Aula 03

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DESENVOLVIMENTO DE 
PROJETOS DE MODELAGEM 
MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO 
BÁSICA 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Fabio Mendes Teófilo e Prof.ª Rafaella Borsatti Gurczakoski 
 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Abordaremos aqui as etapas de um projeto de modelagem matemática. 
Este material tem como intenção oportunizar a identificação das 
potencialidades do uso de materiais manipuláveis para o processo de ensino de 
matemática. 
Acreditamos que o uso de materiais manipuláveis como metodologia 
alternativa para o ensino de matemática possa auxiliar os educandos a 
construírem os conhecimentos. Aqui, vamos abordar as possibilidades e a 
diversidade de materiais manipuláveis para as aulas de matemática, bem como 
uma proposta de interação sugerindo formas de utilização de alguns materiais. 
Consideramos sempre válido destacar que entendemos que, para toda 
prática de ensino proposta, independentemente do meio de que se aproprie, se 
fará sempre necessário compreender quais são os construtos teóricos que a 
conectam à aplicação dos processos de ensino. 
A maioria dos autores de referência pesquisados durante o 
desenvolvimento deste texto aponta a eficácia do uso de metodologias 
alternativas – neste caso, em especial, os materiais manipuláveis no ensino de 
matemática, sendo que a utilização desses materiais possibilita obter resultados 
positivos e significativos na aprendizagem. 
TEMA 1 – ETAPAS DE UM PROJETO DE MODELAGEM MATEMÁTICA: 
INTERAÇÃO 
Nesta etapa, a situação a ser estudada será delineada e, para torná-la 
mais clara, deverá ser feita uma pesquisa sobre o assunto escolhido por meio 
de materiais diversos (livros, sites, revistas etc.). 
É neste momento que o professor conduz o aprendiz ao reconhecimento 
da situação-problema e promove uma familiarização com o assunto a ser 
modelado, trazendo o referencial teórico. As discussões nesta etapa devem 
promover a delimitação do tema em conjunto entre alunos e o professor 
especialista da área, realizando o cruzamento de dados (os já conhecidos e os 
trazidos pelos estudantes, os encontrados nas pesquisas preliminares e os 
propostos pelo professor com o objetivo de mediação e estímulo para a 
descoberta e/ou construção de novos conhecimentos). 
 
 
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Com o intuito de facilitar a compreensão desta etapa, vamos seguir as 
definições de Biembengut e Hein (2007), que subdividem esta etapa em duas 
outras subetapas. A primeira delas é o Reconhecimento da situação-problema. 
Este reconhecimento está intimamente ligado à escolha do tema. O professor 
estimula os alunos a trazerem situações do cotidiano e, dentro destas, um tema 
será escolhido. 
Assim definido, dentro da proposta de tema, devemos encontrar uma 
situação-problema, ou seja, algo a ser resolvido (se for identificado como um 
problema), melhorado (se for identificado como algo que funciona, mas pode ser 
mais eficiente) ou até mesmo somente compreendido (se for algo que desperta 
o interesse em saber como se dá, por exemplo). 
Uma relevante discussão neste momento é o ponto levantado por 
D´Ambrosio (2004), relatando que o indivíduo, quando recebe estímulos do 
ambiente, natural e imaginário, tende a partir para a ação. Porém, devemos nos 
atentar que a realidade que o aluno vivencia em sala de aula nem sempre 
favorece ou propicia ações significativas. Tal afirmação dá legitimidade à 
proposta de trabalharmos com a modelagem matemática. 
Devemos enfatizar o papel dos professores nesse processo. A 
necessidade de refletir sobre a oportunidade de transformar a sala de aula em 
um ambiente de excelência na educação oportuniza o processo criativo, que 
representa uma tentativa de produzir algo, de dar forma a um objeto, uma ideia, 
uma sequência de ações. Principalmente quando se trata de matemática, o 
processo criativo precisa visar a problematização, ou seja, dar forma de 
problema às situações que surgem na realidade, nas quais o aluno se encontra 
e se expressa, e ao mesmo tempo começa a reconhecer-se disciplinado. 
Ainda nesse sentido, as questões colocadas pelo aluno precisam ser 
compreendidas como oportunidades oferecidas a ele pelo professor para moldar 
“algo novo”, estabelecer novas coerências, relacionar fenômenos de novas 
formas e compreender de uma nova forma. Diferentes maneiras têm seu próprio 
significado. Esse ato criativo pode representar aspectos importantes que podem 
desenvolver uma consciência mais profunda e positiva entre professores e 
alunos sobre o que significa lidar com situações problemáticas no ensino da 
matemática. 
É importante desenvolver ações que promovam a problematização para 
poder avaliar a possibilidade de mudança, tanto na minha prática quanto entre 
 
