propriedades dos números naturais, analise as opções a seguir:
I- Comutatividade.
II- Associatividade.
III- Elemento inverso.
IV- Lei do corte.
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções I e II estão corretas.
B As opções III e IV estão corretas.
C As opções I, II e IV estão corretas.
D As opções II e III estão corretas.
Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito curta 
e intuitiva, porém a pratica pode ser muito complicada. Para demonstrar alguma proposição por 
absurdo você deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da 
negação implica que a negação é falsa, que de acordo com a hipótese inicial, torna a negação falsa e a 
afirmação verdadeira. Baseado nesta técnica, analise as sentenças a seguir que podem ser provadas 
por redução ao absurdo:
I- Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0.
II- Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável.
III- Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n².
IV- Provar que raiz de 3 é irracional.
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I, II e IV estão corretas.
B As sentenças I e IV estão corretas.
C As sentenças I e II estão corretas.
D As sentenças II e III estão corretas.
O conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...} é usado para contagens. De tão natural, IN é chamado de 
conjunto dos números naturais, o primeiro conjunto numérico que aparece na história de qualquer 
civilização ou em qualquer tratado sobre os fundamentos da Matemática. Quanto à característica dos 
números naturais, analise as sentenças a seguir:
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I- As propriedades do conjunto dos números naturais podem ser demonstradas a partir dos axiomas de 
Peano.
II- Todo número natural n tem sucessor e é sucessor de alguém, salvo o número 0, que não tem esta 
segunda propriedade.
III- O conjunto dos números naturais é bem ordenado, através do conceito de 'maior que'.
IV- Ao compararmos dois números naturais, obrigatoriamente, ou um é menor do que o outro, ou eles 
são iguais (propriedade da tricotomia).
A As sentenças I, II e IV estão corretas.
B As sentenças I e III estão corretas.
C As sentenças I e IV estão corretas.
D As sentenças II e III estão corretas.
Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da análise matemática, faz-se 
necessário construir os raciocínios ligados aos métodos de transformação. A parte mais importante e 
mais complicada talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo 
teorema, propriedade ou proposição. Baseado nisto, para mostrar que a raiz de 2 é irracional, o tipo 
mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por:
A Absurdo.
B Contradição.
C Indução.
D Prova Direta.
Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. No entanto, os mais importantes da 
matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Sobre a 
sentença que pode ser provada pelo método da demonstração direta, assinale a alternativa CORRETA:
A Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
B Teorema de Tales.
C Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
D Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que intuitivamente 
parecem ser bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é fruto de uma grande 
quantidade de anos, onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo que, hoje ainda existem 
problemas matemáticos ainda não resolvidos. Logo, partindo de um fato simples, a soma de números 
naturais, analise as sentenças que são provadas matematicamente:
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I- Seja n um número natural qualquer, então a soma m + n está bem definida para todo número natural 
m.
II- Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p).
III- Sejam m, n, temos que m + n = m + (-n).
IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a sentença I está correta.
B As sentenças I, II e IV estão corretas.
C As sentenças II e III estão corretas.
D As sentenças I e II estão corretas.
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