 
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os colegas da escola onde a pesquisa será realizada. Portanto, este material faz 
algumas perguntas para refletir a prática de ensino envolvendo modelagem 
matemática: 
• Como os alunos entendem as atividades envolvidas no contexto do 
problema, identificam os dados disponíveis e os interpretam para chegar 
a uma resposta? 
• Quão bem o professor se saiu nessas atividades? Qual é o 
comportamento dele diante da situação que surge na atividade? 
• Como a conscientização de professores e alunos contribui para o seu 
desenvolvimento em relação às suas realidades? 
Após reconhecer o problema, o aprendiz precisa agora buscar a 
familiarização com o assunto a ser modelado. É de extrema relevância se 
observar que, quanto o maior o tempo disponibilizado para este momento, 
melhores e mais evidentes serão os resultados dos trabalhos. 
Esta etapa processual visa ganhar intimidade com a proposta-problema e 
iniciar a relação da solução desta com a matemática. Aqui, o professor precisa 
estar atento a necessidade de criar as conexões necessárias para que se 
cumpra essa relação. Por isso é de suma importância que o professor esteja 
preparado para a aplicação dos conceitos matemáticos às práticas e situações 
da vida real. Desafiador, não é? 
Na maioria das vezes, seja um professor ou um aluno escolhendo um 
tema, ele está tentando entender os fatos, formular modelos e dar sentido a eles, 
usando a matemática para isso. Escolha um tema da realidade dos alunos e 
aplique-o ao conteúdo aprendido, ou use o conteúdo para resolver um problema 
comum em nossa realidade. A modelagem matemática pode criar conexões 
entre a matemática do currículo escolar e as realidades dos alunos. 
TEMA 2 – MATEMATIZAÇÃO 
A Matematização é a aplicação de conceitos, procedimentos, relações ou 
métodos matemáticos a objetos, informações ou conceitos na realidade, ou em 
outras áreas do conhecimento. Com essa constatação em mente, podemos 
admitir que a matematização sempre acompanhou o desenvolvimento humano. 
René Descartes (1596-1650), por exemplo, estabeleceu o que mais tarde 
chamaríamos de geometria analítica, se esforçando para mostrar que podia usar 
 
 
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postulados da matemática para descrever a forma e o movimento dos objetos, 
para explicar e analisar fenômenos naturais, usando figuras desenhadas com 
linhas e curvas. 
Dada uma gama de atividades humanas, a possibilidade dessa 
matematização têm crescido e se desenvolvido ao longo do tempo. Como já se 
pôde observar na época de Galileu e Descartes e ao analisarmos as últimas 
décadas, também podemos constatar a popularidade social de noções 
matemáticas, embora a maioria dos que as utilizam não tenham plena 
consciência disso. 
Professores e educadores, de modo geral, entendem que a busca por 
possibilidades para matematizar nas aulas de matemática vêm merecendo 
atenção em diferentes linhas de estudo e de pesquisa na área de Educação 
Matemática. 
Uma destas linhas, que é aquela a que nos reportamos especificamente 
aqui, é a Modelagem Matemática. A principal contribuição da atividade de 
modelagem é a investigação em sala de aula. A investigação toma o problema 
como ponto de partida, a intenção na busca, a formulação de hipótesescomo 
obstáculos para indicar a direção e diferentes soluções matemáticas como 
possibilidades de resolução de um problema. 
Essa caracterização da modelagem sugere que a matematização faz 
parte do desenvolvimento das atividades de modelagem matemática. A 
incorporação da matematização na modelagem tem se expressado em ciclos, 
nos quais diferentes autores têm se associado ao desenvolvimento das 
atividades de modelagem, tornando-se também uma etapa desse 
desenvolvimento. 
Esses ciclos podem ser vistos como “cenários” destinados a indicar o 
caminho que um modelador pode seguir para desenvolver uma atividade de 
modelagem matemática, explicando as etapas associadas a esse 
desenvolvimento. O conceito de loops, por exemplo, visa indicar os aspectos 
dinâmicos das atividades de modelagem para que as etapas anteriores possam 
ser retomadas quando apropriado. 
Bassanezi (2002) enfatiza que, ao utilizar a modelagem matemática, 
devemos lembrar que o mais importante não é o sucesso imediato do modelo, 
mas os passos seguidos para sistematizar e aplicar o conteúdo matemático. 
 
 
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A modelagem matemática, como ferramenta, busca a resposta para uma 
questão cuja origem não costuma ser a prática da matemática propriamente dita. 
A sugestão é que essa resposta esteja vinculada a um modelo matemático que, 
segundo Lesh (2006), é um sistema conceitual que, por sua vez, pode ser 
descritivo ou explicativo, expressando outro sistema que permite soluções e/ou 
previsões. 
Pode-se dizer que um modelo matemático propõe a matematização para 
descrever, explicar e prever o comportamento da situação e do fenômeno em 
estudo por meio de uma linguagem, incluindo desde a escrita de símbolos até o 
uso de tabelas e gráficos. Ou seja, uma modelagem matemática trata de 
observações de situações não-matemáticas, mas que podem ser matematizadas 
e então resolvidas pela própria matemática. 
Galbraith (2012) apontou que a matematização é um dos atos de mediar 
a transição entre problemas práticos e a obtenção de modelos matemáticos. 
Notavelmente, para esses autores, a matematização também parece 
estar associada à formulação de pressupostos e à definição de variáveis para 
dar suporte à construção de modelos matemáticos. A sugestão dos autores é 
que é necessário evitar que os alunos ignorem os fatores situacionais nas aulas 
de matemática e com base na percepção (muitas vezes falsa) de que a 
matemática escolar está de alguma forma desconectada de todos os aspectos 
da vida externa. A matematização tenta trazer esses fatores contextuais à tona. 
No mesmo sentido, Ferri (2006) inclui explicitamente o que ela denomina 
como conhecimento extra matemático. Este conhecimento, segundo a autora, 
seria proveniente de outras áreas de conhecimento e experiências de cada 
indivíduo, sendo elementos fundamentais para a construção de um modelo 
matemático. Ao detalhar seu entendimento sobre a matematização, a autora 
argumenta que a transição dos modelos reais para os matemáticos ocorre de 
forma que os indivíduos progridam na matematização. Além disso, os indivíduos 
exigem muito conhecimento matemático adicional (dependendo de cada 
atividade de modelagem) e o utilizam para construir modelos matemáticos. 
O que os autores parecem apontar é que a matematização aumenta ao 
longo do desenvolvimento das atividades de modelagem, à medida que o 
modelador adquire conhecimentos matemáticos adicionais. 
 
 
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Biembengut (1999) referiu-se à matematização como a etapa de "traduzir" 
uma situação-problema para a linguagem matemática. Intuição, criatividade e 
experiência acumulada são elementos essenciais neste processo. 
Em temos gerais, o que podemos compreender é que, se por um lado, a 
Modelagem Matemática incorpora a matematização, por outro lado, ela é uma 
ação que, efetivamente, define como a relação entre o fenômeno e a matemática 
vai ser realizada. O sucesso ou o insucesso dos alunos em uma atividade que 
envolva a modelagem matemática, no que se refere à obtenção de uma solução 
adequada, está em grande medida associado ao sucesso ou ao insucesso da 
matematização que realizam. 
TEMA 3 – RESOLUÇÃO 
Nas atividades cotidianas, as pessoas estão envolvidas em situações que, 
por vezes, exigem decisões a serem tomadas, algumas simples, como mudar de 
um bairro para outro da cidade, trocar uma lâmpada, preparar refeições para a 
família, por exemplo. Outras decisões precisam de esforço para entender e se 
executar, como consertar algo no motor de um carro que não está funcionando, 
quando não há acesso a equipamentos suficientes e não há profissionais da área 
por perto. Cada um desses exemplos "comuns" indica um problema, uma 
situação que requer pensamento e reflexão sobre como chegar a uma solução. 
Os problemas surgem quando uma pessoa percebe que existe uma 
lacuna entre uma situação que não sabe como resolver e uma situação que 
deseja resolver. Em algum momento, uma pessoa quase sempre está envolvida 
em uma situação ou circunstância que requer uma solução, uma decisão ou 
mesmo um desejo de criar ou recriar algo. 
Ao buscar a solução de um problema, seja um problema específico como 
costuma ocorrer, seja expressando, (re)criando algo, uma entidade, significa 
refletir sobre como e por quais meios um fim desejado pode ser alcançado. 
Quando isso não é conhecido, ou quando o que está disponível não está 
imediatamente disponível, se estimula o pensamento. Quando é estimulado, a 
solução pode vir de um pensamento repentino, ou requerer pensamento 
constante sobre ele, o que permite que múltiplas abordagens estejam 
disponíveis, possíveis soluções, e até confirmação de soluções mais adequadas 
ou corretas. 
 
 
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Na solução de alguns problemas não rotineiros, a participação ativa em 
determinadas ações às vezes requer uma heurística - um conjunto de regras e 
métodos que orientam o usuário a uma solução ou descoberta. Um dos 
propósitos da construção de uma heurística é orientar não apenas a solução de 
um determinado problema, mas especificamente a situação problemática 
presente na comunidade, cuja solução leva a melhores condições para a própria 
comunidade. 
Uma pessoa pode abordar certos tipos de problemas de maneiras 
diferentes, cada uma mais ou menos apropriada para o tipo. Alguns autores 
defendem a quebra do problema em partes, enquanto outros sugerem começar 
com o que se quer provar e a heurística mais adequada. Como Wallas (1858-
1932), John Dewey (1859-1952) e George Polya (1887-1985) propuseram 
heurísticas em suas obras, elas são citadas até hoje em trabalhos de educação 
matemática, especialmente. 
Dewey (1978) propôs um modelo mental de cinco estágios de resolução 
de problemas, denominados: identificar, definir, planejar, executar e investigar. 
Wallas (1921) o dividiu em quatro estágios, chamados de preparação, cultivo, 
inspiração e verificação. Polya (1981) também os divide em quatro fases: 
compreensão, planejamento, execução e revisão. 
Propomos então, dada a proximidade das propostas por estes autores, 
definir nossa abordagem pelas quatro etapas discriminadas a seguir. 
• Identificar a situação-problema: compreender a situação, levantar e 
analisar dados buscando identificar quais as possíveis relações entre 
estes. 
• Estabelecer procedimentos: buscar outras situações-problema similares, 
montar esquemas que possam caracterizar pontos em comum, identificar 
quais seriam os conhecimentos demandados neste caso. 
• Solucionar o problema: aplicar estratégias desenvolvidas a partir dos 
esquemas e conhecimentos demandados para a solução plausível. 
• Avaliar o resultado: realizar a validação e verificar a validade do resultado, 
se ele realmente resolveu o problema. 
É importante ressaltar que essas quatro etapas não são lineares, há um 
“ir e vir” de várias etapas. O fato é que, quando estamos perante um problema e 
não temos a informação, os meios disponíveis ou as pessoasa quem podemos 
 
 
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delegá-los, temos de adaptar uma certa forma de pensar: apelar a priori para as 
informações disponíveis e estabelecer formas de aquisição de novas 
informações. Esses procedimentos podem ser entendidos como “requisitos 
básicos” para qualquer tipo de atividade e como parte das recomendações 
pedagógicas para a educação matemática. 
Schoenfeld (1985), Gage e Berliner (1992) consideram que levar os 
estudantes a resolverem situações-problema é a própria razão para se ensinar 
Matemática. Para os autores, preceitua-se um método para a Resolução de 
Problemas nas práticas pedagógicas definido em três etapas, denominadas 
como se seguem. 
• Proposição: apresente uma situação-problema aos alunos e peça aos 
alunos que identifiquem fatos sobre a situação-problema; decomponha os 
dados; identifique incógnitas. 
• Ideação: levar os alunos a buscar significado no desconhecido; acumular 
soluções; perceber a relação entre as operações de implicação e 
(re)compreender as operações matemáticas; formular situações-
problema. 
• Síntese: peça-lhes que apliquem os dados, resolvam, avaliem as 
respostas, julguem as ideias resultantes. 
Essas etapas exigidas para a resolução de problemas permitem que os 
alunos, seja em matemática ou em outra área do conhecimento, combinem e 
aprimorem suas ideias, exercitando seus sentidos criativo e crítico à medida que 
são motivados a aprender mais sobre algo que lhe interessa das disciplinas. 
Essa prática pode motivar os alunos a buscar outras produções, de acordo com 
seus interesses. 
TEMA 4 – INTERPRETAÇÃO DE RESULTADOS 
A interpretação e validação dos resultados é a fase final e visa, para além 
da capacidade de aplicação de modelos matemáticos, desenvolver a capacidade 
de avaliação do processo de construção dos modelos e dos diferentes contextos 
em que são aplicados. Lembre-se que as etapas podem ser constantemente 
movidas para frente e para trás, pois as etapas anteriores, às vezes, precisam 
ser reformuladas ou analisadas. 
 
 
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É bastante curioso, mas, ao observarmos as práticas e as relacionarmos 
com outros estudos, percebemos que a interpretação dos resultados, em sua 
maioria, acontece conforme os alunos analisam o modelo matemático 
construído, ou seja, conforme eles desenvolvem e validam o modelo – 
principalmente quando se trata de um modelo algébrico – e conforme os alunos 
exploram características da situação-problema e as representam por meio de 
registros gráficos (criação de gráficos, diagramas e até mesmo fórmulas que 
equacionam soluções, por exemplo). 
A interpretação da matemática pode ser associada à compreensão do 
objeto matemático, ou seja, à medida em que o objeto matemático é 
compreendido, a matemática, relacionada aos aspectos específicos de cada 
representação, também será. A matemática é compreendida quando os alunos 
não apenas convertem os registros para ter acesso aos aspectos específicos do 
objeto matemático, mas quando essas transformações se complementam e os 
alunos coordenam os registros por eles utilizados. 
A compreensão do problema parece estar associada à conversão do 
registro algébrico para o registro em língua natural – que é quando a resposta 
do problema é dada, mas também quando os alunos validam o modelo e 
realizam modificações nos registros, de forma que eles atendam as 
especificidades da situação-problema investigada. 
TEMA 5 – VALIDAÇÃO 
Juntamente da interpretação, no que se refere à última fase da 
modelagem, a etapa da validação é a etapa em que se espera que os alunos 
consigam realizar interpretações dos resultados obtidos, para transpô-los para a 
linguagem natural, ou seja, consigam validar os modelos criados. 
Esta etapa visa, além da capacidade de construir e aplicar modelos, 
avaliar o processo de construção do modelo e os diferentes contextos de suas 
aplicações. Trata-se de desenvolver a percepção do uso de uma análise da 
representação matemática associada ao problema, levando em conta os 
procedimentos matemáticos envolvidos e a adequação da representação para a 
situação em estudo. 
A validação dos modelos obtidos acontece normalmente quando os 
alunos são provocados a associar as variáveis utilizadas – ou seja, naquele 
momento eles tiveram de refletir não apenas a respeito da questão da relação 
 
 
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da variável, mas também da relação com a situação-problema investigada e o 
problema proposto. Ela implica em uma compreensão do fenômeno 
problematizado (situação-problema), e da matemática utilizada para sua 
solução. 
NA PRÁTICA 
Os estudos revelam que, ao utilizar a modelagem matemática, o professor 
precisa estar ciente de que nenhum método sozinho é garantia de sucesso nos 
processos de ensino e aprendizagem. O sucesso na utilização de qualquer 
método depende em grande parte da concepção de ensino adotada, e do 
alinhamento desta com a proposta pedagógica que venha nortear a utilização 
desta nossa discussão na prática docente. 
Outro detalhe relevante é o olhar da utilização não enquanto elemento fim, 
mas como um meio, auxiliar e complementar. Dados os elementos trazidos aqui, 
como você reflete sobre a utilização de modelagem matemática em suas 
práticas? Acredita ser possível pensar em seu uso? 
FINALIZANDO 
 Trouxemos as etapas da aplicação da modelagem matemática. Iniciamos 
falando da etapa de interação, onde uma situação a ser estudada é delineada e 
para torná-la mais clara, deverá ser feita uma pesquisa sobre o assunto 
escolhido. Esta etapa pode contemplar outras duas subetapas: Reconhecimento 
da situação-problema; e Familiarização. 
 A segunda etapa é a matematização. Consiste em aplicar conceitos, 
procedimentos, relações ou métodos matemáticos a objetos, informações ou 
conceitos da realidade, ou de outras áreas de conhecimento. 
A próxima etapa é a da resolução, na qual o aprendiz é instado a pensar 
e refletir sobre como obter uma solução para um problema. No mesmo sentido, 
a etapa seguinte, de interpretação de resultados, busca desenvolver a 
capacidade de avaliar o processo de construção do modelo e os diferentes 
contextos de suas aplicações. 
Por fim, a validação do modelo criado implica em uma compreensão do 
fenômeno problematizado (situação-problema) e da matemática utilizada para 
sua solução. 
 
 
 
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